Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики
Рівняння гідродинаміки складають основу сучасних екологічних та метеорологічних моделей. Складність реалізації таких моделей обумовлена тривимірністю та нелінійністю рівнянь, а також великими масивами даних та необхідністю оперативного розв’язання. В практику увійшло використання паралельних обчисле...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2016
|
| Назва видання: | Геофизический журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125182 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики / Л.Н. Кацалова // Геофизический журнал. — 2016. — Т. 38, № 4. — С. 138-145. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125182 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1251822017-10-19T03:02:56Z Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики Кацалова, Л.Н. Научные сообщения Рівняння гідродинаміки складають основу сучасних екологічних та метеорологічних моделей. Складність реалізації таких моделей обумовлена тривимірністю та нелінійністю рівнянь, а також великими масивами даних та необхідністю оперативного розв’язання. В практику увійшло використання паралельних обчислень при розв’язанні гідродинамічних систем. Такий підхід дає можливість значно зменшити час розв’язання, але потребує розробки нових методів реалізації рівнянь моделі. Викладений у статті метод розв’язання тривимірних рівнянь конвективної дифузії є модифікацією адитивно-усередненого розщеплення тривимірних рівнянь, яка проведена для збільшення ефективності роботи розщеплення при паралельних обчисленнях. Суть модифікації полягає у введенні параметра, що вказує кількість кроків, на яких одномірні задачі розв’язуються методом явного рахування паралельно на різних процесорах без обміну даними між собою. Представлені результати чисельного експерименту, які підтверджують хорошу точність, збіжність та економічність методу. Hydrodynamic equations form the basis of modern ecological and meteorological models. The complexity of the implementation of such models is due to three-dimensionality and nonlinearity of the equations, as well as large amounts of data and the need for prompt solutions. The use of parallel computing for solving hydrodynamic systems entered in the world practice. This approach makes it possible to reduce solution time significantly, but requires the development of new methods of implementation of the model equations. The described method for solving three-dimensional equations of convective diffusion is a modification of additive-averaged splitting three-dimensional equations. The modification carried out to increase the efficiency of splitting for the parallel computing. The essence of the modification is the introducing a parameter that indicates the number of steps, on which one-dimensional problems are solved by an explicit account in parallel on different processors without exchange of data between them. The results of numerical experiments that confirm the good accuracy, convergence and efficiency of the proposed method are shown. 2016 Article Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики / Л.Н. Кацалова // Геофизический журнал. — 2016. — Т. 38, № 4. — С. 138-145. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. 0203-3100 DOI: doi.org/10.24028/gzh.0203-3100.v38i4.2016.107811 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125182 519.633 uk Геофизический журнал Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Научные сообщения Научные сообщения |
| spellingShingle |
Научные сообщения Научные сообщения Кацалова, Л.Н. Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики Геофизический журнал |
| description |
Рівняння гідродинаміки складають основу сучасних екологічних та метеорологічних моделей. Складність реалізації таких моделей обумовлена тривимірністю та нелінійністю рівнянь, а також великими масивами даних та необхідністю оперативного розв’язання. В практику увійшло використання паралельних обчислень при розв’язанні гідродинамічних систем. Такий підхід дає можливість значно зменшити час розв’язання, але потребує розробки нових методів реалізації рівнянь моделі. Викладений у статті метод розв’язання тривимірних рівнянь конвективної дифузії є модифікацією адитивно-усередненого розщеплення тривимірних рівнянь, яка проведена для збільшення ефективності роботи розщеплення при паралельних обчисленнях. Суть модифікації полягає у введенні параметра, що вказує кількість кроків, на яких одномірні задачі розв’язуються методом явного рахування паралельно на різних процесорах без обміну даними між собою. Представлені результати чисельного експерименту, які підтверджують хорошу точність, збіжність та економічність методу. |
| format |
Article |
| author |
Кацалова, Л.Н. |
| author_facet |
Кацалова, Л.Н. |
| author_sort |
Кацалова, Л.Н. |
| title |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| title_short |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| title_full |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| title_fullStr |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| title_full_unstemmed |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| title_sort |
модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики |
| publisher |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Научные сообщения |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125182 |
| citation_txt |
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики / Л.Н. Кацалова // Геофизический журнал. — 2016. — Т. 38, № 4. — С. 138-145. — Бібліогр.: 22 назв. — укр. |
| series |
Геофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT kacalovaln modificirovannoeadditivnousrednennoerasŝepleniedlârešeniâtrehmernyhuravnenijgidrodinamiki |
| first_indexed |
2025-07-09T02:40:54Z |
| last_indexed |
2025-07-09T02:40:54Z |
| _version_ |
1837135408836640768 |
| fulltext |
Л. Н. КАЦАЛОВА
138 Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016
Введение. При решении современных ме-
теорологических и экологических задач ат-
мосферные процессы моделируются на ос нове
фундаментальных уравнений гидродина мики
[Кибель, 1957; Гилл, 1986; Гладкий, Скопець-
кий, 2005]. Уравнения сохранения количества
движения Навье—Стокса, энергии, массы,
концентрации примеси, влажности и водности,
сохранения и диссипации кинетической энер-
гии турбулентности в полном или упрощенном
видах составляют основу многих математиче-
ских моделей циркуляции атмосферы [Прусов,
Дорошенко, 2006].
В общем виде эти уравнения являются трех-
мерными нелинейными уравнениями конвек-
тивной диффузии и не имеют аналитических
решений. Модели на основе уравнений гидро-
динамики, как правило, реализуют с помощью
разностных схем [Марчук, 1967; Белов и др.,
1989; Самарский, Михайлов, 2001]. Их преиму-
ществом являются универсальность и эконо-
мичность. Для конечно-разностных методов
наиболее полно развиты основные теоретиче-
ские понятия: аппроксимация, устойчивость,
сходимость [Самарский, Гулин, 1973; Самар-
ский, Вабищевич, 1999], но важным является
зависимость точности и времени решения
УДК 519.633
© Л. Н. Кацалова, 2016
Украинский гидрометеорологический институт, ГСУЧС, НАН Украины, Киев, Украина
Поступила 18 июня 2016 г.
Представлено членом редколлегии Т. А. Белым
Рівняння гідродинаміки складають основу сучасних екологічних та метеорологічних мо-
делей. Складність реалізації таких моделей обумовлена тривимірністю та нелінійністю рів-
нянь, а також великими масивами даних та необхідністю оперативного розв’язання. В прак-
тику увійшло використання паралельних обчислень при розв’язанні гідродинамічних сис-
тем. Такий підхід дає можливість значно зменшити час розв’язання, але потребує розробки
нових методів реалізації рівнянь моделі. Викладений у статті метод розв’язання тривимірних
рівнянь конвективної дифузії є модифікацією адитивно-усередненого розщеплення триви-
мірних рівнянь, яка проведена для збільшення ефективності роботи розщеплення при пара-
лельних обчисленнях. Суть модифікації полягає у введенні параметра, що вказує кількість
кроків, на яких одномірні задачі розв’язуються методом явного рахування паралельно на
різних процессорах без обміну данними між собою. Представлені результати чисельного
експерименту, які підтверджують хорошу точність, збіжність та економічність методу.
Ключові слова: гідродинаміка, рівняння конвективної дифузії, паралельні обчислення,
адитивно-усереднене розщеплення, метод явного рахування.
уравнений от величины пространственно-вре-
менных шагов дискретной сетки. Чем меньше
шаги сетки, тем выше точность и больше ма-
шинное время решения.
Проблема точности и экономии времени
особенно актуальна для метеорологических
и экологических задач, основанных на урав-
нениях гидродинамики. Такие задачи отлича-
ются сложностью математических вычисле-
ний, необходимостью оперировать больши-
ми массивами данных и получать решения в
оперативном режиме. В мировой практике
при реализации гидродинамических моделей
используют параллельные вычислительные си-
стемы, которые, в свою очередь, нуждаются в
соответствующих методах и алгоритмах для их
эффективного применения [Дорошенко, 2000].
В настоящей статье представлена модифи-
кация метода решения трехмерных уравне-
ний конвективной диффузии, основанного на
аддитивно-усредненном расщеплении [Горде-
зиани, Миладзе, 1974] и методе явного счета,
описанного в работах [Прусов и др., 2007; Гук,
2011]. Модификация проведена с целью увели-
чения эффективности метода для решения за-
дач с помощью алгоритма распараллеливания
по направлениям.
Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление
для решения трехмерных уравнений гидродинамики
МОДИФИЦИРОВАНОЕ АДДИТИВНО-УСРЕДНЕННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ...
Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016 139
Моделирование атмосферных процессов
на основе уравнений гидродинамики. При
математическом моделировании физических
процессов, которые происходят в атмосфере
Земли, наиболее распространенной является
концепция, согласно которой движение воз-
духа в атмосфере Земли представляется как
движение сплошной среды с позиции метода
Эйлера [Roache, 1985; Anderson et al., 1997]. В
методе Эйлера рассматривается изменение па-
раметров движения частичек сплошной среды
во времени (скорости, ускорения, плотности,
температуры, давления), которые проходят
через фиксированную точку пространства,
и изменение их при переходе из одной точки
пространства в другую. Таким образом, в мето-
де Эйлера параметры поля движения воздуха
являются функциями времени t и координат
пространства ( )1 2 3, ,x x x≡X .
Допустим, что элементарный объем возду-
ха занимает положение X в момент времени t:
X=X(t). Тогда некоторое свойство € этого эле-
ментарного объема воздуха будет изменяться
во времени согласно равенству
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 2 3, , , ,x t x t x t t t tℜ = ℜ ≡ ℜ X .
Для элементарного объема скорость изме-
нения свойства € определяется формулой
31 2
1 2 3
dxdx dxd
dt t x dt x dt x dt
ℜ ∂ℜ ∂ℜ ∂ℜ ∂ℜ
= + + + ≡
∂ ∂ ∂ ∂
( )d
t dt t
∂ℜ ∂ℜ⎛ ⎞≡ + ⋅∇ ℜ ≡ + ⋅∇ ℜ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
X V .
Систему уравнений, которые описывают
общую циркуляцию атмосферы, запишем в
векторном виде [Прусов, Сніжко, 2005]:
• уравнение сохранения массы
0d
dt
ρ
+ ρ∇ ⋅ =V ; (1)
• уравнение сохранения количества дви-
жения (Навье—Стокса)
( )12d p v
dt
+ Ω× = − ∇ + + ∇ ⋅
ρ
V V g V ; (2)
• уравнение притока тепла в атмосфере
( )rad
v
H
p
Ld k F Q
dt cΤ
θ
= ∇ ⋅ ∇θ − − ; (3)
• уравнение притока удельной влажности
( )d H
dq k q Q
dt
= ∇ ⋅ ∇ + ; (4)
• уравнение притока сконденсированной
влаги (водности)
( )d H
d k Q
dt
δ
= ∇ ⋅ ∇δ − ; (5)
• уравнение переноса концентрации при-
меси
( )d s
ds k s Q
dt
= ∇ ⋅ ∇ + ; (6)
• уравнение состояния
p R T= ρ . (7)
В системе уравнений (1)–(7) приняты сле-
дующие обозначения: ρ — плотность воздуха;
( )1 2 3, ,v v v≡V — скорость перемещения ат-
мосферного воздуха; p — давление воздуха;
ν — коэффициент турбулентной вязкости;
( )1000 pR cT pθ = — потенциальная темпера-
тура воздуха; T — абсолютная температура
воздуха; R = 287,04 Дж·кг–1·К–1 — универсаль-
ная газовая постоянная; cp = 3,5R — удельная
теплоемкость при постоянном давлении; q —
удельная влажность (масса водяного пара в
единице массы воздуха); δ — удельная водность
(масса сконденсированной влаги в единице
массы воздуха); s — концентрация примеси в
воздухе; Ω — угловая скорость вращения Зем-
ли; ( )0,0, g≡ −g — ускорение; kT — коэффи-
циент турбулентной теплопроводности; kd —
коэффициент турбулентной диффузии; Frad
— плотность радиационного потока энергии;
( ) 32500,8 2,3 273 10vL T≈ − − ×⎡ ⎤⎣ ⎦ Дж·кг–1 — скры-
тая теплота испарения; QH — изменение удель-
ной влажности в единице объема воздуха, ко-
торый двигается в тех частях атмосферы, где
влажность достигает насыщения qw:
0, ,
, ;
w
H
w
q q
Q
dq dt q q
<⎧
= ⎨ρ ≥⎩
Qs — изменение концентрации примеси в еди-
нице объема воздуха в той части атмосферы,
где имеют место химические реакции.
Коэффициент турбулентной вязкости v
определяется решением модели, которая яв-
ляется одной из наиболее проверенных и рас-
пространенных моделей турбулентности. В ка-
честве зависимых переменных принимаются
плотность кинетической энергии турбулент-
ного пульсационного движения ( 2 2
1 2k v v′ ′= ρ + +
)2
3 2v′+ и скорость диссипации 1,5
dC k Lε = тур-
булентной кинетической энергии k [Шуман и
др., 1984]:
Л. Н. КАЦАЛОВА
140 Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016
( ) ji i
k
j i j
vv vdk k k
dt x x x
⎛ ⎞∂∂ ∂
= ∇ ⋅ ∇ + ν + − ε +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )
3
a k k
T
g T k k Q
T x
⎛ ⎞ν ∂
+ + γ ≡ ∇ ⋅ ∇ +⎜ ⎟ξ ∂⎝ ⎠
, (8)
( ) 1
ji i
j i j
vv vd k C
dt k x x xε
⎛ ⎞∂∂ ∂ε ε
= ∇ ⋅ ∇ε + ν + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(9)
( )2 3
3
a
T
g TC C k Q
k T x ε ε
⎡ ⎤⎛ ⎞ε ν ∂
+ + γ − ε ≡ ∇ ⋅ ∇ε +⎢ ⎥⎜ ⎟ξ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
,
, 1, 2,3i j = ,
где 0,3dC = ; 1 1,43C = ; 2 0,29C = , 3 0,09C = —
эмпирические постоянные; γa=0,0098 К·м–1 —
сухоадиабатический вертикальный градиент
температуры. Турбулентная вязкость опреде-
ляется соотношением
2
4C kν = ε . (10)
Полуэмпирическая модель (8)—(10), извест-
ная в научных кругах как (k–ε)-модель турбу-
лентности, основана на полученных Рейнольд-
сом уравнениях движения тепло- и массопере-
носа для усредненных величин.
Уравнения модели циркуляции атмосферы
(1)—(10) — это в основном трехмерные урав-
нения конвективной диффузии, не имеющие
аналитических решений. Реализация подоб-
ных моделей численно связана с большими
затратами машинных ресурсов и времени. В
связи с этим экономичность и эффективность
параллельных вычислений являются одними из
главных критериев при выборе метода реше-
ния уравнений модели.
Постановка задачи. Приведенные выше
уравнения гидродинамики можно записать в
общем виде следующим образом:
u u f
t
∂
+ Λ =
∂
при
( )1 2 3, , ,
0,
x x x
t
∈ Ω Γ
>
(11)
( )
( )
1 2 3
0
1 2 3
0, , ,
, ,
u x x x
u x x x
=
=
при ( )1 2 3, ,x x x ∈ Ω , (12)
( )1 2 3, , , 0u t x x x ≡ при
( )1 2 3, , ,
0,
x x x
t
∈ Γ
>
(13)
где [ ] [ ] [ ]1 2 30, 0, 0,Ω = × × — пространствен-
ная область определения задачи; Г — граница
области Ω; ( )1 2 3, , ,u u t x x x= — зависимая функ-
ция; ( )1 2 3, , ,f f t x x x= — свободный член урав-
нения;
3
1
α
α=
Λ = Λ∑ — пространственный диф-
ференциальный оператор, представленный
суммой операторов; v
x xxα α α
α αα
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
Λ = − μ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠
,
,vα αμ — коэффициенты конвекции и диффу-
зии.
В работах [Кацалова, 2013; 2015] пред-
ложен и исследован метод решения задачи
(11)—(13). Суть метода состоит в применении
аддитивно-усредненного расщепления к трех-
мерному уравнению и экономичной конечно-
разностной схемы явного счета к последова-
тельности полученных одномерных задач.
Решение одномерных задач можно прово-
дить параллельно по времени на разных про-
цессорах. Но практика показала, что при обыч-
ном аддитивно-усредненном расщеплении
обмен данными на каждом шаге не позволяет
получать значительную экономию времени ре-
шения задачи. В связи с этим была проведена
модификация метода аддитивно-усредненного
расщепления [Черниш, 2009]. Суть модифика-
ции состоит в введении параметра m, который
указывает количество временных шагов, на ко-
торых можно проводить решение одномерных
задач без обмена данными между ними.
Дискретизируем пространственно-вре мен-
ную область задачи:
{ }, 0,1,...nt n nτω = = τ =
— временная сетка,
( )1 2 3, ,h h h hω = ω =
( ){ 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , :x j h x j h x j h hα= = = = =
}, 0,..., , 1, 2,3J j Jα α α α= = α =
— равно мер ная по каждому координатному
на прав ле нию xa пространственная сетка.
Определим пространство H0 как множество
векторов
( ){ 1 2 30 1 , ,( , ,..., ) :N b i i iy y y y y= =
{ } }0, 0, , 1, 2,3i Jα α= ∈ α =
со скалярным произведением
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2
1 2 3 1 2 3
1 2 3
11 1
1 1 1
,
h
JJ J
b i i i b i i i
x i i i
y v h y x v x h y v
−− −
∈ω = = =
= =∑ ∑ ∑ ∑ ,
где
( )
3
1
1 1N Jα
α=
= + −∏ , 1 2 3h h h h= ,
МОДИФИЦИРОВАНОЕ АДДИТИВНО-УСРЕДНЕННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ...
Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016 141
( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , Tb i i i a i i i= ⋅ — биективнйый опе-
ратор, ( )1 2 3, ,a a a a= — проекционный век-
тор, ( )
1
0
1s
s
a J
α−
α
=
= +∏ , 0 0J = . По сути оператор
( )1 2 3, ,b i i i определяет переход от трехцифро-
вого индексирования к последовательному для
каждого узла сетки ωh и значений y в них.
Для элементов этого пространства рассма-
тривается норма ( ),y y y= .
Определим следующие операторы, которые
действуют в H0:
1
,
i i
x i
y y
y
h
−−
= , 1
,
i i
x i
y y
y
h
+ −
= .
Запишем конечно-разностную схему для
задачи (11)—(13), полученную с помощью мо-
дификации аддитивно-усредненного расще-
пления [Прусов и др., 2009б] и метода явного
счета [Гук, 2011], так:
1
1
3
n m s n m s
n m s n m s n m sy y
B y A y
− + + − +
− + + − + − +α α
α α α α α
−
+ − = ϕ
τ
,
0,..., 1s m= − , 1,2,3α = , (14)
где
( ) ,2 x ii
v
B y y
h α
α α
α
α
⎛ ⎞μ
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
( ) ,2 x ii
v
A y y
h α
α α
α
α
⎛ ⎞μ
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
1,..., 1i N= − ,
3
1
1
1
3
n ny y+
α
α=
= ∑ , (15)
n m n my y− −
α = , 1,2,3α = , 0 0y u= , (16)
1
0 0ny + = , 1 0n
Ny + = , 1,2,...n = (17)
Легко видеть, что при m = 1 имеет место
аддитивно-усредненное расщепление с исполь-
зованием метода явного счета. В работе [Пру-
сов и др., 2009а] теоретически показано, что
модифицированное аддитивно-усредненное
расщепление дает ощутимый выигрыш вре-
мени при значениях параметра m от 2 до 10.
При m >10 экономия времени значительно не
увеличивается по сравнению с m =10.
Численный эксперимент. Проиллюстри-
руем работу модифицированного аддитивно-
усредненного расщепления и метода явного
счета на примере решения двумерной задачи,
которая имеет аналитическое решение:
1 2
1 2
u u uv v
t x x
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
1 2
1 1 2 2
u u f
x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= μ + μ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(18)
при
( ) [ ]2
1 2, 0;1x x ∈ , [ ]0;10t ∈ ,
( ) ( )1 2 1 20, , sinu x x x x= +
при
( ) [ ]2
1 2, 0;1x x ∈ , 0t = ,
( ) ( )1 2 1 2, , , ,Au t x x u t x x=
при
( ) [ ]2
1 2, 0;1x x ∈ ∂ , [ ]0;1t ∈ ,
где
( ) maxsin , 1,k k k kv x v v= ≤ = μ =
( )20,001 0,1 sin 0kx= + ⋅ > ,
( ) ( ) ( )( )( )( )1 2 1 2 max 1 2, , 0,1 sin 2 sin 2f t x x v v v x x= + − + + ×
( ) ( ) ( )1 2 max 1 2 1 2 maxcos sinx x v t x x v t× + − + μ + μ + − .
Аналитическое решение этой задачи кон-
вективной диффузии имеет вид
( ) ( )1 2 1 2 max, , sinAu t x x x x v t= + − .
Численные эксперименты были проведены
при 1 2 0,01x xΔ = Δ = .
Результаты решения задачи (18) с помощью
модифицированного аддитивно-усредненного
расщепления и схемы явного счета представ-
лены в табл. 1 и частично изображены на ри-
сунке.
Результаты, представленные в табл. 1, экс-
периментально подтверждают устойчивость
и сходимость предложенного метода. Имеет
место устойчивость метода при соотношении
временного и пространственного шагов τ=10h;
очевидно, что er→0 при τ→0 с порядком O(τ).
Видим, что при увеличении параметра m
точность ухудшается. По результатам тести-
рования была выведена зависимость точного
решения от m: er(m) ffi 0,9m, где er — ошибка при
m =1.
По сути уменьшение точности является це-
ной за выигрыш времени расчетов.
По данным табл. 2 очевидно ожидаемое
уменьшение машинного времени с увеличени-
ем параметра m. Таким образом, применение
параллельных вычислений является эффектив-
ным при значении параметра m >1, при этом
выигрыш времени существенный.
Л. Н. КАЦАЛОВА
142 Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016
Выводы. Моделирование циркуляции ат-
мосферы, как правило, проводится на основе
фундаментальных уравнений гидродинамики,
которые в общем виде являются трехмерны-
ми уравнениями конвективной диффузии и не
имеют аналитических решений.
Задачи метеорологии и экологии, основан-
ные на моделях циркуляции атмосферы, имеют
значительную сложность и требуют не только
точных, но и быстрых решений. В силу этого
обстоятельства их решение часто проводится
с помощью конечно-разностных схем и парал-
лельных вычислений. Такой подход позволяет
добиться большей точности при меньших за-
тратах машинного времени.
Т а б л и ц а 1. Максимальное отклонение = −
=1, -1
max i i
i N
er u y решения задачи (18) с помощью
модифицированного аддитивно-усредненного расщепления и схемы явного счета y и анали-
тического решения uA при разных значениях временного шага и параметра m
τ
m 0,1 0,01 0,005 0,001
1 0,076241 0,008112 0,004126 0,000841
2 0,130510 0,019590 0,010054 0,002060
4 0,206657 0,043349 0,022487 0,004643
8 0,414267 0,089145 0,047077 0,009871
10 0,418327 0,110943 0,059074 0,012479
Т а б л и ц а 2. Время t решения задачи (18) с помощью модифицированного аддитивно-
усредненного расщепления и схемы явного счета с использованием двух процессоров при
разных значениях временного шага и параметра m
m t (τ=0,1) t (τ=0,01) t (τ=0,005) t (τ=0,001)
1 0,460 4,58 9,16 45,812
2 0,264 2,644 5,284 26,420
4 0,168 1,680 3,36 16,792
8 0,124 1,196 2,392 11,976
10 0,112 1,104 2,204 11,02
Результаты решения задачи (18) с помощью модифицированого аддитивно-усредненного расщепления и схемы явного
счета (серый — численное решение, черный — аналитическое): a — τ = 0,01, m = 1; б — τ = 0,1, m = 10.
В статье изложен метод решения трехмерных
задач конвективной диффузии, эффективный
при параллельных вычислениях. Метод состоит
в применении аддитивно-усредненного расще-
пления по направлениям на последовательность
одномерных задач, которые решаются парал-
лельно без обновления краевых условий на про-
тяжении m временных шагов. Представлены
результаты решения тестовой задачи.
Результаты численного эксперимента под-
тверждают эффективность применения моди-
фицированного аддитивно-усредненного рас-
щепления и метода явного счета для параллель-
ных вычислений при решении многомерных
уравнений конвективной диффузии. Решение
МОДИФИЦИРОВАНОЕ АДДИТИВНО-УСРЕДНЕННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ...
Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016 143
тестовых задач показало, что метод устойчив,
сходим и дает хорошую точность, хорошо ра-
ботает в случае переменных коэффициентов.
Введенная модификация позволяет значитель-
но уменьшить время решения задачи.
Результаты численного эксперимента под-
тверждают целесообразность использования
модифицированного аддитивно-усредненного
расщепления и метода явного счета при реше-
нии гидродинамических уравнений. Прежде
всего, это обусловлено экономичностью и хо-
рошей точностью описанного метода.
Белов П. Н., Борисенков Е. П., Панин Б. Д. Численные
методы прогноза погоды. Ленинград: Гидроме-
теоиздат, 1989. 376 с.
Гилл А. Динамика атмосферы и океана. Москва:
Мир, 1986. 416 с.
Гладкий А. В., Скопецький В. В. Методи чисельного
моделювання екологічних процесів: Навч. посіб.
Київ: НТУУ «КПІ», 2005. 148 с.
Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании
третьей краевой задачи для многомерных пара-
болических уравнений в произвольной области
одномерными уравнениями. Журн. вычисл. ма-
тем. и матем. физики. 1974. №1. С. 246—250.
Гук Л. М. Метод явного рахунку для реалізації моделі
циркуляції атмосфери. Вісник Київ. нац. ун-та
ім. Тараса Шевченкa. Сер. фіз.-мат. науки. 2011.
№ 4. С. 102—106.
Дорошенко А. Ю. Математические модели и методы
организации высокопроизводительных парал-
лельных вычислений. Алгебродинамический
подход. Киев: Наук. думка, 2000. 177 с.
Кацалова Л. М. Дослідження збіжності адитивно-
усередненого розщеплення на основі методу
явного розрахунку для тривимірних рівнянь
конвективної дифузії. Геофиз. журн. 2015. Т. 37.
№ 6. С. 131—136.
Кацалова Л. М. Один метод реалізації спрощеної
моделі циркуляції атмосфери. Вісник Київ. нац.
ун-та ім. Тараса Шевченкa. Сер. фіз.-мат. науки.
2013. № 1. С. 178—171.
Кибель И. А. Введение в гидродинамические методы
краткосрочного прогноза погоды. Москва: Госте-
хиздат, 1957. 375с.
Марчук Г. И. Численные методы в прогнозе погоды.
Ленинград: Гидрометеоиздат, 1967. 353 с.
Прусов В. А., Дорошенко А. Ю. Моделювання при-
родних і техногенних процесів в атмосфері. Київ:
Наук. думка, 2006. 542 с.
Список литературы
Прусов В. А., Дорошенко A. Ю., Черныш Р. И. Вы-
бор параметра модифицированного аддитивно-
усредненного метода. Кибернетика и системный
анализ. 2009a. № 4. С. 98—105.
Прусов В. А., Дорошенко A. Ю., Черныш Р. И. Метод
численного решения многомерной задачи кон-
вективной диффузии. Кибернетика и систем-
ный анализ. 2009б. № 1. С. 100—107.
Прусов В. А., Дорошенко А. Ю., Черныш Р. И., Гук Л. Н.
Эффективная разностная схема численного ре-
шения задачи конвективной диффузии. Кибер-
нетика и системный анализ. 2007. № 3. С. 64—74.
Прусов В. А., Сніжко С. І. Математичне моделювання
атмосферних процесів: Підручник. Київ: Ніка-
Центр, 2005. 496 с.
Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы
решения задач конвекции-диффузии. Москва:
Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.
Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разност-
ных схем. Москва: Наука, 1973. 416 с.
Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое
моделирование: Идеи. Методы. Примеры. Мо-
сква: Физматлит, 2001. 320 с.
Черниш Р. І. Модифікована адитивно-усереднена
схема розщеплення. Конференція молодих уче-
них із сучасних проблем механіки і математики
імені академіка Я. С. Підстригача, 25—27 травня
2009 р.: Tези доп. Львів, 2009. С. 242.
Шуман У., Гретцбах Г., Кляйзер Л. Прямые методы
численного моделирования турбулентных те-
чений. В кн.: Методы расчета турбулентных
течений. Москва: Мир, 1984. С. 103—226.
Anderson D. A., Tannehill J. C., Pletcher R. H., 1997.
Computational fluid mechanics and heat transfer.
Second Edition. Taylor and Francis, 792 p.
Roache P. J., 1985. Computational Fluid Dynamics. Al-
buquerque: Hermosa Publ., 616 p.
Л. Н. КАЦАЛОВА
144 Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016
Modified additive-averaged splitting for solving
three-dimensional equations of hydrodynamics
© L. N. Katsalova, 2016
Hydrodynamic equations form the basis of modern ecological and meteorological mod-
els. The complexity of the implementation of such models is due to three-dimensionality
and nonlinearity of the equations, as well as large amounts of data and the need for prompt
solutions. The use of parallel computing for solving hydrodynamic systems entered in
the world practice. This approach makes it possible to reduce solution time significantly,
but requires the development of new methods of implementation of the model equations.
The described method for solving three-dimensional equations of convective diffusion is
a modification of additive-averaged splitting three-dimensional equations. The modifi-
cation carried out to increase the efficiency of splitting for the parallel computing. The
essence of the modification is the introducing a parameter that indicates the number of
steps, on which one-dimensional problems are solved by an explicit account in parallel
on different processors without exchange of data between them. The results of numerical
experiments that confirm the good accuracy, convergence and efficiency of the proposed
method are shown.
Key words: hydrodynamics, convection diffusion equation, parallel computing, addi-
tive-averaged splitting, explicit account method.
References
Belov P. N., Borisenkov E. P., Panin B. D., 1989. Numerical
methods of weather forecasting. Leningrad: Gidro-
meteoizdat, 376 p. (in Russian).
Gill A., 1986. The dynamics of the atmosphere and
ocean. Moscow: Mir, 416 p. (in Russian).
Gladkiy A. V., Skopetskiy V. V., 2005. Methods of numeri-
cal modeling of environmental processes: Textbook.
Kyiv: NTU «KPI», 148 p. (in Ukrainian).
Gordeziani D. G., Meladze G. V., 1974. Simulation of
the third boundary value problem for mul ti di men-
si o nal parabolic equations in an arbitrary domain by
one-dimensional equations. Zhurnal vychislitelnoy
matematiki i matematicheskoy fiziki (1), 246—250
(in Russian).
Huk L. M. 2011. Explicit account method for rea li za tion
of atmospheric circulation model. Visnyk Kyivskogo
natsionalnogo universiteta im. Tarasa Shevchenka.
Ser. fiz.-mat. nauky (4), 102—106 (in Ukrainian).
Doroshenko A. Yu., 2000. Mathematical models and
methods of high-performance parallel computing.
Algebrodynamical approach. Kiev: Naukova Dum-
ka, 177 p. (in Russian).
Katsalova L. N., 2015. The study of convergence of
additive-averaged splitting based on the scheme of
explicit solution for three-dimensional equations of
convective diffusion. Geofizicheskiy zhurnal 37(6),
131—136 (in Ukrainian).
Katsalova L. N., 2013. One method of implementation
of simplified atmospheric circulation model. Vis-
nyk Kyivskogo natsionalnogo universiteta im. Tarasa
Shevchenka. Ser. fiz.-mat. nauky (1), 178—171 (in
Ukrainian).
Kibel I. A., 1957. Introduction to hydrodynamic meth-
ods of short-term weather forecasting. Moscow:
Gostekhizdat, 375 p. (in Russian).
Marchuk G. I., 1967. Numerical methods in weather
forecasting. Leningrad: Gidrometeoizdat. 353 p.
(in Russian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Yu., 2006. Modelling of natu-
ral and anthropogenic processes in the atmosphere.
Kyiv: Naukova Dumka, 542 p. (in Ukrainian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Yu., Chernysh R. I., 2009a.
Selecting of parameter of modified additive-aver-
aged method. Kibernetika i sistemnyy analiz (4),
98—105 (in Russian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Yu., Chernysh R. I., 2009b.
The method of numerical solution of multidimen-
sional problem of convective diffusion. Kibernetika
i sistemnyy analiz (1), 100—107 (in Russian).
Prusov V. A., Doroshenko A. Yu., Chernysh R. I., Guk L. N.,
2007. Efficient difference scheme numerical solution
of the convective diffusion problem. Kibernetika i
sistemnyy analiz (3), 64—74 (in Russian).
МОДИФИЦИРОВАНОЕ АДДИТИВНО-УСРЕДНЕННОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ...
Геофизический журнал № 4, Т. 38, 2016 145
Prusov V. A. Snizhko S. I., 2005. Mathematical model-
ing of atmospheric processes: Textbook. Kyiv: Nika-
Tsentr, 496 p. (in Ukrainian).
Samarskiy A. A., Vabishchevich P. N., 1999. Numerical
methods for solving convection-diffusion problems.
Moscow: Editorial URSS, 248 p. (in Russian).
Samarskiy A. A., Gulin A. V., 1973. Stability of difference
schemes. Moscow: Nauka, 416 p. (in Russian).
Samarskiy A. A., Mikhaylov A. P., 2001. Mathematical
modeling: Ideas. Methods. Examples. Moscow: Fiz-
matlit, 320 p. (in Russian).
Chernysh R. I., 2009. Modified additive-averaged split-
ting scheme. Conference of Young Scientists from
the modern problems of mechanics and mathemat-
ics named after Y. S. Pidstryhach, May 25—27, 2009:
abstracts. Lviv, P. 242 (in Ukrainian).
Schumann W., Groetzbach G., Kleiser L., 1984. Direct
methods for the numerical simulation of turbulent
flows. In: Methods of calculation turbulent flows.
Moscow: Mir, P. 103—226 (in Russian).
Anderson D. A., Tannehill J. C., Pletcher R. H., 1997.
Computational fluid mechanics and heat transfer.
Second Edition. Taylor and Francis, 792 p.
Roache P. J., 1985. Computational Fluid Dynamics. Al-
buquerque: Hermosa Publ., 616 p.
|