Про часонезворотність універсальних кінематик

Спираючись на розвинутий в останні роки математичний апарат теорії кінематичних мінливих множин, доведено, що гіпотеза про існування матеріальних об'єктів та інерційних систем відліку, що рухаються з надсвітловими швидкостями, взагалі кажучи, не приводить до порушення принципу причинності, то...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
1. Verfasser:	Грушка, Я.І.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2016
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125725
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про часонезворотність універсальних кінематик / Я.І. Грушка // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 14-21. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-125725
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1257252017-11-03T03:02:59Z Про часонезворотність універсальних кінематик Грушка, Я.І. Математика Спираючись на розвинутий в останні роки математичний апарат теорії кінематичних мінливих множин, доведено, що гіпотеза про існування матеріальних об'єктів та інерційних систем відліку, що рухаються з надсвітловими швидкостями, взагалі кажучи, не приводить до порушення принципу причинності, тобто до можливості повернення у власне минуле. Даний результат отримано як наслідок з абстрактної теореми про неповернення, яка дає достатню ознаку часової незворотності для універсальних кінематичних множин. Опираясь на развитый в последние годы математический аппарат теории кинематических изменчивых множеств, доказано, что гипотеза о существовании материальных объектов и инерциальных систем отсчета, движущихся со сверхсветовыми скоростями, вообще говоря, не приводит к нарушению принципа причинности, т. е. к возможности возвращения в собственное прошлое. Данный результат получен как следствие из абстрактной теоремы о невозвращении, которая дает достаточный признак временной необратимости для универсальных кинематических множеств. Using the recently developed mathematical apparatus of the theory of kinematic changeable sets, it is proved that the hypothesis of the existence of material objects and inertial reference systems moving with superluminal velocities does not lead to the violation of the principle of causality, that is, to a possibility of the returning to the own past in general. This result is obtained as the corollary of the abstract theorem on irreversibility, which gives the sufficient condition of time irreversibility for universal kinematic sets. 2016 Article Про часонезворотність універсальних кінематик / Я.І. Грушка // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 14-21. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.07.014 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125725 510.22+51-71+517.983 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Грушка, Я.І. Про часонезворотність універсальних кінематик Доповіді НАН України
description	Спираючись на розвинутий в останні роки математичний апарат теорії кінематичних мінливих множин, доведено, що гіпотеза про існування матеріальних об'єктів та інерційних систем відліку, що рухаються з надсвітловими швидкостями, взагалі кажучи, не приводить до порушення принципу причинності, тобто до можливості повернення у власне минуле. Даний результат отримано як наслідок з абстрактної теореми про неповернення, яка дає достатню ознаку часової незворотності для універсальних кінематичних множин.
format	Article
author	Грушка, Я.І.
author_facet	Грушка, Я.І.
author_sort	Грушка, Я.І.
title	Про часонезворотність універсальних кінематик
title_short	Про часонезворотність універсальних кінематик
title_full	Про часонезворотність універсальних кінематик
title_fullStr	Про часонезворотність універсальних кінематик
title_full_unstemmed	Про часонезворотність універсальних кінематик
title_sort	про часонезворотність універсальних кінематик
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125725
citation_txt	Про часонезворотність універсальних кінематик / Я.І. Грушка // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 7. — С. 14-21. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT gruškaâí pročasonezvorotnístʹuníversalʹnihkínematik
first_indexed	2025-07-09T03:39:37Z
last_indexed	2025-07-09T03:39:37Z
_version_	1837139124267515904
fulltext	http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.07.014 УДК 510.22 + 51-71 +517.983 Я. I. Грушка Iнститут математики НАН України, Київ E-mail: grushka@imath.kiev.ua Про часонезворотнiсть унiверсальних кiнематик (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Спираючись на розвинутий в останнi роки математичний апарат теорiї кiнематичних мiнливих множин, доведено, що гiпотеза про iснування матерiальних об’єктiв та iнер- цiйних систем вiдлiку, що рухаються з надсвiтловими швидкостями, взагалi кажучи, не приводить до порушення принципу причинностi, тобто до можливостi повернен- ня у власне минуле. Даний результат отримано як наслiдок з абстрактної теореми про неповернення, яка дає достатню ознаку часової незворотностi для унiверсальних кiнематичних множин. Ключовi слова: теорiя кiнематичних мiнливих множин, iнерцiйнi системи вiдлiку. 1. Про постановку задачi. Тематика побудови теорiї надсвiтлового руху була започатко- вана в роботах [1, 2] понад 50 рокiв тому. I, хоч тахiони (тобто об’єкти, якi рухаються зi швидкiстю, бiльшою за швидкiсть свiтла) на сьогоднi експериментально не виявленi, дана тематика залишається актуальною. Загальновiдомо, що в середовищi фiзикiв поширена думка про те, що гiпотеза про iсну- вання тахiонiв приводить до часових парадоксiв, пов’язаних з наявнiстю теоретичної мо- жливостi змiнити власне минуле. Умови виникнення подiбних часових парадоксiв детально проаналiзованi в роботi [3]. На жаль, в роботi [3] дозволеним є лише надсвiтловий рух для частинок або сигналiв, а надсвiтловий рух для систем вiдлiку — заборонений. Ця обставина не дає можливостi прив’язати до тахiонової частинки власну систему вiдлiку i власний час, а отже, коректно визначити справжнiй напрямок її руху. В роботi [4] для тахiонових части- нок аксiоматично вводяться власнi системи вiдлiку у випадку, коли простiр геометричних змiнних є одновимiрним, а у випадку бiльшої розмiрностi простору геометричних змiнних до тахiонових частинок прив’язується лише власний час. Такий пiдхiд дає можливiсть коре- ктнiше визначити справжнiй напрямок руху тахiонової частинки, а отже, отримати бiльш точнi результати. Зокрема, в роботi [4] показано, що гiпотеза про iснування матерiальних об’єктiв, що рухаються з надсвiтловими швидкостями, взагалi кажучи, не приводить до мо- жливостi повернення у власне минуле. Слiд зауважити, що в цiй роботi надсвiтловi системи вiдлiку вводяться лише для випадку, коли простiр геометричних змiнних є одновимiрним, тодi як у роботах E. Recami (див. [5]), а пiзнiше в роботi J. Hill, B. Cox [6] були отри- манi узагальненi перетворення Лоренца для систем вiдлiку, що рухаються iз швидкiстю, бiльшою за швидкiсть свiтла, для випадку тривимiрного простору геометричних змiнних. У роботi [7] було показано, що зазначенi вище узагальненi перетворення Лоренца в сенсi E. Recami легко можна перенести на випадок довiльної (зокрема нескiнченної) розмiрностi © Я. I. Грушка, 2016 14 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7 простору геометричних змiнних, а в роботi [8] на основi перетворень з [7] побудовано мате- матично строгi моделi кiнематик, якi дозволяють надсвiтловий рух не лише для частинок, але i для iнерцiйних систем вiдлiку. Отже, тахiоновi кiнематики в сенсi E. Recami є цiлком математично строгими об’єктами. Але у зв’язку зi сказаним вище цi кiнематики неможли- во проаналiзувати на часонезворотнiсть (тобто вiдсутнiсть можливостi повернення у власне минуле), використовуючи результати роботи [4]. Саме тому в данiй роботi для розв’язан- ня поставленої задачi побудовано бiльш загальний математичний апарат, нiж у роботi [4], завдяки якому встановлено достатнi ознаки часозворотностi та часонезворотностi для унi- версальних кiнематик. З використанням цих ознак показано, що всi тахiоновi кiнематики, побудованi в роботi [8], є (умовно) часозворотними, а також доведено iснування (безумовно) часонезворотної унiверсальної тахiонової кiнематики, побудованої на основi узагальнених перетворень Лоренца в сенсi E. Recami, яка дозволяє для систем вiдлiку рух з довiльною швидкiстю, вiдмiнною вiд швидкостi свiтла. 2. Елементарно-часовi стани i мiнливi системи чiтко видимих мiнливих та кiнематичних множин. У данiй роботi використовується математичний апарат, система понять та система позначень теорiй мiнливих множин, кiнематичних множин та унiверсаль- них кiнематик, розвинених у роботах [8–10] та iн. Множину Z будемо називати об’єктом типу чiтко видимої мiнливої множини (скорочено — чiтко видимим об’єктом (чв-об’єктом)), якщо Z є чiтко видимою мiнливою множиною або чiтко видимою кiне- матичною множиною чи унiверсальною кiнематикою. Означення 1. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт, l ∈ Lk(Z) — довiльна система вiдлiку Z i ω ∈ Bs(l) — довiльний елементарно-часовий стан у системi вiдлiку l. Множину ω{l,Z} = {(m, ⟨!m← l⟩ω) \| m ∈ LkZ} (де (x, y) — упорядкована пара, складена з x i y) будемо називати елементарно-часовим станом чв-об’єкта Z, породженим ω у системi вiдлiку l. Зауваження 1. У випадку, коли наперед вiдомо, про який чв-об’єкт йде мова, замiсть позначення ω{l,Z} будемо використовувати позначення ω{l}. Твердження 1. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Тодi множина Bs[l,Z] = {ω{l,Z} \| ω ∈ Bs(l)} (1) не залежить вiд системи вiдлiку l ∈ Lk(Z) (тобто ∀l, m ∈ Lk(Z) Bs[l,Z] = Bs[m,Z]). Означення 2. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. 1. Множину Bs(Z) = Bs[l,Z] (∀l ∈ Lk(Z)) будемо називати множиною елементарно-ча- сових станiв Z. 2. Будь-яку пiдмножину Â ⊆ Bs(Z) будемо називати (загальною) мiнливою системою Z. Твердження 2. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l ∈ Lk(Z). Тодi для довiльного еле- мента ω̂ ∈ Bs(Z) iснує, причому єдиний, елемент ω0 ∈ Bs(l) такий, що ω̂ = ω {l} 0 . Означення 3. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт ω̂ ∈ Bs(Z) i l ∈ Lk(Z). Елементарно-ча- совий стан ω ∈ Bs(l) будемо називати образом елементарно-часового стану ω̂ в системi вiдлiку l, якщо ω̂ = ω{l}. Згiдно з твердженням 2, довiльний елементарно-часовий стан ω̂ ∈ Bs(Z) у довiльнiй системi вiдлiку l ∈ Lk(Z) має, причому лише один, образ. Образ елементарно-часового стану ω̂ ∈ Bs(Z) у системi вiдлiку l ∈ Lk(Z) будемо позначати через ω̂{l,Z} (або через ω̂{l} у тих випадках, коли наперед вiдомо, про який чв-об’єкт Z йде мова). ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 15 Таким чином, згiдно з означенням 3, для довiльного ω̂ ∈ Bs(Z) справедлива рiвнiсть( ω̂{l} ){l} = ω̂. (2) З iншого боку, для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk(Z) i довiльного елементарно-часо- вого стану ω ∈ Bs(l), поклавши ω̂ := ω{l}, за означенням 3 маємо ω = ω̂{l}, тобто( ω{l}) {l} = ω (∀l ∈ Lk(Z) ∀ω ∈ Bs(l)). (3) З рiвностей (2) i (3) отримуємо такий наслiдок: Наслiдок 1. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i l ∈ Lk(Z). Тодi: 1. Вiдображення (·){l} є бiєкцiєю з Bs(l) на Bs(Z). 2. Вiдображення (·){l} є бiєкцiєю з Bs(Z) на Bs(l). 3. Вiдображення (·){l} обернене до вiдображення (·){l}. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Образом мiнливої системи Â ⊆ Bs(Z) у системi вiдлiку l ∈ Lk(Z) будемо називати множину Â{l,Z} = {ω̂{l,Z} \| ω̂ ∈ Â}. Будь-яка мiнлива система A ⊆ Bs(l) у системi вiдлiку l ∈ Lk(Z) породжує (загальну) мiнливу систему A{l,Z} := {ω{l,Z} \| ω ∈ A}. Зауваження 2. У тих випадках, коли наперед вiдомо, про який чв-об’єкт йде мова, замiсть позначень Â{l,Z} i A{l,Z} будемо використовувати позначення Â{l} i A{l} вiдповiдно. Використовуючи рiвностi (2) i (3), для довiльних чв-об’єкта Z, системи вiдлiку l ∈ Lk(Z) i мiнливих систем Â ⊆ Bs(Z) та A ⊆ Bs(l) отримуємо рiвностi (Â{l}) {l} = Â i (A{l}){l} = A. 3. Ланцюговi шляхи унiверсальних кiнематик i теорема про неповернення. Означення 4. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт. Мiнливу систему Â ⊆ Bs(Z) будемо називати кусково-ланцюговою, якщо iснують послiдовностi мiнливих систем Â1, . . . , Ân ∈ ∈ Bs(Z) i систем вiдлiку l1, . . . , ln ∈ Lk(Z) (n ∈ N) такi, що: (а) (Âk){lk} ∈ Ll(lk) (∀k ∈ 1, n) 1, де означення множини Ll(lk) = Ll((lk )̂ ) можна знайти в [10, стор. 29]; (б) n∪ k=1 Âk = Â, i при цьому у випадку n > 2 виконуються такi додатковi умови: (в) Âk ∩ Âk+1 ̸= ∅ (∀k ∈ 1, n− 1); (г) для довiльного k ∈ 1, n− 1 i для довiльних ω1 ∈ (Âk \ Âk+1){lk} i ω2 ∈ (Âk ∩ Âk+1){lk} виконується нерiвнiсть tm(ω1) < lk tm(ω2); (д) для довiльного k ∈ 2, n i для довiльних ω1 ∈ (Âk−1 ∩ Âk){lk} i ω2 ∈ (Âk \ Âk−1){lk} виконується нерiвнiсть tm(ω1) < lk tm(ω2). При цьому упорядкований набiр з n + 1 елементiв виду A = (Â, (Â1, l1), . . . (Ân, ln)) будемо називати ланцюговим шляхом чв-об’єкта Z. Означення 5. Нехай C — довiльна кiнематична множина або унiверсальна кiнематика. (а) Мiнливу систему A ⊆ Bs(l) будемо називати геометрично стацiонарною в систе- мi вiдлiку l ∈ Lk(C), якщо A ∈ Ll(l) i для довiльних ω1, ω2 ∈ A виконується рiвнiсть bs(Q<l>(ω1)) = bs(Q<l>(ω2)). (б) Множину всiх геометрично стацiонарних мiнливих систем у системi вiдлiку l будемо позначати через Lg(l,C). У тих випадках, коли наперед вiдомо, про яку кiнематичну мно- жину або унiверсальну кiнематику C йде мова, будемо використовувати позначення Lg(l). 1Надалi через m,n (m, n ∈ N, m 6 n) будемо позначати множину m,n = {m, . . . , n}. 16 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7 (в) ланцюговий шлях A = (Â, (Â1, l1), . . . , (Ân, ln)) в C (n ∈ N) будемо називати кусково геометрично стацiонарним, якщо ∀k ∈ 1, n (Âk){lk} ∈ Lg(lk). З фiзичної точки зору кусково геометрично стацiонарний шлях можна трактувати, як процес “мандрiв” спостерiгача (або якоїсь матерiальної частинки), що рухається, “переска- куючи” скiнченну кiлькiсть разiв з однiєї системи вiдлiку в iншу. Означення 6. Нехай Z — довiльний чв-об’єкт i A = (Â, (Â1, l1), . . . , (Ân, ln)) — довiль- ний ланцюговий шлях в Z. 1. Елемент ω̂s ∈ Bs(Z) будемо називати початковим елементом шляху A , якщо ω̂s ∈ Â1 i для довiльного ω̂ ∈ Â1 справедлива нерiвнiсть tm((ω̂s){l1}) 6 l1 tm(ω̂{l1}). 2. Елемент ω̂f ∈ Bs(Z) будемо називати кiнцевим елементом шляху A , якщо ω̂f ∈ Ân i для довiльного ω̂ ∈ Ân справедлива нерiвнiсть tm(ω̂{ln}) 6 ln tm((ω̂f ){ln}). 3. Ланцюговий шлях, що має (хоча б один) початковий i (хоча б один) кiнцевий елемент, будемо називати замкнутим. Твердження 3. Будь-який ланцюговий шлях A довiльного чв-об’єкта Z може мати не бiльш нiж один початковий i не бiльш нiж один кiнцевий елемент. Початковий елемент ланцюгового шляху A чв-об’єкта Z будемо позначати через po(A ,Z), або через po(A ). Кiнцевий елемент ланцюгового шляху A будемо позначати через ki(A ,Z), або через ki(A ). При цьому позначення po(A ) i ki(A ) використовуються у випадках, коли це не викликає непорозумiнь. Таким чином, для довiльного замкнутого ланцюгового шляху A завжди iснує po(A ) i ki(A ). Означення 7. Замкнутий ланцюговий шлях A чiтко видимої кiнематичної множини або унiверсальної кiнематики C будемо називати геометрично циклiчним в системi вiдлiку l ∈ Lk(C), якщо bs(Q⟨l⟩(po(A ){l})) = bs(Q⟨l⟩(ki(A ){l})). Означення 8. Нехай F — унiверсальна кiнематика. 1. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk(F) є часододатною в F вiдносно сис- теми вiдлiку l ∈ Lk(F) (позначення m ⇑+F l), якщо для довiльних w1,w2 ∈ Mk(l) з умов bs(w1) = bs(w2) i tm(w1) < l tm(w2) випливає нерiвнiсть tm([m ← l]w1) < m tm([m ← ← l]w2). 2. Будемо говорити, що система вiдлiку m ∈ Lk(F) є часовiд’ємною в F вiдносно системи вiдлiку l ∈ Lk(F) (позначення m ⇓−F l), якщо для довiльних w1, w2 ∈Mk(l) з умов bs(w1) = = bs(w2) i tm(w1) < l tm(w2) випливає нерiвнiсть tm([m ← l]w1) > m tm([m ← l]w2). 3. Унiверсальну кiнематику F будемо називати слабко часопозитивною, якщо iснує хоч одна система вiдлiку l0 ∈ Lk(F) така, що для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk(F) має мiсце спiввiдношення l0 ⇑+F l. Зауваження 3. Крiм слабкої часопозитивностi можна ввести також iншу (сильнiшу) форму часопозитивностi. Унiверсальну кiнематику F будемо називати часопозитивною, якщо для довiльних систем вiдлiку l, m ∈ Lk(F) має мiсце спiввiдношення l ⇑+F m. Неваж- ко довести, що довiльна кiнематика виду F = UP(H,B, c), введена в [8], яка пов’язана iз (класичною) спецiальною теорiєю вiдносностi, є часопозитивною. Означення 9. Унiверсальну кiнематику F будемо називати часонезворотною, якщо для довiльної системи вiдлiку l ∈ Lk(F) i для довiльного геометрично циклiчного вiднос- но l кусково геометрично стацiонарного в F ланцюгового шляху A справедлива нерiвнiсть tm(po(A ){l}) 6 l tm(ki(A ){l}). Унiверсальну кiнематику F будемо називати часозворотною, якщо вона не є часоне- зворотною. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 17 Фiзичний змiст поняття часонезворотної кiнематики полягає в тому, що в таких кiне- матиках неможливi “часовi парадокси”, тобто немає потенцiйної можливостi вплинути на власне минуле, “мандруючи” мiж ситемами вiдлiку. Навпаки, в часозворотних кiнематиках iснує потенцiйна можливiсть “прийти” на початок власного шляху у минулому часi, а отже, i змiнити власне минуле. Теорема про неповернення, що наводиться нижче, дає достатню ознаку часонезворотностi для унiверсальної кiнематики. Теорема 1. Будь-яка слабко часопозитивна унiверсальна кiнематика F є часонезво- ротною. Нагадаємо, що в роботi [11, означення 6] було введено поняття еквiвалентних вiдносно перетворень координат унiверсальних кiнематик F1 i F2 (F1[≡]F2). Означення 10. Будемо говорити, що унiверсальна кiнематика F є безумовно часонезво- ротною, якщо часонезворотною є довiльна кiнематика F1 така, що F [≡]F1. В протилежному випадку будемо говорити, що унiверсальна кiнематика F є умовно часозворотною. Оскiльки, згiдно з [11, твердження 3], для довiльної унiверсальної кiнематики F спра- ведливе спiввiдношення F [≡]F , то отримуємо такий наслiдок з означення 10: Наслiдок 2. Будь-яка безумовно часонезворотна унiверсальна кiнематика F є часо- незворотною. Твердження 4. Якщо унiверсальна кiнематика F слабко часопозитивна i F1[≡]F , то унiверсальна кiнематика F1 також є слабко часопозитивною. Твердження 4 i теорема 1 дають можливiсть сформулювати такий (пiдсилений) варiант теореми про неповернення: Теорема 2. Будь-яка слабко часопозитивна унiверсальна кiнематика F є безумовно часонезворотною. 4. Часонезворотнiсть i тахiоновi кiнематики. Корисною для встановлення умовної часозворотностi тахiонових кiнематик, пов’язаних з узагальненими перетвореннями Лорен- ца в сенсi E. Recami, є нижчесформульована теорема. Теорема 3. Нехай в унiверсальнiй кiнематицi F iснують системи вiдлiку l0, l1, l2 ∈ ∈ Lk(F) i елементи w0 ∈Mk(l0) ∩ Mk(l1), w1 ∈Mk(l1) ∩ Mk(l2), w2 ∈Mk(l2), w′ 0 ∈Mk(l0), що задовольняють такi умови: 1) l0 ⇓−F l1 i l0 ⇓−F l2; 2) [l1 ← l0]w0 = w0; [l2 ← l1]w1 = w1; [l0 ← l2]w2 = w′ 0; 3) bs(w0) = bs(w1) = bs(w2) = bs(w′ 0); 4) tm(w0) 6 l1 tm(w1) 6 l2 tm(w2), i при цьому має мiсце хоч одна iз (строгих) нерiвно- стей tm(w0) < l1 tm(w1) або tm(w1) < l2 tm(w2). Тодi унiверсальна кiнематика F є умовно часозворотною. Нехай (H, ∥·∥, ⟨·, ·⟩) — гiльбертовий простiр над полем дiйсних чисел такий, що dim(H) > > 1 i L(H) — простiр лiнiйних (однорiдних) неперервних операторiв над H. Зазначимо, що умову dim(H) > 1 слiд трактувати таким чином, що простiр H може бути i нескiнченнови- мiрним. Позначимо через L×(H) простiр всiх операторiв афiнних перетворень простору H, тобто L×(H) = {A[a] \| A ∈ L(H),a ∈ H}, де A[a]x = Ax + a, x ∈ H. Простором Мiнков- ського над H називається гiльбертовий простiр M(H) = R × H = {(t, x) \| t ∈ R, x ∈ H}, оснащений скалярним добутком та нормою ⟨w1,w2⟩ = ⟨w1,w2⟩M(H) = t1t2+ ⟨x1, x2⟩, ∥w1∥ = = ∥w1∥M(H) = (t21 + ∥x1∥2)1/2 (де wi = (ti, xi) ∈ M(H), i ∈ {1, 2}) [7]. У просторi M(H) видiлимо такi пiдпростори: H0 := {(t,0) \| t ∈ R}, H1 := {(0, x) \| x ∈ H}, 18 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7 де 0 — нульовий вектор. ТодiM(H) = H0⊕H1, де ⊕ означає ортогональну суму пiдпросторiв. Нехай B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H i Tm(B) = (R,6), де 6 — стан- дартний порядок на полi дiйсних чисел R. Тодi Bs(B) ⊆ Tm(B)×Bs(B) ⊆ R× H =M(H). Нехай c ∈ (0,∞] — числова константа, що має фiзичний змiст швидкостi свiтла у ваку- умi. Теореми 2 i 3 дають змогу дослiдити на часонезворотнiсть унiверсальнi кiнематики UPT0(H,B, c), UPT(H,B, c), UP0(H,B, c) та UP(H,B, c), введенi в роботi [8, стор. 115]. Наслiдок 3. Нехай (H, ∥ · ∥, ⟨·, ·⟩) — гiльбертовий простiр над полем дiйсних чисел такий, що dim(H) > 1, c ∈ (0,∞] i B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ H, Tm(B) = (R,6), де “6” — стандартний порядок на полi дiйсних чисел R. Тодi: 1. Унiверсальна кiнематика UP(H,B, c) є безумовно часонезворотною. 2. Унiверсальнi кiнематики UP0(H,B, c), UPT0(H,B, c) та UPT(H,B, c) при c < ∞ є умовно часозворотними. Таким чином, вiдомi фiзичнi факти про часонезворотнiсть (тобто вiдсутнiсть можливо- стi вплинути на власне минуле) для кiнематики спецiальної теорiї вiдносностi та галiлеєвої кiнематики можна отримати як наслiдок з теореми 2 (див. наслiдок 3, пункт 1). Також iз наслiдка 3 випливає, що всi тахiоновi кiнематики, побудованi в роботi [8], якi допуска- ють рух з надсвiтловою швидкiстю для систем вiдлiку є умовно часозворотними. У зв’язку з цим виникає запитання: Чи можна, базуючись на узагальнених перетвореннях Лоренца–Пуанкаре в сенсi E. Re- cami побудувати безумовно часонезворотну унiверсальну кiнематику, яка допускає для систем вiдлiку рух з довiльною швидкiстю, вiдмiнною вiд швидкостi свiтла? Побудуємо унiверсальну кiнематику, яка дасть позитивну вiдповiдь на поставлене пи- тання. Нехай 0 < c < ∞. Покладемо: PT∓ fin(H, c) := { Wλ,c[s,n, J ;a] ∣∣∣∣ λ ∈ [0,∞) \ {c}, s = sign(c− λ) J ∈ U(H1), n ∈ B1(H1), a ∈M(H) } , (4) де U(H1) — множина всiх унiтарних операторiв на просторi H1, B1(H1) = {x ∈ H1 \| ∥x∥ = 1} i Wλ,c[s,n, J ;a] ∈ L×(M(H)) — оператори узагальнених перетворень Лоренца–Пуанкаре в сенсi E. Recami, введенi в роботi [8]. Нехай B — базова мiнлива множина така, що Bs(B) ⊆ ⊆ H i Tm(B) = (R,6). Покладемо UPT∓ fin(H,B, c) := ku(PT∓ fin(H, c),B;H), (5) де позначення ku(·, ·; ·) введено в роботi [8]. Використовуючи теорему 2, можна отримати такий наслiдок: Наслiдок 4. Довiльна унiверсальна кiнематика виду UPT∓ fin(H,B, c) (0 < c <∞) є без- умовно часонезворотною. Цитована лiтература 1. Bilaniuk O.-M.P., Deshpande V.K., Sudarshan E.C.G. “Meta” Relativity // Am. J. Phys. – 1962. – 30, No 10. – P. 718–723. 2. Bilaniuk O.-M.P., Sudarshan E.C.G. Particles beyond the Light Barrier // Phys. Today. – 1969. – 22, No 5. – P. 43–51. 3. Iляшевич В. I., Медведєв С.Ю. Тахiоннi акаузальнi петлi // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. Фiзика. – 2010. – 2010, № 27. – С. 103–111. 4. Andréka H., Madarász J. X., Németi I., Stannett M., Székely G. Faster than light motion does not imply time travel // Clas. Quant. Grav. – 2014. – 31, No 9. – 095005. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 19 5. Recami E. Classical Tachyons and Possible Applications // Riv. Nuovo Cimento. – 1986. – 9, S. 3, No 6. – P. 1–178. 6. Hill J.M., Cox B. J. Einstein’s special relativity beyond the speed of light // Proc. R. Soc. A. – 2012. – 468, Iss. 2148. – P. 4174–4192. 7. Grushka Ya. I. Tachyon Generalization for Lorentz Transforms // Methods Funct. Anal. Topology. – 2013. – 20, No 2. – P. 127–145. 8. Грушка Я. I. Кiнематичнi мiнливi множини iз заданим унiверсальним перетворенням координат // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 1. – С. 74–118. 9. Grushka Ya. I. Abstract Coordinate Transforms in Kinematic Changeable Sets and Their Properties. – Preprint: arXiv: 1504.02685v2. – 2015. – 31 p. 10. Grushka Ya. I. Abstract concept of changeable set. – Preprint: arXiv: 1207.3751v1. – 2012. – 54 p. 11. Грушка Я. I. Еволюцiйнi розширення кiнематичних множин та унiверсальних кiнематик // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. – 12, № 2. – С. 139–204. References 1. Bilaniuk O.-M.P., Deshpande V.K., Sudarshan E.C.G. Am. J. Phys., 1962, 30, No 10: 718–723. 2. Bilaniuk O.-M.P., Sudarshan E.C.G. Phys. Today, 1969, 22, No 5: 43–51. 3. Ilyashevytch V. I., Medvedev S.Y. Uzhhorod University Scientific Herald. Ser. Phys., 2010, 2010, No 27: 103–111 (in Ukrainian). 4. Andréka H., Madarász J. X., Németi I., Stannett M., Székely G. Class. Quant. Grav., 2014, 31, No 9: 095005. 5. Recami E. Riv. Nuovo Cimento, 1986, 9, s. 3, No 6: 1–178. 6. Hill J.M., Cox B. J. Proc. R. Soc. A, 2012, 468, Iss. 2148: 4174–4192. 7. Grushka Ya. I. Methods Funct. Anal. Topology, 2013, 20, No 2: 127–145. 8. Grushka Ya. I. Zbirnyk prats In-ty Matematyky NAN Ukraine, 2015, 12, No 1: 74–118 (in Ukrainian). 9. Grushka Ya. I. Abstract Coordinate Transforms in Kinematic Changeable Sets and Their Properties, Preprint: arXiv:1504.02685v2, 2015. 10. Grushka Ya. I. Abstract concept of changeable set, Preprint: arXiv:1207.3751v1, 2012. 11. Grushka Ya. I. Zbirnyk prats In-ty Matematyky NAN Ukraine, 2015, 12, No 2: 139–204 (in Ukrainian). Надiйшло до редакцiї 16.02.2016 Я.И. Грушка Институт математики НАН Украины, Киев E-mail: grushka@imath.kiev.ua О временной необратимости универсальных кинематик Опираясь на развитый в последние годы математический аппарат теории кинематических изменчивых множеств, доказано, что гипотеза о существовании материальных объектов и инерциальных систем отсчета, движущихся со сверхсветовыми скоростями, вообще го- воря, не приводит к нарушению принципа причинности, т. е. к возможности возвращения в собственное прошлое. Данный результат получен как следствие из абстрактной теоре- мы о невозвращении, которая дает достаточный признак временной необратимости для универсальных кинематических множеств. Ключевые слова: теория кинематических изменчивых множеств, инерциальные системы отсчета. 20 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №7 Ya. I. Grushka Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: grushka@imath.kiev.ua On time irreversibility of universal kinematics Using the recently developed mathematical apparatus of the theory of kinematic changeable sets, it is proved that the hypothesis of the existence of material objects and inertial reference systems moving with superluminal velocities does not lead to the violation of the principle of causality, that is, to a possibility of the returning to the own past in general. This result is obtained as the corollary of the abstract theorem on irreversibility, which gives the sufficient condition of time irreversibility for universal kinematic sets. Keywords: theory of kinematic changeable sets, inertial reference system. ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №7 21

Про часонезворотність універсальних кінематик

Institution

Ähnliche Einträge