Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів
В рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуті постановка та метод розв’язку задач про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих заздалегідь напружених матеріалах при проковзуванні шарів. Досліджено випадок поширення хвиль вздовж шарів...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125823 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про поширення вiсесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матерiалах з початковими напруженнями при проковзуваннi шарiв / А.Ю. Глухов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 33-39. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125823 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1258232017-11-06T03:03:02Z Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів Глухов, А.Ю. Механіка В рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуті постановка та метод розв’язку задач про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих заздалегідь напружених матеріалах при проковзуванні шарів. Досліджено випадок поширення хвиль вздовж шарів. Отримані дисперсійні рівняння для квазіподовжніх та квазіпоперечних хвиль та їх довгохвильові наближення. В рамках линеаризированной теории упругости для тел с начальными напряжениями рассмотрены постановка и метод решения задач о распространении осесимметричных волн в слоистых композитных сжимаемых предварительно напряженных материалах при проскальзывании слоев. Исследован случай распространения волн вдоль слоев. Получены дисперсионные уравнения для квазипродольных и квазипоперечных волн и их длинноволновое приближение. Within the framework of the linearized theory of elasticity for bodies with initial stresses, the propagation of axisymmetric waves in laminated composite compressible materials with initial stresses at the slipping of layers is investigated in the case of propagation along the layers. The dispersion equations for quasi-longitudinal and quasi-transversal waves and their long-wave approximations are obtained. 2016 Article Про поширення вiсесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матерiалах з початковими напруженнями при проковзуваннi шарiв / А.Ю. Глухов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 33-39. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.033 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125823 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Глухов, А.Ю. Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів Доповіді НАН України |
| description |
В рамках лінеаризованої теорії пружності для тіл з початковими напруженнями розглянуті постановка та метод розв’язку задач про поширення вісесиметричних хвиль
в шаруватих композитних стисливих заздалегідь напружених матеріалах при проковзуванні шарів. Досліджено випадок поширення хвиль вздовж шарів. Отримані дисперсійні рівняння для квазіподовжніх та квазіпоперечних хвиль та їх довгохвильові наближення. |
| format |
Article |
| author |
Глухов, А.Ю. |
| author_facet |
Глухов, А.Ю. |
| author_sort |
Глухов, А.Ю. |
| title |
Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| title_short |
Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| title_full |
Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| title_fullStr |
Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| title_full_unstemmed |
Про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| title_sort |
про поширення вісесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матеріалах з початковими напруженнями при проковзуванні шарів |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125823 |
| citation_txt |
Про поширення вiсесиметричних хвиль в шаруватих композитних стисливих матерiалах з початковими напруженнями при проковзуваннi шарiв / А.Ю. Глухов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 8. — С. 33-39. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT gluhovaû propoširennâvísesimetričnihhvilʹvšaruvatihkompozitnihstislivihmateríalahzpočatkoviminapružennâmipriprokovzuvanníšarív |
| first_indexed |
2025-07-09T03:49:44Z |
| last_indexed |
2025-07-09T03:49:44Z |
| _version_ |
1837139747252731904 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
8 • 2016
МЕХАНIКА
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.08.033
УДК 539.3
А.Ю. Глухов
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: ndrewgl@gmail.com
Про поширення вiсесиметричних хвиль в шаруватих
композитних стисливих матерiалах з початковими
напруженнями при проковзуваннi шарiв
(Представлено академiком НАН України О.М. Гузем)
В рамках лiнеаризованої теорiї пружностi для тiл з початковими напруженнями роз-
глянутi постановка та метод розв’язку задач про поширення вiсесиметричних хвиль
в шаруватих композитних стисливих заздалегiдь напружених матерiалах при проков-
зуваннi шарiв. Дослiджено випадок поширення хвиль вздовж шарiв. Отриманi диспер-
сiйнi рiвняння для квазiподовжнiх та квазiпоперечних хвиль та їх довгохвильовi набли-
ження.
Ключовi слова: шаруватий композитний стисливий матерiал, початковi напруження,
пружнi хвилi, дисперсiйне рiвняння, довгохвильове наближення.
Переважна частина дослiджень процесiв поширення хвиль у шаруватих композитних ма-
терiалах з початковими напруженнями проводилася для повного контакту шарiв. В реаль-
ностi отримати композитний матерiал з iдеальним контактом на границях роздiлу шарiв
достатньо важко, оскiльки при його виготовленнi можуть виникати рiзного роду порушення
адгезiї. Оскiльки в механiцi доцiльно давати нижню та верхню оцiнки параметрам явищ, то
важливим також буде розглянути другий крайнiй випадок контакту мiж шарами — повне
проковзування.
В роботi [1] було проведено дослiдження поширення плоских хвиль в шаруватому сти-
сливому композитному матерiалi при проковзуваннi шарiв. В данiй роботi розглядається
аналогiчна задача для вiсесиметричних хвиль. Дослiдження виконанi в рамках лiнеари-
зованої теорiї пружностi для тiл з початковими напруженнями з використанням методу,
викладеного в [2].
© А.Ю. Глухов, 2016
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 33
Постановка задач i метод дослiджень. Розглядається шаруватий композитний сти-
сливий матерiал з початковими напруженнями, який складається з шарiв двох типiв, що
чергуються.
При дослiдженнi будемо застосовувати лагранжевi координати yn ≡ yn, якi в початково-
му напружено-деформованому станi збiгаються з декартовими координатами, i лагранжевi
координати r′, θ, y3, якi в початковому напружено-деформованому станi збiгаються з кру-
говими цилiндричними координатами.
Декартову систему координат y1, y2, y3 вибираємо таким чином, щоб вiсь Oy3 була
спрямована по нормалi до площин роздiлу шарiв.
Матерiали шарiв вважатимемо гiперпружними iзотропними з довiльною структурою
пружних потенцiалiв; у разi трансверсально-iзотропних гiперпружних матерiалiв шарiв бу-
демо вважати, що вiсь iзотропiї спрямована уздовж осi Oy3.
Вважаємо початковий напружений стан однорiдним. Також приймаємо, що для кожного
з шарiв мають мiсце такi спiввiдношення:
S
0(j)
11 = S
0(j)
22 ̸= S
0(j)
33 ; σ
0(j)
11 = σ
0(j)
22 ̸= σ
0(j)
33 ;
ε
0(j)
11 = ε
0(j)
22 ; λ
(j)
1 = λ
(j)
2 ; h′(j) = λ
(j)
3 h(j); j = 1, 2.
(1)
В (1) i нижче iндексами в дужках (j = 1, 2) позначенi всi величини, що вiдносяться
до шарiв рiзних типiв. Тут σ0(j)tt , S0(j)
tt i ε0(j)tt — складовi тензора узагальнених напружень,
тензора узагальнених напружень Лагранжа i тензора деформацiй Грiна вiдповiдно, h(j)
i h′(j) — товщини j-го шару в природному i в початковому напружено-деформованому станi
вiдповiдно, λ(j)t — коефiцiєнти видовження уздовж вiдповiдних вiсей.
Як i в [2], приймаємо
u
(j)
r′ = u
(j)
r′ (r
′, y3, τ); u
(j)
θ = 0; u
(j)
3 = u
(j)
3 (r′, y3, τ). (2)
У цьому випадку в представленнi загального розв’язку вiсесиметричної задачi в цилiн-
дричних координатах можна прийняти
Ψ′(j) ≡ 0; χ′(j) = χ′(j)(r′, y3, τ). (3)
Враховуючи (3), для визначення перемiщень u(j) i складових тензора напружень Q′(j)
при y3 = const отримаємо вирази
u
(j)
r′ = − ∂2
∂r′∂y3
χ′(j); ∆′
1 =
∂2
∂r′2
+
1
r′
∂
∂r′
;
u
(j)
3 = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
(
ω
′(j)
1111∆
′
1 + ω
′(j)
3113
∂2
∂y23
− ϱ′(j)
∂2
∂τ2
)
χ′(j);
(4)
Q
′(j)
3r′ = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
(
ω
′(j)
1111ω
′(j)
1313∆
′
1 + ω
′(j)
1133ω
′(j)
3113
∂2
∂y23
− ω
′(j)
1313ϱ
′(j) ∂
2
∂τ2
)
∂
∂r′
χ′(j);
Q
′(j)
33 = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
{
[ω
′(j)
1111 + ω
′(j)
3333 − ω
′(j)
1133(ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)]∆
′
1 +
+ ω
′(j)
3333ω
′(j)
3113
∂2
∂y23
− ω
′(j)
3333ϱ
′(j) ∂
2
∂τ2
}
∂
∂y3
χ′(j).
(5)
34 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
Для визначення функцiй χ′(j) за умови (3) маємо рiвняння{
ω
′(j)
1111ω
′(j)
1331
(
∆′
1 + ξ
′(j)2
2
∂2
∂y23
)(
∆′
1 + ξ
′(j)2
3
∂2
∂y23
)
− ϱ′(j)
[
(ω
′(j)
1111 + ω
′(j)
1331)∆
′
1 +
+ (ω
′(j)
3333 + ω
′(j)
3113)
∂2
∂y23
]
∂2
∂τ2
+ ϱ′(j)2
∂4
∂τ4
}
χ′(j) = 0.
(6)
Величини ξ
′(j)2
2 i ξ
′(j)2
3 в (6) визначаються так, як в [2]; ϱ′(j) — щiльнiсть матерiалiв
кожного з шарiв в початковому напружено-деформованому станi.
Таким чином, вiдповiдно до викладеного, дослiдження закономiрностей поширення вi-
сесиметричних пружних хвиль у шаруватих композитних матерiалах з початковими напру-
женнями зводиться до побудови розв’язкiв рiвняння (6) при задоволеннi граничних умов
на площинах роздiлу шарiв i умов перiодичностi Флоке.
Розглянемо поширення вiсесиметричної хвилi в радiальному напрямку. Аналогiчно [2]
для визначення “iстинної” фазової швидкостi поширення вiсесиметричних хвиль приймемо
χ′(j)(r′, y3, τ) = χ′(j)(0)(y3)H
(1)
0 (r′k)e−iωτ ; C = ωk−1; j = 1, 2. (7)
Тут k i ω — хвильове число i кругова частота; C — “iстинна” фазова швидкiсть вiсеси-
метричних хвиль; H(1)
0 (x) — функцiя Ханкеля нульового порядку першого роду; χ′(j)(0) —
амплiтудна функцiя. Надалi iндексом (0) будемо позначати всi амплiтуднi величини в пред-
ставленнях типу (7).
Пiдставляючи (7) в (4), для визначення амплiтуд перемiщень отримаємо вирази
u
(j)(0)
r′ = − d
dy3
χ′(j)(0)(y3);
u
(j)(0)
3 = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
(
ω
′(j)
3113
d2
dy23
+ ω2ϱ′(j) − k2ω
′(j)
1111
)
χ′(j)(0)(y3).
(8)
Аналогiчно, пiдставляючи (7) в (5), для визначення амплiтуд складових тензора напру-
жень Q′(j) при y3 = const маємо
Q
′(j)(0)
3r′ (y3) = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
(
ω
′(j)
1133ω
′(j)
3113
d2
dy23
+ ω2ω
′(j)
1313ϱ
′(j) − k2ω
′(j)
1111ω
′(j)
1313
)
×
× χ′(j)(0)(y3);
Q
′(j)(0)
33 (y3) = (ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)
−1
{
ω
′(j)
3333ω
′(j)
3113
d2
dy23
+ ω2ω
′(j)
3333ϱ
′(j) −
− k2[ω
′(j)
1111 + ω
′(j)
3333 − ω
′(j)
1133(ω
′(j)
1133 + ω
′(j)
1313)]
}
d
dy3
χ′(j)(0)(y3).
(9)
Пiдставляючи (7) в (6), отримаємо рiвняння для визначення функцiй χ′(j)(0)(y3) у формi{
ω
′(j)
1111ω
′(j)
1331
(
ξ
′(j)2
2
d2
dy23
− k2
)(
ξ
′(j)2
3
d2
dy23
− k2
)
+ ω2ϱ′(j)
[
(ω
′(j)
3333 + ω
′(j)
3113)
d2
dy23
−
− k2(ω
′(j)
1111 + ω
′(j)
1331)
]
+ ω4ϱ′(j)2
}
χ′(j)(0)(y3) = 0. (10)
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 35
Оскiльки в (7)–(10) всi спiввiдношення представленi через амплiтуднi величини, то умо-
ви на границi контакту шарiв i умови перiодичностi також запишемо для амплiтудних ве-
личин. При проковзуваннi шарiв при y3 = 0 повиннi виконуватися умови:
u
′(1)(0)
3 (0) = u
′(2)(0)
3 (0); Q
′(1)(0)
33 (0) = Q
′(2)(0)
33 (0);
Q
′(1)(0)
3r′ (0) = 0; Q
′(2)(0)
3r′ (0) = 0.
(11)
Вiдповiдно до теореми Флоке також повиннi ще виконуватися умови:
u
′(1)(0)
3 (h(1)) = u
′(2)(0)
3 (−h(2)); Q
′(1)(0)
33 (h(1)) = Q
′(2)(0)
33 (−h(2));
Q
′(1)(0)
3r′ (h(1)) = 0; Q
′(2)(0)
3r′ (−h(2)) = 0.
(12)
Таким чином, в розглянутому випадку для стисливого матерiалу необхiдно знайти роз-
в’язок звичайного диференцiального рiвняння (10), що задовольняє умови (11) i (12) з ура-
хуванням формул (8) i (9).
Хвилi вздовж стисливих шарiв. Довгохвильове (низькочастотне) наближен-
ня. За аналогiєю з результатами, викладеними в [2], розв’язок рiвняння (10) представимо
в такiй формi:
χ′(j)(0)(y3) =
4∑
m=1
B(j)
m eikα
(j)
θ [y3+(−1)jh′(j)/2];
θ = δ1m + δ2m + 2(δ3m + δ4m); j = 1, 2.
(13)
Тут α(j)2
1 и α
(j)2
2 — коренi характеристичного рiвняння звичайного диференцiального рiв-
няння (10).
У даному випадку вихiдну задачу можна роздiлити на двi незалежнi задачi: квазiпо-
довжня хвиля, що розповсюджується уздовж осi Or′; квазiпоперечна хвиля, що поширює-
ться уздовж осi Or′ i поляризована в площинi r′Oy3. Змiст термiнiв “квазiподовжня хвиля”
i “квазiпоперечна хвиля” викладений у монографiї [2].
Квазiподовжня хвиля уздовж осi Or′. Для розглянутого випадку в (13) приймемо такi
залежностi:
B
(j)
1 = −B(j)
2 ; B
(j)
3 = −B(j)
4 . (14)
За умови (14) з (8) i (13) випливає, що u(j)r′ будуть симетричними i u(j)3 будуть антиси-
метричними щодо середини вiдповiдних шарiв.
Враховуючи (8) i (9) i пiдставляючи (13) i (14) в умови (11) i (12), пiсля ряду перетво-
рень отримуємо однорiдну систему алгебраїчних рiвнянь, з умови iснування нетривiальних
рiшень якої слiдує дисперсiйне рiвняння у виглядi
2∑
m=1
{
ω
′(n)
3113(C
2
lr′ϱ
′(n) − ω
′(n)
1111)(α
(n)2
2 − α
(n)2
1 )(ω
′(n)
1313 − ω
′(n)
1133) tg
1
2
kα
(n)
1 h′(n) ×
× tg
1
2
kα
(n)
2 h′(n)
{
α
(m)
1 [ω
′(m)
3333(C
2
lr′ϱ
′(m) − ω
′(m)
1111) + ω
′(m)
1133(ω
′(m)
1133 + ω
′(m)
1313)−
36 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
− α
(m)2
1 ω
′(m)
3333ω
′(m)
3113][ω
′(m)
1313(C
2
lr′ϱ
′(m) − ω
′(m)
1111)− α
(m)2
2 ω
′(m)
1133ω
′(m)
3113] tg
1
2
kα
(m)
2 h′(m) −
− α
(m)
2 [ω
′(m)
3333(C
2
lr′ϱ
′(m) − ω
′(m)
1111) + ω
′(m)
1133(ω
′(m)
1133 + ω
′(m)
1313)− α
(m)2
2 ω
′(m)
3333ω
′(m)
3113]×
× [ω
′(m)
1313(C
2
lr′ϱ
′(m) − ω
′(m)
1111)− α
(m)2
1 ω
′(m)
1133ω
′(m)
3113] tg
1
2
kα
(m)
1 h′(m)
}}
= 0; (15)
n = 1, 2; m ̸= n,
де C2
lr′ = ωk−1 — швидкiсть квазiподовжньої хвилi у напрямку осi Or′.
Для довгохвильового наближення отримаємо
h′(2)(ω
′(2)
1313 − ω
′(2)
1133)(C
2
lr′ϱ
′(2) − ω
′(2)
1111)[ω
′(1)
3333(ω
′(1)
1313 − ω
′(1)
1133)(C
2
lr′ϱ
′(1) − ω
′(1)
1111)−
− ω
′(1)2
1133 (ω
′(1)
1133 + ω
′(1)
1313)] + h′(1)(ω
′(1)
1313 − ω
′(1)
1133)(C
2
lr′ϱ
′(1) − ω
′(1)
1111)×
× [ω
′(2)
3333(ω
′(2)
1313 − ω
′(2)
1133)(C
2
lr′ϱ
′(2) − ω
′(2)
1111)− ω
′(2)2
1133 (ω
′(2)
1133 + ω
′(2)
1313)] = 0.
(16)
З виразу (16) випливає, що для квазiподовжньої хвилi iснують двi швидкостi поширення.
При h′(2) ≪ h′(1) отримаємо
C2
lr′,1 =
ω
′(1)
1111
ϱ′(1)
; C2
lr′,2 =
ω
′(2)
1111
ϱ′(2)
+
ω
′(2)2
1133 (ω
′(2)
1133 + ω
′(2)
1313)
ϱ′(2)ω
′(2)
3333(ω
′(2)
1313 − ω
′(2)
1133)
. (17)
При h′(2) ≫ h′(1) маємо
C2
lr′,1 =
ϱ′(2)
ω
′(2)
1111
; C2
lr′,2 =
ω
′(1)
1111
ϱ′(1)
+
ω
′(1)2
1133 (ω
′(1)
1133 + ω
′(1)
1313)
ϱ′(1)ω
′(1)
3333(ω
′(1)
1313 − ω
′(1)
1133)
. (18)
Вiдзначимо, що першi вирази у формулах (17) i (18) визначають швидкостi поширення
подовжнiх хвиль в однорiдному матерiалi з початковими напруженнями вiдповiдно першого
i другого шарiв.
Квазiпоперечна (зсувна) хвиля уздовж осi Or′, поляризована в площинi r′Oy3. Для роз-
глянутого випадку в представленнi розв’язку у формi (13) для двох сусiднiх шарiв прийме-
мо такi залежностi:
B
(j)
1 = B
(j)
2 ; B
(j)
3 = B
(j)
4 . (19)
За умови (19) з (8) i (13) випливає, що u(j)r′ будуть антисиметричними, а u(j)3 — симетри-
чними вiдносно середини вiдповiдних шарiв.
Провiвши тi ж перетворення, що i для квазiподовжньої хвилi, з урахуванням (19), отри-
маємо дисперсiйне рiвняння у виглядi, аналогiчному (15) вiдносно C2
Sy3 = ωk−1 — швидкостi
квазiпоперечної хвилi вздовж осi Or′, поляризованої в площинi r′Oy3.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 37
Для довгохвильового (низькочастотного) наближення, обмежуючись одночленною апро-
ксимацiєю, отримаємо
C2
Sy3 = {h′(1)ϱ′(1)ω
′(2)
3113(ω
′(2)
1133 − ω
′(2)
1313)[ω
′(1)
3113(ω
′(1)
1133 − 2ω
′(n)
1313)− ω
′(1)
1313ω
′(1)
3333] +
+ h′(2)ϱ′(2)ω
′(1)
3113(ω
′(1)
1133 − ω
′(1)
1313)[ω
′(2)
3113(ω
′(2)
1133 − 2ω
′(2)
1313)− ω
′(2)
1313ω
′(2)
3333]}
−1 ×
× {h′(1)ω
′(2)
3113(ω
′(2)
1133 − ω
′(2)
1313)[ω
′(1)
1313(ω
′(1)
1133 + ω
′(1)
1313)(ω
′(1)
1133 + 2ω
′(1)
1313) +
+ ω
′(1)
1331ω
′(1)
3113(ω
′(1)
1133 − 2ω
′(1)
1313)− ω
′(1)
1111ω
′(1)
3333ω
′(1)
1313] +
+ h′(2)ω
′(1)
3113(ω
′(1)
1133 − ω
′(1)
1313)[ω
′(2)
1313(ω
′(2)
1133 + ω
′(2)
1313)(ω
′(2)
1133 + 2ω
′(2)
1313) +
+ ω
′(2)
1331ω
′(2)
3113(ω
′(2)
1133 − 2ω
′(2)
1313)− ω
′(2)
1111ω
′(2)
3333ω
′(2)
1313]}. (20)
Аналiз рiвнянь (15), (16) i (20) свiдчить, що при поширеннi вiсесиметричних хвиль при
проковзуваннi шарiв вiдбувається взаємодiя мiж шарами композиту.
Таким чином, в данiй роботi дослiджено поширення вiсесиметричних хвиль у шаруватих
композитних стисливих матерiалах з початковими напруженнями при проковзуваннi шарiв.
Розглянуто випадок поширення хвиль уздовж шарiв. Отриманi дисперсiйнi рiвняння для
квазiподовжнiх i квазiпоперечних хвиль, а також їх довгохвильовi наближення.
Цитована лiтература
1. Панасюк О.М. Про поширення хвиль в шаруватих композитних стисливих матерiалах з початковими
напруженнями при проковзуваннi шарiв // Доп. НАН України. – 2010. – № 1. – С. 65–70.
2. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. – Киев: А.С. К.,
2004. – 672 с.
References
1. Panasyuk O.M. Dopov. NAN Ukraine, 2010, No 1: 65–70 (in Ukrainian).
2. Guz’ A.N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses, Kiev: A. S. K, 2004 (in Russian).
Надiйшло до редакцiї 11.02.2016
А.Ю. Глухов
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украини, Киев
E-mail: ndrewgl@gmail.com
О распространении осесимметричных волн в слоистых композитных
сжимаемых материалах с начальными напряжениями при
проскальзывании слоев
В рамках линеаризированной теории упругости для тел с начальными напряжениями рас-
смотрены постановка и метод решения задач о распространении осесимметричных волн
в слоистых композитных сжимаемых предварительно напряженных материалах при про-
скальзывании слоев. Исследован случай распространения волн вдоль слоев. Получены дис-
персионные уравнения для квазипродольных и квазипоперечных волн и их длинноволновое
приближение.
Ключевые слова: слоистый композитный сжимаемый материал, начальные напряжения,
упругие волны, дисперсионное уравнение, длинноволновое приближение.
38 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2016, №8
A.Yu. Glukhov
S. P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: ndrewgl@gmail.com
On the propagation of axisymmetric waves in laminated composite
compressible materials with initial stresses at the slipping of layers
Within the framework of the linearized theory of elasticity for bodies with initial stresses, the
propagation of axisymmetric waves in laminated composite compressible materials with initial
stresses at the slipping of layers is investigated in the case of propagation along the layers. The di-
spersion equations for quasi-longitudinal and quasi-transversal waves and their long-wave approxi-
mations are obtained.
Keywords: laminated composite compressible material, initial stresses, elastic waves, dispersion
equation, long-wave approximation.
ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, №8 39
|