Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки
Рассмотрена задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки. Построены регуляризованные интегралы движения и получено их представление через данные рассеяния соответствующего уравнения Шредингера....
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125847 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки / К.Н. Андреев // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 7-13. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125847 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1258472017-11-07T03:02:50Z Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки Андреев, К.Н. Математика Рассмотрена задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки. Построены регуляризованные интегралы движения и получено их представление через данные рассеяния соответствующего уравнения Шредингера. Розглянуто задачу Коші для рівняння Кортевега–де Фріза з початковими даними типу сходинки. Побудовано регуляризовані інтеграли руху та отримано їх вираз через дані розсіювання відповідного рівняння Шредінгера. We study the Cauchy problem for the Korteweg–de Vries with steplike initial data. The regilarized integrals of motion are constructed and expressed via associated scattering data of the Schrödinger equation. 2016 Article Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки / К.Н. Андреев // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 7-13. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.007 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125847 517.94 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Андреев, К.Н. Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки Доповіді НАН України |
| description |
Рассмотрена задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данными типа ступеньки. Построены регуляризованные интегралы движения и получено их
представление через данные рассеяния соответствующего уравнения Шредингера. |
| format |
Article |
| author |
Андреев, К.Н. |
| author_facet |
Андреев, К.Н. |
| author_sort |
Андреев, К.Н. |
| title |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки |
| title_short |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки |
| title_full |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки |
| title_fullStr |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки |
| title_full_unstemmed |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки |
| title_sort |
интегралы движения уравнения кортевега–де фриза в классе решений типа ступеньки |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125847 |
| citation_txt |
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза в классе решений типа ступеньки / К.Н. Андреев // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 7-13. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT andreevkn integralydviženiâuravneniâkortevegadefrizavklasserešenijtipastupenʹki |
| first_indexed |
2025-07-09T03:52:23Z |
| last_indexed |
2025-07-09T03:52:23Z |
| _version_ |
1837139906172813312 |
| fulltext |
7ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
9 2016
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.007
Удк 517.94
К.Н. Андреев
Физико-технический институт низких температур им. Б. и. веркина НАН Украины,
харьков
E-mail: kirill.andreev@ukr.net
Интегралы движения уравнения Кортевега–де Фриза
в классе решений типа ступеньки
(Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым)
Рассмотрена задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с начальными данны-
ми типа ступеньки. Построены регуляризованные интегралы движения и получено их
представление через данные рассеяния соответствующего уравнения Шредингера.
Ключевые слова: уравнение кортевега–де Фриза, интегралы движения, данные рассеяния.
рассмотрим задачу коши для уравнения кортевега–де Фриза (кдФ)
с вещественной начальной функцией типа ступеньки
в работе [1] доказано, что при соответствующем выборе начальной функции
задача (1), (2) имеет решения шварцевского типа, обладающие свойствами
© к. Н. Андреев, 2016
(1)
(2)
8 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
при всех неотрицательных значениях T.
в работе [2] получено, что для решений задачи (1), (2), обладающих свойст-
вами (3), существует бесконечная серия регуляризованных интегралов движения
. Первые три из них имеют вид
При этом играет роль гамильтониана, т.е. уравнение кдФ представимо в гамиль-
тоновом виде
где – производная Фреше.
цель настоящей работы – выразить интегралы движения через данные рассеяния опе-
ратора шредингера с потенциалом типа ступеньки.
как известно [3], уравнение кдФ эквивалентно в пространстве уравнению лакса
, где
(4)
(3)
9ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
Приведем необходимые сведения теории рассеяния для оператора шредингера L(t)
на всей оси с потенциалом типа ступеньки. рассмотрим спектральное уравнение
где и
такая задача рассеяния впервые исследовалась в [4], а также [5]. Полное решение этой
задачи можно найти в [6]. Предположим, что потенциал u(x,t) достаточно быстро стре-
мится к своим пределам, так что выполнено условие
тогда справедливы следующие факты.
1. Уравнение (5) имеет два решения йоста и с асимптотиками
где – спектральный параметр. Эти решения удовлетворяют соотношению
рассеяния
где – правые коэффициенты прохождения и отражения.
2. спектр оператора (4) состоит из абсолютно непрерывной части и конечного числа
отрицательных собственных значений . Непрерывный спектр состо-
ит из однократного и двукратного . в терминах переменных непрерывный
спектр соответствует значениям спектрального параметра , а двукратный спектр –
значениям .
3. вронскиан имеет простые нули в точ-
ках . кроме этого, единственно возможный нуль может быть в точке . Этот слу-
чай называется резонансом.
4. решения и являются линейно зависимыми собственными фун-
кциями оператора (5). соответствующие нормирующие константы
5. справедливо следующее тождество:
6. величина не зависит от t при [7], а при
(5)
(6)
(7)
10 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
кроме того,
7. решение u(x, t) начальной задачи (1)–(3) может быть однозначно восстановлено
по пра вым данным рассеяния .
8. если , то .
рассмотрим подробнее мероморфную функцию T(k, t). Зная ее полюсы ,
в верхней полуплоскости можно определить функцию A(k, t), которая аналитична при
и не имеет там нулей:
При по теореме коши справедливо интегральное представление через мни-
мую часть
откуда, используя связь (6) и (7) коэффициентов прохождения T(k, t) и отражения R(k, t),
получаем представление подынтегральной функции в виде
где – арифметический квадратный корень.
При доопределяем функцию A(k, t) как предел
тогда
Подставляя (8) в (10) и используя представление для мнимой части (9), получаем интег-
ральное представление
(8)
(9)
(10)
11ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
Учитывая эволюцию данных рассеяния (7) и связь коэффициентов отражения и прохож-
дения (6), находим коэффициенты cn разложения функции в ряд по степеням
:
используя разложения тейлора для и для по степеням
и учитывая, что нечетно при , получаем при
где коэффициенты при можно найти исходя из соотношений
а , находятся исходя из
Первые три коэффициента при соответствующих степенях выглядят следующим
образом:
отсюда следует, что можно выразить регуляризованные интегралы движения для пос-
тоянного фона через данные рассеяния. Первые два из них имеют вид:
12 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
в частном случае, при c = 0, получаем результат работы [8].
Цитированная литература
Egorova I., Teshl G.1. On the Cauchy Problem for the Korteweg–de Vries Equation with Steplike
Finite-Gap Initial Data II. Perturbations with Finite Moments // J. Anal. Math. – 2011. – 115,
No 1. – P. 71–101.
Андреев К. Н., Хруслов Е. Я.2. регуляризованные интегралы движения уравнения кортеве-
га–де Фриза в классе неубывающих функций // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 12. –
с. 1587–1601.
Lax P. D.3. Integrals of nonlinear equations and solitary waves // Comm. Pure Appl. Math. –
1968. – 21, No 2. – C. 467–490.
Буслаев В. С., Фомин В. Н.4. к обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения шре-
дингера на всей оси // вестн. ленингр. ун-та. – 1962. – 17, № 1. – C. 56–64.
Cohen A., Kappeler T.5. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrödinger
equation // Indiana Univ. Math. J. – 1985. – 34. – P. 127–180.
Egorova I., Gladka Z., Lange T.-L., Teschl G.6. Inverse scattering theory for Schrödinger operators
with steplike potentials // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2015. – 11. – P. 123–158.
Хруслов Е. Я.7. Асимптотика решения задачи коши для уравнения кортевега–де Фриза с на чаль-
ными данными типа ступеньки // матем. сб. – 1976. – 99, № 2. – C. 261–281.
Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д.8. Уравнение кортевега–де Фриса – вполне интегрируемая гами ль-
тонова система // Функц. анализ и его прил. – 1971. – 5, вып. 4. – C. 18–27.
References
Egorova I., Teshl G.1. J. Anal. Math., 2011, 115: No 1: 71–101.
Andreev K. N., Khruslov E. Ya.2. Ukr. Mat. Zh., 2015, 67: No 12: 1587–1601 (in Russian).
Lax P. D.3. Comm. Pure Appl. Math., 1968, 21: No 2: 467–490.
Buslaev V. S., Fomin V. N.4. Vestn. Leningr. Univ., 1962, 17: No 1: 56–64 (in Russian).
Cohen A., Kappeler T.5. Indiana Univ. Math. J., 1985, 34: 127–180.
Egorova I., Gladka Z., Lange T.-L., Teshl G.6. J. Math. Phys., Anal., Geom., 2015, 11: 123–158.
Hruslov E.J.7. Math. USSR Sb., 1976, 28: No 2: 229–248.
Zakharov V.E., Faddeev L.D.8. Funct. Anal. Appl., 1971, 5: No 4: 280–287.
Поступило в редакцию 09.03.2016
13ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
К. М. Андреєв
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. вєркіна НАН України, харків
E-mail: kirill.andreev@ukr.net
Iнтеграли руху рівняння Кортевега–де Фріза в класі розв’язків
типу сходинки
Розглянуто задачу Коші для рівняння Кортевега–де Фріза з початковими даними типу
сходинки. Побудовано регуляризованi інтеграли руху та отримано їх вираз через дані роз-
сіювання відповідного рівняння Шредінгера.
Ключові слова: рівняння кортевега–де Фріза, інтеграли руху, дані розсіювання.
K. M. Andreiev
B. I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the NAS of Ukraine,
Kharkiv
E-mail: kirill.andreev@ukr.net
Integrals of motion of the Korteweg–de Vries equation in a class
of steplike solutions
We study the Cauchy problem for the Korteweg–de Vries with steplike initial data. The regilarized
integrals of motion are constructed and expressed via associated scattering data of the Schrödinger
equation.
Keywords: Korteweg–de Vries equation, integrals of motion, scattering data.
|