Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії
Розглянуто нелінійну модель регресії з неперервним часом і неперервним у середньому квадратичному та майже напевно стаціонарним гауссівським випадковим шумом з нульовим середнім та додатною обмеженою спектральною щільністю. Доведено теорему про великі відхилення залишкової корелограмної оцінки ков...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125849 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії / К.К. Москвичова // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125849 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1258492017-11-07T03:02:59Z Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії Москвичова, К.К. Математика Розглянуто нелінійну модель регресії з неперервним часом і неперервним у середньому квадратичному та майже напевно стаціонарним гауссівським випадковим шумом з нульовим середнім та додатною обмеженою спектральною щільністю. Доведено теорему про великі відхилення залишкової корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму. Отриманий результат посилює відомі раніше факти про консистентність корелограмної оцінки коваріаційної функції гауссівського стаціонарного випадкового шуму. Рассмотрена нелинейная модель регрессии с непрерывным временем и непрерывным в среднем квадратичном и почти наверное стационарным гауссовским случайным шумом с нулевым средним и положительной ограниченной спектральной плотностью. Доказана теорема о больших отклонениях остаточной корреллограммной оценки ковариационной функции случайного шума. Полученный результат усиливает ранее известные факты о состоятельности коррелограммной оценки ковариационной функции гауссовского стационарного случайного шума. A time continuous nonlinear regression model with mean square continuous and almost sure Gaussian stationary random noise with zero mean and positive bounded spectral density is considered. A theorem on probabilities of large deviations of a residual correlogram estimator of the random noise covariance function is proved. The result obtained sharpens previously known facts on the consistency of a correlogram estimator of the covariance function of Gaussian stationary random noise. 2016 Article Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії / К.К. Москвичова // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.023 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125849 519.21 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Москвичова, К.К. Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто нелінійну модель регресії з неперервним часом і неперервним у середньому
квадратичному та майже напевно стаціонарним гауссівським випадковим шумом з нульовим середнім та додатною обмеженою спектральною щільністю. Доведено теорему
про великі відхилення залишкової корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового
шуму. Отриманий результат посилює відомі раніше факти про консистентність корелограмної оцінки коваріаційної функції гауссівського стаціонарного випадкового шуму. |
| format |
Article |
| author |
Москвичова, К.К. |
| author_facet |
Москвичова, К.К. |
| author_sort |
Москвичова, К.К. |
| title |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| title_short |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| title_full |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| title_fullStr |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| title_full_unstemmed |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| title_sort |
великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125849 |
| citation_txt |
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії / К.К. Москвичова // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 23-28. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT moskvičovakk velikívídhilennâkorelogramnoíocínkikovaríacíjnoífunkcíívipadkovogošumuvnelíníjníjmodelíregresíí |
| first_indexed |
2025-07-09T03:52:33Z |
| last_indexed |
2025-07-09T03:52:33Z |
| _version_ |
1837139917325467648 |
| fulltext |
23ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.023
© к. к. москвичова, 2016
Удк 519.21
К. К. Москвичова
НтУ України “київський політехнічний інститут’’
E-mail: kamok@ua.fm
Великі відхилення корелограмної оцінки коваріаційної
функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії
(Представлено членом-кореспондентом НАН України П. С. Кноповим)
Розглянуто нелінійну модель регресії з неперервним часом і неперервним у середньому
квадратичному та майже напевно стаціонарним гауссівським випадковим шумом з ну-
льовим середнім та додатною обмеженою спектральною щільністю. Доведено теорему
про великі відхилення залишкової корелограмної оцінки коваріаційної функції випадкового
шуму. Отриманий результат посилює відомі раніше факти про консистентність коре-
лограмної оцінки коваріаційної функції гауссівського стаціонарного випадкового шуму.
Ключові слова: нелінійна модель регресії, стаціонарний гауссівський шум, коваріаційна
функція, корелограмна оцінка, ймовірність великих відхилень, псевдометрика.
Нехай спостерігається випадковий процес
де – неперервна функція, що залежить від невідомого параметра
), – обмежена відкрита опукла множина, – замикання
– випадковий шум, відносно якого припустимо, що
N.1. – дійсний неперервний в середньому квадратичному та майже
напевно стаціонарний гауссівський процес, заданий на ймовірнісному просторі ,
з нульовим середнім та додатною обмеженою спектральною щільністю .
За умови N.1. f та коваріаційна функція процесу належить ,
і за тотожністю Планшереля
Якщо функція B невідома, то виникає задача оцінювання B за спостереженнями
за наявності заважаючого параметра . Звичайно, аналогічна задача
виникає і стосовно невідомої функції f, але в цій роботі йдеться про оцінювання B.
(1)
24 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
оцінкою найменших квадратів (оНк) невідомого параметра на інтервалі спосте-
режень називається будь-який випадковий вектор , для якого
За введених вище умов мінімум у (2) досягається, і тоді на підставі теореми (3.10) роботи
[1, с. 270] існує хоча б один такий випадковий вектор .
За оцінку B, прив’язану до оцінки заважаючого параметра , візьмемо залиш-
кову корело граму, побудовану за відхиленнями спостережень
а саме
– фіксоване число.
Зауважимо, що є оНк дисперсії B(0) випадкового процесу .
З іншого боку,
ншого боку,
є корелограмою .
стохастичний асимптотичний розклад та асимптотичний розклад моментів оцінки (3)
отримано в роботах [2, 3]. властивості консистентності та асимптотичної нормальності
цієї оцінки вивчалися в статтях [4, 5]. У даній роботі отримано теорему про ймовірності
великих відхилень величини
яка, зокрема, посилює результат роботи [4] про консистентність корелограмної оцінки (3).
Імовірності великих відхилень для ОНК. тематика ймовірностей великих відхи-
лень нормованої параметра моделі регресії (1) з дискретним та неперервним
часом широко обговорювалася в статистичній літературі. так, у роботі [6] було доведено
теорему про ймовірності великих відхилень оНк скалярного параметра нелінійної моделі
регресії зі степеневим спаданням, а в роботі [7] одержано аналогічний результат з експо-
ненційною швидкістю збіжності для нелінійної гауссівської регресії.
У роботі [8] було отримано теорему про ймовірності великих відхилень, що узагальнює
результат монографії [9], із застосуванням до оНк параметра нелінійної моделі регресії
з незалежними передгауссівськими та субгауссівськими похибками спостережень. деякі
результати про ймовірності великих відхилень оНк в моделях регресії з корельованими
спостереженнями наведено в [10, 11].
У цьому пункті сформульовано потрібну нам теорему про ймовірності великих відхи-
лень нормованої параметра моделі (1), доведення якої аналогічно доведенню
теореми 3.2 роботи [8].
(2)
(3)
(4)
25ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
в асимптотичній теорії нелінійної регресії (див., наприклад, [12]) в задачах нормальної
апроксимації розподілу оНк відхилення оНк від істинного значення параметра
нормується діагональною матрицею
мується діагональною матрицею
Нижченаведена умова забезпечує існування матриці та регулює її поведінку.
F.1. (i) Функції при кожному неперервно диференційовні за та при
кожному частинні похідні інтегровні за t з квадратом на кожному про-
міжку , .
(ii) для будь-якого фіксованого
.
Позначимо і введемо таку умову (пор.
з [6–8]):
F.2. Існують додатні числа такі, що для будь-яких
та достатньо великих
Теорема 1. Нехай виконано умови N.1, F.1(i), F.2. Тоді існують такі константи
A та b, що для
причому для будь-якого можна обрати A таким чином, щоб виконувалася нерів-
ність
де
Імовірності великих відхилень для залишкової корелограми. розглянемо псев-
дометрики (див. [13])
Нехай – метрична ентропія множини відносно псев-
дометрики
N.2.
26 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
Нижче ми наводимо теорему про ймовірності великих відхилень величини (4). введемо
константу
,
де
Теорема 2. Нехай виконано умови N.1, N.2, F.1, F.2. Тоді існують такі константи
та , що для
причому та для будь-якого можна дібрати таким,
щоб виконувалася нерівність , де
доведення теореми полягає у
1) заданні величини (4) у вигляді
де
×
×
-
- ;
2) отриманні експоненціальних оцінок імовірностей великих відхилень супремумів
з використанням теореми 1 та нерів-
ностей 3.3 роботи [13, с. 205];
3) використанні результатів робіт [13, 4] для отримання експоненціальної оцінки хвостів
розподілу величини з константою, що не залежить від T.
Цитована лiтература
Pfanzagl J. 1. On the measurability and consistency of minimum contrast estimates // Metrika. –
1969. – 14. – P. 249–272.
Іванов О. В., Москвичова К. К. 2. стохастичний асимптотичний розклад корелограмної оцін-
ки коваріаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії // теорія ймовір.
та матем. статист. – 2014. – вип. 90. – с. 77–90.
27ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
Іванов О.3. В., Москвичова К. К. Асимптотичний розклад моментів корелограмної оцінки ко-
варіаційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії // Укр. мат. журн. –2014. –
66, № 6. – с. 787–805.
Іванов О.4. В., Москвичова К. К. консистентність корелограмної оцінки коваріаційної функції
випадкового шуму в нелінійній моделі регресії // Наук. вісті НтУУ “кПІ’’. – 2015. – 4. –
с. 57–62.
Іванов О.5. В., Москвичова К. К. Асимптотична нормальність корелограмної оцінки коваріа-
ційної функції випадкового шуму в нелінійній моделі регресії // теорія ймовір. та матем.
статист. – 2014. – вип. 91. – с. 55–63.
Иванов А.6. В. Асимптотическое разложение распределения оценки наименьших квадратов
параметра нелинейной регрессии // теория вероятностей и ее применения. – 1976. – 21. –
с. 571–583.
Prakasa Rao B.L.S. 7. On the exponential rate of convergence of the least squares estimator
in the nonlinear regression model with Gaussian errors // Stat. Probab. Lett. – 1984. – 2. –
P. 139–142.
Sieders A., Dzhaparidze K. 8. A large deviation result for parameter estimators and its application
to nonlinear regression analysis // Ann. Statist. – 1987.– 15. – P. 1031–1049.
Ибрагимов И.9. А., Хасьминский Р. З. Асимптотическая теория оценивания. – москва: Наука,
1979. – 528 с.
Леоненко Н.Н., Иванов А.В.10. статистический анализ случайных полей. – киев: вища шк.,
1986. – 216 c.
Hu Shuhe. 11. A large deviation result for the least squares estimators in nonlinear regression //
Stoch. Proc. Appl. – 1993. – 47. – P. 345–352.
Ivanov A.12. V. Asymtotic Theory of Nonlinear Regression. – Dordecht; Boston; London: Kluwer,
1997. – 330 p.
Булдыгин В.13. В., Козаченко Ю. В. метрические характеристики случайных величин и про-
цессов. – киев: твімс, 1998. – 289 с.
References
Pfanzagl J. 1. Metrika, 1969, 14: 249–272.
Ivanov O.2. V., Moskvichova K. K. Theory Probab. Math. Statist., 2015, 90: 87–101.
Ivanov O.3. V., Moskvichova K. K. Ukr. Math. J., 2014, 66, No 6: 787–805 (in Ukrainian).
Ivanov O.4. V., Moskvichova K. K. Naukovi visti NTUU “KPI’’, 2015, 4: 57–62 (in Ukrainian).
Ivanov O.V., Moskvichova K.K.5. Theory Probab. Math. Statist., 2015, 91: 61–70.
Ivanov A.6. V. Theory Probab. Appl., 1976, 21: 557–570.
Prakasa Rao B.7. L. S. Stat. Probab. Lett., 1984, 2: 139–142.
Sieders A., Dzhaparidze K.8. Ann. Statist., 1987, 15: 1031–1049.
Ibragimov I.9. A., Has’minskii R. Z. Statistical estimation: asymptotic theory, New York: Springer,
1981.
Ivanov A.10. V., Leonenko N. N. Statistical Analysis of Random Fields, Dordecht, Boston, London:
Kluwer, 1989.
Hu Shuhe.11. Stoch. Proc. Appl., 1993, 47: 345–352.
Ivanov A.12. V. Asymtotic Theory of Nonlinear Regression, Dordecht, Boston, London: Kluwer,
1997.
Buldygin V.13. V., Kozachenko Yu. V. Metric characterization of random variables and random
processes, Providence: AMS, 2000.
Надійшло до редакції 11.04.2016
28 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
Е. К. Москвичева
НтУ Украины “киевский политехнический институт’’
E-mail: kamok@ua.fm
Большие отклонения коррелограммной оценки ковариационной
функции случайного шума в нелинейной модели регрессии
Рассмотрена нелинейная модель регрессии с непрерывным временем и непрерывным
в среднем квадратичном и почти наверное стационарным гауссовским случайным шумом
с нулевым средним и положительной ограниченной спектральной плотностью. Доказана
теорема о больших отклонениях остаточной корреллограммной оценки ковариационной
функции случайного шума. Полученный результат усиливает ранее известные факты
о состоятельности коррелограммной оценки ковариационной функции гауссовского ста-
ционарного случайного шума.
Ключевые слова: нелинейная модель регрессии, стационарный гауссовский шум, кова-
риационная функция, коррелограммная оценка, вероятность больших отклонений, псевдо-
метрика.
K. K. Moskvychova
NTU of Ukraine “Kiev Polytechnic Institute’’
E-mail: kamok@ua.fm
Large deviations of a correlogram estimator of the random noise
covariance function in a nonlinear regression model
A time continuous nonlinear regression model with mean square continuous and almost sure
Gaussian stationary random noise with zero mean and positive bounded spectral density is
considered. A theorem on probabilities of large deviations of a residual correlogram estimator of
the random noise covariance function is proved. The result obtained sharpens previously known
facts on the consistency of a correlogram estimator of the covariance function of Gaussian
stationary random noise.
Keywords: nonlinear regression model, stationary Gaussian noise, covariance function,
correlogram estimator, probability of large deviations, pseudometric.
|