К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы
Получена априорная оценка сверху асимптотического значения критического давления для строго выпуклой, замкнутой оболочки неканонической формы по двум ее интегральным параметрам: диаметру срединной поверхности и радиусу шара, содержащегося в оболочке....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2016
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125851 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко, М.Д. Дунаевская // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 37-43. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125851 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1258512017-11-07T03:02:46Z К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы Бабенко, В.И. Дунаевская, М.Д. Механіка Получена априорная оценка сверху асимптотического значения критического давления для строго выпуклой, замкнутой оболочки неканонической формы по двум ее интегральным параметрам: диаметру срединной поверхности и радиусу шара, содержащегося в оболочке. Одержана апріорна оцінка зверху асимптотичного значення критичного тиску для строго випуклої, замкненої оболонки неканонічної форми за двома її інтегральними параметрами: діаметру серединної поверхні, та радіусу шара, що міститься в оболонці. An a priori upper bound of the asymptotic value of critical pressure for a closed strictly convex shell with non-canonical shape by its two integral parameters (diameter of the median surface and radius of the ball contained in the shell) is obtained. 2016 Article К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко, М.Д. Дунаевская // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 37-43. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.037 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125851 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Бабенко, В.И. Дунаевская, М.Д. К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы Доповіді НАН України |
| description |
Получена априорная оценка сверху асимптотического значения критического давления
для строго выпуклой, замкнутой оболочки неканонической формы по двум ее интегральным параметрам: диаметру срединной поверхности и радиусу шара, содержащегося в оболочке. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, В.И. Дунаевская, М.Д. |
| author_facet |
Бабенко, В.И. Дунаевская, М.Д. |
| author_sort |
Бабенко, В.И. |
| title |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_short |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_full |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_fullStr |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_full_unstemmed |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| title_sort |
к оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125851 |
| citation_txt |
К оценке критического давления замкнутой, строго выпуклой оболочки неканонической формы / В.И. Бабенко, М.Д. Дунаевская // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 9. — С. 37-43. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovi kocenkekritičeskogodavleniâzamknutojstrogovypuklojoboločkinekanoničeskojformy AT dunaevskaâmd kocenkekritičeskogodavleniâzamknutojstrogovypuklojoboločkinekanoničeskojformy |
| first_indexed |
2025-07-09T03:52:44Z |
| last_indexed |
2025-07-09T03:52:44Z |
| _version_ |
1837139928063934464 |
| fulltext |
37ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
9 2016
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.09.037
© в.и. Бабенко, м.д. дунаевская, 2016
МЕХАНІКА
Удк 539.3
В.И. Бабенко, М.Д. Дунаевская
Физико-технический институт низких температур им. Б.и.веркина НАН Украины,
харьков
E-mail: babenko@ilt.kharkov.ua
К оценке критического давления для замкнутой,
строго выпуклой оболочки неканонической формы
(Представлено академиком НАН Украины Е. Я. Хрусловым)
Получена априорная оценка сверху асимптотического значения критического давления
для строго выпуклой, замкнутой оболочки неканонической формы по двум ее интеграль-
ным параметрам: диаметру срединной поверхности и радиусу шара, содержащегося
в оболочке.
Ключевые слова: критическое давление, строго выпуклая оболочка, неканоническая
форма.
1. в [1] получены априорные оценки сверху асимптотического значения критического
давления для строго выпуклой оболочки неканонической формы в зависимости от задан-
ных возможных вариантов ограничений на размеры срединной поверхности F оболочки
такие как: диаметр поверхности F, объем ограниченного ею тела L, площадь “поперечного”
сечения тела L; высоту поверхности F и площадь области, ограниченной ее плоским краем
(для незамкнутой оболочки). в данной работе дополним полученные в [1] результаты для
еще одного варианта ограничений на размеры замкнутой оболочки.
2. рассматривается близкое к безмоментному напряженно-деформированное равно-
весное состояние достаточно тонкой, строго выпуклой, замкнутой оболочки (общей) не-
канонической формы, находящейся под действием равномерного внешнего давления P.
материал оболочки линейно упругий, однородный и изотропный. Предполагается, что
срединная поверхность F оболочки имеет непрерывные нормальные кривизны, строго
38 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
положительную гауссову кривизну K; диаметр поверхности F не меньше D0 и существует
содержащийся в F шар радиуса не меньше R0; а потеря устойчивости оболочки является
локальной, точнее она начинается выпучиванием в области, локализованной в малой ок-
рестности некоторой точки поверхности F.
3. в геометрической теории устойчивости оболочек [2] задача определения критической
нагрузки (ее асимптотики) сводится (согласно вариационному принципу “B”) к отыска-
нию значения нагрузки, при которой стационарен функционал W (асимптотики) полной
энергии оболочки, который определен на нетривиальных, разрывных бесконечно малых
изгибаниях срединной поверхности F оболочки с разрывами непрерывности изгибающего
поля u вдоль линии разрывов .
в [3] установлено, что условие стационарности функционала W в случае жестко закреп-
ленной вдоль края оболочки при внешнем давлении P сводится к следующему равенству,
определяющему асимптотическое значение критического давления:
где минимум берется по всем (внутренним) точкам срединной поверхности F
(оболочки) вне малой окрестности ее края; E, – модуль юнга и коэффициент Пуассона
материала оболочки; – ее толщина.
При выводе условия (1) в [3] предполагалось, что линия разрывов – замкнутая и
ограничивает область выпучивания G (вмятину) малых размеров, а величина разрывов
изгибающего поля u отлична от нуля. Никаких дополнительных априорных предположе-
ний о форме линии и об изменяемости величины разрыва изгибающего поля вдоль
не делалось (сравни с [2, 4]).
в случае равномерного внешнего давления для однородных оболочек постоянной тол-
щины (когда P, ) из (1) получаем известную формулу А. в. Погорелова ([2, 4])
для критического давления (его асимптотики):
.
Формулы (1), (2) получены для оболочки жестко закрепленной вдоль ее края, поэтому
[5] вектор смещений изгибающего поля u, сообщающего стационарное значение функци-
оналу W в принципе “B” равен нулю вдоль края срединной поверхности F оболочки.
Но тогда [6] он равен нулю во всей области, прилегающей к краю , где изгибающее
поле u непрерывно, т.е. вне области G, ограниченной линией разрыва изгибающего поля
u. если же оболочка замкнутая, то изгибающее поле u вне области G, вообще говоря, не
равно тождественно нулю. Поэтому, если оболочка замкнутая, поступаем следующим об-
разом. следуя [3], преобразуем выражение для функционала W полной энергии оболочки
в вариационном принципе “B”, ограничиваясь изгибающими полями u, равными нулю вне
области G. тогда для критического давления вместо равенства (1) получим неравенство:
(1)
(2)
(3)
39ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
из этого неравенства для замкнутой, однородной оболочки постоянной толщины
потеря устойчивости которой при равномерном внешнем давлении P
сопровождается (начинается) выпучиванием вмятины малых размеров (в об-
ласти G), получаем следующую оценку для асимптотического значения критического
давления
.
в [7] установлено, что непосредственно из вариационного принципа “B” (когда функ-
ционал W полной энергии определен на всевозможных допустимых формах изгибающего
поля u) вытекает следующее утверждение.
для того, чтобы действующая на безмоментную выпуклую оболочку нагрузка стала
критической (при локальной форме потери устойчивости вне окрестности края), необхо-
димо, чтобы хотя бы в одной внутренней точке Q срединной поверхности оболочки было
достигнуто равенство ([7]):
где минимум берется по всем внутренним точкам поверхности F; детерминант составлен
из смешанных компонентов тензора усилий (определяемых по линейной
безмоментной теории оболочек), возникающих в рассматриваемом (п. 2) докритическом
безмоментном равновесном состоянии оболочки.
линия разрывов изгибающего поля u проходит через точку Q (в определенном направ-
лении [7]), где достигается минимум в (5). если линия не замкнутая, продолжим ее до
замкнутой, считая разрыв изгибающего поля u на этом продолжении равным нулю.
Заметим, что равенство (5) можно преобразовать и записать его в виде критерия устой-
чивости, полученного в. П. ширшовым [8] при исследовании локальной устойчивости обо-
лочки в окрестности внутренних точек ее срединной поверхности методом, обобщающим
метод игнорирования форм выпучивания в. З. власова [9]. к равенству (5) сводится так-
же (полученное в результате асимптотического анализа уравнений теории анизотропных
оболочек) условие ([5], см. (4.2)) в частном случае изотропных оболочек. Формулы (1), (3),
(5) справедливы, вообще говоря, и в случае неоднородных оболочек при неравномерном
нагружении (когда ). из условия (5) находим следующую формулу для
асимптотического значения P** критического давления при локальной потере устойчивости
безмоментной, достаточно тонкой, строго выпуклой замкнутой оболочки при равномер-
ном внешнем давлении(и ).
Заметим, что не превышает критическое давление (4), при котором потеря
устойчивости начинается выпучиванием вмятины малых размеров. таким образом из
(4)
(5)
(6)
40 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
вариационного принципа “в” геометрической теории оболочек получаем следующую оцен-
ку асимптотического значения критического давления:
.
4. дополним результаты, полученные в [10], следующей оценкой гауссовой кривизны.
Теорема. Пусть K– гауссова кривизна замкнутой, строго выпуклой поверхности
F с непрерывной кривизной и с диаметром не меньше . Если поверхность F содержит
шар радиуса не меньше тогда справедлива оценка:
где минимум берется по всем точкам поверхности F, а – гауссова кривизна
замкнутой, выпуклой (веретенообразной) поверхности вращения с диаметром
и с радиусом экваториального круга . Если , то – сфера и в (8) можно
получить равенство, приняв в качестве поверхности F сферу . Если же ,
то неравенство (8) строгое, а – точная верхняя граница значений , к кото-
рой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F достаточно близкой к
(например, закруглив в окресности ее особых двух точек).
доказательство этой теоремы аналогично тому, как была доказана теорема 1 в [10].
5. веретенообразная поверхность вращения выпукла, симметрична относительно
своей экваториальной плоскости и имеет непрерывные нормальные кривизны всюду, кро-
ме двух точек P0,Q0 – точек пересечения со своей осью вращения, где она имеет вершины
(конические точки). во всех остальных точках ее гауссова кривизна постоянна. дли-
на отрезка P0,Q0 равна диаметру поверхности , то есть наибольшему расстоянию
между любыми двумя ее точками. обозначим через радиус экватора поверхности
. При поверхность – сфера радиуса .
введем декартову систему координат (x, y, z), где координатная ось z – ось вращения по-
верхности , а координатная плоскость (x, y) – ее экваториальная плоскость. тогда урав-
нение меридиана y = 0 поверхности в параметрической форме можно записать в виде
где параметр ; l – длина дуги меридиального сечения. если поверхность
разрезать по меридиану, то полученная поверхность при сближении точек P0,Q0 допуска-
ет геометрическое изгибание в кусок сферы радиуса , заключенный между двумя
ее меридианами [11, 12].
диаметр поверхности (согласно (9)) определяется по формуле:
.
6. таким образом из (7), (8), (10) получаем следующую оценку асимптотического
значения критического давления, при котором возможна локальная форма потери
(7)
(8)
(9)
(10)
41ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
устойчивости под действием равномерного внешнего давления рассматриваемых (см. п. 2)
замкнутых, строго выпуклых оболочек, если срединная поверхность F оболочки имеет
диаметр не меньше и существует содержащийся в F шар радиуса не меньше
,
где – гауссова кривизна, которая при заданных значениях диаметра и радиуса
определяется численно из уравнения (10). результаты вычислений (рис. 1) показывают,
как быстро уменьшается гауссова кривизна (а значит и оценка сверху асимптотического
значения критического давления) с увеличением диаметра при фиксированном
значении радиуса шара, содержащегося в оболочке. Знак равенства в (11) имеет место
для сферической оболочки.
З а м е ч а н и е . существует две формы строго выпуклых поверхностей вращения
с постоянной гауссовой кривизной : веретенообразная (с радиусом экватора )
и сырообразная (с ) [12]. Первая из них (см. п. 5)использовалась при оценке
сверху гауссовой кривизны общей (неканонической формы) строго выпуклой поверхности
[10], а вторая – при оценке гауссовой кривизны снизу [13].
в обоих случаях уравнение меридиана y = 0 (в координатах п. 5) имеет вид (9). Причем
для сырообразной поверхности параметр в (9) изменяется в интервале, где подко-
ренное выражение не отрицательно, т.е. когда
в этом случае меридиан поверхности не доходит до оси вращения x = 0 и заканчи-
вается при
,
где касательная к меридиану перпендикулярна к оси вращения, т.е. сырообразная по-
верхность незамкнутая и представляет собой пояс, окружающий ось вращения. если
(11)
рис. 1
42 ISSN 1025-6415 Dopov. Nac. acad. nauk Ukr., 2016, № 9
пояс разрезать по меридиану, то его можно изогнуть на поверхность сферы радиуса
[12]. если пояс дополнить до гладкой замкнутой поверхности, добавив два
круга радиуса , то получим замкнутую, гладкую поверхность напоминаю-
щую по форме головку сыра [11].
Цитированная литература
Бабенко В. И.1. к оценке критического давления для строго выпуклой оболочки неканоничес-
кой формы // доп. НАН України.– 2009. – № 9. – с. 57–61.
Погорелов А. В.2. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. – москва:
Наука, 1967. – 279 с.
Бабенко В. И.3. к геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго
выпуклых оболочек при внешнем давлении // докл. АН Украины.– 1993.– № 7. – с. 46–49.
Погорелов А. В.4. изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. – киев: Наук. думка,
1998. – 199 с.
Бабенко В. И.5. Потеря устойчивости непологих строго выпуклых анизотропных оболочек.//
изв. АН ссср. механика твердого тела. – 1977, № 2. – с. 95–103.
Векуа И. Н.6. обобщенные аналитические функции. – москва: Физматгиз, 1959. – 628 с.
Бабенко В. И.7. Геометрическое исследование неустойчивости безмоментных оболочек // Укр.
геометр. сб. – харьков: изд-во харьков. ун-та, 1972.– вып. 12. – с. 12–22.
Ширшов В. П.8. о локальной устойчивости оболочек // Прикл. механика. – 1966. – 2, № 11. –
с. 126–129.
Власов В. З.9. избр. тр.: в 2 т. – москва: изд-во АН ссср, 1968. – т. 1. – 528 с.
Бабенко В. И.10. к оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей //доп. НАН
України. – 2009. – № 3. – с. 7–11.
Бляшке В.11. круг и шар. – москва: Наука, 1967. – 232 с.
Рашевский П. К.12. курс дифференциальной геометрии. – москва: Гиттл, 1956. – 420 с.
Бабенко В. И.13. к оценке снизу гауссовой кривизны строго выпуклой, замкнутой поверхнос-
ти // доп. НАН України.– 2015. – № 3. – C. 7–10
References
Babenko V. I.1. Dopov. NAN Ukraine, 2009, No 9: 57–61 (in Russian).
Pogorelov A. V.2. Geometric methods in the nonlinear theory of elastic shells, Moscow: Nauka,
1967 (in Russian).
Babenko V. I.3. Dokl. Akad. Nauk Ukraine, 1993, No 7: 46–491 (in Russian).
Pogorelov A. V.4. Bending of surfaces and stability of shells, Kiev: Naukova Dumka, 1998 (in
Russian).
Babenko V. I.5. Izvestiya AN SSSR.MTT, 1977, No 2: 95–103 (in Russian).
Vekua I. N. 6. Generalized analytic functions, Pergamon Press, Oxford and Addison-Wesley,
Reading, MA, 1962.
Babenko V. I.7. Ukranian geometric coll., Kharkov, Izdat. Kharkov. Gos. Univ, 1972, No 12: 12–22
(in Russian).
Shirshov V. P.8. Appl. Mech., 1966, 2, No 11: 126-129 (in Russian);
Vlasov V. Z. 9. Selected works in 2 vol., vol.1. Moscow, Izdat. AN SSSR, 1968 (in Russian).
Babenko V. I.10. Dopov. NAN Ukraine, 2009, No 3: 7–11 (in Russian).
Blascke W.11. Circle and ball, Moscow: Nauka, 1967 (in Russian).
Rashevskyi P. K.12. Course of differential geometry, Moscow: GITTL, 1956 (in Russian).
Babenko V. I.13. Dopov. NAN Ukraine, 2015, No 3: 7–10 (in Russian).
Поступило в редакцию 12.02.2016
43ISSN 1025-6415 Доп. НАН України, 2016, № 9
В. I. Бабенко, М. Д. Дунаєвська
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. вєркіна НАН України, харків
E-mail: babenko@ilt.kharkov.ua
До оцінки критичного тиску для замкненої, строго
випуклої оболонки неканонічної форми
Одержана апріорна оцінка зверху асимптотичного значення критичного тиску для стро-
го випуклої, замкненої оболонки неканонічної форми за двома її інтегральними парамет-
рами: діаметру серединної поверхні, та радіусу шара, що міститься в оболонці.
Ключові слова: критичний тиск, строго випукла оболонка, неканонічна форма.
V. I. Babenko, M. D.Dunaieska
B. I. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the NAS of Ukraine,
Kharkiv
E-mail: babenko@ilt.kharkov.ua
On the estimation of the critical pressure for a closed strictly
convex shell with non-canonical shape
An a priori upper bound of the asymptotic value of critical pressure for a closed strictly convex
shell with non-canonical shape by its two integral parameters (diameter of the median surface
and radius of the ball contained in the shell) is obtained.
Keywords: critical pressure, strictly convex shell, non-canonical shape.
|