До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах

Одержано умови інваріантної розв'язуваності та єдиності розв'язку задачі інтерполяції функції багатьох змінних в умовах недовизначеності.

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2016
Автори: Кашпур, О.Ф., Хлобистов, В.В.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2016
Назва видання:Доповіді НАН України
Теми:
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125867
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 10. — С. 10-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-125867
record_format dspace
spelling irk-123456789-1258672017-11-09T03:02:41Z До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах Кашпур, О.Ф. Хлобистов, В.В. Математика Одержано умови інваріантної розв'язуваності та єдиності розв'язку задачі інтерполяції функції багатьох змінних в умовах недовизначеності. Получены условия инвариантной разрешимости и единственности решения задачи интерполяции функции многих переменных в условиях недоопределенности. The conditions of invariant solvability and uniqueness of a solution of the interpolation problem for a many-variable function under the uncertainty are obtained. 2016 Article До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 10. — С. 10-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2016.10.010 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125867 517.988 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
topic Математика
Математика
spellingShingle Математика
Математика
Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
Доповіді НАН України
description Одержано умови інваріантної розв'язуваності та єдиності розв'язку задачі інтерполяції функції багатьох змінних в умовах недовизначеності.
format Article
author Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
author_facet Кашпур, О.Ф.
Хлобистов, В.В.
author_sort Кашпур, О.Ф.
title До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
title_short До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
title_full До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
title_fullStr До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
title_full_unstemmed До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
title_sort до деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2016
topic_facet Математика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125867
citation_txt До деяких питань поліноміальної інтерполяції в евклідових просторах / О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов // Доповіді Національної академії наук України. — 2016. — № 10. — С. 10-14. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series Доповіді НАН України
work_keys_str_mv AT kašpurof dodeâkihpitanʹpolínomíalʹnoíínterpolâcíívevklídovihprostorah
AT hlobistovvv dodeâkihpitanʹpolínomíalʹnoíínterpolâcíívevklídovihprostorah
first_indexed 2025-07-09T03:54:13Z
last_indexed 2025-07-09T03:54:13Z
_version_ 1837140025408487424
fulltext 10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 10 © О.Ф. Кашпур, В.В. Хлобистов, 2016 http://dx.doi.org/10.15407/dopovidi2016.10.010 УДК 517.988 О.Ф. Кашпур1, В.В. Хлобистов2 1 Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка 2 Інститут математики НАН України, Київ E-mail: olena.kashpur@gmail.com, olga.mail@bk.ru До деяких питань полiномiальної iнтерполяцiї в евклiдових просторах (Представлено академiком НАН України В.Л. Макаровим) Одержано умови iнварiантної розв’язуваностi та єдиностi розв’язку задачi iнтерполяцiї функцiї ба- га тьох змiнних в умовах недовизначеностi. Ключові слова: гільбертовий простір, евклідовий простір, оператор, інтерполяційний поліном, ін- варіантна розв’язуваність. Наближення функцій багатьох змінних є особливо важливим для розв’язання низки приклад- них задач. Задача, що розглядається в цій статті, є частинним випадком наближення (інтерполя- ції) нелінійних операторів в абстрактних гільбертових просторах [1—3], але має свої суттєві осо- бливості. В роботах [1—3] побудовано загальну теорію інтерполяції операторів у гільбертовому просторі: конструктивно подана вся множина інтерполяційних поліномів n-го степеня; розгля- нуто питання єдиності, збіжності інтерполяційних процесів та оцінки точності. На практиці поширені задачі поліноміальної інтерполяції функцій багатьох змінних в умо- вах недовизначеності, тобто коли при розв’язанні задачі число інтерполяційних умов є меншим, ніж розмірність простору поліномів, на якому шукається розв’язок задачі в евклідовому прос- торі [4]. У даній роботі для задачі інтерполяції функції багатьох змінних, що розв’язується в умовах недовизначеності, одержано більш сильний результат в порівнянні з [5] за кількістю ін- терполяційних вузлів. Показано, що для поставленої задачі число вузлів інтерполяції можна обрати меншим, ніж розмірність простору поліномів, на якому шукається розв’язок, при цьому задача інваріантно розв’язна та має єдиний розв’язок мінімальної норми. Задачу інтерполяції назвемо інваріантно розв’язною, якщо вона має розв’язок для довільних значень функції (опе- ратора) у вузлах. Постановка та розв’язання інтерполяційної задачі в гільбертовому просторі. Нехай X, Y — гільбертові простори, μ — гауссова міра на X, перший момент якої дорівнює нулю, B(u, v) — кореляційний функціонал, B — кореляційний оператор цієї міри відповідно. Тоді [6, 7] B(u, v) = X ∫(x, u)(x, v)μ(dx) = (Bu, v), u, v, x ∈ X, (1) (·, ·) – скалярний добуток в X. Нехай Πn – множина операторних поліномів Pn : X → Y степеня n: Πn = {Pn(x) : Pn(x) = L0 + L1x + · · · + Lnxn}, 11ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 10 де L0 ∈ Y, Lk(x1, x2, ..., xk) – k-лінійна неперервна симетрична операторна форма, Lkxk = = ( , ,..., )k k L x x x . В [2] на просторі Πn введено скалярний добуток 2 (1)(1) (2) 1 0 ( , ) ( ( , , ..., ), n n n kk k X X P P L v v v = = ⋅⋅⋅∑ ∫ ∫ 2 (2) 1 1 2( , , ..., )) ( ) ( )... ( )k kkL v v v μ dv μ dv μ dv та норму ||Pn || = (Pn , Pn)1/2, де (·, ·) – скалярний добуток у просторі Y, (1) (2), , kk kL L L — k-лінійні не- перервні симетричні операторні форми поліномів ∈Π(1) (2), ,n n n nP P P відповідно. Нехай задано: систему елементів 1{ }m i ix X= ∈ , оператор F : X → Y своїми значеннями F(Bxi), i = 1,m . Для оператора F(x) необхідно побудувати єдиний операторний поліном Pn ∈ Πn, що за- довольняє інтерполяційні умови Pn (Bxi) = F(Bxi), i = 1,m . (2) Інтерполяційний поліном Pn називають інтерполянтом мінімальної норми, якщо він є роз- в’яз ком екстремальної задачі ||Pn || = min ||Qn ||, Qn ∈ ΠI n , де ΠI n — множина поліномів степеня n з інтерполяційними умовами (2). Позначимо: = = Γ = ∑ 0 , 1 ( , ) , mn k i j k i j Bx x 00 = 1, Γ+ — псевдообернена матриця Мура—Пенроуза до матриці Γ, E — одинична матриця, 1{ ( )}m i iF F Bx == . В [1—3] доведено, що задача операторної інтерполяції з умовами (2) розв’язна при виконанні необхідної та достатньої умови ( ) 0,E F+− ΓΓ = (3) а її розв’язок має вигляд 1 0 ( ) , {( , ) } , n k m n i i k P x F x x+ = = = Γ ∑ (4) де 1 , , m i i i a b = = α β∑ 1{ } ,m i ia == α 1{ } ,m i ib == β αi ∈ Y, βi ∈ R1, при цьому Pn(x) є інтерполянтом мінімальної норми на множині поліномів ΠI n . В [5] показано, що в гільбертовому просторі задача інтерполяції інваріантно розв’язна, тобто інтерполянт існує при будь-якому F , якщо вузли інтерполяції Bxi, i = 1,m , різні та виконується умова m � n + 1. Очевидно, що в цьому випадку на підставі (3) Γ+ = Γ−1. Розв’язання інтерполяційної задачі в скінченновимірному евклідовому просторі Ek . За- стосуємо наведені вище результати для цього простору. Не зменшуючи загальності міркувань, розглянемо спочатку евклідовий простір E2 з гауссовою мірою μ. Нехай функція f : E2 → R1 за- дана своїми значеннями в точках γi = (xi, yi), i = 1,m , m � p, де p – розмірність простору поліномів степеня n в E2, ( 1)( 2) 2 n n p + += , u = (u1, u2), v = (v1, v2), γ = (x, y), 21 ( ) exp 22 t g t ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠π . Тоді (1) запишемо таким чином: 2 1 2 1 2 1 1 2 2( )( ) ( ( , ) ( , )( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) , ). E u x u y v x v y g x g y d B u v u xdy u v u v μ v u v Iu v d +∞ +∞ −∞ −∞ + = γ γ γ + = + = = = = ∫ ∫ ∫ 12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 10 Отже, у випадку X = E2 за оператор B можна обрати одиничний оператор (матрицю) I, за вузли інтерполяції — вектори γi = (xi, yi), i = 1,m . Тоді матриця Γ набуває вигляду 0 0, 1 , 1 ( , ) ( ) , m mn n k k i j i j i j k ki j i j x x y y AA = == = Γ = γ γ = + = ′∑ ∑ 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 , 1 2 n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m x y x x y y x nx y nx y y A x y x x y y x nx y nx y y − − − − = тобто 1 1 1 1 ( , ) ( , ) , , ( , ) ( , ) m m m m s s s s m p s s s s ⎛ ⎞ ⎜ ⎟Γ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ � (5) є матрицею Грама, де 2 2 1 1(1, , , , 2 , , , , , , , ), 1, .n n n n i i i i i i i i i i i i is x y x x y y x nx y nx y y i m− −= =… … (6) Матрицю Γ у вигляді матриці Грама розглянуто для нескінченновимірного гільбертового простору в роботі [1]. Матриця Γ буде невиродженою, якщо вектори si, i = 1,m , m � p, лінійно незалежні. Тоді для інтерполянта мінімальної норми одержимо таку формулу: 1 1 1 0 ( , ) , {( ) } , { ( )} . n k m m n i i i i i k P x y f x x y y f f− = = = = Γ + = γ∑ (7) Очевидно, що якщо вузли інтерполяції γi = (xi, yi), i = 1,m , m � p, обрати таким чином, щоб система векторів із (6) була лінійно незалежною, то задача інтерполяції функції двох змінних з умовами Pn (γi) = f(γi), i = 1,m , (8) буде інваріантно розв’язною і мати єдиний розв’язок мінімальної норми у випадку, коли m � p, де p – розмірність простору поліномів в E2 степеня n. Як показано в [8], якщо за вузли інтер- поляції обрати систему точок (x0, y0), (x1, y0), ..., (xn–1, y0), (xn, y0), (x0, y1), (x1, y1), ..., (xn–1, y1), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9) (x0, yn–1), (x1, yn–1), (x0, yn), xi ≠ xj, yi ≠ yj, якщо i ≠ j, то не існує кривої n-го степеня, що проходить через ці точки. Це, в свою чергу, означає, що систе- ма векторів (6) для вузлів (9) лінійно незалежна, а отже, матриця Грама в (5) невироджена. Одержані результати можна перенести на функції багатьох змінних f: Ek → R1, де Ek — k-ви мірний евклідовий простір. Нехай розв’язок інтерполяційної задачі шукаємо на про- сторі Πkn поліномів k змінних n-го степеня розмірності ( )! ! ! n k p n k += . Тоді, як зазначено в [9], завжди можна знайти систему вузлів 1 2 ( , , , ) , ki i i kx x x E∈… 1,i p= , при яких задача інтерполяції функції багатьох змінних буде мати єдиний розв’язок, а система векторів si, матриця Γ та інтер- 13ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2016. № 10 полянт мінімальної норми (7) у випадку m � p запишуться у вигляді 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 ! , ... ,0! 1 , 1, , ! !... ! k k n jj j i ki i i k j j s x x x j j j j i m j j j = ⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= + + + = = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ … (10) 1 1 0 0, 1 , 1 ( , ) ( ) , k k m mn n l l i j i j i j l li j i j x x x x AA = == = Γ = γ γ = + + = ′∑ ∑ … 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 , 1 2 2 k k k k k km m m m m m m m x x x x x x x x A x x x x x x x x = 1 2 1 1 2 1 2 1 0 ( , , ..., ) , {( ... ) } . k n l m n k i i k i i l P x x x f x x x x x x− = = = Γ + + +∑ На підставі вищенаведених міркувань можна сформулювати такий результат. Теорема 1. Нехай функція f : Ek → R1 задана своїми значеннями f(γi), i = 1,m . Якщо вуз- ли інтерполяції γi обрати таким чином, щоб відповідна система векторів з (10) була лінійно незалежною, то задача інтерполяції функції багатьох змінних на просторі Πkn з умовами (8), Pn ∈ Πkn буде інваріантно розв’язною і мати єдиний розв’язок мінімальної норми у випадку, коли m � p, де p — розмірність простору Πkn. Приклад. Розглянемо побудову інтерполяційного полінома мінімальної норми P2 (x, y) другого степеня на підставі формули (7). Вузли інтерполювання оберемо із множини точок (9) таким чином: γ1 = (0, 0), γ2 = (1, 0), γ3 = (2, 0), γ4 = (0, 2), γ5 = (1, 2), γ6 = (0, 3). Вектори si запишуться за формулою (6) (n = 2) у вигляді s1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0), s2 = (1, 1, 0, 1, 0, 0), s3 = (1, 2, 0, 4, 0, 0), s4 = (1, 0, 2, 0, 0, 4), s5 = (1, 1, 2, 1, 2 2, 4), s6 = (1, 0, 3, 0, 0, 9). Оскільки не існує кривої другого порядку, що проходить через точки γi = (xi, yi), i = 1,6 [8], то вектори si , i = 1,6 , лінійно незалежні і матриця Грама (5) буде невиродженою. Приходимо до висновку, що для побудови інтерполянта (7) можна обрати будь-яку підсистему векторів із (6), тобто інтерполяційна задача буде інваріантно розв’язною і мати єдиний розв’язок (у сенсі міні- мальної норми) у випадку, коли m � 6 (p = 6). Оберемо m = 3, підсистему векторів із (6) s1, s3, s4. Для зручності перепозначимо їх як 1 2 3, ,s s s . Тоді матриця Грама (5) буде невиродженою, а інтерполяційний поліном (7) (n = 2, m = 3), що відповідає умовам (8), буде мати вигляд 3 1 3 2 2 1 0 1 ( ) ( , ) , {( ) } ( ), ( ), n k i i i i i k i P P x y f x x y y f l− = = = γ = = Γ + = γ γ∑ ∑ де li (γ) = li (x, y) — фундаментальні поліноми Лагранжа, li (γj) = δij, δij — символ Кронекера, i, j = 1, 2, 3, l1(x, y) = 1 – 0, 1 (x + y + 2x2 + 2y2), l2 (x, y) = 0, 1 (x +2x2), l3 (x, y) = 0, 1 (y + 2y2). Таким чином, приходимо до висновку, що при виконанні умов теореми 1 існує єдиний розв’язок задачі інтерполювання функції двох (а отже і багатьох) змінних в умовах недовизна- ченості. Крім того, в умовах теореми 1 отримано більш сильний результат у порівнянні з [5] сто- совно кількості вузлів для існування матриці, оберненої до матриці Γ. 14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2016. № 10 ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Макаров В.Л., Хлобыстов В.В. Основы теории полиномиального операторного интерполирования. — Киев, 1998. — 278 с. — (Праці Ін-ту математики НАН України. Математика та її застосування. Сер. Мат. аналіз; Т. 24). 2. Макаров В. Л., Хлобыстов В. В., Янович Л. А. Интерполирование операторов. — Киев: Наук. думка, 2000. — 406 с. 3. Makarov V.L., Khlobystov V.V., Yanovich L.A. Methods of operator interpolation. — Kyiv, 2010. — 516 с. — (Праці Ін-ту математики НАН України. Математика та її застосування; Т. 83). 4. Kashpur O.F., Khlobystov V.V. Invariance and uniqueness of solutions to polynomial interpolation problems in Eu- clidean space // J. Comput. Appl. Math. — 2015. — № 2. — P. 8—14. 5. Chapko R., Babenko C., Khlobystov V., Makarov V. On the interpolation of a function on a bounded domain by its traces on parametric hypersurfaces // Int. J. Comput. Math. — 2014. — 91, Iss. 8. — P. 1673—1682. 6. Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. — Москва: Наука, 1971. — 664 с. 7. Егоров А.Д., Соболевский П.И., Янович Л.А. Приближенные методы вычисления континуальных интегра- лов. — Минск: Наука и техника, 1985. — 310 с. 8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вичислений: В 2 т. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 1. — 632 с. 9. Бабенко К.И. Основы численного анализа. — Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002. — 848 с. REFERENCES 1. Makarov V.L., Khlobystov V.V. Foundations of polynomial operator interpolation theory, Kyiv: Institute of Ma- thematics of the NAS of Ukraine, 1998 (in Russian). 2. Makarov V.L., Khlobystov V.V., Yanovich L.A. Interpolation of operators, Kiev: Nauk. Dumka, 2000 (in Russian). 3. Makarov V.L., Khlobystov V.V., Yanovich L.A. Methods of operator interpolation, Kyiv: Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2010. 4. Kashpur O.F., Khlobystov V.V. J. Comput. Appl. Math., 2015, No 2: 8-14. 5. Chapko R., Babenko C., Khlobystov V., Makarov V. Int. J. Comput. Math., 2014, 91, Iss. 8: 1673-1682. 6. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. Theory of stochastic processes, Moscow: Nauka, 1971 (in Russian). 7. Yegorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Approximate methods for computation of continual integrals, Minsk: Nauka i Tehnika, 1985 (in Russian). 8. Berezin I.S., Zhidkov N.P. Methods of computations, Vol. 1, Moscow: Fizmatgiz, 1962 (in Russian). 9. Babenko K.I. Foundations of numerical analysis, Moscow; Izhevsk: RC “Regular and chaotic dynamics”, 2002 (in Russian). Надійшло до редакції 19.04.2016 Е.Ф. Кашпур1, В.В. Хлобыстов2 1 Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко 2 Институт математики НАН Украины, Киев E-mail: olena.kashpur@gmail.com, olga.mail@bk.ru К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Получены условия инвариантной разрешимости и единственности решения задачи интерполяции функции мно- гих переменных в условиях недоопределенности. Ключевые слова: гильбертово пространство, евклидово пространство, оператор, интерполяционный полином, инвариантная разрешимость. O.F. Kashpur1, V.V. Khlobystov2 1 Taras Shevchenko National University of Kyiv 2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kyiv E-mail: olena.kashpur@gmail.com, olga.mail@bk.ru TO SOME QUESTIONS OF A POLYNOMIAL INTERPOLATION IN EUCLIDEAN SPACES The conditions of invariant solvability and uniqueness of a solution of the interpolation problem for a many-variable function under the uncertainty are obtained. Keywords: Hilbert space, Euclidean space, operator, interpolation polynomial, invariance of a solution.