О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством

На основании трехмерных линейных уравнений классической теории упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидкой среды исследовано распространение квазилэмбовских волн в системе: полупространство идеальной сжимаемой жидкости — упругий слой. Построены дисперсионные кривые дл...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Багно, А.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2017
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126332
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-126332
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1263322017-11-21T03:02:46Z О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством Багно, А.М. Механіка На основании трехмерных линейных уравнений классической теории упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидкой среды исследовано распространение квазилэмбовских волн в системе: полупространство идеальной сжимаемой жидкости — упругий слой. Построены дисперсионные кривые для нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние идеальной сжимаемой жидкости и толщины упругого слоя на дисперсию фазовых скоростей квазилэмбовских мод в гидро упругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах. Предложен критерий существования квазилэмбовских волн в гидроупругих волноводах. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ. На основі тривимірних лінійних рівнянь класичної теорії пружності для твердого тіла та лінеаризованих рівнянь Ейлера для рідкого середовища досліджено поширення квазілембовських хвиль у системі: напівпростір ідеальної стисливої рідини — пружний шар. Побудовано дисперсійні криві для нормальних хвиль у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив ідеальної стисливої рідини та товщини пружного шару на дисперсію фазових швидкостей квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Досліджено локалізаційні властивості нижчих квазілембовських мод у гідропружних хвилеводах. Запропоновано критерій існування квазілембовських хвиль в гідропружних хвилеводах. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. The propagation of quasi-Lamb waves in the system «ideal compressible liquid half-space — elastic layer» is studied, by using the three-dimensional equations of classical elasticity theory for a solid body and linearized Euler equations for a fluid. The dispersion curves for normal waves over a wide range of frequencies are constructed. The influence of an ideal compressible fluid and the thickness of an elastic layer on the dispersion of phase velocities of the quasi-Lamb modes in a hydroelastic waveguide is analyzed. The localization properties of the lower quasi-Lamb modes in hydroelastic waveguides are studied. A criterion for the existence of the quasi-Lamb waves in hydroelastic waveguides is proposed. The numerical results obtained are presented in the form of plots and analyzed. 2017 Article О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.029 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126332 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Багно, А.М. О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством Доповіді НАН України
description	На основании трехмерных линейных уравнений классической теории упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидкой среды исследовано распространение квазилэмбовских волн в системе: полупространство идеальной сжимаемой жидкости — упругий слой. Построены дисперсионные кривые для нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние идеальной сжимаемой жидкости и толщины упругого слоя на дисперсию фазовых скоростей квазилэмбовских мод в гидро упругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах. Предложен критерий существования квазилэмбовских волн в гидроупругих волноводах. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ.
format	Article
author	Багно, А.М.
author_facet	Багно, А.М.
author_sort	Багно, А.М.
title	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
title_short	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
title_full	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
title_fullStr	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
title_full_unstemmed	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
title_sort	о дисперсии волн лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126332
citation_txt	О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 29-37. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT bagnoam odispersiivolnlémbavuprugomsloevzaimodejstvuûŝemsidealʹnymžidkimpoluprostranstvom
first_indexed	2025-07-09T04:47:33Z
last_indexed	2025-07-09T04:47:33Z
_version_	1837143383530799104
fulltext	29ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ МЕХАНІКА doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.029 УДК 539.3 А.М. Багно Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев E-mail: alexbag2010@gmail.com О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством Представлено академиком НАН Украины А. Н. Гузем На основании трехмерных линейных уравнений классической теории упругости для твердого тела и ли- неаризованных уравнений Эйлера для жидкой среды исследовано распространение квазилэмбовских волн в системе: полупространство идеальной сжимаемой жидкости — упругий слой. Построены дисперсионные кривые для нормальных волн в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние идеальной сжимаемой жидкости и толщины упругого слоя на дисперсию фазовых скоростей квазилэмбовских мод в гидро упругом волноводе. Исследованы локализационные свойства низших квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах. Предложен критерий существования квазилэмбовских волн в гидроупругих волноводах. Числовые результа- ты приведены в виде графиков и дан их анализ. Ключевые слова: дисперсия волн, упругий слой, полупространство идеальной сжимаемой жидкости, лока- лизация квазилэмбовских мод. Задача о распространении волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с жидким по- лупространством, принадлежит к классическим задачам механики. Вместе с тем, являясь многопараметрической, она остается изученной недостаточно полно. Обзор работ и анализ результатов, полученных в рамках классической теории упругости и модели идеальной сжимаемой жидкости [1], а также с привлечением более общих моделей твердых и жидких сред [2—4], приведены в [1—4]. В частности, работа [2] посвящена исследованию свойств функции Грина и применению ее к изучению динамических свойств слоисто-неоднородного полупространства. В обзорной работе [3] проанализированы теоретические методы, приме- няемые для изучения волн Лэмба в анизотропных пластинах. Значительное практическое использование волн Лэмба ставит задачу изучения дисперсионных свойств этих волн в ги- дроупругом волноводе, состоящем из упругого слоя и жидкого полупространства, в широ- ком диапазоне частот, охватывающем как длинноволновую, так и коротковолновую части спектра для толщин упругого слоя соизмеримых с длиной волны. В настоящей работе для анализа дисперсионных характеристик квазилэмбовских мод в системе упругий слой — жидкое полупространство в широком интервале частот используются трехмерные линеа- © А.М. Багно, 2017 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1 А.М. Багно ризованные уравнения Эйлера для жидкости и линейные уравнения классической теории упругости для твердого тела. При этом предполагается, что жидкость находится в состоя- нии покоя. В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные на примене- нии представлений общих решений уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости и упругого тела, полученные в работах [5—9]. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении нормальных квазилэмбов- ских волн в гидроупругой системе, состоящей из полупространства идеальной сжимаемой жидкости и упругого слоя. Решение получим с привлечением трехмерных линейных урав- нений классической теории упругости для твердого тела и линеаризованных уравнений Эй- лера для жидкости, находящейся в состоянии покоя. В рамках принятых моделей основные соотношения для системы изотропное упругое тело — идеальная сжимаемая жидкость бу- дут иметь вид [5—9]: ( ) ( ) 2 2 0 t ∂μΔ + λ + μ ∇ ∇⋅ −ρ = ∂ u u u ; ji ij ij j i uu u u ⎛ ⎞∂∂ σ = μ + + λδ ∇⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ u , 1kz V∈ ; (1) 0 1 0p t ∂ + ∇ = ∂ ρ v ; 0 1 0 t ∗∂ρ +∇⋅ = ρ ∂ v ; 2 0 p a∗ ∂ = ∂ρ ; ij ijP p= −δ ; 0a const= , 2kz V∈ . (2) При этом специфику взаимодействия упругих и жидких сред отражают динамические ij ijPσ = , kz S∈ и кинематические , t ∂ = ∂ u v kz S∈ граничные условия, задаваемые на поверх- ности контакта твердых тел и жидкости S . Здесь введены следующие обозначения: iu — компоненты вектора перемещений твер- дого тела u ; ρ — плотность материала упругого слоя; λ и μ — константы Ляме материала упругого тела; iν — составляющие вектора возмущений скорости жидкости v ; *ρ и p — возмущения плотности и давления в жидкости; 0ρ и 0a — плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя; ijP и ijσ — составляющие напряжений, соответственно, в жид- кости и упругом теле; 1V и 2V — объемы занимаемые, соответственно, упругим телом и жид- костью; S — поверхность контакта упругой и жидкой сред. Равенства (1) описывают поведение упругого тела. Малые колебания идеальной сжи- маемой жидкости, находящейся в состоянии покоя, описывают соотношения (2). Далее предположим, что изотропный упругий слой занимает объем: 1 ,z−∞ < < ∞ 20 ,z h≤ ≤ 3z−∞ < < ∞ и контактирует с идеальной сжимаемой жидкостью, заполняющей полупространство: 1 ,z−∞ < < ∞ 2 0,z−∞ < ≤ 3z−∞ < < ∞ . Примем, что внешние силы, дей- ствующие на указанные среды, распределены равномерно вдоль оси 3.oz В этом случае за- дача является плоской и можно ограничиться изучением процесса распространения волн в плоскости 1 2.oz z Следовательно, указанная задача сводится к решению системы уравнений (1)—(2) при следующих граничных условиях: 212 0z h=σ = ; 222 0z h=σ = ; 212 0 0z =σ = ; 2 222 0 22 0z zP= =σ = ; 2 2 2 2 0 0z z u v t= = ∂ = ∂ . (3) В дальнейшем для решения задачи гидроупругости воспользуемся представлениями общих решений для упругих тел и идеальной сжимаемой жидкости, предложенными в ра- ботах [5—9]. Для плоского случая, который рассматривается далее, общие решения будут const 31ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1 О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством такими: 2 1 1 1 2 u z z ∂ χ = − ∂ ∂ ; 2 2 2 2 12 2 21 2 u zz t ⎛ ⎞λ + μ ∂ μ ∂ ρ ∂= + − χ⎜ ⎟λ + μ λ + μ ∂ λ + μ∂ ∂⎝ ⎠ ; 2 2 1 1 v z t ∂ χ = ∂ ∂ ; 2 2 2 2 ,v z t ∂ χ = ∂ ∂ (4) где введенные функции 1χ и 2χ являются решениями следующих уравнений: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2z z t z z t ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ μ ∂ ρ ∂ ∂ λ + μ ∂ ρ ∂+ − + − −⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟λ + μ λ + μ μ μ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢⎣ ( ) ( ) 2 4 12 2 1 2 0 2 z z ⎤λ + μ ∂ ⎥χ = μ λ + μ ∂ ∂ ⎥⎦ ; 2 2 2 22 2 2 2 1 2 0 1 0. z z a t ⎡ ⎤∂ ∂ ∂+ − χ =⎢ ⎥ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (5) Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся во времени, решения системы уравнений разыскиваем в классе бегущих волн и выбираем в виде: χ = −ω2 1( )exp[ ( )]j jX z i kz t =( 1, 2)j , (6) где k — волновое число; ω — круговая частота; 2 1.i = − Далее решаем две задачи Штурма — Лиувилля на собственные значения для уравне- ний движения жидкости и упругого тела, а также определяем соответствующие собствен- ные функции. После подстановки решений в граничные условия (3) получаем систему ли- нейных однородных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиального решения, и приравнивая определитель системы к нулю, получаем дисперсионное уравнение λ μ ρ ρ ω =0 0det ( , , , , , , ) 0lm se c а h c =( , 1, 5)l m , (7) где с — фазовая скорость нормальных волн; sc 2( / )sc = μ ρ — скорость волны сдвига в упру- гом теле; h — толщина упругого слоя. Как известно, в неограниченном сжимаемом упругом теле существуют продольная и сдвиговая волны. В идеальной сжимаемой жидкой среде распространяется только продоль- ная волна. Именно эти волны, взаимодействуя между собой на свободных граничных по- верхностях, а также на поверхности контакта сред, порождают сложное волновое поле в гидроупругой системе. Заметим, что полученное дисперсионное уравнение (7) является наиболее общим и из него можно получить соотношения для ряда частных случаев, которые рассмотрены в рабо- тах [1, 4]. В частности, если принять 0 0ρ = , равенство (7) перейдет в уравнение для опреде- ления скоростей волн Лэмба [1, 7]. Если дополнительно устремить h к бесконечности, по- лучим соотношение для определения скоростей поверхностных волн Рэлея [1]. При 0 0ρ ≠ и h→∞ равенство перейдет в уравнение Стоунли—Шольте [1]. Числовые результаты и их анализ. В дальнейшем дисперсионное уравнение (7) реша- лось численно. При этом расчеты проводились для трех гидроупругих систем. Первая со- стояла из эластичной резины и воды. Ее механические параметры выбирались следующи- ми: упругий слой — 1200ρ = кг/м3, 96 10λ = ⋅ Па, 61,2 10μ = ⋅ Па; полупространство жидко- сти — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 46,153442.sa a c= = Этот гидроупругий волновод характеризуется тем, что материал упругого слоя (резина) является податливым и мягким. 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1 А.М. Багно Вторая состояла из органического стекла и воды. Она характеризовалась следующими пара- метрами: упругий слой — 1160ρ = кг/м3, 93,96 10λ = ⋅ Па, 91,86 10μ = ⋅ Па; жидкое полупро- странство — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 1,152595.sa a c= = У этого волновода ма- териал упругого тела (оргстекло) является слабо жестким. Третья представляла собой вол- новод из стали и воды. При этом параметры выбирались такими: упругий слой — 7800ρ = кг/м3, 109,26 10λ = ⋅ Па, 107,75 10μ = ⋅ Па; жидкость — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 0,463021.sa a c= = Этот волновод отличается тем, что материал упругого слоя (сталь) относится к разряду сильно жестких. Результаты вычислений представлены на рис. 1—3. На рис. 1 приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной системы, состоящей из резины (податливый материал) и воды. На рис. 1, а для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены зависи- мости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c ( s/cc с= ) от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h ( sh h c= ω ). На этом рисунке для наглядности штриховой линией отмечена асимптотика, к которой стремятся фазовые скорости первой и второй мод при возрастании толщины. Графики на рис. 1, б иллюстрируют влияние жидкости на волновые характеристики гидроупругой системы. На нем изображены дисперсионные кривые, отражающие зависи- мости безразмерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских мод c от безразмерной величины толщины упругого слоя h . Для наглядности на этом рисунке штриховыми ли- ниями отмечены асимптотики, к которым стремятся фазовые скорости первой и второй мод при возрастании толщины. Из графиков, представленных на рис. 1, а, следует, что для чисто упругого волново- да скорости первой (нулевой антисимметричной) и второй (нулевой симметричной) мод Лэмба стремятся к скорости волны Рэлея Rc . При этом первая мода стремится к скорости поверхностной волны Rc ( 0,9553301R R sc c c= = ) снизу, а скорость второй моды — соответ- ственно, к Rc ( 0,9553301Rc = ) сверху. В гидроупругом волноводе (рис. 1, б) при росте толщины упругого слоя (частоты) h скорость первой моды стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,859257st st sc c c= = ) снизу, а скорость второй моды — к скорости волны Рэлея Rc ( 0,9553301Rc = ) сверху. Моды более высокого порядка как в гидроупругой системе, так и в чисто упругом слое распростра- Рис. 1 33ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1 О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством няются в упругом слое в его толще с фазовыми скоростями, стремящимися с увеличением толщины (частоты) h к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc . На рис. 2 приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной системы, состоящей из органического стекла (слабо жесткий материал) и воды. На рис. 2, а для упру- гого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены зависимости безразмерных ве- личин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h [4, 6, 7, 10]. Для наглядности на этом рисунке штриховой линией отмечена асимптотика, к которой стремятся фазовые скорости первой и второй мод при воз- растании толщины. На рис. 2, б изображены дисперсионные кривые для гидроупругого волновода, отра- жающие зависимости безразмерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских мод c от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h . На этом рисунке для нагляд- ности штриховыми линиями отмечены асимптотики, к которым стремятся фазовые скоро- сти первой и второй мод при возрастании толщины. Из графиков, представленных на рис. 2, а, следует, что скорость первой (нулевой анти- симметричной) моды Лэмба при росте частоты или толщины упругого слоя h стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933557Rc = ) снизу, а скорость второй (нулевой симметрич- ной) моды стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933557Rc = ) сверху. Скорости всех мод Лэмба высокого порядка при увеличении толщины упругого слоя или частоты h стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc [4, 6, 7, 10]. Графики для гидроупругой системы, приведенные на рис. 2, б, показывают, что при ро- сте толщины упругого слоя (частоты) h скорость первой моды стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,7717101stc = ) снизу, а скорость второй моды — к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933557Rc = ) сверху. Моды более высокого порядка распространяются в упругом слое в его толще с фазовыми скоростями, стремящимися с ростом частоты (толщины упругого слоя) h к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc . Графический материал, полученный в результате численных вычислений для системы: сталь (сильно жесткий материал) — вода, представлен на рис. 3. На рис. 3, а для упругого слоя, невзаимодействующего с жидкостью, приведены зависимости безразмерных величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c от безразмерной величины толщины упру- гого слоя (частоты) h [4, 6, 7, 10]. Для наглядности на этом рисунке штриховой линией Рис. 2 34 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1 А.М. Багно отмечена асимптотика, к которой стремятся фазовые скорости первой и второй мод при возрастании толщины. На рис. 3, б приведена дисперсионная кривая для гидроупругого волновода, отражаю- щая зависимость безразмерной величины фазовой скорости единственной существующей первой моды c от безразмерной величины толщины упругого слоя (частоты) h . На этом рисунке для наглядности штриховой линией отмечена асимптотика, к которой стремится фазовая скорость первой моды при возрастании толщины. Из графиков, представленных на рис. 3, а, следует, что скорость первой (нулевой анти- симметричной) моды Лэмба при росте частоты или толщины упругого слоя h стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923202Rc = ) снизу, а скорость второй (нулевой симметричной) моды стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923202Rc = ) сверху. Скорости всех мод Лэм- ба высокого порядка при увеличении частоты или толщины упругого слоя h стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc [1, 4, 6, 7, 10]. Графический материал для гидроупругой системы, приведенный на рис. 3, б, показы- вает, что при росте толщины упругого слоя (частоты) h скорость первой моды стремится снизу к скорости волны Стоунли stc ( 0,462886stc = ), которая несколько меньше скорости волны звука в жидкой среде 0a ( 0 0,463021a = ). Локализационные свойства низших мод в гидроупругих волноводах. Как показано в работе [11], фазовая скорость и структура волны Стоунли при взаимодействии твердого и жидкого полупространств зависят от механических параметров гидроупругой системы и определяются соотношением между скоростью волны звука в жидкости и скоростью вол- ны Рэлея в твердом полупространстве. В рассматриваемом случае механические параметры гидроупругой системы резина (податливый материал) — вода таковы, что скорость рас- пространения звуковой волны в жидкости 0a ( 0 46,153442a = ) больше скорости квазирэ- леевской волны Rc ( 0,955301Rc = ). Согласно анализу кинематических характеристик по- верхностных волн [11] это приводит к тому, что в высокочастотной части спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1, являющейся волной типа Стоунли, в упругое тело больше глубины проникновения в жидкость. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, проникает в твердое тело и локализуется, преимущественно, в при- поверхностных областях как жидкости, так и упругого слоя. Мода 2 распространяется в упругом слое вдоль его свободной поверхности. Скорость ее стремится к скорости волны Рис. 3 35ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1 О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством Рэлея Rc ( 0,955301Rc = ) сверху. Скорости всех мод высокого порядка стремятся к скоро- сти волны сдвига в материале твердого тела sc . При этом с ростом частоты (толщины) в них преобладают поперечные смещения, амплитуда которых на поверхностях слоя стремится к нулю по сравнению с их амплитудами в толще слоя, то есть движения в модах высокого по- рядка смещаются от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще [1]. В случае гидроупругой системы: оргстекло — вода (слабо жесткий материал, рис. 2, б) механические параметры ее компонентов таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости 0a ( 0 1,152595a = ) несколько больше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,933557Rc = ). Как отмечалось выше, анализ кинематических характеристик поверх- ностных волн, выполненный в работе [11], показал, что при таком соотношении механи- ческих параметров мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностных областях как жидкости, так и упругого слоя. Вторая мода распространяется в упругом слое вдоль его свободной поверхности. Моды высокого порядка смещаются от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще [1]. Таким образом, анализ показывает, что в данных упруго-жидкостных системах низшие моды проникают в твердое тело и также, как и моды более высокого порядка, распростра- няются в упругом слое. При этом упругий слой является определяющим в формировании волнового поля и основным волноводом, по которому распространяются волновые возму- щения и осуществляется перенос большей части энергии волн. В случае гидроупругой системы: сталь — вода (сильно жесткий материал, рис. 3, б) ме- ханические параметры таковы, что скорость распространения волны звука в жидкости 0a ( 0 0,463021a = ) меньше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,923202Rc = ). В связи с этим, согласно результатам, полученным в работе [11] для волн Стоунли, в высокочастот- ной части спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1 в жидкость значи- тельно больше глубины проникновения в упругое тело. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной обла- сти жидкого полупространства. Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе первая мода не проникает в твердое тело и распространяется вдоль границы контакта сред, преи- мущественно, в приповерхностной области жидкости. В этом случае волноводом для рас- пространения волны Стоунли и переноса большей части волновой энергии служит припо- верхностная область жидкого полупространства. Критерий существования квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах. Прове- денные отдельно расчеты и анализ результатов, полученных в настоящей работе, показал, что соотношение между скоростями волны звука в жидкости и волны Рэлея в твердом теле может служить критерием, позволяющим устанавливать возможность существования нор- мальных квазилэмбовских волн в упругом слое, взаимодействующем с полупространством идеальной сжимаемой жидкости. Как указывалось ранее, графики, приведенные на рис. 1, б, получены для гидроупру- гой композиции, состоящей из жидкости и упругого слоя из податливого материала. В этом случае механические параметры составляющих системы таковы, что скорость волны звука в жидкости больше скорости квазиповерхностной волны Рэлея в твердом слое ( 0 Ra c> ). При таком соотношении, как видно из рис. 1, б, жидкость не препятствует обмену энер- 36 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1 А.М. Багно гией между поверхностями упругого слоя. Это способствует взаимодействию продольной и сдвиговой волн на поверхностях упругого слоя и возникновению в нем полного набора незатухающих нормальных квазилэмбовских волн, дисперсионная картина и частотный спектр которых, несмотря на ряд различий, подобен волновому процессу в упругом слое, невзаимодействующем с жидкостью. В гидроупругой системе с упругим слоем из слабо жесткого материала скорость волны звука в жидкости лишь немного превышает скорость волны Рэлея. В этом случае, как следу- ет из графиков рис. 2, б, в упругом слое также возникают квазилэмбовские моды, но только такие, величина фазовой скорости которых меньше величины скорости звуковой волны в жидкости. Количество этих мод, распространяющихся без радиационного демпфирования, значительно меньше числа мод Лэмба в чисто упругом слое. При взаимодействии упругого слоя из сильно жесткого материала с идеальным сжи- маемым жидким полупространством скорость волны звука в жидкости меньше скорости квазиповерхностной волны Рэлея в твердом слое ( 0 Ra c< ). При таком соотношении между механическими параметрами компонентов системы жидкость препятствует обмену энер- гией между поверхностями упругого слоя. В этом случае, как видно из графика рис. 3, б, в упругом слое не формируются нормальные квазилэмбовские волны. В гидроупругом вол- новоде возникает лишь одна низшая мода 1, которая, распространяясь вдоль границы кон- такта сред, локализуется в приповерхностной области жидкости. В заключение отметим, что воздействие жидкости проявляется в изменении критических частот и конфигурации дисперсионных кривых, а также в смещении их в длинноволновую часть спектра. Локализация низших мод в системе: жидкое полупространство — упругий слой зависит от механических параметров гидроупругой системы. Основным критерием существо- вания нормальных квазилэмбовских волн и распределения низших мод в средах является со- отношение между величинами скоростей волны звука в идеальной сжимаемой жидкости и квазирэлеевской волны, распространяющейся вдоль свободной поверхности упругого слоя. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — Москва: Наука, 1981. — 288 с. 2. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Расчет характеристик нормальных волн мелкого моря с упругим дном (импедансный метод) // Акуст. журн. — 1987. — 33, № 5. — С. 805—813. 3. Безруков А.В. Некоторые особенности распространении нормальных волн в мелком море с неоднород- ным упругим дном // Акуст. журн. — 1989. — 35, № 4. — С. 744—747. 4. Guz A.N., Zhuk A.P., Bagno A.M. Dynamics of Elastic Bodies, Solid Particles, and Fluid Parcels in a Compressible Viscous Fluid (Review) // Int. Appl. Mech. — 2016. — 52, No 5. — P. 449—507. 5. Guz A.N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses // Int. Appl. Mech. — 1980. — 16, No 3. — P. 175—190. 6. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2 — х томах. — Киев: Наук. думка, 1986. 7. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. — Киев: А.С.К., 2004. — 672 с. 8. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. — Киев: А.С.К., 1998. — 350 с. 9. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. — Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2009. — 428 p. 10. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. — Киев: Наук. думка, 1976. — 104 с. 11. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердого тела // Акуст. журн. — 1988. — 34, № 4. — С. 608—615. Поступило в редакцию 05.07.2016 37ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1 О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством REFERENCES 1. Viktorov I. A. Sound surface waves in solids, Moscow: Nauka, 1981 (in Russian). 2. Bezrukov A.V., Prikhod'ko V.Yu., Tyutekin V.V. Acoustic J., 1987, 33, No 5: 805—813 (in Russian). 3. Bezrukov A.V. Acoustic J., 1989, 35, No 4: 744—747 (in Russian). 4. Guz A.N., Zhuk A.P., Bagno A.M. Int. Appl. Mech., 2016, 52, No 5: 449—507. 5. Guz A. N. Int. Appl. Mech., 1980, 16, No 3: 175—190. 6. Guz A. N. Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 vol., Kiev: Naukova Dumka, 1986 (in Russian). 7. Guz A. N. Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses, Kiev: A.C.K., 2004 (in Russian). 8. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid, Kiev: A.C.K., 1998 (in Russian). 9. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009 10. Guz A.N., Makhort F.G., Guscha O.I. Introduction in acoustoelasticity. Kiev: Naukova Dumka, 1977 (in Rus- sian). 11. Volkenstein M.M., Levin V.M. Acoustic J., 1988, 34, No 4: 608—615 (in Russian). Received 05.07.2016 О.М. Багно Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ E-mail: alexbag2010@gmail.com ПРО ДИСПЕРСІЮ ХВИЛЬ ЛЕМБА У ПРУЖНОМУ ШАРІ, ЩО ВЗАЄМОДІЄ З ІДЕАЛЬНИМ РІДКИМ НАПІВПРОСТОРОМ На основі тривимірних лінійних рівнянь класичної теорії пружності для твердого тіла та лінеаризованих рівнянь Ейлера для рідкого середовища досліджено поширення квазілембовських хвиль у системі: напів- простір ідеальної стисливої рідини — пружний шар. Побудовано дисперсійні криві для нормальних хвиль у широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив ідеальної стисливої рідини та товщини пружного шару на дисперсію фазових швидкостей квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Досліджено локалізаційні властивості нижчих квазілембовських мод у гідропружних хвилеводах. Запропоновано кри- терій існування квазілембовських хвиль в гідропружних хвилеводах. Числові результати наведено у ви- гляді графіків та дано їх аналіз. Ключові слова: дисперсія хвиль, пружний шар, напівпростір ідеальної стисливої рідини, локалізація квазі- лембовських мод. O.M. Bahno S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: alexbag2010@gmail.com ON THE DISPERSION OF LAMB WAVES IN AN ELASTIC LAYER INTERACTING WITH THE IDEAL LIQUID HALF-SPACE The propagation of quasi-Lamb waves in the system «ideal compressible liquid half-space — elastic layer» is stud- ied, by using the three-dimensional equations of classical elasticity theory for a solid body and linearized Euler equations for a fluid. The dispersion curves for normal waves over a wide range of frequencies are constructed. The influence of an ideal compressible fluid and the thickness of an elastic layer on the dispersion of phase ve- locities of the quasi-Lamb modes in a hydroelastic waveguide is analyzed. The localization properties of the low- er quasi-Lamb modes in hydroelastic waveguides are studied. A criterion for the existence of the quasi-Lamb waves in hydroelastic waveguides is proposed. The numerical results obtained are presented in the form of plots and analyzed. Keywords: dispersion of waves, elastic layer, half-space of an ideal compressible fluid, localization of quasi-Lamb modes.

О дисперсии волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с идеальным жидким полупространством

Institution

Ähnliche Einträge