Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту
Запропоновано алгоритм розв'язання задачі про повільне поширення тріщини нормального відриву з частковою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель тріщини з зоною зчеплення, ітеративний метод побудови розв'язку для пружного відриву та принцип пружно-в'язкопружної ан...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126333 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту / А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126333 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1263332017-11-21T03:02:34Z Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Механіка Запропоновано алгоритм розв'язання задачі про повільне поширення тріщини нормального відриву з частковою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель тріщини з зоною зчеплення, ітеративний метод побудови розв'язку для пружного відриву та принцип пружно-в'язкопружної аналогії, який дозволяє записати залежний від часу відрив у формі Больцмана—Вольтерра. В якості критерію поширення тріщини використовується деформаційний критерій зі сталою величиною критичного відриву та міцності зчеплення протягом квазістатичного зростання тріщини. Алгоритм проілюстровано числовим прикладом з розтягуючим на нескінченності зусиллям та симетричною відносно лінії тріщини системою двох зосереджених сил, що спричиняють контакт берегів. При поширенні тріщини контакт берегів зникає, що супроводжується швидким переходом до динамічного етапу зростання. Предложен алгоритм решения задачи о медленном распространении трещины нормального отрыва с частичной зоной контакта берегов. В основу алгоритма положена модель трещины с зоной сцепления, итеративный метод построения решения для упругого отрыва и принцип упруго-вязкоупругой аналогии, который позволяет записать зависящий от времени отрыв в форме Больцмана—Вольтерра. В качестве критерия распространения трещины используется деформационный критерий с постоянной величиной критического отрыва и прочности сцепления в течение квази-статического роста трещины. Алгоритм проиллюстрирован числовым примером с растягивающим на бесконечности усилием и симметричной относительно линии трещины системой двух сосредоточенных сил, вызывающих контакт берегов. При распространении трещины контакт берегов исчезает, что сопровождается быстрым переходом к динамическому этапу распространения. An algorithm for solving the problem of slow propagation of mode I crack with partial closure is proposed. The algorithm is based on the cohesive zone model, iterative method for constructing elastic solutions, and the principle of elastic-viscoelastic correspondence, which allows us to obtain the time-dependent separation in the Boltzmann— Volterra form. As a criterion for crack propagation, the crack-tip-opening displacement fracture criterion is used with constant crack tip opening displacement and cohesive strength during the quasistatic crack growth. The algorithm is illustrated by the numerical example with tensile stress at infinity and the system of two point forces symmetric with respect to the crack line, which cause the contact of crack faces. During the crack propagation, the contact zone disappears, which is accompanied by the rapid transition to the dynamic stage of fraction. 2017 Article Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту / А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.038 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126333 539.421 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту Доповіді НАН України |
| description |
Запропоновано алгоритм розв'язання задачі про повільне поширення тріщини нормального відриву з частковою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель тріщини з зоною зчеплення, ітеративний
метод побудови розв'язку для пружного відриву та принцип пружно-в'язкопружної аналогії, який дозволяє
записати залежний від часу відрив у формі Больцмана—Вольтерра. В якості критерію поширення тріщини
використовується деформаційний критерій зі сталою величиною критичного відриву та міцності зчеплення
протягом квазістатичного зростання тріщини. Алгоритм проілюстровано числовим прикладом з розтягуючим на нескінченності зусиллям та симетричною відносно лінії тріщини системою двох зосереджених сил,
що спричиняють контакт берегів. При поширенні тріщини контакт берегів зникає, що супроводжується
швидким переходом до динамічного етапу зростання. |
| format |
Article |
| author |
Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. |
| author_facet |
Камінський, А.О. Селіванов, М.Ф. |
| author_sort |
Камінський, А.О. |
| title |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| title_short |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| title_full |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| title_fullStr |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| title_full_unstemmed |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| title_sort |
повільне зростання тріщини з ділянкою контакту |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126333 |
| citation_txt |
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту / А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 38-43. — Бібліогр.: 3 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kamínsʹkijao povílʹnezrostannâtríŝinizdílânkoûkontaktu AT selívanovmf povílʹnezrostannâtríŝinizdílânkoûkontaktu |
| first_indexed |
2025-07-09T04:47:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T04:47:40Z |
| _version_ |
1837143393060257792 |
| fulltext |
38 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.01.038
УДК 539.421
А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов
Iнститут механiки iм. С. П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: fract@inmech.kiev.ua, mfs@ukr.net
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту
Представлено академіком НАН України В.Д. Кубенком
Запропоновано алгоритм розв’язання задачі про повільне поширення тріщини нормального відриву з частко-
вою зоною контакту берегів. В основу алгоритму покладено модель тріщини з зоною зчеплення, ітеративний
метод побудови розв’язку для пружного відриву та принцип пружно-в’язкопружної аналогії, який дозволяє
записати залежний від часу відрив у формі Больцмана—Вольтерра. В якості критерію поширення тріщини
використовується деформаційний критерій зі сталою величиною критичного відриву та міцності зчеплення
протягом квазістатичного зростання тріщини. Алгоритм проілюстровано числовим прикладом з розтягу-
ючим на нескінченності зусиллям та симетричною відносно лінії тріщини системою двох зосереджених сил,
що спричиняють контакт берегів. При поширенні тріщини контакт берегів зникає, що супроводжується
швидким переходом до динамічного етапу зростання.
Ключові слова: тріщина зчеплення, повільне зростання тріщини, тріщина з зоною контакту
Аналізуючи напружений стан тіла з тріщиною в тілі складної геометрії та схеми навантажен-
ня наперед невідомо чи повністю відкрита тріщина, чи її береги повністю або частково кон-
тактують. В задачах теорії пружності для тріщин загальновизнаною є вимога невід’ємності
нормального відриву. З метою виконання цієї вимоги необхідно провести повне досліджен-
ня, яке включає визначення переміщень берегів тріщини і, у випадку їх перекриття, вводити
у розгляд контактні напруження, які унеможливлюють взаємне проникнення берегів.
Якщо матеріал тіла з тріщиною виявляє спадкові властивості, то при поширенні трі-
щини конфігурація взаємодії берегів може змінюватись з часом, що може призвести до
збільшення швидкості підростання. В роботі розглянута класична задача механіки руйну-
вання для ілюстрації цього ефекту. Основні концепції моделювання поширення тріщин у
в’язкопружних матеріалах висвітлені в [1, 2]. Будемо використовувати модель довготрива-
лого руйнування [1] покладаючи, що параметри тріщиностійкості не залежать від часу при
докритичному поширенні тріщини.
Об’єктом дослідження роботи є наскрізна тріщина нормального відриву в нескінченній
пластині, матеріал якої виявляє спадкові властивості. Будемо досліджувати квазістатичне
стійке зростання тріщини, наявної до моменту прикладання навантаження. Поширення трі-
© А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов, 2017
39ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту
щини відбувається за ізотермічних умов при сталому докритичному рівні зовнішнього на-
вантаження внаслідок в’язкопружних властивостей матеріалу пластини.
В основу дослідження повільного зростання тріщини покладемо модель тріщини із зо-
ною зчеплення. В момент прикладання навантаження = 0t тріщина перебуває в докритич-
ному стані — відрив у вершині λ не перевищує граничного рівня: max(0, (0)) <Δ λ Δ . За раху-
нок повзучості відрив ( , (0))tΔ λ з часом сягає свого максимально можливого значення maxΔ ,
завершуючи інкубаційний період та ініціюючи початок зростання розміру тріщини ( )tλ .
Нормальний відрив тріщини в лінійно в’язкопружному тілі будемо шукати у вигляді
інтеграла Больцмана—Вольтерра
( , ) = ( ) ( , )d ,
t
t x l t xτ−∞
Δ − τ Δ τ τ′∫ � (1)
де величини ( , )t xΔ та ( , )t xΔ� мають розмірність довжини, функція повзучості ( )l ϑ — без-
розмірна. На відміну від ( , )t xΔ , введена величина ( , )t xΔ� не має змісту в термінах моделі за
винятком випадку = 0t , коли (0, ) = (0, )x xΔ Δ� — миттєве значення відриву в точці x . Хвиль-
ка над Δ вказує, що ця велична не є інтегральною характеристикою, в її виразі містяться
лише миттєві пружні сталі; обчислюється ця величина як пружне розкриття тріщини в мо-
мент часу t.
Пружний розв’язок задачі. Розв’язок крайової задачі теорії тріщин подамо сингуляр-
ним інтегральним рівнянням [3]
1 ( )d
= ( ), ,
a
a
g t t
p x x a
t x−
<
π −∫ (2)
справедливим для прямолінійної тріщини з самоврівноваженим напруженням ( )p x на її бе-
регах. В цьому рівнянні величина ( )g x є щільністю розподілу відриву; цю величину треба
знайти в ході розв’язання задачі. В роботі розглядатимемо випадок парності функції ( )p x .
Розв’язок (2) має задовольняти умові
( )d = 0,
a
a
g t t
−∫
яка забезпечує однозначність переміщень, і умові плавності змикання берегів: ( ) 0,g x =
x aβ < < . У випадку парності ( )p x функція ( )g x є непарною і умова однозначності пере-
міщень задовольняється автоматично.
Стрибок переміщень пов’язаний з щільністю їх розподілу наступним чином:
4
( ) = ( )d , = ,
x
a
x L g t t L
E−
Δ ∫ (3)
E — модуль пружності.
Будемо шукати ( )g x в формі лінійного сплайну
1
1
1
( ) = ( ), ( , ), 0 < 2 ;
( ) = ( ) [1 ( )], ( ) = ,
k k k
k
k k k k k k
g x g x x b b k n
b x
g x g A x g A x A x
h
−
−
−
∈
−
+ −
�
(4)
де kb є квадратурними точками, які розбивають на 2n ділянок рівної довжини h відрізок
[ , ]a a− ( 0 =b a , = 0nb ).
40 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов
Для такої ( )g x інтеграл в (2) набуде вигляду
2 2
=1 =1
1
( )d
= ( ),
bn nk
k
k k
k kbk
g t t
g J x
t x
−
− −
−∑ ∑∫ (5)
0 1 1( ) = ( ), ( ) = ( ), ( ) = ( ) ( ) ( =1, ,2 1);
1 ( )
( ) = ( ) ( ), ( ) = ( ) ( ) 1, ( ) = ln .
( )
n n k k k
k
k k k k k k k
k
J x x J x x J x x x k n
A x
x C x x x C x A x C x
A x
+ξ ζ ξ +ζ −
−
ξ −ζ ζ +
…
Зафіксуємо вершину тріщини в одній з квадратурних точок та задовольнимо рівнян-
ня (2) в точках колокації = / 2m mb hη + , =1, ,2m n… . Враховуючи симетрію ( 2 =n k kg g− − ,
= 0, , 1k n −… , = 0ng ) зводимо рівняння (2) і (5) до системи для визначення kg ( = 0, , 1k n −… )
1
(2 1 )
=0
1
= ( ), =1, , ,
n
mk n m k k m
k
J J g p m n
−
+ −⎡ ⎤− + η⎣ ⎦π ∑ … (6)
де = ( )mk k mJ J η .
Відриви в точках колокації, згідно з (3) і (4), набудуть вигляду
1
=0
( ) = , =1, , ,
n
m mk k
k
Lh W g m n
−
Δ η − ∑ … (7)
10 ( 1) 0= 3 / 8, = 7 / 8 ( >1), =1/ 8; =1 ( >1), = 0, ( > )m m mm m mkW W m W W m W k m− .
Позначимо ( )kbΔ — вектор, що утворюють величини відриву в точках колокації mη ,
знайдені для тріщини з вершиною в точці kb згідно з (7). Тоді для довільного положення
вершини тріщини 1( , )k kb b −λ ∈ можна наближено отримати відрив у вузлах колокації на-
ступним чином:
1
1 1( ) ( ) [ ( ) ( )].k
k k k
b
b b b
h
−
− −
λ −
λ = − −Δ Δ Δ Δ
Повільне поширення тріщини. Співвідношення для відривів (1) можна отримати за
допомогою розв’язку відповідної задачі теорії пружності шляхом застосування принципу
пружно-в’язкопружної відповідності.
Якщо зовнішнє навантаження прикладено в момент часу = 0t , відрив в точці x в мо-
мент часу t
0
( , ) = ( ) (0, ) ( ) ' ( , )d .
t
t x l t x l t xτΔ Δ + − τ Δ τ τ∫� � (8)
Враховуючи те, що під час інкубаційного періоду, який триває до моменту часу 0=t t ,
положення вершини тріщини λ не змінюється, 0(0, ) = ( , )x t xΔ Δ� � , вертикальне переміщення
(8) в вершині матиме вигляд
0
0
[ , ( )]= ( ) [ , ( )] ( ) ' [ , ( )]d .
t
t
t t l t t t l t tτΔ λ Δ λ + − τ Δ τ λ τ∫� � (9)
Час інкубаційного періоду 0t знайдемо з рівняння
0 0 max( ) = ,l t D Δ (10)
41ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту
0 1
0 0, 1 0, 0, 1
1 0 0, 0
= ( ),
, = ( ).
j
j j j
j j
D
h
−
− −
−
λ − η
Δ − Δ − Δ
η λ η Δ λ⋅
� � �
�� � Δ
Будемо шукати положення λ в моменти часу
0=kt t k t+ ⋅Δ , =1,2,k … . Позначивши = ( )k ktλ λ ,
на основі (9) запишемо рівняння для визначен-
ня kλ :
0 1 max
=1
( ) ( ) = ,
k
k ki i i
i
l t D D D −+ Λ − Δ∑ (11)
1
1
= ( )d ,
ti
ki kti
l t
t −
Λ − τ τ
Δ ∫
1
, 1 , , 1= ( , ) = ( ),k j
k j j jh
−
− −
λ − η
λ Δ Δ − Δ − Δ⋅ ⋅ ⋅D D � � � � 1 ,, = ( ).j k j k k−η λ η Δ λ⋅�� � Δ
Визначення величин D і Δ� проілюстровано на рис. 1.
Таким чином, (11) дозволяє послідовно визначати положення вершини тріщини kλ в
моменти часу kt , =1,2,k … .
Якщо характеристика повзучості ( )l t знайдена в формі,
0
( ) =1 exp( )d = exp( ), = , =1 ,
t r
r r r r r r
rr r r
l t l t l∞ ∞
λ+ λ −β τ τ − ξ −β ξ + ξ
β∑ ∑ ∑∫
то
∞
ξ −β − Δ − −β ΔΛ −
β Δ∑ exp( ( ) )[1 exp( )]
= .r r r
ki
rr
k i t t
l
t
У випадку =1r
∞ ∞+ − −β( ) = ( 1)exp( ).l t l l t
Для цього найпростішого випадку час інкубаційного періоду визначається з (10) у
вигляді
1
0
max 0
1
= ln .
/
l
t
l D
− ∞
∞
−
β
− Δ
Умова наявності періоду докритичного поширення тріщини
1 0
max
< <1.
D
l −∞ Δ
Нерівність 1
0 max/D l −∞Δ � забезпечує неможливість досягнення розкриттям у вершині
граничного значення за будь-який час, нерівність 0 max/ 1D Δ � відповідає початку динаміч-
ного зростання тріщини при прикладанні навантаження.
Числовий приклад. Розглянемо задачу, що відповідає постановці, зображеній на рис. 2.
Виберемо інтервал пошуку функції щільності відриву −( , )a a таким чином, щоб він на-
певне містив наперед невідомий інтервал розташування тріщини разом із зонами зчеплен-
ня −β β( , ) . Для того щоб врахувати контактні напруження і задовольнити умову плавності
Рис. 1
42 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 1
А.О. Камінський, М.Ф. Селіванов
змикання берегів будемо розв’язувати задачу (2) з контурними умовами
2 2
0 0
c2 2 2 2
0 0
0, | | < ,2( )
( ) = 1 ( )
, | | > ,( ) ( 1)( )
xPy x y
p x x
xx y x y∞
⎡ ⎤ λ⎧−−σ + − −σ + ⎨⎢ ⎥ σ λπ + + + ⎩⎣ ⎦�
(12)
де у випадку плоского напруженого стану = (3 ) / (1 )− ν + ν� , ν — коефіцієнт Пуассона. Па-
раметр матеріалу � будемо вважати незмінним з часом при дослідженні поширення тріщи-
ни. Напруження c( )xσ в (12) унеможливлює перекриття берегів тріщини і разом з відри-
вом може бути знайденим за допомогою наступної ітеративної процедури:
1) розв’язуємо систему рівнянь ( ) = 0λΔ з невідомими значеннями функції щільності
відриву kg в квадратурних точках kb (ліві частини цієї системи наведені в (7)); знаходимо
відповідні корегуючі напруження
1
c
=0
1
( ) = ( )
n
m m mk k
k
p J g
−
σ η η −
π∑ ; (13)
2) в системі (6) рівняння з номерами, що задовольняють умові c( ) > 0mσ η , змінюємо на
рівняння ( ) = 0mΔ η . Розв’язавши отриману систему, знайдемо нові значення kg і відповідні
напруження c( )mσ η згідно з (13).
Повторюємо останній крок доки всі c( )mσ η будуть невід’ємними. Знайдені kg визна-
чають ( )λΔ згідно з (7).
Застосований алгоритм дозволяє не використовувати умову скінченності напружень в
явній формі рівняння для визначення довжини зчеплення. Такий підхід не дає точного зна-
чення для β , але цей параметр часто не є характеристикою тріщиностійкості і може бути
віднесеним до внутрішніх параметрів задачі.
На рис. 3 наведені контури зростаючої тріщини та відповідна кінетична крива (Δ є відривом,
віднесеним до maxΔ ), отримані для =1E ГПа, = 0,3ν , = 35σ МПа, =17,5∞σ МПа, = 1P ∞σ ⋅ см,
5
max =1,5 10−Δ ⋅ м, 0 = 0,5λ см, =1,2a см, = 0,008h см, = 30l∞ , = 0,01β с 1− , =1tΔ с.
Рис. 2 Рис. 3
43ISSN 1025-6415. Доп. НАН України. 2017. № 1
Повільне зростання тріщини з ділянкою контакту
Аналізуючи отриманий результат, треба відмітити зменшення зони контакту при по-
ширенні тріщини. При зникненні цієї зони досить швидко завершується етап докритичного
зростання.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Kaminsky A.A. Mechanics of the delayed fracture of viscoelastic bodies with cracks: theory and experiment
(review) // Int. Appl. Mech. — 2014. — 50, No 5. — P. 485—548.
2. Knauss W.G. A review of fracture in viscoelastic materials // Int. J. Fract. — 2015. — 196. — P. 99—146.
3. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. — Киев: Наук. думка, 1981. — 324 с.
Надiйшло до редакцiї 26.05.2016
REFERENCES
1. Kaminsky A.A. Int. Appl. Mech., 2014, 50, No 5: 485—548.
2. Knauss W.G. Int. J. Fract., 2015, 196: 99—146.
3. Savruk M.P. Two-dimensional Problems of Elasticity for Bodies with Cracks, Kiev: Naukova Dumka, 1981 [in
Russian].
Received 26.05.2016
А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов
Институт механики им. С. П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: fract@inmech.kiev.ua, mfs@ukr.net
МЕДЛЕННЫЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ С ЗОНОЙ КОНТАКТА
Предложен алгоритм решения задачи о медленном распространении трещины нормального отрыва с ча-
стичной зоной контакта берегов. В основу алгоритма положена модель трещины с зоной сцепления, ите-
ративный метод построения решения для упругого отрыва и принцип упруго-вязкоупругой аналогии, ко-
торый позволяет записать зависящий от времени отрыв в форме Больцмана—Вольтерра. В качестве кри-
терия распространения трещины используется деформационный критерий с постоянной величиной
критического отрыва и прочности сцепления в течение квази-статического роста трещины. Алгоритм про-
иллюстрирован числовым примером с растягивающим на бесконечности усилием и симметричной отно-
сительно линии трещины системой двух сосредоточенных сил, вызывающих контакт берегов. При рас-
пространении трещины контакт берегов исчезает, что сопровождается быстрым переходом к динамиче-
скому этапу распространения.
Ключевые слова: модель трещины с зоной сцепления, медленный рост трещины, трещина с зоной контакта.
A.A. Kaminsky, M.F. Selivanov
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: fract@inmech.kiev.ua, mfs@ukr.net
SLOW GROWTH OF A CRACK WITH CONTACT ZONE
An algorithm for solving the problem of slow propagation of mode I crack with partial closure is proposed. The al-
gorithm is based on the cohesive zone model, iterative method for constructing elastic solutions, and the principle
of elastic-viscoelastic correspondence, which allows us to obtain the time-dependent separation in the Boltzmann—
Volterra form. As a criterion for crack propagation, the crack-tip-opening displacement fracture criterion is used
with constant crack tip opening displacement and cohesive strength during the quasistatic crack growth. The algo-
rithm is illustrated by the numerical example with tensile stress at infinity and the system of two point forces sym-
metric with respect to the crack line, which cause the contact of crack faces. During the crack propagation, the
contact zone disappears, which is accompanied by the rapid transition to the dynamic stage of fraction.
Keywords: cohesive zone model, slow crack growth, crack with contact zone.
|