Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності
Розглянуто мішану задачу для подвійно нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності, збурених генератором стрибкоподібного процесу, які пов'язані з теорією ціноутворення європейських опціонів. Доведено теорему існування її розв'язку....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126421 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності / О.М. Бугрій // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126421 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1264212017-11-24T03:02:51Z Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності Бугрій, О.М. Математика Розглянуто мішану задачу для подвійно нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності, збурених генератором стрибкоподібного процесу, які пов'язані з теорією ціноутворення європейських опціонів. Доведено теорему існування її розв'язку. Рассмотрена смешанная задача для дважды нелинейных параболических уравнений с переменными показателями нелинейности, возмущённых генератором скачкообразного процесса, которые возникают в теории ценообразования европейских опционов. Доказана теорема существования её решения. We consider the initial-boundary value problem for doubly nonlinear parabolic equations with variable exponents of nonlinearity perturbed by a generator of the jump process arising from the theory of European options. The existence theorem for the problem is proved. 2017 Article Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності / О.М. Бугрій // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.02.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126421 517.95 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Бугрій, О.М. Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто мішану задачу для подвійно нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками нелінійності,
збурених генератором стрибкоподібного процесу, які пов'язані з теорією ціноутворення європейських
опціонів. Доведено теорему існування її розв'язку. |
| format |
Article |
| author |
Бугрій, О.М. |
| author_facet |
Бугрій, О.М. |
| author_sort |
Бугрій, О.М. |
| title |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_short |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_full |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_fullStr |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_full_unstemmed |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| title_sort |
мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126421 |
| citation_txt |
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками нелінійності / О.М. Бугрій // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 2. — С. 3-9. — Бібліогр.: 15 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bugríjom míšanazadačadlâpodvíjnonelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzízmínnimipokaznikaminelíníjností |
| first_indexed |
2025-07-09T04:57:44Z |
| last_indexed |
2025-07-09T04:57:44Z |
| _version_ |
1837144017969610752 |
| fulltext |
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 2
Нехай , 0n T∈ > — деякі числа, nΩ⊂ — обмежена область класу C0,1 (див. [1, с. 48]),
∂Ω — межа Ω , 0, 0,(0, ), (0, ), {( , ) , }, [0, ]T TQ T T x t x t Tτ= Ω × Σ = ∂Ω× Ω = ∈Ω = τ τ ∈ .
Розглянемо задачу: знайти функцію u : Q0,T → R таку, що
( ) 2 ( ) 2
0,
( , )
( , , )( ( , ) ( , )) ( , ), ( , )
r x q x
t t
T
u u u a u g x t u u
Z x t y u x y t u x t dy f x t x t Q
− −
Ω
+ − Δ + +
⎛ ⎞+ φ + − = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ , (1)
0,
0
T
u Σ = , (2)
0 0( ),tu u x x= = ∈Ω , (3)
де a > 0 — задане число,
2 2
2 2
1 nx x
∂ ∂Δ = + +
∂ ∂
…
— оператор Лапласа, r, g, q, φ, Z, f, u0 — зада ні
функції, u — продовження функції u нулем нa ( ) (0, )n TΩ ×\ . Ввівши позначення
( ) 2
0,
1
( )( , ) ( , ) ( , ), ( , )
( ) 1
r x
Tu x t u x t u x t x t Q
r x
−:= ∈
−
R , (4)
( ) 2
0,( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , )q x
TGu x t g x t u x t u x t x t Q−:= ∈ , (5)
© О.М. Бугрій, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.02.003
УДК 517.95
О.М. Бугрій
Львівський національний університет ім. Івана Франка
E-mail: ol_buhrii@i.ua
Мішана задача для подвійно нелінійних
інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними
показниками нелінійності
Представлено членом-кореспондентом НАН України Б.Й. Пташником
Розглянуто мішану задачу для подвійно нелінійних параболічних рівнянь зі змінними показниками не лі нійності,
збурених генератором стрибкоподібного процесу, які пов'язані з теорією ціноутворення європейських
опціонів. Доведено теорему існування її розв'язку.
Ключові слова: подвійно нелінійне параболічне рівняння, інтегро-диференціальне рівняння, змінний показ-
ник нелінійності, стрибкоподібно-дифузійний процес, європейський опціон.
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 2
О.М. Бугрій
0,( )( , ) ( , , )( ( , ) ( , )) , ( , ) TEu x t Z x t y u x y t u x t dy x t Q
Ω
:= + − ∈∫ , (6)
рівняння (1) можна записати у вигляді
0,( ) ( ) ( , ), ( , ) .t t Tu u a u Gu Eu f x t x t Q+ − Δ + + φ = ∈R (1′)
Рівняння (1) називають подвійно нелінійним, а функції r, q — (змінними) по казниками
нелінійності цього рівняння. Задачі для рівнянь типу (1) мають велике прикладне значення,
зокрема, у фінансовій математиці. Наприклад, лінійний аналог (1) виникає в моделі Мер-
тона [2], яка описує біржові коливання вартості опціонів. У цьому випадку оператор E є
генератором стрибкоподібного процесу і відповідає за миттєві зміни ціни акції, які відбу-
ваються, наприклад, під час неочікуваної терористичної атаки, стихійного лиха, отриман-
ня компанією великого державного замовлення тощо.
Параболічні рівняння зі змінними показниками нелінійності без інтегральних членів
досліджено в [3, 4]. Задачі для нелінійних параболічних рівнянь зі сталими показниками
нелінійності та інтегральним членом іншого ніж (6) вигляду вивчалися в [5, 6], а для
рівнянь зі змінними показниками нелінійності та інтегральними членами іншого ніж (6)
вигляду — в [7].
У роботі [8] автором розпочато вивчення мішаної задачі для нелінійного рівняння
–2
0,( ) ( ) ( , ), ( , )t Tu a u u Gu Eu f x t x t Qγ− Δ | | + + φ = ∈ . (7)
При γ ∈[2, 3) у [8] доведено існування узагальненого розв'язку задачі (7), (2), (3). За-
дачу Коші для рівняння типу (7) з ( ) 2, )q x s s≡ ( =φ досліджено в праці [9] при 2γ = , а в
праці [10] — при 3γ = .
У цій роботі досліджується мішана задача для подвійно нелінійних рівнянь зі змінни-
ми показниками нелінійності ( ( ), ( ) const)r x q x ≡ та нелінійними інтегральними членами.
Така задача розглядається, мабуть, вперше.
Формулювання основного результату. Спершу введемо потрібні нам далі позначення.
Нехай { },k m m k k= ∈ | ∈� . Норму в банаховому просторі B позначимо через ; B|| ⋅ || .
Через Lip (R) позначимо множину функцій, які визначені на R і там задовольняють умову
Ліпшиця (див. [11, с. 29]). Нехай ;N G∈ — вимірна множина в RN; M(G) — множина
всіх вимірних за Лебегом функцій :v G → (див. [12, с. 120]); Lp(G), де [1, ]p∈ ∞ , — простір
Лебега (див. [1, с. 37]),
( ) : { ( ) ess inf ( ) 0}
y G
G q L G q y∞
+
∈
= ∈ | >B .
Для кожної функції ( )q G+∈B через q0, q0 визначимо числа
0 : ess inf ( )
y G
q q y
∈
= , 0 : ess sup ( )
y G
q q y
∈
= , (8)
а через Sq — функцію
0
0( ) : max{ , }, 0q q
qS s s s s= � . (9)
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 2
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками ....
Якщо ( )q G+∈B і q0 > 1, то визначимо ( )q G+′ ∈B так:
( )
( ) :
( ) 1
q y
q y
q y
=′
−
(тобто
1 1
1
( ) ( )q y q y
+ =
′
) майже для всіх y G∈ (очевидно, що 0 1q >′ ).
Нехай ( )q G+∈B і q0 � 1. Узагальненим простором Лебега ( ) ( )q yL G називають лінійний
простір функцій ( )v G∈M , для яких виконується нерівність
( )
( ; ) : ( )
q y
q
G
v G v y dy= < +∞∫ρ
з
нормою
( ); ( ) : inf { 0 ( ; ) 1}q y
qv L G v G|| || = λ > | /λ �ρ .
Коли q0 > 1, то ( ) ( )q xL G є рефлексивним сепарабельним банаховим простором (див.
[13, с. 599, 600, 604]).
Нехай G — область, , [1, ],m p B∈ ∈ ∞ — банахів простір. Розглядатимемо простори
, ( )m pW G і ,
0 ( )m pW G (див. [1, с. 44]); ,2( ) : ( )m mH G W G= , ,2
0 0( ) : ( )mmH G W G= ; (0, ; )pL T B
(див. [1, с. 155]); , (0, ; )m pW T B (див. [14, с. 286]); ,2(0, ; ) : (0, ; )m mH T B W T B= .
Нехай , ( )m q G+∈ ∈B і q0 � 1. Узагальненим простором Соболєва , ( ) ( )m q yW G на зи-
ватимемо підпростір простору Lq(y)(G), складений з функцій, узагальнені похідні ( в сенсі
Соболєва) включно до порядку m яких існують і належать до ( ) ( )q yL G . Якщо 0, 1m q∈ > ,
то , ( ) ( )m q yW G є рефлексивним сепарабельним банаховим простором (див. [13, с. 604]).
Нехай 1
0 0,( )TC Q — множина неперервно диференційованих фінітних на 0,TQ функцій,
1
( , , )
nx xu u u∇ = … ,
1 1 n nx x x xu v u v u v∇ ∇ = + +… . Припустимо, що виконуються такі умови:
0
0 0
3
, ( ), 2, 2
2
r q r r q+∈ Ω < < >S: �B , і якщо 2n∈ , то 0 2
2
1
q
n
+
−
� ;
0, 0,( ), ( )T t Tg Q g L Q∞
+∈ ∈G: B ;
0,( )TZ L Q∞∈ ×ΩE: ;
Lip( ), (0) 0φ ∈ φ =Ф: ;
2
0,( )Tf L Q∈F: ;
2 1
0 0( ) ( )u H H∈ Ω ΩU: ∩ .
Означення. Функцію 2 1
0(0, ; ( ))u L T H∈ Ω називатимемо узагальненим розв'язком зада-
чі (1)—(3), якщо 2 ( ) ( ) 2
0, 0, 0, 0,( ), ( ), ( ), ( )r x q x
t T T T Tu L Q u L Q Gu L Q Eu L Q′ ′∈ ∈ ∈ ∈R , u задоволь-
няє умо ви (2), (3) і
0,
[ ) ] 0
T
t t
Q
u v u v a u v G u v Eu v f v dxdt− + + ∇ ∇ + + ( − =∫ R φ (10)
для всіх 1
0 0,( )Tv C Q∈ .
Теорема. Нехай 4C∂Ω∈ , виконуються умови S–U. Тоді задача (1) — (3) має узагальне-
ний розв’язок u і цей розв’язок характеризується такими додатковими властивостями:
( )
2
12 1 2
0,, ( ), (0, ; ( ))
r x
Tu Gu L Q u u H T L
−∈ ∈ ΩR .
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 2
О.М. Бугрій
Обґрунтування основного результату. Аналогічно як в [15] доводимо таку лему.
Лема 1. Якщо ( )r +∈ ΩB і r0 > 1 (відповідно, 0,( ), ( )Tg L Q q∞
+∈ ∈ ΩB і q0 >1), то визначе-
ний в (4) (відповідно, в (5)) оператор Немицького ( ) ( )
0, 0,( ) ( )r x r x
T TL Q L Q′: →R (відповідно,
( ) ( )
0, 0,( ) ( )q x q x
T TG L Q L Q′: → ) є обмеженим і неперервним.
Доведення нижченаведеної леми можна знайти в [8].
Лема 2. При виконанні умови Е визначений формулою (6) інтегральний оператор
2 2
0, 0,( ) ( )T TE L Q L Q: → є лінійним неперервним оператором і задовольняє оцінку
2 2
0, 1 0,; ( ) ; ( )T TEu L Q C u L Q|| || || ||� , 2
0,( )Tu L Q∈ , (11)
де С1 > 0 — стала, яка не залежить від u.
Для доведення теореми використаємо метод еліптичної регуляризації.
Крок 1. Для кожного ε > 0 розглянемо допоміжну задачу Діріхле—Неймана
0,( ) ) ( , ), ( , )tt t t Tu u u a u G u Eu f x t x t Qε ε ε ε ε ε−ε + + − Δ + + ( = ∈R φ , (12)
0, 0 00, , 0
T Ttu u u uε ε ε
Σ Ω Ω| = | = | = . (13)
За допомогою методу Гальоркіна доводимо існування узагальненого розв’язку uε за-
дачі (12), (13) з властивостями 2 1 1
0, 0( ) (0, ; ( ))Tu H Q H T Hε ∈ Ω∩ , 1 2(0, ; ( ))u H T Lε∈ ΩR ,
2
0,( )TGu L Qε ∈ , 2
0,) ( )TEu L Qε( ∈φ , uε задовольняє (12) майже скрізь в Q0,T .
Крок 2. Отримаємо оцінки першого типу для uε. Введемо допоміжну функцію:
2
0 0,( , ) : 1 ( ), ( , ) T
t
D x t u x x t Q
T
⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . При виконанні умов S і U маємо, що
2
0,( )TD H Q∈ ⊂
( ) ( )([0, ]; ( ) ( ))r x q xC T L L⊂ Ω Ω∩ ,
0, 0 00, , 0, 0
T t t T t t TD D u D DΣ = = =| = | = | = | = . (14)
Домножимо (12) па uε — D та зінтегруємо за Q0,T . З отриманої рівності випливає оцінка
0, 0,
2 2 ( ) 2 ( )
2
T T
q x r x
t
Q Q
u dxdt u u u u dxdt Cε ε ε ε ε⎡ ⎤ε + |∇ | + | | + | | + | |⎣ ⎦∫ ∫ � . (15)
З (15) і леми 1 матимемо, що
( ) ( )
0, 3 0, 4; ( ) , ; ( )r x q x
T Tu L Q C Gu L Q Cε ε′ ′|| || || ||� �R . (16)
З умови Ф і оцінок (11), (15) випливає, що
2 2
0, 5 0, 6); ( ) ; ( )T TEu L Q C u L Q Cε ε|| ( || || ||� �φ . (17)
Тут 2 6, , 0C C >… — сталі, які не залежать від ε.
Оцінки (15)—(17) дають можливість зробити висновок про існування такої послідов-
ності { }j j∈ +ε ⊂ , що 0j
j→∞
ε → ,
j
j
u u
ε
→∞
→ слабко в 2 1 ( ) ( )
0 0, 0,(0, ; ( )) ( ) ( )r x q x
T TL T H L Q L QΩ ∩ ∩ , (18)
1
j
j
u
ε
→∞
→R X слабко в ( )
0,( )r x
TL Q′ , (19)
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 2
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками ....
2
j
j
Gu
ε
→∞
→ X слабко в ( )
0,( )q x
TL Q′ , (20)
3)j
j
Eu
ε
→∞
( →φ X слабко в 2
0,( )TL Q , (21)
4
j
j t
j
u
ε
→∞
ε → X слабко в 2
0,( )TL Q . (22)
Крок 3. Отримаємо оцінки другого типу для uε. За умови S маємо таке:
( )
2
1 1 2(0, ; ( ))
r x
u u H T L
−ε ε ∈ Ω ,
( ) ( )
2 2
1 1( )
( )
2
r x r x
t t
r x
u u u u
− −ε ε ε ε| | = | | . (23)
( ) 1,1 1(0, ; ( ))q xu W T Lε ∈ Ω , ( ) ( ) 2( ) ( )q x q x
t tu q x u u uε ε − ε ε| | = | | . (24)
Оскільки (12) виконується майже скрізь в Q0,T , то домноживши цю рівність на функцію
2 1
0(0, ; ( ))tu L T Hε ∈ Ω і зінтегрувавши за Q0,T , після нескладних перетворень отримаємо оцінку
0,
( ) 2 2 2
7
T
r x
t t
Q
u u u dxdt Cε − ε ε⎡ ⎤| | | | + | |⎣ ⎦∫ � . (25)
Тому з (23) випливає, що
( )
2
0, 0,
2 0 2
1 ( ) 2 2
84
r x
T T
r x
t t
Q Q
r
u u dxdt u u dxdt C
−ε ε ε − ε| |(| | ) | | | |∫ ∫� � . (26)
Тут 7 8, 0C C > — сталі, які не залежать від ε. З оцінок (15), (25), (26) випливає, що
( )
2
1
5
r x
j j
j
u u
−ε ε
→∞
| | → X слабко в 1 2(0, ; ( ))H T L Ω , (27)
j
j
u u
ε
→∞
→
слабко в 1
0,( )TH Q , (28)
З (28), теореми Релліха—Кондрашова (див. лему 1.28 [1, с. 47]) і з леми 1.18 [1, с. 39]
отримаємо, що
j
j
u u
ε
→∞
→ сильно в 2
0,( )TL Q та майже скрізь в Q0,T . (29)
Тому 1 u=X R , 2 Gu=X ,
( )
2
1
5
r x
u u
−= | |X . З умови Ф, неперервності оператора E і збіжнос-
ті (29) випливає рівність 3 ( )Eu=φX .
Візьмемо в (12) jε = ε , домножимо отриману рівність на 1
0 0,( )Tv C Q∈ , зінтегруємо за
0,( , ) Tx t Q∈ , зінтегруємо частинами і спрямуємо j →∞. У результаті отримаємо (10). О с-
кільки функції { }j
ju
ε
∈ задовольняють умови (13), то зі збіжності (28) робимо висновок
про те, що функція u задовольняє (2) і (3). Отже, u — узагальнений розв’язок задачі (1)—(3).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные диф фе рен-
циальные уравнения. Москва: Мир, 1978. 336 с.
2. Merton R.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous. J. Financ. Econ. 1976. 3.
P. 125—144.
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 2
О.М. Бугрій
3. Бокало T.M., Бугрій O.M. Подвійно нелінійні параболічні рівняння зі змінними показника ми неліній-
ності. Укр. мат. журн. 2011. 63, вип. 5. С. 612—628.
4. Antontsev S., Shmarev S. Evolution PDEs with nonstandard growth conditions. Existence, uniqueness,
localization, blow-up. Paris: Atlantis Press, 2015. 409 p. (Atlantis Studies in Differential Equations; Vol. 4).
5. Souplet Ph. Uniform blow-up profiles and boundary behavior for diffusion equations with nonlocal nonlinear
source. J. Differ. Equat. 1999. 153. P. 374—406.
6. Бокало M., Дмитрів В. Крайові задачі для інтегро-диференціальних рівнянь в анізотропних просто-
рах. Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 2001. Вип. 59. С. 84—101.
7. Pinasco J.P. Blow-up for parabolic and hyperbolic problems with variable exponents. Nonlinear Ana lysis.
2009. 71. P. 1094—1099.
8. Бугрій О., Бугрій M. Про існування в узагальнених просторах Соболєва розв’язків мішаних задач для
нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь, пов’язаних з європейським опціоном. Вісн. Львів. ун-ту.
Сер. мех.-мат. 2016. Вип. 81. С. 61—84.
9. Brіаnі М., Natalini R., Russo G. Implicit-explicit numerical schemes for jump-diffusion processes. Calcolo.
2007. 44, Iss. 1. P. 33—57.
10. Cifani S., Jakobsen E.R., Karlsen K.H. The discontinuous Galerkin method for fractional degenerate convec-
tion-diffusion equations. BIT. 2011. 51, Iss. 4. P. 809—844.
11. Ладыженская О.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. 2-е
изд. Москва: Наука, 1973. 576 с.
12. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. 1: Общая теория. Москва: Изд-во иностр. лит., 1962.
896 с.
13. Kovacik О., Rakosnik J. On spaces Lp(x) and W 1, p(x). Czech. Math. J. 1991. 41, Iss. 116. P. 592—618.
14. Evans L.C. Partial differential equations. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998. 662 p. (Graduate Studies
in Mathematics; Vol. 19).
15. Galewski M. On the continuity of the Nemytskij operator between the spaces 1( )p xL and 2( )p xL . Georgian
Math. J. 2006. 13, Iss. 2. P. 261—265.
Надійшло до редакції 09.09.2016
REFERENCES
1. Gajewski, H., Groger, K., Zacharias, K. (1978). Nonlinear operator equations and operator differential
equations. Mos cow: Mir (in Russian).
2. Merton, R. C. (1976). J. Finan. Econ., 3, pp.125-144.
3. Bokalo, T. M., Buhrii, O. M. (2011). Ukr. Math. J., 63, Iss. 5, pp. 612-628 (in Ukrainian).
4. Antontsev, S., Shmarev, S. (2015). Evolution PDEs with nonstandard growth conditions, Existence, uni-
queness, localization, blow-up, Atlantis Studies in Differential Equations, Vol. 4. Paris: Atlantis Press.
5. Souplet, Ph. (1999). J. Differ. Equat., 153, pp. 374-406.
6. Bokalo, M., Dmytriv, V. (2001). Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., Iss. 59, pp. 84-101 (in Ukrainian).
7. Pinasco, J. P. (2009). Nonlinear Analysis, 71, pp. 1094-1099.
8. Buhrii, O., Buhrii, M. (2016). Visnyk Lviv Univ. Ser. Mech.-Math., Iss. 81, pp. 61-84.
9. Briani, M., Natalini, R., Russo, G. (2007). Calcolo, 44, Iss. 1, pp. 33-57.
10. Cifani, S., Jakobsen, E. R., Karlsen, K. H. (2011). BIT, 51, Iss. 4, pp. 809-844.
11. Ladyzhenskaya, O. A., Uraltseva, N. N. (1973). Linear and quasilinear elliptic equations. Moscow: Nauka (in
Russian).
12. Dunford, N., Schwartz, J. T. (1962). Linear Operators, Pt. I: General Theory. Moscow: Izd-vo Inostr. lit.
(in Russian).
13. Kovacik, O., Rakosnik, J. (1991). Czech. Math. J., 41 Iss.116, pp. 592-618.
14. Evans, L. C. (1998). Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. Providence, RI:
Amer. Math. Soc.,
15. Galewski, M. (2006). Georgian Math. J., 13, Iss. 2, pp. 261-265.
Received 09.09.2016
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 2
Мішана задача для подвійно нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь зі змінними показниками ....
O.H. Бугрий
Львовский национальный университет им. Ивана Франко
E-mail: ol_buhrii@i.ua
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДВАЖДЫ НЕЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕН ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Рассмотрена смешанная задача для дважды нелинейных параболических уравнений с переменными по-
казателями нелинейности, возмущённых генератором скачкообразного процесса, которые возникают в
теории ценообразования европейских опционов. Доказана теорема существования её решения.
Ключевые слова: дважды нелинейное параболическое уравнение, интегро-дифференциальное уравнение,
пе ременный показатель нелинейности, скачкообразно-диффузионный процесс, европейский опцион.
О.М. Buhrii
Ivan Franko National University of Lviv
E-mail: ol_buhrii@i.ua
INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR DOUBLY NONLINEAR
INTEGRO- DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH VARIABLE
EXPONENTS OF NONLINEARITY
We consider the initial-boundary value problem for doubly nonlinear parabolic equations with variable expo-
nents of nonlinearity perturbed by a generator of the jump process arising from the theory of European options.
The existence theorem for the problem is proved.
Keywords: doubly nonlinear parabolic equation, integro-differential equation, variable exponent of nonlinearity,
jump-diffusion process, European option.
|