О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка
Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности функций, которые являются решениями уравнений второго порядка (типа Бесселя), а спектральный параметр принадлежит дискретному множеству, совпадающему с нулями целой функции экспоненциального типа....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126536 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка / В.Н. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126536 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1265362017-11-27T03:02:51Z О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка Левчук, В.Н. Математика Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности функций, которые являются решениями уравнений второго порядка (типа Бесселя), а спектральный параметр принадлежит дискретному множеству, совпадающему с нулями целой функции экспоненциального типа. Отримано необхідні і достатні умови безумовної базисності функцій, які є розв'язками рівнянь другого порядку (типу Бесселя), а спектральний параметр належить дискретній множині, що збігається з нулями цілої функції експоненціального типу. We obtain the necessary and sufficient conditions of unconditional basicity of functions that are solutions of second-order equations (Bessel-type), and the spectral parameter belongs to a discrete set coinciding with the zeros of an entire function of the exponential type. 2017 Article О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка / В.Н. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126536 517.518 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Левчук, В.Н. О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка Доповіді НАН України |
| description |
Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности функций, которые являются решениями уравнений второго порядка (типа Бесселя), а спектральный параметр принадлежит дискретному
множеству, совпадающему с нулями целой функции экспоненциального типа. |
| format |
Article |
| author |
Левчук, В.Н. |
| author_facet |
Левчук, В.Н. |
| author_sort |
Левчук, В.Н. |
| title |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| title_short |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| title_full |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| title_fullStr |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| title_full_unstemmed |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| title_sort |
о безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126536 |
| citation_txt |
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка / В.Н. Левчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 3-7. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT levčukvn obezuslovnyhbazisahâderporoždaemyhdifferencialʹnymiuravneniâmivtorogoporâdka |
| first_indexed |
2025-07-09T05:13:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:13:19Z |
| _version_ |
1837144998657654784 |
| fulltext |
3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.003
УДК 517.518
В.Н. Левчук
Полтавский национальный технический университет им. Юрия Кондратюка
E-mail: levchyk.valentyna@gmail.com
О безусловных базисах ядер, порождаемых
дифференциальными уравнениями второго порядка
Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым
Получены необходимые и достаточные условия безусловной базисности функций, которые являются реше-
ниями уравнений второго порядка (типа Бесселя), а спектральный параметр принадлежит дискретному
множеству, совпадающему с нулями целой функции экспоненциального типа.
Ключевые слова: безусловный базис, вещественная функция, гильбертово пространство, уравнение Бес-
селя, класс Бернштейна, базисность, оператор.
Ранее в работе [1] были описаны безусловные базисы из значений ядер Данкла. Пусть ϕ —
вещественная функция из C1( ) такая, что
( ) 0( )x x +ϕ ∀ ∈�� ; ( ) ( 1) ( )x xνϕ − = − ϕ , , x +ν∈ ∈� � , (1)
причем
0
( )x dxϕ < ∞∫
�
,
0
( )
dx
x
< ∞ϕ∫
�
, , 0C C∀ < < ∞ . (2)
Обозначим через 2 ( , )L a aϕ − (0 )a< ∞�
гильбертово пространство функций относительно
скалярного произведения,
, ( ) ( ) ( )
a
a
f g f x g x x dxϕ
−
ϕ∫= | | .
Обозначим через ( , )f x λ решение интегрального уравнения
2
0 0
( , ) ( , ) ( ) 1
( )
x t
dtf x f s s ds
t
λ + λ λ ϕ =∫ ∫ϕ (3)
(которое при ( )x xνϕ = эквивалентно уравнению Бесселя). Зададим функцию
( , ) ( , ) ( , )ie x f x f xλ = λ − λ′λ (4)
(отметим, что ( , ) i xe x e λλ = при ( ) constxϕ ≡ ).
© В.Н. Левчук, 2017
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
В.Н. Левчук
В данной работе описываются безусловные базисы, порождаемые ( , )e x λ , —
{ ( , ); }k ke x λ λ ∈Λ (5)
в пространстве 2 ( , )L a aϕ − , где последовательность { : }k kΛ λ ∈ ∈� � не имеет конечных
предельных точек и находится на положительном расстоянии от � . Функция ( , )e x λ имеет
резольвентное представление:
1( , ) ( )e x I B −λ = − λ 1 , (6)
где B — компактный оператор в 2 ( , )L a aϕ − со спектром в нуле. Существенным представляет-
ся то, что функции ( , )ke x λ являются собственными (в смысле Фредгольма) для оператора K
1( , ) ( , )k k
k
Ke x e x
⎛ ⎞λ = λ⎜ ⎟λ⎝ ⎠
,
где K — одномерное возмущение вольтеррова оператора B,
,K B g ϕ= + ⋅ 1 , 2 ( , )g L a a∈ −ϕ . (7)
В основе доказательства базисности семейства { ( , )}ke x λ лежит развитие методов исследо-
ваний таких задач, предложенных Г.М. Губреевым [2].
Справедливо разложение
2 ( , )L a a L L+ −− = ⊕ϕ ,
где
def 21( ) ( ( ) ( )) : ( ) ( , )
2
L f x f x f x f x L a a± ± ϕ
⎧ ⎫= = ± − ∈ −⎨ ⎬
⎩ ⎭
.
Зададим в 2 ( , )L a a−ϕ линейный оператор
def
0 0
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
x x
iBf x i f t dt f t t dt
x− += + ϕ
ϕ∫ ∫ . (8)
Нетрудно показать, что если
0 0 0 0
1( ) : ( )
( ) ( )
a x a x
dtM x dx M t dt
t x
= ϕ < ∞ = ϕ < ∞ϕ ϕ∫ ∫ ∫ ∫� , (9)
то оператор B (8) ограничен. Если имеют место
( )b x dx= ϕ < ∞∫
�
;
( )
dxb
x
= < ∞ϕ∫
�
� , (10)
то справедливы (9).
Рассмотрим в безвесовом пространстве 2 ( , )L a a− (которое совпадает с 2 ( , )L a aϕ − при
( ) 1; [ , ]x x a aϕ ≡ ∀ ∈ − ) оператор интегрирования
0
( )( ) ( )
x
f x i f x dt= ∫J ; (11)
при этом очевидно, что B=J (11), когда ( ) 1xϕ ≡ . Если для ( )xϕ выполняется (10) и
1( ) 0, 0
( )
x
x
ϕ ≠ ≠ϕ
( [0, ))x a∀ ∈ ,
то оператор B (8) подобен оператору J (11).
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка
Для функции ( , )e x λ (6) и B (8) имеет место
( , )
( , )
e x
Be x
λ −λ = λ
1
. (12)
Если выполняется оценка
0
1 ( ) , [0, ]
( )
x
t dt M x a
x
ϕ ∀ ∈ϕ ∫ � , (13)
то нетрудно видеть, что
2 2( ) 1 Mxf x M x e| | +�
и, значит,
2 2 2( , ) (1 )(1 ) Mxe x M M x e λλ + + λ� | || | | | .
Отсюда следует, что в случае (13) ( , )e x λ (6) является целой функцией экспоненциального
типа, который мы обозначим через σϕ.
Рассмотрим в пространстве 2 ( , )L a aϕ − (1, 2) оператор K:
def
,Kh Bh h g= + 〈 〉1 , 2 ( , )h L a aϕ∈ − , (14)
где B имеет вид (8) и ( , )( )a a x−= χ1 .
Лемма 1. Для резольвент Фредгольма 1( ) ( ), ( ) ( )K K I K B B I K −λ = −λ λ = −λ операторов
K (14) и B (8) справедлива формула
1( ) ,
( ) ( )
1 ,
I B f g
K f B f e
e g
−〈 − λ 〉λ = λ +
− λ〈 〉
(15)
для 2 ( , )f L a aϕ∀ ∈ − , где e имеет вид (6).
В дальнейшем важную роль играет функция
def
( ) 1 ,n e gλ = − λ 〈 〉 . (16)
Из (15) следует, что фредгольмов спектр вполне непрерывного оператора K (14) совпа-
дает с множеством
{ : ( ) 0}nΛ = λ∈ λ =� . (17)
Если nλ ∈Λ , то
1( , ) ( , )n n
n
Ke x e xλ = λλ (18)
и, значит, ( , )ne x λ является собственной функции оператора K.
Размерность корневого подпространства оператора K, отвечающего собственному чис-
лу 1
n
−λ , равна кратности корня nλ функции ( )n λ (16).
Задача описания базисов вида { ( , )}ne x ∞λ тесно связана с изучением оператора K (14).
Теорема 1. Предположим, что функция, ( )xϕ (1), (2) такова, что имеют место (10), и
пусть совокупность { ( , )} ( , 0 )n ne x λ λ ∈Λ ∉Λ образует безусловный базис в 2 ( , )L a aϕ − . Тог-
да существует единственная функция 2 ( , )g L a aϕ∈ − такая, что для оператора K вида (14)
справедливы равенства (18).
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
В.Н. Левчук
Описание класса функций ( )n λ (16) основано на свойствах функций ,e g〈 〉, где ( , )e x λ
имеет вид (6), a 2 ( , )g L a aϕ∈ − .
Лемма 2. Для функции
( ) ,h e hλ = 〈 〉� , (19)
где е имеет вид (6), справедливо представление
( ) (0) ( )
a
i t
a
h h i e t dtλ
−
λ = + λ ψ∫� � , (20)
где ( )tψ принадлежит 2 ( , )L a a− .
Напомним, что функция ( )f λ принадлежит классу Бернштейна Bσ [3] если ( )f λ —
целая функция экспоненциального типа σ� и
sup ( )
x
f x
∈
| | < ∞
�
.
Известно, что для f Bσ∀ ∈ имеет место представление (20) ( )aσ = . Таким образом,
( )h λ� (19) принадлежит классу aB .
Замечание 1. Для ( )n λ (16) имеет, место
,
2
nh a⎛ ⎞π± =⎜ ⎟⎝ ⎠
. (21)
Кроме того, для 1( ) ( ( ) (0))h n n−λ = λ λ − справедливо включение 1 2( ) (0)) ( )h h L−λ λ − ∈ � .
Теорема 2. Пусть функция ϕ (1), (2) обладает, свойствами (10), a ( )n λ имеет вид
( ) 1 ,n e gλ = −λ〈 〉 ,
где 2 ( , )g L a aϕ∈ − , a e задается формулой (6), при этом оператор B в 2 ( , )L a aϕ − имеет вид (8).
Если корни ( )n λ не лежат на � , то следующие условия эквивалентны:
1) для 2 ( , )h L a aϕ∀ ∈ − имеет место оценка
2 2
21 2 1 2
( , ) ( , )
( ) ( ) ) ,
L a a L a a
z n z zB h g dz M h
ϕ ϕ
− −
− −| ϕ | | | 〈(Ι − 〉 || ||∫
�
� ;
2) вес 2 2( ) ( ) || ( )nω λ = ϕ λ λ удовлетворяет 2A условию Макенхаупта на � .
Основной результат работы состоит в следующем.
Теорема 3. Предположим, что функция ( )xϕ (1), (2) обладает свойством (10) и множе-
ство { : }k kΛ = λ ∈ ∈� � лежит на положительном расстоянии от оси �, и пусть функция
f A= 1 (A – оператор из 2 ( , )L a aϕ − в 2 ( , )L a a− , осуществляющий подобие операторов B (8)
и J (11)) такова, что (0) 0f ≠ и существyeт ( )f x′ п.в. причем, 2 ( , )f L a a′∈ − . Для того
чтобы семейство
{ ( , ), } (0 )k ke x λ λ ∈Λ ∉Λ
было безусловным базисом в 2 ( , )L a aϕ − необходимо и достаточно, чтобы Λ образовало мно-
жество корней целой функции экспоненциального типа n такой, что:
1) 1 2( ( ) (0)) ( )n n L−
ϕλ λ − ∈ � ;
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка
2) ,
2
nh a⎛ ⎞π± =⎜ ⎟⎝ ⎠
;
3) вес 2 2( ) | ( ) || ( ) |nω λ = ϕ λ λ удовлетворяет 2A условию Макенхаупта [2];
4) корни ( )n λ простые и последовательности ±Λ (2.7) удовлетворяют условию Карле-
сона [2].
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Губреев Г.М., Левчук В.Н. Описание безусловных базисов из значений ядер Данкла. Функц. анализ и его
прил. 2015. 49, вып. 1. С. 79—82.
2. Губреев Г.М. Избранные труды. Днепропетровск: Середняк Т.К., 2014. 445 с.
3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. Москва: Наука, 1965. 408 с.
Поступило в редакцию 19.09.2016
REFERENCES
1. Gudreev, G. M. & Levchuk, V. N. (2015). Description of unconditional bases formed by values of the Dunkl
kernels. Funkts. analiz i ego pril., 49, Iss. 1, pp. 79-82 (in Russian). doi: https://doi.org/10.4213/faa3176;
Funct. Anal. Its Appl., 49, Iss. 1, pp. 64-66. doi: https://doi.org/10.1007/s10688-015-0085-0.
2. Gubreev G.M. (2014). Selected works. Dnipropetrovsk: Serednyak Т.К. (in Russian).
3. Akhieser N.I. (1965). Lectures on the approximation theory. Moscow: Nauka (in Russian).
Received 19.09.2016
В.М. Левчук
Полтавський нацiональний технічний університет
ім. Юрія Кондратюка
E-mail: levchyk.valentyna@gmail.com
ПРО БЕЗУМОВНІ БАЗИСИ ЯДЕР, ЩО ПОРОДЖУЮТЬСЯ
ДИФФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Отримано необхідні і достатні умови безумовної базисності функцій, які є розв'язками рівнянь другого
порядку (типу Бесселя), а спектральний параметр належить дискретній множині, що збігається з нулями
цілої функції експоненціального типу.
Ключові слова: безумовний базис, дійсна функція, гільбертовий простір, рівняння Бесселя, клас Бернштей-
на, базисність, оператор.
V.N. Levchuk
Yuriy Kondratyuk Poltava National Technical University
E-mail: levchyk.valentyna@gmail.com
ON THE UNCONDITIONAL BASES OF CORES GENERATED
BY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER
We obtain the necessary and sufficient conditions of unconditional basicity of functions that are solutions of
second-order equations (Bessel-type), and the spectral parameter belongs to a discrete set coinciding with the
zeros of an entire function of the exponential type.
Keywords: unconditional basis, real function, Hilbert space, Bessel equation, Bernstein class, basicity, operator.
|