Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду
У підпросторах просторів функцій, аналітичних в областях, вивчаються умови еквівалентності оператора Ліонса Lα простішим операторам. Доведено гіперциклічність та хаотичність одного класу операторів....
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126537 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду / Ю.С. Лінчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 8-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126537 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1265372017-11-27T03:02:51Z Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду Лінчук, Ю.С. Математика У підпросторах просторів функцій, аналітичних в областях, вивчаються умови еквівалентності оператора Ліонса Lα простішим операторам. Доведено гіперциклічність та хаотичність одного класу операторів. В подпространствах пространств функций, аналитических в областях, изучаются условия эквивалентности оператора Лионса Lα простейшим операторам. Доказана гиперцикличность и хаотичность одного класса операторов. We investigate the conditions of equivalence of the Lions operator Lα to simpler operators in subspaces of the spaces of functions analytic in domains. We establish the hypercyclicity and the chaoticity of a class of operators. 2017 Article Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду / Ю.С. Лінчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 8-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.008 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126537 517.983 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Лінчук, Ю.С. Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду Доповіді НАН України |
| description |
У підпросторах просторів функцій, аналітичних в областях, вивчаються умови еквівалентності оператора Ліонса Lα простішим операторам. Доведено гіперциклічність та хаотичність одного класу операторів. |
| format |
Article |
| author |
Лінчук, Ю.С. |
| author_facet |
Лінчук, Ю.С. |
| author_sort |
Лінчук, Ю.С. |
| title |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду |
| title_short |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду |
| title_full |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду |
| title_fullStr |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду |
| title_full_unstemmed |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду |
| title_sort |
про зведення оператора ліонса до простішого вигляду |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126537 |
| citation_txt |
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду / Ю.С. Лінчук // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 8-13. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT línčukûs prozvedennâoperatoralíonsadoprostíšogoviglâdu |
| first_indexed |
2025-07-09T05:13:25Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:13:25Z |
| _version_ |
1837145005660045312 |
| fulltext |
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
© Ю.С. Лінчук, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.008
УДК 517.983
Ю.С. Лінчук
Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича
E-mail: yustlin@gmail.com
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду
Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком
Нехай α ∈ , m ∈ , 2m � і
1
1
m m
m m
d d
L
zdz dz
−
α −
α= + . У підпросторах просторів функцій, аналітичних в областях,
вивчаються умови еквівалентності оператора Ліонса Lα простішим операторам. Доведено гі пер циклічність
та хаотичність одного класу операторів.
Ключові слова: простір аналітичних функцій, оператор Ліонса, еквівалентні оператори, оператори пере-
творення, гіперциклічний оператор, хаотичний оператор.
Узагальнюючи оператор Бесселя, Ж.Л. Ліонс в [1] визначив сингулярний диференціальний
оператор виду
1
1
,
m m
m m
d d
L
zdz dz
−
α −
α= + (1)
m ∈ , 2m � . Він довів, що в просторі нескінченно диференційовних на [0, )∞ функцій
( 1)[0, ) { [0, ) : (0) 0km
mC f C f∞ −∞ = ∈ ∞ = , k ∈ } із загальноприйнятою топологією, оператор
(1) еквівалентний оператору
m
m
d
dz
при певних обмеженнях на параметр α.
Пізніше К. Трімече в [2] встановив умови еквівалентності оператора Lα оператору
m
m
d
dz
в одному підпросторі простору цілих функцій. Для цього в [2] (див. також [3]) будується
оператор перетворення у вигляді нескінченних операторних рядів. Вперше цей метод по-
будови операторів перетворення був запропонований Ж. Дельсартом та Ж.-Л. Ліонсом в
[4] у доведенні еквівалентності диференціальних операторів скінченного порядку в просто-
рі цілих функцій, тому побудовані таким чином оператори перетворення називаються ря-
дами Дельсарта–Ліонса. Для доведення неперервності та ізоморфності операторних рядів
Дельсарта–Ліонса в просторі цілих функцій істотно використовується можливість розкла-
дання цілих функцій у степеневі ряди. Тому запропонований в [4] метод побудови операто-
ра перетворення для диференціальних операторів неможна використати для розв'язування
аналогічних задач у просторі функцій, аналітичних у некругових областях.
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду
У цій роботі вивчаються властивості оператора Lα у деяких підпросторах простору
функцій, аналітичних в областях. Досліджено умови еквівалентності оператора Lα операто-
ру диференціювання D m-го степеня. Встановлено гіперциклічність та хаотичність операто-
рів нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами відносно оператора Ліонса.
Нехай G – довільна область комплексної площини і (G) — простір усіх аналітичних в
G функцій, що наділений топологією компактної збіжності. Через ( (G)) позначимо про-
стір усіх лінійних неперервних операторів на (G). Для фіксованого натурального 2m �
позначимо
2
exp
i
m
π⎛ ⎞ω = ⎜ ⎟⎝ ⎠
. Надалі вважатимемо, що G — довільна зіркова відносно точки
0z = область у , яка інваріантна відносно повороту навколо початку координат на кут
2
m
π
,
тобто G Gω = . Через k(G), 0, 1k m= − , позначимо замкнуті підпростори простору (G),
які визначаються таким чином:
k(G) = {f ∈ (G): ( ) ( ), }.kf z f z z Gω = ω ∀ ∈
В [5] показано, що простір (G) є прямою сумою своїх підпросторів k(G), 0, 1k m= − .
Довільну функцію f ∈ (G) можна єдиним способом зобразити у вигляді
1
0
( ) ( )
m
k
k
f z f z
−
=
= ∑ ,
де fk ∈ k(G).
Нехай α – довільне фіксоване комплексне число. Якщо f ∈ k(G), 0, 2k m= − , то при
\ {0}z G∈ є правильною формула
1
( ) ( )
0
( )( ) ( ) ( ) .m mL f z f z f tz dtα = +α∫ (2)
З (2) випливає, що оператор Lα ∈ ( k(G)) при 0, 2k m= − .
Вивчимо спочатку умови, за яких оператор Lα є еквівалентним у просторах k(G),
0, 2k m= − , оператору mD . Наведемо деякі допоміжні твердження. Через G(m) позначимо
множину ( ) { : }m mG z z G= ∈ . G(m) є областю в , оскільки областю є G. Кожен з просторів
k(G) є ізоморфним простору (G(m)), причому кожен з операторів Sk: (G(m)) → k(G),
який діє за правилом ( )( ) ( )k m
kS f z z f z= , ізоморфно відображає простір (G(m)) на k(G),
0, 1k m= − [6].
Використовуючи ізоморфізми Sk, одержуємо, що є правильним таке твердження.
Лема 1. Для довільного 0, 1k m= − між операторами Tk ∈ ( k(G)) і операторами kT ∈�
( (G(m))) формулою
1
k k k kT S T S −= �
встановлюється взаємно однозначна відповідність.
Зауваження 1. Оскільки k k k kT S S T= � і оператор Sk ізоморфно відображає простір (G(m))
на k(G), то оператор Tk у просторі k(G) еквівалентний оператору kT� у просторі (G(m))
для довільного 0, 1k m= − .
Для числа a ∈ через ( )na позначимо символ Похгаммера, тобто ( ) ( 1)na a a= + …
( 1)a n+ −… при 1n � , 0( ) 1a = .
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
Ю.С. Лінчук
Нехай α — довільне фіксоване комплексне число. Для довільного 0, 1k m= − позначимо
( )
1
, 0,1,
1
k n
n
n
k
m
n
k
m
α + +⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
γ = = …
+⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
. (3)
Область G(m) є зірковою відносно початку координат, оскільки такою є область G. Тоді,
використовуючи теореми 1 і 2 [7] (див. також [8]), одержуємо, що оператор kT� , 0, 1k m= − ,
який на степенях z визначається рівностями ( )n k n
k nT z z= γ� продовжується до оператора з
класу ( (G(m))). При 0,1,n = … виконуються рівності 1 ( )( )( )mn k k mn k
k k k nS T S z z− + += γ� . Тому
для довільного 0, 1k m= − оператор Tk, який визначається рівностями
( ) , 0,1, ,mn k k mn k
k nT z z n+ += γ = … (4)
формулою 1
k k k kT S T S −= � продовжується до оператора з класу ( k(G)).
Теорема 1. Нехай α — довільне фіксоване комплексне число. Для довільного 0, 1k m= −
оператор Tk, який визначається рівностями (3), (4), продовжується до оператора з класу
( k(G)).
Використовуючи наслідок 1 з [7], одержуємо твердження.
Наслідок 1. Нехай α ∈ і 0, 1k m= − . Оператор Tk буде ізоморфізмом простору k(G)
тоді і тільки тоді, коли виконується умова
1, 0,1, .mj k jα = − − − =/ … (5)
Теорема 2. Нехай 0, 2k m= − — довільне фіксоване число, а α ∈ . Для того щоб оператор
Lα був еквівалентним оператору D m у просторі k(G) необхідно і достатньо, щоб виконува-
лася умова (5).
Необхідність умов теореми 2 випливає з того, що розмірності ядер еквівалентних опера-
торів рівні між собою. Достатність умов теореми 2 випливає з рівностей
,m
k kT L D Tα = (6)
0, 2k m= − , і того, що при виконанні умов (5) за наслідком 1 кожен з операторів Tk є ізомор-
фізмом простору k(G), 0, 2k m= − .
Наслідок 2. Нехай 0, 2k m= − — довільне фіксоване число, а α1, α2 ∈ , причому p mjα = − −/
1, 0,1, , 1, 2.k j p− − = =… Тоді оператори
1
Lα та
2
Lα є еквівалентними в просторі k(G).
Надалі вважатимемо, що k(G) = s(G) для k, s ∈ , (mod )k s m≡ . Крім того, D–r
= r
для довільного r ∈ , де — оператор інтегрування. Тоді для довільних , 0, 1k l m= − опера-
тор k lM D −= ізоморфно відображає простір k(G) на l(G) і виконується рівність mMD =
mD M= . Тому є правильним нижченаведене твердження.
Лема 2. Для довільних , 0, 1k l m= − оператор D m у просторі k(G) еквівалентний опера-
тору D m у просторі l(G).
З теореми 2 і леми 2 випливає твердження.
Наслідок 3. Нехай , 0, 2k l m= − — довільні фіксовані числа, а α, β ∈ , причому α задо-
вольняє умову (5), а 1, 0,1,mj l jβ = − − − =/ … . Тоді оператор Lα у просторі k(G) еквівалент-
ний оператору Lβ у просторі l (G).
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду
Для m ∈ , 2m � , через ( )mp t позначимо многочлен вигляду
1
=0
( ) ( )
m
m
k
p t mt k
−
= −∏ .
Зобразимо цей многочлен у вигляді
=1
( )
m
k
m k
k
p t d t= ∑ .
Нехай zU — оператор множення на незалежну змінну. Через mΛ позначимо оператор
1
=1
( )
m
k
m k z
k
d DU D−Λ = ∑ .
Для оператора mΛ при 1n � виконується рівність 1( ) ( )n n
m mz p n z −Λ = . Тому 0 0
m
mD S S= Λ , де
0S — ізоморфізм простору (G(m)) на простір 0(G), який діє за правилом 0( )( ) ( )mS f z f z= .
Внаслідок цього оператор D m у просторі 0(G) еквівалентний оператору mΛ у просторі
(G(m)). Нехай тепер k — довільне фіксоване, 0, 1k m= − . За лемою 2 оператор D m у просторі
k(G) еквівалентний оператору D m у просторі 0(G). Внаслідок транзитивності відношен-
ня еквівалентності операторів звідси випливає, що оператор D m у просторі k(G) еквіва-
лентний оператору mΛ у просторі (G(m)). Таким чином, є правильним таке твердження.
Лема 3. Для довільного 0, 1k m= − оператор D m у просторі k(G) є еквівалентним опера-
тору mΛ у просторі (G(m)).
З теореми 1 і леми 3 випливає таке твердження.
Теорема 3. Нехай 0, 2k m= − — довільне фіксоване число; α ∈ і задовольняє умову (5).
Тоді оператор Lα у просторі k(G) еквівалентний оператору mΛ у просторі (G(m)).
Наведемо одне застосування одержаних результатів. Через позначимо простір
= 0(G) ⊕ 1(G) ⊕ . . . ⊕ m–2(G).
При цьому довільну функцію f ∈ можна єдиним способом зобразити у вигляді
2
=0
( ) ( )
m
k
k
f z f z
−
= ∑ ,
де kf ∈ k(G), причому
1
=0
1
( ) ( )( ) ( )
m
kj j
k k
j
f z P f z f z
m
−
−= = ω ω∑ , 0, 2k m= − .
Оскільки кожен з підпросторів k(G), 0, 2k m= − , є інваріантним відносно операторів Lα,
α ∈ , та D m, то оператори Lα та D m лінійно та неперервно діють у просторі .
Нехай α ∈ , причому для довільного 0, 2k m= − виконується умова (5). Тоді кожен з
операторів Tk, 0, 2k m= − , який побудований в теоремі 1, є ізоморфізмом відповідного про-
стору k(G). За теоремою 2 у кожному просторі k(G), 0, 2k m= − , виконується рівність (6).
Розглянемо оператор
2
0
m
k k
k
T T P
−
=
= ∑ .
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
Ю.С. Лінчук
Він є ізоморфізмом простору і обернений до нього визначається формулою
2
1 1
0
m
k k
j
T T P
−
− −
=
= ∑ .
Оскільки mTL D Tα = , то оператор Lα еквівалентний оператору D m у просторі .
Теорема 4. Нехай α ∈ , причому для довільного 0, 2k m= − виконується умова (2). Тоді в
просторі оператор Lα еквівалентний оператору D m.
Зауваження 2. У випадку G = з теореми 4 одержуємо сформульований на початку ро-
боти результат з [2].
Наведемо одне застосування теореми 2.
Лема 4. Нехай 0, 2k m= − , комплексне число α задовольняє умову (5) і =0( )n nc ∞ — послідов-
ність комплексних чисел, для якої
| | 0.lim n
n
n
c
→∞
= (7)
Тоді оператор
0
n
n
n
T c L
∞
α
=
= ∑ (8)
належить класу ( k(G)).
З використанням теореми Годфруа—Шапіро [9] доводиться таке твердження.
Теорема 5. Нехай 0, 2k m= − , комплексне число α задовольняє умову (5) і =0( )n nc ∞ — по-
слідовність комплексних чисел, яка задовольняє умову (7), причому 0nc =/ для деякого 1n � .
Тоді оператор T виду (8) є гіперциклічним та хаотичним у просторі k(G).
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Lions J.L. Quelques applications d'operateurs de transmutations. Colloques internationaux du CNRS. Vol. 71.
La théorie des équations aux dérivées partielles. Nancy, 1956. P. 125—137.
2. Trimeche K. Mean-periodic functions associated with a differential operator in the complex plane. Mathema-
tical Analysis and Its Applications: Proc. Int. Conf., Safat/Kuwait 1985, KFAS Proc. Ser. 3. Oxford: Pergamon
Press, 1988. P. 385—402.
3. Trimeche K. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators. —
London: Harwood Academ. Publ., 1988. 282 p.
4. Delsarte J., Lions J.L. Transmutations d'operateurs differentieles dans le domaine complexe. Comment. Math.
Helv. 1957. 32, № 2. P. 113—128.
5. Dimovski I. H. Convolutional Calculus. Dordrecht: Kluwer, 1990. 208 p.
6. Berezovskaya G. M., Berezovskii N. I. Description of the isomorphisms of spaces of holomorphic functions that
commute with powers of a multiplication operator. Ukr. Math. J. 1984. 36, № 5. P. 456—459.
7. Лінчук Ю.С. Про один клас діагональних операторів у просторах аналітичних функцій та його застосу-
вання. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2014. № 3. С. 25—28.
8. Лінчук Ю.С. Узагальнений оператор Данкла–Опдама та його властивостi у просторах функцiй, ана лi-
тичних в областях. Мат. методи та фiз.-мех. поля. 2014. 57, № 4. С. 7—17.
9. Godefroy G., Shapiro J.H. Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds. J. Funct. Anal. 1991. 98,
№ 2. P. 229—269.
Надійшло до редакції 20.10.2016
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
Про зведення оператора Ліонса до простішого вигляду
REFERENCES
1. Lions, J.L. (1956) Colloques internationaux du CNRS. Vol. 71. La théorie des équations aux dérivées par-
tielles. Nancy, pp. 125-137.
2. Trimeche, K. (1988). Mean-periodic function associated with a differential operator in the complex plane. In
Mazhar, S. M., Hamoui, A., Faour, N. S. (Eds.). Mathematical analysis and its applications: Proceedings of the
International Conference on Mathematical Analysis and Its Applications, Kuwait, 1985 (pp. 385-4002), Ox-
ford: Pergamon Press.
3. Trimeche, K. (1988). Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential ope-
rators. Lоndon: Harwood Academ. Publ.
4. Delsarte, J. & Lions, J. L. (1957). Transmutatuions d’operateurs differentieles dans le domaine complexe. Com-
ment. Math. Helv., 32, No. 2, pp. 113-128.
5. Dimovski, I. H. (1990). Convolutional Calculus. Dordrecht: Kluwer.
6. Berezovskaya, G. M. & Berezovskii, N. I. (1984). Description of the isomorphisms of spaces of holomorphic
functions that commute with powers of a multiplication operator. Ukr. Math. J., 36, No. 5, pp. 456-459.
7. Linchuk, Yu. S. (2014). On a class of diagonal operators in the spaces of analytic functions and its application.
Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 3, pp. 25-28 (in Ukrainian).
8. Linchuk, Yu. S. (2014). Generalized Dunkl – Opdam operator and its properties in the spaces of analytic func-
tions in domains. Mat. metody ta fiz.-mekh. polia, 57, No. 4, pp. 7-17 (in Ukrainian).
9. Godefroy, G. & Shapiro, J. H. (1991). Operators with dense, invariant, cyclic vector manifolds. J. Funct. Anal.,
98, No. 2, pp. 229-269.
Received 20.10.2016
Ю.С. Линчук
Черновицкий национальный университет им. Юрия Федьковича
E-mail: yustlin@gmail.com
О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ОПЕРАТОРА ЛИОНСА К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
Пусть α ∈ , m ∈ , 2m �
и
1
1=
m m
m m
d d
L
zdz dz
−
α −
α+ . В подпространствах пространств функций, аналитичес-
ких в областях, изучаются условия эквивалентности оператора Лионса Lα простейшим операторам. До-
казана гиперцикличность и хаотичность одного класса операторов.
Ключевые слова: пространство аналитических функций, оператор Лионса, эквивалентные операторы,
операторы преобразования, гиперциклический оператор, хаотичный оператор.
Yu.S. Linchuk
Yuriy Fedkovych Chernivtsi National University
E-mail: yustlin@gmail.com
ON THE TRANSMUTATION OF THE LIONS OPERATOR TO THE SIMPLEST FORM
Let α ∈ , m ∈ , 2m � , and
1
1=
m m
m m
d d
L
zdz dz
−
α −
α+ . We investigate the conditions of equivalence of the Lions
operator Lα to simpler operators in subspaces of the spaces of functions analytic in domains. We establish the
hypercyclicity and the chaoticity of a class of operators.
Keywords: spaces of analytic functions, Lions operator, equivalent operators, transmutation operators, hypercyclic
operator, chaotic operator.
|