О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. П...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126540 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 22-33. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126540 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1265402017-11-27T03:02:39Z О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями Багно, А.М. Механіка На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном упругом слое, а также полупространства идеальной сжимаемой жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских мод в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ. На основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для твердого тіла та тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини побудовані дисперсійні криві нормальних квазілембовських хвиль у гідропружній системі в широкому діапазоні частот. Проаналізовано вплив початкових напружень у попередньо деформованому пружному шарі, а також півпростору ідеальної стисливої рідини на фазові швидкості квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Числові результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз. The dispersion curves of normal quasi-Lamb waves in a hydroelastic system are constructed over a wide range of frequencies, by using the three-dimensional linearized equations of elasticity theory of finite deformations for a solid body and the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid. The influence of initial stresses in the pre-deformed elastic layer and of the half-space of an ideal compressible fluid on the phase velocities of quasi-Lamb waves in a hydroelastic waveguide is analyzed. The numerical results are presented in the form of graphs, and their analysis is given. 2017 Article О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 22-33. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126540 539.3 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Багно, А.М. О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями Доповіді НАН України |
| description |
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твердого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построены дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне
частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном упругом
слое, а также полупространства идеальной сжимаемой жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских
мод в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ. |
| format |
Article |
| author |
Багно, А.М. |
| author_facet |
Багно, А.М. |
| author_sort |
Багно, А.М. |
| title |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| title_short |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| title_full |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| title_fullStr |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| title_full_unstemmed |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| title_sort |
о квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126540 |
| citation_txt |
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой с начальными напряжениями / А.М. Багно // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 3. — С. 22-33. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bagnoam okvazilémbovskihvolnahvsistemepoluprostranstvoidealʹnojžidkostiuprugijslojsnačalʹnyminaprâženiâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T05:13:42Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:13:42Z |
| _version_ |
1837145025756004352 |
| fulltext |
22 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МЕХАНІКА
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.03.022
УДК 539.3
А.М. Багно
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: alexbag2016@gmail.com
О квазилэмбовских волнах в системе:
полупространство идеальной жидкости —
упругий слой с начальными напряжениями
Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем
На основании трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости конечных деформаций для твер-
дого тела и трехмерных линеаризованных уравнений Эйлера для идеальной сжимаемой жидкости построе-
ны дисперсионные кривые нормальных квазилэмбовских волн в гидроупругой системе в широком диапазоне
частот. Проанализировано влияние начальных напряжений в предварительно деформированном упругом
слое, а также полупространства идеальной сжимаемой жидкости на фазовые скорости квазилэмбовских
мод в гидроупругом волноводе. Числовые результаты приведены в виде графиков и дан их анализ.
Ключевые слова: дисперсия волн, сжимаемый и несжимаемый упругие слои, полупространство идеальной
сжимаемой жидкости, начальные напряжения.
Волны, распространяющиеся вдоль границы контакта жидкого полупространства и упру-
гого слоя, являются в определенном смысле обобщением основательно исследованных
основных типов акустических волн: Рэлея, Стоунли, Лява и Лэмба. Интерес к таким за-
дачам связан с тем, что указанные волновые процессы являются определяющими и широ-
ко используются в таких областях, как сейсмология, акустоэлектроника, гидроакустика,
дефектоскопия, нетравматические и неразрушающие ультразвуковые методы контроля и
диагностики, а также и в других. Обзор работ и анализ результатов, полученных в рамках
классической теории упругости и гидродинамики идеальной жидкости, приведены в [1, 2].
Значительное практическое использование поверхностных волн ставит задачу более полно-
го учета реальных свойств сред. К числу таких факторов принадлежат начальные напряже-
ния. Созданные целенаправленно, или, возникшие в результате технологических операций
при изготовлении, они значительно влияют на волновые процессы. Рассмотренные задачи и
результаты, полученные с учетом в телах начальных напряжений, приведены в [2—11].
В настоящей работе для исследования распространения нормальных волн в упругом
слое, подверженном большим (конечным) начальным деформациям, и взаимодействую-
щем с полупространством идеальной сжимаемой жидкости, привлекаются модели пред-
© А.М. Багно, 2017
23ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
варительно напряженного тела и покоящейся идеальной сжимаемой жидкости. При этом
используются трехмерные линеаризованные уравнения теории упругости конечных дефор-
маций для упругого тела и трехмерные линеаризованные уравнения Эйлера для идеальной
сжимаемой жидкости. В качестве подхода выбраны постановки задач и метод, основанные
на применении представлений общих решений уравнений движения упругого тела и жид-
кости, предложенные в работах [3—7].
Постановка задачи. Рассмотрим задачу о распространении акустических волн в гидро-
упругой системе, состоящей из упругого слоя, подверженного большим (конечным) началь-
ным деформациям, и полупространства идеальной сжимаемой жидкости. Решение получим
с привлечением трехмерных линеаризованных уравнений теории упругости при конечных
деформациях для твердого тела и линеаризованных уравнений Эйлера для жидкости, на-
ходящейся в состоянии покоя.
Далее предположим, что изотропное нелинейно-упругое твердое тело, упругий потен-
циал которого является произвольной дважды непрерывно-дифференцируемой функцией
компонент тензора деформаций Грина, занимает объем 1 ,z−∞ < < ∞ 20 z h< ≤ , 3z−∞ < < ∞
и контактирует с идеальной сжимаемой жидкостью, заполняющей полупространство:
1 ,z−∞ < < ∞ 20 z h< ≤ , 3 .z−∞ < < ∞ Примем, что внешние силы, действующие на указанные
среды, распределены равномерно вдоль оси 3.oz В этом случае задача является плоской
и можно ограничиться изучением процесса распространения волн в плоскости 1 2.oz z Сле-
довательно, указанная задача сводится к решению системы уравнений движения упругого
тела и жидкости при следующих динамических и кинематическом граничных условиях:
21 0z hQ = =� ;
22 0z hQ = =� ;
21 0 0zQ = =� ;
2 22 0 2 0z zQ P= ==� � ;
2 2
2
2 0 0z z
u
v
t= =
∂=
∂
. (1)
Здесь iQ� и iP� — составляющие напряжений, соответственно, в упругом теле и жидкости.
В дальнейшем воспользуемся представлениями общих решений, полученными в рабо-
тах [3—7]. Для плоского случая общие решения будут иметь вид:
1) для упругого слоя из несжимаемого материала
2
1
1
1 2
u
z z
∂ χ= −
∂ ∂
;
2
1 1
2 1 1 2 2 12
1
u q q
z
− − ∂= λ λ χ
∂
; 1
i iq −= λ ; 1 2 1λ λ = ;
2 2 2
1 1 2 2 0 1 2 2 0
1 1 1 1 11 11 1 2 1 2 12 12 2 1 12 22 12 2 2
21 2
( ) ( )p q a s q q a s
zz z t
− − −⎧ ⎫∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎡ ⎤= λ λ λ + − λ λ + μ + λ λ μ + −ρ χ⎨ ⎬⎣ ⎦ ∂∂ ∂ ∂ ⎪⎪ ⎭⎩
;
2) для упругого слоя из сжимаемого материала
2
1
1
1 2
u
z z
∂ χ= −
∂ ∂
;
2 0 2 2 02 2 2
1 11 11 2 1 12 22
2 12 2 2 2 0 2 2 2 0 2
2 12 12 1 1 1 11 11 2 1 1 11 11
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a s s
u
a z a s z a s t
⎡ ⎤λ + λ λ μ +∂ ∂ ρ ∂= + − χ⎢ ⎥
λ + μ ∂ λ λ + ∂ λ λ + ∂ ⎦⎣
;
3) для полупространства идеальной сжимаемой жидкости
2 2
2 3
1
1 2
v
z t z t
∂ χ ∂ χ= +
∂ ∂ ∂ ∂
;
2 2
2 3
2
2 1
v
z t z t
∂ χ ∂ χ= −
∂ ∂ ∂ ∂
,
где введенные функции iχ являются решениями следующих уравнений:
24 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
А.М. Багно
1) для упругого слоя из несжимаемого материала
4 2 2 04 4 4
2 2 1 12 22
4 4 2 2 0 4 2 2 0 2 2
1 1 1 2 12 11 2 1 2 12 11 1
( )
( ) ( )
q s
z q s z s z t
⎡ λ λ μ +∂ ∂ ρ ∂+ − +⎢
∂ λ λ μ + ∂ λ λ μ + ∂ ∂⎣
1 2 0 1 2 0
1 2 2 22 22 1 2 1 11 11 1 2 12 12
2 2 2 0 1
1 2 2 12 11 1 2
2 24 4
2 2
12 2 4 2 2 0 2 2
1 2 1 1 2 12 11 2
( ) ( ) 2 ( )
( )
0;
( )
q q a s q q a s a
s q q
q
z z q s z t
− −
− −
λ + + λ + − λ λ + μ+ ×
λ λ λ μ +
⎤λ ρ∂ ∂× − χ =⎥
∂ ∂ λ λ μ + ∂ ∂ ⎦
2) для упругого слоя из сжимаемого материала
2 2 0 2 2 02 2 2 2 2
2 1 12 22 2 2 22 22
2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2
1 1 1 11 11 2 1 1 11 11 1 1 2 12 11 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s a s
z a s z a s t z s z
⎡⎛ ⎞ ⎛λ λ μ + λ λ +∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂+ − + −⎢⎜ ⎟ ⎜∂ λ λ + ∂ λ λ + ∂ ∂ λ λ μ + ∂⎝ ⎠ ⎝⎢⎣
4 22 4
2 12 12
12 2 0 2 2 0 2 0 2 2
1 1 12 11 1 11 11 2 12 11 1 2
( )
0
( ) ( )( )
a
s t a s s z z
⎞ ⎤λ + μρ ∂ ∂− − χ =⎥⎟λ λ μ + ∂ λ + λ μ + ∂ ∂⎠ ⎦
;
3) для полупространства идеальной сжимаемой жидкости
2 2 2
22 2 2 2
1 2 0
1
0
z z a t
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ − χ =⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
.
Выше приняты следующие обозначения: iu — компоненты вектора перемещений упру-
гого тела u ; ρ — плотность материала упругого слоя; iv — составляющие вектора возмуще-
ний скорости жидкости v ; 0a — скорость звука в жидкости в состоянии покоя; іλ — удли-
нения упругого слоя в направлениях координатных осей; ija , ijμ — величины, определяемые
из уравнений состояния и зависящие от вида упругого потенциала [3–7, 11]; 0
ііs — началь-
ные напряжения.
Для анализа распространения возмущений, гармонически изменяющихся во времени,
решения системы уравнений разыскиваем в классе бегущих волн
2 1( ) exp [ ( )]j jX z i kz tχ = −ω ( 1, 2,)j = ,
где k — волновое число; ω – круговая частота; 2 1i = − .
В дальнейшем для каждой из гидроупругих систем решаем две задачи Штурма – Лиу-
вилля на собственные значения для уравнений движения упругого тела и жидкости, а также
находим соответствующие собственные функции. После подстановки решений в гранич-
ные условия (1) получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений от-
носительно произвольных постоянных. Исходя из условия существования нетривиального
решения, приравнивая определитель системы к нулю, получаем дисперсионные уравнения.
Для упруго-жидкостной системы, упругий слой которой из несжимаемого материала, дис-
персионное соотношение имеет вид
0
0 0det ( , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s а h cλ μ ρ ω = ( , 1, 5)l m = . (2)
25ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
Для упруго-жидкостной системы, упругий слой которой из сжимаемого материала, ана-
логичное уравнение будет таким
0
0 0det ( , , , , , , , ) 0lm i ij ij ii se c a s а h cλ μ ρ ω =� ( , 1, 5)l m = . (3)
В этих равенствах использованы обозначения: с — фазовая скорость нормальных волн
в предварительно напряженном слое; h — толщина упругого слоя; sc ( 2
sc = μ ρ) — скорость
волны сдвига в материале ненапряженного упругого тела; μ — модуль сдвига материала
упругого тела.
Отметим, что дисперсионные уравнения (2) и (3) не зависят от формы упругого по-
тенциала и получены для несжимаемых и сжимаемых упругих тел, подверженных большим
(конечным) начальным деформациям. Они являются наиболее общими и из них можно по-
лучить соотношения для ряда частных случаев [2—10]. Если положить 0 0ііs = , то получим
равенства для основательно исследованных в рамках классической теории упругости волн
Рэлея, Стоунли — Шольте и Лэмба [1].
Числовые результаты. В дальнейшем дисперсионные уравнения (2) и (3) решались
численно. При этом расчеты проводились для трех гидроупругих систем. Первая система
состояла из эластичной резины и воды. Ее механические параметры выбирались следующи-
ми: упругий слой — 1200ρ = кг/м3, 61,2 10μ = ⋅ Па; полупространство жидкости — 0 1000ρ =
кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 46,153442.sa a c= = Этот гидроупругий волновод характеризуется
тем, что материал упругого слоя (резина) является несжимаемым податливым и мягким.
Вторая система состояла из оргстекла и воды. Она характеризовалась следующими пара-
метрами: упругий слой — 1160ρ = кг/м3, 93,96 10λ = ⋅ Па, 91,86 10μ = ⋅ Па; жидкое полупро-
странство — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0 1,152595.sa a c= = Материал упругого слоя
этого волновода (оргстекло) является сжимаемым и относится к разряду слабо жестких.
Третья система представляла собой волновод из стали марки 09Г2С и воды. При этом пара-
метры выбирались такими: упругий слой — 7800ρ = кг/м3, 109,26 10λ = ⋅ Па, 107,75 10μ = ⋅
Па; жидкость — 0 1000ρ = кг/м3, 0 1459,5а = м/с, 0 0,463021a = . Этот волновод отличается
тем, что материал упругого слоя (сталь), являясь сжимаемым, относится к категории силь-
но жестких.
Заметим, что уравнения (2) и (3) выведены без введения каких-либо дополнительных
ограничений к виду функции упругого потенциала, поэтому они справедливы для упру-
гих потенциалов произвольной формы. В данной работе при численном решении уравне-
ния (2) для описания упругих свойств резины применялся потенциал Трелоара [4, 5, 8].
Для оргстекла и стали использовался трехинвариантный потенциал Мурнагана [11]. При
рассмотрении конкретных примеров и численного решения уравнения (3) учитывалось то
обстоятельство, что оргстекло и сталь, не разрушаясь, не допускают больших деформаций
и поэтому коэффициенты уравнений состояния ija , ijμ определялись в рамках линейного
акустического приближения [11]. Кроме того, при решении предполагалось, что начальное
напряженное состояние удовлетворяло соотношениям 0
11 0s ≠ , 0
22 0s = . Как показано в ра-
боте [3], при такой загрузке нет аналогии между задачами в линеаризованной и линейной
постановках. Поэтому результаты для тел с начальными напряжениями не могут быть полу-
чены из решений соответствующих линейных задач. Результаты вычислений представлены
на рис. 1—4.
26 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
А.М. Багно
Рис. 2
На рис. 1 приведены графики, полученные для гидроупругой системы, состоящей из
слоя резины (податливый материал) и воды. На рис. 1, а для упругого слоя, не взаимодей-
ствующего с жидкостью, приведены зависимости безразмерных величин фазовых скоро-
стей нормальных волн Лэмба c ( sc c c= ) от безразмерной величины толщины упругого
слоя (частоты) h ( sh h c= ω ) при отсутствии начальных деформаций ( 1 1λ = ).
Характер влияния предварительного сжатия 1( 0,8)λ = на фазовые скорости нормаль-
ных волн в упруго-жидкостной системе иллюстрирует рис. 1, б, где представлены зависи-
мости безразмерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских мод c от безразмерной
величины толщины упругого слоя (частоты) h . Сплошные кривые получены для системы,
упругий слой которой подвергнут начальному сжатию 1( 0,8)λ = . Штриховыми линиями
обозначены дисперсионные кривые, соответствующие гидроупругому волноводу при от-
сутствии начальных деформаций 1( 1)λ = .
На рис. 2, а и 3, а приведены результаты численных расчетов для упруго-жидкостной
системы, состоящей из оргстекла (слабо жесткий материал) и воды. Числовые результаты,
полученные численно для гидроупругого волновода, упругий слой которого из стали (силь-
но жесткий материал), представлены в виде графиков на рис. 3, б и 4, б. На рис. 2, а и 3, б для
упругих слоев, не взаимодействующих с жидкостью, приведены зависимости безразмерных
величин фазовых скоростей нормальных волн Лэмба c от безразмерной величины толщи-
ны упругого слоя (частоты) h при отсутствии начальных деформаций [4, 5, 8].
Рис. 1
27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
Рис. 3
Рис. 4
Дисперсионные кривые для каждого из гидроупругих волноводов, отражающие зависи-
мости безразмерных величин фазовых скоростей квазилэмбовских мод c от безразмерной
величины толщины упругого слоя (частоты) h , полученные при отсутствии начальных де-
формаций, приведены на рис. 2, б и 4, а.
Влияние предварительного растяжения 0( 0,004)iiσ = на скорости нормальных волн в
каждой из упруго-жидкостных систем иллюстрируют графики на рис. 3, а и 4, б. Здесь пред-
ставлены зависимости относительных изменений величин фазовых скоростей мод Лэмба
сε ( ( )с с с cε σ= − , сσ — фазовая скорость мод в предварительно напряженном слое, c — фа-
зовая скорость нормальных волн в упругом слое при отсутствии начальных деформаций) от
толщины упругого слоя (частоты) h .
Анализ числовых результатов. Из графиков, представленных на рис. 1, а (податливый
материал), следует, что для чисто упругого волновода, не подверженного начальному де-
формированию, скорости первой (нулевой антисимметричной) и второй (нулевой симме-
тричной) мод стремятся к скорости волны Рэлея Rc . При этом первая мода стремится к ско-
рости поверхностной волны Rc ( 0,9553303)R R sc c c= = снизу, а скорость второй моды —
соответственно к Rc ( 0,9553303)Rc = сверху.
Графики, приведенные на рис. 1, б (податливый материал), показывают, что в гидро-
упругом волноводе при росте толщины упругого слоя (частоты) h скорости первых мод
стремятся к скорости волны Стоунли stc ( 0,859257st st sc c c= = при 1 1λ = и 0,650184stc =
28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
А.М. Багно
при 1 0,8λ = ) снизу, а скорости вторых мод — к скорости волны Рэлея Rc ( 0,955318Rc = при
1 1λ = и 0,709558Rc = при 1 0,8λ = ) сверху.
Моды более высокого порядка как в гидроупругой системе, так и в чисто упругом слое
распространяются в упругом слое в его толще с фазовыми скоростями, стремящимися с уве-
личением толщины h к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc .
Из графиков, приведенных на рис. 1, б, также следует, что предварительные деформации
вызывают изменение частот зарождения мод Лэмба и смещение их дисперсионных кривых.
Нетрудно видеть, что начальное сжатие 1( 0,8)λ = приводит к сдвигу критических частот и
дисперсионных кривых в коротковолновую часть спектра. При этом происходит уменьше-
ние количества распространяющихся мод Лэмба.
Из графиков, представленных на рис. 2, а (слабо жесткий материал), следует, что ско-
рость первой (нулевой антисимметричной) моды Лэмба при росте частоты или толщины
упругого слоя стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,9335596)Rc = снизу, а скорость вто-
рой (нулевой симметричной) моды стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,9335596)Rc =
сверху. Скорости всех мод Лэмба высокого порядка при увеличении толщины упругого слоя
или частоты h стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc [4, 5, 8].
Графики для гидроупругой системы, приведенные на рис. 2, б (слабо жесткий матери-
ал), показывают, что при росте толщины упругого слоя (частоты) h скорость первой моды
стремится к скорости волны Стоунли stc ( 0,7717101)stc = снизу, а скорость второй моды —
к скорости волны Рэлея Rc ( 0,933558)Rc = сверху. Моды более высокого порядка распро-
страняются в упругом слое в его толще с фазовыми скоростями, стремящимися с ростом
частоты (толщины упругого слоя) к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc .
Приведенные на рис. 3, а графики позволяют заключить, что для рассматриваемого
диапазона частотного спектра начальное растяжение 0
11( 0,004)σ = упругого слоя из слабо
жесткого материала приводит к повышению фазовых скоростей всех мод. Из графиков,
представленных на рис. 3, б (сильно жесткий материал), следует, что скорость первой (ну-
левой антисимметричной) моды Лэмба при росте частоты или толщины упругого слоя h
стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008)Rc = снизу, а скорость второй (нулевой
симметричной) моды стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,923008)Rc = сверху. Скоро-
сти всех мод Лэмба высокого порядка при увеличении частоты или толщины упругого слоя
стремятся к скорости волны сдвига в материале упругого тела sc [1, 4, 5, 8].
Графический материал для гидроупругой системы, приведенный на рис. 4, а (сильно
жесткий материал), показывает, что в этом случае существует лишь одна низшая мода, ско-
рость которой при росте толщины упругого слоя (частоты) h стремится снизу к скорости
волны Стоунли stc ( 0,462886)stc = . При этом ее скорость несколько меньше скорости вол-
ны звука в жидкой среде 0a 0( 0,463021)a = .
Анализ графика, представленного на рис. 4, б, позволяет заключить, что начальное рас-
тяжение 0
11( 0,004)σ = упругого слоя из стали оказывает значительное влияние на фазовую
скорость моды 1, в основном, в окрестности частоты ее зарождения. В дальнейшем с ростом
частоты влияние предварительных деформаций на скорость квазиповерхностной волны
(волны типа Стоунли) ослабевает.
Локализационные свойства низших мод в гидроупругих волноводах. Как показано в
работе [12], фазовая скорость и структура волны Стоунли при взаимодействии твердого
29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
и жидкого полупространств зависят от механических параметров гидроупругой системы и
определяются соотношением между скоростью волны звука в жидкости и скоростью вол-
ны Рэлея в твердом полупространстве. В рассматриваемом случае механические параметры
гидроупругой системы резина (податливый материал) – вода таковы, что скорость распро-
странения звуковой волны в жидкости 0a 0( 46,153442)a = больше скорости квазирэлеев-
ской волны Rc ( 0,955318Rc = при 1 1λ = и 0,709558Rc = при 1 0,8λ = ). Согласно анализу
кинематических характеристик поверхностных волн [12] это приводит к тому, что в высоко-
частотной части спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1, являющейся
волной типа Стоунли, в упругое тело больше глубины проникновения в жидкость. Поэтому
мода 1, распространяясь вдоль границы контакта сред, проникает в твердое тело и локали-
зуется, преимущественно, в приповерхностных областях как жидкости, так и упругого слоя.
Скорость второй моды 2, распространяющейся в упругом слое вдоль его свободной поверх-
ности, стремится к скорости волны Рэлея Rc ( 0,955318Rc = при 1 1λ = и 0,709558Rc = при
1 0,8λ = ) сверху. Скорости всех мод высокого порядка стремятся к скорости волны сдвига в
материале твердого тела sc . При этом с ростом частоты (толщины) в них преобладают по-
перечные смещения, амплитуда которых на поверхностях слоя стремится к нулю по сравне-
нию с их амплитудами в толще слоя, то есть движения в модах высокого порядка смещают-
ся от поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще [1].
В случае упруго-жидкостной системы оргстекло (слабо жесткий материал) — вода ее ме-
ханические параметры таковы, что скорость распространения звуковой волны в жидкости
0a 0( 1,152595)a = несколько больше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,933558)Rc = .
Как отмечалось выше, анализ кинематических характеристик поверхностных волн, выпол-
ненный в работе [12], показал, что при таком соотношении механических параметров мода
1, распространяясь вдоль границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в при-
поверхностных областях как жидкости, так и упругого слоя. Вторая мода распространяется
в упругом слое вдоль его свободной поверхности. Моды высокого порядка смещаются от
поверхности внутрь слоя и локализуются в его толще [1].
Таким образом, анализ показывает, что в двух данных упруго-жидкостных системах при
0 Ra c> низшие моды проникают в твердое тело и также, как и моды более высокого по-
рядка, распространяются в упругом слое. При этом упругий слой является определяющим
в формировании волнового поля и основным волноводом, по которому распространяются
волновые возмущения и осуществляется перенос большей части энергии волн.
В случае гидроупругой системы сталь (сильно жесткий материал) — вода ее меха-
нические параметры таковы, что скорость распространения волны звука в жидкости 0a
0( 0,463021)a = меньше скорости квазирэлеевской волны Rc ( 0,923008)Rc = . В связи с этим
согласно результатам, полученным в работе [12] для волн Стоунли, в высокочастотной ча-
сти спектра глубина проникновения квазиповерхностной моды 1 в жидкость значительно
больше глубины проникновения в упругое тело. Поэтому мода 1, распространяясь вдоль
границы контакта сред, локализуется, преимущественно, в приповерхностной области жид-
кого полупространства.
Таким образом, анализ показывает, что в данной упруго-жидкостной системе при 0 Ra c<
мода 1 не проникает в твердое тело и распространяется вдоль границы контакта сред, глав-
ным образом, в приповерхностной области жидкости. В этом случае волноводом для рас-
30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
А.М. Багно
пространения волны Стоунли и переноса волновой энергии служит приповерхностная об-
ласть жидкого полупространства.
Критерий существования квазилэмбовских мод в гидроупругих волноводах. Прове-
денные отдельно расчеты и анализ числовых результатов, полученных в настоящей рабо-
те, показал, что соотношение между скоростями волны звука в жидкости и волны Рэлея в
твердом теле может служить критерием для определения возможности существования нор-
мальных волн Лэмба в упругом слое, взаимодействующем с полупространством идеальной
сжимаемой жидкости. Как указывалось ранее, в случае гидроупругой композиции со сло-
ем из податливого материала (см. рис. 1), механические параметры составляющих системы
таковы, что скорость волны звука в жидкости значительно больше скорости квазиповерх-
ностной волны Рэлея в твердом слое. При таком соотношении характеристик компонентов
системы жидкость не препятствует обмену энергией между поверхностями упругого слоя.
Вследствие этого, в упругом слое возникает полный набор незатухающих нормальных волн
Лэмба, дисперсионная картина и частотный спектр которых, несмотря на ряд различий, по-
добен волновому процессу в упругом слое, не взаимодействующем с жидкостью.
В гидроупругой системе с упругим слоем из слабо жесткого материала (оргстекло) ско-
рость волны звука в жидкости лишь немного превышает скорость волны Рэлея. В этом слу-
чае, как видно из рис. 2, в упругом слое также возникают квазилэмбовские моды, но только
такие, фазовая скорость которых меньше скорости звуковой волны. Количество этих мод,
распространяющихся без радиационного демпфирования, значительно меньше числа мод
Лэмба в чисто упругом слое.
При взаимодействии упругого слоя из сильно жесткого материала (сталь) с жидким по-
лупространством скорость волны звука в жидкости значительно меньше скорости квазипо-
верхностной волны Рэлея в упругом слое. При таком соотношении между механическими
параметрами компонентов системы идеальная сжимаемая жидкость препятствует обмену
энергией между поверхностями упругого слоя. В этом случае, как видно из рис. 4, в упругом
слое не формируются нормальные квазилэмбовские волны. В гидроупругом волноводе воз-
никает лишь одна низшая первая мода, которая, распространяясь без демпфирования вдоль
границы контакта сред, локализуется в приповерхностной области жидкости.
В заключение отметим, что воздействие жидкости проявляется в изменении критиче-
ских частот и конфигурации дисперсионных кривых, а также в смещении их в длинновол-
новую часть спектра. Основным критерием существования незатухающих нормальных ква-
зилэмбовских волн и распределения их низших мод в средах является соотношение между
величинами скоростей волны звука в жидкости и квазирэлеевской волны, распространяю-
щейся вдоль свободной поверхности упругого слоя.
Особенности влияния начальных напряжений на фазовые скорости и дисперсию нор-
мальных волн в гидроупругих волноводах. Как показано в работе [8], в упругом волноводе,
не взаимодействующем с жидкостью, начальные растяжения вызывают изменение частот
зарождения мод и смещение их дисперсионных кривых. Это приводит к тому, что в окрест-
ности критических частот фазовые скорости мод Лэмба в предварительно деформирован-
ном слое могут быть как меньше, так и больше фазовых скоростей соответствующих мод в
теле без начальных напряжений. Этим обусловлено появление в спектре упругого волново-
да частот (толщин), при которых начальные напряжения не оказывают влияния на фазовые
31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
скорости ряда нормальных волн Лэмба. Отметим, что эта, качественно новая закономер-
ность, отсутствующая в случае распространения волн в неограниченных и полуограничен-
ных телах, впервые была обнаружена и описана в работе [8] для сжимаемого упругого слоя,
не взаимодействующего с жидкостью.
Из рис. 1, б для системы с податливым упругим слоем, следует, что предварительные
деформации вызывают изменение частот зарождения мод Лэмба и смещение их диспер-
сионных кривых. Как видно из рис. 1, б, начальное сжатие 1( 0,8)λ = (сплошные линии)
приводит к сдвигу критических частот и дисперсионных кривых в коротковолновую часть
спектра. При этом происходит уменьшение количества распространяющихся мод Лэмба.
Из этих графиков также следует, что для всех мод Лэмба, кроме первой, существуют упру-
гие слои определенных толщин (частот) h , при которых фазовые скорости c не зависят
от начального сжатия 1λ . Как видно из графиков, эта закономерность, как уже отмечалось
ранее, впервые выявленная для сжимаемых тел и описанная в работе [8], имеет более общий
характер и присуща частотным спектрам упругих волноводов не только из разных материа-
лов, но и гидроупругим волноводам.
В гидроупругой системе: оргстекло (слабо сжимаемый материал) — вода начальное рас-
тяжение 0
11( 0,004)σ = приводит к изменению частот зарождения мод, к смещению их дис-
персионных кривых, а также вызывает изменение их конфигурации. Как видно рис. 3, а, для
рассматриваемого интервала частотного спектра начальное растяжение упругого слоя при-
водит к смещению характеристик волнового процесса в коротковолновую часть частотного
спектра и повышению фазовых скоростей всех мод.
Как ранее указывалось, в двух данных упруго-жидкостных системах низшие моды про-
никают в твердое тело и также, как и моды более высокого порядка, распространяются в
упругом слое. Этим объясняется влияние начальных напряжений на фазовые скорости всех
мод.
График, представленный на рис. 4, б, позволяет заключить, что в случае взаимодей-
ствия упругого слоя из стали (сильно жесткий материал) с водой начальное растяжение
0
11( 0,004)σ = упругого слоя оказывает влияние на фазовую скорость моды 1, в основном,
в окрестности частоты ее зарождения. В дальнейшем с ростом частоты (толщины упругого
слоя) влияние предварительных деформаций на скорость квазиповерхностной волны (вол-
ны типа Стоунли) ослабевает. Как уже отмечалось, в данной упруго-жидкостной системе
низшая мода 1, возникающая в результате взаимодействия упругого слоя с жидким полу-
пространством, не проникает в твердое тело и распространяется без демпфирования вдоль
границы контакта сред, преимущественно, в приповерхностной области жидкости. Этим
объясняется незначительное влияние упругого слоя и начальных напряжений на фазовую
скорость, а также дисперсию этой моды.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. Москва: Наука, 1981. 288 с.
2. Guz A.N., Zhuk A.P., Bagno A. M. Dynamic of elastic bodies, solid particles, and fluid particles in a compres-
sible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech. 2016. 52, № 5. 449—507.
3. Guz A.N. Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1980. 16, № 3. P. 175—
190.
32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 3
А.М. Багно
4. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. В 2-х томах. Киев: Наук. думка, 1986.
5. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными (остаточными) напряжениями. Киев: А.С.К., 2004.
672 с.
6. Гузь А.Н. Динамика сжимаемой вязкой жидкости. Киев: А.С.К., 1998. 350 с.
7. Guz A.N. Dynamics of compressible viscous fluid. Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2009. 428 p.
8. Гузь А.Н., Жук А.П., Махорт Ф.Г. Волны в слое с начальными напряжениями. Киев: Наук. думка, 1976.
104 с.
9. Babich S.Y., Guz A.N., Zhuk A.P. Elastic waves in bodies with initial stresses. Int. Appl. Mech. 1979. 15, № 4.
P. 277—291.
10. Жук А.П. Волны Стонли в среде с начальными напряжениями. Прикл. механика. 1980. 16, № 1. С. 113—
116.
11. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И. Введение в акустоупругость. Киев: Наук. думка, 1977. 152 с.
12. Волькенштейн М.М., Левин В.М. Структура волны Стоунли на границе вязкой жидкости и твердого
тела. Акуст. журн. 1988. 34, № 4. С. 608—615.
Поступило в редакцию 05.07.2016
REFERENCES
1. Viktorov, I. A. (1981). Sound surface waves in solids. Moscow: Nauka (in Russian).
2. Guz, A. N., Zhuk, A. P. & Bagno, A. M. (2016). Dynamics of bodies, solid particles, and fluid particles in a
compressible viscous fluid (review). Int. Appl. Mech., 52, No. 5, pp. 449-507.
3. Guz, A. N. (1980). Aerohydroelasticity problems for bodies with initial stresses. Soviet Applied Mechanics,
16, Iss. 3, pp.175-190. doi: https://doi.org/10.1007/BF00885084.
4. Guz, A. N. (1986). Elastic waves in bodies with initial stresses. In 2 vols. Kyiv: Naukova Dumka (in Rus-
sian).
5. Guz, A. N. (2004). Elastic waves in bodies with initial (residual) stresses. Kyiv: A.C.K. (in Russian).
6. Guz, A. N. (1998). Dynamics of compressible viscous fluid. Kyiv: A.C.K. (in Russian).
7. Guz, A. N. (2009). Dynamics of compressible viscous fluid, Cambridge: Cambridge Scientific Publishers.
8. Guz, A. N., Zhuk A. P., & Makhort F. G. (1976). Waves in layer with initial stresses. Kyev: Naukova Dumka
(in Russian).
9. Babich, S. Y., Guz, A. N. & Zhuk, A. P. (1979). Elastic waves in bodies with initial stresses. Soviet Applied
Mechanics, 15, Iss. 4, pp. 277-291. doi: https://doi.org/10.1007/BF00884760.
10. Zhuk, A. P. (1980). Stoneley waves in a medium of initial stresses. Prikl. mekhanika, 16, No. 1, pp. 113-116 (in
Russian).
11. Guz, A.N., Makhort, F.G., & Guscha, O.I. (1977). Introduction in acoustoelasticity, Kyiv: Naukova Dumka
(in Russian).
12. Volkenshtein, M. M. & Levin, V. M. (1988). Stoneley wave structure on the boundary of a viscous liquid and
solid. Acoustic J., 34, No. 4, pp. 608-615 (in Russian).
Received 05.07.2016
О.М. Багно
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ПРО КВАЗІЛЕМБОВСЬКІ ХВИЛІ У СИСТЕМІ: ПІВПРОСТІР ІДЕАЛЬНОЇ
РІДИНИ — ПРУЖНИЙ ШАР З ПОЧАТКОВИМИ НАПРУЖЕННЯМИ
На основі тривимірних лінеаризованих рівнянь теорії пружності скінченних деформацій для твердого тіла
та тривимірних лінеаризованих рівнянь Ейлера для ідеальної стисливої рідини побудовані дисперсійні
криві нормальних квазілембовських хвиль у гідропружній системі в широкому діапазоні частот. Проана-
лізовано вплив початкових напружень у попередньо деформованому пружному шарі, а також півпростору
ідеальної стисливої рідини на фазові швидкості квазілембовських мод у гідропружному хвилеводі. Число-
ві результати наведено у вигляді графіків та дано їх аналіз.
Ключові слова: дисперсія хвиль, стисливий та нестисливий пружні шари, півпростір ідеальної стисливої
рідини, початкові напруження.
33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 3
О квазилэмбовских волнах в системе: полупространство идеальной жидкости — упругий слой ...
O.M. Bahno
S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: alexbag2016@gmail.com
ON QUASI-LAMB WAVES IN THE SYSTEM
“IDEAL FLUID HALF-SPACE — ELASTIC LAYER WITH INITIAL STRESSES”
The dispersion curves of normal quasi-Lamb waves in a hydroelastic system are constructed over a wide range of
frequencies, by using the three-dimensional linearized equations of elasticity theory of finite deformations for a
solid body and the three-dimensional linearized Euler equations for an ideal compressible fluid. The influence of
initial stresses in the pre-deformed elastic layer and of the half-space of an ideal compressible fluid on the phase
velocities of quasi-Lamb waves in a hydroelastic waveguide is analyzed. The numerical results are presented in
the form of graphs, and their analysis is given.
Keywords: dispersion of waves, compressible and incompressible elastic layers, half-space of an ideal compressible
fluid, initial stresses.
|