О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа
Для коммутативной системы линейных ограниченных операторов Т₁, Т₂, которые действуют в гильбертовом пространстве Н и ни один из которых не является сжатием, получена функциональная модель в пространстве де Бранжа для круга....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126553 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа / В.Н. Сыровацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126553 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1265532017-11-27T03:02:42Z О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа Сыровацкий, В.Н. Математика Для коммутативной системы линейных ограниченных операторов Т₁, Т₂, которые действуют в гильбертовом пространстве Н и ни один из которых не является сжатием, получена функциональная модель в пространстве де Бранжа для круга. Для комутативної системи лінійних обмежених операторів Т₁, Т₂, які діють у гільбертовому просторі H і жоден з операторів не є стисненням, отримано функціональну модель у просторі де Бранжа для круга. For the commutative system of linear bounded operators Т₁, Т₂ which act in a Hilbert space H and are such that none of them is a compression, a functional model is built in the space of de Branges for a circle. 2017 Article О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа / В.Н. Сыровацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.04.007 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126553 517.984 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Сыровацкий, В.Н. О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа Доповіді НАН України |
| description |
Для коммутативной системы линейных ограниченных операторов Т₁, Т₂, которые действуют в гильбертовом пространстве Н и ни один из которых не является сжатием, получена функциональная модель в пространстве де Бранжа для круга. |
| format |
Article |
| author |
Сыровацкий, В.Н. |
| author_facet |
Сыровацкий, В.Н. |
| author_sort |
Сыровацкий, В.Н. |
| title |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа |
| title_short |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа |
| title_full |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа |
| title_fullStr |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа |
| title_full_unstemmed |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа |
| title_sort |
о функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де бранжа |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126553 |
| citation_txt |
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа / В.Н. Сыровацкий // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 4. — С. 7-11. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT syrovackijvn ofunkcionalʹnyhmodelâhkommutativnyhsistemoperatorovvprostranstvahdebranža |
| first_indexed |
2025-07-09T05:15:13Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:15:13Z |
| _version_ |
1837145117728702464 |
| fulltext |
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 4
В работе [1] построена функциональная модель пары коммутативных операторов, когда
один из них является сжатием. Эти построения основаны на технике преобразований
Фурье. Если же ни один из операторов 1 2{ , }T T не является сжатием, данный метод не при-
меним. В работах [2, 3] построены функциональные модели для коммутативных систем
операторов 1 2{ , }T T , причём ни 1T , ни 2T не являются сжимающими. В этом случае функ-
циональная модель строится в пространстве де Бранжа, отвечающем единичному кругу,
которое было получено в работе [4]. В данной работе построены функциональные модели
при определённых ограничениях на основные операторы этой модели.
I. Рассмотрим линейный ограниченный оператор Т, действующий в гильбертовом
пространстве H. Совокупность
⎛ ⎞Φ⎡ ⎤
Δ = ⊕ = ⊕⎢ ⎥⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎣ ⎦
� �; ; ; ;
T
J H E V H E J
K
(1)
называется унитарным узлом [5—6], если линейный оператор
:
T
V H E H E
K
Φ⎡ ⎤
= ⊕ ⊕⎢ ⎥Ψ⎣ ⎦
�� (2)
удовлетворяет соотношениям
* *0 0 0 0
, ,
0 0 0 0
I I I I
V V V V
J J J J
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦� �
(3)
где J и J� — инволюции в гильбертовых пространствах E и E� соответственно, *J J= =
1 * 1,J J J J− −= = =� � � .
© В.Н. Сыровацкий, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.04.007
УДК 517.984
В.Н. Сыровацкий
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
E-mail: vsirovatsky@gmail.com
О функциональных моделях коммутативных
систем операторов в пространствах де Бранжа
Представлено академиком НАН Украины Е.Я. Хрусловым
Для коммутативной системы линейных ограниченных операторов Т1, Т2, которые действуют в гильбер-
товом пространстве Н и ни один из которых не является сжатием, получена функциональная модель в
пространстве де Бранжа для круга.
Ключевые слова: функциональная модель, коммутативная система операторов.
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 4
В.Н. Сыровацкий
Основным инвариантом узла Δ (1), описывающим простые узлы, является введенная
М.С. Лившицем [5] характеристическая оператор-функция
−
Δ = +Ψ − Φ1( )S K zI T . (4)
Предположим, что
dim dim 2E E= =� ,
1 0
0 1
J J
−⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠
� . (5)
Используя представление В.П.Потапова для ( )S zΔ , нетрудно построить [6] треуголь-
ную модель оператора Т. Обозначим через 2
2, ( )l xL F гильбертово пространство вектор-
фун к ций [7]:
⎧ ⎫⎪ ⎪= = < ∞⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
∫2 *
2, 1 2
0
( ) ( ) ( ( ), ( )); ( ) ( )
l
l x xL F f x f x f x f x dF f x . (6)
Зададим в 2
2, ( )l xL F (7) линейный оператор Т:
ϕ ϕ−= Φ Φ− ∫ * * 1( ) ( ) 2 ( )x x
l
i i
t t x
x
Tf x f x e f t dF Je , (7)
где матрица Φx является решением интегрального уравнения
+ = ∈Φ Φ∫
0
, [0, ]
x
x t tdF J I x l . (8)
Рассмотрим также матрицу-функцию xΨ :
+ Ψ = ∈Ψ ∫ , [0, ].
l
x t t
x
dF J J x l (9)
Определим операторы 2
2,: ( )l xE L FΦ � и 2
2,: ( )l xL F EΨ � 2( )E = � :
ϕΦ = Ψ Ψ Φ= ∫ *
0
,( ) 2 ( ) 2 ,( )x
l
i
x x xf x f e f x f x dF (10)
где f E∈ . И пусть ( )K SΔ= ∞ (6). Совокупность
2 2
2, 2,; ; ; ;( ) ( )c l x l x
T
J L F E V L F E J
K
⎛ ⎞Φ⎡ ⎤
Δ = ⊕ = ⊕⎢ ⎥⎜ ⎟Ψ⎝ ⎠⎣ ⎦
(11)
является унитарным узлом (1)—(3) и называется треугольной моделью [7] простого узла
Δ (1), где 2
2, ( )l xL F , , ,T Φ Ψ имеют вид (6), (7), (10).
Следуя работе [4], введём вектор-функции
1( ) (1 ) (1,1)xL z zT − Φ= − , (12)
* 1 *( ) (1 ) (1, 1)xL z zT − Ψ= − −� . (13)
Определение. Гильбертовым пространством де Бранжа ( , )E GB назовём пространство,
которое образуют вектор-функции 1 2( ) [ ( ), ( )]F z F z F z= , где ( ) ( 1,2)kF z k = имеют вид
= =∫ ∫ �* *
1 2
0 0
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
l l
t t t tF z f t dF L z F z f t dF L z . (14)
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 4
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа
И пусть ϕB — отображение де Бранжа:
ϕ = 1 2[ ( ), ( )]f F z F zB . (15)
Скалярное произведение в ( , )E GB индуцируется прообразом ϕB :
2
2,
( , ) ( )
( ), ( ) ( ), ( )ˆˆ
l t
E G L F
F z F z f t f t
ϕ
< > =< >B , (16)
причём ( ) ( )F z f tϕ= B , ˆˆ( ) ( )F z f tϕ= B , где 2
2,( ), ( )ˆ ( )l tf t f t L F∈ .
Функции ( ), ( ), ( ), ( )x x x xE z E z G z G z�� задаются соотношениями [4]
− ϕ −= − �1( ) ( ) [ ( ); ( )]xi
x x xL z e z E z E z , (17)
− ϕ −= − �� 1( ) (1 ) [ ( ); ( )]xi
x x xL z ze G z G z . (18)
II. Пусть 1 2,T T — коммутативная система линейных ограниченных операторов, дейст-
вующая в гильбертовом пространстве H. Совокупность гильбертовых пространств ,E E� и
операторов [ , ]; [ , ]; [ , ]; , , , [ , ]; , , , [ , ] ( 1, 2)s s s s s sE H H E K E E N E E N E E sΦ∈ Ψ∈ ∈ σ τ Γ ∈ σ τ Γ ∈ =� � � � �� � �
назовём коммутативным унитарным метрическим узлом Δ [7]:
( , , , , , , , , , , , )ss s s s s s sN H E V V H E N
+
Δ = Γ σ τ ⊕ ⊕ τ σ Γ� � � �� , (19)
если для расширений
* *
* *
,s s s s
ss
T N T N
V V
K K
+ ⎡ ⎤Φ Ψ⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣Ψ ⎦ ⎢ ⎥Φ⎣ ⎦
�
справедливы следующие соот-
ношения:
1)
00
00s s
s
II
V V∗ ⎡ ⎤⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎢ ⎥ τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦�σ
,
+ +
∗ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ τ⎣ ⎦ ⎣ ⎦�
0 0
0 0
ss
s s
I I
V V ;
2) Φ − Φ = ΦΓ Ψ − Ψ = ΓΨ� � �
2 1 1 2 1 2 2 1,T N T N N T N T ;
3) ΨΦ − ΨΦ = Γ −Γ = =� � ��
2 1 1 2 , ( 1,2)s sN N N N K K KN N K s ,
где , ,( , )s s s sσ τ σ τ� � самосопряжены в ( )E E� ( 1,2)s = .
Произвольная коммутативная система линейных ограниченных операторов 1 2,T T всег-
да может быть включена в узел Δ (19) [5]. В случае обратимости «дефектных» операторов
1σ и 1σ� в E и E� всегда можно считать, что 1N и 1N� обратимы. Рассмотрим , , ,N N Γ Γ� �
− − − −= ΓΓ = = Γ = Γ� � � �� �1 1 1 1
1 2 1 1 1 2 1 1, , ,N N N N N N N N , (20)
и пусть t tdF a t= , a ( )N x и ( )xΓ являются решениями уравнений
( ) [ , ( )] , ( ) [ , ( )], [ , ( ) ( )] 0xi
x x xN x Ja N x x Ja x Ja N x e xϕ= − Γ = Γ +Γ =′ ′ .
Зададим в 2
, ( )r l xL F (6) линейные операторы 1T и 2T :
ϕ ϕ−Φ Φ= − ∫ * * 1
1 ( ) ( ) 2 ( )x x
l
i i
t t x
x
T f x f x e f t dF Je , (21)
ϕ ϕ−Φ Φ= +Γ − ∫ * * 1
2 ( ) ( )( ( ) ( )) 2 ( ) ( )x x
l
i i
t t x
x
T f x f x N x e x f t dF JN x e . (22)
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 4
В.Н. Сыровацкий
Полученная система операторов 1T , 2T (21) (22) и есть треугольная модель для ком-
мутативной системы операторов [1].
Теорема. Пусть задан коммутативный узел Δ (19), отвечающий коммутативной
сис теме операторов 1 2{ , }T T (21), (22), такой, что , dim 2E E E= =� , а 1 1 NJ= =�σ σ (5), спектр
опе ратора 1T сосредоточен в точке {1}, характеристическая функция ( )S z такова, что
(1,1) ( )(1,1) 0TS z ≠ и вектор-функции ( )xL z , ( )xL z� и ( ), ( ), ( ), ( )x x x xE z E z G z G z�� имеют вид
(12), (13) и (17), (18). Обозначим функции = +( )n z a bz и = +( )m z a bz , где коэффициенты
(1,0) (1,1)Ta N= и (1,0) (1,1)Tb = Γ , тогда основная система коммутативных операторов
1 2{ , }T T узла Δ (19) унитарно эквивалентна системе операторов, которая действует в про-
странстве де Бранжа ( , )E GB следующим образом:
( ) −= + μ + ν +
�
0 0
1 1 1 2 2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) () )( ( ) 0
2
E z E z
T F z z z F z z F z F , 2 2
1 2
( ) (0)
( )
F z F
T F z
z
−
= ,
1
2 1 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
F z z z
T F z F z F z
m z m z m z
μ ν= + +
� �
, 2 2
2 2
( ) ( ) (0) (0)
( )
F z n z F n
T F z
z
−
= ,
где 1 2( ( ), ( )) ( , )F z F z E G∈B . Коэффициенты ( )zμ и ( )zν имеют вид
2 3 1 4
2 4
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
c z c z c z c z
z
c z c z
−
ν =
−
, 1 3
2 4
( ) ( )
( )
( ) ( )
c z c z
z
c z c z
−
μ =
−
,
( )
+ −=
−
Ψ∫
�
� �
2
* *0 0
1
00 0 0 0
( ) ( )
(1,1) ( )
(
( )(1 )
) ( ) ( )
( )
( )2
l
t tt
E z E z z
c z d F L z
E z E z E z E z
,
( )
+ −
=
−
�
� �
2
' '
2
0 0 0 0
( ( ) ( ))(1 )
( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
l lG z G z z
c z
E z E z E z E z
, Ψ
′
+=
−′ ∫
�
�
�* *0 0
0 0 0
3
( ) ( )
(1,1) ( )(
( ) (
)
)
l
t tt
E z E z
c z dF L z
E z E z
,
( )
− −′ ′
−
=
� �
�4 2
0 0
2 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )(1 )( ) ( )
l l l lG z G z G z G z
c z
E z E z z
,
а коэффициенты ( )zμ� и ( )zν� —
1 3 2 1
2 3 1 4
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
I z d z I z d z
z
d z d z d z d z
−
μ =
−
� , 1 4 2 2
1 4 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
I z d z I z d z
z
d z d z d z d z
−
ν =
−
� ,
( )1 2 0 0
11 1
( ) (1,1) 2 ( ), ( )
2 1lI z S J E z E z
z z
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= σ Φ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
�� ,
2 2
( ) 11 1
( ) (1,1) 2
12 ( )
l
l
l
G z
I z S J
z z G z
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= σ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝
Φ
⎝ ⎠ ⎠
�
� ,
0 0 0 0
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 | |
E z E z E z E z
d z
z
−
=
−
� �
, 2
( ) ( )
( )
2
l lG z G z
d z
′′ +
=
�
,
0 0
3
( ) ( )
( )
2
E z E z
d z
′ ′−
=
�
,
4 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 | |
l l l lG z G z G z G z
d z
z
−
=
−
� �
.
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 4
О функциональных моделях коммутативных систем операторов в пространствах де Бранжа
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Zolotarev V.A. Functional model of commutative operator systems. J. Math. Physics, Analysis, Geometry. 2008.
4, No 3. P. 420—440.
2. Сыровацкий В.Н. Функциональные модели коммутативных систем операторов близких к унитарным.
Вісн. Харк. нац. ун-ту. Сер. Математика, приклад. математика і механіка. 2012. № 1018. С. 41—61.
3. Syrovatskyi V.N. Functional Models in de Branges Spaces of One Class Commutative Operators. J. Math.
Physics, Analysis, Geometry. 2014. 10, No 4. P. 430—450.
4. Золотарёв В.А., Сыровацкий В.Н. Преобразование де Бранжа относительно круга. Вісн. Харк. нац. ун-
ту. Сер. Математика, приклад. математика і механіка. 2005. № 711, вып. 55. С. 80—92.
5. Лившиц М.С., Янцевич А.А. Теория операторных узлов в гильбертовых пространствах. Харьков: Изд-во.
Харьк. ун-та, 1971. 160 с.
6. Золотарёв В.А. Аналитические методы спектральных представлений несамосопряжённых и неунитар-
ных операторов. Харьков: Изд-во. Харьк. ун-та, 2003. 342 с.
7. Золотарёв В.А. Модельные представления коммутативных систем линейных операторов. Функц. анализ
и его прил. 1988. 22, вып. 1. С. 66—68.
Поступило в редакцию 05.10.2016
REFERENCES
1. Zolotarev, V. A. (2008). Functional model of commutative operator systems. J. Math. Physics, Analysis, Geo-
metry, 4, No 3, рр. 420-440.
2. Sirovatsky, V. N. (2012). Functional models for commutative systems of operators close to a unitary one.
Kharkov University Bulletin, No 1018, рр. 41-61 (in Russian).
3. Syrovatskyi, V. N. (2014). Functional Models in De Branges Spaces of One Class Commutative Operators.
J. Math. Physics, Analysis, Geometry, 10, No 4, рр. 430-450.
4. Zolotarev, V. A., Sirovatsky, V. N. (2005). Transformation de Branges on the terms. Kharkov University Bul-
letin, No 711, Iss. 55, рр. 80-92 (in Russian).
5. Livshits, M. S., Yantsevich, A. A. (1971). A theory of operator knots in Hilbert spaces. Kharkov: Izd-vo Kharkov.
un-ta (in Russian).
6. Zolotarev, V. A. (2003). Analytical methods of spectral presentations of not self-conjugate and nonunitary
operators. Kharkov: Izd-vo Kharkov. un-ta (in Russian).
7. Zolotarev, V. A. (1988). Model representations of commutative systems of linear operators. Functional Analysis
and Its Applications, 22, Iss. 1, рр. 55-57.
Received 05.10.2016
В.М. Сировацький
Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна
E-mail: vsirovatsky@gmail.com
ПРО ФУНКЦІОНАЛЬНІ МОДЕЛІ КОМУТАТИВНИХ СИСТЕМ
ОПЕРАТОРІВ У ПРОСТОРАХ ДЕ БРАНЖА
Для комутативної системи лінійних обмежених операторів 1 2,T T , які діють у гільбертовому просторі H і
жоден з операторів не є стисненням, отримано функціональну модель у просторі де Бранжа для круга.
Ключовi слова: функцiональна модель, комутативна система операторiв.
V.N. Syrovatskyi
V. N. Karazin Kharkiv National University
E-mail: vsirovatsky@gmail.com
ABOUT FUNCTIONAL MODELS OF COMMUTATIVE SYSTEMS
OF OPERATORS IN THE SPACES OF DE BRANGES
For the commutative system of linear bounded operators 1 2,T T which act in a Hilbert space H and are such that
none of them is a compression, a functional model is built in the space of de Branges for a circle.
Keywords: functional model, commutative system of operators.
|