Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами
Oпределяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с невырожденными знаконеопределенными весами. Доказана теорема существования и единственности этих матриц. Дано представление взвешенных псевдообратных матриц с индефинитными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126688 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами / А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126688 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1266882017-12-02T03:03:28Z Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами Химич, А.Н. Галба, Е.Ф. Варенюк, Н.А. Математика Oпределяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с невырожденными знаконеопределенными весами. Доказана теорема существования и единственности этих матриц. Дано представление взвешенных псевдообратных матриц с индефинитными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых матриц, получены разложения указанных матриц в матричные степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц. Визначаються та досліджуються зважені псевдообернені матриці з невиродженими знаконевизначеними вагами. Доведено теорему існування та єдиності цих матриць. Дано зображення зважених псевдообернених матриць зі знаконевизначеними вагами в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються, одержано розвинення зазначених матриць у матричні степеневі ряди та добутки, граничні зображення цих матриць. Weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights are defined and analyzed. The theorem of existence and uniqueness of these matrices is proved. A representation of weighted pseudoinverse matrices with indefinite weights is given in terms of coefficients of the characteristic polynomials of symmetrizable matrices. Their expansions in matrix power series or products are obtained. The limiting representations of those matrices are obtained. 2017 Article Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами / А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.06.014 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126688 512.61 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Химич, А.Н. Галба, Е.Ф. Варенюк, Н.А. Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами Доповіді НАН України |
| description |
Oпределяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с невырожденными знаконеопределенными весами. Доказана теорема существования и единственности этих матриц. Дано представление
взвешенных псевдообратных матриц с индефинитными весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых матриц, получены разложения указанных матриц в матричные
степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц. |
| format |
Article |
| author |
Химич, А.Н. Галба, Е.Ф. Варенюк, Н.А. |
| author_facet |
Химич, А.Н. Галба, Е.Ф. Варенюк, Н.А. |
| author_sort |
Химич, А.Н. |
| title |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| title_short |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| title_full |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| title_fullStr |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| title_full_unstemmed |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| title_sort |
взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126688 |
| citation_txt |
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами / А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 6. — С. 14-20. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT himičan vzvešennyepsevdoobratnyematricysoznakoneopredelennymivesami AT galbaef vzvešennyepsevdoobratnyematricysoznakoneopredelennymivesami AT varenûkna vzvešennyepsevdoobratnyematricysoznakoneopredelennymivesami |
| first_indexed |
2025-07-09T05:33:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:33:08Z |
| _version_ |
1837146245580193792 |
| fulltext |
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
© А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк, 2017
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.06.014
УДК 512.61
А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк
Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев
E-mail: khimich_ic@mail.ru, e.f.galba@ukr.net, nvareniuk@ukr.net
Взвешенные псевдообратные матрицы
со знаконеопределенными весами
Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.Н. Химичем
Oпределяются и исследуются взвешенные псевдообратные матрицы с невырожденными знаконеопреде-
ленными весами. Доказана теорема существования и единственности этих матриц. Дано представление
взвешенных псевдообратных матриц с индефинитными весами в терминах коэффициентов характери-
стических многочленов симметризуемых матриц, получены разложения указанных матриц в матричные
степенные ряды и произведения, предельные представления этих матриц.
Ключевые слова: взвешенные псевдообратные матрицы с невырожденными индефинитными весами, мат-
ричные степенные ряды и произведения, предельные представления взвешенных псевдообратных матриц.
Определение взвешенной псевдообратной матрицы с положительно определенными ве-
сами впервые было дано в работе [1]. В работе [2] введено понятие косой псевдообратной
матрицы. В [3] показано, что множество взвешенных псевдообратных матриц, определен-
ных в [1], совпадает с множеством косых псевдообратных матриц, определенных в [2]. В
работе [4] дано определение взвешенной псевдообратной матрицы с вырожденными весами
(с положительно полуопределенными весовыми матрицами). Там же определены необхо-
димые и достаточные условия существования рассмотренного варианта псевдообратных
матриц с вырожденными весами. В работах [5—7] исследованы другие варианты псевдо-
обратных матриц с вырожденными весами. Определены необходимые и достаточные усло-
вия существования рассмотренных псевдообратных матриц с вырожденными весами, а так-
же взвешенные нормальные псевдорешения с вырожденными весами и установлена их
связь со взвешенными псевдообратными матрицами. В работе [8] введено понятие ML-
взвешенной псевдообратной матрицы. В работах [9, 10] взвешенная псевдоинверсия с вы-
рожденными весами, когда веса есть диагональные матрицы, используется при построении
итерационных методов для решения линейных задач. В работах [11, 12] проведен анализ
влияния возмущений исходных данных на решения задач вычисления взвешенных нор-
мальных псевдорешений с положительно определенными весами.
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами
В настоящем сообщении определяются и исследуются взвешенные псевдообратные
матрицы с невырожденными знаконеопределенными весами. Введем необходимые для
дальнейшего изложения определения, обозначения и вспомогательные утверждения.
Обозначим через n n-мерное векторное пространство над полем действительных чи-
сел. Пусть H — симметричная положительно-определенная, положительно полуопреде-
ленная, или же знаконеопределенная невырожденная матрица. В n введем скалярное про-
изведение по формуле ( , ) ( , )H Eu Huν = ν , где ( , ) T
Eu uν = ν , E — единичная матрица.
Определим взвешенную норму прямоугольной матрицы c симметричными невырож-
денными весовыми матрицами. Пусть m nA ×∈ , а T m mH H ×= ∈ и T n nV V ×= ∈ — не-
вырожденные матрицы. Для множества матриц A норму введем соотношением
2
1 22
0 0 0
( , )
sup sup supm m
n n n
T
E EH
HV x x x
E E E
HAV xAV x VA H AV x x
A
x x x≠ ≠ ≠
= = = , (1)
где nx ∈ , а нижний индекс при единичной матрице означает ее размерность.
Взвешенная спектральная норма (1) матрицы A определяется формулой
2 1 2
max[ ( )]T
HV
A VA H AV= λ , (2)
где max ( )Lλ — максимальное собственное значение матрицы L .
Лемма 1. Пусть m nA ×∈ , а T m mH H ×= ∈ и T n nV V ×= ∈ — невырожденные мат-
рицы. Тогда функция (1) является аддитивной (обобщенной) матричной нормой.
Лемма 2. Пусть m pA ×∈ , p nB ×∈ , а m mH ×∈ , n nV ×∈ , p pM ×∈ — симметрич-
ные невырожденные матрицы, тогда справедливы соотношения
1HV M VHM
AB A B −� , 1HV HM MV
AB A B−� . (3)
При доказательстве теоремы о существовании и единственности взвешенной псевдо-
обратной матрицы со знаконеопределенными весами использованы утверждения.
Лемма 3. Пусть для квадратных матриц , ,K L M выполняются условия KM MK= ,
LM ML= . Тогда из равенства 2 2KM LM= следует равенство KM LM= .
Лемма 4. Пусть m nA ×∈ , а T m mB B ×= ∈ и T n nC C ×= ∈ — невырожденные зна ко-
не определенные матрицы. Тогда ранги матриц A и T TA BACA совпадают.
При разложении взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные произ ве-
дения использованы следующие утверждения.
Лемма 5. Для любых матриц n nP ×∈ , n mW ×∈ и действительного числа 0−∞ < <
< δ < ∞ имеет место тождество
21
2 (2 ) 1 1
0 1
{ ( ) }( ) ( ) , 1, 2, ...
n
k kn
k k
k k
E P E P E W P E W n
−
− − − −
= =
+ δ + δ + δ = δ + δ =∏ ∑ . (4)
Лемма 6. Для любых матриц m mL ×∈ , n mM ×∈ и действительного числа 0−∞ < <
< δ < ∞ имеет место тождество
21
1 2 (2 ) 1
0 1
( ) { ( ) } ( ) , 1, 2, ...
n
k kn
k k
k k
M L E E L E M L E n
−
− − − −
= =
+ δ + δ + δ = δ + δ =∏ ∑ . (5)
16 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк
Определим симметризуемые и взвешенные ортогональные матрицы.
Определение 1. Квадратную вещественную матрицу U будем называть симметризуе-
мой слева или справа, если существует такая симметричная невырожденная матрица H ,
что выполняются соответственно равенства ,T THU U H UH HU= = .
Определение 2. Квадратную вещественную матрицу Q будем называть H-взвешен-
ной ортогональной (ортогональной с весом H), если выполняется условие ,TQ HQ E= где
H — симметричная невырожденная матрица.
При разложении взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды и
произведения использовано взвешенное спектральное разложение матриц, сформулиро-
ванное в следующей лемме.
Лемма 7. Симметризуемая слева положительно определенным симметризатором H мат-
рица U может быть приведена к диагональной форме с помощью H-взвешенного ортого-
нального преобразования, т.е. существует такая H -взвешенная ортогональная матрица
Q , что TQ HUQ = Λ, и матрица U представима в виде TU Q Q H= Λ , где diag( )iΛ = λ , iλ —
собственные значения матрицы U, а столбцы матрицы Q образуют полную систему соб-
ственных векторов матрицы U.
Теперь перейдем к изложению основных результатов исследования, а именно к опреде-
лению и установлению свойств взвешенных псевдообратных матриц с невырожденными
знаконеопределенными весами.
Пусть m nA ×∈ , n mX ×∈ , а m mB ×∈ и n nC ×∈ — симметричные знаконе опре де-
ленные невырожденные матрицы. Взвешенную псевдообратную матрицу к матрице A оп-
ределим как матрицу, удовлетворяющую системе матричных уравнений
,AXA A XAX X= = , ( )TBAX BAX= , ( )TCXA CXA= . (6)
Следовательно, согласно определению 1 рассматривается вариант взвешенной псевдо-
инверсии, когда матрицы AX и XA симметризуемые слева соответственно знако не оп ре-
деленными невырожденными симметризаторами B и C .
Доказана теорема о существовании единственного решения системы матричных урав-
нений (6). При доказательстве используются утверждения лемм 3 и 4, скелетное разложе-
ние матриц, а также теорема Гамильтона—Кэли, на основании чего получено представление
взвешенной псевдообратной матрицы с индефинитными весами в терминах коэффициен-
тов характеристических многочленов симметризуемых матриц.
Теорема 1. Система матричных уравнений (6) имеет единственное решение BCX A+= ,
причем матрица BCA+ , удовлетворяющая (6), представима в виде
1 T
BCA C SA B+ −= , (7)
где 1( )TS f A BAC −= — многочлен от матрицы 1TA BAC − вида
1 1 1 1 2
1 1[( ) ( ) ]T k T k
k kS A BAC A BAC E− − − − −
−= −α + α +⋅⋅⋅+ α ,
, 1, ..., ,p p nα = — коэффициенты характеристического многочлена
1 1
1( ) det[ ]n n T
nf E A BAC− −λ = λ + α λ +⋅⋅⋅+ α = λ − ,
а kα — последний, отличный от нуля коэффициент этого многочлена.
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами
Теперь получим разложение матриц с невырожденными знаконеопределенными веса-
ми в матричные степенные ряды и матричные степенные произведения. Для этого ис-
пользуется представление взвешенной псевдообратной матрицы со знаконеопределенны-
ми весами в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых
матриц, полученное в теореме 1, и утверждения лемм 2 и 5—7. Обоснуем разложение взве-
шенных псевдообратных матриц, когда обе весовые матрицы симметричные, причем одна
из них положительно определена, а вторая — невырожденная знаконеопределенная. Сна-
ча ла рассмотрим случай, когда матрица C — положительно определена, а B — знаконеоп-
ределенная.
Теорема 2. Для произвольной матрицы 0 m nA ×≠ ∈ , симметричной знаконеопреде лен-
ной невырожденной матрицы m mB ×∈ , симметричной положительно определенной мат-
рицы n nC ×∈ и действительного числа δ , удовлетворяющего условию 11
0 ( ),
2
TC A BA−< δ < μ
имеют место соотношения
1 1 1
1
( )k T k T
BC
k
A C A BA E C A B
∞
+ − − − −
=
= δ + δ∑ , (8)
1 2
1 2
1
, ( ( ) )
p T p
BC p BC C VC V
A A C A BA A+ + − − +
δ− δ μ + δ� , (9)
где 1 1 1
,
1
( ) , 1, 2, ...
p
k T k T
p
k
A C A BA E C A B p+ − − − −
δ
=
= δ + δ =∑ ; ( ) min{ : 0 ( )}L Lμ = λ λ ≠ ∈σ , iλ —
соб ственные значения матрицы 1 TC A BA− ; T m mV V ×= ∈ — любая симметричная невы-
рожденная матрица.
При выполнении предположений теоремы 1 в силу (4) и (8) имеем следующее разло-
жение взвешенной псевдообратной матрицы со знаконеопределенной симметричной невы-
рожденной весовой матрицей m mB ×∈ и положительно определенной матрицей n nC ×∈
в матричное степенное произведение:
2 1 (2 ) 1 1 1
0
{ ( ) } ( )
k kT T T
BC
k
A E C A B A E C A B A E C A B
∞
+ − − − − −
=
= + δ + δ + δ∏ . (10)
Обозначим
1
2 1 (2 ) 1 1 1
,
0
{ ( ) } ( )
k kn
T T T
n
k
A E C A B A E C A B A E C A B
−
+ − − − − −
δ
=
= + δ + δ + δ∏ , 1, 2, ...n = .
Тогда в силу тождества (4) и соотношения (9) получим
1 2 1 2
2 1 (2 )
, ( ( ) )
n nT
BC n BC
C V C V
A A C A B A A+ + − − +
δ− δ μ + δ� . (11)
Из оценки (9) следует, что для любого 1, 2, ...p = имеем следующее предельное пред-
ставление взвешенной псевдообратной матрицы:
1 1 1
0 1
lim ( )
p
k T k T
BC
k
A C A BA E C A B+ − − − −
δ→ =
= δ + δ∑ , (12)
а из оценки (11) для любого 1, 2, ...n = имеем
1
2 1 (2 ) 1 1 1
0 0
lim { ( ) } ( )
k kn
T T T
BC
k
A E C A B A E C A B A E C A B
−
+ − − − − −
δ→ =
= + δ + δ + δ∏ . (13)
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк
Теперь рассмотрим случай, когда матрица B — положительно определена, а C — невы-
рожденная знаконеопределенная.
Теорема 3. Для произвольной матрицы 0 m nA ×≠ ∈ , симметричной положительно оп-
ределенной матрицы m mB ×∈ , симметричной знаконеопределенной невырожденной мат ри-
цы n nC ×∈ и действительного числа δ , удовлетворяющего условию 11
0 ( ),
2
TAC A B−< δ < μ
имеют место соотношения
1 1 1
1
( )k T T k
BC
k
A C A B AC A B E
∞
+ − − − −
=
= δ + δ∑ , (14)
1 2 1 2
1
, ( ( ) )
p T p
BC p BCHB HB
A A AC A B A− −
+ + − − +
δ− δ μ + δ� , (15)
где 1 1 1
,
1
( ) , 1, 2, ...
p
k T T k
p
k
A C A B AC A B E p+ − − − −
δ
=
= δ + δ =∑ ; ( )Lμ определено в теореме 2, iλ —
собственные значения матрицы 1 TAC A B− ; T n nH H ×= ∈ — любая симметричная невы-
рожденная матрица.
При выполнении предположений теоремы 3 в силу (5) и (14) имеем следующее разло-
жение взвешенной псевдообратной матрицы с положительно определенной симметричной
весовой матрицей m mB ×∈ и знаконеопределенной симметричной невырожденной весо-
вой матрицей n nC ×∈ в матричное степенное произведение:
1 1 1 2 1 (2 )
0
( ) { ( ) }
k kT T T
BC
k
A C A B AC A B E E AC A B E
∞
+ − − − − −
=
= + δ +δ + δ∏ . (16)
Обозначим
1
1 1 1 2 1 (2 )
,
0
( ) { ( ) }
k kn
T T T
n
k
A C A B AC A B E E AC A B E
−
+ − − − − −
δ
=
= + δ + δ + δ∏ , 1, 2, ...n =
Тогда в силу тождества (5) и соотношения (15) получим
1 2
1 2
2 1 (2 )
, ( ( ) )
n nT
BC n BC HBHB
A A AC A B A −
−
+ + − − +
δ− δ μ + δ� . (17)
Из оценки (15) следует, что для любого 1, 2, ...p = имеем следующее предельное пред-
ставление взвешенной псевдообратной матрицы:
1 1 1
0 1
lim ( )
p
T k T k
BC
k
A C A B AC A B E+ − − − −
δ→ =
= δ + δ∑ , (18)
а из оценки (17) для любого 1, 2, ...n = имеем
1
1 1 1 2 1 (2 )
0 0
lim( ) { ( ) }
k kn
T T T
BC
k
A AC A B E C A B E AC A B E
−
+ − − − − −
δ→ =
= + δ + δ + δ∏ . (19)
Из предельных представлений (9), (11), (18), (19) взвешенных псевдообратных матриц
следует, что при достаточно малом параметре δ матрицы BCA+ и , pA+
δ , , nA+
δ могут как угод-
но мало отличаться друг от друга и на основании предложенных предельных представлений
можно вычислять приближения к взвешенным псевдообратным матрицам. Оценки близо-
сти взвешенных псевдообратных матриц и их приближенных значений даны формулами
(9), (11), (15), (17).
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 6
Взвешенные псевдообратные матрицы со знаконеопределенными весами
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Chipman J.S. On least squares with insufficient observation. J. Amer. Statist. Assoc. 1964. 59, № 308.
P. 1078—1111.
2. Milne R.D. An oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1968. 16, № 5. P. 931—944.
3. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. A note on the oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math. 1971.
20, № 2. P. 173—175.
4. Ward J.F., Boullion T.L., Lewis T.O. Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM J. Appl. Math.
1971. 21, № 3. P. 480— 482.
5. Галба Е.Ф., Дейнека В.С., Сергиенко И.В. Взвешенные псевдообратные матрицы и взвешенные нор-
мальные псевдорешения с вырожденными весами. Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2009. 49, № 8.
С. 1347—1363.
6. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Существование и единственность взвешенных псевдообрат-
ных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений с вырожденными весами. Укр. мат. журн. 2011.
63, № 1. С. 80—101.
7. Сергиенко И.В., Галба Е.Ф., Дейнека В.С. Теоремы существования и единственности в теории взвешен-
ной псевдоинверсии с вырожденными весами. Кибернетика и системный анализ. 2011. № 1. С. 14—33.
8. Mitra S.K., Rao C.R. Projections under seminorms and generalized Moore—Penroze inverses. Linear Algeb-
ra Appl. 1974. 9. P. 155— 167.
9. Censor Y., Elfving T. Block-iterative algorithms with diagonally sсaled oblique projections for the linear
feasibility problem. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2002. 24, № 1. P. 40—58.
10. Censor Y., Elfving T. Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections. Abstr. Appl. Anal.
2003. № 7. P. 387—406.
11. Химич А.Н., Николаевская Е.А. Анализ достоверности компьютерных решений систем линейных ал-
гебраических уравнений с приближенно заданными исходными данными. Кибернетика и системный
анализ. 2008. № 6. С. 83—95.
12. Николаевская Е.А., Химич А.Н. Оценка погрешности взвешенного нормального псевдорешения с по-
ложительно-определенными весами. Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2009. 49, № 3. С. 422—430.
Поступило в редакцию 26.01.2017
REFERENCES
1. Chipman, J. S. (1964). On least squares with insufficient observation. J. Amer.Statist. Assoc., 59, No. 308,
pp. 1078-1111.
2. Milne, R. D. (1968). An oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl. Math., 16, No. 5, pp. 931-944.
3. Ward, J. F., Boullion, T. L. & Lewis, T. O. (1971). A note on the oblique matrix pseudoinverse. SIAM J. Appl.
Math., 20, No. 2, pp. 173-175.
4. Ward, J. F., Boullion, T. L. & Lewis, T.O. (1971). Weighted pseudoinverses with singular weights. SIAM
J. Appl. Math., 21, No. 3, pp. 480-482.
5. Galba, E. F., Deineka, V. S. & Sergienko, I. V. (2009). Weighted pseudoinverses and weighted normal pseudo-
solutions with singular weights. Comput. Math. Math. Phys., 49, No. 8, рр. 1281-1297.
6. Sergienko, I. V., Galba, E. F. & Deineka, V. S. (2011). Existence and uniqueness of weighted pseudoinverse
matrices and weighted normal pseudosolutions with singular weights. Ukr. Math. J., 63, Art. 98.
7. Sergienko, I. V., Galba, Y. F. & Deineka, V. S. (2011). Existence and uniqueness theorems in the theory of
weighted pseudoinverses with singular weights. Cybern. Syst. Anal., 47, Iss. 1, pp. 11-28.
8. Mitra, S. K. & Rao, C. R. (1974). Projections under seminorms and generalized Moore—Penroze inverses.
Linear Algebra Appl., No. 9, pp. 155-167.
9. Censor, Y. & Elfving, T. (2002). Block-iterative algorithms with diagonally scaled oblique projections for the
linear feasibility problem. SIAM J. Matrix. Anal. Appl., 24, No. 1, pp. 40-58.
10. Censor, Y. & Elfving, T. (2003). Iterative algorithms with seminorm-induced oblique projections. Abstr. Appl.
Anal., No. 7, pp. 387-406.
20 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 6
А.Н. Химич, Е.Ф. Галба, Н.А. Варенюк
11. Khimich, A.N. & Nikolaevskaya, E.A. (2008). Reliability analysis of computer solutions of systems of linear
algebraic equations with approximate initial data. Cybern. Syst. Anal., 44, Iss. 6, pp. 863-874.
12. Nikolaevskaya, E.A. & Khimich, A.N. (2009). Error estimation for a weighted minimum-norm least squares
solution with positive definite weights. Comput. Math. Math. Phys., 49, Iss. 3, pp. 409-417.
Received 26.01.2017
О.М. Хіміч, Є.Ф. Галба, Н.А. Варенюк
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ
E-mail: khimich_ic@mail.ru, e.f.galba@ukr.net, nvareniuk@ukr.net
ЗВАЖЕНІ ПСЕВДООБЕРНЕНІ МАТРИЦІ
ЗІ ЗНАКОНЕВИЗНАЧЕНИМИ ВАГАМИ
Визначаються та досліджуються зважені псевдообернені матриці з невиродженими знаконевизначеними
вагами. Доведено теорему існування та єдиності цих матриць. Дано зображення зважених псевдооберне-
них матриць зі знаконевизначеними вагами в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів ма-
триць, що симетризуються, одержано розвинення зазначених матриць у матричні степеневі ряди та добут-
ки, граничні зображення цих матриць.
Ключові слова: зважені псевдообернені матриці з невиродженими індефінітними вагами, матричні сте пе-
неві ряди і добутки, граничні зображення зважених псевдообернених матриць.
A.N. Khimich, E.F. Galba, N.A. Vareniuk
Glushkov Institute of Cybernetics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: khimich_ic@mail.ru, e.f.galba@ukr.net, nvareniuk@ukr.net
WEIGHTED PSEUDOINVERSE MATRICES
WITH INDEFINITE WEIGHTS
Weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights are defined and analyzed. The theorem
of existence and uniqueness of these matrices is proved. A representation of weighted pseudoinverse matrices
with indefinite weights is given in terms of coefficients of the characteristic polynomials of symmetrizable matri-
ces. Their expansions in matrix power series or products are obtained. The limiting representations of those ma-
trices are obtained.
Keywords: weighted pseudoinverse matrices with nonsingular indefinite weights, matrix power series and products,
limiting representations of weighted pseudoinverse matrices.
|