Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами

Досліджено хвильові властивості періодичної структури, утвореної двома паралельними нескінченними пружними стержнями, підкріпленими періодично розташованими шарнірно опертими гнучкими балками. Для випадків синфазного і протифазного поздовжнього руху стержнів методом Флоке одержані дисперсійні рів...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
1. Verfasser:	Олійник, В.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2017
Schriftenreihe:	Доповіді НАН України
Schlagworte:	Механіка
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126838
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами / В.Н. Олійник // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 27-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-126838
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1268382017-12-05T03:02:36Z Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами Олійник, В.Н. Механіка Досліджено хвильові властивості періодичної структури, утвореної двома паралельними нескінченними пружними стержнями, підкріпленими періодично розташованими шарнірно опертими гнучкими балками. Для випадків синфазного і протифазного поздовжнього руху стержнів методом Флоке одержані дисперсійні рівняння та визначена фазова швидкість гармонічної хвилі, яка може поширюватись у розглянутій системі. Показано, що такій хвилі притаманна значна дисперсія, обумовлена збудженням згинних мод поперечних балок у відповідних частотних діапазонах. Исследованы волновые свойства периодической структуры, образованной двумя параллельными бесконечными упругими стержнями, подкрепленными периодически расположенными шарнирно опертыми гибкими балками. Для случаев синфазного и противофазного движения стержней методом Флоке получены дисперсионные уравнения и определена фазовая скорость гармонической волны, которая может распространяться в рассматриваемой системе. Показано, что такой волне присуща значительная дисперсия, обусловленная возбуждением изгибных мод поперечных балок в соответствующих частотных диапазонах. Wave properties of a periodic structure formed by two parallel infinite rods reinforced by periodically placed simply supported flexible bars are studied. In the cases of in-phase and anti-phase longitudinal motions of the rods, the dispersion equations are obtained by the Floquet method, and phase velocity values are determined for a harmonic wave propagating in the considered system. A significant dispersion is shown to be inherent to this wave due to exciting the bending modes of the bars in the corresponding frequency ranges. 2017 Article Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами / В.Н. Олійник // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 27-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.08.027 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126838 534.22-18 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Механіка Механіка
spellingShingle	Механіка Механіка Олійник, В.Н. Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами Доповіді НАН України
description	Досліджено хвильові властивості періодичної структури, утвореної двома паралельними нескінченними пружними стержнями, підкріпленими періодично розташованими шарнірно опертими гнучкими балками. Для випадків синфазного і протифазного поздовжнього руху стержнів методом Флоке одержані дисперсійні рівняння та визначена фазова швидкість гармонічної хвилі, яка може поширюватись у розглянутій системі. Показано, що такій хвилі притаманна значна дисперсія, обумовлена збудженням згинних мод поперечних балок у відповідних частотних діапазонах.
format	Article
author	Олійник, В.Н.
author_facet	Олійник, В.Н.
author_sort	Олійник, В.Н.
title	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
title_short	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
title_full	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
title_fullStr	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
title_full_unstemmed	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
title_sort	дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Механіка
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126838
citation_txt	Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами / В.Н. Олійник // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 27-33. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Доповіді НАН України
work_keys_str_mv	AT olíjnikvn dispersíâhvilʹusistemípružnihsteržnívperíodičnopídkríplenihgnučkimielementami
first_indexed	2025-07-09T05:48:47Z
last_indexed	2025-07-09T05:48:47Z
_version_	1837147230608293888
fulltext	27ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8 ОПОВІДІ НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ © В.Н. Олійник, 2017 Періодичні пружні структури з розташованих регулярним чином ідентичних елементів — традиційний об’єкт теоретичних і прикладних досліджень у різних галузях фізики [1, 2]. Вони набули широкого застосування, насамперед, в електроніці й гідроакустиці [3, 4]. Не- рідко періодичну будову мають металеві ферми мостів, баштових кранів, опори антен теле- комунікаційних систем тощо. Розуміння особливостей поширення хвиль у таких конструк- ціях важливе для пояснення їхніх динамічних і міцнісних характеристик. Дослідження хвильових властивостей структур з періодично повторюваних акусто- чи гідропружних елементів дає можливість встановити аналогії між їхньою поведінкою й по- ведінкою пористих середовищ, які складаються з пружної матриці, заповненої рідиною або газом. Такий підхід видається доволі багатообіцяючим при трактуванні природи хвиль, які поширюються у паренхіматозних біологічних тканинах на низьких частотах [5]. Один із найпростіших і водночас змістовних з фізичної точки зору прикладів періодич- них пружних структур — системи багатократно підкріплених паралельних стержнів. Їхній аналіз у ряді випадків дозволяє одержати точні аналітичні вирази для дисперсійних рівнянь і дає змогу зробити важливі модельні оцінки можливих значень фазових швидкостей і діа- пазонів поширення хвиль [6—8]. doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.08.027 УДК 534.22-18 В.Н. Олійник Інститут гідромеханіки НАН України, Київ E-mail: v_oliynik@yahoo.com Дисперсія хвиль у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами Представлено академіком НАН України В.Т. Грінченком Досліджено хвильові властивості періодичної структури, утвореної двома паралельними нескінченними пружними стержнями, підкріпленими періодично розташованими шарнірно опертими гнучкими балками. Для випадків синфазного і протифазного поздовжнього руху стержнів методом Флоке одержані дисперсійні рівняння та визначена фазова швидкість гармонічної хвилі , яка може поширюватись у розглянутій системі. Показано, що такій хвилі притаманна значна дисперсія, обумовлена збудженням згинних мод поперечних балок у відповідних частотних діапазонах. Ключові слова: фазова швидкість, дисперсія, пружна періодична структура, згинні коливання, метод Флоке. МЕХАНІКА 28 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 8 В.Н. Олійник Зауважимо, що при розгляді періодичних ґраток з тонкостінних елементів природно враховувати можливість поперечного деформування останніх. Воно може призводити до істотної зміни хвилевідних властивостей таких структур за рахунок інтенсивного збуджен- ня додаткових внутрішніх ступенів вільності. Спробу такого аналізу було зроблено в публі- кації [5], проте використана при цьому математична постановка граничної задачі потребує певного уточнення. Виходячи з цих міркувань, у цьому дослідженні пропонується розвя’зок більш простої, чисто пружної задачі про поширення хвиль у системі підкріплених гнучкими балками стержнів без урахування наявності акустичного середовища. Рис. 1. Модельна періодична структура: а — при симетричному збудженні; б — при антисиметричному збудженні 29ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8 Дисперсія хвиль у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами Постановка задачі та її розв’язання. У двовимірній постановці розглянемо поширення гармонічної хвилі з циклічною частотою ω в системі двох нескінченних паралельних стерж- нів товщини d , періодично з кроком l підкріплених шарнірно спертими перпендикуляр- ними балками товщини b і ширини 2h . Для визначеності вважаємо, що хвиля біжить зліва направо вздовж осі x . Виділимо два випадки: симетричний, коли обидва стержні коли- ваються синфазно (див. рис. 1, а) і антисиметричний, коли нижній стержень коливається у протифазі до верхнього (див. рис. 1, б). Впорядкуємо позначення, приписавши кожній з балок певний номер: 0, 1, 2,n = ± ± … При цьому вважатимемо, що між ( 1)n − -ою і n -ою балками розташовано n -й відрізок стержня. У загальному випадку слід шукати умови існування біжучої хвилі у формі * ( )i x tU e κ −ω . Тут / cκ = ω — хвильове число, а c — її фазова швидкість. Ми постулюємо лінійність сис- теми, тому амплітудний множник *U можна покласти рівним одиниці. Оскільки йдеться про процес, що встановився, зміна усіх фізичних полів у часі має вигляд i te− ω , що тради- ційно дозволяє відкидати експоненційний часовий множник, працюючи надалі з амплі туд- ними величинами. Вважаємо, що матеріалу стержнів притаманні густина, модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона ,d dEρ , і dν , а балкам — ,d dEρ , і dν відповідно. Нехай стержні здійснюють виключно поздовжні коливання, яким у випадку планарної деформації відповідає рівняння руху: 2 2 2 0, , (1 ) n d d n d d d d d d u E k u k c cd x ω+ = = = − ν ρ . Для зміщень стержнів шукатимемо розв’язок у вигляді 1 2( ) d dik x ik x n n nu x U e U e−= + . Обраний характер симетрії задачі дозволяє надалі обмежитись розглядом лише зміщень верхнього стержня. Як уже зазначалось, вертикальні перегородки є балками, здатними деформуватися на згин: 4 2 3 4 4 4 2 0, , 12(1 ) n b b b n b b b b d w b E b k w k D Ddy ω ρ − = = = − ν . Структура виразу для хвильових чисел bk свідчить про те, що балкам, на відміну від стержнів, притаманна дисперсія, тобто залежність швидкості поширення хвилі від частоти. Це дозволяє очікувати прояву дисперсійних властивостей розглянутою системою в цілому. Оскільки ми обмежились розглядом шарнірного закріплення балок, можна одразу за- писати загальний розв’язок для їхніх прогинів у вигляді: cos ch — синфазний рух стержнів; cos ch ( ) sin sh — протифазний рух стержнів. sin sh b b n b b n b b n b b k y k y W k h k h w y k y k y W k h k h ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪= ⎨ ⎛ ⎞⎪ +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎩ Невідомі сталі у виразах для зміщень можуть бути визначені з граничних умов. У на- шому випадку вони трактуються як система умов спряження кінематичних і динамічних 30 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 8 В.Н. Олійник величин у вузлах закріплення балок: 1 3 1 3 \| \| \| , 2 0. 1 n x nl n x nl n y h d n n n b d x nl y h u u w dE du du d w D dx dx dy = + = = + = = = = ⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟− ν ⎝ ⎠ Підставивши вирази у співвідношення і виключивши за допомогою кінематичної умо- ви для прогину балок коефіцієнт nW , одержимо однорідну алгебраїчну систему відносно невизначених сталих у зміщеннях стержня: 1( 1) 2( 1) 1 2 1( 1) 2( 1) 1 2 0, (1 2 ) (1 2 ) 0. n n n n n n n n U U U U i U i U U U − − − − + − − = + ξ − − ξ − + = Легко показати, що тут 0 0( ), , , 4 b b b b d d d m F k h m hb m ld m ξ = ξ ξ = = ρ = ρ , th tg — синфазний рух стержнів; 2 ( ) cth ctg — протифазний рух стержнів. 2 b b b b b b b k h k h k h F k h k h k h k h ⎧ + ⎪ ⎪= ⎨ −⎪ ⎪⎩ Слід зазначити, що пошук розв’язку сформульованої задачі у вигляді біжучої хвилі вздовж осі x з невідомою швидкістю c і можливою модуляцією амплітуди в поперечному напрямку y еквівалентний застосуванню метода Флоке [2, 4]. У його рамках записану сис- тему функціональних співвідношень слід доповнити умовою періодичності фізичних полів у вузлах з номерами ( 1)n − і n , як це було зроблено в роботах [5, 7, 8]: 1 1( 1) 2 2( 1),d dik l ik li l i l n n n nU U e e U U e e−κ κ − −= = . Така підстановка дозволяє, прирівнявши характеристичний визначник результуючої алгебраїчної системи до нуля, прийти до дисперсійного рівняння, яке визначає дозволені значення довжини хвилі на даній частоті: 2 2 (cos sin ) 1 0i l i l d d de e k l k l k lκ κ− − ξ + = Шукане значення фазової швидкості хвилі дається найменшим додатним розв’язком дисперсійного рівняння : 1 arccos(cos sin )d d dc k l k l k l l = −ξ . Аналіз результатів. Надалі вважатимемо , , , 2 , 2b d b d b dE E h l b dρ = ρ = ν = ν = = У цьо- му випадку відношення погонних мас буде 0 1ξ = , а кількість параметрів значно скорочу- єт ься. При числовому аналізі задамо значення фізичних параметрів типові для середовищ з дуже низькою жорсткістю на зсув — біоматеріалів, деяких ґум і пластиків. Зокрема, не- хай 1100bρ = кг/м3, 52 10bE = ⋅ Па, 0, 49bν = при характерних розмірах 42 4 10h −= ⋅ м і 65 10b −= ⋅ м, притаманних, наприклад, найдрібнішим структурним елементам легеневої тканини — альвеолам. При таких параметрах система повною мірою демонструє основні риси своєї поведінки вже в області 1dk l < . 31ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8 Дисперсія хвиль у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами На рис. 2 зображено залежності шуканої фа- зової швидкості поширення хвилі в системі від хвильових розмірів dk l і bk h при синфазному і протифазному збудженні стержнів (неперервна і штрихова криві відповідно). Зауважимо, що для обох випадків спостері- гається певна подібність поведінки системи. При , 1d bk l k h << значення фазової швидкості c залишається майже сталим. Природно, що dc c< , оскільки на частотах, значно нижчих за першу власну частоту, кінематично збуджувані бал- ки деформуються слабо і коливаються практично як єдине ціле. У такому разі вони відігра- ють роль пасивних інерційних добавок, які збільшують ефективну масу стержнів. Варто зазначити, що при протифазному збудженні стержнів низькочастотне значення швидкості c виявилось вищим, ніж при синфазному. Ця різниця обумовлена відмінністю типів коливань поперечних балок в обох випадках. Дійсно, при синфазному збудженні вони здійснюють зворотно-поступальні рухи і тут 0 1ξ → . Якщо ж стержні рухаються у проти- фазі, то балки обертаються навколо осей, що проходять через центральні перерізи, тому в цьому випадку відповідні приєднані маси будуть меншими: 0 1/ 3ξ → . При наближенні хвильових розмірів системи до значень, що відповідають власним час- тотам балок, спостерігаються резонансні ефекти, пов’язані з інтенсивним збудженням їх- ніх згинних коливань. Зі структури загальних розв’язків для прогинів ( )nw y випливає, що при синфазному збудженні стержнів це відбувається при ( ) (2 1) / 2w resk h N≈ π + , а при про- тифазному – при ( )w resk h N≈ π , де N — натуральне число. При наближенні до ( )w resk h ме- ханічний імпеданс балки необмежено зростає. При цьому в дорезонансній смузі він має ха- рактер маси, збільшення якої призводить до гальмування системи і спадання швидкості по- ширення хвилі c до нуля. Одразу після резонансу імпеданс балки змінює характер і вона вже поводить себе як пружність. Завдяки цьому необмежено зростає ефективна пружність системи в цілому, що зумовлює стрибок другого для величини c . З подальшим збільшен- ням хвильового розміру (частоти) реактивна складова імпедансу балки знову змінює тип на масовий і все повторюється в околі наступного резонансу. При цьому в кожній наступній смузі пропускання фазова швидкість потроху зростає, асимптотично наближаючись знизу до dc при ,d bk l k h→∞ . Таким чином, фазова швидкість досліджуваної хвилі демонструє сильну дисперсію. Слід зауважити, що необмежене зростання імпедансу і фазової швидкості викликане ідеалізацією постановки задачі. При врахуванні механічних втрат у матеріалах балок і стержнів чи в опорах шукані хвильові числа стають комплексними, а стрибки фізичних ве- личин при переході через резонанс – обмеженими. Окрім того, наявність механічного зга- сання обмежує можливість поширення хвилі вздовж напрямку x на високих частотах. Якщо ж урахувати, що реальні структури не бувають ідеально періодичними, а завжди ма- Рис. 2. Залежність фазової швидкості поширення гар- монічної хвилі у модельній періодичній структурі від її хвильових чисел: неперервна — при симетричному збу- дженні; штрихова — при антисиметричному збудженні 32 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 8 В.Н. Олійник ють локальні нерегулярності, пов’язані з варіаціями фізичних і геометричних параметрів, то слід визнати, що практичне значення має лише низькочастотна смуга пропускання — до першого резонансу балок. Таким чином, нами показано, що в структурі, утвореній двома паралельними нескін- ченними пружними стержнями, періодично підкріпленими гнучкими балками, може по- ширюватись гармонічна хвиля з фазовою швидкістю, яка визначається комбінацією гео- метричних і фізичних параметрів елементів структури. Виведено дисперсійне рівняння і знайдено дозволені значення швидкості поширення хвилі при симетричному й антисиме- тричному збудженні стержнів. Встановлено, що фазові швидкості для обох розглянутих ви- падків матимуть різні значення за рахунок різниці в характері коливань балок. Визначено низькочастотні асимптотики фазової швидкості, а також особливості її поведінки в околах згинних резонансів балок. Продемонстровано, що при поширенні хвиль у таких системах спостерігається сильна дисперсія. Важливо наголосити, що дисперсійні властивості систе- ми в цілому виявились якісно відмінними від дисперсійних властивостей її складових. Таким чином, розгляд динамічної поведінки модельних ґратчастих структур може бути корисним при аналізі й прогнозуванні механічних властивостей композитних матеріалів з пористою будовою. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. Brillouin L., Parodi M. Wave propagation in periodic structures. New York: Dover, 1946. 255 p. 2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. Москва: Наука, 1973. 344 с. 3. Силин Р.А. Электромагнитные волны в искусственных периодических структурах. Успехи физ. наук. 2006. 175. С. 562—565. doi: https://doi.org/10.3367/UFNr.0176.200605j.0562 4. Heckl M.A. Investigations on the vibrations of grillages and other simple beam structures. J. Acoust. Soc. Am. 1964. 36, № 7. P. 1335—1343. doi: http://dx.doi.org/10.1121/1.1919206 5. Олійник В. Н. Про дисперсію хвиль деяких типів у легеневій паренхімі. Вісн. Київ. нац. ун-ту імені Тараса Шевченка. Сер. фіз.-мат. науки. 2015. Спецвипуск. С. 189—192. 6. Mead D.J. Free wave propagation in periodically supported, infinite beams. J. Sound Vib. 1970. 11, № 2. P. 181—197. doi: https://doi.org/10.1016/S0022-460X(70)80062-1 7. Олійник В.Н. Поширення хвиль у системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жор- сткими поперечними перегородками і зв’язаних з акустичним середовищем. Акуст. вісн. 2008. 11, № 1. С. 60—67. 8. Олійник В.Н. Антисиметричні хвилі в системі двох паралельних стержнів, періодично підкріплених жор сткими поперечними перегородками і зв’язаних з акустичним середовищем. Акуст. вісн. 2008. 11, № 2. С. 36—44. Надійшло до редакції 12.03.2017 REFERENCES 1. Brillouin, L. & Parodi, M. (1946) Wave propagation in periodic structures. New York: Dover. 2. Brekhovskikh, L. M. (1973) Waves in layered media, Moscow: Nauka (in Russian). 3. Silin, R. A. (2006). Electromagnetic waves in artificial periodic structures. Uspekhi Fiz. Nauk, 175, pp. 562- 565 (in Russian). doi: https://doi.org/10.3367/UFNr.0176.200605j.0562 4. Heckl, M. A. (1964). Investigations on the vibrations of grillages and other simple beam structures. J. Acoust. Soc. Am., 36, No. 7, pp. 1335-1343. doi: http://dx.doi.org/10.1121/1.1919206 5. Oliynik, V. N. (2015). On the dispersion of waves of some types in pulmonary parenchyma. Visn. Taras Shevchenko Nat. Univ of Kyiv. Ser. Phys.-Math. Sci., Special iss., pp. 189-192 (in Ukrainian). 6. Mead, D. J. (1970). Free wave propagation in periodically supported, infinite beams. J. Sound Vib., 11, No. 2, pp. 181-197. doi: https://doi.org/10.1016/S0022-460X(70)80062-1 33ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8 Дисперсія хвиль у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами 7. Oliynik, V. N. (2008). Wave propagation in the system of two parallel rods periodically supported by rigid transverse barriers and connected with an acoustic medium. Akust. Visn., 11, No. 1, pp. 60-67 (in Ukrainian). 8. Oliynik, V. N. (2008). Antisymmetric waves in the system of two parallel rods periodically supported by rigid transverse barriers and connected with an acoustic medium. Akust. Visn., 11, No. 2, pp. 36-44 (in Ukrainian). Received 12.03.2017 В.Н. Олийнык Институт гидромеханики НАН Украины, Киев E-mail: v_oliynik@yahoo.com ДИСПЕРСИЯ ВОЛН В СИСТЕМЕ УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ, ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ГИБКИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ Исследованы волновые свойства периодической структуры, образованной двумя параллельными бес- конечными упругими стержнями, подкрепленными периодически расположенными шарнирно опертыми гибкими балками. Для случаев синфазного и противофазного движения стержней методом Флоке по- лучены дисперсионные уравнения и определена фазовая скорость гармонической волны, которая может распространяться в рассматриваемой системе. Показано, что такой волне присуща значительная дис- персия, обусловленная возбуждением изгибных мод поперечных балок в соответствующих частотных ди- апазонах. Ключевые слова: фазовая скорость, дисперсия, упругая периодическая структура, изгибные колебания, метод Флоке. V.N. Oliynik Institute of Hydromechanics of the NAS of Ukraine, Kiev E-mail: v_oliynik@yahoo.com THE DISPERSION OF WAVES IN A SYSTEM OF ELASTIC RODS PERIODICALLY SUPPORTED WITH FLEXIBLE ELEMENTS Wave properties of a periodic structure formed by two parallel infinite rods reinforced by periodically placed simply supported flexible bars are studied. In the cases of in-phase and anti-phase longitudinal motions of the rods, the dispersion equations are obtained by the Floquet method, and phase velocity values are determined for a harmonic wave propagating in the considered system. A significant dispersion is shown to be inherent to this wave due to exciting the bending modes of the bars in the corresponding frequency ranges. Keywords: phase velocity, dispersion, periodic elastic structure, bending vibrations, Floquet method.

Дисперсія хвиль, у системі пружних стержнів, періодично підкріплених гнучкими елементами

Institution

Ähnliche Einträge