Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках
Исследовано явление слабой локализации в квазидвумерной неупорядоченной многослойной структуре в поперечном магнитном поле. Сделано предположение, что когерентное туннелирование электронов между слоями настолько слабое, что сверхрешеточные минизоны не образуются, а основной вклад в вероятности перех...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127534 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках / С.Г. Новокшонов // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2-3. — С. 174-181 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-127534 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1275342017-12-24T03:03:01Z Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках Новокшонов, С.Г. Электронные свойства низкоразмерных систем Исследовано явление слабой локализации в квазидвумерной неупорядоченной многослойной структуре в поперечном магнитном поле. Сделано предположение, что когерентное туннелирование электронов между слоями настолько слабое, что сверхрешеточные минизоны не образуются, а основной вклад в вероятности переходов электронов между слоями вносит их рассеяние в случайном поле примесей. Получены аналитические выражения для интерференционных поправок к продольному сопротивлению системы, содержащей произвольное конечное количество слоев, в случае изолирующих краевых условий. Показано, что рассеяние электронов между слоями оказывает пренебрежимо малое влияние на диффузионный магнитотранспорт, но заметно уменьшает эффект слабой локализации, играя роль дополнительного механизма сбоя фазы. Проанализировано влияние краевых условий на эффект слабой локализации в многослойной структуре в зависимости от количества слоев. Полученные результаты хорошо описывают отрицательное магнитосопротивление в естественных сверхрешетках Nd₁₋xCexCuO₄ выше критической температуры. Досліджено явище слабкої локалізації у квазідвовимірній неупорядкованій багатошаровій структурі в поперечному магнітному полі. Зроблено припущення, що когерентне тунелювання електронів між шарами настільки слабке, що надграткові мінізони не утворюються, а основний внесок в імовірності переходів електронів між шарами вносить їхнє розсіювання у випадковому полі домішок. Отримано аналітичний вираз для інтерференційних виправлень до поздовжнього опору системи, що містить довільну кінцеву кількість шарів, у випадку ізолюючих крайових умов. Показано, що розсіювання електронів між шарами робить нехтовно малий вплив на дифузійний магнітотранспорт, але помітно зменшує ефект слабкої локалізації, відіграючи роль додаткового механізму збою фази. Проаналізовано вплив крайових умов на ефект слабкої локалізації в багатошаровій структурі залежно від кількості шарів. Отримані результати добре описують негативний магнітоопір в природних надгратках Nd₁₋xCexCuO₄ вище критичної температури. The weak localization phenomenon in a quasitwo-dimensional disordered system in orthogonal magnetic field is investigated. It is assumed that the coherent electron tunelling between the layers is so weak that there occure no superlattice minibands, and the main contribution to the probabilities of interlayer transition of electrons is made by their scattering in a random impurity field. In the case of insulating boundary conditions, analytical expressions for interference corrections to longitudinal resistivity of the system with an arbitrary finite number of layers are obtained. It is shown that the interlayer electron scattering has a negligible influence on the diffusion magnetotransport, but it markedly diminishes the weak localization effect as an additional mechanism of the phase relaxation. The influence of boundary conditions on the effect of weak localization in the multilayers structure depending on the number of layers is analysed. The obtained results describe well the negative magnetoresistance in the natural superlattices of Nd₁₋xCexCuO₄ above the critical temperature. 2007 Article Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках / С.Г. Новокшонов // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2-3. — С. 174-181 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 72.15.Rn, 72.15.Gd, 73.21.Ac, 73.21.Cd http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127534 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Электронные свойства низкоразмерных систем Электронные свойства низкоразмерных систем |
| spellingShingle |
Электронные свойства низкоразмерных систем Электронные свойства низкоразмерных систем Новокшонов, С.Г. Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках Физика низких температур |
| description |
Исследовано явление слабой локализации в квазидвумерной неупорядоченной многослойной структуре в поперечном магнитном поле. Сделано предположение, что когерентное туннелирование электронов между слоями настолько слабое, что сверхрешеточные минизоны не образуются, а основной вклад в вероятности переходов электронов между слоями вносит их
рассеяние в случайном поле примесей. Получены аналитические выражения для интерференционных поправок к продольному сопротивлению системы, содержащей произвольное конечное количество слоев, в случае изолирующих краевых условий. Показано, что рассеяние электронов между слоями оказывает пренебрежимо малое влияние на диффузионный
магнитотранспорт, но заметно уменьшает эффект слабой локализации, играя роль дополнительного механизма сбоя фазы. Проанализировано влияние краевых условий на эффект слабой
локализации в многослойной структуре в зависимости от количества слоев. Полученные результаты хорошо описывают отрицательное магнитосопротивление в естественных сверхрешетках Nd₁₋xCexCuO₄ выше критической температуры. |
| format |
Article |
| author |
Новокшонов, С.Г. |
| author_facet |
Новокшонов, С.Г. |
| author_sort |
Новокшонов, С.Г. |
| title |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| title_short |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| title_full |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| title_fullStr |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| title_full_unstemmed |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| title_sort |
слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Электронные свойства низкоразмерных систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127534 |
| citation_txt |
Слабая локализация в многослойных структурах и сверхрешетках / С.Г. Новокшонов // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 2-3. — С. 174-181 — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT novokšonovsg slabaâlokalizaciâvmnogoslojnyhstrukturahisverhrešetkah |
| first_indexed |
2025-07-09T07:11:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T07:11:32Z |
| _version_ |
1837152436464123904 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3, ñ. 174–181
Ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ
è ñâåðõðåøåòêàõ
Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ
Èíñòèòóò ôèçèêè ìåòàëëîâ, ÓðÎ ÐÀÍ, ÃÑÏ-170
óë. Ñ. Êîâàëåâñêîé, 18, ã. Åêàòåðèíáóðã, 620219, Ðîññèÿ
E-mail: nov@imp.uran.ru
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22 ñåíòÿáðÿ 2006 ã.
Èññëåäîâàíî ÿâëåíèå ñëàáîé ëîêàëèçàöèè â êâàçèäâóìåðíîé íåóïîðÿäî÷åííîé ìíîãîñëîé-
íîé ñòðóêòóðå â ïîïåðå÷íîì ìàãíèòíîì ïîëå. Ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî êîãåðåíòíîå òóííå-
ëèðîâàíèå ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñëîÿìè íàñòîëüêî ñëàáîå, ÷òî ñâåðõðåøåòî÷íûå ìèíèçîíû íå îá-
ðàçóþòñÿ, à îñíîâíîé âêëàä â âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñëîÿìè âíîñèò èõ
ðàññåÿíèå â ñëó÷àéíîì ïîëå ïðèìåñåé. Ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ èíòåðôåðåí-
öèîííûõ ïîïðàâîê ê ïðîäîëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ñèñòåìû, ñîäåðæàùåé ïðîèçâîëüíîå êîíå÷-
íîå êîëè÷åñòâî ñëîåâ, â ñëó÷àå èçîëèðóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàññåÿíèå ýëåê-
òðîíîâ ìåæäó ñëîÿìè îêàçûâàåò ïðåíåáðåæèìî ìàëîå âëèÿíèå íà äèôôóçèîííûé
ìàãíèòîòðàíñïîðò, íî çàìåòíî óìåíüøàåò ýôôåêò ñëàáîé ëîêàëèçàöèè, èãðàÿ ðîëü äîïîëíè-
òåëüíîãî ìåõàíèçìà ñáîÿ ôàçû. Ïðîàíàëèçèðîâàíî âëèÿíèå êðàåâûõ óñëîâèé íà ýôôåêò ñëàáîé
ëîêàëèçàöèè â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå â çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà ñëîåâ. Ïîëó÷åííûå ðå-
çóëüòàòû õîðîøî îïèñûâàþò îòðèöàòåëüíîå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå â åñòåñòâåííûõ ñâåðõðåøåò-
êàõ Nd1–xCexCuO4 âûøå êðèòè÷åñêîé òåìïåðàòóðû.
Äîñë³äæåíî ÿâèùå ñëàáêî¿ ëîêàë³çàö³¿ ó êâàç³äâîâèì³ðí³é íåóïîðÿäêîâàí³é áàãàòîøàðîâ³é
ñòðóêòóð³ â ïîïåðå÷íîìó ìàãí³òíîìó ïîë³. Çðîáëåíî ïðèïóùåííÿ, ùî êîãåðåíòíå òóíåëþâàííÿ
åëåêòðîí³â ì³æ øàðàìè íàñò³ëüêè ñëàáêå, ùî íàäãðàòêîâ³ ì³í³çîíè íå óòâîðþþòüñÿ, à îñíîâíèé
âíåñîê â ³ìîâ³ðíîñò³ ïåðåõîä³â åëåêòðîí³â ì³æ øàðàìè âíîñèòü ¿õíº ðîçñ³þâàííÿ ó âèïàäêîâî-
ìó ïîë³ äîì³øîê. Îòðèìàíî àíàë³òè÷íèé âèðàç äëÿ ³íòåðôåðåíö³éíèõ âèïðàâëåíü äî ïîçäîâæ-
íüîãî îïîðó ñèñòåìè, ùî ì³ñòèòü äîâ³ëüíó ê³íöåâó ê³ëüê³ñòü øàð³â, ó âèïàäêó ³çîëþþ÷èõ êðà-
éîâèõ óìîâ. Ïîêàçàíî, ùî ðîçñ³þâàííÿ åëåêòðîí³â ì³æ øàðàìè ðîáèòü íåõòîâíî ìàëèé âïëèâ
íà äèôóç³éíèé ìàãí³òîòðàíñïîðò, àëå ïîì³òíî çìåíøóº åôåêò ñëàáêî¿ ëîêàë³çàö³¿, â³ä³ãðàþ÷è
ðîëü äîäàòêîâîãî ìåõàí³çìó çáîþ ôàçè. Ïðîàíàë³çîâàíî âïëèâ êðàéîâèõ óìîâ íà åôåêò ñëàáêî¿
ëîêàë³çàö³¿ â áàãàòîøàðîâ³é ñòðóêòóð³ çàëåæíî â³ä ê³ëüêîñò³ øàð³â. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîáðå
îïèñóþòü íåãàòèâíèé ìàãí³òîîï³ð â ïðèðîäíèõ íàäãðàòêàõ Nd1–xCexCuO4 âèùå êðèòè÷íî¿ òåì-
ïåðàòóðè.
PACS: 72.15.Rn Ëîêàëèçàöèîííûå ýôôåêòû (àíäåðñîíîâñêàÿ èëè ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ);
72.15.Gd Ãàëüâàíîìàãíèòíûå è äðóãèå ìàãíèòîòðàíñïîðòíûå ýôôåêòû;
73.21.Ac Míîãîñëîéíûå ñòðóêòóðû;
73.21.Cd Ñâåðõðåøåòêè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: êóïåðîí â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå, îòðèöàòåëüíîå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå,
ìåæñëîåâîå ðàññåÿíèå.
1. Ââåäåíèå
 ïîñëåäíèå ãîäû áîëüøîå âíèìàíèå ïðèâëåêàåò
èññëåäîâàíèå ýëåêòðîííûõ ñâîéñòâ êâàçèäâóìåðíûõ
ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóð, ñîñòîÿùèõ èç îòíîñèòåëü-
íî íåáîëüøîãî ÷èñëà ñëîåâ [1–5].
 òåîðåòè÷åñêèõ ðàáîòàõ [1,2], ïîñâÿùåííûõ èñ-
ñëåäîâàíèþ ÿâëåíèÿ ñëàáîé ëîêàëèçàöèè (ÑË) â
ñâåðõðåøåòêàõ, êàê ïðàâèëî, ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñ-
òåìû èç áîëüøîãî (N �� 1) ÷èñëà ñëîåâ, ÷òî ïîçâî-
ëÿåò ïîëüçîâàòüñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè êðàåâûìè óñëî-
© Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ, 2007
âèÿìè â íàïðàâëåíèè ðîñòà ñâåðõðåøåòêè. Êðîìå
ýòîãî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äîìèíèðóþùèì ìåõàíèç-
ìîì ïåðåõîäîâ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñëîÿìè ÿâëÿåòñÿ
êîãåðåíòíîå òóííåëèðîâàíèå, îòâåòñòâåííîå çà ôîð-
ìèðîâàíèå áëîõîâñêèõ ñîñòîÿíèé, ñïåêòð êîòîðûõ
ñîñòîèò èç õîðîøî îïðåäåëåííûõ ìèíèçîí. Ïîñëåä-
íåå ñïðàâåäëèâî â óñëîâèÿõ, êîãäà ÷àñòîòà êîãåðåíò-
íîãî òóííåëèðîâàíèÿ ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñëîÿìè âå-
ëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ îáðàòíûì âðåìåíåì æèçíè
îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé t /�� 1 �.
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà òåîðåòè÷åñêîìó èñ-
ñëåäîâàíèþ ýôôåêòà ÑË â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå
â ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäåëå t /�� 1 �, êîãäà ìèíèçî-
íû â ñïåêòðå ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé íå ôîðìèðó-
þòñÿ, à îñíîâíûì ìåõàíèçìîì ïåðåõîäîâ ýëåêòðî-
íîâ ìåæäó ñëîÿìè ÿâëÿåòñÿ èõ óïðóãîå ðàññåÿíèå â
ñëó÷àéíîì ïîëå ïðèìåñåé. Êîëè÷åñòâî ñëîåâ â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðå ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðîèçâîëü-
íûì è íå íàñòîëüêî áîëüøèì, ÷òîáû ïðåíåáðåãàòü
êðàåâûìè ýôôåêòàìè. Òàêèå óñëîâèÿ ìîæíî ðåàëè-
çîâàòü â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ ñ äîñòàòî÷íî âû-
ñîêèìè è øèðîêèìè áàðüåðàìè, ðàçäåëÿþùèìè ñî-
ñåäíèå ÿìû.
Äðóãèì èíòåðåñíûì îáúåêòîì ïðèëîæåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ ïëåíêè
Nd Ce CuO1 4�x x . Ñëîèñòàÿ ñòðóêòóðà ýòèõ ñîåäèíå-
íèé îáðàçóåò åñòåñòâåííóþ ñâåðõðåøåòêó ñ ðåçêî
àíèçîòðîïíûìè ñâîéñòâàìè. Çîíà ïðîâîäèìîñòè ýòèõ
ñîåäèíåíèé èìååò ÿðêî âûðàæåííûé êâàçèäâóìåð-
íûé õàðàêòåð, ïðàêòè÷åñêè íå îáíàðóæèâàÿ äèñ-
ïåðñèè âäîëü òåòðàãîíàëüíîé îñè c [6], ïåðïåí-
äèêóëÿðíîé ïðîâîäÿùèì ïëîñêîñòÿì CuO2 (| | )ab .
Âñëåäñòâèå ìàëîé âåðîÿòíîñòè ýëåêòðîííûõ ïåðåõî-
äîâ ìåæäó ïðîâîäÿùèìè ïëîñêîñòÿìè êðèñòàëëû
Nd Ce CuO1 4�x x îáëàäàþò âûñîêîé àíèçîòðîïèåé
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè â íîðìàëüíîé ôàçå � �ab c/ �
� 103 [7,8]. Âñëåäñòâèå ýòîãî òåìïåðàòóðíûå è ìàã-
íèòîïîëåâûå çàâèñèìîñòè � ab â êðèñòàëëàõ
Nd Ce CuO1 4�x x â íîðìàëüíîé ôàçå â çíà÷èòåëüíîé
ñòåïåíè îïðåäåëÿþòñÿ ýôôåêòîì ÑË [9].
Àâòîðó èçâåñòíà ëèøü îäíà ðàáîòà [5], â êîòîðîé
áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ðåøåíèÿ ñôîðìóëèðî-
âàííîé âûøå çàäà÷è. Îäíàêî èñïîëüçóåìàÿ â [5]
ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ êóïåðîíà ñ èçîëèðóþùèìè
êðàåâûìè óñëîâèÿìè íå óäîâëåòâîðÿåò çàêîíó ñî-
õðàíåíèÿ ÷àñòèö, à âû÷èñëåííûå ëîêàëèçàöèîííûå
ïîïðàâêè ê ïðîäîëüíîìó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèþ
ïðåäñòàâëåíû â î÷åíü ãðîìîçäêîì è ôèçè÷åñêè íå-
ïðîçðà÷íîì âèäå, ÷òî äåëàåò çàòðóäíèòåëüíûì èõ
èñïîëüçîâàíèå äëÿ èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðèìåíòà. Â
íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåí ïîäõîä ê ðåøåíèþ îá-
ñóæäàåìîé çàäà÷è, ïîçâîëÿþùèé èçáåæàòü ýòèõ íå-
äîñòàòêîâ.
2. Ìîäåëü ìíîãîñëîéíîé íåóïîðÿäî÷åííîé
ñèñòåìû
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó N-îäèíàêîâûõ ðàâíîóäàëåí-
íûõ, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè OXY êâàíòîâûõ ÿì
(ñëîåâ), â êàæäîé èç êîòîðûõ ýëåêòðîíû çàïîëíÿþò
ñîñòîÿíèÿ íèæíåé ðàçìåðíî êâàíòîâàííîé ïîäçîíû.
Ïóñòü äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ â ïîïåðå÷íîì (| |OZ) íà-
ïðàâëåíèè îïèñûâàåòñÿ ìîäåëüþ ñèëüíîé ñâÿçè â
ïðèáëèæåíèè áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Íàïðîòèâ, äâè-
æåíèå ýëåêòðîíîâ âíóòðè ñëîåâ ñâîáîäíî, à ñâÿçàí-
íûé ñ íèì ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð èçîòðîïíûé è
êâàäðàòè÷íûé. Ïðè íàëè÷èè âíåøíåãî ïîïåðå÷íîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ B A� rot (| | )OZ ãàìèëüòîíèàí
ýëåêòðîíà â ðàññìàòðèâàåìîé ìíîãîñëîéíîé ñòðóê-
òóðå èìååò âèä
H k
m
e
c
U kk k
k
N
� � �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
���
� | ( ) |,
1
2
2
1
p A r
� � � �
�
�
�
���
�� | ( ) |,k U kk k1 1 r . (1)
Çäåñü |k� — âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â k-îé ÿìå,
ïðè÷åì
| |0 1 0� � � � �N , èçîëèðóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ,
| |k k N� � � �, ïåðèîäè÷åñêèå êðàåâûå óñëîâèÿ.
(2)
Âíóòðè- è ìåæñëîåâûå ñëó÷àéíûå ïîòåíöèàëû â (1)
îïðåäåëÿþòñÿ êàê U lU z kl k, ( ) | ( , )|r r� � �. Èõ íåäèà-
ãîíàëüíûå êîìïîíåíòû îòëè÷íû îò íóëÿ âñëåäñòâèå
ïåðåêðûòèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé ýëåêòðîíîâ, ëîêà-
ëèçîâàííûõ â ñîñåäíèõ ñëîÿõ. Ñëåäóÿ ðàáîòå [5],
áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìîäåëü áåñïîðÿäêà, â êîòîðîé
îòëè÷íû îò íóëÿ ñëåäóþùèå êîððåëÿòîðû ñëó÷àé-
íîãî ïîëÿ (ñì. ðèñ. 1,à):
� � � � � �U U Wk l m n kl mn, , ,( ) ( ) ( )r r r r ,
W Wkl mn k l m n k m, , , ,� �0
� �� � � �W k l m n k m k l m n k n1 1 1 1 1[ ], , , , , , ,
(3)
ïðè÷åì W /W d/a1 0 2! �exp ( ), ãäå a — ãëóáèíà
ïðîíèêíîâåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà
"( ) exp ( | |/ )z z a! � âíóòðü ïîòåíöèàëüíîãî áàðüå-
ðà, à d — åãî øèðèíà. Áåñïîðÿäîê òàêîãî òèïà ìî-
æåò áûòü ðåàëèçîâàí ñóïåðïîçèöèåé ñòàòèñòè÷åñêè
íåçàâèñèìûõ ãàóññîâñêèõ -êîððåëèðîâàííûõ ñëó-
÷àéíûõ ïîëåé, ñîñðåäîòî÷åííûõ âíóòðè ÿì è áàðüå-
ðîâ. Ïðè÷åì ðàññåÿíèå âíóòðè ñëîÿ îáóñëîâëåíî
áåñïîðÿäêîì â ñîîòâåòñòâóþùåé ÿìå, à ðàññåÿíèå
ìåæäó ñëîÿìè — áåñïîðÿäêîì â ðàçäåëÿþùåì èõ
áàðüåðå.
Ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3 175
Ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ â ïîëå ñëó÷àéíîãî ïîòåí-
öèàëà âåäåò ê ïåðåíîðìèðîâêå èõ ýíåðãåòè÷åñêîãî
ñïåêòðà: ñäâèãó è óøèðåíèþ. Íåïîñðåäñòâåííî èç
ñòðóêòóðû ïàðíîãî êîððåëÿòîðà ñëó÷àéíîãî ïîëÿ
(3) âèäíî, ÷òî â ñàìîñîãëàñîâàííîì áîðíîâñêîì
ïðèáëèæåíèè ìàòðèöà ñîáñòâåííûõ ýíåðãèé ýëåê-
òðîíà â ìíîãîñëîéíîé ñèñòåìå (ñì. ðèñ. 1,á) òðåõ-
äèàãîíàëüíà â áàçèñå âåêòîðîâ |k�
# k n
R A
kl mn
l m
R AW l G m,
( )
,
,
( )| |� � � �� Sp
� � �� �# #k k
R A
k n k n
R A
k n k n,
( )
, ,
( )
, ,[ ] 1 1 , (4)
ãäåG E H iR A( ) ( )� � � � ��0 1 — óñðåäíåííàÿ ïî áåñ-
ïîðÿäêó çàïàçäûâàþùàÿ GR (îïåðåæàþùàÿ G A)
ðåçîëüâåíòà ãàìèëüòîíèàíà (1), à ñèìâîë Sp îáî-
çíà÷àåò ñëåä ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, ñâÿçàííûì ñ
äâèæåíèåì ýëåêòðîíà âíóòðè ñëîÿ. Íåäèàãîíàëü-
íûå ýëåìåíòû # k n
R A
,
( ) ïðîïîðöèîíàëüíû W1
2. Âåëè-
÷èíû òàêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè â äàëüíåéøåì áóäóò
îïóñêàòüñÿ. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè
# #k n
R A
k k
R A
k n
k k
i,
( )
,
( )
,
,
� �
�
�
�
2
,
1 1
2
1
0
1
1� �
�k k
k k N
,
, ,( )� � � � .
(5)
Çäåñü
�
�
$
0
02� n WF ,
�
�
$
1
12� n WF , (6)
ãäå �0 è �1 — âðåìåíà æèçíè, îáóñëîâëåííûå âíóò-
ðèñëîåâûì ðàññåÿíèåì è, ñîîòâåòñòâåííî, âèðòóàëü-
íûìè ïåðåõîäàìè ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîñåäíèìè
ñëîÿìè, à n m/F � 2 2$� — îäíîñïèíîâàÿ ïëîòíîñòü
ñîñòîÿíèé íà óðîâíå Ôåðìè â èçîëèðîâàííîé êâàí-
òîâîé ÿìå.
Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìàòðèâàåìîì çäåñü ïðè-
áëèæåíèè ïåðåíîðìèðîâêà ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà â
ñëó÷àéíîì ïîëå îáóñëîâëåíà ïðîöåññàìè âíóòðè-
ñëîåâîãî ðàññåÿíèÿ è âèðòóàëüíûìè ïåðåõîäàìè
ýëåêòðîíîâ ìåæäó ñîñåäíèìè ñëîÿìè (ñì. ïåðâûå
ïàðû äèàãðàìì íà ðèñ. 1,a,á). Íåýêâèâàëåíòíîñòü
âíåøíèõ è âíóòðåííèõ ñëîåâ ïðîÿâëÿåòñÿ â îòíî-
ñèòåëüíî ìàëîì ðàçëè÷èè âðåìåí æèçíè îäíî÷àñ-
òè÷íûõ ñîñòîÿíèé (5) (� �1 0�� ) âî âíóòðåííèõ
(1 � �k N) è âíåøíèõ (k N� 1, ) ñëîÿõ. Íî, êàê áó-
äåò âèäíî íèæå, ó÷åò ýòîãî ðàçëè÷èÿ, âàæåí äëÿ
êîððåêòíîãî âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ ïîïðàâîê ê
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè â ñëó÷àå èçîëèðóþùèõ êðàå-
âûõ óñëîâèé (2). Âêëþ÷åíèå áåñïîðÿäêà ïðè ïåðèî-
äè÷åñêèõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ (2) ñîõðàíÿåò ýêâèâà-
ëåíòíîñòü ñëîåâ â ñðåäíåì.  ýòîì ñëó÷àå â (5)
ñëàãàåìûå, ïðîïîðöèîíàëüíûå -ñèìâîëàì, îòñóòñò-
âóþò è âñå âðåìåíà æèçíè �k k, ñîâïàäàþò ìåæäó
ñîáîé.
3. Êóïåðîí â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå
Ëîêàëèçàöèîííûå ïîïðàâêè ê ýëåêòðîïðîâîäíî-
ñòè âíîñÿò ïðîöåññû ìíîãîêðàòíîãî ðàññåÿíèÿ, èçî-
áðàæàåìûå íà äèàãðàììíîì ÿçûêå ëåñòíè÷íûì ðÿ-
äîì â êàíàëå ÷àñòèöà—÷àñòèöà.  îáùåì ñëó÷àå
ñóììà òàêîãî ðÿäà, êóïåðîí Ckl mn, , ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ÷åòûðåõìåðíóþ ìàòðèöó ðàçìåðíîñòè
N N N N% % % . Íî, êàê ïîêàçàíî â [5], ãëàâíûé
(ñèíãóëÿðíûé) âêëàä â êâàíòîâûå ïîïðàâêè ê ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè âíîñÿò äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû êó-
ïåðîíà C Ckk kk k k, ,& . Îíè óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå
óðàâíåíèé, èçîáðàæåííîé â ãðàôè÷åñêîé ôîðìå íà
ðèñ. 2. Áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ ìå-
æäó ñëîÿìè â íèõ âõîäÿò è íåäèàãîíàëüíûå ìàòðè÷-
íûå ýëåìåíòû êóïåðîíà òèïà C Ckk ll k l, ,& .  ñëó÷àå
ïåðèîäè÷åñêèõ êðàåâûõ óñëîâèé ðåøåíèå ýòîé çàäà-
÷è õîðîøî èçâåñòíî [1–3]. Íî, ñòðîãî ãîâîðÿ, îíî
ïðèìåíèìî ëèøü ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì êîëè÷åñò-
âå ñëîåâ (N �� 1). Èñïîëüçîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ
êðàåâûõ óñëîâèé ïðè ìàëûõ N ìîæåò âíåñòè â ðå-
çóëüòàò çàìåòíóþ îøèáêó. Ïîýòîìó îñòàíîâèìñÿ íà
âû÷èñëåíèè êóïåðîíà â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå ñ
áîëåå ðåàëèñòè÷åñêèìè ïðè ìàëûõ N èçîëèðóþùè-
ìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé B � 0, â êîòîðîì
ôóíêöèÿ Ãðèíà â k-îì ñëîå äèàãîíàëüíà â èìïóëüñ-
íîì ïðåäñòàâëåíèè è èìååò âèä
G
E i /
k
R A
k k
,
( )
,( )p
p
�
� � �� �
1
21 1E � � ��
, (7)
176 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3
Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ
a
k
k
k
k
k
k
k 1
k 1
k
k
k 1
k 1
á
k kk k k kk 1k 1 k k 1k 1 k
±
± ±
±±± ±
±
Ðèñ. 1. Ãðàôè÷åñêèé âèä òðåõ îòëè÷íûõ îò íóëÿ êîððå-
ëÿòîðîâ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ (a). Äèàãðàììû, èçîáðàæàþ-
ùèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýëåêòðîííîé ñîáñòâåííîé ýíåð-
ãèè â ñàìîñîãëàñîâàííîì áîðíîâñêîì ïðèáëèæåíèè (á).
Ck;l
k
k
l
l
=
k
k
l
l
m
m
+
k
k
m
m
Cm;l
Ðèñ. 2. Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ìàòðèöû êóïåðîíà Ck l, â
äèàãðàììíîì ïðåäñòàâëåíèè. Cóììèðîâàíèå ïîäðàçóìå-
âàåòñÿ ïî èíäåêñó m.
ãäå âðåìÿ æèçíè �k k, îïðåäåëåíî â (5), �� — âðåìÿ
ñáîÿ ôàçû. Ïåðåõîäÿ íà àíàëèòè÷åñêèé ÿçûê, âîñ-
ïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì
�
2 2 2$ �n
G G
F k k
k /
R
k /
A
,
, ,p q
p
p q� �� �
�
� � �
1
1 2 1�
�
� �
�
�
k k
k k kq D q i,
,( , )
, (8)
è âûðàçèì êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ
êóïåðîíà ÷åðåç âðåìåíà æèçíè �k k, (5), �0 è �1 (6)
è çàâèñÿùèé îò âîëíîâîãî ÷èñëà q è ìíèìîé ÷àñòî-
òû ' ��� �i 1 îáîáùåííûé êîýôôèöèåíò äèôôóçèè
ýëåêòðîíà â k-îì ñëîå â ëåñòíè÷íîì ïðèáëèæåíèè
D q ik( , )��
�1 .  ðåçóëüòàòå äëÿ Ck l, ïîëó÷èì ëèíåé-
íóþ íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ìàòðèöà êî-
òîðîé òðåõäèàãîíàëüíà è â ñëó÷àå èçîëèðóþùèõ
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èìååò âèä
�
–
L
q D
q D
�
� � � �
� � �
�
1 1 1
0 0
1 2 1 1
0
0
1 2
1
2
1
1 1
2
1
1
� � �
� � � �
� �
�
�
�
�
1
2
1
2
1
0
0 0 0
1 1
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
q D
q D
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
, (9)
ãäå äëÿ êðàòêîñòè ÿâíî íå âûïèñàíû àðãóìåíòû
îáîáùåííûõ êîýôôèöèåíòîâ äèôôóçèè è ââåäåíî
îáîçíà÷åíèå D� äëÿ êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè ýëåê-
òðîíîâ êðàéíèõ ñëîåâ k N� 1, . Â äàëüíåéøåì, äëÿ
ïðîñòîòû, ìàëîå îòëè÷èå D� îò D ó÷èòûâàòüñÿ íå
áóäåò.
 ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêèõ êðàåâûõ óñëîâèé âñå
äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû (9) ðàâíû
2 1
1 1 2� ��
� �� � q D è, êðîìå ýòîãî, îòëè÷íû îò íóëÿ
ýëåìåíòû L LN N1 1 1
1� � � �� , îïèñûâàþùèå ïåðåõî-
äû ýëåêòðîíîâ ìåæäó êðàéíèìè ïðîòèâîïîëîæíûìè
ñëîÿìè. Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò èçîëèðóþùèõ êðàå-
âûõ óñëîâèé â ìàòðèöå ïåðåíîñà (9) íå ñâîäèòñÿ ê
îäíîìó ëèøü ðàâåíñòâó L LN N1 1 0� � . Âûêëþ÷åíèå
ïåðåõîäîâ1 ( N âåäåò ê èçìåíåíèþ ìàòðè÷íûõ ýëå-
ìåíòîâ L11 è LNN , ÷òî íå ó÷èòûâàëîñü â [5]. Íåîá-
õîäèìîñòü ýòîãî èçìåíåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíîé,
åñëè ðàññìîòðåòü ýêâèâàëåíòíîå ïðè B � 0 óðàâíå-
íèå äëÿ äèôôóçîíà. Äåéñòâèòåëüíî, èçìåíåíèå ÷èñ-
ëà ÷àñòèö â ðàññìàòðèâàåìîì ýëåìåíòå îáúåìà îáó-
ñëîâëåíî èõ äèôôóçèåé âíóòðè ñëîÿ (ñëàãàåìîå
q D2 â Lkk (1 ) )k N)) è êîíêóðåíöèåé ìåæäó
ïðîöåññàìè óõîäà ýëåêòðîíîâ èç ðàññìàòðèâàåìîãî
ñëîÿ (ñëàãàåìîå 2 1/� â Lkk (1 � �k N)) è èõ âîçâðà-
ùåíèåì â ðåçóëüòàòå îáðàòíûõ ïåðåõîäîâ (íåäèàãî-
íàëüíûå ýëåìåíòû �1 1/� ìàòðèöû �L). Âûêëþ÷åíèå
îäíîãî èç êàíàëîâ ïðèõîäà (íàïðèìåð, ïåðåõîäîâ
1 ( N) ñ íåîáõîäèìîñòüþ ñîïðîâîæäàåòñÿ ñîîòâåò-
ñòâóþùèì óìåíüøåíèåì ÷àñòîòû óõîäà. Òàêèì îá-
ðàçîì, ñòðóêòóðà ìàòðèöû ïåðåíîñà (9) íåïîñðåäñò-
âåííî çàäàåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö.
Êàê ñëåäñòâèå, â îòñóòñòâèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ êóïå-
ðîí �C èìååò äèôôóçèîííûé ïîëþñ. Äåéñòâèòåëüíî,
íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ìàòðèöà ïåðåíîñà (9) èìå-
åò N ïðîñòûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
* �
� �
+
�
�
p
p
q D q i( ) ( , ) sinq � � ��2 1
1
21 4
2
, +
$
p
p
N
�
(10)
(p N� �012 1, , , ,� ), îäíî èç êîòîðûõ (*0) ñòðåìèòñÿ
ê íóëþ ïðè �� , - è q , 0. Ñîîòâåòñòâóþùèå èì
ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìåþò âèä
�
�
F ( )
( )
( )
( )
+
+
+
+
p
p
p
N p
N
f
f
f
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2 , (11)
ãäå
f
N
k
p q
p qk p p( )
cos
sin
,+ +�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
2
2
2 1
, (12)
q — íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, íóëåâàÿ ìîäà êóïåðîíà
�
F ( )+p � 0 , ñîîòâåòñòâóþùàÿ åãî äèôôóçèîííîìó
ïîëþñó, ïðåäñòàâëÿåò îäíîðîäíîå âäîëü îñè OZ ñî-
ñòîÿíèå è íå çàâèñèò îò âûáîðà êðàåâûõ óñëîâèé.
Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêèõ êðàåâûõ óñ-
Ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3 177
ëîâèé ñïåêòð ìàòðèöû ïåðåíîñà èìååò âèä (10), íî ñ
+ $p p /N� 2 (p N� �0 1 2 1, , , ,� ), à êîìïîíåíòû
ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ — f ik /k p p( ) exp ( )+ +� 2.
Êàê è (10)–(12), îí ñîäåðæèò íóëåâóþ ìîäó
* ��0
2 1( )q � �q D / , fk( )0 ! const, îáóñëîâëåííóþ
çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö. Êàê îòìå÷àëîñü
âûøå, èñïîëüçóåìîå â ðàáîòå [5] ïðèáëèæåíèå, â
êîòîðîì âñå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû (9) ðàâíû
L / / q Dkk � � �2 11
2� �� , à L LN N1 1 0� � , â ñëó÷àå
èçîëèðóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèé íå óäîâëåòâîðÿåò
çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ÷èñëà ÷àñòèö.  ýòîì ïðèáëèæå-
íèè ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ïåðåíîñà
(9) òàêæå èìååò âèä (10), íî ñ + $p p / N� �( )1
( , , ,p N� 1 2 � ), ò.å. íå ñîäåðæèò íóëåâîé ìîäû.
Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ (11), (12) îáðàçóåò ïîëíóþ
îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó. Èñïîëüçóÿ åå, íåòðóä-
íî îáðàòèòü ìàòðèöó (9) è íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå
äëÿ êóïåðîíà �C. Äëÿ äàëüíåéøåãî íåîáõîäèìî çíà-
íèå ëèøü åå ñëåäà, îïðåäåëÿþùåãî êâàíòîâóþ ïî-
ïðàâêó ê ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ìíîãîñëîéíîé ñòðóê-
òóðû
tr �C C
n
kk
k
N
F
� � %
�
�
1 0
22
�
$ �
%
� ���
�
�
1
1 4
2
2 1
1
20
1
q D q i
pp
N
( , ) sin�
� �
+
�
�
. (13)
Âûðàæåíèå ïîä çíàêîì ñóììû â (13) ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé êóïåðîí â ñèëüíî àíèçîòðîïíîé 3D ñèñòå-
ìå. Çàêîí äèñïåðñèè, îòâå÷àþùèé òðåòüåé ñòåïåíè
ñâîáîäû, èìååò âèä, õàðàêòåðíûé äëÿ ìîäåëè ñèëü-
íîé ñâÿçè. Äåéñòâèòåëüíî, âåëè÷èíà +p/d (çäåñü d
— ðàññòîÿíèå ìåæäó ñëîÿìè) èãðàåò ðîëü êâàíòî-
âàííîãî çíà÷åíèÿ ïðîåêöèè êâàçèèìïóëüñà êóïåðî-
íà íà îñüOZ. Ïîñëå ïåðåõîäà îò ñóììèðîâàíèÿ ïî p
ê èíòåãðèðîâàíèþ ïî k /dz p� + óðàâíåíèå (13) ñî-
ãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûìè ðåçóëüòàòàìè äëÿ áåñêîíå÷-
íûõ ñâåðõðåøåòîê [1–3]. Â äëèííîâîëíîâîì ïðåäå-
ëå +p �� 1, ñâÿçàííîå ñ ìåæñëîåâûìè ïåðåõîäàìè
ñëàãàåìîå â çíàìåíàòåëå (13) ìîæíî èíòåðïðåòèðî-
âàòü êàê ðåçóëüòàò ïîïåðå÷íîé äèôôóçèè íîñèòåëåé
çàðÿäà ñ êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè D d /z � 2
1� .
Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî, ïðè ó÷åòå çàâèñèìîñòè
îáîáùåííîãî êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè â (13) îò
âîëíîâîãî ÷èñëà q è ÷àñòîòû i/��, ýòîò ðåçóëüòàò
îäèíàêîâî ïðèìåíèì êàê â äèôôóçèîííîì
(q D2 1� �� ), òàê è â áàëëèñòè÷åñêîì (q D2 � � 1) ðå-
æèìå. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàíîâêà â (13) âû÷èñ-
ëåííîãî â ëåñòíè÷íîì ïðèáëèæåíèè îáîáùåííîãî
êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè [13] äàåò âûðàæåíèå äëÿ
íóëåâîé ìîäû (13), ñîâïàäàþùåå ñ áàëëèñòè÷åñêèì
êóïåðîíîì [10–12]. Îáñóæäåíèå áàëëèñòè÷åñêîãî
ðåæèìà â êàíàëå ÷àñòèöà—÷àñòèöà ñ òî÷êè çðåíèÿ
ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé íåëîêàëüíîñòè ïðîöåñ-
ñà äèôôóçèè ìîæíî íàéòè â ðàáîòå [13].
Äëÿ ó÷åòà âíåøíåãî ïîïåðå÷íîãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèè (13) çàìåíèòü q íà
q n /ln B� �4 2 (n � 012, , ,�), ãäå l c e BB � �/| | —
ìàãíèòíàÿ äëèíà. Òàêàÿ ïîäñòàíîâêà ñïðàâåäëèâà
íå òîëüêî â êëàññè÷åñêèõ, íî è â êâàíòóþùèõ ìàã-
íèòíûõ ïîëÿõ, åñëè â (13) ïîä D q i( , )��
�1 ïîíèìàåò-
ñÿ îáîáùåííûé êîýôôèöèåíò äèôôóçèè, âû÷èñëåí-
íûé ñ ó÷åòîì êâàíòîâàíèÿ îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ
ýëåêòðîíîâ [13]. Ýòî ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü êâàíòî-
âûå ïîïðàâêè ê ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ìíîãîñëîéíîé
ñèñòåìû íå òîëüêî â ñëàáûõ, íî è â ñèëüíûõ ìàãíèò-
íûõ ïîëÿõ âïëîòü äî ðåæèìà îñöèëëÿöèé Øóáíèêî-
âà—äå Ãààçà.
Êâàíòîâûå ïîïðàâêè ê ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèþ
 ïðèíÿòûõ âûøå ïðèáëèæåíèÿõ êëàññè÷åñêàÿ
ýëåêòðîïðîâîäíîñòü Äðóäå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòå-
ìû ïðåäñòàâëÿåò àääèòèâíóþ ñóììó ýëåêòðîïðîâîä-
íîñòåé îòäåëüíûõ ñëîåâ
� �
�
� �
� �
� �k
k
N
k k k
k
N n
m
1
2
1
e , �
e n
m
2 �
,
ãäå n — êîëè÷åñòâî ýëåêòðîíîâ, îòíåñåííîå ê åäè-
íèöå ïëîùàäè ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, âëèÿíèå
ðàññåÿíèÿ ìåæäó ñëîÿìè íà êëàññè÷åñêóþ ýëåêòðî-
ïðîâîäíîñòü Äðóäå ìîæåò ïðèâåñòè ëèøü ê ñëàáîìó
ïîëîæèòåëüíîìó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèþ ! ( )� �0 1
2/ ,
îáóñëîâëåííîìó ìàëîé ðàçíîñòüþ ïîäâèæíîñòåé è
êîíöåíòðàöèé ýëåêòðîíîâ âíåøíèõ è âíóòðåííèõ
ñëîåâ.
Èíà÷å îáñòîèò äåëî ñ ëîêàëèçàöèîííûìè ïîïðàâ-
êàìè. Äåéñòâèòåëüíî, âêëþ÷åíèå ýëåêòðîííûõ ïå-
ðåõîäîâ ìåæäó ñëîÿìè îñëàáëÿåò ñèíãóëÿðíîñòü
âñåõ ñëàãàåìûõ â (13) çà èñêëþ÷åíèåì íóëåâîé
ìîäû. Ýòî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ýôôåêòèâ-
íîå óìåíüøåíèå âðåìåíè ñáîÿ ôàçû1/�� .
. �1 4 22
1/ / /p� + �� sin ( ) . Êàê ñëåäñòâèå, ðàññåÿ-
íèå ìåæäó ñëîÿìè âåäåò ê ïîäàâëåíèþ ýôôåêòà ÑË.
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî â ìíîãîçîííîé
äâóìåðíîé ñèñòåìå. Êàê ïîêàçàíî â [14], ìåæçîí-
íûå ýëåêòðîííûå ïåðåõîäû îêàçûâàþò ïðåíåáðå-
æèìî ìàëîå âëèÿíèå íà âåëè÷èíó êëàññè÷åñêîé
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè, íî â òî æå âðåìÿ çàìåòíî
óìåíüøàþò ýôôåêò ÑË, èãðàÿ ðîëü äîïîëíèòåëüíî-
ãî ìåõàíèçìà ñáîÿ ôàçû. Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèå
àíàëîãè÷íû íåîäíîêðàòíî âûïîëíÿâøèìñÿ [1–3, 14,
15], ïîýòîìó, îïóñêàÿ äåòàëè, ïðèâåäåì çäåñü ëèøü
îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò äëÿ ëîêàëèçàöèîííîé
ïîïðàâêè ê ïðîäîëüíîìó ñîïðîòèâëåíèþ ìíîãî-
178 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3
Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ
ñëîéíîé ñòðóêòóðû, èçìåðÿåìîìó â åäèíèöàõ
G /e0
1 2 22� � $ � ,
/
$
�
�
( )
( )
B
k lF B
� %
2
2
0
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
p
N
q n
p
nn q D q D0
1
2
1
2 2
1
4
2
1
1�
�
�
�
�
� �
�
�
� �
sin
�
�
�
�
�
�
,
(15)
ãäå D D q in� �( , )��
1 .
 äèôôóçèîííîì ðåæèìå, ðåàëèçóþùåìñÿ â
îáëàñòè äîñòàòî÷íî ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé
B B c / e l�� �tr � 2 2| | , à òàêæå íèçêèõ òåìïåðàòóð è
ìàëîé ÷àñòîòû ðàññåÿíèÿ ìåæäó ñëîÿìè �0 �
� � � ���� 1, , ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðîñòðàíñòâåí-
íî-âðåìåííîé äèñïåðñèåé êîýôôèöèåíòà äèôôóçèè
è ïîëîæèòü â (15) D v /F� 2 2� .  ýòîì ñëó÷àå óäîá-
íåå ðàññìàòðèâàòü ëîêàëèçàöèîííóþ ïîïðàâêó ê
ýëåêòðîïðîâîäíîñòè 0� � �� �( ) ( )B 0 , èçìåðÿåìóþ
â åäèíèöàõ G e /0
2 22� $ �,
��
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �Hi Hi
l
l
l
l
l
l
lB B p B B
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
4
2 2 2 2
sin
lp
N
�
2
0
1 �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ,
(16)
ãäå Hi( ) ( ) lnx x / x� � �1 1 2 — ôóíêöèÿ Õèêàìè
[16], 1( )z — äèãàììà-ôóíêöèÿ, è ââåäåíû îáîçíà-
÷åíèÿ l D2 2� �, l D� ��
2 2� , l D1
2
12� � .
Ïðè N � 1óðàâíåíèå (16) ïåðåõîäèò â õîðîøî èç-
âåñòíóþ ôîðìóëó Õèêàìè—Ëàðêèíà—Íàãàîêè
[16], ïîñêîëüêó ïðè N � 1 èç âñåãî ñïåêòðà (10) îñ-
òàåòñÿ ëèøü îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå *0, ñîîòâåò-
ñòâóþùåå íóëåâîé ìîäå. Ïðè N � 2 è èçîëèðóþùèõ
êðàåâûõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèå (16) ïåðåõîäèò â ðå-
çóëüòàò Ðàé÷åâà è Âàñèëîïóëîñà [4] äëÿ ñèììåòðè÷-
íîé äâóõñëîéíîé ñèñòåìû â ïîïåðå÷íîì ìàãíèòíîì
ïîëå. Íàêîíåö, ïðè N , - è ïåðèîäè÷åñêèõ êðàå-
âûõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèå (16) âîñïðîèçâîäèò ðå-
çóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ áåñêîíå÷íûõ ñâåðõðåøå-
òîê [1–3].
Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ îïèñàíèÿ
íàáëþäàâøåãîñÿ â [9] îòðèöàòåëüíîãî ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿ (ÎÌÑ) â åñòåñòâåííîé ñâåðõðåøåòêå
ñëîèñòîãî ñîåäèíåíèÿ Nd Ce CuO1 4�x x . Êàê ïîêàçû-
âàþò îöåíêè [9], â îáëàñòè òåìïåðàòóð T � 10 Ê è
ìàãíèòíûõ ïîëåé B � 4 Të â èññëåäîâàííûõ îá-
ðàçöàõ çàâåäîìî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïðèìåíè-
ìîñòè äèôôóçèîííîãî ïðèáëèæåíèÿ (� ��/ � 102 è
Btr 2 120 Të), â êîòîðîì âûðàæåíèå äëÿ ÎÌÑ èìååò
âèä (16). Ðåçóëüòàò ïîäãîíêè ýòîãî óðàâíåíèÿ ê ðå-
çóëüòàòàì èçìåðåíèé [9] ïðè òåìïåðàòóðàõ T � 15, è
4,2 Ê ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3. Êîëè÷åñòâî ïðîâîäÿ-
ùèõ ñëîåâ â îáðàçöå N � 20 îïðåäåëÿëîñü êàê îòíî-
øåíèå åãî òîëùèíû (2 120 �) ê ðàññòîÿíèþ ìåæäó
ñëîÿìè CuO2 (d 2 6 �).  öåëîì, òåîðåòè÷åñêèå
êðèâûå äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàþò ïîâåäåíèå
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïðè ïàðàìåòðàõ, ñîãëàñóþùèõ-
ñÿ ñ ïîëó÷åííûìè â [9]. Îäíàêî îáðàùàåò âíèìàíèå
áîëåå ïëàâíîå ïîâåäåíèå òåîðåòè÷åñêèõ êðèâûõ è
èõ îòêëîíåíèå îò ýêñïåðèìåíòàëüíûõ, âîçðàñòàþ-
ùåå ñ óâåëè÷åíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðåæäå ÷åì
îáñóæäàòü âîçìîæíûå ïðè÷èíû ýòîãî, ðàññìîòðèì
ïîäðîáíåå çàâèñèìîñòü ýôôåêòà ÑË â ìíîãîñëîéíîé
ñòðóêòóðå îò êîëè÷åñòâà ñëîåâ è õàðàêòåðà êðàåâûõ
óñëîâèé.
Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî
àíàëèçà ïîâåäåíèÿ ÎÌÑ (16) ìíîãîñëîéíîé íåóïî-
Ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3 179
10 20 300
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0 T=1,5 K
4,2 K
B/Btr , 10
–3
�
�
��
G
0
Ðèñ. 3. Ñîïîñòàâëåíèå òåîðåòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé
(øòðèõîâûå ëèíèè) ñ èçìåðåííûì â [9] îòðèöàòåëüíûì
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèåì â åñòåñòâåííîé ñâåðõðåøåòêå
Nd Ce CuO1 4�x x (ñïëîøíûå ëèíèè) ïðè ñëåäóþùèõ çíà-
÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ: êîëè÷åñòâî ïðîâîäÿùèõ ñëîåâ
N � 20; � ��/ �
�10 4, � �/ 1
325 10� �
�, ïðè T � 15, Ê è
� ��/ � �
�3 10 4, � �/ 1
325 10� �
�, ïðè T � 42, Ê.
0 2 4 6 8 1
0,5
1,5
2,5
3,5
B/Btr , 10
–2
�
�
��
G
0
1
2
3 4
5
6
7
8
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü îòðèöàòåëüíîãî ìàãíèòîñîïðîòèâëå-
íèÿ â ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðå îò êîëè÷åñòâà ñëîåâ N:
1 (1), 2 (2), 3 (3), 4 (4), 5 (5), 8 (6), 16 (7), 32 (8)
ïðè èçîëèðóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ. � ��/ � �
�3 10 4,
� �/ 1
325 10� �
�, .
ðÿäî÷åííîé ñòðóêòóðû â çàâèñèìîñòè îò êîëè÷åñòâà
ñëîåâ N ïðè èçîëèðóþùèõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ. Êàê è
ñëåäîâàëî îæèäàòü, ñ ðîñòîì N ïðîèñõîäèò ñãëàæè-
âàíèå ïîëåâîé çàâèñèìîñòè ýôôåêòà ÎÌÑ è åãî îá-
ùåå ðàâíîìåðíîå óìåíüøåíèå. Óæå ïðè N 3 20 ïîâå-
äåíèå ÎÌÑ ñòàíîâèòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåîòëè÷èìûì
îò àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðè N � -. Ïðèìåðíî ïðè ýòèõ
æå çíà÷åíèÿõ N ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è çàâèñèìîñòüþ
0� îò õàðàêòåðà êðàåâûõ óñëîâèé. Îäíàêî, êàê ýòî
âèäíî íà ðèñ. 5, èõ âëèÿíèå íà ýôôåêò ÑË â ìíîãî-
ñëîéíîé ñòðóêòóðå ìåíåå òðèâèàëüíî è èìååò íå-
ìîíîòîííûé õàðàêòåð. Äåëî â òîì, ÷òî â îáëàñòè
äîñòàòî÷íî ñëàáûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé B è ïðè äîñòà-
òî÷íî ìàëîì êîëè÷åñòâå ñëîåâ N îñíîâíîé âêëàä â
ÎÌÑ âíîñèò íå çàâèñÿùàÿ îò êðàåâûõ óñëîâèé íó-
ëåâàÿ ìîäà *0 (10), ò.å. ñëàãàåìîå ñ p � 0 èç (16).
Òàêèì îáðàçîì, âñÿ çàâèñèìîñòü ýôôåêòà ÑË îò
êðàåâûõ óñëîâèé â (16) îïðåäåëÿåòñÿ ñëàãàåìûìè ñ
p � 0. Îòíîñèòåëüíûé âêëàä ïîñëåäíèõ óâåëè÷èâà-
åòñÿ âìåñòå ñ ìàãíèòíûì ïîëåì è êîëè÷åñòâîì ñëî-
åâ. Êàê ñëåäñòâèå, íàáëþäàåòñÿ ðîñò âëèÿíèÿ êðàå-
âûõ óñëîâèé íà ýôôåêò ÑË, êîòîðûé ñìåíÿåòñÿ
ïàäåíèåì, ëèøü íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðûõ êîíå÷íûõ çíà-
÷åíèé B è N.
Òàêèì îáðàçîì, â ðàññìîòðåííûõ çäåñü óñëîâèÿõ
âïëîòü äî N 3 20 ýôôåêò ÑË â ìíîãîñëîéíîé ñòðóê-
òóðå ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ñëîåâ è õà-
ðàêòåðà êðàåâûõ óñëîâèé. Íà íàø âçãëÿä, ýòî ÿâëÿ-
åòñÿ íàèáîëåå âåðîÿòíîé ïðè÷èíîé îòìå÷åííûõ
âûøå îòêëîíåíèé òåîðåòè÷åñêèõ êðèâûõ îò ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ (ñì. ðèñ. 3). Äåéñòâèòåëüíî, ñòðóêòóð-
íûå íåñîâåðøåíñòâà ïðèïîâåðõíîñòíûõ îáëàñòåé
ðåàëüíûõ ìíîãîñëîéíûõ ñèñòåì ìîãóò ïðèâåñòè ê
òîìó, ÷òî ôàêòè÷åñêîå êîëè÷åñòâî ïðîâîäÿùèõ ñëî-
åâ îêàæåòñÿ çàìåòíî ìåíüøå íîìèíàëüíîãî, à ðåàëü-
íûå êðàåâûå óñëîâèÿ — çàìåòíî îòëè÷íûìè îò èäå-
àëüíûõ (2). Ñäåëàííûå âûøå îöåíêè ïîêàçûâàþò,
÷òî âëèÿíèÿ îäíèõ òîëüêî ýòèõ ôàêòîðîâ äîñòàòî÷-
íî äëÿ îáúÿñíåíèÿ íàáëþäàåìûõ ðàçëè÷èé ìåæäó
òåîðèåé è ýêñïåðèìåíòîì.
Çàêëþ÷åíèå
 ðàáîòå ïîëó÷åíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà-
÷è î êâàíòîâûõ ïîïðàâêàõ ê ýëåêòðîïðîâîäíîñòè
ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðû, ïðèìåíèìîå ïðè ïðîèç-
âîëüíîì ÷èñëå ñëîåâ è èçîëèðóþùèõ êðàåâûõ óñëî-
âèÿõ. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (15), (16) â ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ ïðåäåëàõ ñîãëàñóþòñÿ ñ èçâåñòíûìè
÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè [1–4,16] è â öåëîì äîñòàòî÷íî
õîðîøî îïèñûâàþò ÎÌÑ â åñòåñòâåííîé ñâåðõðå-
øåòêå Nd Ce CuO1 4�x x [9].
Êàê óæå ãîâîðèëîñü, ïðè òåîðåòè÷åñêîì èññëåäî-
âàíèè êâàíòîâûõ ïîïðàâîê ê ýëåêòðîïðîâîäíîñòè
ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóð èñïîëüçóþòñÿ ïåðèîäè÷å-
ñêèå êðàåâûå óñëîâèÿ [1,2].  îáùåì ñëó÷àå, ïðè
äîñòàòî÷íî áîëüøîì, íî êîíå÷íîì êîëè÷åñòâå ñëîåâ
(N � 3), íàëîæåíèå íåïåðèîäè÷åñêèõ êðàåâûõ óñëî-
âèé ñîïðÿæåíî ñ âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè, íå
ïîçâîëÿþùèìè ïîëó÷èòü êîìïàêòíîå àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå çàäà÷è.  ýòîì îòíîøåíèè ðàññìîòðåííàÿ
çäåñü ìîäåëü ìíîãîñëîéíîé ñòðóêòóðû ïðåäñòàâëÿåò
èñêëþ÷åíèå. Íåçàâèñèìî îò êîëè÷åñòâà ñëîåâ N,
îíà äîïóñêàåò îäèíàêîâî ïðîñòîé àíàëèç ëîêàëèçà-
öèîííûõ ïîïðàâîê ê ýëåêòðîïðîâîäíîñòè ïðè íàëî-
æåíèè êàê ïåðèîäè÷åñêèõ, òàê è èçîëèðóþùèõ
êðàåâûõ óñëîâèé (2) â íàïðàâëåíèè ðîñòà ñòðóêòó-
ðû. Ýòî îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü êîëè÷åñòâåííîãî
àíàëèçà çàâèñèìîñòè êâàíòîâûõ ïîïðàâîê ê ýëåê-
òðîïðîâîäíîñòè ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóð êàê îò êî-
ëè÷åñòâà ñëîåâ, òàê è îò êðàåâûõ óñëîâèé.
Àâòîð ïðèçíàòåëåí Ã.Ì. Ìèíüêîâó è À.È. Ïîíî-
ìàðåâó, ïðèâëåêøèõ åãî âíèìàíèå ê ýòîé çàäà÷å, à
òàêæå çà ïëîäîòâîðíîå îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ. Ðà-
áîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ, ãðàíò
04-02-16614.
1. W. Szott, C. Jedrzejek, and W.P. Kirk, Phys. Rev.
B40, 1790 (1989); ibid. B45, 3565 (1992).
2. A. Cassam-Chenai and D. Mailly, Phys. Rev. B52,
1984 (1995).
3. A.B. Gougam, P. Gandit, J. Sicart, and J.L. Robert,
Semicond. Sci. Technol. 14, 231 (1999).
4. O.E. Raichev and P. Vasilopoulos, J. Phys. Condens.
Matter 12, 589 (2000).
5. F.G. Pikus and G.E. Pikus, LANL Preprint:
cond-mat/9710179.
6. S. Massida, N. Hamada, J. Yu, and A.F. Freeman,
Physica C157, 571 (1989).
7. Z.Z. Wang, T.R. Chien, N.P. Ong, J.M. Tarascon,
and E. Wang, Phys. Rev. B43, 3020 (1991).
180 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3
Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ
1 2 5 10 20 50 100 200
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
�
B/Btr , 10
–3
1
2
3
4
5
6
7
Ðèñ. 5. Îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îòðèöàòåëüíîãî ìàãíè-
òîñîïðîòèâëåíèÿ � ïðè ïåðåõîäå îò èçîëèðóþùèõ êðàå-
âûõ óñëîâèé ê ïåðèîäè÷åñêèì â çàâèñèìîñòè îò ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ ïðè N: 3 (1), 4 (2), 5 (3), 6 (4), 8 (5),
16 (6), 32 (7). � ��/ � �
�3 10 4, � �/ 1
32 10� �
� .
8. A.I. Ponomarev, V.I. Tsidilkovski, K.R. Krylov, T.B.
Charikova, and L.I. Leonyuk, J. Supercond. 9, 27
(1996).
9. Ã.Ì. Ìèíüêîâ, À.È. Ïîíîìàðåâ, À.À. Øåðñòîáèòîâ,
Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ, À.À. Èâàíîâ, ÔÒÒ 47, 1894
(2005).
10. A. Kawabata, J. Phys. Soc. Jpn. 53, 3540 (1984).
11. Â.Ì. Ãàñïàðÿí, À.Þ. Çþçèí, ÔÒÒ 27, 1662 (1985).
12. M.I. Dyakonov, Solid State Commun. 92, 711 (1994).
13. À.Ã. Ãðîøåâ, Ñ.Ã. Íîâîêøîíîâ, ÔÒÒ 42, 1322 (2000).
14. N.S. Averkiev, L.E. Golub, S.A. Tarasenko, and
M. Willander, Phys. Rev. B64, 045405 (2001).
15. A.P. Dmitriev, V.Yu. Kachorovskii, and I.V. Gornyi,
Phys. Rev. B56, 9910 (1997).
16. S. Hikami, A.I. Larkin, and Y. Nagaoka, Progr.
Theor. Phys. 63, 707 (1980).
Weak localization in multilayer structures
and superlattices
S.G. Novokshonov
The weak localization phenomenon in a quasi-
two-dimensional disordered system in orthogonal
magnetic field is investigated. It is assumed that
the coherent electron tunelling between the lay-
ers is so weak that there occure no superlattice
minibands, and the main contribution to the
probabilities of interlayer transition of electrons
is made by their scattering in a random impurity
field. In the case of insulating boundary condi-
tions, analytical expressions for interference cor-
rections to longitudinal resistivity of the system
with an arbitrary finite number of layers are ob-
tained. It is shown that the interlayer electron
scattering has a negligible influence on the diffu-
sion magnetotransport, but it markedly dimin-
ishes the weak localization effect as an addi-
tional mechanism of the phase relaxation. The
influence of boundary conditions on the effect
of weak localization in the multilayers structure
depending on the number of layers is analysed.
The obtained results describe well the negative
magnetoresistance in the natural superlattices of
Nd Ce CuO1 4�x x above the critical temperature.
PACS: 72.15.Rn Localization effects (Anderson
or weak localization)
72.15.Gd Galvanomagnetic and other
magnetotransport effects;
73.21.Ac Multilayers;
73.21.Cd Superlattices.
Keywords: cooperon in multilayer structure, neg-
ative magnetoresistance, interlayer scattering.
Ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ â ìíîãîñëîéíûõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 2/3 181
|