Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов
Для входящего потока с переменным параметром, поступающего в систему с неограниченным обслуживанием, в терминах характеристических функций найдены вероятностные распределения и числовые характеристики сумм максимумов приращений требований, поступивших и обслуженных на конечном промежутке времени....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Электронное моделирование |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127648 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов / А.В. Макаричев, А.А. Кудь, А.Б. Щукин // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 5. — С. 97-104. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-127648 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1276482017-12-25T03:02:48Z Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов Макаричев, А.В Кудь, А.А. Щукин, А.Б. Применение методов и средств моделирования Для входящего потока с переменным параметром, поступающего в систему с неограниченным обслуживанием, в терминах характеристических функций найдены вероятностные распределения и числовые характеристики сумм максимумов приращений требований, поступивших и обслуженных на конечном промежутке времени. Для потоку із змінним параметром, що поступає у систему з необмеженим обслуговуванням, у термінах характеристичних функцій знайдено ймовірнісні розподілення та числові характеристики сум максимумів приростань вимог, які надійшли і були обслуговані на кінцевому проміжку часу. For the input stream with a variable parameter put in the systemwith unlimited service the probability distributions and numerical characteristics for the sums of maxima of the requirement increments received and served in a finite period of time were found in terms of characteristic functions. 2017 Article Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов / А.В. Макаричев, А.А. Кудь, А.Б. Щукин // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 5. — С. 97-104. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127648 519.21 ru Электронное моделирование Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Макаричев, А.В Кудь, А.А. Щукин, А.Б. Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов Электронное моделирование |
| description |
Для входящего потока с переменным параметром, поступающего в систему с неограниченным обслуживанием, в терминах характеристических функций найдены вероятностные распределения и числовые характеристики сумм максимумов приращений требований, поступивших и обслуженных на конечном промежутке времени. |
| format |
Article |
| author |
Макаричев, А.В Кудь, А.А. Щукин, А.Б. |
| author_facet |
Макаричев, А.В Кудь, А.А. Щукин, А.Б. |
| author_sort |
Макаричев, А.В |
| title |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| title_short |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| title_full |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| title_fullStr |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| title_full_unstemmed |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| title_sort |
суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127648 |
| citation_txt |
Суммы максимумов приращений в многоканальной системе обслуживания при моделировании аукционных торгов / А.В. Макаричев, А.А. Кудь, А.Б. Щукин // Электронное моделирование. — 2017. — Т. 39, № 5. — С. 97-104. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT makaričevav summymaksimumovpriraŝenijvmnogokanalʹnojsistemeobsluživaniâprimodelirovaniiaukcionnyhtorgov AT kudʹaa summymaksimumovpriraŝenijvmnogokanalʹnojsistemeobsluživaniâprimodelirovaniiaukcionnyhtorgov AT ŝukinab summymaksimumovpriraŝenijvmnogokanalʹnojsistemeobsluživaniâprimodelirovaniiaukcionnyhtorgov |
| first_indexed |
2025-07-09T07:27:02Z |
| last_indexed |
2025-07-09T07:27:02Z |
| _version_ |
1837153411461545984 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.Â. Ìàêàðè÷åâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ïåòðîâñêîãî, 25,
òåë. (057)7073783, e-mail: amsol2904@gmail.com),
À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí
ÎÎÎ «Ñèìêîðä»
(Óêðàèíà, Õàðüêîâ, óë. Îòîêàðà ßðîøà, 18)
Ñóììû ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé
â ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ
ïðè ìîäåëèðîâàíèè àóêöèîííûõ òîðãîâ
Äëÿ âõîäÿùåãî ïîòîêà ñ ïåðåìåííûì ïàðàìåòðîì, ïîñòóïàþùåãî â ñèñòåìó ñ íåîãðà-
íè÷åííûì îáñëóæèâàíèåì, â òåðìèíàõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé íàéäåíû âåðîÿò-
íîñòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñóìì ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé òðå-
áîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ è îáñëóæåííûõ íà êîíå÷íîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì ìàêñèìóìîâ.
Äëÿ ïîòîêó ³ç çì³ííèì ïàðàìåòðîì, ùî ïîñòóïຠó ñèñòåìó ç íåîáìåæåíèì îáñëóãîâó-
âàííÿì, ó òåðì³íàõ õàðàêòåðèñòè÷íèõ ôóíêö³é çíàéäåíî éìîâ³ðí³ñí³ ðîçïîä³ëåííÿ òà ÷èñ-
ëîâ³ õàðàêòåðèñòèêè ñóì ìàêñèìóì³â ïðèðîñòàíü âèìîã, ÿê³ íàä³éøëè ³ áóëè îáñëóãîâàí³
íà ê³íöåâîìó ïðîì³æêó ÷àñó.
Ê ë þ ÷ î â ³ ñ ë î â à: ðîçïîä³ëåííÿ ñóì ìàêñèìóì³â.
 ñèñòåìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ èíòåðíåò ñîîáùåíèé ïîñòóïàåò âõîäÿ-
ùèé ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ñ ïåðåìåííûì ïàðàìåòðîì [1] � ( )t , t � 0, îáúÿâ-
ëåíèé î ïðîäàæå. Îáúÿâëåíèÿ íåìåäëåííî (áåç îæèäàíèÿ [2]) ðàçìåùàþò-
ñÿ íà ñàéòå îáúÿâëåíèé è íàõîäÿòñÿ íà íåì â òå÷åíèå, âîîáùå ãîâîðÿ,
ñëó÷àéíîãî âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Âðåìåíà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê (ïðå-
áûâàíèÿ íà ñàéòå îáúÿâëåíèé î ïðîäàæå) ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, íå-
çàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè
âåëè÷èíàìè.
Ïóñòü G u( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ. Âî
âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâîê (âîçìîæíîãî òîðãà) ñ èíòåíñèâíîñòüþ � âîç-
íèêàåò ñëó÷àéíîå ÷èñëî n íåçàâèñèìûõ ïðåäëîæåíèé. Êàæäîå òàêîå ïðåä-
ëîæåíèå ñâÿçàíî ñ ïîâûøåíèåì (ïîíèæåíèåì) îáúÿâëåííîé öåíû íà âåëè-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 97
� À.Â. Ìàêàðè÷åâ, À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí, 2017
÷èíó åå ïðèðàùåíèÿ. Ìîäóëè ýòèõ ïðèðàùåíèé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè
ïîëîæèòåëüíûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
H x( ). Èç ýòèõ ïðèðàùåíèé íàõîäèòñÿ èõ ìàêñèìóì S max .
Ïóñòü F x P S xmax max( ) ( )� � — ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêñèìóìà èç
ïðèðàùåíèé îáúÿâëåííîé öåíû çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ (òîðãîâ) çàÿâêè î
ïðîäàæå. Ïîäîáíûå ìîäåëè âîçíèêàþò â ïðîöåññàõ àóêöèîííîé ïðîäàæè
(íà ïîíèæåíèå èëè íà ïîâûøåíèå). Ïðåäñòàâëÿþò çíà÷èòåëüíûé èíòåðåñ
÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñóìì ìàêñèìóìîâ ñëó÷àéíûõ ïðèðàùåíèé öåí
ïî çàÿâêàì çà âðåìÿ èõ îáñëóæèâàíèÿ (òîðãîâ ïî ïðîäàæå) â òå÷åíèå
çàäàííîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè äëèíû T. Èññëåäîâàíèÿ ýòèõ ñóìì ìîãóò
áûòü ïðîâåäåíû îòäåëüíî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ïðèðàùåíèé è äëÿ ìîäóëåé
îòðèöàòåëüíûõ ïðèðàùåíèé. Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ñîçäàíèÿ âåðîÿò-
íîñòíûõ èíñòðóìåíòîâ ïîçíàíèÿ äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýòèõ ñóìì.
Òåîðåìà 1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìàêñèìóìà èç ïðèðàùåíèé, âîçíèê-
øèõ çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèÿ (çàÿâêè î ïðîäàæå), èìååò âèä
F x
u H x dG u x
x
umax ( )
exp{ [ ( )]} ( ), ,
, .
�
� � �
�
�
�
�
�
0
1 0
0 0
�
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè óñëîâèè, ÷òî ÷èñëî ýòèõ ïðèðàùåíèé
X X X n1 2, , ..., ðîâíî n çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ u, âåðîÿòíîñòü Ð òîãî, ÷òî èõ
ìàêñèìóì S n umax [ , ] max� {X X X n1 2, ,..., } ìåíüøå x (ââèäó èõ íåçàâèñè-
ìîñòè è îäèíàêîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ), èìååò âèä
P S n u x P X x X x X xn{ [ , ] } { , ,..., }max � � � � � �1 2
� � � � �P X x P X x P X x H xn
n{ } { }... { } [ ( )]1 2 .
Ýòîò óñëîâíûé ìàêñèìóì èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ[ ( )]H x n . Ïî ôîð-
ìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷åííóþ óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü óìíîæàåì
íà âåðîÿòíîñòü (( ) / !) exp( )� �n n un � òîãî, ÷òî çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ òðå-
áîâàíèÿ âîçíèêëî ðîâíî n ïðèðàùåíèé. Ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñêëà-
äûâàåì ïî âñåì öåëûì ÷èñëàì n � 0, à çàòåì èíòåãðèðóåì ïî âñåì äåéñòâè-
òåëüíûì ÷èñëàì u �0ñ ðàñïðåäåëåíèåì dG u( ).  èòîãå ïîëó÷àåì ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ
F x
u
n
H x u dG u
u n
n
n
max ( )
( )
!
( ) exp( ) ( )� � �
� �
�
� �
0 0
�
�
� � �
�
�
u
u H x dG u
0
1exp{ [ ( )]} ( )�
À.Â. Ìàêàðè÷åâ, À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
ìàêñèìóìà S max èç ïðèðàùåíèé çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèÿ. Èòàê,
F x
u H x dG u x
x
umax ( )
exp{ [ ( )]} ( ), ,
, .
�
� � �
�
�
�
�
�
0
1 0
0 0
�
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1. Ìîìåíòû ìàêñèìóìà ïðèðàùåíèé, âîçíèêøèå çà âðåìÿ
îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î ïðîäàæå), îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
MS dx u H x dG u
x u
max { exp[ [ ( )]]} ( )� � � �
� �
� �
0 0
1 1� ,
M S xdx u H x dG u
x u
( ) { exp[ [ ( )]]} ( )max
2
0 0
2 1 1� � � �
� �
� � � .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòèõ ôîðìóë îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èí-
òåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Îáîçíà÷èì f t( ) õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ
äëÿ ìàêñèìóìà èç ïðèðàùåíèé, âîçíèêøèõ çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ òðå-
áîâàíèÿ, f t M itS( ) ( )max� . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìå-
íè t �0â ñèñòåìå ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèÿ îòñóòñòâóþò. Îáîç-
íà÷èì n T( ) ÷èñëî òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ â ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ íà
îòðåçêå âðåìåíè [ , ]0 T , � ( )T — ÷èñëî îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé â ñèñòåìå
ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ íà îòðåçêå âðåìåíè [ , ]0 T , è �( )T — ÷èñëî òðå-
áîâàíèé, íàõîäÿùèõñÿ íà îáñëóæèâàíèè â ñèñòåìå â ìîìåíò âðåìåíè T.
Î÷åâèäíî, n T( ) = � ( )T + �( )T .
Ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà ïðèøåäøèõ òðåáîâàíèé â ñèñòåìó íà îòðåçêå
âðåìåíè [ , ]0 T îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå [1]
P n T n
T
n
T
n
{ ( ) }
[ ( )]
!
exp[ ( )]� � �
�
� ,
ãäå �( ) ( )T t dt
T
� �
0
� . Îáîçíà÷èì � o
o( ) exp( )t M itST� õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ
ôóíêöèþ ñóììû
S S S S TT
o � � � �( ) ( ) ... ( ( ))1 2 � (1)
âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé äëÿ òðåáîâàíèé, îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå
[ , ]0 T . Îáîçíà÷èì [3]
�G
T
T y G T y dyo ( ) ( ) ( )� ��
0
� (2)
Ñóììû ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé â ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 99
èíòåãðàë îò èíòåíñèâíîñòè ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïåðåìåííûì ïàðà-
ìåòðîì
� ( ) ( )y G T y� , y T�[ , ]0 , (3)
äëÿ ÷èñëà ïîñòóïèâøèõ íà îòðåçêå [ , ]0 T òðåáîâàíèé è îáñëóæåííûõ íà
íåì.
Òåîðåìà 2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ñóììû âñåõ ìàêñèìóìîâ
ïðèðàùåíèé ñóìì îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 T çàÿâîê îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
� �o
o( ) exp{ ( )[ ( ) ]}t T f tG� �1 ,
ãäå
f t M itS( ) ( )max� ; �G
T
T y G T y dyo ( ) ( ) ( )� ��
0
� .
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ, âñå ñëàãàåìûå ñóì-
ìû (1) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè è ðàñïðåäåëåíû òàê æå, êàê
è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà S max . Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì îáîçíà÷åíèÿì (2) è (3)
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû (1) âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé
öåí äëÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î ïðîäàæå), îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 T ,
èìååò âèä
� o
o( ) exp( ) [ ( )] ( )t M itS M f tT
T� � ��
� � � �
�
�
n
G
G
n
G
T
n
T f t T f t
0
1
�
� �
o
o o( )
!
exp[ ( )][ ( )] exp{ ( ) [ ( ) ]}.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû ìàêñèìóìîâ ïðèðà-
ùåíèé çà âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèÿ (çàÿâêè î ïðîäàæå) îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå MS T MST G
o o� � ( ) max , à äèñïåðñèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âå-
ëè÷èíû — ïî ôîðìóëå DS T M ST G
o o� � ( ) ( )max
2, ãäå ìîìåíòû MS max è
M S( )max
2 îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäñòâèÿ 1.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñàìîì äåëå, ñ ïîìîùüþ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
â íóëå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè � o( )t íàõîäèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-
äàíèå ñóììû (1) [4] âñåõ ïðèðàùåíèé ñóìì äëÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î
ïðîäàæå), îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 T ,
MS
t
i
T
to o�
�
��[ ( )] |� 0
À.Â. Ìàêàðè÷åâ, À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
� �
�
�
�
� � �G G
t
GT T f t
f t
i
T MSo o o( ) exp{ ( ) [ ( ) ]}
( )
( ) max1
0
,
âòîðîé ìîìåíò ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
M S
t
T
t[ ]
[ ( )] |o o2 0
1
�
��
�
���
� � � � ��{exp{ ( ) [ ( ) ]} ( )}| ( )� �G t GT f t f t To o1 0
� � � � ��[ ( )] {[ ( )] exp{ ( ) [ ( ) ]}}|� �G G tT f t T f to o2 2
01
� � �� ��� �G G tT T f t f to o( ) exp{ ( ) [ ( ) ]}[ ( )]|1 0
� �[ ( )] ( ) ( ) ( )max max� �G GT MS T M So o2 2 2,
è åå äèñïåðñèþ: DS T M ST G
o o� � ( ) ( )max
2.
Îáîçíà÷èì � í.î
í.î( ) exp ( )t M it ST� õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ
ñóììû
S S S S TT
í.î � � � �( ) ( ) ... ( ( ))1 2 � (4)
âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé öåí äëÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î ïðîäàæå),
íàõîäÿùèõñÿ íà îáñëóæèâàíèè â ìîìåíò âðåìåíè T, ò.å. íå îêîí÷èâøèõ
îáñëóæèâàíèå ê ýòîìó ìîìåíòó âðåìåíè. Îáîçíà÷èì [5] G t G t( ) ( )� �1
�G
T
T y G T y dyí.î( ) ( ) ( )� ��
0
� (5)
èíòåãðàë îò èíòåíñèâíîñòè ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñ ïåðåìåííûì ïàðà-
ìåòðîì
� �( ) [ ( )] ( ) ( )y G T y y G T y1� � � � , y T�[ , ]0 , (6)
äëÿ ïîñòóïèâøèõ íà îòðåçêå [ , ]0 T òðåáîâàíèé è ïðîäîëæàþùèõ ñâîå îáñëó-
æèâàíèå â ìîìåíò âðåìåíè T, ò.å. íå çàêîí÷èâøèì îáñëóæèâàíèå íà íåì.
Òåîðåìà 3. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû âñåõ ìàêñèìóìîâ
ïðèðàùåíèé äëÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î ïðîäàæå), ïîñòóïèâøèõ, íî íå îá-
ñëóæåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 T , èìååò âèä
� �í.î
í.î( ) exp{( ( ) [ ( ) ]}t T f tG� �1 ,
ãäå
f t M itS( ) ( )max� ;
�G
T
T y G T y dyí.î( ) ( ) ( )� ��
0
� .
Ñóììû ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé â ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 101
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ âñå ñëàãàåìûå â
ñóììå (4) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè è ðàñïðåäåëåíû òàê æå,
êàê è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà S max . Ñîãëàñíî ïðèíÿòûì îáîçíà÷åíèÿì (5) è (6)
õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñóììû (4) [6] âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé
äëÿ òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ, íî íå îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå [ , ]0 T , èìååò
âèä
� í.î
í.î( ) exp( ) [ ( )] ( )t M itS M f tT
T� � ��
� � �
�
�
n
G
G
n
G
T
n
T f t T
0
�
� �
í.î
í.î í.î( )
!
exp[ ( )][ ( )] exp{ ( )[ f t( ) ]}�1 .
Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðè-
ðàùåíèé äëÿ òðåáîâàíèé (çàÿâîê î ïðîäàæå), íå îáñëóæåííûõ íà îòðåçêå
[ , ]0 T , îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå MS T MST G
í.î í.î� � ( ) max , à äèñïåðñèÿ — ïî
ôîðìóëå DS T M ST G
í.î í.î� � ( )[ ( ) ]max
2 , ãäå ìîìåíòû M S( )max è M S( )max
2
îïðåäåëÿþòñÿ èç ñëåäñòâèÿ 1.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äåéñòâèòåëüíî, äèôôåðåíöèðîâàíèåì â íóëå
õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè � í.î( )t íàõîäèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñóììû (4) âñåõ ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé äëÿ òðåáîâàíèé, íå îáñëóæåííûõ
íà îòðåçêå [ , ]0 T ,
MS
t
i
T
tí.î í.î�
�� ( )] |�
��0
� �
�
�
�
� � �G G
t
GT T f t
f t
i
T MSí.î í.î í.î( ) exp{ ( )[ ( ) ]}
( )
( )1
0
max ,
âòîðîé ìîìåíò ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
M S
t
T
t[ ]
[ ( )] |í.î í.î2 0
1
�
��
�
���
� � � � � ��{exp{ ( ) [ ( ) ]} ( )} | ( )� �G t GT f t f t Tí.î í.î1 0
� � � � ��[ ( )] {[ ( )} exp{ ( )[ ( ) ]}}|� �G G tT f t T f tí.î í.î2 2
01
� � �� ��� �G G tT T f t f tí.î í.î( ) exp{ ( )[ ( ) ]}[ ( )]|1 0
� �[ ( )] ( ) ( ) ( )max max� �G GT MS T M Sí.î í.î2 2 2,
è åå äèñïåðñèþ — DS T M ST G
í.î í.î� � ( )[ ( ) ]max
2 .
À.Â. Ìàêàðè÷åâ, À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
Âûâîäû
Ïîëó÷åííûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà äëÿ ñóìì ìàêñèìóìîâ ñâèäåòåëüñò-
âóþò î òîì, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ ýòè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïî-ñóùåñòâó, ÿâëÿþòñÿ
áåçãðàíè÷íî äåëèìûìè âåðîÿòíîñòíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Õèí÷èí À.ß. Ðàáîòû ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ì. : Ôèç-
ìàòãèç, 1963, 236 ñ.
2. Ãíåäåíêî Á.Â., Êîâàëåíêî È.Í. Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. Ì. : Íàóêà,
1987, 336 ñ.
3. Êëèìîâ Ã.Ï. Ñòîõàñòè÷åñêèå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. Ì. : Íàóêà, 1966, 244 ñ.
4. Ñîëîâüåâ À.Ä. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìîìåíòà íàñòóïëåíèÿ ðåäêîãî ñîáûòèÿ â
ðåãåíåðèðóþùåì ïðîöåññå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà, 1971, ¹ 6,
ñ. 79—89.
5. Áàðçèëîâè÷ Å.Þ., Áåëÿåâ Þ.Ê., Êàøòàíîâ Â.À. è äð. Âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè
íàäåæíîñòè / Ïîä ðåä. Á.Â. Ãíåäåíêî. Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1983, 376 ñ.
6. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. Ì. : Íàóêà, 1980, 576 c.
Ïîñòóïèëà 13.01.17;
ïîñëå äîðàáîòêè 18.04.17
REFERENCES
1. Khinchin, A.Ya. (1963), Raboty po matematicheskoi teorii massovogo obsluzhivaniya
[Works on mathematical queuing theory], Fizmatgiz, Moscow, USSR.
2. Gnedenko, B.V. and Kovalenko, I.N. (1987), Vvedenie v teoriyu massovogo obsluzhivaniya
[Introduction to queueing theory], Nauka, Moscow, USSR.
3. Klimov, G.P. (1966), Stokhasticheskie teorii obsluzhivaniya [Stochastic service systems],
Nauka, Moscow, USSR.
4. Solovyov, A.D. (1971), “The asymptotic behavior of the occurrence of the rare event in the re-
generating process”, Izvestiya AN SSSR, Tekhnicheskaya kibernetika, no. 6, pp. 79-89.
5. Barzilovich, E.Yu., Belyaev, Yu.K., Kashtanov, V.A., Kovalenko, I.N., Solovyov, A.D. and
Ushakov, I.A. (1983), Voprosy matematicheskoi teorii nadezhnosti [Problems of mathematical
theory of reliability], Ed. Acad. B.V. Gnedenko, Radio i svyaz, Moscow, USSR.
6. Shiryaev, A.N. (1980), Veroyatnost [Probability], Nauka, Moscow, USSR.
Reseived 13.01.17;
àfter revision 18.04.17
A.V. Makarichev, A.A. Kud, A.B. Shchukin
SUM OF INCREMENT MAXIMA IN A MULTICHANNEL
SERVICE SYSTEM WHEN MODELING AUCTION
For the input stream with a variable parameter put in the system with unlimited service the probability
distributions and numerical characteristics for the sums of maxima of the requirement increments re-
ceived and served in a finite period of time were found in terms of characteristic functions.
K e y w o r d s: distribution of sums of maxima.
Ñóììû ìàêñèìóìîâ ïðèðàùåíèé â ìíîãîêàíàëüíîé ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2017. Ò. 39. ¹ 5 103
ÌÀÊÀÐÈ×Å Àëåêñàíäð Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû òðàíñïîðò-
íûõ ñèñòåì è ëîãèñòèêè Õàðüêîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî àâòîìîáèëüíî-äîðîæíîãî óíèâåðñè-
òåòà.  1981 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ïîòî-
êè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ñ ïåðåìåííîé èíòåíñèâíîñòüþ, îöåíêè õàðàêòåðèñòèê íàäåæíîñòè
êîìïëåêñîâ ñëîæíûõ âîññòàíàâëèâàåìûõ ñèñòåì, ðàñïðåäåëåíèÿ ñóìì ýêñòðåìóìîâ â ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññàõ îáñëóæèâàíèÿ.
ÊÓÄÜ Àëåêñàíäð Àëåêñàíäðîâè÷, ãåíåðàëüíûé äèðåêòîð ÎÎÎ «Ñèìêîðä».  2002 ã. îêîí÷èë
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé àâòîìîáèëüíî-äîðîæíûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ïîñòðîåíèå àëãîðèòìîâ ñóììèðîâàíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ
äâîè÷íûõ ìàòðèö.
ÙÓÊÈÍ Àëåêñàíäð Áîðèñîâè÷, ãëàâà Äåïàðòàìåíòà àíàëèçà è ìîäåëèðîâàíèÿ òîðãîâî-ýêîíî-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì ÎÎÎ «Ñèìêîðä».  1988 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé àâèàöèîííûé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ïðåîáðàçîâàíèå àääèòèâíûõ ôóíêöèîíàëîâ îò ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ,
ñëó÷àéíûå ïîòîêè ñ èçìåíÿþùåéñÿ èíòåíñèâíîñòüþ.
À.Â. Ìàêàðè÷åâ, À.À. Êóäü, À.Á. Ùóêèí
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2017. V. 39. ¹ 5
|