Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле
С помощью декомплексификации уравнения Лиувилля–Неймана получена замкнутая система уравнений для локальных векторов Блоха и спиновых корреляционных функций трех магнитных кубитов с обменным взаимодействием, находящихся в произвольном, зависящем от времени внешнем магнитном поле. Проведен численный...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127753 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле / Е.А.Иванченко // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 455-460. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-127753 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1277532017-12-28T03:02:45Z Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле Иванченко, Е.А. Низкотемпеpатуpный магнетизм С помощью декомплексификации уравнения Лиувилля–Неймана получена замкнутая система уравнений для локальных векторов Блоха и спиновых корреляционных функций трех магнитных кубитов с обменным взаимодействием, находящихся в произвольном, зависящем от времени внешнем магнитном поле. Проведен численный сравнительный анализ мер запутывания в зависимости от начальных условий и модуляции магнитного поля. Исследование может найти применение при анализе интерференционных экспериментов и манипуляции квантовыми битами. За допомогою декомплексифiкацiї рiвняння Лiувiлля–Неймана одержано замкнуту систему рiвнянь для локальних векторiв Блоха та спінових кореляцiйних функцiй для трьох магнiтних кубiтiв з обмiнною взаємодiєю, які знаходяться у довiльному, залежному вiд часу магнiтному полi. Виконано чисельний порiвняльний аналiз мiр заплутання в залежностi вiд початкових умов та модуляцiї магнiтного поля. Дослiдження може бути корисним для аналiзу iнтерференцiйних експериментiв, та маніпуляції квантовими бiтами. With the help of decomplexification of the Liouville–von Neumann equation a closed system of equations is obtained of three magnetic qubits with exchange interaction, in arbitrary time-dependent external magnetic field for local Bloch vectors and spin correlation functions. The numerical comparative analysis of entanglement measures is carried out depending on initial conditions and magnetic field modulation. The present study may be useful in analysis of interference experiments and in the field of quantum computing. 2007 Article Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле / Е.А.Иванченко // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 455-460. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 03.67.Lx, 03.67.Hk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127753 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| spellingShingle |
Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Иванченко, Е.А. Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле Физика низких температур |
| description |
С помощью декомплексификации уравнения Лиувилля–Неймана получена замкнутая система
уравнений для локальных векторов Блоха и спиновых корреляционных функций трех магнитных
кубитов с обменным взаимодействием, находящихся в произвольном, зависящем от времени внешнем магнитном поле. Проведен численный сравнительный анализ мер запутывания в зависимости
от начальных условий и модуляции магнитного поля. Исследование может найти применение при
анализе интерференционных экспериментов и манипуляции квантовыми битами. |
| format |
Article |
| author |
Иванченко, Е.А. |
| author_facet |
Иванченко, Е.А. |
| author_sort |
Иванченко, Е.А. |
| title |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| title_short |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| title_full |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| title_fullStr |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| title_sort |
динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Низкотемпеpатуpный магнетизм |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127753 |
| citation_txt |
Динамика запутывания 3-кубитовой системы в магнитном поле / Е.А.Иванченко // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 455-460. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT ivančenkoea dinamikazaputyvaniâ3kubitovojsistemyvmagnitnompole |
| first_indexed |
2025-07-09T07:40:01Z |
| last_indexed |
2025-07-09T07:40:01Z |
| _version_ |
1837154233897451520 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4, ñ. 455–460
Äèíàìèêà çàïóòûâàíèÿ 3-êóáèòîâîé ñèñòåìû
â ìàãíèòíîì ïîëå
Å.À. Èâàí÷åíêî
Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè
Íàöèîíàëüíûé íàó÷íûé öåíòð «Õàðüêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò»
óë. Àêàäåìè÷åñêàÿ, 1, ã. Õàðüêîâ, 61108, Óêðàèíà
E-mail: yevgeny@kipt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 17 èþëÿ 2006 ã., ïîñëå ïåðàðàáîòêè 14 ñåíòÿáðÿ 2006 ã.
Ñ ïîìîùüþ äåêîìïëåêñèôèêàöèè óðàâíåíèÿ Ëèóâèëëÿ–Íåéìàíà ïîëó÷åíà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà
óðàâíåíèé äëÿ ëîêàëüíûõ âåêòîðîâ Áëîõà è ñïèíîâûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé òðåõ ìàãíèòíûõ
êóáèòîâ ñ îáìåííûì âçàèìîäåéñòâèåì, íàõîäÿùèõñÿ â ïðîèçâîëüíîì, çàâèñÿùåì îò âðåìåíè âíåø-
íåì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïðîâåäåí ÷èñëåííûé ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ìåð çàïóòûâàíèÿ â çàâèñèìîñòè
îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ìîäóëÿöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èññëåäîâàíèå ìîæåò íàéòè ïðèìåíåíèå ïðè
àíàëèçå èíòåðôåðåíöèîííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ìàíèïóëÿöèè êâàíòîâûìè áèòàìè.
Çà äîïîìîãîþ äåêîìïëåêñèôiêàöi¿ ðiâíÿííÿ Ëióâiëëÿ–Íåéìàíà îäåðæàíî çàìêíóòó ñèñòåìó
ðiâíÿíü äëÿ ëîêàëüíèõ âåêòîðiâ Áëîõà òà ñï³íîâèõ êîðåëÿöiéíèõ ôóíêöié äëÿ òðüîõ ìàãíiòíèõ
êóáiòiâ ç îáìiííîþ âçàºìîäiºþ, ÿê³ çíàõîäÿòüñÿ ó äîâiëüíîìó, çàëåæíîìó âiä ÷àñó ìàãíiòíîìó
ïîëi. Âèêîíàíî ÷èñåëüíèé ïîðiâíÿëüíèé àíàëiç ìið çàïëóòàííÿ â çàëåæíîñòi âiä ïî÷àòêîâèõ
óìîâ òà ìîäóëÿöi¿ ìàãíiòíîãî ïîëÿ. Äîñëiäæåííÿ ìîæå áóòè êîðèñíèì äëÿ àíàëiçó
iíòåðôåðåíöiéíèõ åêñïåðèìåíòiâ, òà ìàí³ïóëÿö³¿ êâàíòîâèìè áiòàìè.
PACS: 03.67.Lx Êâàíòîâûå ðàñ÷åòû;
03.67.Hk Êâàíòîâàÿ ñâÿçü.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: çàïóòûâàíèå, ìåðà çàïóòûâàíèÿ, êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ, ñåïàðàáåëüíîñòü.
Ââåäåíèå
ßâëåíèå çàïóòûâàíèÿ (íåñåïàðàáåëüíîñòè) —
îäíî èç ñâîéñòâ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Êâàíòîâîå çàïó-
òûâàíèå—êëþ÷åâîé èñòî÷íèê òàêèõ ïðèëîæåíèé,
êàê ñâåõïëîòíîå êîäèðîâàíèå, òåëåïîðòàöèÿ, êâàí-
òîâûå âû÷èñëåíèÿ, èññëåäóåìûå ñ ïîìîùüþ êâàíòî-
âîé òåîðèè èíôîðìàöèè [1–4]. Íàèáîëåå èçâåñòíûé
è åñòåñòâåííûé ïóòü ñîçäàíèÿ çàïóòàííûõ ñîñòîÿ-
íèé — ãëîáàëüíàÿ óíèòàðíàÿ ýâîëþöèÿ, îáóñëîâ-
ëåííàÿ âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ïîäñèñòåìàìè è
êîíòðîëèðóåìàÿ âíåøíèìè ïîëÿìè. Öåëü ðàáîòû ñî-
ñòîèò â ñðàâíèòåëüíîì àíàëèçå ãëîáàëüíûõ ìåð çà-
ïóòûâàíèÿ â òðåõêóáèòîâîé ñèñòåìå, íàõîäÿùåéñÿ â
ìàãíèòíîì ïîëå, ïîñêîëüêó â îòëè÷èå îò äâóõêóáè-
òîâîé ñèñòåìû íåò åäèíîé ìåðû çàïóòûâàíèÿ äëÿ
òðåõ êóáèòîâ.
Ãàìèëüòîíèàí ìîäåëè
Ãàìèëüòîíèàí òðåõ ñâÿçàííûõ îáìåííûì âçàèìî-
äåéñòâèåì ìàãíèòíûõ êóáèòîâ e p n, , (÷àñòèö ñî ñïè-
íîì 1/2), íàõîäÿùèõñÿ âî âíåøíåì ïåðåìåííîì
ìàãíèòíîì ïîëå H � ( , , )H H H1 2 3 , èìååò âèä:
H � � � �h s h s h si
e
i
e
i
p
i
p
i
n
i
n
� � �2 2 2J s s J s s J s sep
i
e
i
p en
i
e
i
n pn
i
p
i
n , (1)
ãäå h h hi
e
i
p
i
n, , — äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âíåøíåãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, óìíîæåííûå íà ãèðîìàãíèòíîå îò-
íîøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî êóáèòà:
si
e
i� � �
1
2 0 0� � � , si
p
i� � �
1
2 0 0� � � ,
si
n
i� � �
1
2 0 0� � �
© Å.À. Èâàí÷åíêî, 2007
— ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðîâ ñïèíà ìàã-
íèòíûõ êóáèòîâ; ìàòðèöû Ïàóëè ðàâíû
� � � �0 1 2 3
1 0
0 1
0 1
1 0
0
0
1 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ,
–
,
i
i 1
�
�
�
�
;
� — çíàê ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ [5]; J J Jep en pn, ,
— êîíñòàíòû èçîòðîïíîãî îáìåííîãî âçàèìîäåéñò-
âèÿ ìåæäó êóáèòàìè; ïî e p n, , ñóììèðîâàíèÿ íåò.
Äåêîìïëåêñèôèêàöèÿ óðàâíåíèÿ
Ëèóâèëëÿ–Íåéìàíà
Óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ–Íåéìàíà äëÿ ìàòðèöû ïëîò-
íîñòè �, îïèñûâàþùåå äèíàìèêó 3-êóáèòîâîé ñèñòå-
ìû, èìååò âèä
i tt
� � �� � � �[ , ], ( )H 0 0. (2)
Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) â âèäå
� � � � � � ���� � � �� � � � � ��1
8
1 1000R R, , , ,Sp
(3)
çäåñü è äàëåå ñóììèðîâàíèå èäåò ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ
ãðå÷åñêèì èíäåêñàì îò íóëÿ äî òðåõ, ïî ëàòèíñêèì
îò åäèíèöû äî òðåõ. Òðè âåêòîðà êîãåðåíòíîñòè
(âåêòîðû Áëîõà), êîòîðûå øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â
òåîðèè ìàãíèòíîãî ðåçîíàíñà,
Ri i00 0 0� � �Sp�� � � , (4a)
R i i0 0 0 0� � �Sp�� � � , (4á)
R i i00 0 0� � �Sp�� � � (4â)
õàðàêòåðèçóþò ëîêàëüíûå ñâîéñòâà èíäèâèäóàëü-
íûõ êóáèòîâ, òîãäà êàê òåíçîðû
Rkq k q0 0� � �Sp�� � � , (5à)
Rk q k q0 0� � �Sp�� � � , (5á)
R kq k q0 0� � �Sp�� � � , (5â)
Rkql k q l� � �Sp�� � � (5ã)
îïèñûâàþò ñïèíîâûå êîððåëÿöèè. Ïðè óíèòàðíîé
ýâîëþöèè ñîõðàíÿåòñÿ äëèía îáîáùåííîãî âåêòîðà
Áëîõà b:
b R� ����
2 1. (6)
 òåðìèíàõ ôóíêöèé R��� óðàâíåíèå Ëèóâèëëÿ–
Íåéìàíà ïðèíèìàåò âåùåñòâåííóþ ôîðìó â âèäå
çàìêíóòîé ñèñòåìû 63 äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ëîêàëüíûõ âåêòîðîâ Áëî-
õà è ñïèíîâûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé
� � �t q ilq i
e
l mlq
ep
lm
en
l mR h R J R J R00 00 0 0� � ( ),
(7à)
� � �t q ilq i
p
l mlq
ep
ml
pn
lmR h R J R J R0 0 0 0 0 0� � ( ),
(7á)
� � �t q ilq i
n
l lmq
en
l m
pn
lmR h R J R J R00 00 0 0� � ( ),
(7â)
� � �t qk ilq i
e
lk imk i
p
qmR h R h R0 0 0� �
� � �J R Rep
kmq m m� ( )00 0 0
� �J R J Ren
lmq mkl
pn
lmk qml� � , (7ã)
� � �t q k ilq i
e
l k imk i
n
q mR h R h R0 0 0� �
� � �J R Ren
qmk m m� ( )00 00
� �J R J Rep
lmq mlk
pn
lmk qlm� � , (7ä)
� � �t qk ilq i
p
lk imk i
n
qmR h R h R0 0 0� �
� � �J R Rpn
qmk m m� ( )00 0 0
� �J R J Rep
lmq lmk
en
lmk lqm� � , (7å)
� � �t qkl imq i
e
mkl imk i
p
qmlR h R h R� �
� � � �� �iml i
n
qkm
ep
kmq m l mlh R J R R( )0 0
� � � �J R R J R Ren
qml km mk
pn
kml q m qm� �( ) ( )0 0 0 0
(7æ)
ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.
 ñèñòåìå (7) ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, J en � 0, J pn � 0,
ïîëó÷àåì çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïèñàíèÿ
äèíàìèêè äâóõ êóáèòîâ:
� �t q ilq i
e
l mlq
ep
lmR h R J R0 0� � , (8à)
� �t q ilq i
p
l mlq
ep
mlR h R J R0 0� � , (8á)
� � �t qk ilq i
e
lk imk i
p
qmR h R h R� �
� �J R Rep
kmq m m� ( )0 0 , (8â)
â êîòîðûõ R Rq q q q0 0 0 0� � � �Sp Sp�� � �� �, ,
Rkq � Sp�� �k q� .
Êîíêðåòíûå ðàñ÷åòû áóäóò âûïîëíåíû äëÿ ñëå-
äóþùèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé. Ïîëíîñòüþ ñåïàðà-
áåëüíîå ñîñòîÿíèå (S)
| |S� � �111 , (9)
456 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Å.À. Èâàí÷åíêî
áèñåïàðàáåëüíîå ñîñòîÿíèå (BS) [6]
| (| | )BS� � � � �
1
2
001 010 , (10)
ìàêñèìàëüíî çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå Ãðèíáåðãåðà–Õîð-
íà–Çåëèíãåðà (GHZ)
| (| | )GHZ� � � � �
1
2
000 111 , (11)
çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå Âåðíåðà (W)
| (| | | )W� � � � � � �
1
3
001 010 100 , (12)
ñìåøàííîå ñîñòîÿíèå (Mix) [7]
�0
1
2
� � � �
�
� � � � �x GHZ GHZ
x
W W V V| | (| | | | ), (13)
ãäå
| (| | | ),V x� � � � � � � � �
1
3
110 101 011
1
3
1. (14)
Äëèíà îáîáùåííîãî âåêòîðà Áëîõà (6) äëÿ ÷èñ-
òûõ ñîñòîÿíèé (9)–(12) ðàâíà 7, à äëÿ ñìåøàííîãî
ñîñòîÿíèÿ (13) ïðè x / b� �2 3 3.
Ìåðû ãëîáàëüíîãî çàïóòûâàíèÿ
â 3-êóáèòîâîé ñèñòåìå
Cëåäóÿ [8], íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (7) îïðåäåëèì
ìåðû çàïóòûâàíèÿ òðåõ êóáèòîâ, ââåäÿ òåíçîðû äâóõ-
÷àñòè÷íîãî çàïóòûâàíèÿ:
m R R Rij ij i j0 0 00 0 0� � , (15à)
m R R Ri j i j i j0 0 00 00� � , (15á)
m R R Rij ij i j0 0 0 0 00� � . (15â)
Òåíçîðû (15) ðàâíû íóëþ, êîãäà äâóõ÷àñòè÷íûå
êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè (5a), (5á), (5â) ôàêòîðè-
çóþòñÿ ÷åðåç âåêòîðû Áëîõà (4). Ñ ïîìîùüþ ýòèõ
òåíçîðîâ ââåäåì ìåðó äâóõ÷àñòè÷íîãî çàïóòûâàíèÿ
â äâóõêóáèòîâîé ñèñòåìå
m mij� 2 , (16)
ãäå m R R Rij ij i j� � 0 0 . Òåíçîð òðåõ÷àñòè÷íîãî çà-
ïóòûâàíèÿ mijk ïîëó÷èì ïóòåì âû÷èòàíèÿ èç òðåõ-
÷àñòè÷íîé ñïèíîâîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè Rijk
(5ã) âñåõ ïðîèçâåäåíèé âåêòîðîâ Áëîõà íà òåíçîðû
áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà
m R R m R mijk ijk i jk j i k� � � �00 0 0 0 0
� �R m R R Rk ij i j k00 0 00 0 0 00 . (17)
Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âèä
êëàñòåðíîãî ðàçëîæåíèÿ â êâàíòîâîé ñòàòèñòè÷å-
ñêîé ìåõàíèêå [9]. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ òåíçîðîâ ìåðà
òðåõ÷àñòè÷íîãî çàïóòûâàíèÿ ïðèíèìàåò âèä [8]
m mSM ijk� 2 . (18)
Ýòà ìåðà ðàâíà íóëþ, êîãäà òåíçîð Rijk ìîæåò
áûòü âûðàæåí ÷åðåç äâóõ÷àñòè÷íûå çàïóòûâàíèÿ
(15) è ëîêàëüíûå âåêòîðû Áëîõà, è ïðèìåíèìà êàê
äëÿ ÷èñòûõ, òàê è äëÿ ñìåøàííûõ ñîñòîÿíèé.
Ìåðà êîíêàðåíñ (ñoncurrence), ñîãëàñíî [10], çà-
âèñèò îò âñåõ øåñòè ðåäóöèðîâàííûõ ìàòðèö ïëîò-
íîñòè è äëÿ ÷èñòûõ ñîñòîÿíèé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà â âèäå
C R R R R R Ri i i mn m n mn3 00
2
0 0
2
00
2
0
2
0
2
0
21
2
6
9
4
1
4
� � � � � � � �� ( )
��
�
��
. (19)
Ìåðû mSM è C3 íå íîðìèðîâàíû íà åäèíèöó.
Ìåðà ãëîáàëüíîãî çàïóòûâàíèÿ [11] â ôîðìå [12]
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ðåäóöèðîâàííûå ìàòðèöû èíäè-
âèäóàëüíûõ êóáèòîâ � �e pn� Sp , � �p en� Sp , �n �
� Sp ep�, ñîãëàñíî ôîðìóëå
m
R R R
B
i i i� �
� �
1
3
00
2
0 0
2
00
2
. (20)
Äëÿ íà÷àëüíîãî GHZ-ñîñòîÿíèÿ òðåõ êóáèòîâ ìå-
ðà çàïóòûâàíèÿ (three-tangle), âûðàæåííàÿ ÷åðåç
ãèïåðäåòåðìèíàíò Êýëè, ðàâíà [13]
mK � 4 11 88� � , (21)
ãäå äèàãîíàëüíûå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïðåäåëÿþò
íàñåëåííîñòè
�11 300 030 003
1
8
� � � �(R R R
� � � � �R R R R330 303 033 333 1), (22)
�88 300 030 003
1
8
� � � � �( R R R
� � � � �R R R R330 303 033 333 1). (23)
Ìåðà ãëîáàëüíîãî çàïóòûâàíèÿ, íå ðàâíàÿ íóëþ
äëÿ ïîëíîñòüþ íåñåïàðàáåëüíûõ ÷èñòûõ ñîñòîÿíèé,
ñîãëàñíî [14], îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Äèíàìèêà çàïóòûâàíèÿ òðè-êóáèòîâîé ñèñòåìû â ìàãíèòíîì ïîëå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 457
m R R RL i i i� � � �( )( )( )1 1 100
2
0 0
2
00
23 . (24)
Ýòà ìåðà ðàâíà åäèíèöå äëÿ íà÷àëüíîãî GHZ-ñî-
ñòîÿíèÿ è 8/9 äëÿ W-ñîñòîÿíèÿ è ïðèíèìàåò òå æå
çíà÷åíèÿ äëÿ ìåðû mB .
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ âíåøíèõ ìàãíèòíûõ ïî-
ëåé, çàâèñÿùèõ îò áåçðàçìåðíîãî âðåìåíè � �� t: ðå-
çîíàíñíîå (îòíîñèòåëüíî êóáèòà e) öèðêóëÿðíî ïî-
ëÿðèçîâàííîå ïîëå (R)
H � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 0cos , sin , , (25)
è íåðåçîíàíñíîå öèðêóëÿðíî ïîëÿðèçîâàííîå ïîëå
(NR)
H � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 0cos , sin , , (26)
ãäå � — ÷àñòîòà âíåøíåãî ïîëÿ, � �1/ è � �0/ — áåç-
ðàçìåðíûå àìïëèòóäû ïîïåðå÷íîãî è ïðîäîëüíîãî
ïîëåé. Ïîëîæèì, ÷òî ïîëÿ, äåéñòâóþùèå íà êóáèòû e,
p è n, ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h He � , h Hp � 2 è
h Hn � 4 . Âû÷èñëåíèÿ âûïîëíèì ïðè � �� �0 1 â åäè-
íèöàõ 2 100� � ÌÃö, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðîäîëüíîìó
ïîëþ H3 �2,3487 Òë äëÿ ïðîòîííîãî ðåçîíàíñà êóáèòà
e. Ïóñòü â òåõ æå åäèíèöàõ �1 0 3� , , à êîíñòàíòû îá-
ìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíû J ep � �0 2, ; J en � �01, ;
J pn � �0 3, . Íà ðèñ. 1 è 2 ñïëîøíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåò-
ñòâóåò NR-ïîëþ è ïóíêòèðíàÿ — R-ïîëþ.
S-ñîñòîÿíèå
Ìåðà mSM ìàëî ÷óâñòâèòåëüíà ê NR-ïîëþ (àì-
ïëèòóäà êîëåáàíèé ìåíüøå 0,001), íî ïðîÿâëÿåò
ðåçîíàíñíîå ïîâåäåíèå â R-ïîëå (ðèñ. 1). Ìåðû çà-
ïóòûâàíèÿC m mB L3, , èñïûòûâàþò íåðåãóëÿðíûå êî-
ëåáàíèÿ ñ ìàëîé àìïëèòóäîé â NR-ïîëå è ñ áîëüøîé
àìïëèòóäîé â R-ïîëå. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíà äèíàìèêà
ìåðû mL.
BS-ñîñòîÿíèå
Ìåðà mSM íîñèò ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèé õàðàêòåð â
NR ïîëå è ïðîÿâëÿåò íåðåãóëÿðíûå êîëåáàíèÿ ñ áîëü-
øîé àìïëèòóäîé â R-ïîëå. Àìïëèòóäà êîëåáàíèé â R-
ïîëå â òðè ðàçà áîëüøå, ÷åì â NR-ïîëå. Ìåðû çàïóòû-
âàíèÿ C m mB L3, , èñïûòûâàþò íåðåãóëÿðíûå êîëåáà-
íèÿ ñ áîëüøîé àìïëèòóäîé è ìàëî ðàçëè÷èìû äëÿ R-
è NR-ïîëåé. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíà äèíàìèêà ìåðû C3.
GHZ-ñîñòîÿíèå
Ìåðà mSM íîñèò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð è
õîðîøî ðàçëè÷èìà äëÿ R- è NR-ïîëåé. Ìåðû çàïó-
òûâàíèÿC m m mB K L3, , , èñïûòûâàþò ìàëîàìïëèòóä-
íûå êîëåáàíèÿ â NR-ïîëå. Â R-ïîëå çàïóòûâàíèå
ìåíüøå, ÷åì â NR-ïîëå ïðè âñåõ âðåìåíàõ, íî êîëå-
áàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ áîëüøîé àìïëèòóäîé. Íà ðèñ. 2
ïîêàçàíà äèíàìèêà ìåðû mK .
458 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Å.À. Èâàí÷åíêî
0 10 20 30 40 50 60 70
0
0,04
0,08
0,12 S
m
S
M
0
10 20 30 40 50 60 70
1,0
2,0
3,0
BS
0 10 20 30 40 50 60 70
1
2
3
4
GHZ
10 20 30 40 50 60 700
0,5
1,0
1,5
2,0
Mix
m
S
M
m
S
M
m
S
M
Ðèñ. 1. Çàâèñèìîñòü äèíàìèêè çàïóòûâàíèÿ ìåðû mSM îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
W-ñîñòîÿíèå
Ìåðà mSM ïðè âðåìåíàõ 0 15� �� íîñèò êîëåáà-
òåëüíûé õàðàêòåð è ïðàêòè÷åñêè íåðàçëè÷èìà äëÿ R- è
NR-ïîëåé. Äëÿ � � 20 àìïëèòóäà êîëåáàíèé â R-ïîëå â
òðè ðàçà áîëüøå àìïëèòóäû êîëåáàíèé â NR-ïîëå (íà
ðèñ. 1 íå ïðèâåäåíà). Ìåðû çàïóòûâàíèÿ C m mB L3, ,
êà÷åñòâåííî âåäóò ñåáÿ îäèíàêîâî êàê â R-, òàê è â
NR-ïîëå. Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíà äèíàìèêà ìåðû mB .
Ñìåøàííîå ñîñòîÿíèå
Ïðè àìïëèòóäå ïðîäîëüíîãî ïîëÿ � �0 1�� çàïó-
òûâàíèå äëÿ âñåõ ìåð ïîñòîÿííî è ðàâíî íà÷àëüíîìó.
Ýòî ïîñòîÿíñòâî îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì ôàêòîì.
Ïðè ïîñòîÿííîì âíåøíåì ïîëå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(2) èìååò âèä [5]
� �� �exp( ) exp( )i t i tH H0 . (27)
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïðè êîòî-
ðûõ [ , ]�0 0H � , � �� 0 äëÿ âñåõ t. Òàêèì îáðàçîì,
çíà÷åíèå ëþáîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ (2), áóäåò ðàâíî èñõîäíîìó. Äðóãèìè ñëî-
âàìè, ìàòðèöà ïëîòíîñòè áóäåò íåïîäâèæíà äëÿ òàêèõ
ãàìèëüòîíèàíîâ. Ïðè � �0 1�� âëèÿíèå ïåðåìåííîãî
ïîëÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëî.
 ðàññìîòðåííîé ìîäåëè óìåíüøåíèå àìïëèòóäû
ïîïåðå÷íîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòó-
äû êîëåáàíèé âñåõ ìåð çàïóòûâàíèÿ âíå çàâèñèìî-
ñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
Ðàññìîòðèì âëèÿíèå êóáèòîâ e p, êàê äâóõ ôëóê-
òóàòîðîâ [15] íà äèíàìèêó êóáèòà n. Èç ñèñòåìû (7â)
ïðè J en � 0, J pn � 0 ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïåðå-
âîðîòà ñâîáîäíîãî êóáèòà n èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
R001 0 0( ) � , R002 0 0( ) � , R003 0 1( ) � ðàâíà [16]
P
R
�
�1
2
003 . (28)
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíà âåðîÿòíîñòü ïåðåâîðîòà
ñâîáîäíîãî êóáèòà n â ðåçîíàíñíîì ïîëå è âëèÿíèå
íà âåðîÿòíîñòü ïåðåâîðîòà äåôîðìàöèè ïîëÿ, âû-
çâàííîãî ïðèñóòñòâèåì êóáèòîâ e p, â ñëó÷àå íà÷àëü-
íîãî S-ñîñòîÿíèÿ. Âèäíî, ÷òî îñöèëëÿöèè Ðàáè ïå-
ðåõîäÿò â áèåíèÿ. Ýòî êà÷åñòâåííî ñîãëàñóåòñÿ ñ
ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [15].
Çàêëþ÷åíèå
Ïîëó÷åíà çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ ëî-
êàëüíûõ âåêòîðîâ Áëîõà è ñïèíîâûõ êîððåëÿöèîí-
íûõ ôóíêöèé òðåõ ìàãíèòíûõ êóáèòîâ ñ îáìåííûì
âçàèìîäåéñòâèåì, íàõîäÿùèõñÿ â ïðîèçâîëüíîì, çà-
âèñÿùåì îò âðåìåíè âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå. Ïðî-
âåäåí ÷èñëåííûé ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ìåð çàïó-
òûâàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé è
ìîäóëÿöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêè áîëåå óäîáíà
ìåðà mK , òàê êàê îíà âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íàñåëåííî-
ñòè �11, �88, ïîñêîëüêó ìåðàC3 äëÿ GHZ-ñîñòîÿíèÿ,
Äèíàìèêà çàïóòûâàíèÿ òðè-êóáèòîâîé ñèñòåìû â ìàãíèòíîì ïîëå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 459
0,2
0,1
0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1,0
0,8
0,6
0,8
0,6
0,4
10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70
10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70
S BS
GHZ
W
mK
mB
C3
mL
� �
� �
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü äèíàìèêè çàïóòûâàíèÿ ìåð mL, C3, mK, mB îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé.
êîòîðàÿ òàêæå ïðîÿâëÿåò ðåçêîå îòëè÷èå äëÿ R- è
NR-ïîëåé, äîâîëüíî ñëîæíî çàâèñèò îò âñåõ ïðèâå-
äåííûõ ìàòðèö. Ýòî îáëåã÷èò âîçìîæíîñòü ýêñïåðè-
ìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëü-
òàòîâ [8,10–14].
Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä áåç ïðèíöèïèàëüíûõ çà-
òðóäíåíèé ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàí äëÿ ñèñòåìû
÷åòûðåõ êóáèòîâ, äåòàëüíàÿ äèíàìèêà êîòîðîé îïè-
ñûâàåòñÿ 255 óðàâíåíèÿìè.
Àâòîð áëàãîäàðåí Àííå Àíèêååâíå Çèïïå çà ïëî-
äîòâîðíîå îáñóæäåíèå è ïîñòîÿííóþ íåîöåíèìóþ
ïîääåðæêó.
1. G. Alber, T. Beth, M. Gorodecki, R. Gorodecki, M.
Rotteler, H. Weinfurter, R. Werner, and Zeilinger,
Quantum Information: An Introduction to Basic
Theoretical Concepts and Experiments, Springer Verlag
(2001).
2. D. Bouwmeester, A. Ekert, and Zeilinger, The Physics
of Quantum Information, Springer Verlag (2000).
3. A. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and
Quantum Information, Cambridge University Press
(2000).
4. I.V. Bargatin, B.A. Grishanin, and V.N. Zadkov,
Physics-Uspekhi, 44, 625 (2001).
5. P. Lankaster, Theory of Matrices, Academic Press,
New York–London (1969).
6. W. D�r, J.I. Cirac, and R. Tarrach, Phys. Rev. Lett.
83, 3562 (1999).
7. Tzu-Chieh Wei and Paul M. Goldbart, Phys. Rev.
A68, 042307 (2003).
8. J. Schlienz and G. Mahler, Phys. Rev. A52, 4396
(1995).
9. S. Fujita, Introduction to Non-Equilibrium Quantum
Statistical Mechanics, Krieger, FL (1983).
10. A.R.R. Carvalho, F. Mintert, and A. Buchleitner,
Phys. Rev. Lett. 93, 230501 (2004).
11. D.A. Meyer and N.R. Wallach, J. Math. Phys. 43,
4273 (2002).
12. G.K. Brennen, Quant. Inf. Comput. 3, 616 (2003).
13. V. Coffman, J. Kundu, and W.K. Wootters, Phys.
Rev. A61, 052306 (2000).
14. P.J. Love, A.M. van den Brink, A.Yu. Smirnov,
M.H.S. Amin, M. Grajcar, E. Il’ichev, A. Izmalkov,
and A.M. Zagoskin, quant-ph/0602143 (2006).
15. Y.M. Galperin, D.V. Shantsev, J. Bergli, and B.L.
Altshuler, Europhys. Lett. 71, 21 (2005); cond-
mat/0501455 (2005).
16. Å.À. Èâàí÷åíêî, ÔÍÒ 31, 761 (2005).
Three-qubit dynamics of entanglement
in magnetic field
Å.À. Ivanchenko
With the help of decomplexification of the
Liouville–von Neumann equation a closed system
of equations is obtained of three magnetic qubits
with exchange interaction, in arbitrary time-de-
pendent external magnetic field for local Bloch
vectors and spin correlation functions. The nu-
merical comparative analysis of entanglement
measures is carried out depending on initial con-
ditions and magnetic field modulation. The pres-
ent study may be useful in analysis of interfer-
ence experiments and in the field of quantum
computing.
PACS: 03.87.Lx Quantum computation;
03.67.Hk Quantum communication.
Keywords: Entanglement, measure of Entangle-
ment, quantum computing, separability.
460 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
Å.À. Èâàí÷åíêî
P
0,12
0,09
0,03
0
0,06
10 20 30 40 50 60 70
Ðèñ. 3. Âëèÿíèå êóáèòîâ e, p êàê ôëóêòóàòîðîâ (æèðíàÿ
ëèíèÿ) íà âåðîÿòíîñòü ïåðåâîðîòà ñâîáîäíîãî êóáèòà n
(òîíêàÿ ëèíèÿ) â R-ïîëå.
|