Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием
Исследована динамика солитонов огибающей рэлеевского типа, локализованных вблизи поверхности однородной изотропной упругой среды, покрытой тонким слоем нелинейного (ангармонического) материала. Предложен вариант асимптотической процедуры, позволивший найти приближенные аналитические решения для так...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127806 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 500-506. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-127806 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1278062017-12-29T03:02:49Z Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести Исследована динамика солитонов огибающей рэлеевского типа, локализованных вблизи поверхности однородной изотропной упругой среды, покрытой тонким слоем нелинейного (ангармонического) материала. Предложен вариант асимптотической процедуры, позволивший найти приближенные аналитические решения для таких солитонов. Досліджено динаміку солітонів огинаючої релеівського типу, які локалізовані поблизу поверхні однорідного ізотропного пружного середовища, вкритого тонким шаром нелінійного (ангармонічного) матеріалу. Запропоновано варіант асімптотійної процедури, яка дозволила знайти наближені аналітичні розв’язки для таких солітонів. The dynamics of Rayleigh type envelope solitons which are localized near the surface of homogeneous isotropic media covered with thin film of nonlinear (anharmonic) material is investigated. The type of asymptotic procedure due to which approximate analytic solutions were found is suggested. 2007 Article Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 500-506. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 68.35.–p, 68.35.Ja http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127806 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести |
| spellingShingle |
Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием Физика низких температур |
| description |
Исследована динамика солитонов огибающей рэлеевского типа, локализованных вблизи поверхности однородной изотропной упругой среды, покрытой тонким слоем нелинейного (ангармонического) материала. Предложен вариант асимптотической процедуры, позволивший
найти приближенные аналитические решения для таких солитонов. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Соколова, Е.С. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| title_short |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| title_full |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| title_fullStr |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| title_full_unstemmed |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| title_sort |
рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с нелинейным пленочным покрытием |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Специальный выпуск. К 75-летию открытия сверхтекучести |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127806 |
| citation_txt |
Рэлеевские солитоны огибающей у поверхности с
нелинейным пленочным покрытием / А.С. Ковалев, Е.С. Соколова // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 4. — С. 500-506. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas réleevskiesolitonyogibaûŝejupoverhnostisnelinejnymplenočnympokrytiem AT sokolovaes réleevskiesolitonyogibaûŝejupoverhnostisnelinejnymplenočnympokrytiem |
| first_indexed |
2025-07-09T07:46:37Z |
| last_indexed |
2025-07-09T07:46:37Z |
| _version_ |
1837154644453752832 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4, ñ. 500–506
Ðýëååâñêèå ñîëèòîíû îãèáàþùåé ó ïîâåðõíîñòè ñ
íåëèíåéíûì ïëåíî÷íûì ïîêðûòèåì
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 20 èþëÿ 2006 ã.
Èññëåäîâàíà äèíàìèêà ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé ðýëååâñêîãî òèïà, ëîêàëèçîâàííûõ âáëèçè ïî-
âåðõíîñòè îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé óïðóãîé ñðåäû, ïîêðûòîé òîíêèì ñëîåì íåëèíåéíîãî (àí-
ãàðìîíè÷åñêîãî) ìàòåðèàëà. Ïðåäëîæåí âàðèàíò àñèìïòîòè÷åñêîé ïðîöåäóðû, ïîçâîëèâøèé
íàéòè ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ òàêèõ ñîëèòîíîâ.
Äîñë³äæåíî äèíàì³êó ñîë³òîí³â îãèíàþ÷î¿ ðåëå³âñüêîãî òèïó, ÿê³ ëîêàë³çîâàí³ ïîáëèçó ïî-
âåðõí³ îäíîð³äíîãî ³çîòðîïíîãî ïðóæíîãî ñåðåäîâèùà, âêðèòîãî òîíêèì øàðîì íåë³í³éíîãî
(àíãàðìîí³÷íîãî) ìàòåð³àëó. Çàïðîïîíîâàíî âàð³àíò àñ³ìïòîò³éíî¿ ïðîöåäóðè, ÿêà äîçâîëèëà
çíàéòè íàáëèæåí³ àíàë³òè÷í³ ðîçâ’ÿçêè äëÿ òàêèõ ñîë³òîí³â.
PACS: 68.35.–p Ïîâåðõíîñòè òâåðäîãî òåëà è ãðàíèöû ðàçäåëà;
68.35.Ja Äèíàìèêà è êîëåáàíèÿ íà ïîâåðõíîñòè è ãðàíèöå ðàçäåëà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî, íåëèíåéíàÿ ïëåíêà, ïîâåðõíîñòíûå âîëíû,
íåëèíåéíûå âîçáóæäåíèÿ, ñîëèòîíû îãèáàþùåé.
Ââåäåíèå
Ïðîáëåìà íåëèíåéíûõ àêóñòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñò-
íûõ óïðóãèõ âîëí ýêñïåðèìåíòàëüíî è òåîðåòè÷åñêè
èíòåíñèâíî èññëåäóåòñÿ íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíèõ 50
ëåò [1]. Îäíàêî ïåðâîíà÷àëüíî èçó÷àëè â îñíîâíîì
íåñòàöèîíàðíûå íåëèíåéíûå ýôôåêòû òèïà âîçáóæäå-
íèÿ êðàòíûõ ãàðìîíèê, è âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñóùå-
ñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ
âîëí îñòàâàëñÿ îòêðûòûì. Ïîçæå â ðàìêàõ îáùåé
òåîðèè íåëèíåéíûõ âîëí ñòàëî ÿñíî, ÷òî äëÿ ñóùåñò-
âîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ âîëí (êàê ïðî-
ñòðàíñòâåííî-ïåðèîäè÷åñêèõ, òàê è óåäèíåííûõ) ñó-
ùåñòâåííî íåîáõîäèìî íàëè÷èå ñèëüíîé äèñïåðñèè
óïðóãèõ âîëí [2]. Ñòàíäàðòíàÿ òåîðèÿ óïðóãîñòè äèñ-
ïåðñèþ óïðóãèõ âîëí, îáóñëîâëåííóþ äèñêðåòíîñòüþ
êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè (íèæå — ñîáñòâåííóþ äèñ-
ïåðñèþ), êàê ïðàâèëî, íå ó÷èòûâàåò [3] èç-çà åå ìàëî-
ñòè â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîé óïðóãîé ñðåäû.  ðàáîòàõ
[4,5] âïåðâûå áûëî îáðàùåíî âíèìàíèå íà òî, ÷òî
äèñïåðñèÿ óïðóãèõ âîëí ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî
óâåëè÷åíà ïðè ðàññìîòðåíèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí, ëî-
êàëèçîâàííûõ ó ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà, ïî-
êðûòîãî ñëîåì äðóãîãî âåùåñòâà. Ïðè ýòîì, êðîìå
åñòåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñøòàáà — ìåæ-
àòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ, ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé
ïðîñòðàíñòâåííûé ïàðàìåòð — ýôôåêòèâíàÿ òîëùèíà
ïîêðûâàþùåãî ñëîÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî
áîëüøå ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ. È äåéñòâèòåëüíî, â
òàêîé ãåîìåòðèè ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåíû íåëè-
íåéíûå ñòàöèîíàðíûå ïåðèîäè÷åñêèå ðýëååâñêèå âîë-
íû [4,5]. Â ýêñïåðèìåíòàõ ïî ëàçåðíîìó âîçáóæäåíèþ
íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí áîëüøîé èíòåíñèâ-
íîñòè íà ïîâåðõíîñòè, ïîêðûòîé ñëîåì äðóãîãî âåùå-
ñòâà [6–10], áûëè îáíàðóæåíû ïîâåðõíîñòíûå ñîëè-
òîíû ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ðýëååâñêîãî òèïà.
Àíàëèòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ýòîé ïðîáëåìû óïðîùà-
þòñÿ, êîãäà íåëèíåéíûå ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòíîãî
ñëîÿ ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäÿò íåëèíåéíûå ñâîéñòâà
ïîäëîæêè è ïîëóïðîñòðàíñòâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü â
ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Ýòî ñïðàâåäëèâî, íà-
ïðèìåð, äëÿ ñèñòåì ñ ìåòàëëè÷åñêîé ïîäëîæêîé, ïî-
êðûòîé ìîíîñëîåì àòîìîâ áëàãîðîäíûõ ãàçîâ [11].
Òàêàÿ ìîäåëü âûãëÿäèò åñòåñòâåííîé, ïîñêîëüêó èç-çà
ñèëüíîé ëîêàëèçàöèè ïîâåðõíîñòíûõ âîëí âáëèçè ïî-
âåðõíîñòè èìåííî çäåñü è ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íåëèíåé-
íûå ñâîéñòâà óïðóãîé ñðåäû. Çàäà÷à î ðýëååâñêèõ ñî-
© À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, 2007
ëèòîíàõ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè
ãàðìîíè÷åñêîãî óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, ïîêðûòî-
ãî òîíêèì ñëîåì àíãàðìîíè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, ðàñ-
ñìîòðåíà â ðàáîòàõ [12–14]. Ïðè ýòîì ïîêàçàíî, ÷òî â
íåêîòîðûõ îáîáùåííûõ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ìîäå-
ëÿõ [12,14,15] âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå ðýëååâñêèõ
ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ, äëÿ êîòîðûõ íàé-
äåíû òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Îäíàêî â ðå-
àëüíîé ôèçè÷åñêîé ñèòóàöèè äëÿ óïðóãîãî ïîëóïðî-
ñòðàíñòâà ñ ìîíîàòîìíûì ïîêðûòèåì èëè ïîêðûòèåì
â íåñêîëüêî ñëîåâ âîçíèêàþùàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ äèñ-
ïåðñèÿ ñòîëü âåëèêà, ÷òî íåëèíåéíîñòü íå ìîæåò åå
ñêîìïåíñèðîâàòü, è ðýëååâñêèå ñîëèòîíû ñòàöèîíàð-
íîãî ïðîôèëÿ íå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü. Îíè ìîãóò âîç-
íèêíóòü òîëüêî çà ñ÷åò ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè ïðè
îïðåäåëåííîì ñîîòíîøåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, ïðè
êîòîðîì äîïîëíèòåëüíàÿ (íåëîêàëüíàÿ) äèñïåðñèÿ
ïîäàâëÿåòñÿ [14]. Íàáëþäàåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíî ñî-
ëèòîíû ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ èìåþò íàñòîëüêî ëîêà-
ëèçîâàííûé õàðàêòåð, ÷òî àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû,
ïîëó÷åííûå â ðàìêàõ äëèííîâîëíîâîãî ïðèáëèæåíèÿ
(â ðàìêàõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé), íîñÿò ëèøü
êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð [10]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òå æå
ýêñïåðèìåíòû (ñì. ðèñ. 4 â ðàáîòå [10]) ïîêàçûâàþò,
÷òî ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñîëèòîí ñòàöèîíàðíîãî ïðî-
ôèëÿ, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ, íåñêîëüêî ïðåâû-
øàþùåé ðýëååâñêóþ, ñîïðîâîæäàåòñÿ ïðîñòðàíñòâåí-
íî-ëîêàëèçîâàííûì âîçìóùåíèåì, äâèæóùèìñÿ ñî
ñêîðîñòüþ, ìåíüøåé ðýëååâñêîé. Âîçìîæíî, ýòî — ëè-
íåéíûå âîëíû, «èçëó÷àåìûå» ñîëèòîíîì. Íî òàêæå
âîçìîæíî, ÷òî ýòî — óïðóãèå âîëíû, íåëèíåéíî ñâÿ-
çàííûå â òàê íàçûâàåìûé «ñîëèòîí îãèáàþùåé».
Ïîýòîìó âîçíèêàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñóùåñò-
âîâàíèÿ â ðàññìàòðèâàåìûõ óïðóãèõ ñèñòåìàõ ñ òîí-
êèì íåëèíåéíûì ïëåíî÷íûì ïîêðûòèåì ðýëååâñêèõ
ñîëèòîíîâ òèïà ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé. Îáû÷íî â îä-
íîìåðíûõ ñèñòåìàõ ýòîò âîïðîñ ëåãêî èññëåäóåòñÿ â
ðàìêàõ òåõ èëè èíûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ [16].
 ìíîãîìåðíûõ ñèñòåìàõ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ïðîöåäó-
ðà íàõîæäåíèÿ ñîëèòîííûõ ðåøåíèé ñòàíîâèòñÿ íå-
òðèâèàëüíîé è ñëîæíîé äàæå â îñíîâíîì (ðåçîíàíñ-
íîì) ïðèáëèæåíèè. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíà
âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ
îãèáàþùåé â ñèñòåìàõ ñ íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì è
èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèé.
1. Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè è äèíàìè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ
Äàæå äëÿ ëèíåéíîãî (ãàðìîíè÷åñêîãî) óïðóãîãî
ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ òîíêèì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì
çàäà÷à î ôîðìóëèðîâêå ýôôåêòèâíûõ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé è íåòðèâèàëüíîé [13].
Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè íåëèíåéíûõ ïî-
âåðõíîñòíûõ âîëí â òàêîé ñèñòåìå ñôîðìóëèðîâàíà
ñëåäóþùàÿ ïðîñòàÿ ìîäåëü [14]. Óïðóãîå ïîëóïðî-
ñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåòñÿ â ðàìêàõ ëèíåéíîé
òåîðèè óïðóãîñòè (ò.å. â ðàìêàõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé) áåç ó÷åòà ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè
ñðåäû. Ïîâåðõíîñòíîå ïîêðûòèå ìîäåëèðóåòñÿ àí-
ãàðìîíè÷åñêèì ìîíîñëîåì èëè íåñêîëüêèìè ñëîÿìè
àòîìîâ ñ íåëèíåéíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó íèìè
è ñ àòîìàìè ïîäëîæêè. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæ-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî ðå÷ü èäåò î ìîíîñëîéíîì ïîêðûòèè
(õîòÿ â [14] ïîêàçàíî, ÷òî óâåëè÷åíèå òîëùèíû ïî-
âåðõíîñòíîãî ñëîÿ âåäåò ëèøü ê ïåðåíîðìèðîâêå íå-
êîòîðûõ êîíñòàíò ìîäåëè). Â òàêîé ìîäåëè âîçìîæ-
íî ñòðîãî (â ìåðó ìàëîãî ïàðàìåòðà — îòêëîíåíèÿ
ñêîðîñòè íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí è ïî-
âåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ îò ñêîðîñòè ðýëååâñêèõ
âîëí â ëèíåéíîé ñðåäå áåç ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ)
ñôîðìóëèðîâàòü ýôôåêòèâíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå è
ñâåñòè ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó ê îäíîìåðíîé.
Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà (z � 0), ïîêðûòîãî ìîíîàòîìíûì ñëîåì äðóãîãî
(àíãàðìîíè÷åñêîãî) ìàòåðèàëà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
ñìåùåíèÿ àòîìîâ íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû y â
ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè, à íåëèíåéíàÿ ïîâåðõíîñò-
íàÿ âîëíà ðýëååâñêîãî òèïà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü
îñè x. Ïðè ýòîì çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ ýôôåêòèâíî äâó-
ìåðíîé. Ó÷òåì ñìåùåíèÿ àòîìîâ òîëüêî â ñàãèòòàëü-
íîé ïëîñêîñòè xz. Ïîëóïðîñòðàíñòâî ïðåäïîëàãàåì
ëèíåéíûì è èçîòðîïíûì, à â ýíåðãèè âçàèìîäåéñò-
âèÿ àòîìîâ ìîíîñëîÿ ìåæäó ñîáîé è ñ àòîìàìè ïî-
âåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà (áëèæàéøèìè è ñëå-
äóþùèìè çà áëèæàéøèìè) ó÷èòûâàåì ñëàãàåìûå
êàê êâàäðàòè÷íûå, òàê è êóáè÷åñêèå ïî îòíîñèòåëü-
íûì ñìåùåíèÿì (âçàèìîäåéñòâèå ïðåäïîëàãàåì öåí-
òðàëüíûì). Â [14] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â îñíîâíîì
ïðèáëèæåíèè äîñòàòî÷íî ó÷èòûâàòü àíãàðìîíè÷å-
ñêèå ñëàãàåìûå ëèøü âî âçàèìîäåéñòâèè àòîìîâ ïî-
âåðõíîñòíîãî ìîíîñëîÿ ìåæäó ñîáîé:
E n n n n
n
sur � ��
�
�
�
�
� ��
�
�
�
2 31
2
1
3
, , , (1)
ãäå
� � � �� n n n n n nU U a V V a, � � �� � �
� �1 1
2
1
2 ,
(2)
n íóìåðóåò àòîìû ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ, a — ðàâíî-
âåñíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè,U Vn n, — ñìåùå-
íèÿ àòîìîâ ìîíîñëîÿ â íàïðàâëåíèÿõ x è z,
�, —
êîíñòàíòû ëèíåéíîãî è íåëèíåéíîãî ìåæàòîìíîãî
âçàèìîäåéñòâèé â ìîíîñëîå. Â äëèííîâîëíîâîì
ïðèáëèæåíèè ýíåðãèÿ äåôîðìèðîâàííîãî ìîíîñëîÿ
ïðèíèìàåò âèä
Ðýëååâñêèå ñîëèòîíû îãèáàþùåé ó ïîâåðõíîñòè ñ íåëèíåéíûì ìîíîñëîéíûì ïîêðûòèåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 501
E
a
dx U U U U Vx xx x x xsur � � �
�
�
�
�
�
�
��
��
�
1
2 24 3 2
2 2 3 2
�
.
(3)
Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè
äîñòàòî÷íî ó÷èòûâàòü ëèøü ëèíåéíîå âçàèìîäåéñò-
âèå ìåæäó àòîìàìè ìîíîñëîÿ è ïîäëîæêè. Ïðè ýòîì
â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè ýíåðãèÿ âçàèìî-
äåéñòâèÿ èìååò âèä
E
a
dx u U v Vs sint � �
��
��
�
��
��
��
�
1
2 2
2 2� � �
( ) ( ) , (4)
ãäå u s è vs — ñìåùåíèÿ àòîìîâ â íàïðàâëåíèè îñåé x
è z íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè, � — êîýôôèöèåíò óï-
ðóãîãî (öåíòðàëüíîãî) âçàèìîäåéñòâèÿ áëèæàéøèõ
àòîìîâ ïîäëîæêè è ïîêðûâàþùåãî ìîíîñëîÿ, � — êî-
ýôôèöèåíò óïðóãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìà ìîíîñëîÿ
è ñëåäóþùèõ çà áëèæàéøèìè ñîñåäíèìè àòîìàìè ïî-
âåðõíîñòè ïîäëîæêè.
Ïîëóïðîñòðàíñòâî ïîäëîæêè îïèøåì â ðàìêàõ
èçîòðîïíîé óïðóãîé ñðåäû, ò.å. â ðàìêàõ âîëíîâûõ
óðàâíåíèé ñî ñêîðîñòÿìè cl è ct ïðîäîëüíûõ è ïîïå-
ðå÷íûõ óïðóãèõ âîëí. Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñîá-
ñòâåííóþ äèñïåðñèþ ó÷èòûâàåì òîëüêî â ïîâåðõ-
íîñòíîì ñëîå (âòîðîå ñëàãàåìîå â (3)).
Ïðè âûâîäå ýôôåêòèâíûõ îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé
äèíàìèêè íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ïðåäïîëà-
ãàëîñü, ÷òî âëèÿíèå ìîíîñëîÿ ñëàáîå è õàðàêòåðèñòèêè
íåëèíåéíîé âîëíû áëèçêè ê òàêîâûì â ëèíåéíîé âîëíå
Ðýëåÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå áåç ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ. Â
÷àñòíîñòè, äëÿ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ñ çà-
âèñèìîñòüþ âñåõ ñìåùåíèé îò êîîðäèíàòû x è âðåìåíè
t â êîìáèíàöèè ( )x ct� ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ñêîðîñòü
ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ñîëèòîíà c íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷à-
åòñÿ îò ñêîðîñòè Ðýëåÿ cR. Ïðè íàëè÷èè äîïîëíèòåëü-
íîé âðåìåííîé çàâèñèìîñòè, õàðàêòåðíîé äëÿ ñîëèòî-
íîâ îãèáàþùåé, ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ñîëèòîíà äîëæíà
ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ðýëååâñêîé. (Ôàêòè÷åñêè ýòè óñëî-
âèÿ îçíà÷àþò ìàëîñòü àìïëèòóäû ïîâåðõíîñòíîé âîë-
íû, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåàëüíûì ýêñïåðèìåíòàì.) Ïðè
ýòîì âîçíèêàåò ìàëûé ïàðàìåòð � � � ��( )c c /cR R 1,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî óäàåòñÿ ñôîðìóëèðîâàòü ïðèáëè-
æåííóþ (íî òî÷íóþ â òåîðôèçè÷åñêîì ñìûñëå) òåîðèþ
è â îñíîâíîì ïîðÿäêå âûâåñòè íåëèíåéíîå ýâîëþöèîí-
íîå óðàâíåíèå äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ. Äëÿ
âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ â äëèííîâîëíîâîì ïðè-
áëèæåíèè äâóìåðíàÿ ëèíåéíàÿ çàäà÷à â ëèíåéíîì óï-
ðóãîì ïîëóïðîñòðàíñòâå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíå-
íèÿ Ëàïëàñà, äëÿ êîòîðîé ëåãêî íàéòè ñîîòíîøåíèå
ìåæäó ðàçëè÷íûìè êîìïîíåíòàìè äåôîðìàöèè íà ïî-
âåðõíîñòè [17], à óðàâíåíèå äèíàìèêè ñâîäèòñÿ ê îäíî-
ìåðíîìó íåëèíåéíîìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó
óðàâíåíèþ äëÿ ïðîäîëüíîé äåôîðìàöèè â ìîíîñëîå
P U/ x� � � [14]:
� � � � �� �P HP P H P� � � �~ ~ ( )2 0, (5)
ãäå ~, , ~� � — ñëîæíûå ôóíêöèè ëèíåéíûõ è íåëè-
íåéíûõ óïðóãèõ ìîäóëåé ìîíîñëîÿ è ïîëóïðî-
ñòðàíñòâà, à òàêæå ìàññ ñîîòâåòñòâóþùèõ àòîìîâ, à
! � �x ct — ôàçà áåãóùåé âîëíû. Èíòåãðàëüíûé
îïåðàòîð Ãèëüáåðòà
Hf x f x
dx
x x
( ) ( )� "
"
" �
��
��
�
1
#
âîçíèêàåò èç-çà äâóìåðíîñòè èñõîäíîé çàäà÷è (íàëè-
÷èÿ äâóìåðíîé ïîäëîæêè).  óðàâíåíèè (5) ÷åòâåð-
òîå íåëèíåéíîå ñëàãàåìîå îïðåäåëÿåòñÿ íåëèíåéíûìè
ñâîéñòâàìè ïîêðûâàþùåãî ñëîÿ è ïðîïîðöèîíàëüíî
åãî ýôôåêòèâíîé òîëùèíå (îíà ìîæåò áûòü ñóùåñò-
âåííî áîëüøå ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ), òðåòüå äèô-
ôåðåíöèàëüíîå ñëàãàåìîå — «ñîáñòâåííîé» äèñïåð-
ñèåé ñèñòåìû, ñâÿçàííîé ñ äèñêðåòíîñòüþ óïðóãîé
ñðåäû ïîêðûòèÿ (êîýôôèöèåíò � ïðîïîðöèîíàëåí a2
è ÿâëÿåòñÿ ìàëûì). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äèñïåðñèîí-
íîå ñëàãàåìîå, îïðåäåëÿåìîå ïîâåðõíîñòíûì ïîêðû-
òèåì (âòîðîå â óðàâíåíèè (5)), ìîæåò áûòü ñó-
ùåñòâåííî áîëüøèì (êîýôôèöèåíò ~� çàâèñèò îò
ýôôåêòèâíîé òîëùèíû ïîêðûòèÿ è ñîîòíîøåíèÿ ìî-
äóëåé ïîëóïðîñòðàíñòâà è ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ). Îä-
íàêî ýòî ñëàãàåìîå, êàê è íåëèíåéíîå, ñîäåðæèò ëèøü
îäíó ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ñðàâíåíèþ ñ
äâóìÿ ïðîñòðàíñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè â òðåòüåì
ñëàãàåìîì.  îòëè÷èå îò îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâà-
íèÿ, èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà íå ïðè-
âîäèò ê ìàñøòàáíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ôóíêöèé. Ïî-
ýòîìó äèñïåðñèÿ ëèíåéíûõ âîëí, îïèñûâàåìàÿ ýòèì
ñëàãàåìûì, íå ìîæåò ñêîìïåíñèðîâàòü íåëèíåéíîñòü
ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî, è â îáùåì ñëó÷àå â ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñèñòåìå ðýëååâñêèå ñîëèòîíû ñòàöèîíàðíî-
ãî ïðîôèëÿ ñóùåñòâîâàòü íå ìîãóò. Ëèøü êîãäà êîýô-
ôèöèåíò ~� â (5) ñòàíîâèòñÿ àíîìàëüíî ìàëûì,
âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ñîëèòîíîâ, íî ñ íå-
îáû÷íîé ôîðìîé è àíîìàëüíî ìàëûì ïðîñòðàíñòâåí-
íûì ðàçìåðîì [14].
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâà-
íèÿ ïîâåðõíîñòíûõ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ äðóãîãî
òèïà — äèíàìè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé [2].
 ëèíåéíîì ïðåäåëå èç óðàâíåíèÿ (5) ñëåäóåò çà-
êîí äèñïåðñèè ðýëååâñêèõ âîëí, ìîäèôèöèðîâàí-
íûõ èç-çà íàëè÷èÿ ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ:
$ � �c k d kR ( | | )1 , (6)
ãäå d — ïàðàìåòð ðàçìåðíîñòè äëèíû, êîíêðåòíûé
âèä êîòîðîãî ïðèâåäåí â [14]. Çàìåòèì, ÷òî ñ ðîñòîì
âîëíîâîãî âåêòîðà k ñêîðîñòü âîëíû èç-çà ïîâåðõ-
502 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
íîñòíîãî ïîêðûòèÿ óìåíüøàåòñÿ. Óäîáíî ïåðåïèñàòü
ýòîò çàêîí äèñïåðñèè íå â âèäå çàâèñèìîñòè ÷àñòîòû
ðýëååâñêîé âîëíû îò âîëíîâîãî âåêòîðà $( )k â ëàáî-
ðàòîðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, à â âèäå çàâèñèìîñòè
÷àñòîòû ~( )$ $C kC� � â ñèñòåìå, äâèæóùåéñÿ ñ
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ëèíåéíûõ âîëí C / k� � �$ , îò
ñàìîé ýòîé ñêîðîñòè [2]:
~ ( )$ � �
1
4
2
c d
c C
R
R , C cR� . (7)
Ãðàôèê ýòîé çàâèñèìîñòè ïðèâåäåí íà ðèñ. 1 â
âèäå êðèâîé 1. (Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ñ áëèçêà ê ñêî-
ðîñòè ëîêàëèçîâàííîé âîëíû c, òî ñîîòíîøåíèå (7)
ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ~$ �� 2 4c / dR .) Îáëàñòü
ñêîðîñòåé ìàëîàìïëèòóäíûõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ
ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ ñ C c cR R� �� , ïîäðîáíî èñ-
ñëåäîâàííûõ â [14], ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå â âèäå
ëèíèè 2, ãäå ïîä ïàðàìåòðîì Ñ ïîäðàçóìåâàåòñÿ
òåïåðü ñêîðîñòü ñîëèòîíà. Îáëàñòü âîçìîæíûõ ñêî-
ðîñòåé ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé îáû÷íî «êîìïëèìåí-
òàðíà» îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ ñòàöèî-
íàðíîãî ïðîôèëÿ.  äàííîì ñëó÷àå ýòî îáëàñòü ñ
C cR� . Íà ïëîñêîñòè ~$C ýòà îáëàñòü çàøòðèõîâàíà
(3). Îíà ïðèëåãàåò ê ëèíèè ëèíåéíûõ ðýëååâñêèõ
âîëí (1). Ïðè ïðèáëèæåíèè ñêîðîñòè ê êðèòè÷åñêî-
ìó çíà÷åíèþ cR îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ìàëîàìïëè-
òóäíûõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé ñóæàåòñÿ (ñóæàåòñÿ
îáëàñòü, â êîòîðîé ïðèìåíèì àñèìïòîòè÷åñêèé ìå-
òîä íàõîæäåíèÿ òàêèõ ðåøåíèé).
Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé äîñòà-
òî÷íî ñëîæíà: â òàêîì ñîëèòîíå, êðîìå çàâèñèìîñòè
îò êîîðäèíàòû âèäà ( )x ct� , â ñèñòåìå, äâèæóùåéñÿ
ñî ñêîðîñòüþ c, ïîÿâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ïåðèî-
äè÷åñêàÿ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ôàçû âîëíû. Ïî-
ýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîé çàäà÷è â ëèíåéíîì
ïîëóïðîñòðàíñòâå óäîáíî ïåðåéòè ê ïðîñòðàíñòâåí-
íûì ïåðåìåííûì ( , )x c t zR� è «ìåäëåííîé» âðåìåí-
íîé ïåðåìåííîé % �� t (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî � �� 1).
Äëÿ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ýòà äîïîë-
íèòåëüíàÿ âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïðîñòî ïåðåíîð-
ìèðóåò ñêîðîñòü âîëíû è ôàçà x c tR� ïðåîáðàçóåò-
ñÿ â x ct x c tR� � �
( )1 � , ò.å. î÷åâèäíî, ÷òî ìàëûé
ïàðàìåòð � ñâÿçàí ñ ââåäåííûì ðàíåå ïàðàìåòðîì �.
Äëÿ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ýòà ñâÿçü òðèâè-
àëüíà: � �� è % �� t. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè èçó÷å-
íèè ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé ïàðàìåòð � áóäåò îïðåäå-
ëÿòü íå òîëüêî îòêëîíåíèå ñêîðîñòè ñîëèòîíà îò
ðýëååâñêîé (ñ äðóãèì çíàêîì), íî è íèçêî÷àñòîòíûå
âíóòðåííèå îñöèëëÿöèè ðåøåíèÿ. Îäíàêî ïîñêîëü-
êó ñîëèòîíû îãèáàþùåé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äâóõ-
ïàðàìåòðè÷åñêèå âîçáóæäåíèÿ, òî â êà÷åñòâå îäíîãî
íåçàâèñèìîãî ïàðàìåòðà ìîæíî âûáðàòü � �� .
Èç (4) ñëåäóåò, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ïî-
âåðõíîñòü ïîäëîæêè ñî ñòîðîíû ìîíîñëîÿ, ðàâíû
f U ux s� ��( ) è f V vz s�
�( )( )� � è êîìïåíñèðó-
þòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè íàïðÿæåíèÿìè íà ïîâåðõ-
íîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà. Äëÿ ñâåäåíèÿ çàäà÷è ê
îäíîìåðíîé íåîáõîäèìî âûðàçèòü êîìïîíåíòû äå-
ôîðìàöèé íà ïîâåðõíîñòè òîëüêî ÷åðåç ïðîäîëüíûå
äåôîðìàöèè.  ñòàòè÷åñêîì ñëó÷àå èëè äëÿ âîëí
ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ, çàâèñÿùèõ îò z è êîìáèíà-
öèè x ct� , ýòà ñâÿçü äëÿ äâóìåðíîãî óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà íàõîäèòñÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî [17]. Äëÿ
ñîëèòîíà îãèáàþùåé èìååì äâóìåðíîå âîëíîâîå
óðàâíåíèå. Òåì íå ìåíåå ïðèáëèæåííàÿ ñâÿçü êîì-
ïîíåíò äåôîðìàöèè íà ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà ìîæåò áûòü íàéäåíà è â ýòîì ñëó÷àå, åñëè âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ââåäåííûì âûøå ìàëûì ïàðàìåòðîì.
Êîìïîíåíòû ñìåùåíèé u v, íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóìì êîìïîíåíò èç ïðîäîëüíîé è ïîïåðå÷íîé
ñîñòàâëÿþùèõ âîëíû (u u u v v vl t l t�
�
, ). Òîã-
äà â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ðåøåíèå äâóìåðíîé çà-
äà÷è â ëèíåéíîì ïîëóïðîñòðàíñòâå ïðèâîäèò ê
ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ êîìïîíåíò äåôîðìàöèè è
ñêîðîñòåé íà ïîâåðõíîñòè (ñì.[14]):
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u u
z
c
s
H
x
c
s
c
s
R R R1 1
2
2
2 1
/
s
H
2
0
�
�
�u
�
.
(8)
Ôàêòè÷åñêè ýòî ÷åòûðå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðî-
äîëüíîãî è ïîïåðå÷íîãî âêëàäîâ â äâå êîìïîíåíòû
ñìåùåíèé u � ( , )u v íà ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà: â ñîîòíîøåíèÿõ äëÿ ïîïåðå÷íîé âîë-
íû ñ ut t tu v� ( , ) ïàðàìåòð s â (8) ñîîòâåòñòâóåò
ñêîðîñòè ïîïåðå÷íûõ âîëí ct , à äëÿ ïðîäîëüíûõ
âîëí ñ ul l lu v� ( , ) s cl� . Èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ñîîò-
íîøåíèé ïîçâîëÿåò âûâåñòè îêîí÷àòåëüíîå çàìêíó-
òîå äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ïðîäîëüíîé êîìïî-
íåíòû äåôîðìàöèè â ìîíîñëîå P, îáîáùàþùåå íà
íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àé óðàâíåíèå (5). Åñëè â êà÷å-
Ðýëååâñêèå ñîëèòîíû îãèáàþùåé ó ïîâåðõíîñòè ñ íåëèíåéíûì ìîíîñëîéíûì ïîêðûòèåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 503
2
3
1
C
CR
$~
Ðèñ.1. Çàâèñèìîñòü ÷àñòîòû îò ñêîðîñòè äëÿ ëèíåéíîé
âîëíû Ðýëåÿ (1), îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ðýëååâñêèõ ñî-
ëèòîíîâ (2) è ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé (3).
ñòâå ìàëîãî ïàðàìåòðà âûáðàòü � �� , òî óðàâíåíèå
(5) ïðèîáðåòàåò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
P
X
HP
X
H P
X
P
%
�
2
2
0 (9)
ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè âõîäÿùèõ â íåãî ïàðà-
ìåòðîâ:
& ' �
� �
�( ) [( ) ]M/ c / c /t R t4 1 2 21 2 2 2 ;
� & ' '�
�( )[ ( )]M/ c /c c / cl t f R R t1 22 2 2 2;
't l R t lc /c, ,
2 2 21� � ;
cf — ñêîðîñòü çâóêà â ïëåíêå; M — ìàññà àòîìîâ
ïîêðûòèÿ, & — ïëîòíîñòü âåùåñòâà â ïîëóïðîñò-
ðàíñòâå è «ìåäëåííàÿ» ïðîñòðàíñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ
X x c t GR� ��( ) ; ãäå G — ñëîæíàÿ (íî âïîëíå îïðå-
äåëåííàÿ) êîìá îò âîëíîâîãî âåêòîðà $( )k èíàöèÿ ïà-
ðàìåòðîâ âåùåñòâà ïîäëîæêè ïîðÿäêà åäèíèöû.
Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìû íå ó÷èòûâàåì ñîá-
ñòâåííóþ äèñïåðñèþ âîëí â ìîíîñëîå (òðåòüå ñëàãàå-
ìîå â (5)), ïîñêîëüêó, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå,
ñòðóêòóðà ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé îïðåäåëÿåòñÿ «îñ-
íîâíîé» äèñïåðñèåé, îáóñëîâëåííîé íàëè÷èåì ìîíî-
ñëîÿ.
Íàêîíåö, ââåäÿ âðåìåííóþ ïðîèçâîäíóþ T � �%
è ïîëåâóþ ïåðåìåííóþ F P/� �, ïåðåïèøåì (9) â
áåçðàçìåðíîì âèäå:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
F
T
H
X
F
X
H F
X
F
2
2
0 (10)
èëè
H
F
T X
F F
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
2
2
21
2
0. (11)
Ýòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè äëÿ äàëü-
íåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ îãè-
áàþùåé. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî â íèõ óæå ó÷òåíà îñíîâ-
íàÿ äèíàìèêà ðýëååâñêèõ âîëí. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî,
íàïðèìåð, íà ðèñ. 1 âåñü ãðàôèê ñìåùàåòñÿ íà âåëè-
÷èíó cR ïî îñè ñêîðîñòåé, è ìàëûé ïàðàìåòð � íèæå
áóäåò îïðåäåëÿòü íîâóþ ïåðåíîðìèðîâàííóþ ñêî-
ðîñòü îãèáàþùåé ñîëèòîíà (îòíîñèòåëüíî ðýëååâ-
ñêîé ñêîðîñòè).
2. Ìàëîàìïëèòóäíûå ðýëååâñêèå ñîëèòîíû
îãèáàþùåé
Ïîñêîëüêó ñîëèòîíû îãèáàþùåé ïðåäñòàâëÿþò ñî-
áîé ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ëèíåéíûõ âîëí [11], òî
ïðåæäå âñåãî íåîáõîäèìî çíàòü èõ ñïåêòð. Ìû îáñó-
äèëè åãî âûøå (ñì. (6), (7)). Â íîâûõ ïåðåìåííûõ
èç ëèíåàðèçîâàííîãî óðàâíåíèÿ (10) ñëåäóåò, ÷òî ëè-
íåéíûå âîëíû âèäà F F X T� �0 cos( )' ( èìåþò çà-
êîí äèñïåðñèè âèäà ( � �sgn( )' '2. Ïîñêîëüêó X �
� ��G x c tR( ), òî ( � ~$ èç (7), ò.å. ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïåðåíîðìèðîâàííóþ ÷àñòîòó â ñèñòåìå îòñ÷åòà,
äâèæóùåéñÿ ñ ðýëååâñêîé ñêîðîñòüþ ~$ �� 2(.
Óðàâíåíèÿ (10),(11), ïî-âèäèìîìó, íå èíòåãðè-
ðóþòñÿ òî÷íî, è ðåøåíèÿ äëÿ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé
âîçìîæíî íàéòè ëèøü ïðèáëèæåííî, èñïîëüçóÿ òîò
èëè èíîé ìåòîä òåîðèè âîçìóùåíèÿ. Ïðè ýòîì,
ïî-ïðåæíåìó ïðåäïîëàãàÿ ìàëîñòü îòêëîíåíèÿ ñêî-
ðîñòè ñîëèòîíà îò ðýëååâñêîé, íåîáõîäèìî îäíîâðå-
ìåííî ïðåäïîëîæèòü è ìàëîñòü îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû
îò ÷àñòîòû íåëîêàëèçîâàííîé ðýëååâñêîé âîëíû
(èëè ìàëîñòü àìïëèòóäû). Íà ðèñ. 1 ýòî óçêàÿ îá-
ëàñòü êàê ïî ñêîðîñòÿì, òàê è ïî ÷àñòîòàì. Îáû÷íî
ìàëîàìïëèòóäíûå ðåøåíèÿ äëÿ ñîëèòîíîâ îãèáàþ-
ùåé â íåèíòåãðèðóåìûõ ñèñòåìàõ äîñòàòî÷íî ëåãêî
íàéòè ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ àñèìïòîòè÷åñêèõ ïðî-
öåäóð (ñì., íàïðèìåð, [12]). Â ñîîòâåòñòâèè ñ íèìè
ôóíêöèÿ F X T( , ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðÿäà Ôóðüå
ïî ïåðèîäè÷åñêîé ïåðåìåííîé (îñöèëëÿöèè â ñèñòå-
ìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ îãèáàþùåé
ñîëèòîíà) ñ ïðîñòðàíñòâåííî ëîêàëèçîâàííûìè êî-
ýôôèöèåíòàìè ðÿäà Ôóðüå ýòîãî ðàçëîæåíèÿ
F T f f f( , ) ( ) ( ) cos ( ) cos ...,' ) ) * ) *�
0 1 2 2 (12)
ãäå * '� �X T( — ôàçà «íåñóùåé» âîëíû, à
) � �X vT — ôàçà îãèáàþùåé, ñêîðîñòü êîòîðîé
áëèçêà ê ãðóïïîâîé ñêîðîñòè íåñóùåé âîëíû â ëè-
íåéíîì ïðèáëèæåíèè V /� � � � �( ' '2 . Âî èçáåæà-
íèå íåäîðàçóìåíèÿ íàïîìíèì, ÷òî v — ñêîðîñòü
îãèáàþùåé â ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ñ ðýëååâ-
ñêîé ñêîðîñòüþ. Ïðîñòðàíñòâåííûé ðàçìåð îãèáàþ-
ùåé L /� 1 +, ãäå ïàðàìåòð + �� 1 õàðàêòåðèçóåò îò-
êëîíåíèå ÷àñòîòû íåëèíåéíîé âîëíû ( îò ÷àñòîòû
(( )' '� � 2 ëèíåéíîé âîëíû ñ òåì æå çíà÷åíèåì
âîëíîâîãî ÷èñëà. Ôóíêöèè fn ( )) è ïàðàìåòð v
äîëæíû ðàñêëàäûâàòüñÿ â ñòåïåííûå ðÿäû ïî +. Â
äàííîì ðàçäåëå óäîáíî âûáðàòü â êà÷åñòâå ýòîãî ïà-
ðàìåòðà âåëè÷èíó + '2 � �( (( ) (íèæå ' ,- ).
Íåîáû÷íîñòü àñèìïòîòè÷åñêîé ïðîöåäóðû äëÿ èí-
òåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðåîáðàçîâà-
íèåì Ãèëüáåðòà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äåéñòâèå
îïåðàòîðà âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü è îïåðàòîðà äèôôå-
ðåíöèðîâàíèÿ íà ñëàãàåìûå â ðàçëîæåíèè (12) íå
âûâîäèò èõ çà ðàìêè ðàçëîæåíèÿ â òðèãîíîìåòðè÷å-
ñêèé ðÿä Ôóðüå:
�
�
�
�
�
�
X
f n
f
X
n knf nn
n
n( ) cos cos ( )sin) * * ) *, (13)
â òî âðåìÿ êàê äåéñòâèå îïåðàòîðà Ãèëüáåðòà áîëåå
ñëîæíî:
H f n H f nn n( ( ) cos ) ( ( )) cos) * ) *� �
� �sgn ( )sin sgn ( ( ( )sin )' ) * ' ) *f n H H f nn n . (14)
504 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
Áûñòðîîñöèëëèðóþùàÿ çàâèñèìîñòü îò ôàçû ïî-
ñëåäíåãî ñëàãàåìîãî óæå íå ñâîäèòñÿ ê òðèãîíîìåòðè-
÷åñêîé ôóíêöèè îò ôàçû *. Íî ñèòóàöèÿ ñóùåñòâåííî
óïðîùàåòñÿ ïðè ñëàáîé ëîêàëèçàöèè îãèáàþùåé ñîëè-
òîíà, êîãäà åå ðàçìåð L ñóùåñòâåííî áîëüøå äëèíû íå-
ñóùåé âîëíû.  ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè
ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèè .( )+) èìååò ýêñïî-
íåíöèàëüíî óáûâàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè àñèìïòîòèêè
(ôóíêöèÿ .( )p ãëàäêàÿ â íóëå), òî ñïðàâåäëèâî ñîîò-
íîøåíèå
H n n( ( ) cos ) ( )sin. .+) * ' +) *� �
sgn
�O /(exp( )))' + , (15)
ãäå ) � na ïðè . /
�[ ( ) ]a2 2 1+) è ) #� n /2 ïðè
. / sech( )+) .  ýòîì ñëó÷àå
H
n H n
m m nm
m
cos (cos )*
+)
*
+)
'
+ch ch
�
�
�
�
�
�
�
�
0 �
�
�
��
�
�
��
�1
1
� �
1
�
�
exp( )
( )
cos( ( ))
# ' +
# + )
' # +)
n /
/
n T /
2
2
2
2 2 2
2 arctg .
(16)
Òàêèì îáðàçîì, âèäíî, ÷òî ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî â âèäå ðÿäà èç ôóíêöèé òèïà
cosn / m* +)ch , êàê â ñëó÷àå îäíîìåðíûõ ñîëèòîíîâ
îãèáàþùåé. Ïîÿâëÿþòñÿ ñëàãàåìûå ñî ñòåïåííûìè
àñèìïòîòèêàìè îãèáàþùåé è èçìåíåííîé ôàçîé íåñó-
ùåé âîëíû. Îäíàêî áîëüøèíñòâî ñëàãàåìûõ ñî ñòåïåí-
íûìè àñèìïòîòèêàìè èìååò ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëóþ
àìïëèòóäó è íå äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ â ñòåïåííûõ ðàç-
ëîæåíèÿõ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó +. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâ-
ëÿþò ñëàãàåìûå f0, íå çàâèñÿùèå îò ôàçû íåñóùåé
âîëíû. Ïîÿâëåíèå òàêèõ ñëàãàåìûõ õàðàêòåðíî äëÿ íå-
ëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòè÷íîé
íåëèíåéíîñòüþ. Â îäíîìåðíûõ ñèñòåìàõ âîçíèêàåò
ñëåäóþùàÿ èåðàðõèÿ ìàëîñòè ðàçíûõ ñëàãàåìûõ:
f1 � +, f f0 2
2
� � + è ïðè ýòîì f0
2
� sech ( )+) . Òà-
êèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñòàòè÷åñêàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîðìà-
öèÿ â ñîëèòîíå îãèáàþùåé íå íóëåâàÿ è èìååò ïîðÿäîê
âåëè÷èíû +.  äâóìåðíîé çàäà÷å íåíóëåâàÿ ñòà-
òè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ â ìîíîñëîå 2 / 2 0f dx Pdx0
0 2( )dU/dx dx ïðèâîäèëà áû ê íåíóëåâîé äåôîðìà-
öèè íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà (U us0 ) è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ðàñõîäèìîñòè îáúåìíîé ýíåðãèè. Îäíàêî â
ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå èç (10) ñëåäóåò, ÷òî
f / v Hf / X0 1
21 4� �( )( )� . Êàê ïîêàçàíî íèæå, â ìàëî-
àìïëèòóäíîì ïðåäåëå f1 � + è � �/ X � +. Ïîýòîìó,
âî-ïåðâûõ, f0
3
� + , âî-âòîðûõ, f0 èìååò ñòåïåííûå
àñèìïòîòèêè (ôóíêöèÿ f0 ñèììåòðè÷íà è óáûâàåò êàê
( )+) �2 íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ), â-òðåòüèõ, f0 èìååò
íåîáû÷íûé äëÿ ñîëèòîíîâ ïðîôèëü «ìåêñèêàíñêîé
øëÿïû» ñ ìàêñèìóìîì è äâóìÿ ìèíèìóìàìè è, íàêî-
íåö, 2 �f dx0 0. Ïîñëåäíèå äâà ñâîéñòâà ñîâïàäàþò ñ òà-
êîâûìè äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ ñòàöèî-
íàðíîãî ïðîôèëÿ â ðàññìîòðåííîé çàäà÷å è õàðàêòåð-
íû äëÿ íåëèíåéíûõ ëîêàëèçîâàííûõ âîëí â äâóìåð-
íûõ ñèñòåìàõ: îêàçûâàþòñÿ âîçìîæíûìè ëèøü òàêèå
ñîëèòîíû, â êîòîðûõ ïîëíàÿ äåôîðìàöèÿ ðàâíà íóëþ.
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (10) ðàçëîæåíèå (12),
ó÷èòûâàÿ àíîìàëüíóþ ìàëîñòü ñëàãàåìîãî f0 è ïðè-
ðàâíèâàÿ íóëþ êîýôôèöèåíòû ïðè ñëàãàåìûõ � +3,
ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé
äëÿ ôóíêöèé f1 è f2:
( )(
�
�
�
� �' '2
1
2
2 1
2
1 2 0f
X
f f f , (17)
v
�2 0' , (18)
( )(
� �2 02
2
2
1
2' 'f f , (19)
( )v f f
� �4 2 02 1
2' ' . (20)
Èç âûðàæåíèÿ (18) ñëåäóåò, ÷òî â îñíîâíîì ïðè-
áëèæåíèè ñêîðîñòü ñîëèòîíà áëèçêà ê ãðóïïîâîé
ñêîðîñòè ðýëååâñêèõ âîëí v V0 � �2', ÷òî ñîãëàñó-
åòñÿ ñ ïðèâåäåííûì âûøå ñîîòíîøåíèåì ( 0 �'2.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (19),(20) ñîâïàäàþò è äàþò
ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè ãàðìîíèê f1 è f2: f f2 1
20 .
Èñïîëüçóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå â óðàâíåíèè (17) äëÿ
îñíîâíîé ãàðìîíèêè, ïîëó÷àåì äëÿ åå àìïëèòóäû
ñòàíäàðòíîå íåëèíåéíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:
( )(
�
�
�
� �' '2
1
2
2 1
2
1
3 0f
X
f f . (21)
Ñîëèòîííîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ õîðîøî èç-
âåñòíî:
f
X vT
1
2
2
2
�
�
(
(
'
' 'ch ( )
. (22)
Ìàëûì ïàðàìåòðîì â ýòîì ðåøåíèè ÿâëÿåòñÿ ââå-
äåííûé âûøå
�� �� 2, è, äåéñòâèòåëüíî, êàê
ïðåäïîëàãàëîñü ðàíåå, � �/ X � +.
Ïåðåïèøåì ýòî ðåøåíèå â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ:
�
�
0
� �
�
U
x
G x c t /G t
G x c
R�
' �' � '
' ' �
2 2
2
( (
(
cos[ ( ( ) )]
(ch[ Rt v /G t� ( ) )� ]
.
(23)
 ýòîì âûðàæåíèè � , , G è cR — âïîëíå îïðåäå-
ëåííûå êîìáèíàöèè çàäàííûõ ìàòåðèàëüíûõ ïàðàìåò-
ðîâ ñèñòåìû. Ïàðàìåòðû ' �, , ,( v â ñîëèòîííîì ðåøå-
íèè ìîãóò ìåíÿòüñÿ, íî îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè
è ñâÿçàíû òàêèì îáðàçîì:
� �� v /GcR è v 0 �2', (24)
Ðýëååâñêèå ñîëèòîíû îãèáàþùåé ó ïîâåðõíîñòè ñ íåëèíåéíûì ìîíîñëîéíûì ïîêðûòèåì
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4 505
à ðåøåíèå (23) ÿâëÿåòñÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêèì. Åñëè â
êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèê ðåøåíèé âûáðàòü ìàëûå ïàðà-
ìåòðû � è +, òî ðåøåíèå (23) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
�
�
0 �
�
U
x Gc
G c / x c t /
R
R R2 2 2 1 22 2�
+
�
� � 3 � 4
+�
cos {( ) ( ) }
{ch G x c tR[ ( )]}�
1 �
.
(25)
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, âèäíî, ÷òî óñ-
ëîâèå ìàëîàìïëèòóäíîñòè ðåøåíèÿ (ìàëîñòè äåôîð-
ìàöèé) ñâîäèòñÿ ê òàêîìó ñîîòíîøåíèþ ìàëûõ ïàðà-
ìåòðîâ: + ��� . Ýòî îòðàæåíî íà ðèñ. 1: ïî ìåðå
ïðèáëèæåíèÿ ê ñêîðîñòè Ðýëåÿ îáëàñòü, â êîòîðîé
ñïðàâåäëèâî íàøå ñîëèòîííîå ðåøåíèå (çàøòðèõîâà-
íà), ñóæàåòñÿ.
Âûáðàííûé íàìè íàáîð ïàðàìåòðîâ íå åäèíñò-
âåííûé. Åñëè â êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ
âûáðàòü ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ îãèáàþùåé ñîëèòî-
íà c è ÷àñòîòó âîëíû ~$ â ñèñòåìå êîîðäèíàò, ïåðå-
ìåùàþùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ îãèáàþùåé, òî âñå ïàðà-
ìåòðû â (23) ëåãêî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç c è ~$:
v G c c /R� �( ) �, � � �( )c c /cR R, ' �� �G c c /R( ) 2
è ( � � �
G c c c c /R R
2 22( )(~ )$ � .
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ñëàãàåìîå f X vT0( )� â
ðåøåíèè (12), îïèñûâàþùåå ÷àñòü äåôîðìàöèè,
ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ â âèäå âîëíû ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ áåç îñöèëëÿöèé. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå,
f / v Hf / X0 1
21 4� � �( )( ), ãäå ôóíêöèÿ f X vT1( )� îï-
ðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (22). Òî÷íîå âûðàæåíèå
äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãèëüáåðòà îò ôóíêöèè sech25
íåèçâåñòíî, íî àñèìïòîòèêè íàõîäÿòñÿ äîñòàòî÷íî
ïðîñòî. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè 5 �� 1 àñèìïòîòè-
êà èìååò âèä Hsech2 33 2 4 25 5 50 �
, , �Ïðè 5 -- 1
H / /sech2 30 64 0 535 5 50 �
, , � Òàêèì îáðàçîì, âî
âñåì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà ìîæíî âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé àïïðîêñèìèðóþùåé ôîð-
ìóëîé: H /sech2 20 64 0 25 5 50 �
, ( , ). Ïîýòîìó âûðà-
æåíèå äëÿ f0 ïðèîáðåòàåò ôîðìó
f
v
X vT
X vT
0
3
2
2 2
2 2 2
16 5 1
5 1
0
� �
�
, ( )
[ ( ) ]
+
'
+
+
. (26)
Êàê âèäíî, ýòà äåôîðìàöèÿ äåéñòâèòåëüíî èìååò
ñòåïåííûå àñèìïòîòèêè íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ è
ñëîæíóþ ôîðìó ñ ìèíèìóìîì â öåíòðå è äâóìÿ ñèì-
ìåòðè÷íûìè ìàêñèìóìàìè. Ïîëíàÿ äåôîðìàöèÿ íà
âñåé ïîâåðõíîñòè ðàâíà íóëþ. Òàêàÿ ôîðìà è íóëå-
âàÿ äåôîðìàöèÿ õàðàêòåðíû è äëÿ ðýëååâñêèõ ñîëè-
òîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ.
Çàêëþ÷åíèå
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî ó ïîâåðõíîñòè óïðó-
ãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ òîíêèì íåëèíåéíûì ïîêðûòè-
åì, ãäå îáû÷íûå ðýëååâñêèå ñîëèòîíû ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ íå ñóùåñòâóþò, ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ðýëååâ-
ñêèå ñîëèòîíû îãèáàþùåé. Â ïðåäåëå ìàëîé àìïëèòó-
äû äëÿ òàêèõ ñîëèòîíîâ áûëî íàéäåíî ïðèáëèæåííîå
ðåøåíèå. Îíî èìååò òðàäèöèîííûé ñîëèòîííûé âèä,
íî ñîïðîâîæäàåòñÿ íåîáû÷íîé âîëíîé ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ ñî ñòåïåííûìè àñèìïòîòèêàìè è íóëåâîé ïîë-
íîé äåôîðìàöèåé.
1. Ë.Ê. Çàðåìáî, Â.À. Êðàñèëüíèêîâ, ÓÔÍ 102, 549
(1970).
2. À.Ì. Êîñåâè÷, À.Ñ. Êîâàëåâ, Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþ
ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1989).
3. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Òåîðèÿ óïðóãîñòè,
Íàóêà, Ìîñêâà (1965).
4. Â.È. Íàÿíîâ, Ïèñüìà ÆÝÒÔ 44, 314 (1986).
5. V. Kavalerov, T. Fijii, and M. Inoue, J. Appl. Phys.
87, 907 (2000).
6. Al.A. Kolomenskii, A.M. Lomonosov, R. Kirshnereit,
P. Hess, and V.E. Gusev, Phys. Rev. Lett. 79, 1325
(1997).
7. A.M. Lomonosov, and P. Hess, Phys. Rev. Lett. 83,
3876 (1999).
8. A.M. Lomonosov, P. Hess and A.P. Mayer, Phys.
Rev. Lett. 88, 076104 (2002).
9. A.P. Mayer, Phys. Rep. 256, 238 (1995).
10. C. Eckl, A.S. Kovalev, A.P. Mayer, A.M. Lomonosov,
and P. Hess, Phys. Rev. E70, 046604 (2004).
11. L.W. Bruch and A.D. Navaco, Phys. Rev. B61, 5786
(2000).
12. A.S. Kovalev, A.P. Mayer, C. Eckl, and G.A. Maugin,
Phys. Rev. E66, 036615 (2002).
13. A.P. Mayer and A.S. Kovalev, Phys. Rev. E67, 066603
(2003)
14. À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À.
Ìîæåí, ÔÍÒ 29, 530 (2003).
15. A.P. Mayer and A.S. Kovalev, Proc. Estonian Acad.
Sci. Phys. Math. 53, 43 (2003).
16. À.Ì. Êîñåâè÷, À.Ñ. Êîâàëåâ, ÆÝÒÔ 67, 1794 (1974).
17. H.D. Greenberg, Application of Green’s Functions in
Science and Engineering, New Jersey (1971).
Rayleigh envelope solitons near the surface
covered with nonlinear film
A.S. Kovalev and E.S. Sokolova
The dynamics of Rayleigh type envelope soli-
tons which are localized near the surface of homo-
geneous isotropic media covered with thin film of
nonlinear (anharmonic) material is investigated.
The type of asymptotic procedure due to which
approximate analytic solutions were found is sug-
gested.
PACS: 68.35.–p Solid surfaces and solid-solid
interfaces: Structure and energetics.
Keywords: elastic halfspace, nonlinear film, surface
waves, nonlinear excitations, envelope solitons.
506 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 4
À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà
|