Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»

Исследованы дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика. Для одноосного ферромагнетика типа «легкая плоскость» записано уравнение для магнитного потенциала линейных спиновых волн в магнитостатическом приближении с учетом магнитного диполь-дипольного взаимодействия,...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Горобец, Ю.И., Кулиш, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2015
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127945
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» / Ю.И. Горобец, В.В Кулиш // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 7. — С. 664-670. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-127945
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1279452018-01-01T03:03:32Z Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» Горобец, Ю.И. Кулиш, В.В. Низкотемпеpатуpный магнетизм Исследованы дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика. Для одноосного ферромагнетика типа «легкая плоскость» записано уравнение для магнитного потенциала линейных спиновых волн в магнитостатическом приближении с учетом магнитного диполь-дипольного взаимодействия, обменного взаимодействия и эффектов анизотропии. Найдено решение такого уравнения, получено дисперсионное отношение для описанных выше спиновых волн. Для случая тонкой нанотрубки получена зависимость частоты спиновой волны от полного волнового числа. Найдено выражение для спектра поперечных волновых чисел. Досліджено дипольно-обмінні спінові хвилі в нанотрубці з одновісного феромагнетика. Для одновісного феромагнетика типу «легка площина» записано рівняння для магнітного потенціалу лінійних спінових хвиль в магнітостатичному наближенні з урахуванням магнітної диполь-дипольної взаємодії, обмінної взаємодії та ефектів анізотропії. Знайдено розв’язок такого рівняння, отримано дисперсійне відношення для спінових хвиль, які описано вище. Для випадку тонкої нанотрубки отримано залежність частоти спінової хвилі від повного хвильового числа. Знайдено вираз для спектра поперечних хвильових чисел. Dipole-exchange spin waves in a nanotube composed of an uniaxial ferromagnet are investigated. For the uniaxial ferromagnet of “easy plane” type an equation for the magnetic potential of linear spin waves in magnetostatic approximation is obtained with account for magnetic dipole-dipole interaction, exchange interaction and anisotropy effects. A solution of the equation is found and a dispersion relation for the above mentioned spin waves is derived. For the case of a thin nanotube the dependence of the spin wave frequency on the total wavenumber is obtained. An expression for the transverse wavenumber spectrum that is valid for the both types of uniaxial ferromagnet is also obtained. 2015 Article Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» / Ю.И. Горобец, В.В Кулиш // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 7. — С. 664-670. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 62.23.St, 75.30.Ds, 75.75.Jn, 75.75.Fk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127945 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Горобец, Ю.И. Кулиш, В.В. Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» Физика низких температур
description	Исследованы дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика. Для одноосного ферромагнетика типа «легкая плоскость» записано уравнение для магнитного потенциала линейных спиновых волн в магнитостатическом приближении с учетом магнитного диполь-дипольного взаимодействия, обменного взаимодействия и эффектов анизотропии. Найдено решение такого уравнения, получено дисперсионное отношение для описанных выше спиновых волн. Для случая тонкой нанотрубки получена зависимость частоты спиновой волны от полного волнового числа. Найдено выражение для спектра поперечных волновых чисел.
format	Article
author	Горобец, Ю.И. Кулиш, В.В.
author_facet	Горобец, Ю.И. Кулиш, В.В.
author_sort	Горобец, Ю.И.
title	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
title_short	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
title_full	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
title_fullStr	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
title_full_unstemmed	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
title_sort	дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127945
citation_txt	Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» / Ю.И. Горобец, В.В Кулиш // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 7. — С. 664-670. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT gorobecûi dipolʹnoobmennyespinovyevolnyvnanotrubkeizodnoosnogoferromagnetikasanizotropiejtipalegkaâploskostʹilegkaâosʹ AT kulišvv dipolʹnoobmennyespinovyevolnyvnanotrubkeizodnoosnogoferromagnetikasanizotropiejtipalegkaâploskostʹilegkaâosʹ
first_indexed	2025-07-09T08:03:46Z
last_indexed	2025-07-09T08:03:46Z
_version_	1837155726432141312
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7, c. 664–670 Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось» Ю.И. Горобец Институт магнетизма НАН и МОН Украины, бул. Вернадского, 36-б, г. Киев, 03142, Украина E-mail: gorobets@imag.kiev.ua В.В Кулиш Национальный технический университет Украины «КПИ», пр. Победы, 37, г. Киев, 03056, Украина E-mail: kulish_volv@ukr.net Статья поступила в редакцию 19 ноября 2014, после переработки 19 января 2015, опубликована онлайн 25 мая 2015 г. Исследованы дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика. Для одноосного ферромагнетика типа «легкая плоскость» записано уравнение для магнитного потенциала линейных спиновых волн в магнитостатическом приближении с учетом магнитного диполь-дипольного взаимодействия, обменного взаимодействия и эффектов анизотропии. Найдено решение такого уравне- ния, получено дисперсионное отношение для описанных выше спиновых волн. Для случая тонкой на- нотрубки получена зависимость частоты спиновой волны от полного волнового числа. Найдено выраже- ние для спектра поперечных волновых чисел. Досліджено дипольно-обмінні спінові хвилі в нанотрубці з одновісного феромагнетика. Для одновісного феромагнетика типу «легка площина» записано рівняння для магнітного потенціалу лінійних спінових хвиль в магнітостатичному наближенні з урахуванням магнітної диполь-дипольної взаємодії, обмінної взаємодії та ефектів анізотропії. Знайдено розв’язок такого рівняння, отримано дисперсійне відношення для спінових хвиль, які описано вище. Для випадку тонкої нанотрубки отримано залежність частоти спінової хвилі від повного хвильового числа. Знайдено вираз для спектра поперечних хвильових чисел. PACS: 62.23.St Сложные наноструктуры, в том числе изготавливаемые по образцу или ассемблиро- ванные структуры; 75.30.Ds Спиновые волны; 75.75.Jn Динамика магнитных наночастиц; 75.75.Fk Магнитные свойства наночастиц. Ключевые слова: спиновая волна; дипольно-обменная теория; ферромагнитная нанотрубка; наномагне- тизм; одноосный ферромагнетик типа «легкая ось»; одноосный ферромагнетик типа «легкая плоскость». 1. Введение Спиновые волны в наноразмерных системах — тон- ких ферромагнитных пленках [1,2], магнитных кванто- вых точках [3], магнитных нанопроволоках [4,5] и других наносистемах из магнитоупорядоченных материалов — являются актуальной и популярной темой для исследова- ний в последние десятилетия. Спиновые волны в наноси- стемах перспективны для различных практических при- менений, в частности для создания новых устройств хранения информации [6,7], передачи информации [6,7] и новых вычислительных устройств [8]. Магнитные свойства наносистемы (в частности, картина спиновых волн в ней) существенно зависят от ее формы и размеров, поэтому спиновые волны иссле- дуются в наносистемах различных форм отдельно. Синтезированные в последние годы магнитные нано- трубки [9–12] нашли широкий спектр применений, в частности в магнитобиологии [13,14]. Однако спино- вые волны в магнитных нанотрубках в настоящее вре- мя остаются малоизученными, а известные работы по данной тематике посвящены преимущественно спино- вым солитонам [15] и волнам на границах магнитных доменов [16,17]. © Ю.И. Горобец, В.В Кулиш, 2015 Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика При исследовании спиновых волн в ферромагнит- ных наносистемах рассматриваются, как правило, наносистемы из изотропного ферромагнетика или из одноосного ферромагнетика типа «легкая ось». Фер- ромагнетики типа «легкая плоскость» имеют ряд уни- кальных магнитных свойств, обусловленных, в част- ности, иной степенью симметрии по сравнению с аналогичными системами из легкоосного ферромаг- нетика. Однако спиновые волны в легкоплоскостных ферромагнетиках остаются малоисследованными, а спиновые волны в нанотрубках из легкоплоскостного ферромагнетика практически не исследованны. Пре- дыдущие работы авторов, посвященные исследова- нию спиновых волн в нанотрубках [18–20], также ог- раничиваются случаем ферромагнетика типа «легкая ось». Таким образом, изучение спиновых волн в маг- нитных нанотрубках из одноосного ферромагнетика типа «легкая плоскость», а также сравнительный ана- лиз результатов, полученных для нанотрубок из лег- коплоскостного и легкоосного ферромагнетиков, — актуальная тема для исследования. В работе исследованы дипольно-обменные спино- вые волны в ферромагнитной нанотрубке из одноосно- го ферромагнетика. Для ферромагнетика типа «легкая плоскость» записано уравнение для магнитного потен- циала линейной спиновой волны в магнитостати- ческом приближении с учетом магнитного диполь- дипольного взаимодействия, обменного взаимодей- ствия и эффектов магнитной анизотропии; получено дисперсионное отношение. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с аналогичными ре- зультатами, полученными авторами ранее для нано- трубки из ферромагнетика типа «легкая ось». Получен также спектр поперечных волновых чисел описанных выше волн; полученное выражение для спектра верно для обоих типов одноосного ферромагнетика. 2. Постановка задачи Рассмотрим ферромагнитную нанотрубку с внут- ренним радиусом a и внешним радиусом b (среду вне нанотрубки положим немагнитной). Пусть ферромаг- нетик, из которого состоит нанотрубка, обладает одно- осной магнитной анизотропией, причем ее ось направ- лена вдоль оси симметрии нанотрубки (вектор n на рис. 1, рис. 2). Выберем ось Oz также вдоль этого на- правления. Будем считать, что ферромагнетик характе- ризуется следующими параметрами: константа обмен- ной энергии ,α константа одноосной анизотропии β (считается постоянной), гиромагнитное отношение γ (считается постоянным). Рассмотрим спиновую волну, распространяющуюся в описанной выше нанотрубке. Учтем в уравнении Лан- дау–Лифшица как магнитное диполь-дипольное, так и обменное взаимодействие (учитывая размеры типичных нанотрубок и соответствующие значения волновых чисел спиновых волн, при рассмотрении последних существенными, вообще, являются оба типа взаимо- действий). Кроме того, поскольку в задаче рассмат- ривается одноосный ферромагнетик, учтем также магнитную анизотропию. Диссипацией и, соответст- венно, затуханием спиновых волн в нанотрубке пре- небрежем, опустив релаксационный член в уравнении Ландау–Лифшица. Применим линеаризованную теорию спиновых волн, полагая намагниченность m и магнитное поле h спино- вой волны малыми возмущениями общей намагничен- ности M и внутреннего магнитного поля H(i) нанотруб- ки соответственно. Таким образом, для возмущения намагниченности m выполняется 0 ,<<m M для воз- мущения магнитного поля ( ) 0 ,ih H<< где 0M — намагниченность насыщения, ( ) 0 iH — равновесное значение внутреннего магнитного поля (так что 0( ) ( ) ( ), , ,t t= +M r M r m r ( )( ) 0( (, ) , )( )) ( .ii t t= +r r r H H h Найдем уравнение для магнитного потенциала и дис- персионное уравнение линейных спиновых волн в описанной выше системе для случая ферромагнетика типа «легкая плоскость» и сравним их с полученными в работах [18,20] аналогичными результатами для ферромагнетика типа «легкая ось». Рис. 1. Конфигурация системы для ферромагнетика типа «легкая плоскость». Рис. 2. Конфигурация системы для ферромагнетика типа «легкая ось». Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 665 Ю.И. Горобец, В.В Кулиш 3. Ферромагнетик типа «легкая плоскость» Пусть ферромагнетик, из которого состоит нано- трубка, имеет тип «легкая плоскость»: 0.β < Введем цилиндрическую систему координат ( , , )zρ ϕ и рас- смотрим случай, когда намагниченность насыщения 0M направлена радиально: 0 0 ,eρ=M M 0 const,M = ρe — орт координаты ρ (см. рис. 1). 3.1. Уравнение для магнитного потенциала Запишем линеаризованное уравнение Ландау–Лиф- шица для спиновых волн в описанной выше нанотруб- ке. Положим компоненту ( )eHρ внешнего поля ( )eH отсутствующей или постоянной везде внутри нано- трубки. Тогда компоненту ( ) 0 iH ρ равновесного значения внутреннего поля также можно считать постоянной везде в нанотрубке, а искомое уравнение (см., напри- мер, [21]) запишем следующим образом: ( ) 0 0 0 , i ρ z z H M m t M   ∂   = γ × + α∆ +β −   ∂    m e h m e m (1) тут ze — орт координаты z. Для простоты обозначений будем считать, что внешнее (а следовательно, и внутрен- нее) магнитное поле может иметь только одну ненулевую компоненту ( )eHρ (наличие других компонент не изменит результат), следовательно, ( ) ( ) 0 const.i iH Hρρ = = Представим возмущения намагниченности и маг- нитного поля в виде бегущей волны 0 0 \|\| 0 0 \|\| ( ) exp ( ) ( , ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( , ) exp ( ), i t i t ik z i t i t ik z ⊥ ⊥ = ω = ρ ϕ ω −  = ω = ρ ϕ ω − m m r m h h r h (2) где \|\|k — продольное волновое число, и применим магнитостатическое приближение (см., например, [21]): ,= −∇Φh 0 0 ,= −∇Φh так что 0 0 \|\|( , ) ( ) exp ( ) ( , ) exp ( ).t i t i t ik z⊥Φ = Φ ω = Φ ρ ϕ ω −r r В таком случае систему из линеаризованного урав- нения Ландау–Лифшица и уравнения Максвелла div –4 div= πh m можно записать в следующем виде: 0 0 0 0 0 0 0 ( ( ) ) 4 div , p z z i h m M ρ ω = × −∇Φ + α∆ − +βγ ∆Φ = π m e m e m (3) где ( ) 0 0 . i p H h M = Исключим возмущение намагниченности из системы уравнений (3). Для этого векторно домножим первое уравнение системы слева на орт ρe и воспользуемся тем, что 0 0.m ρ = Получим следующее соотношение: 0 0 0 0 0 ( ) .p z z i h m M ρ ρ ω ∂Φ − × = −∇Φ + + α∆ − +β γ ∂ρ e m e m e (4) Возьмем дивергенцию уравнения (4) и применим к обеим частям полученного уравнения оператор .phα∆ − Подставляя величину 0( )phα∆ − m из урав- нения (4) и используя второе уравнение системы (3), после ряда преобразований получаем 2 \|\| 0 0 02 2 00 ( )( 4 )p p k h h MM ωβ ∂Φω ∆Φ + = α∆ − α∆ − − π ∆Φ + γ ρ ∂ϕγ 20 \|\| 0 14 ( ) ( ) ,p ph k h ∂Φ ∂ + π α∆ − ρ −β α∆ − Φ ρ ∂ρ ∂ρ  (5) откуда 2 02 2 0 ( )( 4 ) 4 ( )p p ph h h M  ω − α∆ − α∆ − − π ∆Φ − π α∆ − ×  γ  \|\| 20 0 \|\| 0 0 1 ( ) 0.p k k h M ωβ∂Φ ∂Φ ∂ × ρ + +β α∆ − Φ = ρ ∂ρ ∂ρ γ ρ ∂ϕ  (6) Таким образом, мы свели трехмерное уравнение Лан- дау–Лифшица (1) в магнитостатическом приближении к одномерному уравнению для магнитного потенциала. Исследуем решения этого уравнения и найдем диспер- сионное отношение для спиновых волн. 3.2. Дисперсионное отношение В отличие от случая нанотрубки из легкоосного ферромагнетика (см., например, [18,20]), искать реше- ние уравнения (6) в виде линейной комбинации цилин- дрических функций, вообще, не представляется воз- можным из-за наличия в уравнении производной первого порядка 0 , ∂Φ ∂ϕ а также производной 01 . ∂Φ ∂ ρ ρ ∂ρ ∂ρ  Однако решение такого вида становит- ся возможным при отсутствии угловых колебаний. Итак, исследуем случай продольно-радиальной волны, положив 0 0. ∂Φ = ∂ϕ Уравнение (6) при выполне- нии этого условия примет следующий вид: 2 02 2 0 ( )( 4 ) 4 ( )p p ph h h M  ω − α∆ − α∆ − − π ∆Φ − π α∆ − ×  γ  20 \|\| 0 1 ( ) 0.pk h ∂Φ ∂ × ρ +β α∆ − Φ = ρ ∂ρ ∂ρ  (7) Решение уравнения (7) возможно искать в виде линей- ной комбинации функций Бесселя 0 1 2 \|\|( ( ) ( )) exp ( ( )),n nA J k A N k i n k z⊥ ⊥Φ = ρ + ρ ϕ− (8) где 1A и 2A — константы, ( )nJ k⊥ρ — функция Бес- селя порядка n, ( )nN k⊥ρ — функция Неймана порядка n, k⊥ — поперечное волновое число, n — номер попе- 666 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика речно-угловой моды колебаний, при n = 0 (нулевая поперечно-угловая мода). Подставляя 0 1 0 2 0 \|\|( ( ) ( )) exp ( )A J k A N k ik z⊥ ⊥Φ = ρ + ρ − в уравнение (7) и учитывая 20 0 1 ,k⊥ ∂Φ ∂ ρ = − Φ ρ ∂ρ ∂ρ  2 0 0k∆Φ = − Φ (полное волновое число 2 2 2 \|\| ),k k k⊥= + получаем 2 2 2 2 2 2 0 ( )( 4 )p pk h k h k M  ω − α + α + + π +  γ  2 2 2 2 \|\|4 ( ) ( ) 0,p pk h k k k h⊥+ π α + − β α + = (9) откуда дисперсионное отношение 2 \|\|2 2 0 2( ) (4 ) .p p k M h k h k k    ω = γ + α +α + π+ β     (10) Таким образом, мы получили дисперсионное отно- шение для продольно-радиальных волн в нанотрубке из легкоплоскостного ферромагнетика. Найдем урав- нение для магнитного потенциала и дисперсионное отношение для ферромагнетика типа «легкая ось» и сравним полученные результаты. 4. Ферромагнетик типа «легкая ось» Пусть ферромагнетик, из которого состоит нано- трубка, имеет тип «легкая ось»: 0.β > По аналогии с предыдущим разделом введем цилиндрическую систему координат ( ), , .zρ ϕ Заметим, что намагниченность на- сыщения 0M в этом случае направлена вдоль оси Oz: 0 0 ,zM=M e где ze — орт координаты z (см. рис. 2). Как и в предыдущем случае, полагаем 0 const.M = Для такой конфигурации системы равновесное зна- чение внутреннего поля ( ) ( ) 0 .i eH H= Таким образом, компоненту ( ) 0 ,i zH входящую в уравнение Ландау– Лифшица, можно считать однородной везде внутри нанотрубки, если компонента ( )e zH внешнего поля ( )eH отсутствует или является однородной. Для такой системы мы можем использовать результаты, полу- ченные в работах авторов [18,20]. Так, уравнение для магнитного потенциала в описанной выше системе запишется 2 02 2 0 ( )( 4 )a ah h M  ω − α∆ − α∆ − − π ∆Φ −  γ  2 0 24 ( ) 0,ah z ∂ Φ − π α∆ − = ∂ (11) мы ввели обозначение ( ) 0 0 . i a H h M = +β Дисперсионное отношение для спиновой волны после подстановки в уравнение (11) решения в виде линейной комбинации функций Бесселя (8) примет вид [18,20] 2 \|\|2 2 0 2( ) 4 1 ,a a k M h k h k k      ω = γ + α +α + π −       (12) как и в предыдущем разделе, \|\|k — продольное волно- вое число, полное волновое число 2 2 2 \|\| ,k k k⊥= + где k⊥ — поперечное волновое число. Найдем спектр поперечных волновых чисел спино- вой волны и проведем сравнительный анализ получен- ных дисперсионных отношений для двух типов фер- ромагнетика. 5. Спектр поперечных волновых чисел. Зависимость частоты спиновой волны от продольной компоненты волнового числа Заметим, что в дисперсионные отношения для обе- их конфигураций системы, как (12), так и (10), входят две компоненты волнового числа, продольное и попе- речное. Исключим одно из них для более полного опи- сания волны. Поскольку толщина типичных нанотрубок имеет одинаковый порядок с характерной длиной обменного взаимодействия ex /4 ,l = α π мы можем рассмотреть случай ex .b a l− < Для такой толщины нанотрубки ра- диальной зависимостью магнитного потенциала можно пренебречь, положив 0,k⊥ = \|\|k k= в решении вида (8). Тогда дисперсионные отношения (12) и (10) пере- пишем следующим образом: 2 0 ( )aM h kω = γ + α (13) для легкоосного ферромагнетика (аналогичный ре- зультат был получен авторами в работе [18]) и 2 2 0 ( )( 4 )p pM h k h kω = γ + α +α + β + π (14) для легкоплоскостного ферромагнетика. Если толщина нанотрубки порядка или больше об- менной длины lex, то положить 0,k⊥ = вообще, нельзя. В таком случае дисперсионные отношения (12) и (10) должны быть дополнены спектром поперечных волновых чисел (продольное волновое число для типичных нано- трубок в рамках модели, которую мы рассматриваем, можно считать изменяющимся непрерывно). В общем случае необходимо решить уравнение (11) (для легкоосного ферромагнетика) или (6) (для легко- плоскостного ферромагнетика) как в ферромагнетике, так и во внешнем пространстве, и сшить эти решения с использованием граничных условий. Однако, исполь- зуя подход, аналогичный описанному в работе авто- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 667 Ю.И. Горобец, В.В Кулиш ров [20], возможно значительно упростить задачу. А именно, мы рассматриваем случай, когда среда внут- ри и снаружи нанотрубки представляет собой немаг- нитный металл высокой проводимости (так что при записи граничных условий проводимость можно счи- тать идеальной). В таком случае граничное условие сводится к условию обнуления нормальной произ- водной магнитного потенциала на поверхности на- нотрубки: 0 0,∇Φ =n где 0n — орт нормали к по- верхности раздела, откуда с использованием симметрии системы получаем , 0. r a b= ∂Φ = ∂ρ Для по- тенциала вида (8) это условие имеет вид 2 1 2 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0. n n n n AJ k a N k a A AJ k a N k b A ⊥ ⊥ ⊥ ⊥  + =   + =  (15) Система уравнений (15) задает искомый спектр в неяв- ном виде. Для случая широкой нанотрубки, так что 1,k a⊥ >> использование асимптотики функций Бесселя позволя- ет упростить полученное выражение для спектра. Дей- ствительно, записав 0 \|\|sin ( ) exp ( ( )),C k i n k z⊥Φ ≈ ρ+ δ θ+ ρ где C — нормировочная константа, δ — начальная фаза, аналогично работе [20] из граничного условия , 0 r a b= ∂Φ = ∂ρ получаем спектр волновых чисел в сле- дующем приближенном виде: .nk b a⊥ π = − (16) Заметим, что полученные выражения для спектра по- перечных волновых чисел, — как точный (15), так и приближенный квазиодномерный (16), — совпадают с полученными в работе [20] выражениями для нано- трубки из одноосного ферромагнетика. Действительно, соображения, использованные при выводе выражений (15) и (16), не зависят от типа анизотропии ферромаг- нетика. Более того, эти выражения будут верны для нанотрубки из произвольного ферромагнетика с про- извольным распределением как внутреннего поля, так и равновесной намагниченности (при условии, что снаружи трубки находится описанный выше немаг- нитный металл), в частности, для обеих конфигураций нанотрубки, рассмотренных в данной работе. С учетом полученного спектра поперечных волно- вых чисел дисперсионные отношения (10) и (12) мож- но переписать следующим образом: _____________________________________________________ 2 \|\|2 2 2 2 0 \|\| \|\| 2 2 \|\| ( ( ) ) ( ) (4 ) , ( ) p p k M h k n k h k n k k n k ⊥ ⊥ ⊥    ω = γ + α +α +α +α + π+ β  +  (17) и 2 2 2 2 2 0 \|\| \|\| 2 2 \|\| ( ) ( ( ) ) ( ) 4 ( ) a a k nM h k n k h k n k k n k ⊥ ⊥ ⊥ ⊥    ω = γ + α +α +α +α + π  +  (18) соответственно, где ( )k n⊥ задается выражениями (15) или (16). ________________________________________________ 6. Анализ полученных результатов Сравним уравнения для магнитного потенциала и дисперсионные отношения для спиновых волн в на- нотрубке из легкоосного и легкоплоскостного ферро- магнетиков. Как можно видеть, уравнение для магнитного потен- циала спиновых волн в легкоплоскостном ферромагнети- ке (6) имеет более сложный вид, чем соответствующее уравнение для одноосного ферромагнетика (11), полу- ченное в более ранних работах авторов. Подобное ус- ложнение связано с меньшей степенью симметрии сис- темы в случае ферромагнетика типа «легкая плоскость». Сравним полученные дисперсионные отношения для двух типов ферромагнетика. Как можно видеть, дисперсионные отношения (10) и (12) могут быть за- писаны в виде 2 \|\|2 2 0 2( ) ,c c k M h k h k F k      ω = γ + α +α +       (19) где ( ) 0 0 i c p H h h M = = для легкоплоскостного ферромаг- нетика, ( ) 0 0 i c a H h h M = = +β для легкоосного ферромаг- нетика, функция 2 \|\| 2 k F k         линейная. 668 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика Проведем числовые оценки частоты спиновой волны при отсутствии внешнего магнитного поля. Аналогично работе [18] запишем типичные значения параметров фер- ромагнетика и интервал изменения компонент волнового числа: ~ 1,β ~α 10–12 см–2, γ = 107 Гц/Гс, M0 =103 Гс, полное и продольное волновое число могут меняться в пределах от 102 до 106 см–1. В таком случае для легко- плоскостного ферромагнетика частота линейной спи- новой волны, определенная по формуле (12), имеет тот же порядок, что и для легкоосного (см., например, [18]): 1010 Гц на всем интервале волновых чисел. Как можно видеть, уравнение для магнитного по- тенциала для случая нанотрубки из одноосного фер- ромагнетика совпадает с аналогичным уравнением для нанопроволоки из одноосного ферромагнетика при условии аналогичной ориентации оси магнитной ани- зотропии (см., например, [5,22], при этом в решении (8) для нанопроволоки необходимо положить A2 = 0). Вообще, эти уравнения будут верными для произволь- ной ферромагнитной наносистемы с трансляционной симметрией, см., например, [20]. Однако такое обоб- щение для легкоплоскостного ферромагнетика будет неверным по причине иной симметрии системы (в ча- стности, при данной конфигурации намагниченности невозможно обобщение полученных отношений на случай нанопроволоки). 7. Выводы Таким образом, в работе исследованы линейные спи- новые волны в цилиндрической нанотрубке из одноос- ного ферромагнетика. Рассмотрены случаи ферромагне- тиков типа «легкая плоскость» и «легкая ось» с аксиальной ориентацией оси магнитной анизотропии, при этом для легкоплоскостного ферромагнетика ориен- тация вектора намагниченности насыщения считается радиальной. Для случая легкоплоскостного ферромагне- тика получено уравнение для магнитного потенциала спиновых волн (в магнитостатическом приближении) с учетом магнитного диполь-дипольного взаимодействия, обменного взаимодействия и эффектов анизотропии; из этого уравнения получено дисперсионное отношение. Проведен сравнительный анализ полученных результа- тов с аналогичными, полученными в предыдущих рабо- тах авторов для нанотрубки из ферромагнетика типа «легкая ось». Получено выражение для спектра попе- речных волновых чисел таких спиновых волн, которое является верным для обоих типов ферромагнетика; за- писано дисперсионное отношение для обоих типов фер- ромагнетика с учетом полученного спектра. 1. R.P. van Stapele, F.J.A.M. Greidanus, and J.W. Smits, J. Appl. Phys. 57, 1282 (1985). 2. M. Bauer, O. Büttner, S.O. Demokritov, B. Hillebrands, V. Grimalsky, Yu. Rapoport, and A.N. Slavin, Phys. Rev. Lett. 81, 3769 (1998). 3. F.G. Aliev, J.F. Sierra, A.A. Awad, G.N. Kakazei, D.-S. Han, S.-K. Kim, V. Metlushko, B. Ilic, and K.Y. Guslienko, Phys. Rev. B 79, 174433 (2009). 4. R. Skomski, M. Chipara, and D.J. Sellmyer, J. Appl. Phys. 93, 7604 (2003). 5. R. Arias and D.L. Mills, Phys. Rev. B 63, 134439 (2001). 6. S. Neusser and D. Grundler, Adv. Mat. 21, 2927 (2009). 7. C. Chappert, A. Fert, and F.N. Van Dau, Nat. Mater. 6, 813 (2007). 8. T. Schneider, A.A. Serga, B. Leven, B. Hillebrands, R.L. Stamps, and M.P. Kostylev, Appl. Phys. Lett. 92, 022505 (2008). 9. Y.C. Sui, R. Skomski, K.D. Sorge, and D.J. Sellmyer, Appl. Phys. Lett. 84, 1525 (2004). 10. K. Nielsch, F.J. Castaño, C.A. Ross, and R. Krishnan, J. Appl. Phys. 98, 034318 (2005). 11. R. Sharif, S. Shamaila, M. Ma, L.D. Yao, R.C. Yu, X.F. Han, and M. Khaleeq-ur-Rahman, Appl. Phys. Lett. 92, 032505 (2008). 12. Y. Ye and B. Geng, Critical Reviews in Solid State and Materials Sciences 37, 75 (2012). 13. A.K. Salem, P.C. Searson, and K.W. Leong, Nat. Mater. 2, 668 (2003). 14. C.C. Berry and A.S.G. Curtis, J. Phys. D: Appl. Phys. 36, R198 (2003). 15. H. Leblond and V. Veerakumar, Phys. Rev. B 70, 134413 (2004). 16. A.L. González, P. Landeros, and Á.S. Núñez, J. Magn. Magn. Mater. 322, 530 (2010). 17. J.A. Otálora, J.A. López-López, A.S. Núñez, and P. Landeros, J. Phys.: Condens. Matter 24, 436007 (2012). 18. Yu.I. Gorobets and V.V. Kulish, Ukr. J. Phys. 59, 541 (2014). 19. Y.I. Gorobets and V.V. Kulish, Functional materials 20, 516 (2013). 20. В.В. Куліш, Ж. наноелектрон. фіз. 6, 02021 (2014). 21. А.И. Ахиезер, В.Г. Барьяхтар, С.В. Пелетминский, Спиновые волны, Наука, Москва (1967). 22. V.V. Kruglyak, R.J. Hicken, A.N. Kuchko, and V.Yu Gorobets, J. Appl. Phys. 98, 014304 (2005). Dipole-exchange spin waves in a nanotube composed of an uniaxial ferromagnet with anisotropy of “easy plane” and “easy axis” types Yu.I. Gorobets and V.V. Kulish Dipole-exchange spin waves in a nanotube com- posed of an uniaxial ferromagnet are investigated. For the uniaxial ferromagnet of “easy plane” type an equa- tion for the magnetic potential of linear spin waves in magnetostatic approximation is obtained with account for magnetic dipole-dipole interaction, exchange inter- action and anisotropy effects. A solution of the equa- tion is found and a dispersion relation for the above Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 669 Ю.И. Горобец, В.В Кулиш mentioned spin waves is derived. For the case of a thin nanotube the dependence of the spin wave frequency on the total wavenumber is obtained. An expression for the transverse wavenumber spectrum that is valid for the both types of uniaxial ferromagnet is also obtained. PACS: 62.23.St Complex nanostructures, including patterned or assembled structures; 75.30.Ds Spin waves; 75.75.Jn Dynamics of magnetic nanoparticles; 75.75.Fk Magnetic properties of nanoparticles. Keywords: spin wave, dipole-exchange theory, ferro- magnetic nanotube, nanomagnetism, “easy axis” uni- axial ferromagnet, “easy plane” uniaxial ferromagnet. 670 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 7 1. Введение 2. Постановка задачи 3. Ферромагнетик типа «легкая плоскость» 3.1. Уравнение для магнитного потенциала 3.2. Дисперсионное отношение 4. Ферромагнетик типа «легкая ось» 5. Спектр поперечных волновых чисел. Зависимость частоты спиновой волны от продольной компоненты волнового числа 6. Анализ полученных результатов 7. Выводы

Дипольно-обменные спиновые волны в нанотрубке из одноосного ферромагнетика с анизотропией типа «легкая плоскость» и «легкая ось»

Репозитарії

Схожі ресурси