Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии

Проведен анализ известных из литературы экспериментальных данных по температурной зависимости магнитной восприимчивости бериллия. Показано, что эта зависимость может быть объяснена, если учесть, что в бериллии вблизи уровня Ферми имеется точка электронного топологического перехода 3½ рода....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Микитик, Г.П., Шарлай, Ю.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2015
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128290
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии / Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 12. — С. 1276–1282. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-128290
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1282902018-01-08T03:04:27Z Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии Микитик, Г.П. Шарлай, Ю.В. Низкотемпеpатуpный магнетизм Проведен анализ известных из литературы экспериментальных данных по температурной зависимости магнитной восприимчивости бериллия. Показано, что эта зависимость может быть объяснена, если учесть, что в бериллии вблизи уровня Ферми имеется точка электронного топологического перехода 3½ рода. Проведено аналіз відомих з літератури експериментальних даних по температурній залежності магнітної сприйнятливості берилію. Показано, що ця залежність може бути пояснена, якщо врахувати, що в берилії поблизу рівня Фермі є точка електронного топологічного переходу 3½ роду Experimental data on the temperature dependence of the magnetic susceptibility of beryllium are known from literature. We analyze these data. It is shown that this dependence can be explained if one takes into account that there is a point of the electron topological transition of 3½ kind near the Fermi level in beryllium. 2015 Article Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии / Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 12. — С. 1276–1282. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.30.+h, 71.18.+y http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128290 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Микитик, Г.П. Шарлай, Ю.В. Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии Физика низких температур
description	Проведен анализ известных из литературы экспериментальных данных по температурной зависимости магнитной восприимчивости бериллия. Показано, что эта зависимость может быть объяснена, если учесть, что в бериллии вблизи уровня Ферми имеется точка электронного топологического перехода 3½ рода.
format	Article
author	Микитик, Г.П. Шарлай, Ю.В.
author_facet	Микитик, Г.П. Шарлай, Ю.В.
author_sort	Микитик, Г.П.
title	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
title_short	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
title_full	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
title_fullStr	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
title_full_unstemmed	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
title_sort	электронный топологический переход 3½ рода в бериллии
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128290
citation_txt	Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии / Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай // Физика низких температур. — 2015. — Т. 41, № 12. — С. 1276–1282. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT mikitikgp élektronnyjtopologičeskijperehod31⁄2rodavberillii AT šarlajûv élektronnyjtopologičeskijperehod31⁄2rodavberillii
first_indexed	2025-07-09T08:48:00Z
last_indexed	2025-07-09T08:48:00Z
_version_	1837158507998085120
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12, c. 1276–1282 Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины пр. Ленина, 47, г. Харьков, 61103, Украина E-mail: mikitik@ilt.kharkov.ua, sharlai@ilt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 1 июня 2015 г., опубликована онлайн 23 октября 2015 г. Проведен анализ известных из литературы экспериментальных данных по температурной зависимо- сти магнитной восприимчивости бериллия. Показано, что эта зависимость может быть объяснена, если учесть, что в бериллии вблизи уровня Ферми имеется точка электронного топологического перехода 3½ рода. Проведено аналіз відомих з літератури експериментальних даних по температурній залежності магніт- ної сприйнятливості берилію. Показано, що ця залежність може бути пояснена, якщо врахувати, що в бе- рилії поблизу рівня Фермі є точка електронного топологічного переходу 3½ роду. PACS: 71.30.+h Переходы металл–изолятор и другие электронные переходы; 71.18.+y Поверхность Ферми; расчеты и измерения, эффективная масса, g-фактор. Ключевые слова: электронный топологический переход, линии вырождения зон, магнитная восприимчи- вость, бериллий. 1. Введение Хорошо известно, что электронные топологические переходы 2½ рода имеют место в тех точках зоны Бриллюэна, в которых закон дисперсии энергии элек- тронов от квазиимпульса имеет минимум, максимум или седловую точку [1–4]. В этих точках при критиче- ском значении энергии появляется (исчезает) новая полость поверхности Ферми или рвется (образуется) перемычка на ней. Известно также [2], что если в зоне Бриллюэна существует линия вырождения двух энер- гетических зон, то поверхность Ферми металла может иметь самопересекающийся вид, и точки линии выро- ждения, в которых такая поверхность появляется или исчезает, тоже соответствуют электронным топологи- ческим переходам. В этих точках общая энергия двух вырожденных зон достигает своего минимума или максимума. В работе [5] детально исследованы элек- тронные топологические переходы, связанные с появ- лением (исчезновением) самопересекающихся изо- энергетических поверхностей. Было показано, что эти переходы являются электронными топологическими переходами 3½ рода согласно классификации Лифши- ца [1]. Было также отмечено, что эти переходы могут быть экспериментально обнаружены и исследованы с помощью магнитной восприимчивости, которая испы- тывает гигантскую диамагнитную аномалию в окрест- ности такого перехода. В настоящей работе сначала изложены необходи- мые нам для дальнейшего результаты статьи [5], а за- тем проанализированы экспериментальные данные по температурной зависимости магнитной восприимчиво- сти бериллия, полученные в работе [6]. Результаты нашего анализа показывают, что в этом металле точка электронного топологического перехода 3½ рода была фактически экспериментально обнаружена много лет назад Гречневым, Свечкаревым и Середой [6]. 2. Электронные топологические переходы 3½ рода Известно, что вырождение двух электронных энер- гетических зон в кристалле может иметь место на осях симметрии его зоны Бриллюэна. Кроме того, как было показано Херрингом [7], в кристаллах существуют ли- нии случайного вырождения зон. Термин «случайное» означает, что вырождение электронных состояний не вызвано их симметрией. Таких линий довольно много в металлах с центром инверсии и слабым спин-орби- © Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай, 2015 Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии тальным взаимодействием. Действительно, на осях симметрии даже простых металлов весьма часто обна- руживаются точки пересечения двух энергетических зон [8]. Через такие точки перпендикулярно оси, как правило, всегда проходят линии случайного вырожде- ния этих зон [7]. Эти линии либо оканчиваются на гра- ницах зоны Бриллюэна, либо являются замкнутыми кривыми в ней. На всякой такой линии энергия выро- жденных зон — периодическая функция квазиимпуль- са, и поэтому всегда имеются точки ее минимума и максимума. Именно в этих точках появляются или ис- чезают самопересекающиеся изоэнергетические поверх- ности. Таким образом, мы приходим к выводу, что в металлах с центром инверсии и слабым спин-орби- тальным взаимодействием должно быть достаточно мно- го упомянутых выше электронных топологических пе- реходов 3½: их число сопоставимо с числом переходов 2½ рода. Анализ литературы показывает, что линии вырождения зон существуют, например, в Be, Mg, Zn, Cd, Al, графите [9] и многих других металлах. В экспе- риментах линии вырождения зон в металлах могут быть, в принципе, обнаружены с помощью фазового анализа осцилляций де Гааза–ван Альфена или Шубникова–де Гааза, поскольку фаза этих осцилляций определяется числом линий контакта зон, пронизывающих соответст- вующее поперечное сечение поверхности Ферми [10–12]. Рассмотрим точку на линии вырождения зон a и b , в которой энергия этих зон достигает своего экстрему- ма cε . В окрестностях такой точки зависимости энер- гий двух близких к вырождению зон от квазиимпульса p всегда могут быть представлены в виде [5] 1/22 2 2 , ( ) = ,a b c z xx x yy yBp b p b p⊥ ⊥  ε ε + + ± + p v p (1) где ось zp направлена по касательной к линии вырож- дения зон в точке экстремума энергии, = ( , )x yp p⊥p , постоянные B , xxb , yyb и = ( , )x y⊥v v v — параметры спектра. Знак B положительный, если критическое зна- чение энергии cε соответствует минимуму энергии, и отрицательный для случая максимума энергии. Как указано в работе [5], вид самопересекающихся изоэнер- гетических поверхностей, определяемых спектром (1), существенно зависит лишь от одной комбинации па- раметров: 22 2 .yx xx yy a b b ≡ + vv (2) Если 2 < 1a , то при изменении энергии Ферми Fε ме- талла относительно критического значения cε появление самопересекающихся изоэнергетических поверхностей происходит так, как изображено на рис. 1. Отметим, что этот топологический переход можно трактовать как комбинацию двух переходов: разрыв перемычки на изоэнергетической поверхности одной зоны и одно- временное появление новой замкнутой поверхности для другой зоны. Иная ситуация имеет место при 2 > 1a . Хотя в этом случае при смещении Fε тоже происходит появление самопересекающейся изоэнергетической по- верхности, но изменения топологии поверхностей Ферми для каждой из зон при этом нет, рис. 2. Иными слова- Рис. 1. Электронный топологический переход 3½ рода в бе- риллии. Внизу показана часть дырочной «короны» второй энергетической зоны (зоны a), внутри которой проходит линия вырождения этой зоны с третьей энергетической зоной бериллия (зоной b ). Такая поверхность имеет место при <F cε ε . Вверху показана самопересекающаяся поверхность Ферми при >F cε ε . Шейка дырочной «короны» разорвана, появился участок поверхности, отвечающий третьей зоне бериллия. Линия вырождения второй и третьей зон показана штриховой линией. Рис. 2. Поверхность Ферми металла в окрестности cε при 2 > 1a . Вверху показан случай <F cε ε . Внизу >F cε ε ; поя- вилось самопересечение поверхности Ферми. Линия вырож- дения зон a и b изображена штриховой линией. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 1277 Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай ми, появление или исчезновение самопересекающихся изоэнергетических поверхностей еще не означает, что имеет место электронный топологический переход. Такой переход осуществляется только при 2 < 1a [5]. В этом смысле было бы точнее называть этот переход комбинированным, а не переходом, при котором появ- ляются или исчезают самопересекающиеся изоэнерге- тические поверхности. Когда уровень Ферми Fε лежит в окрестности cε , плотность электронных состояний ν есть сумма ее ре- гулярной части и неаналитического по энергии вклада ( )Fδν ε . Последний определяется электронным топо- логическим переходом и отличен от нуля при ( ) sgn ( ) > 0F F c B∆ε ≡ ε − ε , 3/2 2 3 1/2 2 3/2 1/2 4( ) ( ) = . 3 \| \| (1 ) ( ) F F xx yyB a b b ∆ε δν ε π −  (3) Здесь sgn ( ) = 1B при > 0B и sgn ( ) = 1B − при < 0B . В формуле (3) мы учли двукратное вырождение электрон- ных состояний по спину. Выражение (3) справедливо только при 2 < 1a . При 2 > 1a особый вклад в плот- ность состояний не возникает, что согласуется с отсут- ствием электронного топологического перехода в этом случае. Формула (3) показывает, что при 2 < 1a имеет место электронный топологический переход 3½ рода по клас- сификации Лифшица [1,2]. При этом особенность в электронной плотности состояний более слабая, чем при обычных электронных топологических переходах 2½ рода, для которых 1/2( ) ( )F Fδν ε ∝ ∆ε [1–4]. Измене- ние типа особенности связано с тем, что, например, при появлении нового участка поверхности Ферми на рис. 1, поперечные размеры этого участка пропорцио- нальны F∆ε и, следовательно, малы по сравнению с его продольным размером, который пропорционален 1/2( )F∆ε . В случае же электронного топологического перехода 2½ рода все размеры нового участка порядка 1/2( )F∆ε . Поэтому при электронных топологических переходах 3½ рода будут более слабыми особенности всех тех физических величин, которые пропорцио- нальны электронной плотности состояний или ее про- изводной по энергии. Это, конечно, усложняет экспе- риментальное обнаружение этих переходов. Однако орбитальная магнитная восприимчивость электронов не определяется плотностью их состояний. Как следует из результатов работы [13], при электронных тополо- гических переходах 3½ рода компонента zzχ тензора магнитной восприимчивости испытывает гигантскую диамагнитную аномалию в слабых магнитных полях: 1/22 2 3/2 2 2 1/2 (1 )( ) , \| \|6 xx yy F zz F b be a F B Tc T   ∆ε−  χ ε = −       π     (4) где ( ) sgn ( )F c B∆ε ≡ µ − ε , µ — химический потенциал электронов металла при температуре T, а функция ( )F x определяется следующим выражением: 2 0 ( ) = cosh . 24 dy y xF x y −∞  −       ∫ (5) График функции ( )F x представлен на рис. 3. (На рис. 2 работы [13] показана функция (1/ 2) ( )F x вместо ( )F x .) Необходимо подчеркнуть, что формула (4) описывает вклад в магнитную восприимчивость, связанный толь- ко с близкими к вырождению электронными состоя- ниями зон a и b . При низких температурах, 0T → , множитель 1/2 ( / )FT F T− ∆ε в формуле (4) переходит в 1/2( )F −∆ε при > 0F∆ε и в нуль при < 0F∆ε . Таким образом, мы получаем расходящийся диамагнитный пик в воспри- имчивости при малых F∆ε . С другой стороны, при 2 > 1a какая-либо аномалия в zzχ отсутствует. Эти свойства магнитной восприимчивости открывают воз- можность экспериментального обнаружения электрон- ных топологических переходов 3½ рода в металлах. Интересно, что аномалия в восприимчивости 1/2( ) ( )zz F F −χ ∆ε ∝ ∆ε имеет тот же тип, что и особен- ность в термо-э.д.с. при электронных топологических переходах 2½ рода [3]. Согласно (4) и (5), в слабых магнитных полях рас- ходимость восприимчивости ограничивается для ма- лых значений F∆ε таких, что F T∆ε  . Следовательно, для амплитуды пика в восприимчивости имеем 1/2 max\| \| 1 /zz Tχ ∝ . С ростом магнитного поля H, когда расстояние между уровнями Ландау электрона стано- вится больше температуры, амплитуда пика определя- ется этим расстоянием, и оказывается, что max\| \|zzχ ∝ 1/4H −∝ [14]. В заключение отметим, что точки элек- тронных топологических переходов 3½ рода, критиче- Рис. 3. Функция ( )F x , определяемая формулой (5), для срав- нительно небольших значений своего аргумента. При 1x выражение (5) дает: 1/2( )F x x−≈ , а при больших отрица- тельных x находим: ( ) exp ( \| \|)F x x≈ π − . 1278 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии ские энергии которых близки к уровню Ферми, долж- ны существовать в бериллии, алюминии и графите. 3. Магнитная восприимчивость бериллия На рис. 4 показана зона Бриллюэна бериллия и часть его поверхности Ферми, так называемая дыроч- ная корона второй зоны. Внутри этой короны проходит линия вырождения второй и третьей электронных энергетических зон. Минимум общей энергии этих зон cε достигается в точках пересечения этой линии с ося- ми Σ (осями ΓM). Для краткости будем называть в дальнейшем эти точки пересечения Σ-точками. На осях ΓM ширина шейки короны очень мала, и поэтому в точках Σ при сравнительно небольшом изменении уровня Ферми должен происходить электронный топо- логический переход 3½ рода. Этот переход в бериллии показан на рис. 1. Температурные зависимости магнитной восприим- чивости χ бериллия были исследованы в работе [6]. Было обнаружено, что если магнитное поле направле- но вдоль вертикального ребра KH зоны Бриллюэна, то компонента восприимчивости вдоль этого ребра χ  практически не изменяется с температурой. Если маг- нитное поле лежит в базисной плоскости кристалла, магнитная восприимчивость в этой плоскости ⊥χ про- являет необычную температурную зависимость: ее модуль возрастает с увеличением T , достигает своего максимума при температуре 870 КT ≈ и затем убывает (рис. 5). Расчет магнитной восприимчивости бериллия про- водился в работах [6,15]. Авторы этих работ вычисля- ли вклад в магнитную восприимчивость бериллия электронных состояний, расположенных в окрестно- стях Σ-точек, но не связывали эти точки с электрон- ным топологическим переходом 3½ рода. Хотя при низких температурах в работах [6,15] была получена зависимость типа 1/2( )c − ⊥χ ∝ µ − ε , имеются отличия выведенных в этих работах формул от выражения (4). В частности, в эти формулы явно входит параметр, который задает размер области рассматриваемых элек- тронных состояний вдоль линии вырождения зон и который отсутствует в (4). В настоящей работе, чтобы доказать существование точки электронного топологи- ческого перехода 3½ рода в бериллии, мы заново ана- лизируем экспериментальные данные [6] с помощью формулы (4). Согласно существующим расчетам электронного энергетического спектра бериллия, химический потен- циал µ электронов в этом металле лежит при = 0T ниже энергии cε . При нулевой температуре µ совпада- ет с Fε , и можно оценить разность F cε − ε , используя данные работы [16] по экстремальным сечениям по- верхности Ферми бериллия и его циклотронным мас- сам. Для магнитного поля вдоль шейки «короны» спектр (1) при = 0zp приводит к следующим выраже- ниям для площади ( )m FS ε минимального сечения этой «короны» и для соответствующей циклотронной массы ( )Fm ε : 2 ( ) ( ) = , ( ) = .F c F c m F F xx yy xx yy S m b b b b π ε − ε ε − ε ε ε (6) Рис. 4. Зона Бриллюэна бериллия и часть его поверхности Ферми: дырочная «корона» второй энергетической зоны. Линия вырождения второй и третьей зон проходит внутри «короны». Рис. 5. Температурная зависимость удельной магнитной вос- приимчивости ⊥χ бериллия в базисной плоскости. Точки — эксперимент [6]. Сплошная, штриховая и пунктирная кривые рассчитаны по формулам (7), (4), (8), (9) с параметрами, при- веденными на рис. 6 для соответствующих кривых. Здесь 0 60,37 10−⊥χ ≈ − ⋅ см3·г–1; 6/ = 342 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1 для сплош- ной и штриховой кривых, и 6/ = 560 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1 для пунктирной кривой. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 1279 Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай Из этих формул следует, что *= /( )F c mS mε − ε π . Исполь- зуя данные [16], получаем оценку 8,8F cε − ε ≈ − мРб. Формула (4) описывает магнитную восприимчи- вость с точностью до постоянного слагаемого, которое не зависит от температуры и определяется электрон- ными состояниями, расположенными далеко от точки электронного топологического перехода. Электронные состояния, лежащие в окрестностях шести точек Σ «короны» бериллия, вносят вклад 3 zzχ в магнитную восприимчивость в базисной плоскости кристалла, если эта восприимчивость рассчитана на единицу объе- ма. Тогда для удельной восприимчивости ⊥χ имеем: 0= 3 ,zz ⊥ ⊥ χ χ + χ ρ (7) где = 1,85ρ г/см3 — плотность бериллия, zzχ задается формулой (4), а 0 ⊥χ — упомянутое постоянное слагае- мое в ⊥χ . Поскольку при низкой температуре и отрица- тельной разности F cε − ε магнитная восприимчивость zzχ стремится к нулю, находим из экспериментальных данных рис. 5, что 0 60,37 10−⊥χ ≈ − ⋅ см3/г. Чтобы описать температурную зависимость магнит- ной восприимчивости ⊥χ , необходимо знать зависи- мость химического потенциала от температуры, ( )Tµ . Зависимость ( )Tµ в значительной степени обусловлена тепловым расширением бериллия при его нагревании и изменением кристаллического потенциала из-за тепло- вых колебаний его атомов [17]. Чтобы получить пред- ставление о направлении сдвига µ относительно cε , учтем, что сечение ( )m FS ε убывает с ростом внешнего давления, т.е. при сжатии кристалла [18,19]. Поэтому можно ожидать, что при повышении температуры площадь ( )m FS ε растет, а химический потенциал, сле- довательно, удаляется от cε . Иными словами, разность ( ) cTµ − ε увеличивается по абсолютной величине с рос- том температуры. Отметим, что о росте площади сече- ния ( )m FS ε с повышением температуры свидетельст- вуют и результаты расчета [17], выполненного для 300T ≤ К. Представим зависимость ( )Tµ в виде разложения по степеням температуры: 2 3 4 1 2 3 4( ) = (0)(1 ),T T T T Tµ µ +µ ⋅ + µ ⋅ + µ ⋅ + µ ⋅ (8) где ( )Tµ — химический потенциал электронов, отсчи- танный от энергии cε , и (0) = 8,8µ − мРб. Что касается постоянных коэффициентов 1µ , 2µ , 3µ и 4µ , рассмот- рим три модели температурного поведения µ. В первой модели (штриховые линии на рис. 5 и 6) предположим, что µ изменяется линейно с температурой, т.е. 2 3= =µ µ 4= = 0µ . Коэффициент 1µ выбираем из условия мини- мального отклонения прямой ( ) / (0)Tµ µ от значений tripp (200) = 114 /110 1,018r ≈ и tripp (300) = 123 /110r ≈ 1,057≈ , полученных в [17] для отношения ( ) / (0)Tµ µ при температурах = 200T и 300 К соответственно. Отметим, что найденное значение 4 1 1,60 10−µ ≈ ⋅ К–1 приводит к правильному порядку величины производ- ной площади ( )m FS ε по давлению, измеренной в [18], если пересчитать изменение объема кристалла при на- гревании в соответствующее изменение давления. Ко- эффициент 1/22 2 3/2 2 2= (1 ) , \| \|2 xx yyb beA a Bc   −  π     (9) определяющий амплитуду вклада 3 zzχ в магнитную восприимчивость, находим из условия максимально хорошего согласования рассчитанной зависимости ( )T⊥χ с экспериментальными данными на участке, где величина \| ( ) \|T⊥χ растет. В результате получаем: 6( / ) = 342 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1. Во второй модели (пунк- тирные линии на рис. 4 и 5) µ изменяется квадратично с температурой, т. е. 3 4= = 0µ µ . Коэффициенты 1µ и 2µ выбираем из условия, что парабола ( ) / (0)Tµ µ про- ходит через точки tripp (200)r и tripp (300)r , полученные в работе [17]. Коэффициент A подбирался так, что- бы максимумы \| ( ) \|T⊥χ для экспериментальной и рас- считанной кривых совпадали. Это требование дает: 6( / ) = 560 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1. Подчеркнем, что первая и вторая модели основаны на неявном предположении, что рост ( ) / (0)Tµ µ при всех температурах происходит по одному и тому же закону. Это предположение едва ли оправдано во всем интервале температур Рис. 6. Температурная зависимость химического потенциала µ бериллия, вычисленная по формуле (8). Здесь µ отсчитыва- ется от энергии cε и (0) = 8,8µ − мРб. Сплошная кривая: 4 1 1 = 1,4714 10 К− −µ ⋅ , 7 2 2 = 1,5830 10 К− −µ ⋅ , 10 3 3 == 6,2570 10 К− −µ − ⋅ и 13 4 4 = 8,1341 10 К− −µ ⋅ . Штриховая кривая: 4 1 1 = 1,6028 10 К− −µ ⋅ и 2 3 4= = = 0µ µ µ . Пунктирная кривая: 4 1 1 = 1,1265 10 К− −µ − ⋅ , 6 2 2 = 1,0137 10 К− −µ ⋅ и 3 4= = 0µ µ . 1280 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии 0 < < 1500T К, учитывая, что дебаевская температура бериллия порядка 1250 К [17]. Наконец, в третьей мо- дели (сплошные линии на рис. 5 и 6) параметры 1 4–µ µ подбирались, исходя из требования, чтобы рассчитан- ная магнитная восприимчивость максимально хорошо описывала форму экспериментальной кривой ( )T⊥χ на рис. 4. При этом накладывалось ограничение, что в области низких температур функция ( ) / (0)Tµ µ должна практически совпадать с линейной зависимостью этого отношения в первой модели. Коэффициент A опять подбирался так, чтобы амплитуды максимумов для экспериментальной и рассчитанной магнитных воспри- имчивостей совпадали. Это достигается при том же значении 6( / ) = 342 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1, что и для пер- вой модели. Отметим, наличие членов 2 2Tµ и 4 4Tµ в (8) позволяет считать, что эта формула учитывает и сдвиг химического потенциала, обусловленный температур- ным уширением фермиевского распределения элек- тронов. Параметры энергетического спектра (1) и их зави- симости от температуры рассчитывались в работе [6] методом нелокального псевдопотенциала. Если вычис- лить коэффициент A по этим параметрам, то получим значение 6( / ) = 347 10A −ρ ⋅ см3·К1/2·г–1, которое факти- чески совпадает с найденным для первой и третьей моделей. Кроме того, интересно отметить, что при из- менении температуры вычисленный коэффициент A остается постоянным с точностью до нескольких про- центов, хотя параметры спектра, определяющие A , за- метно изменяются с температурой [6]. Несмотря на то, что при изменении температуры химический потенциал ( )Tµ в (9) не только не пересе- кает критическую энергию cε , но и удаляется от нее, мы получили рост \| ( ) \|T⊥χ при увеличении температу- ры для всех трех моделей поведения ( )Tµ . Такое пове- дение магнитной восприимчивости связано с тем, что отношение [ ( ) / ] < 0T Tµ , которое входит в аргумент функции F в (4), растет с температурой, и рост этой функции ( / )F Tµ не компенсируется уменьшением множителя 1/2T − в области не слишком высоких тем- ператур. Таким образом, необычная температурная за- висимость магнитной восприимчивости, эксперимен- тально обнаруженная в [6], связана с близостью уровня Ферми бериллия к точке электронного топологическо- го перехода 3½ рода и является косвенным доказатель- ством существования этой точки. Чтобы непосредственно наблюдать электронный то- пологический переход в бериллии, необходимо сжи- мать кристалл. Согласно данным [18], этот переход наступит при давлениях примерно 200 250− кбар, так как с ростом давления химический потенциал электро- нов будет приближаться к cε . При этом магнитная вос- приимчивость ⊥χ будет расти по абсолютной величи- не. Если температура низкая, то рост восприимчивости будет очень резким и проявится только в непосредст- венной окрестности топологического перехода. В точ- ке перехода при температуре 20 К магнитная воспри- имчивость, по нашей оценке, может достичь значения порядка 660 10−− ⋅ см3/г. 4. Заключение Необычная температурная зависимость магнитной восприимчивости бериллия, обнаруженная в работе [6], свидетельствуют о том, что в этом металле вблизи уровня Ферми лежит точка электронного топологиче- ского перехода 3½ рода. Именно эта точка определяет температурную зависимость магнитной восприимчи- вости бериллия. Аналогичные электронные топологические переходы должны существовать в алюминии и графите. В част- ности, в сплавах алюминия с магнием или цинком [20], а также с литием [21] действительно наблюдался пик в концентрационной зависимости магнитной восприим- чивости этих сплавов. Авторы работ [20,21] связывали такое поведение восприимчивости с точкой вырожде- ния двух электронных энергетических зон на оси WX зоны Бриллюэна алюминия. Эта точка лежит на линии случайного вырождения зон, перпендикулярной WX, и, как показывает анализ, является точкой электронного топологического перехода 3½ рода. Таким образом, в работах [20,21] фактически был обнаружен этот пере- ход в алюминии. Проявления электронных топологи- ческих переходов 3½ рода в графите будет теоретиче- ски рассмотрены в отдельной работе. 1. И.М. Лифшиц, ЖЭТФ 38, 1569 (1960). 2. И.М. Лифшиц, М.Я. Азбель, М.И. Каганов, Электронная теория металлов, Наука, Москва (1971). 3. A.A. Varlamov, V.S. Egorov, and A.V. Pantsulaya, Adv. Phys. 38, 469 (1989). 4. Ya.M. Blanter, M.I. Kaganov, A.V. Pantsulaya, and A.A. Varlamov, Phys. Rep. 245, 159 (1994). 5. G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai, Phys. Rev. B 90, 155122 (2014). 6. Г.Е. Гречнев. И.В. Свечкарев, Ю.П. Середа, ЖЭТФ 75, 993 (1978). 7. C. Herring, Phys. Rev. 52, 365 (1937). 8. D.A. Papaconstantopoulos, Handbook of the Band Structure of Elemental Solids, Plenum, New York (1986). 9. G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai, Phys. Rev. B 73, 235112 (2006). 10. Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай, ЖЭТФ 114, 1375 (1998). 11. G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai, Phys. Rev. Lett. 82, 2147 (1999). 12. Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай, ФНТ 33, 586 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 439 (2007)]. 13. Г.П. Микитик, И.В. Свечкарев, ФНТ 15, 295 (1989) [Sov. Low Temp. Phys. 15, 165 (1989)]. 14. Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай, ФНТ 22, 762 (1996) [Low Temp. Phys. 22, 585 (1996)]. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 1281 Г.П. Микитик, Ю.В. Шарлай 15. Г.Е. Гречнев, И.В. Свечкарев, ФНТ 3, 770 (1977) [Sov. Low Temp. Phys. 3, 374 (1977)]. 16. J.H. Tripp, P.M. Everett, W.L. Gordon, and R.W. Stark, Phys. Rev. 180, 669 (1969). 17. J.H. Tripp, Phys. Rev. B 1, 550 (1970). 18. J.E. Schiber and W.J. O’Sullivan, Phys. Rev. 184, 628 (1969). 19. Н.Б. Брандт, Е.С. Ицкевич, Н.Я. Минина, УФН 104, 459 (1971). 20. C.А. Воронцов, И.В. Свечкарев, ФНТ 13, 274 (1987) [Sov. Low Temp. Phys. 13, 155 (1987)]. 21. В.А. Десненко, С.Н. Доля, Н.В. Исаев, И.В. Свечкарев, А.В. Федорченко, ФНТ 30, 568 (2004) [Low Temp. Phys. 30, 425 (2004)]. Electron topological transitions of 3½ kind in beryllium G.P. Mikitik and Yu.V. Sharlai Experimental data on the temperature dependence of the magnetic susceptibility of beryllium are known from literature. We analyze these data. It is shown that this dependence can be explained if one takes into ac- count that there is a point of the electron topological transition of 3½ kind near the Fermi level in beryl- lium. PACS: 71.30.+h Metal-insulator transitions and other electronic transitions; 71.18.+y Fermi surface: calculations and measurements; effective mass, g-factor. Keywords: electron topological transition, band-con- tact line, magnetic susceptibility, beryllium. 1282 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2015, т. 41, № 12 1. Введение 2. Электронные топологические переходы 3½ рода 3. Магнитная восприимчивость бериллия 4. Заключение

Электронный топологический переход 3½ рода в бериллии

Репозитарії

Схожі ресурси