Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре

В рамках модели sine-Gordon найдены и проанализированы двухкинковые возбуждения в спиральных структурах магнетиков и мультиферроиков. Показано, что движение и взаимодействие кинков сопровождается макроскопическими трансляциями спиральной структуры. Обсуждаются способы наблюдения и возбуждения кинк...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Киселев, В.В., Расковалов, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2016
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Низкотемпеpатуpный магнетизм
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128451
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре / В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 1. — С. 67–74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-128451
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1284512018-01-10T03:02:59Z Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре Киселев, В.В. Расковалов, А.А. Низкотемпеpатуpный магнетизм В рамках модели sine-Gordon найдены и проанализированы двухкинковые возбуждения в спиральных структурах магнетиков и мультиферроиков. Показано, что движение и взаимодействие кинков сопровождается макроскопическими трансляциями спиральной структуры. Обсуждаются способы наблюдения и возбуждения кинков во внешнем магнитном поле. В рамках моделі sine-Gordon знайдено й проаналізовано двокінкові збудження в спіральних структурах магнетиків та мультифероїків. Показано, що рух і взаємодія кінків супроводжується макроскопічними трансляціями спіральної структури. Обговорюються засоби спостереження і збудження кінків в зовнішньому магнітному полі. In the framework of sine-Gordon model, twokink excitations in the spiral structures of magnets and multiferroics are found and analyzed. It is shown, that the motion and interaction of kinks is accompanied by the macroscopic translations of spiral structure. The ways of observing and excitation of kinks in the external magnetic field are discussed. 2016 Article Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре / В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 1. — С. 67–74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10.–b, 75.85.+t, 02.30.Ik, 02.30.Jr http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128451 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм
spellingShingle	Низкотемпеpатуpный магнетизм Низкотемпеpатуpный магнетизм Киселев, В.В. Расковалов, А.А. Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре Физика низких температур
description	В рамках модели sine-Gordon найдены и проанализированы двухкинковые возбуждения в спиральных структурах магнетиков и мультиферроиков. Показано, что движение и взаимодействие кинков сопровождается макроскопическими трансляциями спиральной структуры. Обсуждаются способы наблюдения и возбуждения кинков во внешнем магнитном поле.
format	Article
author	Киселев, В.В. Расковалов, А.А.
author_facet	Киселев, В.В. Расковалов, А.А.
author_sort	Киселев, В.В.
title	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
title_short	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
title_full	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
title_fullStr	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
title_full_unstemmed	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
title_sort	двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Низкотемпеpатуpный магнетизм
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128451
citation_txt	Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре / В.В. Киселев, А.А. Расковалов // Физика низких температур. — 2016. — Т. 42, № 1. — С. 67–74. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kiselevvv dvuhkinkovoevozbuždenievspiralʹnojmagnitnojstrukture AT raskovalovaa dvuhkinkovoevozbuždenievspiralʹnojmagnitnojstrukture
first_indexed	2025-07-09T09:07:04Z
last_indexed	2025-07-09T09:07:04Z
_version_	1837159708547350528
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1, c. 67–74 Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре В.В. Киселев, А.А. Расковалов Институт физики металлов имени М.Н. Михеева УрО РАН ул. С. Ковалевской, 18, г. Екатеринбург, 620041, Россия E-mail: kiseliev@imp.uran.ru Статья поступила в редакцию 14 июля 2015 г., опубликована онлайн 23 ноября 2015 г. В рамках модели sine-Gordon найдены и проанализированы двухкинковые возбуждения в спиральных структурах магнетиков и мультиферроиков. Показано, что движение и взаимодействие кинков сопрово- ждается макроскопическими трансляциями спиральной структуры. Обсуждаются способы наблюдения и возбуждения кинков во внешнем магнитном поле. В рамках моделі sine-Gordon знайдено й проаналізовано двокінкові збудження в спіральних структу- рах магнетиків та мультифероїків. Показано, що рух і взаємодія кінків супроводжується макро- скопічними трансляціями спіральної структури. Обговорюються засоби спостереження і збудження кінків в зовнішньому магнітному полі. PACS: 75.10.–b Общая теория и модели магнитного упорядочения; 75.85.+t Магнитоэлектрические эффекты, мультиферроики; 02.30.Ik Интегрируемые системы; 02.30.Jr Дифференциальные уравнения в частных производных. Ключевые слова: солитоны, спиральные магнетики, мультиферроики, метод «одевания». 1. Введение В физике конденсированного состояния распро- странены среды с пространственно периодическим основным состоянием. Квазиодномерные несоизмери- мые структуры образуют атомы, адсорбированные на грань кристалла-подложки с бороздчатым потенциаль- ным рельефом [1,2]. В магнетиках и холестерических жидких кристаллах наблюдаются спиральные (полосо- вые доменные) структуры, параметрами которых можно управлять посредством внешних электрических и маг- нитных полей [3–5]. В последние годы растет интерес к сегнетомагнитным материалам с циклоидальной маг- нитной структурой [6–8]. В большинстве из них магни- тоэлектрические эффекты, связанные с образованием, трансформацией или переориентацией спиновых цик- лоид, проявляются при низких температурах и больших магнитных полях. Однако недавно стали появляться сообщения о спиральных мультиферроиках, которые проявляют свои характерные свойства при комнатной температуре и малых внешних полях [6]. Теоретическое описание сильно нелинейной динамики периодических систем с неоднородным основным состоянием возмож- но в рамках упрощенных моделей, которые, с одной стороны, корректно учитывают основные взаимодейст- вия, а с другой — допускают точные решения. При рассмотрении спиральных магнитных и несо- измеримых кристаллических структур наиболее попу- лярной и универсальной моделью является интегри- руемое уравнение sine-Gordon [1–3,9–13]: 2 2 sin = 0.t z∂ Φ −∂ Φ + Φ (1) Например, в квазиодномерной (вдоль оси Oz) спираль- ной структуре ферромагнетика без центра инверсии с анизотропией типа «легкая плоскость» (плоскость xOy) при наличии магнитного поля в базисной плоскости поле Φ описывает геликоидальное распределение на- магниченности вдоль оси Oz: 0= (cos , sin , 0),M Φ ΦM где 0 = constM — номинальная намагниченность [12,13]. В безразмерных переменных плотность функ- ции Лагранжа таких систем имеет вид ( ) ( ) ( )2 21= 1 cos , 2 t z zL q ∂ Φ − ∂ Φ − ∂ Φ − − Φ   (2) © В.В. Киселев, А.А. Расковалов, 2016 В.В. Киселев, А.А. Расковалов где управляющий параметр q зависит от температу- ры, внешнего поля или степени несоизмеримости ре- шеток адатомов и кристалла-подложки. Наличие сла- гаемого z∂ Φ в (2) не сказывается на уравнении движения (1), но обусловливает выбор основного со- стояния системы. При < 4/q π реализуется однородное распределение намагниченности = 0Φ (mod 2 )π — соизмеримая фаза, а при > 4/q π — несоизмеримая длиннопериодическая структура в виде одномерной решетки 2π-кинков поля :Φ 0 = 2 am ( , ),kΦ ≡ ϕ π− χ где am ( , )kχ — эллиптическая амплитуда Якоби с мо- дулем = 4 /( )k E qπ и периодом 0 = 2L Kk ; = ( )K K k , = ( )E E k — полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно [14–16]. В рамках модели (1) солитоноподобные возбужде- ния спиральной структуры делятся на два класса: то- пологические солитоны — кинки и динамические — бризеры. При образовании дополнительного кинка в решетке система пытается избавиться от него. Кинки в спиральной структуре всегда движутся. По закону со- хранения импульса локализованное возмущение струк- туры без начальной скорости в простейшем случае должно порождать два кинка, движущихся в противо- положных направлениях. Интегрирование модели (1) при наличии спираль- ной структуры представляет непростую задачу, реше- ние которой возможно лишь с привлечением специ- альных методов. В [10,12] для анализа солитонных возбуждений на фоне спиральной структуры привле- кались преобразования Дарбу и Бэклунда. В [17,18] сформулирована процедура «одевания», пригодная для полного исследования солитонов и волн в спи- ральной структуре при локализованных начальных возмущениях и заданных граничных условиях на бес- конечности. Показано, что образование и движение солитонов всегда сопровождается макроскопически- ми трансляциями структуры. Сдвиги в краевых усло- виях задачи связаны с параметрами, определяющими строение и скорость солитонов. Анализ двухкинковых возбуждений спиральной структуры ранее не проводился. В данной работе най- дено решение модели sine-Gordon, которое аналитиче- ски описывает эволюцию двух кинков, сильно взаимо- действующих между собой и с фоновой структурой (с решеткой из неподвижных кинков). Показано, что на- чальное возмущение в виде ступенчатой «закрутки» спиральной структуры при определенных условиях распадается на два кинка равной ширины и одинако- вой хиральности. 2. Построение двухкинкового возбуждения Уравнение sine-Gordon (1) эквивалентно условию совместности вспомогательной системы линейных уравнений [19]: 3 1 1 2 2cos sin , 2 2 2 2 z t i w w V∂ Φ Φ Φ ∂ Ψ = σ +σ + σ Ψ ≡ Ψ   3 1 2 2 1= cos sin , 2 2 2 2 t z i w w U ∂ Φ Φ Φ ∂ Ψ σ +σ +σ Ψ ≡ Ψ   (3) где 2 2 1 2 = 1w w− , iσ — матрицы Паули. В параметриза- ции 1 = cn( , )w u k , 2 = sn( , )w i u k частное решение сис- темы (3), отвечающее фоновой структуре 0 ( )ϕ χ + δ , имеет вид _____________________________________________________ 1 3 3( , , ) = ( , ) exp ( , , ) ,u t M u A u t u Kδ η δ Ψ χ χ + δ χ σ + σ    ( , , ) ( ) dn( , ), 2 itA u t i p u u k k χ = χ + [ ]1 1( ) ( ) ( ) ( , ), 2 2 u ip u i u iK u iK Z u k K η ′ ′= − − ζ − + ζ + =    ( )3 1 3( )3 ( ) ( 2 )e ( )( , ) = exp , ( )( 2 )e ( ) iK u iK u u i iK u umM u u ki iK u u ′−η χ+ − ′−η χ+ +  ′σ χ + σ χ + − ηχ   χ − χσ   σ  ′− σ χ + + σ χ −  1 ( ) dn( ) = , det = . ( ) 1 dn2 iK um M iK u ′σ χ ′σ χ + − (4) ________________________________________________ Параметр δ сдвигает решение (4) вдоль оси Oz, ( )uσ и ( )uζ — сигма- и дзета-функции Вейерштрасса с пе- риодами 2 ,K 4iK ′ , где = ( )K K k и = ( )K K k′ ′ — пол- ные эллиптические интегралы первого рода от модуля k и сопряженного модуля 2= 1k k′ − , ( , )Z u k — дзе- та-функция Якоби [14,15]. Ветвь квадратного корня выбрана так, чтобы выполнялось условие 68 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре ( 2 ) ( 2 ) =K iK K iK′ ′σ χ ± + σ χ ± − [ ]1\| ( ) \| exp 2 ( ) ,iK K′= − σ χ + ± η χ ± где \| ( ) \| ( ) ( – )iK iK iK′ ′ ′σ χ + = σ χ + σ χ . Для функции ( , )uδΨ χ величина ( )p u играет роль блоховского ква- зиимпульса: [ ]3( 4 , , ) ( , , ) exp 4 ( ) .K t u t u Kip uδ δΨ χ ± = Ψ χ ± σ Построим решение модели sine-Gordon, описываю- щее движение двух «лишних» кинков в геликоидаль- ной структуре (решетке из таких же кинков). Для этого рассмотрим однокинковые решения (1)Φ , (2)Φ уравне- ния sine-Gordon (1) с краевыми условиями (0)( ) 02 ( ) ( , )i i i kΦ →ϕ χ+ δ ≡ ϕ χ + δ при ,z → +∞ (0)( ) 2 0 21 ( ) 2 ( , )i i is kΦ →ϕ χ+ δ ≡ π + ϕ χ + ∆ + δ при ,z → −∞ где 2 = 1s ± , = 1,2i ; 1 1δ ≡ ∆ , 2 = 0δ ; 1,20 < < 2K∆ . По- лям ( )iΦ соответствуют решения ( , , )i t u−Ψ χ вспомога- тельной линейной системы (3), которые получаются из соответствующего решения для однокинкового со- стояния [13,17,18] сдвигом аргумента χ и переопреде- лением постоянных интегрирования: _____________________________________________________ 11 2 2 11 12 12 2 22 2 21 2 2 21 22 22 2 22 2 ( ) ( \| ) ( ) ( ) ( ) ( \| ) ( ) = , ( ) ( \| ) ( ) ( ) ( ) ( \| ) i i i ii i i ii i i i i ii i i i a u p q p a u q u r a u p q p a u q δ ∆ +δ δ ∆ +δ − δ ∆ +δ δ ∆ +δ Ψ ν + Ψ Ψ − Ψ ν   Ψ  Ψ ν − Ψ Ψ + Ψ ν  (5) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2* 2 ( \| ) = exp , = /2, = 1; 2 u a u is iK u σ −ν ε η ∆  ′ν ε ν ε − ∆ ε ±   σ + ν ( ) 1(0) (0)2 2 2 2 1= 2 cos([ ( ) ( )]/4) ;i i i i i i ir p q p q − + + ϕ χ + δ −ϕ χ + δ 1 2 2 2 2 ( ) = exp ( , , ) ( , , ) , ( ) i i i i i p iK A t A t c q iK K ′σ χ + δ + η ∆ χ + ν χ + ν χ ′σ χ + δ + ∆ +   ________________________________________________ где ip , iq — вещественные функции переменных χ, t , > 0ic — вещественные постоянные. Здесь и далее по возможности сохранены обозначения работ [13,17,18]. Функции i −Ψ (i = 1, 2) удовлетворяют ограничениям 2 ( )1 2 3 3 2 1 e 0 ( 2 ) = ( ) , 0 e i i i i u K u ± η δ +∆ − − η δ    Ψ ± σ Ψ σ      ( )3 2 * 1 3 3 e 0 ( 2 ) = ( ) ( ) , 0 e i i i u iK h u u ±η δ +∆ − − η δ      ′Ψ ± − σ Ψ σ       (6) [ ]3 ( ) snexp ( ) = ( ), ( 2i ) 1 dn u k ui u iK h u u K u σ ′η + ≡ ′σ + + * * 2 2 2 2( \| ) ( ) = ( ) .i ia u u u− −ν Ψ − −σ Ψ σ Последнее равенство выполняется только при = {Re = 0, ; \| Im 2 \|}u u K u K ′∈Γ ≤ , mod(2 , 4 )K iK ′ . Новое решение ( , , )t u−Ψ χ системы (3), описываю- щее два кинка в геликоидальной структуре, будем ис- кать в виде _____________________________________________________ 2 1 2 1 11 1 1 11 12 1 12 1 1 2 1 2 1* * * 21 1 1 21 22 22 1 1 ( ) ( \| ) ( ) ( ) ( ) ( \| ) = . ( ) ( \| ) ( ) ( ) ( ) ( \| ) a u p q p a u q r a u p q p a u q − − − − − − − −  Ψ ν + Ψ Ψ − Ψ ν  Ψ  Ψ ν − Ψ Ψ + Ψ ν   (7) ________________________________________________ Комплексные и вещественная функции p, q и r не за- висят от спектрального параметра u , 1 3 11 1 1 1 1 1 ( ) ( \| ) = exp , 2( ) ua u is u ε η ∆σ −ν  ν ε    σ + ν 1 1 1 1 1= /2, = 1, = 1.iK s′ν ε − ∆ ε ± ± Для солитонных решений функция (7) должна удовлетворять условию [13,17,18]: † †* * dn( ) ( ) = ( ) ( ) = , , dn 1 uu u u u I u u− − − −  Ψ − Ψ Ψ Ψ − ∈Γ −      (8) где I — единичная матрица, символ «†» означает эр- митово сопряжение. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 69 В.В. Киселев, А.А. Расковалов После подстановки представления (5) в (8) левая часть равенства (8) будет содержать полюсы в точках * 1 1= ,u ν −ν (mod (2 ,4 ))K iK ′ , в то время как правая часть таких полюсов не содержит. Требование отсутствия лишних полюсов в точках * 1 1= ,u ν −ν (и конгруэнтных им по модулю периодов) означает, что вычеты в этих точках должны быть равны нулю. Последнее, с учетом алгебраической структуры функции ( )u−Ψ , сводится к ограничению 1 2* 1 11 1 22 1 2* 1 21 1 12 ( ( )) ( ( )) = . ( ( )) ( ( )) pq p q − − − − Ψ ν Ψ ν − Ψ ν Ψ ν (9) Отсюда следует, что правая часть (9) должна иметь вид 2e iγ , где γ вещественно. В рассматриваемой задаче * 1 1 1= ( 2 )iK ′ν ν − ε , потому, согласно редукциям (6), условие (9) выполняется автоматически. Условие отсутствия в левой части равенства (8) по- люсов в точках * 2 2= ,u ν −ν (mod (2 ,4 ))K iK ′ дает огра- ничение на постоянные интегрирования 1c , 2c : 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) = \| ( \| ) \| = \| ( \| ) \| = . ( ) c a a c σ ν −ν ν ν ν ν σ ν + ν (10) Подчеркнем, что, в отличие от приемов конечнозонно- го интегрирования [20], в предлагаемой схеме ограни- чения на постоянные интегрирования не только легко определяются, но и являются простыми. Наконец, требование отсутствия лишних полюсов в точках 1 1= ,u ν −ν в левых частях уравнений (3): 1 1( ) ( ) = , ( ) ( ) =t zu u V u u U− − − − − −∂ Ψ Ψ ∂ Ψ Ψ    , (11) приводит к условию обращения в нуль вычетов от произведений † ( ) ( )t u u− −∂ Ψ Ψ −  , † ( ) ( )z u u− −∂ Ψ Ψ −  в точке 1=u ν . С учетом соотношения (9) они сводятся к дифференциальным уравнениям для расчета полей p, q: 1 1 11 , , 2 1 12 ( ( )) ln = ln , ( ( )) t z t z p q − − Ψ ν ∂ ∂ Ψ ν 1* 1 21 , , 2* 1 22 ( ( )) ln = ln , ( ( )) t z t z p q − − Ψ ν ∂ ∂ Ψ ν которые легко интегрируются: \| \|exp[ ( /2)], \| \|exp[ ( /2)],p p i q q i= ψ + γ = ψ − γ 1 1 21 02 1 22 ( ( )) = , ( ( )) p c q − − Ψ ν Ψ ν 1 2 1 11 1 22 1 2 1 21 1 12 ( ( )) ( ( ))1arg arg = ln , 2 ( ( )) ( ( )) p q i − − − −  Ψ ν Ψ ν γ ≡ − −  Ψ ν Ψ ν   где 0 > 0c — постоянная интегрирования. Выбор (10) параметров ic гарантирует, что 0γ ≡ . Кроме того, правильная алгебраическая структура мат- риц U и V и верные асимптотические условия для −Ψ при z → ±∞ получатся, если положить = 0ψ . При та- ком выборе параметров левые части соотношений (11) автоматически не содержат лишних полюсов в точках * 2 2= ,u ν −ν (mod (2 ,4 ))K iK ′ . По аналогии с соответствующей формулой (5) мож- но показать, что ( ) 12 2 2 (2) (1) 1= 2 sin([ ]/4) .r p q pqs − + + Φ −Φ Здесь знак r следует выбрать положительным. На этом завершается построение матричного двух- кинкового решения −Ψ вспомогательных уравнений (3). Точное решение исходной модели (1), описываю- щее два кинка в спиральной структуре, получим, при- равнивая вычеты от недиагональных элементов мат- ричных равенств (11) в точке u iK ′= : ( )(2) (1) 1= 4arg \| \| exp ( /4) \| \| exp ( /4) .p i is q iΦ Φ + Φ 3. Анализ двухкинкового возбуждения Проанализируем полученное решение. В разверну- той форме записи оно имеет вид ( , ) =tΦ χ 1 1 2 12 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 12 cos sin ( sin cos ) 4Arctg , ( cos sin ) sin cos s s s s s s  α ϕ − ϕ + α α ϕ+ ϕ =  α α ϕ− ϕ −α ϕ − ϕ  (12) где ( ) ( )2 1 10 1 2 ( ) = e , ( ) A AiK c iK ν + ν′σ χ + ∆ + α ′σ χ + ∆ + ∆ +   ( ) ( )2 22 2 2 ( ) e , ( ) A AiK c iK ν + ν′σ χ + α = ′σ χ + ∆ +   ( ) ( )1 2 21 1 1 2 ( ) e ; ( ) A AiK c iK ν + ν′σ χ + ∆ + α = ′σ χ + ∆ + ∆ +   0 0 1 1 ( ) ( ) , , 4 4 ϕ χ ϕ χ + ∆ ϕ ≡ ϕ ≡ 0 2 0 1 2 2 12 ( ) ( ) , , 4 4 ϕ χ + ∆ ϕ χ + ∆ + ∆ ϕ ≡ ϕ ≡ 0 ( ) = 2am( , ), = ;zk k ϕ χ π− χ χ 1,2 1,2 1,2 1,2( ) dn [ ( ) ( )], 2 2 itA iK iK k χ ′ ′ν = ν − ζ ν − − ζ ν + 1 1 1 1 1, , 2 i K ∆′ν = ρ + ε ρ = − 2 2 2 2 2 1,2, , 0 2 . 2 i K K∆′ν = ρ + ε ρ = − < ∆ < 70 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре Здесь 0c , 1c и 2c — положительные вещественные кон- станты интегрирования. Константы 1c и 2c связаны соотношением (10). При наличии кинков решение (12) имеет разные асимптотики на бесконечности: 0( , ) ( ), ,t zΦ χ → ϕ χ → +∞ 0 1 2 1 2( , ) ( ) 2 ( ), .t s s zΦ χ → ϕ χ+ ∆ + ∆ + π + → −∞ (13) В длиннопериодических структурах параметр k бли- зок к единице. Проанализируем предельный случай, когда период спиральной структуры неограниченно увеличивается. При 1k → решение (12) принимает вид ( , ) =z tΦ 1 2 2 1 21 0 2 2 2 1 1 2 1 2 21 0 2 2 2 1 e (e e ) e e 1 4Arctg , e ( e e 1) e e y z y z y y y z yz s c s c s c s c s c s c +∆ +∆ +∆ +∆  + + −  =  − − −  (14) где 1 1 1= ( )/ \| th \|y z V t− ρ , 2 2 2= ( )/ \| th \|y z V t− ρ . Здесь 0 1 2, , > 0c c c — константы интегрирования, причем величины 1c , 2c связаны соотношением 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 sh([ ( )]/4) . sh([ ( )]/4) c i c i  ∆ − ∆ + π ε − ε =  ∆ + ∆ + π ε − ε  Выражение (14) описывает взаимодействие двух движущихся доменных стенок (кинков) с одним из неподвижных кинков структуры вида 4arctg e z− . Ско- рости 1V , 2V и характерные размеры 1l , 2l движущихся кинков определяются формулами = /ch , = \| th \| ( = 1, 2).i i i i iV l iε ρ ρ Направления движения кинков определяются знаками величин 1 = 1ε ± , 2 = 1ε ± . Очередность, в которой не- подвижная и движущиеся доменные стенки взаимодей- ствуют между собой, зависит от соотношений констант интегрирования 0c и 1c , 2c и направления движения стенок. Так, два кинка могут двигаться в противопо- ложных направлениях, — тогда один из них сначала пройдет через неподвижную доменную стенку, и только потом встретится со вторым кинком, — или же они мо- гут двигаться сонаправленно. Во втором случае они мо- гут сначала поочередно проходить через неподвижную доменную стенку, а после взаимодействовать между собой, или же, напротив, сначала один из них нагонит другой, а потом они по очереди встретятся со стенкой. Несмотря на обилие возможностей, характер взаимо- действия доменных стенок при столкновении определя- ется только соотношением их хиральностей. Хирально- сти двух движущихся кинков задаются соответственно параметрами 1s и 2s , которые могут независимо прини- мать значения 1± . При = 1js j-й кинк (j = 1, 2) имеет ту же хиральность, что и неподвижная доменная стенка, а при = 1js − хиральности j-го кинка и неподвижной до- менной стенки структуры противоположны. Во всех перечисленных случаях описание пооче- редных столкновений трех кинков сводится к анализу их парных взаимодействий. Полный анализ столкнове- ния двух кинков приведен в [13]. В соответствии с [13] 2π-перегибы (кинки) одной хиральности при взаимодействии «складываются», а 2π-перегибы разных хиральностей, напротив, почти полностью компенсируют друг друга (см. рис. 1(б), 2(б), 3(б)). При этом неподвижный кинк при прохождении через него j-го кинка хиральности js со скоростью = /ch( /2)j j jV ε ∆ смещается навстречу движущемуся на величину jk∆ вдоль оси спирали (оси Oz) и приобретает аддитивный фазовый сдвиг, равный 2 j jsπ ε . Указанные особенности справедливы и в общем слу- чае для взаимодействия друг с другом «лишних» кинков на фоне спиральной структуры, а также для поочеред- ных столкновений каждого из движущихся кинков с неподвижными кинками структуры. Рисунки 1, 2, 3 ил- люстрируют поведение системы до, во время и после взаимодействия кинков. Направления движения кинков отмечены стрелками. Выбираем наиболее «симметрич- Рис. 1. Двухкинковое возбуждение (12) при значениях параметров 2 = 1ε − , 1 = 1ε , 1 2= = 1s s в моменты времени до (а), во время (б) и после (в) столкновения кинков. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 71 В.В. Киселев, А.А. Расковалов ные» случаи, а именно когда кинки движутся навстречу друг другу. Для определенности считаем, что 2 = 1ε − , 1 = 1ε . Хиральности кинков соответствуют значениям 1 2= = 1s s (рис. 1), 1 = 1s − , 2 = 1s (рис. 2) и 1 2= = 1s s − (рис. 3). Выбор значений 1 = 1s , 2 = 1s − иллюстрирует- ся набором рис. 2, но в обратной последовательности и с обратным направлением стрелок. Рассмотрение случа- ев, когда оба кинка движутся сонаправленно 1 2( = = 1)ε ε , не представляет затруднений, но не дает качественно новой информации. Асимптотические значения поля Φ (13) отмечены штрихпунктиром. Требование непрерывности функ- ции ( , )tΦ χ для всех значений χ приводит к возник- новению между кинками протяженного сдвинутого участка структуры 0 2 2( ) = ( ) 2 sϕ χ ϕ χ + ∆ + π до и 0 1 1( ) = ( ) 2 sϕ χ ϕ χ + ∆ + π после столкновения кинков. На рисунках края сдвинутых областей ( )ϕ χ выделены жирными точками. Эти области не совпадают ни с од- ним из краевых условий задачи. В оптически прозрачных магнитных материалах мак- роскопические трансляции спиральной структуры при распространении в ней кинков можно визуализировать магнитооптическими методами. Основное состояние мультиферроиков с циклоидальной структурой представ- ляет собой решетку из солитонов электрической поляри- зации. Движение и взаимодействие двух кинков в та- ких материалах сопровождается макроскопическими сдвигами и деформациями решетки из солитонов по- ляризации. 4. Возбуждение двух кинков одинаковой хиральности в спиральной структуре Проведенный анализ подсказывает способы возбуж- дения двух кинков одинаковой хиральности в спираль- ной структуре. Согласно краевым условиям (13), для их возбуждения необходимо дополнительно «закру- тить» часть спиральной структуры на 4π , а затем уд- линить один из ее доменов на величину 1 2∆ + ∆ на фронте закрутки. В геликоидальных ферромагнетиках с анизотропией типа «легкая плоскость» закрутку спи- рали можно осуществить кратковременным включени- ем циркулярно поляризованного магнитного поля в базисной плоскости. При сильной легкоплоскостной анизотропии такой же результат вызовет кратковре- менная прецессия намагниченности под действием постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси спирали. Удлинение домена на фронте закрутки можно вызвать локальным увеличением магнитного поля, перпендикулярного оси магнитной спирали. Рис. 2. Двухкинковое возбуждение (12) при значениях параметров 2 = 1ε − , 1 = 1ε , 1 = 1s − , 2 = 1s в моменты времени до (а), во время (б) и после (в) столкновения кинков. Рис. 3. Двухкинковое возбуждение (12) при значениях параметров 2 = 1ε − , 1 = 1ε , 1 2= = 1s s − в моменты времени до (а), во время (б) и после (в) столкновения кинков. 72 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре Подкрепим изложенные соображения расчетом. Пусть начальное возмущение спиральной структуры состоит из трех участков: 0 0= ( ) 4Φ ϕ χ + ∆ + π при 0< ,χ χ 0 = 2 = constfΦ при 0 1< < ,χ χ χ 0 0= ( )Φ ϕ χ при 1> .χ χ (15) Здесь 0 = ( , = 0)tΦ Φ χ , ∆ — постоянный сдвиг струк- туры на пространственной бесконечности. Матрица перехода задачи рассеяния допускает представление [13,17] ( ) 1(0) 1( , ) = ( , , ) ( , , ),limT u t t u t u − χ→+∞ Ψ χ Ψ χ ( , , )(0) 3( , , ) = ( , )e .A u tt u M u χ σΨ χ χ (16) Согласно [13,17,18], начальное возмущение генерирует солитоны, только когда один из коэффициентов мат- рицы перехода обращается в нуль. Функция 1Ψ — решение вспомогательного линей- ного уравнения 0 0 1 1 2 1sn cos cn sin 2 2 2z i i u u Φ Φ ∂ Ψ = σ +σ Ψ    (17) с асимптотическим условием (0) 1 1( , , 0) ( , , 0) =u t u tΨ χ = →Ψ χ = 1 3 3= ( , ) exp ( , , 0) .M u A u t u K η ∆ χ + ∆ χ + ∆ = σ + σ    (18) На участке 0<χ χ решение Йоста 1Ψ совпадает с (0) 1Ψ (18). На интервале 0 1< <χ χ χ решение системы (17) имеет вид (0) 3 12 ( , , 0) = exp , 2 u t U k Cξ Ψ χ = − χσ   221 /1= , = cn ( , );cos/ 12 c U f u k c − + − ξ  ξ − ξ  = sn ( , ) cos cn ( , ) sin .c u k f u k f± ± Постоянная матрица 1C определяется из условия «сшивки» решений (0) 1Ψ и (0) 2Ψ в точке 0=χ χ в на- чальный момент времени (при t = 0): 1 1 0 3 0 0= exp ( , ) ( , ) 2 C k U u M u−ξ χ σ χ χ + ∆ ×   1 0 3 3exp ( , , = 0) .A u t u K η ∆ × χ + ∆ σ + σ    В области 1>χ χ уравнение (17) имеет решение ( , , 0)(0) 3 23 ( , , 0) = ( , )e .A u tu t M u Cχ = σΨ χ = χ Постоянная матрица 2C также находится из условия сшивки решений (0) 2Ψ и (0) 3Ψ при 1=χ χ : ( , , =0) 11 32 1 1= e ( , ) ( , )A u tC M u U u− χ σ − χ χ × 1 1 0 3 0 0exp ( ) ( , ) ( , ) 2 k U u M u−ξ × − χ −χ σ χ χ + ∆ ×   1 0 3 3exp ( , , = 0) .A u t u K η ∆ × χ + ∆ σ + σ    Согласно (16), 2C совпадает со значением матрицы перехода при = 0t : 2 ( ) ( ) ( , = 0) = = ( ); ( ) ( ) a u b u T u t C u b u a u  −     * * *( ) = ( ), ( ) = ( ).b u b u a u a u− − (19) Солитоны параметризуются нулями коэффициента ( )a u матрицы перехода. Начальное возмущение генери- рует солитоны лишь тогда, когда имеет корни уравнение ( ) = 0.a u (20) С точностью до несущественных множителей, (20) эквивалентно условию 2 1 1 2 cth = 0, 2 (1 ) c ckd + −α + αξ  −  ξ + α α  (21) где 1 0= ,d χ −χ 0 1 1 2 0 1 1 dn( ) 1 dn( ) = , = . sn( ) sn( ) u u k u k u + χ + ∆ + + χ − α α χ + ∆ + χ − При переходе от (20) к (21) использовано тождество ( )3( 2 ) (1 dn )e . ( ) sn iKiK i k ′−η χ+′σ χ + + χ = σ χ χ Здесь периоды функций Вейерштрасса — (2K , 4 )iK ′ , а модуль эллиптических функций Якоби равен k . Пусть для определенности 0 = Kχ − ∆ , 1 = Kχ , тогда 1 0 = =dχ −χ ∆ . При 0 < < 4K∆ начальному возмуще- нию соответствует удлинение домена на фронте «за- крутки» с одновременным образованием в нем прямо- угольной ступеньки высотой 2 f . В этом случае уравнение (21) упрощается и принимает вид cth sn sn( )cos = 0. 2 kkd u u K fξ  − +  ξ  (22) Два корня уравнения (22) вида u iK ′= −ρ ± (0 )K<ρ< параметризуют два кинка одинаковой ши- рины на фоне спиральной структуры, движущиеся в противоположных направлениях. Уравнение (22) имеет требуемые решения при усло- вии cos < 0f . Так, из (22) следует, что, когда f близко Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 73 В.В. Киселев, А.А. Расковалов к π, удлинненный домен шириной 1,2K∆  порождает два кинка шириной 1 2= = 0,6K∆ ∆ ∆  . Этот результат подтверждается данными численно- го моделирования, согласно которому ступенька ши- риной 0 < = < 4d K∆ и высотой 0 2 4f≤ ≤ π порожда- ет два движущихся в противоположных направлениях кинка равной ширины /2∆ . Оба кинка имеют одинако- вую хиральность, совпадающую с хиральностями до- менных стенок структуры 1 2= = 1s s + . Заметим, что начальное условие (15) порождает не только солитоны, но и диспергирующее излучение, так как спектральное преобразование ступеньки (15) со- держит нетривиальный коэффициент отражения ( )b u (см. (19)). При больших временах t амплитуда излуче- ния убывает по закону 1/2t− . Поле излучения прояв- ляется в дополнительных осцилляциях как самих соли- тонов, так и их окружения. Авторы выражают благодарность С.В. Баталову за помощь в проведении численного моделирования. Работа выполнена в рамках государственного зада- ния ФАНО России (тема «Квант», № 01201463332) и поддержана Стипендией Президента РФ для молодых ученых СП-6342.2013.1. 1. V.L. Pokrovsky and A.L. Talapov, Theory of Incommensurate Crystals, Acad. Publ., Hardwood etc. (1984). 2. И.Ф. Люксютов, А.Г. Наумовец, В.Л. Покровский, Дву- мерные кристаллы, Наукова думка, Киев (1988). 3. Ю.А. Изюмов, Дифракция нейтронов на длинноперио- дических структурах, Энергоатомиздат, Москва (1987). 4. П. Де Жен, Физика жидких кристаллов, Мир, Москва (1977). 5. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Нелинейные волны, солитоны и локализованные структуры в магнетиках. Т. 2. Топологиче- ские солитоны, двумерные и трехмерные узоры, УрО РАН, Екатеринбург (2011). 6. А.П. Пятаков, А.К. Звездин, УФН 182, №6, 593 (2012). 7. T. Kimura, Ann. Rev. Mater. Research 37, 387 (2007). 8. S.-W. Cheong and A. Mostovoy, Nature Mater. 6, 13 (2007). 9. A.B. Borisov and V.V. Kiselev, Physica D 31, 49 (1988). 10. А.С. Ковалев, И.В. Герасимчук, ЖЭТФ 122, 1116 (2002). 11. I. Dzyaloshinskii, Europhys. Lett. 83, 67001 (2008). 12. A.B. Borisov, J. Kishine, Y.G. Bostrem, and A.S. Ovchinnikov, Phys. Rev. B 79, 134436 (2009). 13. А.Б. Борисов, В.В. Киселев, Квазиодномерные магнит- ные солитоны, Физматлит, Москва (2014). 14. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Эллиптические и автоморфные функции, функции Ламе и Матье, Наука, Москва (1967). 15. P.F. Byrd and M.D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists, Springer-Verlag (1971). 16. А.И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Наука, Москва (1970). 17. В.В. Киселев, А.А. Расковалов, ТМФ 173, 268 (2012). 18. В.В. Киселев, А.А. Расковалов, ФММ 113, 1180 (2012). 19. Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, Наука, Москва (1986). 20. Б.А. Дубровин, Римановы поверхности и нелинейные уравнения, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевск (2001). Twokink excitation in the spiral magnetic structure V.V. Kiselev and A.A. Raskovalov In the framework of sine-Gordon model, twokink excitations in the spiral structures of magnets and multiferroics are found and analyzed. It is shown, that the motion and interaction of kinks is accompanied by the macroscopic translations of spiral structure. The ways of observing and excitation of kinks in the exter- nal magnetic field are discussed. PACS: 75.10.–b General theory and models of magnetic ordering; 75.85.+t Magnetoelectric effects, multi- ferroics; 02.30.Ik Integrable systems; 02.30.Jr Partial differential equations. Keywords: solitons, spiral magnets, multiferroics, «dressing» technique. 74 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2016, т. 42, № 1 http://dx.DOI:10.3367/UFNr.0182.201206b.0593 http://dx.DOI:%2010.1146/annurev.matsci.37.052506.084259 http://dx.DOI:10.1038/nmat1804 http://dx.DOI:10.1209/0295-5075/83/67001 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.79.134436 http://dx.DOI:10.4213/tmf8315 1. Введение 2. Построение двухкинкового возбуждения 3. Анализ двухкинкового возбуждения 4. Возбуждение двух кинков одинаковой хиральности в спиральной структуре

Двухкинковое возбуждение в спиральной магнитной структуре

Institution

Ähnliche Einträge