Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs

Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs

Рассмотрен механизм ориентации двухслойных классических вигнеровских кристаллов в пьезоэлектрической среде. Для системы GaAs рассчитана поправка к электростатическому взаимодействию между электронами, определяемая пьезоэлектрическим эффектом. Показано, что учет такой поправки приводит к зави...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2001
Автор: Филь, Д.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2001
Назва видання:Физика низких температур
Теми:
Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128594
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs / Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 5. — С. 519-522. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-128594
record_format dspace
spelling irk-123456789-1285942018-01-13T03:03:05Z Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs Филь, Д.В. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Рассмотрен механизм ориентации двухслойных классических вигнеровских кристаллов в пьезоэлектрической среде. Для системы GaAs рассчитана поправка к электростатическому взаимодействию между электронами, определяемая пьезоэлектрическим эффектом. Показано, что учет такой поправки приводит к зависимости полной энергии электронного кристалла от его ориентации относительно кристаллографических осей матрицы окружения. Получено обобщение метода Эвальда для расчета анизотропного взаимодействия между электронами в вигнеровском кристалле. С использованием этого метода рассчитана энергия двухслойных вигнеровских кристаллов в электронных слоях, параллельных кристаллографическим плоскостям (001), (0-11), (111), в зависимости от их ориентации и расстояния между слоями и найдена наиболее энергетически выгодная ориентация для всех типов электронных решеток в двухслойной системе. Показано, что в двухслойном вигнеровском кристалле фазовые переходы между структурами с различной симметрией решетки могут сопровождаться изменением его ориентации. A mechanism for orientation of bilayer classical Wigner crystals in a piezoelectric medium is considered. For the GaAs system the piezoelectric correction to the electrostatic interaction between electrons is calculated. It is shown that taking into account the correction due to the piezoelectric effect leads to a dependence of the total energy of the electron crystal on its orientation with respect to the crystallographic axes of the surrounding matrix. A generalization of Ewald’s method is obtained for calculating the anisotropic interaction between electrons in a Wigner crystal. The method is used to calculate the energy of bilayer Wigner crystals in electron layers parallel to the crystallographic planes (001), (0–11), and (111) as a function of their orientation and the distance between layers, and the energetically most favorable orientation for all types of electron lattices in a bilayer system is found. It is shown that phase transitions between structures with different lattice symmetry in a Wigner crystal can be accompanied by a change of its orientation. 2001 Article Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs / Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 5. — С. 519-522. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.20.Dx, 77.65.-j http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128594 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Низкоразмерные и неупорядоченные системы
spellingShingle Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Филь, Д.В.
Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
Физика низких температур
description Рассмотрен механизм ориентации двухслойных классических вигнеровских кристаллов в пьезоэлектрической среде. Для системы GaAs рассчитана поправка к электростатическому взаимодействию между электронами, определяемая пьезоэлектрическим эффектом. Показано, что учет такой поправки приводит к зависимости полной энергии электронного кристалла от его ориентации относительно кристаллографических осей матрицы окружения. Получено обобщение метода Эвальда для расчета анизотропного взаимодействия между электронами в вигнеровском кристалле. С использованием этого метода рассчитана энергия двухслойных вигнеровских кристаллов в электронных слоях, параллельных кристаллографическим плоскостям (001), (0-11), (111), в зависимости от их ориентации и расстояния между слоями и найдена наиболее энергетически выгодная ориентация для всех типов электронных решеток в двухслойной системе. Показано, что в двухслойном вигнеровском кристалле фазовые переходы между структурами с различной симметрией решетки могут сопровождаться изменением его ориентации.
format Article
author Филь, Д.В.
author_facet Филь, Д.В.
author_sort Филь, Д.В.
title Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
title_short Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
title_full Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
title_fullStr Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
title_full_unstemmed Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs
title_sort пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице gaas
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate 2001
topic_facet Низкоразмерные и неупорядоченные системы
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128594
citation_txt Пьезоэлектрический механизм ориентации двухслойного вигнеровского кристалла в матрице GaAs / Д.В. Филь // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 5. — С. 519-522. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series Физика низких температур
work_keys_str_mv AT filʹdv pʹezoélektričeskijmehanizmorientaciidvuhslojnogovignerovskogokristallavmatricegaas
first_indexed 2025-07-09T09:25:14Z
last_indexed 2025-07-09T09:25:14Z
_version_ 1837160847867117568
fulltext Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5, c. 523–531Ôè ëü Ä. Â. Ïüå çîýëå êòð è÷åñêè é ìåõàíè çì î ðèåí òà öèè ä âóõñëîé íîãî âèãíåð îâñêîãî êðè ñòàëëà â ìàòðè öå GaA sFil D. V.T he piezoelec tric m echa nism of or ienta tion of a do uble layer Wign er cr ystal in the GaA s host m atr ix Ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Ä. Â. Ôèëü Èíñòèòóò ìîíîêðèñòàëëîâ ÍÀÍ Óêðàèíû, ïð. Ëåíèíà, 60, ã. Õàðüêîâ, 61001, Óêðàèíà E-mail: fil@isc.kharkov.com Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â påäàêöèþ 21 äåêàápÿ 2000 ã. Ðàññìîòðåí ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíûõ êëàññè÷åñêèõ âèãíåðîâñêèõ êðèñòàëëîâ â ïüåçîý- ëåêòðè÷åñêîé ñðåäå. Äëÿ ñèñòåìû GaAs ðàññ÷èòàíà ïîïðàâêà ê ýëåêòðîñòàòè÷åñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ ìåæäó ýëåêòðîíàìè, îïðåäåëÿåìàÿ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ýôôåêòîì. Ïîêàçàíî, ÷òî ó÷åò òàêîé ïîïðàâ- êè ïðèâîäèò ê çàâèñèìîñòè ïîëíîé ýíåðãèè ýëåêòðîííîãî êðèñòàëëà îò åãî îðèåíòàöèè îòíîñèòåëüíî êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé ìàòðèöû îêðóæåíèÿ. Ïîëó÷åíî îáîáùåíèå ìåòîäà Ýâàëüäà äëÿ ðàñ÷åòà àíèçîòðîïíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè â âèãíåðîâñêîì êðèñòàëëå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî ìåòîäà ðàññ÷èòàíà ýíåðãèÿ äâóõñëîéíûõ âèãíåðîâñêèõ êðèñòàëëîâ â ýëåêòðîííûõ ñëîÿõ, ïàðàëëåëüíûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèì ïëîñêîñòÿì (001), (0–11), (111), â çàâèñèìîñòè îò èõ îðèåí- òàöèè è ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñëîÿìè è íàéäåíà íàèáîëåå ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíàÿ îðèåíòàöèÿ äëÿ âñåõ òèïîâ ýëåêòðîííûõ ðåøåòîê â äâóõñëîéíîé ñèñòåìå. Ïîêàçàíî, ÷òî â äâóõñëîéíîì âèãíåðîâñêîì êðèñòàëëå ôàçîâûå ïåðåõîäû ìåæäó ñòðóêòóðàìè ñ ðàçëè÷íîé ñèììåòðèåé ðåøåòêè ìîãóò ñîïðîâîæ- äàòüñÿ èçìåíåíèåì åãî îðèåíòàöèè. Ðîçãëÿíóòî ìåõàíiçì îpiºíòàöi¿ äâîøàpîâèõ êëàñè÷íèõ âiãíåpiâñüêèõ êpèñòàëiâ â ï’ºçîåëåêòpè÷- íîìó ñåpåäîâèùi. Äëÿ ñèñòåìè GaAs pîçpàõîâàíî ïîïpàâêó äî åëåêòpîñòàòè÷íî¿ âçàºìîäi¿ ìiæ åëåêòpîíàìè, ùî âèçíà÷àºòüñÿ ï’ºçîåëåêòpè÷íèì åôåêòîì. Ïîêàçàíî, ùî âpàõóâàííÿ òàêî¿ ïîïpàâêè ïpèçâîäèòü äî çàëåæíiñòi ïîâíî¿ åíåpãi¿ åëåêòpîííîãî êpèñòàëó âiä éîãî îpiºíòàöi¿ âiäíîñíî êpèñòà- ëîãpàôi÷íèõ âiñåé ìàòpèöi îòî÷åííÿ. Îòpèìàíî óçàãàëüíåííÿ ìåòîäà Åâàëüäà äëÿ pîçpàõóíêó àíiçî- òpîïíî¿ âçàºìîäi¿ ìiæ åëåêòpîíàìè â âiãíåpiâñüêîìó êpèñòàëi. Ç âèêîpèñòàííÿì öüîãî ìåòîäà pîçpàõîâàíî åíåpãiþ äâîøàpîâèõ âiãíåpiâñüêèõ êpèñòàëiâ â åëåêòpîííèõ øàpàõ, ïàpàëåëüíèõ êpèñ- òàëîãpàôi÷íèì ïëîùèíàì (001), (0–11), (111), â çàëåæíîñòi âiä ¿õ îpiºíòàöi¿ òà âiäñòàíi ìiæ øàpàìè òà çíàéäåíî íàéáiëüø åíåpãåòè÷íî âèãiäíó îpiºíòàöiþ äëÿ âñiõ òèïiâ åëåêòpîííèõ ãpàòîê â äâîøàpî- âié ñèñòåìi. Ïîêàçàíî, ùî â äâîøàpîâîìó âiãíåpiâñüêîìó êpèñòàëi ôàçîâi ïåpåõîäè ìiæ ñòpóêòópàìè ç âiäìiííîþ ñèìåòpiºþ ãpàòêè ìîæóòü ñóïpîâîäæóâàòèñÿ çìiíîþ éîãî îpiºíòàöi¿. PACS: 73.20.Dx, 77.65.–j 1. Ââåäåíèå Èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà ýëåêòðîíîâ â ïðèñóòñò- âèè êîìïåíñèðóþùåãî ïîëîæèòåëüíîãî ôîíà ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ è ïëîòíîñòÿõ ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ, â ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî â äâó- ìåðíûõ ýëåêòðîííûõ ñëîÿõ â ãåòåðîïåðåõîäàõ AlGaAs–GaAs. Îáðàçîâàíèå ôàçû âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà ïðîèñõîäèò ïðè óñëîâèè, ÷òî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè çíà÷èòåëüíî ïðå- âîñõîäèò ýôôåêòèâíûé áîðîâñêèé ðàäèóñ (â îò- ñóòñòâèå âíåøíåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ) ëèáî öèêëî- òðîííûé ðàäèóñ (â ñèëüíûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ). Ïîñëåäíÿÿ ñèòóàöèÿ îòâå÷àåò ôàêòîðó çàïîëíå- íèÿ ν << 1.  êâàíòîâûõ õîëëîâñêèõ ñèñòåìàõ îáðàçîâàíèå ìîäóëèðîâàííûõ ýëåêòðîííûõ ñòðóê- òóð âîçìîæíî è ïðè äðóãèõ ðåæèìàõ. Òàê, â ðåæèìå êâàíòîâîãî ôåððîìàãíåòèêà (ν ≈ 1, 1/3) ìîãóò âîçíèêàòü ñêèðìèîííûå ðåøåòêè [1].  ñëà- áûõ ìàãíèòíûõ ïîëÿõ (ν ≈ N + 1/2, ãäå N — öåëîå è N ≥ 4) íà âåðõíåì ÷àñòè÷íî çàïîëíåííîì óðîâíå Ëàíäàó âîçìîæíî îáðàçîâàíèå ñòðàéï-ñòðóê- òóð. Îáðàçîâàíèå òàêèõ ñòðóêòóð áûëî ïðåäñêàçà- íî òåîðåòè÷åñêè [2] è ïîäòâåðæäåíî ýêñïåðèìåí- òàëüíî [3] ïðè íàáëþäåíèè ýôôåêòà ñèëüíîé àíèçîòðîïèè ïðîâîäèìîñòè. Èíòåðåñíûì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ îá îðèåíòàöèè íåîäíîðîäíûõ ýëåêòðîííûõ ñòðóêòóð îòíîñèòåëü- íî êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ îñåé ìàòðèöû îêðóæå- © Ä. Â. Ôèëü, 2001 íèÿ.  äâóìåðíûõ ýëåêòðîííûõ ñëîÿõ, ðåàëèçî- âàííûõ â ãåòåðîñòðóêòóðàõ AlGaAs, ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà îðèåíòàöèþ ýëåêòðîííîé ðåøåòêè ìîæåò îêàçûâàòü ïüåçîýëåêòðè÷åñêîå âçàèìîäåé- ñòâèå ìåæäó ýëåêòðîííîé è óïðóãîé ïîäñèñòåìà- ìè. Âïåðâûå íà òàêóþ âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòåëü- íî ê âèãíåðîâñêèì êðèñòàëëàì áûëî óêàçàíî â ðàáîòàõ [4,5].  ðàáîòå [6] ðàññìàòðèâàëñÿ ïüå- çîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè ñòðàéï- ñòðóêòóð.  ÷àñòíîñòè, â ýòîé ðàáîòå áûë îáíà- ðóæåí ýôôåêò ïåðåîðèåíòàöèè ñòðàéïîâ â äâóõñëîéíûõ ñèñòåìàõ, êîòîðûé âîçíèêàåò â ñëó- ÷àå, êîãäà ïåðèîä ñòðóêòóðû ïðåâûøàåò ðàññòîÿ- íèå ìåæäó ñëîÿìè.  [6] äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîí- íîé ïîäñèñòåìû èñïîëüçîâàëàñü ìîäåëü âîëíû çàðÿäîâîé ïëîòíîñòè. Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèå ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìå- õàíèçìà îðèåíòàöèè íåîäíîðîäíûõ ýëåêòðîííûõ ñòðóêòóð â äâóõñëîéíûõ ñèñòåìàõ â äðóãîì ïðå- äåëüíîì ñëó÷àå, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò íå âîëíå çàðÿäîâîé ïëîòíîñòè, à êëàññè÷åñêîìó âèãíåðîâ- ñêîìó êðèñòàëëó. Êàê è â ðàáîòå [6], èñïîëüçóåò- ñÿ ìîäåëü, â êîòîðîé ó÷èòûâàåòñÿ àíèçîòðîïèÿ óïðóãèõ ìîäóëåé â êðèñòàëëè÷åñêîé ìàòðèöå ãåòå- ðîñòðóêòóðû. Äëÿ òî÷íîãî ðàñ÷åòà ýíåðãèè ñèñòå- ìû ñ àíèçîòðîïíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó ýëåê- òðîíàìè ðàçâèâàåòñÿ ïîäõîä, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ìåòîäà Ýâàëüäà äëÿ ðàñ÷åòà êóëîíîâ- ñêèõ ñóìì. Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, â ðàáîòå ïîëó÷å- íû ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê ìîíîñëîéíîé ñèñ- òåìå. Ýòîò âîïðîñ ðàíåå ðàññìàòðèâàëñÿ â ðàáîòå [5], àâòîð êîòîpîé îãðàíè÷èëñÿ ëèøü ìîäåëüíîé ñèòóàöèåé èçîòðîïíîãî êðèñòàëëà. Òàêàÿ ìîäåëü íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ, êàêàÿ èìåííî îðèåíòà- öèÿ áóäåò èìåòü ìåñòî â ñèñòåìå GaAs, óïðóãèå ñâîéñòâà êîòîðîé îïèñûâàþòñÿ íå äâóìÿ, à òðåìÿ óïðóãèìè ìîäóëÿìè. Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [5] íå èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä áûñòðî ñõîäÿùèõñÿ ðå- øåòî÷íûõ ñóìì. Ïðèìåíèòåëüíî ê äâóõñëîéíûì ñèñòåìàì, íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, âîïðîñ î ïüå- çîýëåêòðè÷åñêîì ìåõàíèçìå îðèåíòàöèè âèãíåðîâ- ñêîãî êðèñòàëëà ðàíåå íå ðàññìàòðèâàëñÿ. Ñèììåòðèÿ ðåøåòêè êëàññè÷åñêîãî âèãíåðîâ- ñêîãî êðèñòàëëà îïðåäåëÿåòñÿ ìèíèìóìîì åãî êó- ëîíîâñêîé ýíåðãèè.  ìîíîñëîéíîé ñèñòåìå ìèíè- ìóì äîñòèãàåòñÿ äëÿ ãåêñàãîíàëüíîé ðåøåòêè [7].  äâóõñëîéíîé ñèñòåìå ïðè îäèíàêîâîé ïëîòíîñ- òè ýëåêòðîíîâ â ñëîÿõ âîçìîæíî îáðàçîâàíèå ïÿòè òèïîâ ýëåêòðîííûõ ðåøåòîê. Ñòðóêòóðà, äè- íàìè÷åñêèå ñâîéñòâà è êðèòåðèè ïëàâëåíèÿ òàêèõ ñèñòåì áûëè ïîäðîáíî èçó÷åíû â ðàáîòàõ [8–10]. Êâàíòîâûå äâóõñëîéíûå âèãíåðîâñêèå êðèñòàëëû âî âíåøíåì ìàãíèòíîì ïîëå áûëè ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [11,12]. Âîçìîæíîñòü îáðàçîâàíèÿ äâóõ- ñëîéíûõ âèãíåðîâñêèõ êðèñòàëëîâ â ñâåðõòåêó÷èõ ãåëèåâûõ ïëåíêàõ èçó÷àëàñü â ðàáîòàõ [13,14].  êëàññè÷åñêîì äâóõñëîéíîì âèãíåðîâñêîì êðèñòàëëå ïåðåõîä ìåæäó ðàçëè÷íûìè êðèñòàëëè- ÷åñêèìè ôàçàìè ðåãóëèðóåòñÿ ïàðàìåòðîì η = d√n , ãäå d — ðàññòîÿíèå ìåæäó ñëîÿìè, n — ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ â ñëîå. Ñëó÷àé η = 0 ñîîòâåòñòâóåò ìîíîñëîéíîé ñèñòåìå ñ óäâîåííîé ïëîòíîñòüþ, à ñëó÷àé η = ∞ — ñèñòåìå äâóõ íåâçàèìîäåéñòâóþ- ùèõ ñëîåâ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ìèíèìóìó ýíåðãèè îòâå÷àþò ãåêñàãîíàëüíûå ðåøåòêè ñ ïåðèîäîì, îò- ëè÷àþùèìñÿ â √2 ðàç. Ïîýòîìó ïðè êîíå÷íûõ η âîçíèêàþò ïåðåõîäíûå ôàçû: ïðÿìîóãîëüíàÿ, êâàäðàòíàÿ è ðîìáè÷åñêàÿ. Ïüåçîýëåêòðè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò ïðèâåñòè ê ñäâèãó ãðàíèö ìåæäó ôàçàìè.  GaAs ïüåçîýëåêòðè÷åñêîå âçàèìîäåéñò- âèå äîñòàòî÷íî ñëàáîå, ïîýòîìó óêàçàííûé ýô- ôåêò áóäåò ìàëûì. Òåì íå ìåíåå, ïîñêîëüêó êóëî- íîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå â ñèñòåìå ñ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèåé ðåøåòêè èçîòðîïíî, ó÷åò ïüåçîýëåêò- ðè÷åñêîé ïîïðàâêè ê âçàèìîäåéñòâèþ ìåæäó ýëåêòðîíàìè âàæåí äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè ýëåêòðîííîãî êðèñòàëëà. 2. Ýíåðãèÿ ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè â âèãíåðîâñêîì êðèñòàëëå Ðàññìîòðèì áåçãðàíè÷íóþ ïüåçîýëåêòðè÷åñêóþ ñðåäó. Ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíà ϕ, ïîìåùåííîãî â íà÷àëî êîîðäèíàò, äàåòñÿ ðåøå- íèåì ñëåäóþùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé: div D = 4πeδ(0) , ∂σ ik/∂xk = 0 , (1) ãäå Di = − ε ik ∂ϕ ∂xk − 4πβ i,kl ukl (2) — âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîé èíäóêöèè, σ ik = λ iklm ulm − βl,ik ∂ϕ ∂xl (3) — òåíçîð íàïðÿæåíèé. Çäåñü εik — äèýëåêòðè÷åñ- êèé òåíçîð, λiklm — òåíçîð óïðóãèõ ìîäóëåé, βl,ik — òåíçîð ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ ìîäóëåé, uik — òåíçîð äåôîðìàöèé. Ïîñëå ïåðåõîäà ê ôóðüå- êîìïîíåíòàì ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ñâîäèòñÿ ê àëãåáðàè÷åñêîé è îòâåò äëÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ëåãêî ìîæåò áûòü âûïèñàí. Çàïèøåì åãî â ÿâíîì âèäå äëÿ êóáè÷åñêîé ñèñòåìû, ñâîéñò- Ä. Â. Ôèëü 524 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 âà êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ òðåìÿ óïðóãèìè ìîäóëÿ- ìè c11 , c12 , c44 , îäíèì ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ìî- äóëåì e14 è äèýëåêòðè÷åñêîé êîíñòàíòîé ε: ϕq = 4πe εq2 − (4π)2e εq2 χ P(qx , qy , qz ) q8s1 2(q)s2 2(q)s3 2(q)ρ3 + O(χ2) , (4) ãäå χ = e14 2 /εc11 — ìàëûé ïàðàìåòð, ïî êîòîðîìó âûïîëíåíî ðàçëîæåíèå; si(q) — ñêîðîñòü çâóêà ñ ïîëÿðèçàöèåé i â íàïðàâëåíèè q; ρ — ïëîòíîñòü ñpåäû. Ôóíêöèÿ P — îäíîðîäíûé ïîëèíîì 8-é ñòåïåíè, êîòîðûé èìååò âèä P(qx , qy , qz ) = q2      a1qx 2qy 2qz 2 + a2 ∑ l≠k ql 4qk 2      + + a3 ∑ l≠k ql 4qk 4 , (5) ãäå l, k = x, y, z, a1 = c11(2c12 2 − 2c11c12 + c44 2 − 2c11c44) , a2 = c11 2 c44 , a3 = 1 2 c11(c11 + c12)(c11 − c12 − 2c44) . (6) Oñè x, y, z íàïðàâëåíû âäîëü îñåé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà êðèñòàëëè÷åñêîé ìàòðèöû. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (4), ýëåêòðîñòàòè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñî- äåðæèò ïîïðàâêó δϕq , íàëè÷èå êîòîðîé ñâÿçàíî ñ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì âçàèìîäåéñòâèåì.  èçîòðîï- íîì êðèñòàëëå, â êîòîðîì ñêîðîñòè çâóêà íå çàâè- ñÿò îò íàïðàâëåíèÿ è êîýôôèöèåíò a3 â (5) ðàâåí íóëþ, ëèíåéíóþ ïî χ ïîïðàâêó ìîæíî ïðåäñòà- âèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî êîíå÷íîìó ÷èñëó ñôå- ðè÷åñêèõ ãàðìîíèê: δϕq = − (4π)2e εq2 χ ∑ n ∑ m=−n n AnmYnm (Θq , ψq) , (7) ãäå n — ÷åòíîå è n ≤ 6.  (7) ψq è Θq — ïîëÿðíûé è àçèìóòàëüíûé óãëû ñîîòâåòñòâåííî. Êîýôôèöè- åíòû Anm âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîäîëüíóþ è ïî- ïåðå÷íóþ ñêîðîñòè çâóêà. Ðàçëîæåíèå (7) â ñëó- ÷àå àíèçîòðîïíîãî êðèñòàëëà áóäåò ñîäåðæàòü è áîëåå âûñîêèå ãàðìîíèêè, ðàçðåøåííûå ñèììåò- ðèåé ñèñòåìû. Êîýôôèöèåíòû Anm äëÿ àíèçîòðîï- íîãî ñëó÷àÿ ìîãóò áûòü íàéäåíû ÷èñëåííî. Âû- ÷èñëåíèå ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ ñèñòåìû GaAs (c11 = 12,3⋅1011 äèí/ñì2, c12 = 5,7⋅1011 äèí/ñì2, c44 = 6,0⋅1011 äèí/ñì2) ïîêàçûâàåò, ÷òî îñíîâíîé âêëàä â ñóììó (7) äàþò òå æå ãàðìîíèêè (n ≤ 6), ÷òî è â èçîòðîïíîé ñèñòåìå (êîýôôèöèåíòû ïðè âûñøèõ ãàðìîíèêàõ ïî êðàéíåé ìåðå íà ïîðÿäîê ìåíüøå). Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî, ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ òðåìÿ, à íå äâóìÿ ìîäóëÿìè óïðó- ãîñòè, äàæå îãðàíè÷èâàÿñü íèæíèìè ãàðìîíèêà- ìè, íåëüçÿ ñâåñòè çàäà÷ó ê èçîòðîïíîé. Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (7), ëåãêî íàéòè ïî- ïðàâêó ê ýëåêòðîñòàòè÷åñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ ìåæäó ýëåêòðîíàìè â ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé ñðåäå. Âûïîëíèâ îáðàòíîå ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå, íàõî- äèì δV(r) = − e2χ εr G(Θr , ψr) , (8) ãäå G(Θr , ψr) = = 4π ∑ nm Anm (−1)n/2 n! 2n[(n/2)!]2 Ynm (Θr , ψr) . (9) Âèä ôóíêöèè G, ðàññ÷èòàííûé äëÿ êðèñòàëëà GaAs, ïîêàçàí íà pèñ. 1 (îñè êîîðäèíàò âûáðàíû âäîëü îñåé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà). Êàê âèäíî èç (8), âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè ñîäåð- æèò äîáàâêó, îòâå÷àþùóþ ïðèòÿæåíèþ, âåëè÷èíà êîòîðîãî çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ r è ñïàäàåò êàê 1/r. Ïîñêîëüêó ñïàäàíèå òàêîå æå ìåäëåííîå, êàê è äëÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ðåøåòî÷- Ðèñ. 1. Àíèçîòðîïèÿ ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðîíàìè â êðèñòàëëå GaAs. Ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 525 íûå ñóììû áóäóò ñõîäèòüñÿ ìåäëåííî. Ïîýòîìó äëÿ êîððåêòíîãî âû÷èñëåíèÿ ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé ïîïðàâêè ê ýíåðãèè âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà íå- îáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìåòîä áûñòðî ñõîäÿùèõñÿ ñóìì, ìîäèôèöèðîâàííûé ñ ó÷åòîì àíèçîòðîïèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðàññìîòðèì äâóõñëîéíóþ ýëåêòðîííóþ ñèñòå- ìó, ïîìåùåííóþ â áåçãðàíè÷íóþ ïüåçîýëåêòðè- ÷åñêóþ ñðåäó è îðèåíòèðîâàííóþ íîðìàëüíî íå- êîòîðîìó êðèñòàëëîãðàôè÷åñêîìó íàïðàâëåíèþ.  ýòîì ñëó÷àå â âûðàæåíèè (9) óäîáíî ïåðåéòè ê íîâûì óãëàì Θ è ψ, îòñ÷èòûâàåìûì îò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ýëåêòðîííîãî ñëîÿ è îò íåêîòîðîé îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè ñëîÿ, ñîîòâåòñòâåííî (ïðè ýòîì îáùàÿ ñòðóêòóðà âûðàæåíèÿ (9) ñîõðà- íèòñÿ, èçìåíÿòñÿ ëèøü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ). Åñëè ñ÷èòàòü ñòðóêòóðó ýëåêòðîí- íîãî êðèñòàëëà çàäàííîé, òî åãî îðèåíòàöèÿ îïðå- äåëÿåòñÿ âêëàäîì ñëàãàåìûõ â (9), êîòîðûå çà- âèñÿò îò óãëà ψr â âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ïîñëåäíèå îòâå÷àþò ãàðìîíèêàì ñ m ≠ 0. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðåøåòî÷íûõ ñóìì ïåðåïèøåì çàâèñÿ- ùóþ îò ψr ÷àñòü âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ýëåêòðî- íàìè â âèäå Van(r, Θr , ψr) = = − e2χ εr ∑ l≥0 ∑ |m|>0 Blm cosl Θr sin |m| Θr e imψ r . (10) Ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿâíîãî âèäà ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé êîýôôèöèåíòû Blm ìîæíî âûðàçèòü ÷å- ðåç êîýôôèöèåíòû Anm . Ïîñêîëüêó èíäåêñ n â (7), (9) ïðèíèìàåò ëèøü ÷åòíûå çíà÷åíèÿ, êîýô- ôèöèåíòû Blm îòëè÷íû îò íóëÿ òîëüêî ïðè l è m, èìåþùèõ îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü. Åñëè â ðàçëîæå- íèè (9) îãðàíè÷èòüñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñôåðè÷åñ- êèõ ãàðìîíèê, òî ñóììà (10) òàêæå áóäåò ñîäåð- æàòü êîíå÷íîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñîõðàíåíèÿ òî÷íîé ñèììåòðèè ïî óãëó ψ ïðè ó÷åòå êîíå÷íîãî ÷èñëà ãàðìîíèê ïåðåõîä ê óêà- çàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñëåäóåò âûïîëíèòü â óðàâíåíèè (4), à çàòåì ÷èñëåííî èñêàòü çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ â (7). Ñ ó÷åòîì (10) çàïèøåì àíèçîòðîïíóþ äîáàâêó ê ýíåðãèè ýëåêòðîííîãî êðèñòàëëà â âèäå Ean = Ean in + Ean out + Ean BG , (11) ãäå Ean in = − e2χ ε ∑ |m|>0 B0m ∑ R≠R′ 1 |R − R′| eimψ R′−R (12) îòâå÷àåò âêëàäó âçàèìîäåéñòâèÿ âíóòðè ñëîåâ, Ean out = − e2χ ε ∑ l≥0 ∑ |m|>0 Blm × × ∑ R,R′ dl |R − R′ − c| |m| [|R − R′ − c|2 + d2](|m|+l+1)/2 eimψ R′+c−R (13) îïèñûâàåò âêëàä ìåæñëîéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, à Ean BG äàåò ïîïðàâêó ê âçàèìîäåéñòâèþ ñ ïîëîæè- òåëüíûì êîìïåíñèðóþùèì ôîíîì.  (12),(13) R, R′ — âåêòîðû ðåøåòêè. Âåêòîð c çàäàåò ñìåùå- íèå âåðõíåé ïîäðåøåòêè îòíîñèòåëüíî íèæíåé. Ðåøåòî÷íûå ñóììû â (12), (13) ìîãóò áûòü ñâåäå- íû ê áûñòðî ñõîäÿùåìóñÿ âèäó ïðè èñïîëüçîâà- íèè ìîäèôèöèðîâàííîãî âàðèàíòà ìåòîäà Ýâàëü- äà (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà äàåò Ean = − Ne2χ ε √n (Sin + Sout) , (14) ãäå N — ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö â ñëîå, Sin = ∑ m B0m      ∑ R≠0 eimψ R Φ(m, πnR2) + + i|m| ∑ G≠0 eimψ G Φ    m, G2 4πn         , (15) Sout = ∑ lm Blm      ∑ R dl |R + c| |m| [|R + c|2 + d2](|m|+l)/2 × × eimψ R+c Φ(l + |m|, πn [|R + c|2 + d2]) + + i|m| ∑ G≠0 e−iGc + imψ G Ψ    l, m, G2 4πn , πnd2        , (16) ãäå G — âåêòîðû îáðàòíîé ðåøåòêè.  (15), (16) ââåäåíû ôóíêöèè Φ(m, x) = √π/x Γ[(|m| + 1)/2, x] Γ[(|m| + 1)/2] , (17) Ψ(l, m, x, y) = 1 2 √π/x 1 Γ[(l + |m| + 1)/2] × Ä. Â. Ôèëü 526 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 × ∑ s=0 N(l,m) ÑN(l,m)+s 2s (xy)(|m|+l−2s)/4 e −2√xy F(s, √x − √y ) + + (−1)(l+|m|−2s)/2 e2√xy F(s, √x + √y ) . (18)  (18) Ci j — áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû, N(l, m) = max [(|m| − l)/2, (l − |m| − 2)/2], F(s, z) = Γ(s + 1/2) − sgn (z) γ (s + 1/2, z2) . (19)  (17)–(19) Γ(x) — ãàììà-ôóíêöèÿ, Γ(k, x), γ(k, x) — íåïîëíûå ãàììà-ôóíêöèè. Çàìåòèì, ÷òî ïðè l, m ðàâíûõ íóëþ (ýòè ñëàãàåìûå ìû íå ó÷èòûâà- åì, òàê êàê îíè äàþò íå çàâèñÿùóþ îò íàïðàâëå- íèÿ ïîïðàâêó ê êóëîíîâñêîìó âçàèìîäåéñòâèþ) ñóììû (15), (16) ñâîäÿòñÿ ê èçâåñòíûì âûðàæå- íèÿì äëÿ èçîòðîïíîãî ñëó÷àÿ [7,8]. 3. Îðèåíòàöèÿ äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè äâóõñëîéíûõ âèãíå- ðîâñêèõ êðèñòàëëîâ, ðàñïîëîæåííûõ â ïëîñêîñ- òÿõ (001), (0–11) è (111) â ìàòðèöå GaAs. Äëÿ îïèñàíèÿ ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ó÷åòîì àíèçîòðîïèè óïðóãèõ ìîäóëåé îãðàíè÷èì- ñÿ ó÷åòîì ãàðìîíèê ñ n ≤ 18 è |m| ≤ 12 â ðàçëîæå- íèè (7). Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìûõ íèæå ñëó÷àÿõ ãàðìîíèêè ñ n > 6 âëèÿþò ëèøü íà îðè- åíòàöèþ ãåêñàãîíàëüíûõ ñòðóêòóð â ñëîÿõ, ïàðàë- ëåëüíûõ ïëîñêîñòè (001), è êâàäðàòíîé ñòðóêòó- ðû â ñëîÿõ, ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè (111).  óêàçàííûõ ñëó÷àÿõ ñèììåòðèÿ ñèñòåìû ïðèâîäèò ê çàíóëåíèþ âêëàäà íèæíèõ ãàðìîíèê â ýíåðãèþ âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà. Ñòðóêòóðà âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â äâóõ- ñëîéíîé ñèñòåìå çàäàåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè âåêòî- ðàìè ðåøåòêè R1 , R2 è âåêòîðîì c îòíîñèòåëüíîãî ñìåùåíèÿ ïîäðåøåòîê â ñîñåäíèõ ñëîÿõ. Çíà- ÷åíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ äëÿ ïÿòè ðàññìàòðèâàåìûõ òèïîâ ðåøåòîê ïðèâåäåíû â òàáëèöå. Çíà÷åíèÿ η, ïðè êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ñèììåòðèè ðåøåòêè, áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [8]. Ïîñêîëüêó äëÿ äàëüíåéøåãî ðàññìîòðåíèÿ íåîáõîäèìû çà- âèñèìîñòè δ(η) (äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé ðåøåòêè) è α(η) (äëÿ ðîìáè÷åñêîé ðåøåòêè), ìû ïîâòîðèëè âû÷èñëåíèÿ, âûïîëíåííûå â [8]. Ñîãëàñíî ïîëó- ÷åííûì ðåçóëüòàòàì, ïåðåõîä ìåæäó ïðÿìîóãîëüíîé è êâàäðàòíîé ôàçàìè èìååò ìåñòî ïðè η ≈ 0,263, ìåæäó êâàäðàòíîé è ðîìáè÷åñêîé ôàçàìè — ïðè η ≈ 0,621, ìåæäó ðîìáè÷åñêîé è äâîéíîé ãåêñàãî- íàëüíîé — ïðè η ≈ 0,732. Ïåðâûå äâà ïåðåõîäà ÿâëÿþòñÿ ïåðåõîäàìè âòîðîãî ðîäà, à ïîñëåäíèé — ïåðâîãî ðîäà. Ïîëó÷åííûå îòâåòû âîñïðîèçâî- äÿò ðåçóëüòàòû ðàáîòû [8]. (Ìû íå àíàëèçèðóåì ïåðåõîä ìåæäó ïðîñòîé ãåêñàãîíàëüíîé è ïðÿìî- óãîëüíîé ôàçàìè, êîòîðûé, ñîãëàñíî [8], èìååò ìåñòî ïðè η = 0,006, ïîñêîëüêó ïðè òàêîì ïåðåõî- äå îðèåíòàöèÿ ýëåêòðîííîãî êðèñòàëëà ìåíÿåòñÿ íåñóùåñòâåííî.) Çàâèñèìîñòü àíèçîòðîïíîé äîáàâêè ê ýíåðãèè äâóõñëîéíîãî ýëåêòðîííîãî êðèñòàëëà îò åãî îðè- åíòàöèè â ïëîñêîñòÿõ (001), (0–11), (111) ïîêà- çàíà íà pèñ. 2–4 ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïà- ðàìåòðà η (ýíåðãèÿ äàíà â ïåðåñ÷åòå íà îäèí ýëåêòðîí â åäèíèöàõ e2χ√n/2ε). Äëÿ äâóìåðíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà, ðàñ- ïîëîæåííîãî â ïëîñêîñòè (001), àíèçîòðîïíàÿ äî- Òàáëèöà Ïàpàìåòpû ñòðóêòóðû äâóõñëîéíûõ âèãíåðîâñêèõ êðèñòàëëîâ Òèï ðåøåòêè Ýëåìåíòàðíûå âåêòîðû ïðÿìîé ðåøåòêè Ýëåìåíòàðíûå âåêòîðû îáðàòíîé ðåøåòêè Âåêòîð ñìåùåíèÿ ïîäðåøåòîê â ñîñåäíèõ ñëîÿõ ñ Âàðüèðóåìûé ïàðàìåòð Ýëåêòðîííàÿ ïëîòíîñòü R 1 R 2 G 1 G 2 Ïðîñòàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ (a, 0) (0, √3a) (2π/a, 0) (0, 2π/a√3) a/2 (1, √3) – 1/a2√3 Ïðÿìîóãîëüíàÿ (a, 0) (0, aδ) (2π/a, 0) (0, 2π/aδ) a/2 (1, δ) 1 < δ < √3 1/a2δ Êâàäðàòíàÿ (a, 0) (0, a) (2π/a, 0) (0, 2π/a) a/2 (1, 1) – 1/a2 Ðîìáè÷åñêàÿ (a, 0) a(cos α, sin α) 2π a (1, −ctg α) (0, 2π a sin α ) a 2 (1 + cos α, sin α) π 3 < α < π 2 1 a2 sin α Äâîéíàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ (a, 0) (a/2, a√3/2) 2π a (1, −1/√3 ) (0, 4π/a√3 ) a/2 (1, 1/√3 ) – 2/a2√3 Ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 527 áàâêà ê ýíåðãèè ïðîñòîé ãåêñàãîíàëüíîé ñòðóêòó- ðû íå ïðåâûøàåò 2⋅10−2 (â âûáðàííûõ åäèíèöàõ). Ìèíèìóì ýíåðãèè äîñòèãàåòñÿ ïðè óãëå ìåæäó R1 è îñüþ [100] êðàòíoì 30°. Àáñîëþòíûé ìèíè- ìóì ýíåðãèè ïðÿìîóãîëüíîé ôàçû ñîîòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ îäíîãî èç ýëåìåíòàðíûõ âåêòîðîâ ðåøåòêè âäîëü îñè [100]. Ïðè ìàëûõ η èìåþòñÿ òàêæå ëîêàëüíûå ìèíèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå óã- ëó β ≈ ± 30° ìåæäó R1 è îäíîé èç îñåé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Ïðè óâåëè÷åíèè η ëîêàëüíûå ìèíèìóìû èñ÷åçàþò, à ýíåðãèÿ àíèçîòðîïèè ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò. Ìèíèìóì ýíåðãèè êâàäðàòíîé ôàçû ñîîòâåòñòâóåò îðèåíòàöèè ýëåìåíòàðíûõ âåêòîðîâ ðåøåòêè âäîëü îñåé ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Âåêòîð c ïðè ýòîì îðèåíòèðîâàí âäîëü îäíîé èç îñåé âòî- ðîãî ïîðÿäêà. Òàêàÿ æå îðèåíòàöèÿ âåêòîðà c ñîõðàíÿåòñÿ è â ðîìáè÷åñêîé ôàçå (ïðè èçìåíå- íèè η âåêòîðû R1 , R2 ïëàâíî ïîâîðà÷èâàþòñÿ). Ïåðåõîä â ãåêñàãîíàëüíóþ ôàçó ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà η ñîïðîâîæäàåòñÿ ñêà÷êî- îáðàçíûì èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè âåêòîðîâ R1 è c è ðåçêèì óìåíüøåíèåì ýíåðãèè àíèçîòðîïèè.  ñëó÷àå äâóìåðíûõ ýëåêòðîííûõ ñëîåâ, ïà- ðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòè (0–11), ðàñ÷åò äàåò ñëå- äóþùèå ðåçóëüòàòû. Ìèíèìóì ýíåðãèè ãåêñàãî- íàëüíûõ ñòðóêòóð äîñòèãàåòñÿ ïðè îðèåíòàöèè îäíîãî èç ýëåìåíòàðíûõ âåêòîðîâ ðåøåòêè âäîëü îñè [100]. Ïðè óâåëè÷åíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñëî- Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü àíèçîòðîïíîé ÷àñòè ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé äîáàâêè ê ýíåðãèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ïëîñêîñòè (001) îò íàïðàâëåíèÿ R1 â ïåðåñ÷åòå íà îäèí ýëåê- òðîí â åäèíèöàõ e2χ√n/2ε äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà η: ïðîñòàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ ðåøåòêà è ïðÿìîóãîëüíàÿ ðåøåòêà ïðè ìàëûõ η (à); ïðÿìîóãîëüíàÿ ðåøåòêà ïðè áîëüøèõ η è êâàäðàòíàÿ ðåøåòêà (á); ðîìáè÷åñêàÿ è äâîéíàÿ ãåêñàãîíàëü- íàÿ ðåøåòêè âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà I ðîäà (â). Ðèñ. 3. Àíèçîòðîïíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ïëîñêîñòè (0–11) â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ R1 ïðè ðàç- ëè÷íûõ η: ïðîñòàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ è ïðÿìîóãîëüíàÿ ðåøåòêè (à); êâàäðàòíàÿ ðåøåòêà è ðîìáè÷åñêàÿ ðåøåòêà âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà II ðîäà (á); ðîìáè÷åñêàÿ è äâîéíàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ ðåøåòêè âáëèçè ïåðåõîäà I ðîäà (â). Ä. Â. Ôèëü 528 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 ÿìè è ôîðìèðîâàíèè ïðÿìîóãîëüíîé ñòðóêòóðû âîçíèêàþò äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, îäíî èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîìó ìèíèìóìó (R1 íàïðàâëåí âäîëü îñè [100]), à äðóãîå — ãëîáàëüíîìó ìèíèìóìó (R1 íàïðàâëåí ïîä óãëîì β ≈ 60° ê îñè [100] ëèáî [–100]). Âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà â êâàäðàòíóþ ôàçó ëîêàëüíûé ìèíèìóì èñ÷åçàåò è ïðîèñõîäèò áûñòðàÿ ïåðåîðèåíòàöèÿ ýëåêòðîííîé ðåøåòêè. Ýíåðãèÿ êâàäðàòíîé ôàçû ìèíèìàëüíà ïðè íàïðàâëåíèè îäíîãî èç ýëåìåí- òàðíûõ âåêòîðîâ ðåøåòêè ïîä óãëîì β = 45° ê îñè [100], ò.å. âåêòîðó c, ïàðàëëåëüíîìó îñè [100] ëèáî [011]. Ïîñëå ïåðåõîäà â ðîìáè÷åñêóþ ôàçó íàïðàâëåíèå âåêòîðà c, ïàðàëëåëüíîå îñè [011], ñîîòâåòñòâóåò ãëîáàëüíîìó, à ïàðàëëåëüíîå îñè [100] — ëîêàëüíîìó ìèíèìóìàì. Ïðè óâåëè÷åíèè η ëîêàëüíûé ìèíèìóì ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâà, ñîîò- âåòñòâóþùèõ íàïðàâëåíèþ âåêòîðà c ïîä óãëîì ± β (β < 30°) ê ýòîé îñè. Ïðè ïåðåõîäå â äâîéíóþ ãåêñàãîíàëüíóþ ôàçó âñå òðè ìèíèìóìà ñòàíîâÿò- ñÿ pàâíûìè (îðèåíòàöèÿ R1 ïðè òàêîì ïåðåõîäå èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì).  äâóõñëîéíîé ñòðóêòóðå, ðàñïîëîæåííîé ïà- ðàëëåëüíî ïëîñêîñòè (111), ìèíèìóì ýíåðãèè ïðîñòîé ãåêñàãîíàëüíîé è ïðÿìîóãîëüíîé ôàç ñî- îòâåòñòâóåò íàïðàâëåíèþ R1 ïîä óãëîì β = 30° ê îäíîé èç ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè (111) îñåé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðè ïðèáëèæåíèè ê òî÷êå ïåðåõîäà â êâàäðàòíóþ ôàçó âêëàä àíèçîòðîïíîé äîáàâêè ðåçêî óìåíüøàåòñÿ. Âáëèçè òî÷êè ïåðåõîäà ïðî- èñõîäèò ðåçêàÿ ïåðåîðèåíòàöèÿ. Äëÿ êâàäðàòíîé ôàçû ìèíèìóì ýíåðãèè äîñòèãàåòñÿ ïðè íàïðàâëå- íèè R1 ïîä óãëîì β = ± 15° ê îäíîé èç îñåé âòîðî- ãî ïîðÿäêà. Ïðè ïåðåõîäå â ðîìáè÷åñêóþ ôàçó àíèçîòðîïèÿ ñíîâà âîçðàñòàåò. Ýíåðãèÿ ðîìáè÷åñ- êîé ôàçû ìèíèìàëüíà â ñëó÷àå, êîãäà âåêòîð c îðèåíòèðîâàí âäîëü îäíîé èç îñåé âòîðîãî ïîðÿä- êà. Ïðè ïåðåõîäå â äâîéíóþ ãåêñàãîíàëüíóþ ôàçó îðèåíòàöèÿ âåêòîðà ñ ìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì — oí íåñêîëüêî îòêëîíÿåòñÿ îò îñè âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàìåòèì, ÷òî â äâîéíîé ãåêñàãîíàëüíîé ôàçå íàè- áîëåå ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíàÿ îðèåíòàöèÿ âåêòî- ðîâ ðåøåòêè îòëè÷àåòñÿ îò ñëó÷àÿ ïðîñòîé ãåêñà- ãîíàëüíîé ôàçû. Ïîñëåäíåå ñâÿçàíî ñ îòñóòñòâèåì öåíòðà èíâåðñèè â äâîéíîé ãåêñàãîíàëüíîé ñòðóê- òóðå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî îðè- åíòàöèÿ äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé ìàòðèöå îïðåäåëÿåòñÿ ïëîñ- êîñòüþ, â êîòîðîé ðàñïîëîæåíû ýëåêòðîííûå ñëîè, òèïîì ýëåêòðîííîé ðåøåòêè è çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà η. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ñêà÷êîîá- ðàçíûé õàðàêòåð ïåðåîðèåíòàöèè íàáëþäàåòñÿ íå òîëüêî ïpè ïåðåõîäå èç ðîìáè÷åñêîé â äâóõñëîé- íóþ ãåêñàãîíàëüíóþ ôàçó (ýòî îæèäàåìûé ýô- ôåêò, ïîñêîëüêó îí ñîïðîâîæäàåò ïåðåõîä ïåðâî- ãî ðîäà). Î÷åíü áûñòðàÿ ïåðåîðèåíòàöèÿ èìååò ìåñòî è ïðè ïåðåõîäå âòîðîãî ðîäà èç ïðÿìîóãîëü- íîé â êâàäðàòíóþ ôàçó. Âåëè÷èíà ýíåðãèè àíèçîòðîïèè îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì χ, êîòîðûé â GaAs ïîðÿäêà 2⋅10−4. Õàðàêòåðíàÿ ðàçíèöà ìåæäó êóëîíîâñêîé ýíåð- ãèåé ðàçëè÷íûõ ôàç â ïåðåñ÷åòå íà îäèí ýëåêòðîí ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10−2e2√n/ε [7,8], ò.å., ñîãëàñíî ïðèâåäåííûì ðåçóëüòàòàì, â ðàñ- ñìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ïüåçîýëåêòðè÷åñêîå âçàè- ìîäåéñòâèå ïðèìåðíî íà äâà ïîðÿäêà ìåíüøå è, ñëåäîâàòåëüíî, îíî ñëàáî âëèÿåò íà ôàçîâóþ äèà- Ðèñ. 4. Àíèçîòðîïíàÿ ÷àñòü ýíåðãèè âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ïëîñêîñòè (111) â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ R1 ïðè ðàç- ëè÷íûõ η: ïðîñòàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ è ïðÿìîóãîëüíàÿ ðåøåòêè (à); ïðÿìîóãîëüíàÿ è ðîìáè÷åñêàÿ ðåøåòêè âáëèçè ïåðåõîäîâ II ðîäà è êâàäðàòíàÿ ðåøåòêà (á); ðîìáè÷åñêàÿ è äâîéíàÿ ãåêñàãîíàëüíàÿ ðåøåòêè (â). Ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 529 ãðàììó, à îïðåäåëÿåò ëèøü îðèåíòàöèþ ýëåêòðîí- íîãî êðèñòàëëà. Òåì íå ìåíåå â äðóãèõ ñèñòåìàõ, â êîòîðûõ çíà÷åíèå ïüåçîýëåêòðè÷åñêîãî ìîäóëÿ áîëüøå, ìîæíî îæèäàòü êîðåííîé ïåðåñòðîéêè ôàçîâîé êàðòèíû. Òàêèå ýôôåêòû ïðèìåíèòåëüíî ê ìîíîñëîéíûì ñèñòåìàì îáñóæäàëèñü â ðàáîòå [4]. Ðàññìîòðåííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîäõîä ïîçâîëÿåò äåòàëüíî èçó÷èòü òàêóþ âîçìîæíîñòü â ñëó÷àå äâóõñëîéíûõ ýëåêòðîííûõ êðèñòàëëîâ. Ïðèëîæåíèå Ïðåîáðàçóåì ê áûñòðî ñõîäÿùåìóñÿ âèäó âû- ðàæåíèå S±m = ∑ R≠0 e±imψ R R , (Ï.1) ãäå m > 0. Ââåäåì ôóíêöèþ T±m (r, q) = e−iqr ∑ R eiq(R+r)±imψ r+R |r + R| − e±imψ r r (Ï.2) òàêóþ, ÷òî S±m = lim r→0,q→0 T±m (r, q) . (Ï.3) Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì γ[(m + 1)/2, x] + Γ[(m + 1)/2, x] Γ[(m + 1)/2] ≡ 1 . (Ï.4) Ñ ó÷åòîì (Ï.4) âåëè÷èíó T±m ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñóììû T±m (r, q) = T±m,1(r, q) + T±m,2(r, q) , (Ï.5) ãäå T±m,1(r, q) = ∑ R≠0 eiqR±imψ r+R |r + R| Γ[(m + 1)/2, πn|r + R|2] Γ[(m + 1)/2] − − e±imψ r r γ[(m + 1)/2, πnr2] Γ[(m + 1)/2] , (Ï.6) T±m,2(r, q) = = e−iqr ∑ R eiq(r+R)±imψ r+R |r + R| γ[(m + 1)/2, πn|r + R|2] Γ[(m + 1)/2] . (Ï.7) Çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (Ï.6) çàíóëÿ- åòñÿ â ïðåäåëå r → 0. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ T±m,2 ïîäñòàâèì â (Ï.7) îïðåäåëåíèå ôóíêöèè γ(α, x): T±m,2(r, q) = 2 Γ[(m + 1)/2] e−iqr ∫ 0 √πn dξξm × × ∑ R |r + R|m exp   iq(r + R) ± imψr+R − ξ2|r + R|2  . (Ï.8) Ðàçëàãàÿ (Ï.8) â ðÿä Ôóðüå ïî âåêòîðàì îáðàò- íîé ðåøåòêè, èìååì T±m,2(r, q) = 2n Γ[(m + 1)/2] ∑ G e−i(q+G)r × × ∫ 0 √πn dξξm ∫ d2ρρρm exp   iρρ(q + G) ± imψρρ − ξ2ρ2  . (Ï.9) Âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë ïî ρρ, íàõîäèì T±m,2(r, q) = im 2πn Γ[(m + 1)/2] ∑ G e−i(q+G)r±imψ q+G × ×    |q + G| 2    m ∫ 0 √πn dξ 1 ξm+2 exp    − |q + G|2 4ξ2    . (Ï.10) Èñïîëüçóÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = |q + G|/2t, ïðèõîäèì ê âèäó T±m,2(r, q) = im 2πn Γ[(m + 1)/2] ∑ G e−i(q+G)r±imψ q+G × × 1 |q + G| Γ    m + 1 2 , |q + G|2 4πn    . (Ï.11) Ïîäñòàâëÿÿ â (12) ôîðìóëû (Ï.1), (Ï.3), (Ï.7), (Ï.11) è ââîäÿ ôóíêöèþ (17), ïðèõîäèì ê óðàâ- íåíèþ (15). ×ëåí ñ G = 0 â (Ï.11) âûïàäàåò, ïîñêîëüêó îí ñîêðàùàåòñÿ ñ âíóòðèñëîéíûì âçàè- ìîäåéñòâèåì ñ ïîëîæèòåëüíûì êîìïåíñèðóþùèì ôîíîì, âõîäÿùèì â Ean BG . Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåòñÿ ñóììà Sl,±m = ∑ R dl |R + c|m e±imψ R+c (|R + c|2 + d2)(l+m+1)/2 . (Ï.12) Ïðè ýòîì òàêæå èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî (Ï.4) ñ çàìåíîé â íåì m íà m + l. Èìååì Ä. Â. Ôèëü 530 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 Sl,±m = Tl,±m,1(0, 0) + lim r→0,q→0 Tl,±m,2(r, q) , (Ï.13) ãäå Tl,±m,1(0, 0) = ∑ R dl |R + c|m e±imψ R+c (|R + c|2 + d2)(l+m+1)/2 × × Γ [(l + m + 1)/2, πn(|R + c|2 + d2)] Γ [(l + m + 1)/2] . (Ï.14) Âåëè÷èíà Tl,±m,2(r, q) ïîñëå ïåðåõîäà ê ñóììè- ðîâàíèþ ïî G è âûïîëíåíèþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ρρ ñâîäèòñÿ ê âèäó Tl,±m,2(r, q) = im 2πn Γ[(l + m + 1)/2] × × ∑ G exp   −iGc−i(q+G)r±imψq+G   dl × ×    |q + G| 2    m ∫ 0 √πn dξξl−m−2 exp    − ξ2d2 − |q + G|2 4ξ2    . (Ï.15) Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà â (Ï.15) äàåò Tl,±m,2(r, q) = = im πn Γ[(l + m + 1)/2] ∑ G e−iGc−i(q+G)r±imψ q+G × × 1 |q + G| ∑ s=0 N(l,m) CN(l,m)+s 2s    |q + G|d 2    (m+l−2s)/2 × ×   e−|q+G|d   Γ   s + 1 2    − sgn (f−) γ   s + 1 2 , f− 2      + + (−1)(l+m−2s)/2 e|q+G|d Γ   s + 1 2 , f+ 2      , (Ï.16) ãäå f± = |q + G| 2 √πn ± √πn d , (Ï.17) N(l, m) = max    m − l 2 , l − m − 2 2    . (Ï.18) Ïðè âûâîäå (Ï.16) ó÷òåíî òî, ÷òî â ðàññìàòðè- âàåìîé çàäà÷å ïàðàìåòðû l è m èìåþò îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü. Ñëàãàåìîå ñ G = 0 â (Ï.16) êîìïåíñèðó- åòñÿ âçàèìîäåéñòâèåì ñ ïîëîæèòåëüíûì ôîíîì ñîñåäíåãî ñëîÿ. Èñïîëüçóÿ (Ï.13), (Ï.14), (Ï.16), ìîæíî çàïèñàòü âêëàä ìåæñëîéíîãî âçàèìîäåéñò- âèÿ â ôîðìå (16). 1. L. Brey, H. A. Fertig, R. Cote, and A. H. McDonald, Phys. Rev. Lett. 75, 2562 (1995). 2. A. A. Koulakov, M. M. Fogler, and B. I. Shklovskii, Phys. Rev. Lett. 76, 499 (1996); M. M. Fogler, A. A. Koulakov, and B. I. Shklovskii, Phys. Rev. B54, 1853 (1996). 3. M. P. Lilly, K. B. Cooper, J. P. Eisenstein, L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Phys. Rev. Lett. 82, 394 (1999); R. R. Du, D. C. Tsui, H. L. Stormer, L. N. Pfeiffer, and K. W. West, Solid State Commun. 109, 389 (1999). 4. Ý. È. Ðàøáà, Å. ß. Øåðìàí, ÔÒÏ 21, 1957 (1987). 5. E. Ya. Sherman, Phys. Rev. B52, 1512 (1995). 6. Ä. Â. Ôèëü, ÔÍÒ 26, 792 (2000). 7. L. Bonsall and A. A. Maradudin, Phys. Rev. B15, 1959 (1977). 8. G. Goldoni and F. M. Peeters, Phys. Rev. B53, 4591 (1996). 9. I. V. Schweigert, V. A. Schweigert, and F. M. Peeters, Phys. Rev. Lett. 82, 5293 (1999). 10. I. V. Schweigert, V. A. Schweigert, and F. M. Peeters, Phys. Rev. B60, 14665 (1999). 11. L. Zheng and H. A. Fertig, Phys. Rev. B52, 12282 (1995). 12. S. Narasimhan and T. L. Ho, Phys. Rev. B52, 12291 (1995). 13. Þ. Ì. Âèëüê, Þ. Ï. Ìîíàðõà, ÔÍÒ 10, 886 (1984). 14. Þ. Ì. Âèëüê, Þ. Ï. Ìîíàðõà, ÔÍÒ 11, 971 (1985). The piezoelectric mechanism of orientation of a double layer Wigner crystal in the GaAs host matrix D. V. Fil The mechanism of orientation of double layer classical Wigner crystals in a piezoelectric medium is considered. For the GaAs system a correction to the electrostatic interaction between electrons caused by the piezoelectric effect is calculated. It is shown that this correction results in a dependence of the total energy of the electron crystal on its orientation relative to the crystallography axes of the host ma- trix. The Ewald method is generalized for the calcu- cation of the anisotropic interaction between elec- trons in a Wigner crystal. This method is used to calculate the energy of the double layer Wigner crystals versus their orientation and the interlayer distance in the electron layers parallel to the (001), (0–11) and (111) crystallographic planes. The most energetically preferable orientation of all types of the double layer electron lattices is found. It is shown that in the double layer Wigner crystal the phase transitions between the structures of different lattice symmetry may be accompanied by a change of their orientation. Ïüåçîýëåêòðè÷åñêèé ìåõàíèçì îðèåíòàöèè äâóõñëîéíîãî âèãíåðîâñêîãî êðèñòàëëà â ìàòðèöå GaAs Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 5 531

Схожі ресурси