Солитоны в упругих пластинах
Исследована нелинейная динамика упругих сдвиговых волн в пластине при учете взаимодействия сдвиговой компоненты смещений с малоамплитудными сагиттальными компонентами. Выведены нелинейные эволюционные уравнения для поля сдвиговых смещений. Эти уравнения содержат дополнительные нелинейные дисперсионн...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128710 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Солитоны в упругих пластинах / А.С. Ковалев, А.П. Майер, Е.С. Соколова, К. Экль // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 10. — С. 1092-1102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128710 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1287102018-01-14T03:03:50Z Солитоны в упругих пластинах Ковалев, А.С. Майер, А.П. Соколова, Е.С. Экль, К. Динамика кристаллической решетки Исследована нелинейная динамика упругих сдвиговых волн в пластине при учете взаимодействия сдвиговой компоненты смещений с малоамплитудными сагиттальными компонентами. Выведены нелинейные эволюционные уравнения для поля сдвиговых смещений. Эти уравнения содержат дополнительные нелинейные дисперсионные члены, возникающие из-за взаимодействия со смещениями в сагиттальной плоскости. Изучены солитонные решения полученных уравнений и обсуждена возможность существования экзотических солитонов типа компактонов и пиконов. Досліджено нелінійну динаміку пружніх зсувних хвиль в пластині з урахуванням взаємодії зсувної компоненти зміщень з малоамплітудними сагіттальними компонентами. Виведено нелінійні еволюційні рівняння для поля зсувних зміщень. Ці рівняння містять додаткові нелінійні дисперсійні члени, що виникають через взаємодію зі зміщеннями в сагіттальній площині. Вивчено солітонні розв язки отриманих рівнянь та обговорено можливість існування екзотичних солітонів типу компактонів і пиконів. The nonlinear dynamics of elastic shear waves is investigated taking into account the interaction of the shear component of the displacements with low-amplitude sagittal components. Nonlinear evolutionary equations are derived for the shear-displacement field. These equations contain additional nonlinear dispersion terms due to the interaction with displacements in the sagittal plane. The soliton solutions of the equations obtained are studied and the possibility of the existence of exotic solitons—compactons and peakons—is discussed. 2002 Article Солитоны в упругих пластинах / А.С. Ковалев, А.П. Майер, Е.С. Соколова, К. Экль // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 10. — С. 1092-1102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 43.25.+y, 68.35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128710 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Ковалев, А.С. Майер, А.П. Соколова, Е.С. Экль, К. Солитоны в упругих пластинах Физика низких температур |
| description |
Исследована нелинейная динамика упругих сдвиговых волн в пластине при учете взаимодействия сдвиговой компоненты смещений с малоамплитудными сагиттальными компонентами. Выведены нелинейные эволюционные уравнения для поля сдвиговых смещений. Эти уравнения содержат дополнительные нелинейные дисперсионные члены, возникающие из-за взаимодействия со смещениями в сагиттальной плоскости. Изучены солитонные решения полученных уравнений и обсуждена возможность существования экзотических солитонов типа компактонов и пиконов. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Майер, А.П. Соколова, Е.С. Экль, К. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Майер, А.П. Соколова, Е.С. Экль, К. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Солитоны в упругих пластинах |
| title_short |
Солитоны в упругих пластинах |
| title_full |
Солитоны в упругих пластинах |
| title_fullStr |
Солитоны в упругих пластинах |
| title_full_unstemmed |
Солитоны в упругих пластинах |
| title_sort |
солитоны в упругих пластинах |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128710 |
| citation_txt |
Солитоны в упругих пластинах / А.С. Ковалев, А.П. Майер, Е.С. Соколова, К. Экль // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 10. — С. 1092-1102. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas solitonyvuprugihplastinah AT majerap solitonyvuprugihplastinah AT sokolovaes solitonyvuprugihplastinah AT éklʹk solitonyvuprugihplastinah |
| first_indexed |
2025-07-09T09:44:09Z |
| last_indexed |
2025-07-09T09:44:09Z |
| _version_ |
1837162039688036352 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10, ñ. 1092–1102
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
À. Ñ. Êîâàëåâ1, À. Ï. Ìàéåð2, Å. Ñ. Ñîêîëîâà1, Ê. Ýêëü2
1Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á. È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
2Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè Ðåãåíñáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà
ã. Ðåãåíñáóðã, 93040, Ãåðìàíèÿ
Còàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13 ôåâðàëÿ 2002 ã.
Èññëåäîâàíà íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà óïðóãèõ ñäâèãîâûõ âîëí â ïëàñòèíå ïðè ó÷åòå
âçàèìîäåéñòâèÿ ñäâèãîâîé êîìïîíåíòû ñìåùåíèé ñ ìàëîàìïëèòóäíûìè ñàãèòòàëüíûìè
êîìïîíåíòàìè. Âûâåäåíû íåëèíåéíûå ýâîëþöèîííûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëÿ ñäâèãîâûõ
ñìåùåíèé. Ýòè óðàâíåíèÿ ñîäåðæàò äîïîëíèòåëüíûå íåëèíåéíûå äèñïåðñèîííûå ÷ëåíû,
âîçíèêàþùèå èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñî ñìåùåíèÿìè â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè. Èçó÷åíû
ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé è îáñóæäåíà âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ
ýêçîòè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ òèïà êîìïàêòîíîâ è ïèêîíîâ.
Äîñë³äæåíî íåë³í³éíó äèíàì³êó ïðóæí³õ çñóâíèõ õâèëü â ïëàñòèí³ ç óðàõóâàííÿì
âçàºìî䳿 çñóâíî¿ êîìïîíåíòè çì³ùåíü ç ìàëîàìïë³òóäíèìè ñàã³òòàëüíèìè êîìïîíåíòàìè.
Âèâåäåíî íåë³í³éí³ åâîëþö³éí³ ð³âíÿííÿ äëÿ ïîëÿ çñóâíèõ çì³ùåíü. Ö³ ð³âíÿííÿ ì³ñòÿòü
äîäàòêîâ³ íåë³í³éí³ äèñïåðñ³éí³ ÷ëåíè, ùî âèíèêàþòü ÷åðåç âçàºìîä³þ ç³ çì³ùåííÿìè â
ñàã³òòàëüí³é ïëîùèí³. Âèâ÷åíî ñîë³òîíí³ ðîçâ’ÿçêè îòðèìàíèõ ð³âíÿíü òà îáãîâîðåíî
ìîæëèâ³ñòü ³ñíóâàííÿ åêçîòè÷íèõ ñîë³òîí³â òèïó êîìïàêòîí³â ³ ïèêîí³â.
PACS: 43.25.+y, 68.35.–p.
Ââåäåíèå
Ñóùåñòâîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ è ëîêàëèçîâàí-
íûõ íåëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ âîëí îáû÷íî ñâÿ-
çûâàåòñÿ ñ êîíêóðåíöèåé äâóõ îáñòîÿòåëüñòâ: íå-
ëèíåéíîñòüþ ñèñòåìû è äèñïåðñèåé ëèíåéíûõ
âîëí. Â ïîñëåäíåå âðåìÿ ðîëü äèñïåðñèè òùà-
òåëüíî èññëåäîâàëàñü, â ðåçóëüòàòå áûëî ïðîäå-
ìîíñòðèðîâàíî, ÷òî â ñëàáî äèñïåðãèðóþùèõ ñðå-
äàõ ó÷åò íåëèíåéíîé äèñïåðñèè ïðèâîäèò ê
ñóùåñòâîâàíèþ íîâûõ òèïîâ ñîëèòîíîâ: «êîìïàê-
òîíîâ» è «ïèêîíîâ». Âïåðâûå òàêèå âîçáóæäåíèÿ
îáñóæäàëèñü ïðèìåíèòåëüíî ê ìàãíåòèêàì [1]
(ñì. òàêæå [7–9]), ïîçæå â ãèäðîäèíàìèêå [2–4]
è òåîðèè óïðóãîñòè [5,6].
 òåîðèè óïðóãîñòè èññëåäîâàíèå íåëèíåéíîé
äèíàìèêè óïðóãèõ âîëí â îäíîìåðíûõ ñèñòåìàõ
òðàäèöèîííî ïðîâîäèòñÿ â ðàìêàõ óðàâíåíèÿ
Áóññèíåñêà (äëÿ ïðîäîëüíûõ âîëí)
� � �v v a v vtt xx xxxx x x� � � �0 0
2
0
2 0~ ( )� (1)
èëè ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà
(äëÿ ïîïåðå÷íûõ âîëí)
� � �u u a u utt xx xxxx x x� � � �1 1
2
1
3 0~ ( )� ,
ãäå � i è � i — ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå óïðóãèå ìî-
äóëè , ~� � �� i è a — ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè [10]. Â
ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèÿõ âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
âäîëü íàïðàâëåíèÿ x (âäîëü óïðóãîé öåïî÷êè),
v x( ) — x-êîìïîíåíòà è u z( ) — z-êîìïîíåíòà ñìå-
ùåíèé. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ó÷åò íåëèíåéíîñòè
âîëí (àíãàðìîíè÷åñêèå ñëàãàåìûå â (1), (2)) è èõ
äèñïåðñèè (ñëàãàåìûå ñ ÷åòâåðòûìè ïðîñòðàíñòâåí-
íûìè ïðîèçâîäíûìè â (1), (2)) ïðèâîäèò ê ñóùåñò-
âîâàíèþ ïðîñòðàíñòâåííî ëîêàëèçîâàííûõ âîëí—
ñîëèòîíîâ. Â ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðàõ ñîëèòî-
íû èìåþò âèä íåëèíåéíûõ ëîêàëèçîâàííûõ âîëí
ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ v v x ct� �( ), u u x ct� �( ).
Ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà ñóùå-
ñòâóþò ïðè ëþáîì çíàêå äèñïåðñèè (~�0) è íåëèíåé-
íîñòè (�0).  ñëó÷àå ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíå-
© À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü, 2002
íèÿ Áóññèíåñêà ñîëèòîíû ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè
óñëîâèè ~�1 1 0� � . Ðåàëüíî â áîëüøèíñòâå ôèçè÷å-
ñêèõ ñèñòåì äèñïåðñèÿ îáû÷íî èìååò îïðåäåëåííûé
çíàê (~�1 0� ) è íåëèíåéíîñòü ñäâèãîâûõ âîëí —
«ìÿãêàÿ» (�1 0 ), ò.å. èìååò ìåñòî îáðàòíîå íåðà-
âåíñòâî ~�1 1 0� . Áîëåå òîãî, â ðåàëüíûõ êðèñòàë-
ëàõ ñîáñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ëèíåéíûõ âîëí ïðåíåá-
ðåæèìî ìàëà è â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè
òåîðèè óïðóãîñòè, êàê ïðàâèëî, íå ó÷èòûâàåòñÿ
[11]. Ÿ ó÷åò ïðèâîäèò ê òåîðåòè÷åñêîé âîçìîæíî-
ñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ, íî ñòàöèîíàðíûå íå-
ëèíåéíûå âîëíû ïðè ýòîì ôîðìèðóþòñÿ íà áîëü-
øèõ âðåìåíàõ, êîãäà óæå íåîáõîäèìûì ñòàíîâèòñÿ
ó÷åò çàòóõàíèÿ âîëíû.
 ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûõ óïðóãèõ âîëí èõ äèñ-
ïåðñèÿ ìîæåò áûòü ñóùåñòâåííî óâåëè÷åíà ïðè
ïîêðûòèè ïîâåðõíîñòè óïðóãîé ñðåäû ïëåíêîé
äðóãîãî ìàòåðèàëà (ñäâèãîâûå ïîâåðõíîñòíûå
âîëíû Ëÿâà [12] èëè ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ
ïîêðûòèåì [13]).  ñëó÷àå óïðóãèõ âîëí â ïëà-
ñòèíå äàæå ñ èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ (áåç ïî-
êðûòèÿ) âîëíû Ðýëåÿ–Ëýìáà (ÐË) è âûñøèå âåò-
âè ñäâèãîâûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí òàêæå èìåþò
ñèëüíóþ äèñïåðñèþ [12]. Â ïðèâåäåííûõ âûøå
ïðèìåðàõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí Ëÿâà â ïîëóïðî-
ñòðàíñòâå è âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà â ïëàñòèíàõ äèñ-
ïåðñèîííîå ñîîòíîøåíèå â äëèííîâîëíîâîì ïðè-
áëèæåíèè èìååò âèä
2 2 2 2 21� �c k bh k( ), (3)
ãäå c — ñêîðîñòü çâóêà ñîîòâåòñòâóþùåé âîëíû,
h — òîëùèíà ïîêðûòèÿ èëè ïëàñòèíû è b — êîí-
ñòàíòà ïîðÿäêà åäèíèöû. Çàêîí äèñïåðñèè ëèíåé-
íûõ âîëí â ðàìêàõ îáû÷íîãî ìîäèôèöèðîâàííîãî
óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ
(3) çàìåíîé h íà ïîñòîÿííóþ ðåøåòêè a. Òàêèì
îáðàçîì, íàëè÷èå ïëåíêè ñ òîëùèíîé ñóùåñòâåí-
íî áîëüøåé ìîíîàòîìíîé èëè êîíå÷íîé òîëùèíû
ïëàñòèíû ïðèâîäÿò ê óâåëè÷åíèþ äèñïåðñèè â
ìåðó áîëüøîãî ïàðàìåòðà ( )h a 2 1�� . Ïðè òàêèõ
óñëîâèÿõ ôîðìèðîâàíèå íåëèíåéíîé âîëíû ñòà-
öèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî
íàáëþäàåìûì ýôôåêòîì [14].
Òåîðåòè÷åñêè íåëèíåéíûå óïðóãèå ïîâåðõíîñò-
íûå âîëíû è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû áûëè èññëå-
äîâàíû â [15–19]. Ðàñïðîñòðàíåíèå íåëèíåéíûõ
âîëí â óïðóãîé ïëàñòèíå îáñóæäàëîñü â [20,21]. Â
[20] àâòîðû èçó÷èëè ÷èñòî ñäâèãîâûå âîëíû â óï-
ðóãîé ïëàñòèíå è ïîêàçàëè, ÷òî ó÷åò íåîäíîðîäíî-
ñòè âîëíû ïî òîëùèíå ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê âîç-
ìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ. Â [21] áûëî
ó÷òåíî âëèÿíèå ñàãèòòàëüíûõ êîìïîíåíò íà ïåðèî-
äè÷åñêèå ñäâèãîâûå íåëèíåéíûå âîëíû â òàêîé æå
ïëàñòèíå è óêàçàíî íà ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå
ðàçíûõ êîìïîíåíò ñìåùåíèé.
Íèæå ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ðàñïðîñòðàíå-
íèè ïî÷òè ïîïåðå÷íûõ ãîðèçîíòàëüíûõ ñäâèãî-
âûõ íåëèíåéíûõ âîëí è ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîëèòî-
íîâ â òîíêîé óïðóãîé ïëàcòèíå êîíå÷íîé
òîëùèíû.  áåñêîíå÷íî òîíêîé ïëåíêå åå èçãèá-
íàÿ æåñòêîñòü îòñóòñòâóåò, è âîçìîæíû ëèøü óï-
ðóãèå ñìåùåíèÿ â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ â ïëîñêîñòè
ïëåíêè. Âîçíèêàþùåå âçàèìîäåéñòâèå ýòèõ êîì-
ïîíåíò ñìåùåíèé ïðèâîäèò ëèøü ê èçìåíåíèþ
ñêîðîñòè ïðîäîëüíûõ âîëí è ïåðåíîðìèðîâêå
(óâåëè÷åíèþ) êîíñòàíòû �1 â óðàâíåíèè (2), ïî-
ñêîëüêó ñîáñòâåííàÿ äèñïåðñèÿ ïðîäîëüíûõ
âîëí, êàê è ïîïåðå÷íûõ — íåçíà÷èòåëüíà. Èíà÷å
îáñòîèò äåëî â ïëàñòèíå êîíå÷íîé òîëùèíû, ãäå
îòëè÷íû îò íóëÿ âñå òðè êîìïîíåíòû ñìåùåíèé.
Ïðè ýòîì âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàå-
ìûõ âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà ñ êîìïîíåíòàìè ñìåùå-
íèé â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè, îáëàäàþùèõ ñèëü-
íîé äèñïåðñèåé. Íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå
ñäâèãîâîé âîëíû ñ ýòèìè âîëíàìè ïðèâîäèò ê
óâåëè÷åíèþ äèñïåðñèè è ñäâèãîâîé ãîðèçîíòàëü-
íîé âîëíû. Íî ýòà äèñïåðñèÿ íîñèò íåëèíåéíûé
õàðàêòåð è ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ïðîôèëü ñîëè-
òîííûõ ðåøåíèé ìîæåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòüñÿ,
è ñîëèòîíû ïðèìóò ýêçîòè÷åñêóþ ôîðìó êîìïàê-
òîíîâ è ïèêîíîâ. Âêëþ÷åíèå â ðàññìîòðåíèå ìà-
ëûõ ñìåùåíèé â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè âàæíî è
ñ äðóãîé ñòîðîíû. Êàê áóäåò ïîêàçàíî, ÷èñòî
ñäâèãîâûå âîëíû íåóñòîé÷èâû îòíîñèòåëüíî èç-
ëó÷åíèÿ âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà, è ýòî âçàèìîäåéñòâèå
âîëí ðàçíîé ïîëÿðèçàöèè íîñèò íåëèíåéíûé õà-
ðàêòåð.
1. Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè è âûâîä îñíîâíûõ
äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé
Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå íåëèíåéíûõ óï-
ðóãèõ âîëí â ñëåäóþùåé ãåîìåòðèè: íåîãðàíè÷åí-
íàÿ â X- è Y-íàïðàâëåíèÿõ óïðóãàÿ ïëàñòèíà êî-
íå÷íîé òîëùèíû 2h çàíèìàåò îáúåì –h z h� � .
Âîëíà îäíîðîäíà âäîëü íàïðàâëåíèÿ Y è ðàñïðî-
ñòðàíÿåòñÿ âäîëü îñè X (ðèñ. 1). Îáîçíà÷èì ÷å-
ðåç
u u x z t v u x z t w u x z ty x z� � �( ) ( ) ( )( , , ), ( , , ), ( , , ),
(4)
ñîîòâåòñòâåííî ãîðèçîíòàëüíîå ñäâèãîâîå ñìåùå-
íèå u y( ) è ñìåùåíèÿ â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè
u x( ) è u z( ).
 ñëó÷àå êðèñòàëëà ñ êóáè÷åñêîé ñèììåòðèåé â
ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïëîòíîñòü ýíåðãèè
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10 1093
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
(ïðè ó÷eòå îäíîðîäíîñòè ñìåùåíèé âäîëü íàïðàâ-
ëåíèÿ Y) ðàâíà:
F c v w
c u u v w c v w
x z
x z z x x z
0 11
2 2
44
2 2 2
12
1
2
1
2
� � �
� � � � �
( )
[ ( ) ] , (5)
ãäå íèæíèå èíäåêñû ó êîìïîíåíò ñìåùåíèÿ îáî-
çíà÷àþò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåé
êîîðäèíàòå è â îáîçíà÷åíèÿõ [11]: c xxxx11 � � ,
c cxxyy xyxy12 44� �� �, .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ íåëè-
íåéíàÿ âîëíà èìååò â îñíîâíîì ãîðèçîíòàëüíóþ
ñäâèãîâóþ ïîëÿðèçàöèþ, ò.å. u v w�� , , è ïåðåìå-
ùàåòñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ëè-
íåéíûõ ñäâèãîâûõ âîëí. Ïîýòîìó ìû ó÷òåì ñîá-
ñòâåííóþ äèñïåðñèþ âîëíû òîëüêî äëÿ ýòîé
êîìïîíåíòû ñìåùåíèé:
F
a
A u u
a
Buxx zz xzdis � � � �
2
2 2
2
2
2 2
( ) (6)
(â êóáè÷åñêîì êðèñòàëëå ïðè âçàèìîäåéñòâèè
ëèøü áëèæàéøèõ ñîñåäåé B � 0 è A ñ� 44 12).
Àíãàðìîíè÷åñêàÿ ÷àñòü ñâîáîäíîé ýíåðãèè ìî-
æåò áûòü ïðèáëèæåííî çàïèñàíà (ïðè òåõ æå óñ-
ëîâèÿõ u v w�� , è
�y 0) êàê â [19]:
F s u v u w
s u w u v
x x z z
x z z x
an � � �
� �
1
2
1
2
112121
2 2
332121
2 2
( )
( ) �
� � �s v w u u s uz x x z x132123 21212121
41
24
( ) . (7)
Íèæå ìû óáåäèìñÿ, ÷òî â ìàëîàìïëèòóäíûõ
ñäâèãîâûõ ñîëèòîíàõ, äâèæóùèõñÿ ñî ñêîðîñòÿ-
ìè c, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ïîïåðå÷íûõ âîëí ct ,
àìïëèòóäà è îáëàñòü ëîêàëèçàöèè â íàïðàâëåíèè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ìàëûì ïàðàìåò-
ðîì � �� � � 1 12
c ct . Ïðè ýòîì u ~ ,1 v w~ ~ ,�
x z~ ~ �, è âñå ñëàãàåìûå, ó÷òåííûå â ôîð-
ìóëå (7), èìåþò ïîðÿäîê ìàëîñòè �2. Îòáðîøåí-
íûå àíãàðìîíè÷åñêèå ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå
òðîéíûå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ îò ôóíêöèé
v x z( , ) è w x z( , ), èìåþò ïîðÿäîê ìàëîñòè �3.
Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå
ïîëíîé ýíåðãèè F F F F� � �0 dis an , ñ òîé æå ñòå-
ïåíüþ òî÷íîñòè èìåþò âèä
�u c u u Aa u utt xx zz xxxx zzzz� � � � �44
2( ) ( )
� � �
� �
s u v u w
s u v u w
x x x z z z
z z x z x x
112121
132123
(( ) ( ) )
(( ) ( ) � �( )u vx z z
� � � �
�
( ) ) (( ) ( ) )
(
u w s u w u v
s u
x x z x z x z x z
x
332121
21212121
1
6
3 ) ,x (8)
�v c v c v w
c w s u u
s
tt xx zz xz
xz x xx
� � � �
� � �
�
11 44
12 112121
13
( )
2123 332121
21
2
( ) ( ) ,u u s ux z z z x� (9)
�w c w c w v
c v s u u
s
tt zz xx xz
xz z zz
� � � �
� � �
�
11 44
12 112121
13
( )
2123 332121
21
2
( ) ( ) .u u s ux z x x z� (10)
Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü äîïîëíåíû ãðà-
íè÷íûìè óñëîâèÿìè íà ñâîáîäíûõ ïîâåðõíîñòÿõ
ïëàñòèíû z h� � :
c u Aa u s u w
s u v s u v
z zzz z z
z x x
44
2
112121
332121 132123
� � �
� � ( z xw
z h
� �
� �
) ,
,
0 (11)
c v w s u u z hz x x z44 132123 0( ) , ,� � � � � (12)
c w c v s u
s u z h
z x z
x
11 12 112121
2
332121
2
1
2
1
2
0
� � �
� � � �, .
(13)
Íàñ èíòåðåñóþò ðåøåíèÿ, â êîòîðûõ â îñíîâ-
íîì ïðèáëèæåíèè (ïðè v w, � 0) ÷èñòî ñäâèãîâàÿ
âîëíà íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû z. Ïîýòîìó, ïî-
ëàãàÿ u x z u x u x z( , ) ( ) ( , )( ) ( )� �0 1 , ãäå u u( ) ( )1 0 ,
â ñëåäóþùåì ïðèáëèæåíèè ïðè v w u, è ìàëûõ
àíãàðìîíè÷åñêèõ ÷ëåíàõ çàâèñèìîñòü u u z� ( )
ñëåäóåò ó÷èòûâàòü òîëüêî â ëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ
óðàâíåíèé (8)–(13). Ïðè ýòîì äëÿ âîëí ñòàöèî-
íàðíîãî ïðîôèëÿ âèäà u u x ct z� �( , ), v �
� �v x ct z( , ), w w x ct z� �( , ) óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ óïðîùàþòñÿ ñëåäóþùèì îá-
ðàçîì:
1094 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10
À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü
Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
( )
(
( ) ( ) ( )
( )
1
2
2
0 2 0 1
2 1
� � � �
� �
c
c
u Aa u u
Aa u
t
xx xxxx zz
zzzz � u v u w
u v w r u
x x x x z x
x zz xz x x
( ) ( )
( ) ( )
) ( )
( ) ( )
0 0
0 0 3
� �
� � � �
�
� 0, (14)
v v w u uzz xx xz x xx� � � ��� � � ( ) ( )0 0 0, (15)
� � �w w vzz x xz� � � 0, (16)
u Aa u u v w z hz zzz x z x
( ) ( ) ( )( ) , ,1 2 1 0 0� � � � � ��
(17)
v w z hz x� � � �0, , (18)
� �
�
w v u z hz x x� � � � � �( ) , ,( )1
2
00 2 (19)
ãäå � � c c11 44, � � �c c12 44 1, � � �1 2( )c ct , � �
� � � � �1 1 12( ) ( )c cl � �, � � s c112121 44 , � �
� s c332121 44, � � s c132123 44, r s c� 21212121 446 ,
c ct � 44 � — ïîïåðå÷íàÿ ñêîðîñòü çâóêà è
c cl � 11 � — ïðîäîëüíàÿ ñêîðîñòü çâóêà. (Ìû
çàìåíèëè A c A44 � ). Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíå-
íèå (14) ïî òîëùèíå ïëàñòèíû è âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (17), ëåãêî ïîëó÷èòü
îäíîìåðíîå óðàâíåíèå äëÿ ñäâèãîâûõ ñìåùåíèé
u( )0 â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè:
( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
2 0 2 0 0 3
0
� � � �
�
c c u Aa u r u
u
h
d
t xx xxxx x x
x � �z v wx z
h
h
x
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0. (20)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çàìêíóòîãî óðàâíåíèÿ äëÿ
u( )0 íåîáõîäèìî âûðàçèòü ôóíêöèè v è w ÷åðåç
ñìåùåíèÿ u( )0 , âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèÿìè
(15), (16), êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó
íåîäíîðîäíûõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ìîãóò áûòü
ðåøåíû ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:
v dk kxV k z w dk kxW k z� �
!!
sin ( , ), cos ( , ),
00
u dk kx kx
( ) cos ( )0 2
0
2�
!
" .
(21)
Ðåøåíèå óðàâíåíèé (15), (16) äëÿ ôóðüå-êîì-
ïîíåíò ñàãèòòàëüíûõ ñìåùåíèé Vè W èìååò âèä
V V z V z
k
k
W W z W z
� � �
� �
1 1 2 2
1 1 2 2
ch ch
sh sh
# #
�"
��
# #
( )
,
,
(22)
ãäå
# $ �� ��
� �
�
$ �� �$
i i
i i i
k
k
p p p
W V
2 2 2
2
2
2
2
2
4� � � � � �
�
� �
( ),
( ) ( i )
,
(23)
ÇàâèñèìîñòèVi îò "( )k è k ìîãóò áûòü íàéäåíû
èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé(18), (19):
V k h12 21 21
12
2
1
, , ,
,
( ) ( )
(
� � �
��
�
��
�
�
�� %
% �
" � �
�
��
$ #
�$ �
sh
( )) ,� � �1 1G (24)
ãäå
G h h
hn
n n n
� %
% � � � � �
ch ch
th
( ) ( )
( ) ( ( ) ( )
# #
# # � � � � � � $
1 2
2 21 1 2
1
2
).
n�
&
(25)
Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèÿ (21)–(25) çàäàþò
çàâèñèìîñòè v v x ct z� �( , ) è w w x ct z� �( , ). Åñëè
ôóíêöèÿ "( )k ñîîòâåòñòâóåò ñîëèòîííîìó ðåøå-
íèþ, ëîêàëèçîâàííîìó â îáëàñòè L~ 1 �, òî ðå-
øåíèÿ äëÿ v è w òàêæå áóäóò ëîêàëèçîâàíû â ýòîé
îáëàñòè. Çàâèñèìîñòü ýòèõ ðåøåíèé îò êîîðäèíà-
òû z ìîæåò áûòü ðàçëè÷íîé. Ïðè c ct ñóùåñòâóåò
ëèøü îäèí òèï ñîëèòîíîâ ñ âåùåñòâåííûìè # i .
Ïðè c ct� èìååòñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ñîëèòîííûõ ðåøåíèé ñ ðàçëè÷íûìè ìíèìû-
ìè çíà÷åíèÿìè #
2
. Îäíàêî â ýòèõ ðåøåíèÿõ ïîëå
ñìåùåíèé îñöèëëèðóåò ñ êîîðäèíàòîé z, è îíè íå
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, ïðè êîòîðûõ ìîæíî îã-
ðàíè÷èòüñÿ èñïîëüçóåìûì ïðèáëèæåíèåì äëÿ àí-
ãàðìîíè÷åñêîé ýíåðãèè (7). Ïîýòîìó íèæå ìû
îñòàíîâèìñÿ ëèøü íà îñíîâíîì ñîëèòîííîì ðåøå-
íèè. Åìó ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé ïðîôèëü ñìå-
ùåíèé: äåôîðìàöèè v v w wx z x z, , , ñóùåñòâåííî
ìåíüøå (â ìåðó �) îñíîâíîé ñäâèãîâîé äåôîðìà-
öèè ux , ñìåùåíèÿ â ïåðïåíäèêóëÿðíîì ïëàñòèíå
íàïðàâëåíèè àíòèñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî åå
ñåðåäèíû w z w z( ) ( )� � � (ò.å. ïðîõîæäåíèå ñîëè-
òîíà ñîïðîâîæäàåòñÿ âîëíîé ñæàòèÿ ïëàñòèíû), à
ïðîäîëüíûå ñìåùåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ñåðåäèíû ïëàñòèíû (v z v z( ) ( )).� �
Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèå (21)–(25) â óðàâíåíèå
(20), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå çàìêíóòîå èíòåãðî-
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ u( )0 (äàëåå äëÿ
ïðîñòîòû îïóñêàåì èíäåêñ (0)):
1
2
2
2
2
2
3�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� �
c
c
u Aa u r u
t
xx xxxx x x
�
��
( )
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10 1095
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
� �
��
�
��
�
�
�� � %
%
� �� � �
�
��
��
"
# #
1
4
2
2
1
p
u dk kx
h
x cos
( ) (sh sh 2
0
0
h
hG
x
)
.
!
�
�
�
�
�
�
�
�
� (26)
Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàþòñÿ âîëíû, áëèçêèå ê
÷èñòî ñäâèãîâûì, òî èõ ñêîðîñòü áëèçêà ê ct è ïà-
ðàìåòð � ìàë (� 1). Ïðè òàêèõ äîïóùåíèÿõ
óðàâíåíèå (26) ìîæåò áûòü óïðîùåíî:
�
"
u Aa u C u
C u dk kx k M k
xx xxxx x x
x
� � �
�
�
�
!
2
1
3
3
0
2
4
( )
cos ( ) ( )�
�
�
�
�
�
�
x
0, (27)
ãäå ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà M k( ) èìååò
ñëåäóþùèé âèä:
M k
kh p
kh p kh p sK s
( )
( )
( ) ( )
�
�
th
th th
,
s kh
p
�
�� (28)
è
� �
C r1
21
2 2 1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, p � � ��
�
�
1
2
, (29)
C
p
3
2
4
1
1
�
�
�
��
�
�
�
�
��
�
�
� , K �
� � �
�
( ( ) ( ))
( )
.
� � � �
� �
1 1
1
2
(30)
Ïàðàìåòð p ìîæåò ïðèíèìàòü è îòðèöàòåëüíûå
çíà÷åíèÿ (ñì.òàáëèöó).  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäè-
ìî âî âñåõ ôîðìóëàõ çàìåíèòü p p� | |.
Åñëè õàðàêòåðíûé ïðîñòðàíñòâåííûé ðàçìåð
óåäèíåííîé âîëíû èìååò ïîðÿäîê âåëè÷èíû L, òî
ôóíêöèÿ "( )k äà¸ò îñíîâíîé âêëàä â èíòåãðàëü-
íîå ñëàãàåìîå â (27) â îáëàñòè âîëíîâûõ ÷èñåë
k L 1 . Áëàãîäàðÿ ìàëîñòè � â ýòîì ïðîìåæóòêå,
ïàðàìåòð s ìàë â íàèáîëåå èíòåðåñíîì ñëó÷àå
L h' è äàæå ïðè L h . Ïðè c ct èìååì � � 0 (s âå-
ùåñòâåííî). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïðèíÿòü â
(27) s sth � 1 è ïåðåïèñàòü ÿäðî èíòåãðàëüíîãî
îïåðàòîðà â âèäå
M k
kh p
kh p K kh p
( )
( )
( )
(
�
th
th
. (31)
Çíàìåíàòåëü ÿäðà (31) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè
êðèòè÷åñêîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà k k h: ~) 1 . Ýòîò
ïîëþñ ÿäðà ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîé ñèììåòðè÷íîé
âîëíå Ðýëåÿ–Ëýìáà ñ ôàçîâîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé
ñêîðîñòè ñîëèòîíà c ct� (ñì. íèæå). Òàêèì îáðà-
çîì, äâèæóùèéñÿ â ïëàñòèíå ñîëèòîí, ïðåäñòàâ-
ëÿþùèé ñîáîé ëîêàëèçîâàííóþ ñäâèãîâóþ âîëíó,
äîëæåí èñïóñêàòü âîëíû Ðýëåÿ–Ëýìáà, è åãî ñòà-
öèîíàðíîå äâèæåíèå, ñòðîãî ãîâîðÿ, íåâîçìîæíî.
Ïðè c ct� ïàðàìåòð � ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì,
è â (28) íåîáõîäèìî çàìåíèòü th s íà tg s. Ïðè
ýòîì ïðÿìàÿ
� ck ïåðåñåêàåò çàêîí äèñïåðñèè
âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà â áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè äîïîëíèòåëüíûõ òî÷åê ñ k n hn ~ | |� .  ýòîì
ñëó÷àå äâèæóùèéñÿ ñîëèòîí èçëó÷àåò âñþ ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà ñ ôàçîâûìè ñêî-
ðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ïîïåðå÷íûõ âîëí.
Íåñëîæíî íàéòè âèä èçëó÷àåìûõ âîëí: v w, ~
� �~ sin [ ( )A k x c t ks s t ss
�& *" , ãäå ks � )k k k, , ,...1 2
Ñèòóàöèÿ óïðîùàåòñÿ â ñëó÷àå ñëàáî ëîêàëèçîâàí-
íûõ ñîëèòîíîâ ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçìåðîì
L h�� , êîãäà ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïðîôèëÿ ñî-
ëèòîíà "( )k ýêñïîíåíöèàëüíî ëîêàëèçóåòñÿ â ïðî-
ìåæóòêå k /L k )1 . Íà ðèñ. 2 èçîáðàæåíû
çàâèñèìîñòè îò k ÿäðà èíòåãðàëüíîãî ñëàãàåìîãî
M ïðè c ct (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è ôóðüå-ïðåîáðà-
çîâàíèÿ êâàäðàòà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ äåôîðìà-
öèè â ñîëèòîíå " (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ), êîòîðîå
â ïðåäåëå ñòàíäàðòíîãî ñîëèòîíà ìîäèôèöèðîâàí-
íîãî óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà èìååò âèä "� �k ~
~ ( )k/ k/sh � � , ãäå � �1.  ýòîì ñëó÷àå ýíåðãèÿ,
èçëó÷àåìàÿ â êàæäóþ ÐË-âîëíó, èìååò ïîðÿäîê
âåëè÷èíû: E L/h) �~ exp ( ), E nL/hn ~ exp ( )� � ,
ò.å. ýíåðãèÿ, èçëó÷àåìàÿ ìàëîàìïëèòóäíûì ñîëè-
òîíîì âî âñå ÐË-âîëíû, êîíå÷íà, ìàëà è îïðåäåëÿ-
åòñÿ â îñíîâíîì âîçáóæäåíèåì îñíîâíîé ñèììåò-
ðè÷íîé ÐË-ìîäû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òàêèõ
ñëàáîëîêàëèçîâàííûõ ñîëèòîíîâ ìîæíî ïðåíåá-
1096 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10
À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòè îò âîëíîâîãî ÷èñëà k ÿäðà M èí-
òåãðàëüíîãî ñëàãàåìîãî óðàâíåíèÿ (27) (ñïëîøíàÿ ëè-
íèÿ) è ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîëèòîííîãî ïðîôèëÿ "
(ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ).
ðå÷ü ýôôåêòîì èçëó÷åíèÿ. Òàê êàê ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå àðãóìåíòà â ÿäðå M â äàííîì ïðåäåëå
ïîðÿäêà ( ) ~maxkh p h L 1, ÿäðî ìîæíî óïðî-
ñòèòü è çàïèñàòü â âèäå
M
K
pk h
K
(
�
�
�
1
1 3 1
2 2
2( )
. (32)
 ýòîì ïðåäåëå óðàâíåíèå (27) ñòàíîâèòñÿ
äèôôåðåíöèàëüíûì:
�u Aa u C
C
K
u
pC
K
h u
xx xxxx x x
x
� � �
�
�
�
�
2
1
3 3
3
2
2
2
1
2
3 1
( )( )
( )
( (ux xx x
2 0) ) .� (33)
Ïîñëå çàìåíû ñëàãàåìîãî c uxx
2 íà utt óðàâíå-
íèå (33) ïðèìåò âèä ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíå-
íèÿ Áóññèíåñêà (2)
� � �u u a u u
Nh u u
tt xx xxxx x x
x x xx x
� � � �
� �
1 1
2
1
3
2 2 0
~ ( )
( ( ) ) ,
�
(34)
ãäå � �1 44 1 1 44 1 32 1� � � � �c A c C C / K, ~ , ( ( ))� è
N pc C K� � �2 3 144 3
2 1( ( ) ) .
Ýòî óðàâíåíèå ñîäåðæèò íîâûé íåëèíåéíûé
äèñïåðñèîííûé ÷ëåí ~ ( ( ) )h u ux x xx x
2 2 â äîïîëíå-
íèå ê îáû÷íîìó ëèíåéíîìó äèñïåðñèîííîìó ñëà-
ãàåìîìó ~ a uxxxx
2 .
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ýòîãî æå òèïà ìîæåò
áûòü âûâåäåíî èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äèñêðåò-
íîé àíãàðìîíè÷åñêîé öåïî÷êè ñ íåëèíåéíûì ïî-
òåíöèàëîì ìåæ÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âèäà
~ ( )u un n� �1
4. Ïîñëå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ýòèõ ðàç-
íîñòåé â óðàâíåíèè (2) ïîÿâëÿåòñÿ äîáàâî÷íûé
÷ëåí ��1
2 2 8a u u /x x xx x( ( ) ) . Íî â óðàâíåíèè (34)
òàêîå ñëàãàåìîå ïðîïîðöèîíàëüíî íå a2, à h2 è
ãîðàçäî áîëåå âàæíî äëÿ ðåàëüíûõ ïëàñòèí ñ
h/a �� 1. Îíî ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ ñòàíäàðòíîé
ôîðìû ñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ.
 ñëó÷àå áîëåå êîðîòêèõ íåëèíåéíûõ ëîêàëè-
çîâàííûõ âîëí ñ ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçìåðîì ïî-
ðÿäêà òîëùèíû ïëàñòèíû L h~ ôîðìà ñîëèòîíà
äîëæíà èçìåíÿòüñÿ ñóùåñòâåííî, òàê êàê â îáëàñ-
òè èíòåãðèðîâàíèÿ k /L /h 1 1~ â (27) àðãóìåíò
kh p â ÿäðå (31) ìåíÿåòñÿ ñèëüíî. Â ýòîì ïðåäå-
ëå èçëó÷åíèå âîëí ñ ñàãèòòàëüíîé ïîëÿðèçàöèåé
óâåëè÷èâàåòñÿ. Íî äëÿ êà÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ
ñîëèòîíîâ ñ ðàçìåðîì L /k h )1 ~ ïðè óñëîâèè
ïðåíåáðåæåíèÿ äèññèïàöèåé ìîæíî çàìåíèòü
ÿäðî (31) óïðîùåííûì âûðàæåíèåì
~
( ) ( )
,M
K kh p /
�
� �
1
1 32
(35)
êîòîðîå îáîáùàåò âûðàæåíèå (32) äëÿ kh p ~ 1,
èìååò ïðàâèëüíûå àñèìïòîòèêè ïðè k /h 1 è
ó÷èòûâàåò îñíîâíîé ïîëþñ ÿäðà èíòåãðàëüíîãî
îïåðàòîðà â k /h) ~ 1 . (Âûðàæåíèÿ (31) è (35)
ïî-ðàçíîìó âåäóò ñåáÿ ïðè k � ! : M /k~ 1 è
~ ~M /k1 2. Íî ýòî ðàçëè÷èå íå ñóùåñòâåííî, òàê
êàê ôóíêöèÿ "( )k îáðåçàåò èíòåãðàë ïðè k /h~ 1 ).
Çàìåíÿÿ M M� ~ â (27) è ðàçëàãàÿ (35) â ðÿä
~
( )
M
K
k h p
K
n
n
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
&1
1 3 1
2 2
0
,
ìîæíî ïåðåïèñàòü èíòåãðàëüíóþ ÷àñòü (27) â
ôîðìå
4
1 3 1 2
3
2 2
2
2
0
C
K
u
h p
K x
u
x
n n
n
x
n� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
!
& ( ) ��
x
. (36)
Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (27) ïî x íå-
îáõîäèìî ðàçäåëèòü åãî íà ux è ïîäåéñòâîâàòü
îïåðàòîðîì
1
3 1
2 2
2
�
�
h p
K x( )
,
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå íåëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëü-
íîå óðàâíåíèå:
�u Aa u C
C
K
u
C ph
K
u u
x xxx x
x x x
� � �
�
�
�
�
2
1
3 3
1
2
2
2
1
2
3 1
(
( )
)
( )
( ) x x
xxx
x x
Apa h
K
u
u
u
�
�
�
�
��
�
�
�� �
2 2
3 1
0
( )
.
(37)
Ýòî óðàâíåíèå ïîõîæå íà óðàâíåíèå (33), íî
ïðèìåíèìî è â ñëó÷àå L h~ .
2. Ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ïåðèîäè÷åñêèå
âîëíû â ïëàñòèíå
Ïîñêîëüêó â íàøåé çàäà÷å èñêëþ÷èòåëüíî
âàæíóþ ðîëü èãðàþò ðåçîíàíñíûå ÿâëåíèÿ, ïðåæ-
äå âñåãî ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ëèíåéíûå âîëíû
â óïðóãîé ïëàñòèíå. Â ëèíåéíîì ïðåäåëå óðàâíå-
íèÿ (8)–(10) ðàçäåëÿþòñÿ è ïåðâîå èç íèõ îïèñû-
âàåò ñäâèãîâûå âîëíû ñ äèñïåðñèîííûì ñîîòíî-
øåíèåì
� �c k Aa kt 1 2 2 .
Ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ (9), (10) ñ ãðàíè÷-
íûìè óñëîâèÿìè (12), (13) èìåþò ðåøåíèå â âèäå
âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà.  ýòîì ñëó÷àå ôîðìóëû (22),
(23) âåðíû (ñ " � 0 â (22)), åñëè �
� �1 2 2 2c kt è
�
� �1 2 2 2c kl , à ðàâåíñòâî G � 0 ñ G, îïðåäåëÿå-
ìûì ôîðìóëîé (25), äàåò äèñïåðñèîííîå ñîîòíî-
øåíèå âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà â ïëàñòèíå êóáè÷åñêîãî
êðèñòàëëà:
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10 1097
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
$ $
$ $
� � � � � � $
� � � �
1 1
2 2
2 2
1
2
2 2
1th
th
( )
( )
( ) ( )
( )
kh
kh
� � � �
� � � �
�
� � $( )
.
1
1
2
2
(38)
Åñëè ïîëîæèòü � �� �1, òî ýòî óðàâíåíèå òðàíñ-
ôîðìèðóåòñÿ â õîðîøî èçâåñòíîå âûðàæåíèå [12]
äëÿ çàêîíà äèñïåðñèè âîëí Ðýëåÿ–Ëýìáà â ñëó÷àå
èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà. Ïðè ýòîì â ïðåäåëå êîðîò-
êèõ âîëí ñ k /h�� 1 äëÿ îñíîâíîé ñèììåòðè÷íîé
ÐË-âîëíû è íèæíåé àíòèñèììåòðè÷íîé èçãèáíîé
âîëíû ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå äëÿ ñêîðîñòè ðýëååâ-
ñêèõ âîëí cR â ïîëóïðîñòðàíñòâå: 4 1 2�� �� �( ) , à
â ïðåäåëå äëèííûõ âîëí ñ k /h 1 ðàâåíñòâî
4 1 2� �� �( ) äàåò ãðàíè÷íóþ ñêîðîñòü âîëí Ðý-
ëåÿ–Ëýìáà c ct0 2 1 1� � �. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðýëå-
åâñêàÿ ñêîðîñòü cR ìåíüøå ñêîðîñòè ñäâèãîâîé
âîëíû c ctsh � , à ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü âîëí Ðý-
ëåÿ–Ëýìáà âûøå ct (íî íèæå ñêîðîñòè ïðîäîëüíûõ
âîëí cl). Äèñïåðñèîííàÿ êðèâàÿ
� ( )k äëÿ îñ-
íîâíîé ñèììåòðè÷íîé ÐË-âîëíû èçìåíÿåò ñâîé íà-
êëîí îò c0 äî cR â îáëàñòè çíà÷åíèé âîëíîâîãî ÷èñ-
ëà k /h~ 1 è ïåðåñåêàåò ëèíèþ çàêîíà äèñïåðñèè
ñäâèãîâûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ïðè k /h~ 1 . Íàïðè-
ìåð, â ÷àñòíîì ñëó÷àå «ìàòåðèàëà Ïóàññîíà» (� � 3)
ïåðåñå÷åíèå ïðîèñõîäèò ïðè k /h) � 0 53, . Ýòà òî÷êà
k
*
ñîîòâåòñòâóåò ïîëþñó ÿäðà M, êîòîðûé îáñóæäà-
ëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå. Ðàññìîòðåííûå äèñïåðñè-
îííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3,à (ñì.
òàêæå ðèñ. 1 â [21]).
Äëÿ ìàëîàìïëèòóäíûõ íåëèíåéíûõ ïåðèîäè-
÷åñêèõ âîëí ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé
(8)–(10) â òàê íàçûâàåìîì «ðåçîíàíñíîì ïðèáëè-
æåíèè» ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
u u kx t
v V kx t qx w W kx t
� �
� � � � �
0
1
2
sin ( ),
sin( ) , cos( ),
(39)
ãäå
è k – ÷àñòîòà è âîëíîâîå ÷èñëî âîëíû. Çäåñü
âåëè÷èíà q k u� � �� �2
0
2 16 1( ) ïðåäñòàâëÿåò ñî-
áîé ñðåäíþþ ïðîäîëüíóþ äåôîðìàöèþ, êîòîðàÿ
ñîïðîâîæäàåò ðàñïðîñòðàíåíèå íåëèíåéíîé ïå-
ðèîäè÷åñêîé âîëíû. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ðåøåíèÿ
(39) â óðàâíåíèÿ (8)–(10) è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
(11)–(13) ïîëó÷àåì àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå,
èãðàþùåå ðîëü óðàâíåíèÿ (26) äëÿ ïåðèîäè÷å-
ñêèõ âîëí:
�
�
��
��
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �Aa
k
r
k u2
2 2 2
0
2
4
3
2 1 16
� �
��
�
��
�
�
�� � %� �� � �
�
��
��
1
4
2
2p
% �
sh sh( ) ( )# #1 2
2
0
2
32
0
h h
hG
k u
. (40)
 ñëó÷àå èçîòðîïíîãî «ìàòåðèàëà Ïóàññîíà»
(êîãäà � �� �1 3, , # �1 � k , # �2 � k ) ýòî óðàâíå-
íèå òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñëåäóþùåå:
( ) ( ),�
�
�� + � � � +
2 2 2
0
2
4 32
1
k
A
k u
F J (41)
ãäå çàíóëåíèå ôóíêöèè
+ � �
�4 1 2kh
kh
kh
kh
�
�
�
� �th th( )
( )
( )
(42)
ñîîòâåòñòâóåò çàêîíó äèñïåðñèè âîëí Ðýëåÿ–Ëýì-
áà, F /� �( ) ,� � �3 2 J r / /F� � �2 3 62( ) ,�� � �
� �� �( ) .2 3/
Ñîîòâåòñòâóþùèå äèñïåðñèîííûå êðèâûå äëÿ
çíà÷åíèé âîëíîâûõ âåêòîðîâ k â îáëàñòè
1098 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10
À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü
Ðèñ. 3. Çàêîíû äèñïåðñèè îñíîâíîé âåòâè ñäâèãîâûõ
âîëí (1) è íèæíåé âåòâè ñèììåòðè÷íûõ âîëí
Ðýëåÿ–Ëýìáà (2) â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè (à) è ïðè
ó÷åòå èõ íåëèíåéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (á).
k h~ 1
k h~ 1 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3,á. Òåïåðü äâå âåòâè
äèñïåðñèîííîãî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ãîðèçîíòàëüíîé
ñäâèãîâîé âîëíû è îñíîâíîé ñèììåòðè÷íîé âîë-
íû Ðýëåÿ–Ëýìáà ðàçäåëåíû, è âûðîæäåíèå â òî÷-
êå k k� ) ñíèìàåòñÿ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå âîëí, áëèçêèõ ê ñäâèãîâûì
(âáëèçè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ëèíåéíûõ ñäâèãîâûõ
è ÐË-âîëí), çàêîí äèñïåðñèè èìååò âèä
� � �
+
�c k c Aa k u
k
c
F Jt t
t
1
8 64
12 3
0
2
3
( ), (43)
ãäå ôóíêöèÿ + ( �4 kh/ kh( ( ))� �th èçìåíÿåò-
ñÿ îò 2,5 ïðè k � 0 äî íóëÿ ïðè k /h) � 3 23, è îòðè-
öàòåëüíà ïðè k k� ) . Ñòàáèëüíîñòü íåëèíåéíîé ïå-
ðèîäè÷åñêîé âîëíû, áëèçêîé ê ñäâèãîâîé âîëíå,
çàâèñèò îò çíàêîâ ïàðàìåòðîâ À è ( )J /� +1 .
Îáû÷íî A � 0 è r 0, è â ñëó÷àå sgn sgnJ r� 0
ìû èìååì
2 2 0
, k äëÿ âñåõ k è
, u0
2 0 â
èíòåðâàëàõ k k ) è - -k / J k k� � � ) ). / .( ) , .1 1 4 1
 ýòèõ îáëàñòÿõ k íåëèíåéíàÿ âîëíà, áëèçêàÿ ê
ñäâèãîâîé, ñîãëàñíî êðèòåðèÿ Ëàéòõèëëà [10] ìî-
äóëÿöèîííî óñòîé÷èâà. Îäíàêî â óçêîì èíòåðâà-
ëå äëèí âîëí, ìåíüøèõ òîëùèíû ïëàñòèíû ñ
k k k) ) / , òàêàÿ âîëíà ñòàíîâèòñÿ ìîäóëÿöèîí-
íî íåóñòîé÷èâîé. Ðàçâèòèå ýòîé íåóñòîé÷èâîñòè
ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàçîâàíèþ òàê íàçûâàåìûõ
ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû íå
áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò òèï íåëèíåéíûõ ëîêà-
ëèçîâàííûõ âîçáóæäåíèé.
3. Ñîëèòîííûå âîçáóæäåíèÿ â
àíãàðìîíè÷åñêîé ïëàñòèíå
Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñî-
ëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ â íåëèíåéíîé
ïëàñòèíå. Âíà÷àëå âåðíeìñÿ ê óðàâíåíèþ (33)
äëÿ äëèííûõ ëîêàëèçîâàííûõ âîëí ñ L h�� . Äëÿ
ñîëèòîíîâ ñ íóëåâûìè àñèìïòîòèêàìè äëÿ äåôîð-
ìàöèè íà áåñêîíå÷íîñòè ýòî óðàâíåíèå äëÿ ñäâè-
ãîâîé äåôîðìàöèèU ux� ïðèíèìàåò âèä
a U U
c /c C C / K U
A C p/ K
x
t2 2 2
2 2
1 3
2
3
2
1 1
4 3 1
�
� � � �
� �
( ) ( ( ))
( ( ( ) )( )h/a U2 2
(44)
è ìîæåò áûòü ðåøåíî â êâàäðàòóðàõ. Èç (44) î÷å-
âèäíî, ÷òî ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò
òîëüêî ïðè óñëîâèè
sgn sgn sgn
c
c
C
C
K
A
t
2
2 1
31
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� � .(45)
Ôàêòè÷åñêè, ýòîò êðèòåðèé ñîîòâåòñòâóåò îáû÷-
íûì óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ ìîäèôèöè-
ðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà ñ ó÷åòîì ïåðåíîð-
ìèðîâêè êîýôôèöèåíòà êóáè÷åñêîãî àíãàðìîíèçìà
çà ñ÷åò âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ñàãèòòàëüíûìè êîìïîíåí-
òàìè ñìåùåíèé. Âàæíî, ÷òî ýôôåêòèâíàÿ êîíñòàíòà
àíãàðìîíèçìà � � � �2 11 3( ( ))C C / K ìîæåò èìåòü
ðàçíûé çíàê (ñì. òàáëèöó).
Óäîáíî ââåñòè áåçðàçìåðíóþ êîîðäèíàòó 0 è
ïåðåíîðìèðîâàííóþ ïðîäîëüíóþ äåôîðìàöèþ Q:
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10 1099
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
Òàáëèöà
Óïðóãèå êîíñòàíòû è ïàðàìåòðû ìîäåëè äëÿ ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ ñîåäèíåíèé
Ïàðàìåòðû LiF LicCl NaF NaCl KF KCl RbCl CsCl Csl
K 13,78 4,65 12,1 4,09 0,46 6,59 17,53 41,19 27,54
p –3,17 –2,58 –3,10 1,08 –1,60 1,66 3,37 6,14 4,47
C
1
–10,53 –6,69 –9,46 0,70 –2,18 0,80 1,12 1,34 0,21
C
3
–242,3 –82,05 –206,2 3,05 –17,57 5,28 10,59 116,8 81,03
� 16,84 31,62 18,21 –0,58 –69,90 –0,29 0,97 –2,37 –5,68
� 1,74 3,15 1,76 0,16 –4,34 0,16 0,15 0,12 0,02
A1 0,74 1,34 0,76 –1,59 –3,74 –2,55 0,36 –0,38 –0,24
Êîìïàêòîí � < 0 � < 0 � < 0 – – – � < 0 – –
Ïèêîí – – – � > 0 � � 0 � > 0 – � > 0 � �23
� �� �� � � � �2 1 3 1 2 1 3 1( )), ( ) ,(C C / K C p/ K � �A C p/ K C C / K1 � � � �4
56
7
89
4 3 3 1 2
1 3 1( ( )) .
0 �
� �x ct
a
c /c
A
t
2 2 1
,
(46)
Q U
C C / K
c /ct
�
� �
�
1 3
2 2
1
1
( )
,
è ïåðåïèñàòü (44) â âèäå
Q Q
Q
Q
0
#
2 2
2
2
1
1
�
�
�
, (47)
ãäå
# �
�
� � �
�
4 1
3 1 1
3
2 2
2
1 3
2
2
C p c /c
K C C / K A
h
a
t( )
( ) ( ( ))
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
h
a
c
ct
2
2
2
2
1 . (48)
Ïàðàìåòð 1 â ýòîé ôîðìóëå ïîðÿäêà åäèíèöû è
èìååò ðàçíûå çíàêè äëÿ ðàçíûõ ìàòåðèàëîâ (ñì.
òàáëèöó).
Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ ñðåäû è òîë-
ùèíû ïëàñòèíû âñå õàðàêòåðèñòèêè ñîëèòîíà çà-
âèñÿò òîëüêî îò åãî ñêîðîñòè (ò.å. îò ïàðàìåòðà
�), à ñëåäîâàòåëüíî, îò âåëè÷èíû ïàðàìåòðà #.
Êàê ìû ïîêàæåì íèæå, ðàçìåð ñîëèòîíà ñòðåìèò-
ñÿ ê âåëè÷èíå h ïðè # � �1 è óñëîâèå ïðèìåíèìî-
ñòè óðàâíåíèÿ (47) â ýòèõ ïðåäåëàõ íàðóøàåòñÿ.
Òåì íå ìåíåå, èññëåäóåì ýâîëþöèþ ôîðìû ñîëè-
òîííîãî ðåøåíèÿ (47) âî âñåé îáëàñòè çíà÷åíèé
ïàðàìåòðà #. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòð # çàâèñèò íå
òîëüêî îò çíàêîâ ïàðàìåòðîâ �, A è �, íî è îò çíà-
êîâ C3 è p (ñì.òàáëèöó). Òàêèì îáðàçîì, ïðè âû-
ïîëíåíèè óñëîâèé (45) ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ
çíàê # ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì, ÷òî ïðèâîäèò ê
ðàçíîé ôîðìå âîçíèêàþùèõ ñîëèòîíîâ.
Ïðè # � 0 ( )c ct� ðåøåíèå èìååò ñòàíäàðòíóþ
ñîëèòîííóþ ôîðìó Q �1 ch 0. Íî â èñõîäíûõ ïå-
ðåìåííûõ U u xx� ( ) àìïëèòóäà ñîëèòîíà ïðè
# � 0 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à îáëàñòü åãî ëîêàëèçà-
öèè — ê áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷è-
íå # � 0 ñîîòâåòñòâóåò ëèíåéíàÿ íåëîêàëèçîâàííàÿ
âîëíà.
Ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ # ñîëèòîííîå
ðåøåíèå (47) èìååò ñëåäóþùèé íåÿâíûé âèä
[7–9]:
ln
1 1
1 2
1 2
1
2 2 2� � �
�
�
� �
�
�
#
#
# # #
#
0
Q Q
Q
Q
arccos .
(49)
Äëÿ çíà÷åíèé # 1 ñîëèòîí èìååò îáû÷íûé
ïðîôèëü ñ ðàçìåðîì L A/ c ct~ ( )2 2� , ïîýòîìó â
ýòîé îáëàñòè âëèÿíèå ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè À
ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì, è åå íåîáõîäèìî ó÷èòû-
âàòü.
Ïðè # ~ 1, ò.å. ïðè c /c a/ht
2 2 21 1� ~ ( ) ñîëè-
òîííîå ðåøåíèå (49) íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ïàðà-
ìåòðîâ, è, òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðíàÿ øèðèíà
ñîëèòîíà : �0 1. Ïðè ýòîì èç (46) ñëåäóåò, ÷òî
:x L h� ~ , êàê óêàçûâàëîñü âûøå.
Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè # âòîðîé ÷ëåí â
çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ (47) ñòàíîâèòñÿ äîìèíè-
ðóþùèì, è ðîëü ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè óìåíüøà-
åòñÿ. (Îäíàêî íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ | |x � �!,
ãäå Q � 0, ðîëü ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè è çíàê ïà-
ðàìåòðà A ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè). Â ïðåäåëå
# �� 1 ðåøåíèå (49) òðàíñôîðìèðóåòñÿ â òàê íàçû-
âàåìûé «êîìïàêòîí» (ðèñ. 4,à):
Q /
Q /
�
� �
cos ; | | ) ;
; | | ) .
0
#
0 ; #
0 ; #
2
0 2
(50)
Èç (46),(50) ñëåäóåò, ÷òî ðàçìåð ñîëèòîíà îñ-
òàåòñÿ ïîðÿäêà òîëùèíû ïëàñòèíû L h~ äëÿ âñåõ
# � 1. Èç (50) â ïåðâîíà÷àëüíûõ êîîðäèíàòàõ äëÿ
ñäâèãîâûõ ñìåùåíèé èìååì:
1100 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10
À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü
Ðèñ. 4. Ïðîôèëü ïîïåðå÷íîé äåôîðìàöèè (â áåçðàç-
ìåðíûõ ïåðåìåííûõ) â êîìïàêòîíå (à) è ïèêîíå (á).
u h
c
c
A
C
C
K
x
h
/A
x h A
t
� �
�
�
%
%
�<
=
>
?
>
�
2
2
1
3
1
1
1
1
1
1
1
; 1 ,;
sin ;
;
- -
4
4
4
,
,
.
x h A
x h A
�
; 1 ,
; 1 , (51)
Òàêèì îáðàçîì, êîìïàêòîííîå ðåøåíèå îïèñû-
âàåò ñäâèã, ëîêàëèçîâàííûé â îáëàñòè ðàçìåðîì
ïîðÿäêà òîëùèíû ïëàñòèíû. Çàìåòèì, ÷òî ïðè
# �� 1 ñîëèòîí (51) íå ñîäåðæèò õàðàêòåðèñòèêó
ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè A, íî âûïîëíåíèå óñëî-
âèé (45) ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì.
Äëÿ îòðèöàòåëüíûõ # â îáëàñòè � 1 0# ñîëè-
òîííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (47) â íåÿâíîé ôîðìå
èìååò âèä
ln
ln .
1 1
1
1 1
1
2 2
2 2
� � �
�
� � %
%
� � � �
�
�
Q Q
Q
Q Q
#
#
#
# #
#
0 (52)
 ïðåäåëå # � �1 ýòîò ñîëèòîí òðàíñôîðìèðó-
åòñÿ â òàê íàçûâàåìûé «ïèêîí» (ðèñ. 4,á):
Q � �exp( | | )0 . (53)
Ýòîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóåò âïîëíå îïðåäåëåí-
íàÿ ñêîðîñòü ñîëèòîíà c c c a ht) ) � � � : ( ) .2 2 21 11
Ìàêñèìàëüíàÿ äåôîðìàöèÿ â ïèêîíå ìàëà Umax �
� � � �( ) [ ( ( ))]a/h C C / K /1 1 3
1 21 , è îáëàñòü åãî ëî-
êàëèçàöèè :x L h� ~ , ÷òî ñëåäóåò èç âèäà ðåøåíèÿ â
èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ:
u x x a
A
C C / K
x ct
h
/A
( , )
( )
exp( )
� � �
� �
%
% �
�4
56
7
89
0 0
1
1 1
1 3
� 1 . (54)
Çàâèñèìîñòü øèðèíû ñîëèòîíîâ îò ïàðàìåòðà # âî
âñåì èíòåðâàëå åãî çíà÷åíèé ïðèâåäåíà íà ðèñ. 5.
Íàêîíåö, â îáëàñòè # �1 ñîëèòîííîå ðåøåíèå
èìååò ñèíãóëÿðíîñòü â öåíòðå ( -Q0 0�
� !
0
). Íî
âñå ñìåùåíèÿ è äåôîðìàöèè îñòàþòñÿ êîíå÷íû-
ìè, è ñîëèòîí ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî ïðåä-
ñòàâëåí â âèäå - -Q /� � �exp( )0 #. Äëÿ ýòèõ çíà-
÷åíèé # ðàçìåð ñîëèòîíà ñòàíîâèòñÿ ñóùåñòâåííî
ìåíüøå, ÷åì òîëùèíà ïëàñòèíû.
Çàìåòèì, ÷òî â ðåàëüíûõ âåùåñòâàõ âåëè÷èíà
ïàðàìåòðà 1 ìîæåò ìåíÿòüñÿ â èíòåðâàëå [ , ]�10 10 ,
ïîýòîìó è êîìïàêòîíàì, è ïèêîíàì ìîãóò ñîîòâåò-
ñòâîâàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëü-
íûå îòêëîíåíèÿ ñêîðîñòè ñîëèòîíà îò ñêîðîñòè
ïîïåðå÷íîé çâóêîâîé âîëíû ct .
Âèäíî, ÷òî â íàèáîëåå èíòåðåñíîì èíòåðâàëå
ñêîðîñòåé ñîëèòîíà (# �� 1 è # � �1), ãäå îí ïðèíè-
ìàåò ýêçîòè÷åñêóþ ôîðìó, ðàçìåð ñîëèòîíà L ñòà-
íîâèòñÿ ñîèçìåðèìûì ñ òîëùèíîé ïëàñòèíû. Â
ýòîì èíòåðâàëå óðàâíåíèå (33) íå âûïîëíÿåòñÿ, è
íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèå (37), êîòîðîå
ñïðàâåäëèâî è ïðè L h~ . Êàê ïîêàçàíî ðàíåå, â
ñëó÷àå # �� 1 ñîáñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ äèñïåðñèÿ íå
ñóùåñòâåííà â ýòîé îáëàñòè, è ìîæíî ïîëîæèòü
A � 0 â (37). Òîãäà ýòî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
óðàâíåíèÿ (33), íî ñ äðóãèì êîýôôèöèåíòîì ïå-
ðåä íåëèíåéíûì ÷ëåíîì. Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ
ñîëèòîíîâ (45) èçìåíèòñÿ è ïðèìåò âèä
sgn sgn sgn
c
c
C
C
K
C p
K
t
2
2 1
3 11
1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�
. (55)
Åñëè ââåñòè íîâóþ áåçðàçìåðíóþ êîîðäèíàòó
@ �
� � �x ct
h
C K C
C p
3 1
4
1 3
1
( ( ) )
, (56)
òî óðàâíåíèå (37) äëÿ äåôîðìàöèè Q ïåðåïèøåò-
ñÿ â âèäå
Q Q Q2 2 2 1 0( ) ,@ � � � (57)
ñ êîìïàêòîííûì ðåøåíèåì
� �
u
c /c
C C / K
x ct
h
C K C
C p
x
t�
�
� �
%
%
� � ��
�
�
2 2
1 3
1 3
1
1
1
3 1
4
( )
cos
( )
�
�
�
�
�
.
(58)
Äëÿ ñêîðîñòåé â èíòåðâàëå
1 1
2
2
2 2
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
c
c
A
a
h
a
h
t
~ (59)
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10 1101
Ñîëèòîíû â óïðóãèõ ïëàñòèíàõ
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçìåðà ñîëè-
òîíà îò ïàðàìåòðà #.
è ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèé (55) â ïëàñòèíå
ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ êîìïàêòíûå ìàëîàìïëè-
òóäíûå ñîëèòîíû, àäåêâàòíî îïèñûâàåìûå ôîð-
ìóëîé (58). Âîçìîæíîñòü âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøå-
íèé (59) èëëþñòðèðóåò òàáëèöà. Çäåñü æå äëÿ
ðÿäà êîíêðåòíûõ âåùåñòâ óêàçàíû èíòåðâàëû
ñêîðîñòåé (çíàêè �), ïðè êîòîðûõ âîçìîæíî ñó-
ùåñòâîâàíèå êîìïàêòîíîâ.
Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïèêîíîâ â âåùåñòâàõ ñ
óêàçàííûìè çíàêàìè ïàðàìåòðîâ � è A1 íåîáõî-
äèìî íàëè÷èå àíîìàëüíîé ñîáñòâåííîé äèñïåðñèè
(A < 0). Ïîýòîìó â ùåëî÷íî-ãàëîèäíûõ ñîåäèíå-
íèÿõ îíè, ïî-âèäèìîìó, íå ìîãóò íàáëþäàòüñÿ.
Àâòîðû áëàãîäàðíû À. Ì. Êîñåâè÷ó çà èíòåðåñ
ê ðàáîòå è öåííûå çàìå÷àíèÿ.
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ïðîãðàììîé INTAS â ðàì-
êàõ ãðàíòà ¹99-0167.
1. A. M. Kosevich, B. A. Ivanov, and A. S. Kovalev,
Phys. Rep. 194, 117 (1990).
2. P. Rosenau and J. Hymen, Phys. Rev. Lett. 70, 567
(1993).
3. P. Rosenau, Phys. Rev. Lett. 73, 1737 (1994).
4. R. Camassa and D. D. Holm, Phys. Rev. Lett. 71,
1661 (1993).
5. Yu. A. Kosevich, Phys. Lett. A173, 257 (1993).
6. Yu. A. Kosevich, Phys. Rev. B47, 3138 (1993).
7. A. S. Kovalev, in: Nonlinear Physics: Theory and
Experiment, E. Alfinito, M. Boiti, L. Martina, and
F. Pampinelli (eds.), World Scientific, Singapore
(1997), ð.508.
8. À. Ñ. Êîâàëåâ, Ì. Â. Ãâîçäèêîâà, ÔÍÒ 24, 641
(1998).
9. À. Ñ. Êîâàëåâ, Ì. Â. Ãâîçäèêîâà, ÔÍÒ 25, 252
(1999).
10. À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ, Ââåäåíèå â íåëè-
íåéíóþ ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó, Íàóêîâà äóìêà,
Êèåâ (1989).
11. Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèôøèö, Òåîðèÿ óïðóãîñòè,
Íàóêà, Ìîñêâà (1987).
12. J. D. Achenbach, Wave Propagation in Elastic
Solids, North- Holland publishing company, Amster-
dam, London (1973).
13. H. F. Tiersten, J. Appl. Phys. 40, 770 (1969).
14. Â. È. Íàÿíîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 44, 245 (1986).
15. V. G. Mozhaev, Phys. Lett. A319, 333 (1989).
16. G. A. Maugin and H. Hadouaj, Phys. Rev. B44,
1266 (1991).
17. A. S. Kovalev and E. S. Syrkin, Surf. Sci. 346, 337
(1996).
18. C. Eckl, A. P. Mayer, and A. S. Kovalev, Phys.
Rev. Lett. 81,983 (1998).
19. A. P. Mayer, Phys. Rep. 256, 237 (1995).
20. Yu. S. Kivshar and E. S. Syrkin, Phys. Lett. A153,
125 (1991).
21. A. P. Mayer, D. F. Parker, and A. A. Maradudin,
Phys. Lett. A164, 171 (1992).
Solitons in elastic plates
A. S. Kovalev, A. P. Mayer,
E. S. Sokolova, and C. Eckl
Nonlinear dynamics of elastic shear waves
in plates is investigated with taking into ac-
count the interaction of shear component of
displacements with low-amplitude sugittal
components. Nonlinear evolution equations for
shear displacements are derived. These equa-
tions contain additional nonlinear dispersion
terms accounted for by the interaction with
displacements in the sugittal plane. The
soliton solutions of the equations and the pos-
sibility of the existence of exotic solitons of
compacton- and peakon-types are considered.
1102 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹10
À. Ñ. Êîâàëåâ, À. Ï. Ìàéåð, Å. Ñ. Ñîêîëîâà, Ê. Ýêëü
|