Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом
Теоретически исследован нечетный относительно инверсии магнитного поля резистивный отклик сверхпроводника в смешанном состоянии при наличии бианизотропного пиннинга и малого изотропного эффекта Холла. В рамках двумерной стохастической модели бианизотропного пиннинга на основе уравнений Фоккера-Планк...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2003
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128775 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом / В.А. Шкловский, А.А. Сорока // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128775 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1287752018-01-14T03:04:29Z Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом Шкловский, В.А. Сорока, А.А. Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Теоретически исследован нечетный относительно инверсии магнитного поля резистивный отклик сверхпроводника в смешанном состоянии при наличии бианизотропного пиннинга и малого изотропного эффекта Холла. В рамках двумерной стохастической модели бианизотропного пиннинга на основе уравнений Фоккера-Планка в приближении невзаимодействующих вихрей и в первом приближении по малой константе Холла получены нечетные по магнитному полю продольное и поперечное по току магнитосопротивления. Возможны реализации такой модели как естественно возникающие, так и искусственно получаемые. Показано, что нелинейные анизотропные свойства магнитосопротивлений естественно связаны с основными критическими токами и токами насыщения исследуемой системы. Рассмотрены скейлинговыесоотношения для холловской проводимости в терминах наблюдаемых продольного и поперечного магнитосопротивлений и скейлинг и его устойчивость в базовых X- и Y-геометриях задачи. A theoretical study is made of the odd resistive response (i.e., having odd parity with respect to inversion of the magnetic field) of a superconductor in the mixed state in the presence of bianisotropic pinning and a small isotropic Hall effect. The components of the odd magnetoresistivity in the directions longitudinal and transverse to the current are obtained in a two-dimensional stochastic model of bianisotropic pinning based on the Fokker–Planck equations in the approximation of noninteracting vortices and to a first approximation in the small Hall constant. Both naturally occurring and artificially produced realizations of this model are possible. It is shown that the nonlinear anisotropic properties of the magnetoresistivities are naturally related to the principal critical currents and saturation currents of the system under study. Scaling relations for the Hall conductivity in terms of the longitudinal and transverse magnetoresistivities obtained are discussed, and scaling and its stability in the basal X and Y geometries of the problem are examined. Теоретично досліджено непарний відносно інверсії магнітного поля резистивний відгук надпровідника у змішаному стані при наявності біанізотропного пінінга та малого ізотропного ефекта Холла. У рамках двовимірної стохастичної моделі біанізотропного пінінга на основі рівнянь Фоккера Планка в наближенні невзаємодіючих вихорів та в першому наближенні по малій константі Холла одержано непарні по магнітному полю поздовжнє та поперечне по струму магнітоопори. Можливі реалізації такої моделі як природно виникаючі, так і такі що отримуються штучно. Показано, що нелінійні анізотропні властивості магнітоопорів природно пов язані з основними критичними струмами та струмами насичення системи, що досліджується. Розглянуто скейлінгові співвідношення для холлівської провідності у термінах поздовжнього та поперечного магнітоопорів, що спостерігаються, і скейлінг та його стійкість у базових X- и Y-геометріях задачі. 2003 Article Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом / В.А. Шкловский, А.А. Сорока // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.25.Fy, 74.60.Ge http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128775 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| spellingShingle |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная Шкловский, В.А. Сорока, А.А. Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом Физика низких температур |
| description |
Теоретически исследован нечетный относительно инверсии магнитного поля резистивный отклик сверхпроводника в смешанном состоянии при наличии бианизотропного пиннинга и малого изотропного эффекта Холла. В рамках двумерной стохастической модели бианизотропного пиннинга на основе уравнений Фоккера-Планка в приближении невзаимодействующих вихрей и в первом приближении по малой константе Холла получены нечетные по магнитному полю продольное и поперечное по току магнитосопротивления. Возможны реализации такой модели как естественно возникающие, так и искусственно получаемые. Показано, что нелинейные анизотропные свойства магнитосопротивлений естественно связаны с основными критическими токами и токами насыщения исследуемой системы. Рассмотрены скейлинговыесоотношения для холловской проводимости в терминах наблюдаемых продольного и поперечного магнитосопротивлений и скейлинг и его устойчивость в базовых X- и Y-геометриях задачи. |
| format |
Article |
| author |
Шкловский, В.А. Сорока, А.А. |
| author_facet |
Шкловский, В.А. Сорока, А.А. |
| author_sort |
Шкловский, В.А. |
| title |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| title_short |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| title_full |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| title_fullStr |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| title_full_unstemmed |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| title_sort |
нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Свеpхпpоводимость, в том числе высокотемпеpатуpная |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128775 |
| citation_txt |
Нечетный резистивный отклик в сверхпроводниках с бианизотропным пиннингом / В.А. Шкловский, А.А. Сорока // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 22-38. — Бібліогр.: 28 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT šklovskijva nečetnyjrezistivnyjotklikvsverhprovodnikahsbianizotropnympinningom AT sorokaaa nečetnyjrezistivnyjotklikvsverhprovodnikahsbianizotropnympinningom |
| first_indexed |
2025-07-09T09:52:23Z |
| last_indexed |
2025-07-09T09:52:23Z |
| _version_ |
1837162557527293952 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1, ñ. 22–38
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
ñ áèàíèçîòðîïíûì ïèííèíãîì
Â. À. Øêëîâñêèé1,2, À. À. Ñîðîêà1
1Íàöèîíàëüíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé öåíòð «Õàðüêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò»
Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, óë. Àêàäåìè÷åñêàÿ, 1, ã. Õàðüêîâ, 61108, Óêðàèíà
2Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â. Í. Êàðàçèíà
ïë. Ñâîáîäû, 4, ã. Õàðüêîâ, 61077, Óêðàèíà
E-mail: valerij.a.shklovskij@univer.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 13 èþíÿ 2002 ã.
Òåîðåòè÷åñêè èññëåäîâàí íå÷åòíûé îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðåçèñòèâíûé
îòêëèê ñâåðõïðîâîäíèêà â ñìåøàííîì ñîñòîÿíèè ïðè íàëè÷èè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà è ìà-
ëîãî èçîòðîïíîãî ýôôåêòà Õîëëà.  ðàìêàõ äâóìåðíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíî-
ãî ïèííèíãà íà îñíîâå óðàâíåíèé Ôîêêåðà—Ïëàíêà â ïðèáëèæåíèè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ
âèõðåé è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîé êîíñòàíòå Õîëëà ïîëó÷åíû íå÷åòíûå ïî ìàãíèòíîìó
ïîëþ ïðîäîëüíîå è ïîïåðå÷íîå ïî òîêó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ. Âîçìîæíû ðåàëèçàöèè òàêîé
ìîäåëè êàê åñòåñòâåííî âîçíèêàþùèå, òàê è èñêóññòâåííî ïîëó÷àåìûå. Ïîêàçàíî, ÷òî íåëèíåé-
íûå àíèçîòðîïíûå ñâîéñòâà ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé åñòåñòâåííî ñâÿçàíû ñ îñíîâíûìè êðèòè÷å-
ñêèìè òîêàìè è òîêàìè íàñûùåíèÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðåíû ñêåéëèíãîâûå ñîîòíî-
øåíèÿ äëÿ õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè â òåðìèíàõ íàáëþäàåìûõ ïðîäîëüíîãî è ïîïåðå÷íîãî
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé è ñêåéëèíã è åãî óñòîé÷èâîñòü â áàçîâûõ X- è Y-ãåîìåòðèÿõ çàäà÷è.
Òåîðåòè÷íî äîñë³äæåíî íåïàðíèé â³äíîñíî ³íâåðñ³¿ ìàãí³òíîãî ïîëÿ ðåçèñòèâíèé â³äãóê íàä-
ïðîâ³äíèêà ó çì³øàíîìó ñòàí³ ïðè íàÿâíîñò³ á³àí³çîòðîïíîãî ï³í³íãà òà ìàëîãî ³çîòðîïíîãî
åôåêòà Õîëëà. Ó ðàìêàõ äâîâèì³ðíî¿ ñòîõàñòè÷íî¿ ìîäåë³ á³àí³çîòðîïíîãî ï³í³íãà íà îñíîâ³
ð³âíÿíü Ôîêêåðà—Ïëàíêà â íàáëèæåíí³ íåâçàºìîä³þ÷èõ âèõîð³â òà â ïåðøîìó íàáëèæåíí³ ïî
ìàë³é êîíñòàíò³ Õîëëà îäåðæàíî íåïàðí³ ïî ìàãí³òíîìó ïîëþ ïîçäîâæíº òà ïîïåðå÷íå ïî ñòðó-
ìó ìàãí³òîîïîðè. Ìîæëèâ³ ðåàë³çàö³¿ òàêî¿ ìîäåë³ ÿê ïðèðîäíî âèíèêàþ÷³, òàê ³ òàê³ ùî îòðè-
ìóþòüñÿ øòó÷íî. Ïîêàçàíî, ùî íåë³í³éí³ àí³çîòðîïí³ âëàñòèâîñò³ ìàãí³òîîïîð³â ïðèðîäíî
ïîâ’ÿçàí³ ç îñíîâíèìè êðèòè÷íèìè ñòðóìàìè òà ñòðóìàìè íàñè÷åííÿ ñèñòåìè, ùî äîñë³ä-
æóºòüñÿ. Ðîçãëÿíóòî ñêåéë³íãîâ³ ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ õîëë³âñüêî¿ ïðîâ³äíîñò³ ó òåðì³íàõ ïî-
çäîâæíüîãî òà ïîïåðå÷íîãî ìàãí³òîîïîð³â, ùî ñïîñòåð³ãàþòüñÿ, ³ ñêåéë³íã òà éîãî ñò³éê³ñòü ó
áàçîâèõ X- è Y-ãåîìåòð³ÿõ çàäà÷³.
PACS: 74.25.Fy, 74.60.Ge
1. Ââåäåíèå
Îäíèì èç àêòóàëüíûõ âîïðîñîâ ôèçèêè ñâåðõ-
ïðîâîäíèêîâ â ñìåøàííîì ñîñòîÿíèè ïðè íàëè÷èè â
íèõ ïèííèíãà âèõðåé ÿâëÿåòñÿ åãî âëèÿíèå íà ýô-
ôåêò Õîëëà è íàáëþäàåìûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê
[1–16]. Òåîðåòè÷åñêè âíà÷àëå áûë èçó÷åí ýôôåêò
Õîëëà â ñâåðõïðîâîäíèêàõ ñ õàîòè÷åñêèì ðàñïðåäå-
ëåíèåì òî÷å÷íûõ öåíòðîâ ïèííèíãà. Äëÿ ñëàáîãî
èçîòðîïíîãî ïèííèíãà íà îñíîâå ôåíîìåíîëîãè÷å-
ñêîãî ïîäõîäà [1] è òåîðèè êîëëåêòèâíîãî ïèííèíãà
[2] ïîëó÷åí óíèâåðñàëüíûé (íå çàâèñÿùèé îò âèäà
âèõðåâîé ôàçû è ðåæèìà äèíàìèêè âèõðåé) ñêåé-
ëèíã âèäà � �xy xx� 2 , íàáëþäàâøèéñÿ â ðÿäå ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûõ ðàáîò [3,4]. Â [1,2] ïîêàçàíî, ÷òî
õîëëîâñêàÿ ïðîâîäèìîñòü íå çàâèñèò îò ñëàáîãî ñëó-
÷àéíîãî áåñïîðÿäêà è åå àíîìàëüíîå ïîâåäåíèå [5] â
çàâèñèìîñòè îò ìàãíèòíîãî ïîëÿ è òåìïåðàòóðû ñâÿ-
çàíî íå ñ ïèííèíãîì, à ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè çàâèñè-
ìîñòÿìè õîëëîâñêîé êîíñòàíòû.  ôåíîìåíîëîãè÷å-
ñêîé ìîäåëè Âîíãà, Äîíãà è Òèíãà (ÂÄÒ) [6] ÿâíûé
ó÷åò ïîâåðõíîñòíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà âèõðü
ïðè îáòåêàíèè òîêîì åãî êîðà, è ñèëû, âîçíèêàþ-
ùåé çà ñ÷åò ïðîòèâîòîêà âíóòðè êîðà âèõðÿ, ïðèâî-
© Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà, 2003
äèò ê ÿâíîé çàâèñèìîñòè êîíñòàíòû Õîëëà îò ñèëû
ïèííèíãà è ñêîðîñòè âèõðÿ, ÷òî ñîñòàâëÿåò åå êàð-
äèíàëüíîå îòëè÷èå îò òåîðèé, ïðåäñòàâëåííûõ â
[1,2]. Â ñëåäóþùåì èç ýòîé ìîäåëè çàêîíå ñêåéëèí-
ãà � ��xy xx� ïîêàçàòåëü � ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçëè÷-
íûå çíà÷åíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðåæèìà âèõðåâîé äè-
íàìèêè.
Äðóãîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ïðè èçó÷åíèè õîë-
ëîâñêîãî ðåçèñòèâíîãî îòêëèêà â ñìåøàííîì ñîñòîÿ-
íèè ñâÿçàí ñ íàëè÷èåì îäíîîñíîé àíèçîòðîïèè ïèí-
íèíãà, îáóñëîâëåííîé â âûñîêîòåìïåðàòóðíûõ
ñâåðõïðîâîäíèêàõ ñèñòåìîé îäíîíàïðàâëåííûõ
ïëîñêèõ öåíòðîâ ïèííèíãà (ÖÏ) — ãëàâíûì îáðà-
çîì äâîéíèêîâ [7–9,11–15,17]. Â ðàáîòàõ [11–13]
ðàçâèòà ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ òåîðèÿ ñâåðõïðîâîä-
íèêîâ ñ îäíîîñíîé àíèçîòðîïèåé. Â ðàáîòàõ [14,17]
ïðåäëîæåíà äâóìåðíàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü àíè-
çîòðîïíîãî ïèííèíãà. Â [15] ýòà ìîäåëü äîïîëíåíà
àíèçîòðîïèåé õîëëîâñêèõ ïðîâîäèìîñòåé è êîíêðå-
òèçèðîâàí âèä ïîòåíöèàëà ïèííèíãà, äîïóñêàþùèé
àíàëèòè÷åñêèé ðàñ÷åò íàáëþäàåìûõ ýôôåêòîâ â íå-
ëèíåéíîì ñëó÷àå (ëèíåéíûé ñëó÷àé ðàññìîòðåí â
[14]).  îòëè÷èå îò ðàáîòû [17], â [15] ó÷òåíà çàâè-
ñèìîñòü ðåçèñòèâíîãî îòêëèêà îò íàïðàâëåíèÿ ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ è òåîðåòè÷åñêè èññëåäîâàíû ÷åòíûå è
íå÷åòíûå îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ
êîìïîíåíòû ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî
âûðàæåíèÿ äëÿ íå÷åòíûõ ïðîäîëüíîãî �| |
� è ïîïå-
ðå÷íîãî ��
� ïî òîêó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé ñîñòîÿò
êàê èç íåëèíåéíûõ õîëëîâñêèõ âêëàäîâ, ñâÿçàííûõ
ñ íàïðàâëåííûì äâèæåíèåì âèõðåé âäîëü ïëîñêî-
ñòåé ÖÏ (òàê íàçûâàåìûé guiding-ýôôåêò [21–23],
èëè G-ýôôåêò äëÿ êðàòêîñòè), òàê è âêëàäîâ, îáó-
ñëîâëåííûõ çàâèñèìîñòüþ àíèçîòðîïíîé äèíàìèêè
âèõðåé îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èññëåäî-
âàíû âçàèìîâëèÿíèå G-ýôôåêòà è ýôôåêòà Õîëëà è
ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ.
 ðàáîòå [7] ýêñïåðèìåíòàëüíî âïåðâûå îáíàðó-
æåíî íå÷åòíîå ïðîäîëüíîå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå
�| |
� â ìîíîêðèñòàëëå YBa Cu O2 3 7�� ñ îäíîíàïðàâ-
ëåííûìè äâîéíèêàìè. Â ýòîé ðàáîòå íà îñíîâå ôå-
íîìåíîëîãè÷åñêîé ìîäåëè [12] èç çàâèñèìîñòåé
�| | ( )� H è ��
� ( ),H èçìåðåííûõ ïðè óãëå � � 450
ìåæäó ëåæàùèì â ab-ïëîñêîñòè âåêòîðîì ïëîòíîñòè
òîêà j è ïëîñêîñòÿìè äâîéíèêîâ (âåëè÷èíà �| | ( )� H
ïðè ýòîì îæèäàëàñü ìàêñèìàëüíîé), ïîëó÷åíû çàâè-
ñèìîñòè õîëëîâñêèõ ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �Hl H( ),
�Ht H( ) â L-, T- ãåîìåòðèÿõ j m| | è j m� , ãäå m — åäè-
íè÷íûé âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòÿì
äâîéíèêîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî ïîâåäåíèå çàâèñèìîñòåé
�Hl H( ) è �Ht H( ) ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àåòñÿ, íà îñíî-
âàíèè ýòîãî áûë ñäåëàí âûâîä îá àíèçîòðîïíîì âëèÿ-
íèè äâîéíèêîâ íà êîíñòàíòó Õîëëà, îáóñëîâëèâàþ-
ùåì, â ñâîþ î÷åðåäü, âîçíèêíîâåíèå ïðîäîëüíîé
íå÷åòíîé êîìïîíåíòû �| |
�. Àíèçîòðîïèÿ õîëëîâñêîé
ïðîâîäèìîñòè èññëåäîâàíà ýêñïåðèìåíòàëüíî â ðàáî-
òå [8], ãäå íèæå õàðàêòåðíîé òåìïåðàòóðû íà÷àëà
ïèííèíãà âèõðåé íà äâîéíèêàõ íàáëþäàëàñü óáû-
âàþùàÿ ñ ïîíèæåíèåì òåìïåðàòóðû çàâèñèìîñòü îò-
íîøåíèÿ � � �H H
� | | ( �H
� , �H
| | — õîëëîâñêèå ïðîâîäè-
ìîñòè ïðè âåêòîðå j, íàïðàâëåííîì ïåðïåíäèêóëÿðíî
è ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòÿì äâîéíèêîâ). Â [8] àíèçî-
òðîïèÿ õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè, âûçâàííàÿ âëèÿ-
íèåì äâîéíèêîâ, áûëà îáúÿñíåíà íà îñíîâå òåîðèè
ÂÄÒ [6], îáîáùåííîé íà ñëó÷àé ó÷åòà ïîðîæäàåìîé
äâîéíèêàìè àíèçîòðîïèè ïèííèíãà. Â ðàáîòå [9] èñ-
ñëåäîâàíî âëèÿíèå âèäà âèõðåâîé ôàçû è ïèííèíãà
âèõðåé íà äâîéíèêàõ íà ïîâåäåíèå õîëëîâñêîé ïðî-
âîäèìîñòè è ñêåéëèíã (ïðè � � 450). Â çàâèñèìîñòè
îò íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî îòíîøåíèþ ê
ïëîñêîñòÿì äâîéíèêîâ (çàäàâàåìîãî óãëîì ) íàáëþ-
äàëîñü äâà òèïà ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ: â îáëàñòè
*
ïåðåõîä áðýãã-ñòåêëî — æèäêàÿ ôàçà ( ïðè T Tm� ) è
â îáëàñòè � * ïåðåõîä áîçå-ñòåêëî — æèäêàÿ ôàçà
ïðè (T TBg� ).  îáîèõ ñëó÷àÿõ óñòàíîâëåí çàêîí
ñêåéëèíãà � ��xy xx� ñî çíà÷åíèåì� � 1 4, ïðè
* è
çíà÷åíèåì � � 2 ïðè � *, íå çàâèñÿùèé îò âåëè÷èí
òåìïåðàòóðû, ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïëîòíîñòè òîêà, óãëà
( â ñîîòâåòñòâóþùèõ îáëàñòÿõ) è íå÷óâñòâèòåëüíûé
ê ôàçîâîìó ïåðåõîäó. Íàáëþäàëèñü ìîíîòîííîå
óáûâàíèå çàâèñèìîñòè � xy T( ) äî òåìïåðàòóð Tm ,
TBg, à äàëåå ðåçêàÿ ðàñõîäèìîñòü ïðè T Tm� â
áðýãã-ôàçå è íàñûùåíèå ïðè T TBg� â áîçå-ôàçå; â
áðýãã-ôàçå íàáëþäàëàñü çàâèñèìîñòü � xy T( ) îò ïèí-
íèíãà. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàí âûâîä, ÷òî ïîâåäåíèå
õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè è âèä ñêåéëèíãà ñóùåñò-
âåííî ðàçëè÷íû â áîçå- è áðýãã-ôàçàõ è ïîñëåäíèé
îáóñëîâëåí òèïîì áåñïîðÿäêà ( çíà÷åíèå� � 1 4, ñîîò-
âåòñòâóåò òî÷å÷íîìó áåñïîðÿäêó, à � � 2 — êîðåëëè-
ðîâàííîìó áåñïîðÿäêó).
Îòìåòèì, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíûå ðåçóëüòàòû
[7,8] óêàçûâàþò íà íàðóøåíèå ñîîòíîøåíèÿ Îíñàãå-
ðà äëÿ êèíåòè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ (� �xy yx� � ),
îáóñëîâëåííîå âëèÿíèåì äâîéíèêîâ íà õîëëîâñêóþ
ïðîâîäèìîñòü èçîòðîïíîãî îáðàçöà. Îáðàòèì âíè-
ìàíèå íà òî, ÷òî â ðàìêàõ ôåíîìåíîëîãè÷åñêîé ìî-
äåëè àíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà [13] ïîëó÷åíû ñêåé-
ëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ îáùåãî âèäà, âûðàæàþùèå
êîìïîíåíòû òåíçîðà ïðîâîäèìîñòè �� (âêëþ÷àÿ õîë-
ëîâñêèå ïðîâîäèìîñòè � xy,� yx) ÷åðåç íàáëþäàåìûå
âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè â L-, T-ãåîìåòðèÿõ;
â ðàáîòå [15] ïîëó÷åíî ñêåéëèíãîâîå ñîîòíîøåíèå
äëÿ õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè ïðè íàëè÷èè àíèçî-
òðîïíîãî ïèííèíãà ÷åðåç íàáëþäàåìûå ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì óãëå ìåæäó íàïðàâ-
ëåíèåì òîêà è ïëîñêîñòÿìè äâîéíèêîâ, ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþùååñÿ îò ñòåïåííîãî ñêåéëèíãà â èçîòðîï-
íîì ñëó÷àå [1].
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 23
Îñîáåííîñòüþ òåîðåòè÷åñêèõ ìîäåëåé àíèçîòðîï-
íîãî ïèííèíãà, ðàññìîòðåííûõ â [11–15,17], ÿâëÿ-
åòñÿ ñóùåñòâîâàíèå êðèòè÷åñêîãî òîêà jc òîëüêî äëÿ
íàïðàâëåíèÿ, ñòðîãî ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ê ïëîñêî-
ñòÿì äâîéíèêîâ (� � 0); äëÿ ëþáîãî äðóãîãî íàïðàâ-
ëåíèÿ jc( )� � 0 (0 2�
� �/ ). Òåì íå ìåíåå èçìåðå-
íèÿ ðåçèñòèâíîãî îòêëèêà äëÿ òâåðäîé âèõðåâîé
ôàçû âñåãäà ïîêàçûâàþò, ÷òî jc( )�
0 äëÿ ëþáûõ
óãëîâ � [9,23] (õîòÿ jc( )� ìîæåò áûòü àíèçîòðîï-
íûì). Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü îäíîîñíîãî àíèçî-
òðîïíîãî ïèííèíãà íå ìîæåò ó÷åñòü jc-àíèçîòðîïèþ
òâåðäîé âèõðåâîé ôàçû [9,23]. Ñàìîé ïðîñòîé ìîäå-
ëüþ, ðåàëèçóþùåé jc-àíèçîòðîïèþ äëÿ ëþáûõ óã-
ëîâ � ïðè íàëè÷èè ïëàíàðíîãî ïîòåíöèàëà ïèííèí-
ãà, ñëóæèò ìîäåëü áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà ñ
ñîñòàâíûì ïîòåíöèàëîì, ôîðìèðóåìûì ñóïåðïîçè-
öèåé äâóõ ïåðèîäè÷åñêèõ ïëàíàðíûõ ïîòåíöèàëîâ
ïèííèíãà, äåéñòâóþùèõ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðåàëèçàöè-
åé áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà, êàê â åñòåñòâåííî
âîçíèêàþùèõ [24], òàê è èñêóññòâåííî ïîëó÷àåìûõ
[25] ïèííèíãîâûõ ñòðóêòóðàõ, ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â
îáðàçöå äâóõ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì ïëî-
ñêèõ îäíîíàïðàâëåííûõ ðàâíîîòñòîÿùèõ ÖÏ. Ñëå-
äóåò çàìåòèòü, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò
íåáîëüøîå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàáîò ïî èçó-
÷åíèþ ðåçèñòèâíûõ ñâîéñòâ ñâåðõïðîâîäíèêîâ òîëü-
êî ñ îäíîîñíîé àíèçîòðîïèåé ïèííèíãà [7–9,11].
Äëÿ ñëó÷àÿ áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà òàêèå ðàáî-
òû ïîêà îòñóòñòâóþò (ïåðâàÿ òåîðåòè÷åñêàÿ ðàáîòà
íà ýòó òåìó ïîÿâèëàñü ëèøü â 2002 ã. [16]). Êàê íàì
èçâåñòíî, â áëèæàéøåå âðåìÿ ïëàíèðóåòñÿ èññëåäî-
âàíèå ñâåðõïðîâîäíèêîâ ñ áèàíèçîòðîïíûì ïîòåí-
öèàëîì ïèííèíãà, ñîçäàâàåìûì âçàèìíî îðòîãî-
íàëüíûìè ñèñòåìàìè äâîéíèêîâ è íàíîòðåùèí [25],
à òàêæå ñèñòåìîé âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ óçêèõ ïî-
ëîñîê èç ìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ (Co, Ni), íàïûëåí-
íûõ íà ñâåðõïðîâîäÿùèå ïëåíêè [26,27].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå òåîðåòè÷åñêè èçó÷àåòñÿ íå-
÷åòíûé (îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ)
ðåçèñòèâíûé îòêëèê ñâåðõïðîâîäíèêà â ñìåøàííîì
ñîñòîÿíèè ïðè íàëè÷èè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà
è ìàëîì ýôôåêòå Õîëëà, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé
èçîòðîïíîé êîíñòàíòû Õîëëà [14]. Ôîðìóëû äëÿ
íàáëþäàåìûõ ðåçèñòèâíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû
— ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ ïðîäîëü-
íîãî è ïîïåðå÷íîãî ïî òîêó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé
� �
| |,
( , , )
�
� j T êàê ôóíêöèé ïëîòíîñòè òîêà j, òåìïåðà-
òóðû T, óãëà �, çàäàþùåãî íàïðàâëåíèå âåêòîðà
ïëîòíîñòè òîêà ïî îòíîøåíèþ ê îñÿì àíèçîòðîïèè
(ñì. ðèñ. 1), ïîëó÷åíû â ðàìêàõ äâóìåðíîé ñòîõàñ-
òè÷åñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà íà îñ-
íîâå óðàâíåíèé Ôîêêåðà—Ïëàíêà â ïðèáëèæåíèè
íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ âèõðåé è â ïåðâîì ïðèáëèæå-
íèè ïî ìàëîé êîíñòàíòå Õîëëà [16]. Ìàëûé ýôôåêò
Õîëëà íå âëèÿåò íà âûðàæåíèÿ äëÿ ÷åòíûõ ïî ìàã-
íèòíîìó ïîëþ êîìïîíåíò ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
� �
| |,
( , , ),
�
� j T íî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ íå÷åòíûõ ïî
ìàãíèòíîìó ïîëþ êîìïîíåíò ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
� �| |, ( , , ).�
� j T Ïðè îòñóòñòâèè ýôôåêòà Õîëëà ñâîéñò-
âà íàáëþäàåìûõ (÷åòíûõ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ) ìàã-
íèòîñîïðîòèâëåíèé, ñâÿçàííûå ñ íèìè àíèçîòðîïèÿ
êðèòè÷åñêîãî òîêà è ýôôåêò íàïðàâëåííîãî äâèæå-
íèÿ âèõðåé, äåòàëüíî òåîðåòè÷åñêè èçó÷åíû â ðàáî-
òàõ [18,19]. Íåëèíåéíîå ïîâåäåíèå íàáëþäàåìûõ
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé � �
| |,
( , , )
�
� j T â ñòîõàñòè÷å-
ñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà êàê ïðè íà-
ëè÷èè ýôôåêòà Õîëëà, òàê è ïðè åãî îòñóòñòâèè, îï-
ðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ôóíêöèé � �x y j T, ( , , )
âåðîÿòíîñòè ïðåîäîëåíèÿ âèõðåì xy-êîìïîíåíò ïî-
òåíöèàëà ïèííèíãà, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó âèõðåé
ïî îòíîøåíèþ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ñèñòåìàì ïëî-
ñêèõ ÖÏ. Ïîâåäåíèå çàâèñèìîñòåé � �| |, ( , , )�
� j T îáó-
ñëîâëåíî ýâîëþöèåé âèõðåâîé äèíàìèêè ñ èçìåíå-
íèåì òîêà è òåìïåðàòóðû è ñâÿçàíî ñ ðåàëèçàöèåé
îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé ðåæèìîâ äèíàìèêè âèõ-
ðåé îòíîñèòåëüíî îáåèõ ñèñòåì ÖÏ. Êîëè÷åñò-
âåííûé è êà÷åñòâåííûé àíàëèç ýòèõ çàâèñèìîñòåé
ïðîâîäèòñÿ â òåðìèíàõ ôóíêöèé � �x y j T, ( , , ) è íà-
ãëÿäíî äåìîíñòðèðóåòñÿ ïðè ïîìîùè äèàãðàììû
äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé âèõðåâîé ñèñòåìû íà ïëîñ-
24 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
Ðèñ. 1. Ñèñòåìà êîîðäèíàò xy, ñâÿçàííàÿ ñ äâóìÿ âçàèì-
íî îðòîãîíàëüíûìè ñèñòåìàìè ÖÏ (èõ ðàñïîëîæåíèå
çàäàþò âåêòîðû àíèçîòðîïèè x y, , ÿâëÿþùèåñÿ ïåðïåíäè-
êóëÿðàìè ê èõ ïëîñêîñòÿì), è ñèñòåìà êîîðäèíàò x y� �,
ñâÿçàííàÿ ñ íàïðàâëåíèåì òîêà (âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà j
íàïðàâëåí âäîëü îñè 0x�); � — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè y
è j; � — óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè âèõðåé v è âåêòî-
ðîì j; B — âåêòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ; FL — ñèëà Ëîðåíöà.
êîñòè jx jy [19]. Àíàëèçèðóåòñÿ âçàèìîñâÿçü íåëè-
íåéíûõ àíèçîòðîïíûõ ñâîéñòâ �| |,�
� ñ îñíîâíûìè (â
íàïðàâëåíèÿõ îñåé àíèçîòðîïèè) êðèòè÷åñêèìè òî-
êàìè j Tc
x y, ( ) è òîêàìè íàñûùåíèÿ j Ts
x y, ( ) ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñèñòåìû. Îáñóæäàþòñÿ íîâûå ñêåéëèíãî-
âûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè â
ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà â òåðìèíàõ íà-
áëþäàåìûõ ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé � �
| |,
( , , )
�
� j T
[16], à òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñêåéëèíã è åãî óñòîé-
÷èâîñòü â áàçîâûõ X- è Y-ãåîìåòðèÿõ.
Ðàñïîëîæåíèå ìàòåðèàëà ñòàòüè ïî ðàçäåëàì ñëå-
äóþùåå.  ðàçä. 2 èçëîæåíà äâóìåðíàÿ ñòîõàñòè÷å-
ñêàÿ ìîäåëü áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà íà îñíîâå
óðàâíåíèé Ôîêêåðà–Ïëàíêà è ïîëó÷åíû âûðàæå-
íèÿ äëÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè âèõðåâîé ñèñòåìû â ïåð-
âîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîé êîíñòàíòå Õîëëà. Â
ðàçä. 3 ïîëó÷åíû â îáùåì âèäå ôîðìóëû äëÿ òåíçî-
ðîâ íåëèíåéíûõ ïðîâîäèìîñòåé è ñîïðîòèâëåíèé è
âñåõ êîìïîíåíò íàáëþäàåìûõ ìàãíèòîñîïðîòèâëå-
íèé �
| |,�
� . Â ðàçä. 4 ïîòåíöèàë áèàíèçîòðîïíîãî ïèí-
íèíãà îáùåãî âèäà êîíêðåòèçèðîâàí ïðèìåíèòåëüíî
ê åãî âîçìîæíûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì ðåàëèçàöèÿì
è îáñóæäàþòñÿ òî÷íûå ÷àñòíûå âûðàæåíèÿ äëÿ
ôóíêöèé âåðîÿòíîñòè � � �x y. Â ðàçä. 5 âñåñòîðîííå
àíàëèçèðóþòñÿ íàáëþäàåìûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
�| |,�
� . Â ðàçä. 6 ðàññìàòðèâàþòñÿ ñêåéëèíãîâûå ñîîò-
íîøåíèÿ â ðàìêàõ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè.  çàêëþ÷å-
íèè ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå âûâîäû ðàáîòû.
2. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü áèàíèçîòðîïíîãî
ïèííèíãà
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äèíàìèêå âèõðåé â ñâåðõ-
ïðîâîäÿùåì îáðàçöå ïðè íàëè÷èè áèàíèçîòðîïíîãî
ïèííèíãà, ñîçäàâàåìîãî äâóìÿ îðòîãîíàëüíûìè ñèñ-
òåìàìè ïëîñêèõ îäíîíàïðàâëåííûõ ðàâíîîòñòîÿ-
ùèõ öåíòðîâ ïèííèíãà, â îáùåì ñëó÷àå ñ ðàçëè÷íû-
ìè êîíöåíòðàöèÿìè ÖÏ è ãëóáèíîé ïîòåíöèàëîâ
ïèííèíãà â ýòèõ ñèñòåìàõ. Âûäåëåííûå íàïðàâëå-
íèÿ, âäîëü êîòîðûõ äåéñòâóþò ñèëû ïèííèíãà ñî
ñòîðîíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ÖÏ, õàðàêòåðèçó-
þòñÿ âåêòîðàìè àíèçîòðîïèè ïèííèíãà x è y (ñì.
ðèñ. 1).
Äâóìåðíûé ïîòåíöèàë ïèííèíãà òàêîé ñèñòåìû
ïëîñêèõ äåôåêòîâ ïðåäïîëàãàåòñÿ àääèòèâíûì è ïå-
ðèîäè÷åñêèì â íàïðàâëåíèÿõ àíèçîòðîïèè, ò.å.
U x y U x U yp pa pb( , ) ( ) ( )� � , (1)
ãäå U x U x apa pa( ) ( )� � , U y U y bpb pb( ) ( )� � , a b,
— ïîñòîÿííûå ïåðèîäîâ.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î äèíàìèêå âèõðåé ïðè íà-
ëè÷èè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà ïðèìåíèì ìåòîä
Ôîêêåðà–Ïëàíêà. Óðàâíåíèå Ëàíæåâåíà äëÿ äâè-
æóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ v âèõðÿ â ìàãíèòíîì ïîëå
B n� B (ãäå B n� �| |, ,B n z z — îðò âäîëü îñè z, à
n � �1) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
� �v v z F F F� � � � �n H L p th , (2)
ãäå F j zL n /c� �( )�0 — ñèëà Ëîðåíöà (�0 —
êâàíò ìàãíèòíîãî ïîòîêà, c — ñêîðîñòü ñâåòà, j —
ïëîòíîñòü òîêà); Fp pU� �� — ñèëà ïèííèíãà (Up
— ïîòåíöèàë ïèííèíãà); Fth — ñèëà òåðìè÷åñêèõ
ôëóêòóàöèé; � — êîíñòàíòà ýëåêòðîííîé âÿçêîñòè;
�H — êîíñòàíòà Õîëëà. Ôëóêòóàöèîííàÿ ñèëà
Fth ( )t ïðåäñòàâëÿåòñÿ ãàóññîâûì áåëûì øóìîì,
ñòîõàñòè÷åñêèå ñâîéñòâà êîòîðîãî çàäàþòñÿ ñîîòíî-
øåíèÿìè
F t F t F t T t ti i j ijth th th, , ,( ) , ( ) ( ) ~ ( )� � � � �0 2 � �� ,
(3)
ãäå ~T — òåìïåðàòóðà â ýíåðãåòè÷åñêèõ åäèíèöàõ.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (3), óðàâíåíèå (2) ìîæíî
ñâåñòè ê ñèñòåìå óðàâíåíèé Ôîêêåðà–Ïëàíêà:
� �S S z F F� � � � � �n P T PH L p( ) ~ , (4)
�
�
� ���
P
t
S , (5)
ãäå P t( , )r — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ìåñòîíàõîæäå-
íèÿ âèõðÿ â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå r � ( , )x y , à
S r r v r( , ) ( , ) ( , )t P t t� — ïëîòíîñòü ïîòîêà âåðîÿòíî-
ñòè ñêîðîñòè âèõðÿ. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü âèõðåé v
ïî îïðåäåëåíèþ ðàâíà � � � �S r rd / Pd2 2 .
 ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (4) äëÿ ôóíê-
öèé P P x y� ( , ) è S � ( ( , ), ( , )S x y S x yx y ) ñâîäèòñÿ ê
óðàâíåíèÿì
� �
� �
S n S F P T P/ x
n S S F P T P/ y
x H y x
H x y y
� � � � �
� � � � � �
� ~( ),
~( ),
�
�
�
(6)
ãäå F F dU /dxx Lx pa� � , F F dU /dyy Ly pb� � .
Óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ (5) ïðèâî-
äèò ê ðàâåíñòâó
� � � � � �S / x S / yx y 0. (7)
Âñëåäñòâèå àääèòèâíîñòè ïîòåíöèàëà ïèííèíãà
ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ìåñòîíàõîæäåíèÿ
âèõðåé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ôàêòîðèçîâàí-
íîì âèäå: P x y P x P ya b( , ) ( ) ( )� .
 äàííîé ðàáîòå êîíñòàíòà Õîëëà �H ïðåäïîëà-
ãàåòñÿ ìàëîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ýëåêòðîííîé âÿçêîñòüþ
�. Ââåäåì áåçðàçìåðíûé ìàëûé ïàðàìåòð º � � ��/
(º�� 1) è ïàðàìåòð � � nº.
 íóëåâîì ïðèáëèæåíèè ïî ïàðàìåòðó � (ñëó÷àé
ïðåíåáðåæåíèÿ ýôôåêòîì Õîëëà) âûðàæåíèÿ äëÿ
êîìïîíåíò ñðåäíåé ñêîðîñòè âèõðÿ èìåþò âèä [18]:
v F /x x Lx� ~ ( )� �; v F /y y Ly� ~ ( ) ,� � (8)
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 25
ãäå ~ ( ) ( ),� �i iF F F� i x y� , (âûðàæåíèÿ äëÿ � i F( )
ñì. â [18], ôîðìóëà (11)), ôóíêöèÿ � i F( ) èìååò
ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåðîÿòíîñòè ïðåîäîëåíèÿ âèõðÿ-
ìè ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ÖÏ â íàïðàâëåíèÿõ x
è y ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ýôôåêòèâíîé ñèëû F
(ñì. ïîäðîáíåå [15]).
Ïîëó÷èì òåïåðü âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ñðåä-
íåé ñêîðîñòè âèõðÿ ïðè ó÷åòå ýôôåêòà Õîëëà â ïåð-
âîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó � (| |� �� 1).
Ôóíêöèè Pa , Pb è ax , by (ñì. îïðåäåëåíèå â [18],
ôîðìóëà (9)) â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
P P P
P P P
a a a
b b b
� �
� �
�
�
0 1
0 1
�
�
,
,
a a a
b b b
x x
y y
� �
� �
�
�
0 1
0 1
�
�
,
,
(9)
ãäå P Pa b1 1, è a bx y1 1, — ïîïðàâêè ê ôóíêöèÿì
P Pa b0 0, è a b0 0, íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ ïî �, ïîÿâ-
ëÿþùèåñÿ çà ñ÷åò ó÷åòà ìàëîãî ýôôåêòà Õîëëà
(î÷åâèäíî, ôóíêöèè P aa x1 1, è P ab y1 1, ïåðèîäè÷íû
ñ ïåðèîäàìè a è b ñîîòâåòñòâåííî). Äåéñòâóÿ ïî àíà-
ëîãèè ñî ñëó÷àåì � � 0 [18], èñïîëüçóåì ôîðìóëû
(6), (7) è ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ a bx y1 1, :
a F P x P
b F P y P
x y Ly a a
y x Lx b
1 0 0
1 0
0� �
� � �
~ ( )( ( ) ( )),
~ ( )( ( )
�
� b0 0( )).
�
�
�
�
(10)
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ P Pa b1 1, ïîëó-
÷èì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ a bx y, :
F P TdP /dx a
F P TdP /dy b
x a a x
y b b y
1 1 1
1 1 1
� �
� �
�
�
�
�
~ ,
~ .
(11)
Óðàâíåíèÿ (11) àíàëîãè÷íû óðàâíåíèÿì äëÿ íó-
ëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ, îäíàêî òåïåðü â ïðàâîé ÷àñòè
ïîÿâèëèñü çàâèñÿùèå îò x è y ôóíêöèè a bx y1 1, . Ðå-
øåíèåì óðàâíåíèé (11) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿ
P x /T F a f x d d /fa y Ly a
x
x a a
1
2
0
21( ) ( ~ )~ ( ) ( ) ( )�
� �
� �� ! " "
�
�
,
f x F x U x /TLx p( ) exp [ ( ( )) ~]� � �
(12)
è ôóíêöèÿ P yb1( ), ôîðìàëüíî ïîëó÷àåìàÿ èç P xa1( )
çàìåíîé ïåðåìåííîé x y# , èíäåêñîâ x y$ è
a b# , a b0 0# , a b# .
Èç îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè âèõðÿ v åå
êîìïîíåíòû â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðà-
ìåòðó � ðàâíû
v A /aa /x x x� �~ [ (~ )]� � � �1 1 0 ,
v B /bb /y y y� �~ [ (~ )]� � � �1 1 0 ,
(13)
ãäå A P dx B P dya
a
b
b
1 1
0
1 1
0
� �� �, . Äëÿ A1 è B1 ïóòåì
òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþ-
ùåå ïðåäñòàâëåíèå:
A aa d/dF /y Lx x1 0 1� � ~ ( ~ )� � ,
B bb d/dF /x Ly y1 0 1� ~ ( ~ )� � .
(14)
Ïîäñòàâëÿÿ ôîðìóëû (14) â (13), îêîí÷àòåëüíî
äëÿ êîìïîíåíò ñðåäíåé ñêîðîñòè âèõðÿ ïðè íàëè-
÷èè ìàëîãî ýôôåêòà Õîëëà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè
ïî ïàðàìåòðó � ïîëó÷àåì
v F F /x x Lx y Ly� �~ [ ~ ( )]� �� � ,
v F F /y y Ly x Lx� �~ [ ~ ( )]� �� � .
(15)
Âûâîä ôîðìóë (15) ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ ïî
ìàëîìó ïàðàìåòðó � ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå óñëî-
âèé | | | ~ ( )|F FLx y Ly
�� , | | | ~ ( )|F FLy x Lx
�� . Ñëåäî-
âàòåëüíî, âûðàæåíèÿ (15) äëÿ êîìïîíåíò ñðåäíåé
ñêîðîñòè âèõðÿ ñïðàâåäëèâû â îáëàñòè óãëîâ �,
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ º tg º�� �� �� 1 .  ðàç-
äåëàõ 3, 5 ðàññìîòðåíèå ðåçèñòèâíûõ ñâîéñòâ îòíî-
ñèòñÿ ê ýòîé îáëàñòè óãëîâ. Ñëó÷àé óãëîâ �, áëèçêèõ
ê X-,Y-ãåîìåòðèÿì, ðàññìîòðåí îòäåëüíî â ðàçä. 6.
3. Òåíçîðû íåëèíåéíîé ïðîâîäèìîñòè è
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ è ýêñïåðèìåíòàëüíî
íàáëþäàåìûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, èíäóöèðóåìîå äâèæóùåéñÿ
âèõðåâîé ñèñòåìîé, åñòü
E B v x y� � � � �( ) ( )( )1/c n B/c v vy x . (16)
Èç ôîðìóë (15), (16) ïîëó÷èì òåíçîð ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèé �� äëÿ íåëèíåéíîãî çàêîíà ÎìàE j j� �( )� :
��
� �
� �
�
%
&
''
(
)
** �
xx xy
yx yy
�
�%
&
'
'
(
)
� �� �
�� � �
y y x Lx y Ly
x Lx y Ly x x
F F F
F F F
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
* . (17)
Êîìïîíåíòû òåíçîðà �� èçìåðÿþò â åäèíèöàõ
� �f B c� ( / )�0
2 — ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ òå÷å-
íèþ ïîòîêà; F F F Fx Lx Ly y Ly� � � � ( ), F Fy Ly� �
� � �F FLx x Lx( )— êîìïîíåíòû âíåøíåé ñèëû, äåé-
ñòâóþùèå âäîëü âåêòîðîâ x è y ñîîòâåòñòâåííî.
Êàê âèäíî èç (17), â îáùåì íåëèíåéíîì ñëó÷àå
íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà �� óäîâëåòâîðÿ-
þò ñîîòíîøåíèþ Îíñàãåðà (� �xy yx� � ). Îòìåòèì
òàêæå, ÷òî êîìïîíåíòû �xy è �yx çàâèñÿò îò ïàðà-
ìåòðà � ÿâíî, òîãäà êàê äèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû
�xx è �yy — íåÿâíî, ÷åðåç ñâîè àðãóìåíòû Fy è Fx .
Âñå êîìïîíåíòû òåíçîðà �� (â îòëè÷èå îò êîìïîíåíò
òåíçîðà ��) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ïëîòíîñòè òîêà,
òåìïåðàòóðû è óãëà �.
Òåíçîð ïðîâîäèìîñòè �� (êîìïîíåíòû êîòîðîãî
èçìåðÿþò â åäèíèöàõ1/ f� ), îáðàòíûé ��, èìååò âèä
26 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
�
( )
( )
�
� �
� �
� �
� �
�
%
&
''
(
)
** � �
%
&
'
'
(
)
*
�
�
xx xy
yx yy
y y
x x
F
F
1
1 *
.(18)
Íåäèàãîíàëüíûå êîìïîíåíòû òåíçîðà ��, ñ òî÷íî-
ñòüþ äî çíàêà ðàâíûå áåçðàçìåðíîé êîíñòàíòå Õîë-
ëà º, òàêæå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ Îíñàãåðà
(� �xy yx� � ). Â äèàãîíàëüíûõ êîìïîíåíòàõ çàâè-
ñèìîñòü îò ïàðàìåòðà �, ïî àíàëîãèè ñ òåíçîðîì ��,
íåÿâíàÿ.
Èçìåðÿåìûå ýêñïåðèìåíòàëüíî âåëè÷èíû îòíî-
ñÿòñÿ ê ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ òîêîì (ñì.
ðèñ. 1). Ïðîäîëüíàÿ E| | è ïîïåðå÷íàÿ E� ïî îòíîøå-
íèþ ê íàïðàâëåíèþ òîêà êîìïîíåíòû ýëåêòðè÷åñêî-
ãî ïîëÿ ñâÿçàíû ñ E Ex y, ïðîñòûìè ñîîòíîøåíèÿìè:
E E E
E E E
x y
x y
| | sin cos ,
cos sin .
� �
� � �
�
�
�
� �
� �
� �
(19)
Ïðè íàëè÷èè ýôôåêòà Õîëëà â íàáëþäàåìûõ â
ýêñïåðèìåíòå ïðîäîëüíîì �| | |� E /j| è ïîïåðå÷íîì
�� �� E /j ïî òîêó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿõ íåîáõî-
äèìî ðàçäåëèòü ÷åòíóþ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ
� � �� � � �[ ( ) ( )]n n /2 è íå÷åòíóþ � �� � �[ ( )n
� �� ( )]n /2 ñîñòàâëÿþùèå. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ÷åò-
íóþ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ � � �� � � �[ ( ) ( )]n n /2 è
íå÷åòíóþ � � �� � � �[ ( ) ( )]n n /2 ñîñòàâëÿþùèå
ôóíêöèé �x xF( ), �y yF( ), âõîäÿùèõ â (17) (ôóíê-
öèè �x LxF( ) è �y LyF( ) ÷åòíû ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ
ââèäó ïðåäïîëàãàåìîé ÷åòíîñòè �( )F ).  îáëàñòè óã-
ëîâ, îãðàíè÷åííîé óñëîâèåì º º ,�� �� �tg � 1 ïðè
êîòîðîì âîçìîæíî ðàçëîæåíèå ôóíêöèé �x xF( ),
�y yF( ) ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó �, ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè-
÷èíû ~ �3 äëÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ èìååì:
� �
� �� �
x x x Lx
x x x Lx y Ly
F F
F F F
�
�
�
� � �
�
�
�
�
( ) ( ),
( ) ( )~ ( ) ,
� �
� �� �
y y y Ly
y y y Ly x Lx
F F
F F F
�
�
�
� �
�
�
�
�
( ) ( ),
( ( )~ ( ) ,)
(20)
ãäå øòðèõîì îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ � �� ( )F
� d F /dF�( ) .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (19), (20), ïîëó÷àåì âûðà-
æåíèÿ äëÿ ÷åòíîé è íå÷åòíîé ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ
êîìïîíåíò ïðîäîëüíîãî �| | è ïîïåðå÷íîãî �� ïî òîêó
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé [16]:
� � � � �
� � �
| |
( )sin ( ) cos ,
[ ( ) (
�
�
�
� �
� �
y Ly x Lx
x Lx y Ly
F F
F F
2 2
)]sin cos ,� �
�
�
�
�
(21)
� � � � �
� �� �
| | ( )sin ( ) cos ,
( ) ( )
� � �
�
�
� �
�
y y x x
x Lx y Ly
F F
F F
2 2
� �
�
�
�
�
� �[ ( ( )] sin cos .)� � � �x x y yF F
(22)
×åòíûå ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ êîìïîíåíòû ìàãíè-
òîñîïðîòèâëåíèÿ �
| |,�
� , ÿâëÿþùèåñÿ êîìáèíàöèåé
ôóíêöèé � �x y, , îòðàæàþò íåëèíåéíóþ äèíàìèêó
âèõðåé â ñâåðõïðîâîäíèêå ñ áèàíèçîòðîïíûì ïèí-
íèíãîì. Ôîðìóëû (21) äëÿ �
| |,�
� íå çàâèñÿò îò ïà-
ðàìåòðà � â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî íåìó, ò.å. ñî-
îòâåòñòâóþò ñëó÷àþ � � 0, òåîðåòè÷åñêè ïîäðîáíî
èçó÷åííîìó â [18,19]. Íå÷åòíûå ïî ìàãíèòíîìó
ïîëþ êîìïîíåíòû ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �| |,�
� èìå-
þò õîëëîâñêîå ïðîèñõîæäåíèå. Îíè ïðîïîðöèî-
íàëüíû ïàðàìåòðó � è ÿâëÿþòñÿ êîìáèíàöèåé ôóíê-
öèé � �x y, è èõ ïðîèçâîäíûõ � �� �x y, . Íèæå áóäóò
èçó÷åíû ñâîéñòâà ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �| |,�
� íà îñ-
íîâå ìîäåëüíîãî ïîòåíöèàëà áèàíèçîòðîïíîãî ïèí-
íèíãà, èñïîëüçîâàííîãî â ðàáîòàõ [15,18,19].
Áåçðàçìåðíûå ôóíêöèè � �x yF T F T( , ~), ( , ~) (F
îáîçíà÷àåò àðãóìåíòû F FLx x, ôóíêöèè �x , è
F FLy y, ôóíêöèè �y) , èìåþùèå ôèçè÷åñêèé ñìûñë
âåðîÿòíîñòåé ïðåîäîëåíèÿ âèõðåì ïîòåíöèàëüíûõ
áàðüåðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ÖÏ — îñíîâíûå
íåëèíåéíûå êîìïîíåíòû çàäà÷è.  íåëèíåéíîì ñëó-
÷àå ôóíêöèè �x y, ñîîòâåòñòâóþò ñãëàæåííîìó
ñòóïåí÷àòîìó ðåçèñòèâíîìó ïåðåõîäó, à ôóíêöèè
� �� �x y, èìåþò ôîðìó ïèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ â îáëàñ-
òè íåëèíåéíîñòè ïåðåõîäà (ñì. íèæå). Â îáëàñòÿõ
íåëèíåéíîñòè ôóíêöèé � �x y, ïî òîêó è òåìïåðàòó-
ðå (èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, â îáëàñòÿõ íåëèíåéíîñòè
ïèííèíãîâûõ âÿçêîñòåé) â ñîîòâåòñòâóþùèõ çàâèñè-
ìîñòÿõ íàáëþäàåìûõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèé ïðîÿâëÿåòñÿ ÿðêî âûðàæåííàÿ íåëè-
íåéíîñòü. Èç ôîðìóë (21), (22) ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî â íåëèíåéíîì ñëó÷àå � �
| |
,� �
� ÿâëÿþòñÿ êîìáèíà-
öèÿìè ñãëàæåííûõ ñòóïåí÷àòûõ ïåðåõîäîâ («ñòóïå-
íåê»): �| |
� — êîìáèíàöèè ïèêîâ, ��
� — êîìáèíàöèè
«ñòóïåíåê» è ïèêîâ.
Îòìåòèì ñâÿçü ÷åòíûõ êîìïîíåíò ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿ ñî ñâîéñòâàìè ôóíêöèé �x y, . Ââåäåì
X- è Y-ãåîìåòðèè, â êîòîðûõ j x| | ( )� �� /2 è
j y| | ( )� � 0 . Ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðîäîëü-
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 27
íûå ÷åòíûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ � �
| |
( , ~) ( , ~)x
yj T j T� ,
�
| |
( , ~)y j T � �x j T( , ~), òîãäà êàê � �� �
� �x y 0 (çäåñü âðå-
ìåííî îïóùåí èíäåêñ « + » ó âåëè÷èí �
| |,�
� ) . Òàêèì
îáðàçîì, èçìåðåíèå â X-,Y-ãåîìåòðèÿõ ïðîäîëüíûõ
÷åòíûõ ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü
òîêîâûå è òåìïåðàòóðíûå çàâèñèìîñòè ôóíêöèé
�x y, , ÷òî äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ â ïåðâîì ïðè-
áëèæåíèè ïî ïàðàìåòðó � âñåõ âèäîâ ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèé �
| |,
( , ~)
�
� j T ïðè ïðîèçâîëüíûõ óãëàõ �, ïî-
ñêîëüêó âõîäÿùèå â ôîðìóëû (21), (22) ôóíêöèè �x y,
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê � �x Lx x yF T j T( , ~) ( , ~)� �
� �
| |
( , ~)y
yj T ; � � �y Ly y x
x
xF T j T j T( , ~) ( , ~) ( , ~)
| |
� � è,
ñëåäîâàòåëüíî, âîññòàíîâèòü òàêæå ��x LxF T( , ~) è
��y LyF T( , ~).
4. Ñâîéñòâà ôóíêöèé âåðîÿòíîñòåé
ïðåîäîëåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ
ïèííèíãà �x y j p k, ( , , , , , )t a e
Íåëèíåéíûå ñâîéñòâà íå÷åòíûõ íàáëþäàåìûõ
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �| |
�, êàê âèäíî èç ôîðìóë
(20), (22), ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ ïîâåäåíèåì
ôóíêöèé �x LxF T( , ~), �y LyF T( , ~), ��x LxF T( , ~),
��y LyF T( , ~), çàâèñÿùèì îò âèäà ïîòåíöèàëà ïèííèí-
ãà (ñì. îïðåäåëåíèå â [18], ôîðìóëà (11)). Àíàëî-
ãè÷íî ðàáîòàì [15,18], êîíêðåòèçèðóåì ýòîò ïîòåí-
öèàë ïðèìåíèòåëüíî ê ÂÒÑÏ òèïà YBaÑuO, êîãäà
ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðåàëèçàöèåé àíèçîòðîïíûõ öåí-
òðîâ ïèííèíãà ìîãóò áûòü äâîéíèêè, íàíîòðåùèíû
èëè ïðîìåæóòêè ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ñëîèñòîãî
ñâåðõïðîâîäíèêà [20,25,26]. Äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ
ñëó÷àåâ ïàðàìåòð ïîðÿäêà ïîíèæåí â îáëàñòè öåí-
òðà ïèííèíãà, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îáëàñòè âèõ-
ðÿì ýíåðãåòè÷åñêè âûãîäíî ëîêàëèçîâàòüñÿ.
Àíàëèç õîëëîâñêèõ ðåçèñòèâíûõ ñâîéñòâ áóäåì
ïðîâîäèòü íà îñíîâå òåõ æå ïîòåíöèàëîâ ïèííèíãà
Upa èUpb, ÷òî è â [18] (ôîðìóëû (19), ðèñ. 2), êî-
òîðûå ïðèâîäÿò ê ôîðìóëàì (20) äëÿ ôóíêöèè
� + ,( , , ).f Êîëè÷åñòâåííûé è êà÷åñòâåííûé àíàëèç åå
ïîâåäåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò âñåõ ïàðàìåòðîâ è àñèì-
ïòîòèêè ýòèõ çàâèñèìîñòåé ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â
ðàáîòå [15]. Õàðàêòåðíûå ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé
ôóíêöèè � + ,( , , )f îò ïàðàìåòðîâ f è + (ñì. [15],
ðèñ. 4, 5) îïèñûâàþò íåëèíåéíóþ äèíàìèêó âèõðå-
âîé ñèñòåìû ñîîòâåòñòâåííî â çàâèñèìîñòè îò äåéñò-
âóþùåé íà âèõðè ïåðïåíäèêóëÿðíî ÖÏ âíåøíåé
ñèëû è òåìïåðàòóðû. Êàê âèäíî íà ýòèõ ðèñóíêàõ,
âèä ãðàôèêîâ çàâèñèìîñòåé �( )f è � +( ) îïðåäåëÿåòñÿ
çíà÷åíèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôèêñèðîâàííûõ ïàðà-
ìåòðîâ + è f. Ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ çàâèñèìîñòü
�( )f îòîáðàæàåò íåëèíåéíûé ïåðåõîä èç ðåæèìà
òåðìè÷åñêè àêòèâèðóåìîãî òå÷åíèÿ ïîòîêà (TAFF-
ðåæèì) â ðåæèì ñâîáîäíîãî òå÷åíèÿ ïîòîêà (FF-ðå-
æèì) ïðè âîçðàñòàíèè âíåøíåé ñèëû ïðè íèçêèõ
òåìïåðàòóðàõ (~T U�� 0) , òîãäà êàê ïðè âûñîêèõ
òåìïåðàòóðàõ (~T U- 0) FF-ðåæèì ðåàëèçóåòñÿ âî
âñåé îáëàñòè èçìåíåíèÿ âíåøíåé ñèëû, ïðè ìàëûõ
ñèëàõ — âñëåäñòâèå äåéñòâèÿ íà âèõðè òåðìè÷åñêèõ
ôëóêòóàöèé. Àíàëîãè÷íî, ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ
çàâèñèìîñòü � +( ) îòîáðàæàåò íåëèíåéíûé ïåðåõîä
èç äèíàìè÷åñêîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî çíà-
÷åíèþ âíåøíåé ñèëû ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå, â
FF-ðåæèì íàñûùåíèÿ.
Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ íå÷åòíûõ ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèé (22) ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â íèõ ïîìèìî
ñàìèõ ôóíêöèé � èõ ïðîèçâîäíûõ ïî âíåøíåé ñèëå.
Ìàòåìàòè÷åñêè ïðîèñõîæäåíèå ýòèõ ïðîèçâîäíûõ
ñâÿçàíî ñ íå÷åòíûìè ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ êîìïî-
íåíòàìè ôóíêöèé � (ñì. ôîðìóëû (20)). Ïîñëåä-
íèå, â ñâîþ î÷åðåäü, èìåþò ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé
ñìûñë. Äèíàìèêà âèõðåâîé ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè
ýôôåêòà Õîëëà ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò
íàïðàâëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýôôåêòèâíûå âíåø-
íèå ñèëû F F n F Fx Lx Ly y Ly� � º ( )� è F Fy Ly� �
� n F FLx x Lxº ( )� , âõîäÿùèå â âûðàæåíèÿ äëÿ �| | , ��
(ïðè îäíîì èç íàïðàâëåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ) è äåé-
ñòâóþùèå íà âèõðè âäîëü âåêòîðîâ àíèçîòðîïèè
ïèííèíãà x è y ïåðïåíäèêóëÿðíî ÖÏ, ñîäåðæàò
âêëàäû êàê êîìïîíåíò ñèëû Ëîðåíöà, òàê è êîìïî-
íåíò ñèëû Ìàãíóñà. Â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ
ìàãíèòíîãî ïîëÿ, çàäàâàåìîãî ìíîæèòåëåì n � �1,
ïàðû êîìïîíåíò ñèë Ëîðåíöà è Ìàãíóñà ìîãóò áûòü
ñîíàïðàâëåííûìè èëè ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåí-
íûìè, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà áóäåò ðàçëè÷íîé â ýòèõ
ñëó÷àÿõ, è, ñîîòâåòñòâåííî, áóäåò ðàçëè÷àòüñÿ ðåçè-
ñòèâíûé îòêëèê. Ïîâåäåíèå ôóíêöèé � â çàâèñèìî-
ñòè îò ïàðàìåòðîâ f,+ ïðÿìî ñëåäóåò èç ñâîéñòâ
ôóíêöèè �.
Çàâèñèìîñòü ��( )f èìååò ôîðìó ïèêà, ðàñïîëî-
æåííîãî â îáëàñòè íåëèíåéíîãî ïåðåõîäà, è ñòðå-
ìèòñÿ ê íóëþ â ëèíåéíûõ ðåæèìàõ (ïðè f # .0, ).
Ïðè f
1 � � �� +( )0 0 (ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè
+ � 0 â îáëàñòè f
1 �( )f � 0) è çàâèñèìîñòü � +�( )
òàêæå èìååò ôîðìó ïèêà ñ íóëåâûì ïðåäåëîì ïðè
+# .; ïðè f
1 ôóíêöèÿ � +�( ) ìîíîòîííî óáûâàåò
îò çíà÷åíèÿ ��( , )f 0 äî íóëÿ ïðè +# ..
Ïåðåõîä ê áåçðàçìåðíûì ïàðàìåòðàì, ïîçâîëÿþ-
ùèì ó÷åñòü â îáùåì ñëó÷àå ðàçëè÷èå ïîòåíöèàëîâ
U Upa pb, , îñóùåñòâëÿåòñÿ òàê æå, êàê è ðàíåå â [18].
Òåìïåðàòóðó áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ïàðàìåòðîì
+ � ~ / ,T U0 ïëîòíîñòü òîêà áóäåì èçìåðÿòü â åäèíè-
öàõ j cU / dc � 0 0( )� ,U U Ux y
/
0 0 0
1 2� ( , ) — ñðåäíÿÿ
ãëóáèíà ïîòåíöèàëüíûõ ÿì; , , ,� ( )x y
/1 2 — ñðåä-
íÿÿ êîíöåíòðàöèÿ ÖÏ; k / a/by x
/ /� �( ) ( ), , 1 2 1 2;
p U /Ux y
/� ( )0 0
1 2 — ìåðû ñîîòâåòñòâóþùèõ àíèçî-
òðîïèé. Íàïîìíèì, ÷òî áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû
f fLx Ly, , çàäàþùèå îòíîøåíèå êîìïîíåíò ñèëû Ëî-
ðåíöà F FLx Ly, ê ñîîòâåòñòâóþùèì ñèëàì ïèííèíãà
28 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
F U /dpx x� 0 , F U /dpy y� 0 , ðàâíû f njpLx � �1 cos ,�
f njpLy � � sin .� Áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû f fx y, , çà-
äàþùèå îòíîøåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê ÖÏ âíåø-
íèõ ñèë F Fx y, ê ñèëàì ïèííèíãà, èìåþò âèä
f F /F njp n fx x px y Ly� � ��1[cos( ) º ( , )sin ]� � + � è
f F /F njp n fy y py x Lx� � � �[ sin º ( , ) cos ]� � + � . Çíà-
÷åíèÿì âíåøíåé ñèëû F F F Fx y� �, , ïðè êîòîðûõ
âûñîòû ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ïîòåíöèàëîâ Upa ,
Upb îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè ~T � 0, ñîîòâåòñòâóþò
áåçðàçìåðíûå êðèòè÷åñêèå òîêè j / pc
x( ) ( sin ),� �/ 1
j p/c
y( ) cos� �/ (ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí
� �x º ctg �� 1, � �y º tg �� 1 ñîîòâåòñòâåííî). Ïðè
~T � 0 îñíîâíûå êðèòè÷åñêèå òîêè âäîëü âåêòîðîâ
àíèçîòðîïèè ïèííèíãà x è y ðàâíû j j /c
x
c
x� /( )� 2
/ �p 1, j j pc
y
c
y� /( )0 .  îáùåì ñëó÷àå íåíóëåâîé
òåìïåðàòóðû êðèòè÷åñêèå òîêè jc
x( , ),+ � jc
y( , )+ � çà-
âèñÿò îò íåå è ñîîòâåòñòâóþò ïðè çàäàííîì óãëå �
èçìåíåíèþ äèíàìèêè âèõðåé èç TAFF- â íåëèíåé-
íûé ðåæèì ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìàì ÖÏ ñ âåêòîðà-
ìè àíèçîòðîïèè ïèííèíãà x è y. Óñëîâèåì, îïðåäå-
ëÿþùèì îáëàñòü òåìïåðàòóð, â êîòîðîé ïîíÿòèå
êðèòè÷åñêèõ òîêîâ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë, ÿâëÿ-
åòñÿ 0 0� ��~T U (ïðè ~T U- 0 ïåðåõîä èç TAFF- â íå-
ëèíåéíûé ðåæèì ðàçìûâàåòñÿ è ïîíÿòèå êðèòè÷å-
ñêîãî òîêà òåðÿåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë). Àíàëîãè÷íî
êðèòè÷åñêèì òîêàì jc
x( , ),+ � jc
y( , )+ � ìîæíî îïðåäå-
ëèòü òîêè íàñûùåíèÿ js
x( , ),+ � js
y( , ),+ � ïðè êîòîðûõ
íåëèíåéíûé ðåæèì äèíàìèêè âèõðåé ïåðåõîäèò â
FF-ðåæèì íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèñòåìàõ ÖÏ
( ( ),j j /s
x
s
x� � 2 j js
y
s
y� ( )0 — îñíîâíûå òîêè íàñû-
ùåíèÿ âäîëü âåêòîðîâ àíèçîòðîïèè ïèííèíãà x è y
è j j /s
x
s
x( ) sin� �� , j j /s
y
s
y( ) cos� �� ) .
5. Íå÷åòíûå ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
Ðàññìîòðèì îáóñëîâëåííûå ýôôåêòîì Õîëëà íå-
÷åòíûå ïðîäîëüíîå è ïîïåðå÷íîå ïî òîêó ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿ íà îñíîâå ââåäåííîãî ðàíåå (ñì. [18],
ôîðìóëà (19)) ïîòåíöèàëà áèàíèçîòðîïíîãî ïèí-
íèíãà. Àíàëèòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ íèõ ïîëó÷èì,
ïîäñòàâëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ
�x y, -ôóíêöèé (âû÷èñëåííûå ïî ôîðìóëå (20) â
[18]) â ôîðìóëû (22):
� � � � � � + , �| | º sin cos [ cos ( sin , , ) ( co� � �� �n j p pj p jy y x
1 1 s , , )
sin ( cos , , ) ( sin , , )] ,
� + ,
�� � + , � � + ,
x
x x y yp p j pj
�
� ��1
� � � + , � � + ,
�
�
� �� �
�
n p j pj
n j
x x y yº ( cos , , ) ( sin , , )
º sin cos
1
� �� � + , � � + ,
�
[ sin ( sin , , ), ( cos , , )
cos
p pj p j
p
y y x x
� �� �
�
1 1
� � + , � � + ,x x y yp j pj( cos , , ) ( sin , , )] .� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
(23)
Ïîâåäåíèå ðåçèñòèâíûõ çàâèñèìîñòåé �| |, ( )�
� j è
� +| |, ( )�
� îáóñëîâëåíî õàðàêòåðîì âîçäåéñòâèÿ íà
âèõðè ýôôåêòà Õîëëà ïðè íåëèíåéíîé äèíàìèêå
âèõðåâîé ñèñòåìû è, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (22), ïîë-
íîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ
êîìïîíåíò ôóíêöèé �x xF( ) è �y yF( ). Ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèå �| |
� ÿâëÿåòñÿ êîìáèíàöèåé íå÷åòíûõ
êîìïîíåíò ôóíêöèé �x y, . Âëèÿíèå ýôôåêòà Õîëëà
íà âîçíèêíîâåíèå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �| |
� ñâÿçàíî
ñ òåì, ÷òî ðåçóëüòèðóþùèå ñèëû Fx , Fy ñîäåðæàò
êîìïîíåíòû ñèëû Ìàãíóñà, çàâèñÿùèå îò íàïðàâëå-
íèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ýòî ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâå-
íèþ íå÷åòíûõ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ ñîñòàâëÿþùèõ
ôóíêöèé � �x x y yF F( ), ( ) â îáëàñòÿõ èõ íåëèíåéíî-
ñòè, ïðîïîðöèîíàëüíûõ ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïî-
íåíòàì ñèëû Ìàãíóñà â ýòèõ îáëàñòÿõ ( ñì. ôîðìó-
ëó (20)). Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå ��
� ñîäåðæèò
âêëàäû êàê îò ÷åòíûõ, òàê è îò íå÷åòíûõ êîìïîíåíò
ôóíêöèé �x y, . Õîëëîâñêèé âêëàä â ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèå ��
� çà ñ÷åò ÷åòíûõ êîìïîíåíò (ïåðâîå ñëà-
ãàåìîå â ôîðìóëå (23) äëÿ ��
� ) îòðàæàåò íåëèíåé-
íûé ïî òîêó è òåìïåðàòóðå ýôôåêò Õîëëà çà ñ÷åò
ïèííèíãà âèõðåé íà îáåèõ ñèñòåìàõ ÖÏ è íåïîñðåä-
ñòâåííî ñâÿçàí ñ äåéñòâèåì ñèëû Ìàãíóñà íà âèõðè.
Íàèáîëåå ýôôåêòèâíî ýòî âîçäåéñòâèå â ñëó÷àå, êî-
ãäà âèõðè íàõîäÿòñÿ â FF-ðåæèìå äâèæåíèÿ îòíî-
ñèòåëüíî îáåèõ ñèñòåì ÖÏ, ò.å. êîãäà âëèÿíèåì ïî-
ñëåäíèõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Åñëè æå ïèííèíã
âèõðåé íà îäíîé èç ñèñòåì ÖÏ çíà÷èòåëåí, òàê ÷òî
îòíîñèòåëüíî ýòîé ñèñòåìû ÖÏ ðåàëèçóåòñÿ ýôôåêò
íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ âèõðåé (G-ýôôåêò), òî
ñèëà Ìàãíóñà, äåéñòâóþùàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêî-
ðîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ÖÏ ýòîé ñèñòåìû, ïîäàâëå-
íà ñèëîé ïèííèíãà (åñëè âèõðè äâèæóòñÿ âäîëü îñè
0x, òî äåéñòâèå ñèëû Ìàãíóñà âäîëü îñè 0y ïîäàâëå-
íî ïèííèíãîì, è íàîáîðîò), è õîëëîâñêèé âêëàä â
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå ��
� îò ÷åòíûõ êîìïîíåíò
ôóíêöèé �x y, ïðåíåáðåæèìî ìàë.
Òàêèì îáðàçîì, ôèçè÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå õîë-
ëîâñêèõ âêëàäîâ â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �| |,�
� ñâÿ-
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 29
çàíî ñ ðåàëèçàöèåé îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé ðå-
æèìîâ äèíàìèêè âèõðåé îòíîñèòåëüíî îáåèõ ñèñòåì
ÖÏ, à ïîâåäåíèå çàâèñèìîñòåé � +| |, ( , )�
� j îïðåäåëÿåò-
ñÿ ýâîëþöèåé äèíàìèêè âèõðåé ïðè èçìåíåíèè òîêà
è òåìïåðàòóðû. Äëÿ îïèñàíèÿ è àíàëèçà äèíàìèêè
âèõðåé â ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî
ïèííèíãà ïðè îòñóòñòâèè ýôôåêòà Õîëëà â [16,19]
èñïîëüçîâàíà äèàãðàììà äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé
âèõðåâîé ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè j jx y . Ïîñêîëüêó èç-
ìåíåíèÿ êðèòè÷åñêèõ òîêîâ è òîêîâ íàñûùåíèÿ çà
ñ÷åò ìàëîãî ýôôåêòà Õîëëà ïðåíåáðåæèìî ìàëû,
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ðàçëè÷èåì âèäà äèàãðàììû äëÿ
ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ è
èñïîëüçîâàòü åå ( ñì. ðèñ. 2) äëÿ âûÿñíåíèÿ ïîâåäå-
íèÿ ôóíêöèé � è �� â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ äèàãðàì-
ìû è ñîîòâåòñòâóþùåãî àíàëèçà ðåçèñòèâíûõ çàâè-
ñèìîñòåé � +| |, ( , )�
� j .
Ïëîñêîñòü ðèñ. 2 ðàçäåëåíà ëèíèÿìè j jx c
x� ( )+ ,
j jy c
y� ( )+ è j j j jx s
x
y s
y� �( ), ( )+ + íà íåñêîëüêî îá-
ëàñòåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì âîçìîæíûì ðàçëè÷-
íûì äèíàìè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì âèõðåâîé ñèñòåìû â
äàííîé ìîäåëè. Êîíåö âåêòîðà j, èìåþùèé êîîð-
äèíàòû ( sin , cos ),j j� � â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé
j,� ïðèíàäëåæèò êàêîé-ëèáî èç ýòèõ îáëàñòåé. Ââå-
äåì êðèòè÷åñêèå óãëû �* ( )� arctg j /jc
x
c
y , �
�
� arctg ( )j /jc
x
s
y è � �
� arctg ( )j /js
x
c
y (óãëû �*, �1
*
è �2
* îáðàçîâàíû ëó÷àìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç íà÷à-
ëî êîîðäèíàò è ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
ïàð ëèíèé j jx c
x� è j jy c
y� , j jx c
x� è j jy s
y� ,
j jx s
x� è j jy c
y� ). Íà ðèñ. 2 íåçàøòðèõîâàííîé îá-
ëàñòè FP (full pinning) ñîîòâåòñòâóåò FP-ðåæèì
ïîëíîãî ïèííèíãà, òàê êàê çäåñü j jx c
x� , j jy c
y� ,
TAFF-äèíàìèêà âèõðåé ðåàëèçóåòñÿ ïî îòíîøåíèþ
ê îáåèì ñèñòåìàì ÖÏ, è �x� 0, �y� 0. Îáëàñòè
NTx (NT — nonlinear transition) ñîîòâåòñòâóåò ðå-
æèì íåëèíåéíîãî ïåðåõîäà ìåæäó ëèíåéíûìè
TAFF- è FF-ðåæèìàìè äâèæåíèÿ âèõðåé â íàïðàâ-
ëåíèè âåêòîðà x (îáóñëîâëåííûé ïèííèíãîì íà ñèñ-
òåìå ÖÏ, ïàðàëëåëüíîé îñè 0y), çäåñü j j jc
y
y s
y� �
( ( ) ( )j j jc
y
s
y� �� � ) è 0 1� ��x , �x
� 0 0, �y � 0,
�y
�
� 0. Àíàëîãè÷íî îáëàñòè NTy ñîîòâåòñòâóåò ðå-
æèì íåëèíåéíîãî ïåðåõîäà â íàïðàâëåíèè âåêòîðà y
(îáóñëîâëåííûé ïèííèíãîì íà ñèñòåìå ÖÏ, ïàðàëëåëü-
íîé îñè 0x), çäåñü j j jc
x
x s
x� � ( ( ( ))j j jc
x
s
x� �� � è
�x � 0, �x
�
� 0, 0 1� ��y , �y
� 0 0. Îáëàñòè FGx, çà-
øòðèõîâàííîé ãîðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè, ñîîòâåò-
ñòâóåò ðåæèì íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ âèõðåé
âäîëü ÖÏ, ïàðàëëåëüíûõ îñè 0x (FGx-ðåæèì),
çäåñü j jx c
x� , j jy s
y
( ( ) ( ))j j js
y
c
x� �� � è �x � 1,
�y � 0, �x
�
� 0, �y
�
� 0. Îáëàñòè FGy, çàøòðèõî-
âàííîé âåðòèêàëüíûìè ëèíèÿìè, ñîîòâåòñòâóåò ðå-
æèì íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ âèõðåé âäîëü ÖÏ, ïà-
ðàëëåëüíûõ îñè 0y (FGy-ðåæèì), çäåñü j jx s
x
,
j jy c
y� ( ( ) ( ))j j js
x
c
y� �� � è �x � 0, �y � 1,
�x
�
� 0, �y
�
� 0. Íàêîíåö, îáëàñòè FF, çàøòðèõî-
âàííîé îáîèìè âèäàìè ëèíèé, ñîîòâåòñòâóåò ðåæèì
ñâîáîäíîãî òå÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà îòíîñèòåëüíî
îáåèõ ñèñòåì ÖÏ è, ñëåäîâàòåëüíî, èçîòðîïíûé ðå-
çèñòèâíûé îòêëèê (FF-ðåæèì), çäåñü j jx s
x
,
j jy s
y
( ( )j js
x
� , j js
y
( ))� è �x � 1, �y � 1,
�x
�
� 0, �y
�
� 0. Òàêèì îáðàçîì, òîëüêî â îáëàñòè
íåëèíåéíûõ ðåæèìîâ NTx, NTy âåëè÷èíû �x
� è �y
� , à
ñëåäîâàòåëüíî, è ïðîïîðöèîíàëüíûå èì âêëàäû â
�| |,�
� îòëè÷íû îò íóëÿ.
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèìè ðåçóëüòàòàìè ëåãêî ïðî-
ñëåäèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèíàìè÷åñêèõ ðåæè-
ìîâ, â êîòîðûõ áóäåò íàõîäèòüñÿ âèõðåâàÿ ñèñòåìà ñ
óâåëè÷åíèåì òîêà ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå
è çàäàííîì óãëå� è, ñëåäîâàòåëüíî, îáúÿñíèòü êà÷å-
ñòâåííûé âèä ðåçèñòèâíûõ çàâèñèìîñòåé �| |, ( )�
� j .
Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ, êîãäà èõ âèä ðàçëè÷åí. Ïðè
30 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
Ðèñ. 2. Äèàãðàììà äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé âèõðåâîé
ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè j jx y è õàðàêòåðíûå çíà÷åíèÿ �x
�,
�y
� â êàæäîé èç åå îáëàñòåé. j jc
x
s
x, è j jc
y
s
y, — îñíîâíûå
êðèòè÷åñêèå òîêè è òîêè íàñûùåíèÿ âäîëü âåêòîðîâ àíè-
çîòðîïèè ïèííèíãà x è y ñîîòâåòñòâåííî; FP — îáëàñòü
ïîëíîãî ïèííèíãà, NTx è NTy — îáëàñòè íåëèíåéíûõ ïå-
ðåõîäîâ ìåæäó ëèíåéíûìè TAFF- è FF-ðåæèìàìè äâèæå-
íèÿ âèõðåé â íàïðàâëåíèè îñåé 0x è 0y ñîîòâåòñòâåííî,
FGx è FGy — îáëàñòè íàïðàâëåííîãî äâèæåíèÿ âèõðåé
âäîëü îñåé 0x è 0y ñîîòâåòñòâåííî, FF — îáëàñòü ñâî-
áîäíîãî òå÷åíèÿ ïîòîêà. �*, �1
*, �2
* — õàðàêòåðíûå êðè-
òè÷åñêèå óãëû (ñì. òåêñò).
� �� 1
* ñ óâåëè÷åíèåì òîêà ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ðåæèìîâ FP NT FG NT FF# # # #x x y ,
êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîêîâ ïå-
ðåõîäà ìåæäó íèìè j j j jc
y
s
y
c
x
s
x( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � � .
 ýòîì ñëó÷àå, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (20),
âêëàä â çàâèñèìîñòü �| | ( )� j äàåò òîëüêî êîìïîíåíòà
�y yF� ( ) â îáëàñòè òîêîâ j j jc
x
s
x( ) ( )� �� � (îíà âîç-
íèêàåò çà ñ÷åò y-êîìïîíåíòû ñèëû Ìàãíóñà
F FMy Lx/ º , ñîîòâåòñòâóþùåé FF-ðåæèìó äâèæå-
íèÿ âèõðåé âäîëü îñè 0x â îáëàñòè íåëèíåéíîñòè
�y). Âêëàä æå êîìïîíåíòû �x xF� ( ) â �| | ( )� j ïðå-
íåáðåæèìî ìàë, òàê êàê â îáëàñòè íåëèíåéíî-
ñòè �x êîìïîíåíòà x ñèëû Ìàãíóñà FMx �
� � /º ( )F FLy y Ly� 0 âñëåäñòâèå TAFF-ðåæèìà äâè-
æåíèÿ âèõðåé âäîëü îñè 0y.  çàâèñèìîñòè ��
� ( )j
íàðÿäó ñ âêëàäîì îò êîìïîíåíòû �y yF� ( ) â îáëàñòè
òîêîâ j j jc
x
s
x( ) ( )� �� � ñóùåñòâóåò òàêæå âêëàä
n F Fx Lx y Lxº ( ) ( )� � îò ÷åòíûõ êîìïîíåíò �x xF� ( ),
�y yF� ( ) â îáëàñòè òîêîâ j jc
x
( ),� ãäå �x / 1, è �y
âûõîäèò èç TAFF-îáëàñòè. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì
ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà � �
2
*. Ïðè ýòîì
ñ óâåëè÷åíèåì òîêà ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ðåæèìîâ FP NT FG NT FF# # # #y y x , êîòîðîé
ñîîòâåòñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîêîâ ïåðåõîäà
ìåæäó íèìè j j j jc
x
s
x
c
y
s
y( ) ( ) ( ) ( )� � � �� � � .  ýòîì
ñëó÷àå çàâèñèìîñòü �| | ( )� j îòëè÷íà îò íóëÿ â îáëàñòè
j j jc
y
s
y( ) ( )� �� � çà ñ÷åò âêëàäà îò êîìïîíåíòû
�x xF� ( ).  çàâèñèìîñòè ��
� ( )j íàðÿäó ñ ïîñëåäíèì
èìååòñÿ âêëàä n F Fx Lx y Lxº ( ) ( )� � â îáëàñòè òîêîâ
j jc
y
( ),� ãäå �y / 1, è �x âûõîäèò èç TAFF-îáëàñ-
òè. È, íàêîíåö, ðàññìîòðèì ñëó÷àé � � �1 2
* *� � . Â
ýòîé îáëàñòè óãëîâ â íåêîòîðîì èíòåðâàëå òîêîâ
èìååòñÿ ïåðåêðûòèå íåëèíåéíûõ ðåæèìîâ NTx è
NTy , âñëåäñòâèå ÷åãî â çàâèñèìîñòè �| |, ( )�
� j âíîñÿò
âêëàä êîìïîíåíòû �x xF� ( ) è �y yF� ( ). Òàê, â îáëàñòè
óãëîâ � � �1
* *� � ïðè äîñòèæåíèè òîêîì âåëè÷èíû
jc
x( )� íàðÿäó ñ íåëèíåéíûì NTx-ðåæèìîì (â íà-
ïðàâëåíèè îñè 0x) íà÷èíàåòñÿ íåëèíåéíûé NTy-ðå-
æèì (â íàïðàâëåíèè îñè 0y). Ïîýòîìó ïðè ýòîì òîêå
âìåñòå ñ êîìïîíåíòîé �y yF� ( ) (çà ñ÷åò y-êîìïîíåíòû
ñèëû Ìàãíóñà F FMy x Lx/ º~ ( )� ) ïîÿâëÿåòñÿ êîìïî-
íåíòà �x xF� ( ) (çà ñ÷åò x-êîìïîíåíòû ñèëû Ìàãíóñà
F FMx y Ly/ �º~ ( )� ).  îáëàñòè óãëîâ � � �* *� � 2
ïðè äîñòèæåíèè òîêîì âåëè÷èíû jc
y( )� íàðÿäó ñ íå-
ëèíåéíûì NTy-ðåæèìîì íà÷èíàåòñÿ íåëèíåéíûé
NTx-ðåæèì. Ïîýòîìó ïðè ýòîì òîêå âìåñòå ñ êîìïî-
íåíòîé �x xF� ( ) ïîÿâëÿåòñÿ êîìïîíåíòà �y yF� ( ).
Âêëàä n F Fx Lx y Lxº ( ) ( )� � â çàâèñèìîñòü ��
� ( )j îñ-
òàåòñÿ â îáëàñòè òîêîâ j jc
x
( )� ïðè � � �1
* *� � è â
îáëàñòè òîêîâ j jc
y
( )� > ïðè � � �* *� � 2, êîãäà íè
îäíà èç ôóíêöèé �x è �y íå íàõîäèòñÿ â TAFF-ðå-
æèìå äèíàìèêè âèõðåé.
Ñ ïîìîùüþ äèàãðàììû ñîñòîÿíèé òàêæå ìîæíî
ïðîàíàëèçèðîâàòü êà÷åñòâåííûé âèä ðåçèñòèâíûõ
çàâèñèìîñòåé � +| |, ( )�
� â îáëàñòè òåìïåðàòóð, ãäå ïî-
íÿòèÿ êðèòè÷åñêèõ òîêîâ è òîêîâ íàñûùåíèÿ èìåþò
ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Åñëè ðàññìîòðåòü ñðûâ âèõðåé ñ
öåíòðîâ ïèííèíãà ïîä âîçäåéñòâèåì òåðìè÷åñêèõ
ôëóêòóàöèé è îïðåäåëèòü òåìïåðàòóðó äåïèííèíãà
âèõðåé ~ ( , , , , )T j p kdp � , êàê âåëè÷èíó, ïðè êîòîðîé
âèõðåâàÿ ñèñòåìà ïåðåõîäèò â FF-ðåæèì äèíàìèêè
ïðè äàííûõ ïàðàìåòðàõ j p k, , ,� , � , òî óñëîâèå ïðè-
ìåíèìîñòè äèàãðàììû ñîñòîÿíèé äëÿ àíàëèçà çàâè-
ñèìîñòåé � +| |, ( )�
� èìååò âèä ~ ~T Tdp�� [19]. Âëèÿíèå
òåìïåðàòóðû íà äèàãðàììó ñîñòîÿíèé çàêëþ÷àåòñÿ â
ìîíîòîííîì óìåíüøåíèè âåëè÷èí êðèòè÷åñêèõ òî-
êîâ è âîçðàñòàíèè âåëè÷èí òîêîâ íàñûùåíèÿ ñ óâå-
ëè÷åíèåì òåìïåðàòóðû â îáëàñòè èõ îïðåäåëåííî-
ñòè, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðîñëåäèòü çà äèíàìèêîé âèõðåé
è êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòü çàâèñèìîñòè � +
||,
( )�
� . Çàìå-
òèì, ÷òî èõ õàðàêòåðíûé âèä îáóñëîâëåí âèõðåâîé
äèíàìèêîé, çàâèñÿùåé îò j è � ïðè + � 0.
Ïî àíàëîãèè ñ ðàáîòîé [19], ãäå â ìîäåëè áèàíè-
çîòðîïíîãî ïèííèíãà ïðè îòñóòñòâèè ýôôåêòà Õîë-
ëà èçó÷àëèñü íàáëþäàåìûå çàâèñèìîñòè � +
| |,
( , ),
�
� j
ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñ ìà-
ëûì ýôôåêòîì Õîëëà ðàçíîîáðàçèå è êà÷åñòâåííûé
âèä çàâèñèìîñòåé � +| |, ( , )�
� j ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïà-
ðàìåòðàõ p k, , ,, è t j, ñîîòâåòñòâåííî îáóñëîâëåíû
âëèÿíèåì ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèé ýòèõ ïàðàìåòðîâ
(êðîìå j) íà âåëè÷èíû áàçèñíûõ òîêîâ jc
x , js
x , jc
y ,
js
y , ôîðìèðóþùèõ äèàãðàììó äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿ-
íèé, à òàêæå ãåîìåòðè÷åñêèì ôàêòîðîì — âåëè÷è-
íîé óãëà �, êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü ñîñòîÿíèé âèõðåâîé ñèñòåìû íà äèàãðàììå
ïðè óâåëè÷åíèè òîêà èëè òåìïåðàòóðû. Äåéñòâè-
òåëüíî, èç àíàëèçà äèàãðàììû ñëåäóåò, ÷òî ïðè äàí-
íîé âåëè÷èíå º �� 1 òîêè j p kc s
x
, ( , , )+ , , j p /kc s
y
, ( , , )+ ,
îïðåäåëÿþò îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ è âåëè÷èíó íà-
áëþäàåìûõ ðåçèñòèâíûõ îòêëèêîâ � +| |, ( , )�
� j . Êàê
ïîêàçàíî â [19], âëèÿíèå «âíóòðåííèõ» ïàðàìåòðîâ
p k, ,, è òåìïåðàòóðû (ïàðàìåòð +) íà âåëè÷èíû òîêîâ
jc
x , js
x , jc
y , js
y õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ñ ðîñòîì + ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå áàçèñíûõ êðèòè-
÷åñêèõ òîêîâ j jc
x
c
y, è óâåëè÷åíèå áàçèñíûõ òîêîâ
íàñûùåíèÿ j js
x
s
y, , òàê ÷òî FP-îáëàñòü íà äèàãðàììå
ñóæàåòñÿ, à NT-îáëàñòè ðàñøèðÿþòñÿ. Ñ ðîñòîì ,
ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå îáåèõ ïàð áàçèñíûõ òîêîâ
j jc
x
c
y, è j js
x
s
y, , òàê êàê ôóíêöèè �x y, ìîíîòîííî
óáûâàþò ñ ðîñòîì ,; îäíàêî âîçðàñòàíèå âòîðîé
ïàðû òîêîâ ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì
ïåðâîé, â ðåçóëüòàòå íà äèàãðàììå ïðîèñõîäèò ðàñ-
øèðåíèå NT-îáëàñòåé è ìåíåå çíà÷èòåëüíîå ðàñøè-
ðåíèå FP-îáëàñòè. Ïàðàìåòðû p è k îïèñûâàþò àíè-
çîòðîïèþ áèàíèçîòðîïíîãî ïîòåíöèàëà ïèííèíãà è
îïðåäåëÿþò àíèçîòðîïèþ êðèòè÷åñêèõ òîêîâ è òî-
êîâ íàñûùåíèÿ. Ðîñò ïàðàìåòðà p èëè (è) óáûâàíèå
ïàðàìåòðà k ïðèâîäÿò ê óìåíüøåíèþ âåëè÷èí ïàðû
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 31
êðèòè÷åñêîãî òîêà è òîêà íàñûùåíèÿ jc
x è js
x è âîç-
ðàñòàíèþ âåëè÷èí ïàðû òîêîâ jc
y è js
y . Ïðè ýòîì
NTx-îáëàñòü ñìåùàåòñÿ ââåðõ, NTy-îáëàñòü ñìåùàåò-
ñÿ âëåâî, à FP-îáëàñòü ñîîòâåòñòâåííî ñóæàåòñÿ è
óäëèíÿåòñÿ.
Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ïîâåäåíèå òîêîâûõ è òåì-
ïåðàòóðíûõ çàâèñèìîñòåé ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé
� �| | ,
�
�
� ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (23); òàêîå ðàññìîòðåíèå
êà÷åñòâåííî ñîîòâåòñòâóåò ïðîâåäåííîìó âûøå àíà-
ëèçó äèàãðàììû ñîñòîÿíèé. Â âûðàæåíèÿ äëÿ
� �| | ,
�
�
� âõîäÿò êîìáèíàöèè ìíîæèòåëåé âèäà
�� + ,x Lx xf( , , ) � + ,y Ly yf( , , ),
� + ,x Lx xf( , , ) �� + ,y Ly yf( , , ),
� + ,x Lx xf( , , ), � + ,y Ly yf( , , ),
è ñâîéñòâà èõ òîêîâûõ è òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìî-
ñòåé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç ñâîéñòâ ñîîòâåòñò-
âóþùèõ çàâèñèìîñòåé ôóíêöèé �x y, ïðè äàííûõ âå-
ëè÷èíàõ ôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðîâ p x y, ,, , è +
(äëÿ òîêîâûõ çàâèñèìîñòåé) èëè j (äëÿ òåìïåðàòóð-
íûõ çàâèñèìîñòåé) è óãëà �. Ôóíêöèè �� �x yj j( ) ( ),
� �x yj j( ) ( )� èìåþò êîëîêîëîîáðàçíûé âèä, ôóíêöèè
�� + � +x y( ) ( ), � + � +x y( ) ( )� èìåþò êîëîêîëîîáðàçíûé
âèä èëè ÿâëÿþòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùèìè â çàâè-
ñèìîñòè îò âåëè÷èí ìîäóëåé àðãóìåíòîâ fLx è fLy
ôóíêöèé �x y, ïî îòíîøåíèþ ê åäèíèöå. Ôóíêöèè
� �x yj j( ) ( ), � + � +x y( ) ( ) èìåþò âèä ñãëàæåííîãî
ñòóïåí÷àòîãî ïåðåõîäà.
Ïðîèëëþñòðèðóåì çàâèñèìîñòè � +| |, ( , )�
� j äëÿ
ðÿäà çíà÷åíèé óãëà � è íåêîòîðîãî íàáîðà çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ º ,� 0 01, p � 1 4, , , � 01, , k � 10, + � 01, ,
j � 17, , îáåñïå÷èâàþùåãî äëÿ íàãëÿäíîñòè øèðîêèå
îáëàñòè íåëèíåéíûõ ðåæèìîâ ñ õîðîøî âûðàæåí-
íûìè â íèõ ðåçèñòèâíûìè îòêëèêàìè. Äàííîìó íà-
áîðó ïàðàìåòðîâ ñîîòâåòñòâóþò ïàðû êðèòè÷åñêèõ
òîêîâ è òîêîâ íàñûùåíèÿ jc
x
� 0,5, js
x
� 2 è
jc
y
� 0,5, js
y
� 1 è êðèòè÷åñêèå óãëû �*
� 451,
�1
*
� 271, �2
*
� 761 (â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ äëÿ îïðåäå-
ëåíèÿ âåëè÷èí êðèòè÷åñêèõ òîêîâ è òîêîâ íàñûùå-
íèÿ èñïîëüçóåì óñëîâèå íàêëîíà êàñàòåëüíûõ ê ãðà-
ôèêàì �x y, â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïîä óãëîì 451
ê îñè àáöèññ).
 íåëèíåéíîì ñëó÷àå çàâèñèìîñòè ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèÿ �| |
� îò òîêà (ñì. ðèñ. 3) ïðåäñòàâëÿþò íàëî-
æåíèå êîëîêîëîîáðàçíûõ ôóíêöèé ðàçíûõ çíàêîâ è
èõ ðåçóëüòèðóþùèé âèä îïðåäåëÿåòñÿ îòíîñèòåëü-
íûì âêëàäîì ýòèõ ôóíêöèé, êîòîðûé, â ñâîþ î÷å-
ðåäü, îáóñëîâëåí çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ è óãëà �.
Çàìåòèì, ÷òî â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿõ �| |,�
� èìååòñÿ
âíåøíÿÿ çàâèñèìîñòü îò óãëà � çà ñ÷åò ìíîæèòåëåé
sin ,� cos� è âíóòðåííÿÿ — ÷åðåç àðãóìåíòû
f p jLx � �1 cos ,� f pjLy � sin� ôóíêöèé �x y, . Íà
ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì óãëà � âêëàä â
�| | ( )� j îò íå÷åòíîé êîìïîíåíòû �x xf
� ( ) óâåëè÷èâàåò-
ñÿ, à îò íå÷åòíîé êîìïîíåíòû �y yf
� ( ) óìåíüøàåòñÿ
(ñîãëàñíî äèàãðàììå ñîñòîÿíèé, îáå êîìïîíåíòû ñó-
ùåñòâóþò â îáëàñòè óãëîâ � � �1 2
* *� � ). Äåéñòâè-
òåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (23), ïðè óâåëè-
÷åíèè óãëà � âíåøíèå óãëîâûå çàâèñèìîñòè
sin cos� �2 è sin cos2 � � èìåþò êà÷åñòâåííî àíàëî-
ãè÷íîå ïîâåäåíèå, êîìïîíåíòà �x xf
� ( ) óâåëè÷èâàåòñÿ,
êîìïîíåíòà �y yf
� ( ) óìåíüøàåòñÿ çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ
è óìåíüøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ñèë Ìàã-
íóñà | | º ~ ( )f fMx y Ly� � è fMy � � º~ ( ).�x Lxf Êà÷åñò-
âåííûé âèä òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìîñòåé ñîïðîòèâ-
ëåíèÿ �| |
� (ñì. ðèñ. 4) ìîæåò áûòü ëèáî òàêèì æå, êàê
è òîêîâûõ çàâèñèìîñòåé (â ýòîì ñëó÷àå ñ èçìåíåíèåì
óãëà � ïðîÿâëÿåòñÿ òàêàÿ æå çàêîíîìåðíîñòü ïðè íà-
ëîæåíèè êîëîêîëîîáðàçíûõ ôóíêöèé), ëèáî ýòî
ôóíêöèè ñ êîíå÷íûì (íå TAFF-) ïðåäåëîì ïðè + # 0
(ñì. êðèâóþ 2 íà ðèñ. 4), ÷òî, êàê áûëî ïîêàçàíî
âûøå, îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè áåçðàçìåðíûõ ñèë
fLx è fLy îòíîñèòåëüíî åäèíèöû, ò.å. ñîâîêóïíî-
ñòüþ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p k j, , ,, è óãëà � (çàäàþ-
ùèõ ñîîòâåòñòâóþùèé ðåæèì íà äèàãðàììå ñîñòîÿ-
íèé). Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå �| |
� ñóùåñòâóåò òîëüêî
â íåëèíåéíûõ ðåæèìàõ (â îáëàñòÿõ íåëèíåéíîñòè
ôóíêöèé �x xf
� ( ), �y yf
� ( )), ïðîïîðöèîíàëüíî áåçðàç-
ìåðíîé êîíñòàíòå Õîëëà º è èìååò òàêîé æå ïîðÿäîê
âåëè÷èíû; çà ñ÷åò âíåøíåé çàâèñèìîñòè îò � �| |
� � 0
ïðè � �� 0 2, / . Çàâèñèìîñòü �| | ( )� j èìååò íóëåâîé
ïðåäåë ïðè j # 0, j # .. Çàâèñèìîñòü �| | ( )� j èìååò
TAFF-ïðåäåë ïðè + # 0, åñëè p j�
1 1cos � è/èëè
pj sin �
1, è êîíå÷íûé (íå TAFF-) ïðåäåë, åñëè
p j�
1 1cos � è pj sin �
1; ïðè + # . ïðåäåë � +| | ( )�
ðàâåí íóëþ. Ó òîêîâûõ è òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìî-
ñòåé �| |
� âîçìîæíî èçìåíåíèå çíàêà (ñì. ðèñ. 3, 4),
32 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü �
||
( )� j äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé óãëà �,
ãðàä: 10 (1), 20 (2), 30 (3), 45 (4), 60 (5), 70 (6), 80
(7) ïðè º , ; , ; , ; , ; .� � � � �001 14 01 01 10p k� �
òàê êàê â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå �| |
� âõîäÿò ïîëîæè-
òåëüíûå ñëàãàåìûå ñ ðàçíûì çíàêîì.
Çàâèñèìîñòè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ ��
� îò òîêà
ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (ñì. ðèñ. 5) ÿâëÿþòñÿ
íàëîæåíèåì ñãëàæåííîãî ñòóïåí÷àòîãî ïåðåõîäà è
êîëîêîëîîáðàçíûõ ôóíêöèé. Êà÷åñòâåííûé âèä
òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìîñòåé ìàãíèòîñîïðîòèâëå-
íèÿ ��
� (ñì. ðèñ. 6) ëèáî àíàëîãè÷åí òîêîâûì çàâè-
ñèìîñòÿì, ëèáî îòëè÷àåòñÿ îò íèõ ïî òåì æå ïðè÷è-
íàì, ÷òî è äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ �| | .
� Àíàëîãè÷íî
çàâèñèìîñòÿì ïðîäîëüíîãî ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ,
èçìåíåíèå âèäà ãðàôèêîâ ��
� ( )j è � +�
� ( ) ïðè óâåëè-
÷åíèè óãëà � ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ íå÷åò-
íîé êîìïîíåíòû �x xf
� ( ) è óìåíüøåíèÿ íå÷åòíîé
êîìïîíåíòû �y yf
� ( ). Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå ��
� ïðî-
ïîðöèîíàëüíî áåçðàçìåðíîé êîíñòàíòå Õîëëà º è
èìååò òàêîé æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû.  îòëè÷èå îò �| |
�
��
� ñóùåñòâóåò è â ëèíåéíîì ðåæèìå, ïðè âûñîêèõ
òîêàõ, òåìïåðàòóðàõ çà ñ÷åò âêëàäà n x yº � � ; çà ñ÷åò
âíåøíåé çàâèñèìîñòè îò � ��
� � 0 ïðè � �� 0 2, / .
Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ çàâèñèìîñòü ��
� ( )j èìååò
TAFF-ïðåäåë ïðè j # 0. Çàâèñèìîñòü � +�
� ( ) èìååò
TAFF-ïðåäåë ïðè + # 0, åñëè p j�
1 1cos� è/èëè
pj sin�
1, è êîíå÷íûé ïðåäåë, åñëè p j�
1 1cos� è
pj sin�
1. Ïðåäåë çàâèñèìîñòåé ��
� ( )j è � +�
� ( ) ïðè
j # . è + # . ñîîòâåòñòâåííî ðàâåí nº.  îòëè÷èå
îò �| |
� çàâèñèìîñòè ��
� ( )j è � +�
� ( ) íå èçìåíÿþò çíàê,
òàê êàê â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèå ��
� âñå ñëàãàåìûå
âõîäÿò ñ îäíèì çíàêîì.
Ðàññìîòðèì âëèÿíèå ïàðàìåòðîâ p k, , ,, õàðàêòå-
ðèçóþùèõ áèàíèçîòðîïíûé ïîòåíöèàë ïèííèíãà, íà
íàáëþäàåìûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ. Ïàðàìåòðû p
è k çàäàþò àíèçîòðîïèþ ïîòåíöèàëà, à ïàðàìåòð , —
ñðåäíþþ êîíöåíòðàöèþ ÖÏ (íàïîìíèì, ÷òî ,x �
� ,/k, , ,y k� ) . Â çàâèñèìîñòÿõ �| |, ( )�
� j óâåëè÷åíèå
ïàðàìåòðà p è óìåíüøåíèå ïàðàìåòðà k ïðèâîäÿò ê
óâåëè÷åíèþ âêëàäà íå÷åòíîé êîìïîíåíòû �x xf
� ( ) è
óìåíüøåíèþ âêëàäà íå÷åòíîé êîìïîíåíòû �y yf
� ( )
âñëåäñòâèå îòíîñèòåëüíîãî ñìåùåíèÿ ôóíêöèé �x è
�y (ôóíêöèÿ �x ñìåùàåòñÿ âïðàâî, ôóíêöèÿ �y —
âëåâî).  ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ p
1,k �� 1è p �� 1,
k
1 âêëàäû îò �x xf
� ( ) è �y yf
� ( ) ñîîòâåòñòâåííî
ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Íà ðèñ. 7, 8 ïðîèëëþñòðèðî-
âàíû òîêîâûå çàâèñèìîñòè ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
�| |
� äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ p è k. Âëèÿíèå èç-
ìåíåíèÿ ïàðàìåòðà p íà çàâèñèìîñòè � +| |, ( )�
� çàêëþ-
÷àåòñÿ â èçìåíåíèè àðãóìåíòîâ fLx, fLy ôóíêöèé
�x , �y , âëèÿíèå ïàðàìåòðà k àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 33
Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü � �� �
�( ) äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé óãëà � ,
ãðàä.: 20 (1), 30 (2), 45 (3), 60 (4), 70 (5) ïðè º , ;� 001
p � 14, ; j � �17 01, ; ,� ; k � 10.
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ��
� ( )j äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé óãëà �,
ãðàä.: 10 (1), 20 (2), 30 (3), 45 (4), 60 (5), 70 (6), 80
(7) ïðè º , ; , ; , ; , ;� � � � �001 14 01 01 10p k� � .
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü � ��
� ( ) äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé óãëà � ,
ãðàä.: 10 (1), 20 (2), 30 (3), 45 (4), 60 (5), 70 (6), 80
(7) ïðè º , ; , ; , ; ,� � � �001 14 17 01p j � ; k � 10.
òîêîâûõ çàâèñèìîñòåé. Â çàâèñèìîñòÿõ �| | ( )� j (ñì.
êðèâóþ 3 íà ðèñ. 8) è � +| | ( )� âîçìîæíà äâîéíàÿ
ïåðåìåíà çíàêà. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè
� � �1 2
* *� � , ãäå âêëàä â ñîïðîòèâëåíèå äàþò îáå íå-
÷åòíûå êîìïîíåíòû �x
� , �y
� , ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òà-
êîé èíòåðâàë òîêîâ è òåìïåðàòóð, â êîòîðîì ïðåîá-
ëàäàåò îäíà èç êîìïîíåíò (ïî ìîäóëþ), òîãäà êàê
âíå ýòîãî èíòåðâàëà ïðåîáëàäàåò äðóãàÿ, òàê ÷òî èõ
ñóììà ïðèâîäèò ê äâîéíîé ïåðåìåíå çíàêà â ñîîòâåò-
ñòâóþùèõ çàâèñèìîñòÿõ. Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðàìåò-
ðà , çàâèñèìîñòè �x è �y êàê ôóíêöèè êàê j, òàê è +,
ñìåùàþòñÿ âïðàâî, íà îñíîâàíèè ÷åãî ìîæíî ïðî-
ñëåäèòü çà èçìåíåíèåì çàâèñèìîñòåé � +| |, ( , )�
� j . Íà
ðèñ. 9 ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè ñîïðîòèâëåíèÿ ��
� ( )j
äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ,.
Çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (23), çàìåíà
p /p# 1 , k /k# 1 , � �# 1�90 ñâîäèòñÿ ê ïåðåîáî-
çíà÷åíèþ êîîðäèíàò è, ñîîòâåòñòâåííî, ê ñèììåòðèè
ðàñïîëîæåíèÿ ãðàôèêîâ çàâèñèìîñòåé � +| | ( , )� j ïðè
âçàèìíî îáðàòíûõ çíà÷åíèÿõ p, k è óãëàõ, âçàèìíî
äîïîëíÿþùèõ äðóã äðóãà äî 901. Òàê, ïðè ýòîé çàìå-
íå ãðàôèêè � +| | ( , )� j ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ëè-
íèè � +| | ( , ) ,� �j 0 à ãðàôèêè � +�
� ( , )j ñîâïàäàþò. Ñëó-
÷àè p = 1, k = 1 ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè è äàþò
òàêèå âèäû ñèììåòðèè ïðè âçàèìíî îáðàòíûõ çíà÷å-
íèÿõ k, p ñîîòâåòñòâåííî è âçàèìíî äîïîëíÿþùèõ
óãëàõ.
6. Ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ
Ðàññìîòðèì ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ â äàííîé
çàäà÷å. Âåðíåìñÿ ê ôîðìóëàì îáùåãî âèäà (21),
(22). Âûðàçèâ ÷åðåç íàáëþäàåìûå ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèÿ �
| |,�
� áåçðàçìåðíóþ êîíñòàíòó Õîëëà, ïî-
ëó÷èì àíèçîòðîïíûå ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ â
äâóõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ:
�
� � �
� � � � �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
| |
| |
( )~ ( ) ( ) ( )
,
tg
tgy x x y x y y xj j j j
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
� � � � �
tg
tgx y y x x y y xj j j j( ) ( ) ( )~ ( )
,
(24)
âõîäÿùèå ñþäà ôóíêöèè � íàõîäÿòñÿ ïðè îáðàùå-
íèè óðàâíåíèé (21). Ñîîòíîøåíèÿ (24) ñïðàâåäëè-
âû â îáëàñòè ïðèìåíèìîñòè ôîðìóë (21), (22), ò.å.
34 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü �| | ( )� j äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
p: 0,7 (1), 1,2 (2), 1,4 (3), 2 (4) ïðè º ,� 001, � � 25 ,
� � 01, , � � 01, , k � 1.
Ðèñ. 8. Çàâèñèìîñòü �|( )j äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
k: 10 (1), 1 (2), 0,25 (3), 0,1 (4) è º ,� 001, � � 25 ,
� � 01, , � � 01, .
Ðèñ. 9. Çàâèñèìîñòü ��( )j äëÿ ðÿäà çíà÷åíèé ïàðàìåòðà
�: 0,001 (1), 0,01 (2), 0,1 (3), 1 (4) ïðè º ,� 001, � � 25 ,
� � 01, , k � 1.
ïðè º �� 1 è ïðè óãëàõ �, íå áëèçêèõ ê � � �� 0 2, , òà-
êèõ, ÷òî º º�� �tg � �� 1. Ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøå-
íèÿ (24) âûðàæàþò êîíñòàíòó Õîëëà ÷åðåç íàáëþ-
äàåìûå íåëèíåéíûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �
| |,�
� .
Íàïðèìåð, èçìåðèâ âñå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
�
| |,�
� , èç ñêåéëèíãîâûõ ñîîòíîøåíèé (24) ìîæíî
íàéòè âåëè÷èíó êîíñòàíòû Õîëëà. Èëè æå, çíàÿ
êîíñòàíòó Õîëëà è êàêèå-ëèáî òðè èç íàáëþäàåìûõ
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �
| |,�
� , ìîæíî âîññòàíîâèòü
÷åòâåðòîå. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå
îäíîîñíîé àíèçîòðîïèè (�y � 1) ïåðâîå èç ñêåéëèí-
ãîâûõ ñîîòíîøåíèé (24) ïåðåõîäèò â ñîîòíîøåíèå,
ðàíåå ïîëó÷åííîå â ðàáîòå [15] (ôîðìóëà (40)).
Îòìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè áèàíèçî-
òðîïíîãî ïèííèíãà ñêåéëèíã âèäà � ��xy xx� , îáû÷-
íî íàáëþäàåìûé ïðè èçîòðîïíîì ïèííèíãå, íåâîç-
ìîæåí, òàê êàê íåìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ � +�
� ( , )j è
ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ � +
| |
( , )� j íå ìîãóò áûòü ñâÿçàíû
ñòåïåííûì ñîîòíîøåíèåì.
Ðàññìîòðèì òàêæå ñêåéëèíã â X- è Y-ãåîìåòðèÿõ,
â êîòîðûõ j x| | ( )� �� /2 è j y| | ( )� � 0 . Äëÿ ýòèõ
ñëó÷àåâ èç ôîðìóë (15), (16) è (19) ïîëó÷àåì
X-ãåîìåòðèÿ, � �� /2: � � � � � �
| |, ,( ), º [º ( )] ( ),
X y X x y ypj n p j pj pj�
�
� �� � 1
Y-ãåîìåòðèÿ, � � 0: � � � � � �
| |, ,( ), º ( ) [º ( )]
Y x Y x y xp j n p j pj p j� �
�
� � �� �1 1 1 ,
tg tg2 2H
X
X X x y H
Y
Y/ n p j pj� � ��
� � �
�
�� � � � � � �, | |, ,º [º ( )],1
| |,
º [º ( )]
Y y xn pj p j� �� � � 1
(25)
è � � � �| |, | |, , , ,X Y X Y
� �
�
�
�
�� � � � 0 ò.å. ñïåöèôè÷íûå
äëÿ ñâåðõïðîâîäíèêà ñ àíèçîòðîïíûì ïèííèíãîì
ïðîäîëüíîå íå÷åòíîå �| |
� è ïîïåðå÷íîå ÷åòíîå ��
�
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ îáðàùàþòñÿ â íóëü â X- è
Y-ãåîìåòðèÿõ èç-çà îáðàùåíèÿ â íóëü «òåíçîðíûõ»
(âíåøíèõ) óãëîâûõ çàâèñèìîñòåé. Ôîðìóëû (25)
äëÿ �
| |
� è ��
� â X- è Y-ãåîìåòðèÿõ ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ � �y x$ , p p$ �1.
Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �
| |
� â X- è Y-ãåîìåòðèÿõ
îáóñëîâëåíû äèíàìèêîé âèõðåé îòíîñèòåëüíî ñèñ-
òåì ÖÏ, âäîëü êîòîðûõ íàïðàâëåí òîê, è îïèñûâà-
þòñÿ ôóíêöèÿìè �y è �x . Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
��
� â X- è Y-ãåîìåòðèÿõ âîçíèêàþò çà ñ÷åò ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ñèë Ìàãíóñà f n p j pjMx y� �º ( )1 � è
fMy � n pj p jxº ( )� �1 , âûçûâàþùèõ äâèæåíèå âèõðåé
â íàïðàâëåíèè òîêà. Êàê ñèëû Ìàãíóñà, òàê è ìàã-
íèòîñîïðîòèâëåíèÿ ��
� ïðîïîðöèîíàëüíû ñêîðîñòè
âèõðåé, òàê ÷òî â ðåçóëüòàòå îíè îáóñëîâëåíû äèíà-
ìèêîé âèõðåé îòíîñèòåëüíî îáåèõ ñèñòåì ÖÏ. Çà-
ìåòèì, ÷òî ïðè óìåðåííûõ òîêàõ j js
x y~ , , ðåàëüíî
äîñòèæèìûõ â ýêñïåðèìåíòå, � �x p j y pj[º ( )]� /1
/ �x( )0 , � � �y x ypj p j[º ( )] ( )� /1 0 ñ òî÷íîñòüþ äî
âåëè÷èí ïîðÿäêà º ( )� ���
x y 0 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ñ
ýòîé òî÷íîñòüþ tg 2H
X
xn/ º ( )� 0 , tg 2H
Y
yn/ º ( )� 0
è õîëëîâñêèå óãëû 2H
X Y, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñÿò îò
ïëîòíîñòè òîêà. Ôîðìóëû (25) âûðàæàþò ñêåéëèí-
ãîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàáëþäàåìûìè ìàãíèòî-
ñîïðîòèâëåíèÿìè �
| |
� è ��
� â X-, Y- ãåîìåòðèÿõ è
õîëëîâñêîé êîíñòàíòîé º è ïîçâîëÿþò òàêæå ïî íà-
áëþäàåìûì �
| |
� è ��
� â X-,Y-ãåîìåòðèÿõ âîññòàíî-
âèòü ôóíêöèè �x è �y .
Ðàññìîòðèì âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè èçìåðåíèé â
X-,Y-ãåîìåòðèÿõ, òàê êàê â ðåàëüíûõ îáðàçöàõ óãîë
� íå ìîæåò òî÷íî ñîîòâåòñòâîâàòü çíà÷åíèÿì
� � �� 0 2, (ñì. òàêæå [15]). Äëÿ íàõîæäåíèÿ òåíçî-
ðîâ ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé âáëèçè X-,Y-ãåîìåòðèé
âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ìåòîäà ðåøåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ
º, ïðåäëîæåííîãî â [16]. Â ðàáîòå [16] ïîêàçàíî,
÷òî êîìïîíåíòû ñðåäíåé ñêîðîñòè âèõðåé ðàâíû
v F /x x x� ~ ( )� �, v F /ó y y� ~ ( )� �, ãäå ñèëû Fx , Fy
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (13). Ïðè º �� 1 ýòè
óðàâíåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ê âèäó
F F n F F n F Fx Lx Ly y Ly Lx x x� � �º [ º ( )]� � ,
F F n F F n F Fy Ly Lx x Lx Ly y y� � �º [ º ( )]� � . (26)
Ðàññìîòðèì îáëàñòè óãëîâ âáëèçè X-, Y-ãåîìåòðèé.
Âáëèçè X-ãåîìåòðèè ( ctg � �� º)
� �y Ly Lx x xF n F F[ º ( )]� /
/ � �� � �y Ly y Ly Lx x xF F n F F( ) ( )( º ( )).
Ïðåíåáðåãàÿ êâàäðàòè÷íûìè ïî º âêëàäàìè, ïî-
ëó÷àåì
F F n F F n F Fx
X
Lx Ly y Ly Lx x x� � � /º [ º ( )]� �
/ �F n F FLx Ly y Lyº ( )� ,
F F n F F n F Fy
X
Ly Lx x Lx Ly y Ly/ � � /º [ º ( )]� �
/ �F n F FLy Lx x x
Xº ( )� ,
à â áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èíàõ
f np j n fx
X
y Ly/ ��1 (cos º ( )sin )� � � ,
f npj n fy
X
x x
X/ � �( s º ( ) cos )in � � � .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (16), ïîëó÷èì òåíçîð ìàãíèòî-
ñîïðîòèâëåíèé âáëèçè X-ãåîìåòðèè:
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 35
�
( ) º ( ) ( )
º ( ) ( ) (
�
� � �
� � �
X
y y
X
x x
X
y Ly
x x
X
y Ly x x
X
f n f f
n f f f
�
�
)
%
&
'
'
(
)
*
*
.
(27)
Àíàëîãè÷íî, âáëèçè Y-ãåîìåòðèè (tg� �� º) ïî-
ëó÷èì òåíçîð ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé ��Y .
Îêîí÷àòåëüíî, ïîäñòàíîâêà òåíçîðîâ ��X , ��Y â
ôîðìóëû (19), ðàçëîæåíèå �| |,� ïî 3� � �� �/2 â
îêðåñòíîñòè � �� /2 (ctg � ��� º ( )y pj ) è ïî � â îê-
ðåñòíîñòè � � 0 (tg� ��� �º ( )x p j1 ) äî ïåðâûõ íåèñ-
÷åçàþùèõ ÷ëåíîâ c ó÷åòîì ñëàãàåìûõ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà ïî º (º �� 1) è âûäåëåíèå ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ
ñîñòàâëÿþùèõ äàåò:
� � � � �| |, º [º ( )] ( )X x y yn pj p j pj pj� �� � �1 3 ,
�� � � � � ��
� � � �� � � � �, ( ) [º ( )] º [º ( )X y x y x ypj p j pj p j p j pj1 1 1 �] ( )� �y pj 3 ,
� � � � �| |, º ( ) [º ( )]Y x y xn p j p j pj p j� � � �� �1 1 1 ,
�� � � � � � ��
� � � �� � � �, ( ) [º ( )] º ( ) [ºY x y x x yp j pj p j pj p j pj1 1 1 �x p j( )]�1 �,
�� � � � �
| |,
( ) [º ( )] [ º [º
X y x y xpj p j pj pj p j p� � � �� � � � �1 11
2
1 2 �1 2j pj pj pjy y y� � � �( )]] ( ) ( ) ( )� � 3 ,
� � � � � ��
� � � �� � �, º [º ( )] ( ) [º ( )X x y y x yn p j pj pj np j p j pj1 1 1 ]( )3� 2 �
�� ��1
2
1n pj p j pj pjx y yº [º ( )] ( )� � � �� ��� �p j p j pj pjx y y
2 2 1 2� � � �[º ( )] ( ) ( )3 ,
�� � � �
| |,
( ) [º ( )]
Y x y xp j pj p j� � �� � �1 1 1
2
1 21 1 1p j p j pj pj p jx y x
� � �� � � �� � �( )[ º [º ( )]] �� �x p j( )�1 2,
� � � � � ��
� � � �� � �, º ( ) [º ( )] [º ( )Y x y x y xn p j pj p j npj pj p j1 1 1 ] �2 �
�� � � ��� � � �1
2
1
2
1 1 1 2 2 1n p j p j pj p j p j p jx y x xº ( ) [º ( )] ( )� � � � �� � �y xpj p j[º ( )]�1 2,
(28)
ãäå øòðèõîì îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ �� �( )f
� � ��( )f / f. Ôîðìóëû (28) äëÿ �
| |,�
� ïðè íåáîëüøèõ
îòêëîíåíèÿõ 3� è � îò X- è Y-ãåîìåòðèé àíàëîãè÷-
íî ôîðìóëàì (25) ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðå-
îáðàçîâàíèÿ � �y x$ , p p$ �1. Êàê ïîêàçûâàþò
ôîðìóëû (28), ïîïðàâêè êàê ïåðâîãî, òàê è âòîðîãî
ïî 3� �, ïîðÿäêà ñóùåñòâóþò òîëüêî â îáëàñòè íèç-
êèõ òåìïåðàòóð, â êîòîðîé ðåàëèçóþòñÿ íåëèíåé-
íûå ðåæèìû (áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé), è
îáðàùàþòñÿ â íóëü ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû.
Ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �| |
�, ��
� , ðàâíûå íóëþ â
X-,Y-ãåîìåòðèÿõ, èçìåíÿþòñÿ ëèíåéíî ïî 3� è �
ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò íèõ. Ìàãíèòîñîïðîòèâ-
ëåíèÿ �| |
� ñóùåñòâóþò òîëüêî â îáëàñòÿõ íåëèíåéíî-
ñòè ôóíêöèé �y x, (ñîîòâåòñòâåííî ïðè îòêëîíåíèè
îò X-,Y-ãåîìåòðèé) è ïðîïîðöèîíàëüíû ìíîæèòå-
ëÿì � �x y( ), ( ) ,0 0 1�� ò.å. ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè.
Îñíîâíîé âêëàä â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ ��
� ïðè
îòêëîíåíèè îò X-,Y-ãåîìåòðèé ïðè ðåàëüíî äîñòè-
æèìûõ òîêàõ äàþò ñëàãàåìûå � � �y pj( )3 è
� �x p j( )�1 , òàê ÷òî èõ óñòîé÷èâîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
ðåæèìîì äèíàìèêè îòíîñèòåëüíî ÖÏ, âäîëü êîòî-
ðûõ íàïðàâëåí òîê â X-,Y-ãåîìåòðèÿõ. Ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿ �
| |
,� ��
� èçìåíÿþòñÿ êâàäðàòè÷íî ïî 3�
è � îò ñâîèõ çíà÷åíèé â X-,Y-ãåîìåòðèÿõ. Îòíîñè-
òåëüíûå îòêëîíåíèÿ âåëè÷èí ìàãíèòîñîïðîòèâëå-
íèé äëÿ �
| |,X
� è �
| |,Y
� èìåþò ïîðÿäîê
3� �
| |, | |,X X
/� �
� �� � ��
�
4
5
6
1
2
1 2pj pj / pjy y� � �( ) ( ) ( )3 ,
3� �
| |, | |,Y Y
/� �
�
� � � ��
�
4
5
6
� � �1
2
11 1 1 2p j p j / p jx x� � �( ) ( ) .
 ëèíåéíîì ðåæèìå 3� �
| |, | |,X X
/� �
� � ( )3� 2,
3� �
| |, | |,Y Y
/� �
� � �2. Îòíîñèòåëüíûå îòêëîíåíèÿ âå-
ëè÷èí ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé äëÿ ��
�
,X è ��
�
,Y èìå-
þò ïîðÿäîê
36 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
3� ��
�
�
�
, ,X X/ �
1
2
2pj pj / pjy y[ ( ) ( )] ( )� � �� 3 ,
3� ��
�
�
�
, ,Y Y/ �
1
2
1 1 1 2p j p j / p jx x
� � ��[ ( ) ( )]� � �
è ñóùåñòâóþò òîëüêî â îáëàñòÿõ íåëèíåéíîñòè
ôóíêöèé � � �y x. Êàê è â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ïîïðà-
âîê, êâàäðàòè÷íûå ïî 3�, � ïîïðàâêè â ìàãíèòîñî-
ïðîòèâëåíèÿõ �
| |
,� ��
� ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò
X-,Y-ãåîìåòðèé îïðåäåëÿþòñÿ äèíàìèêîé âèõðåé
îòíîñèòåëüíî ÖÏ, ïàðàëëåëüíûõ òîêó â ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ãåîìåòðèÿõ.
Ôîðìóëû (28) äëÿ íàáëþäàåìûõ ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèé �
| |,�
� ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ óãëà � îò
çíà÷åíèé � �� 0 2, ,/ ñîîòâåòñòâóþùèõ Y-,X-ãåîìåò-
ðèÿì, ïîçâîëÿþò íàéòè ýòè îòêëîíåíèÿ. Ñíà÷àëà,
ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè êâàäðàòè÷íûìè ïî � è
3� � �� �/2 âêëàäàìè â ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ �
| |
�
è ��
� , ïî ôîðìóëàì (25) ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó ñêåé-
ëèíãà, òî åñòü âîññòàíîâèòü çíà÷åíèå êîíñòàíòû º è
ôóíêöèé � �x y, . Äàëåå ïî ôîðìóëàì (28) äëÿ ìàã-
íèòîñîïðîòèâëåíèé �| |
� è ��
� , îáðàùàþùèõñÿ â íóëü â
Y- è X-ãåîìåòðèÿõ è ëèíåéíûõ ïî � è 3� � � �� �2
ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò ýòèõ ãåîìåòðèé, ìîæíî
íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû � è 3�. Ñàìîñî-
ãëàñîâàííîñòü ýòîé ñõåìû ïðîâåðÿåòñÿ âû÷èñëåíèåì
êâàäðàòè÷íûõ ïî � è 3� ïîïðàâîê, êîòîðûå äîëæíû
áûòü ìàëû îòíîñèòåëüíî îñíîâíîãî âêëàäà â Y- è
X-ãåîìåòðèÿõ.
Çàêëþ÷åíèå
Íå÷åòíûé îòíîñèòåëüíî èíâåðñèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ðåçèñòèâíûé îòêëèê ñâåðõïðîâîäíèêà â ñìå-
øàííîì ñîñòîÿíèè ïðè íàëè÷èè äâóõ âçàèìíî îðòî-
ãîíàëüíûõ ñèñòåì îäíîíàïðàâëåííûõ ÖÏ, âîçíè-
êàþùèé çà ñ÷åò äåéñòâèÿ ìàëîãî èçîòðîïíîãî
ýôôåêòà Õîëëà, èññëåäîâàí â ðàìêàõ ïëàíàðíîé
ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà.
 ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè íà îñíîâå óðàâíåíèé Ôîêêå-
ðà—Ïëàíêà â ïðèáëèæåíèè íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ
âèõðåé è â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîé êîíñòàíòå
Õîëëà ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ íàáëþäàåìûõ íå÷åò-
íûõ ïî ìàãíèòíîìó ïîëþ ïðîäîëüíîãî è ïîïåðå÷íî-
ãî ïî òîêó ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé � �| |, ( , ~, ).�
� j T Äâó-
ìåðíûé ïîòåíöèàë áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà
îáùåãî âèäà (ïðåäïîëàãàåìûé àääèòèâíûì è ïåðèî-
äè÷åñêèì â íàïðàâëåíèÿõ àíèçîòðîïèè), ìîäåëè-
ðóþùèé äâå âçàèìíî îðòîãîíàëüíûå ñèñòåìû îäíî-
íàïðàâëåííûõ ïëîñêèõ ÖÏ, êîíêðåòèçèðîâàí ñ
öåëüþ èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòåé ìàãíèòîñîïðî-
òèâëåíèé �| |,�
� îò âñåõ (áåçðàçìåðíûõ) ïàðàìåòðîâ
çàäà÷è — êàê îò âíåøíèõ j, , ,+ � õàðàêòåðèçóþùèõ
ïëîòíîñòü òîêà, òåìïåðàòóðó è íàïðàâëåíèå òîêà,
òàê è îò âíóòðåííèõ ïàðàìåòðîâ p k, ,, , îïèñûâàþ-
ùèõ èíòåíñèâíîñòü è àíèçîòðîïèþ ñàìîãî ïîòåíöèà-
ëà ïèííèíãà, è áåçðàçìåðíîé êîíñòàíòû Õîëëà º.
Îñíîâíûìè îñîáåííîñòÿìè äàííîé çàäà÷è ÿâëÿ-
þòñÿ íåëèíåéíîå íåìîíîòîííîå ïîâåäåíèå íàáëþ-
äàåìûõ àíèçîòðîïíûõ ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé â çà-
âèñèìîñòè îò ïëîòíîñòè òðàíñïîðòíîãî òîêà è
òåìïåðàòóðû è àíèçîòðîïèÿ êðèòè÷åñêîãî òîêà, îáó-
ñëîâëåííàÿ àíèçîòðîïèåé ïèííèíãà. Íåëèíåéíîñòü
âèõðåâîé äèíàìèêè ïî òîêó îáóñëîâëåíà íåëèíåé-
íûì õàðàêòåðîì çàâèñèìîñòè âåëè÷èí ïîòåíöèàëü-
íûõ áàðüåðîâ ÖÏ îò äåéñòâóþùåé íà âèõðè âíåø-
íåé ñèëû; íåëèíåéíîñòü âèõðåâîé äèíàìèêè ïî
òåìïåðàòóðå ñâÿçàíà ñ íåëèíåéíîé òåìïåðàòóðíîé
çàâèñèìîñòüþ âåðîÿòíîñòè âûõîäà âèõðåé èç ïîòåí-
öèàëüíûõ ÿì ÖÏ.  ðàññìàòðèâàåìîé ñòîõàñòè÷å-
ñêîé ìîäåëè áèàíèçîòðîïíîãî ïèííèíãà îñíîâíûå
íåëèíåéíûå êîìïîíåíòû — ôóíêöèè âåðîÿòíîñòè
ïðåîäîëåíèÿ âèõðÿìè ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ ñî-
îòâåòñòâóþùèõ ñèñòåì ÖÏ � + � ,x y j p k, ( , , , , , ), îïèñû-
âàþùèå íåëèíåéíóþ ïî òîêó è òåìïåðàòóðå äèíàìè-
êó âèõðåé îòíîñèòåëüíî ýòèõ ñèñòåì ÖÏ.
Èññëåäóåìûå íå÷åòíûå ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèÿ
� +| |, ( , )�
� j ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè
ôóíêöèé �x y, è èõ ïðîèçâîäíûõ (ñì. ôîðìóëû
(23)), è, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñâîéñòâà ïîëíîñòüþ îï-
ðåäåëÿþòñÿ õîðîøî èçó÷åííûìè ñâîéñòâàìè ïîñëåä-
íèõ. Çàâèñèìîñòè � +| |, ( , )�
� j ïðè îäíîîñíîì àíèçî-
òðîïíîì ïèííèíãå, ÿâëÿþùåìñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì
áèàíèçîòðîïíîãî, èññëåäîâàíû â ðàáîòå [15], îäíà-
êî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âåëè÷èí êîíñòàíòû Õîëëà.
Íàãëÿäíûé êîëè÷åñòâåííûé è êà÷åñòâåííûé àíàëèç
çàâèñèìîñòåé � +| |, ( , )�
� j òàêæå ïðîâåäåí ïðè ïîìîùè
äèàãðàììû äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé âèõðåâîé ñèñ-
òåìû íà ïëîñêîñòè j jx y . Ýòà äèàãðàììà ïîçâîëÿåò
ïðîàíàëèçèðîâàòü ýâîëþöèþ âèõðåâîé äèíàìèêè ñ
èçìåíåíèåì òîêà è òåìïåðàòóðû, îáóñëîâëèâàþùóþ
õàðàêòåðíîå ïîâåäåíèå è îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ çà-
âèñèìîñòåé � +| |, ( , ).�
� j Ïîêàçàíî, ÷òî íåëèíåéíûå
àíèçîòðîïíûå ñâîéñòâà ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �| |,�
�
åñòåñòâåííî ñâÿçàíû ñ îñíîâíûìè êðèòè÷åñêèìè òî-
êàìè jc
x y, ( )+ è òîêàìè íàñûùåíèÿ js
x y, ( )+ ðàññìàò-
ðèâàåìîé ñèñòåìû, ôîðìèðóþùèìè äèàãðàììó ñî-
ñòîÿíèé.  îòëè÷èå îò ðàíåå èçó÷åííîé
ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè îäíîîñíîãî àíèçîòðîïíîãî
ïèííèíãà [15], ãäå ïëîòíîñòü êðèòè÷åñêîãî òîêà jc
ðàâíà íóëþ ôàêòè÷åñêè äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé, â
äàííîé ìîäåëè àíèçîòðîïíûé êðèòè÷åñêèé òîê ñó-
ùåñòâóåò äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé. Ñëåäóåò îòìåòèòü,
÷òî â çàâèñèìîñòÿõ � +| | ( , )� j âîçìîæíî èçìåíåíèå
çíàêà (äàæå äâîéíîãî), òîãäà êàê â çàâèñèìîñòÿõ
� +�
� ( , )j çíàê íå èçìåíÿåòñÿ; ïðè óìåðåííûõ òîêàõ
j ˆ js
x y, õîëëîâñêèå óãëû2H
X Y, ïðàêòè÷åñêè íå çàâè-
ñÿò îò ïëîòíîñòè òîêà.
Íå÷åòíûé ðåçèñòèâíûé îòêëèê â ñâåðõïðîâîäíèêàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 37
Ðàññìîòðåíû ñêåéëèíãîâûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ
õîëëîâñêîé ïðîâîäèìîñòè â òåðìèíàõ íàáëþäàåìûõ
ìàãíèòîñîïðîòèâëåíèé �
| |,�
� (â îáëàñòè óãëîâ, îãðà-
íè÷åííîé óñëîâèåì º º�� �� �tg � 1), à òàêæå ðàñ-
ñìîòðåí ñêåéëèíã è åãî óñòîé÷èâîñòü â áàçîâûõ X- è
Y-ãåîìåòðèÿõ.
1. V. M. Vinokur, V. B. Geshkenbein, M. V. Feigel’-
man, and G. Blatter, Phys. Rev. Lett. 71, 1242 (1993).
2. Wu Liu, T. W. Clinton, and C. J. Lobb, Phys. Rev.
B52, 7482 (1994).
3. A. V. Samoilov, A. Legris, F. Rullier-Albenque,
P. Lejay, S. Bouffard, Z. G. Ivanov, and L.-G.
Johanson, Phys. Rev. Lett. 74, 2351 (1995).
4. T. W. Clinton, A. W. Smith, Qi Li, J. L. Peng, R. L.
Greene, C. J. Lobb, M. Eddy, and C. C. Tsuei, Phys.
Rev. B52, R7046 (1995).
5. S. J. Hagen, C. J. Lobb, R. L. Greene, M. G. For-
rester, and J. H. Kang, Phys. Rev. B41, 11630 (1990).
6. Z. D. Wang, J. Dong, and C. S. Ting, Phys. Rev.
Lett. 72, 3875 (1994).
7. A. A. Prodan, V. A. Shklovskij, V. V. Chabanenko,
A. V. Bondarenko, M. A. Obolenskii, H. Szymczak,
and S. Piechota, Physica C302, 271 (1998).
8. A. Casaca, G. Bonfait, C. Dubourdieu, F. Weiss, and
J. P. Senateur, Phys. Rev. B59, 1538 (1999).
9. G. D’Anna, V. Berseth, L. Forro, A. Erb, and
E. Walker, Phys. Rev. B61, 4215 (2000).
10. N. B. Kopnin and V. M. Vinokur, Phys. Rev. Lett.
83, 4864 (1999).
11. Ý. Á. Ñîíèí, À. Ë. Õîëêèí, ÔÒÒ 34, 1147 (1992).
12. V. A. Shklovskij, ÔÍÒ 23, 1134 (1997).
13. V. A. Shklovskij, ÔÍÒ 25, 153 (1999).
14. Y. Mawatari, Phys. Rev. B56, 3433 (1997).
15. Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà, À. Ê. Ñîðîêà,
ÆÝÒÔ 116, 2103 (1999).
16. V. A. Shklovskij, Phys. Rev. B65, 092508 (2002).
17. Y. Mawatari, Phys. Rev. B59, 12033 (1999).
18. Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà, ÔÍÒ 28, 365
(2002).
19. Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà, ÔÍÒ 28, 449
(2002).
20. S. Fleshler, W.-K. Kwok, U. Welp, V. M. Vinokur,
M. K. Smith, J. Downey, and G. W. Crabtree, Phys.
Rev. B47, 14448 (1993).
21. A. K. Niessen and C. H. Weijsenfeld, J. Appl. Phys.
40, 384 (1969).
22. V. V. Chabanenko, A. A. Prodan, V. A. Shklovskij,
A. V. Bondarenko, M. A. Obolenskii, H. Szymczak,
and S. Piechota, Physica C314, 133 (1999).
23. H. Pastoriza, S. Candia, and G. Nieva, Phys. Rev.
Lett. 83, 1026 (1999).
24. J. Z. Wu and W. K. Chu, Phys. Rev. B49, 1381
(1994).
25. G. Koren, E. Polturak, N. Levy, D. Deutscher, and
N. D. Zakharov, Appl. Phys. Lett. 73, 3763 (1998).
26. A. Hoffmann, P. Prieto, and I.K. Schuller, Phys. Rev.
B61, 6958 (2000).
27. M. J. Van Bael, K. Temst, V. V. Moshchalkov, and
Y. Bruynseraede, Phys. Rev. B59, 14674 (1999).
28. G. Blatter, M. V. Feigelman, V. B. Geshkenbein,
A. I. Larkin, V. M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66,
1125 (1994).
Nonlinear resistive response in superconductors
with bianisotropic pinning
V. A. Shklovskij and A. A. Soroka
The odd-relative to magnetic field inversion
resistive response of a superconductor in the mi-
xed states in the presence of bianisotropic pin-
ning and a small isotropic Hall-effect is investi-
gated theoretically. Within the framework of the
two-dimensional stochastic model of bianisotropic
pinning, odd-relative to-magnetic field longitudi-
nal and transverse magnetoresistivities are de-
rived using the Fokker—Plank equations in the
single vortex approximation and as a first ap-
proximation at a small Hall constant. Both na-
turelly occuring and artifically created realiza-
tions of the model are possible. It is shown that
the nonlinear anisotropic properties of the mag-
netoresistivities are naturally related to the prin-
cipal critical and saturation currents of the sys-
tem under consideration. The scaling relations
for the Hall conductivity are considered in terms
of the experimentally observable longitudinal
and transverse magnetoresistivities. The scaling
and its stability in the base X- and Y-geometries
of the problem are discussed.
38 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Â. À. Øêëîâñêèé, À. À. Ñîðîêà
|