Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0
Кондактанс неупорядоченных ограниченных электронных систем рассчитан путем сведения исходной динамической задачи произвольной размерности к строго одномерным задачам для одночастичных модовых пропагаторов. Показано, что металлическое основное состояние двумерных проводников, рассматриваемых как пред...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2003
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128781 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 / Ю.В. Тарасов // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 58-70. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128781 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1287812018-01-14T03:03:59Z Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 Тарасов, Ю.В. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Кондактанс неупорядоченных ограниченных электронных систем рассчитан путем сведения исходной динамической задачи произвольной размерности к строго одномерным задачам для одночастичных модовых пропагаторов. Показано, что металлическое основное состояние двумерных проводников, рассматриваемых как предельный случай трехмерных квантовых волноводов, обусловлено их многомодовостью. При уменьшении толщины волновода, например с помощью "прижимающего" потенциала, электронная система претерпевает последовательность непрерывных квантовых фазовых переходов, связанных с дискретным изменением числа протяженных мод. Закрытие последней токонесущей моды интерпретируется как фазовый переход электронной системы из металлического в диэлектрическое состояние. Полученные результаты качественно согласуются с наблюдаемыми "аномалиями" сопротивления различных двумерных электронных и дырочных систем. The conductance of disordered electron systems of finite size is calculated by reducing the initial dynamical problem of arbitrary dimensionality to strictly one-dimensional problems for single-particle mode propagators. It is shown that the metallic ground state of two-dimensional conductors, considered as a limiting case of three-dimensional quantum waveguides, is due to their multimode nature. As the thickness of the waveguide is decreased, e.g., with the aid of a “pressing” potential, the electron system undergoes a sequence of continuous quantum phase transitions involving a discrete change in the number of extended modes. The closing of the last current-carrying mode is interpreted as a phase transition of the electron system from the metallic to an insulator state. The results agree qualitatively with the observed “anomalies” of the resistance of various two-dimensional electron and hole systems. Кондактанс обмежених невпорядкованих електронних систем обчислено шляхом зведення початкової динамiчної задачi довiльної вимiрностi до системи строго одновимiрних задач вiдносно одночасткових модових пропагаторiв. Виявлено, що металевий основний стан двовимiрних провiдникiв, що розглядаються як граничний випадок тривимiрних квантових хвилеводiв, є наслiдком їх багатомодовостi. Iз зменшенням товщини хвилеводу, наприклад за допомогою потенцiалу, що «притискує», електронна система зазнає послiдовностi неперервних квантових фазових перетворень, якi пов язанi iз дискретною змiною кiлькостi поширених мод. Закриття останньої моди, що переносить струм, iнтерпретується як фазовий перехiд електронної системи iз металевого до дiелектричного стану. Отриманi результати якiсно погоджуються iз «аномалiями» опору, що спостерiгаються у рiзних двовимiрних електронних та дiркових системах. 2003 Article Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 / Ю.В. Тарасов // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 58-70. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.30.+h, 72.15.Rn, 73.50.-h http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128781 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Тарасов, Ю.В. Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 Физика низких температур |
| description |
Кондактанс неупорядоченных ограниченных электронных систем рассчитан путем сведения исходной динамической задачи произвольной размерности к строго одномерным задачам для одночастичных модовых пропагаторов. Показано, что металлическое основное состояние двумерных проводников, рассматриваемых как предельный случай трехмерных квантовых волноводов, обусловлено их многомодовостью. При уменьшении толщины волновода, например с помощью "прижимающего" потенциала, электронная система претерпевает последовательность непрерывных квантовых фазовых переходов, связанных с дискретным изменением числа протяженных мод. Закрытие последней токонесущей моды интерпретируется как фазовый переход электронной системы из металлического в диэлектрическое состояние. Полученные результаты качественно согласуются с наблюдаемыми "аномалиями" сопротивления различных двумерных электронных и дырочных систем. |
| format |
Article |
| author |
Тарасов, Ю.В. |
| author_facet |
Тарасов, Ю.В. |
| author_sort |
Тарасов, Ю.В. |
| title |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 |
| title_short |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 |
| title_full |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 |
| title_fullStr |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 |
| title_full_unstemmed |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 |
| title_sort |
одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при t = 0 |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128781 |
| citation_txt |
Одночастичный сценарий перехода металл-изолятор в двумерных системах при T = 0 / Ю.В. Тарасов // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 58-70. — Бібліогр.: 43 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT tarasovûv odnočastičnyjscenarijperehodametallizolâtorvdvumernyhsistemahprit0 |
| first_indexed |
2025-07-09T09:53:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T09:53:04Z |
| _version_ |
1837162599128498176 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1, ñ. 58–70
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð
â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Þ. Â. Òàðàñîâ
Èíñòèòóò ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
óë. àêàä. Ïðîñêóðû, 12, ã. Õàðüêîâ, 61085, Óêðàèíà
E-mail: yutarasov@ire.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 6 ìàÿ 2002 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 30 èþëÿ 2002 ã.
Êîíäàêòàíñ íåóïîðÿäî÷åííûõ îãðàíè÷åííûõ ýëåêòðîííûõ ñèñòåì ðàññ÷èòàí ïóòåì ñâåäåíèÿ
èñõîäíîé äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè ê ñòðîãî îäíîìåðíûì çàäà÷àì äëÿ
îäíî÷àñòè÷íûõ ìîäîâûõ ïðîïàãàòîðîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî ìåòàëëè÷åñêîå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå äâó-
ìåðíûõ ïðîâîäíèêîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé òðåõìåðíûõ êâàíòîâûõ âîëíî-
âîäîâ, îáóñëîâëåíî èõ ìíîãîìîäîâîñòüþ. Ïðè óìåíüøåíèè òîëùèíû âîëíîâîäà, íàïðèìåð ñ ïî-
ìîùüþ «ïðèæèìàþùåãî» ïîòåíöèàëà, ýëåêòðîííàÿ ñèñòåìà ïðåòåðïåâàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íåïðåðûâíûõ êâàíòîâûõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, ñâÿçàííûõ ñ äèñêðåòíûì èçìåíåíèåì ÷èñëà ïðî-
òÿæåííûõ ìîä. Çàêðûòèå ïîñëåäíåé òîêîíåñóùåé ìîäû èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ôàçîâûé ïåðåõîä
ýëåêòðîííîé ñèñòåìû èç ìåòàëëè÷åñêîãî â äèýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû
êà÷åñòâåííî ñîãëàñóþòñÿ ñ íàáëþäàåìûìè «àíîìàëèÿìè» ñîïðîòèâëåíèÿ ðàçëè÷íûõ äâóìåð-
íûõ ýëåêòðîííûõ è äûðî÷íûõ ñèñòåì.
Êîíäàêòàíñ îáìåæåíèõ íåâïîðÿäêîâàíèõ åëåêòðîííèõ ñèñòåì îá÷èñëåíî øëÿõîì çâåäåííÿ
ïî÷àòêîâî¿ äèíàìi÷íî¿ çàäà÷i äîâiëüíî¿ âèìiðíîñòi äî ñèñòåìè ñòðîãî îäíîâèìiðíèõ çàäà÷
âiäíîñíî îäíî÷àñòêîâèõ ìîäîâèõ ïðîïàãàòîðiâ. Âèÿâëåíî, ùî ìåòàëåâèé îñíîâíèé ñòàí äâîâè-
ìiðíèõ ïðîâiäíèêiâ, ùî ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê ãðàíè÷íèé âèïàäîê òðèâèìiðíèõ êâàíòîâèõ õâèëå-
âîäiâ, º íàñëiäêîì ¿õ áàãàòîìîäîâîñòi. Iç çìåíøåííÿì òîâùèíè õâèëåâîäó, íàïðèêëàä çà äîïî-
ìîãîþ ïîòåíöiàëó, ùî «ïðèòèñêóº», åëåêòðîííà ñèñòåìà çàçíຠïîñëiäîâíîñòi íåïåðåðâíèõ
êâàíòîâèõ ôàçîâèõ ïåðåòâîðåíü, ÿêi ïîâ’ÿçàíi iç äèñêðåòíîþ çìiíîþ êiëüêîñòi ïîøèðåíèõ ìîä.
Çàêðèòòÿ îñòàííüî¿ ìîäè, ùî ïåðåíîñèòü ñòðóì, iíòåðïðåòóºòüñÿ ÿê ôàçîâèé ïåðåõiä
åëåêòðîííî¿ ñèñòåìè iç ìåòàëåâîãî äî äiåëåêòðè÷íîãî ñòàíó. Îòðèìàíi ðåçóëüòàòè ÿêiñíî ïîãîä-
æóþòüñÿ iç «àíîìàëiÿìè» îïîðó, ùî ñïîñòåðiãàþòüñÿ ó ðiçíèõ äâîâèìiðíèõ åëåêòðîííèõ òà
äiðêîâèõ ñèñòåìàõ.
PACS: 71.30.+h, 72.15.Rn, 73.50.–h
1. Ââåäåíèå
Ïðîáëåìà ýëåêòðîííîãî òðàíñïîðòà â íåóïîðÿäî-
÷åííûõ ïðîâîäíèêàõ â òå÷åíèå ìíîãèõ ëåò ïðèâëå-
êàåò âíèìàíèå èññëåäîâàòåëåé êàê ñâîåé àêòóàëüíî-
ñòüþ â ïðèêëàäíîì àñïåêòå, òàê è èíòðèãóþùåé
ñëîæíîñòüþ ôóíäàìåíòàëüíûõ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ
â ýòîé îáëàñòè. Îäíà èç òàêèõ çàäà÷, íå ðåøåííàÿ
îäíîçíà÷íî äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè, ñîñòîèò â âûÿñ-
íåíèè ïðèðîäû íåîáû÷íîãî ÿâëåíèÿ, íàáëþäàåìîãî
â äâóìåðíûõ ýëåêòðîííûõ è äûðî÷íûõ ñèñòåìàõ,
êîòîðîå ìíîãèìè èññëåäîâàòåëÿìè èíòåðïðåòèðóåò-
ñÿ êàê ïåðåõîä ìåòàëë—èçîëÿòîð (ÏÌÈ), îáóñëîâ-
ëåííûé áåñïîðÿäêîì. Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå êîíäàê-
òàíñà ïëàíàðíûõ ãåòåðîñòðóêòóð, ðåãèñòðèðóåìîå
ýêñïåðèìåíòàëüíî (ñì. îáøèðíóþ áèáëèîãðàôèþ â
[1]), î÷åâèäíî ïðîòèâîðå÷èò ðàñïðîñòðàíåííîìó
óáåæäåíèþ, ÷òî â äâóìåðíûõ (2D) ñèñòåìàõ, òàê
æå, êàê è â îäíîìåðíûõ (1D), ñóùåñòâîâàíèå ìåòàë-
ëè÷åñêîãî îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ íåâîçìîæíî ïðè íà-
ëè÷èè äàæå ñêîëü óãîäíî ìàëîãî áåñïîðÿäêà [2].
Ýòà òî÷êà çðåíèÿ âñå åùå îñòàåòñÿ äîìèíèðóþùåé,
õîòÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèé ñêåéëèíãîâûé ïîä-
õîä [2], ñ ó÷åòîì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ôàêòîâ, óæå
ïîäâåðãàëñÿ êàê ÷àñòè÷íîìó óñîâåðøåíñòâîâà-
íèþ [3,4], òàê è ðàäèêàëüíîé ðåâèçèè [5].
© Þ. Â. Òàðàñîâ, 2003
Íåîäíîêðàòíî ïðåäïðèíèìàëèñü ïîïûòêè îáúÿñ-
íèòü «àíîìàëüíîå» ìåòàëëè÷åñêîå ïîâåäåíèå 2D
ñèñòåì â îáëàñòè íèçêèõ òåìïåðàòóð ñ ïðèâëå÷åíèåì
ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåç. Ñðåäè íèõ — âîç-
íèêíîâåíèå ïðîâîäÿùåé ôàçû â ñèëüíî ðàçðåæåí-
íûõ ýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ [6,7], íåôåðìèæèäêîñò-
íîå ïîâåäåíèå òàêèõ ñèñòåì [8], âîçìîæíîñòü
ñâåðõïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ 2D ýëåêòðîííîãî ãàçà
ñ âçàèìîäåéñòâèåì [9,10], òåìïåðàòóðíîçàâèñÿùàÿ
ýêðàíèðîâêà ïðèìåñíîãî ðàññåÿíèÿ [11,12] è äð.
Îäíàêî ôóíäàìåíòàëüíûé âîïðîñ, ÿâëÿþòñÿ ëè íà-
áëþäàåìûå àíîìàëèè ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîÿâëåíèåì
èñòèííîãî êâàíòîâîãî ôàçîâîãî ïåðåõîäà [13] èëè
æå èõ ìîæíî îáúÿñíèòü â ðàìêàõ òðàäèöèîííîé òåî-
ðèè íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì [14], âñå åùå îñòàåòñÿ
îòêðûòûì.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà ìîäåëü äëÿ îáúÿñ-
íåíèÿ íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèé, â ðàìêàõ êîòîðîé ïî
ñóòè ðåàëèçóåòñÿ êîíöåïöèÿ êâàíòîâîé äåôàçèðîâ-
êè ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé çà ñ÷åò èõ âçàèìîäåéñò-
âèÿ ñ íåêîòîðûì «äåôàçèðóþùèì îêðóæåíèåì»,
ñîñòîÿíèå êîòîðîãî â õîäå ýêñïåðèìåíòà íå îïðåäå-
ëÿåòñÿ [15]. Îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïîòåðÿ êîãåðåíò-
íîñòè ýëåêòðîíîâ â ïðîâîäíèêàõ ñî ñòàòè÷åñêèì
áåñïîðÿäêîì îáóñëîâëåíà òðàäèöèîííûìè èñòèííî
íåóïðóãèìè ïðîöåññàìè âçàèìîäåéñòâèÿ (ýëåêòðîí-
ôîíîííîå, ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîå è äð.), òàê ÷òî ÷àñ-
òîòà äåôàçèðîâêè, ñâÿçàííàÿ ñ ýòèìè òèïàìè âçàè-
ìîäåéñòâèÿ, ïðè ïîíèæåíèè òåìïåðàòóðû ñòðåìèòñÿ
ê íóëþ. Îäíàêî ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò ïîêàçà-
ëè, ÷òî âîïðîñ î ôèçè÷åñêîé ïðèðîäå äåôàçèðó-
þùåãî îêðóæåíèÿ âñå åùå îñòàåòñÿ äèñêóññèîííûì
[16].  êà÷åñòâå îñíîâíîãî ìåõàíèçìà äåôàçèðîâêè
èçíà÷àëüíî êîãåðåíòíûõ (ïðåäïîëoæèòåëüíî, ëîêà-
ëèçîâàííûõ) ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé ÷àùå âñåãî
ðàññìàòðèâàþò êâàçèóïðóãîå ýëåêòðîí-ýëåêòðîííîå
âçàèìîäåéñòâèå, ïîñêîëüêó «àíîìàëüíîå» ïîâåäå-
íèå ñîïðîòèâëåíèÿ ðåãèñòðèðóåòñÿ â îñíîâíîì â 2D
ñèñòåìàõ íèçêîé ïëîòíîñòè (rs � 10, r E /Es e e F� �
— îòíîøåíèå êóëîíîâñêîé ýíåðãèè ê ýíåðãèè Ôåð-
ìè ýëåêòðîíîâ). Îäíàêî ðîëü ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
â ðàçëè÷íûõ òåîðèÿõ èíòåðïðåòèðóåòñÿ ïî-ðàçíîìó
— è êàê ñïîñîáñòâóþùåãî ëîêàëèçàöèè [17,18], è
êàê ïðåïÿòñòâóþùåãî åå âîçíèêíîâåíèþ [6,7,19].
Ìåæäó òåì â [20,21] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ê äåôà-
çèðîâêå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êëàññèôèöèðîâàí-
íûõ ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åííîñòè ðåàëüíîé äèíàìè÷å-
ñêîé ñèñòåìû, íàðÿäó ñ íåóïðóãèìè ïðîöåññàìè
äîëæíî ïðèâîäèòü è ðàññåÿíèå íà ñòàòè÷åñêèõ íåîä-
íîðîäíîñòÿõ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà â [20,21] áûëî èñ-
ïîëüçîâàíî ìîäîâîå ïðåäñòàâëåíèå îäíî÷àñòè÷íûõ
ïðîïàãàòîðîâ, íàèáîëåå ïîäõîäÿùåå äëÿ àíàëèçà
îòêðûòûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì âîëíîâîäíîé êîíôè-
ãóðàöèè. Íåìàëîâàæíûì ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿ òîò
ôàêò, ÷òî ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðîíàì â òâåðäûõ
òåëàõ ìîäîâûå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîëëåêòèâíû-
ìè, è ïîýòîìó õîðîøî ïðèñïîñîáëåííûìè äëÿ îïè-
ñàíèÿ ñèëüíî ñêîððåëèðîâàííîé ñèñòåìû íîñèòåëåé
òîêà. Ñêîððåëèðîâàííîñòü ïîñëåäíåé, äàæå è áåç
ó÷åòà êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, èçíà÷àëüíî çà-
ëîæåíà â ôîðìàëèçìå ãðèíîâñêèõ ôóíêöèé, ÿâíî
ó÷èòûâàþùåì ïðèíöèï Ïàóëè [22].
 [20,21] ïîêàçàíî, ÷òî â íå ñëèøêîì óçêèõ 2D
ïðîâîäíèêàõ ïðè íàëè÷èè áîëåå ÷åì îäíîé ïðîòÿ-
æåííîé ìîäû (èëè, èíûìè ñëîâàìè, áîëåå ÷åì îäíî-
ãî îòêðûòîãî êâàíòîâîãî êàíàëà) ðàññåÿíèå ìåæäó
íèìè, åñëè îíî íå ïîäàâëåíî â ñèëó êàêèõ-ëèáî ñïå-
öèàëüíûõ óñëîâèé, ïðèâîäèò ê äåôàçèðîâêå êîãå-
ðåíòíûõ ìîäîâûõ ñîñòîÿíèé è ïðåäîòâðàùàåò èõ
èíòåðôåðåíöèîííóþ ëîêàëèçàöèþ. Ïðè ýòîì ðîëü
äåôàçèðóþùåãî îêðóæåíèÿ äëÿ êàæäîãî èç êàíàëîâ
èãðàåò ñîâîêóïíîñòü âñåõ îñòàëüíûõ îòêðûòûõ êà-
íàëîâ òîãî æå ïðîâîäíèêà. Åñëè ìåæìîäîâîå ðàñ-
ñåÿíèå îòñóòñòâóåò, ÷òî èìååò ìåñòî, íàïðèìåð, â
ïðîâîäíèêàõ, ïðèãîòîâëåííûõ ñëó÷àéíî ñëîèñòûìè
â íàïðàâëåíèè òîêà, òî àíäåðñîíîâñêàÿ ëîêàëèçàöèÿ
ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé âîçíèêàåò â êàæäîì èç êà-
íàëîâ íåçàâèñèìî. Ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ õîðîøî èç-
âåñòíîå èç òåîðèè êâàçèîäíîìåðíûõ ïðîâîäíèêîâ
[23–26] ýêñïîíåíöèàëüíîå óìåíüøåíèå êîíäàêòàíñà
ñ ðîñòîì äëèíû ïðîâîäíèêà, êîãäà ïîñëåäíÿÿ ïðå-
âîñõîäèò âåëè÷èíó ïîðÿäêà Nc�, ãäå Nc — ÷èñëî îò-
êðûòûõ êàíàëîâ, � — êâàçèêëàññè÷åñêàÿ äëèíà ñâî-
áîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ.
Õîòÿ, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðåçóëüòàòîâ [20,21], ìå-
òàëëè÷åñêîå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå äâóìåðíûõ ñòàòè-
÷åñêè íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì íå äîëæíî ðàññìàò-
ðèâàòüñÿ â êà÷åñòâå àíîìàëüíîãî ÿâëåíèÿ, âñå æå
ìåõàíèçì íàáëþäàåìîãî â ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðè-
ìåíòàõ ïåðåõîäà 2D ñèñòåì èç ïðîâîäÿùåãî â äè-
ýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå â óêàçàííûõ ðàáîòàõ èäåí-
òèôèöèðîâàí íå áûë. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå (êðàòêèé
âàðèàíò îïóáëèêîâàí ðàíåå â [27]) äëÿ âûÿñíåíèÿ
ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ÏÌÈ â ïëàíàðíûõ ñòðóêòó-
ðàõ ïðåäëàãàåòñÿ àäàïòèðîâàòü ïîñòàíîâêó çàäà÷è ê
ðåàëüíûì óñëîâèÿì ýêñïåðèìåíòà, ðàñïðîñòðàíèâ
ìåòîä [20,21], ðàçâèòûé ðàíåå äëÿ ñòðîãî äâóìåð-
íûõ îòêðûòûõ ñèñòåì, íà ñèñòåìû áîëüøåé ðàçìåð-
íîñòè. Ìîòèâàöèåé äëÿ ýòîãî ñëóæèò òîò ôàêò, ÷òî
íà ïðàêòèêå 2D ñèñòåìû ÷àùå âñåãî ôîðìèðóþò ñ
ïîìîùüþ ïðèïîâåðõíîñòíûõ ïîòåíöèàëüíûõ ÿì êî-
íå÷íîé øèðèíû, ñîçäàâàåìûõ ëèáî ïðèëîæåííûì
èçâíå «ïðèæèìàþùèì» ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì, ëèáî
çà ñ÷åò êîíòàêòíîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ.
2. Âûáîð ìîäåëè è ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ïðîâîäíèêè ïîíèæåííîé ðàçìåðíîñòè (îäíîìåð-
íûå è äâóìåðíûå) ñëóæàò ìàòåìàòè÷åñêîé èäåàëè-
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 59
çàöèåé ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ, â ãåîìåòðè-
÷åñêîì ñìûñëå òðåõìåðíûõ. Ïîòåíöèàëüíûå ÿìû,
îáðàçóþùèåñÿ âñëåäñòâèå èçãèáà ýíåðãåòè÷åñêèõ
çîí â îáëàñòè êîíòàêòà ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ (ñì.,
íàïðèìåð, ðèñ. 1,à), ôîðìèðóþò ïðèïîâåðõíîñòíûé
êâàíòîâûé âîëíîâîä êîíå÷íîé òîëùèíû, äâóìåðíóþ
ïëîòíîñòü íîñèòåëåé òîêà â êîòîðîì îáû÷íî âàðüè-
ðóþò ñ ïîìîùüþ âíåøíåãî ïîòåíöèàëà �d (dep-
letion voltage) ëèáî ïóòåì åìêîñòíîãî âîçäåéñòâèÿ.
Ôîðìà ïðèïîâåðõíîñòíûõ ÿì (â áîëüøèíñòâå ñëó-
÷àåâ îíà áëèçêà ê òðåóãîëüíîé [19,28]) íå èìååò
ïðèíöèïèàëüíîãî çíà÷åíèÿ äëÿ èõ îñíîâíîé ôóíê-
öèè — îãðàíè÷åíèÿ ýëåêòðîííîãî òðàíñïîðòà â íà-
ïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ãåòåðîôàçíîé ãðàíè-
öå. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ
ðàñ÷åòîâ ðàññìîòðåíà ìîäåëü ïëàíàðíîãî ïðîâîäíè-
êà â âèäå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåõìåðíîãî «ýëåêòðîí-
íîãî âîëíîâîäà» ñ æåñòêèìè áîêîâûìè ñòåíêàìè
(ðèñ. 1,á), çàíèìàþùåãî îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà
x L/ L/ y W/ W/ z H/ H/� � � � � �( , ), [ , ], [ , ]2 2 2 2 2 2 .
(1)
Äëèíó ïðîâîäíèêà L, øèðèíó W è òîëùèíó H áó-
äåì ñ÷èòàòü ïðîèçâîëüíûìè.
Èç òåîðèè ëèíåéíîãî îòêëèêà [29] áåçðàçìåðíûé
(â åäèíèöàõ e /2 ��) ñòàòè÷åñêèé êîíäàêòàíñ g L( )
ïðè T � 0 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îäíî÷àñòè÷íûå ýëåê-
òðîííûå ïðîïàãàòîðû ñëåäóþùèì îáðàçîì:
g L
L
d d
x
G G
x
G
A R
A
( ) [ ( , ) ( , )]
[ ( ,
� �
�
�
� � � �
�
�
� �
�
2
2
r r r r r r
r r r r) ( , )] .� �GR
(2)
Çäåñü GR A, ( , )r r� — çàïàçäûâàþùàÿ (R) è îïå-
ðåæàþùàÿ (A) ôóíêöèè Ãðèíà ýëåêòðîíîâ, èí-
òåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà (1),
çàíèìàåìîé ïðîâîäíèêîì. Â ìîäåëè èçîòðîïíîé
ôåðìè-æèäêîñòè ïðè èñïîëüçîâàíèè åäèíèö ñ
� � �2 1m (m — ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíîâ) çà-
ïàçäûâàþùèé ïðîïàãàòîð, ó êîòîðîãî â äàëüíåé-
øåì îïóùåí èíäåêñ «R», óäîâëåòâîðÿåò óðàâíå-
íèþ:
[ ( )] ( , ) ( )
� � � � � � �k i V GF
2 0 r r r r r� . (3)
Çäåñü
— òðåõìåðíûé ëàïëàñèàí; kF — ôåðìèåâ-
ñêîå âîëíîâîå ÷èñëî; V( )r — ñòàòè÷åñêèé ñëó÷àé-
íûé ïîòåíöèàë, õàðàêòåðèçóåìûé íóëåâûì ñðåäíèì
çíà÷åíèåì V( )r � 0 è áèíàðíîé êîððåëÿöèîííîé
ôóíêöèåé V V( ) ( ) ( )r r r r� � � �QW . Ôóíêöèþ W ( )r
ñ÷èòàåì íîðìèðîâàííîé íà åäèíèöó è óáûâàþùåé
íà õàðàêòåðíîì ìàñøòàáå rc (êîððåëÿöèîííûé ðà-
äèóñ). Â äàëüíåéøåì ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ ôîðìóë
îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì êîððåëÿöèîííîé ôóíê-
öèè íåñêîëüêî ìåíåå îáùåãî âèäà, à èìåííî,
V V x x y z( ) ( ) ( ) ( ), ( , ) ,r r r r r� � � � � � �
QW �
(4)
÷òî, î÷åâèäíî, íå äîëæíî ñóùåñòâåííî ñêàçûâàòüñÿ
íà ðåçóëüòàòàõ.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) òðåáóåò çàäàíèÿ àäåêâàò-
íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. «Íåïðîíèöàåìûå» äëÿ
ýëåêòðîíîâ áîêîâûå ãðàíèöû ïðîâîäíèêà ìîæíî õà-
ðàêòåðèçîâàòü âåùåñòâåííûì èìïåäàíñîì, ÷àñòíûé
ñëó÷àé êîòîðîãî ïðèâîäèò ê óñëîâèÿì Äèðèõëå:
G y W/
z H/
( , )
|
.r r� ���
��
2
2
0 (5)
 òî æå âðåìÿ, áóäó÷è ïðèñîåäèíåííûì â òî÷êàõ
x L/� � 2 ê ðàâíîâåñíûì «ðåçåðâóàðàì», ïðîâîäíèê
ÿâëÿåòñÿ îòêðûòîé ñèñòåìîé, èç ÷åãî âûòåêàþò äâà
âàæíûõ ñëåäñòâèÿ. Âî-ïåðâûõ, â òåîðèè Êóáî õè-
ìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ìàññèâíûõ êîíòàêòîâ ñ÷èòà-
þòñÿ îäèíàêîâûìè. Ïîýòîìó õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë
ñîåäèíÿþùåãî èõ ïðîâîäíèêà (èëè, â ïðîâîäÿùåé
ôàçå, ýíåðãèþ Ôåðìè ýëåêòðîíîâ â íåì) ìîæíî
ñ÷èòàòü íå çàâèñÿùèì îò ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåò-
ðîâ êâàíòîâîãî âîëíîâîäà, ïîëàãàÿ âñþäó äàëåå
kF � const. Âî-âòîðûõ, îòêðûòîñòü òîðöîâ âîëíîâî-
äà îáóñëîâëèâàåò êîìïëéêñíûé õàðàêòåð èìïåäàíñà
êîíòàêòíûõ îáëàñòåé, èç-çà ÷åãî äèôôåðåíöèàëü-
íàÿ îïåðàöèÿ â (3) ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìå (1) ÿâ-
ëÿåòñÿ íåýðìèòîâîé.
 [20,21] ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ òàêîé íåýð-
ìèòîâîé çàäà÷è â ñëó÷àå äâóõ èçìåðåíèé. Àíàëîãè÷-
íàÿ ïðîöåäóðà ïðèìåíèìà è äëÿ âîëíîâîäíûõ ñèñ-
òåì ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè. Âàæíûì åå ýòàïîì
ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò îäíîé èçíà÷àëüíî ìíîãîìåðíîé
ñòîõàñòè÷åñêîé çàäà÷è ê áåñêîíå÷íîé ñèñòåìå ñòðîãî
îäíîìåðíûõ çàäà÷ (â îáùåì ñëó÷àå íåýðìèòîâûõ)
äëÿ ìîäîâûõ êîìïîíåíò Ôóðüå ïðîïàãàòîðàG( , )r r� .
Íèæå èçëîæèì ïîäðîáíåå îñíîâíûå ìîìåíòû ìåòî-
äèêè [20,21] ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé
âîëíîâîäíîé ñèñòåìå.
3. Ðåäóêöèÿ ê îäíîìó èçìåðåíèþ
3.1. Îáùàÿ ñõåìà
Ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì ðåäóêöèè ìíîãîìåðíîé
çàäà÷è (3) ê ñèñòåìå ñòðîãî îäíîìåðíûõ ãðàíè÷íûõ
çàäà÷ ïðèìåíèì äëÿ îòêðûòûõ ñèñòåì ïðîèçâîëüíîé
âîëíîâîäíîé êîíôèãóðàöèè è ñ ïðîèçâîëüíûì óðîâ-
íåì áåñïîðÿäêà. Ïåðâûé øàã ñîñòîèò â ïåðåõîäå ê
ìîäîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ ýëåêòðîííûõ ïðîïàãàòî-
ðîâ.  ñëó÷àå âîëíîâîäà, èçîáðàæåííîãî íà
ðèñ. 1,á, ïåðåõîä ê ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðî-
60 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
âàííîìó íàáîðó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé r
; µ ïîïå-
ðå÷íîãî îïåðàòîðà Ëàïëàñà, ñîñòàâëåííîìó èç
îáû÷íûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Äëÿ êîí-
ôèãóðàöèè (1) è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (5) ýòè ôóíê-
öèè èìåþò âèä
r
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
; sin sinµ 2 1
2
1
2WH
y
W
n
z
H
m� �
�
� ,
(6)
ãäå µ � ( , )n m — âåêòîðíûé ìîäîâûé èíäåêñ
( ,n m � N ). Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé (6) óðàâíåíèå (3)
ïðåîáðàçóåòñÿ â ñèñòåìó ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé äëÿ
ìîäîâûõ êîìïîíåíò ôóðüå-ôóíêöèè G( , )r r� :
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
2
2
0
x
i V x G x x
U x G
��
µ µ µµ
µν
ν µ
ν
( ) ( , )
( ) µ µµ� �� � � �( , ) ( ) .x x x x� � (7)
 óðàâíåíèè (7) ïàðàìåòð
� � � � �µ
2 2 2 2
� � �k n/W m/HF (8)
èìååò ñìûñë íåâîçìóùåííîé ïðîäîëüíîé ýíåðãèè
ìîäû µ. Ìàòðèöà ïîòåíöèàëîâ | | | |Uµµ � ñîñòàâëåíà èç
ôóíêöèé
U x d V
S
µµ µ µ�
� � ( ) ; ( ) ;r r r r , (9)
èíòåãðèðîâàíèå â (9) ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïîïåðå÷íîìó
ñå÷åíèþ ïðîâîäíèêà S. Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû
ýòîé ìàòðèöû V x U xµ µµ( ) ( )! ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ôóðüå-êîìïîíåíòû ïîòåíöèàëàV( )r , îáóñëîâëèâàþ-
ùèå âíóòðèìîäîâîå, à íåäèàãîíàëüíûå — ìåæìî-
äîâîå ðàññåÿíèå êâàíòîâûõ ÷àñòèö. Ñëàãàåìûå ñ
«âíóòðèìîäîâûìè» ïîòåíöèàëàìè â óðàâíåíèè (7)
íàìåðåííî îòäåëåíû îò ñëàãàåìûõ ñ «ìåæìîäîâû-
ìè» ïîòåíöèàëàìè U xµν ( ) (ν µ� ) äëÿ òîãî, ÷òîáû
èçáåæàòü ñèíãóëÿðíîñòåé â õîäå äàëüíåéøåãî ïî-
ñòðîåíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé (ñì. [21]).
Èñõîäíóþ çàäà÷ó, ïåðåôîðìóëèðîâàííóþ â âèäå
ñèñòåìû îäíîêîîðäèíàòíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé (7), íåëüçÿ, êîíå÷íî, ðàññìàòðèâàòü êàê
îäíîìåðíóþ èç-çà ïåðåïóòûâàíèÿ â ýòîé ñèñòåìå
âñåõ ìîäîâûõ êîìïîíåíò ãðèíîâñêîé ìàòðèöû
| | | |Gνµ . Ñ öåëüþ ñâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (3) ê ñèñòåìå
íåçàâèñèìûõ îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé ââåäåì â êà÷å-
ñòâå ïåðâîãî øàãà âñïîìîãàòåëüíûå ìîäîâûå ïðîïà-
ãàòîðû, ó÷èòûâàþùèå ðàññåÿíèå òîëüêî íà âíóòðè-
ìîäîâûõ ïîòåíöèàëàõ:
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
0
x
i V x G x x x xV� ��
µ µ µ( ) ( , ) ( )( ) .
(10)
Äëÿ «ïðîáíûõ» ôóíêöèé Ãðèíà G x xV
µ
( )( , )� óñëîâèå
îòêðûòîñòè êâàíòîâîãî âîëíîâîäà íà êîíöàõ
x L/� � 2 ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî â âèäå óñëî-
âèé èçëó÷åíèÿ Çîììåðôåëüäà [30,31], êîòîðûå â
ñëó÷àå èäåàëüíîãî (íå ïðèâîäÿùåãî ê ðàññåÿíèþ)
êîíòàêòà ïðîâîäíèêà ñ ïîäâîäÿùèìè «áåðåãàìè»
èìåþò âèä
�
�
�
�
�
�
�
� � � �� ���x
i G x x x L/ L/V
x L/� �µ µ
( )( , )| , ( , )2 0 2 2 .
(11)
Ñ÷èòàÿ â äàëüíåéøåì ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11) èç-
âåñòíûì, ïåðåéäåì îò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíå-
íèÿ (7) ê èíòåãðàëüíîìó:
G x x G x x
dx R x x G
V
L
µµ µ µµ
ν µ
µν νµ
� �
�
� � � �
� �
( , ) ( , )
, ( , )
( ) �
1 1 � �( , ) ,x x1 (12)
ÿäðî êîòîðîãî
R x x G x x U xV
µν µ µν( , ) ( , ) ( )( )� � � � (13)
ñîäåðæèò òîëüêî ìåæìîäîâûå ãàðìîíèêè ðàññåè-
âàþùåãî ïîòåíöèàëà. Èç ñèñòåìû (12) âñå íåäèàãî-
íàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèöû | | | |Gνµ ìîæíî âûðàçèòü
÷åðåç ñîîòâåòñòâóþùèå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 61
EF
I
L
H
W
Z
X
y
�d
à
á
Al SiO2 Si
Çîíà ïðîâîäèìîñòè
Âàëåíòíàÿ çîíà
Si-MOSFET
Ðèñ. 1. Ðåàëüíàÿ (à) è ìîäåëüíàÿ (á) êîíôèãóðàöèè
äâóìåðíîé ïðîâîäÿùåé ñèñòåìû.
Gµµ ïðè ïîìîùè íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
�K, çàäàííîãî íà êîîðäèíàòíî-ìîäîâîì ïðîñòðàíñòâå
M x� { , }ν ,
G x x dx K x x G x x
L
νµ νµ µµ ν µ( , ) , ( , ) ( , ),� � � � 1 1 1 .
(14)
Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû K x xνµ ( , )� ìîæíî íàéòè èç
óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà—Øâèíãåðà [32]:
K x x R x x
dx R x x K x x
L
νµ νµ
ν µ
νν ν µ
( , ) ( , )
( , ) ( ,
� � � �
� �
�
1 1 1
1
1 1
�) , (15)
ðåøåíèå êîòîðîãî â îïåðàòîðíîé ôîðìå
� ( �) �K R R� � �
1
1 âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îïåðàòîð �R, ïðåä-
ñòàâëåííûé íà M ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè (13).
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî îòñóòñòâèå â ñóììàõ
(12), (15) ñëàãàåìûõ ñ ìîäîâûì èíäåêñîì µ ïîçâî-
ëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü îïåðàòîð �R êàê îïåðàòîð
ìåæìîäîâîãî ðàññåÿíèÿ, êîòîðûé äåéñòâóåò â ðåäó-
öèðîâàííîì êîîðäèíàòíî-ìîäîâîì ïîäïðîñòðàíñòâå
Mµ , ñîäåðæàùåì âñå ìîäû êâàíòîâîãî âîëíîâîäà,
çà èñêëþ÷åíèåì ìîäû µ. Íàëè÷èå æå ìîäîâîãî èí-
äåêñà µ ó ÿäðà èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà (14), à òàê-
æå â èíûõ íåîáõîäèìûõ ñëó÷àÿõ, áóäåò îáåñïå÷åíî
ïðîåêöèîííûì îïåðàòîðîì Pµ , äåéñòâèå êîòîðîãî
ñîñòîèò â ïðèñâîåíèè áëèæàéøåìó ìîäîâîìó èíäåê-
ñó ïðîèçâîëüíîãî ðÿäîì ñòîÿùåãî îïåðàòîðà (íåçà-
âèñèìî, ñëåâà èëè ñïðàâà) ôèêñèðîâàííîãî çíà÷å-
íèÿ µ.
Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèè (7)µ µ� � è ïîäñòàâëÿÿ ìåæ-
ìîäîâûå ïðîïàãàòîðû â âèäå (14), ïðèõîäèì îêîí-
÷àòåëüíî ê çàìêíóòîìó îäíîìåðíîìó äèôôåðåíöè-
àëüíîìó óðàâíåíèþ äëÿ äèàãîíàëüíîãî ïðîïàãàòîðà
G x xµµ ( , )� :
�
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
2 0
x
i V x G x x x x� �µ µ µ µµ( ) ( , ) ( ).�T
(16)
Çäåñü, íàðÿäó ñ ëîêàëüíûì âíóòðèìîäîâûì ïîòåí-
öèàëîì V xµ ( ), âîçíèê ýôôåêòèâíûé íåëîêàëüíûé
(îïåðàòîðíûé â x-ïðîñòðàíñòâå) ïîòåíöèàë
� � �( �) � ( �)T U Uµ µ µ µ µ� � � �� �P P P P1 11 1R R R , (17)
�U — îïåðàòîðíûé ìåæìîäîâûé ïîòåíöèàë, çàäàí-
íûé íà Mµ ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè
x x U x x x, ,� ( ) ( )µ ν µνU � � � �� . (18)
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïîòåíöèàë �Tµ , òàê æå, êàê è V xµ ( ),
ÿâëÿåòñÿ âíóòðèìîäîâûì â òîì ñìûñëå, ÷òî è íà-
÷àëüíîå, è êîíå÷íîå ñîñòîÿíèÿ ðàññåÿíèÿ íà íåì
ïðèíàäëåæàò ìîäå µ. Îäíàêî ýôôåêòèâíî îí ó÷è-
òûâàåò è ïðîöåññû ìåæìîäîâîãî ðàññåÿíèÿ, ïðè÷åì
òî÷íî, â ëþáîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèé. Èç
ñòðóêòóðû âûðàæåíèÿ (17) âèäíî, ÷òî ðàññåÿíèå íà
îïåðàòîðíîì ïîòåíöèàëå �Tµ ìîæíî èíòåðïðåòè-
ðîâàòü êàê ïðîèñõîäÿùåå ÷åðåç ïðîìåæóòî÷íûå
«ïðîáíûå» ìîäîâûå ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìûå ïðî-
ïàãàòîðàìè G x xV
ν
( )( , )� ñ ν µ� . Ïîýòîìó â äàëüíåé-
øåì áóäåì óñëîâíî íàçûâàòü ïîòåíöèàë �Tµ ìåæìî-
äîâûì. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îí
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íå ÷òî èíîå, êàê T-ìàòðèöó, õî-
ðîøî èçâåñòíóþ â êâàíòîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ
[32,33].
Íà çàâåðøàþùåì ýòàïå ïðîöåäóðû ñâåäåíèÿ ìíî-
ãîìåðíîé çàäà÷è î êîíäàêòàíñå ñèñòåìû (1) ê îäíî-
ìåðíîé çàäà÷å (16) âûðàçèì êîíäàêòàíñ (2) íåïî-
ñðåäñòâåííî ÷åðåç ôóíêöèè G x xµµ ( , )� . Ðàçëîæèâ
ýëåêòðîííûå ïðîïàãàòîðû ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöè-
ÿì (6), âûäåëèì â âûðàæåíèè (2) äâà ñëàãàåìûõ. Â
ïåðâîì, êîòîðîå äàëåå áóäåì óñëîâíî íàçûâàòü
«äèàãîíàëüíûì» êîíäàêòàíñîì è îáîçíà÷àòü
g Ld( )( ), ñãðóïïèðóåì òå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ, êîòî-
ðûå ñ ñàìîãî íà÷àëà ñîäåðæàò äèàãîíàëüíûå ìîäî-
âûå ïðîïàãàòîðûGµµ . Âî âòîðîå ñëàãàåìîå, «íåäèà-
ãîíàëüíûé» êîíäàêòàíñ g Lnd( )( ), îáúåäèíèì âñå
îñòàëüíûå ÷ëåíû ðàçëîæåíèÿ, êîòîðûå ñîäåðæàò
ìîäîâûå êîìïîíåíòû Gνµ ñ ν µ� . Ó÷èòûâàÿ ñâÿçü
(14), à òàêæå òîò ôàêò, ÷òî çàïàçäûâàþùèå è îïåðå-
æàþùèå ôóíêöèè Ãðèíà «çàêðèòè÷åñêèõ» ìîä
(�µ
2 < 0) ïðè ñëàáîì ðàññåÿíèè ìîæíî ñ÷èòàòü âåùå-
ñòâåííûìè (ñì. ôîðìóëó (23) â ñëåäóþùåì ðàçäå-
ëå), âûøåóêàçàííûå ñëàãàåìûå êîíäàêòàíñà ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
g L
L
dxdx
G x x
x
G x x
x
d
L
( )
*
( )
( , ) ( , )
� � �
� �
�
� �
� ��
4
2
µ
µµ µµ
;
(19à)
g L
L
dx dx
K x x
x
G
nd
L
( )
,
( )
( , )
� � �
�
�
��
�
4
2
1 4
1 2
1µ ν
ν µ
νµ
µ� µ
νµ
µµ
( , )
( , )
( , )
.*
*
x x
K x x
G x x
x
2 4
1 3
3 4
4
�
�
�
� (19á)
Çäåñü è äàëåå ÷åðòà íàä çíàêîì ñóììû îçíà÷àåò, ÷òî
ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ òîëüêî ïî ïðîòÿæåí-
íûì («ðàñïðîñòðàíÿþùèìñÿ») ìîäàì ñ �µ
2 > 0.
3.2. Ïðèáëèæåíèå ñëàáîãî ðàññåÿíèÿ
Èìåÿ â âèäó ñòàòèñòè÷åñêóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è,
âàæíûé âñïîìîãàòåëüíûé ýëåìåíò ïðèìåíÿåìîé
òåõíèêè, ïðîáíóþ ôóíêöèþ ÃðèíàG x xV
µ
( )( , )� , ìîæ-
íî ñ÷èòàòü îïðåäåëåííîé òî÷íî, åñëè íàéäåíû âñå åå
62 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
ñòàòèñòè÷åñêèå ìîìåíòû [ ( , )]( )G x xV p
µ � , p � N .
Äëÿ ñèëüíî íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì ýòî ìîæíî ñäå-
ëàòü òîëüêî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Îäíàêî, åñëè
ðàññåÿíèå íà ïîòåíöèàëå V( )r ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì, òî
èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó, îïèñàííóþ â [21], êîòîðàÿ ïî-
çâîëÿåò ó÷åñòü ìíîãîêðàòíîå ðàññåÿíèå â 1D ñòîõàñ-
òè÷åñêîé çàäà÷å (10), (11), ýòè ìîìåíòû ìîæíî íàé-
òè àíàëèòè÷åñêè. Êðèòåðèé ñëàáîñòè ðàññåÿíèÿ
âûðàæàåòñÿ â âèäå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ
k rF c, "" � , (20)
ãäå � îçíà÷àåò áîðíîâñêóþ äëèíó ñâîáîäíîãî ïðîáå-
ãà ýëåêòðîíîâ.  ÷àñòíîì ñëó÷àå ñòðîãî áåëîøóìíî-
ãî ïîòåíöèàëà, êîãäà â (4) W ( ) ( )x x� � , ýòà äëèíà
ðàâíà 4�/Q . Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (20) ðàñ÷åò
èñêîìûõ ìîìåíòîâ äëÿ ïðîòÿæåííûõ ìîä äàåò
[ ( , )]
exp | |
( )G x x
i
ip x x
p p
L
V p
p
f
µ
µ
µ
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
�
�
( ) ( )( ) ( )
| | .
V
b
VL
x x
µ µ
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
(21)
Çäåñü Lf b
V
,
( )( )µ — äëèíû ðàññåÿíèÿ ìîäû µ «âïå-
ðåä» (f) è «íàçàä» (b) íà âíóòðèìîäîâîì ïîòåíöèà-
ëå V xµ ( ):
L
S
L
S
f
V
b
V
( )
( )
( ) ( ) ,
( )
( )
( )
,~
µ
µ
µ
µ
µ
�
�
4
9
2
4
9
2
2
2
Q
Q W
�
�
�
(22)
~ ( )W �# — ôóðüå-îáðàç ôóíêöèè W ( )x . ×òî êàñàåòñÿ
íåîäíîðîäíûõ (evanescent) ìîä ñ �µ
2 < 0, òî äëÿ íèõ
ïðè ñëàáîì ðàññåÿíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü â (10) ïî-
òåíöèàëîì V xµ ( ) è îãðàíè÷èòüñÿ íåâîçìóùåííûì
ðåøåíèåì:
G x x x xV
µ
µ
µ
( )( , )
| |
exp ( | | | | )� � � � � �
1
2 �
� . (23)
Ôóíêöèîíàëüíàÿ ñòðóêòóðà T-ìàòðèöû (17) è,
ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèÿ (16) ïðè óñëîâèè (20)
ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ. Íåïîñðåäñòâåííûé ðàñ-
÷åò, ñ èñïîëüçîâàíèåì (13) è (21), ïîêàçûâàåò, ÷òî
íîðìà îïåðàòîðà �R íà ïðîñòðàíñòâå áàçèñíûõ ôóíê-
öèé exp ( )i x�µ îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì ïàðàìåòðîì:
| | � | |R 2 1
$
�µ �
. (24)
Ýòî ïîçâîëÿåò çàìåíèòü îïåðàòîð �K, îïðåäåëåííûé
â (15), åãî ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì � �K R% .  ðå-
çóëüòàòå ïîòåíöèàë (17) ïðèîáðåòàåò âèä
� � � �( )T UG Uµ µ µ� P PV , (25)
ãäå îïåðàòîð � ( )G V çàäàåòñÿ íà Mµ ìàòðè÷íûìè ýëå-
ìåíòàìè
x V Vx G x x, �( ) ( ), ( , )ν ν ν ννG � � � � �� . (26)
Àíàëîãè÷íàÿ çàìåíà òî÷íûõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåí-
òîâ îïåðàòîðà �K â (19á) èõ ïðèáëèæåííûìè çíà÷å-
íèÿìè ïîçâîëÿåò çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðè ñëàáîì ðàñ-
ñåÿíèè íåäèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü êîíäàêòàíñà g Lnd( )( )
ïàðàìåòðè÷åñêè ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ åãî äèàãîíàëü-
íîé ÷àñòüþ g Ld( )( ). Ïîäòâåðæäåíèåì ïðàâèëüíîñòè
òàêîé îöåíêè ñëóæèò è ðåçóëüòàò ÷èñëåííîãî ðàñ÷å-
òà îáîèõ ñëàãàåìûõ êîíäàêòàíñà. Ñ ó÷åòîì ýòîãî îá-
ñòîÿòåëüñòâà, îãðàíè÷èìñÿ äàëåå àíàëèçîì òîëüêî
ñëàãàåìîãî (19à), ñ÷èòàÿ g L g Ld( ) ( )( )% .
4. Àíàëèç ñïåêòðà ìîäîâûõ ñîñòîÿíèé
 îòëè÷èå îò èñõîäíîãî ïîòåíöèàëà V( )r è, ñîîò-
âåòñòâåííî, åãî ìîäîâûõ êîìïîíåíò â óðàâíåíèè
(7), ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë �T µ èìååò íåíóëåâîå
ñðåäíåå çíà÷åíèå. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ â äàëüíåéøåì
òåîðèè âîçìóùåíèé ïî ýòîìó ïîòåíöèàëó âûäåëèì
åãî óñðåäíåííóþ è ôëóêòóàöèîííóþ ÷àñòè �T µ è
� � �T T Tµ µ µ� � .  êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæå-
íèÿ äëÿ ìîäîâîãî ïðîïàãàòîðà G x xµµ ( , )� ðàññìîò-
ðèì ôóíêöèþ Ãðèíà óðàâíåíèÿ
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
2
2
2 00
x
i G x x x x� �µ µ µµ
� ( )( , ) ( )T ,
(27)
êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò (16) îòñóòñòâèåì ôëóêòóàöè-
îííûõ ïîòåíöèàëîâ. Ïðè îïðåäåëåíèè äåéñòâèÿ
îïåðàòîðà �T µ íà ôóíêöèþG x xµµ
( )( , )0 � âàæíî òî îá-
ñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äëÿ âîëíîâîäà ñ «æåñòêèìè» áî-
êîâûìè ñòåíêàìè êîððåëÿöèÿ ìåæìîäîâîãî è âíóò-
ðèìîäîâîãî ðàññåÿíèÿ îòñóòñòâóåò:
U x V xµν ν( ) ( )� � 0 . (28)
Âñëåäñòâèå ýòîãî ïîòåíöèàë (25) ïðè óñðåäíåíèè
ïðåâðàùàåòñÿ èç îïåðàòîðíîãî â ýôôåêòèâíî ëî-
êàëüíûé. Â [21] ïîêàçàíî, ÷òî åãî äåéñòâèå ñâîäèò-
ñÿ ê ïåðåíîðìèðîâêå ìîäîâîé ýíåðãèè ��
µ ìàññîâûì
îïåðàòîðîì &
( ) ( )� � ' (
µ µ µ� �2 i/ :
( � � )( , ) ( ) ( , )( ) ( )Tµ µµ µ µµG x x G x x0 0� � � �& � . (29)
Ïîâòîðÿÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïðîöåäóðó
ðàñ÷åòà, èçëîæåííóþ â [21], íàõîäèì
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 63
�
�
�
�
µ
ν µ
µ
ν
2
2 22
�
�
�� �)
)
�
Q
P
W
S
dq q
q
~
( )
, (30à)
1
4'#
(( )
�
Q
S
�
�
� � �
ν µ ν
µ ν µ ν
1
�
� � � �[ ( ) ( )]
~ ~
W W .
(30á)
Èíòåãðàë â (30à) ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ãëàâíîãî
çíà÷åíèÿ.
Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ìàññîâîãî îïåðàòîðà (30)
íå çàâèñèò ñóùåñòâåííî îò ÷èñëà îòêðûòûõ êàíàëîâ
â ïðîâîäíèêå. Ïðè ëþáîì Nc > 1 ñïðàâåäëèâà îöåí-
êà
� ' (
µ µ
2 1$ $/ k /F
( )
�, êîòîðàÿ ïî÷òè äëÿ âñåõ ìîä
ïîçâîëÿåò ïðåíåáðå÷ü ïåðåíîðìèðîâêîé ñêîðîñòè,
ñâÿçàííîé ñî ñëàãàåìûì (30à). Â òî æå âðåìÿ øèðè-
íà ìîäîâûõ óðîâíåé èìååò êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå
äëÿ àíàëèçà ýëåêòðîííîé äèíàìèêè. ×àñòîòà (30á)
èñïûòûâàåò áûñòðîå íàñûùåíèå ñ ðîñòîì Nc è ïåðå-
ñòàåò çàâèñåòü îò íîìåðà ìîäû.  ÷àñòíîñòè, â ìîäå-
ëè òî÷å÷íûõ ðàññåèâàòåëåé àñèìïòîòèêà ýòîé ÷àñòî-
òû ïðè Nc ** 1 èìååò âèä
1
4' �(
µ
( )
% �
Qk kF F
�
. (31)
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â ôîðìóëå (30á) â îòëè-
÷èå îò (30à) ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ òîëüêî ïî
ïðîòÿæåííûì ìîäàì êâàíòîâîãî âîëíîâîäà, ïðè÷åì
îòëè÷íûì îò ðàññìàòðèâàåìîé ìîäû µ. Äëÿ îäíîêà-
íàëüíîãî ïðîâîäíèêà, ãäå íåëîêàëüíà òîëüêî íèç-
øàÿ ìîäà µ 1 1 1� ( , ), ñëàãàåìîå (30á) îòñóòñòâóåò.
Ìíèìóþ ÷àñòü ìàññîâîãî îïåðàòîðà (30) ìîæíî
èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðåçóëüòàò äåôàçèðîâêè êîãå-
ðåíòíûõ ìîäîâûõ ñîñòîÿíèé. Èç ñòðóêòóðû âûðà-
æåíèÿ (30á) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìîäû µ
ïðè÷èíîé äåôàçèðîâêè ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîå
(«âîçâðàòíîå») ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ èñêëþ÷èòåëü-
íî ÷åðåç íåëîêàëüíûå ïðîìåæóòî÷íûå ìîäû, åñëè
òàêîâûå ñóùåñòâóþò â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå. Òà-
êàÿ òðàêòîâêà äàåò îñíîâàíèå äëÿ êàæäîé èç òîêîíå-
ñóùèõ ìîä ðàññìàòðèâàòü âñå îñòàëüíûå ïðîòÿæåí-
íûå ìîäû òîãî æå ïðîâîäíèêà êàê ñâîåîáðàçíîå
«äåôàçèðóþùåå îêðóæåíèå», âçàèìîäåéñòâèå ñ êî-
òîðûì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì ìåæìîäîâîãî
ðàññåÿíèÿ íà ïîòåíöèàëå V( )r . Õîòÿ â òåðìèíàõ îä-
íîýëåêòðîííîé ýíåðãèè ðàññåÿíèå íà ñòàòè÷åñêèõ
íåîäíîðîäíîñòÿõ ÿâëÿåòñÿ óïðóãèì (ïðè T � 0 ýòà
ýíåðãèÿ ñîõðàíÿåòñÿ ôåðìèåâñêîé), ìíîãî÷àñòè÷-
íûå ìîäîâûå ñîñòîÿíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ ðàçíûìè
(ïðîäîëüíûìè) ýíåðãèÿìè. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàò-
ðèâàòü âèðòóàëüíûå ìåæìîäîâûå ïåðåõîäû, «ñêðû-
òûå» â T -ìàòðèöàõ (17) è (25), êàê ýôôåêòèâíî íå-
óïðóãèå, ïðèäåðæèâàÿñü òåì ñàìûì òðàäèöèîííîé
òî÷êè çðåíèÿ, ñâÿçûâàþùåé äåôàçèðîâêó êâàíòî-
âûõ ñîñòîÿíèé èñêëþ÷èòåëüíî ñ ïðîöåññàìè íåóïðó-
ãîãî ðàññåÿíèÿ.
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ìåæìîäîâîå ðàññåÿíèå
÷åðåç îäíè òîëüêî ñèëüíî ëîêàëèçîâàííûå íåîäíî-
ðîäíûå ïðîìåæóòî÷íûå ìîäû (îäíîìîäîâûé ïðî-
âîäíèê) íå ïðèâîäèò ê äåôàçèðîâêå. Çàìåòíûé äå-
ôàçèðóþùèé ýôôåêò ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ðàññåÿíèè
ýëåêòðîíîâ ÷åðåç ñóùåñòâåííî íåëîêàëüíûå ïðîòÿ-
æåííûå ìîäû, ÷òî âîçìîæíî, åñòåñòâåííî, åñëè â
ïðîâîäíèêå èõ èìååòñÿ õîòÿ áû äâå. Èç ýòîãî ìîæíî
çàêëþ÷èòü, ÷òî äëÿ èíòåðôåðåíöèîííîé àíäåðñî-
íîâñêîé ëîêàëèçàöèè âàæíûì ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ
ñîõðàíåíèå â õîäå ðàññåÿíèÿ íå òîëüêî âðåìåííóé,
íî è ïðîñòðàíñòâåííîé êîãåðåíòíîñòè ñîñòîÿíèé.
Âëèÿíèå ôëóêòóàöèîííûõ ïîòåíöèàëîâ V xµ ( ) è
�Tµ íà ìîäîâûå óðîâíè ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü,
îöåíèâ ñîîòâåòñòâóþùèå áîðíîâñêèå ÷àñòîòû ðàñ-
ñåÿíèÿ1/ V'µ
( ) è1/'µ
(T) . Ñ ó÷åòîì ñòðóêòóðû îïåðàòî-
ðà (25) è ðåçóëüòàòà (31) èìååì
'
'
+
(
µ
µ
µ
( )
( )
[ ]cos
V F c ck r N$ �2 1 , (32à)
'
'
'
'
( (
µ
µ
µ
µ
( )
( )
( )
( )
, ,
, .T
$ �
"
*
,
-
.
/.
V s
L/ L
N L
� �
�loc
( ) (32á)
Çäåñü +µ — óãîë «ñêîëüæåíèÿ» ìîäû µ (cos+µ �
� | |/�µ kF); N Ns
cloc
( ) 0 — ÷èñëî «çàòðàâî÷íûõ» ìî-
äîâûõ ñîñòîÿíèé, îïðåäåëÿåìûõ óðàâíåíèåì (10),
äëèíà ëîêàëèçàöèè êîòîðûõ 4Lb
V( )( )µ íå ïðåâîñõî-
äèò äëèíû ïðîâîäíèêà L.
Ïîñêîëüêó â ðåàëüíûõ ìàòåðèàëàõ îáû÷íî âû-
ïîëíåíî ñîîòíîøåíèå k rF c � 1, èç (32) íåòðóäíî
çàêëþ÷èòü, ÷òî âëèÿíèå ïîòåíöèàëà V xµ ( ) íà äè-
íàìèêó ýëåêòðîíîâ â ìíîãîìîäîâûõ ñèñòåìàõ ïðå-
íåáðåæèìî ìàëî. Ýòî îòíîñèòñÿ è ê ïîòåíöèàëó
�Tµ , åñëè äëèíà ïðîâîäíèêà L Nc"" �. Áîëåå òùà-
òåëüíûé àíàëèç, âûïîëíåííûé â [21], ïîêàçàë, ÷òî
ðàññåÿíèå íà ýòîì ïîòåíöèàëå (ïðè Nc > 1 — ñóùå-
ñòâåííî íåëîêàëüíîì!) ñëàáî ñêàçûâàåòñÿ íà êîí-
äàêòàíñå è ïðè L Nc** �. Ýòî ïðåäñòàâëÿåòñÿ äî-
âîëüíî åñòåñòâåííûì, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå,
÷òî ðàññåÿíèå íà ïîòåíöèàëå
�Tµ íîñèò «âîçâðàò-
íûé» õàðàêòåð. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîñðåäñòâîì îïåðàòîðà
�Tµ ðàñ-
ñåÿíèå íà ìåæìîäîâûõ ïîòåíöèàëàõU xµν ( ) ó÷èòû-
âàåòñÿ â áîëåå âûñîêîì ïîðÿäêå, ÷åì ïðè ðàñ÷åòå
ìàññîâîãî îïåðàòîðà (30).
Âîçâðàùàÿñü ê çàòðàâî÷íîìó âíóòðèìîäîâîìó
ïîòåíöèàëóV xµ ( ), ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïðè óñ-
ëîâèè (20) ðàññåÿíèå íà íåì ñëàáî íàðóøàåò ïðî-
ñòðàíñòâåííóþ êîãåðåíòíîñòü ìîäû, è ïîýòîìó
äîëæíî ó÷èòûâàòüñÿ ñ îñîáîé òî÷íîñòüþ. Ïðè
64 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
Nc ** 1 ýòî ðàññåÿíèå ïðèâîäèò ê ìàëûì ïîïðàâêàì
ñëàáîé ëîêàëèçàöèè â êîíäàêòàíñå, êîòîðûå íå ðàñ-
ñìàòðèâàþòñÿ â äàííîé ðàáîòå. Ðîëü ýòèõ ïîïðàâîê,
áåçóñëîâíî, âîçðàñòàåò ñ óìåíüøåíèåì ÷èñëà ïðîâî-
äÿùèõ êàíàëîâ, íî è ïðè Nc $ 1 îíè êà÷åñòâåííî íå
èçìåíÿþò ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â êèíåòè÷åñêîì
ïðèáëèæåíèè. Îïðåäåëÿþùåå âëèÿíèå íà ñïåêòð
ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé ïîòåíöèàë V xµ ( ) îêàçûâàåò
ëèøü â îäíîìîäîâûõ ïðîâîäíèêàõ, íà ÷åì îñòàíî-
âèìñÿ ïîäðîáíåå â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
5. Çàâèñèìîñòü êîíäàêòàíñà îò ôîðìû
ïðîâîäíèêà
Ìîäîâûé ñïåêòð íîñèòåëåé òîêà íàðÿäó ñ ýíåðãè-
åé ýëåêòðîíîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé îãðàíè÷è-
âàþùåãî ïîòåíöèàëà, à â ðàññìàòðèâàåìîé çäåñü ìî-
äåëè — ãåîìåòðèåé îáðàçöà. Åñëè êîíäàêòàíñ
ìàññèâíîãî ïðîâîäíèêà ïðè èçìåíåíèè åãî ðàçìåðîâ
èçìåíÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêèì çàêîíîì
Îìà, òî â ñëó÷àå, êîãäà êàêîé-ëèáî èç ýòèõ ðàçìå-
ðîâ ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìûì ñ ìèêðîñêîïè÷åñêèìè
äëèíàìè ñèñòåìû, êâàíòîâàíèå ñïåêòðà ñòàíîâèòñÿ
êðàéíå ñóùåñòâåííûì è ìîæåò ðàäèêàëüíî èçìåíèòü
êëàññè÷åñêîå ïîâåäåíèå êîíäàêòàíñà. Ðàññìîòðèì
íåêîòîðûå ïðåäåëüíûå ñëó÷àè, êîãäà ðàçìåðíîå
êâàíòîâàíèå ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûì îáðàçîì âëèÿ-
åò íà õàðàêòåð ýëåêòðîííîãî òðàíñïîðòà.
5.1. Ìíîãîìîäîâûå ïðîâîäíèêè
Åñëè êîíôèãóðàöèÿ îãðàíè÷èâàþùåãî ïîòåíöèà-
ëà è ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ òàêîâû, ÷òî â ñèñòåìå èìå-
åòñÿ áîëåå ÷åì îäèí ïðîâîäÿùèé êàíàë, òî òî÷íàÿ
ôóíêöèÿ Ãðèíà G x xµµ ( , )� , êàê ñëåäóåò èç (32), õî-
ðîøî àïïðîêñèìèðóåòñÿ ôóíêöèåé G x xµµ
( )( , )0 � â îá-
ëàñòè L Nc"" �. Íî è ïðè L > Nc�, êàê ïîêàçàíî â
[21], çàìåíà òî÷íîãî ïðîïàãàòîðà â (19à) åãî ïðè-
áëèæåííûì çíà÷åíèåì èç (27) ÿâëÿåòñÿ îáîñíîâàí-
íîé ñ ó÷åòîì êîíôèãóðàöèîííîãî óñðåäíåíèÿ. Ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ (27), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì
óñëîâèÿì èçëó÷åíèÿ íà îòêðûòûõ êîíöàõ ïðîâîäíè-
êà, èìååò âèä
1 2G x x
i
i /l x xµµ
µ
µ µ
( ) ( )( , ) exp [ ]| |0 1
2
1� � � � �
�
� ( . (33)
Çäåñü lµ µ µ
( ) ( )( (� '� 2 — äëèíà ýêñòèíêöèè (èëè, ýê-
âèâàëåíòíî, äëèíà äåôàçèðîâêè) ìîäû µ, ñâÿçàí-
íàÿ ñ íåêîãåðåíòíûì ìåæìîäîâûì ðàññåÿíèåì.
Ïîäñòàíîâêà (33) â (19à) äàåò ñëåäóþùåå âûðàæå-
íèå äëÿ ñðåäíåãî êîíäàêòàíñà:
g L
l
L
l
L
L
l
L
l
( ) exp sh
( ) ( )
( ) ( )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
µ
µ µ
µ µ
( (
( (
1
�
�
�
�
�
.
(34)
Ïðè áîëüøîì ÷èñëå êàíàëîâ (Nc ** 1) çàìåíà ñóì-
ìû (34) èíòåãðàëîì ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðîñòûå
ïðåäåëüíûå ôîðìóëû äëÿ êîíäàêòàíñà â òåõ îáëàñ-
òÿõ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò êëàññè÷åñêîìó áàëëè-
ñòè÷åñêîìó (L "" �) è äèôôóçèîííîìó (L ** �)
òðàíñïîðòó ýëåêòðîíîâ:
g L N Lc( ) , ,% "" � (35à)
g L
N
L
Lc( ) ,% **
4
3
�
� . (35á)
 áàëëèñòè÷åñêîì ïðåäåëå (35à) êîíäàêòàíñ êàê
ôóíêöèÿ ýëåêòðîííîé ýíåðãèè è ïîïåðå÷íûõ ðàçìå-
ðîâ êâàíòîâîãî âîëíîâîäà èìååò ñòóïåí÷àòóþ ñòðóê-
òóðó, ïðè÷åì âûñîòà ñòóïåíåê â òî÷íîñòè ðàâíà
êâàíòó êîíäàêòàíñà G e /0
2� �� (íàïîìíèì, ÷òî äëÿ
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ N k S/c F� [ ]2 4� , ãäå [...] îç-
íà÷àåò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà, çàêëþ÷åííîãî â ñêîáêè).
Ïî ìåðå ïåðåõîäà èç áàëëèñòè÷åñêîãî â äèôôóçè-
îííûé ðåæèì (� "" L) êîíäàêòàíñ àñèìïòîòè÷åñêè
ïðèáëèæàåòñÿ ê êëàññè÷åñêîé âåëè÷èíå (35á), èç-
âåñòíîé èç êèíåòè÷åñêîé òåîðèè. Ïðè ýòîì ñòó-
ïåí÷àòàÿ ñòðóêòóðà êîíäàêòàíñà ôîðìàëüíî ñî-
õðàíÿåòñÿ, íî âûñîòà ñòóïåíåê óìåíüøàåòñÿ
ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîøåíèþ �/L. Çàâèñèìîñòü
ñðåäíåãî êîíäàêòàíñà (34) îò äëèíû êâàíòîâîãî
âîëíîâîäà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 2. Êðèâûå ñîîòâåò-
ñòâóþò ðàçíîìó ÷èñëó îòêðûòûõ êàíàëîâ, íî â îá-
ëàñòè L/� > 1 âñå îíè äåìîíñòðèðóþò îäèíàêîâîå
«îìîâñêîå» ïîâåäåíèå.
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 65
10
6
2
1 3 6
1
2
3
g
Ðèñ. 2. Êîíäàêòàíñ (34) êàê ôóíêöèÿ áåçðàçìåðíîé äëè-
íû 3 � L/� äëÿ ïðîâîäíèêîâ ñ ðàçëè÷íûì ÷èñëîì îò-
êðûòûõ êàíàëîâ Nc: 5 (1), 8 (2) è 12 (3).
Ñóùåñòâåííî, ÷òî äèôôóçèîííûé õàðàêòåð êîí-
äàêòàíñà (ôîðìóëà (35á)) ñîõðàíÿåòñÿ íå òîëüêî
â îáëàñòè äëèí � �<< L Nc"" , â êîòîðîé ýëåê-
òðîííûé òðàíñïîðò òðàäèöèîííî ñ÷èòàëñÿ äèô-
ôóçèîííûì, íî òàêæå è ïðè L Nc* �. Òåîðèåé
êâàçèîäíîìåðíûõ (Q1D) ïðîâîäíèêîâ [23–26]
ïðè òàêèõ äëèíàõ ïðåäñêàçàíà çàâèñèìîñòü
g L L/Nc( ) exp ( )4 � � , èç ÷åãî ñäåëàí âûâîä îá
àíäåðñîíîâñêîé ëîêàëèçàöèè âñåõ ýëåêòðîííûõ
ñîñòîÿíèé â òàêèõ ïðîâîäíèêàõ, íåçàâèñèìî îò
ýíåðãèè.
Ïðè÷èíà íåñîîòâåòñòâèÿ ðåçóëüòàòà (35á) ïðåä-
ñêàçàíèÿì òåîðèè Q1D ëîêàëèçàöèè ñâÿçàíà ñ äåôà-
çèðîâêîé ìîäîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ, âîçíè-
êàþùåé èç-çà êâàçèóïðóãîñòè ìåæìîäîâîãî
ðàññåÿíèÿ. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íåóïðó-
ãîñòü îáóñëîâëåíà îòñóòñòâèåì «âðàùàòåëüíîé ñèì-
ìåòðèè» â êàíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå, ÿâíî èñïîëüçî-
âàííîé ïðè âûâîäå óðàâíåíèé òåîðèè [24–26]. Åñëè
áû âñå íåâîçìóùåííûå ìîäîâûå ýíåðãèè â (7) ìîæ-
íî áûëî ôîðìàëüíî ïîëàãàòü îäèíàêîâûìè («ñèì-
ìåòðè÷íûå» êàíàëû), òî ìàññîâûé îïåðàòîð (30)
îêàçàëñÿ áû âåùåñòâåííûì. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îç-
íà÷àëî áû, ÷òî ïðè ñëàáîì ðàññåÿíèè ìîäîâûå ýëåê-
òðîííûå ñîñòîÿíèÿ ïðàêòè÷åñêè ñîõðàíÿþò ñâîþ êî-
ãåðåíòíîñòü. Ñðåäíèé êîíäàêòàíñ â îáëàñòè L > Nc�
â ýòîì ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíî ýêñïîíåíöèàëüíî çàâè-
ñåë áû îò äëèíû ïðîâîäíèêà, â ïîëíîì ñîîòâåòñòâèè
ñ ðåçóëüòàòàìè òåîðèè [23–26].
 îòëè÷èå îò ìîäåëüíûõ êàíàëî-ñèììåòðè÷íûõ
ñèñòåì, â ðåàëüíûõ êâàçèîäíîìåðíûõ ïðîâîäíè-
êàõ âñå êàíàëû (âîëíîâîäíûå ìîäû) õàðàêòåðèçó-
þòñÿ ðàçíûìè ïðîäîëüíûìè ýíåðãèÿìè (8), õîòÿ
îäíîýëåêòðîííàÿ ýíåðãèÿ ïðè Ò � 0, êîíå÷íî æå,
ñîõðàíÿåòñÿ ôåðìèåâñêîé. Ïîñêîëüêó, îäíàêî,
ïðåäñòàâëåííàÿ çäåñü òåîðèÿ îïåðèðóåò íå îäíî÷àñ-
òè÷íûìè, à ìîäîâûìè ýíåðãèÿìè ýëåêòðîííîé ñèñ-
òåìû, íåóïðóãîñòü ìåæìîäîâîãî ðàññåÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ
íåóñòðàíèìîé äàæå ïðè ñòàòè÷åñêîì ðàññåèâàþùåì
ïîòåíöèàëå. Ýòà íåóïðóãîñòü ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â îãðà-
íè÷åííîñòè ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñøòàáà çàòóõàíèÿ
ìîäîâûõ ïðîïàãàòîðîâ (33), ÷òî ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè
çðåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò íåêîãåðåíòíîìó âíóòðèêà-
íàëüíîìó òðàíñïîðòó ýëåêòðîíîâ. Èç (31) ïðè ýòîì
ñëåäóåò, ÷òî äëèíû êîãåðåíòíîñòè âñåõ áåç èñêëþ÷å-
íèÿ ìîä íå ïðåâîñõîäÿò ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû äëèíó
ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíîâ �.
Ýôôåêòèâíóþ íåóïðóãîñòü ìåæêàíàëüíîãî ðàñ-
ñåÿíèÿ â ðåàëüíûõ ïðîâîäíèêàõ ìîæíî óñòðàíèòü,
ïîëàãàÿ âñå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû (9) ðàâíûìè íóëþ
ïðè µ µ� �. Äëÿ (êâàçè-)äâóìåðíîãî ïðîâîäíèêà êî-
íå÷íîé òîëùèíû ýòî ìîæíî îñóùåñòâèòü, âûáðàâ
ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ïîòåíöèàëà, êîòîðûé çàâèñèò
òîëüêî îò êîîðäèíàòû âäîëü íàïðàâëåíèÿ òîêà (ñëó-
÷àéíî ñòðàòèôèöèðîâàííàÿ ñèñòåìà). Òàêàÿ ìîäåëü
ðàññìàòðèâàëàñü â ðàáîòå [34], ãäå ïðîèñõîæäåíèå
«ñòðàòèôèöèðóþùåãî» (à çíà÷èò, ëîêàëèçóþùåãî)
ñëó÷àéíîãî ïîòåíöèàëà ñâÿçûâàëîñü ñ äàëüíîäåéñò-
âóþùèìè çàðÿæåííûìè öåíòðàìè, ñëó÷àéíûì îá-
ðàçîì ðàçìåùåííûìè âíå êâàíòîâîãî âîëíîâîäà.
Äåëîêàëèçóþùåå æå ìîäîâîå ïåðåìåøèâàíèå ýëåê-
òðîíîâ îáåñïå÷èâàëîñü â ðàáîòå [34] íå ìåæìîäî-
âûì ïðèìåñíûì ðàññåÿíèåì, à âíåøíèì ìàãíèòíûì
ïîëåì, îðèåíòèðîâàííûì ïàðàëëåëüíî ïîâåðõíîñòè
êâàçèäâóìåðíîãî ïðîâîäíèêà.
5.2. Àíäåðñîíîâñêàÿ ëîêàëèçàöèÿ â îäíîìîäîâûõ
ïðîâîäíèêàõ
Åñëè ïàðàìåòðû ýëåêòðîííîé ñèñòåìû äîïóñêàþò
ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî îäíîãî îòêðûòîãî êàíàëà, òî
âñå îñòàëüíûå ìîäû êâàíòîâîãî âîëíîâîäà ÿâëÿþòñÿ
íåîäíîðîäíûìè è ñèëüíî ëîêàëèçîâàííûìè ïî êî-
îðäèíàòå x.  ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàë �Tµ , êàê è
V xµ ( ), ÿâëÿåòñÿ âåùåñòâåííûì è ëîêàëüíûì. Èç-çà
ýòîãî òåîðèÿ âîçìóùåíèé â èñïîëüçîâàííîé âûøå
ôîðìå ïåðåñòàåò áûòü êîíñòðóêòèâíîé, ïîñêîëüêó
ñëàáîå ðàññåÿíèå, â òîì ÷èñëå è ìåæìîäîâîå, ñóùå-
ñòâåííî íå íàðóøàåò êîãåðåíòíîñòè åäèíñòâåííîé
ïðîòÿæåííîé ìîäû. Ðàñ÷åò êîíäàêòàíñà â òàêîé ñè-
òóàöèè òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ
ó÷åñòü èíòåðôåðåíöèþ ìíîãîêðàòíî ðàññåÿííûõ
êâàíòîâûõ âîëí, íàïðèìåð, òàêèõ, êîòîðûå ïðèìå-
íÿëèñü â [35,36] ïðè âû÷èñëåíèè ïðîâîäèìîñòè 1D
íåóïîðÿäî÷åííûõ ïðîâîäíèêîâ.
 [37,38], ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà ðåçîíàíñíîãî
ñëàáîãî ðàññåÿíèÿ, ýêâèâàëåíòíîãî ìåòîäàì [35,36],
íàìè ïîëó÷åíî îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ñòàòèñòè÷å-
ñêèõ ìîìåíòîâ êîíäàêòàíñà îäíîìîäîâûõ ïðîâîäíè-
êîâ êîíå÷íîé äëèíû â ñèòóàöèè, êîãäà áåñïîðÿäîê
âûçâàí íå îáúåìíûìè íåîäíîðîäíîñòÿìè, à øåðîõî-
âàòîñòÿìè áîêîâûõ ãðàíèö ïðîâîäíèêà. Òàêàÿ çàäà-
÷à, õîòÿ îíà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ ôèçè÷åñêîé
ïîñòàíîâêîé îò çàäà÷è îáúåìíîãî ðàññåÿíèÿ, ñ òî÷êè
çðåíèÿ ïðèìåíÿåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà
ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ðåøàåìîé â íàñòîÿùåé ðàáî-
òå.  åå îäíîìîäîâîì âàðèàíòå îòëè÷èå ïðîÿâëÿåòñÿ
ëèøü â êîíêðåòíîì âèäå äëèí ðàññåÿíèÿ, êîòîðûå â
ñëó÷àå íåîäíîðîäíîñòåé ïîâåðõíîñòíîãî õàðàêòåðà
ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñëîæíûìè íåëîêàëüíûìè âûðàæå-
íèÿìè, îòëè÷íûìè îò (22). Ïðèìåíÿÿ ìåòîäèêó,
îïèñàííóþ â [37,38], ê íàñòîÿùåé çàäà÷å, äëÿ îä-
íîìîäîâîãî îáúåìíî-íåóïîðÿäî÷åííîãî ïðîâîäíèêà
ïîëó÷àåì
66 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
g L
L
L
L
L
n b
V /
b
V
( )
( )
exp
( )
( )
( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4
4
1
3 2
1�
µ
µ
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
��
)
z dz
z
z
L
L
dy
n
b
V z
ch
ch
2 1
0
2 1
0
2exp
( )( )
(µ n y
n
�
� � �
1
0 1 2
) ,
, , ,�
(36)
Èç (36) ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî â îäíîêàíàëüíîì
ñëó÷àå ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî äâà ðåæèìà ýëåêòðîííî-
ãî òðàíñïîðòà, áàëëèñòè÷åñêèé è «ëîêàëèçîâàí-
íûé», äèôôóçèîííûé æå ðåæèì îòñóòñòâóåò. Ñîîò-
âåòñòâóþùèå ïðåäåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíåãî
êîíäàêòàíñà èìåþò âèä
� �
g L
L/ L/
/ /L L/ L// /
( )
, ,
( ) exp ,
%
%
� ""
�
1 4 1
16
1 1
5 2
1
3 2
1
5 5
� 5 5 51 1**
,
-
.
/. ,
(37)
ãäå 51 4� Lb
V( )( )µ1 — îäíîìåðíàÿ äëèíà ëîêàëèçà-
öèè ãàðìîíèêè µ 1, îáóñëîâëåííàÿ êîëëåêòèâíûì
ðàññåÿíèåì ýëåêòðîíîâ «íàçàä» íà çàòðàâî÷íîì
âíóòðèìîäîâîì ïîòåíöèàëå V xµ1
( ).
5.3. Ïåðåõîä ìåòàëë—èçîëÿòîð êàê êâàíòîâûé
ôàçîâûé ïåðåõîä
Êîíäàêòàíñ (37) äåìîíñòðèðóåò ëîêàëèçîâàííûé
õàðàêòåð ýëåêòðîííîãî òðàíñïîðòà â îäíîìîäîâîì
êâàíòîâîì âîëíîâîäå, â ñîîòâåòñòâèè ñ èçâåñòíûìè
ðåçóëüòàòàìè ñïåêòðàëüíîãî àíàëèçà îäíîìåðíûõ
íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì [39]. Óæå ñàì ïî ñåáå ýòîò
ôàêò ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðèíöèïèàëüíîé âîçìîæíî-
ñòè ïåðåõîäà îãðàíè÷åííîé ýëåêòðîííîé ñèñòåìû èç
ïðîâîäÿùåãî â äèýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ïîä âîç-
äåéñòâèåì òîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèõ ôàêòîðîâ, ïðè íå-
èçìåííîì óðîâíå áåñïîðÿäêà. Îäíîìåðíàÿ ëîêàëè-
çàöèÿ (àíäåðñîíîâñêîãî òèïà) â ëèíåéíûõ ñèñòåìàõ
ÿâëÿåòñÿ âñåîáúåìëþùåé â òîì ñìûñëå, ÷òî â 1D
ñëó÷àéíîì ïîòåíöèàëå ýêñïîíåíöèàëüíî ëîêàëèçî-
âàííûìè îêàçûâàþòñÿ âñå ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ,
íåçàâèñèìî îò ýíåðãèè. Â òî æå âðåìÿ â îïðåäåëåí-
íîì ñìûñëå ýòà ëîêàëèçàöèÿ ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê ñëàáàÿ. Ïðè óìåíüøåíèè óðîâíÿ áåñïîðÿäêà
äëèíà 51 íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò, è â ñðàâíèòåëüíî
÷èñòûõ ïðîâîäíèêàõ, äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîé èõ
äëèíå, êîëëåêòèâíûé òðàíñïîðò ýëåêòðîíîâ ìîæåò
ôàêòè÷åñêè îñòàâàòüñÿ áëèçêèì ê áàëëèñòè÷åñêîìó.
Ïðåäëàãàåìûé â äàííîé ðàáîòå ïîäõîä ïîçâîëÿåò
îáúÿñíèòü íàáëþäàåìûé ïåðåõîä ýëåêòðîííîé ñèñ-
òåìû èç ïðîâîäÿùåãî ñîñòîÿíèÿ â äèýëåêòðè÷åñêîå
è ïðè íå î÷åíü áîëüøèõ, ìåçîñêîïè÷åñêèõ äëèíàõ
îáðàçöîâ, ïðè÷åì âíå çàâèñèìîñòè îò ñòåïåíè èõ
ñòðóêòóðíîãî áåñïîðÿäêà. Ïðè óìåíüøåíèè ïîïå-
ðå÷íûõ ðàçìåðîâ ïðîâîäíèê â êîíöå êîíöîâ äîëæåí
ïåðåéòè â «çàïðåäåëüíûé» âîëíîâîäíûé ðåæèì, êî-
ãäà âñå ìîäû â íåì ñòàíîâÿòñÿ íåîäíîðîäíûìè, ëî-
êàëèçîâàííûìè êàæäàÿ íà äëèíå âîëíû | |�µ
�1, êî-
òîðàÿ â ðàìêàõ èñïîëüçóåìîé çäåñü òåõíèêè ðàñ÷åòà
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ.  òàêîì
«ðàçìåðíî» ëîêàëèçîâàííîì ðåæèìå êîíäàêòàíñ
ðåçêî ïàäàåò îòíîñèòåëüíî åãî âåëè÷èíû (37) â ïî-
ãðàíè÷íîì îäíîìîäîâîì ñîñòîÿíèè êâàíòîâîé ñèñòå-
ìû è ñ ïàðàìåòðè÷åñêîé òî÷íîñòüþ ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ
ðàâíûì íóëþ.
Ñóùåñòâåííî, ÷òî ìîäîâóþ ñòðóêòóðó ïðîâîäíè-
êà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 1,á, ìîæíî èçìåíÿòü, ìå-
íÿÿ òîëüêî îäèí èç åãî ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ, ñîõðà-
íÿÿ ïðè ýòîì äðóãîé ïîñòîÿííûì. Èç (8) âèäíî, ÷òî
äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîé øèðèíå W êâàíòîâûé âîë-
íîâîä ìîæåò áûòü ïåðåâåäåí â çàïðåäåëüíûé ðåæèì
çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ òîëüêî åãî òîëùèíû H.  ðåàëü-
íûõ ïëàíàðíûõ ñòðóêòóðàõ ýòîãî äîáèâàþòñÿ, óâå-
ëè÷èâàÿ ïðèëîæåííûé èçâíå ïðèæèìàþùèé ïîòåí-
öèàë (ñì. ðèñ. 1,a), ëèáî ïóòåì åìêîñòíîãî
âîçäåéñòâèÿ íà îáëàñòü ãåòåðîêîíòàêòà.
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî
ðàñ÷åòà çàâèñèìîñòè êîíäàêòàíñà (34) îò òîëùèíû
ïðîâîäíèêà ïðè ôèêñèðîâàííîé åãî øèðèíå. Êðè-
âàÿ 1 ñîîòâåòñòâóåò áàëëèñòè÷åñêîìó ïðåäåëó
�/L 6 ), êðèâûå 2 è 3 — êîíå÷íûì çíà÷åíèÿì ýòî-
ãî îòíîøåíèÿ. Áàëëèñòè÷åñêèé êîíäàêòàíñ ÿâëÿåòñÿ
èäåàëüíî êâàíòîâàííûì, ñ âåëè÷èíîé ñêà÷êà, ðàâ-
íîé êâàíòó G0. Ñâîåîáðàçíàÿ ìîäóëÿöèÿ êðèâîé 1
îáóñëîâëåíà èñïîëüçóåìîé ìîäåëüþ êâàíòîâîãî âîë-
íîâîäà (ñì. ðèñ. 1,á), ñïåêòð (8) êîòîðîãî ïðåäïè-
ñûâàåò íåýêâèäèñòàíòíîå ïî âåëè÷èíå H îòêðûòèå è
çàêðûòèå ïðîâîäÿùèõ êàíàëîâ.
Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ áåñïîðÿäêà (êðèâûå 2 è 3)
ñêà÷êè êîíäàêòàíñà óìåíüøàþòñÿ ïî âåëè÷èíå, à
ôîðìà ñòóïåíåé ñãëàæèâàåòñÿ.  îêðåñòíîñòè òî÷åê
îòêðûòèÿ (çàêðûòèÿ) êâàíòîâûõ êàíàëîâ äîëæíû
íàáëþäàòüñÿ ñóùåñòâåííûå ïðîâàëû â êîíäàêòàíñå.
Ôîðìà ýòèõ ïðîâàëîâ îò÷åòëèâî âèäíà íà ðèñ. 3,á,
ãäå â óâåëè÷åííîì ìàñøòàáå ïîêàçàí ó÷àñòîê êðè-
âûõ, âûäåëåííûé íà ðèñ. 3,à. Îòíîñèòåëüíî ïëàâ-
íîå óìåíüøåíèå êîíäàêòàíñà ïðè ïîäõîäå ê òî÷êå
çàêðûòèÿ î÷åðåäíîãî êàíàëà ñî ñòîðîíû áóëüøèõ
çíà÷åíèé H îáóñëîâëåíî ðîñòîì ïëîòíîñòè ñîñòîÿ-
íèé ìåäëåííîé êðàåâîé ìîäû µm è, ñîîòâåòñòâåííî,
ïåðåõîäîì â íåå ýëåêòðîíîâ èç áîëåå áûñòðûõ îò-
êðûòûõ ìîä. ×àñòîòû äåôàçèðîâêè ïîñëåäíèõ, ôîð-
ìóëà (30á), èìåþò â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ (�µm
� 0)
êîðíåâûå îñîáåííîñòè, ÷òî ïðîÿâëÿåòñÿ â äåñòðóê-
òèâíîé ðåäóêöèè ìîäîâûõ ïðîïàãàòîðîâ (33) â îê-
ðåñòíîñòè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê.
Àíàëîãè÷íûå ïðîâàëû îáíàðóæåíû ïðè ÷èñëåí-
íîì àíàëèçå îïòè÷åñêîãî êîíäàêòàíñà âîëíîâîäíûõ
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 67
ñèñòåì, âûïîëíåííîì â [40] ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîä-
õîäà Ëàíäàóýðà. Îäíàêî â [40] ýòè ïðîâàëû èìåëè
ñðàâíèòåëüíî ñèììåòðè÷íóþ ôîðìó îòíîñèòåëüíî
òî÷åê èñ÷åçíîâåíèÿ ïðîòÿæåííûõ ìîä, òîãäà êàê íà
ðèñ. 3 èõ ôîðìà âûðàæåííî àñèììåòðè÷íà. Àñèì-
ìåòðèÿ ñâÿçàíà ñ òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ïðè âû-
âîäå ôîðìóëû (34) â ïðèáëèæåíèè (20) ìû ïðåíåá-
ðåãëè âêëàäîì íåîäíîðîäíûõ ìîä â êîíäàêòàíñ è
òåì ñàìûì íå ó÷ëè òóííåëüíóþ ÷àñòü êîíäàêòàíñà,
ñâÿçàííóþ ñ ýòèìè ìîäàìè. Äëÿ êðàåâîé ìîäû ýòî
íå âïîëíå îïðàâäàíî, ïîñêîëüêó â îêðåñòíîñòè êðè-
òè÷åñêîé òî÷êè óñëîâèå ñëàáîñòè ðàññåÿíèÿ íàðóøà-
åòñÿ, è ïðîïàãàòîð ýòîé ìîäû ñðàçó ïîñëå åå çàêðû-
òèÿ íå ðàâåí, ñòðîãî ãîâîðÿ, âûðàæåíèþ (23).
Çàâèñèìîñòè, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 3, äåìîíñò-
ðèðóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êâàíòîâûõ ôàçîâûõ ïå-
ðåõîäîâ [13], ïðîèñõîäÿùèõ â ýëåêòðîííîé ñèñòåìå
ïðè èçìåíåíèè îãðàíè÷èâàþùåãî åå ïîòåíöèàëà. Â
êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ êîíäàêòàíñ ñêà÷êîîáðàçíî ìå-
íÿåòñÿ, ïðè÷åì ðîëü êîððåëÿöèîííîé äëèíû â ýëåê-
òðîííîé ñèñòåìå â îêðåñòíîñòè ýòèõ òî÷åê èãðàåò
äëèíà âîëíû êðàåâîé ìîäû, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ åå
ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.
Êðàéíèé ëåâûé èç ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ, õîðîøî
âèäíûé íà ðèñ. 3,á — ïåðåõîä ýëåêòðîííîé ñèñòåìû
èç ïðîâîäÿùåé ôàçû â äèýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå.
 ìåòàëëè÷åñêîé ôàçå íåïîñðåäñòâåííî âáëèçè ïå-
ðåõîäà çíà÷åíèå êîíäàêòàíñà â èäåàëüíîé áàëëèñòè-
÷åñêîé ñèòóàöèè ðàâíî êâàíòó G0. Ýòî ïðèáëèçè-
òåëüíî ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì, íàáëþäàåìûì â
îêðåñòíîñòè òàê íàçûâàåìîé ñåïàðàòðèñû — óñëîâ-
íîé ëèíèè, ðàçäåëÿþùåé ìíîæåñòâà ýêñïåðèìåí-
òàëüíûõ êðèâûõ T-çàâèñèìîñòè ñîïðîòèâëåíèÿ, êî-
òîðûå îòíîñÿòñÿ ê äèýëåêòðè÷åñêîé è ïðîâîäÿùåé
ôàçàì 2D ñèñòåì [1].
 áîëüøèíñòâå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàáîò ñïåê-
òðàëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì îñóùå-
ñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå äàííûõ ïî òåìïåðàòóðíîé è
ìàãíèòîïîëåâîé çàâèñèìîñòÿì èõ ñîïðîòèâëåíèÿ.
Äåòàëüíûé àíàëèç ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ ìàãíèò-
íûì ïîëåì, ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò îòäåëüíîé ïóáëèêà-
öèè. ×òî æå êàñàåòñÿ òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè
ñîïðîòèâëåíèÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì, òî íà îñíîâå îïè-
ñàííûõ âûøå îñîáåííîñòåé êâàíòîâîãî òðàíñïîðòà â
ïëàíàðíûõ ñòðóêòóðàõ óæå ìîæíî ñäåëàòü ðÿä êà÷å-
ñòâåííûõ çàêëþ÷åíèé.
Ïðåæäå âñåãî, îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïåðåõîä îò
«ìåòàëëè÷åñêîãî» êîíäàêòàíñà (34), (35) ê ìàëîé
åãî âåëè÷èíå â ëîêàëèçîâàííîé (0-ìîäîâîé) ôàçå
íåèçáåæíî ïðîèñõîäèò ÷åðåç îäíîìîäîâîå ñîñòîÿíèå
ýëåêòðîííîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ïðè ýòîì, íåñìîòðÿ
íà ìàêðîñêîïè÷åñêóþ øèðèíó êâàíòîâîãî âîëíî-
âîäà, âåäåò ñåáÿ êàê ýôôåêòèâíî îäíîìåðíàÿ. Äëÿ
îäíîìåðíûõ æå ñèñòåì ðàíåå ïðåäñêàçûâàëàñü íå-
ìîíîòîííàÿ çàâèñèìîñòü ïðîâîäèìîñòè îò òåìïåðà-
òóðû, â [36] äëÿ ñëó÷àÿ T' ** 1 è â [41] äëÿ T' "" 1.
Ñîïðîòèâëåíèå 2D ñèñòåì, èçìåðåííîå âáëèçè ñåïà-
ðàòðèñû ñî ñòîðîíû ìåòàëëè÷åñêîé ôàçû [1], äåéñò-
âèòåëüíî íåìîíîòîííî èçìåíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé.
Ñëàáóþ çàâèñèìîñòü îò òåìïåðàòóðû ñàìîé ñåïà-
ðàòðèñû òàêæå ìîæíî îáúÿñíèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî
äëèíà âîëíû ïîñëåäíåé èç ïðîòÿæåííûõ ìîä ïî
ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê òî÷êå åå çàêðûòèÿ íåîãðàíè-
÷åííî âîçðàñòàåò è ñòàíîâèòñÿ áîëüøîé ïî ñðàâíå-
íèþ ñ äëèíîé âîëíû òåïëîâûõ ôîíîíîâ. Âçàèìîäåé-
ñòâèå ìîäû ñ ôîíîííîé ïîäñèñòåìîé êðèñòàëëà ïðè
ýòîì, åñòåñòâåííî, ñòàíîâèòñÿ ìàëîýôôåêòèâíûì.
Íàêîíåö, ãëóáîêî â äèýëåêòðè÷åñêîé ôàçå, êîãäà
âñå ýëåêòðîííûå ìîäû óæå ÿâëÿþòñÿ íåîäíîðîäíû-
ìè, à çíà÷èò ñèëüíî ëîêàëèçîâàííûìè, åñòåñòâåííî
îæèäàòü òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ñîïðîòèâëå-
íèÿ, êîòîðàÿ ñëåäóåò èç ïðûæêîâîé òåîðèè ïðîòåêà-
íèÿ [42]. Èìåííî òàêîãî òèïà çàâèñèìîñòè íàáëþäà-
þòñÿ â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ, íàõîäÿùèõñÿ â
äèýëåêòðè÷åñêîé ôàçå [1,43].
Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ
Îñíîâíîé öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû áûëà ðàçðà-
áîòêà ïîëåâîé îäíî÷àñòè÷íîé ìîäåëè ïåðåõîäà äâó-
68 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
g
g
50
30
10
1 2 3 4
a
á
K H/F �
k H/F �
12
8
4
1,0 1,1 1,2 1,3
1
1
2
2
3
3
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîãî êîíäàêòàíñà îò òîë-
ùèíû êâàíòîâîãî âîëíîâîäà ïðè ôèêñèðîâàííîé øèðèíå
(k W/F � � 205, ) è ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèô-
ôóçíîñòè 3 � L/�: 0 (1), 0,5 (2) è 5 (3).
ìåðíûõ ýëåêòðîííûõ ñèñòåì èç äèýëåêòðè÷åñêîãî
ñîñòîÿíèÿ (ïðåäïèñûâàåìîãî ñêåéëèíãîâîé òåîðèåé
ëîêàëèçàöèè) â ìåòàëëè÷åñêóþ ôàçó, íàáëþäàåìóþ
ýêñïåðèìåíòàëüíî. Ñóòü ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ñî-
ñòîèò â òîì, ÷òî ñèñòåìû, ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé òî÷-
êè çðåíèÿ âïîëíå äâóìåðíûå, ñëåäóåò ðàññìàòðè-
âàòü êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé òðåõìåðíûõ êâàíòîâûõ
âîëíîâîäîâ, òåì ñàìûì â áîëåå ïîëíîé ìåðå ó÷èòû-
âàÿ êâàíòîâûé õàðàêòåð ýëåêòðîííîé ñèñòåìû.
Çàìåòèì, ÷òî ïðîöåäóðà ñâåäåíèÿ ìíîãîìåðíûõ
äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ ê îäíîìåðíûì, êëþ÷åâàÿ â èñ-
ïîëüçóåìîé àíàëèòè÷åñêîé òåõíèêå, ïðèìåíèìà è ê
ñèñòåìàì, ðàññìàòðèâàåìûì èçíà÷àëüíî êàê ñòðîãî
äâóìåðíûå [20,21]. Îäíàêî óñìîòðåòü äëÿ òàêèõ
ñèñòåì âîçìîæíîñòü ïåðåõîäà èç ìåòàëëè÷åñêîãî â
äèýëåêòðè÷åñêîå ñîñòîÿíèå â ðàìêàõ ðàçâèòîãî ïîä-
õîäà ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì, ïîñêîëüêó
îäíîìîäîâîå ñîñòîÿíèå 2D ýëåêòðîíîâ àññîöèèðóåò-
ñÿ îáû÷íî íå ñ ìàêðîñêîïè÷åñêèì ïðîâîäíèêîì, à ñ
êâàíòîâîé ïðîâîëîêîé.
Òåì íå ìåíåå ìàêðîñêîïè÷åñêèé äâóìåðíûé êâàí-
òîâûé âîëíîâîä, åñëè åãî ðàññìàòðèâàòü êàê «óïëî-
ùåííûé» òðåõìåðíûé, âïîëíå ìîæåò íàõîäèòüñÿ è â
îäíîìîäîâîì, è äàæå â çàïðåäåëüíîì 0-ìîäîâîì ñî-
ñòîÿíèè. Â ýòîé ñâÿçè äîâîëüíî åñòåñòâåíåí âîïðîñ,
êàêèå æå ýëåêòðîííûå ñèñòåìû ðàçóìíî îòíîñèòü ê
êëàññó äâóìåðíûõ, à êàêèå íåò. È ÷åì, ñîáñòâåííî,
íåîäíîìåðíûå ýëåêòðîííûå ñèñòåìû ïðèíöèïèàëü-
íî îòëè÷àþòñÿ, ñ òî÷êè çðåíèÿ èõ òðàíñïîðòíûõ
ñâîéñòâ, îò òðåõìåðíûõ ñèñòåì?
Èç ÷èñëåííûõ è àíàëèòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ,
ïðåäñòàâëåííûõ â äàííîé ðàáîòå, óñòàíîâèòü îáúåê-
òèâíûå êðèòåðèè äëÿ äèôôåðåíöèàöèè 2D è 3D
ñèñòåì íåâîçìîæíî. Ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷àþòñÿ
ëèøü êîíäàêòàíñ äèôôóçèîííîãî òèïà, õàðàêòåð-
íûé äëÿ íåîäíîìîäîâûõ ñèñòåì, è «ëîêàëèçîâàí-
íûé» êîíäàêòàíñ îäíîìîäîâûõ ïðîâîäíèêîâ è 0-ìî-
äîâûõ (äèýëåêòðè÷åñêèõ) ñèñòåì. Åñëè ïðè ýòîì
ó÷åñòü, ÷òî äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå òðàíñïîðòíûå
çàäà÷è îäèíàêîâûì îáðàçîì ñâîäÿòñÿ ê îäíîìåðíûì
â ìîäîâîì ïðåäñòàâëåíèè, òî íàïðàøèâàåòñÿ âûâîä,
÷òî êëàññèôèöèðîâàòü íåáàëëèñòè÷åñêèå ñèñòåìû
ôåðìèåâñêîãî òèïà ðàöèîíàëüíî, èñõîäÿ íå èç èõ
ôîðìàëüíîé ãåîìåòðè÷åñêîé ñòðóêòóðû, à èç ìîäî-
âîãî ñîäåðæàíèÿ. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ñóùåñòâåííî
ðàçëè÷íûìè ÿâëÿþòñÿ íåóïîðÿäî÷åííûå ñèñòåìû ñ
áîëåå ÷åì îäíîé ïðîòÿæåííîé ìîäîé, â êîòîðûõ ðåà-
ëèçóåòñÿ äèôôóçèîííûé òðàíñïîðò êâàçè÷àñòèö è,
ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ ñîñòàâëÿþ-
ùàÿ èõ îäíî÷àñòè÷íîãî ñïåêòðà, è êëàññ ñèñòåì ëî-
êàëèçîâàííûõ. Ïîñëåäíèé, â ñâîþ î÷åðåäü, âêëþ÷à-
åò îäíîìîäîâûå ñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíà
ëîêàëèçàöèÿ àíäåðñîíîâñêîé ïðèðîäû (ñèëüíàÿ èëè
ñëàáàÿ, â çàâèñèìîñòè îò ñòåïåíè áåñïîðÿäêà), è
0-ìîäîâûå ñèñòåìû, ëîêàëèçàöèÿ ñîñòîÿíèé â êîòî-
ðûõ íå ñâÿçàíà ñ áåñïîðÿäêîì è/èëè
âçàèìîäåéñòâèåì, à îáóñëîâëåíà ðàçìåðíûì êâàíòî-
âàíèåì ñïåêòðà íîñèòåëåé òîêà.
1. E. Abrahams, S. V. Kravchenko, and M. P. Sarachik,
Rev. Mod. Phys. 73, 251 (2001).
2. E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello,
and T. V. Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42, 673
(1979).
3. M. Shreiber and M. Ottomeier, J. Phys.: Condens.
Matter. 4, 1959 (1992).
4. V. Dobrosavljeviæ, E. Abrahams, E. Miranda, and
S. Chakravarty, Phys. Rev. Lett. 79, 455 (1997).
5. Z. Ye, Chin. J. Phys. 39, L207 (2001); idem
cond-mat/0106481.
6. A. M. Finkel’stein, Z. Phys. B56, 189 (1984).
7. C. Castellani, C. D. Di Castro, and P. A. Lee, Phys.
Rev. B57, R9381 (1998).
8. S. Chakravarty, L. Yin, and E. Abrahams, Phys. Rev.
B58, R559 (1998).
9. D. Belitz and T. R. Kirkpatrick, Phys. Rev. B58,
8214 (1998).
10. J. S. Takur and D. Neilson, Phys. Rev. B58, 13717
(1998).
11. T. M. Klapwijk and S. Das Sarma, Solid State
Commun. 110, 581 (1999).
12. S. Das Sarma and E. H. Hwang, Phys. Rev. Lett. 84,
5596 (2000).
13. S. L. Sondhi, S. M. Girvin, J. P. Carini, and
D. Shahar, Rev. Mod. Phys. 69, 315 (1997).
14. P. A. Lee and T. V. Ramakrishnan, Rev. Mod. Phys.
57, 287(1985).
15. P. Mohanty, Physica B280, 446 (2000); idem
cond-mat/9912263.
16. I. L. Aleiner, B. L. Altshuler, and M. E. Gershenson,
Waves Random Media 9, 201 (1999).
17. B. L. Altshuler, A. G. Aronov, and P. A. Lee, Phys.
Rev. Lett. 44, 1288 (1980).
18. B. Tanatar and D. M. Ceperley, Phys. Rev. B39, 5005
(1989).
19. D. Belitz and T. R. Kirkpatrick, Rev. Mod. Phys. 66,
261 (1994).
20. Yu. V. Tarasov, J. Phys.: Condens. Matter 11, L437
(1999).
21. Yu. V. Tarasov, Waves Random Media 10, 395
(2000).
22. F. Mancini and A. Avella, cond-mat/0006377.
23. K. B. Efetov, Adv. Phys. 32, 53 (1983).
24. O. N. Dorokhov, Solid State Commun. 51, 381
(1984).
25. O. N. Dorokhov, Phys. Rev. B37, 10526 (1988).
26. P. A. Mello, P. Pereyra, and N. Kumar, Ann. Phys.
181, 290 (1988).
27. Yu. V. Tarasov, J. Phys.: Condens. Matter 14, L357
(2002); idem cond-mat/0203507.
28. M. P. Sarachik and S. V. Kravchenko, Proc. Natl.
Acad. Sci. USA 96, 5900 (1999); idem
cond-mat/9903292.
Îäíî÷àñòè÷íûé ñöåíàðèé ïåðåõîäà ìåòàëë—èçîëÿòîð â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ ïðè T = 0
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 69
29. R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn. 12, 570 (1957).
30. Ô. Ã. Áàññ, È. M. Ôóêñ, Ðàññåÿíèå âîëí íà ñòàòè-
ñòè÷åñêè íåðîâíîé ïîâåðõíîñòè, Íàóêà, Ìîñêâà,
(1972).
31. Â. Ñ. Âëàäèìèðîâ, Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôè-
çèêè, Íàóêà, Ìîñêâà, (1967).
32. Äæ. Òåéëîð, Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ, Ìèð, Ìîñêâà,
(1975).
33. Ð. Íüþòîí, Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ âîëí è ÷àñòèö, Ìèð,
Ìîñêâà, (1969).
34. J. S. Meyer, V. I. Fal’ko, and B. L. Altshuler, in:
Strongly Correlated Fermions and Bosons in Low-Di-
mensional Disordered Systems, I. V. Lerner, B. L.
Altshuler, V. I. Fal’ko, and T. Giamarchi (eds.),
NATO Science Series II: Mathematics, Physics and
Chemistry 72, 117, Kluwer Academic Publishers
(2002); idem cond-mat/0206024.
35. Â. Ë. Áåðåçèíñêèé, ÆÝÒÔ 65, 1251 (1973) .
36. A. A. Abrikosov and I. A. Ryzhkin, Adv. Phys. 27,
147 (1978).
37. N. M. Makarov and Yu. V. Tarasov, J. Phys:
Condens. Matter 10, 1523 (1998).
38. N. M. Makarov and Yu. V. Tarasov, Phys. Rev. B64,
235306 (2001).
39. È. Ì. Ëèôøèö, Ñ. À. Ãðåäåñêóë, Ë. À. Ïàñòóð, Ââå-
äåíèå â òåîðèþ íåóïîðÿäî÷åííûõ ñèñòåì, Íàóêà,
Ìîñêâà, (1982).
40. P. García-Mochales, P. Serena, N. García, and J. L.
Costa-Krämer, Phys. Rev. B53, 10268 (1996).
41. Yu. V. Tarasov, Phys. Rev. B45, 8873 (1992).
42. Á. È. Øêëîâñêèé, À. Ë. Ýôðîñ, Ýëåêòðîííûå ñâîé-
ñòâà ëåãèðîâàííûõ ïîëóïðîâîäíèêîâ, Íàóêà, Ìîñê-
âà, (1979).
43. W. Mason, S. V. Kravchenko, G. E. Bowker, and
J. E. Furneaux, Phys. Rev. B52, 7857 (1995).
The one-particle scenario for the metal—insulator
transition in two-dimensional systems atT � 0
Yu. V. Tarasov
The conductance of bounded disordered elec-
tron systems is calculated by reducing the origi-
nal dynamic problem of arbitrary dimensionality
to a set of strictly one-dimensional problems for
one-particle mode propagators. The metallic gro-
und state of a two-dimensional conductor, which
is considered as a limiting case of three-dimen-
sional quantum waveguide, is shown to result
from its multi-modeness. As the waveguide
thickness is reduced, e.g., by applying a «pres-
sing» potential, the electron system undergoes
a set of continuous phase transitions related to
discrete variations of the number of extended
modes. The closing of the last current carrying
mode is regarded as a phase transition of the
electron system from metallic to dielectric state.
The obtained results agree qualitatively with the
observed «anomalies» of resistivity of different
two-dimensional electron and hole systems.
70 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
Þ. Â. Òàðàñîâ
|