Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем
Для теоретического объяснения механизма смены поляризации магнитных вихрей во внешнем циркулярном магнитном поле аналитически и численно рассмотрена модель малого спинового плакета в вихревой конфигурации. Проведено аналитическое исследование начальной (линейной) стадии процесса переворота вихря. По...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128782 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 71-83. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128782 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1287822018-01-14T03:02:58Z Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Для теоретического объяснения механизма смены поляризации магнитных вихрей во внешнем циркулярном магнитном поле аналитически и численно рассмотрена модель малого спинового плакета в вихревой конфигурации. Проведено аналитическое исследование начальной (линейной) стадии процесса переворота вихря. Полученные аналитические результаты подтверждают данные численного расчета динамики плакета. Как численное моделирование, так и аналитическое рассмотрение начального этапа активации показывает важность учета азимутальных мод системы. На частотах этих мод происходит наиболее быстрое возрастание энергии вихря и полной внутриплоскостной проекции намагниченности. Увеличение амплитуды этих мод приводит к параметрическому возбуждению низкочастотной симметричной моды, что и вызывает переворот вихря. Полученные результаты качественно объясняют данные численного моделирования переворотов вихрей в больших магнитных системах и могут быть использованы в экспериментах по направленному влиянию на поляризацию вихрей в магнитных нанодотах. For a theoretical explanation of the mechanism of switching of the polarization of magnetic vortices in an external circular magnetic field, a small spin plaquette in a vortex configuration is considered. An analytical investigation of the initial (linear) stage of the vortex switching process is carried out. The analytical results obtained confirm the data of a numerical calculation of the plaquette dynamics. Both the numerical simulation and an analytical treatment of the initial stage of activation show the importance of taking the azimuthal modes of the system into account. It is at the frequencies of these modes that the most rapid growth of the vortex energy and the total intraplane projection of the magnetization occur. Increasing the amplitude of these modes leads to parametric excitation of a low-frequency symmetric mode, and that causes vortex switching. The results provide a qualitative explanation of the data of a numerical simulation of vortex switching in large magnetic systems and can be used in experiments on the directed influencing of the polarization of vortices in magnetic nanodots. Для теоретичного пояснення механізму зміни поляризації магнітних вихорів у зовнішньому циркулярному магнітному полі аналітично і чисельно розглянуто модель малого спінового плакету у вихоровій конфігурації. Проведено аналітичне дослідження початкової (лінійної) стадії процесу перевороту вихору. Отримані аналітичні результати підтверджують дані чисельного розрахунку динаміки плакету. Як чисельне моделювання, так і аналітичний розгляд початкового етапу активації показує важливість урахування азимутальних мод системи. На частотах цих мод відбувається найбільш швидке зростання енергії вихору та повної внутріплощинної проекції намагніченості. Збільшення амплітуди цих мод приводить до параметричного збудження низькочастотної симетричної моди, що i викликає переворот вихору. Отримані результати якісно пояснюють дані чисельного моделювання переворотів вихорів у великих магнітних системах і можуть бути використані в експериментах по спрямованому впливу на поляризацію вихорів у магнітних нанодотах. 2003 Article Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 71-83. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.10.Hk, 75.30.Ds http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128782 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем Физика низких температур |
| description |
Для теоретического объяснения механизма смены поляризации магнитных вихрей во внешнем циркулярном магнитном поле аналитически и численно рассмотрена модель малого спинового плакета в вихревой конфигурации. Проведено аналитическое исследование начальной (линейной) стадии процесса переворота вихря. Полученные аналитические результаты подтверждают данные численного расчета динамики плакета. Как численное моделирование, так и аналитическое рассмотрение начального этапа активации показывает важность учета азимутальных мод системы. На частотах этих мод происходит наиболее быстрое возрастание энергии вихря и полной внутриплоскостной проекции намагниченности. Увеличение амплитуды этих мод приводит к параметрическому возбуждению низкочастотной симметричной моды, что и вызывает переворот вихря. Полученные результаты качественно объясняют данные численного моделирования переворотов вихрей в больших магнитных системах и могут быть использованы в экспериментах по направленному влиянию на поляризацию вихрей в магнитных нанодотах. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем |
| title_short |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем |
| title_full |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем |
| title_fullStr |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем |
| title_full_unstemmed |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем |
| title_sort |
механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. ii. динамика спинового плакета с вихрем |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128782 |
| citation_txt |
Механизм переворота вихрей в магнитных нанодотах под действием циркулярного магнитного поля. II. Динамика спинового плакета с вихрем / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 1. — С. 71-83. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas mehanizmperevorotavihrejvmagnitnyhnanodotahpoddejstviemcirkulârnogomagnitnogopolâiidinamikaspinovogoplaketasvihrem AT prilepskijâe mehanizmperevorotavihrejvmagnitnyhnanodotahpoddejstviemcirkulârnogomagnitnogopolâiidinamikaspinovogoplaketasvihrem |
| first_indexed |
2025-07-09T09:53:11Z |
| last_indexed |
2025-07-09T09:53:11Z |
| _version_ |
1837162606379401216 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1, ñ. 71–83
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ
ïîä äåéñòâèåì öèðêóëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ.
II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà ñ âèõðåì
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á. È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 20 èþíÿ 2002 ã.
Äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî îáúÿñíåíèÿ ìåõàíèçìà ñìåíû ïîëÿðèçàöèè ìàãíèòíûõ âèõðåé âî âíåø-
íåì öèðêóëÿðíîì ìàãíèòíîì ïîëå àíàëèòè÷åñêè è ÷èñëåííî ðàññìîòðåíà ìîäåëü ìàëîãî ñïèíî-
âîãî ïëàêåòà â âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè. Ïðîâåäåíî àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå íà÷àëüíîé
(ëèíåéíîé) ñòàäèè ïðîöåññà ïåðåâîðîòà âèõðÿ. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîä-
òâåðæäàþò äàííûå ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà äèíàìèêè ïëàêåòà. Êàê ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå, òàê è
àíàëèòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå íà÷àëüíîãî ýòàïà àêòèâàöèè ïîêàçûâàåò âàæíîñòü ó÷åòà àçèìó-
òàëüíûõ ìîä ñèñòåìû. Íà ÷àñòîòàõ ýòèõ ìîä ïðîèñõîäèò íàèáîëåå áûñòðîå âîçðàñòàíèå ýíåðãèè
âèõðÿ è ïîëíîé âíóòðèïëîñêîñòíîé ïðîåêöèè íàìàãíè÷åííîñòè. Óâåëè÷åíèå àìïëèòóäû ýòèõ
ìîä ïðèâîäèò ê ïàðàìåòðè÷åñêîìó âîçáóæäåíèþ íèçêî÷àñòîòíîé ñèììåòðè÷íîé ìîäû, ÷òî è âû-
çûâàåò ïåðåâîðîò âèõðÿ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êà÷åñòâåííî îáúÿñíÿþò äàííûå ÷èñëåííîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ ïåðåâîðîòîâ âèõðåé â áîëüøèõ ìàãíèòíûõ ñèñòåìàõ è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû
â ýêñïåðèìåíòàõ ïî íàïðàâëåííîìó âëèÿíèþ íà ïîëÿðèçàöèþ âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ.
Äëÿ òåîðåòè÷íîãî ïîÿñíåííÿ ìåõàí³çìó çì³íè ïîëÿðèçàö³¿ ìàãí³òíèõ âèõîð³â ó çîâí³øíüîìó
öèðêóëÿðíîìó ìàãí³òíîìó ïîë³ àíàë³òè÷íî ³ ÷èñåëüíî ðîçãëÿíóòî ìîäåëü ìàëîãî ñï³íîâîãî ïëà-
êåòó ó âèõîðîâ³é êîíô³ãóðàö³¿. Ïðîâåäåíî àíàë³òè÷íå äîñë³äæåííÿ ïî÷àòêîâî¿ (ë³í³éíî¿) ñòà䳿
ïðîöåñó ïåðåâîðîòó âèõîðó. Îòðèìàí³ àíàë³òè÷í³ ðåçóëüòàòè ï³äòâåðäæóþòü äàí³ ÷èñåëüíîãî
ðîçðàõóíêó äèíàì³êè ïëàêåòó. ßê ÷èñåëüíå ìîäåëþâàííÿ, òàê ³ àíàë³òè÷íèé ðîçãëÿä ïî÷àòêî-
âîãî åòàïó àêòèâàö³¿ ïîêàçóº âàæëèâ³ñòü óðàõóâàííÿ àçèìóòàëüíèõ ìîä ñèñòåìè. Íà ÷àñòîòàõ
öèõ ìîä â³äáóâàºòüñÿ íàéá³ëüø øâèäêå çðîñòàííÿ åíåð㳿 âèõîðó òà ïîâíî¿ âíóòð³ïëîùèííî¿
ïðîåêö³¿ íàìàãí³÷åíîñò³. Çá³ëüøåííÿ àìïë³òóäè öèõ ìîä ïðèâîäèòü äî ïàðàìåòðè÷íîãî çáóä-
æåííÿ íèçüêî÷àñòîòíî¿ ñèìåòðè÷íî¿ ìîäè, ùî i âèêëèêຠïåðåâîðîò âèõîðó. Îòðèìàí³ ðåçóëü-
òàòè ÿê³ñíî ïîÿñíþþòü äàí³ ÷èñåëüíîãî ìîäåëþâàííÿ ïåðåâîðîò³â âèõîð³â ó âåëèêèõ ìàãí³òíèõ
ñèñòåìàõ ³ ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ â åêñïåðèìåíòàõ ïî ñïðÿìîâàíîìó âïëèâó íà ïîëÿðèçàö³þ
âèõîð³â ó ìàãí³òíèõ íàíîäîòàõ.
PACS: 75.10.Hk, 75.30.Ds
Ââåäåíèå
 ïîñëåäíåå âðåìÿ íîâûì îáúåêòîì, ïðèâëåêàþ-
ùèì ïîâûøåííîå âíèìàíèå ôèçèêîâ, ñòàëè «ìàã-
íèòíûå íàíîäîòû», «ìàãíèòíûå êëàñòåðû» è «ìàã-
íèòíûå ìîëåêóëû» [1–4] — ìàãíèòíûå ÷àñòèöû
ìàëîãî ðàçìåðà îò ñîòåí íàíîìåòðîâ äî íåñêîëüêèõ
ìàãíèòíûõ àòîìîâ. Ñåé÷àñ èìåþòñÿ ïðÿìûå ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûå ïîäòâåðæäåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ìàã-
íèòíûõ íàíîäîòàõ ìàãíèòíûõ âèõðåé — òîïîëîãè-
÷åñêèõ âîçáóæäåíèé, áëèçêèõ ïî ñâîåé ïðèðîäå ê
âèõðÿì Ïèòàåâñêîãî â ñâåðõòåêó÷åé æèäêîñòè è
ãèäðîäèíàìè÷åñêèì âèõðÿì â äâóìåðíîé íåñæèìàå-
ìîé æèäêîñòè [1,2].  ñëó÷àå ëåãêîïëîñêîñòíîé
ìàãíèòíîé àíèçîòðîïèè â ìàãíèòíîì âèõðå ïðîèñõî-
äèò ðàçâîðîò íàìàãíè÷åííîñòè íà óãîë 2� ïðè îáõî-
äå âîêðóã öåíòðà âèõðÿ [5–10].  ðÿäå ñëó÷àåâ ýêñ-
ïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàëè íàëè÷èå â ÿäðå âèõðÿ
íåíóëåâîé êîìïîíåíòû íàìàãíè÷åííîñòè â íàïðàâ-
ëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ëåãêîé ïëîñêîñòè — «ïî-
ëÿðèçàöèè» âèõðÿ [1,2]. Ýòà ïîëÿðèçàöèÿ ìîæåò
© À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé, 2003
èìåòü ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè è õàðàêòåðèçîâàòüñÿ
òîïîëîãè÷åñêèì èíäåêñîì p � �1 (ñì.[10–12].  ðå-
àëüíûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåìàõ ýòîò èíäåêñ íå ÿâëÿåò-
ñÿ èñòèííûì òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì è ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì òåìïåðàòóðû [11],
öèðêóëÿðíîãî [12] èëè ïîñòîÿííîãî ïîëÿ, ïåðïåí-
äèêóëÿðíîãî ïëîñêîñòè íàíîäîòà [2]. Âîçìîæíîñòü
íàïðàâëåííîãî èçìåíåíèÿ ïîëÿðèçàöèè âèõðÿ îñî-
áåííî âàæíà, åñëè ó÷åñòü, ÷òî íàíîäîòû ñ âèõðÿìè
ðàçíîé ïîëÿðíîñòè, â ïðèíöèïå, ìîãóò â áóäóùåì
áûòü èñïîëüçîâàíû êàê ýëåìåíòû ïàìÿòè â âûñîêî-
ïëîòíûõ íîñèòåëÿõ èíôîðìàöèè.
Èçìåíåíèå ïîëÿðèçàöèè âèõðÿ â öèðêóëÿðíîì
ïîëå áûëî èññëåäîâàíî ìåòîäîì ÷èñëåííîãî ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â [12], ãäå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðîöåññ ïå-
ðåâîðîòà âèõðÿ íîñèò ðåçîíàíñíûé õàðàêòåð è àñèì-
ìåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ÷àñòîòû
ïðèëîæåííîãî ïîëÿ (íàïðàâëåíèÿ åãî âðàùåíèÿ). Â
÷àñòè I íàñòîÿùåé ðàáîòû [10] ñîäåðæàëàñü êðèòèêà
àíàëèòè÷åñêîé ÷àñòè [12] è áûëî óêàçàíî, ÷òî ïðåä-
ëîæåííûé àâòîðàìè [12] ñöåíàðèé íå îáúÿñíÿåò
àñèììåòðèþ ïðîöåññà ïåðåâîðîòà âèõðÿ îòíîñèòåëü-
íî íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ ïîëÿ. Íàìè áûëî ïîêàçà-
íî, ÷òî ïðîöåññ âîçáóæäåíèÿ íàíîäîòà â âèõðåâîé
êîíôèãóðàöèè íîñèò ñëîæíûé õàðàêòåð è òðåáóåò
âêëþ÷åíèå â ðàññìîòðåíèå íåñêîëüêèõ ñîáñòâåííûõ
ìîä ñèñòåìû, è â ïåðâóþ î÷åðåäü — òàê íàçûâàåìûõ
ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ ìîä, ñâÿçàííûõ ñ âðàùåíè-
åì cïèíîâûõ âîëí âîêðóã öåíòðà âèõðÿ. Îäíàêî èñ-
ïîëüçîâàííàÿ íàìè â [10] óïðîùåííàÿ ìîäåëü íå
ïîçâîëÿëà îáúÿñíèòü àñèììåòðèþ ïðîöåññà ïðè èç-
ìåíåíèè ÷àñòîòû.
 íàñòîÿùåé ïóáëèêàöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ïðîäîë-
æåíèåì [10], ðàññìîòðåíà äèíàìèêà íåáîëüøîãî
«ìàãíèòíîãî ïëàêåòà» (ìàãíèòíîãî êëàñòåðà) èç íå-
ñêîëüêèõ êîîðäèíàöèîííûõ ñôåð ìàãíèòíîé ðåøåò-
êè â âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè ïîä âîçäåéñòâèåì
âíåøíåãî âðàùàþùåãîñÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîä-
íîãî ïîëÿ, íî ó÷òåíû âñå ñîáñòâåííûå ìàãíîííûå
ìîäû ñèñòåìû ïðè íàëè÷èè âèõðÿ. Êëàññèôèêàöèÿ
ñîáñòâåííûõ ìàãíîííûõ ìîä ïîäîáíûõ ïëàêåòîâ â
âèõðåâîì ñîñòîÿíèè áûëà ïðîâåäåíà àâòîðàìè ðàíåå
â [13,14], ãäå ïîêàçàíî, ÷òî ñïåêòðû ïîäîáíûõ ñèñ-
òåì èìåþò ïîëíîå êà÷åñòâåííîå ñõîäñòâî ñ íèçêî÷à-
còîòíîé ÷àñòüþ ñïåêòðîâ ñèñòåì áîëüøîãî ðàçìåðà,
îáñóæäàâøèõñÿ â ÷àñòè I [10]. Ïðîâåäåííûå íàìè
÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîäòâåðæäàþò ðåçóëüòàòû êà÷å-
ñòâåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ ïðîáëåìû
èçìåíåíèÿ ïîëÿðíîñòè âèõðÿ âî âíåøíåì öèðêóëÿð-
íîì ïîëå.
Ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé ñòàòüè äëÿ ìàëîãî ìàãíèò-
íîãî ïëàêåòà âìåñòå ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè â
÷àñòè I [10] äëÿ íàíîäîòà êîíå÷íîãî ðàçìåðà, äàþò
ïîëíîå êà÷åñòâåííîå îïèñàíèå ñöåíàðèÿ ïåðåâîðîòà
âèõðÿ â ìàãíèòíîì öèðêóëÿðíîì ïîëå.
1. Ìîäåëü è ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ðàññìîòðèì ñïèíîâóþ äèíàìèêó èçîáðàæåííîãî
íà ðèñ. 1 íåáîëüøîãî ïëàêåòà â âèõðåâîé êîíôèãó-
ðàöèè ñ ôèêñèðîâàííûìè ãðàíè÷íûìè ñïèíàìè. Ïî-
äîáíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü îáúÿñíåíû
íàëè÷èåì äîïîëíèòåëüíîé ñèëüíîé ïîâåðõíîñòíîé
àíèçîòðîïèè, óïîðÿäî÷èâàþùåé ãðàíè÷íûå ñïèíû
ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîâåðõíîñòè ìàëîé ìàãíèòíîé
÷àñòèöû, èëè âëèÿíèåì íà ïîâåðõíîñòíûå ñïèíû îê-
ðóæàþùåé ýòó ÷àñòèöó ìàòðèöû. Óðàâíåíèÿ ñïèíî-
âîé äèíàìèêè (óðàâíåíèÿ Ëàíäàó—Ëèôøèöà, â
äàëüíåéøåì ÓËË) ñ ó÷åòîì öèðêóëÿðíîãî ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ h � h t t(cos , sin , )� � 0 â îáùåì âèäå çàïè-
ñûâàþòñÿ êàê [10]:
72 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
Ðèñ. 1. Êîíôèãóðàöèÿ ñïèíîâîãî ïëàêåòà, ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ ïëîñêîñòíîìó (à) è âíåïëîñêîñòíîìó (á) âèõðþ.
Òåìíûå êðóæêè èç ïåðâîé êîîðäèíàöèîííîé ñôåðû îò-
âå÷àþò ïîäâèæíûì ñïèíàì (1, 2, 3, 4).
d
dt
m
m
mn
n
n n n n n
�
� � � � ��
� �
�
� � � �
�� ��
�
� [ cos( ) sin( )]
� �
�
�
�
�
� � ��m h
m
m
tn
n
n
ncos( ), (1)
dm
dt
m m mn
n n n n n� � �
� �
�( [ cos( )� �
�
� � �
�
� �
�
�sin( )] ) sin( ),� � �� � �� �n n n n n nm m hm t2
(2)
ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ èç ïåðâîé ÷àñòè íà-
ñòîÿùåé ðàáîòû: m S zn n
z� � -ïðîåêöèÿ ñïèíà íà
«òÿæåëóþ» îñü, � n n
y
n
xS S� arctg ( ) — àçèìóòàëü-
íûé óãîë ñïèíà, J � 1,
m mn n� � �1 2 .
Ìàëîñòü êîýôôèöèåíòà çàòóõàíèÿ äëÿ ïëàêåòà îï-
ðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì � �� 1, ïîñêîëüêó ÷àñòîòû
ñîáñòâåííûõ ìîä â ýòîì ñëó÷àå ïîðÿäêà åäèíèöû.
Ìàãíèòíàÿ ñòðóêòóðà è ñâîéñòâà ñïåêòðà èçîáðà-
æåííûõ íà ðèñ. 1 ïëàêåòíûõ ñèñòåì ïîäðîáíî ðàñ-
ñìàòðèâàëèñü ðàíåå â ðàáîòàõ [13,14], â êîòîðûõ ïî-
êàçàíî, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ âèõðåâûõ ñîñòîÿíèé
òàêèõ ñèñòåì (ñóùåñòâîâàíèå ïëîñêîñòíîé âèõðåâîé
êîíôèãóðàöèè (ÏÂ) ïðè ñèëüíîé àíèçîòðîïèè è
âíåïëîñêîñòíîé âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè (ÂÂ) ïðè
çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè, áëèçêèõ ê åäè-
íèöå) àíàëîãè÷íà ïîäîáíîé â ñèñòåìàõ áîëüøîãî
ðàçìåðà [15,16], è ñïåêòð âîçáóæäåíèé òàêèõ ìàëûõ
ïëàêåòîâ èìååò êà÷åñòâåííîå ñõîäñòâî ñ íèçêî÷à-
ñòîòíîé ÷àñòüþ ñïåêòðà ñïèíîâûõ âîëí â ñèñòåìàõ
áîëüøîãî ðàçìåðà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè (ñì. [17,18]). Â ðàññìàòðèâàåìîì ïëàêå-
òå ÷åòûðå ñïèíà åãî âíóòðåííåé (ïåðâîé) êîîðäèíà-
öèîííîé ñôåðû ìîãóò èçìåíÿòü ñâîþ ïðîñòðàíñòâåí-
íóþ îðèåíòàöèþ, à ñïèíû âòîðîé è òðåòüåé
êîîðäèíàöèîííûõ ñôåð ôèêñèðîâàíû â ïîëîæåíèè,
ñîîòâåòñòâóþùåì ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè ïëî-
ñêîñòíîãî âèõðÿ. Âèõðåâîå ñîñòîÿíèå äëÿ òàêîãî
ïëàêåòà áëàãîäàðÿ ôèêñàöèè âíåøíèõ ñïèíîâ ÿâëÿ-
åòñÿ îñíîâíûì è îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé
ñòàòè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ ÷åòûðåõ ïîäâèæíûõ
ñïèíîâ ñ íîìåðàìè n = 1,2,3,4:
m mn n n n� �
� �� � �
�
� �sin( ) 0, (3)
[ cos( )]� � ��
�
�
�
m m
m
mn n
n
n
n n
�
�
� � �� 0, (4)
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî áëèæàéøèì ñî-
ñåäÿì ñ èíäåêñàìè n
�. Ñîñòîÿíèå 12 ãðàíè÷íûõ
ñïèíîâ ôèêñèðîâàíî è îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè
m � 0 è � �� �0, 4, � 2 0� � , � �2 3 40
� , ..., ãäå
�0 � �( ) arcsin( )1 2 3 1 . Ïðè ýòîì ÏÂ êîíôèãóðà-
öèè ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå äëÿ ÷åòûðåõ ïîäâèæíûõ
ñïèíîâ � � �n nn m n0 04 2 0 1�
� �, , –4, êîòîðîå
óñòîé÷èâî â èíòåðâàëå çíà÷åíèé ïàðàìåòðà àíèçî-
òðîïèè 0 4 3 20� � � � �� � �c cos( )� � 0 93, .
Çàìåòèì, ÷òî îòëè÷èå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ � c îò
òîé æå âåëè÷èíû äëÿ ñèñòåì áîëüøîãî ðàçìåðà
( ,� c � 0 72 äëÿ êâàäðàòíîé ðåøåòêè [15]) íåñóùåñò-
âåííî è îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî äëÿ ñèñòåì ìàëîãî
ðàçìåðà ýòà âåëè÷èíà â çíà÷èòåëüíîé ìåðå çàâèñèò
îò êîíôèãóðàöèè ñàìîé ñèñòåìû è ôèêñèðîâàííîé
êîíôèãóðàöèè ãðàíè÷íûõ ñïèíîâ [14,15]. Ìåíÿÿ
âåëè÷èíó �0 , ìîæíî ìåíÿòü è çíà÷åíèå � c.
Ïðè ñëàáîé ëåãêîïëîñêîñòíîé àíèçîòðîïèè,
ìåíüøåé êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ (� �� c), óñòîé÷è-
âîé ñòàíîâèòñÿ äðóãàÿ êîíôèãóðàöèÿ âèõðÿ, â êîòî-
ðîé ñïèíû â åãî ÿäðå âûõîäÿò èç åãî ïëîñêîñòè
(ÂÂ). Ñòàòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå íàïðàâëåíèé ïîä-
âèæíûõ ñïèíîâ äëÿ ÂÂ äàåòñÿ ñëåäóþùèìè âûðà-
æåíèÿìè: êàê è äëÿ ÏÂ � � �n n0 4 2�
, à äëÿ
z-ïðîåêöèè
m m p /n c
0 21� � � ( )� � , (5)
ãäå p � �1 — ïîëÿðèçàöèÿ âèõðÿ. Ïîñëå ëèíåàðèçà-
öèè ñèñòåìû óðàâíåíèé (1), (2) äëÿ ÷åòûðåõ ïîä-
âèæíûõ ñïèíîâ îòíîñèòåëüíî ìàëûõ, çàâèñÿùèõ îò
âðåìåíè äîáàâîê � è � ê âèõðåâîìó ðåøåíèþ,
m t t m t tn n n n n n( ) ( ) , ( ) ( )�
�
� � � �0 0 , ïîëó÷èì
äëÿ � è � ñèñòåìó èç âîñüìè äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:
d
dt
m
m
n
n
n
n
n n
�
� � ��
�
�
� �
�
�
��
�
� 3
0 0cos( )
� � � �
�
�
( ) sin( )]� � � ��
�
�n n n
n
n
n nm
m
m
0 0
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� � � ��
�
�
�n
n n
n n
n n
m m
m m
cos( )0 0 , (6)
d
dt
m mn
n n n n n n
�
� � � �� � �
�
� � �
� �
� {( ) cos( )0 0
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � ��
� �
�
�n n
n
n
n n
n
n
n nm
m
m
m
m
m
sin( )0 0 },
(7)
ãäå n � 1–4, mn � 0 äëÿ ÏÂ è m äëÿ ÂÂ, mn
�� 0
äëÿ ñïèíîâ èç âíåøíèõ êîîðäèíàöèîííûõ ñôåð è
äëÿ ñïèíîâ ñ n
�� 1–4 â ÏÂ, m mn
�� äëÿ n
��
= 1–4 â ÂÂ. Ñïåêòð ñèñòåìû (6), (7) äëÿ ïëàêåòà â
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 73
îáëàñòè óñòîé÷èâîé Ï êîíôèãóðàöè ( )� �� c ñî-
äåðæèò òðè âåòâè. (Ïîëíîå ÷èñëî ìîä ðàâíî êîëè-
÷åñòâó ñòåïåíåé ñâîáîäû ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû,
ò.å. êîëè÷åñòâó ñâîáîäíûõ ñïèíîâ, îäíàêî äëÿ ÏÂ
îäíà èç ìîä äâóêðàòíî âûðîæäåíà.) Íèæàéøàÿ
âåòâü (ñì.ðèñ. 2) ñîîòâåòñòâóåò ñèììåòðè÷íîé ìîäå
ñ � �n t t( ) cos ,� 0
0! � �n t t( ) sin� 0
0! , è çàâèñè-
ìîñòü åå ÷àñòîòû îò ïàðàìåòðà � îïðåäåëÿåòñÿ ôîð-
ìóëîé
!0 2IP
c c( ) ( )� � � �� � , (8)
à ñîîòíîøåíèå àìïëèòóä êîëåáàíèé ñïèíîâ â äâóõ
ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ âûðàæåíèåì
� � � �0 0 1� � c . (9)
Ýòà ìîäà, îòìå÷åííàÿ çäåñü èíäåêñîì 0, ñîîòâåòñò-
âóåò ðàññìîòðåííîé â ïðåäûäóùåé ñòàòüå [10] ñèì-
ìåòðè÷íîé ìîäå ñ èíäåêñîì 2. Âèäíî, ÷òî â
êðèòè÷åñêîé òî÷êå � �" c ñïèíû êîëåáëþòñÿ ïåð-
ïåíäèêóëÿðíî ëåãêîé ïëîñêîñòè.
Ñëåäóþùàÿ ìîäà — äâóêðàòíî âûðîæäåííàÿ ïåð-
âàÿ àçèìóòàëüíàÿ ìîäà: � � #n n t� �12
12
,
,cos( ),!
� � #n n t� �12
12
,
,sin( )! (ãäå # n— àçèìóòàëüíàÿ êî-
îðäèíàòà n-ãî ñïèíà). Åå ÷àñòîòà ïðè � �� ñ íå çàâè-
ñèò îò ïàðàìåòðà � c:
!12 2,
IP
c� � , (10)
è
� �12 12 1, , .� � (11)
Íàêîíåö, ñàìàÿ âûñîêî÷àñòîòíàÿ — âòîðàÿ àçèìó-
òàëüíàÿ ìîäà ñ ïðîòèâîôàçíûìè êîëåáàíèÿìè ñîñåä-
íèõ ñïèíîâ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ ñ � �n � $3
$ �cos( ),2 3# n t! � � #n n t� �3
32sin( )! , ÷àñòîòîé
!3 2IP
c c( ) ( )� � � ��
, (12)
è ñîîòíîøåíèåì àìïëèòóä
� � � �3 3 1�
c . (13)
Äëÿ  îáëàñòè (� �� c) èìååì àíàëîãè÷íóþ êëàñ-
ñèôèêàöèþ ìîä ñ òåì ëèøü ðàçëè÷èåì, ÷òî òåïåðü,
áëàãîäàðÿ ïîíèæåíèþ ñèììåòðèè ñèñòåìû, ñíèìà-
åòñÿ âûðîæäåíèå äâóõ ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ ìîä.
Çàâèñèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ âîëíîâûõ ïàðàìåò-
ðîâ êîëåáàòåëüíûõ ìîä îò � ñëåäóþùèå:
äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîäû
!0
22OP
c( )� � �%� � , (14)
� �
�
�
�
�
0 0
2
1�
�
�
�
� �
c
ñ ; (15)
äëÿ íèæíåé ïåðâîé àçèìóòàëüíîé ìîäû
!1 2 1OP
c( ) ( ( )� � � �&%� � � , (16)
� �
� '� � ( � '� � &
� � ( � '� � &
1 1
2
2 2
� �
c
c c
)
; (17)
äëÿ âåðõíåé ïåðâîé àçèìóòàëüíîé ìîäû
!2 2 1OP
c( ) ( ( )� � � �&%�
� , (18)
� � � �
� '� � ( � '� � &
� � ( � '� � &
2 2 1 1
2
2 2
� � �
c
c c
)
; (19)
äëÿ âòîðîé àçèìóòàëüíîé ìîäû
!3
22OP
c( )� � �%�
, (20)
� �
�
�
�
�
3 3
2
1�
�
�
�
�
c
c . (21)
Ïîëíûé ñïåêòð ÷àñòîò êîëåáàíèé ïëàêåòà â  îá-
ëàñòè ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 2. Âèäíî, ÷òî îí äåéñòâè-
òåëüíî èìååò êà÷åñòâåííîå ñõîäñòâî ñ íèçêî÷àñòîò-
íîé ÷àñòüþ ñïåêòðà ñèñòåì áîëüøîãî ðàçìåðà (ïðè
ôèêñèðîâàííîé ãðàíèöå) [14,18], íî èìåþòñÿ è íå-
êîòîðûå ðàçëè÷èÿ. Òàê, â áîëüøîé ñèñòåìå ïðè
� �� c ñèììåòðè÷íàÿ è íèæíÿÿ ïåðâàÿ àçèìóòàëü-
íàÿ ìîäû ïåðåñåêàþòñÿ, è ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ �
ïîñëåäíÿÿ ñòàíîâèòñÿ ñàìîé íèçêî÷àñòîòíîé. Ñ
ýòèì ñâÿçàíî èçìåíåíèå íóìåðàöèè ìîä â ÷. I [10]:
íóëåâàÿ ìîäà ïëàêåòà ñîîòâåòñòâóåò âòîðîé ìîäå
áîëüøîé ñèñòåìû, ïåðâàÿ ìîäà ïëàêåòà — ïåðâîé
74 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
Ðèñ. 2. Ñïåêòð ñîáñòâåííûõ ìîä ñïèíîâîãî ïëàêåòà â
âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè â  îáëàñòè: ñèììåòðè÷íàÿ
ìîäà (0); äóáëåò ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ ìîä ñ ðàçëè÷-
íûì íàïðàâëåíèåì âðàùåíèÿ ñïèíîâîé âîëíû (1, 2);
âòîðàÿ àçèìóòàëüíàÿ ìîäà (3). Íà âñòàâêå ïðèâåäåí
ïîëíûé ñïåêòð âî âñåé îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà
àíèçîòðîïèè
ìîäå è âòîðàÿ ìîäà ïëàêåòà — òðåòüåé ìîäå (ñì.
ðèñ. 4,á [10]). Êðîìå òîãî, îáðàòèì âíèìàíèå íà òî,
÷òî âòîðàÿ àçèìóòàëüíàÿ ìîäà (ñàìàÿ âûñîêî÷àñòîò-
íàÿ) â ïëàêåòå ñîîòâåòñòâóåò â áîëüøîé ñèñòåìå ðå-
øåíèþ ñ ÷åòûðüìÿ óçëàìè â àçèìóòàëüíîì íàïðàâ-
ëåíèè. Íà ðèñ. 4,á â [10] ýòà ÷àñòîòíàÿ çàâèñèìîñòü
íå ïðèâåäåíà, à çàâèñèìîñòü (4) íà íåì ñîîòâåòñòâó-
åò ïåðâîé àçèìóòàëüíîé ìîäå (ñ äâóìÿ óçëàìè â
àçèìóòàëüíîì íàïðàâëåíèè), íî ñ äîïîëíèòåëüíûì
óçëîì â ðàäèàëüíîì íàïðàâëåíèè. Íèæå íàñ áóäåò
èíòåðåñîâàòü äèíàìèêà âèõðÿ òîëüêî â ÂÂ îáëàñòè,
è ìû îïóñòèì èíäåêñû OP ó âñåõ âåëè÷èí.
 äàëüíåéøåì áóäåò óäîáíî ïåðåéòè îò óðàâíåíèé
äëÿ êîëåáàíèé îòäåëüíûõ ñïèíîâ ê óðàâíåíèÿì äëÿ
õàðàêòåðèñòèê ðàññìîòðåííûõ âûøå êîëëåêòèâíûõ
ìîä. Ðàçëîæèì ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû (ñì. [10]) äî
÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî ìàëûì îòêëîíå-
íèÿì �n è �n îò  ðåøåíèÿ. Äëÿ ïëàêåòà ñ ó÷åòîì
ñâîéñòâ ñèììåòðèè ñòàòè÷åñêîãî  ðåøåíèÿ ãàìèëü-
òîíèàí â ÿâíîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ êàê ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà:
Í
0
�
�
� �
�
�
� �
�
� � �c
n
n
c n
nm
m
3
2
1
4
2
1
4
�
�
� � � � � � � � � � � � �( ) (1 2 1 4 2 3 3 4 2 1 1 2m
�
�
�� � � � � � � � � � � �1 4 4 1 3 2 2 3 4 3 3 4), (22)
è äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (6), (7) áóäóò äëÿ ãà-
ìèëüòîíèàíà (22) óðàâíåíèÿìè Ãàìèëüòîíà äëÿ ÷å-
òûðåõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ ñ ýôôåêòèâíûìè
èìïóëüñàìè �n è ñîïðÿæåííûìè èì ýôôåêòèâíûìè
êîîðäèíàòàìè �n . Äëÿ îáúÿñíåíèÿ ïðîöåññà àêòèâà-
öèè íîðìàëüíûõ ìîä ïëàêåòà öèðêóëÿðíûì ìàãíèò-
íûì ïîëåì íåîáõîäèìî äèàãîíàëèçèðîâàòü ãàìèëü-
òîíèàí (22) (ïåðåéòè ê íîðìàëüíûì ìîäàì) è
çàïèñàòü äîáàâêó ê íåìó, ñâÿçàííóþ ñ âëèÿíèåì
âíåøíåãî ïîëÿ H int( )t , â òåðìèíàõ íîðìàëüíûõ èì-
ïóëüñîâ è êîîðäèíàò äëÿ êàæäîé èç ìîä. Ïðèâåäåì
êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (22) ê ãëàâíûì îñÿì:
H 0
2 2
0
3
1
2
�
�
�( )) *n n n n
n
P Q , (23)
ãäå ) n è * n — êîýôôèöèåíòû îáðàòíîé ìàññû è æå-
ñòêîñòè n-ãî ýôôåêòèâíîãî îñöèëëÿòîðà, çàâèñÿùèå
îò ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè � ñëåäóþùèì îáðàçîì:
) � * * �0
4 3
0 32 1 2� � � �� � �c cm /m m( ) , ,
) * � ) * �1 1 1 2 2 22 2� � � � � � �
! !( ), ( )m m ,
) �3
4 32 1�
� �c m /m( ) .
(Íàïîìíèì, ÷òî âõîäÿùèå â ýòè ôîðìóëû âåëè÷è-
íû m è m� ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè �.) ×àñòîòû íîð-
ìàëüíûõ ìîä (ýôôåêòèâíûõ îñöèëëÿòîðîâ) ! n
2
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû ) nè * n ñëåäóþùèì
îáðàçîì: ! n n n
2 � ) * , à èñõîäíûå ïåðåìåííûå � è �
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç íîðìàëüíûå «êîîðäèíàòû» è
«èìïóëüñû» òàê:
�1 0 3 1 2
1
2
�
� �( )P P m Q m Q ,
�2 0 1 2 3
1
2
�
� �� �( )P m P m P P ,
�3 0 3 1 2
1
2
�
� �� �( )P P m Q m Q ,
�4 0 1 2 3
1
2
� �
�� �( )P m P m P P ,
�1 0 2 0 3
1
2
�
� �( )P /m P /m Q Q ,
�2 0 1 2 3
1
2
� �
�� �( )Q Q /m Q /m Q ,
�3 1 2 0 3
1
2
� � �
� �( )P /m P /m Q Q ,
�4 0 1 2 3
1
2
�
� �� �( )Q Q /m Q /m Q .
(24)
2. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
âî âíåøíåì öèðêóëÿðíîì ïîëå
Ó÷òåì íàëè÷èå öèðêóëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ è
ïðîàíàëèçèðóåì ðåçîíàíñû, âîçíèêàþùèå íà íà-
÷àëüíîì ýòàïå àêòèâàöèè ñîáñòâåííûõ ìîä ïëàêåòà
ïîëåì äàííîé ñèììåòðèè.
Ðàñêëàäûâàÿ ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ ïëà-
êåòà ñ âíåøíèì öèðêóëÿðíûì ïîëåì H int( )t �
� � ��h m tn n n+ cos( )� � äî ÷ëåíîâ ïåðâîãî ïîðÿä-
êà (ïî ìàëûì äîáàâêàì � è �) è ïåðåõîäÿ ê îïèñà-
íèþ â òåðìèíàõ íîðìàëüíûõ ìîä (24), èìååì
H int [( ) ( ) ]sin( )d h m P m P t� � �
� �1 1
41 2
�
�
� � �
�h m Q m Q t[( ) ( ) ] cos( )1 1
41 2
�
� . (25)
Èíäåêñ d («direct») ââåäåí äëÿ òîãî ÷òîáû ïîä-
÷åðêíóòü, ÷òî ýòà ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñò-
âèÿ îòâåòñòâåííà çà «ïðÿìîå» ðåçîíàíñíîå âîçäåé-
ñòâèå íà ñèñòåìó. Âî âòîðîì ïîðÿäêå ïî � è � ïîñëå
àíàëîãè÷íîé ïðîöåäóðû ïîëó÷àåì
H int
p h
m P P P P
m
Q Q Q Q� ��
��
�
�
,
-
.
�
�
�
�
�
�
�
1
2
1 3 0 2
2 0 1 2 3 �
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 75
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21�
1
2
0 1 2 3
2 0 2 1 3
m P P P P
m
Q Q Q Q sin(
�
�
4
�
t)
��
��
�
�
,
-
.
�
�
�
�
�
�
�
h
m P Q P Q
m
PQ P Q1
2
0 2 3 1
2 1 0 2 3
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21�
1
2
0 1 3 2
2 2 0 1 3
m P Q P Q
m
P Q PQ cos(
�
�
4
� t).
(26)
Ïîñêîëüêó â (25) âõîäÿò òîëüêî âåëè÷èíû ñ èíäåêñà-
ìè 1 è 2, òî ïðÿìûì ðåçîíàíñíûì îáðàçîì âîçáóæäà-
þòñÿ òîëüêî ïåðâûå àçèìóòàëüíûå ìîäû. ×àñòü
ãàìèëüòîíèàíà (26) ñ èíäåêñîì p («parametric») îò-
âåòñòâåííà çà ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå ñèñòåìû,
îäíàêî, êàê óêàçûâàëîñü ðàíåå â [10] è áóäåò ïîäðîá-
íî ïîêàçàíî íèæå, ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäåíèå â
äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî íåîáû÷íûì.
Äàëüíåéøèå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ ìåíåå ãðî-
ìîçäêèìè, åñëè ïåðåéòè ê îïèñàíèþ äèíàìèêè â
òåðìèíàõ êîìïëåêñíûõ âåëè÷èí
3
)
*
*
)n
n
n
n n
n
nP
i
Q
�
4 4
2 2
, (27)
ãäå 3 è 3* èãðàþò ðîëü êëàññè÷åñêèõ àíàëîãîâ îïå-
ðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ íîðìàëüíûõ ìîä.
Ïðè ýòîì ïîëíûé ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû â êâàäðà-
òè÷íîì ïî 3 n ïðèáëèæåíèè çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
H �
�
� �
�
��1
2
1
2
12
0
3
1! n n
n
i th
i
m3 3 �[( ) *e
�
�
$( ) ]
( )*1
1
2 2
2 1m h
ii t
i t
3 3�
�
e
e
$
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
-
1
.1
�
3
*
)
)
*0 2
0
0
4 0
0
4
1 2
1
2
m
m
m
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21
�
3
*
)
)
*4
5 1 2
1
22
0
0
4 0
0
4
m
m
m
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
i m
m
mi t
3 3
*
)
)
*
�
2 0 2
0
0
4 0
0
4
1
2 2
1 2
1
2
e ( ) �
�
,
-
1
.1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21
�
�
3
*
)
)
*4
5 1 2
1
22
0
0
4 0
0
4
m
m
m
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
i m
m
mi t
3 3
*
)
)
*
�
2 3 2
3
3
4 3
3
4
1
2 2
1 2
1
2
e ( )
�
,
-
1
.1
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21
�
3
*
)
)
*
5
3 2
3
3
4 3
3
4
1 2
1
2
m
m
m
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
i m
m
mi t
3 3
*
)
)
*
�
1 3 2
3
3
4 3
3
4
1
2 2
1 2
1
2
e ( ) �
�
,
-
1
.1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
/
0
1
21
�
3
*
)
)
*
5
3 2
3
3
4 3
3
4
1 2
1
2
m
m
m
c. c., (28)
ãäå c.c. — êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå âñåãî ïðåäûäó-
ùåãî âûðàæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî, óðàâíåíèÿ äèíà-
ìèêè (ÓËË) òåïåðü çàïèñûâàþòñÿ êàê
i
d
dt
n
n
3 6
63
�
5
H
(29)
(è àíàëîãè÷íûé íàáîð êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ
óðàâíåíèé) èëè â ÿâíîì âèäå:
i
d
dt
h a ai t i t3
3 3 3� �0
0 0 1 1 2 1� �
�! ( *e e
�a ai t i t
3 2 4 23 3� �e e* ), (30)
i
d
dt
h a ai t i t3
3 3 3� �1
1 1 1 0 2 0� �
� �! ( * *e e
�b b hi t i t i t
1 3 2 3
* * )3 3 7� � �e e e , (31)
i
d
dt
h a ai t i t3
3 3 3� �2
2 2 3 0 4 0� �
! ( * *e e
� �b b hi t i t i t
3 3 4 3
* * )3 3 8� � �e e e , (32)
i
d
dt
h b bi t i t3
3 3 3� �3
3 3 1 1 2 1� �
�! ( *e e
�b bi t i t
3 2 4 23 3� �e e* ), (33)
ãäå äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ââåäåíû óïðîùåííûå îáî-
çíà÷åíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ, î÷åâèäíûì îáðàçîì
ñâÿçàííûå ñ èñõîäíûìè:
a
i t
1
2
0 1
� �
�e � 6
63 63h
H
*
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2 2
1 2
1
22
0
0
4 0
0
4
i m
m
m*
)
)
*
, ... ,
76 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
7
6
63
�
� �
�
�
e i t i
m
h
dH int
1
1
2
1
*
( ),
8
6
63
�
� � �
�
�e i t i
m
h
dH int
2
1
2
1
*
( )
è ò.ä. Âèäíî, ÷òî ó÷åò öèðêóëÿðíîãî ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ÷ëåíîâ, îòâåòñòâåííûõ
êàê çà ïðÿìîå, òàê è çà ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçáóæäå-
íèå ñîáñòâåííûõ ìîä. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî,
êàê âèäíî èç ñòðóêòóðû ïîëó÷àþùåéñÿ ñèñòåìû
óðàâíåíèé, ïàðàìåòðè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íà êàæ-
äóþ îòäåëüíóþ ìîäó â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïðî-
èñõîäèò òîëüêî îò îñòàëüíûõ ìîä ñèñòåìû, ÷òî ìî-
æåò ïðèâåñòè ê ïàðàìåòðè÷åñêîìó ðåçîíàíñó íà
êîìáèíàöèîííûõ ÷àñòîòàõ (ñì. ÷. I [10]). Íà ýòîò
ôàêò íå áûëî îáðàùåíî âíèìàíèå â [12], ãäå àâòî-
ðû íå ó÷ëè âëèÿíèÿ ïåðâîé àçèìóòàëüíîé ìîäû íà
îñíîâíóþ ñèììåòðè÷íóþ, ò.å. ïðåíåáðåãëè â ãà-
ìèëüòîíèàíå ÷ëåíàìè âèäà 3 3 3 3 3 30 0 0k k k, ,* * è
3 30
* *
k ñ k 9 0. Äðóãîé èíòåðåñíûé ôàêò çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî äëÿ âèõðÿ â öåíòðå ñèñòåìû öèðêóëÿðíîå
ìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò ïðèâîäèòü ê ïðÿìîìó ðåçî-
íàíñó òîëüêî íà ÷àñòîòàõ ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ
ìîä.  ñâîþ î÷åðåäü, áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ ïåðåêðå-
ñòíûõ ÷ëåíîâ â äèíàìè÷åñêîì óðàâíåíèè äëÿ íóëå-
âîé ìîäû, ïðÿìîé ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòå ïåðâîé àçè-
ìóòàëüíîé ìîäû òàêæå ìîæåò ïðèâåñòè ê àêòèâàöèè
íóëåâîé ìîäû.
Ðåçîíàíñíóþ êàðòèíó íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé (30)–(33) ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöè-
åíòàìè ìîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìíîãèõ
ìàñøòàáîâ [19].  îáùåì ñëó÷àå äëÿ êîððåêòíîñòè
ïîëó÷àþùåãîñÿ ðàçëîæåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìî-
äóëè ïåðèîäè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ áûëè ìíîãî
ìåíüøå ìîäóëåé ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ óðàâ-
íåíèé. Ýòî âåðíî ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà
h n�� ! . Ïîñêîëüêó â ñëó÷àå ïëàêåòà ñîáñòâåííûå
÷àñòîòû ïîðÿäêà åäèíèöû, òî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âû-
ïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî h �� 1, ò.å. óñëîâèå ñëàáîé
íàêà÷êè.
 ñîîòâåòñòâèå ñ ìåòîäîì ìíîãèõ ìàñøòàáîâ çà-
ìåíÿåì èñòèííîå âðåìÿ t íà íàáîð «âðåìåí» Tk,
ïîëàãàÿ
3 3 3n n nh t T T T h T T T( ; ) ( , , ...) ( , , ...) ...,�
0
0 1 2
1
0 1 2
(34)
ãäå T h Tk
k� 0 — ðàçëè÷íûå âðåìåííûå ìàñøòàáû è
d
dt T
h
T
D hD�
�
6
6
6
60 1
0 1... � � ... . (35)
Ïîäñòàâëÿÿ (34), (35) â (30)–(33), â íóëåâîì
ïðèáëèæåíèè èìååì
iD n n n
�
03 3� ! è 3 n nA0 � ( , ) exp( )T T i Tn1 2 0� ! .
 ïåðâîì ïîðÿäêå ïî h ïîëó÷àåì íåîäíîðîäíóþ
ñèñòåìó âèäà
iD iD A a Ai T i T� � ( )
0 0
1
0 0
1
1 0 1 1
0 0 1 03 3 �� � �
� �! ! !e e
� �
a A a A a Ai T i T i T
2 1 3 2 4 2
1 0 2 0 2 0* ( ) ( ) * ( )e e e! ! !� � �
(36)
è àíàëîãè÷íûå îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ
3 n n1 1 2 3, , , .� Â ñîîòâåòñòâèå ñ òåîðèåé Ôëîêå [19],
íà ãðàíèöå, îòäåëÿþùåé îáëàñòü ýêñïîíåíöèàëüíî
íàðàñòàþùèõ ðåøåíèé îò îáëàñòè íåðàñòóùèõ ðå-
øåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êîýô-
ôèöèåíòàìè, ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ïåðèîäè÷å-
ñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîïàñòü íà
êðèâóþ (â òåðìèíàõ � �� ( )h ), ãäå ðåøåíèÿ ÷èñòî
ïåðèîäè÷åñêèå, íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü ñåêóëÿðíûå
÷ëåíû èç ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé (36). Åñëè êîì-
áèíàöèîííûå ÷àñòîòû íåîäíîðîäíûõ ÷ëåíîâ
� �� ! n äàëåêè îò ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò, òî �D An1 0�
è A A Tn n� ( ,...)2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòîòà âíåø-
íåé íàêà÷êè òàêîâà, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
� :�
! !0 1 h , (37)
ãäå : — ïàðàìåòð ðàññòðîéêè. Òîãäà èç óñëîâèÿ èñ-
êëþ÷åíèÿ ðåçîíàíñíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì èç (36):
�
��iD A a A i T� *
1 0 2 1
1 0e : , (38)
�
��iD A a A i T� *
1 1 2 0
1 0e : (39)
èëè
� �* * *D A i D A a A1
2
1 1 1 2
2
1 0
� �: ,
ãäå ó÷òåíî, ÷òî T hT1 0� , à òàêæå îñòàëüíûå óðàâ-
íåíèÿ � , ,D A nn1 0 2 3� � . Îòñþäà, ïîëàãàÿ A1
* �
� A T i T1 2 1
*( ,...) exp( º ), èìååì
º � � �
: :
2 4
2
2
2a . (40)
Âèäíî, ÷òî âîçðàñòàþùèå ðåøåíèÿ (ò.å. ïàðàìåòðè-
÷åñêèé ðåçîíàíñ íà äàííîé êîìáèíàöèîííîé ÷àñòîòå)
ñóùåñòâóþò ïðè óñëîâèè a2
2 0� , ÷òî, î÷åâèäíî, âû-
ïîëíÿåòñÿ, à ñàì âèä ðåçîíàíñíîé êðèâîé � �� ( )h ,
îòäåëÿþùåé îáëàñòü óñòîé÷èâûõ êîëåáàíèé îò
ýêcïîíåíöèàëüíî ðàñòóùèõ ðåøåíèé, â ïåðâîì ïðè-
áëèæåíèè ïî h èìååò âèä
�( )h h a�
�! !0 1 22 . (41)
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 77
Òàêèì îáðàçîì, íàáëþäàåòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèé ðå-
çîíàíñ íà ïîëîæèòåëüíîé êîìáèíàöèîííîé ÷àñòîòå
! !0 1
. Ïðîâîäÿ àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå âñåõ
îñòàëüíûõ ñëó÷àåâ, ìîæíî ïîêàçàòü, ñëåäóþùåå.
1. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ íà ïîëîæèòåëüíîé
÷àñòîòå � � �! !1 0 îòñóòñòâóåò.
2. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ íà îòðèöàòåëüíîé
÷àñòîòå � � �! !0 2 òàêæå îòñóòñòâóåò.
3. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ íà îòðèöàòåëüíîé
÷àñòîòå � � � �! !0 2 ñóùåñòâóåò, à ðåçîíàíñíàÿ
êðèâàÿ èìååò âèä
�( )h h a� � � �! !0 2 42 . (42)
Òàêèì îáðàçîì, â ïëàêåòå âîçìîæíû ïàðàìåòðè÷å-
ñêèå ðåçîíàíñû ëèøü íà ÷àñòîòàõ ! !0 1
è
� �! !0 2. Ïîñêîëüêó ! !1 29 äëÿ ëþáîãî � èç
îáëàñòè � �� c, òî î÷åâèäíà àñèììåòðèÿ ðåçîíàíñ-
íîé êàðòèíû îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ÷àñòî-
òû âíåøíåé íàêà÷êè. Âûâîäû î íàëè÷èè â ñèñòåìå
ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà (ïî
àìïëèòóäå ïîëÿ) íà êîìáèíàöèîííûõ ÷àñòîòàõ,
âêëþ÷àþùèõ ñóììó (ñ ñîîòâåòñòâóþùèì çíàêîì)
÷àñòîòû ñèììåòðè÷íîé è ïåðâîé àçèìóòàëüíîé
ìîäû, ñîâïàäàþò ñ äàííûìè àíàëèçà ÷. I [10], ãäå,
îäíàêî, íå îáñóæäàëàñü ÷àñòîòíàÿ àñèììåòðèÿ.
 ñèñòåìå (30)–(33) ñóùåñòâóþò òàêæå è ïðÿìûå
ðåçîíàíñû ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî h: íà ÷àñòîòå � � � !2
è íà ÷àñòîòå � � !1 ñ ðàçëè÷íûìè «ìîùíîñòÿìè» —
àìïëèòóäíûìè ìíîæèòåëÿìè 8 ~ ( )1 � m è 7 ~ ( )1
m
èç óðàâíåíèé (31), (32) (ñì. ðèñ. 3,a). Òàêèì îáðàçîì,
êàðòèíà ïðÿìûõ ðåçîíàíñîâ òàêæå àñèììåòðè÷íà ïî
îòíîøåíèþ ê èçìåíåíèþ çíàêà ÷àñòîòû íàêà÷êè. Íà
ðèñ. 3,á ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü «ìîùíîñòè» ïà-
ðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ â ñèñòåìå îò ïàðàìåòðà
àíèçîòðîïèè � â îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ âíåïëîñêî-
ñòíîãî âèõðÿ (ò.å. çàâèñèìîñòü îò � âåëè÷èíû óãëà
ðàñòâîðà êðèâîé � �� ( )hcr , îãðàíè÷èâàþùåé îá-
ëàñòü ýêñïîíåíöèàëüíîé íåóñòîé÷èâîñòè). Ìîù-
íîñòü ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà îïðåäåëåíà êàê
P apar arctg� �� 2 2 2( ) äëÿ ðåçîíàíñà 3 íà ÷àñòîòå
! !0 1
è òî æå ñ a4 äëÿ ðåçîíàíñà 4 íà ÷àñòîòå
� �! !0 1, P c12 0, ( )par � � . Èç ïðèâåäåííûõ çàâèñèìî-
ñòåé ëåãêî îïðåäåëèòü â êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
äîëæíû âîçíèêàòü ðåçîíàíñû (ïðè ó÷åòå çàòóõàíèÿ)
ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ h.
Äëÿ ïðÿìûõ ðåçîíàíñîâ ñíà÷àëà äîëæåí ïðîÿâèòüñÿ
ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòå � � �!2, îáëàäàþùèé áîëüøåé
ìîùíîñòüþ. Äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ ýòî
ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòå � �
! !0 1. Íà ðèñ. 4 äëÿ
ïðÿìûõ ðåçîíàíñîâ ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåíà
çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû êîëåáàíèé îò ÷àñòîòû (àì-
ïëèòóäíî-÷àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè), à äëÿ ïàðà-
ìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ — çàâèñèìîñòè êðèòè÷åñêîé
âåëè÷èíû àìïëèòóäû âíåøíåãî ïîëÿ îò ÷àñòîòû íà-
êà÷êè (êðèòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè).
Ïðîâîäÿ äàëüíåéøåå ðàçëîæåíèå ïî ìåòîäó ìíî-
ãèõ ìàñøòàáîâ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âî âòîðîì ïî-
ðÿäêå ïî h âîçíèêàåò òîëüêî ïåðåíîðìèðîâêà ðåçî-
íàíñíûõ ÷àñòîò â ìåðó ìàëîé âåëè÷èíû h2, è
äîïîëíèòåëüíûå ðåçîíàíñû îòñóòñòâóþò.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè àêòèâàöèè íèçêî÷àñòîòíûõ
ìîä âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ êàðòèíà: ïðè èçìåíåíèè
íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ âíåøíåãî öèðêóëÿðíîãî
ïîëÿ ðîëü íèæàéøåé ïåðâîé àçèìóòàëüíîé ìîäû íà-
÷èíàåò èãðàòü ñëåäóþùàÿ àçèìóòàëüíàÿ ìîäà (êàê
îòìå÷àëîñü â ðÿäå ïðåäûäóùèõ ðàáîò, ýòè ìîäû
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñïèíîâûå âîëíû, âðàùàþ-
ùèåñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ), ÷òî ïðè-
âîäèò ê ÷àñòîòíîé àñèììåòðèè íàáëþäàþùåãîñÿ ðå-
çîíàíñíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè èçìåíåíèè çíàêà �.
 îáùåì ñëó÷àå «ìîùíîñòü» ðåçîíàíñà (îïðåäåëÿå-
ìàÿ çíà÷åíèåì àìïëèòóäíûõ ìíîæèòåëåé äëÿ ïðÿ-
ìîãî ðåçîíàíñà è óãëîì ðàñòâîðà õàðàêòåðèñòèê
78 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòè «ìîùíîñòåé» ïðÿìîãî (à) è ïàðà-
ìåòðè÷åñêîãî (á) ðåçîíàíñîâ îò ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè
â  îáëàñòè. Ïóíêòèð ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ � � 097, ,
ïðè êîòîðîì ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû.
� �� ( )hcr âèäà (41),(42) äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî)
òàêæå ðàçëè÷íà äëÿ ðàçíîãî íàïðàâëåíèÿ âðàùåíèÿ
ïîëÿ íàêà÷êè äàæå â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Íåîá-
õîäèìî îòìåòèòü, ÷òî çàìå÷àíèÿ, êàñàþùèåñÿ íàëè-
÷èÿ ïðÿìîãî ðåçîíàíñà, âåðíû è â ñëó÷àå ïðîèçâîëü-
íîé ñèñòåìû ñ ôèêñèðîâàííîé ãðàíèöåé, ïîñêîëüêó
ïðè âûâîäå äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèé ó÷èòûâàëè
ëèøü ñèììåòðèþ ñàìèõ ìîä è âíåøíåãî ïîëÿ. Íàëè-
÷èå æå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà îïðåäåëÿåòñÿ
çíàêîì, ñòîÿùèì ïåðåä êîýôôèöèåíòîì ai
2 â óñëî-
âèÿõ âèäà (40) äëÿ ðàçíûõ ìîä, à ìîùíîñòü òîãî
èëè èíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà (åñëè îí
ïðèñóòñòâóåò) çàâèñèò óæå îò âåëè÷èíû ai
2, êîòî-
ðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü çàâèñèò îò êîíôèãóðàöèè ñòàòè-
÷åñêîãî âèõðåâîãî ðåøåíèÿ â ñèñòåìå (à çíà÷èò è ñà-
ìîé ñèñòåìû) è âåëè÷èíû àíèçîòðîïèè. Ïîýòîìó
ïðè ïåðåõîäå îò ìàëîãî ïëàêåòà ê ìàêðîñêîïè÷åñêîé
ñèñòåìå âîçìîæíî êîëè÷åñòâåííîå èçìåíåíèå ðå-
çóëüòàòîâ. Îäíàêî, ïîëüçóÿñü âûøåîïèñàííîé ïðî-
öåäóðîé, íåñëîæíî âûâåñòè íàáîð êðèòåðèåâ (ïîäîá-
íûõ âûâåäåííûì íàìè äëÿ ñëó÷àÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
íóëåâîé è àçèìóòàëüíûõ ìîä), êîòîðûå ïîçâîëÿþò
ïðåäñêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçî-
íàíñà íà êîìáèíàöèîííûõ ÷àñòîòàõ, èñõîäÿ èç çíà-
íèÿ ñòàòè÷åñêîãî äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñïèíîâ
â ÂÂ. Ðåçóëüòàòû îòíîñèòåëüíî íàëè÷èÿ ïðÿìîãî
ðåçîíàíñà íà ÷àñòîòàõ ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ ìîä
òàêæå îñòàþòñÿ â ñèëå ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåì ñî
ñâîáîäíîé ãðàíèöåé. Íî ïðè ýòîì íèæàéøàÿ íóëå-
âàÿ ìîäà îòñóòñòâóåò (èìååò ÷àñòîòó òîæäåñòâåííî
ðàâíóþ íóëþ), ÷òî êà÷åñòâåííî èçìåíÿåò êàðòèíó
êîìáèíàöèîííûõ ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ â
ñèñòåìå. Îäíàêî, êàê óêàçûâàëîñü â [12], èçìåíåíèå
âèäà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íå âëå÷åò ñóùåñòâåííîé ïå-
ðåñòðîéêè ðåçîíàíñíîé êàðòèíû. Ïîýòîìó ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî îñíîâíûì ýôôåêòîì äîëæåí áûòü
ïðÿìîé ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòàõ ïåðâûõ àçèìóòàëüíûõ
ìîä, ÷òî è íàøëî ïîäòâåðæäåíèå â íàøèõ ïîñëåäóþ-
ùèõ ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèÿõ.
3. ×èñëåííûé àíàëèç äèíàìèêè ñïèíîâîãî
ïëàêåòà â öèðêóëÿðíîì ìàãíèòíîì ïîëå
Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ è ïðîâåðêè ðåçóëüòàòîâ àíà-
ëèòè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ ìåõàíèçìà ïåðåâîðîòà
âèõðÿ, ïðîâåäåííîãî â ðàçä. 2, à òàêæå äëÿ ïîíèìà-
íèÿ ñâÿçè ëèíåéíîãî àíàëèçà ñ èñòèííîé ôèçè÷å-
ñêîé êàðòèíîé (ïîñêîëüêó ñàì ïåðåâîðîò ÿâëÿåòñÿ
ñóùåñòâåííî íåëèíåéíûì ÿâëåíèåì, ðåçîíàíñíàÿ
àêòèâàöèÿ ñîáñòâåííûõ ìîä ñèñòåìû âíåøíèì
ïîëåì íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàííî ïðèâîäèòü ê
èçìåíåíèþ ïîëÿðèçàöèè ÂÂ, ïîýòîìó ëèíåéíîãî
ðàññìîòðåíèÿ çäåñü íåäîñòàòî÷íî), ïðîâåäåíà ñåðèÿ
÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïðîìîäåëèðîâàí ïðî-
öåññ ïåðåâîðîòà ÂÂ äëÿ ïëàêåòà. Ñèñòåìà èç âîñüìè
íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé (1), (2) äëÿ ïëàêåòà áûëà
ïðîèíòåãðèðîâàíà ìåòîäîì Ðóíãå—Êóòòà ïðè ðàç-
ëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ÷àñòîòû è àìïëèòóäû âíåøíåãî
ïîëÿ. Âûáðàíî çíà÷åíèå ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè � �
= 0,97, ïðè êîòîðîì â ÂÂ êîíôèãóðàöèè ïîëíàÿ
z-ïðîåêöèÿ íàìàãíè÷åííîñòè |M| = 4|m| � 1,12 äîñòà-
òî÷íî âåëèêà äëÿ òî÷íîãî îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëå-
íèÿ ïîëÿðèçàöèè âèõðÿ.  òî æå âðåìÿ ñòàòè÷åñêîå
çíà÷åíèå m � 0,28, ñóùåñòâåííî ìåíüøåå åäèíèöû,
ïîçâîëÿåò ïðîâîäèòü èíòåãðèðîâàíèå, îïðåäåëÿÿ íà-
ïðàâëåíèå ñïèíîâîãî âåêòîðà â ñôåðè÷åñêèõ ïðîåê-
öèÿõ, ÷òî îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ Sn � 1
áåç äîïîëíèòåëüíûõ ïðîöåäóð è çàòðàò êîìïüþòåð-
íîãî âðåìåíè.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîé êîíôèãóðàöèè
âûáðàíî ñòàòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (5) ñ p = 1 (ñïè-
íû íàïðàâëåíû ââåðõ) äëÿ ÂÂ, íàõîäÿùåãîñÿ òî÷íî
â öåíòðå ïëàêåòà, ïîñëå ÷åãî âêëþ÷àëè âíåøíåå
ïîëå è îòñëåæèâàëè äèíàìè÷åñêîå ïîâåäåíèå êàæäî-
ãî èç ÷åòûðåõ ñïèíîâ. Äëÿ ñòàáèëèçàöèè ñèñòåìû
ó÷èòûâàëè ñëàáîå çàòóõàíèå � � ; �6 10 3 (÷òî îáåñïå-
÷èâàëî ëèøü íåçíà÷èòåëüíóþ ïåðåíîðìèðîâêó ñîá-
ñòâåííûõ ÷àñòîò ñèñòåìû â ìåðó �2). Ñîáñòâåííûå
÷àñòîòû äëÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè
� � 0,97 ñëåäóþùèå: ÷àñòîòà íóëåâîé ìîäû (14)
!0 � 0,55; ÷àñòîòà íèæíåé ïåðâîé àçèìóòàëüíîé
ìîäû (16) !1 � 1,38; ÷àñòîòà âåðõíåé ïåðâîé àçèìó-
òàëüíîé ìîäû (18) !2 � 2,5; ÷àñòîòà âòîðîé àçèìó-
òàëüíîé ìîäû (20) !3 2 68� , (ñì. ðèñ. 1). Â ïåðâóþ
î÷åðåäü áûëè íàéäåíû çàâèñèìîñòè âðåìåíè ïåðåâî-
ðîòà âèõðÿ < îò ÷àñòîòû öèðêóëÿðíîé íàêà÷êè ïðè
ðàçëè÷íîé âåëè÷èíå àìïëèòóäû âíåøíåãî öèðêó-
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 79
Ðèñ. 4. Óñëîâíàÿ ñõåìà îñíîâíûõ ðåçîíàíñîâ ïëàêåòà ñ
âèõðåì: äëÿ ïðÿìûõ ðåçîíàíñîâ ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè
àìïëèòóä êîëåáàíèÿ ñïèíîâ îò ÷àñòîòû íàêà÷êè, à äëÿ
ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ — õàðàêòåðèñòè÷åñêèå êðè-
âûå �( )hcr è îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè (çàøòðèõîâàíû).
Äëÿ êàæäîé èç ðåçîíàíñíûõ êðèâûõ êà÷åñòâåííî ó÷òåíî
íàëè÷èå êîíå÷íîãî çàòóõàíèÿ. Èíäåêñû 1, 2, 3, 4 àäåê-
âàòíû ðèñ. 3. Ïóíêòèð ñîîòâåòñòâóåò ðåçîíàíñàì, íàé-
äåííûì ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè.
ëÿðíîãî ïîëÿ h. Ýòè çàâèñèìîñòè ïðåäñòàâëåíû íà
ðèñ. 5. Âðåìåíåì ïåðåâîðîòà ñ÷èòàëè ìîìåíò âðåìå-
íè, â êîòîðûé ïîëíàÿ z-ïðîåêöèÿ íàìàãíè÷åííîñòè
ñèñòåìû ñòàíîâèëàñü ðàâíîé íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ñ
ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì: M = – 1,12. Íà ðèñ.
5,à,á,â âèäíî, ÷òî âíà÷àëå (ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ h)
ïåðâûé ïåðåâîðîò ïðîèñõîäèò íà îòðèöàòåëüíîé
÷àñòîòå � � – ,2 43 (ðèñ. 5,à). Ïðè óâåëè÷åíèè àìïëè-
òóäû ïîëÿ äîáàâëÿåòñÿ åùå îäíà îáëàñòü íà ïîëîæè-
òåëüíûõ ÷àñòîòàõ ñ � � 1 46, (ðèñ. 5,á). Íàêîíåö, ïðè
åùå áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ âíåøíåãî ïîëÿ âîçíèêàåò
òðåòüÿ îáëàñòü ïåðåâîðîòà íà ïîëîæèòåëüíûõ ÷àñòî-
òàõ ñ � � 192, (ðèñ. 5,â).
Ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà ñ
äàííûìè àíàëèòè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ ìåõàíèçìà
àêòèâàöèè ñîáñòâåííûõ ìîä ïëàêåòà, à òàêæå
ó÷èòûâàÿ çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ñèñòåìû ïðè
� � 0 97, , ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî íàèáîëåå âûðà-
æåííûì ÿâëÿåòñÿ ïåðåâîðîò, ñâÿçàííûé ñ ïðÿìûì
ðåçîíàíñîì íà îòðèöàòåëüíîé ÷àñòîòå âåðõíåé ïåð-
âîé àçèìóòàëüíîé ìîäû � � �!2, çàòåì áîëåå ñëà-
áûé ïðÿìîé ðåçîíàíñ íà ÷àñòîòå íèæíåé àçèìóòàëü-
íîé ìîäû � � !1, à äàëåå âèäåí ñàìûé ñèëüíûé
ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçîíàíñ íà êîìáèíàöèîííîé ÷àñ-
òîòå � �
! !0 1. Ñëàáîå îòëè÷èå âåëè÷èí ÷àñòîò,
íà êîòîðûõ íàáëþäàëè ïåðåâîðîò, îò çíà÷åíèÿ ñîá-
80 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
Ðèñ. 5. ×èñëåííî íàéäåííûå çàâèñèìîñòè âðåìåíè ïåðå-
âîðîòà âèõðÿ îò ÷àñòîòû âíåøíåãî ïîëÿ ïðè ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèÿõ åãî àìïëèòóäû h, 10-2: 0,65 (a), 0,8 (á), 1,05
(â). Èñïîëüçîâàííîå çíà÷åíèå çàòóõàíèÿ � � ; �06 10 2, .
Ñòðåëêè ïîêàçûâàþò çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ðåçîíàíñîâ, ïðåä-
ñêàçàííûõ àíàëèòè÷åñêè.
Ðèñ. 6. Âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ïîëíîé z-êîìïîíåíòû íà-
ìàãíè÷åííîñòè äëÿ ïðÿìîãî (à) è ïàðàìåòðè÷åñêîãî (á)
ðåçîíàíñîâ. Âåëè÷èíà ïîëÿ h = 1,1;10–2.
ñòâåííûõ ÷àñòîò, ïî-âèäèìîìó, îáóñëîâëåíî äåôîð-
ìàöèåé àìïëèòóäíî-÷àñòîòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ
ïðÿìîãî ðåçîíàíñà è âèäà êðèâûõ �( )hcr äëÿ ïàðà-
ìåòðè÷åñêîãî, âûçâàííîé íåëèíåéíîñòüþ, à òàêæå
íåëèíåéíûì ñäâèãîì ÷àñòîò (èçìåíåíèåì ñîáñòâåí-
íûõ ÷àñòîò â ìåðó h2 òàêæå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïî-
ñêîëüêó àìïëèòóäà ïðèëîæåííîãî ïîëÿ äîñòàòî÷íî
ìàëà). Íà ðèñ. 6,à,á ïðåäñòàâëåíû çàâèñèìîñòè
M t m t m t m t m t( ) ( ) ( ) ( ) ( )�
1 2 3 4 äëÿ îáëàñòåé
ïåðåâîðîòà � � �2 43, è 1,92. (Âèä çàâèñèìîñòè M t( )
äëÿ ïåðåâîðîòà ïðè � � 1 46, ïðèíöèïèàëüíî íè÷åì
íå îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 6,à.) Èç
ñðàâíåíèÿ ýòèõ ðèñóíêîâ âèäíî êà÷åñòâåííîå îòëè-
÷èå ïðîöåññà àêòèâàöèè äëÿ ýòèõ îáëàñòåé — ïåðå-
âîðîò íà ÷àñòîòàõ ïðÿìûõ ðåçîíàíñîâ � � !1 è �!2
ïðîèñõîäèò áûñòðî, ñ î÷åíü ìàëûì âðåìåíåì àêòè-
âàöèè, ÷òî è äîëæíî íàáëþäàòüñÿ ïðè ïðÿìîì
ðåçîíàíñå. Íà ÷àñòîòå ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà
ïðîèñõîäèò áîëåå ìåäëåííîå ýêñïîíåíöèàëüíîå íà-
ðàñòàíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé.
Íà ðèñ. 7 íà îäíîì ãðàôèêå ïðèâåäåíû çàâèñè-
ìîñòè îò âðåìåíè ïîëíîé z-ïðîåêöèè ñïèíîâ è ïëî-
ñêîñòíîé êîìïîíåíòû ïîëíîé íàìàãíè÷åííîñòè
M t S Sn n
x
n n
y
� �
( ) ( ) ( )+ +2 2 äëÿ ïåðåâîðîòà íà
÷àñòîòå � � �2 43, (äëÿ � � 1 46, âèä ýòèõ çàâèñèìî-
ñòåé ïðèíöèïèàëüíî íå îòëè÷àåòñÿ). Åñëè ïåðåâî-
ðîò âèõðÿ ñâÿçàí ñ àêòèâàöèåé ëèøü ñèììåòðè÷íîé
ìîäû, òî â ïðîöåññå ïåðåâîðîòà äîëæíî ñîáëþäàòü-
ñÿ ðàâåíñòâî M� � 0. Åñëè æå â íåì ó÷àñòâóþò
àçèìóòàëüíûå ìîäû, òî ïîëíàÿ ïëîñêîñòíàÿ íàìàã-
íè÷åííîñòü äîëæíà îòëè÷àòüñÿ îò 0. Âèä ïîëó÷åí-
íûõ çàâèñèìîñòåé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì,
÷òî ïî êðàéíåé ìåðå íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïåðåâîðîòà
ðåçêî âîçáóæäàþòñÿ èìåííî ïåðâûå àçèìóòàëüíûå
ìîäû. Â äàëüíåéøåì ñàì ïåðåâîðîò óæå èìååò ñèì-
ìåòðèþ íóëåâîé ìîäû, ÷òî ïîäòâåðæäàåò àíàëèòè-
÷åñêîå çàêëþ÷åíèå î òîì, ÷òî ïåðâûå àçèìóòàëüíûå
ìîäû èãðàþò ðîëü ñâîåîáðàçíîãî «êàòàëèçàòîðà» â
ïðîöåññå ïåðåâîðîòà: íàðàñòàíèå àìïëèòóäû ýòèõ
ìîä ïðèâîäèò ê àêòèâàöèè íóëåâîé ìîäû, êàê
âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ â äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ
(30)–(33) ïåðåêðåñòíûõ ÷ëåíîâ, òàê è èç-çà íåëè-
íåéíîãî ìåæìîäîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (êîãäà àì-
ïëèòóäû ìîä ñòàíîâÿòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè). Â
ñâîþ î÷åðåäü äëÿ ñèñòåì ñ ôèêñèðîâàííîé ãðàíèöåé
ýíåðãåòè÷åñêè íàèáîëåå âûãîäåí ïåðåâîðîò, ñâÿçàí-
íûé ñ àêòèâàöèåé ñèììåòðè÷íîé ìîäû, ÷òî ñîâïàäà-
åò ñ óòâåðæäåíèåì àâòîðîâ ðàáîòû [12].
Áëàãîäàðÿ ÷èñëåííîìó àíàëèçó ìîæíî ñäåëàòü
âûâîä, ÷òî íàèáîëåå âàæíûì â ïðîöåññå àêòèâàöèè
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîå âîçäåéñòâèå íà ÷àñòîòàõ àçèìóòàëü-
íûõ ìîä, ÷òî ïðèâîäèò ê âòîðè÷íîé àêòèâàöèè íóëå-
âîé ìîäû, è ñàì ïðîöåññ ïåðåâîðîòà óæå èìååò â îñ-
íîâíîì ñèììåòðèþ ýòîé íóëåâîé ìîäû.
Ïðîâîäÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè ñïèíîâîãî ïëà-
êåòà ìû íå îáíàðóæèëè ðàçðóøåíèÿ âèõðåâîé êîí-
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 81
Ðèñ. 7. Âðåìåííûå çàâèñèìîñòè ïîëíîé z-êîìïîíåíòû M è ïëîñêîñòíîé êîìïîíåíòû M� (ñì. òàêæå âñòàâêó) íàìàãíè-
÷åííîñòè. Âåëè÷èíà ïîëÿ h = 0,9;10–2.
ôèãóðàöèè êîëåáàíèÿìè áîëüøîé àìïëèòóäû â ñëó-
÷àå ïîëîæèòåëüíîãî çíàêà ÷àñòîòû öèðêóëÿðíîé
íàêà÷êè (÷òî íàáëþäàëîñü â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåí-
òàõ àâòîðàìè ðàáîòû [12]). Ïî-âèäèìîìó, ýòî ñâÿçà-
íî ñ òåì, ÷òî ïðè ïëàêåòíîì ðàññìîòðåíèè ó íàñ
ïðàêòè÷åñêè íåò ðàçëè÷èÿ â àìïëèòóäàõ ïåðåâîðà-
÷èâàþùåãî ïîëÿ äëÿ ñëó÷àÿ ïåðåâîðîòà ïðè ïîëî-
æèòåëüíîé è îòðèöàòåëüíîé ÷àñòîòå, è ýòîò ýôôåêò
ñòàíîâèòñÿ çàìåòåí ëèøü äëÿ ñèñòåì áîëüøîãî ðàç-
ìåðà. Îäíàêî ïëàêåòíîå ðàññìîòðåíèå î÷åâèäíî
äàåò îáúÿñíåíèå íåýêâèâàëåíòíîñòè çíàêà ÷àñòîòû â
ïðîöåññå ïåðåâîðîòà. Òàêæå â ÷èñëåííîì ìîäåëèðî-
âàíèè ìû íå äîñòèãëè çíà÷åíèÿ àìïëèòóäû ïîëÿ,
ïðè êîòîðîì áûë áû çàìåòåí ïàðàìåòðè÷åñêèé ðåçî-
íàíñ íà îòðèöàòåëüíîé ÷àñòîòå � � � �! !0 2. Îäíà-
êî, êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàçä. 2, ïàðàìåòðè÷åñêèé
ðåçîíàíñ íà ýòîé ÷àñòîòå îáëàäàåò ìåíüøåé ìîùíî-
ñòüþ, ÷åì ðåçîíàíñ ïðè � �
! !0 1.
Çàêëþ÷åíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîäðîáíî èññëåäîâàí íîâûé
ìåõàíèçì ïðîöåññà èçìåíåíèÿ ïîëÿðíîñòè ÂÂ â
ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå â öèðêóëÿðíîì
ïîëå, ïðåäëîæåííûé â ÷. I [10] è ïðèíöèïèàëüíî îò-
ëè÷àþùèéñÿ îò ðàññìîòðåííîãî ðàíåå â ðàáîòå [12].
Êà÷åñòâåííîå ïðèáëèæåííîå ðàññìîòðåíèå ïðîöåññà
ïåðåâîðîòà âèõðÿ èç ñòàòüè [10] ïîäêðåïëÿåòñÿ àíà-
ëèçîì ýòîãî ïðîöåññà â íåáîëüøîì ñïèíîâîì ïëàêå-
òå, äëÿ êîòîðîãî óäàåòñÿ ïðîâåñòè òî÷íîå àíàëèòè÷å-
ñêîå ðàññìîòðåíèå ëèíåéíîé çàäà÷è îá àêòèâàöèè
ñîáñòâåííûõ ìîä öèðêóëÿðíîé íàêà÷êîé. Ñóòü
ïðåäëîæåííîãî ìåõàíèçìà àêòèâàöèè ñèñòåìû çà-
êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íèçêî÷àñòîòíîå öèðêóëÿðíîå
âíåøíåå ïîëå âîçáóæäàåò íàèáîëåå íèçêîëåæàùèå
àçèìóòàëüíûå ìîäû, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿ-
þòñÿ «êàòàëèçàòîðîì» äëÿ íàðàñòàíèÿ àìïëèòóäû
íóëåâîé «ñèììåòðè÷íîé» ìîäû, êîòîðîå è ïðèâîäèò
ê ïåðåâîðîòó âèõðÿ. Ïðîâåäåííûå èññëåäîâàíèÿ è
ñðàâíåíèå äàííûõ íàñòîÿùåé ðàáîòû ñ ðåçóëüòàòà-
ìè ïåðâîé ÷àñòè ïîêàçûâàþò, ÷òî, ïî-âèäèìîìó,
ýòîò íåîáû÷íûé ìåõàíèçì ñìåíû ïîëÿðíîñòè ÿâëÿ-
åòñÿ äîìèíèðóþùèì äëÿ âèõðåé, íàõîäÿùèõñÿ íå-
äàëåêî îò öåíòðà ñèñòåìû, è ïîëíîñòüþ ïîäàâëÿåò
ïðåäëîæåííûé ðàíåå â [12] ìåõàíèçì íåïîñðåäñò-
âåííîé àêòèâàöèè ñèììåòðè÷íîé ìîäû, ñâÿçàííûé ñ
íåñèììåòðèåé âèõðÿ èç-çà åãî ñìåùåíèÿ èç öåíòðà
ñèñòåìû. Ïðåäëîæåíà ñõåìà ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèÿ,
ïîçâîëÿþùåãî ïî êîýôôèöèåíòàì ëèíåéíûõ óðàâ-
íåíèé (êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ñòàòè÷åñêèì
ðàñïðåäåëåíèåì íàìàãíè÷åííîñòè â ÂÂ) ïðåäñêà-
çàòü âîçìîæíîñòü ïàðàìåòðè÷åñêèõ ðåçîíàíñîâ íà
êîìáèíàöèîííûõ ÷àñòîòàõ. Îòìåòèì, ÷òî â äàííîì
âîïðîñå ðàññìîòðåíèå ïëàêåòà ïîçâîëÿåò ïðîèçâåñòè
îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû ñ ôèê-
ñèðîâàííîé ãðàíèöåé, à âûâîäû ïî ïîâîäó ïðÿìîãî
ðåçîíàíñà íà ÷àñòîòå àçèìóòàëüíûõ ìîä ñ ñîîòâåòñò-
âóþùèì çíàêîì ïðèãîäíû äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñèñòå-
ìû ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ëþáîãî òèïà, ÷òî ñîâ-
ïàäàåò ñ çàêëþ÷åíèÿìè, ïðèâåäåííûìè â [10].
Ïîëó÷åííûå äàííûå, à òàêæå ñðàâíåíèå ñ ïðåäû-
äóùèìè ÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè [12] äàþò âîç-
ìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ áîëåå êîððåêòíîé (ïðèãîäíîé
äëÿ âèõðÿ, ðàñïîëîæåííîãî áëèçêî ê öåíòðó ñèñòå-
ìû) äâóõìîäîâîé ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññà èç-
ìåíåíèÿ âèõðåâîé ïîëÿðèçàöèè: íàèáîëåå ïðîñòàÿ
ìîäåëü äîëæíà â ëèíåéíîì ïðåäåëå äàâàòü ðåçóëü-
òàòû íàøåãî ëèíåéíîãî ðàññìîòðåíèÿ è ôåíîìåíî-
ëîãè÷åñêè ó÷èòûâàòü â ãàìèëüòîíèàíå íåëèíåéíûå
÷ëåíû âèäà | | | | , , ,3 3n k n k2 2 0 1� . Îäíàêî, ïðè ïî-
ñòðîåíèè òàêèõ ìîäåëåé íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òî
îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî íåñìîòðÿ íà ôîðìàëüíóþ ýêâè-
âàëåíòíîñòü ìåõàíèçìà ïåðåâîðîòà èç ñîñòîÿíèÿ ñ
p p� � �1 1â è íàîáîðîò (ïðè çàìåíå íèæàéøåé
àçèìóòàëüíîé ìîäû ñëåäóþùåé, âðàùàþùåéñÿ â
ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó), ïåðåâîðîò ïîä âëèÿíè-
åì íåñèììåòðè÷íîãî âîçäåéñòâèÿ (â ÷àñòíîñòè, ïðè
íàêà÷êå öèðêóëÿðíûì ïîëåì) èìååò ïðèîðèòåòíîå
íàïðàâëåíèå è, òàêèì îáðàçîì, ïîäîáíûå ìîäåëè
ìîãóò àäåêâàòíî îïèñûâàòü ïåðåâîðîò òîëüêî â îä-
íîì íàïðàâëåíèè.  êîíå÷íîì èòîãå àñèììåòðèÿ
ïðîöåññà ñìåíû ïîëÿðèçàöèè âèõðÿ ñâÿçàíà ñî ñíÿ-
òèåì âûðîæäåíèÿ ÷àñòîòíûõ çàâèñèìîñòåé àçèìó-
òàëüíûõ ìîä âî âíåïëîñêîñòíîé êîíôèãóðàöèè, ÷òî
óêàçûâàåò íà ïåðâîñòåïåííóþ íåîáõîäèìîñòü èõ
ó÷åòà.
Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü Þ. Á. Ãàéäè-
äåþ è À. Ì. Êîñåâè÷ó çà ñòèìóëèðóþùèå äèñêóññèè
è ïîëåçíûå êîììåíòàðèè, à òàêæå Í. Í. Êîðàáëþ çà
ïîìîùü â ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé. Âû-
ðàæàåì òàêæå áëàãîäàðíîñòü ïðîãðàììå INTAS, ïðè
÷àñòè÷íîé ïîääåðæêå êîòîðîé â ðàìêàõ ãðàíòà
INTAS ¹ 99-0167 âûïîëíåíà ýòà ðàáîòà.
Ìàòåðèàëû íàñòîÿùåé ñòàòüè áûëè ïðåäñòàâëå-
íû íà êîíôåðåíöèè «Nonlinear Lattice Structure and
Dynamics», Äðåçäåí, 2001 ã.
1. R. P. Cowburn, D. K. Koltsov, A. O. Adeyeye, M. E.
Welland, and D. M. Tricker, Phys. Rev. Lett. 83, 1042
(1999); R. P. Cowburn, J. Phys. D33, R1 (2000).
2. T. Shinjo, T. Okuno, R. Hassdorf, K. Shigeto, and T.
Ono, Science 289, 930 (2000); ICR Ann. Rep. 7, 16
(2000).
3. L. Thomas, F. Lionti, R. Ballou, D. Gatteschi, R.
Sessoli, and B. Barbara, Nature 383, 145 (1996).
4. J. Kortus, M. R. Pedersen, C. S. Hellberg, and S. N.
Khanna, Eur. Phys. J. D16, 177 (2001); N. Fujima,
ibid, 185 (2001).
5. À. Ì. Êîñåâè÷, Á. À. Èâàíîâ, À. Ñ. Êîâàëåâ, Íåëè-
íåéíûå âîëíû íàìàãíè÷åííîñòè. Äèíàìè÷åñêèå è
82 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1
À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé
òîïîëîãè÷åñêèå ñîëèòîíû, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ
(1983).
6. M. Kosevich, B. A. Ivanov, and A. S. Kovalev, Phys.
Rep. 194, 117 (1990).
7. À. Ì. Êîñåâè÷, Â. Ï. Âîðîíîâ, È. Â. Ìàíæîñ,
ÆÝÒÔ 84, 148 (1983).
8. À. Â. Íèêèôîðîâ, Ý. Á. Ñîíèí, ÆÝÒÔ 83, 642
(1983).
9. F. G. Mertens and A. R. Bishop, Nonlinear Sciences
at the down of the 21st Century. Lecture Notes in
Physics, P. L. Christiansen, M. P. Soerensen, and
A. C. Scott (eds.), Springer, Berlin (2000), p. 137.
10. À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé, ÔÍÒ 28,
1292 (2002).
11. Yu. Gaididei, T. Kamppeter, F.G. Mertens, and A. R.
Bishop, Phys. Rev. B59, 7010 (1999).
12. Yu. Gaididei, T. Kamppeter, F. G. Mertens, and A. R.
Bishop, Phys. Rev. B61, 9449 (2000).
13. À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé, Âåñòíèê ÕÃÓ,
ñåð. Ôèçèêà 417, 32 (1998).
14. À. Ñ. Êîâàëåâ, ß. Å. Ïðèëåïñêèé, Âåñòíèê ÕÃÓ,
ñåð. Ôèçèêà 440, 25 (1999).
15. G. M. Wysin, Phys. Lett A240, 95 (1998).
16. M. E. Gouvea, G. M. Wysin, A. R. Bishop, and F. G.
Mertens, Phys. Rev. B39, 11840 (1989).
17.G. M. Wysin and A. R. Völkel, Phys. Rev. B52, 7412
(1995).
18. B. A. Ivanov, H. J. Schnitzer, F. G. Mertens, and
G. M. Wysin, Phys. Rev. B58, 8464 (1998).
19. H. Nayfeh and D. Mook, Nonlinear Oscillations,
Wyley, New York (1995).
The mechanism of vortex switching in magnetic
nanodots under circular magnetic field.
II. The dynamics of spin plaquette with vortex
A. S. Kovalev and J. E. Prilepsky
A plaquette spin system in a vortex configura-
tion is considered analytically and numerically to
treat theoretically the vortex switching in mag-
netic nanodots due to the action of external circu-
lar magnetic field. The initial (linear) stage of the
switching is analyzed. The analytical results ob-
tained confirm the numerical data on the plaquette
dynamics. Both the numerical analysis and the
analytical consideration of the initial activation
stage show the importance of taking into account
the system azimuthal modes. At the frequencies of
these modes the most rapid amplification of the
vortex energy and the total out-of-plane magneti-
zation occurs. The growth of the modes amplitudes
gives rise to a parametrical activation of the
low-frequency symmetric mode, and in turn causes
the vortex switching. The results obtained provide
a qualitative explanation of the numerical data on
vortex switching in large-sized magnetic systems
and may be used in experiments on guided effect
on vortex polarization in magnetic nanodots.
Ìåõàíèçì ïåðåâîðîòà âèõðåé â ìàãíèòíûõ íàíîäîòàõ. II. Äèíàìèêà ñïèíîâîãî ïëàêåòà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 1 83
|