Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике
Для качественного описания структуры и динамики вихря в двумерных магнитных системах предложена простая одномерная модель ферромагнетика в вихревой конфигурации. Модель описывает систему из четырех параллельных спиновых цепочек с одноионной анизотропией типа плоскость легкого намагничивания и включа...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128789 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 2. — С. 189-204. — Бібліогр.: 29. назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128789 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1287892018-01-14T03:03:00Z Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Для качественного описания структуры и динамики вихря в двумерных магнитных системах предложена простая одномерная модель ферромагнетика в вихревой конфигурации. Модель описывает систему из четырех параллельных спиновых цепочек с одноионной анизотропией типа плоскость легкого намагничивания и включает в себя элементы континуального (вдоль цепочек) и дискретного (перпендикулярно цепочкам) описания. Проведено аналитическое исследование статических вихрей и движущихся вихревых решений стационарного профиля. Аналитические результаты расчета статической структуры вихрей дополнены численным анализом для аналогичных дискретных систем и находятся в хорошем соответствии с численными данными. Подход обобщен на случай описания гиротропного движения вихрей стационарного профиля в рамках метода коллективных переменных для комбинированного континуально- дискретного описания. Проведены анализ и сравнение полученных результатов с данными для двумерных магнетиков. Для якісного опису структури і динаміки вихору у двовимірних магнітних системах запропоновано просту одновимірну модель феромагнетику у вихоровій конфігурації. Модель описує систему з чотирьох паралельних спінових ланцюжків з одноіонною анізотропією типу площина легкого намагнічування і містить у собі елементи континуального (уздовж ланцюжків) і дискретного (перпендикулярно ланцюжкам) опису. Проведено аналітичне дослідження статичних вихорів і вихорових рішень стаціонарного профілю, що рухаються. Аналітичні результати розрахунку статичної структури вихорів доповнені чисельним аналізом для аналогічних дискретних систем та знаходяться в гарній відповідності з чисельними даними. Підхід узагальнено на випадок опису гіротропного руху вихорів стаціонарного профілю у рамках методу колективних змінних для комбінованого континуально-дискретного опису. Проведено аналіз та порівняння отриманих результатів з даними для двовимірних магнетиків. In order to give a qualitative description of the structure and dynamics of a vortex in a 2D magnetic system we propose a simple quasi-one-dimensional model of ferromagnet in a vortex configuration. This model describes the system of four parallel anisotropic ferromagnetic spin chains with the anisotropy of easy-plane type and involves the elements of continuous (along the chains) and discrete (normal to the chains) descriptions for spin distribution. Within the framework of the proposed model we can investigate analytically the structures of static and steady moving vortices. The analytical results on the static vortex structure are supplemented with numerical calculation for discrete system and show a good agreement with the numerical data. A generalized version of the collective coordinate approach is devised, which allows to extend this technique to the combined continuous-discrete description. We compare our results with the corresponding data for 2D easy-plane ferromagnets. 2003 Article Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 2. — С. 189-204. — Бібліогр.: 29. назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.Yv, 75.10.Hk, 75.70.Kw http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128789 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике Физика низких температур |
| description |
Для качественного описания структуры и динамики вихря в двумерных магнитных системах предложена простая одномерная модель ферромагнетика в вихревой конфигурации. Модель описывает систему из четырех параллельных спиновых цепочек с одноионной анизотропией типа плоскость легкого намагничивания и включает в себя элементы континуального (вдоль цепочек) и дискретного (перпендикулярно цепочкам) описания. Проведено аналитическое исследование статических вихрей и движущихся вихревых решений стационарного профиля. Аналитические результаты расчета статической структуры вихрей дополнены численным анализом для аналогичных дискретных систем и находятся в хорошем соответствии с численными данными. Подход обобщен на случай описания гиротропного движения вихрей стационарного профиля в рамках метода коллективных переменных для комбинированного континуально- дискретного описания. Проведены анализ и сравнение полученных результатов с данными для двумерных магнетиков. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Прилепский, Я.Е. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| title_short |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| title_full |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| title_fullStr |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| title_full_unstemmed |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| title_sort |
одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128789 |
| citation_txt |
Одномерная модель вихря в легкоплоскостном ферромагнетике / А.С. Ковалев, Я.Е. Прилепский // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 2. — С. 189-204. — Бібліогр.: 29. назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas odnomernaâmodelʹvihrâvlegkoploskostnomferromagnetike AT prilepskijâe odnomernaâmodelʹvihrâvlegkoploskostnomferromagnetike |
| first_indexed |
2025-07-09T09:53:59Z |
| last_indexed |
2025-07-09T09:53:59Z |
| _version_ |
1837162658029109248 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2, ñ. 189–204
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì
ôåððîìàãíåòèêå
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á. È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 14 àâãóñòà 2002 ã.
Äëÿ êà÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ ñòðóêòóðû è äèíàìèêè âèõðÿ â äâóìåðíûõ ìàãíèòíûõ ñèñòå-
ìàõ ïðåäëîæåíà ïðîñòàÿ îäíîìåðíàÿ ìîäåëü ôåððîìàãíåòèêà â âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè. Ìî-
äåëü îïèñûâàåò ñèñòåìó èç ÷åòûðåõ ïàðàëëåëüíûõ ñïèíîâûõ öåïî÷åê ñ îäíîèîííîé àíèçîòðîïè-
åé òèïà ïëîñêîñòü ëåãêîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ è âêëþ÷àåò â ñåáÿ ýëåìåíòû êîíòèíóàëüíîãî (âäîëü
öåïî÷åê) è äèñêðåòíîãî (ïåðïåíäèêóëÿðíî öåïî÷êàì) îïèñàíèÿ. Ïðîâåäåíî àíàëèòè÷åñêîå èñ-
ñëåäîâàíèå ñòàòè÷åñêèõ âèõðåé è äâèæóùèõñÿ âèõðåâûõ ðåøåíèé ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ.
Àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñòàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû âèõðåé äîïîëíåíû ÷èñëåííûì àíà-
ëèçîì äëÿ àíàëîãè÷íûõ äèñêðåòíûõ ñèñòåì è íàõîäÿòñÿ â õîðîøåì ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëåííûìè
äàííûìè. Ïîäõîä îáîáùåí íà ñëó÷àé îïèñàíèÿ ãèðîòðîïíîãî äâèæåíèÿ âèõðåé ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ â ðàìêàõ ìåòîäà êîëëåêòèâíûõ ïåðåìåííûõ äëÿ êîìáèíèðîâàííîãî êîíòèíóàëü-
íî-äèñêðåòíîãî îïèñàíèÿ. Ïðîâåäåíû àíàëèç è ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ äàííûìè
äëÿ äâóìåðíûõ ìàãíåòèêîâ.
Äëÿ ÿê³ñíîãî îïèñó ñòðóêòóðè ³ äèíàì³êè âèõîðó ó äâîâèì³ðíèõ ìàãí³òíèõ ñèñòåìàõ çàïðî-
ïîíîâàíî ïðîñòó îäíîâèì³ðíó ìîäåëü ôåðîìàãíåòèêó ó âèõîðîâ³é êîíô³ãóðàö³¿. Ìîäåëü îïèñóº
ñèñòåìó ç ÷îòèðüîõ ïàðàëåëüíèõ ñï³íîâèõ ëàíöþæê³â ç îäíî³îííîþ àí³çîòðîﳺþ òèïó ïëîùèíà
ëåãêîãî íàìàãí³÷óâàííÿ ³ ì³ñòèòü ó ñîá³ åëåìåíòè êîíòèíóàëüíîãî (óçäîâæ ëàíöþæê³â) ³ äèñ-
êðåòíîãî (ïåðïåíäèêóëÿðíî ëàíöþæêàì) îïèñó. Ïðîâåäåíî àíàë³òè÷íå äîñë³äæåííÿ ñòàòè÷íèõ
âèõîð³â ³ âèõîðîâèõ ð³øåíü ñòàö³îíàðíîãî ïðîô³ëþ, ùî ðóõàþòüñÿ. Àíàë³òè÷í³ ðåçóëüòàòè ðîç-
ðàõóíêó ñòàòè÷íî¿ ñòðóêòóðè âèõîð³â äîïîâíåí³ ÷èñåëüíèì àíàë³çîì äëÿ àíàëîã³÷íèõ äèñêðåò-
íèõ ñèñòåì òà çíàõîäÿòüñÿ â ãàðí³é â³äïîâ³äíîñò³ ç ÷èñåëüíèìè äàíèìè. ϳäõ³ä óçàãàëüíåíî íà
âèïàäîê îïèñó ã³ðîòðîïíîãî ðóõó âèõîð³â ñòàö³îíàðíîãî ïðîô³ëþ ó ðàìêàõ ìåòîäó êîëåêòèâ-
íèõ çì³ííèõ äëÿ êîìá³íîâàíîãî êîíòèíóàëüíî-äèñêðåòíîãî îïèñó. Ïðîâåäåíî àíàë³ç òà ïîð³â-
íÿííÿ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â ç äàíèìè äëÿ äâîâèì³ðíèõ ìàãíåòèê³â.
PACS: 05.45.Yv, 75.10.Hk, 75.70.Kw
Ââåäåíèå
Èññëåäîâàíèÿ ñòðóêòóðû è äèíàìèêè ìàãíèòíûõ
âèõðåé â äâóìåðíûõ ôåððîìàãíåòèêàõ ñ àíèçîòðî-
ïèåé òèïà ïëîñêîñòü ëåãêîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ â ïî-
ñëåäíåå âðåìÿ ïðèâëåêëè çíà÷èòåëüíîå âíèìàíèå,
ïîñêîëüêó ìàãíèòíûé ôàçîâûé ïåðåõîä â ïîäîáíûõ
ñèñòåìàõ ïðîèñõîäèò â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåõàíèçìîì
Áåðåçèíñêîãî—Êîñòåðëèöà—Òàóëåññà è ñîïðîâîæ-
äàåòñÿ îáðàçîâàíèåì áîëüøîãî êîëè÷åñòâà âèõðåé
[1]. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ïîëó-
÷åíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî äâóìåðíûõ è êâàçèäâóìåð-
íûõ ñîåäèíåíèé (ññûëêè è êðàòêèé îáçîð ñîäåðæàò-
ñÿ â ðàáîòå [2]), è, òàêèì îáðàçîì, èõ èññëåäîâàíèå
ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ïîâûøåííîãî èíòåðåñà. Â ñà-
ìûå ïîñëåäíèå ãîäû îäíîé èç íàèáîëåå èíòåðåñíûõ
îáëàñòåé ôèçèêè ìàãíèòíûõ ÿâëåíèé ñòàëî ýêñïåðè-
ìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ìàãíèòíûõ íàíîäîòîâ [3,4] è
äâóìåðíûõ èñêóññòâåííûõ ðåøåòîê èç òàêèõ ýëå-
ìåíòîâ [5], êîòîðûå ìîãóò ñòàòü ýëåìåíòàðíîé áàçîé
äëÿ íîâûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Ïðè îïðåäå-
ëåííûõ ñîîòíîøåíèÿõ ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ è òîë-
ùèíû ìàãíèòíûõ äîòîâ â íèõ ýêñïåðèìåíòàëüíî íà-
áëþäàþòñÿ ìàãíèòíûå âèõðè. Îäíàêî òåîðåòè÷åñêîå
èññëåäîâàíèå äâóìåðíûõ ìàãíèòíûõ âèõðåé ïðåä-
© À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé, 2003
ñòàâëÿåò ñîáîé äîâîëüíî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Õîòÿ
ñòðóêòóðà âèõðåé, èõ äâèæåíèå è âíóòðåííÿÿ äèíà-
ìèêà áûëè èññëåäîâàíû äîñòàòî÷íî ïîäðîáíî â ðÿäå
ðàáîò (ñì., íàïðèìåð, [2,6–9]), áîëüøèíñòâî ðå-
çóëüòàòîâ ïîëó÷åíû â ðàìêàõ ìåòîäà êîëëåêòèâíûõ
ïåðåìåííûõ (ÌÊÏ) èëè ñ ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåí-
íîãî ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé ñïè-
íîâîé äèíàìèêè ðåøåòêè. Â òî æå âðåìÿ, ïðè ïî-
äîáíîì ïîäõîäå ìîæåò áûòü ïîòåðÿíà âàæíàÿ
èíôîðìàöèÿ, êàñàþùàÿñÿ çàâèñèìîñòè äèíàìè÷å-
ñêèõ è ñòðóêòóðíûõ ñâîéñòâ âèõðåé îò ïàðàìåòðîâ
ñèñòåìû, è ïîýòîìó ìîäåëè, äîïóñêàþùèå àíàëèòè-
÷åñêîå ðàññìîòðåíèå, âåñüìà âàæíû äëÿ êà÷åñòâåí-
íîãî ïîíèìàíèÿ è îáúÿñíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ è ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé.
Ïðîñòåéøèå ìîäåëè ïîäîáíîãî ðîäà îïèñûâàþò
ìàëûå ôðàãìåíòû ñïèíîâîé ðåøåòêè — ñïèíîâûå
ïëàêåòû [10].  ïîñëåäíåå âðåìÿ òåîðåòè÷åñêîå
èçó÷åíèå ñïèíîâûõ ïëàêåòîâ ïðèîáðåëî äîïîëíè-
òåëüíîå çíà÷åíèå â ñâÿçè ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûì èñ-
ñëåäîâàíèåì íîâûõ îáúåêòîâ ôèçèêè ìàãíåòèêîâ —
ìàãíèòíûõ ìîëåêóë [11]. Òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðàñ-
ñìîòðåíèå ñïèíîâûõ ïëàêåòîâ [10] äàåò äîñòàòî÷íî
ÿñíîå îáúÿñíåíèå ÿâëåíèÿì, ñâÿçàííûì ñ âíóòðåí-
íèìè ìîäàìè ïîäîáíûõ ñèñòåì â âèõðåâîé êîíôèãó-
ðàöèè. Îäíàêî, èç-çà ìàëîãî ðàçìåðà ïëàêåòîâ, â
ðàìêàõ ïîäîáíûõ ìîäåëåé íåëüçÿ ðàññìîòðåòü äâè-
æåíèå âèõðÿ.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà îäíîìåðíàÿ ìî-
äåëü äëÿ îïèñàíèÿ âèõðåâûõ ñâîéñòâ â àíèçîòðîï-
íîì ëåãêîïëîñêîñòíîì ãåéçåíáåðãîâñêîì ôåððîìàã-
íåòèêå. Òàêàÿ ìîäåëü äîïóñêàåò ðåøåíèÿ âèõðåâîãî
òèïà è ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, êà÷åñòâåííî
îáúÿñíÿþùèå îñîáåííîñòè äèíàìèêè âèõðÿ â äâó-
ìåðíîé ìàãíèòíîé ñèñòåìå. Êàê èçâåñòíî, âïåðâûå
îäíîìåðíàÿ ìîäåëü äâóìåðíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ äå-
ôåêòîâ áûëà ïðåäëîæåíà Ôðåíêåëåì è Êîíòîðîâîé
[12] äëÿ îïèñàíèÿ äèñëîêàöèé â êðèñòàëëè÷åñêîé
ðåøåòêå. Íåñìîòðÿ íà ñâîé îäíîìåðíûé õàðàêòåð,
ýòà ìîäåëü äîñòàòî÷íî àäåêâàòíî îïèñûâàåò ñòðóê-
òóðó êîðà äèñëîêàöèè è åå äèíàìèêó è óñïåøíî èñ-
ïîëüçóåòñÿ íà ïðîòÿæåíèè áîëåå 60 ëåò [13]. Ïîçæå
ïîõîæàÿ 1D ìîäåëü áûëà ïðåäëîæåíà äëÿ îïèñàíèÿ
ñëîæíûõ ìàãíèòîñòðóêòóðíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ äå-
ôåêòîâ â ðàáîòå [14].  íàøåì ñëó÷àå èçó÷åíèå
ïðåäëîæåííîé 1D ìîäåëè èìååò è âàæíîå ìåòîäè÷å-
ñêîå çíà÷åíèå: îíà ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî êîíòèíó-
àëüíîé è äèñêðåòíîé â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ,
è ïîýòîìó ïîÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü
âëèÿíèå äèñêðåòíîñòè ñèñòåìû íà òîïîëîãè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè äåôåêòîâ (èõ «òîïîëîãè÷åñêèå çà-
ðÿäû»).
Îñíîâíûå îñîáåííîñòè ïðåäëîæåííîé ìîäåëè è
óðàâíåíèÿ äèíàìèêè íàìàãíè÷åííîñòè îïèñàíû â
ðàçä. 2. Ðàçäåë 3 ïîñâÿùåí àíàëèçó ñòàòè÷åñêîãî
ïëîñêîñòíîãî âèõðåâîãî ðåøåíèÿ (ÏÂ) â ðàìêàõ
äàííîé ìîäåëè: âûâåäåíû àíàëèòè÷åñêèå âûðàæå-
íèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñïèíîâ â ÏÂ è èññëåäîâàíà
ñòàáèëüíîñòü äàííîãî âèõðåâîãî ðåøåíèÿ. Â äîïîë-
íåíèå ê àíàëèòè÷åñêîìó ðàññìîòðåíèþ ïðèâåäåíû
÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû äëÿ àíàëîãè÷íûõ äèñêðåò-
íûõ ñèñòåì êîíå÷íîãî ðàçìåðà, êàñàþùèåñÿ îïðå-
äåëåíèÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè, ïðè êî-
òîðîì Ï ñòàíîâèòñÿ íåóñòîé÷èâûì. Ðàññìîòðåíî
ñòàòè÷åñêîå âíåïëîñêîñòíîå âèõðåâîå ðåøåíèå (ÂÂ),
âîçíèêàþùåå â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè (ñì. ðàçä. 4).
Àíàëèòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå äëÿ ñëó÷àÿ ñëàáîé ëåã-
êîïëîñêîñòíîé àíèçîòðîïèè òàêæå äîïîëíåíî äàí-
íûìè ÷èñëåííîãî àíàëèçà àíàëîãè÷íûõ äèñêðåòíûõ
ñèñòåì êîíå÷íîãî ðàçìåðà. Èçó÷åíû äèíàìè÷åñêèå
ñâîéñòâà ÂÂ (ðàçä. 5). Âûðàæåíèÿ äëÿ ðàñïðå-
äåëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè â âèõðå ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ ïîëó÷åíû äëÿ ñëó÷àåâ «áûñòðûõ» è «ìåä-
ëåííûõ» âèõðåé. Ïîä÷åðêíóòà õàðàêòåðíàÿ äëÿ ãè-
ðîòðîïíîãî äâèæåíèÿ àñèììåòðèÿ äâèæóùåãîñÿ ÂÂ.
Ïðåäëîæåí âàðèàíò ïîäõîäà â ðàìêàõ ÌÊÏ [2,27]
äëÿ êîìáèíèðîâàííîãî êîíòèíóàëüíî-äèñêðåòíîãî
îïèñàíèÿ ñèñòåìû è âûâåäåíî óïðîùåííîå ýôôåê-
òèâíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà âèõðÿ. Ïîëó÷åí-
íûå ðåçóëüòàòû ðåçþìèðóþòñÿ è ñðàâíèâàþòñÿ ñ
äàííûìè àíàëèçà äâóìåðíûõ ñèñòåì (ðàçä. 6).
2. Ìîäåëü è óðàâíåíèÿ ñïèíîâîé äèíàìèêè
Íàèáîëåå ïðîñòîé ìîäåëüþ, äîïóñêàþùåé àíà-
ëèòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå ñòàòèêè è äèíàìèêè ìàã-
íèòíûõ âèõðåé, ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìà èç äâóõ ôåððî-
ìàãíèòíûõ ñïèíîâûõ öåïî÷åê ñ ëåãêîïëîñêîñòíîé
àíèçîòðîïèåé (ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî îäíîèîííàÿ
àíèçîòðîïèÿ). Ïîäîáíàÿ ìîäåëü äîïóñêàåò ðåøåíèå
ñ âèõðåâîé êîíôèãóðàöèåé, â êîòîðîé âñå ñïèíû ëå-
æàò â «ëåãêîé» ïëîñêîñòè.* Îäíàêî â ðàìêàõ òàêîé
ïðîñòåéøåé ìîäåëè íåâîçìîæíî îïèñàíèå áîëåå
èíòåðåñíîãî òèïà âèõðåé, â êîòîðûõ âåêòîð íàìàã-
íè÷åííîñòè ìîæåò âûõîäèòü èç «ëåãêîé» ïëîñ-
êîñòè.** Ïîýòîìó íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü áîëåå
ñëîæíóþ ìîäåëü, â êîòîðîé âîçìîæíî ñóùåñòâîâà-
íèå îáîèõ òèïîâ âèõðåâûõ ðåøåíèé â çàâèñèìîñòè
îò âåëè÷èíû àíèçîòðîïèè.
190 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
*  ôîðìóëàõ ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû îòìå÷åíû èíäåêñîì «IPV» — «in-plane vortex».
** Â ôîðìóëàõ «OPV» — «out-of-plane vortex».
Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ìîäåëü, êîòîðàÿ îáîáùàåò íàøè
ïðåäûäóùèå ïëàêåòíûå ìîäåëè [10] íà êâàçèîäíî-
ìåðíûé ñëó÷àé è äîïóñêàåò ðàññìîòðåíèå  ðåøå-
íèé, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1. Ñèñòåìà âêëþ÷àåò ÷åòûðå
ïàðàëëåëüíûå ñïèíîâûå öåïî÷êè ñ ôèêñèðîâàííû-
ìè ñïèíàìè â ãðàíè÷íûõ öåïî÷êàõ (ñ íîìåðàìè 0 è
3). Ïîõîæèå ìîäåëè óæå ïðåäëàãàëèñü ðàíåå [14]
äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ñëîæíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ìàã-
íèòîñòðóêòóðíûõ äåôåêòîâ. Ôèêñèðîâàííûå ñïèíî-
âûå öåïî÷êè 0 è 3 ìîäåëèðóþò äâà ñïèíîâûõ ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà, îêðóæàþùèå öåïî÷êè 1 è 2, êîòîðûå
ñîäåðæàò ÿäðî âèõðÿ.  íàøåì ñëó÷àå ñïèíû êðàé-
íèõ öåïî÷åê ôèêñèðîâàíû â ëåãêîé ïëîñêîñòè
(ïëîñêîñòü xy íà ðèñ. 1) è íàïðàâëåíû âäîëü îñè x
äëÿ öåïî÷êè 0 è â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó äëÿ
öåïî÷êè 3 (â îáùåïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ âûáðàí-
íîå íàïðàâëåíèå ñïèíîâ ñîîòâåòñòâóåò «àíòèâèõ-
ðþ»). Òàêîå óïîðÿäî÷åíèå ãðàíè÷íûõ öåïî÷åê ïðè-
âîäèò ê äîïîëíèòåëüíîé ýôôåêòèâíîé àíèçîòðîïèè
äëÿ âíóòðåííèõ öåïî÷åê 1 è 2, áëàãîäàðÿ êîòîðîé
ìîæåò áûòü óñòîé÷èâûì ÂÂ. Ñïèíû âíóòðåííèõ öå-
ïî÷åê 1 è 2 ñâîáîäíû è ìîãóò çàíèìàòü ëþáîå ïîëî-
æåíèå â ëåãêîé ïëîñêîñòè è âûõîäèòü èç íåå. Ïðåä-
ëîæåííàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü âèõðåâóþ
êîíôèãóðàöèþ, åñëè ñîîòâåòñòâóþùåå ñòàòè÷åñêîå
ðåøåíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ñïèíû â 1
èìåþò ïîëîæèòåëüíûå x- è y-ïðîåêöèè ïðè x � ��,
â òî âðåìÿ êàê ïðè x � �� ó íèõ ïîëîæèòåëüíûå
x-, íî îòðèöàòåëüíûå y-ïðîåêöèè.  öåïî÷êå 2
x-ïðîåêöèè ñïèíîâ ìåíÿþò ñâîé çíàê (ñì. ðèñ. 1). Â
òàêîé êîíôèãóðàöèè ïîëíîå âðàùåíèå ñïèíîâîãî
âåêòîðà âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà ðàâíÿåòñÿ 2�.
Äðóãèìè ñëîâàìè, ó òàêîãî ðåøåíèÿ åñòü àíàëîã òî-
ïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà âîêðóã öåíòðà âèõðÿ x = y = 0,
õîòÿ â îòëè÷èå îò êîíòèíóàëüíîé ñèñòåìû ïðè îáõî-
äå âîêðóã öåíòðà âèõðÿ âåêòîð íàìàãíè÷åííîñòè â
ìàãíèòíîì ïðîñòðàíñòâå ïðîáåãàåò íå íåïðåðûâíóþ
îêðóæíîñòü, à ïðèíèìàåò ëèøü øåñòü äèñêðåòíûõ
çíà÷åíèé íà ýòîé åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè.
 ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ãåéçåíáåðãîâñêîé ìîäåëè
ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèà-
íîì
Í � � � �
� �
�– [ ( ) ( )
( )
| |J S
S
n
nz
nz
S S S Sn n+1 n n+1
1 1 2 2 �
�
2
2
1 2
2 2 ~ ~ ],JS JS Jnx nx
1 2� � S Sn n
1 2 (1)
ãäå n íóìåðóåò ïàðó ñîñåäíèõ ñïèíîâ èç ïåðâîé è
âòîðîé ñâîáîäíûõ öåïî÷åê âäîëü îñè x, Sn
i — êëàñ-
ñè÷åñêèé ñïèíîâûé âåêòîð èç n-îé ïàðû i-òîé öå-
ïî÷êè ñ i =1,2 ( )S � 1 ; J| |— êîíñòàíòà îáìåííîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ñïèíàìè êàæäîé îòäåëüíîé
ñâîáîäíîé öåïî÷êè; ~J ñîîòâåòñòâóåò îáìåíó ìåæäó
ôèêñèðîâàííûìè ãðàíè÷íûìè ñïèíàìè è ñïèíàìè
ñâîáîäíîé öåïî÷êè è J — îáìåí ìåæäó ñïèíàìè
ðàçíûõ ñâîáîäíûõ öåïî÷åê (âñå îáìåííûå êîíñòàí-
òû ïîëîæèòåëüíû). Ïàðàìåòð � — êîíñòàíòà îäíî-
èîííîé àíèçîòðîïèè, äëÿ ñëó÷àÿ ëåãêîïëîñêîñòíîé
ñèììåòðèè � 0. Â äàëüíåéøåì ìû ïîëàãàåì âñå
ìàãíèòíûå ïàðàìåòðû, íîðìèðîâàííûìè íà âåëè÷è-
íó J| | , ò.å. J| | = 1. Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ îäíîèîííîé
àíèçîòðîïèè ìíîãî ìåíüøå ýíåðãèè îáìåííîãî âçàè-
ìîäåéñòâèÿ, òî òàê íàçûâàåìàÿ ìàãíèòíàÿ äëèíà,
l J� ( )| | � 1 2, ìíîãî áîëüøå ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿ-
íèÿ è, òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ
äëèííîâîëíîâûì êîíòèíóàëüíûì îïèñàíèåì äëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè âäîëü öåïî÷åê. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, â íàïðàâëåíèè îñè y ó÷èòûâàåòñÿ
äèñêðåòíîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, ïîñêîëüêó
óãëû ìåæäó ñïèíàìè â ýòîì íàïðàâëåíèè ìîãóò
áûòü ïîðÿäêà �. Îáû÷íî îðèåíòàöèÿ ñïèíîâîãî âåê-
òîðà îïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõ ñôåðè÷åñêèõ ïðîåê-
öèé, ñâÿçàííûõ ñ îñüþ ñèììåòðèè (îñü z â ðàññìàò-
ðèâàåìîì ñëó÷àå):
S= (sin cos , sin sin cos ).
�
��
(2)
 òåðìèíàõ ñôåðè÷åñêèõ óãëîâ (� è
) ïîëíàÿ
ýíåðãèÿ çàïèñûâàåòñÿ êàê
E dx i
i
i i i�
�
�
�
�
�
�
�
���
�
��
1
2
2
1
2
2 2 2[( ) sin ( ) cos ]
� �
� � �~ [sin cos sin cos ]J
�
�1 1 2 2
� �
�
�
�
�
J [cos cos sin sin cos( )] ,
� � �1 2 1 2 1 2 (3)
ãäå øòðèõ îçíà÷àåò ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ � �x (x
— êîîðäèíàòà âäîëü öåïî÷åê). Îäíàêî â ðàçäåëàõ,
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 191
à á
â
1
2
3
0
Ðèñ. 1. Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü ëåãêîïëîñêîñòíîãî ôåððîìàã-
íåòèêà â âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè: òðåõìåðíûé âèä ñòà-
òè÷åñêîé Ï êîíôèãóðàöèè (a); òðåõìåðíûé âèä ñòàòè-
÷åñêîé  êîíôèãóðàöèè (á); xy-ïðîåêöèÿ öåíòðàëüíîé
÷àñòè  (äëèíà ñòðåëîê ñîîòâåòñòâóåò âåëè÷èíå ñïèíî-
âîé ïðîåêöèè) (â). Öåíòð âèõðÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êå V.
ïîñâÿùåííûõ àíàëèçó ÂÂ ðåøåíèÿ, íàì óäîáíî
ïîëüçîâàòüñÿ äðóãèìè óãëîâûìè ïåðåìåííûìè
S= (cos , sin cos , sin sin ),� � � � � (4)
ò.å. ñôåðè÷åñêîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìîé, àññîöèè-
ðîâàííîé ñ îñüþ x (ñì. ðèñ. 1). Èñïîëüçóÿ òàêóþ
êîîðäèíàòíóþ ñèñòåìó, âûðàæåíèå (3) äëÿ ýíåðãèè
ïåðåïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
E dx i
i
i i�
�
�
�
�
�
�
���
�
��
1
2
2
1
2
2 2[( ) sin ( )� � �
� � � �� � � � �sin sin ] ~[cos cos ]2 2
1 2i i J
� �
�
�
�
�
J [cos cos sin sin cos ( )] .� � � � � � �1 2 1 2 1 2 (5)
 âûðàæåíèÿõ äëÿ ïëîòíîñòè ýíåðãèè (3), (5) îïó-
ùåíî ïîñòîÿííîå ñëàãàåìîå �2J| | . Ââåäåííûå ïåðå-
ìåííûå (�,
) è (�,�) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
Sz � �cos sin sin , cos
� � � � �tg = tg . (6)
 óãëîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ ñïèíîâîé äè-
íàìèêè (óðàâíåíèÿ Ëàíäàó—Ëèôøèöà) âûãëÿäÿò
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
sin , sin ,,
,
,
,
,
,
�
��
�
�
��
�
��
�
�
��12
12
12
12
12
12t
E
t
E
� � � (7)
sin , sin ,,
,
,
,
,
,
��
�
�
�
�
�
�
��12
12
12
12
12
12t
E
t
E
� � � (8)
èëè â ÿâíîì âèäå
� �
� � � � � �
�
12
2
12 12
2
12 12
1
, , , , ,[ sin ( ) ]sin cos
~ sin
�
� J , , ,
, , , ,
[sin cos
sin cos cos( )]
2 12 21
21 12 21 12
� �
� �
J � �
� � � � � �
�
sin � ,
(sin ) sin sin c
, ,
, , , ,
� �
� � � � �
12 12
2
12 12
2
12 12
0
os
sin sin sin( ) sin �
,
, , , , , ,
�
� � � � � �
12
12 21 12 21 12 12
�
� � �J �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 0;
(9)
� �
�
�
� �
�
12 12
2
12 12
12 1
, , , ,
, ,
[ ( ) ]sin cos
~ cos cosJ 2 12 21
12 21 12 21
� �
� � �
J[sin cos
cos sin cos( )]
, ,
, , , ,
� � sin � ,
(sin ) ~ sin sin
, ,
, , , ,
�
�
�
12 12
2
12 12 12 12
0�
�
�
� J
J sin sin sin( ) sin �
, , , , , ,
� �
12 21 12 21 12 12 0� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(10)
Çäåñü íèæíèå èíäåêñû îáîçíà÷àþò íîìåð ñâîáîä-
íîé öåïî÷êè, à âåðõíèé èç äâîéíûõ çíàêîâ (�,�)
îòâå÷àåò ïåðâîìó èíäåêñó â ñîîòâåòñòâóþùåì ñëà-
ãàåìîì. Íèæå ðàññìîòðåí òîëüêî ñëó÷àé îäèíàêî-
âîãî îáìåíà ìåæäó âñåìè öåïî÷êàìè ~J J� .
Êàê óïîìèíàëîñü ðàíåå, â äèñêðåòíîì äâóìåðíîì
ôåððîìàãíåòèêå ñ àíèçîòðîïèåé òèïà ïëîñêîñòü ëåã-
êîãî íàìàãíè÷åâàíèÿ ñóùåñòâóþò äâà òèïà âèõðåé:
ÏÂ è ÂÂ. Â íåïðåðûâíîé ñðåäå (ïðè êîíòèíóàëü-
íîì îïèñàíèè) ÂÂ âñåãäà èìååò ýíåðãèþ ìåíüøóþ,
÷åì Ï [15]. Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ÏÂ, ÂÂ
ñòàáèëåí â êîíòèíóàëüíîì ïðåäåëå. Îäíàêî ïðè
ó÷åòå äèñêðåòíîñòè ñïèíîâîé ðåøåòêè ñóùåñòâóåò
êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ëåãêîïëîñêîñòíîé
àíèçîòðîïèè � c, è äëÿ âñåõ � � c (ñèëüíàÿ àíèçî-
òðîïèÿ) Ï ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîé êîíôèãóðà-
öèè ñèñòåìû.  äðóãîì ñëó÷àå, êîãäà 0 � �� � c, óñ-
òîé÷èâ  [6,7,9]. Ýòîò ýôôåêò èìååò ìåñòî èç-çà
êîíêóðåíöèè ýíåðãèé àíèçîòðîïèè è îáìåíà, èëè
äðóãèìè ñëîâàìè, áëàãîäàðÿ íàëè÷èþ äâóõ õàðàê-
òåðíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàçìåðîâ — ðàäèóñà âèõ-
ðÿ (ìàãíèòíîé äëèíû) è ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû â îñíîâíîì èíòåðåñóåìñÿ
ñëó÷àåì ñëàáîé àíèçîòðîïèè 0 � �<<J (íàïîìíèì,
÷òî âñå ïàðàìåòðû íîðìèðîâàíû íà J| | ), ÷òî ñîîòâåò-
ñòâóåò äåéñòâèòåëüíîé ôèçè÷åñêîé ñèòóàöèè. Áëàãî-
äàðÿ ýòîìó ðàññìîòðåíèå ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðî-
ñòèòü èç-çà âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè
âîçìóùåíèé. Îäíàêî ñíà÷àëà ìû èññëåäóåì Ï ðå-
øåíèå è ïðîàíàëèçèðóåì ñòàáèëüíîñòü ïëîñêîñòíîé
âèõðåâîé êîíôèãóðàöèè äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèòè÷å-
ñêîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè.
3. Ñòàòè÷åñêèé ïëîñêîñòíîé âèõðü
Ðàññìàòðèâàÿ Ï ðåøåíèÿ, îãðàíè÷èìñÿ íàõîæäå-
íèåì ñòàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû è îáëàñòè ñòàáèëüíîñòè
âèõðÿ äàííîãî òèïà. Îäíàêî çàìåòèì, ÷òî â ðàññìàò-
ðèâàåìîé ìîäåëè ñàì ñìûñë Ï ðåøåíèÿ îòëè÷àåòñÿ
îò òàêîâîãî â 2D ñèñòåìå: êàê ïîêàçàíî íèæå, â íàøåé
ìîäåëè ÏÂ ÿâëÿåòñÿ ñîëèòîíîïîäîáíûì ðåøåíèåì íå-
ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ, â òî âðåìÿ êàê â 2D ñëó÷àå ÏÂ
— ýòî ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ òèïà Ïóàññîíà.
 Ï âñå ñïèíû âíóòðåííèõ öåïî÷åê 1 è 2 èìåþò íó-
ëåâóþ z-êîìïîíåíòó, ò.å. â òåðìèíàõ ââåäåííûõ óãëî-
âûõ ïåðåìåííûõ �12 0, ( )x � . Èç (6) ñëåäóåò, ÷òî â
ýòîì ñëó÷àå � �12 12, ,( ) ( )x x� . Âäàëè îò ÿäðà âèõðÿ
ðàñïðåäåëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè îäíîðîäíîå è óðàâíå-
íèÿ (9), (10) òðàíñôîðìèðóþòñÿ â
sin sin( ), , ,� � � �12 12 21 0� � . (11)
Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ:
� � ��1 0� � , (12)
è
� � � �
�
�1 � � � . (13)
192 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
Ýíåðãèÿ ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåøåíèþ (12),
óáûâàåò ñ ðîñòîì ïðîäîëüíîãî ðàçìåðà ñèñòåìû L
êàê E � –L, à äëÿ ðåøåíèÿ (13) îíà óáûâàåò êàê
E � –3L 2, è, òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå (13) îïèñûâà-
åò äâàæäû âûðîæäåííîå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ñèñòå-
ìû.  íàøåé ìîäåëè âèõðåâîå ðåøåíèå ôàêòè÷åñêè
ñîîòâåòñòâóåò îäíîìåðíîé äîìåííîé ñòåíêå [18],
ðàçäåëÿþùåé «îäíîðîäíûå äîìåíû». Â òî æå âðå-
ìÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ýòî ðåøåíèå ïðîÿâëÿ-
åò âèõðåâûå ñâîéñòâà, è òàê íàçûâàåìàÿ çàâèõðåí-
íîñòü, îòâå÷àþùàÿ ýòîìó ðåøåíèþ, îòëè÷íà îò
íóëÿ.
Ïîëàãàÿ äëÿ ÏÂ� �1( ) ( )x x� è� � �2( ) ( )x x� � ,
èç óðàâíåíèé (9) (èëè (10)) ìîæíî ïîëó÷èòü ñòàòè-
÷åñêîå óðàâíåíèå, îïðåäåëÿþùåå ðàñïðåäåëåíèå íà-
ìàãíè÷åííîñòè äëÿ Ï â ëåãêîé xy-ïëîñêîñòè:
� � �xx J J� � �sin sin ,2 0 (14)
êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ õîðîøî èçó÷åííûì ñòàòè÷å-
ñêèì äâîéíûì ñèíóñîèäàëüíûì óðàâíåíèåì Ãîðäî-
íà (double SGE, ñì., íàïðèìåð, [17,18]). Òîïîëîãè-
÷åñêîå ëîêàëèçîâàííîå ðåøåíèå (14) ñ íàéäåííûìè
âèõðåâûìè àñèìïòîòèêàìè (13) èìååò âèä
� �IPV IPV
J
x x� � � �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
!
"
#
#
2
8 0arctg
1
3
th
3
( ) ,
(15)
ãäå x0 — êîîðäèíàòà öåíòðà âèõðÿ è ïîñòîÿííàÿ ðå-
øåòêè ïîëîæåíà ðàâíîé åäèíèöå. Îäíàêî íåîáõî-
äèìî îòìåòèòü, ÷òî ýòî âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ õîðî-
øåé àïðîêñèìàöèåé äëÿ ñïèíîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â
ÏÂ òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî õàðàêòåðíàÿ ìàãíèòíàÿ
äëèíà l J~ �1 2 ìíîãî áîëüøå, ÷åì ìåæàòîìíîå ðàñ-
ñòîÿíèå. Èñïîëüçóÿ ðåøåíèå (15), ëåãêî ïîëó÷èòü
âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ñèñòåìû â ÏÂ êîíôèãó-
ðàöèè:
E J JLIPV � �$
3
2
, (16)
ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò ñîáñòâåííóþ ýíåð-
ãèþ âèõðÿ, à âòîðîå ñëàãàåìîå ñîîòâåòñòâóåò îñíîâ-
íîìó ñîñòîÿíèþ; ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîíñòàíòû $
ðàâíî
$ �
�
�
� � %
��
�
�
2
6
2
3
0 9672
J
dxIPV( ) , .
Îòìåòèì, ÷òî åñëè â äâóìåðíîì ñëó÷àå ýíåðãèÿ âèõ-
ðÿ ðàñõîäèòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêè ïðè óâåëè÷åíèè
ðàçìåðà ñèñòåìû [1], òî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå
âèõðåâîå ðåøåíèå ðàçäåëÿåò äâà âûðîæäåííûõ îñ-
íîâíûõ ñîñòîÿíèÿ è ñîîòâåòñòâóåò îäíîìåðíîé äî-
ìåííîé ñòåíêå, ýíåðãèÿ êîòîðîé êîíå÷íà [16,18,24].
 íåêîòîðîì ñìûñëå ñèòóàöèÿ ñõîäíà ñî «ñõëîïû-
âàíèåì» ìàãíèòíîãî âèõðÿ â 2D ëåãêîïëîñêîñòíîì
ôåððîìàãíåòèêå â áëîõîâñêóþ ëèíèþ â äîìåííîé
ãðàíèöå ïðè ó÷åòå äîïîëíèòåëüíîé àíèçîòðîïèè â
ëåãêîé ïëîñêîñòè. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâî-
âàíèå Ï êîíôèãóðàöèè âîçìîæíî òîëüêî ïðè ó÷å-
òå äèñêðåòíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â ÿäðå
âèõðÿ [6] (ïðè ýòîì ñíèìàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêàÿ
ðàñõîäèìîñòü ýíåðãèè âèõðÿ â öåíòðå âèõðåâîãî ðå-
øåíèÿ). Èñõîäÿ èç ýòîãî, èíòåðåñíî èññëåäîâàòü
âîïðîñ î íàëè÷èè ϗ ïåðåõîäà â ìîäåëè, â êî-
òîðîé ïðîäîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè
îïèñûâàåòñÿ â êîíòèíóàëüíîì ïðåäåëå è òîëüêî
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó öåïî÷êàìè ó÷èòûâàåòñÿ äèñ-
êðåòíûì îáðàçîì. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, ýíåð-
ãèÿ  êîíôèãóðàöèè ìåíüøå ÷åì ýíåðãèÿ Ï ïðè
óñëîâèè ñëàáîé àíèçîòðîïèè � �� J, è, òàêèì îáðà-
çîì,  äîëæåí áûòü óñòîé÷èâ äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé
�. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòîò âûâîä ñòàíîâèòñÿ íåâåð-
íûì, åñëè àíèçîòðîïèÿ íå ìàëà. Áîëåå òîãî, òàê êàê
ýíåðãèÿ Ï êîíôèãóðàöèè ðàñòåò ïðè óâåëè÷åíèè
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè � (ñì. (35)), ìîæ-
íî îæèäàòü, ÷òî Ï äîëæåí áûòü ýíåðãåòè÷åñêè
ïðåäïî÷òèòåëüíåå ïðè ñèëüíîé àíèçîòðîïèè. Ýòîò
âîïðîñ ìîæíî èññëåäîâàòü, ïðèìåíÿÿ ìåòîä Âàõè-
òîâà è Êîëîêîëîâà [19] è ïðîâîäÿ àíàëèç óñòîé÷è-
âîñòè ÏÂ êîíôèãóðàöèè.
Ñëåäóÿ ðàáîòå [19], íåîáõîäèìî ëèíåàðèçîâàòü
íà÷àëüíûå óðàâíåíèÿ (10) ïî ìàëûì, çàâèñÿùèì îò
âðåìåíè è êîîðäèíàòû äîáàâêàì, ê ñòàòè÷åñêîìó
ÏÂ ðåøåíèþ. Ñóùåñòâóþò äâå ìîäû, êîòîðûå íåîá-
õîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü:
1) ñèììåòðè÷íàÿ, ñ ìàëûìè äîáàâêàìè â âèäå
�
&
�
&1 22 2
� � � �( , ), ( , ),x t x t
(17)
� � ' � � � '1 2� � � � �IPV IPVx x t x x t( ) ( , ), ( ) ( , );
2) àíòèñèììåòðè÷íàÿ, ñ
�
&
�
&1 22 2
� � � �( , ), ( , ),x t x t
(18)
� � ' � � � '1 2� � � � �IPV IPVx x t x x t( ) ( , ), ( ) ( , ),
ãäå � IPV îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (15).
Ôàçîâûé ϗ ïåðåõîä äîëæåí áûòü ñâÿçàí
ñ íåóñòîé÷èâîñòüþ ñèììåòðè÷íîé ìîäû, î ÷åì ñâè-
äåòåëüñòâóåò ñèììåòðèÿ ÂÂ ðåøåíèÿ. Ýòî óòâåðæäå-
íèå òàêæå íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ ïðåäûäóùèìè
ðåçóëüòàòàìè [7,10] äëÿ äâóìåðíûõ ñèñòåì ñ ôèêñè-
ðîâàííîé ãðàíèöåé. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (17) â
(9), â ëèíåéíîì ïî ìàëûì äîáàâêàì ïðèáëèæåíèè
ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
�
� �' � ' &cos � ,IPV (19)
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 193
�
� � �
� � �& � � � � & '[cos cos ( ) ] �,IPV IPV IPV2 2 2
(20)
ãäå äëÿ óäîáñòâà âðåìÿ, êîîðäèíàòà è ïàðàìåòð
àíèçîòðîïèè ïåðåíîðìèðîâàíû ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: Jt t J x x J J� � � , , ( )1 2 0� � , à òî÷êè â
ïðàâûõ ÷àñòÿõ îáîçíà÷àþò � �t. Äëÿ ðåøåíèé ýòîé
ñèñòåìû â âèäå
' ' ( & & (( , ) ~( ) exp( ), ( , ) ~( ) exp( ),x t x t x t x t� � (21)
ïîëó÷àåì ñâÿçàííûå óðàâíåíèÿ
� �~ ~, ~ ~,L L1 2' (& & ('� � � (22)
ãäå �L1 è �L2— ýðìèòîâû îïåðàòîðû øðåäèíãåðîâ-
ñêîãî òèïà:
� ( ),L1
2
2 1� � �
d
dx
V x (23)
� ( ) ,L2
2
2 2� � � �
d
dx
V x � (24)
ñ ýôôåêòèâíûìè ïîòåíöèàëàìè V1(x) è V2 (x) (ñì.
ðèñ. 2):
V x
x
x
1
2
3
2
1 2
3
2
( ) ,�
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
ch
ch
(25)
V x
x
x
2 2
3
2
7 2
3
2
1 2
3
2
( ) � �
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
ch
ch
. (26)
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ
� � ~ ~L L1 2
2& ( &� � , (27)
ñ óñëîâèåì îãðàíè÷åííîñòè ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé
íà áåñêîíå÷íîñòè. Íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü
çíàê íàèìåíüøåãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà
� �L L1 2, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáñòâåííîé ôóíêöèè îñ-
íîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû ïà-
ðàìåòðà àíèçîòðîïèè. Ïðè ïîëîæèòåëüíîì ñàìîì
íèçêîì ñîáñòâåííîì çíà÷åíèè îïåðàòîðà (27) ( —
ìíèìîå, èñõîäíàÿ çàäà÷à íå ñîäåðæèò ýêñïîíåíöè-
àëüíî íàðàñòàþùèõ ñî âðåìåíåì ðåøåíèé, è ÏÂ óñ-
òîé÷èâ.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ïîÿâëÿåòñÿ ðå-
øåíèå ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì âðåìåííûì ðîñòîì, è
Ï íåóñòîé÷èâ. Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî íàéòè
çàâèñèìîñòü íèæàéøåãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ îò
ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè è çíà÷åíèå ïàðàìåòðà àíè-
çîòðîïèè, äëÿ êîòîðîãî ýòî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå
ìåíÿåò çíàê. Ýòî çíà÷åíèå � ñ è áóäåò ÿâëÿòüñÿ òî÷-
êîé ôàçîâîãî ϗ ïåðåõîäà.
Ïîñêîëüêó V x1 0( ) äëÿ ëþáîãî x, îïåðàòîð �L1
íåâûðîæäåííûé è îáëàäàåò íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì
ñóùåñòâåííî ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷å-
íèé. Ïðè ýòîì îáðàòíûé îïåðàòîð �L1
1� ñóùåñòâóåò è
òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûì. Ó÷è-
òûâàÿ ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à
� �
) *
) *�
(
& &
& &
0
2 2
1
1
min
~| | ~
~| | ~
�
�
L
L
(28)
ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê èññëåäîâàíèþ ñïåêòðà ñîáñò-
âåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà �L2, òàê êàê çíàê åãî
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïðåäåëÿåò ñèãíàòóðó èñõîä-
íîãî îïåðàòîðà èç (27). Â âûðàæåíèè (28) èíäåêñ
«0» ñîîòâåòñòâóåò ñàìîìó íèçêîìó ñîáñòâåííîìó
çíà÷åíèþ, è èñïîëüçîâàíû îáû÷íûå êâàíòîâî-
ìåõàíè÷åñêèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâå-
äåíèÿ.
Êàê ìîæíî âèäåòü íà ðèñ. 2, âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ
òî÷êè ϗ ïåðåõîäà â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå
åñòü� � � �V2 0 15( ) , . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âñåõ� 15,
âñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà äëÿ øðåäèíãåðîâñêîãî îïå-
ðàòîðà �L2 ñìåùàåòñÿ âûøå îñè x è ñîáñòâåííîå çíà-
÷åíèå îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëîæèòåëüíî. Ýòî îçíà-
÷àåò, ÷òî âñå ðåøåíèÿ íà÷àëüíîãî íàáîðà óðàâíåíèé
(19), (20) íå ÿâëÿþòñÿ ðàñòóùèìè, è Ï óñòîé÷èâ
äëÿ ëþáîãî � 15, . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèÿ òî÷êè
ϗ ïåðåõîäà ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü ïðèáëèçèòåëüíóþ âàðèàöèîííóþ ïðîöå-
äóðó äëÿ èññëåäîâàíèÿ íàèìåíüøåãî ñîáñòâåííîãî
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ( )�L2 � � , êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò
ñèììåòðè÷íîé ñîáñòâåííîé ôóíêöèè áåç óçëîâ ñ
ýêñïîíåíöèàëüíî çàòóõàþùèìè àñèìïòîòèêàìè íà
áåñêîíå÷íîñòè. Âûáèðàÿ ôóíêöèþ ñðàâíåíèÿ äëÿ
îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â âèäå & +� sec ( )h x , ãäå + — âà-
ðèàöèîííûé ïàðàìåòð, ìû óäîâëåòâîðÿåì íàëîæåí-
194 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
Ðèñ. 2. Ïðîôèëè ýôôåêòèâíûõ ïîòåíöèàëîâ V x1( ) è V x2( )
êàê ôóíêöèè ïåðåíîðìèðîâàííîé êîîðäèíàòû (25) è (26).
íûì óñëîâèÿì. Âàðèàöèîííàÿ ïðîöåäóðà ïðèâîäèò
ê êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè
� c % 0 73, . Ïîñêîëüêó îïåðàòîð ( )�L2 � � ÿâëÿåòñÿ îò-
ðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûì íà ìíîãîîáðàçèè ôóíê-
öèé ñ ñèììåòðèåé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, ìîæíî çà-
êëþ÷èòü, ÷òî èñòèííîå çíà÷åíèå � c äëÿ íàøåé
ñèñòåìû äîëæíî áûòü íåìíîãî ìåíüøå, ÷åì íàé-
äåííîå.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïðîâåðèòü íàøè ðåçóëüòàòû è
ïðîñëåäèòü ñâÿçü ïðåäëîæåííîé ñèñòåìû ñ ÷èñòî
äèñêðåòíûìè ñèñòåìàìè, áûë ïðîäåëàí ðÿä ÷èñëåí-
íûõ âû÷èñëåíèé äëÿ ïîëíîñòüþ äèñêðåòíûõ ñèñòåì
êîíå÷íîãî ðàçìåðà, àíàëîãè÷íûõ èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 1. Èñïîëüçóÿ íåïîñðåäñòâåííî ãàìèëüòîíèàí
äèñêðåòíîé ñèñòåìû (1), ÷èñëåííî îïðåäåëÿëè
âèõðåâóþ êîíôèãóðàöèþ ñ ìèíèìàëüíîé ýíåðãèåé
äëÿ ñèñòåì, âêëþ÷àþùèõ 40, 60 è 100 ñâîáîäíûõ
ñïèíîâ (âî âíóòðåííèõ öåïî÷êàõ). Èçâåñòíî, ÷òî
êðèòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè äëÿ
ϗ ïåðåõîäà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ðàçìåðîâ
äâóìåðíîé ñèñòåìû î÷åíü ìàëîãî ðàçìåðà [7,10].
Îäíàêî ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðà ñèñòåìû êðèòè÷å-
ñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè áûñòðî ñòðå-
ìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ. Äëÿ
âñåõ 40-, 60- è 100-ñïèíîâûõ ñèñòåì áûëî îáíàðóæå-
íî, ÷òî òî÷êà ïåðåõîäà ëåæèò âíóòðè èíòåðâàëà
0 695 0 7, ,� �� c . Ýòîò ðåçóëüòàò íàõîäèòñÿ â õîðî-
øåì ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëó÷åííîé àíàëèòè÷åñêîé
îöåíêîé.
4. Ñòàòè÷åñêàÿ âíåïëîñêîñòíàÿ âèõðåâàÿ
êîíôèãóðàöèÿ
Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, Ï óñòîé÷èâ, åñëè ïà-
ðàìåòð àíèçîòðîïèè áîëüøå êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ
� c J% 0 7, (â ýòîì ðàçäåëå èñïîëüçîâàí íåïåðåíîðìè-
ðîâàííûé ïàðàìåòð �).  óñòîé÷èâ â èíòåðâàëå
çíà÷åíèé ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè 0 � �� � c. Èññëå-
äîâàíèÿ ñòðóêòóðû  íàìíîãî ñëîæíåå, ÷åì äëÿ
ÏÂ, îäíàêî ìîæíî çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü ðàññóæ-
äåíèÿ, ïîëàãàÿ, ÷òî � �� J. Òàêèì îáðàçîì, â äàëü-
íåéøåì ðàññìîòðåíèè èñïîëüçîâàíà òåîðèÿ âîçìó-
ùåíèé ñ ìàëûì âîçìóùàþùèì ïàðàìåòðîì �.
4.1. Ðàñïðåäåëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè â
ñòàòè÷åñêîì âíåïëîñêîñòíîì âèõðå
Âîñïîëüçóåìñÿ óãëîâûìè ïåðåìåííûìè äëÿ ñïè-
íà â âèäå (4).  ñëó÷àå ñëàáîé àíèçîòðîïèè (� �� 1)
ðàñïðåäåëåíèå äëÿ ïîëåé �( )x è �( )x ìîæåò áûòü
íàéäåíî â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà ïî ïàðàìåòðó�. Äëÿ
ÂÂ õàðàêòåðíûé ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá (ìàã-
íèòíàÿ äëèíà) ïîðÿäêà �1 2 è, êàê áóäåò ïîêàçàíî
íèæå, � �x ~ �1 2. Àíàëîãè÷íî Ï ñëó÷àþ, â ñòàòè-
÷åñêîì  � � � �1 2� � � .  äîïîëíåíèå, äëÿ ñòà-
òè÷åñêîãî âèõðÿ èìååì � � �1 2� � (ñì. ðèñ. 1,á,â).
Ó÷èòûâàÿ ýòè ñèììåòðèéíûå ñîîòíîøåíèÿ, ìîæíî
ïðèâåñòè óðàâíåíèÿ (9) ê ïàðå ñâÿçàííûõ íåëèíåé-
íûõ óðàâíåíèé:
�
�� �
�
� � � �
2
2 2 0sin ctg , (29)
� �
�
� � �
� � � � � �
� �
[ sin ( ) ]sin cos
[sin sin ] .
2 2
2 0J (30)
Âèõðåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (29), (30) ñîîòâåò-
ñòâóåò ïðîñòðàíñòâåííîìó âðàùåíèþ ñïèíîâîãî âåê-
òîðà èç ïîëîæåíèÿ � �� 3, � � 0 ïðè x � �� â ïî-
ëîæåíèå � �� 3, � �� ïðè x � ��, ñïèíû ïðè ýòîì
âðàùàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
(ñì. ðèñ. 3). Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðåäïîëîæåíèåì
âåëè÷èíà � îñòàåòñÿ ïîðÿäêà åäèíèöû, â òî âðåìÿ
êàê
� �, �~ . Äëÿ âòîðîãî ïîëÿ: � � �� �3 O( ) è
� �~ 3 2. Â óðàâíåíèè (29) â îñíîâíîì ïðèáëèæå-
íèè ìîæíî îïóñòèòü ïîñëåäíèé ÷ëåí è ïîëó÷èòü èç-
âåñòíîå ñòàòè÷åñêîå ñèíóñ-ãîðäîí óðàâíåíèå (ÑÃÓ)
ñ ñîëèòîííûì ðåøåíèåì
� �( ) exp )0 2� arctg ( x . (31)
Ïîñëåäíèé ÷ëåí â (30) èìååò ïîðÿäîê �. Òàêèì
îáðàçîì, ýòîò àíàëèç äåìîíñòðèðóåò êîððåêòíîñòü
ñäåëàííîãî íà÷àëüíîãî ïðåäïîëîæåíèÿ î ïîðÿäêå
ìàëîñòè
� . Èñïîëüçóÿ îñíîâíîå ïðèáëèæåíèå äëÿ
ïîëÿ �, íàõîäèì ïåðâûå ïîïðàâêè äëÿ �:
�
� �
�
�( ) – ( )x
J x
O� �
3
1
3
1
2
2
ch
, (32)
à ïîëüçóÿñü (32), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ � ñ òî÷-
íîñòüþ äî �2 â âèäå
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 195
S2(– )�
S2( )�
S1(– )�
S1( )�
X
Ðèñ. 3. Ïðîñòðàíñòâåííîå âðàùåíèå ñïèíîâîãî âåêòîðà â
ñâîáîäíûõ öåïî÷êàõ ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàòû îò –�
äî ��.
� �
� �
�
�( ) exp ( )x x
J
x
x
O� � �2
1
3 2
2arctg
sh
ch
.(33)
Èç óðàâíåíèé (29), (30) ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü
àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïîëåé �( )x è �( )x â ÂÂ
âèõðå, íå äåëàÿ ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî � ìàëî. Ïðè
x � �� ìîæíî ëèíåàðèçîâàòü ýòè óðàâíåíèÿ íàä
îñíîâíûì ñîñòîÿíèåì (ñì. (13)) è ïîëó÷èòü
� �
�
� �
�
�
( ) exp( ),
( ) exp( ),
x C x
x C
J
x
%
% �
�
�
� �
3
3
8 3
22 (34)
ãäå êîíñòàíòà èíòåãðèðîâàíèÿ C çàâèñèò îò � è J è
äëÿ ìàëûõ � ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
C J O% � ��2 3 1 2� �( ) ( ).
Èç âèäà ðåøåíèé (32), (33) è àñèìïòîòèê (34) ñëå-
äóåò, ÷òî ðàçìåð ÿäðà ÂÂ èìååò ïîðÿäîê lOPV ~ � �1 2,
ò.å. ñóùåñòâåííî áîëüøå â ñëó÷àå ìàëûõ �, ÷åì äëÿ
ÏÂ: l J lIPV OPV~ � ��1 2 (ñì. (15)).
Èíòåðåñíî ñðàâíèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñ
äàííûìè àíàëèçà äâóìåðíûõ ñèñòåì. Âäàëè îò ÿäðà
âèõðÿ àñèìïòîòèêè z-êîìïîíåíòû íàìàãíè÷åííîñòè
óáûâàþò ýêñïîíåíöèàëüíî, êàê è â äâóìåðíîì
ñëó÷àå: S xz~ exp( )� � . Îäíàêî ïîëå � òàêæå ñòðå-
ìèòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ê ñâîåìó ïðåäåëüíîìó çíà-
÷åíèþ (� � �% �3 2O ( ( )exp x ), ÷òî îòëè÷àåòñÿ îò
2D ñëó÷àÿ, ãäå íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ �( ,y a�
x a a x ) ~ . Ýòî îòëè÷èå äåìîíñòðèðóåò îäíîìåð-
íûé õàðàêòåð ïðåäëîæåííîé ìîäåëè.
Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèÿ (32), (33) äëÿ ïîëåé �( )x è
�( )x â âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè (5), ñ òî÷íîñòüþ äî
ñëàãàåìûõ ïîðÿäêà � ïîëó÷àåì:
E JLOPV � �12
3
2
� , (35)
ãäå L êàê è ðàíåå îáîçíà÷àåò ïðîäîëüíûé ðàçìåð ñèñòå-
ìû. Ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ÂÂ âèõðÿ12 1 2� ïðè ìàëûõ�
ñóùåñòâåííî ìåíüøå ÷åì ýíåðãèÿ Ï (ñì. (16)).
Äëÿ ïîíèìàíèÿ ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû ïîëó÷åííî-
ãî âèõðåâîãî ðåøåíèÿ óäîáíî ïåðåéòè îò ïåðåìåí-
íûõ ( , )� � ê (Sz, �). Ïîäñòàâëÿÿ (32), (33) â âûðà-
æåíèÿ äëÿ z-êîìïîíåíòû íàìàãíè÷åííîñòè (6), ñ
òî÷íîñòüþ äî � ïîëó÷àåì:
S
x J x x
z
12 3
3
2
1 1
2 3
2 1
,
( ) ( ) ( )
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�ch ch ch�
�
� �
.
(36)
Çàâèñèìîñòü ïîëíîé âíåïëîñêîñòíîé íàìàãíè÷åí-
íîñòè ÂÂ îò ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè âûãëÿäèò ñëå-
äóþùèì îáðàçîì:
M� � ��
�
�
3 3 2O ( ), (37)
à âûðàæåíèå äëÿ ïîëÿ � â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè
� � � � �1 2 13� � � � �arctg tg ( ),x . (38)
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëåé Sz
è �, ìîæíî íàéòè âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè çàâèõ-
ðåííîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âàæíîé
ëîêàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé ÂÂ. Äëÿ äâóìåðíîãî
ìàãíåòèêà, ïðè êîíòèíóàëüíîì îïèñàíèè, ïëîòíîñòü
çàâèõðåííîñòè èìååò âèä (ñì., íàïðèìåð, [22])
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
S
x y
S
y x
z z� �
, (39)
è ïîëíàÿ çàâèõðåííîñòü  â áåñêîíå÷íîì 2D ìàãíå-
òèêå ðàâíà - � ���
V
dxdy Sz2 0� ( ), ãäå Sz ( )0 —
z-êîìïîíåíòà íàìàãíè÷åííîñòè â öåíòðå âèõðÿ. Äëÿ
ðàññìàòðèâàåìîé êîìáèíèðîâàííîé ìîäåëè y-êîîðäèíàòà
ïðèíèìàåò äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ y = 0, 1, 2, 3, è ïðîèç-
âîäíàÿ � �y äîëæíà áûòü çàìåíåíà ñèììåòðèçîâàí-
íûìè êîíå÷íûìè ðàçíîñòÿìè: � � � �f y f f( ) ,0 2 2
( )f f1 3 2� . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî àíàëîãà
ïîëíîé çàâèõðåííîñòè íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü
ñèììåòðèéíûå ñâîéñòâà ÂÂ: S S S Sz z z z
0 3 1 20� � �, ;
�0 0� , � �3 � � è � � �2 1� � � (äëÿ x 0); �2 �
� �� �, (äëÿ x � 0). Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ó÷èòû-
âàåò âðàùåíèå ñïèíîâîãî âåêòîðà íà óãîë 2� ïðè
îáõîäå ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó âîêðóã öåíòðà âèõ-
ðÿ. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî èìååì äëÿ ïëîòíî-
ñòè çàâèõðåííîñòè (èíäåêñû ïîêàçûâàþò íîìåð öå-
ïî÷êè)
� �1 2 1 1
11
2 2
� �
�
�
�
�
�x
S
S
x
xz
z
( ) ( )�
�
sgn , (40)
è äëÿ ïîëíîé çàâèõðåííîñòè
- � � �
��
�
�dx Sz( ) ( )� �1 2 12 0� . (41)
Ýòîò ðåçóëüòàò ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì äëÿ ÂÂ â
êîíòèíóàëüíîé äâóìåðíîé ñèñòåìå.
Ïîñêîëüêó äàëåå áóäóò ÷èñëåííî ðàññìîòðåíû äèñ-
êðåòíûå ñèñòåìû êîíå÷íîãî ðàçìåðà âäîëü îñè x, ïî-
ëåçíî îáñóäèòü ýôôåêòû êîíå÷íîñòè öåïî÷åê àíàëèòè-
÷åñêè.  ïåðâóþ î÷åðåäü íåîáõîäèìî ïåðåïèñàòü
îñíîâíîå ïðèáëèæåíèå ðåøåíèÿ äëÿ ïîëÿ � (31), ÷òî-
áû óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (äëÿ îïðåäå-
ëåííîñòè âûáðàíû íåéìàíîâñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ)
íà êîíöàõ öåïî÷åê 1 è 2 (ò.å. â òî÷êàõ x L� � 2, ãäå L
îáîçíà÷àåò ïîëíóþ äëèíó öåïî÷åê).  îñíîâíîì ïðè-
áëèæåíèè � �( )0 3% è �( )0 óäîâëåòâîðÿåò ÑÃÓ. ×òî-
áû óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì íàäî âûáðàòü
ïåðèîäè÷åñêîå êíîèäàëüíîå ðåøåíèå ÑÃÓ:
196 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
�
�
. � .( ) ( | )0
2
� � arcsin sn x , (42)
ãäå sn( | )z . — ýëëèïòè÷åñêèé ñèíóñ ßêîáè [20] ñ àð-
ãóìåíòîì z è ìîäóëåì .. Ìîäóëü . îäíîçíà÷íî îï-
ðåäåëÿåòñÿ äëèíîé öåïî÷åê è çíà÷åíèåì ïàðàìåòðà
àíèçîòðîïèè:
�
.
L
2
� K( ). (43)
Çäåñü K ïîëíûé ýëëèïòè÷åñêèé èíòåãðàë ïåðâîãî
ðîäà. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå K(0) =
� � 2 è K( ). ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèåé ñâîåãî
àðãóìåíòà ., ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà àíè-
çîòðîïèè �, ïðè êîòîðîì èñ÷åçàåò âèõðåâàÿ êîíôè-
ãóðàöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, êîãäà . � 0, âåëè÷èíà �
îñòàåòñÿ êîíå÷íîé è ñòðåìèòñÿ ê � �* � ( )L 2. Äëÿ
çíà÷åíèé �, ìåíüøèõ ÷åì �*, ñóùåñòâóåò òîëüêî
îäíîðîäíîå ñïèíîâîå óïîðÿäî÷åíèå áåç âèõðÿ (â
íàïðàâëåíèè îñè x). Àíàëîãè÷íîå âëèÿíèå êîíå÷íî-
ãî ðàçìåðà ñèñòåìû íà ñòðóêòóðó  áûëî îòìå÷åíî
è ðàíåå ïðè èññëåäîâàíèè äâóìåðíîãî ñïèíîâîãî
ïëàêåòà ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé [10]. Áèôóðêàöèîí-
íîå îòùåïëåíèå ëîêàëèçîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ îò îä-
íîðîäíîãî äëÿ ñèñòåì êîíå÷íîãî ðàçìåðà ÿâëÿåòñÿ
õîðîøî èçâåñòíûì ôàêòîì. Îíî ïðîèñõîäèò ïðè
êîíå÷íîì êðèòè÷åñêîì çíà÷åíèè áèôóðêàöèîííîãî
ïàðàìåòðà, è â îäíîìåðíûõ ñèñòåìàõ ýòî êðèòè÷å-
ñêîå çíà÷åíèå èìååò ïîðÿäîê L�2 [21]. Ïðîâåäåì
ðàñ÷åò âíåïëîñêîñòíîé íàìàãíè÷åííîñòè äëÿ ñèñòå-
ìû êîíå÷íîãî ðàçìåðà L â  êîíôèãóðàöèè. Âû-
ðàæåíèÿ äëÿ ëîêàëüíîé z-êîìïîíåíòû ñïèíîâ ìîæ-
íî ïîëó÷èòü, ïîäñòàâèâ çàâèñèìîñòè äëÿ ïîëåé �( )0
è � ( )0 â ñîîòíîøåíèÿ (6):
S xz
12 3
2
, ( | )� dn � . , (44)
ãäå ýëëèïòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ dn( | )z . îïðåäåëÿåòñÿ
êàê dn sn( | ) ( ( | ))z z. . .� �1 2 2 1 2. Òîãäà ïîëíàÿ âíå-
ïëîñêîñòíàÿ íàìàãíè÷åííîñòü êîíå÷íîé ñèñòåìû
èìååò âèä
M S x S x dxL
z
L
L
z� � �
�
� 1
2
2
2
3
( ) ( )] �
�
. (45)
 ïðåäåëå ïðè � �� * îíà ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ
M LL
* � 2
3
2
. (46)
Ïðè ðàññìîòðåíèè äèñêðåòíîé ñèñòåìû â âûðà-
æåíèè (46) ìíîæèòåëü 2L íàäî çàìåíèòü íà ÷èñëî
ñïèíîâ N â ïîäâèæíûõ öåïî÷êàõ 1 è 2.
4.2. ×èñëåííûé àíàëèç ñòàòè÷åñêîãî
âíåïëîñêîñòíîãî âèõðÿ â äèñêðåòíûõ ñèñòåìàõ
êîíå÷íîãî ðàçìåðà
Ïîëåçíî äîïîëíèòü àíàëèòè÷åñêîå ðàññìîòðåíèå
÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè äëÿ äèñêðåòíûõ ñèñòåì àíà-
ëîãè÷íîé ãåîìåòðèè ñ öåëüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ àíà-
ëèçà íà âñþ îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ÂÂ, íå îãðàíè-
÷èâàÿñü ñëó÷àåì òîëüêî ìàëûõ �, è èññëåäîâàòü
âèõðåâóþ ñòðóêòóðó ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà àíè-
çîòðîïèè, áëèçêèõ ê òî÷êå ϗ ïåðåõîäà. Äëÿ
íàõîæäåíèÿ êîíôèãóðàöèè, èìåþùåé ìèíèìàëüíóþ
ýíåðãèþ, èñïîëüçîâàíî íåïîñðåäñòâåííî âûðàæåíèå
(1) äëÿ ýíåðãèè äèñêðåòíîé ñèñòåìû è ïðèìåíåí ìå-
òîä «ñëó÷àéíîé ðåëàêñàöèè» (random relaxation
procedure) ïðè ðàçëè÷íîé âåëè÷èíå àíèçîòðîïèè.
Êàê èñõîäíàÿ êîíôèãóðàöèÿ âûáðàíî ðàñïðåäåëå-
íèå, îïèñûâàåìîå ôîðìóëîé (15), ãäå öåíòð âèõðÿ
ñîâìåùåí ñ öåíòðîì ñèñòåìû (íà÷àëîì êîîðäèíàò íà
ðèñ. 1,â) è ïîëîæåíî J = 1. Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå
(15) ïîëó÷åíî â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè è
ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíûì ëèøü ïðè ìàëûõ J. Äîïóñêà-
ëàñü ðåëàêñàöèÿ òîëüêî ê êîíôèãóðàöèÿì ñ âèõðå-
âîé ñèììåòðèåé. Èññëåäîâàíû ñèñòåìû, ñîäåðæà-
ùèå 40, 60 è 100 ñïèíîâ, îäíàêî èç-çà ïî÷òè ïîëíîé
ñõîæåñòè ðåçóëüòàòîâ â íàñòîÿùåì ðàçäåëå ðàññìîò-
ðåíû äàííûå àíàëèçà òîëüêî ñèñòåìû ñ 40 ïîäâèæ-
íûìè ñïèíàìè (íà êîíöàõ ñâîáîäíûõ öåïî÷åê
âûáðàíû íåéìàíîâñêèå, ò. å. ñâîáîäíûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ).
Íà ïåðâîì øàãå äîïóñêàëàñü ðåëàêñàöèÿ òîëüêî â
ëåãêîé ïëîñêîñòè è òàêèì îáðàçîì ïîëó÷åíà èñòèí-
íàÿ Ï êîíôèãóðàöèÿ äëÿ âûáðàííûõ çíà÷åíèé ïà-
ðàìåòðîâ èññëåäóåìîé ñèñòåìû. Ñîîòâåòñòâóþùåå
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 197
à á
â ã
� = 0,685
� = 0,005� = 0,15
� = 0,55
0
0,4
0,8
Sz
11
1 1 20
20
20
20
0
0,4
Sz
0,8
0
0,4
Sz
0,8
0
0,4
Sz
0,8
Ðèñ. 4. Èçìåíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Sz è ñòðóêòóðû óïîðÿ-
äî÷åíèÿ ñïèíîâ â ëåãêîé ïëîñêîñòè ïðè óìåíüøåíèè âåëè-
÷èíû � äëÿ äèñêðåòíîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç 40 ñïèíîâ â
ÂÂ êîíôèãóðàöèè.
Ï ðàñïðåäåëåíèå î÷åíü áëèçêî ê ðàñïðåäåëåíèþ
ñïèíîâ â ëåãêîé ïëîñêîñòè íà ðèñ. 4,à. Äèñêðåò-
íîñòü ñèñòåìû, âëèÿíèå êîíå÷íîñòè äëèíû öåïî÷åê
è äîñòàòî÷íî áîëüøîå èñïîëüçîâàííîå çíà÷åíèå äëÿ
J ïðèâåëè â ðåçóëüòàòå ê òðàíñôîðìàöèè âûáðàííî-
ãî íà÷àëüíîãî (ïîëó÷åííîãî àíàëèòè÷åñêè â êîíòè-
íóàëüíîì ïðåäåëå äëÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû) ÏÂ
ðàñïðåäåëåíèÿ. Íåñìîòðÿ íà ýòî, ðàçëè÷èå èñõîä-
íîé êîíôèãóðàöèè è ïîëó÷åííîé ïîñëå ðåëàêñàöè-
îííîé ïðîöåäóðû íå áûëî î÷åíü ñóùåñòâåííûì.
Íà ñëåäóþùåì øàãå äîïóñêàëñÿ âûõîä ñïèíîâ èç
ëåãêîé ïëîñêîñòè è íàõîäèëàñü ñïèíîâàÿ êîíôèãó-
ðàöèÿ â òðåõ èçìåðåíèÿõ (íàïîìíèì, ÷òî äëèíà ñïè-
íîâîãî âåêòîðà îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé). Ýòî áûëî ïðî-
äåëàíî äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè èç
èíòåðâàëà 0 02 15, ,� �� ñ øàãîì 0,01 (äëÿ çíà÷åíèé�
ìåíüøèõ 0,02 ñèñòåìà íå ðåëàêñèðîâàëà ê âèõðåâîé
êîíôèãóðàöèè).
Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ z-ïðîåêöèè íàìàãíè÷åí-
íîñòè è ðàñïðåäåëåíèÿ ñïèíîâ â ëåãêîé xy-ïëîñêî-
ñòè ïðèâåäåíû íà ðèñ. 4. Àíàëèç ïîêàçàë, ÷òî äëÿ
� �� %c 0 695, ó âèõðåâîãî ðåøåíèÿ âîçíèêàëà âíå-
ïëîñêîñòíàÿ êîìïîíåíòà, ñèëüíî ëîêàëèçîâàííàÿ â
îêðåñòíîñòè âèõðåâîãî ÿäðà äëÿ íåáîëüøîãî îòêëî-
íåíèÿ çíà÷åíèé � îò êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ � c. Äëÿ
òàêèõ çíà÷åíèé � ðàñïðåäåëåíèå ñïèíîâ â xy-ïëîñ-
êîñòè ñóùåñòâåííî íå îòëè÷àëîñü îò ðàñïðåäåëåíèÿ
ñïèíîâ â ÏÂ. Ïðè óâåëè÷åíèè îòêëîíåíèÿ � îò êðè-
òè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ (â ñòîðîíó ìåíüøèõ �) ïëîñêî-
ñòíîå óïîðÿäî÷åíèå ñïèíîâ èçìåíÿëîñü â ñîîòâåòñò-
âèè ñ ðåçóëüòàòàìè àíàëèòè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ
(ñì. (15), (32), (33)). Îäíîâðåìåííî ïðîôèëü âíå-
ïëîñêîñòíîé íàìàãíè÷åííîñòè ïðèíèìàë âñå áîëåå
ãëàäêóþ êîëîêîëîîáðàçíóþ ôîðìó. Ïîäîáíîå æå
ïîâåäåíèå z-ïðîåêöèè íàìàãíè÷åííîñòè ïðè óìåíü-
øåíèè âåëè÷èíû àíèçîòðîïèè íàáëþäàåòñÿ â äâó-
ìåðíûõ ñèñòåìàõ.
Çàâèñèìîñòü âíåïëîñêîñòíîé íàìàãíè÷åííîñòè,
ïðèõîäÿùåéñÿ íà îäèí ñïèí ñèñòåìû, îò ïàðàìåòðà
àíèçîòðîïèè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 5. Ýòà çàâèñè-
ìîñòü èìååò õàðàêòåðíûé áèôóðêàöèîííûé âèä è
íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûìè äëÿ
äâóìåðíûõ ñèñòåì: îíà âîçíèêàåò â òî÷êå � c ñ êîð-
íåâîé ñèíãóëÿðíîñòüþ è ìîíîòîííî ñòðåìèòñÿ ê ñâî-
åìó ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ M NL � 3 2 ïðè
� �� * (îòìåòèì, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå M N â
äâóìåðíîé ñèñòåìå ðàâíî åäèíèöå). ×èñëåííàÿ çà-
âèñèìîñòü M( )� íàõîäèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ àíàëè-
òè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì M � � �( )3 1 2 (äëÿ ìàëûõ�).
Íà ðèñ. 6 èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü E( )� äëÿ ÂÂ.
Ýòà çàâèñèìîñòü äëÿ ìàëûõ �, ïîëó÷åííàÿ ÷èñëåííî
(ñì. ðèñ. 6), íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîîòâåòñòâèè ñ
ðåçóëüòàòîì àíàëèòè÷åñêîãî ðàññìîòðåíèÿ. E( )� îò-
ùåïëÿåòñÿ áèôóðêàöèîííûì îáðàçîì â òî÷êå � �� c
îò çíà÷åíèÿ ýíåðãèè äëÿ Ï EIPV % �661, (äëÿ N =
= 40). Äëÿ� �� c ýíåðãèÿ  ìåíüøå ÷åì ýíåðãèÿ ÏÂ,
è ïðè ýòèõ çíà÷åíèÿõ àíèçîòðîïèè ïëîñêîñòíîé âèõðü
íåóñòîé÷èâ. Ýíåðãèÿ  óìåíüøàåòñÿ ïðè óìåíüøåíèè
� è äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ E* %�67 6, âî âòîðîé áèôóð-
êàöèîííîé òî÷êå � � �� % %* ( ) ,L 2 0 02, â êîòîðîé
âèõðü òåðÿåò ñâîè òîïîëîãè÷åñêèå ñâîéñòâà è ïåðåõîäèò
â îäíîðîäíîå âíåïëîñêîñòíîå ñîñòîÿíèå (ÎÂ)* ñ íåíó-
ëåâîé z-êîìïîíåíòîé ñïèíîâ (Sz
12 3 3 2, sin( )� �� ,
Sx
1 � � � �Sx
2 3 1 2cos( )� , S Sy y
1 2 0� � ). Çàâèñè-
ìîñòü ýíåðãèè  EOPV ( )� îòùåïëÿåòñÿ â òî÷êå
( , )�* *E îò çàâèñèìîñòè ýíåðãèè ÎÂ EOPU( )� ýòîãî
îäíîðîäíîãî ñîñòîÿíèÿ. Äëÿ êàæäîãî � �� * â ñèñòåìå
êîíå÷íîãî ðàçìåðà óñòîé÷èâû òîëüêî îäíîðîäíûå ñî-
198 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
M
0,8
0,4
0,6
0,2
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,1
�
�c�*
Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü âíåïëîñêîñòíîé íàìàãíè÷åííîñòè íà
îäèí àòîì îò ïàðàìåòðà àíèçîòðîïèè � äëÿ ñèñòåìû èç
40 ñïèíîâ.
EOPV
EOPU
EIPV
EIPV
E
�*
�
�c
0,1 0,2 0,3 0,70,60,50,4
–66,2
–66,8
–67,4
–68
Ðèñ. 6. Çàâèñèìîñòü ïîëíîé ýíåðãèè â ñèñòåìå èç 40 ïîä-
âèæíûõ ñïèíîâ îò ïàðàìåòðà � äëÿ ÂÂ, ÏÂ è äëÿ îäíîðîä-
íîé âíåïëîñêîñòíîé (ÎÂ) è îäíîðîäíîé ïëîñêîñòíîé (ÎÏ)
êîíôèãóðàöèé. (Èíäåêñû OPV, IPV, OPU è IPU îòâå÷àþò
ñîîòâåòñòâåííî ÂÂ, ÏÂ, ÎÂ è ÎÏ êîíôèãóðàöèÿì).
* â ôîðìóëàõ — ñ èíäåêñîì OPU
ñòîÿíèÿ: â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî Πè îäíîðîä-
íîå ïëîñêîñòíîå ñîñòîÿíèå (ÎÏ).*
Ðàñïðåäåëåíèå ñïèíîâ â ïîñëåäíåì äàåòñÿ âûðà-
æåíèåì (13). Ãëîáàëüíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ìèíèìóì
ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì � ñîîòâåòñòâóåò ÎÏ ñ
ýíåðãèåé EIPU � � 68 äëÿ N = 40.  ñâîþ î÷åðåäü
ÎÂ êîíôèãóðàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ëîêàëüíîìó ìèíè-
ìóìó ýíåðãèè. Äëÿ � � 0 ýíåðãèè ÎÂ è ÎÏ ðàâíû
äðóã äðóãó.
5. Äèíàìèêà âíåïëîñêîñòíîãî âèõðÿ
Ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà  â ñëó÷àå
ñëàáîé àíèçîòðîïèè (��� J). Òðóäíîñòü ðàññìîòðå-
íèÿ äèíàìèêè ÂÂ â ðàìêàõ ïðåäëîæåííîé ìîäåëè çà-
êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äâèæåíèå  âîçìîæíî ëèøü
ïðè óñëîâèè ñìåùåíèÿ öåíòðà âèõðÿ â íàïðàâëåíèè
îñè y èç ñèììåòðè÷íîé ïîçèöèè. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü,
âëå÷åò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó èç ÷å-
òûðåõ ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé äëÿ ïîëåé �12, è �12, .
Îòìåòèì, ÷òî â áåñêîíå÷íîé äâóìåðíîé ñèñòåìå ÂÂ
íå ìîæåò äâèãàòüñÿ (îí «âìîðîæåí» â îñíîâíîå ñî-
ñòîÿíèå), è äâèæåíèå âîçìîæíî òîëüêî â ñèñòåìàõ
êîíå÷íîãî ðàçìåðà, äàæå åñëè îíà îãðàíè÷åíà òîëüêî
â îäíîì èçìåðåíèè. (Ïðîáëåìà äâèæåíèÿ âèõðåé Ïè-
òàåâñêîãî â ñâåðõòåêó÷åé æèäêîñòè â ñèñòåìàõ ñ ïî-
õîæåé ãåîìåòðèåé ðàññìîòðåíà â ðàáîòå [23].)
Ïðåæäå âñåãî ïðîàíàëèçèðóåì ñïåêòð ëèíåéíûõ
ñïèíîâûõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ âäîëü öåïî-
÷åê. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñïåêòðà íåîáõîäèìî ëèíåàðèçî-
âàòü íàáîð óðàâíåíèé (9) íàä îñíîâíûì îäíîðîä-
íûì ñîñòîÿíèåì ïî �12 1, �� è /12 1, �� , ãäå
� � /1 13� � è � � /2 22 3� � :
� � � �� �� � � /12 12 12 21 12
2
3
, , , , ,( ) �J , (47)
� �/ / / �12 12 12 122
2
3
, , , ,� .J
J
� (48)
Çàòåì, ïîäñòàâëÿÿ
� � 0i ix t kx t( , ) sin( )� � ,
/ / 0i ix t kx t( , ) cos( )� � ,
ïðèõîäèì ê äèñïåðñèîííûì ñîîòíîøåíèÿì:
0 �s k
J
k2 2 2
2
� � ��
�
�
�
�
�( ) , (49)
äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîäû s ñ � �1 2� , / /1 2� � è
0 �a J k
J
k2 2 22
3
2
� � � ��
�
�
�
�
�( ) , (50)
äëÿ àíòèñèììåòðè÷íîé ìîäû a ñ � �1 2� � , / /1 2� .
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîëó÷åííûå äèñïåðñèîííûå ñîîò-
íîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò ñïèíîâûì âîëíàì â ñèñòåìå
ñî ñïåöèàëüíûì òèïîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (ñ ïðî-
òèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì ôèêñèðîâàííûõ ñïè-
íîâ â öåïî÷êàõ 0 è 3). Åñëè ñïèíû â ãðàíè÷íûõ öå-
ïî÷êàõ ôèêñèðîâàíû â îäíîì íàïðàâëåíèè, òî
çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìîäû 0 s
2 �
� � � �[( ) ][ ]� J k J k2 2 , êàê è â àíòèñèììåòðè÷íîé
ìîäå. Ïîëó÷åííûå äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ êà-
÷åñòâåííî èìåþò òîò æå âèä, ÷òî è çàêîí äèñïåðñèè
ñïèíîâûõ âîëí â äâóìåðíîì ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåð-
ðîìàãíåòèêå ñ ôèêñèðîâàííûìè (òèïà Äèðèõëå)
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Íèæàéøàÿ ñèììåòðè÷íàÿ
ìîäà ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì äâóìåðíîãî ìàãíåòèêà,
åñëè îäèí èç ðàçìåðîâ äâóìåðíîé ñèñòåìû ðàâåí
� 2. Ïîëó÷åííûå äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ òàê-
æå íàïîìèíàþò çàêîí äèñïåðñèè äëÿ áèàêñèàëüíîãî
ôåððîìàãíåòèêà [24].
Èç ôîðìóëû (49) ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ ôà-
çîâàÿ ñêîðîñòü ñïèíîâûõ âîëí ïðèáëèçèòåëüíî ðàâ-
íà V J cph
min ( )% �2 2 . Õîðîøî èçâåñòíî [24], ÷òî
äâèæåíèå íåëèíåéíûõ ëîêàëèçîâàííûõ âîçáóæäå-
íèé ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ âîçìîæíî òîëüêî ñî
ñêîðîñòÿìè, ìåíüøèìè ìèíèìàëüíîé ôàçîâîé ñêî-
ðîñòè ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé (V < c). Â äàëüíåé-
øåì íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü òîëüêî ñëó÷àé äâèæå-
íèÿ âèõðåé ñ ìàëûìè ñêîðîñòÿìè V c�� .
 ñòàòè÷åñêîì  ïðîñòðàíñòâåííûé ðàçâîðîò
ñïèíîâ ïðè èçìåíåíèè x îò �� äî �� ïðîèñõîäèò
ïî÷òè ïî êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ óãëîì ðàñòâîðà
� � � � �1 2 3� % . Ýòîò ôàêò äåìîíñòðèðóåò óäîáñòâî
èñïîëüçîâàíèÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ /12, . Ëèíåàðèçóÿ
óðàâíåíèÿ (9) ïî ìàëûì /12, , ìîæíî âûðàçèòü /12, ÷å-
ðåç�12, è âûâåñòè óïðîùåííûå óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå
òîëüêî �12, (ïîäðîáíîñòè ýòîé ïðîöåäóðû è äåòàëè, êà-
ñàþùèåñÿ ñïåêòðà ñïèíîâûõ âîëí, äàíû â Ïðèëîæå-
íèè). Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ
òîëüêî óïðîùåííûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïîëåé �12, :
� � � �
� �
�
�
� � �
� �
12 12 12 21
12
2
2
2
3
2
, , , ,
,
sin sin( )
{ �� ��
J
J 21 21 12 21
12 12
3
2 2
2
3
2
, , , ,
, ,
} � (sin sin )
�
� �
�
�
� � �
� �
J
J
�
� 1 23 12 12 12 21 21 21
�
�
� � � � � �, , , , , ,� ( � ) � .
(51)
Òàêîå óïðîùåíèå âîçìîæíî òîëüêî ïðè ìàëûõ �.
Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ íåòðóäíî ïðîàíàëèçèðî-
âàòü äëÿ ñëó÷àåâ V �� �1 2 è �1 2 �� ��V c (ìû ïî-
ëàãàåì � �� J ~ 1). Ïîñêîëüêó ñèñòåìà (51) áûëà
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 199
* â ôîðìóëàõ IPU
âûâåäåíà äëÿ äâèæåíèé ñî ñêîðîñòÿìè V c�� , òî â
ðàìêàõ ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî èññëåäîâàòü ëèíåé-
íûå âîëíû ñ ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþ-
ùåé ñîîòíîøåíèþ V cgr �� , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ñ
âîëíîâûìè ÷èñëàìè k �� �1 2. Ñ äàííîé òî÷íîñòüþ
çàêîíû äèñïåðñèè (49), (50) ïðèâîäÿòñÿ ê (ñì. òàê-
æå Ïðèëîæåíèå):
0
�
0
�
s a
J
ck J
J2 2 2 2
2
3
3
2
� � � ��
�
�
�
�
�, . (52)
 ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõ èíäåêñû s è a, êàê è ðàíåå,
õàðàêòåðèçóþò ñèììåòðèþ ïîëåé �12, .
5.1. Äâèæåíèå âíåïëîñêîñòíîãî âèõðÿ
ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ
Äàäèì îöåíêó ðàçíûì ÷ëåíàì â ïðàâîé ÷àñòè (51).
Èç ñòàòè÷åñêèõ ðåøåíèé (32) è (33) ñëåäóåò, ÷òî õà-
ðàêòåðíûé ïðîñòðàíñòâåííûé ìàñøòàá ðàñïðåäåëåíèÿ
íàìàãíè÷åííîñòè èìååò ïîðÿäîê �1 2, ò.å. ïðîñòðàíñò-
âåííûå ãðàäèåíòû ïîðÿäêà � � �x ~ 1 2. Ïðîèçâîäíûå
ïî âðåìåíè èìåþò ïîðÿäîê V�1 2. Òîãäà ÷ëåíû â
ïðàâîé ÷àñòè (51) èìåþò ñëåäóþùèå ïîðÿäêè:V2� â
ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, V�3 2 â êðóãëûõ è êâàäðàòíûõ
ñêîáêàõ. Ïîêà ñêîðîñòü âèõðÿ íàõîäèòñÿ â èíòåð-
âàëå �1 2
2
1 22� �� �� �c V c J( ) («áûñòðûå âèõ-
ðè»), ÷ëåí â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè (51)
ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå äëÿ
«ìåäëåííûõ âèõðåé» ñî ñêîðîñòÿìè V c�� 2 ýòîò
÷ëåí ìîæåò áûòü îòáðîøåí.
Ðàññìîòðèì ìåäëåííûå âèõðè, äâèæóùèåñÿ ñî ñêî-
ðîñòÿìèV c�� ��1 2
2.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âîñïîëü-
çîâàòüñÿ òåîðèåé âîçìóùåíèé, âçÿâ ðåøåíèå (31) äëÿ
ñòàòè÷åñêîãî  êàê îñíîâíîå ïðèáëèæåíèå:
� 3 34
12 12 122 1, , ,,� � ��arctg e , (53)
ãäå 4 �� �( )x Vt . Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü (51)
âûðàæåíèå (53) è ëèíåàðèçóÿ ëåâóþ ÷àñòü ñèñòåìû
(51) ïî ìàëûì 312, , ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
3 �
4
3 3 3
�
12 2 12 12 21
3
2
1
2
8
3
, , , ,( )
ch
J
V
J
�
sh
ch
4
43
. (54)
Âçÿâ ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû,
íàõîäèì, ÷òî ñ èñïîëüçóåìîé òî÷íîñòüþ âûðàæåíèÿ
äëÿ �12, èìåþò âèä
�
� 4
4
4
12
3
2
2 3
2
4
3, � �arctg e
sh
ch
V
J
. (55)
Âûðàæåíèÿ äëÿ �12, ïðè ýòîì ñëåäóþùèå:
�
� �
4
�
4
�
� �
4
�
1
2
2
2
3 3
3
2
2
3 3
3
2
� � �
� � �
J J
V
c
J J
V
sech sech
sech
,
c
sech 4.
(56)
Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå äëÿ ìåäëåííûõ âèõðåé
òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñòàòè÷åñêîå  ðåøåíèå (32),
(33) â ïðåäåëå V � 0.
Äëÿ áûñòðûõ âèõðåé, ââîäÿ íîâóþ ïàðó ïåðåìåí-
íûõ u � �� �1 2, w � �� �1 2, ìîæíî ïåðåïèñàòü
(51) â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1 0
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
� �
V
c
u u w� sin cos ,
1
1
3
2 0
2
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
#
� � �
V
c
w u J w0 � sin cos sin .
(57)
Ýòà ñèñòåìà îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì
äëÿ äâèæóùèõñÿ âèõðåé ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ñ
w = 0 è ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîìó ÑÃÓ ñ ðåøåíèåì â âèäå
êèíêà
� � 5
1 2 2� � arctg e , (58)
ãäå 5 îòëè÷àåòñÿ îò 4 ëîðåíöåâñêèì çíàìåíàòåëåì
6 7
5 ��
�
�
x Vt
V c1 2
.
 ýòîì ïðèáëèæåíèè èç (Ï.3) ïîëó÷àåì
6 7
�
� �
51
23
3
2 1
� �
�J
V c
V c
sech ,
6 7
�
� �
52
2
2
3
3
2 1
� �
�J
V c
V c
sech . (59)
 ýòèõ ðåøåíèÿõ îïóùåíû ÷ëåíû ~ � 4sech2 , ïî-
ñêîëüêó äëÿ ñêîðîñòåé â èíòåðâàëå c V c2 �� �� îíè
ñóùåñòâåííî ìåíüøå ÷åì «äèíàìè÷åñêèå» ñëàãàå-
ìûå (ïðîïîðöèîíàëüíûå V). Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøå-
íèÿ (55), (56) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êàê àï-
ïðîêñèìèðóþùàÿ ôîðìóëà äëÿ âñåãî äèàïàçîíà
ñêîðîñòåé V c�� .
Ïîäñòàâëÿÿ ðåøåíèÿ (55), (56) â ñîîòíîøåíèÿ
(6), íàõîäèì ðàñïðåäåëåíèå z-êîìïîíåíòû íàìàãíè-
÷åííîñòè â äâèæóùåìñÿ âèõðå (ïîïðàâêàìè ~ � ê
ñòàòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðåíåáðåãàåì):
S
J
V
c
z
12
3
2
1
2, % �
�
�
�
�
�
�
�
�
sech sech4
�
4 . (60)
200 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
Áîëåå òî÷íîå âûðàæåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, èñ-
ïîëüçóÿ âûñøèå ñòàòè÷åñêèå ïîïðàâêè èç âûðàæå-
íèé (36). Èç ðåøåíèÿ (60) âèäíî, ÷òî S Sz z
1 28 , ò.å.
ðàñïðåäåëåíèå íàìàãíè÷åííîñòè àñèììåòðè÷íî.
Àñèììåòðèÿ äâèæóùåãîñÿ âèõðåâîãî ðåøåíèÿ, ïðî-
ïîðöèîíàëüíàÿ ñêîðîñòè âèõðÿ, íàáëþäàåòñÿ è ïðè
äâèæåíèè âèõðÿ â 2D ñèñòåìå [2,6]. Äëÿ ðàññìàòðè-
âàåìîé ñèñòåìû ýòà àñèììåòðèÿ ïðèâîäèò ê ýôôåê-
òèâíîé ñäâèæêå öåíòðà âèõðÿ â y-íàïðàâëåíèè.
Ðàññìîòðèì òàêæå ðåøåíèå äëÿ âèõðÿ c òîïîëî-
ãè÷åñêèì çàðÿäîì äðóãîãî çíàêà (ñì. çàìå÷àíèå â
íà÷àëå ðàçä. 2). Îíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî çàìåíîé
�12, íà � � �12, . Òàêèì îáðàçîì, çíàêè ïåðåä ÷ëåíàìè
â êðóãëûõ è êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â ñèñòåìå (51) ìå-
íÿþòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå. Îäíàêî óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ ñîõðàíÿåòñÿ ïðè çàìåíå V V� � , è îêîí-
÷àòåëüíîå ðåøåíèå âûãëÿäèò òàê:
S
J
V
c
z AV
12
3
2
1
2,
( ) %
�
�
�
�
�
�
�
�
sech sech5
�
5� . (61)
Ñëåäîâàòåëüíî, âèõðè ñ òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäà-
ìè ðàçíîãî çíàêà, äâèæóùèåñÿ â îäíîì íàïðàâëå-
íèè, ñìåùàþòñÿ âäîëü îñè y â ïðîòèâîïîëîæíûõ íà-
ïðàâëåíèÿõ.
5.2. Îïèñàíèå äèíàìèêè âíåïëîñêîñòíîãî âèõðÿ â
ðàìêàõ ìåòîäà êîëëåêòèâíûõ ïåðåìåííûõ
Óïðîùåííîå îïèñàíèå 2D äèíàìèêè  îáû÷íî
ïðîâîäÿò â ðàìêàõ ìåòîäà êîëëåêòèâíûõ ïåðåìåí-
íûõ (ÌÊÏ), â êîòîðîì êîîðäèíàòû öåíòðà ÂÂ
R( ) ( ( ), ( ))t X t Y t� èñïîëüçóþòñÿ â êà÷åñòâå ýòèõ
êîëëåêòèâíûõ ïåðåìåííûõ. Äàííàÿ ïðîöåäóðà ïðè-
âîäèò ê õîðîøî èçâåñòíûì óðàâíåíèÿì Òèëå äëÿ
( ( ), ( ))X t Y t [25,26]. (Cîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ
äëÿ âèõðåé Ïèòàåâñêîãî ïîëó÷åíû â ðàáîòå [23].)
Îáîáùåíèå àíçàöà Òèëå äëÿ S S r R R� ( , , � ) äàåò ñëå-
äóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âèõðÿ [2,27]:
� �� � �M GR R F� � . (62)
Çäåñü �M — ýôôåêòèâíûé òåíçîð ìàññû äëÿ ÂÂ,
F R� �� �E — ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ÂÂ, è �G ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìûé àíòèñèììåòðè÷íûé
ãèðîòåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè
G G dxdy
Y
S
X
S
Y Xxy yx
z z
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
V
� �
. (63)
Äëÿ  â áåñêîíå÷íîì äâóìåðíîì ìàãíåòèêå, ãäå
S S r R� �( ), â âûðàæåíèå (63) ìîæíî ñäåëàòü ïîä-
ñòàíîâêó � � � � � �� � � � �X Y x y, , . Ïîñëå ýòîãî
îïðåäåëåíèå (63) ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ ïîë-
íîé çàâèõðåííîñòè ñòàòè÷åñêîãî âèõðÿ - � �Gxy
� �2�qSz ( )|r r R , ãäå q — ýòî òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä
 (â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå q � �1). Ïîñêîëüêó
â íàøåì ñëó÷àå S S r R8 �( ), òî êîìïîíåíòà ãèðî-
òåíçîðà Gxy íå ðàâíà ïîëíîé çàâèõðåííîñòè. Ýòó
êîìïîíåíòó ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå
ðåøåíèå äëÿ äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ.
 íàñòîÿùåì ðàçäåëå ïðåäëàãàåòñÿ âàðèàíò îáîá-
ùåíèÿ ÌÊÏ íà ñëó÷àé ñèñòåì, ïîäîáíûõ ðàññìàò-
ðèâàåìîé. Ïðîöåäóðà âûâîäà óïðîùåííûõ óðàâíå-
íèé äâèæåíèÿ âåñüìà ñõîæà ñ îïèñàííîé â ðàáîòàõ
[2,25,27], íî â íàøåì ñëó÷àå èçâåñòíî ïðèáëèæåí-
íîå ðåøåíèå äëÿ äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ, è çàäà÷à ñî-
ñòîèò â îïðåäåëåíèè êîîðäèíàò åãî öåíòðà (êîëëåê-
òèâíûõ ïåðåìåííûõ). Äëÿ X(t) êîîðäèíàòû ýòî
ñäåëàòü äîâîëüíî ïðîñòî: äîñòàòî÷íî çàìåíèòü x â
ðåøåíèÿõ äëÿ äâèæóùåãîñÿ ÂÂ íà êîìáèíàöèþ
x X t� ( ). Îäíàêî îïðåäåëåíèå Y-êîîðäèíàòû öåí-
òðà âèõðÿ íåîäíîçíà÷íî.  ðàáîòå [27] àâòîðû ïðåä-
ëàãàëè îïðåäåëèòü öåíòð âèõðÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ
ïîëÿ �. Ìû ñ÷èòàåì áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíûì îïðå-
äåëåíèå ÷åðåç ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ Sz . Ïîñêîëüêó
z-ïðîåêöèÿ íàìàãíè÷åííîñòè ñâÿçàíà ñ ïëîòíîñòüþ
ìàãíîíîâ, íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì âû-
áðàòü Y-êîîðäèíàòó âèõðÿ êàê öåíòð ìàññ ìàãíîíîâ,
ïî àíàëîãèè ñ ââåäåíèåì öåíòðà ìàññ â êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêå. Îïðåäåëåíèå êîëëåêòèâíîé êîîðäèíàòû
Y äëÿ öåíòðà äâèæóùåãîñÿ ÂÂ ïðè ýòîì èìååò âèä
Y
S S dx
S S dx
z z
z z
�
�
�
��
�
��
�
�
�
( )
( )
1 2
1 2
. (64)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (60) äëÿ Szâ ýòî îïðåäåëå-
íèå, ïîëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó Y-êîîðäèíàòîé  è åãî
ñêîðîñòüþ:
Y
J
X�
2
�
�
� . (65)
Ïåðåïèøåì íàøè äâèæóùèåñÿ ðåøåíèÿ (59) è (60)
êàê ôóíêöèþ x X t� ( ) è Y t( ):
S Y
Y
z
12
2
1 2
3
2
3
4
3 2 3
, � �
� � �
sech sech
arctg th
sh
ch
4 � 4�
� 4 �
4
4 �
� � �
�
3
3 2 3
3
2
2 2 2
sh
arctg th
sh
ch sh
4
� � 4 �
4
4 4
,
– ,Y
(66)
ãäå 4 �� �( ( ))x X t .
Íàéäåííûå çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò êîëëåêòèâ-
íûõ ïåðåìåííûõ (êîîðäèíàò öåíòðà ÂÂ) ïîçâîëÿþò
âûâåñòè ýôôåêòèâíîå óðàâíåíèå äëÿ ýòèõ ïåðåìåí-
íûõ îáû÷íûì îáðàçîì [2,27]. Îäíàêî îïðåäåëåíèå
ãèðîòåíçîðà (63) íåîáõîäèìî ìîäèôèöèðîâàòü:
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 201
G G dx
x
S
Y
S
x Yxy yx
k k
z
k
z
k
k
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� �
1
2
� . (67)
Ïîäñòàâëÿÿ (66) â ýòó ôîðìóëó, ïîëó÷àåì âûðà-
æåíèå äëÿ ãèðîòåíçîðà G Gxy yx� � � 3�, êîòîðîå
îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ äëÿ ãèðîòåíçîðà â äâóìåð-
íîì áåñêîíå÷íîì ôåððîìàãíåòèêåG Gxy yx� � � 2� .
Ýòî îòëè÷èå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðîñòåéøàÿ ïîäñòà-
íîâêà S S r R� �( ) íå ïðèãîäíà äëÿ ðàññìàòðè-
âàåìîé ñèñòåìû, ãäå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü
S S r R� ( , ).
Îáîáùåííîå óðàâíåíèå Òèëå (62), âûòåêàþùåå
èç îáîáùåííîãî àíçàöà S S r R R� �( , )� , ïîëó÷åíî â
[2,27]. Â íàøåé ñèñòåìå èñïîëüçóåìîå êîìáèíèðî-
âàííîå îïèñàíèå ïðèâîäèò ê ìîäèôèêàöèè îïðåäå-
ëåíèÿ ìàññîâîãî òåíçîðà, êîòîðûé ñîäåðæèò ïðîèç-
âîäíûå ïî ñêîðîñòè öåíòðà âèõðÿ, è ïîñêîëüêó
ÿâíûé âèä ðåøåíèÿ äëÿ ÂÂ, äâèæóùåãîñÿ â x-íà-
ïðàâëåíèè, èçâåñòåí, íàõîæäåíèå êîìïîíåíòû Mxx
äîñòàòî÷íî î÷åâèäíî:
M dx
V
S
x
S
V xxx
k k
z
k
z
k
k
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� � � �
1
2
, (68)
ãäå �X V� . Èñïîëüçóÿ ðåøåíèå â èñõîäíîì âèäå (íå
ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå ñêîðîñòè ÷åðåç Y), ïîëó÷à-
åì âèõðåâóþ ìàññó â âèäå
M
Jxx �
6 �
. (69)
Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ êîìïîíåíòà ìàññîâîãî
òåíçîðà êîíå÷íà â îòëè÷èå îò áåñêîíå÷íîé ìàññû
âèõðÿ â äâóìåðíîé ñèñòåìå. Îäíàêî ìîæíî ïîêà-
çàòü [28], ÷òî äëÿ ôåððîìàãíåòèêà êîíå÷íîãî ðàç-
ìåðà ýôôåêòèâíàÿ ìàññà âèõðÿ èìååò ïîðÿäîê ln L,
ãäå L — ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ÂÂ äî áëèæàéøåé
ãðàíèöû, ÷òî è îáúÿñíÿåò êîíå÷íîñòü âèõðåâîé
ìàññû â íàøåé ìîäåëè.
6. Çàêëþ÷åíèå
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåíà êâàçèîäíîìåð-
íàÿ ìîäåëü äëÿ îïèñàíèÿ âèõðåâîé ñòðóêòóðû ÏÂ è
 è äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ  â ëåãêîïëîñêîñò-
íîì ôåððîìàãíåòèêå.  îòëè÷èå îò äâóìåðíîãî ñëó-
÷àÿ, ãäå Ï èçó÷åíû òîëüêî â ðàìêàõ äèñêðåòíîãî
ïîäõîäà, ñîõðàíåíî êîíòèíóàëüíîå îïèñàíèå ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ íàìàãíè÷åííîñòè âäîëü öåïî÷åê, îáðà-
çóþùèõ îäíîìåðíóþ ñèñòåìó. Ó÷åò äèñêðåòíîñòè
ìàãíèòíîé ðåøåòêè â îäíîì íàïðàâëåíèè ÿâëÿåòñÿ
äîñòàòî÷íûì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ â ðàìêàõ òàêîãî
ïîäõîäà äâóõ òèïîâ âèõðåé, ÏÂ è ÂÂ, ò.å. ïðè
êîìáèíèðîâàííîì îïèñàíèè ìîæíî èçó÷àòü ïðèí-
öèïèàëüíî äèñêðåòíûå îñîáåííîñòè. Â ðàìêàõ
ïðåäëîæåííîé ìîäåëè íàéäåíî êðèòè÷åñêîå çíà÷å-
íèå àíèçîòðîïèè (òî÷êà ϗ ïåðåõîäà). Ïîëó-
÷åííûé ðåçóëüòàò ïîäêðåïëåí ÷èñëåííûìè èññëå-
äîâàíèÿìè äèñêðåòíûõ ñèñòåì ñ àíàëîãè÷íîé
ãåîìåòðèåé.
Àíàëèòè÷åñêè ïîëó÷åíû ðàñïðåäåëåíèÿ íàìàãíè-
÷åííîñòè â Ï è  (ïîñëåäíåå â ñëó÷àå ñëàáîé àíè-
çîòðîïèè). Îáñóæäåíû îñîáåííîñòè âèõðåâîãî ðå-
øåíèÿ, âîçíèêàþùèå èç-çà ñïåöèàëüíûõ ñâîéñòâ
ïðåäëîæåííîé ìîäåëè. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòå-
ìû ãðàäèåíò àçèìóòàëüíîãî óãëà � óáûâàåò ýêñïî-
íåíöèàëüíî âäàëè îò ÿäðà âèõðÿ è ðàçíîñòü ìåæäó
íàïðàâëåíèÿìè ñïèíîâ ïîäâèæíûõ öåïî÷åê ñòðå-
ìèòñÿ ê êîíå÷íîìó çíà÷åíèþ. Îäíîìåðíûé õàðàê-
òåð ìîäåëè ïðèâîäèò ê êîíå÷íûì çíà÷åíèÿì âèõðå-
âîé ìàññû è ýíåðãèè â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ äâóìåðíîé
áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû.  òî æå âðåìÿ, ïîëó÷åííîå
âèõðåâîå ðåøåíèå îáëàäàåò ìíîãèìè ñâîéñòâàìè
âèõðåé â äâóìåðíîé ñèñòåìå.
Ïðîàíàëèçèðîâàíî äâèæåíèå «áûñòðûõ» è «ìåä-
ëåííûõ» ÂÂ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî
äâèæóùèéñÿ âèõðü èìååò àñèììåòðè÷íóþ ñòðóêòó-
ðó, êàê è â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ. Ïîëó÷åíû àíàëè-
òè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âèõðåé, äâèæóùèõñÿ ñî
ñêîðîñòÿìè V c�� . Ðàçðàáîòàíî òàêæå îáîáùåíèå
ÌÊÏ, ó÷èòûâàþùåå êîìáèíèðîâàííîå îïèñàíèå
ñèñòåìû, è ïîëó÷åíû âûðàæåíèÿ äëÿ ãèðîòåíçîðà è
xx-êîìïîíåíòû òåíçîðà âèõðåâîé ìàññû.
Äàííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü ñóùåñòâåííû ïðè
ðàññìîòðåíèè äâóìåðíûõ ìàãíèòíûõ ñèñòåì ñ ñèëü-
íûì ðàçëè÷èåì ïðîñòðàíñòâåííûõ ðàçìåðîâ.
Ìàòåðèàëû íàñòîÿùåé ñòàòüè áûëè ÷àñòè÷íî
ïðåäñòàâëåíû íà êîíôåðåíöèÿõ EASTMAG-2001
(Åêàòåðèíáóðã) è «Nonlinear Lattice Structure and
Dynamics» (Äðåçäåí), 2001. Àâòîðû âûðàæàþò
áëàãîäàðíîñòü Ì.Ì. Áîãäàíó çà ïîëåçíûå çàìå÷à-
íèÿ è äîïîëíåíèÿ, êàñàþùèåñÿ àíàëèçà ñòàáèëüíî-
ñòè ÏÂ.
Ïðèëîæåíèå
Äëÿ âûâîäà óïðîùåííîé ñèñòåìû äèíàìè÷åñêèõ
óðàâíåíèé, ñîäåðæàùåé òîëüêî ïåðåìåííûå �12, , â
óðàâíåíèÿõ (9) ìîæíî îñòàâèòü òîëüêî ëèíåéíûå
÷ëåíû ïî ìàëûì âåëè÷èíàì /12, . Òîãäà äëÿ ïåðâîé
ïàðû óðàâíåíèé ïîëó÷àåì
J
J J
/ / � � �
� �
12 21 12
2
12 21
2
2
3
2
1
2
3
4
, , , , ,� sin ( – )
( sin
� � �
�
�
12 12
2
12, , ,( ) ) ,�
�
� / (Ï.1)
à äëÿ âòîðîé ïàðû
202 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
� � � �
� �
�
�
� � � /
/
12 12 12 21 12
12
2
2
2
3
, , , , ,
,
sin sin( – ) �
(
J
�
�
/ �
/ / � �
12 12 12
12 21 12 21
3
2
3
, , ,
, , , ,
) sin
( )sin( – )
� �
� �
J
. (Ï.2)
Òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ /12, ñëåäóþùèå:
/ � � � �
�
12 12 21
2
12 21
1
3
2
1
3
1
2
2 3
, , , , ,( � � ) sin ( – )
(
� � � � �
�
J
J
2
1
2 3
2
3 3
2
12
2
21
12
2
21
2
2
sin – sin )
[( ) ( ) ]
, ,
, ,
� �
� �
�
�
�
�
J J
( � � ), ,5 412 21� ��
(Ï.3)
Êàê ïîêàçàíî âûøå, äëÿ ëîêàëèçîâàííûõ ðåøå-
íèé ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ âèäà S S� �( )x Vt
èìååì � � � �t V x~ , ~� �1 2 1 2 è ( ) ~� � �1 2
3 2� V .
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêèé âèä ðå-
øåíèÿ äëÿ äâèæóùåãîñÿ âèõðÿ â (Ï.3) íåîáõîäèìî
îñòàâèòü ÷ëåíû òîëüêî îñíîâíîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Ïåðåéäåì ê àíàëèçó ñïåêòðà ñïèíîâûõ âîëí â
ðàìêàõ óïðîùåííûõ óðàâíåíèé. Ïîñëå ëèíåàðèçà-
öèè óðàâíåíèé (51) ïî ìàëûì �12, , ïîäñòàâëÿÿ
� � 012 12, ,( , ) sin( )x t kx t� � , ïîëó÷àåì
0
�
0
�
s a
J
c k J
J
c k2 2 2 2 2 2 2
2
3
3
2
3� � � ��
�
�
�
�
� �, ,
(Ï.4)
ãäå c J� ( )2 1 2. Òàêèì îáðàçîì, ýòè äèñïåðñèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ îòëè÷àþòñÿ îò òî÷íûõ (49) ÷ëåíàìè,
èìåþùèìè ïîðÿäîê Jk2. Ïðè÷èíà ýòîãî çàêëþ÷à-
åòñÿ â òîì, ÷òî èñïîëüçîâàòü ýòè çàêîíû äèñïåðñèè
ìîæíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ãðóïïîâàÿ ñêî-
ðîñòü ìàãíîíîâ V k cgr � ���0 � , ò.å. äëÿ k �� �1 2.
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ñîîòíîøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçî-
âàòü òîëüêî â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè, è òîãäà ïîëó-
÷åííûå çàêîíû äèñïåðñèè ñîâïàäàþò ñ òî÷íûìè
(49), (50) äëÿ k �� �1 2. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà,
êîòîðûé äàâàë áû ëó÷øåå ñîîòâåòñòâèå ñ òî÷íûìè
ñîîòíîøåíèÿìè (49), (50), íåîáõîäèìî êîððåêòè-
ðîâàòü âûøåîïèñàííóþ ïðîöåäóðó âûâîäà, îñòàâ-
ëÿÿ â âûðàæåíèÿõ äëÿ /12, ÷ëåíû, êîòîðûìè ìû ðà-
íåå ïðåíåáðåãëè. Â ðåçóëüòàòå â ëèíåéíîì
ïðèáëèæåíèè èç (Ï.3) ïîëó÷àåì áîëåå òî÷íûå ñî-
îòíîøåíèÿ äëÿ /12, :
/ � � � �12 12 21 2 12 21
1
3
2
2
3 3
5 4, , , , ,( � � ) ( � � )� � � � �
J J
(Ï.5)
è ñîîòâåòñòâåííûé íàáîð óðàâíåíèé äëÿ �12, :
� � �
� � �
� �� � �
� �
12 12 12 21
12 21
2
3
2
4
9
, , , ,
, ,
( – )
( �� �� )
J
J J2 12 125 4( �� �� )., ,
�
� � (Ï.6)
Òîãäà äëÿ ñèììåòðè÷íîé (� �1 2� ) ìîäû ïîëó÷àåì
0
�
� �s
J
k
J
J
k k
J
k2 2 2 2 2
2 2
1
2
2
� �
�
� � �
�
� ��
�
�
�
�
� % �
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�,
(Ï.7)
à äëÿ àíòèñèììåòðè÷íîé (� �1 2� � )
0 �
�
a
J
k
J
J
J
k
J k
2 2 2 2
2
3
2
3
2
3 1
2
3
2
� ��
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
� %
% � ��
�
� �
�
�
� ��
�
�
�
�
�
3
2
2J
k . (Ï.8)
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òî÷-
íûìè çíà÷åíèÿìè äî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà k4.
1. J.M. Kosterlitz and D.J. Thouless, J. Phys. C6, 1181
(1973).
2. F.G. Mertens and A.R.Bishop, Nonlinear Sciences at
the down of the 21st Century. Lecture Notes in
Physics, P.L. Christiansen, M.P. Soerensen, and A.C.
Scott (eds.), Springer, Berlin (2000), p. 137.
3. R.P. Cowburn, D.K. Koltsov, A.O. Adeyeye, M.E.
Welland, and D.M. Tricker, Phys. Rev. Lett. 83,
1042 (1999); R.P. Cowburn, J. Phys. D33, R1 (2000).
4. T. Shinjo, T. Okuno, R. Hassdorf, K. Shigeto, and
T. Ono, Science 289, 930 (2000); ICR Ann. Rep. 7, 16
(2000).
5. H. Shima, K. Yu. Guslienko, V. Novosad, Y. Otani,
K. Fukamichi, N. Kikuchi, O. Kitakami, and J. Shima-
da, J. Appl. Phys. 91, 6952 (2002).
6. M.E. Gouvea, G.M. Wysin, A.R. Bishop, and F.G.
Mertens, Phys. Rev. B39, 11840 (1989).
7. G.M. Wysin, Phys. Rev. B49, 8780 (1994).
8. B.A. Ivanov, H.J. Schnitzer, F.G. Mertens, and
G.M. Wysin, Phys.Rev. B58, 8464 (1998).
9. G.M. Wysin and A.R. Völkel, Phys. Rev. B52, 7412
(1995).
10. À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé, Âåñòíèê ÕÃÓ, ñåð.
Ôèçèêà 417, 32 (1998); 440, 25 (1999); ÔÍÒ 29, 71
(2003).
11. L. Thomas, F. Lionti, R. Ballou, D. Gatteschi,
R. Sessoli, and B. Barbara Nature, 383, 145 (1996);
J. Kortus, M.R. Pedersen, C.S. Hellberg, and S.N.
Khanna, Eur. Phys. J. D16, 177 (2001); N. Fujima,
ibid, 185 (2001).
12. Ò.À. Êîíòîðîâà, ß.È. Ôðåíêåëü, ÆÝÒÔ 8, 89 (1938).
13. O.M Braun and Yu.S Kivshar, Phys. Rep. 306, 1
(1998).
14. À.Ñ. Êîâàëåâ, ÔÍÒ 20, 1034 (1994).
15. À.Ì. Êîñåâè÷, Â.Ï. Âîðîíîâ, È.Â. Ìàíæîñ, ÆÝÒÔ
84, 148 (1983).
16. L.M. Pismen, Vortices in Nonlinear Fields, Claren-
don Press, Oxford (1999).
Îäíîìåðíàÿ ìîäåëü âèõðÿ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2 203
17. D.K. Campbell, M. Peyrard, and P. Sodano, Physica
D19, 165 (1986).
18. A.J. Mikeska and M. Steiner, Adv. Phys. 90, 191
(1991).
19. Í.Ã. Âàõèòîâ, À.À. Êîëîêîëîâ, Èçâ. ÂÓÇîâ: Ðàäèî-
ôèçèêà 16, 1020 (1973); M.M. Bogdan and A.M. Ko-
sevich, Proc. 4th Int. Workshop on Nonlinear and
Turbulent Processes in Physics (Kiew) 1, A.G. Siten-
ko and V.E. Zakharov (eds.), Naukova Dumka, Kiew
(1989), p. 50.
20. Å. ßíêå, Ô. Ýìäå, Ô. Ëåø, Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè,
Íàóêà, Ìîñêâà (1964).
21. À.Ñ. Êîâàëåâ, ÒÌÔ 37, 135 (1979).
22. N. Papanicolaou, Phys. Lett. A186, 119 (1994).
23. Ò.È. Çóåâà, ÔÍÒ 26, 119 (2000).
24. A.M. Kosevich, B.A. Ivanov, and A.S. Kovalev, Phys.
Rep. 194, 117 (1990).
25. A.A. Thiele, Phys. Rev. Lett. 30, 230 (1973).
26. D.L. Hubert, Phys. Rev. B26, 3758 (1982).
27. F.G. Mertens, H.-J. Schnitzer, and A.R. Bishop,
Phys. Rev. B56, 2510 (1997).
28. A.S. Kovalev, F.G. Mertens, and H.-J. Schnintzer,
submitted to Eur. Phys. J. B, (2003).
29. Á.Í. Ôèëèïïîâ, ÔÍÒ 28, 991 (2001).
One-dimensional model of vortex in easy-plane
ferromagnet
A.S. Kovalev and J.E. Prilepsky
In order to give a qualitative description of
the structure and dynamics of a vortex in a 2D
magnetic system we propose a simple qua-
si-one-dimensional model of ferromagnet in a
vortex configuration. This model describes the
system of four parallel anisotropic ferromagnetic
spin chains with the anisotropy of easy-plane
type and involves the elements of continuous
(along the chains) and discrete (normal to the
chains) descriptions for spin distribution. Within
the framework of the proposed model we can in-
vestigate analytically the structures of static and
steady moving vortices. The analytical results on
the static vortex structure are supplemented
with numerical calculation for discrete system
and show a good agreement with the numerical
data. A generalized version of the collective co-
ordinate approach is devised, which allows to
extend this technique to the combined continu-
ous-discrete description. We compare our results
with the corresponding data for 2D easy-plane
ferromagnets.
204 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 2
À.Ñ. Êîâàëåâ, ß.Å. Ïðèëåïñêèé
|