Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием

Исследована нелинейная динамика поверхностных акустических волн у поверхности линейного упругого полупространства, покрытого монослоем нелинейного материала. Получено одномерное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамику такой системы. В предложенной модели изучены рэлеевски...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2003
Hauptverfasser:	Ковалев, A.С., Соколова, Е.С., Майер, А.П., Можен, Ж.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2003
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128846
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием / A.С. Ковалев, Е.С. Соколова, А.П. Майер, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 5. — С. 530-538. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-128846
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1288462018-01-15T03:04:00Z Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием Ковалев, A.С. Соколова, Е.С. Майер, А.П. Можен, Ж.А. Низкоразмерные и неупорядоченные системы Исследована нелинейная динамика поверхностных акустических волн у поверхности линейного упругого полупространства, покрытого монослоем нелинейного материала. Получено одномерное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамику такой системы. В предложенной модели изучены рэлеевские солитоны стационарного профиля. Обсуждаются возможные феноменологические обобщения выведенных уравнений и их точные солитонные решения. The nonlinear dynamics of surface acoustic waves at the surface of a linear elastic half-space coated with a monolayer of a nonlinear material is investigated. A one-dimensional nonlinear integrodifferential equation describing the dynamics of such a system is derived. The model proposed is used to study Rayleigh solitons with a stationary profile. The possible phenomenological generalizations of the equations derived and their exact soliton solutions are discussed. Досліджено нелінійну динаміку поверхневих акустичних хвиль біля поверхні лінійного пружного напівпростору, вкритого моношаром нелінійного матеріалу. Отримано одновимірне нелінійне інтегро-диференційне рівняння, яке описує динаміку цієї системи. У запропонованій моделі вивчено релеївські солітони стаціонарного профилю. Обговорюються можливі феноменологічні узагальнення виведених рівнянь і їх точні солітонні розв язки. 2003 Article Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием / A.С. Ковалев, Е.С. Соколова, А.П. Майер, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 5. — С. 530-538. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 68.35.-p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128846 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы
spellingShingle	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Ковалев, A.С. Соколова, Е.С. Майер, А.П. Можен, Ж.А. Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием Физика низких температур
description	Исследована нелинейная динамика поверхностных акустических волн у поверхности линейного упругого полупространства, покрытого монослоем нелинейного материала. Получено одномерное нелинейное интегро-дифференциальное уравнение, описывающее динамику такой системы. В предложенной модели изучены рэлеевские солитоны стационарного профиля. Обсуждаются возможные феноменологические обобщения выведенных уравнений и их точные солитонные решения.
format	Article
author	Ковалев, A.С. Соколова, Е.С. Майер, А.П. Можен, Ж.А.
author_facet	Ковалев, A.С. Соколова, Е.С. Майер, А.П. Можен, Ж.А.
author_sort	Ковалев, A.С.
title	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
title_short	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
title_full	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
title_fullStr	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
title_full_unstemmed	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
title_sort	нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2003
topic_facet	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128846
citation_txt	Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием / A.С. Ковалев, Е.С. Соколова, А.П. Майер, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 5. — С. 530-538. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT kovalevas nelinejnyeréleevskievolnyvsredesmonoatomnymnelinejnympokrytiem AT sokolovaes nelinejnyeréleevskievolnyvsredesmonoatomnymnelinejnympokrytiem AT majerap nelinejnyeréleevskievolnyvsredesmonoatomnymnelinejnympokrytiem AT moženža nelinejnyeréleevskievolnyvsredesmonoatomnymnelinejnympokrytiem
first_indexed	2025-07-09T10:01:28Z
last_indexed	2025-07-09T10:01:28Z
_version_	1837163129876774912
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5, ñ. 530–538 Íåëèíåéíûå ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ ìîíîàòîìíûì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua À.Ï. Ìàéåð Institut für Theoretische Physik, Universität Regensburg, D-93040, Regensburg, Germany Æ.À. Ìîæåí Laboratoire de Modélisation en Mécanique, Université Pierre et Marie Curie, 75252, Paris, France Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 3 ìàðòà 2003 ã. Èññëåäîâàíà íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïîâåðõíîñòíûõ àêóñòè÷åñêèõ âîëí ó ïîâåðõíîñòè ëèíåé- íîãî óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, ïîêðûòîãî ìîíîñëîåì íåëèíåéíîãî ìàòåðèàëà. Ïîëó÷åíî îä- íîìåðíîå íåëèíåéíîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå äèíàìèêó òàêîé ñèñòåìû. Â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè èçó÷åíû ðýëååâñêèå ñîëèòîíû ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Îá- ñóæäàþòñÿ âîçìîæíûå ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå îáîáùåíèÿ âûâåäåííûõ óðàâíåíèé è èõ òî÷íûå ñî- ëèòîííûå ðåøåíèÿ. Äîñë³äæåíî íåë³í³éíó äèíàì³êó ïîâåðõíåâèõ àêóñòè÷íèõ õâèëü á³ëÿ ïîâåðõí³ ë³í³éíîãî ïðóæíîãî íàï³âïðîñòîðó, âêðèòîãî ìîíîøàðîì íåë³í³éíîãî ìàòåð³àëó. Îòðèìàíî îäíîâèì³ðíå íåë³í³éíå ³íòåãðî-äèôåðåíö³éíå ð³âíÿííÿ, ÿêå îïèñóº äèíàì³êó ö³º¿ ñèñòåìè. Ó çàïðîïîíîâàí³é ìîäåë³ âèâ÷åíî ðåëå¿âñüê³ ñîë³òîíè ñòàö³îíàðíîãî ïðîôèëþ. Îáãîâîðþþòüñÿ ìîæëèâ³ ôåíîìå- íîëîã³÷í³ óçàãàëüíåííÿ âèâåäåíèõ ð³âíÿíü ³ ¿õ òî÷í³ ñîë³òîíí³ ðîçâ’ÿçêè. PACS: 68.35.–p Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ àêóñòè÷åñêèõ âîëí â îäíî- ìåðíûõ àòîìíûõ öåïî÷êàõ ðàçâèòà äîñòàòî÷íî äàâ- íî [1,2]. Ïðîáëåìà íåëèíåéíûõ àêóñòè÷åñêèõ ïî- âåðõíîñòíûõ âîëí ó ïîâåðõíîñòè àíãàðìîíè÷åñêîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà íàìíîãî ñëîæíåå âñëåäñòâèå åå äâóìåðíîãî õàðàêòåðà [3–12]. Îäíàêî ýòà çàäà÷à ñòàëà îñîáåííî àêòóàëüíîé ïîñëå ðÿäà ýêñïåðèìåí- òîâ, ñâÿçàííûõ ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì íåëèíåéíûõ ïî- âåðõíîñòíûõ âîëí [13,14] è àêóñòè÷åñêèõ ïîâåðõíî- ñòíûõ èìïóëüñîâ âûñîêîé èíòåíñèâíîñòè [15–17]. Áîëüøèíñòâî ýêñïåðèìåíòîâ ïðîâåäåíî íà îáðàç- öàõ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ïîäëîæêó, ïîêðûòóþ ïëåíêîé äðóãîãî ìàòåðèàëà. Íàëè÷èå ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ î÷åíü ñóùåñòâåííî, ïîñêîëüêó îíî ïðèâî- äèò ê ïîÿâëåíèþ äîïîëíèòåëüíîé ñèëüíîé äèñïåð- ñèè ëèíåéíûõ âîëí, à êîíêóðåíöèÿ ýòîé äèñïåðñèè ñ íåëèíåéíîñòüþ îáóñëîâëèâàåò ñóùåñòâîâàíèå ïî- âåðõíîñòíûõ ñòàöèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ âîëí è ïî- âåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ýòèõ íåëèíåéíûõ âîëí íåñêîëüêî óïðîùàåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäà ïîäëîæêà ìî- æåò áûòü ðàññìîòðåíà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè [18]. Ïðè ýòîì äâóìåðíàÿ çàäà÷à äëÿ ïîäëîæêè ìî- æåò áûòü ðåøåíà òî÷íî. Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî òà- êàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è (ëèíåéíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì) âïîëíå îñóùåñòâèìà ýêñïåðèìåíòàëüíî. Íàïðèìåð, â [19] ïðèâîäÿòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå àíãàðìîíè÷åñêèõ ïî- âåðõíîñòíûõ ôîíîííûõ ýôôåêòîâ â ñèñòåìàõ ñ ìå- òàëëè÷åñêîé ïîäëîæêîé, ïîêðûòîé ìîíîñëîåì àòî- ìîâ áëàãîðîäíûõ ãàçîâ (Ar èëè Xe). Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â ñëó÷àå ìîíîñëîÿ áëàãîðîäíîãî ãàçà íà ïîâåðõíîñòè ãðàôèòà. © A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À. Ìîæåí, 2003 1. Ôîðìóëèðîâêà ìîäåëè Ðàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå íåëèíåéíîé ïî- âåðõíîñòíîé àêóñòè÷åñêîé âîëíû â íàïðàâëåíèè X âäîëü ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà (Z � 0), ïî- êðûòîãî ìîíîàòîìíûì ñëîåì. (Ñìåùåíèÿ íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàòû Y, è çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíî äâóìåðíîé.) Îãðàíè÷èìñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì, êîãäà íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå àòîìîâ ïîâåðõíîñòíîãî ìîíîñëîÿ ìåæäó ñîáîé è ñ àòîìàìè ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè íîñèò õàðàêòåð öåíòðàëüíîãî âçàèìîäåé- ñòâèÿ. Êàæäûé àòîì ìîíîñëîÿ âçàèìîäåéñòâóåò ñî ñâîèìè áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè â íàïðàâëåíèè îñè X â ìîíîñëîå, ñ áëèæàéøèì ñîñåäîì è äâóìÿ ñîñåäíè- ìè àòîìàìè ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè (ñì. ðèñ. 1). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîëüêî ïåðâûå íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå â âûðàæåíèè äëÿ ýíåðãèè âçàèìîäåéñò- âèÿ àòîìîâ ïîâåðõíîñòíîé ïëåíêè ìåæäó ñîáîé è ñ àòîìàìè ïîäëîæêè, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæå- íèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ìîíîàòîìíîãî ïîêðûòèÿ: E M dU dt dV dt n n n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � 2 3 2 31 2 1 3 2 3 n n n n n n n, , � � � � � � � � � � � � � 2 3 2 31 2 1 3 1 2 1 3 n n n n n n n n, , , , , (1) ãäå Un è Vn — ñìåùåíèÿ n-ãî àòîìà ìîíîñëîÿ â X- è Z-íàïðàâëåíèÿõ; � n n, �1 ! " ! "U U a V V an n n n� � � � � 1 2 1 2 � � ~ ,� n n a1 — îòêëîíåíèå ðàññòîÿíèé ìåæäó ñîñåäÿìè â ïî- âåðõíîñòíîé ïëåíêå îò èõ çíà÷åíèé a â ðàâíîâåñèè; M — ìàññà àòîìà ìîíîñëîÿ; ! " ! "� �n n n n n nU u V v a a a� � � � � �2 2 ~ è ! " ! "� n n n n n nU u a V v a, # # #� � � �1 1 2 1 2 � � � �#a an n2 21 ~ ,� — îòêëîíåíèÿ îò ðàâíîâåñíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó àòîìîì ìîíîñëîÿ è ñîñåäíèìè àòîìàìè íà ïîâåðõ- íîñòè ïîäëîæêè (áëèæàéøåãî è äâóõ ñîñåäíèõ ñî- îòâåòñòâåííî); âåëè÷èíû un è vn îòâå÷àþò ñìåùå- íèÿì ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ â ïîäëîæêå â X- è Z- íàïðàâëåíèÿõ; � � � � � , , , , , — ëèíåéíûå è íåëèíåé- íûå óïðóãèå ìîäóëè. Äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì, ÷òî ìåæàòîìíûå ðàññòîÿíèÿ ðàâíû a âî âñåõ íàïðàâ- ëåíèÿõ. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, â îñíîâíîì ïðè- áëèæåíèè âàæíî íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå òîëüêî ìåæäó ñîñåäíèìè àòîìàìè â ïîêðûâàþùåì ìîíî- ñëîå. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ àòîìîâ ìîíîñëîÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä: M d U dt U U an n n n n n n n n 2 2 1 1 1 1 � � � � � $ �$ � � � ��, , ,~ ( )( ) � � � � $ �$ � � � � � � � ��n n n n n n n nU U a, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � � $ �$ � � � �n n n n n n n nU u a, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � $ �$ � � � � � � � �n n n n n n n nU u a, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � ��n n n n nU u~ ( )( ) ;0 (2) M d V dt V Vn n n n n n n n n 2 2 1 1 1 1 � � � � $ �$ � � � ��, , ,~ ( )( ) � � � � $ �$ � � � � � � � ��n n n n n n n nV V, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � $ �$ � � � �n n n n n n n nV v a, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � $ �$ � � � � � � � �n n n n n n n nV v a, , ,~ ( )( )1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � ��n n n n nV v a~ ( )( ) .0 (3) Ïðè îïèñàíèè óïðóãèõ ñâîéñòâ ïîäëîæêè è ìî- íîñëîéíîãî ïîêðûòèÿ îãðàíè÷èìñÿ íèæå êîíòèíó- àëüíûì ïðèáëèæåíèåì. Îäíàêî ïðè ýòîì ó÷òåì äèñêðåòíîñòü îïèñàíèÿ îòíîñèòåëüíûõ ñìåùåíèé àòîìîâ íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè è â ïîêðûâàþùåì ìîíîñëîå. (Õîòÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, â îñíîâ- íîì ïðèáëèæåíèè ýòè cìåùåíèÿ ñîâïàäàþò.) Â äëèííîâîëíîâîì ïðèáëèæåíèè ñîõðàíÿåì â äèíàìè- Íåëèíåéíûå ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ ìîíîàòîìíûì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 531 Z V U X v u a a 0 N–1 N N+1 Ðèñ. 1. Ãåîìåòðèÿ çàäà÷è. ÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ëèíåéíûå ñëàãàåìûå ñ ïðîñòðàí- ñòâåííûìè ïðîèçâîäíûìè äî ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà è îñíîâíûå íåëèíåéíûå ÷ëåíû, êâàäðàòè÷íûå ïî ñìå- ùåíèÿì ñðåäû. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèÿ (2), (3) èìåþò âèä MU U U U U V Vtt xx xxxx x xx x xx� � � � � � � � �� 1 12 2 � � � � � � � � � � � � � � � ( ) ( )( )u U u U v V 2 2 � � � � � � � � � v u v ux xx xxx xxxx 1 2 1 6 1 24 �� 2 2 3 2 2u v u U ux x x( ) � � � � � � � � � � 2 2 2 ( ) ( ) ;v V v u u v vx x xx x xx (4) MV V U U V v Vtt x xx x xx� � � � �! " � �( )( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4 2 2 3 4 2 2 2( ) ( )u U v V � � � � � � � � � u v u vx xx xxx xxxx 1 2 1 6 1 24 � � � � � � � � � � � � � � � � 4 2 3 4 2 2 2u vx x � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 2 2( ) ( )v V u u U vx x . (5) Óðàâíåíèÿ äëÿ ñìåùåíèé àòîìîâ ïîêðûâàþùåãî ìîíîñëîÿ äîëæíû áûòü äîïîëíåíû äèíàìè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ ñìåùåíèé â îáúåìå ïîäëîæêè. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñðåäà ïîëóïðî- ñòðàíñòâà ïîäëîæêè ëèíåéíà è èçîòðîïíà, è ñîîò- âåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò ñëåäóþ- ùèé âèä: % % %y y ytt t l tc c c� �2 2 2& ( ) grad div , (6) ãäå ! "y � u v, — ñìåùåíèÿ â ñàãèòòàëüíîé ïëîñêîñòè îáúåìà ïîäëîæêè (ïëîñêîñòè XZ); cl è ct — ïðî- äîëüíàÿ è ïîïåðå÷íàÿ ñêîðîñòè çâóêà â ïîäëîæêå; % — åå ïëîòíîñòü. Îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé ðàâíû ' % %xz l t x l zc c u c v� � ( )2 2 22 , (7) ' %zz t z xc u v� 2 ( ) . (8) Ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (4), (5) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìîíîñëîé ñî ñòîðîíû ïîäëîæêè, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ èç âûðàæåíèé (7), (8). Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé (4)–(8) ïîëíîñòüþ îïèñûâàåò ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó. 2. Âûâîä ýôôåêòèâíûõ îäíîìåðíûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè ðýëååâñêèõ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ Óäîáíî ïðåäñòàâèòü âåêòîð ñìåùåíèÿ y êàê ñóì- ìó ïîïåðå÷íîé yt è ïðîäîëüíîé yl êîìïîíåíò, êàæ- äàÿ èç êîòîðûõ äëÿ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ! "y y� �x ct z, óäîâëåòâîðÿåò äâóìåðíîìó óðàâíå- íèþ Ëàïëàñà. Ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèçâîäíûå âñåõ êîìïîíåíò yt è yl íà ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñò- âà (â ïëîñêîñòè Z � 0) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì (ñì., íàïðèìåð,[20]) ( ( ( ( y z c b H y x s s � �1 2 2 � , (9) ãäå b cl� è b ct� äëÿ ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ êîìïîíåíò ñîîòâåòñòâåííî è �H — èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãèëüáåðòà (ñì. Ïðèëîæå- íèå, ÷. 1). Èñïîëüçóÿ î÷åâèäíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæ- äó êîìïîíåíòàìè ñìåùåíèé ( ( � �( (u x v zt t , ( ( � ( (u z v xl l , ëåãêî âûðàçèòü âñå êîìïîíåíòû äå- ôîðìàöèè â òåðìèíàõ ux l è vx t (ñì. Ïðèëîæåíèå, ÷. 2). Èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â (7), (8), ïåðå- ïèøåì óðàâíåíèÿ (4), (5) â ñëåäóþùåì âèäå: ) � � ( ) ( )1 122 2c /c U U / V Vf xx xxxx x xx� � � 2 2 13 2 2� % U U a c s u Hvx xx t l t t x[( ) � ] ,(10) ! ") � �V U V U Vxx x xx xx x� % a c c v c Hut t t l l x 3 2 2 22 2[( ) � ]� , (11) ãäå u è v — ñìåùåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïîä- ëîæêè (äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî a � 1), ) � Mc2, t � � �1 2 2c /ct , l lc /c� �1 2 2 , s c / ct� 2 22 , à cf � � � M — ñêîðîñòü çâóêà â ìîíîñëîå. Ïîñëå èí- òåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé (10), (11) ïî x ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñìåùåíèé u è v íà ïîâåðõíîñòè ïîäëîæêè â òåðìèíàõ ñìåùåíèé àòî- ìîâ ïîêðûâàþùåãî ìîíîñëîÿ: u A V c /c U V BH U V U c x f x x x x x f � � � � $ �$ � ) � 1 2 1 2 2 2 2 + � , � [ ] � ( 2 2/c ) , � � � � � � � � $ �$ (12) v C U / V U c /c DH V c c x x x f x f� � ) � � � � � � � � 1 2 1 2 2 2 2 2 2+ � � ( ) � U Vx x � � � � � � � � $ �$ � � $ �$ , (13) 532 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À. Ìîæåí ãäå + * � � �( )1 2s t l , (14) A s s M/t l� � � �[( ) ] ( )1 * % , C A c /cf� � �( )1 2 2 , ! "D s M/l� 2* % , ! "B s M/ c /ct f� �2 2 21* % ( ) . Èç (14) ñëåäóåò, ÷òî AC BD s M/ c /cf l t � � � -+ % * * +2 2 2 21 1( ) ( )( ) . Èç îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðà + âèäíî, ÷òî ïðè ñëàáîì îòêëîíåíèè ñêîðîñòè ïîâåðõíîñòíîé âîëíû îò òàêî- âîé äëÿ ëèíåéíîé ðýëååâñêîé âîëíû â ïîëóïðî- ñòðàíñòâå áåç ïëåíî÷íîãî ïîêðûòèÿ ýòîò ïàðàìåòð ÿâëÿåòñÿ ìàëûì. Ñîîòíîøåíèå (14) äàåò âûðàæå- íèå äëÿ ñêîðîñòè ðýëååâñêîé âîëíû c cR� â ïðåäå- ëå + . 0. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåëèíåéíûå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè Ðýëåÿ, è ïðè âûâîäå ýôôåêòèâíûõ äèíà- ìè÷åñêèõ óðàâíåíèé âîñïîëüçóåìñÿ âåëè÷èíîé + êàê ìàëûì ïàðàìåòðîì. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (12), (13) äëÿ çàâèñèìîñòåé u u U V� ( , ) è v v U V� ( , ) â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (4), (5), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûå çàìêíóòûå óðàâíåíèÿ äëÿ ôóíêöèé U x ct( )� è V x ct( )� . Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ëèíåéíûå âîëíû Ðýëåÿ â ïîëóïðîñòðàíñòâå, ïîêðûòîì ìîíîñëîåì. Â äëèí- íîâîëíîâîì ïðåäåëå â (4), (5) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ëèíåéíûìè ÷ëåíàìè ñ íàèìåíüøèìè ïîêàçà- òåëÿìè ïðîèçâîäíûõ. Òîãäà èç (4), (5) ñëåäóåò ñâÿçü U u v V v ux x/ � / � , � � � . (15) Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòíîøåíèé (15) â ëèíåàðèçî- âàííûå âûðàæåíèÿ (12), (13) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàìêíóòóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ u è v: + +u BHu Av v DHv Cux x x x� � � �� , � , (16) êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå +u B D Hu BDu / sx xx� � � �( ) � ( )1 02 . (17) Â îòñóòñòâèå ìîíîñëîÿ (ïðè M A B C D� � � � � � 0) èç (17) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå + � 0 è èç (14) ïî- ëó÷àåì çàêîí äèñïåðñèè äëÿ áåçäèñïåðñèîííûõ âîëí Ðýëåÿ âèäà u u kx t� �0 sin ( )0 ñ 0 � �ck c cR, . Â ïðèñóòñòâèè ìîíîñëîÿ äîïîëíèòåëüíûå ÷ëåíû â (17) ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ äèñïåðñèè âîëí Ðýëåÿ. Â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè äèñïåðñèîííîå ñîîòíîøå- íèå èìååò òåïåðü âèä 1 10 �/ �c k d kR ( ~ )1 , (18) ãäå ïàðàìåòð ~� ðàâåí ( )( ) (s /c / cR t l t t 2 2 1 1 2 2* * � � � � � �� l l tc s c2 2 1 22 1( ) ) è ñîâïàäàåò ïî ñâîåé ôîð- ìå ñ òàêîâûì äëÿ ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ òîíêèì íî íå ìîíîàòîìíûì ïëåíî÷íûì ïîêðûòèåì [18]. Âëèÿíèå ìîíîñëîÿ àíàëîãè÷íî âëèÿíèþ òîíêîé ïëåíêè ñ ýô- ôåêòèâíîé òîëùèíîé d M c c f R t t l � � � � � �� % * * * 1 2 2 ~ ~ ~ , (19) ãäå ~t R tc /c� �1 2 2 , ~l R lc /c� �1 2 2 (ò.å. d - - a /f( )% % ). Êàê èçâåñòíî, ñâîéñòâà íåëèíåéíûõ âîëí è ñîëè- òîíîâ â êîíêðåòíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ñóùåñò- âåííî çàâèñÿò îò äèñïåðñèîííûõ ñâîéñòâ ëèíåéíûõ âîëí â íåé. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äèñïåðñèÿ ëèíåéíûõ âîëí D / k� ( (2 20 â äëèííîâîëíîâîì ïðå- äåëå k . 0 îñòàåòñÿ êîíå÷íîé: D c dR. � 2 ~�, ò.å. ðý- ëååâñêèå âîëíû â ñèñòåìå ñ ïëåíî÷íûì ïîêðûòèåì ÿâëÿþòñÿ ñèëüíî äèñïåðãèðóþùèìè. Ïðè ýòîì î÷åíü âàæíûì ñòàíîâèòñÿ âîïðîñ î õàðàêòåðå íåëè- íåéíûõ ñëàãàåìûõ â äèíàìè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ. Âåðíåìñÿ ê íåëèíåéíûì ïîâåðõíîñòíûì âîëíàì â ïîëóïðîñòðàíñòâå, ïîêðûòîì ìîíîñëîåì ìàòåðèà- ëà ñ íåëèíåéíûìè ñâîéñòâàìè. ×òîáû ïîëó÷èòü ýô- ôåêòèâíîå îäíîìåðíîå äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ýòèõ âîëí, âîñïîëüçóåìñÿ ìàëîñòüþ ïàðàìåòðà + è ââåäåì «ìåäëåííóþ» êîîðäèíàòó r x ct� �+! ", ãäå c — ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ñîëèòîíà (áëèçêàÿ ê ñêîðîñòè ëèíåéíîé âîëíû Ðýëåÿ â ïîëóïðîñòðàí- ñòâå áåç ïîêðûâàþùåãî ñëîÿ). Òîãäà äëÿ íîâûõ ïå- ðåìåííûõ p ux� , q vx� , P Ux� èQ Vx� ñîîòíîøå- íèÿ (12), (13) â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó + ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû â ôîðìå: p r AQ BHP A c c PQ B c /c H Q P f f � ( ( � � � � $ �$ � � �� 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2� �� $ �$ , (20) q r CP DHQ D c c HPQ C c /c Q P f f � ( ( � � � � $ �$ � � �� 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2� �� $ �$ , (21) â òîì æå ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåò- ðó + èç (4), (5) è (15) ñëåäóåò, ÷òî q Q O p P O� � ( ), ( )+ + , (22) è ìîæíî ïîäñòàâèòü q Q p P� �, â (20), (21), ÷òîáû ïîëó÷èòü êîíå÷íûå çàìêíóòûå óðàâíåíèÿ äëÿ ïåðå- Íåëèíåéíûå ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ ìîíîàòîìíûì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 533 ìåííûõ P è Q. Ïîñêîëüêó ðàíåå ïîêàçàíî, ÷òî BD CA O - ( )+ , â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî + èç (20), (21) ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ñâÿçè ìåæäó äâó- ìÿ êîìïîíåíòàìè äåôîðìàöèè â ìîíîñëîå P è Q: Q C/B HP� � ( ) � . (23) Âîñïîëüçîâàâøèñü (23), íàõîäèì îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ! "P P r� : P r HP r HP� ( ( � ( ( �� 2� � 2 0, (24) ãäå � % * � � ( ) [~ ( ) ~ ]M/ s c /ct f R l 2 2 21 , 2 % � � � ( )( )( ~ ~ )M/ c s /c /f R t l2 22 2 2 . Â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ ýòî óðàâíåíèå ïðåîáðàçó- åòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: + � 2U HU HUx x� � �� 2 0 . (25) Óðàâíåíèå (25) èìååò ñòðóêòóðó, ïîäîáíóþ ïî- ëó÷åííîé â ðàáîòå [18] äëÿ óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàí- ñòâà ñ èäåàëüíîé ãðàíèöåé, â êîòîðîì íåëèíåéíûå ñâîéñòâà óáûâàþò ñ ðîñòîì ðàññòîÿíèÿ îò ïîâåðõíî- ñòè. Ïîñêîëüêó ýêñïåðèìåíòàëüíî îáû÷íî èçìåðÿåò- ñÿ äðóãàÿ êîìïîíåíòà äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòè — Q V/ x� ( ( , ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (24) â åå òåðìè- íàõ: Q r HQ B C r HQ� ( ( � ( ( �� 2� ( � ) .2 0 (26) Ïðîñòî ñäåëàòü ñëåäóþùèé øàã â ïðîöåäóðå ïðè- áëèæåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó + è íàéòè ïîïðàâêè ïîðÿäêà + ê �. Íî âàæíî óêàçàòü, ÷òî ñòðóêòóðà óðàâíåíèé (2)–(26) ïðè ýòîì íå èçìåíÿåòñÿ è â ýòîì ïðèáëèæåíèè â óðàâíåíèÿõ íå ïîÿâëÿþòñÿ äî- ïîëíèòåëüíûå íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå äðóãîãî òèïà. 3. Óðàâíåíèÿ äëÿ ìåäëåííî èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè íåëèíåéíûõ ðýëååâñêèõ âîëí Äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ìû îáñóæäàëè òîëüêî íåëèíåéíûå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Òåïåðü îáîáùèì óðàâíåíèå (24) íà ñëó- ÷àé íåëèíåéíûõ ðýëååâñêèõ âîëí ñ ìåäëåííî èç- ìåíÿþùèìñÿ ïðîôèëåì è ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ çàâèñèìîñòü ñìåùåíèé îò «ìåäëåííîãî âðåìåíè» 3 �� t ( ( ) )� � � ��c c /cR R 1 â ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâè- æóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ c cR� : ! "y y� �x c t zR , ,3 . Íîâûé ìàëûé ïàðàìåòð � ñâÿçàí ñ ââåäåííûì ðàíåå ìàëûì ïàðàìåòðîì + ñëåäóþùèì îáðàçîì: � + * * � � � �/ s /c / c / c ct l t t t l l R[( ( ~) ~ (~ ) ~ (~ )) ]2 1 2 2 2 2 , ~ ( )s c cR t� 2 22 . Â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó � óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà äëÿ ïîïåðå÷íûõ è ïðîäîëüíûõ êîìïîíåíò ñìåùåíèé çàìåíÿþòñÿ ñëå- äóþùèìè óðàâíåíèÿìè: ( )1 22 2 2� � �c /b c /bR xx zz R xy y y�! " 3, (27) ãäå, êàê è âûøå, b cl� äëÿ y y� l è b ct� äëÿ y y� t . Èç (27) ìåæäó ðàçëè÷íûìè êîìïîíåíòàìè äåôîðìàöèè íà ïîâåðõíîñòè ñëåäóåò ñâÿçü, êîòîðàÿ îáîáùàåò âûðàæåíèå (9): ( ( � � ( ( 4 4 44 4 4 44 / � ( ( 4 4 44 y z c b H y x c b b c H y s R s R R s 1 2 2 2 2 � �� 3 . (28) Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ ( ( � � ( (u / x v / zt t , ( ( �u / zl � ( (v / xl , âîçìîæíî, ïðåäâàðèòåëüíî ïðîäèôôåðåí- öèðîâàâ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (7), (8) ïî êîîðäèíàòå x, âûðàçèòü âñå êîìïîíåíòû äåôîðìàöèè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (7), (8) â òåðìèíàõ ux l è vx t (ñì. Ïðèëîæå- íèå, ÷. 3): ( ( � � � � � � x c s v c Hu c c c xz t xx t t l xx l R t l ' % � 2 12 2 2 ( ~) ~ � 2~ � , * 3 3 l x l x tHu v � � � � � � � � � � � (29) ( ( � � � � � x c s u c Hv c Hv zz t xx l t t xx t R l ' % * � * 2 1 1 2 2( ~) � ~ � x t x lu3 3� � � �� . (30) Ïðîäåëàâ âû÷èñëåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðåäûäó- ùèì, è èñïîëüçîâàâ ñîîòíîøåíèÿ (15), ìîæíî âûðà- çèòü êîìïîíåíòû ñìåùåíèé u vx l x t, ÷åðåç ñìåùåíèÿ àòîìîâ ìîíîñëîÿ: v c c HU Vx t t l l t l l t x l t x� � �2 2 2 1~ ~ [( ~ ~ ~ ) � ( ~ ~ ) ]* * 5 * * * * * � � �� 5 * * 3 3c c c c HU c c c VR l t l t t l t R{ [( )~ ~ ] � ( ) }2 2 2 2 2 22 , (31) u c c HV Ux l t l l t t l t x l t x� � � 2 2 2 1~ ~ [(~ ~ ~ ) � ( ~ ~ ) ]* * 5 * * * * * � �� 5 * * 3 3c c c c HV c c c UR t R t l l l t R{[( )~ ~ ] � ( ) },2 2 2 2 2 22 (32) ãäå 1 12 2 2/ c cl t t l l t5 * * * � �~ ~ ( ~ ~ ) , ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó- ÷èòü çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ïîñëå ââåäåíèÿ ïåðåìåííîé 6 �� x è èñïîëüçîâàíèÿ îáî- çíà÷åíèé P è Q âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: � �66 66 3 3 6 6 [ ( ) ~ ~ � ] ~ ~ � , Mc Q PQ dP eHQ aP bHQ R 2 � � � � � � (33) 534 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À. Ìîæåí � � � �66 66 66 3 3 ( ) ( ) ( ) ~ ~ � ~ Mc P Q P gP dHQ R 2 2 2 2 � � � � � � � � � cHP aQ� ~ ,6 6 (34) ãäå ~ ( ~ ~ ) ~a s cl t t� � �1 2 2 * 5%, ~ ~ ~b cR t� 2 * 5%, ~ ~~ ~c b /l t� * * , ~ (~ ~ )d c c ct l l t R� �* * 5%2 2 2 , ~ [( ) ~ ( ) ~ ]e c c c c c c cR t l l l R t t R� � �3 2 22 2 2 2 2 2 3* * 5% , ~ [( ) ~ ( ) ~ ]g c c c c c c cR l t t t R l l R� � �3 2 22 2 2 2 2 2 3* * 5% , 1 1/ l t ~5 * � � , ïðè÷åì ~ ~~ a cb2 0� � . Ñ ó÷åòîì ýòèõ ñîîòíîøåíèé ïî- ëó÷àåì ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòàìè äåôîðìàöèé ïî- âåðõíîñòíîãî ñëîÿ, àíàëîãè÷íóþ ïîëó÷åííîé âûøå: Q a/b HP� � (~ ~ ) � . Îêîí÷àòåëüíîå óðàâíåíèå, îáîáùàþùåå óðàâíå- íèå (24) äëÿ ñëó÷àÿ ìåäëåííî ýâîëþöèîíèðóþùèõ íåëèíåéíûõ âîëí, áëèçêèõ ê ðýëååâñêèì, èìååò âèä P m HP m H PPm3 � 2� ( ( � ( ( � 2 2 0� � ( ) , (35) ãäå ïàðàìåòðû � è 2 îïðåäåëåíû âûøå, à m x ad bg ce / ct /� � [ ( ~ ~ ~~ ~~) (~ ( ) )]� 5%2 2 2 2 1 2. Èç óðàâ- íåíèÿ (35) î÷åâèäíî, ÷òî åñëè çàâèñèìîñòü îò ( , )x c tR� 3 èñêàòü â ñòàöèîíàðíîì âèäå f x c tR( , )� �3 f x c t cR R( )� � �3 f x ct( )� , òî â ðå- çóëüòàòå ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (24). Âûâîä óðàâíåíèÿ (35) ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ðå- çóëüòàòîì äàííîé ñòàòüè. 4. Ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ äëÿ íåëèíåéíûõ ðåëååâñêèõ âîëí Â ðàçä. 3 íàìè ïîëó÷åí ÿâíûé âèä íåëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ â îäíîìåðíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíè- ÿõ, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó íåëèíåéíûõ ðýëååâ- ñêèõ âîëí â ïîëóïðîñòðàíñòâå ñ ìîíîàòîìíûì ïî- êðûòèåì (ïîñëåäíèå ñëàãàåìûå â óðàâíåíèÿõ (24) è (35)). Êàê âèäíî èç óðàâíåíèÿ (35), âîçíèêàþùàÿ íåëèíåéíîñòü âåñüìà ñëàáà: îíà êâàäðàòè÷íà ïî àìïëèòóäå ïîëÿ è ñîäåðæèò òàêîå æå ÷èñëî ïðî- ñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ, ÷òî è ëèíåéíîå äèñ- ïåðñèîííîå ñëàãàåìîå â ýòîì óðàâíåíèè. Îáû÷íî â «íåëèíåéíîé ôèçèêå» ñóùåñòâîâàíèå ëîêàëèçîâàí- íûõ ñîëèòîííûõ âîçáóæäåíèé îáóñëîâëåíî êîíêó- ðåíöèåé íåëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè âîëí. Â äàííîì ñëó÷àå ñèëüíàÿ äèñïåðñèÿ (êîëè÷åñòâî ïðîñòðàíñò- âåííûõ ïðîèçâîäíûõ â äèñïåðñèîííîì ñëàãàåìîì — âòîðîì â óðàâíåíèè (35)) íå ìîæåò áûòü ñêîìïåíñè- ðîâàíà âëèÿíèåì íåëèíåéíîñòè. (Íåëèíåéíîå ñëà- ãàåìîå ñîäåðæèò òàêîå æå ÷èñëî ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ.) Ïîýòîìó â îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (24) è (35), ïî-âèäèìîìó, íå èìåþò ñòàöèîíàðíûõ ñîëèòîííûõ ðåøåíèé ëèáî ýòè ðåøåíèÿ îáëàäàþò òàêèìè áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè, ÷òî èõ îïèñàíèå â ðàìêàõ äëèííîâîëíîâîãî ïðèáëèæåíèÿ íåîïðàâäàí- íî. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ìîæåò èçìåíèòüñÿ â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà âåëè÷èíà ïàðàìåòðà � â ãëàâíîì äèñ- ïåðñèîííîì ñëàãàåìîì àíîìàëüíî ìàëà. Ýòî ìîæåò èìåòü ìåñòî ïðè íåêîòîðûõ îïðåäåëåííûõ ñîîòíî- øåíèÿõ ïàðàìåòðîâ ïîëóïðîñòðàíñòâà ïîäëîæêè è ïîêðûâàþùåãî åãî ìîíîñëîÿ: äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî: s M/ c /cl t f 2 2 21 1( )( ( ))% * � �� . (36) Ïîñêîëüêó âñå âõîäÿùèå â ýòî ñîîòíîøåíèå ïàðà- ìåòðû ïîðÿäêà åäèíèöû, òî âûïîëíåíèå óêàçàííîãî íåðàâåíñòâà â ïðèíöèïå âîçìîæíî. Â ýòîì ñëó÷àå îñíîâíîé äèñïåðñèîííûé ÷ëåí â ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèÿõ, îáóñëîâëåííûé íàëè÷èåì ïîâåðõíîñò- íîãî àäñîðáèðîâàííîãî ñëîÿ, ñòàíîâèòñÿ àíîìàëüíî ìàëûì è íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíóþ ñëàáóþ äèñïåðñèþ, âîçíèêàþùóþ â ñëåäóþùåì ïî- ðÿäêå òåîðèè âîçìóùåíèÿ ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó +. Ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèÿ (22) äîëæíû áûòü çàïèñàíû ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ: q Q P O p P Q Or r� � � � + � � � + + +( ), ( )2 2 . (37) Â ðåçóëüòàòå ñîîòíîøåíèå (23) ìåæäó ðàçëè÷íûìè êîìïîíåíòàìè äåôîðìàöèè ñòàíåò áîëåå ñëîæíûì: ! "Q C/B HP LP NH PHPr r� � � � � ( � )+ + , (38) L / C K /B� � � � � �( ) ( ) 2, N CKc / B cf R� 2 2 2( ) , K M/ c /c c /cR t f R t l� � �( ) ( ) ( )(~ ~ )2 1 12 4 2 2% * * . Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (24) ìîäèôèöèðóåòñÿ è ïðè- îáðåòàåò ñëåäóþùèé îêîí÷àòåëüíûé âèä: P r HP LD B C r P r HP� ( ( � ( ( � ( ( �~ � �� + 2 2 2 2 0, (39) ãäå ~ ( )� � +� � C K /B. Ïîäîáíîå óðàâíåíèå îáñóæ- äàëîñü â ðàáîòå [18], íî âûâîä óðàâíåíèÿ ñ ïîìî- ùüþ íåêîòîðîé àñèìïòîòè÷åñêîé ïðîöåäóðû òðåáî- âàë îïðåäåëåííîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ìàëûì ïàðàìåòðîì ðàçëîæåíèÿ (ôàêòè÷åñêè àìïëèòóäîé âîëíû) è òîëùèíîé ïëåíêè, ïîêðûâàþùåé ïîâåðõ- íîñòü êðèñòàëëà. Â ïðåäëîæåííîé ìîäåëè âûâîä óðàâíåíèé äèíàìèêè ñâîáîäåí îò ýòîãî íåäîñòàòêà è ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì íà òåîðôèçè÷åñêîì óðîâíå. Íåëèíåéíûå ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ ìîíîàòîìíûì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 535 Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñëàáî äèñïåðãèðóþ- ùåé ñèñòåìû, êîãäà ïàðàìåòð ~� â óðàâíåíèè (39) àíîìàëüíî ìàë è ìîæåò áûòü îïóùåí. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå (39) â áåçðàçìåðíîì âèäå ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùóþ ôîðìó: W W H W� � �� ( )2 0 , (40) ãäå W P C /LDB/� 2 + è � +� �C/LDB x ct( ). Â ýòîì óðàâíåíèè íåëèíåéíîå è äèñïåðñèîííîå ñëà- ãàåìûå óæå ìîãóò ñêîìïåíñèðîâàòü äðóã äðóãà è âîçíèêàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Ê ñîæàëåíèþ, òàêèå ðåøåíèÿ íå óäàëîñü íàéòè â àíàëèòè÷åñêîì âèäå. Îäíàêî èç âèäà óðàâíåíèÿ (40) ñðàçó æå ñëå- äóþò íåêîòîðûå íåîáû÷íûå ñâîéñòâà ýòèõ ñîëèòî- íîâ. Ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå (40) ïî � â áåñêî- íå÷íûõ ïðåäåëàõ è ïðåäïîëîæèâ íóëåâûå óñëîâèÿ äëÿ äåôîðìàöèè íà áåñêîíå÷íîñòè, íàõîäèì, ÷òî ïîëíàÿ ïðîäîëüíàÿ äåôîðìàöèÿ â ðåëååâñêîì ñîëè- òîíå äîëæíà áûòü íóëåâîé: dxP x( ) � �7 7 8 0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîôèëü ñîëèòîíà äîëæåí áûòü çíàêîïåðåìåííûì. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëó÷åííîå íà- ìè ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (40) äëÿ òàêîãî ñîëèòîíà èìååò âèä «ìåêñèêàíñêîé øëÿïû» (ñì. ðèñ. 2.) Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî ôàêòè÷åñêè ÷èñ- ëåííûé ðàñ÷åò ïðîâåäåí äëÿ íåëèíåéíîé ïåðèîäè- ÷åñêîé âîëíû Ðýëåÿ, ñîñòîÿùåé èç öóãà ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ. Îäíàêî ñ ðîñòîì ïåðèîäà l ýòîé âîëíû îíà äåéñòâèòåëüíî ïðåâðàùàëàñü â ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó ðàçíåñåííûõ íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå è ñèëüíî ëîêàëèçîâàííûõ ñîëèòîíîâ. Íà ðèñ. 2 èçî- áðàæåíî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (40) äëÿ íåëèíåéíîé ðýëååâñêîé âîëíû ñ äëèíîé l /� /2 015 169 , . Ïðè ýòîì øèðèíà îòäåëüíîãî ñîëèòîíà & (ðàññòîÿíèå ìåæäó ìèíèìóìàìè ïðîôèëÿ ñîëèòîíà) áûëà ïðè- ìåðíî â 10 ðàç ìåíüøå ïåðèîäà âîëíû. Âîçìîæíûå ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå îáîáùåíèÿ óðàâ- íåíèÿ (39), äîïóñêàþùèå àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ, îáñóæäåíû â Ïðèëîæå- íèè, ÷. 4. Ïðèëîæåíèå 1. Ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà îïðåäåëÿåòñÿ ñëå- äóþùèì îáðàçîì: � ( ) ( )Hf x dx x x f x� :� : �7 7 81 9 (Ï.1) è îáëàäàåò òàêèìè èñïîëüçóåìûìè íàìè â ñòàòüå ñâîéñòâàìè: � � ( ) ( )HHf x f x� � , (Ï.2) � ( ) � � � (( � )( � ))H fg fHg gHf H Hf Hg� . (Ï.3) 2. Ñâÿçü ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò äåôîðìàöèè íà ïî- âåðõíîñòè ëèíåéíîãî èçîòðîïíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà: u Hvx t t x t� �* � , u Huz l l x l� �* � , u vz t t x t� 2 , v Hux l l x l� � , v uz l l x l� �2 , v Hvz t t x t� � . (Ï.4) 3. Ñâÿçü êîìïîíåíò äåôîðìàöèè äëÿ ìåäëåííî èçìåíÿþùèõñÿ âîëí: u Hv c c Hvx t t x t R t t t� � �~ � ~ �* � * 32 , u Hu c c Huz l l x l R l l l� ~ � ~ �* � * 32 , u v c c vz t t x t R t t� ~* � 3 2 2 2 , v Hu c c Hux l l x l R l l l� ~ � ~ �* � * 32 , v u c c uz l l x l R l l� � �~* � 3 2 2 2 , v Hv c c Hvz t t x t R t t t� ~ � ~ �* � * 32 . (Ï.5) 4. Âåðíåìñÿ ê óðàâíåíèþ (24), ñòðîãî âûâåäåííî- ìó íàìè â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ïî ìàëîìó ïàðà- ìåòðó +, è ïåðåïèøåì åãî â áåçðàçìåðíîì âèäå: F HF H FF� � �� ( ) ,; ; 0 (Ï.6) 536 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À. Ìîæåí w –0,5 � / l 0 0,5 1,4 0 Ðèñ. 2. ×èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (40) äëÿ îäíîãî ïåðèîäà ïðîôèëÿ íåëèíåéíîé ðåëååâñêîé âîëíû ñ äëè- íîé âîëíû l / 16. ââåäÿ íîâóþ ïîëåâóþ ïåðåìåííóþ F P/� 22 � è êî- îðäèíàòó ; �� r/ . Ìîæíî ïîñòàâèòü âîïðîñ î âîç- ìîæíûõ îáîáùåíèÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíîe äèñïåðñèîííîå ñëàãàåìîå ïðåäñòàâëÿåò åäèíñòâåí- íóþ âîçìîæíóþ êîìáèíàöèþ, ëèíåéíóþ ïî ïîëåâîé ïåðåìåííîé è ñîäåðæàùóþ îäíó ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîèçâîäíóþ è îäíî ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà. Îäíàêî íåçàâèñèìûå íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå, êâàä- ðàòè÷íûå ïî ïîëåâîé ïåðåìåííîé è ñîäåðæàùèå îäíî ïðåîáðàçîâàíèå Ãèëüáåðòà è îäíó ïðîñòðàíñò- âåííóþ ïðîèçâîäíóþ, âîçìîæíû, â ïðèíöèïå, òðåõ òèïîâ. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (Ï.2) è (Ï.3), ëåã- êî ïîêàçàòü, ÷òî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþ- ùèå êîìáèíàöèè: � ( )H FF; , FHF� ; è F HF; � . Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ôåíîìåíîëîãè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, îáîá- ùàþùåãî óðàâíåíèå (Ï.6), ïðåäëàãàåì ðàññìîòðåòü óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå âñå òðè âîçìîæíûõ òèïà íå- ëîêàëüíûõ íåëèíåéíûõ ñëàãàåìûõ, ïîñêîëüêó òà- êîå ðàññìîòðåíèå ïðèâîäèò ê èíòåðåñíûì ìàòåìàòè- ÷åñêèì ðåçóëüòàòàì. Ìû íàäååìñÿ, ÷òî â äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ ïîñòàíîâêàõ çàäà÷è òàêèå óðàâíåíèÿ òàêæå ìîãóò âîçíèêíóòü. Îáîáùåííîå ôåíîìåíîëî- ãè÷åñêîå óðàâíåíèå áóäåò èìååò âèä F HF F HF FHF H FF� � � � �� ( ) ,; ; ; ;� � �1 2 3 0 (Ï.7) ãäå � i — ïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû. Ýòî óðàâíåíèå âûãëÿäèò ñóùåñòâåííî ñëîæíåå óðàâíåíèÿ (Ï.6), îäíàêî ïðè íåêîòîðûõ îïðåäåëåííûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó ïàðàìåòðàìè � i îíî äîïóñêàåò òî÷íûå àíà- ëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ. Ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðèì ñëó÷àé �3 0� ,�1 � � � �2. (Ïåðåíîðìèðóÿ àìïëèòóäó ðåøåíèÿ, ìîæíî ïîëîæèòü � �1 2 1� � � .) Ïðè ýòîì ïîëó÷àþùååñÿ óðàâíåíèå F HF F HF FHF� � �� ; ; ; 0 (Ï.8) èìååò òî÷íîå ñîëèòîííîå ðåøåíèå F � 2 1 2; , (Ï.9) èìåþùåå âèä èçâåñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Áåíä- æàìèíà–Îíî äëÿ íåëèíåéíûõ âîëí íà ïîâåðõíîñòè áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé æèäêîñòè [21]. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì ðåøåíèè, â îòëè÷èå îò ïðèâåäåííîãî íà ðèñ. 2, äåôîðìàöèÿ âñþäó ïîëîæèòåëüíà è ïîëíàÿ äåôîð- ìàöèÿ â êðèñòàëëå îòëè÷íà îò íóëÿ. Íåñëîæíî íàé- òè è îáîáùåíèå ðåøåíèÿ (Ï.9) äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî öóãà ñîëèòîíîâ: ! " F b b /l � � � 1 1 2 cos ~; , (Ï.10) ãäå ~ l b / b� �2 21 è b < 1. Áîëåå èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà� � �1 2 3 2� � � / è âîçíèêàåò óðàâíåíèå F HF F HF FHF H FF� � � �� ( ) ,; ; ; ;2 0 (Ï.11) êîòîðîå òàê æå èìååò òî÷íûå ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ, ïðè÷åì áåñêîíå÷íûé íàáîð òàêèõ ðåøåíèé. Ïåðâîå è íàèáîëåå ïðîñòîå ñîëèòîííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (Ï.11) èìååò âèä F � � 8 1 4 12 2 2( ); ; . (Ï.12) Ýòî ðåøåíèå èìååò êà÷åñòâåííî òàêîé æå âèä, ÷òî è ðåøåíèå âûâåäåííîãî âûøå óðàâíåíèÿ (40), èçî- áðàæåííîãî íà ðèñ. 2, è ïîëíàÿ äåôîðìàöèÿ, ñîîò- âåòñòâóþùàÿ ýòîìó ðåøåíèþ, òàêæå ñòðîãî ðàâíà íóëþ. Îäíàêî â äàííîì ñëó÷àå ñîëèòîí íå èìååò òà- êîãî óçêîãî ïðîôèëÿ, êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (40). Íàèáîëåå èíòåðåñíûì îáñòîÿòåëüñòâîì ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå äðóãèõ áîëåå ñëîæíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (Ï.11) äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ðýëååâñêèõ ñîëèòîíîâ. Íàïðèìåð, ñëåäóþùèå ïî ñòåïåíè ñëîæíîñòè ðåøå- íèÿ (Ï.11) èìåþò âèä F ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ) 23 1 12 12 2 2 12 2 2 2 12 2 2 1 � � � � $� � ; � ; ��$ � � $ �$ � � � ; � � ; � 2 12 12 3 2 12 2 3 12 2 8 6( ) ( , ) ( , ) ( , ) (( ) ( 12 2 2, ) ) � � $ �$ � � $ �$ (Ï.13) ñ �1 1 3 3 3( ) ( )� , �2 1 3 3 2 3( ) ( )� , �( ) (1 3� 3 2)/ äëÿ ðåøåíèÿ F ( )2 è �1 2 3 3 3( ) ( )� � , �2 2 3 3 2 3( ) ( )� � , �( ) ( )2 3 3 2� � / äëÿ ðåøåíèÿ F ( )3 . Åñëè ðåøåíèå F ( )2 èìååò ïðîôèëü, àíàëîãè÷- íûé ïðîôèëþ ðåøåíèÿ (Ï.12), òî ðåøåíèå F ( )3 èìååò óæå ïðîôèëü ñ äâóìÿ áîëüøèìè ìàêñèìóìà- ìè è òðåìÿ ìèíèìóìàìè. Ïðîôèëè ðåøåíèé äëÿ F, F ( )2 è F ( )3 ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3. Áîëåå ñëîæíûå ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â åäèíîì âèäå F H d d N n N n N N n N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �; � ; � ; � � � � � �� 2 2 1 , (Ï.14) ãäå ïàðàìåòðû � n N( ) è �( )N äëÿ êàæäîãî N íàõîäÿò- ñÿ êàê ðåøåíèÿ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Êîíå÷íî, ïðè áîëüøèõ N ýòè ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü íàéäåíû ëèøü ÷èñëåííî, íî ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷- íîñòüþ. Ïðè ýòîì ðåøåíèÿ (Ï.11) ñ ýòîé òî÷íîñòüþ ÿâëÿþòñÿ ñòðîãèìè. Âîçìîæíî, ýâîëþöèîííûé àíà- ëîã óðàâíåíèÿ (Ï.11) ñ âðåìåííîé ïðîñòðàíñò- âåííîé ïðîèçâîäíîé âìåñòî ïåðâîãî ñëàãàåìîãî è ñ äîïîëíèòåëüíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì âñåõ îñòàëü- íûõ ñëàãàåìûõ ïî êîîðäèíàòå ÿâëÿåòñÿ òî÷íî èí- òåãðèðóåìûì. Íåëèíåéíûå ðýëååâñêèå âîëíû â ñðåäå ñ ìîíîàòîìíûì íåëèíåéíûì ïîêðûòèåì Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 537 Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ïðîåêòà INTAS-99 (ãðàíò ¹ 167). 1. A.D. Navaco, Phys. Rev. B19, 6493 (1979); ibid. B46, 8178 (1992). 2. T.M. Hakim, M.F. Bertino, F. Hofmann, J.P. Toen- nies, and Ch. Woll, J. Chem. Phys. 106, 6194 (1997); ibid. 107, 4445 (1997). 3. D.F. Parker and F.M. Talbot, J. Elast. 15, 389 (1985). 4. M.F. Hamilton, Yu.A. Il’insky, and E.A. Zabolot- skaya, J. Acoust. Soc. Am. 93, 3089 (1993). 5. D. Bonart, A.P. Mayer, and V.G. Mozhaev, Il Vuoto, Scienza e Tecnologia 3/96, 21 (1996). 6. J.K. Hunter, Contemp. Math. 100, 185 (1989). 7. V.G. Mozhaev, Phys. Lett. A139, 333 (1989). 8. H. Hadouaj and G.A. Maugin, C. R. Acad. Sci. Paris 2-309, 1877 (1989); J. Phys. (Paris), suppl. 51, C2-57 (1989); Wave Motion 16, 115 (1992). 9. A.S. Kovalev and E.S. Syrkin, Surf. Sci. 346, 337 (1996). 10. À.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñûðêèí, Æ.À. Ìîæåí, ÔÍÒ 28, 635 (2002). 11. C. Eckl, A.P. Mayer, and A.S. Kovalev, Phys. Rev. Lett. 81, 983 (1998). 12. V.E. Gusev, W. Lauriks, and J. Thoen, Phys. Rev. B55, 9344 (1997). 13. V.I. Nayanov, JETP Lett. 44, 314 (1986). 14. V. Kavalerov, T. Fujii, and M. Inoue, J. Appl. Phys. 87, 907 (2000). 15. Al.A. Kolomenskii, A.M. Lomonosov, R. Kischnereit, P. Hess, and V.E. Gusev, Phys. Rev. Lett. 79, 1325 (1997). 16. A.M. Lomonosov and P. Hess, Phys. Rev. Lett. 83, 3876 (1999). 17. A.M. Lomonosov, P. Hess, and A.P. Mayer, Phys. Rev. Lett. 88, 076104 (2002). 18. A.S. Kovalev, A.P. Mayer, C. Eckl, and G.A. Mau- gin, Phys. Rev. E66, 036615 (2002). 19. L.W. Bruch and A.D. Novaco, Phys. Rev. B61, 5786 (2000). 20. H.D. Greenberg, Application of Green’s Functions in Science and Engineering, New Jersey (1971). 21. H. Ono, J. Phys. Soc. Jpn. 39, 1082 (1975). Nonlinear Rayleigh waves in half space covered with atomic monolayer A.S. Kovalev, E.S. Sokolova, A.P. Mayer, and G.A. Maugin The nonlinear dynamics of surface acoustic waves near the surface of linear elastic half space coated with a nonlinear material mono- layer is investigated. A nonlinear one-dimensio- nal integro-differential equation, which describes the dynamics of this system, is derived. Rayleigh stationary shape solitons are studied in the framework of the proposed model. Possible phe- nomenological generalizations of the derived equations and their exact soliton solutions are discussed. 538 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 5 A.Ñ. Êîâàëåâ, Å.Ñ. Ñîêîëîâà, À.Ï. Ìàéåð, Æ.À. Ìîæåí –8 –4 0 4 8 ; –2 0 2 4 6 F F 2 F 3 Ðèñ. 3. Ïðîôèëè ñîëèòîííûõ ðåøåíèé (Ï.12) (F) è (Ï.13) (F(2) è F(3)).

Нелинейные рэлеевские волны в среде с моноатомным нелинейным покрытием

Institution

Ähnliche Einträge