Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He

Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He

Гамильтонов формализм в двухжидкостной гидродинамике обобщен на случай сверхтекучих смесей ⁴Не-³He. На его основе рассчитаны амплитуда трехволнового взаимодействия для второго звука и коэффициент нелинейности второго звука в He II с примесью ³He. Показано, что температура, при которой коэффициент не...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2003
Автор: Колмаков, Г.В.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2003
Назва видання:Физика низких температур
Теми:
3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128856
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He / Г.В. Колмаков // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 6. — С. 667-671. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-128856
record_format dspace
spelling irk-123456789-1288562018-01-15T03:04:44Z Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He Колмаков, Г.В. 3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации Гамильтонов формализм в двухжидкостной гидродинамике обобщен на случай сверхтекучих смесей ⁴Не-³He. На его основе рассчитаны амплитуда трехволнового взаимодействия для второго звука и коэффициент нелинейности второго звука в He II с примесью ³He. Показано, что температура, при которой коэффициент нелинейности второго звука изменяет знак с отрицательного на положительный, понижается от 1,88 до 1,7 К при введении 10% примесей ³He в сверхтекучий ⁴Не. Таким образом, для слабых растворов ⁴Не-³He существует достаточно широкий интервал температур ниже температуры сверхтекучего перехода Tl, в котором коэффициент нелинейности второго звука отрицателен, и ударный фронт формируется на спаде нелинейной волны нагрева второго звука. The Hamiltonian formalism in two-fluid hydrodynamics is generalized to the case of ⁴Не-³He superfluid mixtures. The resulting formalism is used to calculate the amplitude of the three-wave interaction for second sound and the nonlinearity coefficient of second sound in He II with a ³He impurity. It is shown that the temperature at which the nonlinearity coefficient of the second sound changes sign from negative to positive is lowered from 1.88 to 1.7 K when a 10% 3 He impurity is added to the superfluid ⁴Не . Thus for weak ⁴Не-³He solutions there exists a rather wide interval of temperatures below the superfluid transition temperature T λ in which the nonlinearity coefficient of the second sound is negative, and the shock front is formed at the trailing edge of the nonlinear second-sound heating wave. 2003 Article Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He / Г.В. Колмаков // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 6. — С. 667-671. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.40.Pm, 67.40.Mj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128856 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic 3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
spellingShingle 3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
Колмаков, Г.В.
Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
Физика низких температур
description Гамильтонов формализм в двухжидкостной гидродинамике обобщен на случай сверхтекучих смесей ⁴Не-³He. На его основе рассчитаны амплитуда трехволнового взаимодействия для второго звука и коэффициент нелинейности второго звука в He II с примесью ³He. Показано, что температура, при которой коэффициент нелинейности второго звука изменяет знак с отрицательного на положительный, понижается от 1,88 до 1,7 К при введении 10% примесей ³He в сверхтекучий ⁴Не. Таким образом, для слабых растворов ⁴Не-³He существует достаточно широкий интервал температур ниже температуры сверхтекучего перехода Tl, в котором коэффициент нелинейности второго звука отрицателен, и ударный фронт формируется на спаде нелинейной волны нагрева второго звука.
format Article
author Колмаков, Г.В.
author_facet Колмаков, Г.В.
author_sort Колмаков, Г.В.
title Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
title_short Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
title_full Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
title_fullStr Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
title_full_unstemmed Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He
title_sort нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴не-³he
publisher Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate 2003
topic_facet 3-й Международный семинар по физике низких температур в условиях микрогравитации
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128856
citation_txt Нелинейные волны второго звука в сверхтекучих смесях ⁴Не-³He / Г.В. Колмаков // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 6. — С. 667-671. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series Физика низких температур
work_keys_str_mv AT kolmakovgv nelinejnyevolnyvtorogozvukavsverhtekučihsmesâh4ne3he
first_indexed 2025-07-09T10:02:39Z
last_indexed 2025-07-09T10:02:39Z
_version_ 1837163203804528640
fulltext Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 6, ñ.667–671 Íåëèíåéíûå âîëíû âòîðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ 4Íå–3He Ã.Â. Êîëìàêîâ Èíñòèòóò ôèçèêè òâåðäîãî òåëà ÐÀÍ ï. ×åðíîãîëîâêà, Ìîñêîâñêàÿ îáë., 142432, Ðîññèÿ E-mail: german@issp.ac.ru Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 19 äåêàáðÿ 2002 ã. Ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì â äâóõæèäêîñòíîé ãèäðîäèíàìèêå îáîáùåí íà ñëó÷àé ñâåðõòåêó- ÷èõ ñìåñåé 4Íå–3He. Íà åãî îñíîâå ðàññ÷èòàíû àìïëèòóäà òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ âòîðîãî çâóêà è êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà â He II ñ ïðèìåñüþ 3He. Ïîêàçàíî, ÷òî òåìïåðàòóðà, ïðè êîòîðîé êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà èçìåíÿåò çíàê ñ îòðè- öàòåëüíîãî íà ïîëîæèòåëüíûé, ïîíèæàåòñÿ îò 1,88 äî 1,7 Ê ïðè ââåäåíèè 10% ïðèìåñåé 3He â ñâåðõòåêó÷èé 4Íå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëàáûõ ðàñòâîðîâ 4Íå–3He ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî øè- ðîêèé èíòåðâàë òåìïåðàòóð íèæå òåìïåðàòóðû ñâåðõòåêó÷åãî ïåðåõîäà T�, â êîòîðîì êîýôôè- öèåíò íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà îòðèöàòåëåí, è óäàðíûé ôðîíò ôîðìèðóåòñÿ íà ñïàäå íåëè- íåéíîé âîëíû íàãðåâà âòîðîãî çâóêà. PACS: 67.40.Pm, 67.40.Mj 1. Ââåäåíèå Èçó÷åíû íåëèíåéíûå ñâîéñòâà âîëí âòîðîãî çâó- êà â ñâåðõòåêó÷åì 4Íå ñ ïðèìåñüþ 3He. Èçâåñòíî [1], ÷òî âòîðîé çâóê â He II õàðàêòåðèçóåòñÿ çíà÷è- òåëüíî áîëåå ñèëüíûìè íåëèíåéíûìè ñâîéñòâàìè, ÷åì îáû÷íûé (ïåðâûé) çâóê. Íàïðèìåð, áåãóùèé èìïóëüñ ðîòîííîãî âòîðîãî çâóêà äëèòåëüíîñòüþ � � � 10 ìêñ è àìïëèòóäîé �T � 10–2 Ê ïðåâðàùàåòñÿ â óäàðíóþ âîëíó íà ðàññòîÿíèè ïîðÿäêà 1 ñì îò èñ- òî÷íèêà [2]. Êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè �, îïðåäåëÿþùèé çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè âòîðîãî çâóêà îò àìïëèòóäû âîëíû �T, u2 = u20 (1 + ��T) (ãäå u20 — ñêîðîñòü âòîðîãî çâóêà áåñêîíå÷íî ìàëîé àìïëèòóäû), â ÷èñ- òîì Íå II äàåòñÿ âûðàæåíèåì [1] � � � � � � �T u T ln( )20 3 , (1) ãäå � — ýíòðîïèÿ åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè. Êîýô- ôèöèåíò � âõîäèò â óðàâíåíèå Áþðãåðñà, îïèñû- âàþùåå ýâîëþöèþ áåãóùåé îäíîìåðíîé ñëàáîíåëè- íåéíîé âîëíû [3]. Êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè ðîòîííîãî âòîðîãî çâóêà ñèëüíî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû.  ÷èñòîì He II ïðè äàâëåíèè íàñûùåííûõ ïàðîâ êîýôôè- öèåíò � îòðèöàòåëåí ïðè 1,88 Ê < T < T� è ïîëîæè- òåëåí ïðè T < 1,88 Ê. Ïðè T = T� = 1,88 Ê êîýôôè- öèåíò � ìåíÿåò çíàê. Âñëåäñòâèå ýòîãî â îáëàñòè òåìïåðàòóð âûøå T� âîçìîæíî îáðàçîâàíèå óäàðíî- ãî ôðîíòà (òåìïåðàòóðíîãî ðàçðûâà) íà ñïàäå âîë- íû íàãðåâà âòîðîãî çâóêà, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷å- ñêèì ñâîéñòâîì âòîðîãî çâóêà [1].  íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷åíî âëèÿíèå ïðèìåñåé 3He íà íåëèíåéíûå ñâîéñòâà âòîðîãî çâóêà â ñâåðõ- òåêó÷åì Íå II. Èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ âîëí âòî- ðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ èìåþò ñàìîñòîÿ- òåëüíûé èíòåðåñ è, êðîìå òîãî, âàæíû â ñâåòå èçó÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêà ìåæäó ñîáîé [4–6], ñâîéñòâ àêóñòè÷åñêîé òóð- áóëåíòíîñòè â ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè [7–9], à òàêæå èñ- ñëåäîâàíèé íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ âáëèçè òðèêðèòè÷åñêîé òî÷êè [10]. Âûðàæåíèå (1) äëÿ êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà � â ÷èñòîì Íå II íåïðèìåíèìî â ñëó- ÷àå ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé, ïîñêîëüêó ñàìè óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè äëÿ íèõ èçìåíÿþò ñâîé âèä [1]. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà â ñìåñè óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè óäîáíî çà- ïèñàòü â ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ. íàñòîÿùåé ñòàòüå ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì, ñôîðìóëèðîâàííûé äëÿ ÷èñòîãî Íå II â ðàáîòàõ [5,11], îáîáùåí íà ñëó- © Ã.Â. Êîëìàêîâ, 2003 ÷àé ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé. Ãàìèëüòîíîâ ïîäõîä óäî- áåí äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ íåëèíåéíûõ âîëí òåì, ÷òî ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü åäèíûì îáðàçîì íå òîëüêî êîýôôèöèåíòû íåëèíåéíîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî çâó- êà, íî è êîýôôèöèåíòû âçàèìíîãî ïðåâðàùåíèÿ. Êðîìå òîãî, âñå ýòè âåëè÷èíû ìîãóò áûòü âû÷èñëå- íû íåïîñðåäñòâåííî â òîì âèäå, â êîòîðîì îíè âõî- äÿò â êèíåòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ âîëí, ïðèìåíÿå- ìûå ïðè èçó÷åíèè àêóñòè÷åñêîé òóðáóëåíòíîñòè [7]. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè ñâåðõòå- êó÷èõ ñìåñåé áåç ïðèâëå÷åíèÿ êàíîíè÷åñêîãî ôîð- ìàëèçìà ïðîàíàëèçèðîâàíû ðàíåå â ðàáîòå [12]. 2. Ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì â ãèäðîäèíàìèêå ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé Èçâåñòíî [11], ÷òî óðàâíåíèÿ äâóõæèäêîñòíîé ãèäðîäèíàìèêè ÷èñòîãî He II äîïóñêàþò ôîðìóëè- ðîâêó íà ÿçûêå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ.  ýòîì îïèñàíèè ðîëü ãàìèëüòîíèàíà èãðàåò ïîëíàÿ ýíåð- ãèÿ æèäêîñòè â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, à ïà- ðàìè âçàèìíî ñîïðÿæåííûõ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåí- íûõ ÿâëÿþòñÿ ( , ), (�,S) è (�,f). Çäåñü — ïëîòíîñòü æèäêîñòè, S — ýíòðîïèÿ åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè, — ïîòåíöèàë ñâåðõòåêó÷åé ñêîðîñòè, � — ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, ñîïðÿæåííàÿ ñ ýíòðîïèåé S, è �, f — ïåðåìåííûå Êëåáøà [13], îïèñûâàþùèå âèõðåâîå äâèæåíèå íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû. Ïåðå- õîä ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì — àìïëèòóäàì áå- ãóùèõ âîëí ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ — îïèñàí ñî- îòâåòñòâóþùèì êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì. Àìïëèòóäà íåëèíåéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí âòî- ðîãî çâóêà, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êîýôôèöèåíòó íåëè- íåéíîñòè �, âû÷èñëåíà êàê êîýôôèöèåíò â ðàçëî- æåíèè ãàìèëüòîíèàíà ïî ñòåïåíÿì íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò. «Ðàñøèðåííûé» ôîðìàëèçì, ïðèãîäíûé äëÿ îïèñàíèÿ ãèäðîäèíàìèêè ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé, âêëþ÷àåò â ñåáÿ äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå — êîíöåíòðàöèþ ïðèìåñè è ñîïðÿæåííóþ åé ôàçî- âóþ ïåðåìåííóþ �. Îñîáåííîñòü òàêîãî îïèñàíèÿ, ïî ñðàâíåíèþ ñ òðàäèöèîííîé ôîðìóëèðîâêîé [11], ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàëè÷èå ïðèìåñè (è, ñîîòâåòñò- âåííî, ïîÿâëåíèå äîïîëíèòåëüíîé ïàðû ïåðåìåí- íûõ â óðàâíåíèÿõ ãèäðîäèíàìèêè) íå ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ íîâîé àêóñòè÷åñêîé ìîäû, òàê êàê àòîìû ïðèìåñè ó÷àñòâóþò òîëüêî â íîðìàëüíîì äâè- æåíèè æèäêîñòè [1]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë � äîëæåí áûòü îïðåäåëåí òàê, ÷òîáû ñêîðîñòü äâèæå- íèÿ ïðèìåñåé ñîâïàäàëà ñî ñêîðîñòüþ vn íîðìàëü- íîé êîìïîíåíòû. Äàííîå óñëîâèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîïîëíèòåëüíóþ ñâÿçü, íàëîæåííóþ íà óðàâ- íåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè, ñôîðìóëèðîâàííûå â êàíî- íè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ. Òàêèì îáðàçîì, � íå ÿâëÿåò- ñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé è, â ïðèíöèïå, ìîæåò áûòü èñêëþ÷åíà èç êîíå÷íûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Îäíàêî â âû÷èñëåíèÿõ íàì áóäåò óäîáíåå ïîëüçî- âàòüñÿ ðàñøèðåííûì íàáîðîì ïåðåìåííûõ, âêëþ- ÷àþùèì ïîòåíöèàë � â ÿâíîì âèäå. Àíàëîãè÷íàÿ ñè- òóàöèÿ âîçíèêàåò, íàïðèìåð, ïðè îïèñàíèè íà ÿçûêå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ íåèçîýíòðîïè÷åñêîãî äâèæåíèÿ íîðìàëüíîé æèäêîñòè [11]. Îòìåòèì, ÷òî ãàìèëüòîíîâ ôîðìàëèçì äëÿ ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èñõîäÿ èç ëàãðàíæåâîé ôîðìó- ëèðîâêè óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè ñìåñåé, àíàëî- ãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ïðîäåëàíî â ðàáîòàõ [11,14] äëÿ äâóõæèäêîñòíîé ãèäðîäèíàìèêè ÷èñòî- ãî He II. Ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå êàíîíè÷åñêîãî ôîð- ìàëèçìà â ãèäðîäèíàìèêå ñìåñåé.  êà÷åñòâå ôóíê- öèè Ãàìèëüòîíà ìîæåò áûòü âûáðàíà ïîëíàÿ ýíåð- ãèÿ æèäêîñòè H d E Ss s� � �� � � � � �� 3 2 0 1 2 r v pv p ( , , , ) , (2) âûðàæåííàÿ ÷åðåç êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå. Çäåñü E0 ( ,S, ,p) — ýíåðãèÿ åäèíèöû îáúåìà æèäêîñòè â ñèñòåìå îòñ÷åòà, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåðõòå- êó÷åé êîìïîíåíòû vs, = c ïëîòíîñòü ïðèìåñè, c — ìàññîâàÿ êîíöåíòðàöèÿ ïðèìåñè. Äëÿ ñâåðõòåêó- ÷åé ñêîðîñòè ñîõðàíÿåòñÿ îáû÷íîå îïðåäåëåíèå v s = � , (3) èìïóëüñ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ âûðàæàåòñÿ ÷å- ðåç êàíîíè÷åñêèå ïåðåìåííûå ñëåäóþùèì îáðàçîì: p = S�� + f�� + ��. (4) Ýíåðãèÿ E0 ïîä÷èíÿåòñÿ èçâåñòíîìó òåðìîäèíàìè- ÷åñêîìó ñîîòíîøåíèþ dE TdS d Zdc dn s0 � � � � �� ( )v v p, ãäå � — õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñìåñè, Z — òåðìî- äèíàìè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ, ñîïðÿæåííàÿ êîíöåíòðà- öèè ïðèìåñåé. Èìïóëüñ åäèíèöû ìàññû æèäêîñòè, âçÿòûé â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ðàâåí j p� � � . Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ ïàð âçàèìíî ñîïðÿ- æåííûõ ïåðåìåííûõ èìåþò ñòàíäàðòíûé âèä (òî÷- êîé îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè) � , ; � � � � � � � H H � , � ;S H H S � � � � �� � � � � , � ;f H H f � � � � �� � � � � , . � �� � � � � � � H H (5) Èç óðàâíåíèé (5) ñ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà (2) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè â òåðìèíàõ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ 668 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 6 Ã.Â. Êîëìàêîâ � � � div j, (6) � , � � � � � 1 2 2v s Z c (7) � ( )S S n� � div v , (8) �� �� � � �T nv , (9) � ( )f f n� �div v , (10) �� �� � �v n , (11) � ( ) � � div v n , (12) �� � � � � �v n Z . (13) Óðàâíåíèÿ (6), (8) è (12) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ íåïðåðûâíîñòè äëÿ ïëîòíîñòè æèäêîñòè, ýíòðîïèè è êîíöåíòðàöèè ïðèìåñè. Óðàâíåíèå (7) c ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ (3) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì ñâåðõòåêó÷åãî äâèæåíèÿ äëÿ ñìåñåé [1]. Èç îïðåäå- ëåíèÿ (4) è óðàâíåíèé (7)–(13) ñëåäóåò èçâåñòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ íîðìàëüíîé êîìïîíåíòû. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé (5) ñ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà (2) ýêâèâàëåíòíà ïîë- íîé ñèñòåìå óðàâíåíèé ãèäðîäèíàìèêè ñâåðõòåêó- ÷åé ñìåñè. 3. Íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû Äëÿ îïèñàíèÿ ýâîëþöèè ôîðìû âîëíû óäîáíî ïåðåéòè ê íîâûì ïåðåìåííûì — íîðìàëüíûì êî- îðäèíàòàì ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (6)–(13), ò.å. ê òàêèì ïåðåìåííûì, â êîòîðûõ áåãó- ùèå âîëíû íå âçàèìîäåéñòâóþò â ëèíåéíîì ïðèá- ëèæåíèè [5,15].  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ðîëü íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò èãðàþò àìïëèòóäû âîëí ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ. Íèæå íàì ïîíàäîáèòñÿ ÿâíûé âèä ïðåîáðàçî- âàíèÿ ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì. Òî÷íîå âûðàæå- íèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âåñüìà ãðîìîçäêî, ïîýòîìó âûïèøåì åãî ïðèáëèæåííî, ïðåíåáðåãàÿ âåëè÷èíà- ìè ïîðÿäêà u u2 2 1 2 (ãäå u1 — ñêîðîñòü ïåðâîãî çâó- êà), à òàêæå âåëè÷èíàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòó òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòè � � �� – ( )1 T , êîòîðûå ïðåäïîëàãàþòñÿ ìàëûìè. Êðîìå òîãî, â íàñòîÿùåé ðàáîòå îãðàíè÷èìñÿ âû÷èñ- ëåíèåì êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà. Ïîýòîìó îïóñòèì ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå â êà÷åñòâå ñîìíîæèòåëÿ àìïëèòóäó âîëíû ïåðâîãî çâóêà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííûå íèæå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ê íîðìàëüíûì êîîðäèíàòàì âåðíû ïðè òåìïåðàòóðàõ, íå ñëèøêîì áëèçêèõ ê òåìïåðàòóðå ñâåðõòåêó÷åãî ïåðåõîäà T�. Âáëèçè T� êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòè � íå- îãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå, òàê ÷òî ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû (14) ñòàíîâÿòñÿ íåïðèìåíèìûìè. Ïðè âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà � âáëèçè T� ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè äëÿ ïåðåõîäà ê íîð- ìàëüíûì êîîðäèíàòàì, â êîòîðûõ êîýôôèöèåíò � ó÷òåí òî÷íî. Áóäåì ñ÷èòàòü òàêæå, ÷òî âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþò- ñÿ â íåïîäâèæíîé æèäêîñòè. Òîãäà ïåðåìåííûå Êëåáøà f è � ìîãóò áûòü ïîëîæåíû ðàâíûìè íóëþ. Äëÿ ôóðüå-êîìïîíåíò îòêëîíåíèé êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ îò ðàâíîâåñíûõ çíà÷åíèé â ïðèíÿòîì ïðèáëèæåíèè äàííîå ïðåîáðàçîâàíèå èìååò ñëåäóþ- ùèé âèä: � �k k k � � � � � � � � � � � c c B b b( )( )* , � �S S c c B b bk k k � � � � � � �� � � �� � � 1 ( )( )* , � �k k k� � � � � � �� � � �� � �1 c c B b b( )( )* , ik u c c B b bn s �k k k� � � � � � � �� � � �� � �20 ( )( )* , ik u T B b b� � � �k k k� � � � � 20( ) ( )( )* , ik u c u c c � k � � � � � � �� � � �� � � � � � 1 20 20 2 2 � � � � � � � � � � � �� � � �c c T c c Z B b b ( ) ( ) ( )( ) .*2 k k (14) Çäåñü � � �� � � �c c( ), bk — íîðìèðîâàííàÿ àìïëè- òóäà âîëíû âòîðîãî çâóêà ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k, � = u20k — ÷àñòîòà âîëíû âòîðîãî çâóêà. Ñêîðîñòü âòîðîãî çâóêà â ðàñòâîðå îïðåäåëÿåòñÿ èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì [1]: u T c c Z c c n s 20 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � . Íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü Íåëèíåéíûå âîëíû âòîðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ 4Íå–3He Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 6 669 B( )� � � � � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � 2 20 2 2 1 u c c n s 2 (15) âûáðàí òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàíîíè÷åñêèå óðàâíå- íèÿ, çàïèñàííûå â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ bk, ïðèíèìàëè ñëåäóþùèé âèä: � * b i H b k k � � � � . (16) Íîðìèðîâî÷íûé îáúåì âûáðàí ðàâíûì åäèíèöå. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà, çàïèñàííàÿ â êâàäðàòè÷íîì ïî àìïëèòóäàì bk ïðèáëèæåíèè, ïðèíèìàåò ñòàí- äàðòíóþ äèàãîíàëüíóþ ôîðìó H b( ) | |2 2� !�k k k . (17) 4. Âçàèìîäåéñòâèå âîëí âòîðîãî çâóêà Ïðè âû÷èñëåíèè êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí âòîðîãî çâóêà áóäåì ñëåäîâàòü îáùåìó ìåòîäó êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåíííûõ [5,15]. Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà (2) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî ñòå- ïåíÿì íîðìàëüíûõ êîîðäèíàò bk, H = H(2) + H(3) + � ". Cëàãàåìûå íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà ìîãóò áûòü èñêëþ÷åíû. Êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü H(2) äàåòñÿ ðàâåíñòâîì (17) è ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðîñòðàíåíèþ ëèíåéíûõ âîëí âòîðîãî çâóêà â îáúåìå æèäêîñòè. Ñëàãàåìîå, ïðîïîðöèîíàëüíîå òðåòüåé ñòåïåíè àì- ïëèòóä bk, îïèñûâàåò íåëèíåéíîå âçàèìîäåéñòâèå âîëí âòîðîãî çâóêà — ðàñïàä âîëíû ñ âîëíîâûì âåêòîðîì k íà äâå âîëíû ñ âîëíîâûìè âåêòîðàìè k1 è k2 è îáðàòíûé åìó ïðîöåññ ñëèÿíèÿ äâóõ âîëí â îäíó H b b b( ) – –, , *3 1 2 1 2 1 2 1 2 � �!Vk,k k k,k k k k k k k k� c. c., (18) ãäå c.c. — âûðàæåíèå, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ïåðâîìó ñëàãàåìîìó â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. Èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé â òåîðèè ÿâëÿåòñÿ àì- ïëèòóäà òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Vk,k k1 2, , âçÿòàÿ íà ðåçîíàíñíîé ïîâåðõíîñòè k k k– –1 2 0� , � � �� � �1 2 0. (19) Èìåííî îíà âû÷èñëåíà íèæå. Ñîãëàñíî óðàâíåíèþ (18), àìïëèòóäà âçàèìîäåé- ñòâèÿ âîëí âòîðîãî çâóêà Vk,k k1 2, ïðåäñòàâëÿåò ñî- áîé âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ ïðè ïðîèçâåäåíèè òðåõ íîð- ìàëüíûõ êîîðäèíàò bk â êóáè÷íîé ÷àñòè H(3) ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà.  îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëü- íîé êîíöåíòðàöèè ñìåñè ðàñ÷åò ïðèâîäèò ê âåñüìà ãðîìîçäêîìó âûðàæåíèþ äëÿ àìïëèòóäû âçàèìî- äåéñòâèÿ. Äëÿ ñëàáîãî ðàñòâîðà (c << 1) âûðà- æåíèå, âåðíîå ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èí ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî êîíöåíòðàöèè ïðèìåñè c, èìååò âèä V T T k,k k1 2 3 2 2 32, – ( ) ( ) � � � � � # $ % &% � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � �� � � �� � 3 2 12� � � � c T c T c T( ) � � � � � � � � � � � � � � � � � ' c c Z T c c Zn s 3 2 2 2 2 2 � � ' � � � � �� � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � �� s n n n c c T T 1 2 1 ( ) �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � �� � � �� u c c p c cn n 20 2 2 1 2 1 � � ( ) % *% ' ( ) ( ) kk k u 1 2 1 2 20 3 2 22 + . (20)  âûðàæåíèè (20) ïåðåøëè ê íîâûì íåçàâèñèìûì òåðìîäèíàìè÷åñêèì ïåðåìåííûì — äàâëåíèþ p, òåìïåðàòóðå T è ìàññîâîé êîíöåíòðàöèè c. Èñêîìûé êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà � ïðîïîðöèîíàëåí àìïëèòóäå òðåõâîëíîâîãî âçàèìîäåéñòâèÿ Vk,k ,k1 2 . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòè äâå âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì: V u k k k T n s k,k k1 2 3 2 20 1 2 1 2 1 2 , ( , , ) ( ) [ ( ln ln � � � � �� � � � c) ]2 . (21) Ðàñ÷åò çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà � îò òåìïåðà- òóðû ïî ôîðìóëàì (20), (21) äëÿ ðàñòâîðà ñ ìîëÿð- íîé êîíöåíòðàöèåé 3He x = 10% ïðè äàâëåíèè íàñû- ùåííûõ ïàðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî òåìïåðàòóðà T�, ïðè êîòîðîé êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè ìåíÿåò çíàê ñ îòðèöàòåëüíîãî íà ïîëîæèòåëüíûé, ïîíèæàåòñÿ äî 1,7 Ê. Òàêèì îáðàçîì, äîáàâëåíèå 10% 3Íå â Íå II àíàëîãè÷åí, ñ òî÷êè çðåíèÿ èçìåíåíèÿ íåëèíåéíûõ ñâîéñòâ âòîðîãî çâóêà, ïîâûøåíèþ äàâëåíèÿ â æèä- êîñòè äî Ð � 10 àòì [16]. Ïðè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâà- ëè äàííûå èç [17]. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà îò òåìïåðàòóðû, êîí- öåíòðàöèè è äàâëåíèÿ â æèäêîñòè äëÿ êîíöåíòðè- ðîâàííûõ ðàñòâîðîâ òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èçó- ÷åíèÿ. Ðàçâèòûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íàðÿäó ñ êîýôôèöèåíòàìè íåëèíåéíîñòè çâóêîâ òàêæå è êî- ýôôèöèåíòû âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí ïåðâîãî è âòîðî- ãî çâóêîâ â ñìåñÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàñïàäó âîëíû ïåðâîãî çâóêà íà äâå âîëíû âòîðîãî çâóêà è ÷åðåí- êîâñêîìó èçëó÷åíèþ âòîðîãî çâóêà âîëíîé ïåðâîãî çâóêà. Ýòè âåëè÷èíû ïðîïîðöèîíàëüíû êîýôôèöè- 670 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 6 Ã.Â. Êîëìàêîâ åíòàì ïðè ïåðåêðåñòíîì ïðîèçâåäåíèè êàíîíè÷åñ- êèõ àìïëèòóä ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ â ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H(3). 5. Çàêëþ÷åíèå Óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñåé 4He—3He äîïóñêàþò ãàìèëüòîíîâó ôîðìóëèðîâêó, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé îáîáùåíèå èçâåñòíîãî êàíî- íè÷åñêîãî ôîðìàëèçìà [11] äëÿ ÷èñòîãî He II. Ïðè- ìåíåíèå ãàìèëüòîíîâà ïîäõîäà äëÿ àíàëèçà íåëè- íåéíûõ ñâîéñòâ âòîðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷åì 4He ñ ïðèìåñüþ 3He ïîçâîëèëî âû÷èñëèòü àìïëèòóäó âçàèìîäåéñòâèÿ âîëí âòîðîãî çâóêà, ïðîïîðöèî- íàëüíóþ êîýôôèöèåíòó íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâó- êà. Äëÿ ñëàáûõ ðàñòâîðîâ ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî øèðîêèé èíòåðâàë òåìïåðàòóð íèæå T�, â êîòîðîì êîýôôèöèåíò íåëèíåéíîñòè âòîðîãî çâóêà â ñâåðõ- òåêó÷åé ñìåñè îòðèöàòåëåí, è òåìïåðàòóðíûé ðàç- ðûâ ôîðìèðóåòñÿ íà ñïàäå óäàðíîé âîëíû íàãðåâà âòîðîãî çâóêà. Àâòîð áëàãîäàðåí Ë.Ï. Ìåæîâó-Äåãëèíó, Â.Á. Åôèìîâó è À.À. Ëåâ÷åíêî çà ìíîãî÷èñëåííûå ïî- ëåçíûå îáñóæäåíèÿ, à òàêæå Ñ.Ê. Íåìèðîâñêîìó è Â.Ë. Ïîêðîâñêîìó çà ïðîÿâëåííûé èíòåðåñ ê ðàáî- òå. Ðàáîòà ïîääåðæàíà Ìèíïðîìíàóêè ÐÔ â ðàìêàõ ïðîãðàììû «Èññëåäîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåëè- íåéíûõ âîëí âòîðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ 4He—3He», ãîñ. êîíòðàêò ¹ 40.012.1.1.11.64. 1. È.Ì. Õàëàòíèêîâ, Òåîðèÿ ñâåðõòåêó÷åñòè, Íàóêà, Ìîñêâà (1971). 2. Â.Á. Åôèìîâ, Ã.Â. Êîëìàêîâ, À.Ñ. Êóëèåâ, Ë.Ï. Ìå- æîâ-Äåãëèí, ÔÍÒ 24, 116 (1998). 3. Ë.Ä. Ëàíäàó, Å.Ì. Ëèôøèö, Ãèäðîäèíàìèêà, Íàóêà, Ìîñêâà (1986). 4. Í.È. Ïóøêèíà, Ð.Â. Õîõëîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 19, 672 (1974). 5. Â.Ë. Ïîêðîâñêèé, È.Ì. Õàëàòíèêîâ, ÆÝÒÔ 71, 1974 (1976). 6. D. Rinberg and V. Steinberg, Phys. Rev. B64, 054506 (2001). 7. Ñ.Ê. Íåìèðîâñêèé, ÓÔÍ 160, 51 (1990). 8. Â.Ë. Ïîêðîâñêèé, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 33, 558 (1991). 9. G.V. Kolmakov, Physica D86, 470 (1995). 10. V. Dotsenko, A. Tiwari, M. Mohazzab, N. Mulders, A. Nash, M. Larson, and B. Vollmayr-Lee. in: Book of Abstracts, XXIII Int. Conference on Low Temp. Physics LT-23, Japan, 2002, report 21AP35. 11. Â.Ë. Ïîêðîâñêèé, È.Ì. Õàëàòíèêîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 23, 653 (1976). 12. M. Mohazzab and N. Muldels, Phys. Rev. B61, 609 (2000). 13. Ã. Ëýìá, Ãèäðîäèíàìèêà, ÎÍÒÈ, Õàðüêîâ (1947). 14. È.Ì. Õàëàòíèêîâ, ÆÝÒÔ 23, 169 (1952). 15. Â.Å. Çàõàðîâ, Èçâ. ÂÓÇîâ, Ðàäèîôèçèêà XVII, 432 (1974). 16. V.B. Efimov, G.V. Kolmakov, E.V. Lebedeva, L.P. Mezhov-Deglin, and A.B. Trusov, J. Low Temp. Phys. 119, 309 (2000). 17. Á.Í. Åñåëüñîí, Â.Í. Ãðèãîðüåâ, Â.Ã. Èâàíöîâ, Ý.ß. Ðóäàâñêèé, Ä.Ã. Ñàíèêèäçå, È.À. Ñåðáèí, Ðàñòâîðû êâàíòîâûõ æèäêîñòåé 3He—4He, Íàóêà, Ìîñêâà (1973). Second-sound nonlinear waves in superfluid 4He—3He mixtures G.V. Kolmakov The Hamiltonian formalism in two-fluid hydrodynamics is generalized to superfluid 4He—3He mixtures. It is used to calculate the coefficient of three-wave interaction and the nonlinearity coefficient of second sound in He II admixed with 3He. It is shown that the tempera- ture which results in a negative-positive sign change for the second-sound nonlinearity factor decreases from 1.88 to 1.7 K as 10% of 3He are introduced in superfluid 4He. Thus, for dilute 4He—3He solutions these exists a rather wide temperature range below the temperature of su- perfluid transition T� where the second-sound nonlinearity coefficient is negative and the shock front is formed at the back side of nonlinear second sound wave of heating. Íåëèíåéíûå âîëíû âòîðîãî çâóêà â ñâåðõòåêó÷èõ ñìåñÿõ 4Íå–3He Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 6 671

Схожі ресурси