Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки
Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки в простой однокомпонентной модели. Решетка образована периодической системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Описаны длинноволновые коллективные колебания, среди которых обнаружены колебания, подобные плазменным в систем...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128899 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 8. — С. 930-933. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-128899 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1288992018-01-15T03:03:47Z Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки Косевич, А.М. Кpаткие сообщения Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки в простой однокомпонентной модели. Решетка образована периодической системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Описаны длинноволновые коллективные колебания, среди которых обнаружены колебания, подобные плазменным в системе электрических зарядов. Указана возможность возникновения щели в частотном спектре вблизи аналога плазменной частоты. Equations for small oscillations of a dislocation lattice are formulated in a simple one-component model. The lattice is formed by a periodic system of parallel rectilinear screw dislocations. Long-wavelength collective vibrations are described, among which are found vibrations similar to plasma oscillations in a system of electric charges. The possibility of a gap appearing in the frequency spectrum near the analog of the plasma frequency is pointed out. Сформульовано рівняння малих коливань дислокаційної гратки у простій однокомпонентній моделі. Гратку побудовано періодичною системою паралельних прямолінійних гвинтових дислокацій. Описано довгохвильові колективні коливання, серед яких виявлено коливання типу плазмових у системі електричних зарядів. Зазначено можливість виникнення щілини у частотному спектрі поблизу аналога плазмової частоти. 2003 Article Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 8. — С. 930-933. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 61.72.Lk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128899 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кpаткие сообщения Кpаткие сообщения |
| spellingShingle |
Кpаткие сообщения Кpаткие сообщения Косевич, А.М. Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки Физика низких температур |
| description |
Сформулированы уравнения малых колебаний дислокационной решетки в простой однокомпонентной модели. Решетка образована периодической системой параллельных прямолинейных винтовых дислокаций. Описаны длинноволновые коллективные колебания, среди которых обнаружены колебания, подобные плазменным в системе электрических зарядов. Указана возможность возникновения щели в частотном спектре вблизи аналога плазменной частоты. |
| format |
Article |
| author |
Косевич, А.М. |
| author_facet |
Косевич, А.М. |
| author_sort |
Косевич, А.М. |
| title |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| title_short |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| title_full |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| title_fullStr |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| title_full_unstemmed |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| title_sort |
коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Кpаткие сообщения |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/128899 |
| citation_txt |
Коллективные колебания решетки винтовых дислокаций как пример динамики акустической сверхрешетки / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2003. — Т. 29, № 8. — С. 930-933. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kosevičam kollektivnyekolebaniârešetkivintovyhdislokacijkakprimerdinamikiakustičeskojsverhrešetki |
| first_indexed |
2025-07-09T10:11:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T10:11:32Z |
| _version_ |
1837163763558514688 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 8, ñ. 930–933
Êðàòêèå ñîîáùåíèÿ
Êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè âèíòîâûõ
äèñëîêàöèé êàê ïðèìåð äèíàìèêè àêóñòè÷åñêîé
ñâåðõðåøåòêè
À.Ì. Êîñåâè÷
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á.È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kosevich@ilt.kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 17 ìàðòà 2003 ã.
Ñôîðìóëèðîâàíû óðàâíåíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè â ïðîñòîé îäíî-
êîìïîíåíòíîé ìîäåëè. Ðåøåòêà îáðàçîâàíà ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìîé ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìîëè-
íåéíûõ âèíòîâûõ äèñëîêàöèé. Îïèñàíû äëèííîâîëíîâûå êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ, ñðåäè êî-
òîðûõ îáíàðóæåíû êîëåáàíèÿ, ïîäîáíûå ïëàçìåííûì â ñèñòåìå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ.
Óêàçàíà âîçìîæíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ùåëè â ÷àñòîòíîì ñïåêòðå âáëèçè àíàëîãà ïëàçìåííîé
÷àñòîòû.
Ñôîðìóëüîâàíî ð³âíÿííÿ ìàëèõ êîëèâàíü äèñëîêàö³éíî¿ ãðàòêè ó ïðîñò³é îäíîêîìïî-
íåíòí³é ìîäåë³. Ãðàòêó ïîáóäîâàíî ïåð³îäè÷íîþ ñèñòåìîþ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìîë³í³éíèõ ãâèíòî-
âèõ äèñëîêàö³é. Îïèñàíî äîâãîõâèëüîâ³ êîëåêòèâí³ êîëèâàííÿ, ñåðåä ÿêèõ âèÿâëåíî êîëèâàí-
íÿ òèïó ïëàçìîâèõ ó ñèñòåì³ åëåêòðè÷íèõ çàðÿä³â. Çàçíà÷åíî ìîæëèâ³ñòü âèíèêíåííÿ ù³ëèíè ó
÷àñòîòíîìó ñïåêòð³ ïîáëèçó àíàëîãà ïëàçìîâî¿ ÷àñòîòè.
PACS: 61.72.Lk
Ïîñëåäíèå ãîäû ìíîæåñòâî ñòàòåé áûëî ïîñâÿùå-
íî äèíàìèêå ðåøåòêè âèõðåé, îñîáåííî â òåîðèè
ñâåðõïðîâîäèìîñòè (ðåøåòêè âèõðåé Àáðèêîñîâà —
ñì., íàïðèìåð, îáçîðû [1,2]). Âèíòîâûå äèñëîêàöèè
â êðèñòàëëå àíàëîãè÷íû âèõðÿì, îäíàêî äèíàìèêà è
âçàèìîäåéñòâèå äèñëîêàöèé îòëè÷àþòñÿ îò òàêîâûõ
äëÿ âèõðåé. Âèíòîâûå ïðÿìîëèíåéíûå äèñëîêàöèè
âçàèìîäåéñòâóþò ïîäîáíî ïðÿìîëèíåéíûì ýëåêòðè-
÷åñêèì çàðÿäàì, è ìîæíî îæèäàòü ïîÿâëåíèÿ ïëàç-
ìåííûõ êîëåáàíèé â äèíàìèêå äèñëîêàöèîííîé ðå-
øåòêè [3,4]. Ê ñîæàëåíèþ, àâòîðû ïóáëèêàöèè [5]
ïðîïóñòèëè ðàññìîòðåíèå ïëàçìåííûõ êîëåáàíèé â
ñèñòåìå ïðÿìîëèíåéíûõ äèñëîêàöèé.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðåøåòêà ïàðàëëåëüíûõ âèí-
òîâûõ äèñëîêàöèé ðàññìîòðåíà íà îñíîâå ïðîñòîé
ìîäåëè. Èñïîëüçîâàíà îäíîêîìïîíåíòíàÿ ñêàëÿð-
íàÿ ìîäåëü êîëåáàíèé êðèñòàëëà, â êîòîðîé ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî âñå àòîìû ñìåùàþòñÿ òîëüêî â îäíîì
íàïðàâëåíèè [6]. Òàêàÿ ìîäåëü äàåò ïðàâèëüíîå
îïèñàíèå óïðóãîãî ïîëÿ, ñîçäàííîãî â èçîòðîïíîé
ñðåäå ïàðàëëåëüíûìè âèíòîâûìè äèñëîêàöèÿìè.
Ðåøåíèå ïîäîáíîé çàäà÷è â ðåàëüíîé âåêòîðíîé
ñõåìå ñìåùåíèé, â ïðèíöèïå, ìîæåò áûòü íàéäåíî
àíàëèòè÷åñêè, íî îíî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàêîí äèñ-
ïåðñèè äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè òîëüêî â íåÿâíîé
ôîðìå. Ïðè ýòîì â èíòåðåñóþùåé íàñ ïðîáëåìå êî-
ëåáàíèé ïëàçìåííîãî òèïà òàêîå ðàññìîòðåíèå íå
äàåò êà÷åñòâåííî íîâûõ ðåçóëüòàòîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ
ïîëó÷åííûìè â ñêàëÿðíîé ìîäåëè.
Ïîä äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêîé ìû áóäåì ïîíè-
ìàòü ñèñòåìó ïàðàëëåëüíûõ âèíòîâûõ äèñëîêàöèé,
îðèåíòèðîâàííûõ âäîëü îñè z è ïåðåñåêàþùèõ ïëîñ-
êîñòü xy â äèñêðåòíûõ ïåðèîäè÷åñêè ðàñïîëîæåí-
íûõ òî÷êàõ, îáðàçóÿ 2D ðåøåòêó, ýëåìåíòàðíàÿ
ÿ÷åéêà êîòîðîé èìååò ïëîùàäü S0: S NS� 0, ãäå S —
ïëîùàäü ñå÷åíèÿ îáðàçöà â ïëîñêîñòè xy, à N —
÷èñëî äèñëîêàöèé. Êîîðäèíàòû óêàçàííûõ òî÷åê â
ðàâíîâåñíîé ðåøåòêå
x n R an( ) � � � �
�
�n , n � ( , , )n n1 2 0 , (1)
ãäå a� ( , )� � 1 2 — îñíîâíûå òðàíñëÿöèîííûå âåê-
òîðû ðåøåòêè ( ~a a� — ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíè-
ìè äèñëîêàöèÿìè).
© À.Ì. Êîñåâè÷, 2003
Åñëè èìåþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûå âèíòîâûå äèñëîêà-
öèè, íàïðàâëåííûå âäîëü îñè z, òî óïðóãîå ïîëå
óäîáíåå îïèñûâàòü íå ñìåùåíèåì w âäîëü îñè z êàê
ôóíêöèåé êîîðäèíàò è âðåìåíè, à äèñòîðñèåé è ñêî-
ðîñòüþ ñìåùåíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ ñäâèãîâîãî ïîëÿ
âèíòîâûõ äèñëîêàöèé äîñòàòî÷íî ââåñòè âåêòîð äèñ-
òîðñèè h è ñêîðîñòü v:
h � grad w (h i i
i
w
w
x
� � �
�
�
), i �1,2,3;
v
w
t
�
�
�
. (2)
Íàïðÿæåíèå áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ âåêòîðîì
s, ïðè÷åì � i iGh� , ãäå G — ìîäóëü ñäâèãà.
Òîãäà âîëíîâîå óðàâíåíèå äëÿ óïðóãîãî ïîëÿ (1)
ïðèíèìàåò âèä
div h �
�
�
�
1
0
2c
v
t
, (3)
ãäå c G/2 � , à — ïëîòíîñòü âåùåñòâà (ìàññà åäè-
íèöû îáúåìà).
Ïðèñóòñòâèå äèñëîêàöèè ïîðîæäàåò íîâîå óðàâ-
íåíèå
rot h � � h , (4)
ãäå h — ïëîòíîñòü äèñëîêàöèé, êîòîðàÿ â ñëó÷àå
îòäåëüíîé äèñëîêàöèè, ïåðåñåêàþùåé ïëîñêîñòü z �
= const â òî÷êå x0 0 0� ( , )x y , ðàâíà
h t t� � � � �b b x x y y
( ) ( ) ( )x x0 0 0 ;
çäåñü b — âåëè÷èíà âåêòîðà Áþðãåðñà, t — âåêòîð
êàñàòåëüíûé ê äèñëîêàöèè — äëÿ ñòàòè÷åñêîé äèñ-
ëîêàöèè åãî óäîáíî âûáðàòü òàê: t( , ,– )0 0 1 . Ïëîò-
íîñòü äèñëîêàöèé â ðåøåòêå
h t� ��b
n
nx R( ) . (5)
Åñëè äèñëîêàöèè äâèæóòñÿ (êîëåáëþòñÿ), òî óðàâ-
íåíèÿ (3) è (4) íå ìåíÿþòñÿ, îäíàêî ïîÿâëÿåòñÿ
íîâàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ïåðåìåííàÿ äèñëîêàöèîííîé
ñòðóêòóðû — âåêòîð ñìåùåíèÿ äèñëîêàöèîííîé ëè-
íèè â ïëîñêîñòè xy: u � ( , , )u ux y 0 (êîíå÷íî, u �
� u n( , )t äëÿ n-äèñëîêàöèè), êîòîðûé îïðåäåëÿåò
ìãíîâåííóþ êîîðäèíàòó ýëåìåíòà äèñëîêàöèè
x R n u nn � �( ) ( , )t .
Çàâèñèìîñòü âåêòîðà ñìåùåíèÿ u îò âðåìåíè îï-
ðåäåëÿåò ñêîðîñòü ýëåìåíòà äèñëîêàöèè V:V� �
� � �u / t� .
Íàëè÷èå ïîëÿ ñêîðîñòåé äèñëîêàöèé ïîðîæäàåò
íîâóþ äèíàìè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó ñèñòåìû äèñ-
ëîêàöèé — ïëîòíîñòü ïîòîêà äèñëîêàöèé j. Ââå-
äåíèå ïëîòíîñòè ïîòîêà äèñëîêàöèé åñòü óçëîâîé
ìîìåíò ïîñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî óïðóãîãî ïîëÿ
äâèæóùèõñÿ äèñëîêàöèé. Âåêòîð j âîçíèêàåò â ñëå-
äóþùåì äèíàìè÷åñêîì óðàâíåíèè [3,6]:
�
�
� �
h
j
t
vgrad . (6)
Èç ñðàâíåíèÿ (6) è (4) âûòåêàåò óñëîâèå
�
�
� �
h
t
rot j 0 (7)
Ïëîòíîñòü ïîòîêà, ñîçäàííîãî îòäåëüíîé äèñëî-
êàöèåé, â ëèíåéíîì ïî u è V ïðèáëèæåíèè îïðåäå-
ëÿåòñÿ ôîðìóëîé:
j b V� �� �
� �( ) ( )n x R(n) , (8)
ãäå ìàòðèöà
�� ðàâíà
�� �
�
�
�
�
�
�
0 1
1 0–
, � � 1 2, . (9)
Ïëîòíîñòü äèñëîêàöèîííîãî ïîòîêà â ðåøåòêå
åñòü ñóììà âåëè÷èí (8) ïî âñåé ðåøåòêå
j b V� �� �
� ��
n
n x R(n( ) ( )). (10)
Ñîáèðàÿ âìåñòå óðàâíåíèÿ (3),(4) è (6), ìû ïî-
ëó÷àåì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
óïðóãèå ïîëÿ â îáðàçöå, åñëè èçâåñòíû ðàñïðåäåëå-
íèÿ äèñëîêàöèé è èõ ïîòîêîâ. ×òîáû çàìêíóòü ýòó
ñèñòåìó, íåîáõîäèìî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
äèñëîêàöèé ïîä äåéñòâèåì óïðóãèõ ïîëåé. Ïðîñòåé-
øàÿ ôîðìà òàêîãî óðàâíåíèÿ [3]:
m
V
t
f S
�
�
� ��
� �, (11)
çäåñü m — ýôôåêòâíàÿ ìàññà åäèíèöû äëèíû äèñ-
ëîêàöèè:
m
b R
r
�
�
�
��
�
�
��
�
2
0
04
log , (12)
ãäå R0 — ýòî ëèáî äëèíà äèñëîêàöèîííîé ëèíèè,
ëèáî ðàññòîÿíèå ìåæäó äèñëîêàöèÿìè a (â íàøåì
ñëó÷àå); r0 — ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå. f — ñèëà óï-
ðóãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îñòàëüíûìè äèñëîêàöèÿ-
ìè, êîòîðàÿ ðàâíà
f b bG h� � � � � � �
�
� �, , . (13)
 ñëó÷àå èñêðèâëåííîé äèñëîêàöèîííîé ëèíèè
âûðàæåíèå (13) âêëþ÷àåò ñèëó ñàìîäåéñòâèÿ ðàç-
íûõ ýëåìåíòîâ òîé æå äèñëîêàöèè, ïðîïîðöèîíàëü-
íóþ êðèâèçíå äèñëîêàöèîííîé ëèíèè â äàííîé òî÷-
êå. Ïðè àíàëèçå ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè êîëåáàíèé
èñêðèâëåíèå äèñëîêàöèé íå ó÷èòûâàåòñÿ, è ñèëà
(13) âêëþ÷àåò òîëüêî íàïðÿæåíèÿ, ñîçäàííûå îñ-
òàëüíûìè äèñëîêàöèÿìè.
Êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 8 931
S — ñèëà, îáóñëîâëåííàÿ äèñêðåòíîñòüþ ðåøåò-
êè, âêëþ÷àÿ äèññèïàòèâíûå ñèëû. Èíòåðåñóÿñü çà-
êîíîì äèñïåðñèè ìàëûõ êîëåáàíèé, ìû ïðåíåáðå-
æåì ïîñëåäíèìè è âîçüìåì ñèëó S â âèäå
S u� � m�0
2 , (14)
ãäå �0 — ÷àñòîòà êîëåáàíèé äèñëîêàöèîííîé ñòðó-
íû â äîëèíå ðåëüåôà Ïàéåðëñà.
Èçó÷èì äëèííîâîëíîâûå êîëåáàíèÿ äèñëîêà-
öèîííîé ðåøåòêè, ïîëàãàÿ äëèíó âîëíû êîëåáà-
íèé çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùåé ïåðèîä ðåøåòêè
a ak( )�� 1 .  ýòîì ïðèáëèæåíèè ðàñïðåäåëåíèå äèñ-
ëîêàöèé ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíûì, õàðàêòåðèçóÿ
åãî ïëîòíîñòüþ n t( , )x . Â ðàâíîâåñèè n n� 0, ãäå
n /S0 01� � const. Äèíàìèêà ðåøåòêè îïðåäåëÿåòñÿ
â îñíîâíîì ñðåäíåé ïëîòíîñòüþ äèñëîêàöèîííîãî
ïîòîêà j, êîòîðûé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè èìååò
îòëè÷íûå îò íóëÿ êîìïîíåíòû
j t bn V t� �� �
( , ) ( , )x x� 0 , � � 1 2, , (15)
ãäå V — ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü äèñëîêàöèé. Ñêîðîñòü V
äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ äèñëî-
êàöèè (11). Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (11),
èñïîëüçóÿ (13) è (14):
�
�
� �
V
t
u
bG
m
h�
� �� ��
0
2 . (16)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (16) ïî âðåìåíè è âîñïîëü-
çóåìñÿ óðàâíåíèåì (6), à òàêæå âûðàæåíèåì (15).
Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷àåì
�
�
� � �
�
�
2
2 0
2 2V
t
V
bG
m
v
xpl
�
� ��
�
� �
( ) , (17)
ãäå
�pl
b Gn
m
2
2
0� . (18)
×àñòîòà �pl— ýòî àíàëîã ïëàçìåííîé ÷àñòîòû.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì òåïåðü óðàâíåíèå (3) ïî
âðåìåíè è ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (6):
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
1
2
2
2 0
c t
v bn V
�� � � . (19)
Ïàðà óðàâíåíèé (17) è (19) îïèñûâàåò êîëëåê-
òèâíóþ äèíàìèêó äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè è óï-
ðóãîãî ïîëÿ. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå äëÿ
«ïðîäîëüíûõ» êîëåáàíèé ðåøåòêè îòäåëÿåòñÿ. Äåé-
ñòâèòåëüíî, äëÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíû P � �divV
� � � �V èç óðàâíåíèÿ (17) ñëåäóåò
�
�
� �
2
2
2 0
P
t
Pl� , � � �l pl
2
0
2 2� � , (20)
ãäå âåëè÷èíà �l èãðàåò ðîëü ÷àñòîòû ïðîäîëüíûõ
êîëåáàíèé ðåøåòêè.
Ïðîäîëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñðåäíåé ñêîðîñòè äèñ-
ëîêàöèè ïîòåíöèàëüíà: V Ql
�
� �
�� � , � � 1, 2. Ó÷è-
òûâàÿ ïîñëåäíåå, ìû âèäèì, ÷òî «ïðîäîëüíûå»
êîëåáàíèÿ óïðóãîãî ïîëÿ v v z� ( ) íå çàâèñÿò îò êî-
ëåáàíèé ðåøåòêè. Èòàê, îäíà âåòâü êîëëåêòèâíûõ
êîëåáàíèé (ìû íàçâàëè åå âåòâüþ «ïðîäîëüíûõ» êî-
ëåáàíèé) îòâå÷àåò íåçàâèñèìûì êîëåáàíèÿì óïðó-
ãîãî ïîëÿ v v z t� ( , ) ñ çàêîíîì äèñïåðñèè � � ckz è
êîëåáàíèÿì ñæàòèÿ–ðàñòÿæåíèÿ äèñëîêàöèîííîé
ðåøåòêè P P z t� ( , ) ñ ïëàçìåííûì çàêîíîì äèñïåð-
ñèè � �� l .
Äëÿ îïèñàíèÿ «ïîïåðå÷íûõ» êîëåáàíèé ââåäåì
ïåðåìåííóþ
M bn bn Vz� � �0 0( ) .rot V
�� � � (21)
Óðàâíåíèå äëÿ ýòîé ïåðåìåííîé ñëåäóåò èç (17):
�
�
� � �
�
�
2
2
2 2
2
2
M
t
M
v
x
l pl� �
�
. (22)
«Ïîïåðå÷íûå» êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ îïèñûâà-
þòñÿ óðàâíåíèåì (22) è óðàâíåíèåì, âûòåêàþùèì
èç (19) äëÿ ôóíêöèè v x y t( , , ):
1
2
2
2
2
2c t x
v M
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (23)
Èç óñëîâèé ñîâìåñòíîñòè (22) è (23) âûòåêàåò çà-
êîí äèñïåðñèè äëÿ âîëíû ñ âîëíîâûì âåêòîðîì
k ( , , )k kx y 0 :
� � � �4 2 2 2 2
0
2 2 2 0� � � �( )l c k c k . (24)
Óðàâíåíèå (24) îòíîñèòåëüíî �2 èìååò äâà êîð-
íÿ, îòâå÷àþùèõ íèçêî÷àñòîòíûì è âûñîêî÷àñòîò-
íûì êîëåáàíèÿì. Íå âûïèñûâàÿ òðèâèàëüíûõ âûðà-
æåíèé äëÿ ýòèõ ðåøåíèé â ðàäèêàëàõ, îòìåòèì
ñëåäóþùåå.
Íèçêî÷àñòîòíàÿ âåòâü. Ïðè ck �� �0 äèñïåðñè-
îííîå ñîîòíîøåíèå èìååò âèä
�
�
�
� ( ) .0
l
ck . (25)
Êîëåáàíèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ ñêîðîñòüþ ïîïåðå÷-
íîãî çâóêà, âåëè÷èíà êîòîðîé ìåíüøå ñêîðîñòè çâó-
êà â ñðåäå áåç äèñëîêàöèé c.
Âûñîêî÷àñòîòíàÿ âåòâü. Ïðè ck l�� � èíåðöè-
îííàÿ äèñëîêàöèîííàÿ ðåøåòêà íå âîâëåêàåòñÿ â äâè-
æåíèå, è íàáëþäàþòñÿ òîëüêî êîëåáàíèÿ óïðóãîãî
ïîëÿ ñ îáû÷íûì çâóêîâûì çàêîíîì äèñïåðñèè � � ck.
Íàêîíåö, â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå ( )ck �� �0 ïî-
ëó÷àåì
932 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 8
À.Ì. Êîñåâè÷
� �
�
�
2 2
2
2 2 2� �
�
�
�
�
�
�
�
� �l
pl
l
x yc k k( ). (26)
Ñîïîñòàâëÿÿ ãðàôèêè îáåèì âåòâÿì çàêîíà äèñ-
ïåðñèè, íóæíî áûòü îñîáåííî âíèìàòåëüíûì, îòðà-
æàÿ íèçêî÷àñòîòíóþ âåòâü. Äåëî â òîì, ÷òî çàêîí
äèñïåðñèè (24) ñïðàâåäëèâ ïðè � �� a (èëè ak �� 1).
Ïðè áîëüøèõ k ïðîÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ çàâèñè-
ìîñòü çàêîíà äèñïåðñèè ðåøåòêè îò êâàçèâîëíîâîãî
âåêòîðà ñ ïåðèîäîì îáðàòíîé ðåøåòêè G: �( )k �
� �� (k G). Ïîýòîìó ïîëó÷åííûé çàêîí äèñïåðñèè
ñïðàâåäëèâ ôàêòè÷åñêè âî âñåõ ìàëûõ îêðåñòíîñòÿõ
ëþáûõ âåêòîðîâ îáðàòíîé ðåøåòêè g, ò.å. ïðè
a| |k - g �� 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû âïðàâå ðèñîâàòü
ëèøü ÷àñòè ãðàôèêîâ, èçîáðàæåííûå ñïëîøíûìè
æèðíûìè ëèíèÿìè 1 è 2 íà ðèñ.1 äëÿ íåêîòîðîãî
«õîðîøåãî» íàïðàâëåíèÿ â îáðàòíîé ðåøåòêå. Ïðî-
äîëæåíèå ãðàôèêîâ íèæíåé âåòâè ïðè k a~ � � , à
òàêæå íàìå÷àþùååñÿ ïåðåñå÷åíèå ãðàôèêîâ âåðõíåé
âåòâè ïðè k p / a� �( )1 2 � � , p � 1,2,3,... ìîæåò
áûòü îïèñàíî ëèøü íà îñíîâå èçó÷åíèÿ äèíàìèêè
äèñêðåòíîé äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêè. Íî ýòî ïðåä-
ìåò îòäåëüíîãî èñcëåäîâàíèÿ. Ìû ìîæåì ëèøü óò-
âåðæäàòü, ÷òî ãðàôèêè íèæíåé âåòâè çàìûêàþòñÿ
êðèâûìè, èçîáðàæåííûìè ñõåìàòè÷åñêè øòðèõîâû-
ìè ëèíèÿìè 3 íà ðèñ. 1. Èìååòñÿ ëè ïîëîñà çàïðå-
ùåííûõ ÷àñòîò ìåæäó âåðõíåé è íèæíåé âåòâÿìè
(ùåëü â ñïåêòðå), íà îñíîâå äëèííîâîëíîâîãî ðàñ-
ñìîòðåíèÿ ñêàçàòü íåâîçìîæíî. Îäíàêî ìîæíî óò-
âåðæäàòü, ÷òî â ÷àñòîòíîì ñïåêòðå åñòü ïðåäåëüíàÿ
÷àñòîòà �l , îòìå÷àþùàÿ êðàé âåðõíåé âåòâè êîëå-
áàíèé, êîòîðàÿ çàâåäîìî ìîæåò ïðîÿâëÿòüñÿ â ðå-
çîíàíñíûõ àêóñòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ êðèñòàëëà ñ äèñ-
ëîêàöèîííîé ðåøåòêîé. Âàæíîé îòëè÷èòåëüíîé
îñîáåííîñòüþ ýòîé ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü
åå ïîëîæåíèÿ îò ïëîòíîñòè äèñëîêàöèé â ðåøåòêå
(îò âåëè÷èíû ïåðèîäà ðåøåòêè). Ýêñïåðèìåíòàëü-
íîå îáíàðóæåíèå óêàçàííîé ðåçîíàíñíîé çàâèñè-
ìîñòè ïðåäåëüíîé ÷àñòîòû áûëî áû ïðÿìûì ïîä-
òâåðæäåíèåì ïëàçìåííî ïîäîáíûõ êîëëåêòèâíûõ
êîëåáàíèé â äèñëîêàöèîííîé ðåøåòêå.
Àâòîð áëàãîäàðåí Î.Â. ×àðêèíîé çà ïîìîùü â
îôîðìëåíèè ñòàòüè è Ali Najafi è Ramin Golesta-
nian, ïîñêîëüêó îçíàêîìëåíèå ñ ðóêîïèñüþ èõ ñòà-
òüè îáðàòèëî âíèìàíèå àâòîðà íà ðàññìîòðåííóþ
ïðîáëåìó, à òàêæå Â.Ä. Íàöèêó çà ïîëåçíûå çàìå-
÷àíèÿ.
1. G. Blatter, M.V. Feigel’man, V.B. Geshkenbein, A.I.
Larkin, and V.M. Vinokur, Rev. Mod. Phys. 66, 1125
(1994).
2. Ernst Helmut Brandt, Rep. Prog. Phys. 58, 1465 (1995).
3 A.M. Koñeâè÷, Äèñëîêàöèè â òåîðèè óïðóãîñòè, Íàó-
êîâà äóìêà, Êèåâ (1978); A.M. Kosevich, Crystal
Dislocations and the Theory of Elasticity, in: Dislo-
cations in Solids, F.R.N. Nabarro (ed.), V. 1, North-
Holland Publ., Amsterdam, (1979), p. 31.
4. A.M. Koñåâè÷, M.Ë. Ïoëÿêîâ, ÔÒT 21, 2941 (1979).
5. Â.Â. Íèêîëàåâ, A.Í. Oðëîâ, Ã.Ã. Taëóö, ÔÌÌ 23,
424 (1967).
6. À.Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè
(ôèçè÷åñêàÿ ìåõàíèêà êðèñòàëëîâ), Âèùà øêîëà,
Õàðüêîâ (1988); Arnold M. Kossevich, The Ñrystal
Lattice. Phonons, Solitons, Dislocations, WILEY-
VCH, Berlin (1999).
Collective lattice vibrations of screw dislocations
as an example of the dynamics of acoustic
superlattice
A.M. Kosevich
Equations of small vibrations of a dislocation
lattice are proposed on the basis of a simple one
component model. The lattice consists of a peri-
odically arranged set of parallel screw disloca-
tions. The longwave collective vibrations of
plasmon type are described. It is shown that
there may occur a gap in the frequency spectrum
near the plasmon frequency.
Êîëëåêòèâíûå êîëåáàíèÿ ðåøåòêè âèíòîâûõ äèñëîêàöèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2003, ò. 29, ¹ 8 933
�
�
0 �/a 2 /a� 3 /a� k
1
2
3
Ðèñ. 1. Ñõåìà çàêîíà äèñïåðñèè: 1 — � � ck, 2 — ãðà-
ôèê çàâèñèìîñòè (26), 3 — îæèäàåìûé âèä ãðàôèêà â
êîðîòêîâîëíîâîé îáëàñòè.
|