Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением
Обсуждены особенности динамических солитонов в нелинейных системах разной размерности, описываемых дифференциальными уравнениями с пространственными производными четвертого порядка. Сформулированы условия существования безызлучательного солитона в случае, когда его внутренняя частота попадает в спло...
Gespeichert in:
Datum: | 2000 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2000
|
Schriftenreihe: | Физика низких температур |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129089 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2000. — Т. 26, № 6. — С. 620-625. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-129089 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1290892018-01-17T03:02:51Z Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением Косевич, А.М. Динамика кристаллической решетки Обсуждены особенности динамических солитонов в нелинейных системах разной размерности, описываемых дифференциальными уравнениями с пространственными производными четвертого порядка. Сформулированы условия существования безызлучательного солитона в случае, когда его внутренняя частота попадает в сплошной спектр гармонических колебаний изучаемой системы. Эти условия определяются видом закона дисперсии линейных колебаний. Продемонстрировано использование сформулированных условий для определения параметров 1D солитонов. The features of dynamic solitons in nonlinear systems described by differential equations with fourth-order spatial derivatives are discussed for systems of different dimensionalities. The existence conditions for a nonradiative soliton are formulated for the case when the internal frequency of the soliton lies in the continuous spectrum of harmonic oscillations of the system under study. These conditions are determined by the form of the dispersion relation of the linear oscillations. The use of the stated conditions for determining the parameters of two-dimensional solitons is demonstrated. 2000 Article Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2000. — Т. 26, № 6. — С. 620-625. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.+b http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129089 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Косевич, А.М. Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением Физика низких температур |
description |
Обсуждены особенности динамических солитонов в нелинейных системах разной размерности, описываемых дифференциальными уравнениями с пространственными производными четвертого порядка. Сформулированы условия существования безызлучательного солитона в случае, когда его внутренняя частота попадает в сплошной спектр гармонических колебаний изучаемой системы. Эти условия определяются видом закона дисперсии линейных колебаний. Продемонстрировано использование сформулированных условий для определения параметров 1D солитонов. |
format |
Article |
author |
Косевич, А.М. |
author_facet |
Косевич, А.М. |
author_sort |
Косевич, А.М. |
title |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
title_short |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
title_full |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
title_fullStr |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
title_full_unstemmed |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
title_sort |
свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
2000 |
topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129089 |
citation_txt |
Свойства динамических солитонов нелинейных систем, определяемые линеаризованным уравнением / А.М. Косевич // Физика низких температур. — 2000. — Т. 26, № 6. — С. 620-625. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT kosevičam svojstvadinamičeskihsolitonovnelinejnyhsistemopredelâemyelinearizovannymuravneniem |
first_indexed |
2025-07-09T10:34:39Z |
last_indexed |
2025-07-09T10:34:39Z |
_version_ |
1837165215899189248 |
fulltext |
��������� ��
������
��������������������������������� �!��"���#���$%#&�!'("!#�����)�#���* + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : 6 ; < = > ; ? = @ A 9 B = C 9 7 D = : 7 > 7 6 > A D = > A 8 > E C 9 = 9 : A ? F 7 G H A < A D I A ? E A D = > A ; H = J 7 6 ; > > E ? K H ; 6 > A > = A ? + , - . / 0 1 2 3 4 L M , N . M O 0 . - , P Q R S T U 0 1 - , V 0 O , S - , P S , S V 0 S . T M - R - O . U - W 2 01 2 T M . Q . P 0 S . Q X R V0 S . T M 0 Y . Q . Z [ T O 0 , S
\^]`_badcfeg]dhjilknmdhbopkrq�srcutvk`wxcg_ny�kze�_{md_|]}m~suy�k�mus�a�m���w
cnkdcfe�slo��`_b�r��s`i�s�yn��slo���s�y�k�m~srh{��k`�`_b]~hlm�m���o
� �uhb]nmus{m�k~slo
�n����������������� �
���¡ ¢�!£¥¤¥¦¨§�©«ª�¬¥� ¥©¢®¯£¡�±°²�³¬¥®¯§��³§�´!§�¬¥� ¯£µ�¥ª¶§(©¸·�¹µ©¢º » §�´±º��¥·�¼
½¾¼À¿�¼�Á�©¢º³£¥�!¬µ»Ã¾Ä�Â|ž£Æº »¡�!¬±ÇÅ�£Æº »±��¬±»±È�É
Ê¥ÊËÉÆÌ±È�ÍμÐÏ�»¥º!ÑÆ£¥¤¯Ò¥È�¹µº!¼�Ó�©Ô¬µ�!¬¥»¡È�Ì�ÕÖ�×ÙØ�ÚÔÛÝÜ«Þ�ß�àÔáãâ¢ä ÛÝ墿¡ç�ÛÝÜéè¢ê ß�æ�Ú¯ë¸ß�à¥ä�ê ì�Ú
í�î¢ï¥î¢ð¢ñ²ò ó¥ôÆî«õµò�ö�÷ ï�øÃù±ú¢û ïÆü±ý�ö þ�ÿ���ú¢øÔù�ï¯÷¡ñ�������� �¥ê
��±ô õ�
�û³ú�����ó±ô¥ó��±ú����³ó±ô¯îÆöuû³ö��³ï���ö��±ú¥ô¯ü�ö��uô¥ó±÷³ö�î¯ó�� ó�ø`ø��³úÆ÷³ö�� ú��������nô¯ö³ô¯îÆú���ï�����ï�����ó �!�³ï�����ú���� ó�ô¯îÆö#"
ó±ò³ö�ô���ø¡ïÔú��#����û³ö ����ú���ú�� ý³ö³ï¥÷³ð����$��ö�õ���ï±ø��³ú��³ö�ñ��Ðö ô ò���ó ôÆî��³ï��³ô¯îÆø±ú������$��ö�ò��³ó±ö��Æø±ó¥û�������ö%�±ú¥î¯ø¥ú�� îÆó �¢ó
ò ó��¡ñ û³ü ï³ê(í&��ó����
õ!÷³ö��³ó±ø±ï�����õ!ôÆ÷³ó±ø±ö�ñ`ô õ�'�ú¥ô¯îÆø±ó±ø±ï��³ö¡ñ(�±ú������Æ÷�õ ��ïÔîÆú¯÷³ð��³ó��¢ózôÆó±÷³ö³î¯ó��³ï�ø�ô¯÷�õ ��ï¥ú " ü ó��«û³ï�ú��¢ó
ø���õ!î��³ú����¡ñ ñ(�¡ï±ô¯îÆó±î¯ï�ò�ó ò�ï¥û³ïÔúÆî²ø�ô¯ò³÷³ó�)*��ó��zô¥ò ú¥ü�î��+�¢ï�����ó��³ö��¡ú¯ô¯ü�ö��gü ó±÷³ú��±ï���ö��`ö�� õ ��ïÔú���ó��gô¯ö³ôÆî¯ú��,��ê&-�î¯ö
õ ô¥÷ ó�ø¥ö�ñ�ó±ò��³ú¢û³ú¯÷�ñ³þ¾îÆô¢ñ�ø±ö¡û³ó �+�Æï¥ü ó�� ï û³ö ô¥ò�ú���ô¥ö ö ÷³ö�� ú���������ü�ó±÷³ú���ï��³ö ��ê/.��³ó¥û³ú���ó��³ôÆî��³ö��³ó±ø±ï��³óÃö³ô¯ò³ó±÷³ð��Æó±×
ø¥ï�� ö³úÃô���ó����
õ³÷³ö �³ó¡ø±ï���������õ³ô¯÷³ó¡ø±ö�� û!÷�ñ�ó±ò��³ú¢û³ú¯÷³ú��³ö�ñ�ò³ï��³ï���ú¯î��³ó±ø+021�ôÆó±÷³ö³î¯ó��³ó¡ø�ê
����¢ó±ø¡ó��³ú��³óló±ôÆó���÷ ö³ø±ó¡ô¯îÔÛ�û!ö��³ï���Û3���³ö ��ôÆó±÷�ÛÝîÆó���ÛÝø�õ4�³úÆ÷�Û5��Û5����ö�� ô¥ö�ô¥î¯ú���ï��6��Û5���³ó�78�³ó�����Û9���³ó±ô¯î¥Û:"�ñ!ü³Û
ó±ò³ö�ô¯õ�þ�îÆð¥ô¢ñ�û!ö���ú�� ú���ý�ÛÙï¥÷³ð��³ö���ö+��ÛÝø��±ñ�����ñ ��ö+�Ãò��³ó±ô¥î¯ó��³ó±ø¡ö ��ö�ò³ó���Û û��³ö���ö+�¡ú¯î¯ø¡ú��³î¯ó��¢ó�ò³ó���ñ�û!ü¡õ�ê�í;��ó�����õ³×
÷ ð¡ó±ø±ï��³óÃõ���ó±ø¡ö¶Û ô���õ³ø¥ï�� ��ñ�ô¯ó±÷�Û î¯ó��³ï<�±ú���ø±ö³ò���ó ��Û5�³þ�ø±ï�����ñ�ø²î¯ó�� õ�ø±ö³ò ïµû!ü¡õ="
ü ó�÷ ö8�³ó��¢ó²ø���õ³î���Û9)*�±ñ8�±ï¥ô¯îÆó îÆï
����ï���ó±û³ö îÆð±ô¢ñ~õ~ô¢õ³ý�ÛÝ÷³ð�� ó��
õuô¯ò³ú¯ü�î���Û>�¢ï�����ó���Û5����ö��uü�ó±÷³ö ø¡ï��³ðfø`ôÆö³ô¯î¯ú���Û:"?'�ó`ø¥ö³ø��¡ï�@¥îÆð±ô¢ñ�ê�A�Û(õ���ó ø¥öB�Æï¥÷³ú¯×
�ïÔîÆðuø±Û û�øÔö��¢÷�ñ�û�õC�¯ï¡ü ó���õ�û!ö³ôÆò³ú��³ô¥ÛD7Ã÷�Û5��Û9��� ö���ü ó±÷³ö³ø¥ï���ð�ê*.���ó¡û!ú��Ðó���ôÔî�� ó�ø¥ï���ó="�ñ³ü��Ðó�
E�³ï~ø¡ö³ü ó��³ö³ôÆî¯ï¥î¯ö
õ ��ó±ø¡ö#"F'�ó ô���ó����
õ³÷³ðÔó¡ø±ï���Û:"
û³÷�ñ�ø±ö���� ï��¡ú�����ñ�ò³ï��³ï���ú¥î��³ÛÙø+0G1 ô¥ó±÷�Û î¯ó���Û ø�ê
HJI�KML�ÞJN�O/PDQ�O/PSR;T
U<V=W�X�W�Y,Z&W
[]\_^;`�a�b�cdb�^#\fe=g/h iJj&k,l m8h�n�e#oJh�l�nF`8j#k;^#`�a�k#pJb�h�qJk,r
h eJs&k,l eJ^#eJntnu^,b�qdeFl�e=c;\<rv^Jb�sMk#^,b�o#^&\<rwh�k,h l�b a*`�rxh
l eJp=q,kzy�cJb�^;k/{|s;k&^Jb�o;^Je#ozjdk;^#`}aEk;q#kz~ l�k#r�h�kJh�l b�a��
��e/jtj&k#^;`�a*kJpJb h�q#kJa�h�eJs&k,l�e#^JeJa|�,e=^;kJa*`�b l�h�{�^Jb s�k#�
^#b�o#^,eFbv�#c,eFh�l�c#`�^#h�l�n�b�^#^#e�s,edqJ`}s&k#y�edn/`�^&^de=bxn}e=y�aEi#�
� b�^#k,b(k#y�iJp#`�b a�e=o�h�k,h l�b�aE\��;h l�`�g#kJsMm�^,eFh�l�m�qJeFl�e#cJeF��e
e=g/b h��,b p#k#n/`�b l�h�{�^#`�s�kJp#k,b a��#cJeJh l�\<r�`�j#j#k,l�k,nF^;\<r
k&^Jl�b�� c#`�s;e=n]j;nFkJ�+b�^#kd{�����c,k#a�b�c#`�a*k%l�`�q,kJr�h�eFs�kJl�e=�
^#eJn]a$eJ��i#l�h�s#iJ�(kJl�m�h�eFs�kJl e#^%^,b s&k;^Jb�o&^de=��e6idc;`�nF^db��
^&k/{��tcJb�j&k#^,��b�c;`u���������%kJs�k�a�`���^#k#l�^#\�o�h�eFs�k#�
l e#^]���F���
� k;^#`�a�k#pJb�h�qJk;o]h�eFs�kJl eJ^]eJg=\<p#^,e�r�`�c#`�qJl�b�c#k,y�i#b�l �
h�{Cn/^#iJl�cJb�^,^#b�o�p#`�h�l e/l e#o>�#y�^#`�pJb�^;kJb+qJeFl�e=c,e=o¡{&n�s,{db�l �
h�{¢e/j&^#k,a_kJy(eJh�^Je#nF^#\£r¢�;`�c#`�a�b l�cJe#n�h�eFs�kJl�e=^;`,�?¤�c#`��
j&k&¥,k#eJ^&^Je j;k#^&`�a*kJpJb�h�q,kJb h�eFs�kJl eJ^&\ n ¦8kJy�k&q/b
qJe#^Jj#b�^Jh�k;cJe#nF`�^,^#e/��e�h�e=h�l�e/{&^#kd{§kJy�iJp#`�sMkJh�m�^&`!e/h�^,e=�
n�b_^Jb�sMk#^,b�o#^&\<ruj;k&¦�¦ b�cJb�^&¥;k#`�s�m�^&\<r�i#c#`�nF^,b�^,k&o¨h
�&cJeJh�l c;`�^Jh l�n�b�^;^#\<a*k©�;cJe#kJy�n�e/j&^&\<a*kªn�l�e=cde=��e«�,e=�
cJ{#j#q#`,�(¬zh s;iJp#`�b]h�q#`�s,{&c#^,eF��e��de=sd{j#k;^#`�a�k#pJb�h�qJk;o
ed�db�c;`�l eJcue/g=s;`�j&`�b l6p#`�h l�eJl `�a�kus;e=q#`�s�m�^&\<r�h e/h l�e�{&�
^;k#o��$c#`�h��#e/s&e/�+b�^#^&\<a*k�eJg}{dy�`�l�b s&m/^Je�nF^Jb�k;^Jl b�c#n/`�sM`
h��#s#e#®+^de=��e�h��,b�qJl�c&`,�*�8eF~�l e/a�i¢h�eFgJh�l n�b�^&^,`�{¢p#`�h�l e/l�`
j&k#^;`�a*kJpJb h�qJe/��eth�eFs�kJl�ed^,`u�JeJj=eJgJ^#e/��e�¦�k#y�kJpJb h�qJe/��e
�,eFs,{E�(q#`�q¯p#`�h l�eFl�`%s�°�gJeF��eus,edqJ`}s&k#y�edn/`�^&^de=��etn}eFy��
gJiJ��j,b�^;k/{��=e/gF{#y�`�^#`8^&`�r;eFj;kJl�m}h�{�nF^,b�h��,b�q/l�c#`�� n�h s;i#�
p#`�b±���+� k#s&k²a*`�� ^,k#l�^JeJ��e±h e/sMkdl e#^#`ª³ ^#k,�8b
h��#s#e#®+^de=��e!h��,b�qdl c&`J�/�
´�k#l�i;`�¥&k/{²aEb�^/{#b�l h�{µ�#c#k²k,y iJpJb�^,k&k¶j#k&^#`}aEk;q#k
j&kJh�q#cJb�l�^#eJo�h�k,h�l b�aE\·k,s&k�j&k,^&`�a*k#q#kwqJe=^,l�k,^#i#`�s�m��
^,e=o¨h�k#h�l�b�a�\��8e=�;kJh�\ nF`�b�a�e=o¨j&k,¦�¦�b�cJb�^&¥#k;`�s�m�^&\<a*k
i#c&`�n/^Jb�^&k/{#a*k�gJeFs;b�b(nF\<h�e#qFeJ��e���pJb�a¸n}l�e#cJe#o����,e=c={dj;�
q#`��&cJe/h l�c#`/^Jh l�n�b�^#^;\<r¹�#cJe#kJy�n�eJj#^&\<r±�2º;����¬±~ l�eFa
h�s&iJp#`�b(a>eJ��b�l�e=q#`�y�`�l�m}h�{��&pJl�eBp#`�h�l e/l�`�h�eJs&k#l�ed^,`��#eJ�
�;`�j#b l�n�h��#s,ed®�^Je#o4h��,b�q/l�c4��`�cJa�e=^;kJpJb h�q#kJr�q/eJs#b�g#`��
^;k#o��*k]n�eJy ^;k#q#^,iJlC�#cJeJg/s&b�a*\th�i � b�h l�n�e#nF`�^,kJ{]h e/sMk,�
l�e=^;`_�&c,kt^;`�sMkJp#k#k�kJy�s;i=pJb�^#kd{ts&k&^db�o;^#\<rxn�e/sM^>�(`
l�`�qJ�8bfc;`�j&k#`�¥;k,e=^;^JeJ��eun�y�`�k,aEe/j#b�oJh l�nFkd{uh eJs&k,l eJ^#eJn
��h�a �»��^;`��;c#kJa�b�cE�¼�¾½>�5¿M���/��¬Àc#`�gJeFl�bu�GÁ;���JeJh�l�cdeFb�^&\
�,eFj#e/gd^,\�b�h�eFs�kJl�ed^,\�n�aEe/j#b�s&mF^#\£r���«h�kJh�l b�a*`�r�k
eJgFh�iJ�+j#b�^#\�kJr]h�n}e#oJh l�nF`,�*[]\�r&e/l�kJau�Je#qJ`�y `}l m;�$pJl�e
gJeFs�m�®+k;^Jh l�n�e�n�eJy�^#k;q=`/° � k,rÀ�;c#kÃ~ l�eFa·~�¦ ¦�b�qJl eJn
h�n�{#y�`�^,e4h�e%h�n}e=o,h l�nF`�a*k%s�k#^,b�`�c,k#y�e#n/`�^&^#\<r¨i#c#`Fn/^Jb��
Ä Å�Æ�Ç Æ�È�É�Ê�ËFÌ�Í�ÎFÏ�Ð Ñ�Ñ�Ñ
^&k#o��#e=�;kJh�\�nF`F° � k,rB� `�cJa�eJ^&kJpJb�h�q,kJb+qJeFs;b gJ`�^&k={CkJy i#�
pd`�b�a�e#oBh�kJh�l b�a*\��Mn�p=`}h l�^#e/h l�k!h+y�`�qde=^,eFa]j&k,h��db�cJh�k;k
a�`�s�\<r©qde=s,b g#`�^#k;o>���*l�k i#c#`Fn/^Jb�^;k/{«eJ�&cJb�j#b�sJ{&°�l
`�h�kJa*�Jl eJl k;q#k �JeJsJ{±^&`wgFeJs&m/®+kJr±c&`�h�h�l e}{,^;k/{#r eJl
h eJs&k,l eJ^&`�k h�e=jJb�c#�+`�l�gJeF� `�l�i#°�k,^&¦�e=cda�`�¥;k;°ue�n�eJy �
aEeJ�+^;\<rCh�eJs&k,l eJ^&^#\<r�cJb�® b�^;k/{#r¢^Jb�sMk,^#b�o#^;\<r�i#c#`�nF�
^#b�^#k;o>�
����� X;Y��
�W��&Y�
W�Y&W��#Z;Y&W��#Y�
W��/Z�����W� �
�+��c#`/^#k#pJk#a�h�{©�#c,eFh�l eJo©^db s�k#^,b�o#^,e=o a�eFj,b s&m/°��
i#p=k,l�\�n/`�° � b�o�n/\<h�®8i;°_j&k,h��Jb�cdh�k;°ukB�,eFy�n�eJsJ{&° � b�o
ed�,k#h�`�l�m!c#`�y�^#e/e=gJc&`�y�^#\<b�h�k#l�i&`�¥&k,k��$n�eJy�^#k&qJ`/° � k,b¡n
h eJs&k,l eJ^&^dedo�jdk;^#`}aEk;qJb��
� ∂ψ
∂ � + ∂
�
ψ
∂ � � + ∂
�
ψ
∂� � + � (ψ) = � �
�J�F�
� (ψ) = �ψ � � ψ + γ 0
∂ψ
∂�
�
ψ + γ � �ψ � � ∂ ψ
∂ � � − γ !"�ψ� � ψ �
#�iJj#b a±k#^,l�b�c#b�h�e=nF`�l�m�h�{�l�eJs&mFq/e�h�l `F¥#k,e=^;`�c#^;\<a*k
h eJh�l e}{,^;k/{#a*k
ψ(� � � ) = ϕ(� ) $�% ω & �;l#� b,�&h�n�eJo#h�l�n/`�a*kC^db��
sMk#^,b�o#^#e/��eBi#c#`/nF^Jb�^;k/{
ωϕ = ϕ'(' + ϕ)*)�)*) + + (ϕ)
� � º;�
, k;^Jb�`�c&kdy eJnF`F^,^#e/b�i#c#`�n/^#b�^#k,b#�¡�,eFs;iJp#`�° � b b�h�{x�&c,k
e=l�g=c,`�h�\�nF`�^;k#k�h s�`���`�b�a$eJ��e � (ϕ)
n���º;�/�Ek#a�b�b l�y�`Fq/e#^
j&k#h��Jb�cJh�k&k���h�a��$c#kJh,�<���
ω = − -� + . � � ��½��
¬|l�eFp#qJb,� ��j#b . � = .0/� =
�21�º?��p=`}h l�e=l�`
ω
j,e=h�l k,��`�b�l
^&`�k,a$b�^&m�®�b���e�y�^&`�pJb�^#kd{
ω / = − 3 1*¿§�E´<s#b j,e=nF`}l�b�sMm��
^#e?� kdaEb�b�a^,b��,c#b�c#\�nF^;\�o]h��Jb�qJl�c]h�eFgJh l�n�b�^&^#\£r]p#`�h��
l eJl+��`FcdaEeJ^&kdp=b�h�q#kJr¢qJe/s&b�g=`/^#k;o
ω/54 ω 4 ∞
�
�+b�l�cdi=j;^Je�nF\<p#kJh�sMkJl�m�¦�i#^&qJ¥;k&°76=c#k;^#`�s&k;^Jb�`/c#k#�
y e#nF`�^,^#e/��e�idc;`�nF^db�^;k/{��$eFl�n�b�p#`�° � id°�h�l�`�¥;kJe#^#`/c#^#\�a
qJeJs#b g#`�^#kd{#auh�e=�;cJb j,b s#b�^;^Je#o]p#`�h l�eFl�e#o
ω
k4eJ�&kdh�\��
nF`�° � i#° c#`�h�r&e/jJ{ � i&°£h�{�^;`�gFb�h�qJeJ^#b�p#^JeJh l�k�n}eFs�^Ji>�
¬_k&^Jl�b�c#nF`}s#b(pJ`�h�l�eJl � 4 ω 4 ∞
e=^;`�kJa�b b�l(n/k#j
8
ω(� ) =
�
¿
√ω − ω /
�
- 9 − %;:=< ' < + 3
κ 9 −κ < ' <
� ��¿&�
��jJb
. � =
�
º (√
�
+
¿
ω + 3 ) �
κ
�
=
�
º (√
�
+
¿
ω −
�
)
� � Á#�
¬ k&^dl b�c#nF`}s#b p#`�h�l eJl h��Js;e=®+^,eF��e h��db�qJl�c#`
ω / 4 ω 4 � ¦�id^;q#¥#kd{>6=c#k;^#`B^db¡k,a$b�b l�~�qJh��ded^db�^;¥&k,�
`�s�m�^#e!h��#`}j#`F° � k#r�h�s&`}��`�b�a*\<r?�
8
ω(� ) =
�
¿
√ω − ω /
9 − %@:�A@B ' <
. 0 +
$ − %C:2D < ' B
- �
� �=E#�
��jJb
. 0� =
�
º ( 3 + √
�
+
¿
ω )
� . � =
�
º ( 3 − √
�
+
¿
ω )
� �=F#�
�(`Fq/e#^Jb�¥���b�h s;k�p#`�h l�eFl�`�s#b��(kJlx^#k,�8bth��#s,ed®�^#e/��e
h��#b�q/l�c#`��
ω 4 −
�21�¿&�/��l�eC¦�i#^&q#¥,kJ{>6=c#k;^#`!�#c#k,eFg#cJb��
l�`�b l(k;^Ji&°�¦�e#cJa�iG�
8
ω(� ) =
�
¿
κ . 9
−κ 'IH2J@K ( . � + ϕ)
� �=L#�
��jJb
. � − κ
�
=
���Mº
κ . = √ω / − ω
� �=M#�
N ^#`}s&k#y�nFkdj&`�¦�id^;q#¥#k;oO6=c#k;^#`!��¿��/�E�"E;�+k��=L;�/�?^Jb�y�`��
nFk,h�kJa�eue=l h l c,i#qJl�i&c,\ ^,b s;k&^Jb�o;^JeJ��e�h s;`�� `�b a�e/��etn
i#c&`�n/^Jb�^&k#k �J���/�,�,eFy�n�e/s#{#b�l8h jJb�sM`�l�m8h�s&b�j#i#° � kJb8eFpJb��
nFk,j#^&\<b�y�`�qJs�°�pJb�^#kd{CeCn}eFy�a�eF�(^#\£r�h eJs&k,l eJ^&^,\<r¢cJb��
®8b�^&k={dr ~ l�eJ��e�k��,eFj#e/gd^,\�r�b�a$i�i#c&`�n/^Jb�^&k#o��
�J����k#^#`�a*kJpFb�h�qJkJb�h�eFs&kJl�e=^#\¯h�p=`�h�l�eFl `�a�k
ω P ω /eFg/s&`�j#`�°�l�~�qFh��JeJ^Jb ^#¥;k#`�s&m�^Je4h��#`�j#`�° � kJa�k6eFh�¥#kJs#s&k,�
cJi#° � kJa*kRQ/r&n�eFh�l `�a�kTS��#k�b�h�s&k�eJ^#k�{#n�sJ{#°�l�h�{¡l�eFp=^,\��
aEk�cJb�®8b�^,k/{=a�k��/���/�#l�e�^Jb8a�eF��iFl+kJy�s#iJp=`�l m�s&k#^Jb�o#^#\<r
n�e/s&^>���(`�s&kJpJkJb(^Jb�aEeJ^JeFl�e=^#^Je�h��#`�j&`�° � kJr>Q/r&n�eFh�l�eJn�S
kJa>b b�l�h�i � b h�l�n�b ^#^deFb�y�^#`�pJb ^,kJb �#c#k�kJy�iFpJb ^#k#k�n�y�`�kJa$eJ�
jJb�odh�l�n�k={h�e/s&kJl�eJ^Je=nM��k>� �de=�:n/kJj#kJa$e/aEi?��gJ\<s#e_nF�Jb c,�
nF\ b+e/gFh�iJ�8jJb�^JeBn�c#`�g/eFl `�r]�UE;� F;���
º?�WV�`�h�l eJl `}a
ω /54 ω P � n4�#c;k#^;¥#k&�db4^Jb¢a�eJ��iJl
eJl n�b�p#`�l�m¼h eJs&k,l�e#^#^;\<bBcJb�®8b�^;k/{��$l `/q�q#`�q�e/l h�iJl h�l�n}i#�
°�l�h��;`�j&`�° � kJbt`�h�kJa*�Jl�eJl k&q,kxixh�eFeJl�n�b�l�h�l�n}id° � k,r
h�l�`�¥;kJe#^#`Fc,^#\�r�h�eFh�l�e�{&^&k,o��
½>��¤�k;�#k,p=^,eFb�s&k;^Jb�o;^JeJbBh�l `/¥#k#eJ^&`�c,^#e/bBh�e=h�l�e�{&^&kdb
n%k#^,l�b�c;nF`�s,b]pd`�h�l�eFl
ω X�� ³ ~�l e_qJnF`}y k,s#e#q#`�s&k,y eJ�
nF`�^;^JeJb�qJeJs#b�g#`�^#k,b#�(eJj&^,`¨h e/h l�`�n�s,{&° � `�{�qJe/l eJc#e/��e
s;e=q#`�s�kJy�e=nF`/^#`Bn��#c,eFh�l�c#`�^#h�l�n�b,�?`¼j&cJi#��`�{ k,a$b�b lBn/kJj
h�l e}{dpJb�oxn�e/sM^,\·^Jb�k,y�a$b�^&^Je#o�`�a��#s;k#l�iJj&\��Y�+h�eFgJb�^,�
^,eFh�l�k �#cJe#¥#b�h�h eJnxc#`�h�h�b�{&^#kd{Ã�,c#k¹^#`}s&k,p=k;kzl�`�q#k,r
h�e=h�l�e/{&^#k;o�eFgJh�i=��j=b�^;\un��ZL;���
[��±®¯¼�Ê˼ \ ��ï���ö±ü��¢ï¯ü±ó��±ï�û ö�ô¢ò ú2��ô¢ö�öu÷±ö�� ú¢ï�� ö��¢ó¥ø¥ï���� ó��«ózõ �¡ïÔø�� ú ×
� ö¡ñ^]¾�¢ï¯ø¥ö�ô¢ö �
óÔôÆî¢ð*�¥ï¯ô¢î¢ó±î2�
ω
ó¥î�øÔó¥÷�� ó¥ø¥ó��Îó<�¥ö ô¢÷�ï : _ ê
` a a b�a
c Í�d�Í�egfih�Í"d"e�Íkj�l�Ënmpo�Ë�q�f2lUr=qJÏ�Ð�Ñ Ñ�ÑJÏsl Æ�Ð(t#Ï2uvt tFÐxw
�(`�s�kJp#kJb�i&qJ`�y `/^#^&\<r¨`�h�kJa*�Jl eJl k;q%e/y�^#`}p=`}b lJ��pJl e
n�eJy a>eJ� ^;\<bBh�eFs�kJl�e=^;^#\�bBcdb�®�b�^,kJ{¢i#c;`�nF^Jb�^;k/{¸�J���+h
pd`�h�l�e=l�`�aEk
ω X � �¡qJ`/qt�;c#`�nFk,s#e>�+h e#�#c,e=n}e=�8j&`�°�l�h�{
k#y�s#iJpJb�^;kJb�a±��`FcJa�e=^;kJpJb�h�q#kdr¹n�eFs�^>���+a�b�°�l�h�{|c,`�y �
^&\<bue/g��,{#h�^db�^;k/{|¦�k#y�kJpJb h�q#kJr��;c#kJp#k&^wkxiJh�s&eJnFk;o
h i � b h�l�n}e=n/`�^&k/{�n+~�l�eFa4k;^Jl b�c#n/`�s#b8p#`�h l�eJl8h e/sMkJl�e=^,e=n
g=b�y(k,y�s;i=pJb�^#kd{E�
��s,{ n/\ {#h�^Jb�^;k/{¢^#b�eFgJr#eJj#k#a*\<r�iJh�s&eJnFk;o>�$�&c#k qJe=�
l e#c#\<rªk#y�s#iJpJb�^;kJb eFl�h iJl�h l�n�iJb�l#��c#`�h�h�aEe/l�c,k#a nF\��
^#iJ�+jJb�^&^JeJb8c#b�®8b�^#k#b�sMk,^#b�`�c#k,y eJnF`�^;^JeJ��e�i#c&`�n/^Jb�^&k/{��
�#eJc#e/�+jJb�^;^JeJb(c#`�h��&cdb j#b�s#b�^&^dedo!h�k#s,edo��
(� )
�&h eJh�cJb�j#e=�
l eJpFb�^;^Je#oÀ^,`xa*`�s;eFa«k;^Jl b�c#n/`�s#b � n�g/sMkJy�k � = � ���iJh�l�m �
( � )
i#g=\�n/`�b�l%h�c#`�h�h l�e�{&^;kJb a g=\<h�l�cdb b,�(pJb a
9��
(− κ � � � ) ��¤>eF��jd` cJb�® b�^;kJbCn/^#b!eFgJs&`�h�l�k6�#c#k,s#eJ�8b��
^&k/{�h�kJs�\uc#`�nF^,e
ϕ( � ) = ∫ 8
(� − � ′)
�
(� ′) � � ′ =
=
�
º
√
�
+
¿
ω
(
�� ( . ) $ − � :"< ) B + � (κ) 9 −κ < ' <) � �J� � �
��j#b
.�� ( . ) = ∫ � (� ) 9 % :
'�� � �
κ� (κ) = ∫ � (� ) 9 κ'�� � � �J�=�F�
�Eh�s&k%�&c,k¸^db�qJe/l e#cJe/auy�^;`�pJb�^,k&k . = - � qde=a��#eJ^#b�^Jl�`
�¢i#c&m�btc,`�h��#cJb�j#b s;b�^#kJ{zh�kJs�\·e/g#c#` � `�b�l�h�{|n�^JiJs�m
� � ( . � ) = � �/� l�e�nF\�^Ji,��j,b�^#^,eFb%q/e=s,b g#`�^;kJb]h]p#`�h l�e=�
l e#o
ω = ω( . � ) ^Jb�n�eFy�gFi,��j;`�b l�k#y�s;iJpJb�^#kd{4^#`�gFb�h�qJe=�
^#b�p#^JeJh l k����+cJeJk#h�r#eJj&kJl��#e/sM^JeJb!��`/®8b�^#k#b!sMk,^#b�o#^;\<r
qJeJs#b g#`�^#k;oun�j;`�s&k¨eJl4kJh l�eJp=^;k#q#`6y `6h�p=b�l4k#^,l�b�c&¦£b��
c#b�^#¥;k#kun�eJs&^��+� c,k¨h�kJa�a�b�l�c#kdpd^,eFazc&`�h��#c,b jJb�s&b�^#k;k
h�k,s&\����
(� ) =
�
(−� )
�8i#q#̀�y�̀�̂,̂#e/b(iJh�s&eJnFk,b(k#a>b b�l�nFkJj
∫ � (� ) ��� H -�� � � = ! � �J��º,�
+̀�#c;k(̀ĴJl k,h=kda$a�bFl c;kJpĴJe&a�c;̀�hJ�#c#b/j#bFs,b=̂#k#k!���
(−� ) =
= −
�
( � )
�
∫ � (� )
H J K -�� � � = ! � �J��½;�
�+j&̂,̀FqJe+hJs#b/j#i#b/l �Je,a�̂,kJl�m,�Fp/l e��Je#h#q/e&s&m/q/i(pJ̀�hFl�e&�
l�\�l�̀�qJe/��e qdeFs;b gJ̀F̂#kd{§�,e=�;̀�j&̀�°�lCn q#nF̀�y�k&̂db��;cJb�c#\�nF�
&̂\�o%h��,b�qJl�c���b���e%n�b�h n§s&k&̂db�o;̂Je#o%j#k&̂,̀�aEk;qJb�eJp/b�̂;m
a�̀�s �B�Je#c/{#j&qJ̀w� 1
√" �(��j#b " ³ p#kJh�s&e�̀�l e/a�ednun
k#y�iJpd̀�b�a�e=o��·¥#b��JeJp=qJb,���+e]k,y n�b�h l�̂,e��EpJl�e n Ĵb s�k#�
#̂b�o#̂,e=o6j&k#̂;̀�a*k#qJb�n�b�h¢�JeJjJeJg=̂;\<rfn/\<j#b�s#b�̂;̂#\£r4h�l�̀��
¥&k,e=̂;̀�c#̂;\<r«h�eFh�l e/{&̂#k;o²aEeJ�8b�l¹e#qJ̀�y ̀}l m�h�{µh�e#n�h�b a
k&̂#\£a���+p/b�n/k#j&̂de=b̈ a*̀�l b�a*̀�l�kdp=b�h�qJeFbuiJh�s&eJnFk,bt�J� º;�_kJs�k
�J��½��4c,̀�y�cJb�®�kJa�eFh�l�k�̂,b e/j&̂Je#cJeJj#̂#e/��euj#k&¦8¦�b�c,b�̂#¥;k#�
�̀s�m�̂#e/��e+i#c&̀�n/̂Jb�̂&k/{B�,eFy�n�eFs,{#b l �,eFs;iJp#kJl�m8�#̀/c#̀�a�b l�c#\
h�l�̀�¥;kJe#̂#̀Fc,̂#\�r!jdk;̂#̀}aEk,p=b�h�q=k,rBh�eFs�kJl�e=̂,e=nM�,̂db h�ed�,c#eJ�
n�eJ�8j&̀�° � kJr;h�{�k,y s#iJpJb�̂&kJb�a��N ̂;̀�s&k,y�k#cdiJ{ h�l�cJi#qJl i#cJi]i#c#̀/nF̂Jb�̂;k/{̧ � º;�/��h s#b�j#iJb�l
eJ�+k#j#̀�l�m;�&pJl�eBe=̂,eCkdaEb�b�l+h eJs&k,l�e=̂;̂JeJb(cJb�®+b�̂#k,b(nFk,j#̀
ϕ# (� ) =
$
��% κ�
� $
= ��� K�H�& � �J��¿&�
��jJb
κ
h�n�{#y�`�^#e!h+p#`�h l�eFl�e#o
ω
h�eFeJl ^,e=®�b�^,k#b�a_� Á,�/�
�8eFj#h�l�`�n�s,{={Cc,b�®8b�^,k#b��/��¿�� n�^Jb�sMk#^,b�o#^#e/b+h�s&`�� `�b��
a�eFb_i#c;`�nF^Jb�^;k/{v�J�F�}�(a�eF�+b�a¹c&`�h�h�a�`�l�c#k#n/`�l m¨b���etn
q#`�pJb�h l�n�b]nF^Jb�®�^Jb�o h�kJsM\'�
(� ) =
�
(−� )
�8¬xh e/eJl�n}b l�h�l��
nFk;k�h!�J� º#�8h�e=s;k#l�e#̂��J��¿��8̂#b�gFi#jJb�l(h�e#�#cJe#n�e/�+j&̀�l�m�h�{
k,y�s&iJpJb�̂#k#b�a̧ �;c#k�iJh�s&eJnFk;k
∫ � (ϕ# ( � )) ��� H . � � � = � � �J� Á#�
V l�eFg#\²kJh�qJsM°£p#kJl�m � cJeJa>e=y�j#q#k,bfn/\ q/s�`�j&q#k>�¡�,c#eJn�b��
j#b�an/\�pJk#h�s#b�^&k/{4eJl�j,b s�m�^#e�jJs#{4^,b h�qJeFs�m�q#kJr6h s;iJp#`��
b�np���/�F�
γ 0 ≠ ! � γ � = γ( = � �*� º;� γ � ≠ � � γ 0 = γ( = � k
��½��
γ ! ≠ � � γ 0 = γ = � �¬��Jb�c#n}e=a6h s;iJp#`�b(k#y¼� Á&�8k��J��Á&��h�s&b�j#iJb l,�&pJl�e
. � =
½
γ 0 −
� º
º
γ 0
�
κ
�
=
γ 0 −
� º
º
γ 0
�
ω =
γ 0 −
E
γ 0
�
−
�
¿ �
�J�=E#�
[4\ªn/kJj&k,a��CpJl�ev�#c;k
γ 0*) � ºxn�h�b���j;`th�i � b�h l�n�iJb�l
b�j&k#^,h l�n�b�^#^;\�o�h�eFs�kJl�ed^ l k;�#`��J��¿;�/�E^Jb¡k,y�s#iJpd`�° � k;o
s�k#^#b�o#^;\<r¸n}eFs�^>��¬Eh�b��#`�c&`�a�b�l c;\�`�a*�,s&k,l�i#j#\�~�l e/��e
h�e=s;k#l�e#^#`M� qJc#e/a�bv`�a*�JsMkdl iJj&\+$�� �,eFs;iJpd`�°£l h�{ kdy
`�^;`�sMkJy�`!s&k;^Jb�`/c#kJy�e#nF`�^#^,eF��e idc,`FnF^db�^;k/{�� ,8b � q/e�i,gFb��
j&kJl�m�h�{�� p/l e%l�eJp#^JeJb]cJb�® b�^;kJb�idc;`�nF^db�^;k/{u� º;�Bh�eJeFl��
n�b�l�h l�n�iJb�l
$ �
=
º�¿
γ 0
κ
�
=
3-, (γ 0 −
� º
)
γ 0
� �
¬*e�n�l�e=c,eFa4h�s;i=p#`�b
(γ 0 = γ( = ! ) kJa�b�b a
. � =
½ γ � − .
º
γ
�
κ
�
=
γ � −
� º
º
γ �
�
ω =
½
.
(γ −
¿
) (γ −
��º
)
γ�
� �
�J�=F#�
�+y!��º;��h s;b j,i=b�l(`�a*�,s&k#l�i#j#`
$ �
=
º�¿
κ
�
γ
=
��º
γ �
� (γ� −
��º
)
�
tFÐ Ð c Í�d�Í�eUf�h Í�d"e�Í(j�l�Ë�m�o�Ënq�fkl rkqJÏ�Ð Ñ�Ñ�ÑFÏZl Æ�Ð�t=Ïkuvt
¤E`/qJk#a%eJg=c;`�y e/a��$h e/sMkJl�e=^6�/��¿��8h i � b h�l�n}iJb l�n!h�k,h l�b��
aEb�h
γ� X � º?�
�(`�qJeJ^#b�¥��£n§h s#iJp#`�b
γ! ≠ � � γ 0 = γ� = � kdy4� Á,��k
�J��Á;�8nF\<l�b�q,`�b l
κ
�
=
γ !
º
(
E
−
Á
γ! )
� . � =
½
(
¿
− � γ ! )
º
(
E
− � γ ! )
�
ω =
½
γ ! ( ¿ −
½
γ ! )
¿
(
E
−
Á
γ ! ) �
� �J�(L;�
N�a��dsMkJl�iJj&`�h�eFs�kJl e#^#`��de=s,i#p=`}b l�h�{¢kJy!��º;�
�
$ �
=
º/¿
κ
�
γ ! =
��º
E
− � γ !
�
�¡^;l�bFc#b�h�^;e>�¡p#l�e�h�eJsMk,l�e#^vn/eJy a e=��bF^xl�eJs$mFqJex�;c&k
� P γ ! 4 E�1 � =
�J�Dº;�
��c,k#a�b�^#k#a4kdy s#eJ�8b�^&^#\£b8h e/e=gJc&`��8b�^&k={�q�`F^,`�sMkJy�i
g=e/s&b�b8h s;eF��^JeJ��e�h�eJs&k,l eJ^&^JeJ��eBcJb�®+b�^#kd{Bi#�&cJe � b�^#^,e=�
��e�idc,`�nF^,b�^#kd{]� º;���;c#k
γ 0 = γ � = γ ! = � �E¬_~�l�eJa%h s#i#�
pd`�b�h�s#b j,i=b�l�eF�(kJj;`�l�m�^#`}s&k,p=k,b+h eJs&k,l�e=^;`+l�k&�,`
ϕ( � ) = �
H % κ�
��% � κ�
� �J�(M;�
��e/h�qJeJs&m/q/i�n¼j&`�^;^JeJa4h�s&iJp#`�b
ϕ(− � ) = − ϕ(� )
��h s,b j#i#�
b l�n�e/h��,eFs�m�y eJnF`}l m�h�{Ci#h�s#e#nFkdb a �J��½����
∫
H % κ� � �
��% � κ�
( H2J@K
κ� � � = � � � º � �
¤Ec,b�gFe#nF`�^#k,b���º � �4e#�#c,b�j=b�s,{db�l . � = - �� ≡
�J�
κ
� � �+h��
�#e/sMm�y�i/{¹� Á;�/�C^#`�r&e/j&k,a
κ
�
= � �¾� k
ω = � �¾�J�=�R�*l�k�#`Fc;`�a>bFl�c&\ hFe;e#l�n�b/l h/l�n}i&°8l4b/jMk,^JhFl�n�bJ^#^Je#a�itc,b=®�b=�
^&k#°�l�k&�,`��J�kM;�/�$^#b�j&`�° � b�a�i¢kJy�s#i#pFb�^;k/{��*¬_l�eJpd^de=a
c#b�®8b�^#k&kE�§�;cJb�j#h l�`Fn�s,b�^;^JeJa©n c#`�gJeFl�bÀ�UM;��� k#a�b�b a
$
= √
E�� Á£�
� h�^Je>��p=l�e¢h�¦�e=cJa�iJsMk,c#eJnF`�^;^#\�b�i#h�s#e#nFk={ h�i � b h�l��
n�e#n/`�^#kJ{¨g=b�y \£y�s&iJp#`�l�b s&m/^JeJ��e_j&k#^;`�a*kJpJb h�qJeF��e_h e/sMk,�
l�e=^;`�kCk,r�jJb�aEe#^Jh�l�c#`�¥&kd{�n�qde=^;q#cJb�l�^#\<r h s;iJpd`�{#r¢^db
{&n�s,{&°�l�h�{|qded^dh l�cJi#qJl�k#nF^;\<a*k�cJb�qdeFa�b�^dj&`�¥&kd{#aEk��,e
eJl \�h�qJ`F^#k;°t`�^,`�s&k,l k,p=b�h�qFeJ��eBh�eJs&k,l eJ^&^JeJ��eCcdb�®8b�^;k/{���+j&^#`/q/e¸eJ^&k �#eJq#`�y�\�n/`F°£l#��pJl�e%h l c,i#qJl�i&c,`�j&k#^;`�a�k,�
pJb h�qJe/��e�h e/sMkdl eJ^&`�e=�;cJb�j#b sd{db�l�h�{Bh�n�e#oJh�l�n/`�a*kBy�`�qJeJ^&`
j&kJh��,b�cJh�k;k�s&k;^Jb�`/c#kJy�e#nF`�^#^,eF��e i#c&`�n/^Jb�^;k/{ ^,b�n
a�b�^,mF®8b�o]h�l b��,b�^#k��EpJb�an/k#j,eFau^#b�s&k;^Jb�o;^#\£r4h�s&`�� `�b��
a*\<r¢n�j#k;^#`�a�k#pJb�h�qJk,r�i#c#`Fn/^Jb�^&k/{#r �
� ��� V
* �W��#Y�
W�Y;W��#Z#Y;W��#Y�
W�
���FVFY;W�Y#Z
�
�8b�cdb r;eFjJ{�q¨`�^#`�s;k#y�i j&n�iJa�b�c,^#eJo_h�k#l�i&`�¥&k,k�� kJy��
a�b�^,k#a�h eJe/l�^Je#®8b�^;kJb8y ^&`�qde=n��Jb�c,b�jBn�l�e=cJe#oBk�pJb�l�n}b�c,�
l�e=o��#cJeJh�l�c,`�^#h�l n�b�^;^Je#ov�;cJe=k,y�n�eFj;^Je#o>�BpJl e/gd\·�,eFj;�
pJb�c,q#^Ji#l m]^,b�y `Fn/kJh�k,a$eJh�l�m eJg � kJr�n/\�n�eFj,edn�e/l�~�l e/��e
h�e=e/l�^ded® b�^;k/{���� cJeJa$b�l�e=��e>��edc,k#b�^Jl�k#c#i/{#h�mB^;`B^Jb�sMk,�
^,b�o#^,eFb�i#c;`�nF^Jb�^&kdb¢��cJb j;k#^#��b�c#`;�*e/g=e/y�^,`�p=k,a¨h eJgFh�l��
n�b�^;^JeJb+y�^,`�pFb�^;kJbB��~�^Jb�cJ� k#°���gJidq,n�e=o����
�
Ψ +
�
º ∆Ψ −
3º β∆ ∆Ψ = ��� Ψ � � � º?���
��jJb
∆
³ j&n�iJa�b�c#^#\ o�e=�,b�c#`�l�e=c , `��,s&`�h�`;�
∆ = ∂
�
∂ � +
�
�
∂
∂ � +
�
�
∂
�
∂
�
θ
�
` ��� Ψ � ³�cdb ��iJsJ{&c;^#`�{�¦�id^;q#¥#kd{
Ψ
k_�;cJeJh l�c&`�^Jh�l��
n�b�^;^#\<r¢�;cJe#kJy�n}eFj&^;\<r
∆Ψ
l�k&�#`
��� Ψ � = α�Ψ � � Ψ + γ �∇Ψ � � Ψ +
���:��� � ºJº#�
,+k;^Jb�`�c;kJy�e=n/`F^#^,eFb8i&c#`�n/^#b�^#k,b8e=�;kJh�\�n/`�b�l ~�s&b�a�b�^,�
l�`�c#^&\<b n�eJy�gJiJ�+jJb�^;k/{ k,y�i=p#`�b�a�e=o�h�kJh�l b�a*\
Ψ =
= 9��
(
� . � −
��� � ) h(y�`Fq/e#^JeJa4j&kJh��,b�cJh�k;k���� ) � �
�
=
�
º . � +
�
º β . � � � º/½&�
� c#`�¦8k#q!qJeFl�e#cJeF��e¡k,y e/g#c#`��+b�^B^;`+c#k,h#�#º�� �?��, k;^Jb�`�c&k,�
y�e=nF`/^#^,eFb�idc;`�nF^db�^;kJb��&c#k �#e/s&e/�(kJl�b s&m/^#\�r y�^#`�pJb�^&k,�
{#r!� eJgFs�`�j&`�b l�l�`�qJ�8b¹cJb�®+b�^#kd{#aEk·k#^,eF��e l�k&�,`��
Ψ( � ) = 9�� (±κ� )
�zeFl�n�b�pd`�° � kda�k p#kJh�l e a�^&kda�\<a
. =
�
κ
� Q#"E`�qJeJ^Bj#k,h��db�c,h�k,k S�l�`�q#k,rBs,edq,`�s&k#y�e=n/`�^&^,\�r
cJb�®+b�^#k;o�kJa�b�b l(n/k#j
�
=
�
º βκ
�
−
�
º κ
� � � º/¿&�
b���eB��c#`/¦ k;qC�
k#n}b j,b�^�^;`�c&kJh,�Mº?� $>���qJh��ded^db�^;¥#k;`�sMm�^,e�� k�aEeJ^#e/l eJ^&^deM��y `Fn/kJh�{ � k#b�e/l
c#`}h h�l�e/{&^#kJ{�c#b�®8b�^#kd{Cs�k#^#b�`�c#k,y�e#nF`�^;^JeJ��eBi#c#`Fn/^Jb�^&k/{
h�i � b�h l n}i&°�l%l�`�qJ�8b_n�k;^Jl�b�c#n/`�s&b%� / 4 � 4 � �+��j,b
k,a$b�b l�h�{�j#nF`�y�^#`}pFb�^&k/{¢�#`/c#`�a�b l�c#`
κ
�
κ 0�" �
�
=
�
, β (
�
±√3 −
L � &^� ) � � ºJÁ#�
[��±®¯¼(' ¼ )
ï¯ø¥ö�ô¢ö �
ó±ô¢î¢ö+*��±ú����«ö ö,*¢÷�ú2��ú��±î¢ï������&��ø¥ó��2�Æõ
�û�ú2� ö�� -
ó±î�øÔú2'�ú¢ô¢î¢ø¥ú2��� ó��«ó ] : _ ] » _ ö��¥ö ô¢î¢ó<�J�±ö ��ó��«ó ] : = � κ _ ] . _ øÆó±÷���ó ×øÔó��«ó ø¥ú¢ü±î¢ó���ï ê
` a a b�a
c Í�d�Í�egfih�Í"d"e�Íkj�l�Ënmpo�Ë�q�f2lUr=qJÏ�Ð�Ñ Ñ�ÑJÏsl Æ�Ð(t#Ï2uvt tFÐ0/
´�s;b jJiJ{�h�r#b a�b,�?�;cJb�j#s#eJ�8b�^;^Je#o�n
`�y�j��<�=�$�JeJh�l c#eJk#a
¦ i#^;q#¥#k;k 6=c#k;^#`�s�k#^,b�`�c,k#y�e=n/`�^&^JeJ��e�i#c#`/nF^Jb�^&k={ �&c,k
� X�� �
8
( � ) =
�
π
� �( � )( -�� ) −
º�� � (κ � )
� � º�E;�
��j#b � �( 0 )( . � ) � � � (κ � ) ³ h l�`�^#j;`�cJl�^,\�b(¦�i#^#q#¥;k#k��8b�^#�
qJb s,{4n�b � b h�l�n�b�^#^#e/��e¢k§aE^;kJa�e=��e]`�cJ��iJa�b�^dl eJn;���;`�c#`��
aEb�l�c#\ . k
κ
e=�;cJb�j#b sd{,°�l�h�{�h�e=e/l�^,e=® b�^;k/{#a*k��#`F^#`�s;e=�
� kJp#^&\<a*k���Á;�
�
. � =
�
º
β
(√
�
+
L �
−
�F���
� º�F;�
κ
�
=
�
º
β
(√
�
+
L �
+
���!�
N�h�k,aE�,l e/l�k,q#`+¦�i#^#q#¥;k#kR6=c;k#^;`8^&`�gJeFs�m�®+k,rCc#`�h�h l�e�{&�
^&k/{#r�e#�#k,h�\�n/`�b l_c;`�h r#eJjJ{ � i#°�h�{�¥&kJs�k#^,j#c&kJpJb�h�qdid°
n�eJs&^,i4k4~�q/h��,e=^,b�^#¥&k;`�s&m/^Je]h��,`�j#`F° � i&°z`�a��dsMkJl�iJj#i
s&eJq#`�sMkdy e#nF`�^,^#eJo qJe/a*�Je#^Jb�^,l�\��§¤�`�qJe/b|`�h�k#a��#l�eFl�k#�
p=b�h�qJeFbu�#eJn�b�j#b�^#k#b¨¦ i#^;q#¥#k;k 6=c#k;^#`¨eJy ^;`�p#`�b l,�(pJl e
h eJs&k,l eJ^�^Jb�sMk,^#b�o#^,eF��e�i#c;`�nF^Jb�^&k={Ch � ) � �Mq,`FqB�,c#`F�
nFk,s#e>�Eh�e=�;cJe#n�eF��jd`}b l�h�{4k#y�s#iJpJb�^;kJb�a�� ��l e/sMm�qde¢�&c,k
� 4 � h�eJs&k,l eJ^&^#\<b8c#b�®8b�^#kd{E�Jb h�s&k�e#^#k¼h i � b�h l�n�i#°�lJ�
^#b(�,e=c,eF��jd`/°�l(k,y�s#iJp=b�^;k/{��$�¡`��#c;kJa�b�c>�MnBk,^#l�b�c;nF`�s#b
� / 4 � 4 � ¦�i#^&qJ¥;kJ{ 6=c;k#^&`�k,aEb�b�l(nFkJj
8
( � ) =
� � (κ 0 � ) − �
(κ � )
� � º�L;�
��j#b8e=�;cJb�j#b s,b�^;kJb+�&`�c,`�aEb�l�cJe#n
κ 0 k
κ� e/pJb�n/kJj&^,eB��h�a��
c&kJh,� º;�/��´�s;b jJe#nF`�l�b�s&mF^Je>��h�eFs�kJl�e#^4h��#e/j#eFg#^#\£aEk%�
{,n}s#{#b�l h�{�h l�`�g#kJsMm�^;\<a4�Je�eJl�^Je#®8b�^#k;°�q�k,y�s#iJp=b�^;k#°¼��+j#^;`�qJe��;c#k � X � l `/qF��b4a$eJ��i#l]h�i � b�h l�n�e#nF`�l�m
h l�`�g#kJsMm�^;\<b�h e/sMkdl eJ^&\x�,c#k]j&kdh�q#cdb l�^&\<r6y ^;`�p=b�^#kd{#r
� �$ed�,c#b�jJb s,{#b a*\<r]h��Jb�¥;k;`�s&mF^#\£aEk�iJh�s&eJnFkd{da*k>�$l�k;�#`
e=g/h i,��j,b�^#^;\<r�n
`�y j��>���&c,kJa�b�^;kJl�b s&m/^JeBq�eJj#^#e/aEb�c#�
^#eJo�h�k,l�id`�¥;k#k��
� eJs#b�y�^Je �;cJeFh�s&b�j&kJl�m y ` nF\�n}eFj#eJaªi&qJ`�y `/^#^;\<r
h��,b�¥;k#`�s�m�^&\<r�iJh�s#e#nFk#o�n_º}Â�h�s&iJp#`�b,����`�h h�a�eFl�c#k#a
nF\ ^di=��j#b�^,^#e/b¢cJb�®8b�^;kJb�s�k#^#b�`�c#k,y eJnF`�^;^JeJ��e]idc;`�nF^db��
^&k/{¸�de=j]jJb�o#h�l�nFkJb�a¥;kJs�k#^,j&c#kJpJb�h�q#k§h�kdaEa�b�l c;kJp#^Je#o
nF^,b�®+^,b�oBe/h�¥;kJs;s&k;cJi#° � b�o!h�k#s&\ �
(ρ) 9 − % - & �#h eJh�cJb�j#e=�l eJpFb�^;^Je#oBn�g/sMkdy�k!^&`�p#`�s&`+qdeFe#cJj&k#^;`�l�n�a*`�s#e#o�e/g=s;`�h��
l�k_c;`�j&kJiJh�eJa � ∼ ρ � P
�21
(κ(
�
))
�£�#c;k%iJh�s#e#nFk#k���pJl e
�¯�,e=�;`�j&`�b�l(nB^Jb��;cJb�c,\ nF^,\�o�h��,b�qJl c�� � ) � �
�
�
Ψ +
�
º ∆Ψ −
�
º β∆ ∆Ψ =
�
(ρ)
� � º�M;�
�+a�b�{�¦�i#^&qJ¥;k&°76=c#k;^#`!� º0E;�/�&a�eJ�8b a6h�c;`�y i!y�`��;k#�
h�`}l m�eFh�¥&kds&s&k;cJi#° � i#°�pJ`�h�l m]nF\�^Ji,��j,b�^#^,eF��e4cJb�® b��
^&k/{��
Ψ à�á¢å ∼ ∫ � (
0
) � . ( � − ρ ��� H θ) � � (ρ)ρ � ρ � θ � ��½ � �
N�h�kJa*�#l�eJl�k#q#` ��½ � � ^#` gFeJs&mF®�kJr c#`�h�h l�e/{,^,kJ{#r
� � κ(
�
) X ) ����k,a$b�b�l¡n/kJj
Ψ à�á¢å
9 %;:��º
π√� ∫ � (ρ) $���� (−
. ρ � � H θ) ρ � ρ � θ =
= 9 % :��� ∫
∞ �
(ρ)� � ( . ρ)ρ � ρ
� ��½>���
��jJb � � ( - ρ)
³¶¦ i#^;q#¥#kd{ #*b�h h�b�sJ{¢^Ji#s#b�n�eJ��eC�,e=c/{#j&q,`,��+pJb�nFk,jd^,e��$p/l e�e/h�¥;kJs;sJ{&¥&k;k�k,h p/b y�`�°�l¡�#c,k�iJh�s&eJ�
nFk;k
∫�
∞
�
(ρ)� ( . ρ)ρ � ρ = � � ��½#º#�
� h�^Je>�$pJl�e�iJh�s&eJnFk,b���½dº,�+a�eJ�8b lBn/\��#e/sM^/{#l�m�h�{¢l�eFs�m��
qJe��#c&k ^Jb�qdeFl�edcdeFa%j#k#h�q#cJb�l�^de=a%^#`�g/e#cJb . � k#s;k �(���
� e#�JiJh�l�k,a l�b��,b�c#m,�¸pJl�e k#h�r#eJj&^JeJb ^Jb s�k#^,b�o,^#e/b
i#c&`�n/^Jb�^&kJb!� º;�F��j#e#�JiJh�q,`�b l�h e/sMkdl eJ^&^JeJb(c,b�®8b�^,k#b
Ψ# = Φ# (ρ) 9 − % - & � ��½J½&�
k,a$b�° � b b��wn/^#iJl�c#k]h��Js;e=®+^,eF��e¢h��Jb�qJl�c,`,��^,e¢^#b�kJy��
s;i=p#`�° � b�b+s�k#^#b�o#^;\<r¢c#`�h�r&e/jJ{ � k,r#h�{¢n}eFs�^>�
�8eFj#h�l�`�nFk,a ��½J½&��n±�#c#`/n�i#°�p#`�h�l�m i#c#`Fn/^Jb�^&k/{
� º?���/�*¤$e/��j&`�^#`!gJeFs�m�®(kdr4c&`�h�h l�e�{&^;k/{#r%�
κ � X ) �F��h
�,eFa�e � m�°�¦£i&^#q#¥;k#k 6#c#k#^;`�aEe/�(^Jexy�`��;kJh�`}l m�h�s#b��
j#i#° � b�b(�&cdb j#h�l�`�n�s#b�^&kdb��
Φ # ( � ) = ∫ 8
( � − ρ ��� H θ)��� Φ# (ρ) � ρ � ρ � θ
� ��½J¿&�
¤>b��,b�c#m8eJpFb�nFk,j&^Je>�=pJl�e¡c,`�j&k#`F¥,k#eJ^&^JeJb8�#e/s&b8n�j&`�s�k�e/l
h�e=s;k#l�e#^#`�k,h�pFb�y�^,b ld�Mb�h s;k
∫�
∞
� � Φ# (ρ) � � � ( . ρ)ρ � ρ = � � ��½#Á#�
´�e/eJl�^Je#®8b�^#k,b_��½#Á&�/��q,`�qukun%eFj&^,eFa�b�c#^,eFaxh�s&iJp#`�b,�
a�eF�+b�l+nF\��JeJs&^J{#l m}h�{�l�eJs&mFqde�j#sJ{Cj;kJh�q,cJb l�^JeJ��eB^&`�gJeJ�
c#`�n}e=y�aEeJ�+^;\<r . kJsMk��(�
�th�eJ�+`�s&b�^#k;°��E^;`�af^,b�kJy�n}b h�l�^Je�l eJp=^,eFbB`�^;`�s&k,l�k,�
pJb h�qJe/bcJb�®8b�^&kdb�jJs,{�h�e=s;k#l�e=^;`�n�q#`�qJeJo&�»s&k,gFe�º}Â
a�eFj#b�s�k>�$e#�#k#h�\�nF`�b�a�e=o�i#c#`/nF^Jb�^&kdb a_l�k&�#`�� º?�}�}�E�,eF~��
l�eFa�i¢a*\�^#b�a�eJ�8b a��;cJeJk#s#s�°�h�l�c#k&cdedn/`�l�m!k#h��JeJs&m}y eJ�
nF`�^;kJb�h�eFeJl ^,e=®�b�^#kd{%��½=Á;�/��q#`�q�~�l�e�g=\£s#e¢h�jJb s�`�^,e¢n
`}y�j��*�J�
tFÐ�� c Í�d�Í�eUf�h Í�d"e�Í(j�l�Ë�m�o�Ënq�fkl rkqJÏ�Ð Ñ�Ñ�ÑFÏZl Æ�Ð�t=Ïkuvt
�T��� ��W��x �W��;Y�
W�Y&W��&Z,Y&W��#Y�
W
�
�JV/Y&W�Y#Z#�
� eJh�s#b�eFgJh iJ�8j#b�^&k={�j#n}i#a$b�c&^dedo�h�kJl�i#`�¥&k;k�`�^#`}s&k,y
½  h�s&iJp#`�{�eJpFb�nFk,j#b�^>�x�8eF~�l e/aEi h�¦�e#cJa�iJsMk#cdi#b a
^#b�q#kJb¢n/\�n�eJj&\���h�n�{#y `/^#^;\<b�h�n�eJy a>eJ� ^,eFh�l�mF°zh�i � b��
h l�n�e#nF`�^,kJ{�g=b�y�\<y s#iJp#`�l�b s�m�^#e/��euj&k;^#`�a*k#p/b h�qJeJ��eth�e=�
sMkJl�e#^#`�idc,`�nF^,b�^#kd{Bl�k#�&`¡� º;�F�/�#��j,b
∆
³ l c,b r#a�b�c#^;\�o
sM`��,s&`�h�k&`�^��
"$`�qJe#^ j&k,h��db�cJh�k;k s&k;^Jb�o&^#\<r�qJeFs;b�g=`F^,k&o �,e=�
�&cJb��(^Jb�a�i4e#�#cJb�j#b�s#{#b�l�h�{f¦�e#cJa�i=s,edo � º/½�����`¢¦�i#^&qJ�
¥&kd{ 6=c;k#^&`,�#eJl�n�b�p=`F° � `�{C�,eFs;eF��kJl b�s&m/^#\�a]~�^Jb�c#��kd{da
� � ) � �/�MeJpJb�n/kJj&^#`���e=^;`B�#c,k&n}b j#b�^#`!n��+c#kJs;eF�+b�^#k;k
c&`�g/e=l�\���º#�����
8
( � ) =
�
¿
πβ
9 %C: � − $ −κ �
( - � + κ
�
) �
� ��½xE;�
��j#b(�;`�c#`�a�b l�c#\ . k
κ
y�`�j&`�^&\¨nF\�c#`��+b�^#kd{da�k�� º*F;���
��e#�Ji#h�l k,a �<p=l�e4i#c;`�nF^Jb�^;kJb4� º?����eFgJs&`�j#`}b l�h�eFs�k#�
l e#^#^;\<a¸cJb�®�b�^#k,b�a¸nFkdj&`!� � ) � �
Ψ# = Φ# ( � ) 9 − % - & � ��½xF;�
s&eJq#`�sMkdy e#nF`�^,^&\<a·n�eJg �;b a�b�h�c#`}jdk,iJh eJa �,e=cd{#j#q#`
� 1
(κ(
�
))
�&¤?eF��j#`+^#`�gFe/s&m ®�kJrCcJ`�h�h�l�e�{d^,k/{=r �
κ � ) ) ���
k#a�b�b a��&cJb�j#h�l `Fn}s#b�^&kJb,� `�^&`�s#eJ��k,pd^de=b§��½=¿��}�£`]kdaEb�^#�
^#e �
Φ# ( � ) = ∫ 8
( � − ρ ��� H θ) ��� Φ# (ρ) � H2J K θ � θ � ϕρ
� � ρ
�
��½xL;�
�+h l�`�n�s,{J{�l�eFs�m�qJe!e=h�¥;kJs&s;k&cJi#° � i#°up#`�h�l�m�¦�i#^;q#¥#k;k6dc#k,^&`,���,eFs;iJpd`�b�a�i#h�s#e#nFk/{�e/l h�iJl h�l�nFk/{c,`�j#k&`�¥;kJe#^#�
^#e/��eC�JeJsJ{¢n}j&`�s&k�eJl+h�eJs&k#l�ed^,`
∫�
∞
� � Φ # (ρ) �
H2J@K
( . ρ)
- ρ
ρ
� � ρ = � � ��½xM;�
´�eJeFl�^Je#®8b�^&kJb���½�M&�<a�eF��b l8nF\��JeJs&^d{#l�m�h�{¡l�eJs&mFq/e��&c,k
^#b�qJeFl�e=c,eFaxk,y�g#c#`�^;^JeJa�j;kJh�q,cJb l�^JeJaxc/{#j#b�y ^&`�pJb�^#k;o
n�b�sMkJp#k;^#\un�e/sM^dedn}eF��e�n�b�qJl�e#c#`!� kJs�k�n}b s&k,p=k;^#\ � �}�
¬�y�`�qdsM°£p=b�^#k,b¢b � b]c#`�y��#e/j#pJb�c#q,^Jb a���pFl�e4j&k;^#`��
a�k,pFb�h�q#k#b]h�eJs&k,l eJ^&\ h]p#`�h l�eJl `�a�k���k#s;k¨~�^,b�cd� k/{#a*k
� �/�Ms;b �+` � kJa*k¢n/^JiJl�c,k¢^,b��,cJb�c;\�nF^de=��e�h��#b�q/l�c#`¼~ s,b��
aEb�^,l `Fc#^,\�r n�eFy�gJiJ��j,b�^;k#o k#y�iJpd`�b�a�e=o h�k,h�l�b a*\��
aEeJ��iJl�h i � b h�l n�e#n/`�l�m�l�eJs&mFq/e4q#`�q6cJb�®8b�^;k/{4j&k,^&`�a*k#�
p=b�h�q#kJr�i#c#`�nF^,b�^,k&o>�#~�¦8¦ b�q/l�k;nF^de¡n/qJs&°�p#`�° � kJrCn/\<h��
®+i#°¨j&kJh��,b�cJh�k;°un+s�k#^,b�`�c#k,y�e#nF`�^;^Ji#°¨p#`�h l�m�idc;`�nF^db��
^;k#o��#´<s#e#n�eYQ/~�¦�¦�b�q/l�k;nF^JeTS8eJy�^#`�p#`�b l,�=pJl�e�¦�e#cJa*`�s�m��
^,e(e/l j#b�s&m/^#\<b+n�b�l�n/k�y `/qFe#^#` j&kJh��#b�cJh�k&k¼j=s,{ �fa�eJ��iJl
g#\<l�m q#nF`�j&c,`�l k,p#^#\<a*k��*eFj;^#`Fq/e4kJy�iJpd`�b�a�eJb��de=s,bB{&n/�
s,{db�l�h�{va*^JeJ��edqdeFa*�Je#^Jb�^#l�^#\<a·���#e/j#eJg=^,e�l�eJaEi>�Bq#`�q
i#�&cdi=��eFbu�JeJs#bkdaEb�b�l�^#b�y�`�nFkJh�k#a*\<b��;cJe/j#eJs&mF^#\<buk
�,e=�,b�cJb�p#^#\<b_qJeJaE�,e=^,b�^dl�\8�/��¬¹~�l�eJa�h s,i=p#`�b_k,h h�s#b��
j#iJb�a�`�{¹h�kJh�l b�a*`�h�l�eFp#q#kzy�cJb�^&k={À`�^#`�s&k,y k;cJiJb a�e#o
�;cJeFgJs#b�a*\¨~�¦8¦�b�qdl k&n/^Je�n�b�j#b�l+h b�g/{�q#`�q�eFj&^,e=qJe/a*�#eJ�
^,b�^Jl�^JeJb¢�JeJs#b,� ^Je6h�j#e#�JeJs&^&kdl b�s&mF^,\�auiJpJb l�eFa�nF\<h��
®8b�o�j&k,h��db�cJh�k;k>�N n}l eJc�gFs�`���eJj&`�cJb�^B[ �d[��#�eJ��j;`�^#i�k N��&´��
� e#n/`��
s;b�n}iBy�`��JeJs#b y�^;\<b+eJgFh�i#�8j#b�^,kJ{��
�E`}gFeJl `�n/\��JeJs&^,b�^#`��;c#k]¦8k&^,`�^#h�e=n}edo]�,eFj,j#b�cd� qdb
��eJaEk,l b�l `_�Jeu^#`�i&q/b%kul�b r&^;k#qJb � q#c#`Fk,^&\¶���&cJeJb�q/l
� º?�5¿��!�(E}½��/�
0¥ê ��ê�
~ê
��ó¥ôÆú¢øÔö��F" ��ê���ê ��øÆï��¡ó±ø " �¾ê�í¾ê ��ó¥ø¥ï¯÷�ú¢ø�" ²©�� � ¬¡©¢°!¬¡Ç�©ÒÔ¤��!¬±Ç�¬¥»¯·�»±Íά¥��¥©¯¬ ¬µ¤Ô®¯§(� ¼��¾�³¬¥»¯·��±¥©¯®¯£µ� ©���§�¤±¹¥¤��±¤¥Í¸�±¥©¯®¯£µ� ©®¢¤��±�³§�¤¥¬ Ç�"
�&ï¢õ ü±ó¥ø¥ïÃû±õ �
ü±ï�"
��ö ú¢ø ]�0¢ÿ�� ! _�� I¾ê
�vê��(àÔáãâ¯ä Û å¢æJ"�¾êJI�ê
¨ä±Ú�!±à±ä/"�Ú�!#"+I�ê#L�ê
�(à¥ä±ÚÔÜéâ¢äF" $�%'&¡¼($�) % ¼+*-,�&±¼�.<"�/10�2 # ¼3 "J0�4�0?]�0¢ÿ��65 _ ê�³ê��¾ê�
~ê���ó¥ô¢ú¢ø¥ö ��"�í¾ê³Ö�ê
í�ï¯ø¥ó¥î2�±ú2��ü±ó�"��ÃÂ87:9�O/"�; ! ;W]�0 ÿÔÿ¡ÿ _ ê! ê/I�ê�< ê ��ì¡ë>=±Ú¥ß�Ú�!#"@?�ê�?�ê/I�ß æ±Ø�â�" ÛÝâ¢äF" /-0�2 # ¼+*-,�&±¼
A O�9/" ! 56;��]�0«ÿ±ÿ�5 _ ê�³ê�I�ÜéâCB�Ú�!#"±â¯ë(< ê�� ì ëD= Ú¯ßJ" /E0�2 # ¼�*-,�&¡¼ A O�9F"J0�0�5F4 ]�0«ÿ±ÿ�5 _ ê5³ê#G³ê�H�Ú�!#IF"���ê}I�ê�� Ú±ÜÝà¥Ø�âC"J"³Ú�!#"KJÃê#G�ê���Ú¥ì±ùJ"#/10�2 # ¼L*�,�&�¼�MN, & & ¼O6P "#0«ÿ65�� ]�0¢ÿ¥ÿ±ÿ _ ê4�êN��ê+�¾ê \ ó���)�ü±ó¥ø�"
Q�ê
��ê;
¾ô¢î2��ó¥øÔô¢ü¡ö �J"
R¾ê
R�ê#.�ï¯ò�ü±ó�" SUT 7��
V#W "X5��F4 ]�0¢ÿ6;64 _�� ��ê I�ê8Y�à±ë¸áãæ ß±à¡äF"XZ�ê*I�ê\[�á¸è¸ë¸à¥ä±á¸ß]==" Ú�!]"
<�ê�<�êFH
Ú¯ù�ß à�" /�0�2 # ¼�M+, & & ¼L^ V QF"J0�;�; ]�0¢ÿ6;¥ÿ _ ê;�ê_��ê I¾ê\Y�à¥ëÎá¸æ¡ß à¥ä�Ú�!F"`Z ê*I¾êa[�á¸è¸ë¸à±ä¡á¸ß�=="b/-0�2 # % )CcUd P "?���6�]�0«ÿ6��0 _ ê�³ê��¾ê�
~ê���ó¥ô¢ú¢ø¥ö ��" SeT 7�� W�W O�" ! ��4 ]�0«ÿ±ÿ¥ÿ _ êÿ³ê�I¾ê�f�à.. à.. ß Ú�!#"@�~ê���ÚÆëËÜ á̧ á̧ à�!="hg�º & ¼�M(, & & ¼ WCO "J0 ! ÿ � ]�0«ÿ±ÿ ! _ ê
ibjlkNm n+jpo�q n�r@k�s
t�u
v�w�xyq z\r�k�{ q o|k(v�r@k�s�v�kNv+{ q v�n w(j
r#u�r#o>n+xKr\}�~ q z ~@w(j|n:tNnLs�q v�n�t���u�{ q v�n�w�j>q ��n�t
n �(��w�o�q k�v
�@�+���
�bkNr n �(q z(~
��æ�â��éâ¢Ú̄ ȩ̀ ì�ȩ̈ â¢á²àF��"]='!�Ú̄ Ø�Û å¢ÚÔÜ á̧ à±ÜÙÛ ȩ̀ à�!�á�Ûp!�!¡à6! Ü̈ Û ! â¢ÚÆë
á�=�á̧ è̈ â̄ Ø�á�àF��ä±Ú¥ëÎÛ à¥ì�á̀ " Û Ø�âC! áÎÛ à�!�ÚÔÜéÛÝè�=���æ ÛÝ墿 Ú̄ ë«â�"�â¢×
á̧ å¢ë«Ûp�±â�"K�]=K"³Ûp���éâ¢ȩ̈ â�!±è«Û ÚµÜ â��¡ì ÚÆèÎÛ à6!±á���Û èãæ�áãù ÚÆèÎÛ ÚÔÜ("±âÆëÎÛ ä±ÚÆ×
èÎÛ ä¡â¢á�à6�Ãȩ̀ æ�â��éà±ì±ë«è̈ ænà±ë>"�â¢ë�Ú¥ȩ̈ â�"³Û á̧ å̄ ì¡á̧ á̧ â�"
ê<KÐà6!]"!Û èÎÛ à]!±á
ÚÆȩ̈ â��éàÔëãØ�ì³ÜÝÚÆȩ̀ âC"�ì#!F"¡â̄ ë��¾æ³Û 墿�Ú~ȩ̈ Ú�"!Û Ú¥ȩ̀ ÛÝà�!³ÜÝâ¢á̧ á�á̧ à±ÜÙÛ è̈ à6!
å¢Ú�!�âCB³Û á̧ è¾Û !²ȩ̀ æ�â�å¢ÚÆá̧ â��¾æ�â¢ëÎâ�Û ȩ̀ á�Ûp!]! â¢ë-�éë«âC� ì±â�!±åC=�ÜÙÛ â¢á�Û�!
ȩ̀ æ¡ầ åÆà�!�ȩ̀ Ûp!±ì�à¥ì á�á̧ ù�â¢å¢ȩ̀ ȩ̈ ì�Ø�à6��æ±Ú¥ȩ̈ Ø�à�!³Û ågä Û � ëãÚÔȩ̀ Û à�!�á�à6�
ȩ̀ æ¡â á�=�á̧ è̈ â̄ Ølì#!6" â¢ë�å¢à�!�áÎÛ " â¢ëãÚÔȩ̀ Û à�!�ê���æ�â¢á̧ â�å̄ à�!#" ÛÝȩ̀ Û à�!�á¾ÚÆȩ̈ â
"�ì±âgè à�Ú̀ áãù±â̄ å̄ Û Ú¥ÜX�éà±ȩ̈ Ø à6�Ãè̈ æ�â�"!Û áãù â¢ȩ̈ á«ÛÝà�!uë«â̄ ÜÝÚÆèÎÛ à6!uà6�
ÜéÛ ! â¢Ú¥ë�ä Û ��ȩ̈ Ú̄ èÎÛ à]!±á̄ ê ��æ âÃù�Ú̄ ȩ̈ ÚÆØ�âÆè̈ â̄ ȩ̈ á�à6�*0¾1�á̧ à±ÜéÛÝè̈ à6!±á�å¢Ú�!
��â��éà±ì6!#"²ì�áÎÛ !FIÃȩ̀ æ�â�å¢à�!#"³Û èÎÛ à�! á��éà±ȩ̈ Ø�ì!Ü Ú̄ ȩ̀ âC"�ê
` a a b�a
c Í�d�Í�egfih�Í"d"e�Íkj�l�Ënmpo�Ë�q�f2lUr=qJÏ�Ð�Ñ Ñ�ÑJÏsl Æ�Ð(t#Ï2uvt tFÐ#�
|