Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника

Теоретически изучены линейные поверхностные и волноводные моды поперечно-магнитной поляризации, распространяющиеся в пластине слоистого сверхпроводника в однородном диэлектрическом окружении. Предполагается, что сверхпроводящие слои ортогональны поверхности пластины и волны распространяются поперек...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Апостолов, C.C., Гавриленко, В.И., Майзелис, З.A., Ямпольский, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129381
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 360-367. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-129381
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1293812018-01-20T03:03:48Z Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника Апостолов, C.C. Гавриленко, В.И. Майзелис, З.A. Ямпольский, В.А. К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица Теоретически изучены линейные поверхностные и волноводные моды поперечно-магнитной поляризации, распространяющиеся в пластине слоистого сверхпроводника в однородном диэлектрическом окружении. Предполагается, что сверхпроводящие слои ортогональны поверхности пластины и волны распространяются поперек слоев. Получены дисперсионные соотношения для симметричных и антисимметричных по магнитному полю мод. Показано, что в определенной области частот и волновых чисел дисперсия таких мод оказывается аномальной. Найдены условия, при которых групповая скорость таких мод обращается в нуль. Теоретично вивчено лінійні поверхневі і хвилеводні моди поперечно-магнітної поляризації, що поширюються в пластині шаруватого надпровідника в однорідному діелектричному оточенні. Передбачається, що надпровідні шари ортогональні поверхні пластини та хвилі поширюються поперек шарів. Отримано дисперсійні співвідношення для симетричних і антисиметричних по магнітному полю мод. Показано, що в певній області частот і хвильових чисел дисперсія таких мод виявляється аномальною. Знайдено умови, за яких групова швидкість таких мод звертається в нуль. Linear surface and waveguide modes with transverse magnetic polarization propagating in a slab of layered superconductor in a uniform dielectric environment are studied theoretically. It is assumed that the superconducting layers are orthogonal to the slab surface and the waves propagate perpendicular to the layers. Dispersion relations are obtained for modes that are symmetric and antisymmetric with respect to the magnetic field. It is shown that the dispersion of these modes is anomalous within a certain range of frequencies and wave numbers. The conditions under which the group velocity of these modes goes to zero are found. 2017 Article Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 360-367. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 74.72.–h, 74.50.+r, 74.78.Fk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129381 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
spellingShingle	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица Апостолов, C.C. Гавриленко, В.И. Майзелис, З.A. Ямпольский, В.А. Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника Физика низких температур
description	Теоретически изучены линейные поверхностные и волноводные моды поперечно-магнитной поляризации, распространяющиеся в пластине слоистого сверхпроводника в однородном диэлектрическом окружении. Предполагается, что сверхпроводящие слои ортогональны поверхности пластины и волны распространяются поперек слоев. Получены дисперсионные соотношения для симметричных и антисимметричных по магнитному полю мод. Показано, что в определенной области частот и волновых чисел дисперсия таких мод оказывается аномальной. Найдены условия, при которых групповая скорость таких мод обращается в нуль.
format	Article
author	Апостолов, C.C. Гавриленко, В.И. Майзелис, З.A. Ямпольский, В.А.
author_facet	Апостолов, C.C. Гавриленко, В.И. Майзелис, З.A. Ямпольский, В.А.
author_sort	Апостолов, C.C.
title	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_short	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_full	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_fullStr	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_full_unstemmed	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
title_sort	аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2017
topic_facet	К 100-летию со дня рождения И.М. Лифшица
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129381
citation_txt	Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника / C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 2. — С. 360-367. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT apostolovcc anomalʹnaâdispersiâpoverhnostnyhivolnovodnyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT gavrilenkovi anomalʹnaâdispersiâpoverhnostnyhivolnovodnyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT majzelisza anomalʹnaâdispersiâpoverhnostnyhivolnovodnyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika AT âmpolʹskijva anomalʹnaâdispersiâpoverhnostnyhivolnovodnyhmodvplastinesloistogosverhprovodnika
first_indexed	2025-07-09T11:16:30Z
last_indexed	2025-07-09T11:16:30Z
_version_	1837167849794174976
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2, c. 360–367 Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника C.C. Апостолов1,2, В.И. Гавриленко2, З.A. Майзелис1,2, В.А. Ямпольский1,2 1Институт радиофизики и электроники им. А.Я. Усикова НАН Украины ул. Академика Проскуры, 12, г. Харьков, 61085, Украина 2Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина E-mail: yam@ire.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 25 августа 2016 г., опубликована онлайн 26 декабря 2016 г. Теоретически изучены линейные поверхностные и волноводные моды поперечно-магнитной поляри- зации, распространяющиеся в пластине слоистого сверхпроводника в однородном диэлектрическом ок- ружении. Предполагается, что сверхпроводящие слои ортогональны поверхности пластины и волны рас- пространяются поперек слоев. Получены дисперсионные соотношения для симметричных и анти- симметричных по магнитному полю мод. Показано, что в определенной области частот и волновых чисел дисперсия таких мод оказывается аномальной. Найдены условия, при которых групповая скорость таких мод обращается в нуль. Теоретично вивчено лінійні поверхневі і хвилеводні моди поперечно-магнітної поляризації, що по- ширюються в пластині шаруватого надпровідника в однорідному діелектричному оточенні. Перед- бачається, що надпровідні шари ортогональні поверхні пластини та хвилі поширюються поперек шарів. Отримано дисперсійні співвідношення для симетричних і антисиметричних по магнітному по- лю мод. Показано, що в певній області частот і хвильових чисел дисперсія таких мод виявляється ано- мальною. Знайдено умови, за яких групова швидкість таких мод звертається в нуль. PACS: 74.72.–h Купратные сверхпроводники; 74.50.+r Туннельные эффекты; эффекты Джозефсона; 74.78.Fk Мультислои, сверхрешетки, гетероструктуры. Ключевые слова: слоистый сверхпроводник, поверхностные волноводные моды, поляризация. 1. Введение Материалы с аномальной дисперсией привлекают повышенное внимание после недавних наблюдений в них отрицательного преломления микроволн [1] и тео- ретического предсказания возможности так называемой идеальной фокусировки света [2]. Часто отправным пунктом в исследовании отрицательного преломления считается работа Веселаго 1967 [3], хотя понимание сути этого явление было достигнуто Мандельштамом еще в 1940-х годах [4], подробнее см. обзор [5]. Первые метаматериалы с отрицательным преломле- нием представляли собой субволновые структуры, об- ладающие одновременно отрицательными диэлектриче- ской и магнитной проницаемостями (см., например, [6]). К сожалению, такие структуры, во-первых, требуют специальных методов изготовления, а во-вторых, не являются полностью субволновыми, страдают из-за сильной пространственной дисперсии и могут приво- дить к значительным потерям при совпадении магнит- ного и электрического резонансов (см., например, [7]). Другой способ создания метаматериала с отрицатель- ным преломлением состоит в изготовлении одноосной анизотропной структуры, в которой продольная и попе- речная компоненты тензора диэлектрической прони- цаемости имеют разные знаки [8,9]. Такие материалы более привлекательны с практической точки зрения, поскольку более просты в изготовлении в сравнении с упомянутыми ранее субволновыми структурами, к тому же в отсутствие отрицательной магнитной проницаемо- сти не возникает дополнительных потерь, связанных с совпадением резонансов. В качестве материала с отрицательным преломле- нием могут выступать высокотемпературные сверх- © C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский, 2017 Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника проводники (подробнее см. [10,11]), представляющие собой слоистую структуру с сильной одноосной анизо- тропией, например, кристаллы Bi2Sr2CaCu2O8+δ или YBa2Cu3O7–δ. Продольная abε и поперечная cε ком- поненты тензора диэлектрической проницаемости та- ких сред могут иметь разные знаки в широком диапа- зоне частот, приводя к отрицательному преломлению и аномальной дисперсии электромагнитных волн. Экс- периментальные исследования проводимости поперек слоев, т.е. вдоль кристаллографической оси c (см., на- пример, [12]), показали, что сверхпроводящие слои в таких структурах электродинамически связаны за счет внутреннего эффекта Джозефсона. Электромагнитные возбуждения в такой сильно анизотропной плазме, так называемые джозефсоновские плазменные волны, воз- никают на частотах терагерцевого диапазона, перспек- тивного с точки зрения различных приложений в фи- зике, химии, астрономии, системах безопасности, медицинской диагностике, контроле окружающей сре- ды (см., например, [13,14] и ссылки внутри). Как и волны в обычной плазме, джозефсоновские плазменные волны распространяются при частотах, превышающих пороговую частоту [13] — джозефсо- новскую плазменную частоту Jω . В работах [11,15,16] было показано, что вдоль границы раздела слоистый сверхпроводник–вакуум, как и вдоль границы обычной плазмы, могут распространяться поверхностные коле- бания — джозефсоновские поверхностные плазменные волны. Однако, в отличие от обычной плазмы, поверх- ностные волны в слоистых сверхпроводниках могут распространяться с частотами не только ниже, но и выше плазменной частоты [11]. Аналогично поверхностным волнам в полубесконеч- ном слоистом сверхпроводнике, в пластинах слоистого сверхпроводника также могут распространяться волны, которые локализованы на пластине и затухают вне ее при удалении от поверхности. В зависимости от струк- туры электромагнитного поля этих волн мы будем гово- рить либо о поверхностных модах, если поле затухает в глубь пластины, либо о волноводных модах, если поле осциллирует внутри нее. В работе [17] теоретически изучены такие волны для случая, когда сверхпроводя- щие слои параллельны граням пластины. В настоящей работе мы рассматриваем собственные локализованные электромагнитные волны в пластине, сверхпроводящие слои которой перпендикулярны ее границам. Вследст- вие анизотропии слоистого сверхпроводника дисперсия мод в такой геометрии будет зависеть от направления их распространения. Мы сконцентрируем внимание на волнах, распространяющихся перпендикулярно слоям, поскольку в этом случае, во-первых, мы будем наблю- дать аномальную дисперсию волн, и, во-вторых, мы можем ограничиться рассмотрением волн с поперечно- магнитной (TM) поляризацией, что существенно упро- стит решение задачи. Предсказание в такой системе аномальной дисперсии говорит о возможности отрица- тельного преломления поверхностных волн, распро- страняющихся вдоль поверхности пластин. Статья построена следующим образом. Во втором разделе обсуждается постановка задачи и определяются зависимости компонент электромагнитного поля от ко- ординат и времени в пластине слоистого сверхпроводни- ка и в окружающем пространстве. В конце этого раздела выведены дисперсионные соотношения для изучаемых собственных мод TM-поляризации. В третьем разделе проводится подробный анализ полученных дисперсион- ных соотношений. Последний раздел посвящен опреде- лению диапазонов параметров, при которых наблюдает- ся аномальная дисперсия собственных мод. 2. Распределение электромагнитного поля 2.1. Постановка задачи Рассмотрим пластину слоистого сверхпроводника толщины L, слои которого перпендикулярны ее граням. Пластина помещена в диэлектрик с диэлектрической проницаемостью .dε Система координат выбрана сле- дующим образом: оси x и y направлены параллельно слоям сверхпроводника, перпендикулярно и параллель- но поверхностям пластины соответственно, а ось z со- направлена c кристаллографической осью с. Поверхно- стям пластины соответствуют плоскости = /2.x L± Геометрия задачи схематично изображена на рис. 1. Объектом изучения являются собственные электро- магнитные моды TM поляризации c частотой ω , рас- пространяющиеся вдоль пластины с продольной компо- нентой волнового вектора \|\|k строго перпендикулярной слоям сверхпроводника. Магнитное и электрическое поля в такой волне представляются в виде \|\|( , , , ) = {0, ( ),0}exp( ),x y z t H x ik z i t− ωH \|\|( , , , ) = { ( ),0, ( )}exp( ).x zx y z t E x E x ik z i t− ωE (1) Рис. 1. (Онлайн в цвете) Геометрия задачи. Волна с продоль- ной компонентой волнового вектора k\|\| распространяется вдоль пластины слоистого сверхпроводника толщины L, по- мещенной в диэлектрик с проницаемостью εd. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 361 C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский Обратим внимание на то, что в силу симметрии за- дачи относительно плоскости = 0x собственные моды также обладают симметрией. В данном случае мы мо- жем искать решение задачи в виде симметричных и антисимметричных по магнитному полю мод. 2.2. Поля в диэлектрике Как уже упоминалось во Введении, электромагнит- ное поле искомой волны затухает в диэлектрике при удалении от поверхности пластины, т.е. волна локали- зована вблизи пластины. Уравнения Максвелла дают следующие выражения для компонент электромагнит- ного поля: \|\|( ) = exp[ ( / 2)],x d d ck E x h k x L± ± + ωε  ( ) = exp[ ( / 2)],d z d d ick E x h k x L± ± + ωε   (2) ( ) = exp[ ( / 2)],dH x h k x L± ± + где верхний индекс + или − подразумевает верхнее ( > /2)x L или нижнее ( < /2)x L− полупространство, заполненное диэлектриком, параметр 2 2 2 \|\|= / > 0d dk k c− ω ε (3) определяет скорость убывания электромагнитного поля при удалении от пластины, h+ и h− — амплитуды маг- нитного поля на верхней и нижней гранях пластины соответственно, c — скорость света. В силу симметрии задачи =h h+ − для симметричных и =h h+ −− для ан- тисимметричных по магнитному полю мод. 2.3. Поля в пластине слоистого сверхпроводника При определении полей в слоистом сверхпроводнике мы будем считать пространственный масштаб измене- ния поля вдоль оси z существенно большим периода структуры. Это позволяет перейти к континуальному пределу и использовать привычное волновое уравнение для векторного потенциала (см., например, [19]): 2 2 2 4grad div = ,s cc t ε ∂ π − ∆ − + ∂ AA A J (4) где A — векторный потенциал, J — плотность тока, sε — диэлектрическая проницаемость в промежутках между сверхпроводящими слоями. Векторный потен- циал связан с электрическим E и магнитным H поля- ми стандартными соотношениями: 1= rot , = , c t ∂ − ∂ AH A E (5) скалярный потенциал предполагается равным нулю. Плотность тока вдоль слоев имеет ту же природу, что и в массивных сверхпроводниках, и может быть опи- сана в терминах лондоновской модели: 2 2= , = , 4 4 x x y y ab ab c cJ A J A− − πλ πλ (6) где abλ — лондоновская глубина проникновения маг- нитного поля поперек слоев. Ток поперек слоев опре- деляется эффектом Джозефcона и связан с калибро- вочно-инвариантной разностью фаз параметра порядка ϕ между соседними сверхпроводящими слоями: = sin .z cJ J ϕ (7) Здесь cJ — максимальная плотность джозефсоновско- го тока. Отметим, что компонента zE электрического поля может вызывать нарушение электронейтральности сверхпроводящих слоев, что приводит к дополнитель- ной, так называемой емкостной, связи между ними. Этой связью можно пренебречь в тех случаях, когда мал параметр емкостной связи 2= / ,D sR sdα ε где DR — дебаевский радиус экранировки (см. работу [20], в кото- рой получено дисперсионное уравнение для джозефсо- новских плазменных волн с учетом емкостной связи). Согласно теоретическим оценкам для кристаллов Bi2Sr2CaCu2O8+δ величина α ∼ 0,05–0,1. Эксперимен- тальные исследования [21,22] показали, что емкостная связь может оказывать влияние на распространение только продольных волн с волновым вектором, направ- ленным поперек слоев. В рассматриваемой же здесь задаче о распространении волн вдоль пластины можно пренебречь нарушением электронейтральности сверх- проводящих слоев, и записать соотношение между век- торным потенциалом и разностью фаз в следующем виде: 0= , 2zA d Φ − ϕ π (8) где 0 = /c eΦ π  — квант магнитного потока. Обычно электромагнитные поля TM поляризации в слоистом сверхпроводнике находятся с помощью ре- шения системы связанных синусоидальных уравнений Гордона для калибровочно-инвариантной разности фаз ϕ (см., например, [13]). Эта система в континуальном пределе эквивалентна уравнению (4) с материальными соотношениями (6), (7) и (8), на которые мы и опира- емся в дальнейших вычислениях. Для линейных волн разность фаз мала, \| \| 1,ϕ  , и слагаемое sin ϕ в урав- нении (7) может быть заменено на ϕ. Тогда волновое уравнение (4) становится линейным и электромагнит- ные поля в пластине слоистого сверхпроводника (при \| \| < /2)x L могут быть представлены в виде 362 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника even odd( ) = cos sin ,s s sH x h k x h k x+ \|\|( ) = ( ),s s x ab ck E x H x ε ω (9) even odd( ) = [ sin cos ]s s z s s c ick E x h k x h k x− ε ω , где индексы «even» и «odd» обозначают четную и не- четную по магнитному полю компоненты электромаг- нитных полей как функции x относительно середины пластины = 0;x sk — поперечная по отношению к оси x проекция волнового вектора, 2 2 \|\|2 2= ,c c s ab k k c ε ε ω − ε (10) 1/2= (8 / )J c sedJω π ε — джозефсоновская плазменная частота, d — толщина диэлектрических слоев, e — элементарный заряд. Продольная abε и поперечная cε компоненты тензора эффективной диэлектрической про- ницаемости слоистого сверхпроводника, = =xx yy abε ε ε и = ,zz cε ε определяются следующим образом: 2 2 2 2 2 2( ) = , ( ) = ,ab s c s ab c c c ε ω ε − ε ω ε − λ ω λ ω (11) где введена в рассмотрение 1/2= /( )c J scλ ω ε — глуби- на проникновения магнитного поля вдоль слоев. 2.4. Дисперсионные соотношения для симметричных и антисимметричных мод Для вывода дисперсионных соотношений нам необ- ходимо записать условия непрерывности тангенциаль- ных компонент электромагнитного поля на границах пластины. Как уже было сказано, система обладает симметрией относительно плоскости = 0,x что приво- дит к симметричности/антисимметричности собствен- ных мод. В этом случае нам достаточно использовать непрерывность поля только на верхней грани пластины, ( = /2) = ( = /2),sH x L H x L+ ( = /2) = ( = /2),s z zE x L E x L+ (12) и условие четности odd= , = 0,h h h− + (13) или нечетности even= , = 0,h h h− +− (14) магнитного поля. В результате получаем систему линейных алгебраи- ческих уравнений для определения неизвестных ампли- туд полей. Определитель этой системы должен равнять- ся нулю, что дает нам дисперсионные соотношения 2(1 ) = tg ( )d s s − εκ − Ω κ Λ κ (15) для симметричных по магнитному полю и 2( 1) = ctg( )d s s − εκ Ω − κ Λ κ (16) для антисимметричных собственных мод. Здесь мы ввели безразмерные параметры, 2 2 2 2= = ( 1)[1 /(1 / )],s s ckκ λ Ω − + κ − Ω γ 2 2 1 2 \|\|= = , = ,d d c abk k−κ λ γ κ − ε Ω κ λ (17) = , = , = , = . 2 c s J c ab d L λ εω Ω Λ γ ε ω λ λ ε Эти два дисперсионных соотношения могут быть объ- единены в одно: 2 2 11 ( 1) ( 1) = ctg (2 ). 2 d s s s d − − − εκ κ Ω − − Ω − κ Λ κ εκ  (18) 3. Анализ дисперсионных соотношений Мы начнем анализ дисперсионных соотношений (15) и (16) с определения областей параметров, в кото- рых изучаемые волны являются либо поверхностными, либо волноводными модами. Поверхностные моды, которым соответствует 2 < 0,sκ могут существовать только с частотами ниже джозефсоновской плазмен- ной частоты, < 1.Ω (19) Волноводные моды 2( > 0)sκ существуют как при час- тотах ниже ,γ 1 < < ,Ω γ (20) так и при более высоких частотах в области 2> 1.Ω γ κ + (21) Область над световой линией =Ω εγκ запрещена, поскольку величина dκ в уравнении (3) должна быть вещественной, т.е. частота волноводных мод ограни- чена следующим условием: <Ω εγκ . (22) Обратим внимание на то, что в случае, когда проницае- мость sε диэлектрических слоев в пластине меньше проницаемости dε окружающего диэлектрика, т.е. при < 1,ε высокочастотная область (21) для волноводных мод оказывается запрещенной благодаря условию (22). Промежуточная область частот Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 363 C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский 2< < 1γ Ω γ κ + (23) является запрещенной, поскольку в этой области sκ принимает мнимые значения, и дисперсионные соот- ношения (15) и (16) становятся неразрешимыми. На рис. 2 представлены дисперсионные кривые, описываемые уравнениями (15) для симметричных (сплошные линии) и (16) для антисимметричных (штриховые линии) собственных мод. Серой заливкой обозначены запрещенные области. В дальнейшем анализе мы будем предполагать, что параметр анизотропии γ достаточно велик, 1,γ  например, 100γ  для Bi2Sr2CaCu2O8+δ. Это означает, что область (21) высокочастотных мод соответствует очень высоким частотам, при которых может разру- шаться сверхпроводимость. Для таких больших γ мы ограничимся исследованием только низкочастотной области (20) с частотами .Ω γ В конце раздела мы кратко обсудим область частот Ω γ для слоистых сверхпроводников с не очень сильной анизотропией, например, 5γ  для YBa2Cu3O7–δ. Также мы будем предполагать, что внешнее окружение не слишком оптически плотное, 1,−ε γ т.е. .d sε γε 3.1. Поверхностные моды, < 1Ω В области < 1Ω дисперсионные соотношения (15) и (16) определяют кривые, поведение которых качест- венно отличается. Кривая, соответствующая антисимметричным соб- ственным модам (см. штриховую кривую на рис. 3 и в области < 1Ω на рис. 2), начинается в точке с = 0Ω и = 0,κ монотонно возрастает при увеличении κ и стремится асимптотически к = ,∞Ω Ω где 2 2 11 . 2 ∞Ω ≈ − γ ε (24) Здесь и далее приближенное равенство ≈ обозначает асимптотическое выражение, справедливое в условиях сильной анизотропии, при 1.γ  Дисперсионная кривая для антисимметричных мод при малых значениях 1κ  может быть описана как функция ( )κ Ω в явном виде, 2 22 2( ) = ( 1 ).cth 1 Ω Ω κ Ω ε + Λ − Ω γε − Ω (25) При 1κ  это выражение также приближенно описы- вает дисперсионную кривую, но оказывается недоста- точно точным, если нам важно отклонение кривой от = 1Ω . Для той части кривой, где Ω близко к 1, более точной является следующая асимптотика: 2 2 2 1( ) = 1 , .∞ ∞ ∞ α Ω κ Ω − α ≈ κ γ ε (26) Кривая, соответствующая симметричным собствен- ным модам (см. сплошную кривую на рис. 3), также начинается в точке с = 0Ω , = 0κ и ведет себя при малых 1,κ  как 2 22 2( ) = ( 1 ),th 1 Ω Ω κ Ω ε + Λ − Ω γε − Ω (27) а при достаточно больших /κ γε Λ — как функция (26). Однако ее поведение в промежуточной области качественно зависит от безразмерной толщины пла- стины Λ. Если толщина пластины относительно мала, 1< ,Λ Λ где Рис. 2. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые Ω(κ) для симметричных (сплошные линии, уравнение (15)) и анти- симметричных (штриховые линии, уравнение (16)) собствен- ных мод. Параметры: γ = 5, ε = 4, Λ = 1. Рис. 3. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые Ω(κ) для симметричных (сплошная кривая) и антисимметричных (штриховая кривая) собственных мод, расположенных в об- ласти Ω < 1 и частично в области Ω > 1. Горизонтальные пря- мые соответствуют Ω = 1 (сплошная прямая) и Ω = Ω∞ (штри- ховая прямая), где Ω∞ определяется уравнением (24). На вертикальных осях частота Ω отсчитана от 1 (основная панель) и от Ω∞ (вставка), а также нормирована на 1/ε2γ2. Параметры: γ = 5, ε = 4, Λ = 8,5 (основная панель) и Λ = 12 (вставка). 364 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника ( )2 1 2 1 1 = , 22 1 − γ − ε γε Λ ≈ γ − + ε (28) то дисперсионная кривая для симметричных мод рас- полагается не только в частотной области поверхност- ных волн, < 1,Ω а частично заходит в область более высоких частот, > 1,Ω где она описывает волновод- ную моду (см. сплошную кривую на главной панели рис. 3). При этом она пересекает прямую = 1Ω дваж- ды: первый раз при 0= ,κ κ 2 0 2 2 2 2 , 4 Λ + ε κ ≈ γε + γ ε − Λ (29) когда ( )Ω κ возрастает, а второй раз при 0= ,κ κ′ 2 2 2 0 4 2 γε + γ ε − Λ κ ≈′ Λ , (30) где ( )Ω κ убывает. Если же толщина пластины принимает достаточно большие значения, 1> ,Λ Λ то дисперсионная кривая для симметричных мод полностью лежит в области по- верхностных волн, > 1.Ω При значениях толщины меньших определенного критического значения, 2< ,Λ Λ ≈ βγε где постоянная = 0,706... ,β дисперси- онная кривая имеет точки максимума и минимума (см. вставку к рис. 3). Если же 2> ,Λ Λ то дисперсионная кривая становится монотонной и при Λ → ∞ сливается с кривой, соответствующей поверхностным антисим- метричным модам. Последнее обстоятельство легко объясняется с физической точки зрения: при такой большой толщине пластины поля, локализованные вблизи разных ее поверхностей, не взаимодействуют друг с другом, и пластину можно рассматривать как полубесконечный образец. Такие поверхностные моды изучались в работе [18]. Обратим внимание на то, что изучаемые дисперсион- ные кривые при значениях Ω близких к 1, \| 1 \| 1,Ω −  могут быть описаны следующим единым асимптотиче- ским выражением: 2 2 2 2 1( ) = 1 ( 1) ( 1) I  γεκΩ κ −   Λ κ + Λ κ +   , (31) где функция [ ]I y — это обратная функция к th / ,x x т.е. th = ,xI x x      (32) для симметричных и к cth / ,x x cth = ,xI x x      (33) для антисимметричных собственных мод. Если толщина Λ имеет порядок ,γε то выражение (31) описывает дисперсионную кривую при всех 1/ .κ γε 3.2. Волноводные низкочастотные моды, Ω γ Все дисперсионные кривые, соответствующие вол- новодным низкочастотным модам (кроме участка дис- персионной кривой для симметричной моды, описан- ной в предыдущем подразделе), начинаются на свето- вой линии 1/2=Ω ε γκ в точках = ,nΩ Ω 2= ( /2 ) 1, 1n n nΩ π Λ + ≤ γΛ . (34) Здесь = 1,2,3,n  нумерует кривые снизу вверх, при- чем нечетные номера, = 1,3,5,n  , соответствуют ан- тисимметричным собственным модам, уравнение (16), а четные, = 2,4,6,n  , — симметричным, уравнение (15). Вблизи световой линии кривые возрастают с ростом κ, и их асимптотическое поведение при 1κ  может быть описано следующей формулой: 2 2 2 2( ) = ( 1). 1 JΩ Ω κ Ω ε + Λ Ω − γε Ω − (35) Здесь n-й дисперсионной кривой соответствуют значе- ния частоты в интервале 1< ,n n+Ω ≤ Ω Ω а функция ( )J x периодична, ( /2) = ( ),J x J x+ π и определена на периоде как ( ) = tg , при 0 < /2J x x x≤ π . (36) Дисперсионные кривые убывают и стремятся к = 1Ω при больших .κ → ∞ Асимптотическое поведе- ние n-й кривой вблизи = 1,Ω при 2 1 1/ ,Ω − εγ (37) таково: 2 2 ( /2 )( ) = 1 1 n nπ Λ Ω κ + κ + . (38) Однако в промежуточной области, вдали как от свето- вой линии, так и от частоты = 1,Ω 2 1 1/ , 1,γ Ω − εγ κ   (39) предыдущее выражение должно быть подкорректиро- вано следующим образом, 2 2 [ ( 1)/2 ]( ) = 1 1 n nπ + Λ Ω κ + κ + . (40) Видно, что в промежуточной области (39) асимптоти- ка n-й дисперсионной кривой (40) совпадает с асимпто- тикой (38) для (n + 1)-й кривой в области больших κ (37). На рис. 4 показаны дисперсионные кривые (сплош- ные линии), соответствующие уравнениям (15) и (16), и их асимптотики (штриховые линии), описываемые Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 365 C.C. Апостолов, В.И. Гавриленко, З.A. Майзелис, В.А. Ямпольский уравнением (40), в частотном диапазоне .Ω γ Кру- жочки отмечают приближенные положения точек мак- симума (подробнее см. разд. 4). 3.3. Высокочастотные дисперсионные кривые, Ω γ В этом подразделе мы кратко обсудим свойства дисперсионных кривых при 1.Ω γ  Кривые ( )nΩ κ начинаются на световой линии в точках = nΩ Ω в об- ласти < ,Ω γ 3 2 2 2 2= , при ,n n n γ Λ Ω γ − γΛ π ε  (41) и в точках = nΩ Ω в области 2> 1Ω γ κ + , 2 2 2 21 = 1 , при 0 . 21 n n n −  γ π Ω + ≤ γΛ  Λ γ ε − ε   (42) Дисперсионные кривые в области <Ω γ ведут себя качественно так же, как кривые ( ),nΩ κ описанные в предыдущем подразделе: возрастают вблизи световой линии, согласно уравнению (35), а затем убывают в области 1 /nκ γΛ по закону 3 2 2 2 2 2( ) = .n n γ Λ Ω κ γ − κ π (43) Дисперсионные кривые в области 2> 1Ω γ κ + монотонно возрастают. Напомним также, что эти кри- вые существуют только в случае > 1.ε 4. Аномальная дисперсия В предыдущем разделе показано, что волноводные моды характеризуются аномальной дисперсией в опре- деленном диапазоне волновых чисел, где < 0,n∂Ω ∂κ (44) (см., например, уравнения (38), (40) и (43)). При произ- вольном значении частоты в интервале 1 < <Ω γ и достаточно далеко от световой линии, при 1,κ  мож- но представить выражение для n-й дисперсионной кривой в виде 2 2 2 2 2 [ /2 ( )] ( ) = 1, ( 1) n n nγ − Ω π + α Ω κ Ω − γ Ω − Λ (45) 2 2 2 2 1 ( ) = arctg .n ε γ − Ω Ω − α Ω Ω Точки максимума на дисперсионных кривых, в кото- рых групповая скорость собственных волн обращается в нуль, могут быть найдены решением следующей сис- темы уравнений: ( , ) = 0, ( , ) = 0,D D∂ κ Ω κ Ω ∂κ (46) где 2 1( , ) = (1 ) tg ( ),d s s D εκ κ Ω − − κ Λ κΩ (47) для симметричных по магнитному полю мод (см. урав- нение (15)), и 2 1( , ) = 1 ctg( )d s s D εκ κ Ω − + κ Λ   κΩ , (48) для антисимметричных мод (см. уравнение (16)). Исключая из уравнений (46) члены с тригонометри- ческими функциями, можно свести систему к полино- миальному уравнению, например, кубическому урав- нению относительно 2 2 1 2= ,d −κ γ κ − ε Ω 2 2 2 2 2[ (1 ) ]( ) =d d −κ ε − Λε − Ω κ γ − Ω (49) 2 2 2 2 2 2 1= [ ( ) ][ (1 )].d d −ε γ − Ω − Λκ Ω κ + γ − Ω − ε В предположении, что частота не слишком близка к l или γ, и что толщина пластины не слишком велика, 2 2 31 1 , / ,Ω − γ Λ γ ε Ω  (50) можно привести уравнение (49) к виду 2 2 3 2= . ( 1) d γ Ω κ Λε Ω − (51) Его решение может быть записано в форме 2/32 2 max 2 ( ) = . ( 1)  Ω γ εκ Ω ε +  εγ ΛΩ Ω −   (52) Рис. 4. (Онлайн в цвете) Дисперсионные кривые Ω(κ) для низ- кочастотных волноводных мод (сплошные линии), расположен- ные в области 1 < Ω << γ, и асимптотические кривые, заданные уравнением (40) (штриховые линии). Кружочками отмечены приближенные положения точек максимума, определяемые уравнениями (52) и (53). Параметры: γ = 100, ε = 10, Λ = 1. 366 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника Линия, определяемая данной функцией, ограничивает область max> ( ),κ κ Ω в которой наблюдается ано- мальная дисперсия. Эта линия пересекает дисперсион- ные кривые в точках максимума. В условиях (50), точ- ки максимума расположены при частотах Ω равных max 2= [ ( 1)/2 ] 1, .n n nΩ π + Λ + Λγ (53) Соответствующие значения волновых чисел могут быть найдены из уравнения (52). На рис. 4 кружочками изображены приближенные положения точек макси- мума, определяемые уравнениями (52) и (53). 5. Заключение В настоящей работе теоретически изучено распро- странение собственных электромагнитных волн вдоль пластины слоистого сверхпроводника, слои которого перпендикулярны поверхности пластины. Определены дисперсионные соотношения для волн ТМ поляризации, распространяющихся строго перпендикулярно слоям. Показано, что при частотах ниже джозефсоновской плазменной частоты, < ,Jω ω в пластине могут распро- страняться поверхностные моды, поля которых затуха- ют по мере удаления от поверхностей пластины как в глубь окружающей диэлектрической среды, так и в глу- бину пластины, а при более высоких частотах, > ,Jω ω в пластине могут распространяться волноводные моды, поля которых осциллируют внутри пластины. Главным результатом работы является предсказание аномальной дисперсии поверхностных и волноводных мод в пла- стине слоистого сверхпроводника, что обеспечивает возможность наблюдения явлений, аналогичных из- вестным эффектам в левосторонних (lefthanded) средах. Найдены условия наблюдения аномальной дисперсии в диапазоне частот 1/2< / ,J ab scω ω λ ε а также условия обращения в нуль групповой скорости поверхностных и волноводных мод. 1. R.A. Shelby, D.R. Smith, and S. Schultz, Science 292, 77 (2001). 2. J.B. Pendry, Phys. Rev. Lett. 85, 3966 (2000). 3. В.Г. Веселаго, УФН 92, 517 (1967). 4. K.B. Мандельштам, ЖЭТФ 15, 475 (1945). 5. В.М. Агранович, Ю.Н. Гартштейн, УФН 176, 1051 (2006). 6. V.M. Shalaev, Nature Photonics 1, 41 (2007). 7. H.O. Moser, B.D.F. Casse, O. Wilhelmi, and B.T. Saw, Phys. Rev. Lett. 94, 063901 (2005). 8. O.V. Ivanov and D.I. Sementsov, Crystallogr. Rep. 45, 487 (2000). 9. J.B. Pendry, Science 306, 1353 (2004). 10. A.L. Rakhmanov, V.A. Yampol’skii, J.A. Fan, F. Capasso, and F. Nori, Phys. Rev. B 81, 075101 (2010). 11. V.A. Golick, D.V. Kadygrob, V.A. Yampol’skii, A.L. Rakhmanov, B.A. Ivanov, and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 104, 187003 (2010). 12. R. Kleiner and P. Müller, Phys. Rev. B 49, 1327 (1994). 13. S. Savel'ev, V.A. Yampol'skii, A.L. Rakhmanov, and F. Nori, Rep. Prog. Phys. 73, 026501 (2010). 14. X. Hu and S.-Z. Lin, Supercond. Sci. Technol. 23, 053001 (2010). 15. S. Savel'ev, V. Yampol'skii, and F. Nori, Phys. Rev. Lett. 95, 187002 (2005). 16. V.A. Yampol’skii, D.R. Gulevich, S. Savel’ev, and F. Nori, Phys. Rev. B 78, 054502 (2008). 17. T.M. Slipchenko, D.V. Kadygrob, D. Bogdanis, V.A. Yampol'skii, and A.A. Krokhin, Phys. Rev. B 84, 224512 (2011). 18. Yu.O. Averkov, V.M. Yakovenko, V.A. Yampol’skii, and F. Nori, Phys. Rev. B 87, 054505 (2013). 19. С.И. Ханкина, В.М. Яковенко, В.А. Ямпольский, ФНТ 38, 245 (2012) [Low Temp. Phys. 38, 193 (2012)]. 20. Ch. Helm and L.N. Bulaevskii, Phys. Rev. B 66, 094514 (2002). 21. R. Kleiner, F. Steinmeyer, G. Kunkel, and P. Müller, Phys. Rev. Lett. 68, 2394 (1992). 22. S. Rother, Y. Koval, P. Müller, R. Kleiner, D.A. Ryndyk, J. Keller, and C. Helm, Phys. Rev. B 67, 024510 (2003). Anomalous dispersion of the surface and waveguide modes in plate of layered superconductor S.S. Apostolov, V.I. Havrilenko, Z.A. Маizelis, and V.A. Yampol’skii The linear surface and waveguide modes of trans- verse magnetic polarization propagating in the plate of the layered superconductor placed in a homogeneous dielectric environment are theoretically studied. It is assumed that the superconducting layers are orthogo- nal to the plate surface and the waves propagate across the layers. The dispersion relations for the symmetric and antisymmetric modes by the magnetic field are de- rived. It is shown that the dispersion of these modes is anomalous in a certain range of frequencies and wave numbers. The conditions of vanishing the mode group velocity are found. PACS: 74.72.–h Cuprate superconductors; 74.50.+r Tunneling phenomena; Josephson effects; 74.78.Fk Multilayers, superlattices, heterostructures. Keywords: layered superconductor, surface and wave- guide modes, polarization. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 2 367 1. Введение 2. Распределение электромагнитного поля 2.1. Постановка задачи 2.2. Поля в диэлектрике 2.3. Поля в пластине слоистого сверхпроводника 2.4. Дисперсионные соотношения для симметричных и антисимметричных мод 3. Анализ дисперсионных соотношений 3.1. Поверхностные моды, 3.2. Волноводные низкочастотные моды, 3.3. Высокочастотные дисперсионные кривые, 4. Аномальная дисперсия 5. Заключение

Аномальная дисперсия поверхностных и волноводных мод в пластине слоистого сверхпроводника

Репозитарії

Схожі ресурси