К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
На основе фундаментального уравнения Дирака поставлена и аналитически решена задача о спектре электронов в квазидвумерном пространстве (например, интерфейсы, гетероструктуры, поверхности). Показано, что использование для решения уравнения Дирака метода унитарных преобразований либо метода спиновых...
Збережено в:
Дата: | 2017 |
---|---|
Автори: | , |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2017
|
Назва видання: | Физика низких температур |
Теми: | |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129421 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов / А.А. Еремко, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 456-470. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-129421 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1294212018-01-20T03:03:16Z К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов Еремко, А.А. Локтев, В.М. Низкоразмерные и неупорядоченные системы На основе фундаментального уравнения Дирака поставлена и аналитически решена задача о спектре электронов в квазидвумерном пространстве (например, интерфейсы, гетероструктуры, поверхности). Показано, что использование для решения уравнения Дирака метода унитарных преобразований либо метода спиновых инвариантов приводит к тождественным результатам. Найдены собственные биспиноры уравнения Дирака и продемонстрировано, как возникает их разнообразие, обеспечиваемое произвольностью направления оси квантования спинового момента. Рассмотрены особенности поведения электронов в параболической квантовой яме. Спираючись на фундаментальне рівняння Дірака, поставлено і аналітично розв’язано задачу щодо спектра електронів у квазідвовимірному просторі (наприклад, інтерфейси, гетероструктури, поверхні). Показано, що використання для розв’язку рівняння Дірака методу унітарних перетворень або методу спінових інваріантів призводить до тотожніх результатів. Знайдені власні біспінори рівняння Дірака та продемонстровано, як виникає їх різномаїття, яке забеспечується довільністю напрямку осі квантування спінового моменту. Розглянуто особливості поведінки електронів у параболічній квантовій ямі. The problem of the electron spectrum in a quasi-two-dimensional space (such as interfaces, heterostructures, and surfaces) is set up and analytically solved based on the fundamental Dirac equation. It is demonstrated that using the unitary transformation method and the method of spin invariants to solve the Dirac equation leads to identical results. The eigen bispinors of the Dirac equation are found, and the way in which their diversity arises due to the arbitrariness of the spin-quantization axis direction is demonstrated. The features of electron behavior in a parabolic quantum well are considered. 2017 Article К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов / А.А. Еремко, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 456-470. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 03.65.Pm, 71.70.Ej, 73.21.Fg, 73.22.Dj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129421 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Еремко, А.А. Локтев, В.М. К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов Физика низких температур |
description |
На основе фундаментального уравнения Дирака поставлена и аналитически решена задача о спектре
электронов в квазидвумерном пространстве (например, интерфейсы, гетероструктуры, поверхности). Показано, что использование для решения уравнения Дирака метода унитарных преобразований либо метода спиновых инвариантов приводит к тождественным результатам. Найдены собственные биспиноры
уравнения Дирака и продемонстрировано, как возникает их разнообразие, обеспечиваемое произвольностью направления оси квантования спинового момента. Рассмотрены особенности поведения электронов
в параболической квантовой яме. |
format |
Article |
author |
Еремко, А.А. Локтев, В.М. |
author_facet |
Еремко, А.А. Локтев, В.М. |
author_sort |
Еремко, А.А. |
title |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
title_short |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
title_full |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
title_fullStr |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
title_full_unstemmed |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
title_sort |
к теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов |
publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
publishDate |
2017 |
topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129421 |
citation_txt |
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов / А.А. Еремко, В.М. Локтев // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 3. — С. 456-470. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
series |
Физика низких температур |
work_keys_str_mv |
AT eremkoaa kteoriisobstvennyhspinovyhsostoânijispinorbitalʹnogovzaimodejstviâkvazidvumernyhélektronov AT loktevvm kteoriisobstvennyhspinovyhsostoânijispinorbitalʹnogovzaimodejstviâkvazidvumernyhélektronov |
first_indexed |
2025-07-09T11:25:07Z |
last_indexed |
2025-07-09T11:25:07Z |
_version_ |
1837168402881314816 |
fulltext |
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3, c. 456–470
К теории собственных спиновых состояний и спин-
орбитального взаимодействия квазидвумерных
электронов
А.А. Еремко, В.М. Локтев
Институт теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова НАН Украины
ул. Метрологическая, 14-б, г. Киев, 03143, Украина
Национальный технический университет Украины «КПИ», пр. Победы, 37, г. Киев, 03056, Украина
E-mail: vloktev@bitp.kiev.ua
Статья поступила в редакцию 29 июля 2016 г., опубликована онлайн 24 января 2017 г.
На основе фундаментального уравнения Дирака поставлена и аналитически решена задача о спектре
электронов в квазидвумерном пространстве (например, интерфейсы, гетероструктуры, поверхности). По-
казано, что использование для решения уравнения Дирака метода унитарных преобразований либо мето-
да спиновых инвариантов приводит к тождественным результатам. Найдены собственные биспиноры
уравнения Дирака и продемонстрировано, как возникает их разнообразие, обеспечиваемое произвольно-
стью направления оси квантования спинового момента. Рассмотрены особенности поведения электронов
в параболической квантовой яме.
Спираючись на фундаментальне рівняння Дірака, поставлено і аналітично розв’язано задачу щодо
спектра електронів у квазідвовимірному просторі (наприклад, інтерфейси, гетероструктури, поверхні).
Показано, що використання для розв’язку рівняння Дірака методу унітарних перетворень або методу
спінових інваріантів призводить до тотожніх результатів. Знайдені власні біспінори рівняння Дірака та
продемонстровано, як виникає їх різномаїття, яке забеспечується довільністю напрямку осі квантування
спінового моменту. Розглянуто особливості поведінки електронів у параболічній квантовій ямі.
PACS: 03.65.Pm Релятивистское волновое уравнение;
71.70.Ej Спин-орбитальное взаимодействие, зеемановское и штарковское расщепление, эффект
Яна–Теллера;
73.21.Fg Квантовые ямы;
73.22.Dj Одночастичные состояния.
Ключевые слова: уравнение Дирака, спиновые состояния, спин-орбитальное взаимодействие, расщепле-
ние Рашбы.
1. Введение
В 1960 г. Э.И. Рашба, изучая движение электронов в
областях неоднородности кристаллического потенциа-
ла, показал, что в этом случае спин-орбитальное взаи-
модействие (СОВ) приобретает специфическую форму
[1]. Отмеченная неоднородность возникает, к примеру,
на границах раздела двух полупроводников либо в
сверхтонких металлических слоях, когда нарушается
пространственная симметрия относительно операции
инверсии. Следствием такого СОВ служит расщепле-
ние энергий одноэлектронных состояний (эффект, или
расщепление, Рашбы) для их (электронов) спинов,
имеющих разные проекции относительно направления
волнового вектора (см. также [2]). Упомянутое расще-
пление, которое появляется в обратном пространстве,
коренным образом отличается от снятия вырождения
тех же состояний по направлению спина внешним
магнитным полем, имеющем место в пространстве
энергий. Наличие расщепления Рашбы свидетельству-
ет, что спин квазидвумерных (квази-2D) электронов
прямо связан с их импульсом, становясь «плохим», т.е.
не сохраняющимся, квантовым числом, что присуще,
прежде всего, релятивистским частицам.
Если точнее, то собственными состояниями оказы-
ваются состояния со спином, направленным перпенди-
кулярно вправо и влево от направления движения в
© А.А. Еремко, В.М. Локтев, 2017
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
отличие от спиральных состояний свободных частиц, в
которых спин параллелен импульсу. Не будет преуве-
личением сказать, что именно работа [1] заложила
фундамент современного направления микроэлектро-
ники, которое в 1996 г. получило название спинтрони-
ки и которое основано на возможности управления
«плоским» движением заряженных частиц (электро-
нов, дырок), благодаря наличию у них спина, а не за-
ряда. Устройства, которые допускают манипулирова-
ние спином внешним электрическим полем, позволяют
осуществлять спиновый контроль всевозможных про-
цессов, запись и считывание информации и вообще
исследовать любой спин-зависимый транспорт. Теперь
вопросы спинтроники относятся не только к физике
(включая физику низких (гелиевых) температур, по-
скольку зачастую изучение соответствующих явлений
проводится при сверхнизких (милликельвиновых) тем-
пературах), но и к технике (см., например, [3–6]).
Как известно, описание СОВ в виде Рашбы обычно
опирается на уравнение Шредингера, полученное из
уравнения Дирака (УД) в качестве нерелятивистского
предела последнего, и вследствие этого содержащее
слагаемые, которые имеют порядок малости 1c− либо
2c− (c — скорость света в вакууме). Одним из них яв-
ляется поправка Томаса, получившая название опера-
тора СОВ (см. учебники [7,8]) и долгие годы считав-
шаяся однозначно определенной. Исследования
последнего времени [9,10] обнаружили, однако, что
УД для электронов в квантовых ямах (КЯ) содержит и
некоторые другие решения, роль которых в физике
конденсированного состояния, насколько известно,
ранее не анализировалась. А это важно, так как такие
решения (или, другими словами, электроны в этих со-
стояниях) могут проявлять несколько иной вид СОВ.
Следует отметить, что утверждение о вариативности
решений УД и попытки их поиска можно найти в ра-
ботах по релятивистской квантовой элктродинамике
(см. [11]), но без отнесения их (решений) к каким-либо
физическим ситуациям.
В работе [9], наоборот, рассмотрена достаточно акту-
альная физическая задача о поведении релятивистских
электронов в гетероструктурах либо в КЯ и показано,
что для них дираковский гамильтониан коммутирует,
как минимум, с тремя так называемыми спиновыми
операторами, получившими название спиновых инвари-
антов [12]. Это обстоятельство позволило найти три
линейно независимые собственные решения УД, лишь
одному из которых соответствует СОВ, известное как
СОВ Рашбы, а два других имеют отличную от послед-
него форму.
В работе [10] та же задача решалась без какого бы
то ни было привлечения спиновых инвариантов, одна-
ко аналитически найденное общее решение УД, зави-
сящее от некоторых произвольных параметров, для их
отдельных значений точно сводилось к выписанным в
[9] решениям. Само решение при этом удалось получить
с помощью, в известной степени, постулированного
унитарного преобразования, несколько отличающегося
от стандартного преобразования Фолди–Вутхайзена,
которое обычно применяется для диагонализации га-
мильтониана Дирака (см. [7,8]). В связи с этим ниже
предпринята попытка, во-первых, последовательного
решения или нахождения собственных спиновых со-
стояний УД и прояснение их физической природы, а во-
вторых, аргументации того, что оба использованных в
работах [9,10] способа поиска решений УД являются
эквивалентными и их выбор определяется лишь сооб-
ражениями удобства. Мы также рассчитываем энерге-
тический спектр и спиновое распределение электронов в
параболической КЯ, которые меняются по сравнению с
ямой прямоугольной формы, исследованной в работах
[9,10]. Заранее также заметим, что ради простоты и кон-
кретности изложения мы, как и в предыдущих работах,
ограничиваемся внешним потенциалом, характерным
именно для квази-2D частиц, или частиц в квази-2D
структурах, хотя и исследуем применительно к ним
УД, переходя к нерелятивистскому («твердотельно-
му») приближению на основе анализа полученных
точных решений, а не из решения приближенного, раз-
ложенного по степеням 1c− УД.
2. Метод унитарных преобразований
Хорошо известно, что стационарное УД для частиц
массы m во внешнем потенциале ( )V r имеет вид
2 ˆˆˆ ˆ ( ) = ,c V I mc E + + β Ψ Ψ αp r (1)
где «вектор» ˆ ˆ= j jj α∑α e задан в некоторой системе ко-
ординат с ортами je ( = , ,j x y z ), компоненты ˆ jα и β̂ —
4 4× матрицы Дирака (МД), Î — единичная матрица,
ˆ = i− ∇p — оператор импульса, а ( )Ψ r — четырех-
компонентная функция координат (биспинор).
В уравнении (1) МД, как правило, используются в
представлении Дирака–Паули (или в стандартном
представлении), согласно которому
2
2
ˆˆ0 0ˆˆ = , = ,
ˆˆ 0 0
j
j
j
I
I
σ
α β σ −
(2)
где 2̂I — единичная 2 2× матрица, а
0 1 0 1 0
ˆ ˆ ˆ= , = , =
1 0 0 0 1x y z
i
i
−
σ σ σ −
(3)
— матрицы Паули, которые изначально предполагают
выделенность оси z , ибо только ей отвечает диаго-
нальная матрица.
Как отмечалось, будем рассматривать случай, когда
потенциал ( )V r изменяется только в одном направле-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 457
А.А. Еремко, В.М. Локтев
нии, которому отвечает предполагаемая неоднород-
ность пространства. Если направить ось z вдоль этого
направления, то внешний потенциал в (1) как функция
координат сведется к равенству ( ) = ( )V V zr . Тогда со-
стояние частицы с определенным значением 2D им-
пульса = = ( )x x y yk k⊥ ⊥ +p k e e в плоскости xy зада-
ется функцией
( ) = exp ( ( )) ( ),x yi k x k y z
⊥
Ψ + Ψk r (4)
подстановка которой в УД (1) дает
( )ˆ ( )DH z zΨ ≡
2 ˆˆˆ ˆ ( ) ( ) = ( ),z
di c c V z I mc z E z
dz ⊥ ⊥
≡ − α + + + β Ψ Ψ
k α
(5)
где ˆ ˆ ˆ= x x y y⊥ α +αα e e , а гамильтониан ˆ ( )DH z отвечает
одномерному движению частицы в потенциале ( )V z ,
когда ее свбодное движение в плоскости xy задано
оператором 2 ˆˆ mc⊥ ⊥ + βk α .
Матричное уравнение (5) для биспинора
( )1 2 3 4( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Tz z z z zΨ ψ ψ ψ ψ , определенного в (4),
нетрудно представить в явном виде для компонент
( )j jzψ ≡ ψ :
2
1 2 3 3
2
2 1 4 4
2
3 4 1 1
2
4 3 2 2
e ( ) = ,
e ( ) = ,
e ( ) = ,
e ( ) = ,
i
i
i
i
i c c k mc V z E
i c c k mc V z E
i c c k mc V z E
i c c k mc V z E
− ϕ⊥
⊥
ϕ⊥
⊥
− ϕ⊥
⊥
ϕ⊥
⊥
′− ψ + ψ − − ψ ψ
′ψ + ψ − − ψ ψ
′− ψ + ψ + + ψ ψ
′ψ + ψ + + ψ ψ
(6)
где штрих здесь и ниже обозначает дифференцирова-
ние по z — /j jd dz′ψ ≡ ψ . При записи этих уравнений
использована следующая параметризация вектора ⊥k :
= cosxk k⊥ ⊥ϕ , = sinyk k⊥ ⊥ϕ , 2 2= x yk k k⊥ + .
Выше говорилось, что система (6) допускает точные
решения, отвечающие различным спиновым состояни-
ям квази-2D электронов. Действительно, преобразуем
УД (5), записав биспинор ( )zΨ в виде
†ˆ( ) = ( ),z U z⊥Ψ Ψ (7)
где унитарный оператор
ˆ ˆ= exp =
2
U i ⊥
⊥ ⊥ ⊥
ϑ
Γ e
( )
( )
( )
2
2
22
2
ˆ ˆ1= ,
ˆˆ2
mc I c
c mc Imc
⊥ ⊥
⊥ ⊥⊥ ⊥
ε +
− ε + ε ε +
k σ
k σ
(8)
содержит дисперсию
( ) 2 4 2 2 2 2 2 2= , = x ym c c k k k k⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ε ≡ ε + +k (9)
свободного 2D движения релятивистской частицы.
Легко проверить, что матрица Û⊥, в которой оператор
ˆˆ ˆ= i⊥ ⊥βΓ α , будучи преобразованием Фолди–Вудхайзена
для такого движения, частично диагонализует оператор
ˆ ( )DH z в (5), «убирая» в нем недиагональную матрицу
ˆ⊥ ⊥k α , при условии, что = / = cos xk⊥ ⊥ ⊥ ⊥ϕ +e k e
sin y⊥+ ϕ e и tg = /k mc⊥ ⊥ϑ .
Это означает, что УД для «нового» биспинора ( )zΨ
приобретает вид (ср. (5))
ˆ ( ) ( ) = ( ),DH z z E zΨ Ψ (10)
†ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) = ( ) = ( ) .D D z
dH z U H z U i c V z I
dz⊥ ⊥⊥ − α + ε β+
(11)
Важно, что если теперь матричное уравнение (10) за-
писать как систему четырех уравнений для компонент
jψ биспинора ( )zΨ , то она в отличие от системы (6)
для jψ распадается на две не связанные между собой
пары уравнений, одна из которых объединяет компо-
ненты 1ψ и 3ψ , а другая — 2ψ и 4ψ :
( )
( )
3 1 1
1 3 3
' = ,
' = ,
i c V E
i c V E
⊥
⊥
− ψ + + ε ψ ψ
− ψ + − ε ψ ψ
(12)
( )
( )
4 2 2
2 4 4
' = ,
' = ,
i c V E
i c V E
⊥
⊥
ψ + + ε ψ ψ
ψ + − ε ψ ψ
(13)
что по сути и обеспечивает их точное аналитическое
решение. При этом ясно, что обе пары собственных
функций систем (12) и (13) должны находиться при
выполнении общей нормировки биспинора ( )zΨ .
Покажем, что спиновая переменная фактически со-
держится в уравнении (10). Для этого рассмотрим его в
области постоянного потенциала ( ) = = constV z V (та-
кое допущение справедливо, в частности, для прямо-
угольных КЯ, включая несимметричные). В этом слу-
чае решение уравнения (10) можно найти в полной
аналогии с решением уравнения (5) путем использова-
ния унитарной матрицы
( ) ( )
1ˆ =
ˆ ˆ2
zU
⊥
×
ε ε + ε k k
( )
( )
2
2
ˆˆ ˆ ˆ
,
ˆˆˆ ˆ
z z
z z
I cp
cp I
⊥
⊥
ε + ε σ ×
−σ ε + ε
k
k
(14)
в которой величина
( ) ( )2 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ= , = /z z zc k k p⊥ ⊥ε ≡ ε ε +k k (15)
является оператором свободного одномерного — вдоль
z — движения релятивистской частицы с «энергией
покоя» ( )⊥ ⊥ε k , играя, до некоторой степени, роль соб-
458 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
ственной энергии. При этом недиагональные элементы
матрицы ˆ zU гласят, что такое движение сопровождается
перепутыванием операторов (ср. (8)) пространственной
и спиновой переменных. В целом, преобразование (14)
есть не что иное, как составляющая некоторого полного
преобразования типа Фолди–Вудхайзена, которое в
данном случае осуществляется в два этапа.
Непосредственное применение оператора (14)
преобразует УД (10) в уравнение для биспинора
( ) ˆ( ) =FW
zz UΨ Ψ с гамильтонианом
†ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ= ( ) =FW z D zH U H z U βε :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ = ,FW FW FW
FWH z z E V zΨ ≡ βεΨ − Ψ
(16)
решение которого ввиду диагональности МД β̂ (см.
(2)) имеет мультипликативный вид
( ) ( )( ) = .FW z zΨ ψ Φ (17)
Здесь ( )zψ — собственная функция оператора ˆ zε , т.е.
( )ˆ ( ) = ( ),z zεψ ε ψk (18)
причем собственное значение ( )ε k , как видно из опре-
деления (15), зависит от всех компонент волнового
вектора k .
Второй сомножитель в (17), функция Φ , оказывает-
ся при этом не зависящим от пространственной коор-
динаты z биспинором, который задается матричным
уравнением ˆ( ) = ( )E Vε βΦ − Φk , или в явной форме:
( )2
2
ˆ 0
= ,
ˆ0
u u
d d
I
E V
I
χ χε
− χ χ−ε
(19)
что естественным образом предполагает существова-
ние двух не зависимых спиноров — верхнего uχ и
нижнего dχ и вводит в теорию дискретную перемен-
ную, отвечающую, как известно, механическому мо-
менту частиц (спину). Иными словами, мы приходим к
заключению, что собственными биспинорами уравне-
ния (19) являются = ( 0)Tu uΦ χ и = (0 )Td dΦ χ , в ко-
торых, необходимо подчеркнуть, спиноры uχ и dχ
следует считать произвольными. Последнее, в частно-
сти, означает, что они никоим образом не «привязаны»
к исходной координатной системе xyz и могут иметь
оси квантования, отличные от z , в том числе, что так-
же нетривиально, и разные между собой*. Тем самым
решение УД (по крайней мере, для случая квази-2D
электронов) обладает внутренним произволом, если
говорить об осях квантования спинового момента час-
тиц (а также античастиц). Речь идет, на наш взгляд, о
принципиальном обстоятельстве, которое, насколько
известно, ранее оставалось вне поля зрения при поиске
решений УД для задач разного характера. Уместно
лишь напомнить, что выбор соответствующих систем
координат и осей квантования должен диктоваться
физическими условиями, как то: минимумом энергии,
присутствием полей и т.п.
Если же продолжить решение УД, то собственным
биспинорам uΦ и dΦ будут соответствовать собствен-
ные значения
( )= .E V− ±ε ≡ ±εk (20)
Это видно из того, что выражение (15) содержит лишь
оператор 2ˆ zp ; следовательно, собственной функцией
оператора ˆ( )ε k будет именно собственное решение
одномерного уравнения Лапласа
2( ) = ( ),zz k z′′−ψ ψ
откуда с учетом определения (9) находим, что искомая
энергия приобретает окончательный вид
( ) ( )2 4 2 2 2 2= ,zm c c k⊥ε + +k k (21)
приведенный в работе [10]. В результате, решениями
УД (16) оказываются биспиноры
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0
= , = ,
0
FW FWu
d
z
z z
z+ −
ψ χ
Ψ Ψ ψ χ
(22)
для состояний с положительной и отрицательной энер-
гией ε соответственно (20).
Найденные биспиноры позволяют с помощью ис-
пользования обратных унитарных преобразований (14)
и (8) восстановить собственные функции уравнения
(10), а затем и (5):
( )† ( )ˆ( ) = ,FW
zz U zΨ Ψ
( )† † † ( )ˆ ˆ ˆ( ) = ( ) = .FW
zz U z U U z⊥ ⊥Ψ Ψ Ψ
Тем самым математическая задача нахождения собст-
венных функций и собственных значений УД исчерпа-
на, поскольку все составляющие унитарных матриц Û⊥
и ˆ zU , а также биспиноры ( )( )FW zΨ известны. При
этом биспиноры (22) ортогональны и характеризуются
квантовым числом «+» или «−», однако не могут счи-
таться такими, что полностью задают состояние, кото-
рое с физической точки зрения должно также содер-
жать информацию о спиновой переменной. Способам
ее задания посвящен следующий раздел.
* Как будет видно ниже, предположение о квантовании спина в той же системе координат xyz приводит лишь к одному
решению УД, СОВ в котором имеет форму СОВ Рашбы.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 459
А.А. Еремко, В.М. Локтев
3. Выбор и параметризация спиновых состояний
Спиновое состояние частицы можно задать с помо-
щью собственных значений коммутирующего с гамиль-
тонианом ˆ ( )DH z (см. (5)) спинового оператора, для кото-
рого функция (4) также является собственным
биспинором. Во Введении упоминалось: имеется не-
сколько таких (некоммутирующих друг с другом) спино-
вых инвариантов, поэтому выбор конкретного спинового
базиса тоже остается произвольным, что обязано нали-
чию вырождения относительно направления спина и по-
зволяет использовать спинорный базис, отвечающий
произвольной ориентации спина в пространстве.
Как было показано выше, решение УД (5) свелось к
уравнению (16) с гамильтонианом ˆ FWH , поэтому спи-
норы uχ и dχ в (22) можно определить так, чтобы би-
спиноры ( )FW
±Ψ были собственными и для какого-либо
спинового оператора, коммутирующего с ˆ FWH . В ка-
честве такового естественно, на наш взгляд, выбрать
спиновую матрицу
ˆ 0ˆ =
ˆ0
σ
Σ
σ
(23)
и считать, что в общем случае проекция Σ̂e спинового
момента на произвольно направленный единичный
вектор
= sin cos sin sin cosx y zθ ϕ+ θ ϕ+ θe e e e (24)
есть не что иное, как ось квантования спина. Тогда,
подставляя биспиноры (22) в уравнение ˆ =± ±Ψ σΨΣe
,
находим, что имеют место соотношения:
( ) ( ) ( )ˆ ˆ0
= = ,
ˆ0 0 0 0
u u uz z zψ χ ψ χ ψ χ
σ
σe σe
σe
( ) ( ) ( )
0 0 0ˆ 0
= = ,
ˆˆ0 d d dz z z
σ ψ χ ψ χ ψ χ
σe
σeσe
откуда следует, что спиноры uχ и dχ должны быть
собственными функциями матрицы
cos e sin
ˆ ˆ= = ,
e sin cos
i
i
s
− ϕ
ϕ
θ θ
θ − θ
σe (25)
удовлетворяющими, в свою очередь, уравнению
ˆ =s σ σχ σχ с = 1σ ± .
Его решением с точностью до общего фазового
множителя, которым мы здесь и далее пренебрегаем,
является ортонормированная пара
( ) ( )
/2 /2
1 1
/2 /2
e cos e sin
2 2, = , , = ,
e sin e cos
2 2
i i
i i
− ϕ − ϕ
−
ϕ ϕ
θ θ −
χ θ ϕ χ θ ϕ
θ θ
(26)
в которой углы θ и ϕ (см. (24)) определяют, как было
принято, направление оси квантования в системе xyz,
причем аргументы обоих спиноров (26) могут быть
нагружены, вообще говоря, индексами «u» и «d» в со-
ответствии с их присутствием в (22). Таким образом,
собственные биспиноры, или решения УД, становят-
ся зависимыми не только от квантового числа σ , но
и являются функциями углов θ и ϕ. Их нет в исход-
ном УД (1) и последующих унитарных преобразова-
ниях, которые фиксированы в системе координат
,xyz но, с другой стороны, не видно физических при-
чин a priori полагать, что исходная ось z с необхо-
димостью является осью квантования собственного
механического момента частиц.
В то же время хорошо известно, что путем поворота
системы координат один спинорный базис может быть
трансформирован в другой, что осуществляется уни-
тарным оператором
ˆ ˆ= exp ,
2
U i Σ
Σ
ϑ
Σe
2= , = 1,x x y y z zγ + γ + γe e e e e (27)
в котором 2
= , , = 1jj x y zγ∑ , и который в явном виде
представлен как матрица
ˆ ˆ ˆ= cos sin =
2 2
U I iΣ Σ
Σ
ϑ ϑ
+ Σe
2
2
ˆ ˆcos sin 0
2 2=
ˆ ˆ0 cos sin
2 2
I i
I i
Σ Σ
Σ Σ
ϑ ϑ +
≡
ϑ ϑ +
σe
σe
ˆ 0
.
ˆ0
ω
≡ ω
(28)
Нетрудно убедиться, что ее диагональный элемент
ˆ ˆ= exp[ ( /2) ]i Σω ϑ σe — это оператор бинарного спинор-
ного преобразования, в котором параметры Кейли–
Клейна [13] могут быть выражены через параметры
оператора (27). Выберем последние так, чтобы опера-
ция рассматриваемого поворота совмещала исходную
систему координат с собственной системой координат
спина, т.е. такой, одна из осей которой совпадает с его
осью квантования. Другими словами, осуществим пре-
образование
†ˆ ˆ ˆ =U UΣΣΣe
† †
† †
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ0 0 0 0
= = ,
ˆˆ0 0ˆ ˆ ˆˆ0 0
s
s
ω ω ω ω ω ω ω ω
σe
σe
460 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
где использовано определение (25), и потребуем, что-
бы выполнялось условие*
† 1 0
ˆ ˆˆ = .
0 1
s
ω ω −
(29)
Поскольку, как следует из (28),
( )
( )
cos sin sin
2 2 2ˆ =
sin cos sin
2 2 2
z x y
x y z
i i i
i i i
Σ Σ Σ
Σ Σ Σ
ϑ ϑ ϑ + γ γ − γ
ω ≡
ϑ ϑ ϑ γ + γ − γ
,∗ ∗
α β
≡ −β α
то видно, что матрица ω̂ непосредственно задается
параметрами Кейли–Клейна α и β, 2 2| | | | = 1α + β .
В частности, при = exp( /2)cos ( /2)iα − ϕ θ и
= exp( /2)sin ( /2)iβ − ϕ θ условие (29) выполняется.
Таким образом, получаем, что матрица
( )
/2 /2
/2 /2
e cos e sin
2 2ˆ ˆ , =
e sin e cos
2 2
i i
i i
− ϕ − ϕ
ϕ ϕ
θ θ
ω ≡ ω θ ϕ
θ θ −
(30)
преобразует собственные спиноры (26) матрицы (25) в
собственные спиноры матрицы (29), каковыми являются
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1
1 0
0,0 0 = , 0,0 0 = .
0 1− −
χ ≡ χ χ ≡ χ
(31)
Фактически они совпадают со спинорами ( , )σχ θ ϕ (26)
при = = 0θ ϕ . Как видно, связь спиноров (26) и (31)
обеспечивается соотношением
( ) ( ) ( )ˆ, = , 0 ,σ σχ θ ϕ ω θ ϕ χ
которое позволяет переписать биспиноры (22) в виде
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
, ,
ˆ= | 0 ,FW FW FWz z U zΣ± ± σ ± σΨ →Ψ Ψ
где биспинор ( )( )
, | 0FW z± σΨ содержит спиноры (31),
определенные, как говорилось, в собственной системе
координат. В результате, с учетом (27) выражения (22)
приобретает форму
( ) ( )( )
,
ˆ (0)
= ,
0
FW z
z σ
+ σ
ψ ωχ
Ψ
( ) ( )
( )
,
0
= ,ˆ (0)
FW z
z− σ
σ
Ψ ψ ωχ
(32)
включающую свободные параметры через зависимость
от них оператора ω̂ (см. (30)).
4. Собственные биспиноры уравнения Дирака
Дальнейшее рассмотрение проведем на примере
биспиноров, соответствующих положительным энер-
гиям (см. (20)), поэтому индекс «+» будем опускать.
Тогда с учетом (32) и явного вида оператора (14) най-
дем биспинор
( ) ( )† ( )ˆ= =FW
zz U zσ σΨ Ψ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ˆ
ˆ 0
ˆ2 ˆ 0
= ,
ˆˆ ˆ 0ˆ 0
ˆ ˆ2
z
z
z z d
z z
z
u z
cp zz
⊥
σ
σ σ
σ σ
σ
⊥
ε + ε
ψ ωχ
ε ωχ = σ ω χ ψ ωχ
ε ε + ε
v
(33)
который есть не что иное, как решение УД (10). Здесь
введены обозначения
( ) ( ) ( )
( )
( )ˆ ˆ
= , =
ˆ2 ˆ ˆ2
z z
z z z
cpu z z z z⊥
σ σ
⊥
ε + ε σ
ψ ψ
ε ε ε + ε
v
(34)
для функций, получающихся как результат действия
соответствующих операторов на функцию ( )zψ (см.
(17)), учтено очевидное равенство ˆ (0) = (0)z σ σσ χ σχ и
определена матрица
( )
/2 /2
/2 /2
e cos e sin
2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ, = = ,
e sin e cos
2 2
i i
d d z z
i i
− ϕ − ϕ
ϕ ϕ
θ θ −
ω ≡ ω θ ϕ σ ωσ
θ θ
(35)
позволяющая несколько иначе записать нижний спи-
нор биспинора (33), чем и объясняется использование
для нее (матрицы) индекса «d». Поскольку при этом
матрица ω̂ «вращает» исключительно верхний спинор,
ниже мы припишем ей индекс «u», т.е. ˆ ˆ uω→ω . При-
мечательно, что спиноры биспинора (33) при одном и
том же повороте осей испытывают действие неиден-
тичных унитарных операторов — ˆ uω (30) и ˆ dω (35).
В итоге, биспинор (33) можно переписать в виде
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ˆ 0
= =
ˆ 0
u
d
u z
z
z
σ σ
σ
σ σ
ω χ
Ψ ω χ
v
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0ˆ ˆ= = | 0 ,
0
u z
R R z
z
σ σ
σ
σ σ
χ
Ψ χ
v
(36)
* Казалось бы, постулированную матрицу следовало бы обозначить ˆ zσ (см. (3)), однако в случае (29) речь идет о такой мат-
рице, но в другой (т.е. не исходной) системе координат.
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 461
А.А. Еремко, В.М. Локтев
где введена унитарная матрица
( ) ( ) ( )†ˆ 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, = , , , = ,
ˆ0
u
d
R R R R I
ω
≡ θ ϕ θ ϕ θ ϕ ω
(37)
действующая на биспинор
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
| 0 =
0
u z
z
v z
σ σ
σ
σ σ
χ
Ψ χ
или, если раскрыть, биспиноры
( ) ( )
1
1
1 1
1
1
0
0
| 0 = , | 0 =
0
0
u
u
z z −
−
−
Ψ Ψ
v
v
(38)
для каждой из спиновых проекций = 1σ ± . Разумеется,
не представляет труда аналогично рассмотреть и би-
спиноры, отвечающие отрицательным энергиям.
Ранее биспинор (33) был определен равенством
† ( )ˆ( ) = ( )FW
zz U zΨ Ψ . Однако матрица (14) дает реше-
ние УД лишь в однородном пространстве. Когда же
потенциал зависит от пространственной переменной,
использование оператора ˆ zU вычисления не облегчает,
и более конструктивно работать с биспинором (36), в
котором зависимость от спиновой переменной перено-
сится на оператор ˆ( , )R θ ϕ (37). Уместно при этом заме-
тить, что биспиноры (38) остаются частным случаем
собственных функций систем уравнений (12), (13),
когда состоянию = 1σ отвечает решение, содержащее
1 1= ( )u zψ , 3 1= ( )zψ v для системы (12) и тривиальное
2 4= = 0ψ ψ для (13), а в случае = 1σ − , наоборот, три-
виальное решение системы (12) 1 3= = 0ψ ψ и
2 1= ( )u z−ψ , 4 1= ( )z−ψ v для системы (13).
Что касается общего случая, то, зная соотношение
(36), можно записать выражение для искомого биспи-
нора (7), которое приобретает вид
( )†ˆ ˆ( ) = | 0 .z U R zσ σ⊥Ψ Ψ (39)
При этом легко видеть, что гамильтониан ˆ ( )DH z в (10)
остается инвариантным относительно преобразования
( )ˆ ,R θ ϕ , из чего немедленно следует, что если какой-либо
биспинор типа ( )zΨ является собственным для оператора
(11), то и «повернутый» согласно преобразованию (37)
биспинор ˆ ( )R zΨ также удовлетворит соответствующее
УД. В свободном случае это не приводит к нетривиаль-
ным следствиям. Однако в присутствии внешних полей в
силу неизбежного «зацепления» пространственных и
спиновых степеней свободы, получившего название
СОВ, функции ( )zΨ и ˆ ( )R zΨ теряют эквивалентность, а
энергетический спектр становится зависящим от спино-
вой степени свободы, что, собственно, является предме-
том последующего рассмотрения УД с конкретно задан-
ным потенциалом ( )V z .
5. Использование спиновых инвариантов для
отыскания общего решения уравнения Дирака
Как известно, если пространство однородно, то
кроме операторов импульса p и полного момента им-
пульса J, являющихся интегралами свободного дви-
жения, гамильтониан Дирака коммутирует и с другими
векторными операторами, среди которых [12]
ˆˆ = ×ε Ω p (40)
— электрическая спиновая поляризация,
ˆˆˆ =
mc
×
+
Γ pμ Σ (41)
— магнитная спиновая поляризация,
1
ˆ ˆ ˆ=
mc
+ρ
pΩ (42)
— пространственная часть 4-псевдовектора поляриза-
ции спина. Введенные здесь матрицы, как и матрицы
ˆ jΓ ( = ,j x y) в определении оператора Û⊥ (8), суть
произведения МД:
ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= , = , = = ,j k l j j j k l ji i iΣ − α α Γ α β Ω − βα α βΣ
1ˆ ˆ ˆ ˆ= ,x y ziρ − α α α
где α̂ и β̂ определены в (2) и входят в набор 16-ти
(включая единичную) линейно независимых МД. В
стандартном представлении
2
1
2
ˆˆ ˆ 00 0ˆˆ ˆ= , = , = ,
ˆˆ ˆ0 0 0
Ii
i I
−
ρ −
σ σ
Γ Ω
σ σ
(43)
а МД Σ̂ определена выше (см. (23)).
В присутствии потенциала часть инвариантов есте-
ственным образом пропадает. В нашем случае, когда
( ) = ( )V V zr , с гамильтонианом Дирака коммутируют и
тем самым являются сохраняющимися величинами
только следующие компоненты операторов (40)–(42):
( )ˆˆ ˆ= = ,z z z⊥ε ⋅ ×εe Ω k e
( )ˆ ˆˆ ˆ= = ,z z z zmc ⊥µ + ⋅ ×μe Σe Γ k e
1 1
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ= , = ,yx
x x y y
kk
mc mc
Ω + ρ Ω + ρ
(44)
не содержащие оператора ˆ zp . Из равенств
2 2
2 2 2 2
2 2
ˆ ˆˆ ˆ= , = 1 ,z z
kk I I
m c
⊥
⊥
ε µ +
2 2
2
2 2
ˆ ˆ= 1 , = ,j
j
k
I j x y
m c
+
462 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
следует, что для функций вида (4) собственными зна-
чениями операторов (44) будут величины
22
= , = 1 , = 1 ,j
z z j
kkk
mc mc
⊥
⊥
ε σ µ σ + σ +
где, как и выше, = 1σ ± — спиновое число.
Поскольку компоненты (44), коммутируя с операто-
ром ˆ ( )DH z (см. (5)), не коммутируют между собой,
система собственных функций этого гамильтониана
может быть общей с какой-либо из этих компонент,
что, как упоминалось, помогло решить систему (6) в
трех разных случаях. Однако очевидно, что с гамиль-
тонианом ˆ ( )DH z коммутирует и любая линейная ком-
бинация операторов (44); в частности, в работе [9] в
качестве таковой была выбрана проекция оператора ̂
на произвольное направление ⊥e в плоскости xy ,
ˆ ˆ=⊥ ⊥e , т.е. линейная комбинация проекций ˆ
x и ˆ .y
В общем же случае можно рассмотреть линейную ком-
бинацию всех компонент (44) или ввести инвариант-
ный оператор inv
ˆ ˆˆ ˆ= z za a aε µ ⊥ε + µ + с произволь-
ными коэффициентами, удовлетворяющий условию
2 2
inv
ˆ ˆ= a I . Так как в данном случае оператор inv̂ не
содержит операции дифференцирования, наличие такого
инварианта способствует поиску решений системы (6).
В самом деле, задача на собственные значения ин-
варианта сводится к системе алгебраических уравне-
ний, допускающей точное решение, которое, очевидно,
включает параметры ja ( = , ,j ε µ ). В матричной
форме эта система имеет вид
inv
ˆ ( ) = ( ),z a zΨ Ψ (45)
причем ее решения задают структуру искомых собствен-
ных функций УД, а точнее, — компонент биспинора
( ),zΨ , сводя систему (6) к двум независимым, аналитиче-
ское решение которых находится сравнительно просто.
Применим с этой целью преобразование (8), пере-
водящее, согласно (7), уравнение (45) в уравнение
inv
ˆ ( ) = ( )z a zΨ Ψ (46)
для биспинора ( )zΨ с матрицей †
inv inv
ˆ ˆˆ ˆ= U U⊥ ⊥ . Для
входящих в преобразованную матрицу слагаемых по-
лучаем (см. Приложение)
( )†ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ= = = ,z z x y y x zU U k k⊥ ⊥ Ω −Ω
2
†ˆ ˆ ˆ ˆˆ= = 1 ,z z z
kU U
mc
⊥
⊥ ⊥
µ µ + Σ
2
†
2
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ= = , = , ,j
j j j
kmcU U j x y
kmc
⊥
⊥ ⊥⊥
⊥
ε −
Ω + Ωk
из чего следует, что для УД (10) с потенциалом ( )V z
инвариантом является линейная комбинация
inv
ˆ ˆ ˆ ˆ= ,x x y y z za a aΩ + Ω + Σ (47)
произвольные коэффициенты ja ( = , ,j x y z ) которой
связаны с определяющими исходный инвариантный
оператор inv̂ коэффициентами ja ( = , ,j µ ). В ча-
стности, из (47) следует, что собственные значения
этого инварианта равны 2 2 2 | |x y za a a a± + + ≡ σ . Ввиду
того, что последние играют вспомогательную роль,
параметры ja без ограничения общности можно пере-
нормировать заменой / | |j ja a a⇒ или положить
2
= , , = 1jj x y za∑ , что позволяет сократить число незави-
симых произвольных величин до двух путем парамет-
ризации
= sin cos , = sin sin , = cos .x y za a aθ ϕ θ ϕ θ (48)
Тогда, принимая во внимание определения (23) и
(43), преобразованный инвариант (47) приобретает
блочно-диагональный вид:
inv
ˆ 0ˆ = ,
ˆ0
u
d
(49)
в котором
cos e sinˆ = ,
e sin cos
i
u i
− ϕ
ϕ
θ θ
θ − θ
cos e sinˆ = .
e sin cos
i
d i
− ϕ
ϕ
θ − θ
− θ − θ
(50)
Оказывается, что диагонализация матрицы (49) осуще-
ствляется приведенным выше оператором (37), блоки
ˆ uω и ˆ dω которого диагонализуют, соответственно,
блоки ˆ
u и ˆ
d в (49):
†† 1 0ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= = = .
0 1u u u d d zd
ω ω ω ω σ −
Из этих соотношений следует, что с помощью опе-
ратора (37) инвариант (47) преобразуется к матрице
† ˆˆ ˆ ˆ= zR R Σ , собственными функциями которой явля-
ются биспиноры (38) с собственными значениями
= 1σ ± : ( ) ( )ˆ | 0 = | 0z z zσ σΣ Ψ σΨ и с двумя произволь-
ными функциями ( )u zσ и ( )zσv .
Таким образом, опираясь на наличие инвариантов,
также приходим к результату, полученному в преды-
дущем разделе: решением уравнения (46) будут би-
спиноры (36), а искомыми функциями уравнения (45) —
биспиноры (39).
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 463
А.А. Еремко, В.М. Локтев
Биспинор (39) можно при этом тождественно пере-
писать иначе:
( )†ˆ ˆ( ) = | 0 ,FWz RU zσ σΨ Ψ (51)
где предположено, что (см. (8)) Û⊥ содержит фиксиро-
ванные операторы. В итоге, в матрицу полного преоб-
разования †ˆ ˆ ˆ ˆ=FWU R U R⊥ вводятся спиновые парамет-
ры, что позволяет ее рассматривать как аналог (или
обобщение) 2D преобразования Фолди–Вудхайзена,
которое путем подбора было угадано при нахождении
общего решения УД в работе [10].
Заметим, что при выполнении пространственных
преобразований можно придерживаться двух подхо-
дов: в одном — активном — преобразуются векторы
состояний (ψ-функции), а операторы остаются фикси-
рованными; согласно второму — пассивному подходу —
преобразуются наблюдаемые, вернее, соответствующие
им операторы, а векторы гильбертова пространства со-
храняют неизменность. Фактически здесь неявным об-
разом просматривается аналогия с представлениями
Шредингера и Гейзенберга, которые при решении задач
квантовой механики, как известно, эквивалентны. И
можно утверждать, что подход первого типа напрямую
использовался в работе [9], а второго — в работе [10].
Используя в (39) (или в (51), что эквивалентно) яв-
ные выражения операторов преобразования (8), (37) с
учетом (30) и (35), находим, что искомый биспинор
( )zσΨ имеет вид:
,
,
ˆ ( | 0)
( | , ) = ,ˆ ( | 0)
u u
d d
z
z A
z
σ
σ
σ
ω ψ
Ψ θ ϕ ω ψ
(52)
где A — нормировочная постоянная, а его верхний и
нижний спиноры задаются действием соответственно
матриц поворота ˆ uω и ˆ dω на спиноры
( ) ( ) ( )| 0 = ( ) 0 ( ) 0 ,u z u z zσ σ σ σ −σψ χ −η χv (53)
( ) ( ) ( )| 0 = ( ) 0 ( ) 0 .d z z u zσ σ σ σ −σψ χ + η χv (54)
Здесь (0)σχ определены в (31), а также введены обо-
значения
2 2
2
2 22
( )
= , = ,
1 1
k q
m c
⊥ −ν
η ν
+ + ν
(55)
( ) ( ) ( ), = sin sin cos = sin sin .
| | .
x yq q k k k
q k
⊥ ⊥
⊥
≡ θ ϕ θ ϕ− ϕ θ ϕ−ϕ
≤
(56)
Биспинор (52), включающий величины (53)–(56), сов-
падает с общим решением УД, найденным в [10] с по-
мощью постулированного, как отмечалось, унитарного
преобразования †ˆ ˆ
FWRU , а в частных случаях — с реше-
ниями, полученными в [9].
Поскольку в биспиноре фигурируют лишь две зави-
сящие от координаты функции, его подстановка в УД
(5) редуцирует систему (6) к системе двух уравнений,
( )
( )
= ( ) ,
= ( ) ,
i c u i cqu E V z q
i c i cq E V z q u
σ σ σ
σ σ σ
′− σ + − + ε
′− σ − − − ε
v
v v
(57)
в которых (ср. (21) и (9))
( ) ( ) ( )2 4 2 2 2 2 2 2 2 2= = .q m c c q c q⊥ ⊥ ⊥ε + − ε −k k
(58)
Подчеркнем, что приведенное дисперсионное соот-
ношение зависит не только от затравочного и сохра-
няющегося волнового вектора ⊥k но, будучи «трех-
мерным», от величины q (56). Ниже будет показано,
что именно последняя вносит во многие наблюдаемые
операторы зависимости как от спинового состояния (его
квантового числа σ), так и от угловых переменных θ и ϕ.
6. Параболическая квантовая яма
Если в работах [9,10] анализировались решения УД
для прямоугольной КЯ, то здесь в качестве примера
описания квази-2D электронов рассмотрим их связан-
ные состояния в асимметричной одномерной парабо-
лической КЯ шириной QWd и с собственной частотой
QWω . Заметим, что в настоящее время гетероструктуры
с такой координатной зависимостью потенциала искус-
ственно выращиваются для функциональных элементов
спинтронных и оптоэлектронных приборов [14,15].
Зададим модельный потенциал в виде
2 2
= /2 при < /2,
1( ) = ( ) = при | | /2,
2
= /2 при > /2,
L QW QW QW
C QW QW
R QW QW QW
V V d z d
V z V z m z z z d
V V d z d
+ −
ω − ≤
−
(59)
где 2 2= /8QW QW QWV m dω — высота симметричной
КЯ при нулевом значении параметра , задающего
ее асимметрию и удовлетворяющего неравенству
/2 1QW QWd V << . Заметим, что параметром асимметрии
может служить внешнее электрическое поле, направ-
ленное вдоль оси z . При этом, строго говоря, во внеш-
них областях потенциал также зависит от z . Однако для
связанных состояний, волновые функции которых экс-
поненциально спадают вне КЯ, такая зависимость при
не слишком сильных полях практически не скажется на
показателях затухания. В особенности это касается ос-
новного состояния в параболической КЯ, для которого,
как будет видно, волновая функция будет экспоненци-
ально малой еще до подхода к границам = /2QWz d± .
Таким образом, пространство вдоль оси z разбива-
ется на три области — левую L , центральную C и пра-
464 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
вую R , в каждой из которых потенциал принимает
свое значение jV ( = , ,j L C R ). Очевидно, что в каждой
из областей необходимо найти биспинорные волновые
функции, а общая определяется выражением
( , , ) при < /2,
( , , ) = ( , , ) при | | /2,
( , , ) при > /2,
L QW
C QW
R QW
x y z z d
x y z x y z z d
x y z z d
Ψ −
Ψ Ψ ≤
Ψ
(60)
причем на границах областей при | | = /2QWz d должны
удовлетворяться условия непрерывности, что сводится к
непрерывности биспинора jΨ в (4). Равенство биспино-
ров соответствует равенствам их компонент, что, соглас-
но (52)–(54), сводится, в конечном итоге, к равенствам на
функции uσ и σv , удовлетворяющие системе (57).
Нас интересуют связанные состояниями электронов,
захваченных потенциальной ямой (59), поэтому будем
исследовать решения системы (57) для области > 0E .
Более того, существенными в конденсированных средах
являются состояния с нерелятивистскими энергиями,
когда 2
,L RV mc<< , или такие, которые, в свою очередь,
удовлетворяют неравенству 2 2 2/2k m mc⊥ << . Энергию
bE соответствующих связанных состояний за вычетом
энергии покоя 2mc будем отсчитывать от дна ямы. То-
гда с учетом наложенных ограничений для энергий
2= <b RE E mc V− (однако > 0bE ) функции uσ и σv в
(57) оказываются большой и малой компонентами соот-
ветственно, а сама система двух уравнений первого по-
рядка сведется к одному уравнению второго порядка для
функции ( )u zσ , причем
( )( ) = ( ) ( ) .
( ) j
cz i u z qu z
E q Vσ σ σ
σ ′− −σ
+ ε −
v (61)
Рассмотрим сначала решение в наиболее актуальной
центральной области КЯ. Умножив второе уравнение
системы (57) на ( ) ( )CE V z q− + ε и учтя первое, находим
[ ]2 2 ( ) 2 ( ) ( ) =C C Cc u i c V z E V z V z uσ σ σ′′ ′− − σ + − v
( )2 2= ,E u⊥ ⊥ σ − ε k
где ( )⊥ ⊥ε k определено выражением (9). Принимая
теперь во внимание малость отношений 2/ 1jV mc << ,
достаточно считать, что справедливо приближение,
когда 22 ( ) 2CE V z mc− и 2( ) ( ) 2CE q V z mc+ ε − , что
для ( )u zσ дает уравнение
2 2
2
1 ( )
2
Cc u V z u
mc
σ σ
′′ ′ ′− + +
2
2
2 22 ( ) ( ) =
4
C C
qmc V z V z u
m c
σ
σ ′+ +
( )2 2= ,E u⊥ ⊥ σ − ε k (62)
которое благодаря подстановке
( )
24( ) = e ( )
V zC
mcu z w z
−
σ σ
превращается в уравнение Шредингера:
2
( ) ( )
2 C SO Cw V z q V z
m σ
′′ ′− + + σ λ +
[ ] ( )2 2
2
2 2( ) ( ) = ,
28 2
SO SO
C C
E
V z V z w w
mc mc
⊥
σ σ
− ελ λ ′ ′′+ +
k
(63)
c размерной константой 2 2 2= /4SO m cλ , характери-
зующей величину СОВ. Используя явный вид ( )V z
(59), в области C приходим к обычному уравнению
( )
2
2
2
2( ) ( ) = 0
2
QW
b
mmw z E z z w zσ σ σ
ω
′′ + − −
(64)
для одномерного осциллятора, точка равновесия которо-
го смещена относительно начала координат на величину
2= ,SO
QW
z q
m
σ −σλ
ω
(65)
Здесь использовано введенное выше обозначение
( ) ( )
22 2 2
2
2 2= 1 ,
22 2
QW
b SO SO
QW
mE
E q
mc m
⊥ ⊥ ω− ε
+ − λ −λ
ω
k
(66)
определяющее энергию связанных состояний. Как хо-
рошо известно (см., например, [8,13]), решения урав-
нения (64) для бесконечно высокой параболической
КЯ выражаются через полиномы Эрмита с дискретным
спектром = ( 1/2)b QWE nω + , где n — натуральные
числа, начиная с = 0n , а последние два слагаемые в
(66) определяют смещение уровней, вызванное элек-
трическим полем и СОВ.
Упомянутый спектр является следствием нулевых
граничных условий, накладываемых на волновую
функцию при | |z →∞. Здесь же граничными условия-
ми являются условия сшивки на границах КЯ, а реше-
ние в общем случае выражается через вырожденные
гипергеометрические функции. Поэтому рассмотрим
подробнее решение уравнения (64).
Для этого обезразмерим координату z , введя пере-
менную
( )= .QWm
z zσ
ω
ξ −
(67)
Теперь, после подстановки 2= exp ( /2) ( )w fσ −ξ ξ , пе-
рейдем к уравнению
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 465
А.А. Еремко, В.М. Локтев
2
2 = 0, = 1, = ,b
b b
QW
E
f f rf r e e′′ ′− ξ + −
ω
(68)
где штрихи обозначают дифференцирование по ξ . Реше-
ние этого уравнения будем искать в виде разложения
=0
( ) = n
n
n
f c
∞
ξ ξ∑ , которое приводит к равенству
( ) ( )( ) 2
=0
2 1 2 = 0,n
n n
n
r n c n n c
∞
+− + + + ξ ∑
откуда следует рекуррентное соотношение для коэф-
фициентов nc
( )( )2
2= , = 0, 1, ,
1 2n n
r nc c n
n n+
−
−
+ +
разделяющееся на две независимые серии для n чет-
ных, = 2n j , и нечетных, = 2 1n j + ( = 0,1,j ), и ос-
тавляющее произвольными два коэффициента — 0c
и 1c . Следовательно, имеется два линейно независимых
решения уравнения (68):
_____________________________________________________
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )2
1 0
=0
( ) ( ) ( ) ( )2 1
1 0
=0
4( ) = , = , = 1,
2 1 2 1
2(2 1)( ) = , = , = 1,
2 1 2 3
j
j jj
j
j
j jj
j
r jf c c c c
j j
r jf c c c c
j j
∞
+ + + +
+ +
∞
− − − −+
− +
−
ξ ξ −
+ +
− +
ξ ξ −
+ +
∑
∑
(69)
________________________________________________
где ( )f+ ξ и ( )f− ξ являются четной и нечетной функ-
циями ξ соответственно. Общим же решением будет
( ) ( )( ) = ( ) ( )C Cf A f A f+ −
σ + −ξ ξ + ξ с двумя произвольными
константами, в котором зависимость от σ обеспечива-
ется параметром сдвига zσ (см. (65), (67)).
Таким образом, в центральной области решение
уравнения (62) имеет вид
( ) ( )( )| | /2 = e ,z
QWu z d f−Φσ
σ σ≤ ξ (70)
где (в главном по 1/c приближении)
( )2( ) .
2
QWm
z z zσ σ
ω
Φ ≈ −
(71)
В областях | | > /2QWz d , где = constjV , решениями
уравнений (57) при заданной энергии (66) будут экс-
поненциально убывающие в направлениях от КЯ
функции
( < /2) = exp ( /2) ,
( > /2) = exp ( /2)
QW L L QW
QW R R QW
u z d A z d
u z d A z d
σ
σ
− κ +
−κ −
(72)
с показателями пространственного затухания
( )2
2 , = , .j j b
m V E j L Rκ −
(73)
Как упоминалось, условие сшивки биспиноров в
(60) сводится к равенствам на функции uσ и σv на гра-
ницах областей при = /2QWz d± . Функции uσ опреде-
лены выражениями (70) и (72), а для функций , ( )j zσv ,
согласно (61), получаем
_____________________________________________________
( )
( )
( )
( < /2) = ( < /2),
( )
(| | ) = e ,
( ) ( )
( > /2) = ( > /2).
( )
QW L QW
L
z
QW
C
QW R QW
R
cz d i q u z d
E q V
dfc dz d i q f
E q V z dz dz
cz d i q u z d
E q V
σ σ
−Φσ σ
σ σ
σ σ
σ
− − κ −σ −
+ ε −
σ Φ ≤ − − + σ + ε −
σ
κ + σ
+ ε −
v
v
v
(74)
Определяя нормировочные коэффициенты LA и RA из условий сшивки функций uσ и подставляя затем их в ус-
ловия сшивки функций σv , приходим к системе равенств для таких же искомых коэффициентов ( )
CA + и ( )
CA − :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= 0,
= 0,
L L L L L LC C
R R R R R RC C
c f f A c f f A
c f f A c f f A
+ −
+ + − −
+ −
+ + − −
′ ′ξ + ξ + ξ + ξ
′ ′ξ − ξ + ξ − ξ
(75)
где введены обозначения
466 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
= , = ,
2 2
= , = .
2 2
QW QW QW QW
L R
QW QW QW QWL R
L R
QW QW
m d m d
z z
m d m d
c z c z
m m
σ σ
σ σ
ω ω
ξ − + ξ −
ω ωκ κ
− + − − ω ω
(76)
________________________________________________
Условие существования нетривиального решения
системы (75) требует равенства нулю детерминанта,
составленного из коэффициентов при ( )
CA ± . Это усло-
вие можно записать в виде
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
L R L R
L R L R
f f f f
f f f f
− + + −
+ − − +
′ ′ ′ ′ξ ξ − ξ ξ
+
ξ ξ − ξ ξ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
L R L R
L
L R L R
f f f f
c
f f f f
− + + −
+ − − +
′ ′ξ ξ − ξ ξ
+ +
ξ ξ − ξ ξ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
= 0,L R L R
R L R
L R L R
f f f f
c c c
f f f f
+ − − +
+ − − +
′ ′ξ ξ − ξ ξ
+ +
ξ ξ − ξ ξ
(77)
а его корни определяют энергетический спектр КЯ.
Проанализируем качественно решение данного
уравнения для основного состояния в случае доста-
точно глубокой ямы, для чего введем безразмерный
параметр
22
= = ,
4
QW QW QW
QW
QW
V m dω
ω
v (78)
характеризующий глубину ямы, и будем полагать, что
2 1QW >>v . Тогда с учетом неравенства / 1b QWE V << в
(73) выражения (76) можно записать в виде
_____________________________________________________
( ) ( )
2 2
= 1 , = 1 ,
1 1= 4 , = 4 ,
2 2
L QW R QW
SO SO
L b QW R b QW
QW QW QW QW
q q
c e c e
d d
σ σξ − + ζ ξ − ζ
λ σ λ σ
− +
v v
v v
v v
(79)
где = 2 / QWz dσ σζ , а be определено в (68).
Основному состоянию отвечает наименьший корень уравнения (77), отвечающий малым значениям r . В этом
случае используем следующие аппроксимации для значений функций f± и их производных на границах областей:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 22 2
= = ,
= 1 , = 1 ,
= 1 , = 1 ,
2 2= 1 1 , = 1 1 ,
2 2
R L
R QW L QW
R QW L QW
R QW L QW
f f F
f F f F
f r F f r F
r rf F f F
+ + +
− σ − − σ −
+ σ + + σ +
− σ − − σ −
ξ ξ
ξ − ζ ξ − + ζ
′ ′ ′ ′ξ − − ζ ξ + ζ
− −′ ′ ′ ′ξ − − ζ ξ − + ζ
v v
v v
v v
________________________________________________
где
( ) ( )
( ) 2 ( ) 2
=0 =0
( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2
1 1 1 1
=0 =0
= , = ,
= / , = /
j j
j jQW QW
j j
j j
j QW j QW
j j
F c F c
F c c F c c
∞ ∞
+ −
+ −
∞ ∞
+ + − −
+ −+ +′ ′
∑ ∑
∑ ∑
v v
v v
(80)
и учтено, что 1σζ << .
Подставляя данные выражения в (77), ограничи-
ваясь величинами порядка малости не выше 2
QW
−v и
полагая, что при 1be ( 0r ) отношения /F F± ±′ сла-
бо зависят от r , а их величина 1 , приходим к урав-
нению
2 2 23 51 4 1
2 8
SO
QW b QW b
QW
q
e e
d
− −
σ
λ σ + − − ζ + +
v v
2 2
2
83 1 4 = 0,
3
SO SO
QW QW
q q
d d
σ
λ σ λ + − ζ −
наименьший корень которого
2 2
2
0 2
11 4 4
2
SO SO
QW
QW QW
q q
e
d d
−
σ
λ σ λ
− − ζ − v (81)
определяет энергию основного ( = 0n ) связанного со-
стояния bE . Дальнейшая подстановка выражения (81) в
(66) дает закон дисперсии наинизшей зоны квази-2D
электронов в параболической КЯ. В результате, со-
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 467
А.А. Еремко, В.М. Локтев
гласно (66) и с учетом (56), собственное значение УД
приобретает форму ( )2
0E mc E σ ⊥+ k с характерным
для КЯ законом дисперсии
( ) ( )
2 2
0 0( ) = 0 ,
2 ( )
kE E k
m
⊥
σ ⊥ ⊥ ⊥∗
⊥
+ + σα ϕ
ϕ
k (82)
где
( )
2
0
( )10 1
2 4 8
QW QW
QW
QW QW QW
d
E
V V
ω
ω − −
ω
(83)
— энергия основного состояния при значении = 0k⊥ ,
сдвинутая относительно энергии гармонического ос-
циллятора вследствие конечной глубины ямы и внеш-
него поля;
( )
2
2 2
2( ) = 1 sin sin
4
QWm m
mc
∗
⊥ ⊥
ω ϕ + θ ϕ−ϕ
(84)
— перенормированная СОВ эффективная масса элек-
трона, а
( ) ( )2= 4 sin sinSO
QW QWm d
⊥ ⊥
λ
α ϕ θ ϕ−ϕ
ω
(85)
— коэффициент, приводящий к анизотропному и за-
висящему от приложенного электрического поля
расщеплению спиновых подзон = 1σ ± в спектре ква-
зи-2D электронов, который тем самым допускает
внешнее управление [4,6]. Для частного случая = /2θ π ,
= /2⊥ϕ ϕ + π это расщепление совпадает с расщеплением
Рашбы, а величина (85) при таких значениях углов обыч-
но называется параметром Бычкова–Рашбы BRα [4].
Необходимо подчеркнуть, что дисперсионное соот-
ношение (82) качественно описывает энергетический
спектр 2D электрона независимо от формы КЯ, и, на-
пример, для появления расщепления Рашбы единст-
венным требованием является ее асимметричность.
При этом важно иметь в виду, что во внешнем потен-
циале, который сохраняет свободное движение частиц
в двух направлениях, ограничивая их перемещение
лишь в третьем, ось квантования спина может прини-
мать произвольное направление, определяемое сво-
бодными параметрами θ и ϕ. Ориентация спина при
этом характеризуется вектором спиновой поляризации
ˆ= | |σ σ σΨ ΨS Σ в заданном спиновом состоянии.
Так, в состоянии (52) этот вектор (в пренебрежении
малыми вкладами)
ˆ( ) = ( ) | | ( )z z zσ σ σΨ Ψ ≈S Σ
( ) ( )2 ˆ| ( ) | , | | , ,u zσ σ σ≈ 〈χ θ φ χ θ ϕ 〉σ (86)
где спиноры ( ),σχ θ ϕ заданы выражениями (26) и яв-
ляются собственными только того или иного из спино-
вых инвариантов.
Действительно, как следует из выражения (82),
спектр 2D электрона зависит от ориентации спина от-
носительно двух направлений — волнового вектора ⊥k
и градиента потенциала (в рассматриваемом случае
).ze В состоянии с определенным значением z -ком-
поненты магнитной спиновой поляризации ˆ zµ угол
= 0θ , || zσS e и спектр оказывается вырожденным по
спину. Наоборот, в состоянии с определенным значе-
нием z -компоненты электрической спиновой поляри-
зации ˆ zε , когда = /2θ π и = /2⊥ϕ ϕ + π , спины лежат в
плоскости слоя, будучи ортогональны как градиенту
потенциала, так и волновому вектору, что, как упоми-
налось, отвечает случаю Рашбы с изотропным в x yk k -
плоскости спиновым расщеплением зон. Наконец, в
состоянии, отвечающем инварианту ˆ
⊥ (здесь = /2θ π ,
0=ϕ ϕ ), спиновое расщепление и сам спектр становят-
ся анизотропными в x yk k -плоскости. Другими слова-
ми, с точки зрения спин-орбитального расщепления два
из трех приведенных спиновых состояний отличаются от
его стандартного «рашбовского» проявления, что, несо-
мненно, должно иметь экспериментальные следствия.
Интересным является также распределение элек-
тронов в слое, которое сигнализирует о появлении
спинового эффекта Холла [16]. В частности, с помо-
щью явного вида функции (70) нетрудно убедиться,
что для параболической КЯ
( )22( ) | ( ) | exp .QW
SO
m
z u z z qσ σ
ω − −σλ
S
Отсюда неизбежно следует асимметричное распреде-
ление носителей вдоль координаты z в зависимости от
знака σ . Это также может быть проверено в экспери-
менте именно для случая параболических КЯ, где спи-
новый эффект Холла выражен наиболее ярко.
Отметим также, что соответствующие корням
( )nE σ ⊥k уравнения (77) собственные функции ( )nu zσ
(70) (являющиеся фактически нерелятивистскими вол-
новыми функциями) содержат вклады от четных f+ и
нечетных f− функций. Это приводит к выводу, имею-
щему экспериментальное подтверждение [14], что в
параболической КЯ разрешаются межзонные перехо-
ды, запрещенные правилами отбора по четности для
чисто осцилляторных зон. При этом СОВ также вносит
вклад в вероятность таких переходов.
7. Заключительные замечания
Выше, исходя из фундаментального УД, было убе-
дительно продемонстрировано, как применительно к
задачам физики конденсированных сред из его реше-
ний возникают не одна, а различные поправки, несу-
щие смысл СОВ, а также приводящие к спиновому
эффекту Холла, которые проанализированы на приме-
ре гетероструктур с параболическим профилем потен-
циала. Но более существенным, как нам представляет-
468 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
К теории собственных спиновых состояний и спин-орбитального взаимодействия квазидвумерных электронов
ся, является другой, возможно, непрямой, результат
работы: используемое в нерелятивистской физике СОВ
известного вида, из которого следует, в частности,
СОВ Рашбы, не может считаться универсальным, а
следовательно, единственным, так как не учитывает
всех имеющихся собственных спиновых решений УД,
что, в свою очередь, ограничивает и поиски новых
экспериментальных проявлений СОВ, которые никак
нельзя исключить. Тем самым мы приходим к необхо-
димости пересмотра получения (или нового вывода)
нерелятивистских поправок порядка 1/c , а также 21/c к
гамильтониану Шредингера, т.е., другими словами, к
необходимости определения формы СОВ, которая бы
последовательно включала наличие всех таких собст-
венных спиновых состояний УД.
Чтобы пояснить о чем речь, напомним, что в нереля-
тивистском приближении с удержанием членов не выше
21/c УД переходит в приближенное уравнение [7,8]
( )
2
2 2
ˆ( )
2 4
p V V
m m c
+ + ⋅ ∇ × +
r σ p
2 4
2 2 3 2 =
8 8
V E
m c m c
+ ∆ − ψ ψ
p (87)
для спинорной (двухкомпонентной) волновой функции
ψ , в котором третье слагаемое в левой части получило
название «спин-орбитального взаимодействия» и, как
считается, является оператором СОВ общего вида.
Тем не менее интересно отметить, что уже в одном
из первых исследований СОВ в полупроводниках —
пионерской работе Рашбы и Шеки* [17] — был постав-
лен вопрос, а при каких условиях закон дисперсии для
электронов, полученный из уравнения (87), совпадает с
их дисперсией, которая следует из УД. По сути ответ
на него дают результаты, изложенные выше и касаю-
щиеся квази-2D систем.
При этом было подчеркнуто, что хотя в исходном
УД отсутствует специальное слагаемое, отвечающее за
СОВ, его решение по отношению к спиновой степени
свободы заметно богаче, чем решение уравнения (87),
следствием которого для квази-2D случая является
только результат Рашбы. При получении уравнения
(87) не сыграли своей роли не коммутирующие друг с
другом спиновые инварианты, непосредственное ис-
пользование которых приводит к выбору конкретного
спинового базиса, а следовательно, и к наполнению
смыслом спинового квантового числа в зависимости от
того, какой из инвариантов имеет определенное значе-
ние. В результате, мы выяснили, что лишь в состоянии
с определенным значением оператора ˆ zε (см. (44))
спектр квази-2D электронов повторяет спектр Рашбы и
отличается от него в других случаях. Иными словами,
квази-2D электроны проявляют спиновую лабиль-
ность, или способность изменять спиновое состояние в
зависимости от предполагаемых условий.
Тот факт, что уравнение (87) сохраняет решение,
отвечающее только инварианту ˆ zε , имеет достаточно
простое объяснение, опирающееся на способ перехода
от УД к нерелятивистскому уравнению (87) путем ис-
пользования преобразования Фолди–Вудхайзена. Если
для свободного УД это преобразование является точ-
ным, то при наличии внешних полей его можно осуще-
ствить лишь приближенно, используя разложение по
степеням 1/c . При этом, как показывают прямые расче-
ты, лишь оператор ˆ zε остается инвариантным относи-
ельно преобразования Фолди–Вудхайзена, в то время
как операторы ˆ zµ и ˆ
j (см. (44)), как и сам гамильто-
ниан Дирака, становятся блочно-диагональными лишь
с заданной точностью по степеням 1/c . Это свидетель-
ствует, что оператор ẑ остается инвариантом уравне-
ния (87), а остальные являются таковыми лишь при-
ближенно — их коммутаторы с гамильтонианом
пропорциональны величинам, превышающим задан-
ную малость [18]. Как показано в этой работе одним из
авторов, исходя из факта приближенности уравнения
(87) и решая его приближенно с сохранением реляти-
вистских поправок, не превышающих 2(1/ )c , можно
получить решения, отвечающие всем решениям УД,
хотя регулярная математическая процедура пока не
разработана.
В то же время ее поиск особенно актуален теперь в
связи с интенсивным изучением так называемых реля-
тивистски-подобных как низкоразмерных кристалли-
ческих систем — графена, силицена, борофена и т.п.,
так и их трехмерных аналогов — топологических ди-
электриков, включая вейлевские полуметаллы. Более
того, можно предвидеть и некоторые (скорее, количе-
ственные, но, тем не менее, важные) отличия, состоя-
щие в том, что в наших расчетах мы предполагали ко-
нечность массы квазичастиц, в то время как в
трехмерных релятивистски-подобных средах они без-
массовые, что может отразиться на конкретном выра-
жении для СОВ, могущем появиться в нерелятивист-
ском уравнении Шредингера. Возможно, для этого
потребуется использование не стандартного, а другого
представления для МД.
Хотим выразить признательность Э.Й. Рашбе за оз-
накомление с некоторыми результатами работы и по-
лезные вопросы. Работа выполнена в рамках Целевой
программы фундаментальных исследований Отделе-
ния физики и астрономии НАН Украины.
* Английский перевод этой статьи доступен как приложение к обзору [6].
Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3 469
А.А. Еремко, В.М. Локтев
Приложение. Преобразования матриц Дирака
При расчетах использовались унитарные операторы
преобразований (8) и (14), являющиеся, по сути, опе-
раторами Фолди–Вудхайзена, которые в общем случае
имеют вид
ˆ ˆ ˆ ˆ= exp = cos sin ,
2 2 2
U i I iΓ
ϑ ϑ ϑ +
eΓ eΓ
2
= , ,
= , = 1.j j
j x y z
γ∑e e e (П.1)
Результат действия этого преобразования на матрицы
(2), (23) и введенные (43) вычисляется с использовани-
ем алгебры МД. Например,
ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ= , = , = ,j k l j j j k li iα Γ −Ω α Γ β Γ Γ Σ
1
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ= , = ,j k l j j iΓ Ω −α Γ Ω ρ
где = , ,j x y z, а тройка , ,j k l — любая циклическая
перестановка , ,x y z .
Приведем результат преобразования (П.1) МД, вхо-
дящих в инварианты (44):
†
1 1
ˆˆ ˆˆ ˆ= cos sin ,U UΓ Γρ ϑρ + ϑeΩ (П.2)
†ˆ ˆˆ ˆ ˆ= cos sin ,U UΓ Γβ ϑβ− ϑeα (П.3)
( ) ( )† 2 ˆˆ ˆˆ ˆ= 2 sin ,sin
2
U UΓ Γ
ϑ − + ϑ β
αa a e ae α ae (П.4)
( ) ( )† 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= cos 2 sin ,sin
2
U UΓ Γ
ϑ ϑ+ + ϑ ×
Γa a e ae Γ Σ a e
(П.5)
( ) ( )† 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ= cos 2 sin ,sin
2
U UΓ Γ
ϑ ϑ+ + ϑ ×
Σa a e ae Σ Γ a e
(П.6)
( ) ( )† 2
1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ= 2 sin .sin
2
U UΓ Γ
ϑ − − ϑ ρ
Ωa a e ae Ω ae (П.7)
Используя в формулах (П.1)–(П.7) = /k⊥ ⊥e k и
tg = /k mc⊥ϑ , что соответствует матрице (8), а в каче-
стве вектора a согласно (44) подставим в соответст-
вующие выражения z⊥ ×k e , ze либо ⊥e , получим ре-
зультат, приводящий к (47).
1. Э.И. Рашба, ФТТ 2, 1224 (1960) [Sov. Phys. Solid State 2,
1109 (1960)].
2. Ю.А. Бычков, Э.И. Рашба, Письма ЖЭТФ 39, 66 (1984).
[Sov. Phys. JETP Lett. 39, 78 (1984)].
3. R.A. Deine, Spintronics, Utrecht University, Utrecht
(2007), p. 67.
4. J. Fabian, A. Matos-Abiague, C. Ertler, P. Stano, and I. Zutic,
Acta Phys. Slov. 57, 565 (2007).
5. А.М. Погорілий, С.М. Рябченко, О.І. Толстолиткін.
УФЖ 6, 37 (2010).
6. G. Bihlmayer, O. Rader, and R. Winkler, New J. Phys. 17,
050202 (2015).
7. В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский,
Релятивистская квантовая теория, часть I, Наука,
Москва (1968).
8. О.С. Давидов, Квантова механіка, Видавничий дім
Академперіодика, Київ (2012).
9. A. Eremko, L. Brizhik, and V. Loktev, Ann. Phys. 361, 423
(2015).
10. A. Eremko, L. Brizhik, and V. Loktev, Ann. Phys. 369, 85
(2016).
11. D.B. Melrose and A.I. Parle, Aust. J. Phys. 36, 755 (1983).
12. А.А. Соколов, И.М. Тернов. Релятивистский электрон,
Наука, Москва (1974).
13. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Квантовая механика.
Нерелятивистская теория, Физматгиз, Москва (1963).
14. R.C. Miller, A.C. Gossard, D.A. Kleinman, and O.
Munteanu, Phys. Rev. B 29, 3740 (1984).
15. R.C. Myers, K.C. Ku, X. Li, N. Samarth, and D.D.
Awschalom, Phys. Rev. B 72, 041302(R) (2005).
16. J. Sinova, S.O. Valenzuela, J. Wunderlich, C.H. Back, and T.
Jungwirth, Rev. Mod. Phys. 87, 1213 (2015).
17. Э.И. Рашба, В.И. Шека, Физика твердого тела. Сборник
статей II, Изд-во АН СССР, Москва-Ленинград (1959),
с. 162.
18. О.О. Єремко, Доповiдi НАН України № 4, 65 (2015).
On the theory of eigen spin states and spin-orbit
interaction for quasi-two-dimensional electrons
A.A. Eremko and V.M. Loktev
The problem about Dirac electrons in quasi-two-
dimensional space (for instance, interfaces, hetero-
structures, surfaces) is analytically solved. It is shown
that for Dirac equation solution the unitary transfor-
mation method and spin invariants method give the
identical results. The eigen bispinors of Dirac equation
are found and it is demonstrated how it is appeared
their variety what provided by the arbitrariness of the
spin moment quantization axis direction. The peculiar-
ities of behavior of the electrons in parabolic quantum
well are considered.
PACS: 03.65.Pm Relativistic wave equation;
71.70.Ej Spin-orbit coupling;
73.21.Fg Quantum wells
73.22.Dj Single particle states/
Keywords: Dirac equation, spin states, spin-orbit in-
teraction, Rashba splitting, spin-Hall effect.
470 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 3
http://dx.doi.org/10.2478/v10155-010-0086-8
http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/17/5/050202
http://dx.doi.org/10.1016/j.aop.2015.07.007
http://dx.doi.org/10.1016/j.aop.2016.03.008
http://dx.doi.org/0004-9506/83/060755$02.00
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.29.3740
http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.72.041302
http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.87.1213
1. Введение
2. Метод унитарных преобразований
3. Выбор и параметризация спиновых состояний
4. Собственные биспиноры уравнения Дирака
5. Использование спиновых инвариантов для отыскания общего решения уравнения Дирака
6. Параболическая квантовая яма
7. Заключительные замечания
Приложение. Преобразования матриц Дирака
|