Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
Розглянуто можливість використання двох нелінійних феноменологічних моделей механіки матеріалів: неогукової і Муні—Рівліна — для врахування впливу ґрунтової товщі при визначенні сейсмічної небезпеки будівельних майданчиків. Показано відповідність цих моделей наявним експериментальним даним при нел...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Назва видання: | Доповіді НАН України |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129450 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань / О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-129450 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1294502018-01-20T03:06:39Z Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань Кендзера, О.В. Рущицький, Я.Я. Науки про Землю Розглянуто можливість використання двох нелінійних феноменологічних моделей механіки матеріалів: неогукової і Муні—Рівліна — для врахування впливу ґрунтової товщі при визначенні сейсмічної небезпеки будівельних майданчиків. Показано відповідність цих моделей наявним експериментальним даним при нелінійному деформуванні ґрунтів. Запропоновано замінювати існуючі емпіричні та напівемпіричні моделі нелінійного деформування ґрунтової товщі на феноменологічні. Рассмотрена возможность использования двух нелинейных феноменологических моделей механики материалов: неогуковой и Муни—Ривлина – для учета влияния грунтовой толщи при определении сейсмической опасности строительных площадок. Показано соответствие этих моделей имеющимся экспериментальным данным при нелинейном деформировании грунтов. Предложено заменять существующие эмпирические и полуэмпирические модели нелинейного деформирования грунтовой толщи на феноменологические. A possibility of using two nonlinear phenomenological models from mechanics of materials — Neo-Hookean and Mooney—Rivlin — with the aim to take the effect of strata into account in studying the seismic hazard for building sites is considered. A correspondence of these models and experimental data under a nonlinear deformation of soils is shown. It is proposed to change the existing empirical and semiempirical models of nonlinear deformation of strata by pheno menological ones. 2017 Article Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань / О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.11.044 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129450 550.34 + 539.3 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Науки про Землю Науки про Землю |
| spellingShingle |
Науки про Землю Науки про Землю Кендзера, О.В. Рущицький, Я.Я. Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань Доповіді НАН України |
| description |
Розглянуто можливість використання двох нелінійних феноменологічних моделей механіки матеріалів:
неогукової і Муні—Рівліна — для врахування впливу ґрунтової товщі при визначенні сейсмічної небезпеки будівельних майданчиків. Показано відповідність цих моделей наявним експериментальним даним при
нелінійному деформуванні ґрунтів. Запропоновано замінювати існуючі емпіричні та напівемпіричні моделі
нелінійного деформування ґрунтової товщі на феноменологічні. |
| format |
Article |
| author |
Кендзера, О.В. Рущицький, Я.Я. |
| author_facet |
Кендзера, О.В. Рущицький, Я.Я. |
| author_sort |
Кендзера, О.В. |
| title |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| title_short |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| title_full |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| title_fullStr |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| title_full_unstemmed |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| title_sort |
про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Науки про Землю |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129450 |
| citation_txt |
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань / О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 44-51. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT kendzeraov pronelíníjnímodelídeformuvannâgruntovoítovŝíípoširennâsejsmíčnihkolivanʹ AT ruŝicʹkijââ pronelíníjnímodelídeformuvannâgruntovoítovŝíípoširennâsejsmíčnihkolivanʹ |
| first_indexed |
2025-07-09T11:29:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T11:29:40Z |
| _version_ |
1837168676040605696 |
| fulltext |
44 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
© О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький, 2017
Врахування нелінійних ефектів у ґрунтовій товщі під будівельними майданчиками під час
вивчення їх сейсмічної небезпеки методами сейсмічного мікрорайонування є актуальною
задачею сучасної сейсмології і механіки [1, 2]. Складність досліджуваних процесів обу-
мовлює необхідність спиратися на експериментальні дані і емпіричні підходи, побудовані
на їх основі. В нелінійних емпіричних співвідношеннях часто застосовують термін “змін-
ний модуль пружності” та “змінний коефіцієнт затухання”. Прикладом прояву нелінійності
деформування ґрунтових порід у лабораторних і польових спостереженнях можуть слу-
жити графіки залежності нормалізованого модуля зсуву 0/G G від деформації зсуву для
піску “Toyora”. На рис. 1 наведено дані для піску з різним коефіцієнтом пористості [3, 4], на
рис. 2 — для глинистих ґрунтів з різним індексом пластичності [4, 5]. Для опису спостере-
женої нелінійності були застосовані емпіричні формули.
У деяких розділах фізики нелінійність враховують у рамках феноменологічних підхо-
дів. Важливим є розуміння відмінностей між феноменологічними, напівемпіричними та ем-
піричними теоретичними співвідношеннями у фізиці.
Вважають, що феноменологічні співвідношення формуються на основі універсальних
фізичних законів і базуються на математичних моделях, тоді як напівемпіричні і емпіричні
не мають універсального характеру. Вони обмежені рамками умов, в яких були отримані.
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.11.044
УДК 550.34 + 539.3
О.В. Кендзера 1, Я.Я. Рущицький 2
1 Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, Київ
2 Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ
E-mail: kendzera@igph.kiev.ua, rushch@inmech.kiev.ua
Про нелінійні моделі деформування
ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
Представлено членом-кореспондентом НАН України О.В. Кендзерою
Розглянуто можливість використання двох нелінійних феноменологічних моделей механіки матеріалів:
неогукової і Муні—Рівліна — для врахування впливу ґрунтової товщі при визначенні сейсмічної небезпе-
ки будівельних майданчиків. Показано відповідність цих моделей наявним експериментальним даним при
нелінійному деформуванні ґрунтів. Запропоновано замінювати існуючі емпіричні та напівемпіричні моделі
нелінійного деформування ґрунтової товщі на феноменологічні.
Ключові слова: ґрунтова товща, нелінійні феноменологічні моделі, модуль зсуву, модуль всестороннього стиску.
НАУКИ ПРО ЗЕМЛЮ
45ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
У сучасній механіці поняття “змінний модуль пружності” не використовується, ос-
кільки модуль пружності є фізичною константою матеріалу і не може бути змінним. У разі
відхилення залежності “напруження — деформація” від лінійного закону вважається не-
обхідним застосовувати нелінійні закони деформування.
Класична механіка матеріалів розвивалася протягом останніх двох століть як у нап рям-
ку експериментальних досліджень матеріалів, так і в напрямку створення різних теорій їх
деформування.
Велику роль у поєднанні експериментальних і теоретичних результатів відіграють уні-
версальні стани при деформуванні матеріалів, які означаються таким чином: у рамках од-
норідної ізотропної теорії пружності вони повинні задовольняти вимогу здійсненності в
будь-якому матеріалі і вимогу можливості реалізації лише через поверхневі навантаження.
Універсальні деформації є однорідними (однаковими у всьому тілі) і простими, однак
при цьому вони є привілейованими в механіці. Їх важливість полягає в можливостях вико-
ристання при визначенні властивостей матеріалів з експериментів [6]. Саме через потребу в
експериментальному визначенні властивостей матеріалів у теорії нескінченно малих де-
формацій докладно вивчені такі види універсальних деформацій, як простий зсув, простий
розтяг, рівномірний всесторонній стиск—розтяг. Ще одна область застосування універ-
сальних деформацій — це нелінійна механіка матеріалів. Зокрема, використання універ-
сальної деформації простого зсуву дало змогу уже давно описати нелінійні явища, які прий-
нято називати “ефектом Пойнтінга” і “ефектом Кельвіна” [6, 7]. Ефект Пойнтінга виявляє-
ться у разі немалих деформацій і полягає в залежності дотичного напруження від кута
закручування, яке включає лінійну залежність від цього кута і нелінійну залежність від його
квадрата. Ефект Кельвіна також виявляється у разі немалих деформацій і полягає в появі
нормальних напружень, які нелінійно залежать від кута закручування.
Історична довідка. Ефект зменшення зсувного напруження зі збільшенням кута за кру-
чування (деформації) до рівня немалих значень названо іменем Пойнтінга, який опи сав цей
ефект у 1909 р. Пойнтінг не згадав публікацій стосовно експериментів Кулона (1784 р.),
Вертгейма (1857 р.), Кельвіна (1865 р.), Баушінгера (1881 р.), Томлінсона (1883 р.), в яких
тією чи іншою мірою такі ефекти теж були описані. Однак, лише в рамках теорії скінче-
них пружних деформацій, цей ефект був задовільно пояснений Рівліном у 1951 р. за до-
помогою моделі нелінійного деформування, яка зараз має назву модель Муні—Рівліна.
Рис. 1 Рис. 2
46 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький
На даний момент найпростішими моделями нелінійних скінченних деформацій мате-
ріалів є неогукова модель і модель Муні—Рівліна. Надалі ці моделі будуть використані для
теоретичного опису механічних явищ “ефект Пойнтінга” і “ефект Кельвіна”, які в сейсмо-
логії називають “змінний модуль зсуву” і “змінний модуль всесторонньої деформації”.
Введемо необхідні поняття нелінійної теорії пружності. Тут розрізняють конфігурацію
тіла в момент t (актуальна конфігурація) і конфігурацію тіла в початковий момент t 0
(від-
лікова конфігурація). Координати точки до деформації позначають через kx і припускають,
що після деформації точка зміщується на величину 1 2 3( , , , )k k kx u x x x tξ = + . Вектор з ком-
понентами ku називають вектором зміщень. Тензор деформації Коші—Гріна задається в ла-
гранжевій системі координат { }kx і у відліковій конфігурації , ,( , ) (1 2)(nm k n m m nx t u uε = + +
, , )n i m iu u+ . Опис деформацій дев’ятьма компонентами градієнтів зміщень ,i ku не є єдиним.
Часто також використовують перші три алгебраїчні інваріанти тензора деформації
1 mn mnA = ε δ ,
2
2 (1 2)[( ) ]mn mn ik ikA = ε δ −ε ε ,
3 det mnA = ε ,
які ще записують через головні значення тензора деформації kε за формулами
1 1 2 3A = ε + ε + ε ,
2 1 2 1 3 2 3A = ε ε + ε ε + ε ε ,
3 1 2 3A = ε ε ε .
Крім інваріантів 1 2 3, ,A A A , використовують інваріанти 1 2 3, ,I I I , які визначаються за
формулами
1 13 2 3 2nnI A= + ε = + ,
2
2 1 1 23 4 2( ) 3 4 2( )nn nn mm nm mnI A A A= + ε + ε ε −ε ε = + + − ,
2 3
3 1 1 2 3 2 1 1det 2 1 2 2( ) (4 / 3)(2 3 )pq pqI A A A A A A A= δ + ε = + + − + − + .
У деяких моделях нелінійного деформування використовують коефіцієнти розтягу
(головні видовження) 1 2k kλ = + ε . У лінійній теорії справедлива більш проста формула
1k kλ − ≈ ε . Також у моделях використовують градієнт зміщення у вигляді
1,1 1, 2 1, 3
2,1 2, 2 2, 3
3,1 3, 2 3, 3
1
1
1
u u u
u u u
u u u
⎡ ⎤+
⎢ ⎥
= +⎢ ⎥
⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
F ,
який зв’язаний з лівим тензором деформації Коші—Гріна формулою B = F FT.
Усі написані вище параметри відносять до кінематичних параметрів теорії. Кінетичні
параметри включають тензори напружень. Найчастіше використовують тензор напружень
Коші—Лагранжа ikσ , який вимірюється на одиницю площі деформованого тіла. Більшість
47ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
нелінійних моделей первинно задаються пружним потенціалом як функції кінематичних
параметрів.
Універсальну деформацію простого зсуву реалізують на достатньо довгому стрижні
квад ратного перерізу, в якому на певній відстані від кінців стрижня створюється однорідна
деформація. Нижня сторона стрижня закріплена жорстко, а до верхньої сторони прикладе-
не поверхневе дотичне навантаження. Деформація стрижня визначається одною компонен-
тою градієнта деформації 1, 2 1 2( )u u x= ∂ ∂ . Компонента 1, 2u і кут зсуву γ зв’язані формулою
1, 2 tan 0u = γ = τ > . У лінійній теорії кут зсуву є малим і тоді tanγ ≈ γ = τ. У нелінійній теорії
тензор деформації характеризується трьома ненульовими компонентами:
2
11 1,1 1,1 1, 1, 1, 2 1, 2 1, 3 1, 3(1 2)( ) (1 2)( )k ku u u u u u u uε = + + = + = τ ;
12 21 1, 2 2,1 1, 2,(1 2)( ) (1 2)k ku u u uε = ε = + + = τ .
Головні видовження виражають через кут зсуву формулою
1 2 31,λ = λ = λ = τ .
В універсальній деформації всестороннього стиску—розтягу зразок для експерименту
має вигляд куба, до сторін якого прикладене однорідне поверхневе навантаження (гідро-
статичний тиск у разі стиску). Нормальні напруження рівні між собою 11 22 33σ = σ = σ і зсув-
ні напруження ( )ik i kσ ≠ відсутні. Компоненти градієнтів зміщень є такими:
1,1 2, 2 3, 3 0u u u= = = ε > ,
1,1 2, 2 3, 3 3u u u e+ + = ε = ,
, ( ) 0 ( )k m k mu u x k m= ∂ ∂ = ≠ .
Компоненти тензора деформації мають вигляд
2
11 22 33 (1 2) , 0 ( )ik i kε = ε = ε = ε + ε ε = ≠ .
Алгебраїчні інваріанти визначаються формулами
1 11 22 33I e= ε + ε + ε = ,
2 2 2
2 11 22 33I = ε + ε + ε ,
3 3 3
3 11 22 33I = ε + ε + ε .
Головні видовження рівні 1 2 3λ = λ = λ .
Покажемо, що описані вище дві прості моделі нелінійного пружного деформування
описують ефекти Пойнтінга і Кельвіна у випадку матеріалів, близьких за властивостями до
певних шарів ґрунтової товщі.
Двоконстантна неогукова модель. Пружний потенціал записується у вигляді
2 2/3
1 1 1 1 1 ,( 3) ( 1) , , det i kW C I D J I J I J u−= − + − = =
або
2/3 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3( , , ) [( ) ( ) 3] ( 1)W C D−λ λ λ = λ λ λ λ + λ + λ − + λ λ λ − ,
48 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький
де константи моделі зв’язані з класичними пружними константами співвідношеннями
1 12 ; 2C D k= μ = . Зв'язок між напруженнями і кінематичними параметрами (конститутив-
ні рівняння) описується формулами
5/3
1 1 12 [ (1/ 3) ] 2 ( 1)nm nm nm nmC J B I D J−σ = − δ + − δ ,
5/3
1 1 12 ( (1/ 3) ) 2 ( 1)nn nC J I D J−σ = λ − + − .
Триконстантна модель Муні—Рівліна. Пружний потенціал визначається формулою
2 4/3
10 1 01 2 1 2 2( 3) ( 3) ( 1) ,W C I C I D J I J I−= − + − + − = ,
або
2/3 2 2 2
1 2 3 10 1 2 3 1 2 3
4/3 2 2 2 2 2 2 2
01 1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3
( , , ) [( ) ( ) 3]
[( ) ( ) 3] ( 1)
W C
C D
−
−
λ λ λ = λ λ λ λ + λ + λ − +
+ λ λ λ λ λ + λ λ + λ λ − + λ λ λ − ,
де константи моделі зв’язані з класичними пружними константами формулами 10 012( ) ;C C+ = μ
12D k= . Напруження є такими:
5 3 2 3
10 01 12 ( )J C C J I B− −σ= + −
7/3 5/3 2/3
01 1 10 1 01 2
2
2 [2 ( 1) ( 2 )]1
3
J C BB D J J C I C J I− − −− + − − + ,
5/3 2 2 2 2
10 1 2 3 1 2 3
7/3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
01 1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3
2 ( ) [ (1 3)( )]
2 ( ) [ ( ) (2 / 3) ( )] ( 1)
kk k k
k
k n m k
W
C
C D
−
−
∂σ = λ = λ λ λ λ − λ + λ + λ +
∂λ
+ λ λ λ λ λ + λ − λ λ λ + λ λ + λ λ + λ λ λ −
(індекси knm утворюють циклічну перестановку з номерів 123).
Розглянемо послідовно простий зсув та всесторонній стиск—розтяг у рамках двох опи-
саних вище нелінійних моделей.
У випадку простого зсуву в неогуковій моделі 2(1 )J= + τ , 2
1 1 2I = + τ і вирази для гра-
дієнтів зміщення F і компонентів тензора В спрощуються
1
0 1 0
0 0 1
τ τ⎡ ⎤
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
F ,
21 2
1 0
0 1
⎡ ⎤+ τ τ τ
⎢ ⎥
= τ⎢ ⎥
⎢ ⎥τ⎣ ⎦
B .
Тоді компоненти тензора напружень мають вигляд
10/3
12 21 13 31 1 32 232 (1 ) , 0C −σ = σ = σ = σ = + τ τ σ = σ = ,
10/3
11 1 1(8 / 3) (1 ) ( 1) 2 ( 2)C D−σ = + τ τ− τ+ τ τ+ ,
10/3
22 33 1 1(4 / 3) (1 ) (1 2 ) 2 ( 2)C D−σ = σ = − + τ + τ τ+ τ τ+ .
Ці формули показують, що ефект Пойнтінга описується неогуковою моделлю — значен-
ня кута зсуву зростають від достатньо малих значень до помірно великих і дотичне на-
49ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
пруження нелінійно залежить від кута зсуву. На рис. 3 показана залежність нормова но го
дотичного напруження 12 1( ) 2Cσ τ від кута зсуву (деформації зсуву 12ε ). Цей рисунок і
рис. 4 побудовані для мармуру з модулем зсуву 12 20C = μ = ГПа (а — для неогукової моделі,
б — для моделі Муні—Рівліна). Графіки показують, що дотичні напруження зменшуються
порівняно з лінійною теорією приблизно у три рази для обох моделей.
Розглянемо випадок простого зсуву для моделі Муні—Рівліна. Оскільки для неї і нео-
гукової моделі градієнт зміщення F і компоненти тензора В ідентичні, то
2 2 2 2
1 2 3 1 21, 1 , (1 ) , 1 2 , (1 ) [2 (1 ) ]J I Iλ = λ = λ = + τ = + τ = + τ = + τ + + τ .
Компоненти тензора напружень мають вигляд
10/3 14/3
12 21 10 012 (1 ) 2 (1 ) (1 4 )C C− −σ = σ = + τ τ− + τ + τ τ , (1)
14/3 2
23 32 012 (1 )C −σ = σ = − + τ τ , (2)
10/3 2
11 10 1
14/3 2 3 4
01
2 (1 ) (4 / 3)(1 2 ) 2 (1 2 )
2 (1 ) (4 / 3)(3 5 5 4 2 )
C D
C
−
−
σ = + τ + τ + τ + τ + τ +
+ + τ + τ + τ + τ − τ
, (3)
2 4/3 2 4/3
22 33 1 12 (1 ) [(1 ) (1 2 )(1 (1 ) ) 1] 2 (1 2 )C D− − −σ = σ = + τ + τ + + τ − + τ − + τ + τ . (4)
Видно, що модель Муні—Рівліна описує напруження більш складними формулами, ніж
неогукова модель. Нагадаємо, що саме ця модель була вперше використана для теоретич-
ного опису ефектів Пойнтінга і Кельвіна. Формули (1), (2) описують ефект Пойнтінга,
а формули (3), (4) — ефект Кельвіна. Формули (1), (2) також описують ще один нелінійний
ефект — виникнення дотичних напружень 23 32σ = σ .
Порівнюючи графіки а і б на рис. 3, бачимо що модель Муні—Рівліна показує менше
відхилення залежності дотичного напруження від кута зсуву від лінійної.
У випадку всестороннього стиску—розтягу для неогукової моделі і моделі Муні—Рів-
ліна справедливі формули
1 2 3λ = λ = λ , 3 2
1 1 1, 3J I= λ = λ .
Рис. 3 Рис. 4
50 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
О.В. Кендзера, Я.Я. Рущицький
Для нормального напруження отримується формула
3
11 1 12 ( 1)Dσ = λ − ,
яка описує ефект Пойнтінга (зв’язок між 11σ і видовженням 1λ не є лінійним). Вона свід-
чить також про те, що об’єм зразка у разі такої деформації значно змінюється (в лінійному
випадку об’єм вважається незмінним).
На рис. 4 показана залежність нормалізованого нормального напруження 11 1 11( ) (0)σ λ σ
від видовження 1λ для мармуру в умовах всестороннього стиску—розтягу, яка є справед-
ливою для обох моделей і підтверджує істотне відхилення від лінійного закону. Аналіз гра-
фіка свідчить про те, що початкове значення нормального напруження змінюється більш
ніж у два рази із видовженням у півтора рази, що відповідає помірному рівню скінченних
деформацій.
Таким чином, феноменологічні моделі нелінійної теорії пружності — неогукова мо-
дель і модель Муні—Рівліна — є придатними для використання в трактуванні великого
масиву експериментальних результатів щодо властивостей ґрунтових шарів. Застосуван-
ня цих феноменологічних моделей для вивчення реакції ґрунтових шарів на поширення
сейсмічних коливань через них на поверхню Землі дає змогу отримати явні і строгі мате-
матичні формули, які легко програмуються для використання в комп‘ютерних програ-
мах. Також через свою універсальність ці моделі є застосовними для дослідження більш
широкої різновидності ґрунтів.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Aki K., Richards P.G. Quantitative Seismology. 2nd ed. Sausalito, CA: University Science Books, 2002. 700 p.
2. Кендзера О.В. Сейсмічна небезпека і сейсмічний захист в Україні. Укр. геогр. журн. 2015. № 3. С. 9—15.
3. Kokusho T. Effect of nonlinear soil properties on seismic amplification in surface layers. Proc. 2nd Int. Conf. on
Earthquake Geotechnical Engineering, Lisbon, 1999. P. 913—918.
4. Семенова Ю.В. Методика встановлення резонансних властивостей ґрунтових комплексів при сейсміч-
ному районуванні: дис. … канд. фіз.-мат. наук / Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України.
Київ, 2016.
5. Vucetic M., Dobry R. Effect of soil plasticity on cyclic response. J. Geotech. Eng. 1991. 117. P. 89—107.
6. Bell J.F. Experimental Foundations of Solid Mechanics. Berlin: Springer, 1973. 468 p. (Handbuch der Physik.
von S. Flügge (ed.); Band VIa/I).
7. Rushchitsky J.J. Nonlinear Elastic Waves in Materials. Cham: Springer, 2014. 454 p.
Надійшло до редакції 12.07.2017
REFERENCES
1. Aki, K. & Richards, P.G. (2009). Quantitative Seismology. 2nd ed. Sausalito, CA: University Science Books.
2. Kendzera, O. V. (2015). Seismic Hazard and Seismic Protection in Ukraine. Ukrainian Geogr. J. No. 3, pp. 9-15
(in Ukrainian).
3. Kokusho, T. (1990). Effect of nonlinear soil properties on seismic amplification in surface layers. Proceedings
of the 2nd International Conference on Earthquake Geotechnical Engineering (pp. 913-918), Lisbon.
4. Semenova, Yu. V. (2016). A technique of determination of resonance properties of soil complexes in seismic
microzoning. (Unpublished candidate thesis). S.I. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine,
Kyiv, Ukraine (in Ukrainian).
5. Vucetic, M. & Dobry, R. (1991). Effect of soil plasticity on cyclic response. J. Geotech. Eng., 117, pp. 89-107.
51ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Про нелінійні моделі деформування ґрунтової товщі і поширення сейсмічних коливань
6. Bell, J. F. (1973). Experimental Foundations of Solid Mechanics. von S. Flügge (Ed.). Handbuch der Physik,
Band VIa/I. Berlin: Springer.
7. Rushchitsky, J. J. (2014). Nonlinear Elastic Waves in Materials. Cham: Springer.
Received 12.07.2017
А.В. Кендзера 1, Я.Я. Рущицкий 2
1 Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев
2 Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев
E-mail: kendzera@igph.kiev.ua, rushch@inmech.kiev.ua
О НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГРУНТОВОЙ
ТОЛЩИ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрена возможность использования двух нелинейных феноменологических моделей механики ма-
териалов: неогуковой и Муни—Ривлина – для учета влияния грунтовой толщи при определении сейсми-
ческой опасности строительных площадок. Показано соответствие этих моделей имеющимся
экспериментальным данным при нелинейном деформировании грунтов. Предложено заменять существу-
ющие эмпирические и полуэмпирические модели нелинейного деформирования грунтовой толщи на фе-
номенологические.
Ключевые слова: грунтовая толща, нелинейные феноменологические модели, модуль сдвига, модуль всесто-
роннего сжатия.
O.V. Kendzera 1, J.J. Rushchitsky 2
1 S.I. Subbotin Institute of Geophysics of the NAS of Ukraine, Kiev
2 S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: kendzera@igph.kiev.ua, rushch@inmech.kiev.ua
ON NONLINEAR MODELS OF DEFORMATION
OF STRATA AND PROPAGATION OF SEISMIC VIBRATIONS
A possibility of using two nonlinear phenomenological models from mechanics of materials — Neo-Hookean and
Mooney—Rivlin — with the aim to take the effect of strata into account in studying the seismic hazard for
building sites is considered. A correspondence of these models and experimental data under a nonlinear
deformation of soils is shown. It is proposed to change the existing empirical and semiempirical models of
nonlinear deformation of strata by pheno menological ones.
Keywords: strata, nonlinear phenomenological models, shear modulus, bulk modulus.
|