Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией

На основе точных 3D решений уравнений Ландау–Лифшица в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией предсказано существование нелинейных спиновых волн с особыми точками на волновом фронте, которые являются спин-волновыми аналогами оптических сингулярностей....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2017
Hauptverfasser:	Горобец, Ю.И., Горобец, О.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Schriftenreihe:	Физика низких температур
Schlagworte:	К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129495
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией / Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 5. — С. 707-713. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-129495
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1294952018-01-20T03:03:45Z Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией Горобец, Ю.И. Горобец, О.Ю. К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко На основе точных 3D решений уравнений Ландау–Лифшица в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией предсказано существование нелинейных спиновых волн с особыми точками на волновом фронте, которые являются спин-волновыми аналогами оптических сингулярностей. На підставі точних 3D рішень рівнянь Ландау–Ліфшиця в двухгратковому антиферомагнетику з одновісною магнітною анізотропією передбачено існування нелінійних спінових хвиль з особливими точками на хвильовому фронті, які є спін-хвильовими аналогами оптичних сингулярностей. Based on exact 3D solutions of the Landau-Lifshitz equations in a two-sublattice antiferromagnet with uniaxial magnetic anisotropy, the existence of nonlinear spin waves with singular points on the wavefront is predicted. These waves are spin-wave analogs of optical singularities. 2017 Article Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией / Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 5. — С. 707-713. — Бібліогр.: 34 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 75.25.–j, 75.30.Ds http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129495 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко
spellingShingle	К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко Горобец, Ю.И. Горобец, О.Ю. Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией Физика низких температур
description	На основе точных 3D решений уравнений Ландау–Лифшица в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией предсказано существование нелинейных спиновых волн с особыми точками на волновом фронте, которые являются спин-волновыми аналогами оптических сингулярностей.
format	Article
author	Горобец, Ю.И. Горобец, О.Ю.
author_facet	Горобец, Ю.И. Горобец, О.Ю.
author_sort	Горобец, Ю.И.
title	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
title_short	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
title_full	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
title_fullStr	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
title_full_unstemmed	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
title_sort	сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2017
topic_facet	К 70-летию со дня рождения С.Л. Гнатченко
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129495
citation_txt	Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией / Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 5. — С. 707-713. — Бібліогр.: 34 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT gorobecûi singulârnaâoptikaspinovyhvolnvdvuhpodrešetočnomantiferromagnetikesodnoosnojmagnitnojanizotropiej AT gorobecoû singulârnaâoptikaspinovyhvolnvdvuhpodrešetočnomantiferromagnetikesodnoosnojmagnitnojanizotropiej
first_indexed	2025-07-09T11:36:24Z
last_indexed	2025-07-09T11:36:24Z
_version_	1837169100838666240
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5, c. 707–713 Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией Ю.И. Горобец1, О.Ю. Горобец1,2 1Институт магнетизма НАН и МОН Украины, г. Киев, 03142, Украина E-mail: gorobets@imag.kiev.ua 2Национальный технический университет Украины «КПИ», г. Киев, 03056, Украина E-mail: pitbm@ukr.net Статья поступила в редакцию 30 сентября 2016 г., опубликована онлайн 24 марта 2017 г. На основе точных 3D решений уравнений Ландау–Лифшица в двухподрешеточном антиферромагне- тике с одноосной магнитной анизотропией предсказано существование нелинейных спиновых волн с особыми точками на волновом фронте, которые являются спин-волновыми аналогами оптических сингу- лярностей. На підставі точних 3D рішень рівнянь Ландау–Ліфшиця в двухгратковому антиферомагнетику з одновісною магнітною анізотропією передбачено існування нелінійних спінових хвиль з особливими точками на хвильовому фронті, які є спін-хвильовими аналогами оптичних сингулярностей. PACS: 75.25.–j Конфигурация спинов в магнитоупорядоченных материалах (включая нейтронные и спин-поляризованные электронные исследования, синхронное рентгеновское рассеяние и т.д.); 75.30.Ds Спиновые волны. Ключевые слова: спиновые волны, двухподрешеточный антиферромагнетик, уравнения Ландау–Лифшица, модулированный волновой фронт, сингулярная оптика. Введение В последнее время успешно развиваются методики для измерения распределения интенсивности спиновых волн в образце с высокой пространственной и времен- ной разрешающими способностями [1–4]. С их помо- щью исследуется поведение одно- и двумерных спин- волновых пакетов, спин-волновых солитонов типа «envelope» и «bullets», в том числе их свободное рас- пространение, столкновения, параметрическое возбу- ждение и обращение волнового фронта [5–7]. Недавно также были разработаны экспериментальные подходы, которые делают доступными для измерений информа- цию о фазе волновых пакетов, что позволило наблю- дать спин-волновой фронт с полным двумерным фазо- вым разрешением и детектировать фазу линейных и нелинейных спин-волновых пакетов [8]. На сегодня обращение волнового фронта спин-волновых импуль- сов эффективно используется для обработки сверхвы- сокочастотных сигналов [9]. Использование особенно- стей волнового фронта спиновых волн для передачи информации исследуется в основном в ферромагнит- ных материалах и ферритах. Однако рассматриваются и новые перспективные материалы для спин-волновой электроники — антиферромагнетики, так как они по- зволяют работать на более высоких частотах [10]. Кроме того, в связи с техническими возможностями регистрации фазы и наблюдения фронта спиновых волн представляется актуальным применение методов, развитых и реализованных в сингулярной оптике (дру- гими словами в волновой оптике винтовых полей) [11], для создания сингулярностей на фронте линейных и нелинейных спиновых волн с целью записи и передачи информации. На сегодняшний день идеи сингулярной оптики успешно используются для широкого диапазо- на длин электромагнитных волн, а также для волновых полей другой природы. В частности, такими примера- ми являются сингулярная электронная оптика [12] и завихренность радиоволн [13]. В последнем случае недавно экспериментально была продемонстрирована возможность кодирования и одновременной передачи нескольких радиоканалов на одной и той же частоте путем создания радиочастотных вихрей с двумя раз- ными состояниями орбитальных угловых моментов © Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец, 2017 mailto:gorobets@imag.kiev.ua mailto:pitbm@ukr.net Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец [13]. Эта новейшая техника, в принципе, позволяет передавать неограниченное количество каналов на за- данном фиксированном диапазоне частот [13]. В связи с появившимися новыми техническими возможностя- ми регистрации фазы и наблюдения фронта спиновых волн в данной работе теоретически показана возмож- ность распространения нелинейных спиновых волн с модулированными фронтами и трехмерных солитонов в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноос- ной магнитной анизотропией на основе трехмерных нелинейных решений уравнений Ландау–Лифшица. В частности, модуляция фронта таких нелинейных спиновых возбуждений может содержать сингулярности фронта волны типа оптических винтовых дислокаций разного порядка [14,15], а также плоские особые точки волнового поля типа циркуляции, источника, стока [16]. Основная часть Рассмотрим двухподрешеточный антиферромагне- тик с одноосной магнитной анизотропией и с намагни- ченностями подрешеток 1 2= −M M , 1 2 0M= =M M , где модуль намагниченности обеих подрешеток 0 constM = . Учитывая условия постоянства модуля вектора антиферромагнетизма 0 constL= =L , выбе- рем параметризацию: 0 02 sin cos , 2 sin sin ,x yL M L M= θ ϕ = θ ϕ 02 coszL M= θ , (1) где θ и ϕ — полярный и азимутальный углы для век- тора антиферромагнетизма, xL , yL , zL — декартовы координаты вектора антиферромагнетизма. Тогда уравнения Ландау–Лифшица, описывающие динамику вектора L , имеют вид [17] _____________________________________________________ ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 22 2 2 2 0 12 sin div sin 0, sgn sin cos 0. Н Н c t t c c tt  ∂  ∂ϕ  θ −ω − ∇ϕ θ =   ∂ ∂     ∂ θ ∂ϕ  − ∇ θ+ ω β + ∇ϕ − −ω  θ θ =  ∂  ∂   (2) где 0H gHω = , 02 g µ =  ( 0µ — магнетон Бора,  — константа Планка, 0H — напряженность внешнего магнитного поля), ( ) 1 1 1 1, 0, sgn 1, 0. β > β = − β < 0 0 0 0 1 0 1 4 4 , M M c A A µ µ = α ω = β   . (3) A — константа энергии однородного обмена, 1α — константа неоднородного обмена, 1β — константа одноосной магнитной анизотропии. Уравнение (2) имеет следующие частные трехмерные нелинейные решения [18–21] (вы- вод уравнений (2) и метод получения частных решений рассмотрены в работе [22]): ( ){ } ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2arctg , , , , , , , , , P Q H z v t x yH P x y z P x y z p f l l l z v t x yq g t dt l l l     − θ = = +            −   ϕ = + + ω         ∫ (4) ________________________________________________ где x , y , z — декартовы координаты радиус-вектора произвольной точки в антиферромагнетике, v — ско- рость нелинейной спиновой волны, 1 0 1 0 cl α = = β ω , параметры p и q определяются выражениями ( )1 2 2 sgn 0, 1 /Q p q v c − β = = ± − (5) или ( )1 2 2 sgn , 0 1 /P p q v c β = ± = − , (6) функция ( )H P имеет вид ( ) ( ) 0 0 1 1dn , b H P c C P k = , (7) 708 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике где 1 1 0 1 1 2 1 4 , 2 C C c C + + + = 1 1 0 1 1 2 1 4 , 2 C C b C + − + = 1 1 1 1 2 1 4 1 2 1 4 C k C C + = + + + , 1 1 0 4 C− < < , 10 1k< ≤ , или ( ) ( ) ( ) 2 2 1 sn , 1 sn , P k H P P k − = + , (8) где 2 1 1 1 4 k C = + , 1 0C > , 20 1k< ≤ . Функции ( ),f X Y и ( ),g X Y имеют вид ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1,2 1,2 2 ( ) ( ) ( ) 0 1,2 1,2 0 3 ( ) ( ) ( ) 0 2, ln cos sin , 2, ln cos sin , i i i i i i i i in n i n in i n i i i i i i i i i in n i n in i n i f X Y n k K k n C A B n C n g X Y k K k n n C A C n B n  = − + ⋅ α + + π   + α + α  −   = − ⋅ − + α + +  π   + α − α  − ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ r r r r r r r r       (9) где введены обозначения 0 0 ,x yX Y l l = = , (10) здесь r — двумерный вектор с координатами в плоско- сти XOY ( , )X Y=r , 0ir — двумерный вектор с коорди- натами в плоскости XOY , перпендикулярной направ- лению распространения спиновой волны, 0 0( , )oi i iX Y=r , где 0iX , 0iY — некоторые безразмерные константы, 0 0 arctg i i i Y Y X X  − α =  −  , i , n, in , in — целые числа, ( ) ( ) 2 2 2 0 0, 0 , 1, 0 1 sin dK k k π ξ ≤ ξ Θ ξ = = ξ > − ξ ∫ . (11) Заметим, что выражение для функции ( , )f X Y в (9) представляет собой разложение в ряд по степеням 0i−r r произвольной гармонической функции двух переменных X и Y , а выражение для функции ( , )g X Y в (9) представляет собой разложение в ряд по степеням 0i−r r гармонической функции тех же двух переменных X и Y , которая является сопряженной функцией по от- ношению к функции ( , )g X Y . Это значит, что функции ( , )f X Y и ( , )g X Y связаны условиями Коши–Римана [22] и являются собственными функциями двумерного оператора Лапласа. Заметим, что в статическом случае (т.е. при 0 t ∂θ = ∂ и 0 t ∂ϕ = ∂ ) уравнения (2), описывающие координатные зависимости полярного и азимутального углов вектора антиферромагнетизма в двухподрешеточном антифер- ромагнетике с одноосной магнитной анизотропией, совпадают с соответствующими уравнениями для про- странственного распределения полярного и азимуталь- ного углов вектора намагниченности в ферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией в обменном при- ближении [17] (т.е. в случае, когда можно пренебречь магнитостатической энергией ферромагнетика [17]). Поэтому функциональный вид всех полученных в на- стоящей работе решений уравнений (2) при 0Pv = и 0Qv = распространяется и на случай статических рас- пределений намагниченности ферромагнетика с анизо- тропией типа «легкая ось» или «легкая плоскость». В этом смысле слова при анализе частных случаев реше- ний (4) мы будем говорить об аналогичных известных решениях в ферромагнетике. Проанализируем полученные трехмерные нелиней- ные решения (4) уравнений Ландау–Лифшица в двух- подрешеточном антиферромагнетике с одноосной маг- нитной анизотропией (2). Для примера выберем функцию ( )H P в виде (8) и будем считать напряжен- ность внешнего магнитного поля 0 0H = . Также для определенности рассмотрим случай магнитной анизо- тропии типа «легкая ось», при этом параметры p и q определяются выражениями (6). Тогда проекции век- тора антиферромагнетизма на оси декартовой системы координат примут вид _____________________________________________________ 0 22 2 0 0 0 0 0 0 22 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 12 cn , , cos , , 1 / 12 cn , , sin , , 1 / 12 sn 1 / P x P P y P P z P z v t x y x yL M f k g l l l l lv c z v t x y x yL M f k g l l l l lv c z v t xL M f lv c         − = ⋅ +               −          − = ⋅ +               −   − = ⋅ +   − 2 0 0 , , .y k l l                     (12) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 709 Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец Выражение (12) представляет собой нелинейную спиновую волну, распространяющуюся вдоль оси Oz . При 0 0 0 0 , , 0x y x yf g l l l l     = =        решение (12) является нелинейной плоской волной. Как известно, волновой фронт волновых пучков, близких по своим свойствам к плоской волне, выглядит как семейство непересекаю- щихся поверхностей. Расстояние между соседними поверхностями равно длине волны. При этом, функции 0 0 ,x yf l l       и 0 0 ,x yg l l       представляют собой модуляции плоского волнового фронта. В оптике имеющие место в реальных пучках отклонения волновых фронтов от плоской формы называются оптическими аберрация- ми. Однако все аберрации, рассматриваемые в класси- ческой теории, деформируют волновой фронт без из- менения его топологии. Иная картина наблюдается при наличии в монохроматической волне оптических вих- рей [11–15]. Если такие вихри появились, то на по- верхности волнового фронта присутствуют особые точки, которые во многих отношениях аналогичны известным в физике твердого тела дефектам кристал- лической решетки — винтовым дислокациям и имеют такое же название [11–15]. В самой особой точке ам- плитуда световых колебаний обращается в нуль, а зна- чение фазы не определено. В окрестности ее происхо- дят резкие коллапсирующие фазовые изменения. Из-за наличия такой особенности функция фазового распре- деления относится к классу сингулярных функций, что и стало причиной появления упомянутого выше тер- мина «сингулярная оптика». Спиновая волна типа (12), как будет показано далее, при специальном выборе функций 0 0 ,x yf l l       и 0 0 ,x yg l l       может содержать осо- бые точки на поверхности волнового фронта, в том числе винтовые дислокации, если для спиновых волн типа (4) пользоваться терминологией, которая принята для электромагнитных волн оптического диапазона. Так, в оптике винтовыми дислокациями называются точки фронта волны, при обходе вокруг которых в плоскости, перпендикулярной к направлению распро- странения, фаза световых колебаний изменяется на величину 2 lπ , где l — целое число, отличное от нуля. Величина l называется порядком дислокации или то- пологическим зарядом поверхности волнового фронта. Амплитуда электрического поля ( , )E r α вблизи опти- ческих винтовых дислокаций 0r → порядка l описы- вается выражением ( , ) exp ( )lE r r ilα = ± α [14]. В зависимости от направления закрутки «винта» волновой поверхности винтовые дислокации подраз- деляются на левые (отрицательные) и правые (положи- тельные). На поверхности волнового фронта может возникать как единичная винтовая дислокация, так и целая система дислокаций. Появление винтовых дис- локаций кардинальным образом меняет топологию волнового фронта. Эквифазная поверхность перестает быть многолистной, и осуществляется переход к еди- ной поверхности со специфической винтовой структу- рой (рис. 1) [11–15]. Для описания аналогичных сингулярностей на фронте спиновой волны в решении (12) рассмотрим колебания вектора антиферромагнетизма в окрестно- сти особой точки в плоскости, перпендикулярной на- правлению распространения спиновой волны pz v t= . Здесь и далее наличие индекса i в соответствующих коэффициентах фактически означает возможность описания системы особых точек с радиус-векторами 0i=r r в плоскости, перпендикулярной направлению распространения спиновой волны. При этом возьмем асимптотику при 0 0i= →r r в выражении (9) для полного ряда разложения гармони- ческой функции 0 0 ,x yf l l       и сопряженной ей гармони- ческой функции 0 0 ,x yg l l       по степеням 0i=r r . Рас- смотрим такое возмущение волнового фронта, для которого коэффициенты при ( )0ln i=r r и при целых отрицательных степенях 0i=r r равны нулю. Подстав- ляя эту асимптотику в (12), получим: _____________________________________________________ ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 ( ) ( ) ( 0 0 2 cn cos sin , cos cos sin , 2 cn cos sin , sin cos sin , 2 sn cos l li i i i i i x i i i i i il l l l l l l li i i i i i y i i i i i il l l l l l li i z i il l l L M A B n C l k A C l B l L M A B l C l k A C l B l L M A B l C = − α + α − α − α = − α + α − α − α = − α + r r r r r r r r r r ( )( )) 2sin , .i il k       α (13) ________________________________________________ В формулах (13) из всего ряда (9) разложения гармо- нической функции по степеням 0i−r r при 0 0i− →r r остается только слагаемое с n l= − , где 0l > — мини- мальная положительная степень 0i−r r в указанном ряде. Также, учитывая условие 0 0i− →r r , в формулах (13) обычные, а также эллиптические синус и косинус можно разложить в ряд Тейлора с точностью до линей- ных членов по аргументу этих функций: 710 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 2 , 2 – cos sin , 2 – cos sin . x li i i y i i il l l li i i z i i il l l L M L M A C l B l L M A B l C l  ≈  ≈ α − α   = α + α  r r r r (14) Разложение (14) справедливо, если ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 2cos sinli i i i i il l lA B l C l K k ′− α + α <r r и ( ) ( )cos sin 1i i i il lC l B lα − α < , где 21k k′ = − . Если выбрать возмущение волнового фронта, для которого коэффициент ( ) 0i lB = и обозначить ( ) ( )( ) i ii l lC A C= , тогда из (14) следует: ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 , 2 cos , 2 sin . x li y i i li z i i L M L M C l L M C l  ≈   ≈ − α   ≈ − α r r r r (15) Из формул (15) очевидно, что в окрестности особой точки с радиус-вектором 0i−r r в плоскости, перпенди- кулярной направлению распространения спиновой волны, амплитуда отклонения вектора антиферромаг- нетизма от однородного направления стремится к ну- лю при 0 0i− →r r , а при обходе вокруг особой точки фаза нарастает на 2 lπ . Это позволяет трактовать выра- жение (15) как спин-волновую аналогию оптической винтовой дислокации. В зависимости от направления вращения вектора антиферромагнетизма, которое оп- ределяется знаком топологического заряда l , выраже- ние (15) описывает левые (отрицательные) и правые (положительные) винтовые дислокации (рис. 2). Если же для описания модуляции фронта спиновой волны в решении (12) не полагать коэффициенты при ( )0ln i−r r или при целых отрицательных степенях 0i−r r равными нулю, то можно получить особенно- сти с ненулевой амплитудой на фронте спиновой вол- ны. Следующий пример спин-волновой особенности иллюстрирует случай, для которого амплитуда откло- нения вектора антиферромагнетизма от однородного направления конечна при 0 0i− →r r , а при обходе вокруг особой точки фаза нарастает на 2 lπ : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 2 cn ln , cos , 2 cn ln , sin , 2 sn ln , . x i i i i y i i i i z i i L M n k n C L M An k n C L M n k  = − α +   = − α +  = − r r r r r r           (16) Несмотря на то, что за исключением особых случа- ев, принцип суперпозиции не справедлив для решений нелинейных уравнений, в решениях (4) реализован принцип суперпозиции для гармонических функций 0 0 ,x yf l l       и 0 0 ,x yg l l       , которые стоят под знаком функции ( )H P . А именно: сумма гармонических функций также является гармонической, их разложе- ния в ряды (9) возможны в силу линейности оператора Лапласа, собственными функциями которого они яв- ляются. Поэтому для рассмотренной в данной работе нелинейной спиновой волны в антиферромагнетике может возникать как единичная особая точка, так и целая система особенностей с произвольным располо- жением на поверхности волнового фронта. Отметим также несколько интересных частных слу- чаев решений типа (4), рассмотренных в настоящей работе. Как известно, при значении модуля эллиптиче- ской функции, равном единице, эллиптические функ- ции вырождаются в гиперболические, и выражение (8) для функции ( )H P значительно упрощается: 1 th( )( ) 1 th( ) PH P P − = + . (17) При этом в параметризации (1) обычные тригоно- метрические синус и косинус полярного угла для век- тора антиферромагнетизма задаются выражениями Рис. 1. Структура волновых фронтов при отсутствии (а), при наличии винтовой дислокации (б), λ — длина волны [11–15]. Рис. 2. Два типа сингулярностей для вращающихся компо- нент вектора антиферромагнетизма: циркуляция [23], соглас- но (16), при 3 ( /2)C = ± π и 1in = (а), источник или сток [23], согласно (15), при 1l = или (16) при 1in = и 3 0C = или 3C = π (б). Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 711 Ю.И. Горобец, О.Ю. Горобец ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 0 0 2 sin cos 2 1 th cos , 2 sin sin 2 1 th sin , 2 cos 2 th , x y z L M M P L M M P L M M P  = θ ϕ = − ϕ  = θ ϕ = − ϕ  = θ =  (18) где P и ϕ задаются формулами (4). Выражение в последней формуле 02 th( )zL M P= на- поминает кинк-подобный солитон (монополь), от анг- лийского kink — перегиб [24]. Формально кинк можно ввести как решение уравнений Кортевега–де Фриза [25], нелинейного уравнения Шредингера [26], уравнения sin-Гордона [27], описываемое гиперболическим тан- генсом. Изменение знака решения типа «кинк» на про- тивоположный дает «антикинк». При этом, в общем слу- чае 02 th( )zL M P= представляет собой трехмерный кинк, а при 0 0 , 0x yf l l   =    и 0 0 , 0x yg l l   =    — одномерный. Также выражение (8) для функции допускает зна- чительное упрощение при значении модуля эллип- тической функции, равном нулю, так как при этом эллиптические функции вырождаются в обычные три- гонометрические синус и косинус. С учетом вышеука- занного предельного случая выражение (8) для функ- ции ( )H P принимает вид ( ) ( ) ( ) 1 sin 1 sin P H P P − = + . (19) При этом в параметризации (1) обычные тригоно- метрические синус и косинус полярного угла для век- тора антиферромагнетизма также выражаются через тригонометрические синус и косинус: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 2 sin cos 2 cos cos , 2 sin sin 2 cos sin , 2 cos 2 sin , x y z L M M P L M M P L M M P  = θ ϕ = ϕ  = θ ϕ = ϕ  = θ = (20) где P и ϕ также задаются формулами (4). Проводя вышеуказанное соответствие между реше- ниями (4) и аналогичными решениями для распределе- ний намагниченности в ферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией, заслуживает внимания, что при 0Pv = в одномерном случае (т.е. при 0 0 , 0x yf l l   =    и 0 0 , 0x yg l l   =    , ( ) 0 zP P z l = = ) подстановка (18) в (1) дает плоскую доменную границу [28,29]. В этом же смысле подстановка (12) в (1) в одномерном случае при 0Pv = описывает распределение намагниченности фер- ромагнетика, полученное впервые Широбоковым [30]: 0 2 0 0 2 0 2 cn , , 0, 2 sn , . x y z zL M k l L zL M k l     =       =    =     (21) Эта и следующие формулы могут использоваться при проведении аналогии между решениями (4) и стати- ческими распределениями намагниченности ферромаг- нетика, если положить =L M — вектор намагниченно- сти ферромагнетика, 02SM M= — намагниченность насыщения ферромагнетика. Однако эти формулы од- новременно описывают нелинейные статические ре- шения уравнений (2) в двухподрешеточном антифер- ромагнетике. Рассмотрим также вышеуказанное соответствие между решениями (4) и аналогичными решениями для распределений намагниченности в ферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией в двумерном слу- чае (т.е. при отсутствии зависимости углов θ и ϕ от координаты z , что имеет место в магнетике без анизо- тропии, т.е. при 1 0β = ). Тогда при 0Pv = и при выборе следующих функций ( , )f X Y и ( , )g X Y ( ) ( ) ( ) , ln , , , f X Y n r g X Y n  =  = α     (22) подстановка (18) в (1) дает в качестве частного случая решений (4) известный двумерный солитон Белавина– Полякова в изотропном ферромагнетике [31]: 1tg , 2 , n r n  θ    =         ϕ = α     (23) или то же самое в других обозначениях: 2 0 2 0 0 2 1 cos , 2 1 sin , 2 . n n x n n n n y n n n n z n n r rL M n r r r rL M n r r r rL M r r − − − − − −    − = − α  +      −  = − α  +      − =   +                               (24) Таким образом, для солитонных частных случаев суперпозиция отдельных членов ряда в разложении функций ( , )f X Y и ( , )g X Y по степеням 0i−r r факти- чески представляет собой «суперпозицию» модуляций формы трехмерных движущихся солитонов. 712 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике Заключение В качестве частных случаев из рассмотренного класса решений уравнений Ландау–Лифшица при проведении соответствия со статическими решениями для распреде- лений намагниченности одноосного ферромагнетика сле- дуют решения типа известных двумерных солитонов Бе- лавина–Полякова [31], одномерных Широбокова [30], блоховской доменной границы [28], солитоны Ходенкова [32], солитон типа мишени [33] и некоторые другие из- вестные нелинейные решения. Также данный класс ре- шений уравнений Ландау–Лифшица для антиферромаг- нетика с одноосной магнитной анизотропией показывает принципиальную возможность реализации вихревой оп- тики на нелинейных спиновых волнах [34]. This project has received funding from the European Union’s Horizon 2020 research and innovation programme under the Marie Skłodowska-Curie grant agreement No. 644348 (MagIC). 1. M. Bauer, O. Büttner, S.O. Demokritov, B. Hillebrands, V. Grimalsky, Yu. Rapoport, and A.N. Slavin, Phys. Rev. Lett. 81, 3769 (1998). 2. S.O. Demokritov, B. Hillebrands, and A.N. Slavin, Phys. Rep. 348, 441 (2001). 3. O. Büttner, M. Bauer, S.O. Demokritov, B. Hillebrands, Yu.S. Kivshar, V. Grimalsky, Yu. Rapoport, and A.N. Slavin, Phys. Rev. B 61, 11576 (2000). 4. B. Hillebrands, Rev. Sci. Instrum. 70, 1589 (1999). 5. A.A. Serga, B. Hillebrands, S.O. Demokritov, A.N. Slavin, Phys. Rev. Lett. 92, 117203 (2004). 6. A.N. Slavin, O. Büttner, M. Bauer, S.O. Demokritov, B. Hillebrands, M.P. Kostylev, B.A. Kalinikos, V. Grimalsky, and Yu. Rapoport, Chaos 13, 693 (2003). 7. A.A. Serga, B. Hillebrands, S.O. Demokritov, A.N. Slavin, P. Wierzbicki, V. Vasyuchka, O. Dzyapko, and A. Chumak, Phys. Rev. Lett. 94, 167202 (2005). 8. A.A. Serga, T. Schneider, B. Hillebrands, S.O. Demokritov, and M.P. Kostylev, Appl. Phys. Lett. 89, 063506 (2006). 9. V.I. Vasyuchka, G.A. Melkov, A.N. Slavin, A.V. Chumak, V.A. Moiseienko, and B. Hillebrands, J. Phys. D 43, 325001 (2010). 10. A.V. Kimel, B.A. Ivanov, R.V. Pisarev, P.A. Usachev, A. Kirilyuk, and Th. Rasing, Nature Phys. 5, 727 (2009). 11. A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, and A. Zeilinger, Nature 412, 313 (2001). 12. J. Bahrdt, K. Holldack, P. Kuske, R. Müller, M. Scheer, and P. Schmid, Phys. Rev. Lett. 111, 034801 (2013). 13. F. Tamburini, E. Mari, A. Sponselli, B. Thide, A. Bianchini, and F. Romanato, New J. Phys. 14, 033001 (2012). 14. П.В. Короленко, Оптика когерентного излучения, Москва (1997). 15. Twisted Photons. Applications of Light with Orbital Angular Momentum, J.P. Torres and L. Torner (eds.), WILEY-VCH Verlag & Co. KGaA (2011). 16. P.A. Firby and C.F. Gardiner, Surface Topology, Ellis Horwood, Chichester (1982). 17. А.М. Косевич, Б.А. Иванов, А.С. Ковалев, Нелинейные волны намагниченности, динамические и топологические солитоны, Наукова думка, Киев (1983). 18. О.Ю. Горобець, Вісник Донецького університету, Сер. А, вип. 1, 469 (2007). 19. V.G. Baryakhtar, O.Yu. Gorobets, and V.Yu. Gorobets, J. Magn. Magn. Mater. 280, 377 (2004). 20. O.Yu. Gorobets and V.Yu. Gorobets, Chaos, Solitons and Fractals 23, 1121 (2005). 21. O.Yu. Gorobets, Chaos, Solitons and Fractals 36, 671 (2008). 22. Yu.I. Gorobets, O.Yu. Gorobets, and V.V. Kulish, Commun. Nonlinear Science Numer. Simulat. 42, 52 (2017). 23. M.R. Dennis, Topological Singularities in Wave Fields, A thesis submitted to the University of Bristol in accordance with the requirements of the degree of Ph.D. in the Faculty of Science (2001). 24. B. Denardo, W. Wright, and S. Putterman, Phys. Rev. Lett. 64, 1518 (1990). 25. D.J. Korteweg and G. de Vries, Philos. Mag. 422, 39 (1895). 26. V.E. Zakharov and S.V. Manakov, J. Theor. Mathem. Phys. 19, 551 (1974). 27. R. Rajaraman, Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory, North- Holland Personal Library, North-Holland (1989). 28. F. Bloch, Z. Physic. 74, 295 (1932). 29. L. Néel and C.R. Acad, Sci. Paris 241, 533 (1955). 30. М.Я. Широбоков, ЖЭТФ 15, 57 (1945). 31. А.А. Белавин, А.М. Поляков, Письма в ЖЭТФ 22, 503 (1975). 32. Г.Е. Ходенков, ФММ 54, 644 (1982). 33. A.B. Borisov, S.A. Zykov, N.A. Mikushina, and A.S. Moskvin, Phys. Solid State 4, 312 (2002). 34. O.Y. Gorobets, Y.I. Gorobets, and R.V. Verba, Abstracts of The 59th Annual Conference on Magnetism and Magnetic Materials, Honolulu, HI, USA, HU-08, 876 (2014). Singular optics of spin waves in a two-sublattice antiferromagnet with uniaxial magnetic anisotropy Yu.I. Gorobets and O.Yu. Gorobets In this paper existence of spin waves with singular points at the wavefront is predicted in a two-sublattice antiferromagnet with uniaxial magnetic anisotropy on the basis of exact 3D solutions of Landau–Lifshitz equations representing to the analogy with optical sin- gularities. PACS: 75.25.–j Spin arrangements in magnetically ordered materials (including neutron and spin- polarized electron studies, synchrotron-source x-ray scattering, etc.); 75.30.Ds Spin waves. Keywords: spin waves, two-sublattice antiferromag- net, Landau–Lifshitz equations, modulated wave front, singular optics. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 5 713 http://iopscience.iop.org/0022-3727/ http://iopscience.iop.org/0022-3727/43 Введение Основная часть Заключение

Сингулярная оптика спиновых волн в двухподрешеточном антиферромагнетике с одноосной магнитной анизотропией

Institution

Ähnliche Einträge