Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций

В рамках модели Хаббарда вычислены антикоммутаторные функции Грина и определены энергетические спектры для однослойных углеродных нанотрубок типа зигзаг с учетом конечной кривизны поверхности нанотрубок. Полученные спектры элементарных возбуждений для нанотрубок (9,0) показали, что «металлические»...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Миронов, Г.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2017
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129507
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г.И. Миронов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 6. — С. 902-908. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-129507
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1295072018-01-20T03:04:24Z Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Миронов, Г.И. Низкоразмерные и неупорядоченные системы В рамках модели Хаббарда вычислены антикоммутаторные функции Грина и определены энергетические спектры для однослойных углеродных нанотрубок типа зигзаг с учетом конечной кривизны поверхности нанотрубок. Полученные спектры элементарных возбуждений для нанотрубок (9,0) показали, что «металлические» нанотрубки типа зигзаг являются узкощелевыми полупроводниками. Сравнение с экспериментальными значениями энергетических щелей продемонстрировало совпадение теоретических и экспериментальных значений. В рамках моделі Хаббарда обчислено антікомутаторні функції Гріна та визначено енергетичні спектри для одношарових вуглецевих нанотрубок типу зігзаг з урахуванням кінцевої кривизни поверхні нанотрубок. Отримані спектри елементарних збуджень для нанотрубок (9,0) показали, що «металеві» нанотрубки типу зігзаг є вузькощілинними напівпровідниками. Порівняння з експериментальними значеннями енергетичних щілин продемонструвало збіг теоретичних та експериментальних значень. Anticommutator Green's functions, and the energy spectra of zigzag single-walled carbon nanotubes are determined using the Hubbard model with consideration of the finite curvature of the nanotube surface. The obtained spectra of the elementary excitations for nanotubes (9,0) have shown that the “metallic” zigzag nanotubes are actually narrow-gap semiconductors. A comparison with the experimental values of the band gaps has shown that the theoretical and experimental values coincide. 2017 Article Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г.И. Миронов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 6. — С. 902-908. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.10.Fd, 73.22.–f, 78.67.Ch http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129507 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы
spellingShingle	Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Миронов, Г.И. Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Физика низких температур
description	В рамках модели Хаббарда вычислены антикоммутаторные функции Грина и определены энергетические спектры для однослойных углеродных нанотрубок типа зигзаг с учетом конечной кривизны поверхности нанотрубок. Полученные спектры элементарных возбуждений для нанотрубок (9,0) показали, что «металлические» нанотрубки типа зигзаг являются узкощелевыми полупроводниками. Сравнение с экспериментальными значениями энергетических щелей продемонстрировало совпадение теоретических и экспериментальных значений.
format	Article
author	Миронов, Г.И.
author_facet	Миронов, Г.И.
author_sort	Миронов, Г.И.
title	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций
title_short	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций
title_full	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций
title_fullStr	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций
title_full_unstemmed	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций
title_sort	энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели хаббарда в приближении статических флуктуаций
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Низкоразмерные и неупорядоченные системы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129507
citation_txt	Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г.И. Миронов // Физика низких температур. — 2017. — Т. 43, № 6. — С. 902-908. — Бібліогр.: 25 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT mironovgi énergetičeskijspektrodnostennyhuglerodnyhnanotruboktipazigzagvmodelihabbardavpribliženiistatičeskihfluktuacij
first_indexed	2025-07-09T11:38:15Z
last_indexed	2025-07-09T11:38:15Z
_version_	1837169217254719488
fulltext	Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6, c. 902–908 Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций Г.И. Миронов Марийский государственный университет, г. Йошкар-Ола, Россия E-mail: mirgi@marsu.ru Статья поступила в редакцию 28 июля 2016 г., опубликована онлайн 25 апреля 2017 г. В рамках модели Хаббарда вычислены антикоммутаторные функции Грина и определены энергетиче- ские спектры для однослойных углеродных нанотрубок типа зигзаг с учетом конечной кривизны поверх- ности нанотрубок. Полученные спектры элементарных возбуждений для нанотрубок (9,0) показали, что «металлические» нанотрубки типа зигзаг являются узкощелевыми полупроводниками. Сравнение с экс- периментальными значениями энергетических щелей продемонстрировало совпадение теоретических и экспериментальных значений. В рамках моделі Хаббарда обчислено антікомутаторні функції Гріна та визначено енергетичні спектри для одношарових вуглецевих нанотрубок типу зігзаг з урахуванням кінцевої кривизни поверхні нанотру- бок. Отримані спектри елементарних збуджень для нанотрубок (9,0) показали, що «металеві» нанотрубки типу зігзаг є вузькощілинними напівпровідниками. Порівняння з експериментальними значеннями енер- гетичних щілин продемонструвало збіг теоретичних та експериментальних значень. PACS: 71.10.Fd Решеточные фермионные модели (модель Хаббарда и др.); 73.22.–f Электронная структура наноразмерных материалов и подобных систем; 78.67.Ch Нанотрубки. Ключевые слова: углеродная нанотрубка, энергетический спектр, зонная структура, функция Грина, мо- дель Хаббарда. Необычные электрические свойства синтезированных более двадцати лет назад углеродных нанотрубок [1] де- лают их одним из основных материалов электроники и материаловедения. Углеродные нанотрубки становятся компонентами будущих наноэлектронных приборов, по- скольку считается, что при различных значениях ин- дексов хиральности (n,m) [1] они могут обладать раз- ными типами электропроводности [2]. Расчеты [3–5], выполненные вскоре после открытия углеродных нанотрубок, показали, что металлическим типом зонной структуры обладают те нанотрубки, для которых разность хиральных индексов (n–m) кратна трем. Остальные нанотрубки, для которых величина (n–m) не кратна трем, должны быть полупроводниками. Через несколько лет квантово-химический прогноз [3–5] частично подтвердился экспериментально [6–9]. Оказалось, что по температурной зависимости сопротив- ления все нанотрубки можно разделить на две группы. Сопротивление одних незначительно и почти линейно возрастает с понижением температуры, они были иден- тифицированы как металлы. У другой группы нанотру- бок наблюдалась почти линейная зависимость логарифма сопротивления от обратной температуры, что специфич- но для полупроводников [2]. Хотя работы [6–9] и показали, что нанотрубки бывают как металлическими, так и полупроводниковыми, иссле- дования не подтвердили предсказанную теорией [3–5] зависимость характера электропроводности от их гео- метрии, т.е. от значения индексов (n,m), так как к тому времени полный контроль структуры нанотрубок не был достигнут [2]. К тому же, из-за применения метал- лических частиц в качестве катализаторов нанотрубки могли содержать металлические примеси, влияющие на проводящие свойства. Контроль структуры нанотрубок стал возможным с развитием сканирующей туннельной микроскопии и спектроскопии. Для индивидуальных ультрачистых нанотрубок удалось определить и атомную структуру (хиральность), и электропроводность [10,11]. © Г.И. Миронов, 2017 Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда Анализ экспериментальных данных подтвердил теоре- тические соображения о зависимости типа проводимо- сти от геометрии нанотрубок. Был сделан вывод, что, в согласии с данными квантовой химии [3–5], нанотруб- ки, для которых разность (n–m) кратна трем, являются металлическими, несмотря на то, что сопротивление этих нанотрубок с понижением температура не пони- жалось, а остальные — полупроводниковыми. Однако недавние эксперименты (см. [12,13]) подвергают со- мнению вывод о металлическом характере проводимо- сти нанотрубок типа зигзаг, для которых разность ин- дексов (n–m) кратна трем. Предположение о том, что нанотрубки (n,m) с разно- стью хиральных индексов (n–m), кратной трем, должны быть металлическими, основано на простой теоретиче- ской модели, в которой учитывают только топологию химических связей и пренебрегают энергией кулонов- ского отталкивания π-электронов с противоположно ориентированными проекциями спинов, оказавшихся на одной орбитали атома. То есть пренебрегают тем, что подсистема π-электронов в одностенных нанотрубках является, по сути, сильно коррелированной подсисте- мой. Пренебрегают также кривизной поверхности на- нотрубки, из-за которой атомные pπ -орбитали ориен- тированы не строго параллельно друг другу. В работах [12–14] высказано предположение, что в случае нано- трубок (n,0) типа зигзаг последнее должно приводить к образованию узкой щели между валентной зоной и зо- ной проводимости. Для экспериментального обнару- жения щели между валентной зоной и зоной проводи- мости при температуре 5 К для нанотрубок (9,0) в ультравысоком вакууме методами сканирующей тун- нельной спектроскопии в области уровня Ферми были определены дифференциальные проводимости, значе- ния которых, с точностью до постоянного множителя, равны плотностям электронных состояний [12]. Иссле- дование вольт-амперных характеристик проводилось для индивидуальных сверхчистых нанотрубок, разме- щенных на подложке Au (111). Эти данные действи- тельно свидетельствуют о существовании у нанотру- бок (9,0) в области уровня Ферми энергетической щели. Чтобы понять, не подложка ли влияет на проводящие свойства нанотрубок, в работе [14] были проведены измерения вольт-амперных характеристик нанотрубок на Si3N4 тонкой подложке, нанесенной на Si. Экспери- менты [14] подтвердили наличие узких зон запрещен- ной энергии для «металлических» нанотрубок. Поэтому нанотрубки типа зигзаг, строго говоря, вне зависимо- сти от разности хиральных индексов (n–m), оказывают- ся узкощелевыми полупроводниками, а не металлами. Цель работы — исследование зонной структуры од- ностенных нанотрубок типа зигзаг с учетом модели сильной связи [13], электрон-электронной корреляции в π-электронной подсистеме [15–17], конечной кривиз- ны поверхности нанотрубки [12,13] и объяснение ре- зультатов эксперимента [12]. В углеродных нанотрубках углерод находится в 2sp - гибридизированном состоянии, и основной вклад в свой- ства таких систем вносит π-электронная подсистема. Особенностью π-электронной подсистемы является то, что электроны этой подсистемы оказываются частично как локализованными, так и делокализованными. π-элек- троны из-за перекрытия волновых функций соседних атомов могут перескакивать с узла на соседний узел нанотрубки, вследствие чего на одном узле могут ока- заться два π-электрона с разными проекциями спинов. При этом возникает необходимость учета энергии ку- лоновского отталкивания электронов, оказавшихся на одном узле. Поэтому все чаще физики, занимающиеся нанотрубками, приходят к выводу, что π-электронная подсистема в нанотрубках представляет собой подсис- тему с сильными корреляциями. В ряде работ, напри- мер [16,17], отмечается, что экспериментальные дан- ные по нанотрубкам нельзя объяснить без привлечения концепции о сильно коррелированных состояниях. Для описания сильно коррелированных систем будем ис- пользовать модель Хаббарда [18]. Гамильтониан Хаб- барда с учетом наличия в нанотрубках двух подреше- ток A и C имеет вид 0 ,H H V= + (1) ( )0 σ σ σ σ σ σ σ, , , f l fl f l l f f A l С f l H n n B a a a a+ + ∈ σ ∈ σ ≠ = ε + ε + +∑ ∑ ∑ , (2) f f l l f A l C V U n n U n n↑ ↓ ↑ ↓ ∈ ∈ = +∑ ∑ , (3) где , j ja a+ σ σ — ферми-операторы рождения и уничто- жения электронов на узле j (j = f, l) нанотрубки с про- екцией спина σ, j j jn a a+ σ σ σ= , ε — собственная энергия электрона, U — энергия кулоновского отталкивания электронов с противоположно ориентированными спи- нами на одной pπ -орбитали, ( ) flB B f l= − — инте- грал переноса, описывающий перескоки π-электрона от атома к соседнему атому за счет кинетической энер- гии и поля наносистемы с учетом кривизны поверхно- сти нанотрубки. Уравнения движения для операторов рождения элек- трона в представлении Гейзенберга имют вид (j = f, l; i = l, f; τ = it) ji jj j i j i d a a B a Un a d + + + + ↓↑ ↑ ↑ ↑ = ε + + τ ∑ . (4) Представим оператор числа частиц в (4) в виде ( ) ( ).j j jn n n↓ ↓ ↓〉τ = 〈 + ∆ τ (5) Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6 903 Г.И. Миронов Уравнение (4) перепишем в виде , 2 lf ff f l f l C d na S U a B a U n a d + + + + ↓↑ ↑ ↑ ↑ ∈   = ε + + + + ∆  τ    ∑ (6) , 2 lf ll l f l f A d na S U a B a U n a d + + + + ↓↑ ↑ ↑ ↑ ∈   = ε + − + + ∆  τ    ∑ (7) где, по аналогии с [19], введены понятия n — среднего количества π-электронов на одном узле, S — среднего значения проекции спина π-электрона на узле. В даль- нейшем ограничимся случаем, когда n = 1 (количество π-электронов совпадает с количеством атомов в нано- трубке). Для оператора рождения частиц введем понятие «типа представления взаимодействия» [20–22]: ( ) ( ) e 0 eH H f fa a+ τ + − τ ↑ ↑ τ = = ( )( )0 0 0 0e e e 0 e e eH H H HH H faτ − τ τ − ττ + − τ ↑ = = ( )0 0e τ eH H faτ − τ+ ↑ =  . (8) Для оператора ( )τfa+ ↑  в (8), как вытекает из (6), по- лучаем следующее уравнение движения: , ff f d a U n a d + + ↓↑ ↑ = ∆ τ    (9) причем, как показывают несложные вычисления, физи- ческая величина, соответствующая оператору флуктуа- ции числа частиц ( )τf fn n↓ ↓∆ = ∆  , является квазиинте- гралом движения, т.е. ( ) ( )τ 0f fn n↓ ↓∆ ≈ ∆  , что упрощает решение уравнения (9), поскольку, воспользовавшись операторным равенством 2 ffn n ↓↓ = , записав уравне- ние движения для оператора на правой стороне равен- ства (9), получаем замкнутую систему двух уравнений движения для операторов. Решение системы уравнений для оператора ( )τfa+ ↑  имеет вид ( ) ( ) ( ) 2τ 0 1 e 1 e 2 nU S U f f na a S  − + τ + + τ   ↑ ↑   = + + −       + ( ) ( )( ) 2 0 0 e 1 e . nU S U f fn a  − + τ + τ   ↓ ↑ + ∆ − (10) Аналогичное решение можно получить и для опера- тора ( )τla+ ↑  . Подставляя решение (10) в (8), получаем ( ) ( ) ( )0 0 2e 0 e 1 e 1 e 2 nU S H H U f f na a S  − + τ τ − τ+ + τ   ↑ ↑   τ = + + −      + ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2 e 0 e e 0 e e 1 e . nU S H H H H U f fn a  − + τ τ − τ τ − τ+ τ   ↓ ↑ + ∆ − (11) Для другой подрешетки ( ) ( ) ( )0 0 2e 0 e 1 e 1 e 2 nU S H H U l l na a S  − − τ τ − τ+ + τ   ↑ ↑   τ = + − −      + ( ) ( ) ( )0 0 0 0 2 e 0 e e 0 e e 1 e . nU S H H H H U l ln a  − − τ τ − τ τ − τ+ τ   ↓ ↑ + ∆ − (12) В (11), (12) введем операторы ( ) ( )0 0e 0 e , H H f fa aτ − τ+ + ↑ ↑ τ = ( ) ( )0 0 e 0 e .H H l la aτ − τ+ + ↑ ↑ τ = (13) Уравнения движения для вновь введенных в (13) операторов рождения электронов в разных подрешет- ках имеют вид , 2 lff f l l C d na S U a B a d + + + ↑ ↑ ↑ ∈   = ε + + +  τ    ∑ (14) . 2 fll l f f A d na S U a B a d + + + ↑ ↑ ↑ ∈   = ε + − +  τ    ∑ (15) Для решения системы уравнений движения (14), (15) воспользуемся следующими преобразованиями Фурье: ( ) ( ) 2 exp , 2 exp . ff k k ll k k a a ikr N a b ikr N + + ↑ ↑ + + ↑ ↑ = − = − ∑ ∑ (16) Из (14), (15) получаем замкнутую систему уравне- ний движения ( ) ( ) ( ) , 2 kk k k d na S U a B b d + + + ↑ ↑ ↑   τ = ε + + τ + τ  τ    (17) ( ) ( ) ( )* , 2 kk k k d nb S U b B a d + + + ↑ ↑ ↑   τ = ε + − τ + τ  τ    (18) где kB зависит от геометрии нанотрубки и в случае нанотрубок типа зигзаг определяется следующим об- разом: ( ) ( )2 2 2 3 3 31 4cos 4cos cos . 2 2 2k x y xB B k a k a k a      ′= + +               (19) Интеграл перескока B′ с учетом конечной кривизны нанотрубки имеет вид 2(1 sin )B B W′ = − α . Угол α ха- рактеризует отношение расстояния между атомами уг- лерода C–C к радиусу нанотрубки, 0,08W = — некото- рый параметр, определяемый из геометрии нанотрубки типа зигзаг. Смысл перенормировки интеграла перено- 904 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6 Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда са B в том, что из-за конечной кривизны нанотрубки перекрытие волновых функций оказывается меньше по сравнению с графеном, поскольку оси симметрии ор- биталей π-электронов соседних атомов углерода ока- зываются непараллельными друг другу. Для нанотруб- ки (9,0) угол 20α = ° — окружность на плоскости, проходящей через центры атомов нанотрубки перпен- дикулярно оси нанотрубки, делится на ( )2 / 2π α одина- ковых секторов. Чем больше радиус нанотрубки, тем угол α меньше, в предельном случае 0α = ° переходим к случаю графена, для которого B B′ = . Несложно получить решения для системы опера- торных уравнений (17), (18): ( )ka+ ↑ τ = ( ) 2 21 0 1 e 1 e 2 k k U Un t n t k k k SU SUa t t    ε+ + τ ε+ − τ   +     ↑       = + + − +           ( ) 2 21 0 e e , 2 k k U Un t n t k k k B b t    ε+ + τ ε+ − τ   +     ↑    + −     (20) ( )kb + ↑ τ = ( ) 2 21 0 1 e 1 e 2 k k U Un t n t k k k SU SUb t t    ε+ + τ ε+ − τ   +     ↑       = − + + +           ( ) 2 21 0 e e . 2 k k U Un t n t k k k B a t    ε+ + τ ε+ − τ   +     ↑    + −     (21) где введено обозначение 2 2 2 . k kt S U B= + (22) Подставив решения для операторов (20), (21) в выра- жения, получающиеся из (11), (12) после преобразова- ния Фурье (16), воспользовавшись перед этим условия- ми ( )0fn n↓ ↓∆ = ∆ , ( )0ln n↓ ↓∆ = ∆ , предполагая теперь для простоты дальнейших рассуждений, что операторы флуктуации в начальный момент времени одинаковы в пределах подрешеток, получаем следующие выражения для фурье-образов антикоммутаторных функций Грина: 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 \| k k Ek k k k SU SUS S t tia a E U SU t E SU t + ↑ ↑        − − + −               〈〈 = + + π − ε − − − 〉 − ε − −  〉 1 1 1 11 1 2 2 2 2k k k k SU SUS S t t E U SU t E SU t       − + + +               + +  − ε − − + − ε − +   , (23) 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 \| k k Ek k k k SU SUS S t tib b E U SU t E SU t + ↑ ↑        + + − +               〈〈 + + π − ε − + − − ε + − 〉   〉 1 1 1 11 1 2 2 2 2k k k k SU SUS S t t E U SU t E SU t       + − − −               + +  − ε − + + − ε + +   . (24) Величина kt в (23), (24) определяется ранее введен- ным равенством (22). Функции Грина (23), (24) характеризуют свойства на- нотрубок. В первую очередь нас интересует энергети- ческий спектр подсистемы π-электронов, который оп- ределяется полюсами функций Грина (23), (24). В дальнейшем ограничимся случаем, когда n = 1 (коли- чество π-электронов совпадает с количеством атомов в нанотрубке). Самосогласованное вычисление среднего значения проекции спина показывает, что в случае низких температур S = 0. На рис. 1 приведен спектр элементарных возбужде- ний для одностенной нанотрубки типа зигзаг (9,0). На этом же рисунке для сравнения приведены энергетиче- ские спектры для нанотрубок типа зигзаг (8,0) и (10,0). Во всех трех случаях энергетические зоны представле- ны в виде верхней и нижней хаббардовских подзон. В случае, когда количество π-электронов совпадает с ко- личеством атомов нанотрубки, нижняя хаббардовская подзона полностью заполнена электронами, а верхняя хаббардовская подзона в основном состоянии не за- полнена электронами, поэтому энергию Ферми можно отождествить с «потолком» нижней хаббардовской под- зоны. Между валентной зоной (нижней хаббардовской подзоной) и зоной проводимости (верхней подзоной) располагается зона запрещенных энергий конечной ши- рины. Поэтому все три спектра на рис. 1 соответствуют полупроводникам. В случае нанотрубки хиральности (9,0), которая, согласно существовавшей ранее в кван- товой химии теории [3–5], должна иметь металличе- ские свойства, нижняя хаббардовская подзона состоит из 20 ветвей, причем ветви симметричны относительно центра нижней подзоны. Несколько слов о результатах вычислений в работах [3–5]. Полученные в этих рабо- тах π-зоны нанотрубок совпадают с нижней хаббардов- ской подзоной. В этих работах высказано мнение, что 10 нижних ветвей нижней хаббардовской подзоны об- разуют «валентную зону», 10 верхних ветвей нижней хаббардовской подзоны — «зону проводимости». По- скольку потолок введенной в этих работах «валентной зоны» и дно «зоны проводимости» касаются в одной точке в центре зоны Бриллюэна, был сделан вывод о том, что нанотрубки (9,0) являются металлами. Энер- гия, соответствующая касанию «валентной зоны» и «зо- ны проводимости», объявлена энергией Ферми. В экс- Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6 905 Г.И. Миронов перименте [12] фермиевская энергия при температуре 5 К соответствовала потолку нижней хаббардовской подзоны, поскольку нижняя подзона полностью запол- нена электронами. Понятно, что на уровне Ферми была обнаружена энергетическая щель и сделан вывод, что нанотрубка (9,0) — узкощелевой полупроводник. Вид зонной структуры, приведенный нами для (9,0), полно- стью согласуется с экспериментальными данными. Поэтому можно сказать, что построенная в нашей ра- боте теория позволяет объяснить полученный в экспе- рименте [12] вывод о том, что нанотрубка (9,0) являет- ся узкощелевым полупроводником. Рис. 1. Энергетический спектр для (а) нанотрубки (9,0), (б) нанотрубки (8,0), (в) нанотрубки (10,0) при значениях параметров: B = –1,4 эВ, U = 8,4 эВ, S = 0, n = 1, / 2Uε = − . 906 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6 Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда Несколько иначе обстоит дело в случае нанотрубок (8,0) и (10,0). Согласно упрощенной теории [3–5], эти на- нотрубки должны обладать полупроводниковыми свой- ствами. Спектры, приведенные для этих нанотрубок в [3–5], соответствуют нижним хаббардовским подзонам на рис. 1(б) и (в). В случае нанотрубки (8,0) в работах [3–5] нижние девять ветвей отождествлены с валентной зоной, а вышележащие девять ветвей этой же нижней хаббардовской подзоны описывались как ветви, при- надлежащие зоне проводимости. Между нижними де- вятью ветвями и верхними девятью ветвями нижней хаббардовской подзоны находится область энергии ко- нечной ширины, которая была отождествлена с запре- щенной зоной, и на этом основании сделан вывод, что, в отличие от нанотрубки (9,0), нанотрубка (8,0) являет- ся полупроводником. Аналогичным образом описыва- лись полупроводниковые свойства нанотрубки (10,0). В действительности энергия Ферми лежит выше, соответ- ствует потолку нижней хаббардовской подзоны, и в области этой энергии во всех трех случаях существует зона запрещенных энергий. В работах [23–25] энерге- тический спектр нанотрубок типа зигзаг рассчитан в рамках функционала плотности неэмпирическим мето- дом линеаризованных присоединенных плоских волн. Получено, что для идеальной (8,0) нанотрубки ширина запрещенной щели равна 0,45 эВ, при этом, аналогично [3–5], не было учтено электрон-электронное взаимо- действие двух π-электронов, оказавшихся на одном узле нанотрубки. Вернемся к узкой щели между хаббардовскими под- зонами для нанотрубки типа зигзаг (9,0). В [12] по- лучено, что ширина щели для ультрачистой индиви- дуальной нанотрубки (9,0) находится в пределах 0,075 эВ 0,085 эВ≤ ∆ ≤ . В нашем случае ширина щели для (9,0) равна 0,078 эВ. Таким образом, вычисленная нами ширина запрещенной зоны полностью соответст- вует экспериментальному значению [12]. Более того, как показано на рис. 2 (сплошная линия) в согласии с работой [12], зависимость величины щели для иссле- дуемых нанотрубок оказалась обратно пропорциональ- ной квадрату радиуса нанотрубки. Таким образом, построенная в нашей работе теория одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг позво- ляет объяснить известные экспериментальные факты о том, что исследуемые в [12–14] нанотрубки типа зигзаг являются узкощелевыми полупроводниками. Результа- ты работы позволяют предсказать значения мини-щелей для нанотрубок типа зигзаг, для которых еще не иссле- дованы проводимости, что и продемонстрировано на рис. 2. Автор выражает благодарность Б.И. Кочелаеву за проявленный интерес к работе и обсуждение резуль- татов. 1. П. Харрис, Углеродные нанотрубы и родственные им струк- туры, Техносфера, Москва (2003). 2. П.Н. Дьячков, Электронные свойства и применение нано- трубок, Бином, Москва (2011). 3. R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus, and M.S. Dresselhaus, Phys. Rev. B 46, 1804 (1992). 4. J.W. Mintmire, D.I. Dunlap, and C.T. White, Phys. Rev. Lett. 68, 631 (1992). 5. N. Hamada and S.-I. Sawada, Phys. Rev. Lett. 68, 1579 (1992). 6. P.G. Collins, A. Zettl, H. Bando, A. Thess, and R.E. Smalley, Science 278, 100 (1997). 7. T.W. Ebbesen, H.J. Lezec, H. Hiura, J.W. Bennet, H.F. Ghaemi, and T. Thio, Nature (London) 382, 54 (1996). 8. C.L. Kane, E.J. Mele, J.E. Fisher, R. Lee, P. Petit, and A. Thess, Eur. Phys. Lett. 41, 683 (1998). 9. T. Pichler, M. Knupfer, M.S. Golden, and J. Fink, Phys. Rev. Lett. 80, 4729 (1998). 10. J.W.G. Wildoer, L.C. Venema, A.G. Rinzler, R.E. Smalley, and C. Dekker, Nature (London) 391, 59 (1998). 11. A. Bachtold, M.S. Fuhrer, S. Plyasunov, M. Forero, E.H. Anderson, A. Zettl, and P.L. McEuen, Phys. Rev. Lett. 84, 6082 (2000). 12. J.-C. Charlier, X. Blasé, and S. Roche, Rev. Mod. Phys. 79, 677 (2007). 13. Min Ouyang, Jin-Lin Huang, Chin Li Cheung, and Charles M. Lieber, Science 292, 702 (2001). 14. V.V. Deshpande, B. Chandra, R. Caldwell, D.S. Novikov, J. Hone, and M. Bockra, Science 323, 106 (2009). 15. L. Balents and M.P.A. Fisher, Phys. Rev. B 55, R 11973 (1997). 16. Z. Wang, D. Psiachos, R.F. Badilla, and S. Mazumdar, J. Phys.: Condens. Matter 21, 095009 (2009). 17. J.E. Bunder and J.M. Hill, Phys. Rev. B 80, 153406-1 (2009). 18. J. Hubbard, Proc. Roy. Soc. A 276, 238 (1963). 19. Д.И. Хомский, ФММ 29, 31 (1970). 20. Г.И. Миронов, ФНТ 31, 1388 (2005) [Low Temp. Phys. 31, 1054 (2005)]. 21. Э.Д. Изергин, Г.И. Миронов, ФНТ 33, 1365 (2007) [Low Temp. Phys. 33, 1038 (2007)]. Рис. 2. Зависимость ширины щели ∆ от радиуса нанотрубки типа зигзаг. Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6 907 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.46.1804 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.631 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.68.1579 http://dx.doi.org/10.1126/science.278.5335.100 http://dx.doi.org/10.1038/382054a0 http://iopscience.iop.org/0295-5075/41/6/683 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.4729 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.80.4729 http://dx.doi.org/10.1038/34139 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.6082 http://dx.doi.org/10.1103/RevModPhys.79.677 http://dx.doi.org/10.1126/science.1058853 http://dx.doi.org/%2010.1126/science.1165799 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.55.R%2011973 http://dx.doi.org/10.1088/0953-8984/21/9/095009 http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevB.80.153406 http://www.jstor.org/stable/2414761 Г.И. Миронов 22. Е.Р. Филиппова, Г.И. Миронов, ФНТ 37, 644 (2011) [Low Temp. Phys. 37, 511 (2011)]. 23. В.Г. Бутько, А.А. Гусев, Т.Н. Шевцова, Ю.Г. Пашкевич, ФНТ 35, 183 (2009) [Low Temp. Phys. 35, 137 (2009)]. 24. В.Г. Бутько, А.А. Гусев, Т.Н. Шевцова, Ю.Г. Пашкевич, ФНТ 35, 1133 (2009) [Low Temp. Phys. 35, 883 (2009)]. 25. В.Г. Бутько, А.А. Гусев, Т.Н. Шевцова, Ю.Г. Пашкевич, ФНТ 37, 1282 (2011) [Low Temp. Phys. 37, 1021 (2011)]. Energy spectrum of single-walled zigzag carbon nanotubes in the Hubbard model in the static-fluctuation approximation G.I. Mironov Anticommutator Green’s functions are calculated and energy spectra are determined for single-walled zigzag carbon nanotubes with considering finite curva- ture of the graphene sheet that forms the nanotubes within the Hubbard model. The obtained spectra of el- ementary excitations for nanotubes (9,0) have shown that “metallic” zigzag nanotubes are in fact small-gap semiconductors. Comparison of the energy gaps with the experimental values demonstrated the coincidence of the theoretical and experimental values. PACS: 71.10.Fd Lattice fermion models (Hubbard model, etc.); 73.22.–f Electronic structure of nanoscale materials and related systems; 78.67.Ch Nanotubes. Keywords: carbon nanotube, energy spectrum, band structure, Green’s function, Hubbard model. 908 Low Temperature Physics/Физика низких температур, 2017, т. 43, № 6

Энергетический спектр одностенных углеродных нанотрубок типа зигзаг в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций

Репозитарії

Схожі ресурси