Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах
Проанализированы условия существования и особенности динамики краудионных возбуждений в кристаллах со сложной структурой кристаллического поля, формирующего краудионы в плотноупа-кованных атомных рядах. Кристаллическая матрица предполагается абсолютно жесткой, поэтому описание краудионов сводится к...
Saved in:
| Date: | 2001 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2001
|
| Series: | Физика низких температур |
| Subjects: | |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130003 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 3. — С. 316-332. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-130003 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1300032018-02-04T03:03:25Z Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Назаренко, Е.И. Динамика кристаллической решетки Проанализированы условия существования и особенности динамики краудионных возбуждений в кристаллах со сложной структурой кристаллического поля, формирующего краудионы в плотноупа-кованных атомных рядах. Кристаллическая матрица предполагается абсолютно жесткой, поэтому описание краудионов сводится к анализу обобщенной модели Френкеля-Конторовой и соответствующего ей нелинейного дифференциального уравнения Клейна-Гордона. В рамках этой модели изучены случаи так называемых двухъямного и двухбарьерного потенциалов кристаллического поля: описаны структура субкраудионов с дробными топологическими зарядами, расщепленных полных краудионов, а также асимптотический распад расщепленных краудионов на субкраудионы при трансформации двухбарьерного потенциала в двухъямный. Отдельно обсуждены условия существования специальных типов субкраудионов, связанные с атомной вязкостью кристалла и приложенной к нему внешней силой. Проведенный качественный анализ не предполагает точного решения в явном виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Результаты этого анализа обобщают выводы, полученные ранее при изучении некоторых частных случаев точно решаемых уравнений Клейна-Гордона со сложными потенциалами. Результаты работы могут быть использованы не только в физике краудионов, но и в других разделах нелинейной физики, базирующихся на модели Френкеля-Кон-торовой. An analysis is made of the existence conditions and dynamical features of crowdion excitations in crystals with a complex structure of the crystalline field forming the crowdions in close-packed atomic rows. The crystalline matrix is assumed to be absolutely rigid, and the description of the crowdions therefore reduces to analysis of the generalized Frenkel–Kontorova model and the Klein–Gordon nonlinear differential equation corresponding to it. The cases of the so-called double-well and double-barrier potentials of the crystalline field are studied in this model: the structures of subcrowdions with fractional topological charges and of split whole crowdions are described, as is the asymptotic decay of split crowdions into subcrowdions when the double-barrier potential is transformed into a double well. The existence conditions of special types of subcrowdions are discussed separately; these conditions involve the atomic viscosity of the crystal and the external force applied to it. The qualitative analysis presented does not presuppose an exact solution of the Klein–Gordon nonlinear equation in explicit form. The results of this study generalize the conclusions reached previously in a study of certain particular cases of exactly solvable Klein–Gordon equations with complex potentials. The results of this study may be used not only in the physics of crowdions but also in other branches of nonlinear physics based on the Frenkel–Kontorova model. 2001 Article Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 3. — С. 316-332. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.Yv, 61.72.Bb, 61.72.Ji, 61.80.-x, 62.30.+d, 66.30.Lw http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130003 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Назаренко, Е.И. Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах Физика низких температур |
| description |
Проанализированы условия существования и особенности динамики краудионных возбуждений в кристаллах со сложной структурой кристаллического поля, формирующего краудионы в плотноупа-кованных атомных рядах. Кристаллическая матрица предполагается абсолютно жесткой, поэтому описание краудионов сводится к анализу обобщенной модели Френкеля-Конторовой и соответствующего ей нелинейного дифференциального уравнения Клейна-Гордона. В рамках этой модели изучены случаи так называемых двухъямного и двухбарьерного потенциалов кристаллического поля: описаны структура субкраудионов с дробными топологическими зарядами, расщепленных полных краудионов, а также асимптотический распад расщепленных краудионов на субкраудионы при трансформации двухбарьерного потенциала в двухъямный. Отдельно обсуждены условия существования специальных типов субкраудионов, связанные с атомной вязкостью кристалла и приложенной к нему внешней силой. Проведенный качественный анализ не предполагает точного решения в явном виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Результаты этого анализа обобщают выводы, полученные ранее при изучении некоторых частных случаев точно решаемых уравнений Клейна-Гордона со сложными потенциалами. Результаты работы могут быть использованы не только в физике краудионов, но и в других разделах нелинейной физики, базирующихся на модели Френкеля-Кон-торовой. |
| format |
Article |
| author |
Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Назаренко, Е.И. |
| author_facet |
Нацик, В.Д. Смирнов, С.Н. Назаренко, Е.И. |
| author_sort |
Нацик, В.Д. |
| title |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| title_short |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| title_full |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| title_fullStr |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| title_full_unstemmed |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| title_sort |
дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2001 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130003 |
| citation_txt |
Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах / В.Д. Нацик, С.Н. Смирнов, Е.И. Назаренко // Физика низких температур. — 2001. — Т. 27, № 3. — С. 316-332. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT nacikvd drobnyeirasŝeplennyekraudionyvsložnyhkristalličeskihstrukturah AT smirnovsn drobnyeirasŝeplennyekraudionyvsložnyhkristalličeskihstrukturah AT nazarenkoei drobnyeirasŝeplennyekraudionyvsložnyhkristalličeskihstrukturah |
| first_indexed |
2025-07-09T12:41:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T12:41:04Z |
| _version_ |
1837173174221930496 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3, c. 316–332Íàöèê Â. Ä., Ñìèðí îâ Ñ. Í., Íàçà ðåíêî Å . È.Äðî áíûå è ðà ñùå ïëåí íûå êðàóä èîíû â ñëîæíûõ êðèñ òà ëëè÷å ñêèõ ñòðóêòóðàõNa tsik V . D. , Sm ir nov S. N. , and Nazar enko Y . I.Fr act io nal and splitte d cro wdions in com plic ated c rysta l str uct ure s
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåpàòóp èì. Á. È. Âåpêèíà ÍÀÍ Óêpàèíû
ïp. Ëåíèíà, 47, ã. Õàpüêîâ, 61164, Óêpàèíà
E-mail: smirnov@ilt.kharkov.ua
Å. È. Íàçàðåíêî
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â. Í. Êàðàçèíà, ïë. Ñâîáîäû, 4, ã. Õàðüêîâ, 61077, Óêðàèíà
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â påäàêöèþ 6 îêòÿáðÿ 2000 ã.
Ïðîàíàëèçèðîâàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è îñîáåííîñòè äèíàìèêè êðàóäèîííûõ âîçáóæäåíèé â
êðèñòàëëàõ ñî ñëîæíîé ñòðóêòóðîé êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ, ôîðìèðóþùåãî êðàóäèîíû â ïëîòíîóïà-
êîâàííûõ àòîìíûõ ðÿäàõ. Êðèñòàëëè÷åñêàÿ ìàòðèöà ïðåäïîëàãàåòñÿ àáñîëþòíî æåñòêîé, ïîýòîìó
îïèñàíèå êðàóäèîíîâ ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó îáîáùåííîé ìîäåëè Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâîé è ñîîòâåòñòâó-
þùåãî åé íåëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà. Â ðàìêàõ ýòîé ìîäåëè
èçó÷åíû ñëó÷àè òàê íàçûâàåìûõ äâóõúÿìíîãî è äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëîâ êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ:
îïèñàíû ñòðóêòóðà ñóáêðàóäèîíîâ ñ äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè, ðàñùåïëåííûõ ïîëíûõ
êðàóäèîíîâ, à òàêæå àñèìïòîòè÷åñêèé ðàñïàä ðàñùåïëåííûõ êðàóäèîíîâ íà ñóáêðàóäèîíû ïðè
òðàíñôîðìàöèè äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà â äâóõúÿìíûé. Îòäåëüíî îáñóæäåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâî-
âàíèÿ ñïåöèàëüíûõ òèïîâ ñóáêðàóäèîíîâ, ñâÿçàííûå ñ àòîìíîé âÿçêîñòüþ êðèñòàëëà è ïðèëîæåííîé
ê íåìó âíåøíåé ñèëîé. Ïðîâåäåííûé êà÷åñòâåííûé àíàëèç íå ïðåäïîëàãàåò òî÷íîãî ðåøåíèÿ â ÿâíîì
âèäå íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà. Ðåçóëüòàòû ýòîãî àíàëèçà îáîáùàþò âûâîäû, ïîëó-
÷åííûå ðàíåå ïðè èçó÷åíèè íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ òî÷íî ðåøàåìûõ óðàâíåíèé Êëåéíà—Ãîðäî-
íà ñî ñëîæíûìè ïîòåíöèàëàìè. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî â ôèçèêå
êðàóäèîíîâ, íî è â äðóãèõ ðàçäåëàõ íåëèíåéíîé ôèçèêè, áàçèðóþùèõñÿ íà ìîäåëè Ôðåíêåëÿ—Êîí-
òîðîâîé.
Ïðîàíàëiçîâàíî óìîâè iñíóâàííÿ i îñîáëèâîñòi äèíàìiêè êðàóäiîííèõ çáóäæåíü ó êðèñòàëàõ çi
ñêëàäíîþ ñòðóêòóðîþ êðèñòàëi÷íîãî ïîëÿ, êîòðå ôîðìóº êðàóäiîíè ó ùiëüíîïàêîâàíèõ àòîìíèõ
ðÿäàõ. Êðèñòàëi÷íà ìàòðèöÿ ââàæàºòüñÿ àáñîëþòíî æîðñòêîþ, òîìó îïèñ êðàóäiîíiâ çâîäèòüñÿ äî
àíàëiçó óçàãàëüíåíî¿ ìîäåëi Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâî¿ i âiäïîâiäíîãî íåëiíiéíîãî äèôåðåíöiàëüíîãî
ðiâíÿííÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà.  ðàìêàõ öiº¿ ìîäåëi âèâ÷åíî âèïàäêè òàê çâàíèõ äâîÿìíîãî òà äâî-
áàð’ºðíîãî ïîòåíöiàëiâ êðèñòàëi÷íîãî ïîëÿ: îïèñàíî ñòðóêòóðó ñóáêðàóäiîíiâ ç äðîáíèìè òîïîëîãi÷-
íèìè çàðÿäàìè, ðîçùiïëåíèõ ïîâíèõ êðàóäiîíiâ, à òàêîæ àñèìïòîòè÷íèé ðîçïàä ðîçùiïëåíèõ êðàó-
äiîíiâ íà ñóáêðàóäiîíè ïðè òðàíñôîðìàöi¿ äâîáàð’ºðíîãî ïîòåíöiàëó â äâîÿìíèé. Îêðåìî îáãîâîðåíî
óìîâè iñíóâàííÿ ñïåöiàëüíèõ òèïiâ ñóáêðàóäiîíiâ, êîòði ïîâ’ÿçàíi ç àòîìíîþ â’ÿçêiñòþ êðèñòàëó i
ïðèêëàäåíèìè äî íüîãî çîâíiøíiìè ñèëàìè. Ïðîâåäåíèé ÿêiñíèé àíàëiç íå ïåðåäáà÷ຠòî÷íîãî
ðîçâ’ÿçêó ó ÿâíîìó âèãëÿäi íåëiíiéíîãî ðiâíÿííÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà. Ðåçóëüòàòè öüîãî àíàëiçó óçà-
ãàëüíþþòü âèñíîâêè, îäåðæàíi ðàíiøå ïðè âèâ÷åííi äåÿêèõ ÷àñòêîâèõ âèïàäêiâ òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó
ðiâíÿííÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà çi ñêëàäíèìè ïîòåíöiàëàìè. Ðåçóëüòàòè ðîáîòè ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàíi
íå òiëüêè ó ôiçèöi êðàóäiîíiâ, àëå i â iíøèõ ðîçäiëàõ íåëiíiéíî¿ ôiçèêè, êîòði áàçóþòüñÿ íà ìîäåëi
Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâî¿.
PACS: 05.45.Yv, 61.72.Bb, 61.72.Ji, 61.80.–x, 62.30.+d, 66.30.Lw
© Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî, 2001
Ââåäåíèå
Êðàóäèîíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåëèíåéíûå
óåäèíåííûå âîëíû ñìåùåíèé, êîòîðûå âîçíèêàþò
â ïëîòíîóïàêîâàííûõ àòîìíûõ ðÿäàõ, ñëàáî ñâÿ-
çàííûõ ñ îêðóæàþùåé ýòè ðÿäû êðèñòàëëè÷åñêîé
ìàòðèöåé [1–3]. Âûäåëåííûé àòîìíûé ðÿä ìîæåò
ÿâëÿòüñÿ êàê ñîáñòâåííûì âíóòðåííèì ôðàãìåí-
òîì êðèñòàëëà, òàê è öåïî÷êîé àäñîðáèðîâàííûõ
àòîìîâ, ðàñïîëîæåííîé íà åãî ïîâåðõíîñòè [4].
Åñòü îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü, ÷òî âîçáóæäåíèÿ êðàó-
äèîííîãî òèïà èãðàþò âàæíóþ ðîëü òàêæå â äèíà-
ìèêå ëèíåéíûõ îðèåíòèðîâàííûõ ïîëèìåðîâ, â
÷àñòíîñòè äâîéíûõ ïîëèìåðíûõ öåïåé; â ýòîì
ñëó÷àå â êà÷åñòâå àòîìîâ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü
îòíîñèòåëüíî æåñòêèå ìîíîìåðû, âíóòðåííèìè
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû êîòîðûõ ìîæíî ïðåíå-
áðå÷ü [5,6].
Äëÿ êà÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ îñíîâíûõ ñâîéñòâ
êðàóäèîíîâ â ôèçèêå êðèñòàëëîâ øèðîêî èñïîëü-
çóåòñÿ ìîäåëü îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà Ôðåí-
êåëÿ—Êîíòîðîâîé — öåïî÷êà ñèëüíî âçàèìî-
äåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé àòîìîâ, ñîâåðøàþùèõ
îäíîìåðíîå äâèæåíèå íà íåïîäâèæíîé ïåðèîäè-
÷åñêîé ïîäëîæêå, êîòîðàÿ ñîçäàåò îòíîñèòåëüíî
ñëàáîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëå [3,7,8]. Ïðè ñîïîñòàâ-
ëåíèè ýòîé ìîäåëè ñ ðåàëüíûì êðèñòàëëîì ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîäâèæíàÿ öåïî÷êà àòîìîâ ñî-
îòâåòñòâóåò âûäåëåííîìó àòîìíîìó ðÿäó, à
ïåðèîäè÷åñêèé ïîòåíöèàë ïîäëîæêè ìîäåëèðóåò
âçàèìîäåéñòâèå ýòîãî ðÿäà ñ êðèñòàëëè÷åñêîé
ìàòðèöåé. Â íàøåé íåäàâíî îïóáëèêîâàííîé ðà-
áîòå [9] çàäà÷à î ñòðóêòóðå è äâèæåíèè êðàóäèî-
íà ðàññìîòðåíà êàê äèíàìè÷åñêàÿ ïðîáëåìà ñëîæ-
íîé òðåõìåðíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.  ýòîé
ðàáîòå ñôîðìóëèðîâàíû òðåáîâàíèÿ ê ïàðàìåòðàì
ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è ãåîìåòðè÷åñêèì
ïàðàìåòðàì êðèñòàëëà, âûïîëíåíèå êîòîðûõ ïî-
çâîëÿåò:
– âûäåëèòü êðàóäèîííûå âîçáóæäåíèÿ íà ôîíå
ìàëûõ óïðóãèõ äåôîðìàöèé êðèñòàëëà;
– ñâåñòè îïèñàíèå êðàóäèîíîâ ê àíàëèçó óåäè-
íåííûõ âîëí â îäíîìåðíîì êðèñòàëëå Ôðåíêå-
ëÿ—Êîíòîðîâîé;
– ïîëó÷èòü ÿâíûå âûðàæåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå
ïîòåíöèàë ïîäëîæêè è ïàðàìåòðû ìîäåëè Ôðåí-
êåëÿ—Êîíòîðîâîé ñ ïîòåíöèàëàìè ìåæàòîìíîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ è äðóãèìè ìèêðîñêîïè÷åñêèìè
õàðàêòåðèñòèêàìè òðåõìåðíîãî êðèñòàëëà.
 ðàáîòå [9] òàêæå ïîêàçàíî, ÷òî êîððåêòíîå
ðàçäåëåíèå íåëèíåéíûõ êðàóäèîííûõ âîçáóæäå-
íèé è ëèíåéíûõ óïðóãèõ äåôîðìàöèé â òðåõ-
ìåðíîì êðèñòàëëå âîçìîæíî òîëüêî â äëèííî-
âîëíîâîì ïðèáëèæåíèè. Ýòîìó ïðèáëèæåíèþ
ñîîòâåòñòâóþò êðàóäèîíû, èìåþùèå äîñòàòî÷íî
áîëüøóþ øèðèíó λ >> b è äîñòàòî÷íî ìàëóþ ñêî-
ðîñòü V << c (b è ñ — ñîîòâåòñòâåííî õàðàêòåð-
íûå çíà÷åíèÿ ìåæàòîìíîãî ðàññòîÿíèÿ è ñêîðîñòè
çâóêà â êðèñòàëëå). Âûïîëíåíèå óêàçàííûõ âû-
øå òðåáîâàíèé ïîçâîëÿåò â óðàâíåíèÿõ, îïèñû-
âàþùèõ êðàóäèîíû, ïåðåéòè ê êîíòèíóàëüíîìó
ïðåäåëó. Â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî òàêæå
ñ÷èòàòü êðèñòàëëè÷åñêóþ ìàòðèöó àáñîëþòíî
æåñòêîé, ò.å. ïðåíåáðå÷ü åå äåôîðìàöèÿìè. Â
ýòîì ñëó÷àå äëÿ îïèñàíèÿ íåëèíåéíîé äèíàìèêè
àòîìîâ âûäåëåííîãî ðÿäà â êà÷åñòâå åñòåñòâåííîé
ïîëåâîé äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé óäîáíî èñ-
ïîëüçîâàòü ôóíêöèþ u(x, t) — ïîëå ïðîäîëüíûõ
ñìåùåíèé àòîìîâ èç ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ â èäå-
àëüíîì êðèñòàëëå, êîòîðîå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû
x âäîëü öåïî÷êè è âðåìåíè t. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
íàïðàâëåíèÿ îñè õ è ñìåùåíèÿ u(x, t) çàäàþòñÿ
ýëåìåíòàðíûì âåêòîðîì òðàíñëÿöèé êðèñòàëëà b
âäîëü ðàññìàòðèâàåìîé öåïî÷êè àòîìîâ (ðèñ. 1).
Ôóíêöèîíàë ýíåðãèè, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó
ïðèáëèæåíèþ, èìååò ñëåäóþùèé âèä:
H =
1
b∗
∫
−∞
∞
ma
2
(u. )2 +
w
2
(u′)2 + Φ(u) − F(x, t)u
dx .
(1)
Çäåñü ma è b∗ — ñîîòâåòñòâåííî ìàññà àòîìîâ
âûäåëåííîãî ðÿäà è ðàâíîâåñíîå ðàññòîÿíèå
ìåæäó íèìè; F(x, t) — äåéñòâóþùàÿ íà ýòè àòîìû
âíåøíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåò-
êå ñèëà; w — ïàðàìåòð ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñò-
âèÿ âíóòðè âûäåëåííîãî ðÿäà; Φ(u) = Φ(u + b) —
ïåðèîäè÷åñêèé ïîòåíöèàë êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ
äëÿ àòîìîâ âûäåëåííîãî ðÿäà (ïîòåíöèàë «ïîä-
ëîæêè»); u. = ∂u/∂t, u′ = ∂u/∂x.
Åñëè âçàèìîäåéñòâèå äâóõ àòîìîâ ðàçëè÷íûõ
õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ α è α′, ñîåäèíåííûõ âåêòî-
ðîì r, îïèñûâàåòñÿ ïàðíûì ïîòåíöèàëîì Uαα′(r),
òî âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðà w è ïîòåíöèàëà
Φ(u) èìåþò âèä [9]
w =
1
2
∑
ρρ
ρ
i
ρ
k
∂2U11(ρρ)
∂ρ
i
∂ρ
k
, (2a)
Φ(u) = ∑
α, R(α)
[U1α(R(α) − ττu) − U1α(R(α))] ,
ττ =
b
b
.
(2á)
 ýòèõ âûðàæåíèÿõ àòîìàì âûäåëåííîãî ðÿäà
ïðèïèñàí õèìè÷åñêèé èíäåêñ α = 1, à ñóììèðîâà-
íèå âûïîëíÿåòñÿ ïî ðàâíîâåñíûì ïîëîæåíèÿì
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 317
ýòèõ àòîìîâ ρρ è àòîìîâ ìàòðèöû R(α) (ðèñ. 1).
Íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿ âåêòîðîâ ρρ è R(α) óäîáíî
âûáðàòü íà îäíîì èç àòîìîâ âûäåëåííîãî ðÿäà,
èìåþùåì ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ ñâÿçè ñ ìàòðè-
öåé, ÷òî îáåñïå÷èâàåò ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåí-
íîñòü ïîòåíöèàëà Φ(u) ≥ 0.  îáùåì ñëó÷àå ïàðà-
ìåòðû b è b∗ èìåþò ðàçëè÷íóþ âåëè÷èíó, íî â
äàííîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì ïðîñòîé ñëó÷àé,
êîãäà b = b∗. Â äàëüíåéøåì òàêæå óäîáíî èñïîëü-
çîâàòü ñèñòåìó ôèçè÷åñêèõ åäèíèö, â êîòîðîé
ma = 1, b = 1 è w = 1, ñîõðàíèâ äëÿ áåçðàçìåðíûõ
âåëè÷èí ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ. Ñ ó÷åòîì ýòèõ óï-
ðîùåíèé óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ ñìåùåíèé
u(x, t), ñîîòâåòñòâóþùåå ôóíêöèîíàëó ýíåðãèè
(1), èìååò âèä
u
.. − u′′ +
d
du
Φ(u) = F . (3)
Ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå èçâåñòíî â ìà-
òåìàòè÷åñêîé ôèçèêå êàê íåëèíåéíîå óðàâíåíèå
Êëåéíà—Ãîðäîíà. Îíî ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé íå òîëü-
êî òåîðèè êðàóäèîíîâ, ê òàêîìó óðàâíåíèþ ïðè-
âîäèò òàêæå àíàëèç ìíîæåñòâà äðóãèõ ôèçè÷åñ-
êèõ çàäà÷ [8,10–14].
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé,
îñíîâíîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñîëèòîíîïîäîá-
íûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3), êîòîðûå ñóùåñòâó-
þò, åñëè ïîòåíöèàë Φ(u) èìååò ìíîæåñòâî up
òî÷åê àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà: Φ(up) = 0, ãäå
Ðèñ. 1. Ôðàãìåíò ñëîæíîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ñ âûäå-
ëåííûì àòîìíûì ðÿäîì (äâóõìåðíàÿ ñõåìà): b è ττ — ñîîò-
âåòñòâåííî ýëåìåíòàðíûé âåêòîð òðàíñëÿöèé ðåøåòêè è íà-
ïðàâëÿþùèé âåêòîð âäîëü âûäåëåííîãî ðÿäà àòîìîâ; ρρ è R(α)
— ñîîòâåòñòâåííî ðàâíîâåñíûå ïîëîæåíèÿ àòîìîâ âûäåëåííî-
ãî ðÿäà è îêðóæàþùåé eãî êðèñòàëëè÷åñêîé ìàòðèöû; b∗ —
pàâíîâåñíîå pàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè âûäåëåííîãî pÿäà.
Ðèñ. 2. Ðàçëè÷íûå òèïû ïîòåíöèàëîâ êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ
Φ(u) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì êèíêè: à — îäíîáàðüåðíûé ñèì-
ìåòðè÷íûé ïîòåíöèàë; á — îäíîáàðüåðíûé àñèììåòðè÷íûé
ïîòåíöèàë (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è åãî êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ
ïàðàáîëè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (ïóíêòèð); â — äâóõúÿìíûé
ïîòåíöèàë è äðîáíûå êèíêè ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ xσi è øèðè-
íàìè λσi (i = 1, 2); ã — äâóõáàðüåðíûé ïîòåíöèàë è ðàñùåï-
ëåííûé êèíê, ñîñòîÿùèé èç äâóõ âèðòóàëüíûõ ñóáêèíêîâ ñ
öåíòðàìè â òî÷êàõ xσi è øèðèíàìè λσi ; λs — øèðèíà ïîëíî-
ãî êèíêà; ds — øèðèíà äåôåêòà óïàêîâêè.
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
318 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
up = p = n + δi , n = 0, ±1, ±2, ..., 0 ≤ δi < 1. Ïðè-
íÿòàÿ çäåñü íóìåðàöèÿ ìèíèìóìîâ ó÷èòûâàåò êàê
íàëè÷èå òðàíñëÿöèîííîé ñèììåòðèè êðèñòàëëà,
òàê è âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ â ïðåäåëàõ ïå-
ðèîäà òðàíñëÿöèé n ≤ u < n + 1 áîëåå ÷åì îäíîãî
àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà: ïåðèîäû òðàíñëÿöèé ïðî-
íóìåðîâàíû ÷èñëàìè íàòóðàëüíîãî ðÿäà n, à
òî÷êè àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà âíóòðè îòäåëüíîãî
ïåðèîäà — äðîáíûìè ÷èñëàìè δi = 0, δ1 , δ2 , ...
Óñòîé÷èâûå ñîëèòîíîïîäîáíûå ðåøåíèÿ óðàâíå-
íèÿ (3) â îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû (F ≡ 0) ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé óåäèíåííûå âîëíû ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ
u(x, t) = uq(ξ) , ξ = x − Vq t , (4)
êîòîðûå äâèæóòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ Vq è
óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì
uq
′ (±∞) = 0 , uq
(∞) − uq
(−∞) = ∫
−∞
∞
uq
′ (ξ) dξ = q .
(5)
Çäåñü q — ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå
÷èñëî, ðàâíîå ðàçíîñòè äâóõ ëþáûõ ñîñåäíèõ
÷èñåë èç íàáîðà p = n + δi ; ýòî ÷èñëî ïîëó÷èëî
íàçâàíèå òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà óåäèíåííîé
âîëíû è ÿâëÿåòñÿ åå èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ. Ïðè
íàëè÷èè ó ïîòåíöèàëà Φ(u) îäíîãî àáñîëþòíîãî
ìèíèìóìà íà ïåðèîäå òðàíñëÿöèé (ðèñ. 2,à,á)
íàáîð ÷èñåë p = n è òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä ìîæåò
ïðèíèìàòü äâà çíà÷åíèÿ q = s = ± 1, à ñîîòâåòñò-
âóþùèå òîïîëîãè÷åñêèå ñîëèòîíû íàçûâàþòñÿ
ïîëíûìè (öåëî÷èñëåííûìè). Ñîëèòîíû, ó êîòî-
ðûõ q = σ, ãäå |σ| < 1, âîçìîæíû â ñëó÷àå òàê
íàçûâàåìûõ ìíîãîÿìíûõ ïîòåíöèàëîâ (ðèñ. 2,â)
è ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñóáñîëèòîíîâ (èõ òàêæå
ìîæíî íàçâàòü äðîáíûìè).
Îòìåòèì, ÷òî îäíîðîäíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(3) up = p ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ìíîãîêðàòíî âû-
ðîæäåííûé ôèçè÷åñêèé âàêóóì äëÿ ïîëÿ u(x, t),
òîãäà óåäèíåííàÿ âîëíà uq(x − Vq t) âûñòóïàåò
êàê íåëèíåéíîå âîçáóæäåíèå âàêóóìà [14], îíà
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâèæóùóþñÿ ðàçìûòóþ ãðà-
íèöó ñ öåíòðîì â òî÷êå xq = Vq t ìåæäó äâóìÿ
çàäàííûìè íà áåñêîíå÷íîñòè îäíîðîäíûìè ñîñòî-
ÿíèÿìè up è up + q .
Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ôóíêöèîíàë ýíåð-
ãèè (1) è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (3) ÿâëÿþòñÿ ïåð-
âûì (îñíîâíûì) ïðèáëèæåíèåì ïðè îïèñàíèè
êðàóäèîíîâ. Â ýòîì ïðèáëèæåíèè àòîìíàÿ ñòðóê-
òóðà è äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà êðàóäèîíîâ îïðåäå-
ëÿþòñÿ, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ôîðìîé è ïàðàìåòðàìè
ïîòåíöèàëà Φ(u)*.  êëàññè÷åñêîé ðàáîòå Ôðåíêå-
ëÿ—Êîíòîðîâîé è â ñóùåñòâóþùåé òåîðèè êðàó-
äèîíîâ ðàññìàòðèâàëñÿ ïðîñòåéøèé ñèíóñîèäàëü-
íûé ïîòåíöèàë Φ(u) = Φm sin2 (πu). Ïðè òàêîì
ïîòåíöèàëå êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ p = n è
q = s = ± 1; ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà
Φm << 1 êðàóäèîííîå âîçáóæäåíèå èìååò âèä
ïðîñòîãî ñêîïëåíèÿ (èëè ðàçðåæåíèÿ) àòîìîâ
â âûäåëåííîì ðÿäó, øèðèíà êîòîðîãî ïîðÿäêà
λs = √(1 − Vs
2)/2Φm >> 1, à íà ãðàôèêå ôóíêöèè
us(x − Vs t) ýòî âîçáóæäåíèå èçîáðàæàåòñÿ åäè-
íè÷íûì êèíêîì ñ öåíòðîì â òî÷êå xs = Vs t
(ðèñ. 2,a). Òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä s = − 1 ñîîòâåò-
ñòâóåò äåëîêàëèçîâàííîìó ìåæóçåëüíîìó àòîìó
(êðàóäèîíó), à s = 1 — äåëîêàëèçîâàííîé âàêàí-
ñèè (àíòèêðàóäèîíó).
Çà ïîñëåäíèå ãîäû âûïîëíåíà ñåðèÿ èññëåäîâà-
íèé, íà÷àòàÿ ðàáîòàìè [13,15,16], â êîòîðûõ àíà-
ëèçèðîâàëèñü èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû è ïàðàìåòðîâ
ñîëèòîíîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì êèíêîâ â îáîá-
ùåííîé ìîäåëè Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâîé, îáóñëîâ-
ëåííûå ñóùåñòâåííûì îòêëîíåíèåì ôîðìû ïîòåí-
öèàëà Φ(u) îò ñèíóñîèäû (ðåçóëüòàòû ýòèõ
èññëåäîâàíèé îñâåùåíû â îáçîðå [8]). Íàèáîëü-
øèé èíòåðåñ, ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, ïðåäñòàâëÿ-
þò ñëó÷àè ìíîãîÿìíûõ (ðèñ. 2,â) è ìíîãîáàðüåð-
íûõ (ðèñ. 2,ã) ïîòåíöèàëîâ Φ(u): ìíîãîÿìíûé
ïîòåíöèàë äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå ñóáêèíêîâ ñ
äðîáíûì òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì q = σ, ãäå
|σ| < 1 (íàïðèìåð, |σ| = δ, 1 − δ < 1); â ñëó÷àå
ìíîãîáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà ïîëíûé êèíê ñ öåëî-
÷èñëåííûì òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì q = s = ± 1
èìååò âíóòðåííþþ «òîíêóþ» ñòðóêòóðó è ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ðàñùåïëåííûé íà îäíîçíà÷-
íî ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé ôðàãìåíòû, ïîõîæèå
íà ñóáêèíêè.
 èçó÷åííûõ ðàíåå çàäà÷àõ íåëèíåéíîé ôèçè-
êè âûâîäèëèñü (èëè âûáèðàëèñü êàê ìîäåëüíûå)
âïîëíå êîíêðåòíûå äâóõúÿìíûå è äâóõáàðüåðíûå
ñèììåòðè÷íûå ïîòåíöèàëû Φ(u), ïåðåõîäÿùèå
ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ èõ ïàðàìåòðîâ â
ñèíóñîèäàëüíûé ïîòåíöèàë è äîïóñêàþùèå ïîëó-
÷åíèå â ÿâíîì âèäå òî÷íûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ
�
Ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå òåîðèè êðàóäèîíîâ — ó÷åò óïðóãîé ïîäàòëèâîñòè è äåôîðìàöèè êðèñòàëëè÷åñêîé ìàòðèöû. Îíî
ïðèâîäèò ê îïðåäåëåííûì ïåðåíîðìèðîâêàì õàðàêòåðèñòèê êðàóäèîíà, íå èçìåíÿÿ êà÷åñòâåííûõ ïðåäñòàâëåíèé î êðàóäèîí-
íîì âîçáóæäåíèè [9].
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 319
Êëåéíà—Ãîðäîíà (3). Îäèí èç ïðîñòåéøèõ êîí-
êðåòíûõ ïðèìåðîâ — ôóíêöèÿ Φ(u) âèäà [17,18]
Φ(u) = Φ
m
[sin2 (πu) + γ sin2 (2πu)] . (6)
Ïðè γ = 0 ýòà ôóíêöèÿ ïåðåõîäèò â êëàññè÷åñêèé
ïîòåíöèàë Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâîé, à ïðè
γ > 1/4 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèììåòðè÷íûé äâóõ-
áàðüåðíûé ïîòåíöèàë ñ ïðîìåæóòî÷íûì ìèíèìó-
ìîì â òî÷êå δ = 1/2. Ôóíêöèþ (6) ìîæíî ôîð-
ìàëüíî òðàêòîâàòü êàê àïïðîêñèìàöèþ áîëåå
ñëîæíîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ïåðâûìè ÷ëåíà-
ìè ðÿäà Ôóðüå.
Îäíàêî ïðè àíàëèçå êðàóäèîíîâ â ñëîæíûõ
êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ, îñîáåííî â îðèåíòè-
ðîâàííûõ ïîëèìåðàõ, ïîòåíöèàë Φ(u) ìîæåò îêà-
çàòüñÿ âåñüìà ñëîæíûì è äàëåêèì îò ïðîñòîé
àïïðîêñèìàöèè âèäà (6), ïîýòîìó èñïîëüçîâàíèå
òàêèõ àïïðîêñèìàöèé íå ïîçâîëÿåò îïèñàòü ìíî-
ãèå èíòåðåñíûå è âàæíûå ñâîéñòâà ðåàëüíûõ êðà-
óäèîííûõ âîçáóæäåíèé. Îñíîâíîé çàäà÷åé äàí-
íîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ êà÷åñòâåííûé àíàëèç
ñòðóêòóðû è äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ êðàóäèîíîâ â
ñëó÷àå ìíîãîÿìíîãî è ìíîãîáàðüåðíîãî ïîòåíöèà-
ëîâ êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ áåç êîíêðåòèçàöèè ÿâ-
íîãî âèäà ôóíêöèè Φ(u) è áåç ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà (3) â ÿâíîì
âèäå. Ïðè ýòîì óæå èçâåñòíûå ïîëîæåíèÿ î ñóá-
êèíêàõ è ðàñùåïëåíèè ïîëíûõ êèíêîâ áóäóò
ñôîðìóëèðîâàíû â áîëåå îáùåì âèäå è ïðèìåíå-
íû äëÿ îïèñàíèÿ êðàóäèîíîâ ñ ó÷åòîì èõ ñïåöè-
ôèêè. Êðîìå òîãî, áóäóò òàêæå îïèñàíû íåêî-
òîðûå íîâûå ñâîéñòâà êðàóäèîíîâ â ñëîæíûõ
êðèñòàëëàõ. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû, åñòåñòâåííî,
ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî â òåîðèè êðà-
óäèîíîâ, íî è â äðóãèõ ðàçäåëàõ ôèçèêè íåëè-
íåéíûõ ÿâëåíèé, îïèñàíèå êîòîðûõ ñâîäèòñÿ ê
àíàëèçó ðåøåíèé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êëåé-
íà—Ãîðäîíà. Íåêîòîðûå èç ðåçóëüòàòîâ íàøåãî
àíàëèçà ñ îáùåôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ àíàëî-
ãè÷íû âûâîäàì, ïîëó÷åííûì ðàíåå â òåîðèè ìàã-
íèòíûõ ñîëèòîíîâ.
1. Ïîëíûå è äðîáíûå êðàóäèîíû
Îáðàòèìñÿ âíà÷àëå ê îïèñàíèþ ñòðóêòóðû è
äèíàìèêè êðàóäèîíîâ, íå êîíêðåòèçèðóÿ òî÷íûé
âèä ïîòåíöèàëà Φ(u), íî ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòîò
ïîòåíöèàë ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì è èìååò íàáîð
òî÷åê àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà up = p = n + δi
(Φ(up) = 0) è íàáîð òàêîãî æå ÷èñëà òî÷åê ìàêñè-
ìóìîâ ðàçëè÷íîé âûñîòû um = m = n + εi
(Φ(um) = Φmi), ãäå n = 0, ± 1, ± 2, ..., 0 ≤ δi ,
εi ≤ 1. Â îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû (F ≡ 0) ïåðâûé
è âòîðîé èíòåãðàëû óðàâíåíèÿ (3), êîòîðûå îïè-
ñûâàþò óåäèíåííûå âîëíû uq(x − Vq t), óäîâëå-
òâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (5) ñ ïðîèçâîëü-
íûì çíà÷åíèåì q, ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì
âèäå:
uq
′ = sgn (q)
2Φ(uq
)
1 − Vq
2
1/2
, (7)
∫
ε
i
u
qi
du
√2Φ(u)
= sgn (qi
)
x − Vqi t
√1 − Vqi
2
. (8)
Âûáîð íèæíåãî ïðåäåëà èíòåãðèðîâàíèÿ εi â
ôîðìóëå (8) îïðåäåëÿåò öåíòð êðàóäèîíà (êèíêà)
xqi = Vqi t êàê òî÷êó, â êîòîðîé àáñîëþòíîå çíà-
÷åíèå êðàóäèîííîé äåôîðìàöèè äîñòèãàåò ìàêñè-
ìàëüíîé âåëè÷èíû:
max |uqi
′ | =
2Φ
mi
1 − Vqi
2
1/2
. (9)
Ïðèíÿòîå íàìè îïðåäåëåíèå öåíòðîâ êðàóäèî-
íîâ è èõ íóìåðàöèÿ àäåêâàòíî îòðàæàþò òî îáñòî-
ÿòåëüñòâî, ÷òî îòäåëüíûé òèï êðàóäèîíà îäíî-
çíà÷íî ñâÿçàí ñ îäíèì èç ìàêñèìóìîâ ïîòåíöèàëà
Φ(u). Èç ôîðìóë (7) è (8) ëåãêî âèäåòü, ÷òî
äåòàëè âíóòðåííåé ñòðóêòóðû êðàóäèîííîãî âîç-
áóæäåíèÿ (êèíêà) îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìîé ïîòåí-
öèàëüíîãî ïðîôèëÿ Φ(u) íà èíòåðâàëå, ñîåäèíÿþùåì
äâå ñîñåäíèå òî÷êè àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà, ýòîò
èíòåðâàë çàäàåò âåëè÷èíó òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà
qi . Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî ïðèìåíèìîñòü ïîëó÷åí-
íûõ âûøå ôîðìóë äëÿ îïèñàíèÿ êðàóäèîííûõ
âîçáóæäåíèé â ðåàëüíûõ êðèñòàëëàõ îãðàíè÷è-
âàåòñÿ òðåáîâàíèåì max |uqi
′ | << 1, îïðàâäûâàþ-
ùèì èñïîëüçîâàíèå êîíòèíóàëüíîãî ïðåäåëà. Ýòî
òðåáîâàíèå, ñîãëàñíî (9), ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ
1 − Vqi
2 >> 2Φmi , êîòîðîå íàðóøàåòñÿ, åñëè ñêî-
ðîñòü êðàóäèîíà ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðåäåëüíîìó
çíà÷åíèþ V = 1 (â ñèñòåìå èñõîäíûõ åäèíèö — ê
ñêîðîñòè c = √w/ma ) è àíàëèç ñòîëü áûñòðî-
ãî âîçáóæäåíèÿ òðåáóåò ó÷åòà ðåøåòî÷íûõ ýô-
ôåêòîâ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ñíà÷àëà ðàññìîòðèì îäíî-
ÿìíûé ñèììåòðè÷íûé ïîòåíöèàë ñ òî÷êîé ìàêñè-
ìóìà ε = 1/2 (ðèñ. 2,à), äîïóñêàþùèé â äîñòà-
òî÷íî øèðîêèõ îêðåñòíîñòÿõ òî÷åê ìèíèìóìà
|u| < u∗ è ìàêñèìóìà |u − 1/2| < u∗ êâàäðàòè÷íûå
àïïðîêñèìàöèè [3]:
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
320 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
Φ(u) =
1
2
Φ′′(0)u2 ,
Φ
m
+
1
2
Φ′′
1
2
u −
1
2
2
,
|u| < u∗ ,
u −
1
2
< u∗ .
(10)
Åñëè íå ðàññìàòðèâàòü «ýêçîòè÷åñêèå» ïîòåí-
öèàëû, òî äëÿ ïàðàìåòðà u∗, îïðåäåëÿþùåãî èí-
òåðâàëû ïðèìåíèìîñòè àïïðîêñèìàöèè (10),
ìîæíî ñ÷èòàòü ñïðàâåäëèâîé îöåíêó u∗ −∼ 1/4.
Äàííûé ïîòåíöèàë äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå
òîëüêî ïîëíûõ êðàóäèîíîâ ñ öåëûì òîïîëîãè÷åñ-
êèì çàðÿäîì q = s. Èñïîëüçóÿ (8) è (10), ëåãêî
ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû, îïèñûâàþ-
ùèå ñòðóêòóðó êðàóäèîíà (ôîðìó êèíêà) âäàëè è
âáëèçè îò åãî öåíòðà xs = Vs t (ξ = 0):
us
(ξ) =
1 − u∗ exp
λc − sξ
λ0
,
1
2
+ λ
m
∗ sin
sξ
λ
m
,
u∗ exp
λ
c
+ sξ
λ0
,
sξ > λ
c
;
|ξ| < λ
c ;
sξ < − λc .
(11)
Ôîðìà êèíêà õàðàêòåðèçóåòñÿ íàáîðîì ÷åòû-
ðåõ ïàðàìåòðîâ λ0 , λm , λm
∗ è λc , èìåþùèõ ðàç-
ìåðíîñòü äëèíû:
λ0 =
1 − Vs
2
Φ′′(0)
1/2
, λ
m
=
1 − Vs
2
|Φ′′(1/2)|
1/2
,
λ
m
∗ =
2Φ
m
|Φ′′(1/2)|
1/2
, λ
c
= λ
m
arcsin
1 − 2u∗
2λm
∗
.
(12)
Ïàðàìåòð λc îïðåäåëÿåò ïîëóøèðèíó öåíòðàëüíîé
÷àñòè êèíêà, à λ0 — ïðîòÿæåííîñòü åãî «êðû-
ëüåâ», ïîýòîìó â êà÷åñòâå õàðàêòåðíîé øèðèíû
êèíêà λs ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü ñóììó:
λ
s
= 2(λ0 + λc) = 2λ0
1 +
λ
m
λ0
arcsin
1 − 2u∗
2λ
m
∗
.
(13)
Àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ øèðîêîãî êëàññà
ïîòåíöèàëîâ Φ(u), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ
max |us
′ | << 1 (ñì. ôîðìóëó (9)), íî îòëè÷àþùèõ-
ñÿ êðèâèçíîé â òî÷êàõ ìèíèìóìà è ìàêñèìóìà,
ïàðàìåòðû λ0 è λc èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê
âåëè÷èíû, ñóùåñòâåííî çàâèñÿùèé îò âûñîòû áàðü-
åðà Φm :
λ
c
∼ λ0 −∼
λ
s
4
, λ
s
=
1 − Vs
2
2Φ
m
1/2
. (14)
Äëÿ áàðüåðîâ ñ «çàîñòðåííîé» âåðøèíîé (u∗ → 0,
|Φ′′(1/2)| → ∞) öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü êèíêà îòñóòñò-
âóåò è åãî øèðèíà îïðåäåëÿåòñÿ â îñíîâíîì âûñî-
òîé áàðüåðà Φm è âåëè÷èíîé ïðîèçâîäíîé Φ′′(0).
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà Φ′′(0) → 0 ïðè ñîõðàíåíèè
êîíå÷íîé âûñîòû áàðüåðà Φm , øèðèíà êèíêà àíî-
ìàëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ, à ýêñïîíåíöèàëüíûå
àñèìïòîòèêè ïîëÿ ñìåùåíèé us(ξ) íà áîëüøèõ ðàñ-
ñòîÿíèÿõ îò öåíòðà êèíêà ïðåâðàùàþòñÿ â ñòåïåí-
íûå. Òàêèå êèíêè èçó÷àëèñü ðàíåå [14] è ïîëó÷è-
ëè íàçâàíèå ñòåïåííûõ èëè àëãåáðàè÷åñêèõ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü ñïåöèôèêó êðàóäèîííûõ
âîçáóæäåíèé â ðåàëüíûõ òðåõìåðíûõ êðèñòàë-
ëàõ: ó÷åò óïðóãîé ïîäàòëèâîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé
ìàòðèöû ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ñòåïåííîé àñèìï-
òîòèêè ïîëÿ äåôîðìàöèé êðàóäèîíà íà áîëüøèõ
ðàññòîÿíèÿõ îò åãî öåíòðà ïðè ëþáîé ôîðìå ïî-
òåíöèàëà Φ(u) [9,19–21]. Ïîýòîìó â ñëó÷àå êðàó-
äèîíà â òðåõìåðíîì êðèñòàëëå ïàðàìåòð λs èìååò
ñìûñë õàðàêòåðíîãî ðàçìåðà åãî ÿäðà.
Ñïåöèàëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé
àñèììåòðè÷íîãî îäíîÿìíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u)
(ðèñ. 2,á): òàêîé ïîòåíöèàë âîçìîæåí â êðèñòàë-
ëàõ, íå èìåþùèõ öåíòðà èíâåðñèè.  ýòîì ñëó÷àå
ñòðóêòóðà ïîëÿ ñìåùåíèé ïîëíîãî êðàóäèîíà
(ôîðìà êèíêà) âáëèçè åãî öåíòðà ÿâëÿåòñÿ àñèì-
ìåòðè÷íîé. Âûøå ìû âèäåëè, ÷òî âåëè÷èíà ïðî-
èçâîäíûõ îò ïîòåíöèàëà Φ(u) â îêðåñòíîñòè òî÷êè
ìàêñèìóìà íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ
íà ñòðóêòóðó êðàóäèîíà, ïîýòîìó óêàçàííóþ
àñèììåòðèþ óäîáíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü, ðàñ-
ñìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå àïïðîêñèìàöèè ïîòåíöèàëà,
ïîêàçàííîãî íà ðèñ. 2,á, êóñî÷íî-íåïðåðûâíóþ
ôóíêöèþ*:
Φ(u) =
Φ
m
ε2
u2 ,
Φ
m
(1 − ε)2
(u − 1)2 ,
0 ≤ u ≤ ε ,
ε ≤ u ≤ 1 .
�
Êóñî÷íî-ïàðàáîëè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïîòåíöèàëà Φ(u) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè àíàëèçå òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ â
ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ ìîäåëÿõ [12,14,22,23].
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 321
Ýòà àïïðîêñèìàöèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü òî÷íûå
âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëÿ ñìåùåíèé us(ξ) â ÿâíîì âèäå:
us
(ξ) =
ε exp
sξ
λε
,
1 − (1 − ε) exp
−
sξ
λ1−ε
,
sξ ≤ 0 ,
sξ ≥ 0 .
(15)
 äàííîì ñëó÷àå öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü êèíêà ñî-
ñòîèò èç äâóõ ó÷àñòêîâ ñ ðàçìåðàìè ïîðÿäêà λε è
λ1−ε , à åãî øèðèíà ðàâíà λs = λε + λ1−ε :
λε
λ1−ε
=
ε
1−ε
λs
, λ
s
=
1 − Vs
2
2Φm
1/2
. (16)
Åñëè àñèììåòðè÷íûé ïîòåíöèàë Φ(u) èìååò äî-
ñòàòî÷íî ïðîòÿæåííóþ âåðøèíó ñ ìàëîé êðèâèç-
íîé, òî â öåíòðå êèíêà áóäåò ñóùåñòâîâàòü åùå
îäèí âûäåëåííûé ôðàãìåíò ñ ïîëóøèðèíîé λc
(ñì. ôîðìóëû (12)).
Ñîãëàñíî õîðîøî èçâåñòíûì ïîëîæåíèÿì íåëè-
íåéíîé ìåõàíèêè [3,14], ëþáàÿ óñòîé÷èâàÿ óåäè-
íåííàÿ âîëíà (â íàøåì ñëó÷àå — êðàóäèîííîå
âîçáóæäåíèå) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ÷àñòèöà
ñ íåêîòîðûìè çíà÷åíèÿìè ñîáñòâåííîé ïîëåâîé
ýíåðãèè Es è ýôôåêòèâíîé ìàññû ïîêîÿ ms .
Îáùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè è ìàññû âîçáóæäå-
íèÿ ïðè F ≡ 0 ëåãêî ïîëó÷èòü, ïîäñòàâëÿÿ ïîëå
ñìåùåíèé us(x − Vs t) â ôóíêöèîíàë ýíåðãèè (1)
è èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (7) ïðè q = s:
Es
=
I
√1 − Vs
2
, ms
= I , (17)
I = ∫
0
1
√2Φ(u) du . (18)
Ìû íå áóäåì ïîäðîáíî àíàëèçèðîâàòü çàâèñè-
ìîñòü Es è ms îò ôîðìû è ïàðàìåòðîâ ïîòåíöèàëà
Φ(u), òàê êàê ýòîò âîïðîñ ñ äîñòàòî÷íîé ïîëíîòîé
îñâåùåí â îáçîðå [8]. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ïðè
ðàññìîòðåíèè êðàóäèîíà â ðåàëüíîì êðèñòàëëå ñ
ó÷åòîì óïðóãîé ïîäàòëèâîñòè êðèñòàëëè÷åñêîé
ìàòðèöû ôîðìóëû (17) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òîëü-
êî äëÿ îöåíîê åãî ýíåðãèè è ìàññû ïî ïîðÿäêó
âåëè÷èíû, à òî÷íûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ
îïðåäåëÿþòñÿ íå òîëüêî ïîòåíöèàëîì Φ(u), íî è
óïðóãèìè ñâîéñòâàìè êðèñòàëëè÷åñêîé ìàòðè-
öû [9].
Ïåðåéäåì òåïåðü ê àíàëèçó ñâîéñòâ êðàóäèîíîâ
(êèíêîâ), ñîîòâåòñòâóþùèõ áîëåå ñëîæíûì ôîð-
ìàì ïîòåíöèàëà Φ(u). Êàê óæå îòìå÷àëîñü âî
ââåäåíèè, â äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñ-
êèõ ñòðóêòóðàõ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Φ(u) íà
îäíîì ïåðèîäå 0 ≤ u < 1 ìîæåò èìåòü íåñêîëüêî
ÿì (òî÷åê àáñîëþòíîãî ìèíèìóìà) è òàêîå æå
êîëè÷åñòâî ðàçäåëÿþùèõ èõ áàðüåðîâ (òî÷åê ìàê-
ñèìóìîâ).  ýòîì ñëó÷àå óñòîé÷èâûì ñòàöèîíàð-
íûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà (3)
ñîîòâåòñòâóþò êèíêè ñ äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêè-
ìè çàðÿäàìè q = σ, ãäå − 1 < σ < 1: òàêèå êèíêè
ñîåäèíÿþò îäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ, ôèêñèðîâàí-
íûå íà áåñêîíå÷íîñòè ëþáîé ïàðîé ñîñåäíèõ ÿì
ïîòåíöèàëà Φ(u), ðàçíåñåííûõ íà ðàññòîÿíèå |σ|.
Îïèñàíèå äðîáíûõ êèíêîâ ïðîâåäåì íà ïðèìåðå
äâóõúÿìíîãî àñèììåòðè÷íîãî ïîòåíöèàëà Φ(u)
(ðèñ. 2,â), èìåþùåãî äâà íàáîðà òî÷åê àáñîëþò-
íîãî ìèíèìóìà: un = n è uν = ν = n + δ, ãäå
n = 0, ± 1, ±2, ..., 0 < δ < 1. Äâà íàáîðà òî÷åê
ìàêñèìóìîâ òàêîãî ïîòåíöèàëà îáîçíà÷èì ñèìâî-
ëàìè um1 = m1 è um2 = m2 , ãäå m1 = n + ε1 ,
m2 = n + ε2 , 0 < ε1 < δ < ε2 < 1.  îáùåì ñëó÷àå
áàðüåðû ìåæäó ÿìàìè ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ
âûñîòó Φm1 = Φ(um1) è Φm2 = Φ(um2).
 îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû (F ≡ 0) óðàâíåíèå
(3) èìååò äâå ñîâîêóïíîñòè ïðîñòðàíñòâåííî
îäíîðîäíûõ óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé un = n è uν = ν,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿìàì ïîòåíöèàëà Φ(u):
Φ(un) = Φ(uν) ≡ 0.  äàííîì ñëó÷àå ôèçè÷åñêèé
âàêóóì äëÿ ïîëÿ u(x, t) ñîñòîèò èç äâóõ íåýêâèâà-
ëåíòíûõ íàáîðîâ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûõ
ñîñòîÿíèé un è uν , êðàòíîñòü åãî âûðîæäåíèÿ â
äâà ðàçà áîëüøå, ÷åì äëÿ îäíîäîëèííîãî ïîòåí-
öèàëà Φ(u). Äðîáíûå êðàóäèîíû (ñóáêèíêè)
uσ(x − Vσ t) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåëèíåéíûå ñî-
ëèòîíîïîäîáíûå âîçáóæäåíèÿ òàêîãî âàêóóìà: îò-
äåëüíîå âîçáóæäåíèå — ðàçìûòàÿ ãðàíèöà ìåæäó
ñîñåäíèìè îäíîðîäíûìè ñîñòîÿíèÿìè èç ðàçëè÷-
íûõ íàáîðîâ, ðàçäåëåííûõ èíòåðâàëàìè |σi|: ïàðà-
ìåòð σ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ σ1 = ± δ è
σ2 = ± (1 − δ) (ðèñ. 2,â). Óâåëè÷åíèå ñòåïåíè âû-
ðîæäåíèÿ âàêóóìà ïðèâîäèò ê âîçðàñòàíèþ ÷èñëà
íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé: â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîì ñëó÷àå âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå
äâóõ òèïîâ êðàóäèîíîâ è äâóõ òèïîâ àíòèêðàóäè-
îíîâ.
Ïîëå ñìåùåíèé uσ(x − Vσ t) äðîáíîãî êðàóäèî-
íà îïèñûâàåò ëîêàëèçîâàííîå ñãóùåíèå èëè ðàç-
ðåæåíèå àòîìîâ â ïëîòíîóïàêîâàííîì ðÿäó è îï-
ðåäåëÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ σi
ñîîòíîøåíèÿìè (7) è (8). Âíóòðåííÿÿ ñòðóêòóðà
äðîáíûõ êðàóäèîíîâ àíàëîãè÷íà ñòðóêòóðå ïîë-
íûõ êðàóäèîíîâ: îíà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìîé ïîòåí-
öèàëà Φ(u) íà èíòåðâàëàõ σi , ñîåäèíÿþùèõ ñî-
ñåäíèå òî÷êè ìèíèìóìà (ñì. ôîðìóëû (9)–(16)).
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
322 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
Õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå øèðèíû äðîáíîãî êðàóäèî-
íà λσi ìîæíî îöåíèòü ïî ôîðìóëå
λσi
= |σ
i
|
1 − Vσi
2
2Φ
mi
1/2
, i = 1, 2 . (19)
Äðîáíûå êðàóäèîíû, êàê è ïîëíûå, îáëàäàþò
ñâîéñòâàìè ïñåâäî÷àñòèö ñ ñîáñòâåííûìè ýíåðãèÿ-
ìè Eσi è ýôôåêòèâíûìè ìàññàìè ïîêîÿ mσi , êî-
òîðûå îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè
Eσi
=
Iσi
√1 − Vσi
2
, mσi
= Iσi
;
Iσi
= ∫
0
|σ
i
|
√2Φ[u − (i − 1)|σ
i
|] du , i = 1, 2 .
(20)
(21)
2. Ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû
Ðàññìîòðåííûé â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà
ìíîãîÿìíûé ðåøåòî÷íûé ïîòåíöèàë Φ(u) — ÿâëå-
íèå, ïî-âèäèìîìó, èñêëþ÷èòåëüíîå è ðåäêî âñòðå-
÷àþùååñÿ â ðåàëüíûõ ñèòóàöèÿõ. Êàê â ôèçèêå
êðàóäèîíîâ, òàê è â íåêîòîðûõ äðóãèõ ðàçäåëàõ
ôèçèêè çíà÷èòåëüíî áîëåå âåðîÿòíîé ÿâëÿåòñÿ ðå-
àëèçàöèÿ ìíîãîáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u)
[8,10–13,17,18,24]. Êà÷åñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå î
òîíêîé ñòðóêòóðå ïîëíîãî êðàóäèîíà ñ òîïîëîãè-
÷åñêèì çàðÿäîì s = ± 1 â êðèñòàëëàõ ñ ìíîãîáàðü-
åðíûì ïîòåíöèàëîì Φ(u) äàåò ôîðìóëà (7) ïðè
q = s: âåëè÷èíà ñîçäàâàåìîé êðàóäèîíîì äåôîð-
ìàöèè ïëîòíîóïàêîâàííîãî ðÿäà àòîìîâ us′(ξ)
èìååò ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû, ñîîòâåòñòâóþùèå
ýêñòðåìóìàì Φ(u), à ãðàôèê ïîëÿ ñìåùåíèé us(ξ)
ïðèîáðåòàåò âèä ìóëüòèêèíêà, êîòîðûé ñîñòîèò
èç íàáîðà ìåëêèõ êèíêîâ. ×èñëî òàêèõ êèíêîâ
ðàâíî ÷èñëó ìàêñèìóìîâ Φ(u) íà èíòåðâàëå (0,1),
à âûñîòû èìåþò âåëè÷èíó ïîðÿäêà øèðèíû îò-
äåëüíûõ áàðüåðîâ. Òàêóþ ñòðóêòóðó ìîæíî èí-
òåðïðåòèðîâàòü êàê ðàñùåïëåíèå óåäèíåííîé
âîëíû ñ öåëûì òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì us(ξ) íà
ñîâîêóïíîñòü ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé è äâèæó-
ùèõñÿ ñ åäèíîé ñêîðîñòüþ Vs óåäèíåííûõ âîëí ñ
äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè σi : ïðè
ýòîì sgn (σi) = sgn (s) è ∑
i
σi = s. Âàæíî ïîä÷åðê-
íóòü, ÷òî îòäåëüíûå ôðàãìåíòû ìóëüòèêèíêà, ïî-
õîæèå íà ñóáêèíêè, íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè:
èõ ôîðìà è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îäíîçíà÷íî
çàäàíû è ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Äëÿ òîãî ÷òîáû
îòëè÷àòü ýòè îáðàçîâàíèÿ îò ñâîáîäíûõ ñóáêðàó-
äèîíîâ, áóäåì â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü äëÿ èõ
îáîçíà÷åíèÿ òåðìèí «÷àñòè÷íûå (èëè âèðòóàëü-
íûå) êðàóäèîíû». Ñòðîãîå àíàëèòè÷åñêîå îïèñà-
íèå ìóëüòèêèíêà êàê ñóììû ÷àñòè÷íûõ êèíêîâ
ïîëó÷åíî äëÿ ðÿäà êîíêðåòíûõ ïîòåíöèàëîâ
Φ(u) [8,11,12], íàïðèìåð äëÿ ïîòåíöèàëà (6).
Ïðåäëàãàåìûé íèæå êà÷åñòâåííûé àíàëèç ïîçâî-
ëÿåò óñòàíîâèòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ïîëíûé
êðàóäèîí (êèíê) ìîæíî ïðèáëèçèòåëüíî ïðåäñòà-
âèòü êàê ñîâîêóïíîñòü ñâÿçàííûõ ñóáêðàóäèîíîâ
â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íåò âîçìîæíîñòè ïîëó÷èòü
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà â ÿâíîì
âèäå.
 äàííîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì äâóõáàðüåð-
íûé ïîòåíöèàë Φ(u) ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, êîòî-
ðûé â ïðåäåëàõ îäíîãî ïåðèîäà 0 ≤ u < 1 èìååò
äâà ðàçëè÷íûõ ïî ãëóáèíå ìèíèìóìà, ðàçäåëåí-
íûõ äâóìÿ áàðüåðàìè (ðèñ. 2,ã). Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
òî÷åê ìèíèìóìîâ è ìàêñèìóìîâ ïîòåíöèàëà Φ(u)
èñïîëüçóåì ââåäåííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå
ñèìâîëû un , uν , um1 è um2 : òî÷êè àáñîëþòíûõ
ìèíèìóìîâ un ïðîíóìåðîâàíû öåëûìè ÷èñëàìè
n = 0, ±1, ±2, ...; òî÷êè ëîêàëüíûõ ìèíèìóìîâ
uν — äðîáíûìè ÷èñëàìè ν = n + δ, ãäå 0 < δ < 1;
òî÷êè ìàêñèìóìîâ umi (i = 1, 2) — äðîáíûìè ÷èñ-
ëàìè mi = n + εi , ãäå 0 < ε1 < δ < ε2 < 1. Ïî îï-
ðåäåëåíèþ, Φ(un) ≡ 0, à ëîêàëüíûé ìèíèìóì
áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ïàðàìåòðîì Φ(uν) = ∆; âû-
ñîòó áàðüåðîâ, ðàçäåëÿþùèõ äîëèíû ïîòåíöèàëà
Φ(u), îáîçíà÷èì Φ(umi) = Φmi . Î÷åâèäíî, ÷òî â
ïðåäåëå ∆ → 0 ìû ïðèõîäèì ê óæå èçó÷åííîìó
ñëó÷àþ äâóõúÿìíîãî ïîòåíöèàëà.
Ðàññìàòðèâàåìûé äâóõáàðüåðíûé ïîòåíöèàë
äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå ñîëèòîíîïîäîáíîãî âîç-
áóæäåíèÿ us(x − Vs t) ñ öåëûì òîïîëîãè÷åñêèì
çàðÿäîì s = ± 1, çàäàííûì ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðà-
íè÷íûìè óñëîâèÿìè.  äàííîì ñëó÷àå â êà÷åñòâå
öåíòðà êðàóäèîíà (êèíêà) óäîáíî ðàññìàòðèâàòü
òî÷êó xs = Vs t, â êîòîðîé ñìåùåíèå èìååò âåëè-
÷èíó us(0) = δ, ò.å. ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé ëîêàëüíîãî
ìèíèìóìà. Ïðè ýòîì óñëîâèè âòîðîé èíòåãðàë
óðàâíåíèÿ (3) â îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû (F ≡ 0)
ïðèìåò âèä
∫
δ
u
s
du
√2Φ(u)
= s
x − Vs
t
√1 − Vs
2
. (22)
Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (7), íà îñè ξ = x − Vs t
ñóùåñòâóþò òàêæå äâå òî÷êè ìàêñèìóìà ξi äëÿ
ìîäóëÿ äåôîðìàöèè |us
′(ξ)|:
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 323
ξ
i
= s √1 − Vs
2 ∫
δ
ε
i
du
√2Φ(u)
, i = 1, 2 . (23)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âíå èíòåðâàëà (ξ1 , ξ2) ïîëå
ñìåùåíèé us(ξ) èìååò ñòðóêòóðó, êîòîðàÿ îïèñû-
âàåòñÿ âåðõíåé è íèæíåé ñòðî÷êàìè ôîðìóëû
(11), à õàðàêòåðíàÿ ïðîòÿæåííîñòü ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ êðûëüåâ êèíêà λ0 îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé
ïðîèçâîäíîé Φ′′(0). Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî â äàííîì
ñëó÷àå ñòàíäàðòíîé îöåíêîé äëÿ ïàðàìåòðà u∗
ìîæåò ñëóæèòü çíà÷åíèå u∗ −∼ 1/8, åñëè δ −∼ 1/2.
Öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü êèíêà èìååò ïðîòÿæåííîñòü
ds = ξ2 − ξ1 :
ds
= √1 − Vs
2 ∫
ε
1
ε
2
du
√2Φ(u)
. (24)
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î
ñòðóêòóðå ïîëÿ ñìåùåíèé us(ξ) âáëèçè öåíòðà
êèíêà ξ = 0 è îöåíèòü õàðàêòåðíîå çíà÷åíèå ïàðà-
ìåòðà ds , âîñïîëüçóåìñÿ êâàäðàòè÷íîé àïïðîêñè-
ìàöèåé ïîòåíöèàëà Φ(u) â îêðåñòíîñòè òî÷êè ëî-
êàëüíîãî ìèíèìóìà íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå
2u∗ < ε2 − ε1 :
Φ(u) −∼ ∆ +
1
2
Φ′′(δ)(u − δ)2 , |u − δ| ≤ u∗ . (25)
Ïîäñòàíîâêà (25) â (22) è íåñëîæíûå âû÷èñëå-
íèÿ ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùèì âûðàæåíèÿì:
us
(ξ) = δ +
2∆
Φ′′(δ)
1/2
sh
sξ
λ
c
∗
, ξ → 0 ;
λ
c
∗ =
1 − Vs
2
Φ′′(δ)
1/2
.
(26)
Îáñóäèì âîïðîñ î çàâèñèìîñòè øèðèíû öåíò-
ðàëüíîé ÷àñòè êèíêà ds îò ïàðàìåòðîâ ïîòåíöèàëà
Φ(u). Åñëè ïàðàìåòð ∆ è âûñîòû áàðüåðîâ Φmi
èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê âåëè÷èíû, òî âåëè÷è-
íó èíòåãðàëà (24) ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ
òåîðåìû î ñðåäíåì:
ds
= √1 − Vs
2 ∑
i = 1
2
|δ − ε
i
|
Ci
√2Φ
mi
+
1 − Ci
√2∆
,
0 < C1 , C2 < 1 .
(27)
Ñïåöèàëüíûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ïðåäåëü-
íûé ñëó÷àé î÷åíü ãëóáîêîãî ëîêàëüíîãî ìèíèìó-
ìà ïîòåíöèàëà Φ(u), êîãäà ∆ → 0.  ýòîì ñëó÷àå
ïðîòÿæåííîñòü öåíòðàëüíîé ÷àñòè êèíêà àíîìàëü-
íî âîçðàñòàåò ñîãëàñíî àñèìïòîòè÷åñêîé îöåíêå:
ds
>~ dc
= λ
c
∗ ln
2(u∗)2Φ′′(δ)
∆
, ∆ → 0 . (28)
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñ-
òàíèå ds(∆) ïðè ∆ → 0 íå ïðîèñõîäèò òîëüêî â
ñëó÷àå «ýêçîòè÷åñêîãî» äâóõáàðüåðíîãî è ñîîò-
âåòñòâóþùåãî åìó ïðåäåëüíîãî äâóõäîëèííîãî ïî-
òåíöèàëîâ, äëÿ êîòîðûõ Φ′′(δ) = ∞. Ïóñòü, íàïðè-
ìåð, íà èíòåðâàëå ε1 < u < ε2 ïîòåíöèàë Φ(u)
äîïóñêàåò àïïðîêñèìàöèþ
Φ(u) = ∆ +
Φ
mi
|ε
i − δ|γ
|u − δ|γ , 1 < γ < 2 , i = 1, 2 .
(29)
 ýòîì ñëó÷àå øèðèíà öåíòðàëüíîé ÷àñòè êèíêà
ds(∆) îñòàåòñÿ êîíå÷íîé ïðè ∆ → 0, íî àíîìàëüíî
âîçðàñòàåò ïðè γ → 2:
ds
(0) =
2
2 − γ
∑
i = 1
2
|ε
i
− δ|
1 − Vs
2
2Φ
mi
1/2
. (30)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷å-
íèÿõ ∆ öåíòðàëüíàÿ ÷àñòü êèíêà ds(∆) ñîåäèíÿåò
äâà ôðàãìåíòà ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ ξ1 è ξ2 ,
ôîðìà êîòîðûõ áëèçêà ê ôîðìå ñóáêèíêîâ ñ òîïî-
ëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè σ1 = ± δ è σ2 = ± (1 − δ) è
øèðèíàìè λσi (19). Â öåíòðå êðàóäèîíà íà èíòåð-
âàëå ds àòîìû ïëîòíîóïàêîâàííîãî ðÿäà çàíèìàþò
ïîçèöèè, áëèçêèå ñ ýêñïîíåíöèàëüíîé òî÷íîñòüþ
ê òî÷êàì ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, à ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ êàæäîãî èç ýòèõ àòîìîâ èìååò çíà÷åíèå,
áëèçêîå ê ∆. Ýòîò ôðàãìåíò êðàóäèîíà ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ñâîåîáðàçíûé äåôåêò óïàêîâêè àòîì-
íûõ ðÿäîâ — îäíîìåðíûé àíàëîã õîðîøî èçâåñò-
íûõ â ôèçèêå êðèñòàëëîâ ïëîñêèõ äåôåêòîâ
óïàêîâêè èëè àíòèôàçíûõ ãðàíèö [2,25]*.
�
 ôèçèêå êðèñòàëëîâ ÷àñòî îáñóæäàåòñÿ àíàëîãèÿ ìåæäó òîïîëîãè÷åñêèì ñîëèòîíîì â ìîäåëè îäíîìåðíîãî êðèñòàëëà
Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâîé è äèñëîêàöèåé â òðåõìåðíîì êðèñòàëëå. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ îïèñàííûå çäåñü ÷àñòè÷íûå (âèðòóàëü-
íûå) êðàóäèîíû è ñîåäèíÿþùèå èõ äåôåêòû óïàêîâêè àòîìíûõ ðÿäîâ ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè àíàëîãàìè ÷àñòè÷íûõ äèñëîêà-
öèé è äåôåêòîâ óïàêîâêè àòîìíûõ ïëîñêîñòåé.
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
324 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
Ïåðåõîäÿ ê àíàëèçó ñîáñòâåííîé ýíåðãèè êðàó-
äèîíà â ñëó÷àå äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà ñ
äîñòàòî÷íî ãëóáîêèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì,
ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ Φ(u) â âèäå ñóììû äâóõ-
äîëèííîãî ïîòåíöèàëà Φ(DW)(u) (Φ(DW)(0) =
= Φ(DW)(δ) = 0) è íåêîòîðîé äîñòàòî÷íî ìàëîé ïî-
ëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè ϕ(u), êîòîðàÿ
îáðàùàåòñÿ â íóëü íà êîíöàõ è âíå èíòåðâàëà
ìåæäó òî÷êàìè ìàêñèìóìîâ (ε1 , ε2):
Φ(u) = Φ(DW)(u) + ϕ(u) . (31)
Ïóñòü max ϕ(u) = ϕ(δ) = ∆ << Φm1 , Φm2 , òîãäà
ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ∆ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ
ðàçëîæåíèåì
√Φ(u) −∼ √Φ(DW)(u) +
∆
2 √Φ(DW)(u) + ∆
.
 ýòîì ïðèáëèæåíèè ýíåðãèÿ ïîëíîãî êðàóäèîíà
(17) ðàâíà
Es
−∼ Eσ1 + Eσ2 +
∆
1 − Vs
2
ds
(∆) . (32)
Çäåñü Eσi — ýíåðãèÿ ñóáêðàóäèîíà ñ òîïîëîãè÷åñ-
êèì çàðÿäîì σi , îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (20), à
ds — ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ñóáêðàóäèîíîâ,
âåëè÷èíó êîòîðîãî ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ
èíòåãðàëà:
ds
(∆) = √1 − Vs
2 ∫
ε
1
ε
2
du
√2[Φ(DW)(u) + ∆]
. (33)
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (32) èìååò ñìûñë ýíåðãèè
äåôåêòà óïàêîâêè, ñîåäèíÿþùåãî ÷àñòè÷íûå êðà-
óäèîíû.
Íà îñíîâàíèè âûïîëíåííîãî âûøå àíàëèçà
ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â ñëó÷àå ëþáîãî äâóõ-
áàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u) ñ äîñòàòî÷íî ãëóáî-
êèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ïîëíûé êðàóäèîí ñ
òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì s ìîæíî ïðèáëèçèòåëüíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü îäíîçíà÷íî ñâÿ-
çàííûõ ìåæäó ñîáîé, íî ïðîñòðàíñòâåííî ðàçäå-
ëåííûõ ñóáêðàóäèîíîâ îäèíàêîâîãî çíàêà ñ äðîá-
íûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè σ1 = sδ è
σ2 = s(1 − δ), êîòîðûå ñîåäèíåíû ïðîòÿæåííûì
äåôåêòîì óïàêîâêè ds . Òàêîé êðàóäèîí (èëè ñî-
îòâåòñòâóþùèé åìó êèíê) áóäåì íàçûâàòü ðàñ-
ùåïëåííûì, à îãðàíè÷èâàþùèå åãî ñóáêðàóäèîíû
— ÷àñòè÷íûìè (èëè âèðòóàëüíûìè) êðàóäèîíàìè.
Ïðåäñòàâëåíèÿ î ðàñùåïëåíèè êðàóäèîíîâ ïîëåç-
íû äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ êðàóäèîííûõ
âîçáóæäåíèé â êðèñòàëëàõ ñî ñëîæíîé ôîðìîé
êðèñòàëëè÷åñêîãî ðåëüåôà Φ(u) è ôèçè÷åñêè îï-
ðàâäàíû ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà λσi << ds ,
êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó ∆ << Φmi .
Äîñòàòî÷íî õîðîøåé èëëþñòðàöèåé ñôîðìóëè-
ðîâàííûõ âûøå îáùèõ ïîëîæåíèé ìîæåò ñëóæèòü
ÿâíîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñùåïëåííîì
êðàóäèîíå äëÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîãî ïàðàáîëè-
÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ñëåäóþùåãî âèäà (ðèñ. 3):
Φ(u) =
1
2
K0
2u2 ,
∆ +
1
2
Kc
2(u − δ)2 ,
1
2
K0
2(u − 1)2 ,
0 ≤ u ≤ ε1 ;
ε1 ≤ u ≤ ε2 ;
ε2 ≤ u ≤ 1 ;
σ
i
2K0
2 ≥ 2∆ , i = 1, 2 .
(34)
 êà÷åñòâå íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ýòîãî ïîòåí-
öèàëà áóäåì ðàññìàòðèâàòü êðèâèçíû â òî÷êàõ
ìèíèìóìà K0
2 = Φ′′(0), Kc
2 = Φ′′(δ), ãëóáèíó ëî-
êàëüíîãî ìèíèìóìà ∆ = Φ(δ) è åãî ïîëîæåíèå δ.
Òîãäà ïîëîæåíèå òî÷åê ìàêñèìóìîâ ε1 è ε2 , à
òàêæå âûñîòû áàðüåðîâ Φm1 è Φm2 ÿâëÿþòñÿ
ôóíêöèÿìè ýòèõ ïàðàìåòðîâ è ñîîòâåòñòâóþùèå
çàâèñèìîñòè óäîáíî çàïèñàòü â âèäå ñëåäóþùèõ
ñîîòíîøåíèé:
ε
i
− δ =
(−1)i
K0
2
− Kc
2
|σ
i
| K0
2
− √σ
i
2K0
2Kc
2
+ 2(K0
2
− Kc
2)∆
,
Φ
mi
(∆) =
1
2
Kc
2(ε
i − δ)2 + ∆ , i = 1, 2 .
(35)
Ðèñ. 3. Êóñî÷íî-íåïðåðûâíàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u).
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 325
Ïîëå ñìåùåíèé ïîëíîãî êðàóäèîíà îïðåäåëÿåòñÿ
ôîðìóëàìè
us
(ξ) =
ε1 exp
sξ + λc1
λ0
,
δ + λ∆ sh
sξ
λ
c
,
1 − (1 − ε2) exp
λ
c2 − sξ
λ0
,
sξ ≤ − λ
c1 ;
− λ
c1 ≤ sξ ≤ λ
c2 ;
sξ ≥ λ
c2 ;
K0 λ0 = Kc λc
= √1 − Vs
2 , Kc
λ∆ = √2∆ ,
(36)
λ
ci
= λ
c
ln
|ε
i
− δ| + √λ∆
2 + (εi
− δ)2
λ∆
, i = 1, 2 .
(37)
Äåôîðìàöèÿ us
′(x − Vs t) â óåäèíåííîé âîëíå
(36) èìååò äâà ýêñòðåìóìà â òî÷êàõ xi = Vs t +
+ (−1)iλci . Îáå òî÷êè xi ïåðåìåùàþòñÿ ñî ñêîðîñ-
òüþ Vs è ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê öåíòðû âèð-
òóàëüíûõ ñóáêèíêîâ, ñîåäèíåííûõ äåôåêòîì óïà-
êîâêè ñ øèðèíîé
ds
(∆) = x2 − x1 = λc ×
× ln
[√Φ
m1(∆) + √Φ
m1(∆) − ∆][√Φ
m2(∆) + √Φ
m2(∆) − ∆]
∆
.
(38)
Òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò âèäó òî÷íîãî
âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè ïîëíîãî êðàóäèîíà, êîòî-
ðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ýíåðãèé âèðòóàëü-
íûõ ñóáêðàóäèîíîâ Eσi(∆) è ýíåðãèè äåôåêòà óïà-
êîâêè:
Es
(∆) = Eσ1(∆) + Eσ2(∆) +
∆
1 − Vs
2
ds
(∆) ,
Eσi
(∆) =
1
K0 Kc
√1 − Vs
2
×
×
K0 √Φmi(∆)[Φ
mi
(∆) − ∆] + Kc Φmi
(∆)
. (39)
 ïðåäåëå ∆ → 0 øèðèíà äåôåêòà óïàêîâêè
íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïî àñèìïòîòè÷åñêîìó
çàêîíó:
ds
(∆) −∼ λ
c
ln
4 √Φm1(0)Φ
m2(0)
∆
,
2Φ
mi
(0) =
σ
i
2K0
2Kc
2
(K0 + Kc)
2
.
(40)
Ïðè ýòîì åãî ýíåðãèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à âèðòó-
àëüíûå ñóáêðàóäèîíû ïðåâðàùàþòñÿ â íåçàâèñè-
ìûå äðîáíûå êðàóäèîíû ñ òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿ-
äàìè σ1 = sδ è σ2 = s(1 − δ), êîòîðûå èìåþò
øèðèíû λσi è ýíåðãèè Eσi :
λσi
= |σ
i|
1 − Vσi
2
2Φ
mi
(0)
1/2
, Eσi
= |σ
i
|
Φ
mi
(0)
2(1 − Vσi
2 )
1/2
,
i = 1, 2 . (41)
Ïðîâåäåííûé â äàííîì ðàçäåëå àíàëèç ïîçâî-
ëÿåò ñäåëàòü ïðèíöèïèàëüíî âàæíûé âûâîä îáùå-
ãî õàðàêòåðà îòíîñèòåëüíî àñèìïòîòè÷åñêîãî ïî-
âåäåíèÿ óåäèíåííûõ âîëí (êðàóäèîíîâ, êèíêîâ)
ïðè òðàíñôîðìàöèè ëþáîãî äâóõáàðüåðíîãî ïî-
òåíöèàëà Φ(u) â äâóõúÿìíûé ïîòåíöèàë Φ(DW)(u).
 ïðåäåëå ∆ → 0 ýíåðãèÿ äåôåêòà óïàêîâêè
îáðàùàåòñÿ â íóëü (ds(∆) ∆ → 0) è ïðîèñõîäèò
àñèìïòîòè÷åñêèé ðàñïàä ïîëíîãî âîçáóæäåíèÿ íà
äðîáíûå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äîïîëíèòåëüíîå âû-
ðîæäåíèå ôèçè÷åñêîãî âàêóóìà, ïîÿâëÿþùååñÿ
ïðè òàêîé òðàíñôîðìàöèè, âûçûâàåò êàðäèíàëü-
íóþ ïåðåñòðîéêó ñïåêòðà íåëèíåéíûõ âîçáóæäå-
íèé ñèñòåìû: óåäèíåííûå âîëíû ñ öåëûì òîïîëî-
ãè÷åñêèì çàðÿäîì èñ÷åçàþò è ðîëü ýëåìåíòàðíûõ
ñîëèòîíîïîäîáíûõ âîçáóæäåíèé ïåðåõîäèò ê óå-
äèíåííûì âîëíàì ñ äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè
çàðÿäàìè. Ýòîò âûâîä áåç êàêèõ-ëèáî çàòðóäíå-
íèé îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ïîòåíöèàëîâ Φ(u) ñ
ëþáûì êîëè÷åñòâîì áàðüåðîâ íà èíòåðâàëå (0, 1).
Ïðèìåíèòåëüíî ê äèíàìèêå ïëîòíîóïàêîâàí-
íûõ àòîìíûõ ðÿäîâ â êðèñòàëëàõ ïîëó÷åííûé
ðåçóëüòàò îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: åñëè êðèñòàëëè-
÷åñêèé ïîòåíöèàë äëÿ íèõ Φ(u) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîÿì-
íûì, òî ïðè âíåäðåíèè â ýòè ðÿäû äîïîëíèòåëü-
íîãî àòîìà èëè óäàëåíèè èç íèõ àòîìà (íàïðèìåð,
ïîä âëèÿíèåì ðàäèàöèè) íå âîçíèêàåò ëîêàëèçî-
âàííûõ ñòðóêòóðíûõ ñîñòîÿíèé òèïà ìåæóçåëü-
íûõ àòîìîâ èëè âàêàíñèé, îíè íåèçáåæíî äåëîêà-
ëèçóþòñÿ, ñìåùàÿ ïðè ýòîì àòîìíûé ðÿä íà
âåëè÷èíó ýëåìåíòàðíîãî âåêòîðà òðàíñëÿöèé.
Âîçìîæíî, ÷òî â íåêîòîðûõ ðåàëüíûõ êðèñòàëëè-
÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ äâå òåíäåíöèè âçàèìíî êîì-
ïåíñèðóþò îäíà äðóãóþ: òåíäåíöèÿ ê ëîêàëèçà-
öèè êðàóäèîíîâ çà ñ÷åò áîëüøîé âûñîòû áàðüåðîâ
êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîòåíöèàëüíîãî ðåëüåôà îñëàá-
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
326 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
ëÿåòñÿ íàëè÷èåì â íåì ãëóáîêèõ ëîêàëüíûõ ìèíè-
ìóìîâ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò îêàçàòüñÿ âàæ-
íûì ïðè èíòåðïðåòàöèè äèôôóçèîííûõ è ðàäèà-
öèîííûõ ñâîéñòâ ñëîæíûõ êðèñòàëëîâ.
Îäíàêî ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äàííîå çàêëþ-
÷åíèå íóæäàåòñÿ â óòî÷íåíèè. Íàïîìíèì, ÷òî îíî
ïîëó÷åíî â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè äëÿ
ñòðóêòóðíî-îäíîðîäíîãî êðèñòàëëà. Åñëè ó÷åñòü
ñóùåñòâóþùèå áëàãîäàðÿ äèñêðåòíîñòè ðåøåòî÷-
íîé ñòðóêòóðû áàðüåðû Ïàéåðëñà èëè ñîçäàâàå-
ìûå ëîêàëüíûìè äåôåêòàìè è ïîëÿìè âíóòðåííèõ
íàïðÿæåíèé ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû äëÿ êðàóäè-
îíîâ, òî ïèííèíã ÷àñòè÷íûõ êðàóäèîíîâ íà òàêèõ
áàðüåðàõ ìîæåò ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàòü óêà-
çàííóþ äåëîêàëèçàöèþ [4,26]. Òåíäåíöèÿ ê ðàñ-
ïàäó ïîëíûõ êðàóäèîíîâ îñëàáëÿåòñÿ òàêæå ýô-
ôåêòàìè ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè — ó÷åòîì â
óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (3) ïðîèçâîäíûõ áîëåå âû-
ñîêîãî ïîðÿäêà [22].
 çàêëþ÷åíèå äàííîãî ðàçäåëà îòìåòèì, ÷òî
ïðîáëåìà ðàñùåïëåííûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòî-
íîâ èìååò åùå îäèí èíòåðåñíûé àñïåêò — íàëè÷èå
âíóòðåííåé äèíàìèêè òàêèõ âîçáóæäåíèé [8,18],
îäíàêî îáñóæäåíèå äàííûõ âîïðîñîâ ïðèìåíè-
òåëüíî ê äèíàìèêå êðàóäèîíîâ âûõîäèò çà ðàìêè
íàñòîÿùåé ðàáîòû.
3. Ñïåöèàëüíûå òèïû ñóáêðàóäèîíîâ
 ðàçä. 1 áûëè îïðåäåëåíû è îáñóæäåíû äðîá-
íûå êðàóäèîíû, êîòîðûå ñóùåñòâóþò òîëüêî â
àòîìíûõ ðÿäàõ, ïîìåùåííûõ â ìíîãîÿìíûé ïî-
òåíöèàëüíûé ðåëüåô (ðèñ. 2,â). Îäíàêî ìîæíî
óêàçàòü ñïåöèàëüíûå âïîëíå ðåàëüíûå îáñòîÿ-
òåëüñòâà, ñïîñîáñòâóþùèå ïîÿâëåíèþ äðîáíûõ
êðàóäèîíîâ è â ñëó÷àÿõ ìíîãîáàðüåðíîãî êðèñ-
òàëëè÷åñêîãî ðåëüåôà Φ(u) (ðèñ. 2,ã): òàêèìè îá-
ñòîÿòåëüñòâàìè ÿâëÿþòñÿ íàëè÷èå âíåøíåé ñèëû
F ≠ 0 èëè ó÷åò â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ
u(x, t) ñèëû äèíàìè÷åñêîãî òðåíèÿ f(u. ), êîòîðàÿ â
îáùåì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ íå-
÷åòíóþ ôóíêöèþ ñêîðîñòè ñìåùåíèé àòîìîâ
f(−u. ) = − f(u. ).
Ñíà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðåíèå îòñóòñòâóåò
(f(u. ) ≡ 0), è ïðîàíàëèçèðóåì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâà-
íèÿ êðàóäèîíîâ â àòîìíûõ ðÿäàõ, ïîìåùåííûõ â
ïîòåíöèàë Φ(F)(u) = Φ(u) − Fu, ãäå Φ(u) — äâóõ-
áàðüåðíûé ïîòåíöèàë (ðèñ. 2,ã) ñ äîñòàòî÷íî ãëó-
áîêèì ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ∆, à F = const —
ïîñòîÿííàÿ, äîñòàòî÷íî ìàëàÿ ïî âåëè÷èíå ñèëà
(∆ << Φmi , |F| << Φmi , i = 1, 2). Ñèëà F, âîîá-
ùå ãîâîðÿ, ðàçðóøàåò ïåðèîäè÷íîñòü ïîòåíöèàëà
è ñíèìàåò âûðîæäåíèå óñòîé÷èâûõ ýíåðãåòè÷åñ-
êèõ ñîñòîÿíèé, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîëèòîíî-
ïîäîáíûõ âîçáóæäåíèé ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ òîïî-
ëîãè÷åñêèì çàðÿäîì. Ïîýòîìó ïðè ïðîèçâîëüíûõ
çíà÷åíèÿõ F óðàâíåíèå Êëåéíà—Ãîðäîíà (3) íå
èìååò ðåøåíèé â âèäå óñòîé÷èâûõ óåäèíåííûõ
âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ ñ q = s = ± 1, ïîäîá-
íûõ òåì, êîòîðûå ñóùåñòâóþò â îòñóòñòâèå ñèëû è
îïèñàíû â ðàçä. 2. Èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿþòñÿ äâà
âûäåëåííûõ êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿ ñèëû F = Fi
(i = 1, 2), ïðè êîòîðûõ ïîòåíöèàë Φ(F)(u) äîïóñ-
êàåò ñóùåñòâîâàíèå óñòîé÷èâûõ óåäèíåííûõ âîëí
ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ, íî óæå ñ íåêîòîðûìè
äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè q = σi ,
|σi| < 1.
 ñïðàâåäëèâîñòè äàííîãî óòâåðæäåíèÿ ëåãêî
óáåäèòüñÿ, àíàëèçèðóÿ äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîé-
ñòâà ïîòåíöèàëà Φ(F)(u). Ïðè âûïîëíåíèè íåðà-
âåíñòâ ∆ << Φmi è |F| << Φmi ïîòåíöèàë Φ(F)(u)
èìååò äâà ñåìåéñòâà òî÷åê ìèíèìóìîâ:
un
(F) = n + u0(F) , uν(F) = (n + δ) + uδ(F) ; (42)
çäåñü u0(F) è uδ(F) — ñîîòâåòñòâåííî ñìåùåíèÿ
ãëîáàëüíîãî è ëîêàëüíîãî ìèíèìóìîâ ïîòåíöèàëà
Φ(u) ïîä äåéñòâèåì ñèëû F, êîòîðûå ìîæíî íàéòè
ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ dΦ(u)/du = F. Ýòî îç-
íà÷àåò, ÷òî óðàâíåíèå (3) ïðè F ≠ 0 äîïóñêàåò
ñîâîêóïíîñòü ëîêàëüíî óñòîé÷èâûõ îäíîðîäíûõ
ñîñòîÿíèé un(F) è uν(F), ïåðèîäè÷åñêè (ñ ïåðèî-
äîì 1) ðàñïðåäåëåííûõ íà îñè ñìåùåíèé. Ïîòåí-
öèàëüíûå ýíåðãèè òàêèõ ñîñòîÿíèé Φ(F)[un(F)] è
Φ(F)[uν(F)] ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ñèëû F,
âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íû, íî ñóùåñòâóåò îäíî
ïîëîæèòåëüíîå F1 > 0 è îäíî îòðèöàòåëüíîå
F2 < 0 çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðûõ ýíåðãèè ïàð ñîñåä-
íèõ ñîñòîÿíèé ñîâïàäàþò (ðèñ. 4). Ýòè ñîñòîÿíèÿ
ðàçäåëåíû èíòåðâàëàìè δ + uδ(F1) − u0(F1) è
(1 − δ) + u0(F2) − uδ(F2), à çíà÷åíèÿ ñèëû Fi
(i = 1, 2) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ
Φ[δ + uδ(F)] − Φ[u0(F)] +
+ [(i − 1 − δ) − uδ(F) + u0(F)] F = 0 . (43)
Ðàññìàòðèâàÿ â äàëüíåéøåì ïîòåíöèàë Φ(F)(u)
ïðè êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèÿõ ñèëû F = Fi â ïðåäå-
ëàõ îäíîãî ïåðèîäà n = 0, ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
max [Φ(u) − Fi
u] − min [Φ(u) − Fi u] = Φ~
m
(i) ,
(44)
± [u0(Fi
) − uδ(Fi
) + (i − 1 − δ)] = σ~i , i = 1, 2 .
(45)
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 327
Íàëè÷èå äâóõ ñîñåäíèõ ïðîñòðàíñòâåííî-îäíî-
ðîäíûõ ñîñòîÿíèé u0(Fi) + (i − 1) è δ + uδ(Fi) ñ
îäèíàêîâûìè çíà÷åíèÿìè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
(ðèñ. 4) ñîçäàåò íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâî-
âàíèÿ óñòîé÷èâûõ óåäèíåííûõ âîëí ñòàöèîíàðíî-
ãî ïðîôèëÿ u(x, t) = uσ(x − Vσ t), äâèæóùèõñÿ ñ
ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ Vσ . Òîïîëî-
ãè÷åñêèå çàðÿäû ýòèõ âîëí σ = σ~i (i = 1, 2) îïðå-
äåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì (45), èõ ìîæíî çàäàòü
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, ôèêñèðóÿ íà áåñêîíå÷-
íîñòè óêàçàííûå îäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ. Âíóòðåí-
íÿÿ ñòðóêòóðà òàêèõ âîçáóæäåíèé è ñîîòâåòñòâó-
þùèõ èì êèíêîâ àíàëîãè÷íà ñòðóêòóðå äðîáíûõ
êðàóäèîíîâ, îïèñàííûõ â ðàçä. 1 (ðèñ. 2,â). Ïåð-
âûé è âòîðîé èíòåãðàëû óðàâíåíèÿ (3) ñ ó÷åòîì
ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, êîòîðûå ôèêñèðóþò òîïîëî-
ãè÷åñêèé çàðÿä σ~i , îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèÿìè,
àíàëîãè÷íûìè (7) è (8): â ýòèõ âûðàæåíèÿõ ñëå-
äóåò ïîëàãàòü qi = σ~i , ïîòåíöèàë Φ(u) ñëåäóåò
çàìåíèòü íà ïåðåíîðìèðîâàííûé ïîòåíöèàë
Φ~ (i)(u) = Φ(u) − Φ[u0(Fi)] − [u − u0(Fi
) − (i − 1)]Fi
,
i = 1, 2 , (46)
à â êà÷åñòâå íèæíåãî ïðåäåëà èíòåãðèðîâàíèÿ â
(8) âìåñòî εi âçÿòü umi — òî÷êó ìàêñèìóìà ôóíê-
öèè Φ~ (i)(u), êîòîðûé ðàçäåëÿåò ðàññìàòðèâàåìûå
äîëèíû îäèíàêîâîé ãëóáèíû è èìååò âûñîòó
Φ~m
(i) (44).
Ýíåðãèþ, ýôôåêòèâíóþ ìàññó ïîêîÿ è õàðàê-
òåðíóþ øèðèíó äàííûõ êðàóäèîíîâ ìîæíî âû-
÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (19) è (20), ïðîèçâå-
äÿ çàìåíó Φmi íà Φ~m
(i) è èíòåãðàëà Iσi íà èíòåãðàë
I~σi
= ∫
0
|σ~
i
|
√2Φ~ (i)[u + u0(Fi
) + (i − 1)(1 − |σ~
i|)] du ,
i = 1, 2 .
(47)
Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà-
÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ∆ â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè
u0(F) −∼ F/Φ′′(0) è uδ(F) −∼ F/Φ′′(δ), à ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (43) äëÿ êðèòè÷åñêîé ñèëû Fi è òîïî-
ëîãè÷åñêèå çàðÿäû «êðèòè÷åñêèõ êðàóäèîíîâ» σ~i
èìåþò âèä
Fi
=
∆
δ + 1 − i
, (48)
σ~
i
= ± (i − 1 − δ)
1 +
∆
(i − 1 − δ)2
Φ′′(0) − Φ′′(δ)
Φ′′(0) Φ′′(δ)
,
i = 1, 2 . (49)
Ïðè ∆ → 0 «êðèòè÷åñêèå êðàóäèîíû» ïðåâðàùà-
þòñÿ â äðîáíûå ñ òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè
σ1 = ± δ è σ2 = ± (1 − δ), à ïðè ìàëûõ, íî êîíå÷-
íûõ çíà÷åíèÿõ ∆, ïàðàìåòðû êðèòè÷åñêèõ è îáû÷-
íûõ ñóáêðàóäèîíîâ îòëè÷àþòñÿ íà ìàëûå âåëè÷è-
íû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ∆.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñîîòíîøåíèþ (48) ìîæíî
ïðèäàòü ïðîñòîé ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Âåëè÷èíà ∆
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ïëîòíîñòü ýíåðãèè
(â èñõîäíûõ åäèíèöàõ ∆/b), ò.å. ñèëó íàòÿæåíèÿ
ïîëóîãðàíè÷åííîãî äåôåêòà óïàêîâêè, êîòîðûé
âîçíèêàåò ïðè ïîÿâëåíèè â êðèñòàëëå îòäåëüíîãî
íåóñòîé÷èâîãî ÷àñòè÷íîãî êðàóäèîíà. Òàêîå íàòÿ-
æåíèå ýêâèâàëåíòíî ïðèëîæåííîé ê ÷àñòè÷íîìó
êðàóäèîíó ñèëå, âûòàëêèâàþùåé åãî èç êðèñòàë-
ëà:
�
σi
(∆) = (−1)i+1 sgn (σ
i
) ∆ . (50)
Ðèñ. 4. Òðàíñôîðìàöèÿ äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u) ïîä
äåéñòâèåì âíåøíåé îäíîðîäíîé ñèëû F: à — èñõîäíàÿ
(F = 0) è êðèòè÷åñêàÿ (F = F1) êîíôèãóðàöèè ñóììàðíîãî
ïîòåíöèàëà Φ(F)(u) = Φ(u) − Fu äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé
ñèëû F1 ; á — òî æå äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ñèëû F2 .
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
328 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
Âìåñòå ñ òåì ïðè íàëè÷èè âíåøíåé ñèëû F, ïðè-
ëîæåííîé ê àòîìàì ïëîòíîóïàêîâàííîãî ðÿäà, íà
êðàóäèîí ñ òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì σi äåéñòâóåò
ýôôåêòèâíàÿ ñèëà [3,9]*
�
σi
(F) = − σ
i
F . (51)
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ñîîòíîøåíèå (48) ñîâïàäàåò
ñ óñëîâèåì áàëàíñà ýòèõ ñèë
�
σi
(∆) +
�
σi
(F) = 0, êî-
òîðîå ïðåâðàùàåò ÷àñòè÷íûé êðàóäèîí â óñòîé÷è-
âûé ñóáêðàóäèîí, äâèæóùèéñÿ ñ ïðîèçâîëüíîé
ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Ïðÿìîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå íàáëþäåíèå êðè-
òè÷åñêèõ ñóáêèíêîâ çàòðóäíåíî â ñâÿçè ñ òðóä-
íîñòÿìè ðåàëèçàöèè òî÷íîãî ðàâåíñòâà F = Fi .
Ïîýòîìó îñíîâíîé èíòåðåñ, ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïå-
ðèìåíòà, èìåþò àíîìàëèè êèíåòè÷åñêèõ õàðàê-
òåðèñòèê ñèñòåì ñ äâóõáàðüåðíûì ïîòåíöèàëîì
Φ(u), êîòîðûå äîëæíû èìåòü ìåñòî ïðè F → Fi .
Òàêèå àíîìàëèè çàðåãèñòðèðîâàíû, íàïðèìåð,
ïðè èçó÷åíèè íèçêîòåìïåðàòóðíîé ïëàñòè÷íîñòè
ðÿäà îáúåìíî-öåíòðèðîâàííûõ ìåòàëëîâ ñ äâóõ-
áàðüåðíûì ðåëüåôîì Ïàéåðëñà äëÿ äèñëîêà-
öèé [13,27–30].
Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ óñòîé÷èâûõ ñòàöèî-
íàðíûõ êðàóäèîíîâ (óåäèíåííûõ âîëí) ïðèîáðå-
òàþò äîïîëíèòåëüíóþ ñïåöèôèêó ïðè ó÷åòå â
óðàâíåíèè (3) äëÿ ïîëÿ ñìåùåíèé u(x, t) íàðÿäó
ñ ïîòåíöèàëüíîé ñèëîé F òàêæå ñèëû äèíàìè÷åñ-
êîãî òðåíèÿ f(u. ):
u
.. − u′′ − f(u. ) +
d
du
Φ(u) = F . (52)
Îáñóäèì òå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå âíîñèò ñèëà
äèíàìè÷åñêîãî òðåíèÿ â óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
äðîáíûõ êðàóäèîíîâ ïðè F = 0. Âûøå ìû óáåäè-
ëèñü, ÷òî â ñëó÷àå äâóõáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà
Φ(u) (ðèñ. 2,ã) â îòñóòñòâèå âíåøíåé ñèëû ñóùå-
ñòâîâàíèå óåäèíåííûõ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðî-
ôèëÿ ñ äðîáíûì òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì íåâîç-
ìîæíî, îäíàêî ó÷åò ñèëû òðåíèÿ êàðäèíàëüíî
ìåíÿåò ñèòóàöèþ. Ïðåäñòàâèì äâóõáàðüåðíûé ïî-
òåíöèàë Φ(u) â âèäå ñóììû (31) íåêîòîðîãî
äâóõúÿìíîãî ïîòåíöèàëà Φ(DW)(u) ñ àáñîëþòíûì
ïðîìåæóòî÷íûì ìèíèìóìîì â òî÷êå δ (ðèñ. 2,â) è
ïîëîæèòåëüíîé äîáàâêè ϕ(u), êîòîðàÿ äîñòèãàåò
ìàêñèìóìà â òî÷êå δ è âìåñòå ñî ñâîåé ïåðâîé
ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ãðàíèöàõ èí-
òåðâàëîâ [0, 1] è [ε1 , ε2]: ϕ(δ) = ∆ << Φmi ,
ϕ′(δ) = ϕ(0) = ϕ(1) = ϕ(εi) = ϕ′(0) = ϕ′(1) = ϕ′(εi) = 0.
Áóäåì ôîðìàëüíî ñ÷èòàòü ñèëó f(u. ) âìåñòå ñ ïî-
òåíöèàëîì ϕ(u) äîñòàòî÷íî ìàëûìè âåëè÷èíàìè è
âîñïîëüçóåìñÿ ïðè àíàëèçå íåëèíåéíûõ âîçáóæ-
äåíèé ïîëÿ u(x, t) ìåòîäàìè òåîðèè âîçìóùåíèé.
Ñîîòâåòñòâóþùèå íåðàâåíñòâà, îáåñïå÷èâàþùèå
óäîâëåòâîðèòåëüíóþ ñõîäèìîñòü ïðîöåäóðû òåî-
ðèè âîçìóùåíèé, áóäóò ïîëó÷åíû â êîíöå ðàçäå-
ëà.
 êà÷åñòâå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ òåîðèè âîç-
ìóùåíèé âûáåðåì ñóáêðàóäèîíû, ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå ïîòåíöèàëó Φ(DW)(u):
u(x, t) = uσi
(x − Vt) + η(x − Vt ) , (53)
(1 − V2) uσi
′′ −
d
duσi
Φ(DW)(uσi
) = 0 , (54)
σ
i
= ± [i − 1 + (3 − 2i) δ] , i = 1, 2 . (55)
Âîçìóùåíèå ïîëÿ ñìåùåíèé η(ξ) è ïàðàìåòð V
ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè âåëè÷èíàìè, ïîäëåæàùè-
ìè îïðåäåëåíèþ. Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî äèíà-
ìè÷åñêîå òðåíèå íå âëèÿåò íà ñèñòåìàòèêó è âåëè-
÷èíû òîïîëîãè÷åñêèõ çàðÿäîâ, à ìîæåò òîëüêî â
êàêîé-òî ìåðå èñêàçèòü ñòðóêòóðó öåíòðàëüíûõ
÷àñòåé êðàóäèîíîâ. Ôîðìàëüíî äàííîå ïðåäïîëî-
æåíèå ñâîäèòñÿ ê ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì äëÿ âîçìó-
ùåíèÿ η(ξ) âèäà
η(± ∞) = η′(± ∞) = 0 . (56)
Ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ òåîðèè âîçìóùåíèé ñî-
îòâåòñòâóþò ðàâåíñòâà
d
du
Φ(u) −∼
d
duσi
Φ(DW)(uσi
) +
+
d
duσi
ϕ(uσi
) +
d2
duσi
2
Φ(DW)(uσi
) η ,
f(u. ) −∼ − f(Vuσi
′ ) .
 ðåçóëüòàòå äëÿ âîçìóùåíèÿ η(ξ) ïîëó÷àåì ëè-
íåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå:
(1 − V2) η′′ −
d2
duσi
2
Φ(DW)(uσi
) η =
=
d
duσi
ϕ(uσi
) + f(Vuσi
′ ) . (57)
�
Ê ñîæàëåíèþ, â ðåçóëüòàòå òåõíè÷åñêîé îøèáêè çíàê ýòîé ñèëû â ðàáîòå [9] óêàçàí íåïðàâèëüíî.
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 329
Ïðè íàëè÷èè ñèëû òðåíèÿ f(u. ) âîëíà ñòàöèî-
íàðíîãî ïðîôèëÿ (53) íå ìîæåò óäîâëåòâîðèòü
óðàâíåíèþ (52) ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ
ñêîðîñòè V, ïîýòîìó çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëå-
íèþ íå òîëüêî ôóíêöèè η(ξ), íî è äîïóñòèìûõ
çíà÷åíèé ñêîðîñòè êðàóäèîíà V = Vσi
(f) : â îáùåì
ñëó÷àå ýòè çíà÷åíèÿ çàâèñÿò îò âèäà è ïàðàìåòðîâ
ôóíêöèé f(u. ) è Φ(u). Óñòàíîâèòü äîïóñòèìûå çíà-
÷åíèÿ ñêîðîñòè ìîæíî ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîé â
òåîðèè ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
òåîðåìû îá àëüòåðíàòèâå [31,32]. Óñëîâèåì ñóùå-
ñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî
óðàâíåíèÿ (57) ñ ãðàíè÷íûìè çíà÷åíèÿìè (56)
ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòü ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî
óðàâíåíèÿ ÷àñòíîìó ðåøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùåãî
åìó îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ η(0)(ξ), èìåþùåãî
òàêèå æå ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ. Íàéòè ýòî ðåøåíèå
ïîìîãàåò óðàâíåíèå íóëåâîãî ïðèáëèæåíèÿ (54).
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (54) ïî êîîðäèíàòå ξ,
ïîëó÷àåì
(1 − V2)(uσi
′ )′′ −
d2
duσi
2 Φ(DW)(uσi
) uσi
′ = 0 . (58)
Ñðàâíèâàÿ (58) ñ (57) è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå
îòñóòñòâèå êðàóäèîííûõ äåôîðìàöèé íà áåñêî-
íå÷íîñòè uσi
′ (± ∞) = 0, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ,
÷òî â êà÷åñòâå íóæíîãî íàì ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ
îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (57) ìîæíî âçÿòü
η(0)(ξ) = uσi′ (ξ). Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëÿåìîå òåî-
ðåìîé îá àëüòåðíàòèâå óñëîâèå ñâîäèòñÿ ê óðàâíå-
íèþ
∫
−∞
∞
uσi
′ (ξ)f[Vuσi
′ (ξ)] dξ = (−1)i sgn (σ
i
)∆ . (59)
Òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ uσi
′ (ξ) óäîâëåòâîðÿåò ñîîò-
íîøåíèþ (7) ñ ïîòåíöèàëîì Φ(DW)(u) è q = σi , à
ñèëà òðåíèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé
ñêîðîñòè f(−u. ) = − f(u. ), òî ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ
(59) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîòåíöèàë Φ(DW)(u) è
ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå
�
σi
(f)(V) + (−1)i+1 sgn (σ
i
)∆ = 0 , (60)
�
σi
(f)(V) = ∫
0
|σ
i
|
f
V √2Φ(DW)[u − (i − 1)|σi
|]
√1 − V2
du .
(61)
Òàêèì îáðàçîì, åñëè àòîìû âûäåëåííîãî ðÿäà
èñïûòûâàþò äåéñòâèå ñèëû äèíàìè÷åñêîãî òðå-
íèÿ, òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ
ñòàöèîíàðíûõ êðàóäèîííûõ âîçáóæäåíèé ñ äðîá-
íûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè ÿâëÿåòñÿ íàëè-
÷èå âåùåñòâåííûõ ðåøåíèé V = Vσi
(f) óðàâíåíèÿ
(60). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî óðàâíåíèå (60) ïî-
çâîëÿåò èíòåðïðåòèðîâàòü âåëè÷èíó Fσi
(f)(V) êàê
ýôôåêòèâíóþ ñèëó äèíàìè÷åñêîãî òîðìîæåíèÿ
êðàóäèîíà, ïîÿâëåíèå êîòîðîé îáóñëîâëåíî äèñ-
ñèïàòèâíûìè ñâîéñòâàìè îòäåëüíûõ àòîìîâ. Ïðè
òàêîé èíòåðïðåòàöèè óðàâíåíèå (60) ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé áàëàíñ äâóõ ñèë: ñèëû òîðìîæåíèÿ�
σi
(f)(V) (61) è ñèëû ëèíåéíîãî íàòÿæåíèÿ
�
σi
(∆)
(50) ïîëóîãðàíè÷åííîãî äåôåêòà óïàêîâêè, êîòî-
ðûé âîçíèêàåò íà áåñêîíå÷íîñòè ïðè ïîÿâëåíèè â
êðèñòàëëå ÷àñòè÷íîãî êðàóäèîíà, åñëè ∆ ≠ 0.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà, ïîçâîëÿþùåãî ïîëó÷èòü
ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è â ÿâíîì âèäå,
ðàññìîòðèì ñëó÷àé ëèíåéíîãî òîðìîæåíèÿ àòî-
ìîâ: f(u. ) = − βu. , ãäå β — êîýôôèöèåíò àòîìíîé
âÿçêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå
�
σi
(f)(V) = −
Iσi
βV
√1 − V2
,
Iσi
= ∫
0
|σ
i
|
√2Φ(DW)[u − (i − 1) |σ
i
|] du ,
(62)
à ñêîðîñòü ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ äðîáíîãî êðà-
óäèîíà ñ òîïîëîãè÷åñêèì çàðÿäîì σi ðàâíà
Vσi
(f) =
(−1)i+1 sgn (σ
i
)∆
√∆2 + β2Iσi
2
. (63)
Àíàëèç óðàâíåíèÿ (57) äëÿ âîçìóùåíèÿ η(ξ)
âáëèçè öåíòðîâ äðîáíûõ êðàóäèîíîâ ξi ñ ó÷åòîì
îãîâîðåííûõ âûøå ñâîéñòâ ïîòåíöèàëà ϕ(u) è ñî-
îòíîøåíèÿ (63) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îöåíêó õà-
ðàêòåðíûõ çíà÷åíèé âîçìóùåíèÿ:
η(ξ
i
) =
(−1)i∆ √2Φ
mi
Iσi |Φ′′(εi)|
. (64)
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå ïðèìåíèìîñòè êîíòèíó-
àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ Vσi
(f) << 1 è óñëîâèå ñõîäè-
ìîñòè èñïîëüçîâàííîé âûøå ïðîöåäóðû òåîðèè
âîçìóùåíèé η(ξi) << uσi(ξi) = i − 1 + (3 − 2i)εi ñâî-
äèòñÿ ê äâóì íåðàâåíñòâàì:
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
330 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
∆ << βIσi
, ∆ << [i − 1 + (3 − 2i)εi
]
|Φ′′(ε
i
)| Iσi
√2Φ
mi
.
(65)
Îòìåòèì, ÷òî îïèñàííûå âûøå ñïåöèôè÷åñêèå
äèíàìè÷åñêèå êðàóäèîíû ñ äðîáíûì òîïîëîãè÷åñ-
êèì çàðÿäîì, ñóùåñòâóþùèå â âÿçêîé êðèñòàëëè-
÷åñêîé ìàòðèöå, ñ îáùåôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ
àíàëîãè÷íû õîðîøî èçâåñòíûì â òåîðèè ìàãíèò-
íûõ ñîëèòîíîâ [24] äîìåííûì π-ñòåíêàì, äâèæó-
ùèìñÿ â äèññèïàòèâíîé ìàãíèòíîé ñðåäå ñ ïîñòî-
ÿííîé ñêîðîñòüþ ïîä äåéñòâèåì îäíîðîäíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ (òàê íàçûâàåìûé óîêåðîâñêèé
ðåæèì äâèæåíèÿ äîìåííûõ ñòåíîê).
Ïðîâåäåííûé âûøå àíàëèç äâóõ ÷àñòíûõ ñëó-
÷àåâ ëåãêî îáîáùàåòñÿ è íà ñëó÷àé îäíîâðåìåííî-
ãî ïðèñóòñòâèÿ â óðàâíåíèè (52) âíåøíåé ñèëû
F ≠ 0 è ñèëû òðåíèÿ f ≠ 0.  ýòîì ñëó÷àå äâóõ-
áàðüåðíûé ïîòåíöèàë Φ(u) (ðèñ. 2,ã) ñ äîñòà-
òî÷íî ãëóáîêèì ïðîìåæóòî÷íûì ìèíèìóìîì
(∆ << Φmi) òàêæå äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå óñ-
òîé÷èâûõ óåäèíåííûõ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðî-
ôèëÿ ñ äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè
σi −∼ ± δ, ±(1 − δ). Ñêîðîñòü òàêèõ âîëí Vσi
(F,f) îï-
ðåäåëÿåòñÿ êàê ñèëàìè F è f, òàê è ïàðàìåòðàìè
ïîòåíöèàëà Φ(u). Â ëèíåéíîì ïî ∆ è F ïðèáëèæå-
íèè çíà÷åíèÿ Vσi
(F,f) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíå-
íèÿ áàëàíñà ñèëû íàòÿæåíèÿ äåôåêòà óïàêîâêè
(50), âíåøíåé ñèëû (51) è ñèëû òðåíèÿ (61):
�
σi
(∆) +
�
σi
(F) + � σi
(f)(V) = 0 . (66)
Åñëè òîðìîæåíèå àòîìîâ èìååò ëèíåéíûé õàðàê-
òåð, òî äëÿ ñêîðîñòè Vσi
(F,f) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
Vσi
(F,f) = (−1)i+1 sgn (σi
)
(−1)i|σ
i
|F + ∆
√[(−1)i|σ
i
|F + ∆]2 + β2Iσi
2
,
i = 1, 2 . (67)
 ÷èñëèòåëå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñòîèò ñóììàðíàÿ
ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà êèíê ñî ñòîðîíû äåôåêòà
óïàêîâêè è ïîëÿ âíåøíèõ ñèë; êîððåêòíîñòü ïî-
ëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà îáåñïå÷èâàåòñÿ äîñòàòî÷íî
ìàëîé âåëè÷èíîé ýòîé ñèëû. Ïðè ðàâåíñòâå ýòîé
ñèëû íóëþ îòëè÷íîå îò íóëÿ òðåíèå (β ≠ 0) äî-
ïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî ñòàòè÷åñêèõ äðîá-
íûõ êðàóäèîíîâ.
Çàêëþ÷åíèå
Îñíîâíàÿ öåëü äàííîãî èññëåäîâàíèÿ — ïðè-
ìåíåíèå ê îïèñàíèþ êðàóäèîíîâ â ñëîæíûõ êðèñ-
òàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ ïðåäñòàâëåíèé î äðîá-
íûõ è ðàñùåïëåííûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòîíàõ,
ñôîðìóëèðîâàííûõ ðàíåå ïðè èçó÷åíèè äðóãèõ
çàäà÷ íåëèíåéíîé ìåõàíèêè [8]. Âî ââåäåíèè èç-
ëîæåíû îñíîâíûå ïðåäïîñûëêè, ïîçâîëÿþùèå
ñâåñòè çàäà÷ó î äèíàìèêå êðàóäèîííîãî âîçáóæ-
äåíèÿ â òðåõìåðíîì êðèñòàëëå ê àíàëèçó îä-
íîìåðíîé ìîäåëè Ôðåíêåëÿ—Êîíòîðîâîé ñî
ñëîæíûì ïîòåíöèàëîì ïîäëîæêè Φ(u) è ñîîòâåò-
ñòâóþùåãî åé íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ Êëåéíà—
Ãîðäîíà (3). Çäåñü æå è â ïåðâîì ðàçäåëå ñòàòüè
èçëîæåíû â îñíîâíîì èçâåñòíûå ïîëîæåíèÿ òåî-
ðèè òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ: îðèãèíàëüíûì
ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíî îáùàÿ ôîðìà èç-
ëîæåíèÿ, ïîçâîëÿþùàÿ åäèíîîáðàçíî îïèñàòü
ñòðóêòóðó è ñâîéñòâà ñîëèòîíîâ (êðàóäèîíîâ)
ïðè ëþáîé ñëîæíîé ôîðìå ïîòåíöèàëüíîãî ïðî-
ôèëÿ Φ(u) è ïðîèçâîëüíûõ âåëè÷èíàõ è çíàêàõ
òîïîëîãè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Äàíà ñðàâíèòåëüíàÿ õà-
ðàêòåðèñòèêà ñîëèòîíîâ ñ öåëî÷èñëåííûìè è
äðîáíûìè òîïîëîãè÷åñêèìè çàðÿäàìè êàê íåçàâè-
ñèìûõ óñòîé÷èâûõ íåëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé
ìíîãîêðàòíî âûðîæäåííîãî ôèçè÷åñêîãî âàêóó-
ìà, îòìå÷åíà îáùíîñòü è ðàçëè÷èÿ ñâîéñòâ ïîë-
íûõ ñîëèòîíîâ è ñóáñîëèòîíîâ.
Âî âòîðîì ðàçäåëå â ìàêñèìàëüíî îáùåé
ôîðìå îïèñàí ýôôåêò è óñëîâèÿ ðàñùåïëåíèÿ
ïîëíûõ ñîëèòîíîâ (êðàóäèîíîâ) íà ÷àñòè÷íûå,
èìåþùèé ìåñòî â ñëó÷àå òàê íàçûâàåìîãî ìíî-
ãîáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u). Ðàíåå ýôôåêò
ðàñùåïëåíèÿ áûë îïèñàí äëÿ íåñêîëüêèõ òèïîâ
êîíêðåòíûõ ñèììåòðè÷íûõ äâóõáàðüåðíûõ ïî-
òåíöèàëîâ Φ(u), äîïóñêàþùèõ ÿâíûå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà.  îòëè÷èå îò âû-
ïîëíåííûõ ðàíåå èññëåäîâàíèé íàø àíàëèç íå
ïðåäïîëàãàåò ïîëó÷åíèÿ â ÿâíîì âèäå òî÷íûõ ðå-
øåíèé óðàâíåíèÿ Êëåéíà—Ãîðäîíà. Çäåñü îïèñà-
íû êà÷åñòâåííûå ïðåäïîñûëêè, ïîçâîëÿþùèå
ââåñòè ïîíÿòèå ÷àñòè÷íûõ (âèðòóàëüíûõ) òîïîëî-
ãè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ è ñîåäèíÿþùåãî èõ äåôåêòà
óïàêîâêè, à òàêæå ïîëó÷åíû àñèìïòîòè÷åñêèå
àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ è
ýíåðãåòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê îòäåëüíûõ ôðàã-
ìåíòîâ ðàñùåïëåííîãî ñîëèòîíà â ñëó÷àå äâóõ-
áàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u) ïðîèçâîëüíîãî âèäà.
Êà÷åñòâåííî îïèñàí àñèìïòîòè÷åñêèé ðàñïàä ïîë-
íîãî òîïîëîãè÷åñêîãî ñîëèòîíà íà ñâîáîäíûå ñóá-
ñîëèòîíû ïðè òðàíñôîðìàöèè äâóõáàðüåðíîãî ïî-
òåíöèàëà â äâóúõÿìíûé. Ïîëó÷åíî òàêæå â ÿâíîì
âèäå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î ðàñùåïëåíèè è
ðàñïàäå ïîëíîãî ñîëèòîíà íà ïðèìåðå ïàðàáîëè-
÷åñêîãî êóñî÷íî-íåïðåðûâíîãî àñèììåòðè÷íîãî
ïîòåíöèàëà Φ(u). Êðàòêî îáñóæäåíû àíàëîãèÿ
ìåæäó ðàñùåïëåííûìè êðàóäèîíàìè è ðàñùåï-
Äðîáíûå è ðàñùåïëåííûå êðàóäèîíû â ñëîæíûõ êðèñòàëëè÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3 331
ëåííûìè äèñëîêàöèÿìè è âîçìîæíûå ôèçè÷åñêèå
ýôôåêòû â êðèñòàëëàõ ñî ñëîæíîé ñòðóêòóðîé,
ñâÿçàííûå ñ ðàñùåïëåíèåì êðàóäèîíîâ.
 òðåòüåì ðàçäåëå ñòàòüè îáñóæäåíû ñïåöèàëü-
íûå òèïû äðîáíûõ òîïîëîãè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ
(êðàóäèîíîâ), ïîÿâëåíèå êîòîðûõ âîçìîæíî â
ñëó÷àå ìíîãîáàðüåðíîãî ïîòåíöèàëà Φ(u) ïðè íà-
ëè÷èè âíåøíåé ñèëû èëè ñèë äèíàìè÷åñêîãî òðå-
íèÿ, äåéñòâóþùèõ íà àòîìû ïëîòíîóïàêîâàííîãî
ðÿäà â ñëîæíîì êðèñòàëëå. Íåîáõîäèìûì óñëîâè-
åì, êîòîðîå ïðåâðàùàåò ÷àñòè÷íûé êðàóäèîí â
ñâîáîäíûé óñòîé÷èâûé ñóáêðàóäèîí, ÿâëÿåòñÿ áà-
ëàíñ òðåõ ñèë: âíåøíåé ñèëû, ñèëû òðåíèÿ è ñèëû
íàòÿæåíèÿ ïîëóîãðàíè÷åííîãî äåôåêòà óïàêîâêè.
Êðàòêî îáñóæäåíà âîçìîæíîñòü íàáëþäåíèÿ ñî-
ëèòîíîâ ýòîãî òèïà â ýêñïåðèìåíòàõ è îòìå÷åíà èõ
àíàëîãèÿ ñ äîìåííûìè π-ñòåíêàìè, ñóùåñòâóþùè-
ìè â ìàãíåòèêàõ â îäíîðîäíîì âíåøíåì ìàãíèò-
íîì ïîëå.
Àâòîðû âûðàæàþò èñêðåííþþ ïðèçíàòåëü-
íîñòü À. Ñ. Êîâàëåâó è Ì. Ì. Áîãäàíó çà îáñóæ-
äåíèå çàòðîíóòûõ â ñòàòüå ïðîáëåì è ïîëåçíûå
êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ.
1. H. R. Paneth, Phys. Rev. 80, 708 (1950).
2. Æ. Ôðèäåëü, Äèñëîêàöèè, Ìîñêâà, Ìèð (1967).
3. À. Ì. Êîñåâè÷, Òåîðèÿ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, Õàðü-
êîâ, Âèùà øêîëà (1988).
4. È. Ô. Ëþêñóòîâ, À. Ã. Íàóìîâåö, Â. Ë. Ïîêðîâñêèé,
Äâóìåðíûå êðèñòàëëû, Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà (1988).
5. Ã. Êàóø, Ðàçðóøåíèå ïîëèìåðîâ, Ìîñêâà, Ìèð (1981).
6. Â. Ð. Ðåãåëü, À. È. Ñëóöêåð, Ý. Å. Òîìàøåâñêèé, Êèíå-
òè÷åñêàÿ ïðèðîäà ïðî÷íîñòè òâåðäûõ òåë, Ìîñêâà,
Íàóêà (1974).
7. ß. È. Ôðåíêåëü, Ââåäåíèå â òåîðèþ ìåòàëëîâ, Ëåíèí-
ãðàä, Íàóêà (1972).
8. O. M. Braun and Yu. S. Kivshar, Phys. Rep. 306, 1
(1998).
9. Â. Ä. Íàöèê, Å. È. Íàçàðåíêî, ÔÍÒ 26, 283 (2000).
10. Ñîëèòîíû â äåéñòâèè, Ê. Ëîíãðåí, Ý. Ñêîòò (påä.),
Ìîñêâà, Ìèð (1981).
11. Ñîëèòîíû, Ð. Áóëëaô, Ô. Êîäðè (påä.), Ìîñêâà, Ìèð
(1983).
12. Ð. Äîää, Äæ. Ýéáëåê, Äæ. Ãèááîí, Õ. Ìîððèñ, Ñîëèòî-
íû è íåëèíåéíûå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ, Ìîñêâà, Ìèð
(1988).
13. P. Guyot and J. E. Dorn, Canad. J. Phys. 45, 983 (1967).
14. À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ, Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþ
ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1989).
15. M. Peyrard and M. Remoissenet, Phys. Rev. B26, 2886
(1982).
16. M. Remoissenet and M. Peyrard, Phys. Rev. B29, 3153
(1984).
17. K. Maki and P. Kumàr, Phys. Rev. B14, 118 (1976); ibid,
3920 (1976).
18. S. Burdick, M. El-Batanouny, and C. R. Willis, Phys.
Rev. B34, 6575 (1986).
19. À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ, Òåîðèÿ äèíàìè÷åñêîãî
êðàóäèîíà â òðåõìåðíîé ñèëüíî àíèçîòðîïíîé ñðåäå,
 ñá.: Äèíàìèêà äèñëîêàöèé, Íàóêîâà äóìêà, Êèåâ (1975).
20. A. S. Kovalev, A. D. Kondratyuk, A. M. Kosevich, and
A. I. Landau, Phys. Rev. B48, 4122 (1993); Phys. Status
Solidi B177, 177 (1993).
21. A. I. Landau, A. S. Kovalev, and A. M. Kosevich, Phys.
Status Solidi B179, 373 (1993).
22. M. M. Bogdan, A. M. Kosevich, and G. A. Maugin, Cond.
Matt. Phys. 2, 255 (1999).
23. Î. Ê. Äóäêî, À. Ñ. Êîâàëåâ, ÔÍÒ 26, 821 (2000).
24. À. Õóáåðò, Òåîðèÿ äîìåííûõ ñòåíîê â óïîðÿäî÷åííûõ
ñðåäàõ, Ìîñêâà, Ìèð (1977).
25. Äæ. Õèðò, È. Ëîòå, Òåîðèÿ äèñëîêàöèé, Ìîñêâà, Àòîìèç-
äàò (1972).
26. P. Tchofo Dinda and C. R. Willis, Phys. Rev. E51, 4958
(1995).
27. E. Kuramoto, Y. Aono, and T. Tsutsumi, Crystal Res.
Technol. 19, 331 (1984).
28. Á. Â. Ïåòóõîâ, Þ. È. Ïîëÿêîâ, Êðèñòàëëîãðàôèÿ 32,
1324 (1987).
29. T. Suzuki, H. Koizumi, and H. O. K. Kirchner, Acta
Metall. Mater. 43, 2177 (1995).
30. À. Í. Äèóëèí, Ã. È. Êèðè÷åíêî, Â. Ä. Íàöèê, Â. Ï.
Ñîëäàòîâ, ÔÍÒ 24, 595 (1998).
31. Ð. Êóðàíò, Ä. Ãèëüáåðò, Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçè-
êè, Ò. 1, Ìîñêâà, Ëåíèíãðàä, Ãîñòåõòåîðèçäàò (1933).
32. Ý. Ìàäåëóíã, Ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ôèçèêè, Ìîñ-
êâà, Ôèçìàòãèç (1960).
Fractional and splitted crowdions in
complicated crystal structures
V. D. Natsik, S. N. Smirnov, and Y. I. Nazarenko
The conditions of the existence and the features
of the dynamics of crowdion excitations in crystals
with a complicated structure of the potential crystal
field forming crowdions in the closed-packed atomic
rows are analyzed. The crystal matrix is assumed to
be absolutely rigid and therefore the crowdion de-
scription reduces to the analysis of the generalized
Frenkel—Kontorova model and the corresponding
non-linear differential Klein—Gordon equation. In
the framework of this model the cases of so-called
double-well and double-barrier crystal potentials are
studied: the structure of the subcrowdions with frac-
tional topological charges, the structure of splitted
perfect crowdions as well as the asymptotic dissocia-
tion of splitted crowdions into subcrowdions during
transformation of the double-barrier potential into a
double-well one are described. The conditions of the
existence of special type subcrowdions associated
with the atomic crystal viscosity and with the ap-
plied to crystal external forces are discussed. The
qualitative analysis does not presuppose an exact
solution of the nonlinear Klein—Gordon equation in
the explicit form. The results of this analysis gener-
alize the conclusions made in the studies of some
particular cases of the exactly solvable Klein—Gor-
don equations with complicated potentials (see re-
view article [8]). The findings of the work can be
used not only in the crowdion physics but also in
other fields of the nonlinear physics based on the
Frenkel—Kontorova model.
Â. Ä. Íàöèê, Ñ. Í. Ñìèðíîâ, Å. È. Íàçàðåíêî
332 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåpàòóp, 2001, ò. 27, ¹ 3
|