Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур
Исследованы свойства модели (коллайдера), где две независимые переменные (причины) влияют на третью переменную (эффект). Показано, что в результате кондиционирования эффекта его причины, как правило, становятся взаимно зависимыми. Провоцированная (индуцированная) зависимость изучена количественно....
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2016
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131386 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 10-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-131386 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1313862018-03-22T03:03:05Z Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур Балабанов, А.С. Кибернетика Исследованы свойства модели (коллайдера), где две независимые переменные (причины) влияют на третью переменную (эффект). Показано, что в результате кондиционирования эффекта его причины, как правило, становятся взаимно зависимыми. Провоцированная (индуцированная) зависимость изучена количественно. Выявлена тесная связь провоцированной зависимости с взаимодействием факторов предложен индекс взаимодействия двух факторов. Показана эффективность применения провоцированной зависимости для идентификации направлений связей и обнаружения маскированных связей (ребер) модели. Досліджено властивості моделі (колізора), де дві незалежні змінні (причини) впливають на третю змінну (ефект). Показано, що внаслідок кондиціонування ефекту його причини зазвичай стають взаємно залежними. Провокована (індукована) залежність вивчена кількісно. Виявлено тісний зв’язок провокованої залежності з взаємодією факторів запропоновано індекс взаємодії двох факторів. Показано ефективність застосування провокованої залежності для ідентифікації напрямків зв’язків та виявлення маскованих зв’язків (ребер) моделі. We analyze the properties of collider (a model where two independent factors influence common effect), demonstrate that conditioning on the effect renders the factors mutually dependent, and characterise this phenomenon quantitatively. We reveal an inherent relationship between the induced dependence and factor interaction and present the index of two factor interaction. Provoked dependence is shown to be efficient to identify link orientation and to reveal masked links (edges). 2016 Article Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 10-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131386 004.855:519.216 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Кибернетика Кибернетика |
| spellingShingle |
Кибернетика Кибернетика Балабанов, А.С. Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследованы свойства модели (коллайдера), где две независимые переменные (причины) влияют на третью переменную (эффект). Показано, что в результате кондиционирования эффекта его причины, как правило, становятся взаимно зависимыми. Провоцированная (индуцированная) зависимость изучена количественно. Выявлена тесная связь провоцированной зависимости с взаимодействием факторов предложен индекс взаимодействия двух факторов. Показана эффективность применения провоцированной зависимости для идентификации направлений связей и обнаружения маскированных связей (ребер) модели. |
| format |
Article |
| author |
Балабанов, А.С. |
| author_facet |
Балабанов, А.С. |
| author_sort |
Балабанов, А.С. |
| title |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| title_short |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| title_full |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| title_fullStr |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| title_full_unstemmed |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| title_sort |
индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2016 |
| topic_facet |
Кибернетика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131386 |
| citation_txt |
Индуцированная зависимость, взаимодействие факторов и дискриминация каузальных структур / А.С. Балабанов // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 1. — С. 10-22. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT balabanovas inducirovannaâzavisimostʹvzaimodejstviefaktorovidiskriminaciâkauzalʹnyhstruktur |
| first_indexed |
2025-07-09T15:21:00Z |
| last_indexed |
2025-07-09T15:21:00Z |
| _version_ |
1837183233187381248 |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.855:519.216
À.Ñ. ÁÀËÀÁÀÍÎÂ
ÈÍÄÓÖÈÐÎÂÀÍÍÀß ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÜ, ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ
ÔÀÊÒÎÐÎÂ È ÄÈÑÊÐÈÌÈÍÀÖÈß ÊÀÓÇÀËÜÍÛÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ìîäåëè (êîëëàéäåðà), ãäå äâå íåçàâèñèìûå ïåðåìåí-
íûå (ïðè÷èíû) âëèÿþò íà òðåòüþ ïåðåìåííóþ (ýôôåêò). Ïîêàçàíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå êîí-
äèöèîíèðîâàíèÿ ýôôåêòà åãî ïðè÷èíû, êàê ïðàâèëî, ñòàíîâÿòñÿ âçàèìíî çàâèñèìûìè.
Ïðîâîöèðîâàííàÿ (èíäóöèðîâàííàÿ) çàâèñèìîñòü èçó÷åíà êîëè÷åñòâåííî. Âûÿâëåíà òåñíàÿ
ñâÿçü ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè ñ âçàèìîäåéñòâèåì ôàêòîðîâ; ïðåäëîæåí èíäåêñ âçà-
èìîäåéñòâèÿ äâóõ ôàêòîðîâ. Ïîêàçàíà ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïðîâîöèðîâàííîé çàâè-
ñèìîñòè äëÿ èäåíòèôèêàöèè íàïðàâëåíèé ñâÿçåé è îáíàðóæåíèÿ ìàñêèðîâàííûõ ñâÿçåé
(ðåáåð) ìîäåëè.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü, ïðîâîöèðîâàííàÿ (íàâåäåííàÿ) çàâèñèìîñòü,
êîëëàéäåð, âçàèìîäåéñòâèå ôàêòîðîâ, ìàñêèðîâàííûå ðåáðà, èäåíòèôèêàöèÿ ñâÿçåé, îðè-
åíòàöèÿ ñâÿçåé.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 ñòàòüå àíàëèçèðóåòñÿ ñèñòåìà çàâèñèìîñòåé, ãäå äâå âçàèìíî íåçàâèñèìûå
ïåðåìåííûå (ôàêòîðû, ïðè÷èíû) âëèÿþò íà òðåòüþ ïåðåìåííóþ — èõ îáùèé
ýôôåêò (îòêëèê). Èçâåñòíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ñåëåêöèè (èëè ñòðàòèôèêàöèè)
äàííûõ ïî îáùåìó ýôôåêòó ôàêòîðû ñòàíîâÿòñÿ âçàèìîçàâèñèìûìè, ò.å. âîç-
íèêàåò óñëîâíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðè÷èíàìè. Ýòîò ôåíîìåí èíîãäà íàçûâà-
þò «ôàëüøèâîé àññîöèàöèåé», ïàðàäîêñîì Áåðêñîíà [1] è ò.ä. Ðàññìàòðèâàå-
ìûé ôåíîìåí òåñíî ñâÿçàí ñ ïðîáëåìîé ïîäáîðà êîâàðèàò â àíàëèçå äàííûõ.
Ïðîâîöèðîâàííàÿ (èíäóöèðîâàííàÿ) çàâèñèìîñòü ïðèâîäèò ê ñìåùåíèþ îöåíîê
âëèÿíèÿ ôàêòîðîâ (selection bias). Ñìåùåíèå îöåíîê íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü
â ýêîíîìåòðè÷åñêèõ, ýïèäåìèîëîãè÷åñêèõ, ìåäèêî-áèîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíè-
ÿõ (äëÿ îöåíêè êàóçàëüíîãî ýôôåêòà íà îñíîâå äàííûõ íàáëþäåíèé [2–5]
è â öåëîì â êàóçàëüíîì ìîäåëèðîâàíèè [4–7]). Â îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ óäà-
åòñÿ óñòðàíèòü ñìåùåíèå èç îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ âëèÿíèÿ â ëèíåéíîé ìîäå-
ëè [2, 5]. Â [7–9] ôåíîìåí ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè èñïîëüçóåòñÿ êàê
èíñòðóìåíò â èäåíòèôèêàöèè ñòðóêòóðû ìîäåëè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå èçó÷àþò-
ñÿ ñâîéñòâà ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè è ïîêàçàíà åå âîçìîæíàÿ ðîëü.
1. ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ ÏÐÎÁËÅÌÛ
ßâëåíèå ïðîâîöèðîâàííîé (íàâåäåííîé) çàâèñèìîñòè ìîæíî ïîÿñíèòü íà òðèâè-
àëüíîì ïðèìåðå. Ïóñòü çàäàíî ìíîæåñòâî òðîåê çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ X Y Z, ,
è èçâåñòíî, ÷òî â êàæäîé òðîéêå çíà÷åíèå Y âû÷èñëåíî ïî ôîðìóëå y x z� � ,
à çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ X è Z ñëó÷àéíî è íåçàâèñèìî âûáðàíû èç íåêîòîðûõ
ðàñïðåäåëåíèé ïëîòíîñòåé f x( ) è f z( ). Ñîîáùåíèå î òîì, ÷òî çíà÷åíèå ïåðå-
ìåííîé X ðàâíî xi , íå èçìåíÿåò çíàíèé î çíà÷åíèè ïåðåìåííîé Z , îíî
ïî-ïðåæíåìó ðàñïðåäåëåíî ñîãëàñíî f z( ). Ïóñòü èçâåñòíî, ÷òî Y yk� . Òîãäà,
äîïîëíèòåëüíî ïîëó÷èâ ñîîáùåíèå, ÷òî X xi� , ñðàçó äåëàåì âûâîä, ÷òî
Z y xk i� � . Íàøà íåîïðåäåëåííîñòü îòíîñèòåëüíî Z ïîëíîñòüþ ñíèìàåòñÿ.
Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû, ãäå â ïîäîáíîé ñèòóàöèè çíà÷åíèå Z óòî÷íÿåòñÿ äî
ïîäìíîæåñòâà çíà÷åíèé.  áîëåå ðåàëèñòè÷åñêèõ ñèòóàöèÿõ ââèäó âëèÿíèÿ íå-
íàáëþäàåìûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ è «øóìà» ñíèæåíèå (èçìåíåíèå) íåîïðåäå-
ëåííîñòè çíà÷åíèÿ Z âûðàæàåòñÿ â ôîðìå èçìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ çíà÷åíèé.  îáùåì âèäå óêàçàííûé ôåíîìåí îïèñûâàåòñÿ â âåðîÿòíîñòíîé
ôîðìå: óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå p Z Y X( | , ) îòëè÷àåòñÿ îò óñëîâíîãî ðàñïðåäå-
10 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
© À.Ñ. Áàëàáàíîâ, 2016
ëåíèÿ p Z Y( | ). (Çàìåòèì, ÷òî
ââåäåíèå óñëîâèÿ íà çíà÷åíèå
Y íå ìîäåëèðóåò âîçäåéñòâèÿ
íà Y ; âîçäåéñòâèå íà íîñèòåëü
Y â îáúåêòå íå ïîâëèÿëî áû íà
âçàèìîñâÿçü X è Z (ñì. [6])).
Ââåäåì íåîáõîäèìûå ïîíÿ-
òèÿ è îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü èìååì
íàáîð ïåðåìåííûõ S �{ , Z}X .
(Äëÿ êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü X YS âìåñòî S �{ , }X Y .) Â îáùåì âèäå óñëîâíàÿ íå-
çàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ X è Z ïðè óñëîâèè S îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
p XZ p p X p Z( ) ( ) ( ) ( )S S S S� � � . Òàêîå îïðåäåëåíèå îñòàåòñÿ â ñèëå è äëÿ âåðîÿò-
íîñòåé (äëÿ äèñêðåòíûõ ïåðåìåííûõ), è äëÿ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé (äëÿ íåïðå-
ðûâíûõ ïåðåìåííûõ). Áåçóñëîâíàÿ íåçàâèñèìîñòü åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé óñëîâíîé
(ïðè S � �). Îáîçíà÷èì ôàêò óñëîâíîé íåçàâèñèìîñòè ïðåäèêàòîì Ind ( , | )X Z S .
Êîãäà íåçàâèñèìîñòü Ind ( , | )X Z S íå âûïîëíÿåòñÿ, ñ÷èòàþò, ÷òî ïåðåìåííûå X è
Z óñëîâíî çàâèñèìû ïðè S; îáîçíà÷àåì ýòîò ôàêò êàê Dep ( , | )X Z S .
Åñëè p( )S � 0 , òî äëÿ íåçàâèñèìîñòè Ind ( , | )X Z S ïîëó÷àåì ÷àñòî èñïîëüçóå-
ìóþ ôîðìó
p XZ p X p Z( | ) ( | ) ( | )S S S� � . (1)
Äàëåå, åñëè p X( | )S � 0, òî ïîëó÷àåì ôîðìó p Z X p Z( | ) ( | )S S� . Ôàêò
Ind ( , | )X Z S ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç âçàèìíóþ èíôîðìàöèþ ìåæäó ïåðåìåííû-
ìè (ïî Øåííîíó) êàê Info ( , | )X Z S � 0. Ïîëîæèâ S Y , ïîëó÷èì ÷àñòíûé ñëó-
÷àé óñëîâíîé íåçàâèñèìîñòè p XZ Y( | ) � p X Y p Z Y( | ) ( | )� .
Îïðåäåëåíèå. Ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè X è Z
ñ óñëîâèåì Y — ýòî ïàòòåðí Ind Dep( , )& ( , | )X Z X Z Y , ò.å. ñî÷åòàíèå îòíîøåíèé
p XZ p X p Z( ) ( ) ( )� � ; p XZY p Y( ) ( )� � p XY p ZY( ) ( )� . (2)
Òàêóþ çàâèñèìîñòü ïðîâîöèðóåò Y .
Íàèáîëåå ñèñòåìíî è òî÷íî ïðîáëåìà îïèñûâàåòñÿ â àïïàðàòå ñòðóêòóðàëü-
íûõ óðàâíåíèé, âåðîÿòíîñòíûõ ãðàôîâûõ ìîäåëåé è êàóçàëüíûõ ñåòåé [4–6].
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèþ, êîãäà èìååì Ind ( , )X Z , Dep ( , )X Y è
Dep ( , )Y Z . Ýòó ñèòóàöèþ ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü êàóçàëüíûìè ñåòÿìè
(ðèñ. 1). Ïàðó ñìåæíûõ äóã (ðåáåð), «ñòàëêèâàþùèõñÿ» ñâîèìè ñòðåëêàìè
(ðèñ. 1, à), ïðèíÿòî íàçûâàòü êîëëàéäåðîì, èëè êîëëèçîðîì. Òàêàÿ ìîäåëü êîëè-
÷åñòâåííî îïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû â âèäå p XYZ p X p Z p Y XZ( ) ( ) ( ) ( | )� � � .
Àíàëîãè÷íî â ñòðóêòóðàõ ìîäåëåé, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. 1, á, â, ïåðåìåííàÿ Y
ïðîâîöèðóåò çàâèñèìîñòü ìåæäó X è Z . Äëÿ âñåõ ýòèõ ñòðóêòóð îáÿçàòåëüíîñòü
ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè èìïëèöèðóåòñÿ ïðåäïîëîæåíèåì êàóçàëüíîé íå-
îáìàí÷èâîñòè [6]. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ðàçíîîáðàçíûå ñè-
òóàöèè, íî â îñîáûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò íå âûïîëíÿòüñÿ. (Ïðàêòè÷åñêè ïðîáëåìà
âîçíèêàåò óæå òîãäà, êîãäà ïðåäïîëîæåíèå êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè ïî÷òè
íå âûïîëíÿåòñÿ.)  ñëó÷àå, êîãäà ìîäåëü èìååò ñòðóêòóðó êîëëàéäåðà, ïðåäïî-
ëîæåíèå êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè èìïëèöèðóåò ïàòòåðí Ind ( , )X Z ,
Dep ( , | )X Z Y , Dep ( , )X Y , Dep( , )Z Y .
2. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÌÎÄÅËÈ
Åñëè â êîëëàéäåðå (ñì. ðèñ. 1, à) îäíó èëè äâå äóãè ðàçâåðíóòü (ðåâåðñèðîâàòü),
òî ïîëó÷èòñÿ öåïü çàâèñèìîñòåé (ðèñ. 2).  ÷àñòíîñòè, öåïî÷êà, îòîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 2, à, îïèñûâàåòñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðû â âèäå p XYZ p X P Y X p Z Y( ) ( ) ( | ) ( | )� � � .
Âñå ýòè öåïî÷êè ïîä÷èíÿþòñÿ ìàðêîâñêîìó ñâîéñòâó Ind ( , | )X Z Y . Ïðåäïîëîæå-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 11
X
Y
Z
Y
X
L
Z
R
ZX
Y
Ðèñ. 1. Êàóçàëüíûå ñåòè: ïðîñòîé êîëëàéäåð (à); âàðèàí-
òû, ãäå òàêæå ôîðìèðóåòñÿ ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñè-
ìîñòü (á, â)
à á â
íèå êàóçàëüíîé íåîáìàí÷èâîñòè äëÿ ýòèõ ñòðóêòóð èìïëè-
öèðóåò Dep ( , )X Z . Êîíñòàòèðóåì, ÷òî ñòðóêòóðà êîëëàéäåðà
è ñòðóêòóðà öåïî÷êè ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷àþòñÿ ñâîèìè
ñâîéñòâàìè; èõ ïàòòåðíû (íå)çàâèñèìîñòè — ïðîòèâîïîëîæ-
íû. Ïàòòåðí â âèäå öåïî÷êè õàðàêòåðèçèðóåòñÿ
Dep Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y . Êîëëàéäåðíûé ïàòòåðí —
Ind Dep( , )& ( , | )X Z X Z Y . ßñíî, ÷òî òðåòüå ñî÷åòàíèå,
à èìåííî Ind Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y ëåãêî ïîëó÷èòü (íàïðè-
ìåð, êîãäà âñå òðè ïåðåìåííûå íå âçàèìîñâÿçàíû). Îäíàêî
åñëè â ìîäåëè ïðèñóòñòâóþò äâà ðåáðà: (X – Y ) è (Y – Z), òî
ñî÷åòàíèå Ind Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y åñòü àíîìàëüíûé ïàòòåðí.
Òàêàÿ àíîìàëèÿ ìîæåò âîçíèêíóòü ëèáî â öåïî÷êå (â ðåçóëü-
òàòå êîëëàïñà «òðàíçèòíîé» çàâèñèìîñòè), ëèáî â êîëëàéäåðå
(â ðåçóëüòàòå êîëëàïñà ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè).
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ìîäåëü ñî ñòðóêòóðîé öåïè
X Y Z
, ãäå ïåðåìåííûå X è Z — áèíàðíûå, ïåðåìåííàÿ
Y — òðåõçíà÷íàÿ è çàäàíû ïàðàìåòðû
p Y x( | ) ( / ; / ; / )1 1 4 5 16 7 16� , p Y x( | ) ( / ; / ; / )2 1 2 3 8 1 8� ,
p Z y( | ) ( / ; / )1 2 3 1 3� , p Z y( | ) ( / ; / )2 7 8 1 8� ,
p Z y( | ) ( / ; / )3 17 24 7 24� .
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ðàñïðåäåëåíèÿ p X( ) ïîëó÷èì p Z( ) ( / ; / )� 3 4 1 4 , ò.å. ñïðà-
âåäëèâà íåçàâèñèìîñòü Ind ( , )X Z , ïðîèñõîäèò êîëëàïñ «òðàíçèòíîé» çàâèñè-
ìîñòè, êîòîðûé îáúÿñíÿåòñÿ ñïåöèôè÷åñêèì ñî÷åòàíèåì çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ.
Äàëåå ïîêàæåì, íàñêîëüêî íåòèïè÷íû îáñòîÿòåëüñòâà, â êîòîðûõ ïðîâîöèðî-
âàííàÿ çàâèñèìîñòü íå ôîðìèðóåòñÿ. Ïîìèìî «ïðîñòîãî» êîëëàéäåðà (ñì. ðèñ. 1, à)
áóäåì ðàññìàòðèâàòü êîëëàéäåð, «âëîæåííûé â êîíòåêñò» (ðèñ. 3).  ýòîì ñëó÷àå ïå-
ðåìåííûå X è Z àññîöèèðîâàíû ïîñðåäñòâîì äðóãèõ ïåðåìåííûõ è ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî S, îáåñïå÷èâàþùåå óñëîâíóþ íåçàâèñèìîñòü Ind ( , | )X Z S .
Áóäåì èñêëþ÷àòü èç ðàññìîòðåíèÿ òå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå èìåþò
íóëåâóþ ìàðãèíàëüíóþ âåðîÿòíîñòü. Òîãäà (ïîäðàçóìåâàÿ íåçàâèñèìîñòü X è Z)
èìååì p XZ( ) � 0.
Ëåììà 1. Åñëè â ñîâìåñòíîì óñëîâíîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé
p XYZ( | )S âûïîëíÿåòñÿ Ind ( , | )X Z S & Ind ( , | )X Z Y S , òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
p Y XZ p Y X p Y Z p Y( | ) ( | ) ( | ) / ( | )S S S S� � .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ôàêòà Ind ( , | )X Z YS ñîãëàñíî (1) ñëåäóåò
p XZY p X Y p Z Y( ) ( | ) ( | )S S S� � � p Y( )S .
Îòñþäà ïîëó÷àåì
p Y XZ p X Y p Z Y p Y p XZ( | ) ( | ) ( | ) ( | ) / ( | )S S S S S� � � . (3)
Ôàêò Ind ( , | )X Z S îçíà÷àåò, ÷òî
p XZ p X p Z( | ) ( | ) ( | )S S S� � . (4)
Ïîäñòàâëÿåì (4) â (3) è ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè ïîëó÷àåì
p Y XZ p X Y p Z Y p Y p X p Z( | ) ( | ) ( | ) ( | ) / ( ( | ) ( | ))S S S S S S� � � �
� � � �p X Y p Z Y p Y p X p Z p Y( | ) ( | ) ( | ) / ( ( | ) ( | ) ( | ))S S S S S S2
� �p Y X p Y Z p Y( | ) ( | ) / ( | )S S S .
12 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
X Y Z
X Y Z
X Y Z
Ðèñ. 2. Öåïè çàâèñè-
ìîñòè: îäíîíàïðàâ-
ëåííûå (à, â) è äè-
âåðãåíòíàÿ (á) öåïè
à
á
â
X
Y
Z
S
Ðèñ. 3. Êîëëàéäåð
â «êîíòåêñòå»
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà S � �, ïîëó÷àåì ñëåäñòâèå
p Y XZ p Y X p Y Z p Y( | ) ( | ) ( | ) / ( )� � . (5)
 àíàëèçå äàííûõ ãèïîòåçà íåçàâèñèìîñòè âåðèôèöèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñòà-
òèñòè÷åñêèõ òåñòîâ.  òåñòîâóþ ñòàòèñòèêó âñòðîåí îïðåäåëåííûé ïîêàçàòåëü
âåëè÷èíû çàâèñèìîñòè, êîòîðûé îöåíèâàåò ñóììàðíóþ ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ îò
íåçàâèñèìîñòè [10, 11].  ñëó÷àå íåïðåðûâíûõ ïåðåìåííûõ âûáðàòü ýôôåêòèâíûé
ïîêàçàòåëü çàâèñèìîñòè — çàäà÷à ñëîæíàÿ. (Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âçàèìíîé èíôîðìà-
öèè ìåæäó ïåðåìåííûìè íà îñíîâå âûáîðêè äàííûõ ñ íåïðåðûâíûìè ïåðåìåííû-
ìè ïîòðåáóåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ íåèçâåñòíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé.)
3. ÑËÓ×ÀÉ ÄÈÑÊÐÅÒÍÛÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
Óòî÷íèì è îáîáùèì èçâåñòíîå ñâîéñòâî äèñêðåòíûõ ìîäåëåé [8]. Ðàññìîòðèì
êîëëàéäåð â «êîíòåêñòå» S.
Ëåììà 2. Åñëè â ñîâìåñòíîì óñëîâíîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé p XYZ( | )S ,
ãäå ïåðåìåííàÿ Y — áèíàðíàÿ, âûïîëíÿåòñÿ Ind Ind( , | )& ( , | )X Z X Z YS S , òî
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
( ( | ) ( | )) ( ( | ) ( | ))p Y p Y X p Y p Y ZS S S S� � � � 0. (6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 1 èç ôàêòîâ Ind ( , | )X Z S è Ind ( , | )X Z Y S
ñëåäóåò
p Y XZ p Y X p Y Z p Y( | ) ( | ) ( | ) / ( | )S S S S� � . (7)
Ïóñòü ïåðåìåííàÿ Y èìååò çíà÷åíèÿ { }y y1 2, . Òîãäà
p y XZ p y XZ( | ) ( | )1 2 1S S� � . (8)
Çàïèøåì äâà âàðèàíòà óðàâíåíèÿ (7) äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ y1 è y2 è ïðî-
ñóììèðóåì èõ:
p y p y p y p y X p y Z( | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( | )1 2 2 1 1S S S S S� � �
� �p y p y X p y Z( | ) ( | ) ( | )2 1 1S S S .
Îòñþäà, âûðàçèâ p y( | )2 � ÷åðåç p y( | )1 � ñ ïîìîùüþ (8), ïîñëå àëãåáðàè÷åñêèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
( ( | ) ( | )) ( ( | ) ( | ))p y p y X p y p y X1 1 1 1 0S S S S� � � � . (9)
Âûðàçèâ p y( | )1 � ÷åðåç p y( | )2 � , ïðåîáðàçóåì (9) ê âèäó ( ( | ) ( | ))p y p y X2 2S S� �
� � �( ( | ) ( | ))p y p y X2 2 0S S . Èòàê, ïîëó÷èëè (6).
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà S � �, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè â ñîâìåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé p XYZ( ), ãäå
ïåðåìåííàÿ Y — áèíàðíàÿ, âûïîëíÿåòñÿ Ind Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y , òî ñïðàâåäëè-
âî ðàâåíñòâî ( ( ) ( | ))p Y p Y X� � 0 èëè ( ( ) ( | ))p Y p Y Z� � 0.
Òîíêîå, íî âàæíîå ðàçëè÷èå ÷àñòíîãî ( S � �) è îáùåãî ñëó÷àåâ çàêëþ÷àåò-
ñÿ â ñëåäóþùåì.  ÷àñòíîì ñëó÷àå èç ïîñûëîê ëåììû 2 ìîæíî ñäåëàòü âûâîä,
÷òî îòñóòñòâóåò çàâèñèìîñòü ìåæäó ïåðåìåííûìè Y è X èëè ìåæäó Y è Z . Â
îáùåì ñëó÷àå òàêîé âûâîä ñäåëàòü íåëüçÿ, ïîñêîëüêó ïðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿõ
«êîíòåêñòà» S â (6) ïåðâûé èëè âòîðîé ìíîæèòåëü ìîæåò ïîïåðåìåííî îáðà-
ùàòüñÿ â íóëü. Ïîýòîìó íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî âñåãäà p Y p Y X( | ) ( | )S S� èëè
âñåãäà p Y p Y Z( | ) ( | )S S� .
Ñëåäñòâèå 1 îçíà÷àåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü òàêóþ öåïü
X Y Z
ñ áèíàðíîé Y , ÷òîáû òðàíçèòíàÿ çàâèñèìîñòü Z X( ) êîëëàïñèðîâàëà,
ò.å. íåâîçìîæíî ïîëó÷èòü Ind ( , )X Z . Ïîýòîìó äëÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ ïðèìåðà 1
íåîáõîäèìà íå-áèíàðíîñòü ïåðåìåííîé Y .
Ñîïîñòàâèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ëåììû 1 (ôîðìóëà (5)) è ëåììû 2, ïîëó÷èì ñëå-
äóþùèé ðåçóëüòàò.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 13
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè â ñîâìåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé p XYZ( ), ãäå
ïåðåìåííàÿ Y — áèíàðíàÿ, âûïîëíÿåòñÿ Ind ( , )X Z è Ind ( , | )X Z Y , òî ñïðàâåäëè-
âî ðàâåíñòâî p Y XZ p Y Z( | ) ( | )� èëè p Y XZ p Y X( | ) ( | )� .
Ñîäåðæàòåëüíî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â óêàçàííûõ ñèòóàöèÿõ íåò çàâèñèìîñòè ïåðå-
ìåííîé Y îò îáåèõ X è Z îäíîâðåìåííî. Èíûìè ñëîâàìè, íåâîçìîæåí òàêîé êîëëàé-
äåð X Y Z
� ñ áèíàðíîé ïåðåìåííîé Y , äëÿ êîòîðîãî íå âîçíèêàåò ïðîâîöèðîâàí-
íîé çàâèñèìîñòè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî ñóììèðîâàòü â ñëåäóþùåì âèäå.
Óòâåðæäåíèå 1. Ïóñòü â ñîâìåñòíîì ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé p XYZ( ),
ãäå ïåðåìåííàÿ Y — áèíàðíàÿ, âûïîëíÿåòñÿ Ind ( , )X Z , p Y XZ p Y Z( | ) ( | )� è
p Y XZ p Y X( | ) ( | )� . Òîãäà áóäåò âûïîëíÿòüñÿ Dep ( , | )X Z Y .
 [12] ïîêàçàíî: â öåïè X Y Z
ñ áèíàðíîé Y òðàíçèòíàÿ çàâèñèìîñòü
íå êîëëàïñèðóåò. Èòàê, â ìîäåëè ñ äâóìÿ ðåáðàìè: ( X – Y ) è ( Y –Z ), ãäå Y — áè-
íàðíàÿ, íåâîçìîæåí àíîìàëüíûé ïàòòåðí Ind Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y .
Âîçâðàòèìñÿ ê áîëåå îáùåìó ñëó÷àþ, êîãäà çíà÷íîñòü ïåðåìåííîé Y íå ñïåöè-
ôèöèðîâàíà. Äëÿ îòîáðàæåíèÿ ñóòè èçó÷àåìîãî ôåíîìåíà íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü âû-
ðîæäåííûå ñëó÷àè âûïîëíåíèÿ ïàòòåðíà Ind Ind( , )& ( , | )X Z X Z Y è ôîðìóëû (5).
 ÷àñòíîñòè, öåëåñîîáðàçíî èñêëþ÷èòü ñëó÷àé, êîãäà îäíà èç ïåðåìåííûõ — èçîëè-
ðîâàíà. Åñëè âåðíî Ind ( , )X Y , ò.å. p Y X p Y( | ) ( )� , òî (5) ðåäóöèðóåòñÿ äî ôîðìó-
ëû p Y XZ p Y Z( | ) ( | )� . Ïîýòîìó ñëåäóåò ñîñðåäîòî÷èòü àíàëèç íà ñèòóàöèè, êîòî-
ðóþ ìîæíî íàçâàòü ïàðàäîêñàëüíûì ïàòòåðíîì çàâèñèìîñòåé:
Ind Ind( , )& ( , | )& ( | ) ( | )& ( | ) ( | )X Z X Z Y p Y XZ p Y Z p Y XZ p Y X� � .
 ïðèíöèïå ýòî îïèñàíèå ñîâìåñòèìî ñ äâóìÿ ðàçíûìè òèïàìè ñòðóêòóðû
ìîäåëè — è ñ öåïüþ (ñì. ðèñ. 2), è ñ êîëëàéäåðîì (ñì. ðèñ. 1). Ñîâìåñòíîå ðàñ-
ïðåäåëåíèå p XYZ( ) ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäîáðàâ ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ïàðàìåòðû. Ïðè ýòîì â ñòðóêòóðå òèïà öåïü âîçíèêíåò àíîìàëèÿ
â âèäå êîëëàïñà òðàíçèòà (ñì. ïðèìåð 1), à â ñòðóêòóðå òèïà êîëëàéäåð àíîìàëèÿ
áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ â âèäå îòñóòñòâèÿ ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè. Åñëè ïîñòà-
âèòü öåëüþ äàòü îïèñàíèå êîëëàéäåðà, íå äîïóñêàþùåå ýêâèâàëåíòíîãî ïðåä-
ñòàâëåíèÿ â âèäå öåïè, òî ïðèäåòñÿ èñêëþ÷èòü îñîáûå ñëó÷àè ñî÷åòàíèé ïàðà-
ìåòðîâ, êîòîðûå ïîðîæäàþò ñâîéñòâà, íå õàðàêòåðíûå (àíîìàëüíûå) äëÿ êîëëàé-
äåðíîé ñòðóêòóðû. Òîãäà êîëëàéäåðíàÿ ìîäåëü äîëæíà õàðàêòåðèçîâàòüñÿ
ïîìèìî íåçàâèñèìîñòè Ind ( , )X Z òàêæå ñâîéñòâîì, ÷òî âåðîÿòíîñòíîå îïèñàíèå
çàâèñèìîé ïåðåìåííîé Y íåâîçìîæíî äåêîìïîçèðîâàòü ïî ôàêòîðàì X è Z , ò.å.
îïèñàíèå p Y XZ( | ) íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü êàê êîìïîçèöèþ íåêîòîðûõ ôóíêöèé îò
p Y X( | ) è p Y Z( | ). Íåîáõîäèìîñòü òðåõìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòè äëÿ
îïèñàíèÿ óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñâèäåòåëüñòâóåò î âçàè-
ìîäåéñòâèè ôàêòîðîâ. Âçàèìîäåéñòâèå ôàêòîðîâ õàðàêòåðèçóåò íåâûðîæäåííûé
êîëëàéäåð è èìïëèöèðóåò ïðèñóòñòâèå ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè. Èòàê, íå-
âûðîæäåííûé êîëëàéäåð õàðàêòåðèçóåòñÿ âçàèìîäåéñòâèåì äâóõ ôàêòîðîâ ïðè
âëèÿíèè íà ñîâìåñòíûé ýôôåêò. Òîãäà p Y XZ( | ) íåëüçÿ âûðàçèòü ôîðìóëîé (5).
Ðàçëè÷èå ìåæäó óêàçàííûìè àëüòåðíàòèâíûìè ñòðóêòóðàìè ìîäåëè ñîñòîèò
òàêæå â òîì, ÷òî â íåâûðîæäåííîé öåïè âñåãäà ïîäðàçóìåâàåòñÿ Dep ( , )X Y è
Dep ( , )Z Y , â òî âðåìÿ êàê äëÿ êîëëàéäåðà ýòè çàâèñèìîñòè íåîáÿçàòåëüíûå
(íåñóùåñòâåííûå). Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
Ïðèìåð 2. Ìîäåëü èìååò ñòðóêòóðó êîëëàéäåðà X Y Z
� , ãäå âñå ïåðå-
ìåííûå áèíàðíûå, ðàñïðåäåëåíèå p X( ) — ïðîèçâîëüíîå, à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû
îïðåäåëåíû òàê: p Z( ) ( / ; / )� 2 7 5 7 ; p y x z( | , ) ,1 1 1 0 3� ; p y x z( | , ) ,1 2 1 0 8� ;
p y x z( | , ) ,1 1 2 0 4� ; p y x z( | , ) ,1 2 2 0 2� .
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî â ýòîé ìîäåëè âûïîëíÿåòñÿ Ind ( , )X Y . Òàêèì îáðàçîì,
îäíà èç äóã êîëëàéäåðà íå èäåíòèôèöèðóåòñÿ èçîëèðîâàííî, âíå êîíòåêñòà. Òåì
14 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
íå ìåíåå, äóãà X Y
ñóùåñòâóåò è íåîáõîäèìà äëÿ îïèñàíèÿ ìîäåëè. Íàçîâåì
òàêóþ äóãó (ñâÿçü) ìàñêèðîâàííîé.
 íåâûðîæäåííîì êîëëàéäåðå îáå äóãè îäíîâðåìåííî ìîãóò áûòü ìàñêèðî-
âàííûìè, ÷òî èëëþñòðèðóåòñÿ ñëåäóþùèì ïðèìåðîì.
Ïðèìåð 3. Èìååì ìîäåëü ñî ñòðóêòóðîé X Y Z
� è ñ ïàðàìåòðàìè èç
ïðèìåðà 2, íî ñ çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèåì p X( ) ( / ; / )� 6 7 1 7 . Òîãäà áóäåò
Ind ( , )X Y è Ind ( , )Z Y .
Èíôîðìàöèîííóþ ìåðó ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè â êîëëàéäåðå
X Y Z
� åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êàê Info ( , | )X Z Y . Âûðàçèì âçàèìíóþ èí-
ôîðìàöèþ ÷åðåç ýíòðîïèþ H( )� (ïî îïðåäåëåíèþ):
Info H H H( , | ) ( | ) ( | ) ( | )X Z Y X Y Z Y XZ Y� � � . (10)
Ýíòðîïèþ H( | )XZ Y ìîæíî âûðàçèòü êàê
H H H H H H( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( )XZ Y XYZ Y Y XZ XZ Y� � � � � . (11)
Ïîäñòàâëÿÿ (11) â (10), ïîëó÷àåì
Info H H H H H( , | ) ( | ) ( | ) ( | ) ( ) ( )X Z Y X Y Z Y Y XZ XZ Y� � � � � . (12)
Ïóñòü òåïåðü èìååì Ind ( , )X Z , ò.å. H H H( ) ( ) ( )XZ X Z� � . Òîãäà (12) ïðèíè-
ìàåò âèä
Info H H H H H H( , | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )X Z Y Y Y XZ X X Y Z Z Y� � � � � � . (13)
Òåðìû ýòîé ôîðìóëû ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, èñïîëüçóÿ ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó
âçàèìíîé èíôîðìàöèè Info H H( , ) ( ) ( | )Q W Q Q W� � . Òîãäà ôîðìóëà (13) ïðè-
íèìàåò âèä
Info Info Info Info( , | ) ( , ) ( , ) ( , )X Z Y Y XZ X Y Z Y� � � . (14)
Ýòà ôîðìóëà ïðåäïîëàãàåò òîëüêî ôàêò Ind( , )X Z . Âåëè÷èíó Info ( , )Y XZ åñòåñò-
âåííî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê èíôîðìàöèîííóþ ìåðó «êîëëàéäåðíîé çàâèñèìî-
ñòè» äëÿ X Y Z
� . Èíûìè ñëîâàìè, Info ( , )Y XZ — ýòî «ñåìåéíàÿ» èíôîð-
ìàöèÿ, åñòåñòâåííî ïîäðàçóìåâàÿ ïîä ñåìüåé ñîâîêóïíîñòü çàâèñèìîé ïåðåìåí-
íîé è äâóõ åå àðãóìåíòîâ («ðîäèòåëåé»). Òåðìû Info ( , )X Y è Info ( , )Z Y — ýòî
÷àñòíûå (ðåáåðíûå) çàâèñèìîñòè, èëè «ïðîåêöèè» êîëëàéäåðíîé çàâèñèìîñòè íà
ñîîòâåòñòâóþùèé ôàêòîð.
Ôîðìóëà (14) âûÿâëÿåò ñâÿçü ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè ñ âçàèìîäåéñòâèåì
ôàêòîðîâ. Îíà äàåò ïîëíûé «îáúåì» âçàèìîäåéñòâèÿ X è Z ñ òî÷êè çðåíèÿ èõ âëèÿ-
íèÿ íà Y . Ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü êîëëàïñèðóåò â êîëëàéäåðå òîëüêî òîãäà,
êîãäà ñåìåéíàÿ èíôîðìàöèÿ ðàâíà ñóììå «îäíîôàêòîðíûõ» çàâèñèìîñòåé, ò.å.
â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ôàêòîðîâ.
Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äóãà êîëëàéäåðà ìîæåò áûòü ìàñêèðîâàííîé (êîã-
äà Info ( , )X Y � 0 èëè Info ( , )Z Y � 0). Åñëè îáå äóãè êîëëàéäåðà ìàñêèðîâàíû, òî
ïîëó÷èì Info ( , | )X Z Y � Info ( , )Y XZ , ò.å. ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü äîñòèãà-
åò «íàèáîëüøåãî» çíà÷åíèÿ, ðàâíîãî ñåìåéíîé èíôîðìàöèè.  ÷àñòíîñòè, äëÿ
ïðèìåðà 3 ïîëó÷àåì Info Info( , | ) ( , ) ,X Z Y Y XZ� � 0 0266.
Ñðàâíåíèå âåëè÷èíû ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè ñ «ðåáåðíîé» çàâèñè-
ìîñòüþ èíîãäà öåëåñîîáðàçíî, îäíàêî â ñëó÷àå ìàñêèðîâàííûõ äóã òåðÿåò
ñìûñë. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ, íàñêîëüêî âåëèêà ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü, öåëå-
ñîîáðàçíî ñðàâíèòü åå ñ ïîëíîé çàâèñèìîñòüþ îò äâóõ ôàêòîðîâ. Ïðåäëàãàåì
ñëåäóþùèé èíäåêñ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ôàêòîðîâ:
� � Info Info( , | ) / ( , )X Z Y Y XZ .
Âåëè÷èíà � âàðüèðóåò ìåæäó 0 è 1 è ìîæåò ñëóæèòü ïîêàçàòåëåì ñèëû âçàè-
ìîäåéñòâèÿ ôàêòîðîâ X è Z . Äðóãèì ïîêàçàòåëåì ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ôàê-
òîðîâ ìîæåò ñëóæèòü âåëè÷èíà � � �Info Info Info( , | ) / ( ( , ) ( , ))X Z Y X Y X Y .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 15
Äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî àíàëèçà äèñ-
êðåòíîãî êîëëàéäåðà áûëà èñïîëüçîâàíà
ñòîõàñòè÷åñêàÿ ñèìóëÿöèÿ. Ñëó÷àéíî ñãå-
íåðèðîâàíî ïî 100000 ñëó÷àåâ ïàðàìåòðè-
çàöèè êîëëàéäåðà ñ áèíàðíûìè è òðåõçíà÷-
íûìè ïåðåìåííûìè. Äëÿ ïåðåìåííûõ X è
Z ãåíåðèðîâàëèñü áåçóñëîâíûå ðàñïðåäåëå-
íèÿ âåðîÿòíîñòè, äëÿ çàâèñèìîé Y —
òàáëèöû óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Êàæäàÿ
ñòðîêà òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ çàïîëíÿ-
ëàñü íåçàâèñèìî; êîìïîíåíòû ñòðîêè ãå-
íåðèðîâàëèñü ïîñëåäîâàòåëüíî, èñïîëü-
çóÿ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïåðâàÿ
êîìïîíåíòà áðàëàñü èç ðàñïðåäåëåíèÿ
â èíòåðâàëå [0, 1). Ïîñëåäóþùèå êîìïîíåíòû áðàëèñü èç èíòåðâàëîâ, ðàçìåð êî-
òîðûõ îïðåäåëÿëñÿ «îñòàòêîì» (åäèíèöà ìèíóñ ñóììà ñãåíåðèðîâàííûõ êîìïî-
íåíò). Çàòåì âûïîëíÿëàñü ïåðòóðáàöèÿ (êîìïîíåíòû ñëó÷àéíî ïåðåñòàâëÿëèñü.)
Èñêëþ÷àëèñü âûðîæäåííûå ñëó÷àè (êîãäà êîìïîíåíòà âåðîÿòíîñòè áëèçêà ê åäè-
íèöå èëè ñåìåéíàÿ èíôîðìàöèÿ áëèçêà ê íóëþ). Îêàçàëîñü, ÷òî âåëè÷èíà ïðîâîöè-
ðîâàííîé çàâèñèìîñòè ñèëüíî âàðüèðóåò, íî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ îñòàåòñÿ äî-
âîëüíî âûñîêîé. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíà ñãëàæåííàÿ ýìïèðè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäå-
ëåíèÿ âåëè÷èíû � è «óäåëüíîãî âåñà ðåáðà» � � Info Info( , ) / ( , )X Y Y XZ äëÿ
ìîäåëåé ñ òðåõçíà÷íûìè ïåðåìåííûìè. Ñðåäíåå çíà÷åíèå � ðàâíî 0,29 è 0,35 ñî-
îòâåòñòâåííî äëÿ áèíàðíûõ è òðåõçíà÷íûõ ìîäåëåé. Ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñè-
ìîñòü ñîñòàâëÿåò îêîëî 1 3/ ïîëíîé (ñåìåéíîé) èíôîðìàöèè êîëëàéäåðà. Â ïðåä-
ñòàâëåííîé òàáëèöå äàíû âåñ ðåáðà M [ ]E1 è âåñ ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè
M[ ]P k� , à òàêæå ÷àñòîòû âûïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîîòíîøåíèé.  òàáëèöå
îáîçíà÷åíî P k X Z Y� Info ( , | ), E X Y1 Info ( , ), E Z Y2 Info ( , ).
 òðåõçíà÷íûõ ìîäåëÿõ ìàêñèìóì âåëè÷èíû � ñîñòàâèë 0,972, à â áèíàðíûõ
ìîäåëÿõ — 0,9998993. ßñíî, ÷òî áîëüøèå çíà÷åíèÿ � äîñòèãàþòñÿ, êîãäà ðåáðà
ïî÷òè ìàñêèðîâàíû.  îäíîì ñëó÷àå ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü îêàçàëàñü
ïðèáëèçèòåëüíî â 10000 ðàç áîëüøå ñóììû âåñîâ îáîèõ ðåáåð.
4. ÌÎÄÅËÈ Ñ ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÌÈ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÌÈ
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ìîäåëè ñ ëèíåéíûìè çàâèñèìîñòÿìè.  ýòîì ñëó÷àå çàâè-
ñèìîñòü ìîæíî èçìåðÿòü êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè Ïèðñîíà, à óñëîâíóþ çà-
âèñèìîñòü — ÷àñòíîé êîððåëÿöèåé. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ïåðåìåííûõ,
«êðàéíèõ» â ñòðóêòóðå öåïè, ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ êîððåëÿöèè
äëÿ âñåõ îòðåçêîâ öåïè. (Èìåþòñÿ â âèäó òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ.) Ñëåäîâà-
òåëüíî, êîëëàïñ òðàíçèòíîé çàâèñèìîñòè â öåïè íåâîçìîæåí.
 êîëëàéäåðå (ñì. ðèñ. 1, à) ñ ëèíåéíûìè çàâèñèìîñòÿìè ïðîâîöèðîâàííàÿ çà-
âèñèìîñòü âûðàæàåòñÿ êàê rXZ Y. � ( ) / (( )( )) /r r r r rXZ XY YZ XY YZ
� � � �1 12 2 1 2 . Òîãäà èç
ôàêòîâ rXZ � 0, rXY � 0 è rYZ � 0 âûòåêàåò rXZ Y. � 0. Áîëåå òîãî, èç óêàçàííîé ôîð-
16 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
f(·)
3,0
0,2 0,4 0,6 0,8
�
�
�, �
2,0
1,0
0
Ðèñ. 4. Îöåíêà ðàñïðåäåëåíèÿ � è � â êîë-
ëàéäåðå ñ òðåõçíà÷íûìè ïåðåìåííûìè
Ò à á ë è ö à 1
Ïåðåìåííûå
Ñðåäíÿÿ
âåëè÷èíà
×àñòîòà âûïîëíåíèÿ ñîîòíîøåíèé, %
M [ ]E1 M [ ]P k� P k E E�
min{ , }1 2 P k E E� � max{ , }1 2 P k E E� � �( )1 2 P k E E� � � �5 1 2( )
Áèíàðíûå 0,0559 0,0472 34,9 23 19 4,5
Òðåõçíà÷íûå 0,0838 0,0890 22 33 18 0,4
ìóëû ìîæíî âèäåòü, ÷òî ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå
áîëüøå, ÷åì ïðîèçâåäåíèå ðåáåðíûõ çàâèñèìîñòåé. Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ñëó÷àé.
Ïðèìåð 4. Ìîäåëü èìååò ñòðóêòóðó êîëëàéäåðà è îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè
X Z� �� �1 2, , Y X Z� � � �3 , ãäå � � �1 2 3, , — íîðìàëüíû è âçàèìíî íåçàâèñè-
ìû, ïðè÷åì äèñïåðñèÿ âåëè÷èí �1 è �2 ðàâíà �
0
2 , à äèñïåðñèÿ �3 ðàâíà �
3
2 .
Äëÿ ýòîé ìîäåëè ïîëó÷èì r rXY YZ� � � �( ( / )) /2 3
2
0
2 1 2� � ; rXZ Y. ( ) / ( )� � �� � �0
2
0
2
3
2 .
Åñëè ïîëîæèòü � �0 3� , òî r rXY YZ� �1 3/ ; rXZ Y. /� �1 2.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
îòíîøåíèå âåëè÷èíû ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè ê «ðåáåðíîé» çàâèñèìîñòè
| / | / ,.r rXZ Y XY � �3 2 0 87.  êðàéíåì ñëó÷àå, êîãäà äèñïåðñèÿ �
3
2 ðàâíà íóëþ
(è çàâèñèìîñòü ñòàíîâèòñÿ äåòåðìèíèñòè÷åñêîé), ïîëó÷èì | / | ,.r rXZ Y XY � �2 1 4.
Ïîñêîëüêó ðåáåðíàÿ çàâèñèìîñòü â ëèíåéíîé ìîäåëè èçìåðÿåòñÿ êîððåëÿöè-
åé rXY , òî â êà÷åñòâå ìåðû êîëëàéäåðíîé (ñåìåéíîé) çàâèñèìîñòè âìåñòî
Info ( , )Y XZ åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâåííûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè
R
*
(êîðåíü èç êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè). Èìååì R
Y X Z Y XZ Y( , ) |
/2 2 21� � � � ,
ãäå �
Y XZ|
2 — äèñïåðñèÿ îñòàòêîâ. Ñèëó âçàèìîäåéñòâèÿ ôàêòîðîâ �( )L â ëèíåé-
íîé ìîäåëè îïðåäåëèì (ïî àíàëîãèè ñ �) êàê �( )
. ( , )/L
XZ Y Y X Zr R� .
Äëÿ ïðèìåðà 4 áóäåò R
Y X Z( , )
/ ( )2
3
2
0
2
3
21 2� � �� � � . Äëÿ ñëó÷àÿ � �0 3� ïîëó-
÷èì R
Y X Z( , )
/2 2 3� . Òîãäà �( ) / ( ) ,L � � � �3 2 2 0 61. Â ëèíåéíîé ìîäåëè êàæäûé
ôàêòîð âíîñèò ñâîé èíäèâèäóàëüíûé âêëàä â ýôôåêò, òåì íå ìåíåå, êàê âèäèì,
ñóììèðîâàíèå, ïðèñõîäÿùåå â ëèíåéíîé ìîäåëè, òàêæå ïîðîæäàåò âçàèìîäåé-
ñòâèå ôàêòîðîâ.
 ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå ïîíÿòèå âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòî òðàêòóåòñÿ áîëåå óçêî,
÷åì îïðåäåëåíî âûøå. Âçàèìîäåéñòâèåì íàçûâàþò ÿâíî âûðàæåííûé «ñèíåðãèçì»
ôàêòîðîâ. Ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ñèíåðãèçìà ìîæíî íàéòè â çàâèñèìîñòÿõ áàëàíñîâîãî
òèïà òàêèõ, íàïðèìåð, êàê èñêëþ÷àþùåå «ÈËÈ» ñ áèíàðíûìè ïåðåìåííûìè.
 îáùåì ñëó÷àå àíàëèç çàâèñèìîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ íàìíîãî
ñëîæíåå. Çàìåòèì, ÷òî âûøåïðèâåäåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðîâîöèðîâàííîé çàâè-
ñèìîñòè â òåðìèíàõ âçàèìíîé èíôîðìàöèè ñîõðàíÿåñÿ è äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðå-
ìåííûõ. Íî íåîáõîäèìî èìåòü â âèäó, ÷òî òîãäà èñïîëüçóåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ
ýíòðîïèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé è áåñêîíå÷íîé â îñîáûõ ñëó÷àÿõ.
Ïðîàíàëèçèðóåì òðàíçèòíóþ çàâèñèìîñòü â öåïè. Äëÿ ÿñíîñòè íà÷íåì ñ äåòåðìè-
íèñòè÷åñêèõ çàâèñèìîñòåé. Ïîñêîëüêó ñóïåðïîçèöèÿ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ, öåïü
íåâûðîæäåííûõ çàâèñèìîñòåé äàåò íåâûðîæäåííóþ «òðàíçèòíóþ ôóíêöèþ». Òåì
íå ìåíåå, ïîïûòàåìñÿ ñêîíñòðóèðîâàòü ïàðàìåòðèçàöèþ öåïè ñ êîëëàïñîì òðàí-
çèòíîé çàâèñèìîñòè. Îòòàëêèâàåìñÿ îò âàðèàíòà öåïè âèäà X Y Z�
, ãäå
X g Y� ( ) è Z h Y� ( ) — íåâûðîæäåííûå ôóíêöèè, à Y âàðüèðóåò â íåêîòîðîì äèà-
ïàçîíå ( , )a b . ×òîáû äîáèòüñÿ íåçàâèñèìîñòè ìåæäó X è Z (íèâåëèðîâàòü òðàíçèò-
íóþ çàâèñèìîñòü), íàëîæèì íà ôóíêöèè g Y( ) è h Y( ) ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ. Âåçäå,
ãäå
dg
dy
� 0, òðåáóåì
dh
dy
� 0, è íàîáîðîò. Íåôîðìàëüíî ãîâîðÿ, òàì, ãäå Y âëèÿåò íà X ,
ïåðåìåííàÿ Z íå äîëæíà èçìåíÿòüñÿ (ëîêàëüíàÿ êîíñòàíòà). Íî ýòîãî íåäîñòàòî÷íî.
×òîáû äîáèòüñÿ ðàâåíñòâà p Z X p Z( | ) ( )� , íåîáõîäèìî íàëîæèòü íà ôóíêöèè g Y( )
è h Y( ) äîïîëíèòåëüíûå òðåáîâàíèÿ: íà âñåõ èíòåðâàëàõ Y , ãäå ôóíêöèÿ h Y( ) íå ïî-
ñòîÿííà, ôóíêöèÿ g Y( ) äîëæíà áûòü íå òîëüêî ïîñòîÿííîé, íî è ïðèíèìàòü îäíî è
òî æå çíà÷åíèå. È ñèììåòðè÷íî: òàì, ãäå g Y( ) èçìåíÿåòñÿ, h Y( ) � const . Ëîêàëüíûå
êîíñòàíòû êàæäîé ôóíêöèè äîëæíû áûòü èäåíòè÷íû íà ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâà-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 17
ëàõ. Ïàðà ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ íàçâàí-
íûì òðåáîâàíèÿì, ïîêàçàíà íà ðèñ. 5 (ãðàôèêè
ôóíêöèé X g Y� ( ) è Z h Y� ( ) ñîâìåùåíû ïî
îñè Y ). ×òîáû òðàíñôîðìèðîâàòü òàêóþ ìî-
äåëü ê ñòðóêòóðå öåïè âèäà X Y Z
, òðå-
áóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ, îáðàòíóþ äëÿ g Y( ).
Íî äëÿ îäíîçíà÷íîñòè ôóíêöèè Y g X� �1 ( )
íåîáõîäèìà ìîíîòîííîñòü g Y( ). Ïðè óêàçàí-
íûõ îãðàíè÷åíèÿõ äîáèòüñÿ ìîíîòîííîñòè
ìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè äèàïàçîí èçìåíå-
íèÿ Y ðàñïàäàåòñÿ íà äâà èíòåðâàëà (à íå òðè,
êàê íà ðèñ. 5), íà îäíîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ
g Y( ) � const .
Íà ðèñ. 6, à èçîáðàæåíû ôóíêöèè
X g Y� ( ) è Z h Y� ( ), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò âñåì íàçâàííûì òðåáîâàíèÿì. Íà
ðèñ. 6, á îòîáðàæåíà êàðòà ëîêàëèçàöèè ñîâìåñòíîé ïëîòíîñòè f xz( ) äëÿ ñêîí-
ñòðóèðîâàííîé ìîäåëè. Ìåñòî, ãäå ïëîòíîñòü f xz( ) íå ðàâíà íóëþ, êîíöåíòðèðó-
åòñÿ íà ëèíèè âäîëü ëåâîé è íèæíåé ãðàíèöû êâàäðàòà; çíà÷èò, ñîâìåñòíàÿ ïëîò-
íîñòü f xz( ) âûðîæäåíà. Ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü f xz( ) ðàâíà íóëþ ïî÷òè íà âñåé
ïëîñêîñòè çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ. Çíà÷èò, ìû íå äîáèëèñü íåçàâèñèìîñòè X è Z.
Ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé X â èíòåðâàëå ( , ]t u ðàñïðåäåëåíèå ïåðåìåííîé Z íå
èçìåíÿåòñÿ. È ñèììåòðè÷íî: ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé Z â èíòåðâàëå ( , ]m l ðàñ-
ïðåäåëåíèå X íå èçìåíÿåòñÿ. Êîãäà X äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ t , ïðîèñõîäèò ñêà÷êî-
îáðàçíîå èçìåíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííîé Z. Àíàëîãè÷íûé ñêà÷îê ïðîèñõî-
äèò ïðè äîñòèæåíèè m.
Äîáàâèâ ê ïåðåìåííûì X è Z íåçàâèñèìûé øóì, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí-
íûé â èíòåðâàëàõ [ , ]t u è [ , ]m l , ìîæíî çàïîëíèòü óêàçàííûé êâàäðàò çíà÷åíèé
ðàâíîìåðíîé ïëîòíîñòüþ. Íî è òîãäà ïî-ïðåæíåìó íå áóäåò äîñòèãíóòà íåçàâè-
ñèìîñòü X è Z, ïîñêîëüêó îáðàçóþòñÿ «ëèíèè–âûñòóïû» íåíóëåâîé ïëîòíîñòè
f xz( ) íà ïðîäîëæåíèè ëåâîé è íèæíåé ãðàíèöû êâàäðàòà (ðèñ. 6, â).
Íàêîíåö, ïðåäïîëîæèì, ÷òî óäàëîñü ïîñòðîèòü æåëàåìóþ ìîäåëü ñî ñòðóêòóðîé
X Y Z�
. Ââèäó êîíñòàíòíîñòè ôóíêöèè g Y( ) íà ñîîòâåòñòâóþùåì èíòåðâàëå ïî-
ïûòêà ðàçâåðíóòü äóãó X Y� è ïîëó÷èòü ñâÿçü âèäà X Y
ïðèâîäèò ê ôóíêöèè
ñ áåñêîíå÷íîé ïðîèçâîäíîé.  äàííîì ïðèìåðå èíòåðâàëû çíà÷åíèé Y , ãäå äâå ôóíê-
öèè êîíñòàíòíû, âçàèìíî ïåðåñåêàþòñÿ íà ( , )c d . Ïîýòîìó ïðè ïîïûòêå ðåïàðàìåòðè-
çîâàòü ýòó ìîäåëü äëÿ ñòðóêòó-
ðû êîëëàéäåðà X Y Z
�
ôóíêöèÿ Y X Z� �( , ) áóäåò íå-
îäíîçíà÷íîé. Äëÿ îäíîçíà÷-
íîñòè íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü
ïåðåñå÷åíèå èíòåðâàëîâ, ãäå
ôóíêöèè g Y( ) è h Y( ) — êîí-
ñòàíòíû, ò.å. ïîëîæèòü c d� .
Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïî-
çâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà
öåïè íåâûðîæäåííûõ ôóíê-
öèé ñ íåïðåðûâíûìè ïåðå-
ìåííûìè òðàíçèòíàÿ çàâèñè-
ìîñòü íå ìîæåò êîëëàïñèðî-
âàòü. (Ïðè àíàëèçå äàííûõ
âìåñòî íåïðåðûâíîñòè ïåðå-
18 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
Y
X
Z
h(Y)
g(Y)
Ðèñ. 5. Èëëþñòðàöèÿ ê ïîñòðîåíèþ öåïè
ôóíêöèé
Ðèñ. 6. Èëëþñòðàöèÿ öåïè ôóíêöèé: à — ãðàôèêè ôóíê-
öèé g Y( ), h Y( ); á — êàðòà ëîêàëèçàöèè ïëîòíîñòè f x z( , );
â — ïëîòíîñòü äëÿ ìîäåëè ñ øóìîì
ba d
Y
X
Z
t
u
l
m
c
g(Y)
h(Y)
à
l
u
m
t
á
l
u
m
t
â
ìåííûõ áîëåå óìåñòíî ãîâîðèòü î ãëàäêîñòè àïïðîêñèìèðîâàííûõ ïëîòíîñòåé.)
Èòàê, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïàòòåðí Dep Dep( , )& ( , )&X Y Z Y Ind ( , )X Z íå ìî-
æåò âîçíèêíóòü â öåïè.
Ôåíîìåí ìàñêèðîâàííûõ ñâÿçåé (äóã) â îïðåäåëåííîì ñìûñëå âîçìîæåí è
â êîëëàéäåðå ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïåðåìåííûìè (è íåëèíåéíûìè çàâèñèìîñòÿìè).
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî ñëåäóþùèì ïðèìåðîì (ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ïåðåìåííûå
èìåþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ).
Ïðèìåð 5. Â êîëëàéäåðå X Y Z
� ïåðåìåííàÿ Y îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
Y X Z� � � �, ãäå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ X è Z — ëþáûå ñèììåò-
ðè÷íûå (âîêðóã íóëÿ) ôóíêöèè, à ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ � — ïðîèçâîëüíàÿ.
Ïîñêîëüêó çàâèñèìîñòü â ýòîé ìîäåëè — íåëèíåéíàÿ, äëÿ àíàëèçà ðåáåðíûõ
çàâèñèìîñòåé îáû÷íàÿ êîððåëÿöèÿ íåïðèãîäíà. Âîçüìåì äëÿ ýòîãî êîððåëÿöèîí-
íîå îòíîøåíèå 2 (êîòîðîå ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî äèñïåðñèÿ ñðåäíèõ óñëîâíûõ
çíà÷åíèé çàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïðèáëèæàåòñÿ ê ïîëíîé äèñïåðñèè).  ïðèìåðå 5
êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ X è Z â îòäåëüíîñòè íå âëèÿåò íà ñðåäíåå çíà÷åíèå Y . Âçÿâ
â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ëþáîé íàáîð çíà÷åíèé ôàêòîðà, ïîëó÷èì, ÷òî òåîðåòè÷åñêèå
çíà÷åíèÿ êîððåëÿöèîííîãî îòíîøåíèÿ
Y X( )
2 è
Y Z( )
2 ðàâíû íóëþ. Ýòî äàåò
ïîâîä çàêëþ÷èòü, ÷òî â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè îáå äóãè êîëëàéäåðà — ìàñêèðî-
âàííûå.  äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî îáìàí÷èâûé ðåçóëüòàò, âûçâàííûé íåàäåêâàòíîñ-
òüþ êîððåëÿöèîííîãî îòíîøåíèÿ êàê ñðåäñòâà îöåíèâàíèÿ çàâèñèìîñòè â äàííîé
ñèòóàöèè.  ïðèìåðå 5 êàæäûé ôàêòîð â îòäåëüíîñòè âëèÿåò òîëüêî íà âåëè÷èíó
äèñïåðñèè Y .
Êîëè÷åñòâåííûé àíàëèç âûïîëíåí ñ ïîìîùüþ ñèìóëÿöèè. Ìîäåëü óòî÷íåíà:
X , Z è � èìåþò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Äëÿ èçìåðåíèÿ ðåáåðíûõ
çàâèñèìîñòåé èñïîëüçóåòñÿ êîððåëÿöèîííîå îòíîøåíèå, ïðè÷åì â êà÷åñòâå àðãó-
ìåíòà áåðåòñÿ ïåðåìåííàÿ Y . Èç ìîäåëè ãåíåðèðóåì âûáîðêó äàííûõ è ðàçáèâàåì
åå íà ñòðàòû (10–12 ñòðàò) ïî çíà÷åíèþ ïåðåìåííîé Y . Èñïîëüçîâàëèñü âûáîðêè
äàííûõ îáúåìîì 125000 çàïèñåé. Äëÿ çàâèñèìîñòè X îò Y âåëè÷èíà
X Y( )
2 îêàçà-
ëàñü ìåíüøå çíà÷åíèÿ 0,0001. Çíà÷åíèå
Z Y( )
2 òàêæå áëèçêî ê íóëþ. Èìååì èëëþ-
çèþ ìàñêèðîâàííûõ äóã. Êàê êîíòðàñò, ïðîâîöèðîâàííóþ çàâèñèìîñòü ìîæíî èç-
ìåðÿòü íà îñíîâå ëèíåéíîé êîððåëÿöèè. À èìåííî, ìû îöåíèëè ïðîâîöèðîâàí-
íóþ çàâèñèìîñòü ñ ïîìîùüþ ìîäóëÿ óñëîâíîé (ïî Y ) êîððåëÿöèè X è Z. Ìîäóëè
êîððåëÿöèè óñðåäíÿëèñü ïî âñåì ñòðàòàì âûáîðêè (ñ âåñàìè). Óñëîâíàÿ êîððåëÿ-
öèÿ X è Z ñîñòàâèëà îêîëî 0,37.
5. ÐÎËÜ ÏÐÎÂÎÖÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ Â ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÈ
ÑÒÐÓÊÒÓÐÛ ÌÎÄÅËÈ
Òåõíèêà ïðîâîöèðîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ïîëåçíà äëÿ èäåíòèôèêàöèè îðèåíòàöèé
(íàïðàâëåííîñòè) ñâÿçåé. Ðàññìîòðèì èçâåñòíîå (ñòàíäàðòíîå) ïðàâèëî îðèåí-
òàöèè ðåáåð, èìïëåìåíòèðîâàííîå, â ÷àñòíîñòè, â àëãîðèòìå ÐÑ [6]. Àëãîðèòì
ïðèíèìàåò ðåøåíèå îðèåíòèðîâàòü êîíöû äóã â âèäå X Y Z
� â ñèòóàöèè,
êîãäà âûâåäåíà ïàðà ñîñåäíèõ ðåáåð X –Y –Z è îòñóòñòâóåò ðåáðî X – Z , ïðè-
÷åì îòñóòñòâèå ýòîãî ðåáðà èäåíòèôèöèðîâàíî íà îñíîâàíèè ôàêòà íåçàâèñè-
ìîñòè Pr ( ; ; )X ZS , ãäå Y �S. Ïðàêòè÷åñêàÿ íåíàäåæíîñòü òàêîãî ïðàâèëà îðè-
åíòàöèè ðåáåð îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â ïðîöåññå âûâîäà ìîäåëåé èç ðåàëüíûõ
âûáîðîê äàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèå òåñòû âûíóæäåíû íå îòâåðãàòü ãèïîòåçó íåçà-
âèñèìîñòè â ñèòóàöèè, êîãäà çàâèñèìîñòü äîâîëüíî ñëàáàÿ. (Ñëàáàÿ çàâèñè-
ìîñòü ìîæåò áûòü ïðîÿâëåíèåì âûáîðî÷íîãî øóìà.) Òàêèì îáðàçîì, ôðàãìåíò
ãåíåðàòèâíîé ìîäåëè ìîæåò èìåòü ñòðóêòóðó X Y Z
, X Y Z�
èëè
X Y Z� � , ïðè÷åì òðàíçèòíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó X è Z — ñëàáàÿ, è òîãäà
òåñò òðàêòóåò åå êàê øóì.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 19
Äëÿ óïðîùåíèÿ àíàëèçà äàëåå ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà S � �. Äëÿ
ïîâûøåíèÿ íàäåæíîñòè ïðîöåäóðû îðèåíòàöèè ñâÿçåé (ðåáåð) ïðèáåãíåì ê ïî-
ìîùè ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, â öåïè X –Y –Z êîíäèöèî-
íèðîâàíèå ïåðåìåííîé Y óñòðàíÿåò òðàíçèòíóþ çàâèñèìîñòü. Íàîáîðîò, â ñëó÷àå
êîëëàéäåðà X Y Z
� êîíäèöèîíèðîâàíèå ïåðåìåííîé Y ñîçäàåò ïðîâîöèðî-
âàííóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó X è Z. Òàêèì îáðàçîì, àëüòåðíàòèâíûå ìîäåëè âåäóò
ñåáÿ ïî-ðàçíîìó. Êðèòè÷åñêèì âîïðîñîì äëÿ ðàçëè÷åíèÿ ìîäåëåé ñòàíîâèòñÿ âå-
ëè÷èíà ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè.
Èäåÿ ïðèâëå÷åíèÿ ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè äëÿ èäåíòèôèêàöèè îðèåíòà-
öèé ñâÿçåé ïîÿâèëàñü äàâíî. Â ÿâíîì âèäå èñïîëüçîâàíèå ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñè-
ìîñòè äëÿ ïîâûøåíèÿ íàäåæíîñòè îðèåíòàöèè ïðåäëàãàëîñü â [8, 13, 14]. Áîëåå ïî-
ëíî ýòà òåõíèêà îïèñàíà è îöåíåíà â [15]. Â ðàííåì àëãîðèòìå SGS [6] äëÿ îðèåíòà-
öèè ôðàãìåíòà ìîäåëè X – Y – Z âûçûâàåòñÿ òåñò â ôîðìàòå Ind { }( ; ; )X Y ZS � .
Ïîïûòàåìñÿ êîëè÷åñòâåííî îöåíèòü ýôôåêòèâíîñòü òåõíèêè ïðîâîöèðîâàí-
íîé çàâèñèìîñòè êàê ñðåäñòâà äèñêðèìèíàöèè àëüòåðíàòèâíûõ ñòðóêòóð ìîäåëè.
Áóäåì âû÷èñëÿòü õàðàêòåðèñòèêè íåïîñðåäñòâåííî èç ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòèâíîé
ìîäåëè, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò àñèìïòîòè÷åñêèì îöåíêàì äëÿ áîëüøîé âûáîðêè.
Ïî-âèäèìîìó, íàèìåíüøèé ýôôåêò ìîæíî îæèäàòü â ñëó÷àå ëèíåéíûõ ìîäåëåé.
(Â ëèíåéíûõ ìîäåëÿõ ñî ñòðóêòóðîé êîëëàéäåðà ôàêòîðû ñóììèðóþòñÿ, à ñóì-
ìèðîâàíèå îòíîñÿò ê ñëàáîìó âçàèìîäåéñòâèþ.) Äëÿ íàãëÿäíîñòè àíàëèçà ïðè-
ìåì ñëåäóþùóþ óïðîùåííóþ òåõíèêó âåðèôèêàöèè íåçàâèñèìîñòè. Îïðåäåëèì
åäèíûé äëÿ âñåõ òåñòîâ ïîðîã t çíà÷èìîñòè çàâèñèìîñòè. Áåçóñëîâíóþ íåçàâèñè-
ìîñòü ïåðåìåííûõ X è Z íå îòâåðãàåì â ñëó÷àå r tXZ
, à óñëîâíóþ — â ñëó÷àå
r tXZ Y.
.
Ïóñòü èìååòñÿ ëèíåéíàÿ ìîäåëü ñî ñòðóêòóðîé öåïè (ñì. ðèñ. 1, à). Òîãäà
åñëè r tXZ
, «ñòàíäàðòíîå» ïðàâèëî îðèåíòàöèè îøèáî÷íî èäåíòèôèöèðóåò êîë-
ëàéäåð. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü âñå êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ñâÿçè
ïîëîæèòåëüíûìè. Âåðîÿòíîñòü îøèáêè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷àñòîòà ñëó÷àåâ
( )r tXY � & ( r tYZ � ) & ( r tXZ
) ñðåäè âñåõ ñëó÷àåâ ( r tXY � ) & ( r tYZ � ). Ïëî-
ùàäü «îáëàñòè îøèáîê» îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé � � ��t t t u du
t
( ) ( / )1
1
. Ïëîùàäü
âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñëó÷àåâ ðàâíà ( )1 2� t . Âåëè÷èíó ïîðîãà t çíà÷èìîñòè áå-
ðåì îò 0,005 äî 0,1. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî àíàëèçèðóåìûõ
âàðèàíòîâ ìîäåëåé ãåíåðèðóåòñÿ òàê, ÷òî çíà÷åíèÿ rXY è rYZ áåðóòñÿ íåçàâèñèìî
èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â èíòåðâàëå (0, 1). Òîãäà âåðîÿòíîñòü îøèáêè èç-
ìåíÿåòñÿ îò 2 % äî 17 %. (Ïðè t � 0 05, âåðîÿòíîñòü îøèáêè ñîñòàâëÿåò 11 %.)
«Óñèëåííîå» ïðàâèëî èäåíòèôèêàöèè îðèåíòàöèé ñâÿçåé (ñ ïîäòâåðæäåíèåì
â âèäå çíà÷èìîñòè ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè) ñóæàåò îáëàñòü îøèáîê. Òîãäà
äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè ñî ñòðóêòóðîé öåïè îøèáêà óñèëåííîãî ïðàâèëà îðèåíòàöèè
èñêëþ÷àåòñÿ, òàê êàê rXZ Y. � 0. Îäíàêî ïîÿâëÿåòñÿ äðóãîé âèä îøèáîê — íåâû-
ïîëíåíèå îðèåíòàöèè ñâÿçåé â ñëó÷àå, êîãäà ãåíåðàòèâíàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ êîëëàé-
äåðîì X Y Z
� è ïðè ýòîì âåëè÷èíà ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè íèæå ïî-
ðîãà çíà÷èìîñòè t. Îøèáêè ïðîèñõîäÿò, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ
( )& ( )& ( .r t r t r tXY YZ XZ Y� �
). Ãðàíèöà îáëàñòåé èäåíòèôèêàöèè/íåèäåíòèôèêà-
öèè êîëëàéäåðíîé ñòðóêòóðû îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì r tXZ Y. � . Òîãäà, èñïîëüçóÿ
ôîðìóëó ÷àñòíîé êîððåëÿöèè, ïîëó÷àåì ôîðìóëó, îïèñûâàþùóþ ýòó ãðàíèöó:
r t r t r t rYZ XY XY XY
� � � � �(( ) / ( )) /1 2 2 2 2 2 1 2 . Ïðè t � 0 05, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êîë-
ëàéäåðíûå ðåáðà íå áóäóò îðèåíòèðîâàíû, ðàâíà 9 %.
Âûøå îòìå÷åíî, ÷òî â ëèíåéíîì êîëëàéäåðå ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü
áîëüøå (ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå), ÷åì ïðîèçâåäåíèå ðåáåðíûõ çàâèñèìîñòåé.
Ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ðåáðà êîëëàéäåðà íå îðèåíòèðóþòñÿ óñèëåííûì
20 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
ïðàâèëîì, ìåíüøå, ÷åì âåðîÿòíîñòü îøèáî÷íîé îðèåíòàöèè ðåáåð öåïè ñòàí-
äàðòíûì ïðàâèëîì.
Îöåíèì îæèäàåìóþ ýôôåêòèâíîñòü óñèëåííîãî ïðàâèëà îðèåíòàöèè ñâÿçåé
ïî îòíîøåíèþ ê äèñêðåòíûì ìîäåëÿì. Ñîõðàíèì «óïðîùåííóþ» ìåòîäèêó àíà-
ëèçà è ðåøåíèé, íî èñïîëüçóåì ñèíòåòè÷åñêèå äàííûå èìèòàöèè. (Ãåíåðàöèÿ ïà-
ðàìåòðîâ îïèñàíà â ðàçä. 3.) Êîëëàéäåðíàÿ îðèåíòàöèÿ ðåáåð ïîäòâåðæäàåòñÿ,
åñëè ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü ïðåâûøàåò ïîðîã çíà÷èìîñòè.  ìîäåëÿõ ñ
áèíàðíûìè ïåðåìåííûìè óñèëåííîå ïðàâèëî îðèåíòèðîâàëî 51 % êîëëàéäåðíûõ
ðåáåð, åñëè âêëþ÷àòü ñëó÷àè ñ «ïî÷òè ìàñêèðîâàííûìè ðåáðàìè», è 52 % —
åñëè íå âêëþ÷àòü ýòè ñëó÷àè. Äëÿ êîëëàéäåðîâ ñ òðåõçíà÷íûìè ïåðåìåííûìè ýô-
ôåêòèâíîñòü îðèåíòàöèè ñîñòàâèëà 77 % è 83 % ñîîòâåòñòâåííî.
 äèñêðåòíûõ ìîäåëÿõ òðàíçèòíàÿ çàâèñèìîñòü â öåïè ìîæåò ñèëüíî âàðüèðî-
âàòü îòíîñèòåëüíî âåñà ðåáåð, îáðàçóþùèõ öåïü (â ÷àñòíîñòè, ìîæåò êîëëàïñèðî-
âàòü). Ïîýòîìó îøèáî÷íàÿ èäåíòèôèêàöèÿ êîëëàéäåðà ñòàíäàðòíûì ïðàâèëîì
îðèåíòàöèè (êîãäà ãåíåðàòèâíàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ öåïüþ) ïðîèñõîäèò ÷àùå. Ñî-
ãëàñíî ðåçóëüòàòàì ñèìóëÿöèè ìîäåëåé ñ áèíàðíûìè ïåðåìåííûìè ðèñê òàêèõ
îøèáîê ñîñòàâèë 50–70 %; â ìîäåëÿõ ñ òðåõçíà÷íûìè ïåðåìåííûìè ðèñê îøèáîê
— 25–75 % (â çàâèñèìîñòè îò ïîðîãà çíà÷èìîñòè).
Òàêèì îáðàçîì, óæåñòî÷åíèå ïðîöåäóðû èäåíòèôèêàöèè íàïðàâëåíèÿ ñâÿçåé
(îðèåíòàöèÿ ðåáåð òîëüêî ïðè óñëîâèè ïîäòâåðæäåíèÿ â âèäå ïðîâîöèðîâàííîé
çàâèñèìîñòè) ïðèâîäèò ê äâóì ýôôåêòàì. Ñ îäíîé ñòîðîíû, íåêîòîðûå êîëëàéäå-
ðû îñòàþòñÿ íåîðèåíòèðîâàííûìè (îñëàáëåíèå ýôôåêòèâíîñòè). Ñ äðóãîé ñòîðî-
íû, ïðåäîòâðàùàþòñÿ îøèáî÷íûå îðèåíòàöèè, êîòîðûå ïîòåíöèàëüíî ìîãóò ïî-
ðîäèòü ëîæíûå ïðàêòè÷åñêèå âûâîäû. Èçëîæåííûå âûøå ýìïèðè÷åñêèå ðåçóëü-
òàòû äàþò îñíîâàíèÿ íàäåÿòüñÿ, ÷òî ÷àñòîòà «íåäî-èäåíòèôèêàöèè» ìîäåëè
áóäåò ìåíüøå, ÷åì ÷àñòîòà «ëîæíîé» èäåíòèôèêàöèè. Ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî ëó÷-
øå âîçäåðæàòüñÿ îò íåîáîñíîâàííûõ âûâîäîâ, ÷åì îøèáèòüñÿ. Ïðèâëå÷åíèå ïðî-
âîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè â ïðîöåäóðó èäåíòèôèêàöèè îðèåíòàöèé ñâÿçåé ñëå-
äóåò ïðèçíàòü öåëåñîîáðàçíûì.
Ïî-âèäèìîìó, åùå áîëåå ïîëåçíûì íàïðàâëåíèåì ïðèìåíåíèÿ òåõíèêè ïðîâî-
öèðîâàíèÿ çàâèñèìîñòè áóäåò îáíàðóæåíèå ìàñêèðîâàííûõ ðåáåð êîëëàéäåðà â äèñ-
êðåòíûõ ìîäåëÿõ. Ïðàêòè÷åñêè ïðîáëåìà âîçíèêàåò â ñèòóàöèè ïî÷òè ìàñêèðîâàí-
íûõ ðåáåð, êîãäà âåñ ðåáðà îêàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåçíà÷èìûì (õîòÿ è íå íóëå-
âûì). Ðåçóëüòàòû ñèìóëÿöèè äëÿ êîëëàéäåðà ñ äèñêðåòíûìè ïåðåìåííûìè
ïîêàçàëè, ÷òî «ïî÷òè ìàñêèðîâàííûå» ðåáðà òèïè÷íû. Òàêèå ðåáðà ôèêñèðîâàëèñü
ñ ïîìîùüþ äâóõ ìåòîäèê: 1) èñïîëüçîâàëîñü ôèêñèðîâàííîå àáñîëþòíîå çíà÷åíèå
ïîðîãà t äëÿ âåëè÷èí Info ( , )X Y è Info ( , )Z Y ; 2) èñïîëüçîâàëñÿ «ïëàâàþùèé» ïîðîã
ñ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé, ðàâíîé 10 % ñåìåéíîé èíôîðìàöèè, ò.å.
t Y XZ� Info ( , ) /10. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ôèêñèðîâàííîãî ïîðîãà ÷èñëî ïî÷òè ìàñêè-
ðîâàííûõ ðåáåð ñîñòàâèëî 44 % äëÿ áèíàðíûõ ïåðåìåííûõ è 33 % äëÿ òðåõçíà÷íûõ
ïåðåìåííûõ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè «ïëàâàþùåãî» ïîðîãà ÷èñëî òàêèõ ðåáåð ñîñòàâèëî
27 % äëÿ áèíàðíûõ ïåðåìåííûõ è 13 % äëÿ òðåõçíà÷íûõ ïåðåìåííûõ.
Ìàñêèðîâàííîå è ïî÷òè ìàñêèðîâàííîå ðåáðà ñ÷èòàþòñÿ îáíàðóæåííûìè
(äåìàñêèðîâàííûìè), åñëè ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü ïðåâûñèëà óñòàíîâëåí-
íûé ïîðîã çíà÷èìîñòè. Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì ýêñïåðèìåíòîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè
ôèêñèðîâàííîãî ïîðîãà âîññòàíàâëèâàþòñÿ 56 % è 75 % (ïî÷òè) ìàñêèðîâàííûõ
ðåáåð ñîîòâåòñòâåííî äëÿ áèíàðíûõ è òðåõçíà÷íûõ ïåðåìåííûõ. Ïðè èñïîëüçî-
âàíèè ïëàâàþùåãî ïîðîãà óñïåøíîñòü âîññòàíîâëåíèÿ ðåáåð ñîñòàâèëà 87 %
è 97 % ñîîòâåòñòâåííî.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îáà ðåáðà êîëëàéäåðà îêàçàëèñü
(ïî÷òè) ìàñêèðîâàííûìè, âñå îíè (100 %) âîññòàíàâëèâàþòñÿ. Ýòî ïîíÿòíî,
ïîñêîëüêó â òàêèõ ñëó÷àÿõ âåëè÷èíà ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè ïðèáëèæàåò-
ñÿ ê ñåìåéíîé èíôîðìàöèè ñîãëàñíî ôîðìóëå (14). Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíà íî-
âàÿ ðîëü ïðîâîöèðîâàííîé çàâèñèìîñòè — âûÿâëåíèå ìàñêèðîâàííûõ ñâÿçåé ìî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1 21
äåëè. (Çàìåòèì, ÷òî âûñîêóþ îöåíêó ÷àñòîòû ìàñêèðîâàííûõ ðåáåð íåëüçÿ ýêñ-
òðàïîëèðîâàòü íà îáùèé ñëó÷àé, ò.å. íà êîëëàéäåðû â êîíòåêñòå.)
Íà ïåðâûé âçãëÿä, ìîãëî áû ïîêàçàòüñÿ, ÷òî åñëè ïåðåìåííàÿ Y áåçóñëîâíî
íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé X , òî êîíäèöèîíèðîâàíèå Y íå äîëæíî âëèÿòü íà ñâÿ-
çè X ñ òðåòüèìè ïåðåìåííûìè. Îøèáî÷íîñòü òàêîé ëîãèêè çàêëþ÷àåòñÿ â ïîäìå-
íå ïîíÿòèÿ «àáñîëþòíî íå çàâèñèò» ïîíÿòèåì «áåçóñëîâíî íå çàâèñèò». Åñëè
èìååì òðè ïîïàðíî íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå è â ðåçóëüòàòå êîíäèöèîíèðîâàíèÿ
îäíîé èç íèõ äâå äðóãèå ñòàíîâÿòñÿ çàâèñèìûìè, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî
â ìîäåëè ñóùåñòâóåò íå ìåíåå äâóõ ñâÿçåé.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
Ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì ðåçóëüòàòàì äëÿ èäåíòèôèêàöèè ìîäåëè ïîëåçíî íå òîëüêî
âûÿâëåíèå óñëîâíûõ íåçàâèñèìîñòåé (ò.å. áëîêèðîâàíèå çàâèñèìîñòè), íî è ïðî-
âîöèðîâàíèå çàâèñèìîñòè (ò.å. ðàçðóøåíèå íåçàâèñèìîñòè). Íàâåäåíèå (ïðîâîöè-
ðîâàíèå) çàâèñèìîñòè ýôôåêòèâíî è äëÿ îðèåíòàöèè, è äëÿ äåìàñêèðîâàíèÿ ñòà-
òèñòè÷åñêèõ ñâÿçåé. Ïðîâîöèðîâàííàÿ çàâèñèìîñòü â êîëëàéäåðå òàêæå ïðåäîñòàâ-
ëÿåò ïðèíöèïèàëüíîå ñðåäñòâî èçìåðåíèÿ ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ôàêòîðîâ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B e r k s o n J . Limitations of the application of fourfold table analysis to hospital data // Biometrics
Bulletin. — 1946. — 2, N 3. — P. 47–53.
2. H e c k m a n J . J . Sample selection bias as a specification error // Econometrica. — 1979. — 47,
N 1. — P. 153–161.
3. E l w e r t F . , W i n s h i p C h . Endogenous selection bias: The problem of conditioning on
a collider variable // Annual Review of Sociology. — 2014. — 40. — P. 31–53.
4. V a n d e r W e e l e T . J . , R o b i n s J . M . Directed acyclic graphs, sufficient causes, and the pro-
perties of conditioning on a common effect // Amer. Journ. Epidemiol. — 2008. — 166, N 9. —
P. 1096–1104.
5. B a r e i n b o i m E . , T i a n J . , P e a r l J . Recovering from selection bias in causal and statistical
inference // Proceedings of the 28th AAAI Conference on Artificial Intelligence, 2014. —
P. 2419–2416 (July 27–31, 2014, Qu�bec Convention Center, Qu�bec City, Qu�bec, Canada).
6. S p i r t e s P . , G l y m o u r C . , S c h e i n e s R . Causation, prediction and search. — New York:
MIT Press, 2001. — 543 p.
7. d e C a m p o s L . M . , H u e t e J . F . On the use of independence relationships for learning simpli-
fied belief networks // Intern. Journal of Intelligent Systems. — 1997. — 12, N 7. — P. 495–522.
8. Á à ë à á à í î â A . C . Ê âûâîäó ñòðóêòóð ìîäåëåé âåðîÿòíîñòíûõ çàâèñèìîñòåé èç ñòàòèñòè-
÷åñêèõ äàííûõ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2005. — ¹ 6. — Ñ. 19–31.
9. Á à ë à á à í î â À . Ñ . Ðåêîíñòðóêöèÿ ìîäåëè âåðîÿòíîñòíûõ çàâèñèìîñòåé ïî ñòàòèñòè÷åñêèì
äàííûì. Èíñòðóìåíòàðèé è àëãîðèòì // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. —
¹ 6. — Ñ. 90–103.
10. S c h w e i z e r B . , W o l f f E . F . On nonparametric measures of dependence for random variables
// The Annals of Statistics. — 1981. — 9, N 4. — P. 879–885.
11. L e h m a n n E . L . Some concepts of dependence // The Annals of Mathematical Statistics. — 1966.
— 37, N 5. — P. 1137–1153.
12. À í ä î í Ï . ² . , Á à ë à á à í î â Î . Ñ . Äî â³äêðèòòÿ ëàòåíòíîãî á³íàðíîãî ôàêòîðà â ñòàòèñòè÷-
íèõ äàíèõ êàòåãîðíîãî òèïà // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2008. — ¹ 9. — Ñ. 37–43.
13. B a d e a L . Determining the direction of causal influence in large probabilistic networks: A const-
raint-based approach // Proc. of the 16th European Conf. on Artificial Intelligence (ECAI-2004),
Valencia, Spain, 2004. — Amsterdam: IOS Press, 2004. — P. 263–267.
14. K u r o k i M . , K i k u c h i T . , M i y a k a w a M . The graphical condition for identifying arrows in
recovering causal structure // Journal of Japan Statistical Society. — 2001. — 31, N 2. — P. 175–185.
15. R a m s e y J . , S p i r t e s P . , Z h a n g J . Adjacency-faithfulness and conservative causal
inference // Proc. of the 22nd Conf. on Uncertainty in Artificial Intelligence. — Oregon: AUAI
Press, 2006. — P. 401–408.
Ïîñòóïèëà 28.05.2015
22 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 1
|