О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов

Исследуются марковские случайные эволюции и их аппроксимации. Основным объектом исследования являются генераторы случайных процессов с независимыми приращениями. Данные процессы рассматриваются в схемах пуассоновской аппроксимации и аппроксимации Леви. Генераторы случайных процессов нормируются пара...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Ярова, О.А., Елейко, Я.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131420
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов / О.А. Ярова, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-131420
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1314202018-03-23T03:02:47Z О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов Ярова, О.А. Елейко, Я.И. Системный анализ Исследуются марковские случайные эволюции и их аппроксимации. Основным объектом исследования являются генераторы случайных процессов с независимыми приращениями. Данные процессы рассматриваются в схемах пуассоновской аппроксимации и аппроксимации Леви. Генераторы случайных процессов нормируются параметрами, которые являются нелинейными функциями. Показан явный вид таких параметров нормирования. Дано асимптотическое представление генераторов в схемах обеих аппроксимаций. Представлены нормирующие множители случайных эволюций. Досліджуються марковські випадкові еволюції та їх апроксимації. Основним об’єктом дослідження є генератори випадкових процесів з незалежними приростами. Ці процеси розглядаються у схемах пуассонової апроксимації та апроксимації Леві. Генератори випадкових процесів нормуються параметрами, які є нелінійними функціями. Наведено явний вигляд таких параметрів нормування. Виведено асимптотичне представлення генераторів у схемах обох апроксимацій. Наведено нормуючі множники випадкових еволюцій. Markov random evolutions and their approximations are analyzed. The main object of study is generators of random processes with independent increments. These processes are considered in Poisson approximation and Levi approximation schemes. Generators of random processes are normalized by parameters that are nonlinear functions. The explicit form of such normalization parameters is shown. The asymptotic representation of generators in both approximation schemes is shown. Normalizing factors of random evolution are presented. 2016 Article О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов / О.А. Ярова, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131420 519.217 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Ярова, О.А. Елейко, Я.И. О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов Кибернетика и системный анализ
description	Исследуются марковские случайные эволюции и их аппроксимации. Основным объектом исследования являются генераторы случайных процессов с независимыми приращениями. Данные процессы рассматриваются в схемах пуассоновской аппроксимации и аппроксимации Леви. Генераторы случайных процессов нормируются параметрами, которые являются нелинейными функциями. Показан явный вид таких параметров нормирования. Дано асимптотическое представление генераторов в схемах обеих аппроксимаций. Представлены нормирующие множители случайных эволюций.
format	Article
author	Ярова, О.А. Елейко, Я.И.
author_facet	Ярова, О.А. Елейко, Я.И.
author_sort	Ярова, О.А.
title	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
title_short	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
title_full	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
title_fullStr	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
title_full_unstemmed	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
title_sort	о поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131420
citation_txt	О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов / О.А. Ярова, Я.И. Елейко // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 2. — С. 147-153. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT ârovaoa opovedeniinormiruûŝegomnožitelâgeneratoravapproksimaciislučajnyhprocessov AT elejkoâi opovedeniinormiruûŝegomnožitelâgeneratoravapproksimaciislučajnyhprocessov
first_indexed	2025-07-09T15:24:42Z
last_indexed	2025-07-09T15:24:42Z
_version_	1837183465937698816
fulltext	ÓÄÊ 519.217 Î.À. ßÐÎÂÀ, ß.È. ÅËÅÉÊÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈÈ ÍÎÐÌÈÐÓÞÙÅÃÎ ÌÍÎÆÈÒÅËß ÃÅÍÅÐÀÒÎÐÀ Â ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Àííîòàöèÿ. Èññëåäóþòñÿ ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ýâîëþöèè è èõ àïïðîêñèìàöèè. Îñíîâ- íûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Äàííûå ïðîöåññû ðàññìàòðèâàþòñÿ â ñõåìàõ ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìà- öèè è àïïðîêñèìàöèè Ëåâè. Ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ íîðìèðóþòñÿ ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè. Ïîêàçàí ÿâíûé âèä òàêèõ ïàðàìåòðîâ íîð- ìèðîâàíèÿ. Äàíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ãåíåðàòîðîâ â ñõåìàõ îáåèõ àïïðîêñè- ìàöèé. Ïðåäñòàâëåíû íîðìèðóþùèå ìíîæèòåëè ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ãåíåðàòîð, àïïðîêñèìàöèÿ, ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, íåçàâèñèìûå ïðèðà- ùåíèÿ, ÿäðî èíòåíñèâíîñòè, ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå. Èññëåäîâàíèÿì ìàðêîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé è èõ àïïðîêñèìàöèÿì ïîñâÿ- ùåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé, ñðåäè êîòîðûõ ìîæíî âûäå- ëèòü ðàáîòû [1–5]. Â ÷àñòíîñòè, â [5] èññëåäóþòñÿ ïðîöåññû ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè â ñõåìàõ ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè è àïïðîêñèìàöèè Ëåâè. Â òàêèõ ïðîöåññàõ îòñóòñòâóåò äèôôóçíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, à ìåæäó ñêà÷- êàìè íàáëþäàåòñÿ ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Â àïïðîêñèìàöèè Ïóàññîíà è Ëåâè ãå- íåðàòîð ïðîöåññà íîðìèðóåòñÿ ëèíåéíûì ìíîæèòåëåì [1, 2]. Îäíàêî â íåêîòî- ðûõ ñëó÷àÿõ òàêîå íîðìèðîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì. Ïîýòîìó âîçíè- êàåò íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü êàê íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ. Îñíîâíàÿ öåëü ðàáîòû çàêëþ÷àåòñÿ èìåííî â íàõîæäåíèè òàêèõ ïà- ðàìåòðîâ â èçîáðàæåíèè ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Ðàññìîòðèì ñåìüþ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè è òðàåêòîðèÿìè â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ DR [ ; )0 � , êîòîðûå íîðìèðóþòñÿ ìíîæèòå- ëåì g1 ( )� ïðè � � 0 : � � � � 1 1 ( ) ( ) t t g � � � �� , t � 0 , ãäå �( )t — ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, îïðåäåëÿåìûìè ãåíåðàòîðîì � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � �� 1 1 . Ôóíêöèÿ �( )u ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íîé, äâàæäû äèôôåðåíöèðîâàííîé â R d, ðàâíîé íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè è sup-íîðìîé \|\| \|\| \| ( ) \|� �� sup u ; �( )u ïðèíàäëåæèò êëàññó äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Ñ R d 0 2 ( ) , u R d� . ßäðî èíòåíñèâíîñòè � � �( )d ïðè- íàäëåæèò êëàññó Ñ R 0 3 ( ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ � � ( ){ }0 0� . Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 147 © Î.À. ßðîâà, ß.È. Åëåéêî, 2016 P1. Àïïðîêñèìàöèÿ ñðåäíèõ èìååò âèä b d g b b R � � �� ( ) ( )( )1 , ñ d g ñ c R � � �� 2 1� �( ) ( )( ) , ãäå b� �, c� �, \| \|� b � � 0, \| \|�c � � 0, g1 0( )� � , åñëè � � 0. P2. ßäðî èíòåíñèâíîñòåé èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå � � � �g g g R g d g� � �� ( ) ( ) ( )( )1 äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ) . ßäðî � ( ) ( )0 d� çàäàíî íà êëàññå ôóíêöèé è îïðåäåëÿåò ìåðó C R3 ( ) ñîîòíî- øåíèåì � �g R g d� � ( ) ( )( )� �0 äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ). Ñëàãàåìûå � � b , � � c , � � g óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ \| \|� � � 0, g1 0( )� � , åñëè � � 0. P3. Â ïðåäåëüíîì ãåíåðàòîðå îòñóòñòâóåò äèôôóçíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ò.å. âû- ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå c d R � �� 2 0 0� ( ) ( ) . Ëåììà 1. Ãåíåðàòîð ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � �� 1 1 â ñõåìå ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè èìååò ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå: � � �� ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )( )u b u u u u d R � � � � � � 0 , \| \|�� 0, g1 0( )� � , åñëè � � 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãåíåðàòîð ïðîöåññà � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � � �� 1 1 � � � � � �� ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )g u u u u d R 1 1 2 2 � � � � �� ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )g u d g u d R R 1 1 1 1 2 2 � �� . 148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 Ôóíêöèÿ � � � � � �� u u u u u( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �� 2 2 ïðèíàäëåæèò êëàññó C R3 ( ) . Êðîìå òîãî, îíà íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà äëÿ �( ) ( )u C R� 0 2 ïðè óñëî- âèè P1. Èç óñëîâèé P1 è P2 èìååì � �� ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )( )u u u u u d R � � � � � �� 2 0 2 � �� b u c u b c� � � � � �( ) ( ) 2 � � � . Ïðèìåíÿÿ óñëîâèå P3, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå: � � �� ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )( )u b u u u u d R � � � � � � 0 . Ëåììà äîêàçàíà. Ðàññìîòðèì ïðèìåð ñåìåéñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí � �, êîòîðîå óäîâëåòâî- ðÿåò óñëîâèþ ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè: P b g p{ } ( )� �� 2 , P g g b g p{ ( ) ( ) } ( )� � � � �� 1 1 2 1 21 . Íàéäåì ïåðâûé è âòîðîé ìîìåíòû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû: E g pb g g b g g p g b� � � � � � � � �� 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p, E g pb g g g b g b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �� 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2� 2 1 2 1 2 2� �g g p( ) ( )� � � � �2 1 2 2 1 2 3 1g g pb g pb( ) ( ) ( )� � � . Îïðåäåëèì g1 ( )� èç äàííûõ ñîîòíîøåíèé g pb g g g b g b g2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � � ) ( )� � 1 2 2g p � � � �2 1 2 2 1 2 3 1g g pb g pb( ) ( ) ( )� � � � � �( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )g pb g g b g g p g b p2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1� � � � � � � � � � � � ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g pb g g b g g p g b p2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1� � � � � � � � 1) . Òàêèì îáðàçîì, g g pb b b p b p g pb b pb g 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( )( ) ( )( ) � � � � � � � � � 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2( )( ) ( )( )� � � � � � � � �b p pb g b b p p � � � � o( )� . Ñîîòâåòñòâåííî èìååì g o g2 1( ) ( ( ))� �� . Òîãäà ãåíåðàòîð ýòîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà áóäåò èìåòü âèä � �� ( ) ( )( ) ( )( u g b p pb g b b p � � � � 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 p g pb b b p b p g pb b pb � � � � � ) ( )( ) ( )( � � � � � ) � � �� [ ( ) ( )] ( )� � � ��u u d R � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 149 Ïåðåéäåì ê àïïðîêñèìàöèè Ëåâè. Ðàññìîòðèì ñåìüþ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, êîòîðûå íîðìèðóþòñÿ ìíîæèòåëåì g o g2 1( ) ( ( ))� �� : � � � � 2 2 ( ) ( ) t t g � � � �� , t � 0 , îïðåäåëÿåìûì ãåíåðàòîðîì � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � �� 2 1 , g2 0( )� � ïðè g2 0( )� � , ãäå �( )u ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íîé, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöè- åé â R d , ðàâíîé íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè è sup-íîðìîé \|\| \|\| \| ( ) \|� �� sup u ; �( )u ïðèíàäëåæèò êëàññó äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Ñ R d 0 2 ( ), u R d� . ßäðî èíòåíñèâíîñòè � � �( )d ïðè- íàäëåæèò êëàññó Ñ R3 ( ) è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ � � ( ){ }0 0� . Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ àïïðîêñèìàöèè Ëåâè. L1. Àïïðîêñèìàöèÿ ñðåäíèõ èìååò âèä b d b g g b b R � � �� ( ) ( ) ( )( )1 1 2 , ñ d g ñ c R � � �� 2 2� �( ) ( )( ) , ãäå b� �, c b c� � � �, \| \| , \| \|� �� 0 0. L2. ßäðî èíòåíñèâíîñòåé èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå � � � �g g g R g d g� � �� ( ) ( ) ( )( )2 äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ). ßäðî � ( ) ( )0 d� çàäàíî íà êëàññå ôóíêöèé è îïðåäåëÿåò ìåðó Ñ R3 ( ) ñîîòíîøåíèåì � �g R g d� � ( ) ( )( )� �0 äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ). Ñëàãàåìûå � b � , �c � , �g � óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ \| \|�� 0, g 2 0( )� � ïðè � � 0. L3. Èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå lim ( ) \| \| ( ) ñ c d �� 2 0 0� , ÷òî îïðåäåëÿåò ðàâíîìåðíóþ êâàäðàòè÷íóþ èíòåãðèðîâàííîñòü. Ëåììà 2. Ãåíåðàòîð ïðîöåññà ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � �� 2 1 â ñõåìå àïïðîêñèìàöèè Ëåâè èìååò ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå: � �� ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )u g b u b b u c c u� � � � � �� 1 1 1 0 0 2 150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 � � � � [ ( ) ( ) ( )] ( )( )� � � �� u u u d R � �0 , ãäå b d R 0 0� � � �� ( ) ( ) , c d R 0 2 0� � � �� ( ) ( ) , \| \|�� 0 , g2 0( )� � , g1 0( )� � , � � 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ãåíåðàòîð ïðîöåññà � �� ( ) ( ( )) [ ( ) ( )] ( )u g u u d R � � �� 2 1 � � � � � �� ( ( )) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )g u u u u d R 2 1 2 2 � � � � �� ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )g u d g u d R R 2 1 2 1 2 2 � �� . Ôóíêöèÿ � � � � � �� u u u u u( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �� 2 2 ïðèíàäëåæèò êëàññó C R3 ( ). Êðîìå òîãî, îíà íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà äëÿ �( ) ( )u C R� 0 2 ïðè óñëîâèè L1. Èç óñëîâèé L1 è L2 èìååì � �� ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )( )u u u u u d R � � � � � �� 2 0 2 � � �� b g u b u c u b c1 1 1 2 ( ( )) ( ) ( ) ( )� � � � � � � �� . Ïðèìåíÿÿ óñëîâèå L3 è ñâåäÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñëàãàåìûå, ïîëó÷àåì àñèìï- òîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå � �� ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )u g b u b b u� � � � � 1 1 1 0 � �� c c u u u u d R 0 0 2 � � � � �� ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )( )� � . Ëåììà äîêàçàíà. Èñïîëüçóÿ äàííûå àïïðîêñèìàöèè, ìîæíî íîðìèðîâàòü ïàðàìåòðàìè g1 ( )� è g2 ( )� ñëó÷àéíûå ýâîëþöèè ( )t . Ðàññìîòðèì åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî R d ( )d � 1 ñ íîðìîé \| \|� è ñòàíäàðòíîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî ( , )E � . Äëÿ ïðîèçâîëüíî- ãî âåêòîðà � �R d è ìàòðèöû ñ R d d� � ñîîòâåòñòâóþùèìè áóäóò òðàíñïîíèðî- âàííûé âåêòîð � * è ìàòðèöà c* . Â ñõåìå ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ èìååò ñëåäóþ- ùåå íîðìèðîâàíèå: � � � � �( ) ( ) ; ( ) t t ds x s g t � � � �� 0 0 1 , ãäå íåïðåðûâíûé ñïðàâà ìàðêîâñêèé ïðîöåññ �( , )t x , t � 0 , x E� , èìåþùèé ïðåäåë ñëåâà, ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ ëîêàëüíî-íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. PÀ1. Èìååì àïïðîêñèìàöèþ ñðåäíèõ b u x u d x g b u x u x b R � � �� ( ; ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))� � � � �1 , ñ u x u d x g ñ u x u xc R � � �� ( ; ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))� � � � �1 . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 151 PA2. ßäðî èíòåíñèâíîñòåé èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå � � � �g g g R u x g u d x g u x u x� � �� ( ; ) ( ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))� � � 1 äëÿ âñåõ g C R d� 3 ( ) è ÿäðî �g u x( ; ) îãðàíè÷åíî äëÿ âñåõ g C R d� 3 ( ) òàêèõ, ÷òî \| ( , ; )\|� �g gu d x� � , ãäå �g — ÿäðî, îïðåäåëåííîå ñîîòíîøåíèåì � �g R g u d x� � ( ) ( , ; )� � äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ) . Ñëàãàåìûå � b � , �c � , �g � óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ sup \| ( ; )\|�� u x � 0, x X� , g1 0( )� � ïðè � � 0 . PA3. Â ïðåäåëüíîì ãåíåðàòîðå îòñóòñòâóåò äèôôóçíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå c u x u d x R d ( ; ) ( , ; )� � �� . PA4. Óñëîâèå äëÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé èìååì âèä supE C\| \| � 0 � � � . Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ ýâîëþöèþ â àïïðîêñèìàöèè Ëåâè, êîòîðàÿ èìååò ñëåäóþùeå íîðìèðîâàíèe: � � � � �( ) ( ) ; ( ) t t ds x s g t � � � �� 0 0 2 , ãäå g o g2 1( ) ( ( ))� �� , ãäå íåïðåðûâíûé ñïðàâà ìàðêîâñêèé ïðîöåññ �( , )t x , t � 0, x E� , èìåþùèé ïðåäåë ñëåâà, ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ ëîêàëüíî-íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè. Äàííàÿ ñëó÷àéíàÿ ýâîëþöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì. LA1. Àïïðîêñèìàöèÿ ñðåäíèõ èìååò âèä b u x u d x b u x g g b u x b� � �� ( ; ) ( , ; ) ( ; ) ( ) ( )( ( ; ) (� � � �1 1 2 u x R ; ))� , ñ u x u d x g ñ u x u xc R � � �� ( ; ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))� � � � �2 . LA2. ßäðî èíòåíñèâíîñòåé èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå � � � �g g g R u x g u d x g u x u x� � �� ( ; ) ( ) ( , ; ) ( )( ( ; ) ( ; ))� � � 2 äëÿ âñåõ g C R d� 3 ( ) è ÿäðî �g u x( ; ) îãðàíè÷åíî äëÿ âñåõ g C R d� 3 ( ) òàêèõ, ÷òî \| ( , ; )\|� �g gu d x� � , ãäå �g — ÿäðî, îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì � �g R g u d x� � ( ) ( , ; )( )� �0 äëÿ âñåõ g C R� 3 ( ) . Ñëàãàåìûå � b � , �c � , �g � óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ sup \| ( ; )\|�� u x � 0, x E� , g 2 0( )� � ïðè � � 0 . LA3. Óñëîâèå áàëàíñà èìååò âèä ( ) ( ; )dx b u x E 1 0�� . 152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 LA4. Óñëîâèå äëÿ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé èìååò âèä sup E C\| \| � 0 � � � . È â ñõåìå ïóàññîíîâñêîé àïïðîêñèìàöèè, è â ñõåìå àïïðîêñèìàöèè Ëåâè áó- äóò âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ. PL1. Ðàâíîìåðíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ èíòåãðèðóåìîñòü èìååò âèä lim ( , ; ) \| \| ( ) ñ c u d x �� sup �� 0 0 . PL2. Ïðè óñëîâèè ðîñòà ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà L òàêàÿ, ÷òî \| ( ; ) \| ( \| \| )b u x L u� 1 è \| ( ; ) \| ( \| \| )c u x L u� 1 2 äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ôóíêöèé f ( )� , � �R d , òà- êèõ, ÷òî ( ( ))\| \| / { 1 2 0 � �� f d R d � � � } . Èìååì \| ( , ; )\| ( ) ( \| \| )� u d x Lf u� �� 1 , ãäå �( , )u d x�� — ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà-Íèêîäèìà ÿäðà �( , )u B x� ïî îòíîøåíèþ ê ìåðå Ëåáåãà d� â R d , ò.å. � �( , ; ) ( , ; )u d x u x d� � �� . Äàííîå íîðìèðîâàíèå ïîçâîëÿåò îöåíèòü ïðûæêè â àïïðîêñèìàöèè ïðîöåñ- ñîâ ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè è íàéòè èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . Ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ýâîëþöèè ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè â ñõåìå àñèìï- òîòè÷åñêè ìàëîé äèôôóçèè // Äîïîâ³ä³ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2010. — ¹ 6. — Ñ. 22–26. 2. Ñ à ì î é ë å í ê î ² . Â . Âåëèê³ â³äõèëåííÿ äëÿ ³ìïóëüñíèõ ïðîöåñ³â â ñõåì³ ïóàññîíîâî¿ àïðîêñèìàö³¿ // Óêðà¿íñüêèé ìàòåìàòè÷íèé æóðíàë. — 2012. — 64, ¹ 11. — Ñ. 1526–1535. 3. Koro l iuk V.S . , L imn ios N. , Samoi l enko I .V . Poisson approximation of process with locally independent increments and semi-Markov switching — Toward application in reliability // Advances on Degradation Models with Application to Reliability. Survival Analysis and Finance. — Birkhauser, 2010. — P. 105–116. 4. C h e r n o f f H . Measure of asymptotical efficiency for tests of a hypothesis based on the sum of observations // Annals of Mathematical Statistics. — 1952. — 23, N 4. — P. 493–655. 5. F e n g J . , K u r t z T . G . Large deviation for stochastic processes // Mathematical Surveys and Monographs, 131. Providence (RI): American Mathematical Society, 2006. — 410 p. Ïîñòóïèëà 15.06.2015 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 2 153

О поведении нормирующего множителя генератора в аппроксимации случайных процессов

Репозитарії

Схожі ресурси