Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації

Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації

Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді....

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2017
Main Author: Чикрій, Г.Ц.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2017
Series:Теорія оптимальних рішень
Online Access:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131431
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-131431
record_format dspace
spelling irk-123456789-1314312018-03-24T03:03:00Z Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації Чикрій, Г.Ц. Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді. Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием информации, в которой выполнены условия регулярности по Н.Н. Красовскому. Установлены достаточные условия сближения с ε-окрестностью нуля за время первого поглощения, которое найдено в явном виде. We consider the integro-differential game with delay of information for which the regularity conditions of M.M. Krasovskii are satisfied. Sufficient conditions for approaching the ε-neighbourhood of zero in first-absorption time, the latter found in explicit form, are established. 2017 Article Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 2616-5619 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131431 517.977 uk Теорія оптимальних рішень Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглядається інтегро-диференціальна грa з запізненням інформації, в якій виконані умови регулярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови зближення з ε-околом нуля за час першого поглинання, який знайдений в явному вигляді.
format Article
author Чикрій, Г.Ц.
spellingShingle Чикрій, Г.Ц.
Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
Теорія оптимальних рішень
author_facet Чикрій, Г.Ц.
author_sort Чикрій, Г.Ц.
title Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_short Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_full Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_fullStr Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_full_unstemmed Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
title_sort про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2017
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/131431
citation_txt Про позиційне керування в інтегро-диференціальній грі з запізненням інформації / Г.Ц. Чикрій // Теорія оптимальних рішень: Зб. наук. пр. — 2017. — № 2017. — С. 9-14. — Бібліогр.: 4 назв. — укр.
series Теорія оптимальних рішень
work_keys_str_mv AT čikríjgc propozicíjnekeruvannâvíntegrodiferencíalʹníjgrízzapíznennâmínformacíí
first_indexed 2025-07-09T15:25:43Z
last_indexed 2025-07-09T15:25:43Z
_version_ 1837183530035052544
fulltext Теорія оптимальних рішень. 2017 9 ТЕОРІЯ ОПТИМАЛЬНИХ РІШЕНЬ Розглядається інтегро-диферен- ціальна грa з запізненням інфор- мації, в якій виконані умови регу- лярності за М.М. Красовським. Встановлені достатні умови збли-ження з  -околом нуля за час пер-шого поглинання, який знайдений в явному вигляді.  Г.Ц. Чикрій, 2017 УДК 517.977 Г.Ц. ЧИКРІЙ ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ З ЗАПІЗНЕННЯМ ІНФОРМАЦІЇ Вступ. Класичним прикладом ефективного застосування правила екстремального приці- лювання М.М. Красовського [1, 2] є ситуація з єдиними екстремальними елементами від- повідних маргінальних відображень, так зва- ний регулярний випадок. У даній роботі цей факт ілюструється на прикладі інтегро-дифе- ренціальної гри з запізненням інформації. Розглянемо задачу зближення, в якій рух об’єкта описується системою інтегро-дифе- ренціальних рівнянь         0 t z t z s ds u t v t         0 , t u s v s ds      0,0, 0  tzzRtz n , (1) яка включає крім звичайного ще й інтег- ральний блок керування. Мета переслідувача –  -зближення тра- єкторії об’єкта з термінальною множиною ,M де  : .M z z    (2) Області керувань U та V є кулями  , , ,nU u u R u     , , ,nV v v R v    0,  0. В роботі [3] знайдена формула для роз- в’язку системи (1)         0 0 , 0, t t sz t ch t z e u s v s ds t    (3) де cht – гіперболічний косинус: . 2 t te e cht   Г.Ц. ЧИКРІЙ 10 Теорія оптимальних рішень. 2017 Будемо вважати, що переслідувач отримує інформацію про стан об’єкта з постійним запізненням у часі . Припустимо, що на початку гри переслідувач застосовує керування   0,u t   0, .t  Як відомо (див., наприклад, [4]), гра з постійним запізненням інформації еквівалентна грі переслідування з повною інформацією, в якій поточний стан об’єкта описується системою         0 , t t s z t chtz e u s e v s ds         ,t   (4) з термінальною множиною   )( VSM  , 0 ( ) ( 1) .sV e V ds e S       (5) З огляду на те, що S та ( )V  є кульками відповідно радіусів  та ( 1)e  з центром у нулі, то умова ( ) ( 1)M e S          виконується, якщо ( 1).e    (6) Опорна функція множини ( )M  має вигляд    ( ); ( 1)W M p e p      і, оскільки множина ( )M  – обмежена, то бар’єрний конус ( ) n MK R  [2]. Припустимо, що переслідувач, починаючи з моменту часу , використовує позиційні керування. Застосуємо схему, викладену в [3], для розв’язку задачі зближення в еквівалентній грі (4), (5). Згідно схемі позиційного керування покладемо      0, , ( ), ( ) ( ) ( ) , t T s t tz T t u v chT z e u s e v s ds            (7) де ( ), ( )t tu v   – реалізації керувань гравців відповідно на півінтервалах  , t ,  0, t   . Позначимо  , , ( ), ( ) .t tz T t u v     Зауважимо, що оскільки в представленні циліндричної термінальної множи- ни 0 ,M M S     0 0 ,M  то nRLM   0 і ортопроектор , : ,nR L   зада- ється одиничною матрицею .E Згідно правила екстремального прицілювання [2] та враховуючи вигляд множин U та V введемо функцію     ( , , ; ) , min max( , ) T T s v V u U t W T t p p e p u e v ds           ( , ) ( ) ( 1) , ,T tp e e p t        де максимум і мінімум досягається відповідно на векторах , p u p   . p v p   ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ ... Теорія оптимальних рішень. 2017 11 Підставивши формули для ( , , ; )W T t p та ( ) ( )MW p у вираз для відстані до термінальної множини   1, ( , , ) min ( , , ; ) ( ; ) , p p L T t W T t p C M p         отримаємо   , , , , ( ), ( )t tT t z T t u v          , 1 min , , ( ), ( ) , ( )( 1) ( 1)T t t t p L p z T t u v p e e e p                        , , ( ), ( ) ( )( 1) ( 1), ,T t t tz T t u v e e e t                   причому мінімум досягається на єдиному векторі     , , ( ), ( ) , , , ( ), ( ) t t t t z T t u v p z T t u v        де  , , ( ), ( )t tz T t u v   визначається формулою (7). Це означає, що виконано умову, що полягає в єдиності вектора спряженої системи [2]. Позначимо      t, ( ), ( ) min : , , , , ( ), ( ) 0 .t t tT t u v T t T t z T t u v        Час  , ( ), ( )t tT t u v   – перший позитивний корень відносно T рівняння  , , ( ), ( ) ( ) ( 1) ( 1), ,T t t tz T t u v e e e T t                  а час першого поглинання – перший позитивний корень рівняння 0( ) ( 1) ( 1) , .Te e e chT z T          (8) Функція 2 TT ee Tch   – монотонно зростаюча при 0T і .10 ch Дослідимо рівняння (8) на предмет існування позитивного кореня. Нехай виконано умову 0e   . (9) Тоді, з огляду на умову (6), позитивність лівої частини рівності (8) гарантовано. Перепишемо (8), позначивши ( 1) ,e     ( ) .e   (10) Тоді рівняння (8) набуде вигляду 0( 1) , 2 T T T e e e z       (11) де 0, 0 0.    Помножимо обидві частини рівняння (11) на Te   і запишемо його у вигляді 0 2 01 1 0, . 2 2 T Te z e z e e T                       Г.Ц. ЧИКРІЙ 12 Теорія оптимальних рішень. 2017 Позначивши 0 , 2 e z a    1 ,e b        (12) отримаємо рівняння 2(1 ) 0.T Ta e be a    (13) Введемо змінну xeT  і будемо шукати розв’язки квадратного рівняння 2(1 ) 0,a x bx a    (14) які більші за ,e Te x e  при .T   Будемо розглядати випадок, коли 0,1  ba . Згідно позначень (10), (12) 1b e          ( ) ( 1) , e e e e e e                       тому, оскільки 1e  0  і e  (9), умова 0b виконується якщо .   (15) Оскільки  – позитивне число, виконання цієї умови потребує переваги в ресур- сах керування .   (16) Ця нерівність випливає з умови (9). Легко перевірити, що в нашому випадку ви- конання умов (6), (15) автоматично забезпечує виконання умови (9). Розв’язки рівняння (14) мають вигляд       , 12 14 12 2 1 a aab a b x           a aab a b x      12 14 12 2 2 . Оскільки 0 1, 0,a b   то 2 4(1 ) , 2(1 ) 2(1 ) b b а a b а а       а значить 02 x . Тому рівняння (14) має єдиний позитивний корень 2 1 4(1 ) , 2(1 ) b b а a x а      1 0. 1 b x a    Цей корень гарантовано більший за ,e якщо e a b  1 або 1 .a be  З огляду на вираз для b (12) 1 / ,be    тому остання нерівність разом з умовою 1a  зводиться до подвійної нерівності / 1.a   З урахуванням позначень (10), (12), отримана умова набуває вигляду 0( 1) 1. 2 ( ) ze e e e                 (17) ПРО ПОЗИЦІЙНЕ КЕРУВАННЯ В ІНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІЙ ГРІ ... Теорія оптимальних рішень. 2017 13 Таким чином, якщо початкове положення 0z задовольняє обмеженням (17), то рівняння (14) має єдиний корінь 1 .x e З цього робимо висновок, що у ви- падку, що розглядається, рівняння (8) має єдиний корінь , ,T T   2 4(1 ) 1 , 2(1 ) b b а a T n а      (18) де згідно (10), (12) 0 , 2( ) e a z e       ( ) . ( ) e b e          Отже, показано, що час першого поглинання є скінченним, а також виконана умова регулярності, яка полягає у єдиності екстремальних векторів u та p . При цьому єдиність p означає єдиність точки екстремального прицілювання, а єдиність вектора u забезпечує єдиність траєкторії переслідувача, що веде в цю точку. На закінчення зауважимо, що якщо параметри гри (1), (2) з постійним запіз- ненням інформації  задовольняють умовам (6), (15), то з початкових положень 0,z що задовольняють умові (17), зближення в класі позиційних керувань може бути закінчено не пізніше моменту часу T (18). Висновки. Таким чином, розглянуто лінійну інтегро-диференціальну гру з інтегральним блоком керування, кульовими областями керувань та терміналь- ною множиною. Для даної ігрової задачі має регулярний за М.М. Красовським випадок, тобто екстремальні елементи спряженої системи є єдиними, що забез- печує їх неперервність по позиції. Отримано достатні умови завершення гри за час першого поглинання, виражені через параметри конфліктно-керованого процесу. В явному вигляді знайдено керування переслідувача та відповідний час першого поглинання, що залежать від початкових умов та параметрів процесу. Г.Ц. Чикрий О ПОЗИЦИОННОМ УПРАВЛЕНИИ В ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ СБЛИЖЕНИЯ Рассматривается интегро-дифференциальная игра с запаздыванием информации, в которой выполнены условия регулярности по Н.Н. Красовскому. Установлены достаточные условия сближения с  -окрестностью нуля за время первого поглощения, которое найдено в явном виде. Г.Ц. ЧИКРІЙ 14 Теорія оптимальних рішень. 2017 G.Ts. Chikrii ON POSITIONAL CONROL IN INTEGRO-DIFFERENTIAL GAME WITH DELAY OF INFORMATION We consider the integro-differential game with delay of information for which the regularity conditions of M.M. Krasovskii are satisfied. Sufficient conditions for approaching the -neighbourhood of zero in first-absorption time, the latter found in explicit form, are established. 1. Красовский Н.Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с. 2. Пшеничный Б.Н. Линейные дифференциальные игры. Автоматика и телемеханика. 1968. № 1. С. 65 – 78. 3. Чикрий Г.Ц. О позиционном управлении в интегро-дифференциальных играх. Кибер- нетика и системный анализ. 2002. № 5. С. 100 – 117. 4. Чикрий Г.Ц. Принцип растяжения времени в эволюционных играх сближения. Проблемы управления и информатики. 2016. № 3. С. 35 – 48. Одержано 20.03.2017

Similar Items