Моделирование распределений суммы независимых случайных величин
Предложены вероятностные модели определения распределений суммы независимых случайных величин для комплексов задач при: расчете по известным параметрам слагаемым распределений; решении интегральных уравнений c использованием Maihcad; разработке прикладных программ на Фортране....
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
2015
|
| Назва видання: | Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/132509 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Моделирование распределений суммы независимых случайных величин / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2015. — Вип. 20. — С. 139-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-132509 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1325092018-04-21T03:04:38Z Моделирование распределений суммы независимых случайных величин Галушко, В.Г. Предложены вероятностные модели определения распределений суммы независимых случайных величин для комплексов задач при: расчете по известным параметрам слагаемым распределений; решении интегральных уравнений c использованием Maihcad; разработке прикладных программ на Фортране. Запропоновані ймовірнісні моделі визначення розподілу суми незалежних випадкови величин для комплексу задач при: - розрахунку по відомим параметрам розподілу із двох випадкових величин; - рішенню інтегральних рівнянь з використанням Mathcad; - створені прикладних програм на Фортрані. The probabilistic models of determination of distributing of sum of independent casual sizes are offered for the complexes of tasks at: calculation on the known numerical descriptions by the element of distributing; decision of integral equalizations with the use of Maihcad; to applied program development on Fortran. 2015 Article Моделирование распределений суммы независимых случайных величин / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2015. — Вип. 20. — С. 139-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. XXXX-0009 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/132509 656.13.022: 519.2 ru Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложены вероятностные модели определения распределений суммы независимых случайных величин для комплексов задач при: расчете по известным параметрам слагаемым распределений; решении интегральных уравнений c использованием Maihcad; разработке прикладных программ на Фортране. |
| format |
Article |
| author |
Галушко, В.Г. |
| spellingShingle |
Галушко, В.Г. Моделирование распределений суммы независимых случайных величин Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| author_facet |
Галушко, В.Г. |
| author_sort |
Галушко, В.Г. |
| title |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| title_short |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| title_full |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| title_fullStr |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| title_full_unstemmed |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| title_sort |
моделирование распределений суммы независимых случайных величин |
| publisher |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/132509 |
| citation_txt |
Моделирование распределений суммы независимых случайных величин / В.Г. Галушко // Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем: Зб. наук. пр. — К.: МННЦІТС НАН та МОН України, 2015. — Вип. 20. — С. 139-148. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних систем |
| work_keys_str_mv |
AT galuškovg modelirovanieraspredelenijsummynezavisimyhslučajnyhveličin |
| first_indexed |
2025-07-09T17:34:03Z |
| last_indexed |
2025-07-09T17:34:03Z |
| _version_ |
1837191608475320320 |
| fulltext |
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
139
УДК 656.13.022: 519.2 В.Г. Галушко
Моделирование распределений суммы независимых
случайных величин
Запропоновані ймовірнісні моделі визначення
розподілу суми незалежних випадкови величин для
комплексу задач при: - розрахунку по відомим
параметрам розподілу із двох випадкових величин; -
рішенню інтегральних рівнянь з використанням Mathcad;
- створені прикладних програм на Фортрані.
Ключові слова: автомобільні перевезення, випадкові
обсяги вантажів, закони розподілу, ймовірнісні моделі.
Предложены вероятностные модели определения
распределений суммы независимых случайных величин
для комплексов задач при: расчете по известным
параметрам слагаемым распределений; решении
интегральных уравнений c использованием Maihcad;
разработке прикладных программ на Фортране.
Ключевые слова: автомобильные перевозки,
случайные объемы грузов, законы распределения,
вероятностные модели.
The probabilistic models of determination of
distributing of sum of independent casual sizes are offered
for the complexes of tasks at: calculation on the known
numerical descriptions by the element of distributing;
decision of integral equalizations with the use of Maihcad;
to applied program development on Fortran.
Keywords: motor-car transportations, casual volumes
of loads, distributing laws, probabilistic models.
Актуальность. Определения суммы нескольких
случайных величин, как дискретных так и непрерывных,
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
140
позволяют решать многие прикладные задачи [1-4] в
различных отраслях науки и техники (экономике,
информатике, на транспорте и т.д.)
Так вопросы эффективного планирования и
управления перевозками на транспортных сетях
базируются на вероятностных методах накопления грузов
в пунктах сети в условиях влияния многочисленных
случайных факторов [3] с характерной
неопределенностью [5] (состояние системы не относится
к идеальным условиям, когда ситуация детерминирована).
Более того, неопределенность сопряжена с отдельными
рисками не своевременной доставки грузов по вине
экспедитора и водителя, а также их совместного влияния,
как суммы композиции законов распределения отдельных
рисков. Аналогично накопление грузов в пунктах сети за 2
суток также определяется как сумма 2 случайных
величин с заданным законом.
Анализ теоретических исследований
Анализ моделей по определению распределений
суммы двух случайных величин с заданными законами
распределения, а также законов распределения суммы
независимых случайных величин (композиции законов
распределения слагаемых) позволяет использовать эти
методы по следующим направлениям: определение
числовых характеристик суммы по заданным числовым
характеристикам слагаемых;.cведение задачи к решению
интегральных уравнений в системе Mathcad; cоставление
прикладных программ на Фортране, используя
методологию замены распределений непрерывных
случайных величин дискретными.
Для некоторых частных случаев, при известных
числовых характеристиках распределения случайных
величин слагаемых, распределение параметров закона
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
141
распределения их суммы для дискретных и непрерывных
распределений определятся довольно не сложно.
Так при сложении двух дискретных независимых
случайных величин, распределенных по закону Пуассона с
параметрами a1 и a2, математическое ожидание закона
Пуассона суммы Y = X1 + X2 определяются как
a = a1 + a2. (1)
Аналогично сумма двух независимых биномиальных
случайных величин в n1 и n2 испытаниях, а также
распределенных по закону Паскаля, имеют соответственно
распределения биномиальное и Паскаля с параметрами [4],
равных сумме ( n= n1 + n2 ) и (x=x1 + x2).
Для непрерывных случайных величин при сложении
двух независимых случайных величин X1 и X2,
распределенных по нормальному закону, с
математическими ожиданиями a1 и a2 и средними
квадратичными отклонениями σ1 и σ2 , числовые
характеристики нормального закона случайной величины
Y = X1 + X2 будут равны:
., 2
2
2
121 σσσ +=+= aaa (2)
Аналогично, при сложении двух независимых
непрерывных случайных величин, имеющих
распределения Коши и Гамма, распределение их суммы
также распределены по этим законам [4].
Для независимых показательных законов
распределения с параметрами λ1 ≠ λ2 плотность
распределения определяется [2-3] как
)()( 21
12
21 yy eeyg λλ
λλ
λλ −− −
−
= (3)
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
142
Однако при решении многих практических задач
могут быть известны лишь эмпирические распределения
случайных величин или заданы параметры законов
распределения, а определение параметров их суммы в
аналитическом виде требует разработки методов их
расчета.
Целью статьи является разработка математических
моделей определения вероятностных распределений
суммы для двух независимых случайных величин и их
практическая реализация с использованием программных
средств Mathcad и Фортрана.
Изложение основного материала. Рассмотрим
систему (X1, X2) двух непрерывных случайных величин и
их сумму
Y= X1 + X2 (4)
Известно, что для независимых случайных величин
X1 и X2 плотность распределения суммы равна [2,3].
11211 )()(g(y) dxxyfxf −= ∫
∞
∞ (5)
22221 )()(g(y) dxxfxyf∫
∞
∞
−= (6)
Рассмотрим определение распределения суммы
независимых непрерывных случайных еличин g(y),
распределенных по законам Релея и показательному
.)(;)( 2
2
21
2
2
x
x
exfe
x
xf λσ λ
σ
−−
== (7)
Подставляя искомые уравнения (7) в уравнения (5) и
выполнив необходимые преобразования получим
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
143
dxexedxee
x
yg
y x
x
y
y
xy
x
∫∫
−−
−−−
−
==
0
)
2
(
2
0
)(2
2
22
2
)(
λ
σλλσ
σ
λλ
σ (7)
Определение плотности распределения суммы g(y)
сводится к интегральному уравнению (8), которое может
быть решено в системе Mathcad. Для закона Релея (σσσσ
=8.7) и показательного ( λλλλ=a=0.1) результаты приведены
в табл. 1..
Таблица. 1.
Результаты расчета g(y
αααα :=0,1 σσσσ :=8,7 κκκκ :=1 … 9
xk= -2 хк+1 = xk + 2 вк= хк+1 +2
dxxe
k
k
b x
x
b
∫
−
−−
0
2-
2
2
e
α
σα
σ
α
2,441 ⋅⋅⋅⋅ 10-3
8,792 ⋅⋅⋅⋅ 10-3
0,017
0,026
0,034
0,04
0,043
0,043
0,041
0,038
0,034
0,029
0,025
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
144
0,021
0,017
0,014
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60
x
f(
z)
Рис.1. Плотность распределения g(y).
Рассмотрим общий подход определения
распределения суммы независимых дискретных
случайных величин r(k)(k=0,1,2, …). Пусть заданы
дискретные случайные величины p(i) ( i= 0,1,2,…, n ) и q(j)
(j= 0,1,2,…, m), которые могут подчиняться различным
законам или задаваться как распределения эмпирических
данных.
Для определения распределения r(k) предложено
следующее уравнение
∑
=
−=
k
i
ikqipkr
0
)(*)()( (9)
Разработан алгоритм решения уравнения (9),
который использован при составлении программы на
Фортране расчета вероятностных распределений суммы
двух независимых дискретных случайных величин r(k),
которая приведена ниже
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
145
Программа вычисления распределения r(k).
! PROGRAM Z=X+Y_F90
INTEGER I, J, K, N
REAL P(0:30),Q(0:30),R(0:30),A(0:30)
character*16 ::innam,outnam
! write (*,*) 'input file='
! read (*,'(a16)') innam
! open (1, file=innam)
write(*,*)'Output file='
read(*,'(a16)') outnam
open (3,file=outnam)
N =14
DO 1 K=1,30
P(K)=0
Q(K)=0
1 continue
P(0)=0; P(1)=0.21;P(2)=0.3; P(3)=0.26; P(4)=0.15;
P(5)=0.06; P(6)=0.02
Q(0)=0; Q(1)=0.21;Q(2)=0.3; Q(3)=0.26; Q(4)=0.15;
Q(5)=0.06; Q(6)=0.02
I=-1
K=-1
2 R(0)=0
DO 3 J=1,N
3 R(J)=0
10 K=K+1
4 IF (K-N) 5,5,12
5 I=I+1
IF (I-K) 7,7,8
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
146
7 R(K)=R(K)+P(I)*Q(K-I)
GO TO 5
8 A(K)=R(K)
11 I=-1
GO TO 2
12 WRITE (3,9) (A(J-1),J=1,K)
9 FORMAT (30F7.3)
STOP
END
! END Z=X+Y.F90
Пусть заданных два независимых распределения P(I)
и P(j) дискретных случайных величин с количеством
значений, равных 7
P(0)=0; P(1)=0.21;P(2)=0.3; P(3)=0.26; P(4)=0.15;
P(5)=0.06; P(6)=0.02 (10)
Q(0)=0;Q(1)=0.21;Q(2)=0.3;Q(3)=0.26;Q(4)=0.15;Q(5)=0.06
; Q(6)=0.02 (11)
Для к =6+6 =12 результаты расчета r(k)
принимают следующие значения
r (0)=0.000; r (1)=0.000; r (2)=0.044; r (3)=0.126; r (4)=0.199;
r (5)=0.219; r (6)=0.183;
r (7)=0.122; r (8)= 0.066; r (9)= 0.028; r (10)= 0.010; r (11)=
0.002; r (12)=0.000 (12)
Следует особо отметить, что программа расчета по
предложенному уравнению (9) составлена для исходных
дискретных значений случайных величин. Однако, она
может в некоторых практических случаях использована и
для непрерывных независимых случайных величин. Для
этого необходимо, для заданных случайных величин
диапазон изменения которых необходимо разбить на
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
147
дискретные значения кратные единице и определить
вероятности дискретных значегтй. Для закона Вейбулла [3]
с параметрами α =2 и β=3 при заданных дискретных
значениях I = 0,1,…,6 вероятности P(I) рассчитаны по
плотности и представлены в уравнении (10), а расчет r(k) в
уравнении (12). Отметим, что суммы определяемых
вероятностей P(I) и Q(J) должны равняться 1, а в случаях
отличия на незначительную величину необходимо
использовать известные методы уточнения (усечения)
распределений [2,3]. Выполненные практические расчеты
показывают, что при количестве дискретных значений от
6 до 20 и выполнение необходимых корректировок P(I) и
Q(J) предложенная методология (замены непрерывных
распределений дискретными) дает удовлетворительные
результаты для практического использования. Однако,
при больших значениях интервалов случайных величин
необходимо провести дополнительные исследования и
выполнить разработку прикладных программ.
Выводы. Предложены различные подходы
вычисления распределений суммы независимых
случайных величин включающих:
− решения интегральных уравнений в системе
Mathcad;
− составление прикладных программ на
Фортране, используя методологию замены распределений
непрерывных случайных величин дискретными.
Литература
1. Королюк В.С. Справочник по теории вероятностей и
математической статистике./ В.С. Королюк., В.И. Портенко, А.В.
Скороход, А.Ф. Турбин . К.: Наукова думка. 1978., 582с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные
приложения. / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров – . М.: Высшая
школа, 2000. – 480с.
3. Галушко В.Г. Статистические распределения в приложениях./В.Г.
Галушко К.: “Зовнішня торгівля”, 2011. 104с.
Економіко-математичне моделювання соціально-економічних
систем
Збірник наукових праць
Київ – 2015, випуск 20
148
4. Хастинг Н. Справочник по статистическим распределениям. / Н.
Хастинг, Дж. Пикок М.: Cтатистика, 1980. 95с.
5. Кузьмин Е.А. Неопределенность в экономике: понятия и
положения./ Е.А. Кузьмин // Вопросы управления. – . 2012. –
№2(2), С.80-92 elibrary abstract.
УДК 519.21:681.142 І.А.Глущенко
Оцінка ефективності реалізації програм розвитку
регіональної енергетики
Запропоновано метод оцінки ефективності
реалізації плану регіонального розвитку та розглянуто
його використання при будівництві енергогенеруючих
об’єктів, що використовують нетрадиційні та вторинні
джерела енергії.
Ключові слова: оцінка ефективності, регіональний
розвиток, план будівництва, критерії оцінки.
Предложен метод оценки еффективности
реализации плана регионального развития и рассмотрено
его использование при строительстве
энергогенерирующих объектов, которые используют
нетрадиционные и вторичные источники энергии.
Ключевые слова: оценка эффективности,
региональное развитие, план строительства, критерии
оценивания.
The method of evaluating the effectiveness of the plan
for regional development and considered its use in the
construction of power facilities based on alternative and
secondary energy sources
|