Прагматические основания дескриптивных сред

Статья посвящена развитию прагматических основ дескриптирования. Дается развернутая экспликация остовных понятий дескриптологии – дескрипции, дескриптивной среды, действия, полиады, презентативной акции, композиции. Исследуются аспекты генезиса сущностей в дескриптивной среде....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Редько, И.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут програмних систем НАН України 2005
Schlagworte:	Теоретичні та методологічні основи програмування
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1327
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Прагматические основания дескриптивных сред / И.В. Редько // Проблеми програмування. — 2005. — N 3. — С. 3-25. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-1327
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-13272008-07-28T12:00:37Z Прагматические основания дескриптивных сред Редько, И.В. Теоретичні та методологічні основи програмування Статья посвящена развитию прагматических основ дескриптирования. Дается развернутая экспликация остовных понятий дескриптологии – дескрипции, дескриптивной среды, действия, полиады, презентативной акции, композиции. Исследуются аспекты генезиса сущностей в дескриптивной среде. 2005 Article Прагматические основания дескриптивных сред / И.В. Редько // Проблеми програмування. — 2005. — N 3. — С. 3-25. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1727-4907 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1327 681.3.06 ru Інститут програмних систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретичні та методологічні основи програмування Теоретичні та методологічні основи програмування
spellingShingle	Теоретичні та методологічні основи програмування Теоретичні та методологічні основи програмування Редько, И.В. Прагматические основания дескриптивных сред
description	Статья посвящена развитию прагматических основ дескриптирования. Дается развернутая экспликация остовных понятий дескриптологии – дескрипции, дескриптивной среды, действия, полиады, презентативной акции, композиции. Исследуются аспекты генезиса сущностей в дескриптивной среде.
format	Article
author	Редько, И.В.
author_facet	Редько, И.В.
author_sort	Редько, И.В.
title	Прагматические основания дескриптивных сред
title_short	Прагматические основания дескриптивных сред
title_full	Прагматические основания дескриптивных сред
title_fullStr	Прагматические основания дескриптивных сред
title_full_unstemmed	Прагматические основания дескриптивных сред
title_sort	прагматические основания дескриптивных сред
publisher	Інститут програмних систем НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Теоретичні та методологічні основи програмування
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1327
citation_txt	Прагматические основания дескриптивных сред / И.В. Редько // Проблеми програмування. — 2005. — N 3. — С. 3-25. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT redʹkoiv pragmatičeskieosnovaniâdeskriptivnyhsred
first_indexed	2025-07-02T04:48:57Z
last_indexed	2025-07-02T04:48:57Z
_version_	1836509285568217088
fulltext	Теоретичні та методологічні основи програмування © И.В. Редько, 2005 3 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2005. № 3 УДК 681.3.06 И.В. Редько ПРАГМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ДЕСКРИПТИВНЫХ СРЕД Статья посвящена развитию прагматических основ дескриптирования. Дается развернутая экспликация остовных понятий дескриптологии – дескрипции, дескрип- тивной среды, действия, полиады, презентативной акции, композиции. Исследуются аспекты генезиса сущностей в дескриптивной среде. В настоящей статье рассмотрены прагматические предпосылки, составляю- щие фундамент основных положений де- скриптологии [1]. Она непосредственно примыкает к [2,3]. В [2] акцентировалось внимание на результатах теоретической дескриптологии. В [3] был сделан упор на проблематику прикладной дескриптоло- гии, связанную прежде всего с ее интегра- ционными аспектами. В предлагаемой ста- тье прагматико-мотивированным образом осветим остовную понятийную структуру дескриптологии как концептуально еди- ного научного направления, покажем ме- сто и роль традиционных рассмотрений. Объект, предмет и метод дескриптологии в первом приближении Говоря о любой научной дисцип- лине, в первую очередь акцентируют вни- мание на ее объекте, соответствующем ему предмете и методе исследований. При этом объект, содержательно говоря, является понятием – прагматической доминантой рассмотрения, в то время как предмет представляет собой результат прагматико- мотивированной конкретизации объекта, как правило, в рамках метода рассмотре- ния. Часто, однако, такая конкретизация является тривиальной. И тогда говорят, что объект и предмет рассмотрения тождест- венны. В общем же случае, предмет как результат конкретизации объекта рассмот- рения представляет собой множество по- нятий, каждое из которых, являясь некото- рой специализацией объекта исследований, отражает некоторые наиболее прагматиче- ски значимые его стороны. Такая прагма- тико-обусловленная конкретизация, поша- гово проводимая в рамках принципа доста- точных оснований Лейбница [4] (примени- тельно к цели работы он может быть сформулирован так: конкретизация должна быть достаточно содержатель- ной и не быть обремененной спецификой) и составляющая основу метода исследова- ний, в [1-3] получила название прагма- тико-обусловленной типизации, сокра- щенно ТОП (типизация, обусловленная прагматикой). В самом общем смысле дескриптоло- гия – это дисциплина, изучающая средства познания бытия. Поэтому, исходя из ши- роты охвата рассмотрений, в качестве объ- екта изучения дескриптологии естест- венно выбрать такую парадигмную катего- рию, как сущность. Трактуется это поня- тие предельно широко, и включает всевоз- можные реальные и идеальные, конкрет- ные и абстрактные, частные и общие, ста- тические и динамические сущности, в том числе сущности типа свойств сущностей, свойств высшего типа и даже универсум сущностей (обозначаемый далее T ) как бытие сущего. Из столь общего толкова- ния понятия сущности следует, что оно малосодержательно и, таким образом, не удовлетворяет принципу достаточных ос- нований. Поэтому данное понятие должно быть нетривиальным образом конкретизи- ровано в предмет рассмотрений. В основе такой конкретизации лежит понятие экс- пликативной (в рамках прагматики) сво- димости. Заметим, что, вообще говоря, в традиционной математике термины своди- мости и выводимости понимаются как си- Теоретичні та методологічні основи програмування 4 нонимы. Здесь же в них вкладываются принципиально разные смыслы. Дело в том, что выводимость связана прежде всего с понятием истинностной характе- ристики. При этом считается, что сущ- ность B находится в отношении выводимости с сущностью A если из того, что A – истинно, следует, что и B ис- тинно. Сводимость же от выводимости от- личается тем, что она связанна непосред- ственно не с истинностной характеристи- кой, а с понятием прагматически мотиви- рованной адекватности, частным случаем которого является и истинностная характе- ристика. Сущность B находится в отношении экспликативной сводимости (кратко, сводимости) с сущностью A , если B есть прагматико-обусловленная адекватная конкретизация A (в смысле принципа достаточных оснований Лейб- ница). Фактически конкретизация пред- ставляет собой пошаговый процесс экс- пликативных сведений. В нашем случае первым шагом в направлении к предмету рассмотрения является выбор прагматико- обусловленной точки зрения на сущность как объект исследований. Ввиду сказан- ного думается, что рассмотрение сущности в контексте изучения данного понятия – это то, что нужно. Изучение сущностей как гносеоло- гическое понятие многоаспектно. Поэтому и здесь не обойтись без прагматико-обу- словленного выбора наиболее значимого аспекта рассмотрения. Дескриптивный ас- пект изучения сущностей, на наш взгляд, является таковым. Центральное место за- нимает понятие дескрипции – сущности типа среды существования сущностей1. А 1 В дескриптировании сущностей как гносеологической модели их изучения первостепенную роль, очевидно, играет гносеологическое понятие среды существования сущностей (коротко, среды) как проявления внешнего и внутреннего их взаимовлияния. При этом проявление понимается в самом широком смысле. В качестве примеров могут выступать как статические, так и динамические модели суть дескриптивности рассмотрения выра- жена в основополагающем принципе деск- риптологии – принципе дескриптивности. Принцип дескриптивности. Поня- тие сущности экспликативно сводимо к понятию дескрипции. Фактически речь идет о том, что любое изучение сущности – это всегда изучение интересующих ис- следователя (т.е. прагматически-обуслов- ленных) проявлений этой сущности, точ- нее говоря, среды проявления внешних и внутренних взаимовлияний подходящих сущностей, – дескрипции. Содержательно данный принцип фиксирует понимание того, что в контексте изучения любой сущности, в частности и дескрипции, име- ется достаточно оснований говорить, на- пример, во-первых, о существовании ее составляющих и, во-вторых, о взаимодей- ствии составляющих составных сущностей [2,3] как форме существования самой ис- следуемой сущности. Дальнейшие применения ТОП, оче- видно, связаны с изучением природы деск- рипции. Важную роль здесь играет прин- цип обусловленности, который в нашем случае может быть сформулирован так: природа сущности, в частности дескрип- ции, обусловлена ее генезисом. Понятие ге- незиса дескрипций, понимаемое как про- цесс их построения, серьезно конкретизи- рует наше рассмотрение, делая его более акцентированным. Чтобы отразить роль сущностей, описания, в частности определения, этих моделей в естественных и искусственных языках. Непосредственно из сказанного о понятии проявления вытекает, что оно близко, но не тождественно понятию свойства. Проявления – это не просто свойства типа тех или иных черт сущностей, а суть свойства типа прообразов таких черт. К последним в первую очередь относятся свойства, формирующие наши представления о среде существования проявляемой сущности. Именно такая трактовка проявления принята в данной статье. Что же касается среды, то будем здесь понимать ее как сущность, которая проявляет себя как в виде собственно составляющих, так и, что особенно важно, в виде остова как контекста взаимодействия, в котором находятся сами составляющие. Теоретичні та методологічні основи програмування 5 данного понятия в нем, далее наряду с об- щим термином «генезис дескрипций» бу- дем использовать также и конкретизи- рующие названия – процесс дескриптиро- вания или просто дескриптирование. Это делает возможным конкретизировать дан- ное выше определение дескриптологии: дескриптология – это дисциплина, изу- чающая дескрипции в контексте процессов дескриптирования. Важнейшую роль во вскрытии природы дескрипции играет по- нятие компаунда (англ. compound – струк- тура, целостное образование, образование сложных структур). В первом приближе- нии оно понимается как проявление сущно- сти типа среды существования сущно- стей. Однако такое понимание, очевидно, недостаточно содержательно и, значит, нуждается в дальнейшей конкретизации. С учетом же понимания среды существова- ния, принятого в настоящей статье (см. сноску 1), ясно, что это требует адекват- ного прагматике вскрытия природы как остова среды, так и ее составляющих. По- скольку любая прагматика в своем разви- тии эволюционна, никакая сколь угодно адекватная конкретизация их не может рассматриваться как раз и навсегда данная, полностью независящая от предшествую- щих воззрений на объекты конкретизации. В этой связи вскрытие природы понятия среды по необходимости требует как ана- лиза уже проведенного в этом направле- нии, так и причин, которые сегодня сде- лали необходимым следующий виток эво- люции представлений об этом понятии. Что касается имеющегося задела, то фактически вся история развития науки – это явное или неявное изучение как от- дельных типов сред, так и понятия среды в целом. Наиболее значимые в рамках нашей прагматики этапы на этом пути – это, во- первых, индивидуализация и акцентация рассмотрения на наиболее значимых типах сред, таких, как соответствие, функция, отношение, кортеж и т.д., и, во-вторых, адекватная современной прагматике кон- кретизация понятия среды существования составляющих как множества элементов. Это послужило основой для построения Г. Кантором теоретико-множественной платформы (ТМП), ставшей концепту- ально единым фундаментом для изучения широкого класса свойств объектов, прежде всего математики, в первую очередь за счет возможности смещения акцентов с отдельных частных сущностей на концеп- туально-единую сущность – множество как метасущность. Весомость результатов та- кого рассмотрения превратила теоретико- множественную парадигму в почти догму. Что касается причин необходимости смены парадигм, то они связаны с разви- тием принципиально новых направлений, а значит, с вовлечением в рассмотрение та- ких типов сред, которые не были ранее уч- тены в прагматике. Главным образом это касается развития информатики. Именно с ней вовлечение в изучение наряду со ста- тическими динамических свойств среды получило достатоточные основания, чтобы удовлетворять упоминавшемуся принципу Лейбница. Как сами основания, так и формы вовлечения динамики в рассмотре- ние подробно изучены (см., например, [1- 3] и библиографию к ним). Поэтому здесь просто констатируем, что для адекватного вовлечения динамики в исследования, не- обходимо понятие действия. Разъяснение данного понятия и его формальное опреде- ление дано в [2]. Именно эта трактовка действия будет использована в данной статье. В соответствии с принципом взаимо- дополнительности никакая система не может быть универсальной в эпистемо- логии как теории научного знания в смысле Поппера, если в ней не взаимодополня- ются, а взаимоисключаются понятия статических и динамических свойств сущностей. Конкретизация понятия ком- паунда, очевидно, должна удовлетворять этому принципу, а значит, содержательно говоря, быть производной трех понятий: действия, кортежа и множества. Другими словами, компаунды есть «комбинации» действий, кортежей и множеств, понимае- мых в широком смысле. Такие комбинации Теоретичні та методологічні основи програмування 6 порождают бесконечную совокупность ти- пов иерархических компаундов как осто- вов соответствующих им сред. Поэтому удобно уточнить понятие компаунда ин- дукцией по их составляющим, основу ко- торых составляют сущности типа множе- ства, кортежа и действия: 1) (база индукции) – любые сущности типа действия, кортежа или множества есть компаунды; 2) (шаг индукции): 2.1) любое действие, предпосылкой ко- торого является компаунд, – тоже компаунд; 2.2) любой кортеж компаундов суть компаунд; 2.3) любое множество компаундов есть компаунд; 3) (селектор) других компаундов нет. Роль понятия компаунда в процессе изучения дескрипций выражена в следую- щем принципе. Принцип компаундности. Понятие дескрипции экспликативно сводимо к по- нятию компаунда. Таким образом, в ранг экспликативного сведения возводится ес- тественнонаучное представление о деск- рипции как о компаунде. Репрезентатив- ными компаундами, например, являются множества, понимаемые как в математиче- ском, так и в естественнонаучном смысле, роль составляющих которых играют их элементы, а остов среды существования тривиален. Однако очевидно, что далеко не любой компаунд является множеством. Он лишь составлен из сущностей, но остов среды их существования не обязательно тождествен их контекстно-свободному (тривиальному) собранию. Прямыми следствиями как данного принципа, так и в целом нашего рассмот- рения являются следующие утверждения. Утверждение 1. Дескрипции экс- пликативно сводимы к компаундам. Утверждение 2. Сущности экспли- кативно сводимы к компаундам. Построение любой дисциплины сводится, по существу, к построению ее понятийной структуры. Согласно сказан- ному, элементами понятийной структуры дескриптологии являются компаунды высших типов, а дескриптирование при этом рассматривается в контексте их ап- пликативного продуцирования. Суть по- следнего замечания заключается в том, что дескриптирование – это не просто процесс построения дескрипций (дескриптострое- ние), а процесс пошаговых использований общезначимых (логических) средств их (дескрипций) построения. Таким образом, последние не просто средства дескрипто- строения, а средства построения высшего порядка, вскрывающие логику создания дескрипций в рамках основополагающих средств их использования как метасредств. На основе понятия компаунда как экспли- кации понятия дескрипции естественным образом вводится фундаментальное поня- тие, называемое далее композицией. Ме- тасредства использования композиций, очевидно, сводятся к различным порожде- ниям и применениям композиций. Таким образом, в нашей прагматике понятие де- скриптирования может быть конкретизи- ровано в виде следующего принципа. Принцип процессональности. Де- скриптирование – суть процесс порожде- ния и применения композиций. Итак, результатом рассмотрения данного раздела стали следующие экспли- кативные сведения: объект исследований эксплицирован понятием сущности, пред- мет – понятием компаунда в контексте де- скрипций, а метод – системный подход, соединяющий в себе, в соответствии с принципом взаимодополнительности [1], аналитическое и синтетическое начала, в качестве которых выступают соответст- венно прагматико-обусловленная типиза- ция (анализ) и средства порождения и применения композиций (синтез). Перечисленные принципы носят явно выраженный эпистемологический ха- рактер. Вместе с тем, имеется достаточно оснований считать понятие компаунда по- следним звеном в цепи эпистемологиче- ских экспликативных сведений. Таким об- разом, по нашему мнению, назрела необ- Теоретичні та методологічні основи програмування 7 ходимость в переходе от эпистемологиче- ского понятия компаунда к его логико-ма- тематической модели. Во-первых, как упоминалось выше, данное понятие уже на эпистемологическом уровне удовлетворяет принципу взаимодополнительности, кон- цептуально единым образом объединяя в рассмотрении, как статические (на уровне множеств и кортежей), так и динамические (на уровне действий) свойства сущностей. Во-вторых, природа взаимодополнения статики и динамики в компаунде доста- точно прозрачна для понимания и, следо- вательно, легко может быть получена ее логико-математическая экспликация. В- третьих, понятие компаунда существенно опирается на понятия множества и кор- тежа, а значит, и на основные результаты теоретико-множественной платформы. В этом выражается, в частности, эволюцион- ность нашего рассмотрения. Логико-математическая платформа дескриптологии Известно, что в основе традицион- ного уточнения любого понятия лежит широко известный тезис: не столько важны в изучении сами сущности, сколько их свойства. При всем пиетете к данной точке зрения, думается, что дескриптоло- гия позволяет внести сюда существенные и, что наиболее важно, адекватные совре- менной прагматике коррективы. В [1-3] дана исчерпывающая, как нам представляется, мотивация необходи- мости интенсионализации рассмотрения. Суть последней, неформально говоря, вы- ражается в том, что на дескрипцию сущно- сти не только можно, но и должно смот- реть под двумя принципиально разными динамически регулируемыми углами зре- ния. Это рассмотрение дескрипции, во- первых, как «сущности самой по себе», т.е. абстракции от ее «первоисточника» – де- скриптируемой сущности, и, во-вторых, как «сущности, в которой проявляется изучаемая сущность». В последнем случае изучаемые сущности понимаются в соот- ветствии с изложенными выше принци- пами как среды, а в контексте их дескрип- тирования – как компаунды с бифурка- циями (лат. bifurcatio – раздвоение). Ска- занное составляет содержательный смысл следующего принципа. Принцип бифуркационности. Де- скриптирование сущностей бифуркаци- онно. Все вышеизложенное представляет убедительную, на наш взгляд, аргумента- цию того, что в построении логико-мате- матической платформы дескриптологии центральное место занимает понятие ком- паунда. Поэтому логико-математическая экспликация введенного эпистемологиче- ского понятия компаунда имеет здесь пер- востепенное значение. Непосредственно из индуктивного определения понятия ком- паунда вытекает, что она сводится к адек- ватному уточнению его остова. Логико-математическая экспли- кация понятия компаунда. Базис остова составляют понятия множества, кортежа и действия. Отличительной особенностью множеств и кортежей является то, что они однозначно определяются составляющими их как компаундов с «множественным» и «кортежным» остовами соответственно. Что же касается понятия действия, то от- носительно него в общем случае некор- ректно говорить о едином «действенном» остове в отрыве от его составляющих. При этом для любого конкретного действия как компаунда характерны как его остов, так и составляющие. Однако в отличие от поня- тий множества и кортежа природа остова любого конкретного действия динамиче- ски зависит от составляющих действия. Содержательно говоря, остов действия ди- намически генерируется (порождается, формируется) под «влиянием» составляю- щих действия, например его предпосылки. Причем природа этой зависимости может быть сколь угодно сложной и, значит, вне- сение ее в рассмотрение, хотя и сделает их более содержательными, однако вовлечет при этом излишне обременительную спе- цифику. Это противоречит принципу дос- таточных оснований Лейбница. Единст- Теоретичні та методологічні основи програмування 8 венно возможный путь избавиться от об- ременительной конкретики – это отнести всю специфику зависимости остова кон- кретного действия от его составляющих в предметное рассмотрение. При этом наше рассмотрение, конечно, существенно ог- рубляется. В частности, теперь два дейст- вия равны, если их предпосылки и воз- можные последствия равны. При этом со- ответствующие компаунды типа действия совсем не обязательно равны в этом слу- чае. Ведь кроме предпосылки и последст- вия компаунду присуща как минимум еще и специфика динамически формируемой природы остова, от которой мы абстраги- руемся. Итак, совершенно естественно приходим к понятию импульса как абст- ракции действия, вовлекающей в рассмот- рение только потенциальную возмож- ность абстрактной генерации соответ- ствующего предпосылке последствия. (Часто это понятие будет пониматься в объединительном смысле, включающем как абстрактные, так и конкретные дейст- вия. Из контекста всегда будет понятно, о каком понимании конкретно идет речь.) Таким образом, в действиях нас в первую очередь интересует динамичность и модальность генерации их последствий, а не статическое проявление действий как компаундов. Что касается множеств и кор- тежей, то здесь в рассмотрение вовлека- ются только их известные основопола- гающие свойства [5], без навязывания их обязательной абстрактности. Этим обеспе- чивается возможность рассмотрения на- ряду с базовыми понятиями множества и кортежа различных их высших типов – множеств множеств, множеств кортежей множеств и т.п. Такое прагматико-мотиви- рованное сведение позволяет дать адекват- ное сути логико-математическое уточне- ние понятия компаунда. Полиадой будем называть сущность типа компаунда, множества, кортежи и действия которой понимаются абстрактно, как изложено выше. В частности, действия понимаются в узком смысле как импульсы. Значимость понятия полиады вы- ражается таким принципом. Принцип полиадности. Компа- унды экспликативно сводимы к полиадам. Этот принцип существенно конкретизи- рует понятие компаунда, а значит, деск- рипции и сущности в целом. Однако в рамках нашей прагматики этой конкрети- зации еще не достаточно. Ключевое место здесь, согласно принципу процессонально- сти, занимает композиционная парадигма. Поэтому следующий шаг ТОП сопряжен прежде всего с экспликацией фундамен- тального понятия композиции (см. [1-3] и библиографии к ним). В приведенных ра- ботах показано, что экспликация данного понятия в принципе не может быть осуще- ствлена в рамках традиционных статиче- ских платформ. Именно это главным обра- зом и стимулировало создание и развитие динамико-статической полиадной плат- формы, что по существу свелось к обога- щению принципиально новым содержа- нием важнейших фундаментальных поня- тий и прежде всего общего понятия функ- ции. Общее понятие функции. С гно- сеологической точки зрения функция по- нимается просто как правило или закон однозначного соответствия в универсуме сущностей. Эпистемология конкретизи- рует эту точку зрения, определяя функцию как закон сопоставления аргументам функции ее значений, если таковые име- ются. С определенными оговорками именно последнее толкование есть концеп- туально единым фундаментом всех после- дующих логико-математических уточне- ний понятия функции. Условно их можно разделить на три принципиально разные группы: классические, неоклассические и неклассические уточнения. Появление ка- ждой из этих групп было обусловлено оп- ределенной прагматикой, без вскрытия ко- торой мотивация наших построений не бу- дет достаточно прозрачной. И хотя отно- сительно классических и неоклассических уточнений достаточно много сказано (см., например, [5-14] и библиографию к ним) Теоретичні та методологічні основи програмування 9 по сравнению с неклассическими уточне- ниями, основной целью этого раздела, ду- мается, что полезно будет сказать не- сколько слов и о них. Классический подход. В традици- онной математике известно несколько ло- гико-математических толкований понятия функции. Среди них наиболее известны два. Первое – исторически более раннее и даже сегодня более распространенное – опирается на понятие переменной. Для него характерным является определение функции, данное, например, в [6, §3, стр. 65]: «закон (правило), по которому значе- ниям независимых переменных (курсив мой) отвечают (соответствуют) значения рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией». Очевидно, что приведенную формулировку и подобные ей нельзя назвать отчетливыми. Ведь они апеллируют к понятию переменной, кото- рое, в свою очередь, достаточно расплыв- чато и, по-видимому, не может быть иным в рамках ТМП. Второе толкование – более совре- менное и менее интуитивное – совсем не использует понятия переменной. Ему со- ответствуют два наиболее репрезентатив- ных подхода. С первым ассоциируется по- нимание функции, данное, например, в [7, стр. 93]: «если каким-нибудь образом (кур- сив мой) каждому элементу x некоторого множества X поставлен в соответствие определенный элемент y некоторого мно- жества Y , то мы говорим, что имеется … функция f , аргумент которой пробегает (курсив мой) множество X , а значения принадлежат множеству Y ». Второй под- ход связан с попыткой определить функ- цию непосредственно, через уточнение того, что есть правило (закон). Резюмируя, можно сказать, что в первом случае само понятие функции остается неопределяе- мым. Акцент сделан лишь на специфика- цию ситуации, когда имеет смысл говорить о существовании некоторой функции, т.е. на определенное ее проявление [2]. Такая трактовка данного понятия отражает точку зрения на функцию как на первичное по- нятие («Понятие функции такое же основ- ное и первоначальное, как и понятие мно- жества» [8, §2, с. 12], «…понятие функции … приходится считать первоначальным, или неопределяемым» [9, прим. 39]) и ори- ентирована прежде всего на изучение не самих функций, а лишь тех или иных их проявлений. Во втором случае уточнения приводят к узким классам функций. На- пример, в случае, когда термин «закон» уточняется посредством понятия алго- ритма, приходим к классу вычислимых функций. Среди так введенных понятий функции в классической прагматике на- ряду с тем или иным общим понятием функции наибольший интерес представ- ляют следующие типы: −n арные функции и функции многих переменных. Рассмотрение каждого из этих ти- пов по-своему обогащает представления о природе функций в целом. Например, важ- ность общего понятия функции состоит в его общезначимости и относительной про- стоте (необремененности деталями). Од- нако упомянутые позитивы становятся бременем в изучении внутренних (генети- ческих) аспектов понятия функции. Репре- зентативной иллюстрацией этого служит операция суперпозиции, которая для слу- чая унарных функций сводится к их после- довательному применению: ))(())(())(,( ygfygfygfS o≅= . Определенным шагом в сторону ис- следования генетических структур функ- ций стала индивидуализация класса n-ар- ных функций. Точка зрения на аргумент функции как на n-мерный вектор позво- ляет полнее учесть особенности генезиса функций и, в частности, одного из основ- ных общезначимых инструментов – супер- позиции функций. Однако операция су- перпозиции n-арных функций все же не- адекватна общим представлениям о при- роде суперпозиции как эпистемологиче- ского понятия. n-арная суперпозиция слишком обременена деталями. Чтобы Теоретичні та методологічні основи програмування 10 проиллюстрировать это дадим формальное определение операции суперпозиции n-ар- ных функций. Под суперпозицией понимается m+1-арная операция, обозначаемая ,...2,1,1 =+ mSm , которая любому кортежу >< mff ,...,, 1ϕ , где ϕ – m-арная функция, а арность функций mif i ,...,1, = , одинакова и равна, например, k , ставит в соответствие новую k-арную функцию ψ , задаваемую так: )),...,(..., ),...,,...,((),...,( 1 111 >>< ><<≅>< km kk xxf xxfxx ϕψ для всех kxx ,...,1 . Очевидно, что требование одинако- вости арности функций mif i ,...,1, = , про- диктовано спецификой тотальности (всюду определенности) операции суперпозиции. Совершенно ясно, что это ограничение не имеет совершенно никакого отношения к общей природе суперпозиции. Ведь сама идея использования значений некоторых функций в качестве аргументов функции никак не связана с арностями участвую- щих в данном процессе функций. Более того, такое ограничение только усложняет использование механизма суперпозиции уже в самых простейших случаях. Напри- мер, рассмотрим случай элементарного взаимодействия трех функций, для нагляд- ности заданный в виде следующей схемы (рис. 1). Очевидно, что напрямую данная схема не может быть задана в среде −n арных функций. Ведь функции 1f и 2f имеют не только различные арности, но и источники аргументов. Поэтому каждая из этих функций должна быть представлена в суперпозиции соответствующей 5-арной функцией-моделью. Обозначим их соот- ветственно 5 1F и 5 2F . Тогда ),,,( 5 3 5 2 5 11 45 1 IIIfSF = , ),,( 5 5 5 42 35 2 IIfSF = и ),,( 5 2 5 13 35 FFfSF = , где ),..,2,1,(, =mnI n m , – известные селекторные n-арные функции. Немного изменим постановку за- дачи и посмотрим, как это отразится на со- ответствующей реализации (рис. 2). Теперь соответствующие модели функций 1f , 2f и самой схемы выглядят несколько иначе. Это уже 4-арные функ- ции 4 2 4 1 ,FF и 4F , имеющие следующий вид: ),,,( 4 3 4 2 4 11 44 1 IIIfSF = , ),,( 4 4 4 22 34 2 IIfSF = и ),,( 4 2 4 13 34 FFfSF = . Данные примеры убедительно де- монстрируют неадекватность концепции n- арных функций проблемам вскрытия гене- тических структур функций. Это связано с тем, что необременительная, на первый взгляд, конкретизация общего понятия функции, выразившаяся в точке зрения на аргумент функции как на кортеж, оказа- лась не такой уж безобидной. Фактически она привнесла в логику рассмотрения на- ряду с пониманием функции как закона, что абсолютно оправдано исходя из прин- ципа достаточных оснований, еще и из- лишне специфичные способы его приме- нения. Последнее не замедлило проявиться в различных ситуациях как весьма тяжкое бремя. Рис. 2 1f 2f 3f Рис. 1 1f 2f 3f Теоретичні та методологічні основи програмування 11 Еще один подход в направлении ис- следования генетических структур функ- ций был реализован в переходе от общего понятия функции к традиционным функ- циям многих переменных. В тот момент это вполне соответствовало прагматике. Ведь с понятием функции всегда были свя- заны два фундаментальных вопроса: во- первых, как выразить суть функции как закона и, во-вторых, как этот закон приме- нить. На примере n-арных функций мы увидели, что попытка дать формальное решение второй задачи сразу же привела к неадекватности. Понятие же функции мно- гих переменных вовсе не затрагивало эту проблему. Понятие переменной, с одной стороны, интуитивно совершенно про- зрачное, с другой же – оно не формализо- вано, т.е. в рассмотрении понимается как первичное. При этом именно на него пере- несена вся тяжесть проблемы применения функции как закона. Обычно решение этой задачи возлагалось на человека. Таким об- разом, практически единственным нетри- виальным и в то же время общезначимым свойством функции как закона, имеющим достаточные основания для его вовлечения в традиционные рассмотрения, осталось то, что любая функция по необходимости связана с формой ее представления. Од- нако такой подход также не мог претендо- вать на принципиальное решение про- блемы генезиса функций. Ведь зафиксиро- вав понятие переменной как первичное, мы тем самым отказались от попыток фор- мального решения проблемы применения функции к аргументу. При этом от меха- низма переменной в рассмотрениях оста- лось лишь ее обозначение. С одной сто- роны, было очевидно, что вовлечение в рассмотрение в первую очередь синтакси- ческих аспектов представления функций – это существенная специфика. Однако, с другой стороны, отказавшись еще и от формы, пришли бы к тому, с чего начали, – общему, а значит, малосодержательному пониманию функции как закона. Неадекватность данного подхода исходя из генезиса функций связана, во- первых, с игнорированием принципа под- чиненности [10] и, во-вторых, с тем, что в изучении генезиса функций вопросы, свя- занные с ее применимостью к аргументу, приобретают первостепенное значение. Начиная исследовать форму любой сущно- сти, в частности и функции, мы, по необ- ходимости, должны иметь механизм, по- зволяющий через форму сущности про- явить ее содержание. Для функций многих переменных этот механизм представляет собой интерпретатор выражений с пере- менными. С содержательной точки зрения ин- терпретатор представляет собой бинарную функцию (обозначим ее, например, ℑ ), которая паре <форма представления функ- ции, аргумент> ставит в соответствие ре- зультат применения функции к аргументу. Очевидно, что дать логико-математиче- скую модель понятия интерпретатора можно, только уточнив понятие перемен- ной, хотя бы синтаксически. Поэтому в классической теории функций многих пе- ременных, по указанным выше причинам, формализация понятия интерпретатора не проводится. Следствием этого является то, что в формальное рассмотрение здесь во- влекаются лишь относительно наиболее общие, а значит, и наименее содержатель- ные свойства функций. Свойства функций, обусловленные их генезисом, очевидно, к таким, в общем случае, не относятся. При этом, конечно, отказ от формализации ме- ханизма интерпретации ℑ не означает ав- томатического выведения за рамки изуче- ния всех аспектов, связанных с генезисом функций. Однако то, что остается, по не- обходимости, затрагивает лишь вопросы, связанные с формами представления функций. Таким образом, и сами формы и их интерпретация остаются, но становятся человеко-ориентированными. Это озна- чает, что фактически, мы имеем дело не с самой функцией, а лишь с функциональ- ной ситуацией типа того, что раз есть функциональная форма, то есть и функция. Неадекватность рассмотрения генезиса функций в этом случае проявляется уже на Теоретичні та методологічні основи програмування 12 самых простых примерах. Например, пусть даны две функции ),(1 yxf и ),(2 vuf , заданные в некотором языке своими функ- циональными формами: ,),(1 xyyxf = vuvuf +=),(2 . Тогда, чтобы рассмотреть суперпозицию этих двух функций, мы должны начать именно с некоторой новой функциональной формы. Пусть она задается выражением )( vux + . Ситуация с предыдущими двумя формами принципиально отлична от ситуации с по- следней формой. Если в первом случае мы имели дело с формами представления функций ),(1 yxf и ),(2 vuf , то во втором – просто с некоторой формой. Чтобы про- явить функциональную суть данной формы, ее необходимо проинтерпретиро- вать. Очевидно, что такой путь осуществ- ления суперпозиции, мягко говоря, неадек- ватен нашим представлениям о природе последней. И если эти неадеквтности не вполне очевидны в данном примере, то только потому, что пример оказался доста- точно простым. Вовлечение же в рассмот- рение функциональных форм механизма вычислимых имен (более соответствовало бы предыдущему говорить о вычислимых переменных) сразу же проявляет про- блемы, связанные с их интерпретацией. И дело даже не в том, что при этом усложня- ется синтаксис функциональных форм, хотя в этом случае речь идет уже практи- чески о полноценном синтаксическом ас- пекте программирования. Более важно то, что в этом случае нет никаких оснований возлагать задачу интерпретации таких функциональных форм на человека ввиду ее высокой сложности. Формализация и вовлечение в логику рассмотрений кон- кретного механизма интерпретации ℑ сразу же ограничивает нас частным слу- чаем языка функциональных форм. Таким образом, акцентация внимания на изучение синтаксического аспекта функций пере- менных, продиктованная первичностью понятия переменной и механизма его реа- лизации, делает рассмотрение излишне конкретным. При этом самое неприятное в этой конкретике то, что она лишь косвенно затрагивает суть понятия функции через упомянутую выше функциональную си- туацию. Вывод напрашивается сам собой: чтобы сделать рассмотрение адекватным сути вопроса и одновременно содержа- тельным, необходимо сконцентрировать внимание на тех аспектах интерпретаци- онного механизма, которые зависят от об- щезначимых свойств понятия функцио- нальной формы2. Резюмируя сказанное относительно классического подхода, можно сделать вы- вод, что предлагаемые здесь традиционные инструментальные средства, такие, как общее понятие функции, понятия n-арной функции и функции многих переменных обладают в контексте задач генезиса как многими важными достоинствами, так и не менее значимой неадекватностью. Сказан- ное, думается, в достаточной степени мо- тивирутет невозможность в рамках клас- сических представлений о природе функ- ций построить адекватную им генетиче- скую среду. Поэтому следующим шагом в направлении создания такой среды стало развитие так называемого неоклассиче- ского подхода. Неоклассический подход. Прагма- тика неоклассического подхода на содер- жательном уровне состоит в том, чтобы дать по возможности наиболее адекватную логико-математическую модель понятия функции, которая, опираясь на развитие классических парадигм, при этом макси- мально полно наследовала бы свойствен- ные классическим моделям позитивы и од- новременно была бы, по возможности, ли- шена их негативов. Среди многих толкований понятия функции указанным неформальным требо- ваниям наиболее полно удовлетворяет, пожалуй, только понятие именной (поли- арной) функции (см. [10] и библиографию 2 Понятие формы относительно. Эта относительность проявляется в том, что форма в одном рассмотрениии может выступать как содержание в другом. Теоретичні та методологічні основи програмування 13 к ней). Неоклассицизм этого понятия свя- зан прежде всего с вовлечением в рассмот- рение понятия именного множества, есте- ственно взаимодополняющего классику традиционного множества с неоклассиче- скими понятиями имени и отношения име- нования. Это позволило отказаться от об- ременительной конкретики кортежа, заме- нив его при этом не менее содержатель- ным понятием именного множества, с его широкими возможностями моделирования различных структур, а кроме того, понятие имени, будучи концептуально близким к понятию переменной, ни в коей мере не ограничивало вовлечение в рассмотрение форм представления функций. Однако здесь такое вовлечение осуществлялось лишь на уровне их общезначимых свойств в контексте рассмотрения именных мно- жеств как аргументов функций. Одним из таких общезначимых свойств функцио- нальных форм, достаточно содержатель- ным, с одной стороны, и не обремененным излишней спецификой, с другой, несо- мненно, есть то, что в любой функцио- нальной форме обязательно присутствуют составляющие, которые олицетворяют пе- ременные, хотя, вообще говоря, и не тож- дественны традиционным представлениям о них. Кроме того, с любой такой формой связан единый, т.е. не зависящий от кон- кретного способа задания такой формы, механизм актуализации ее переменных, содержательный смысл которого состоит в придании допустимых значений перемен- ным. При этом результат применения ак- туализации к некоторой функциональной форме представляет собой так называемую актуальную сущность (А-сущность), со- держательная интерпретация которой в рассмотрении не требуется, так как пола- гается, что данная задача уже решена для любых таких сущностей. Этим обеспечи- вается независимость рассмотрения от об- ременительной специфики конкретного способа задания функциональных форм. Вместе с тем в рассмотрении остается об- щезначимый и содержательный аппарат переменных. Конкретизируя сказанное, в случае именных функций мы переходим от из- лишне конкретной «двукомпонентной» модели интерпретатора RAL →×ℑ : , где L – фиксированный в рассмотрении язык функциональных форм, A – сколь угодно сложно устроенное множество аргументов, а R – множество результатов, к сущест- венно более общей и вместе с тем не менее содержательной, исходя из логики рас- смотрений «однокомпонентной» модели. Фактически мы просто фиксируем первую «компоненту» ℑ – форму представления функции и приходим к пониманию интер- претатора как функции в ее общезначимом смысле, определенной лишь на множестве аргументов A , т.е. функции вида RA →ℜ : . При этом здесь A имеет прин- ципиально иной смысл, чем в «двухкомпо- нентной» модели, представляя собой не просто «хранилище» аргументов, а инкап- сулируя в себе также и возможные связи аргументов с используемыми функцио- нальными формами. В этом смысле пони- мается актуальная и потенциальная зави- симость от функциональной формы. Более зримо отличие этих двух мо- делей можно представить на соответст- вующих грубых схемах механизмов при- менения функции к аргументу. В случае «двукомпонентной» модели механизм применения функции, заданной своей функциональной формой F в языке L , к аргументу A выглядит следующим обра- зом (рис.3). Иными словами, в логику данного процесса явно вовлечены два подпроцесса: придания значений переменным формы F и содержательной интерпретации А-сущ- ности как последствия первого подпро- цесса. И только возможный результат про- цесса применения функции к аргументу может быть в некоторой степени отнесен к предмету. Таким образом, как видим, в ло- гику вовлечен очень специфичный (суще- ственно зависящий от конкретного L ) ме- ханизм содержательной интерпретации А- сущностей. Теоретичні та методологічні основи програмування 14 Схема «однокомпонентной» модели имеет несколько принципиальных отли- чий, на которые мы акцентируем внимание ниже (рис.4). Здесь пара >< Xf , означает, что в отличие от предыдущего процесс приме- нения функции f , функциональная форма которой содержит переменные X, не зави- сит непосредственно от самой функцио- нальной формы, а только от смысловой (семантической) дефиниции функции f и от переменных, использующихся для ее формального (в смысле функциональной формы) воплощения3. Кроме того, аргу- мент A, присутствующий в первой схеме, конкретизируется в данной схеме именным множеством M. Это придает рассмотрению достаточную содержательность, отчасти компенсируя те содержательные потери, которые были связаны с выводом за рамки рассмотрения излишней конкретики функ- циональных форм. 3 Пунктирная стрелка означает, что в отличие от предыдущей схемы зависимость процесса применения функции к аргументу от формы представления функции носит неявный характер. Функциональная форма как обязательный атрибут процесса применения функции к аргументу учитывается здесь через используемые в ней сущности типа переменных и их связи с элементами именного множества М. Преимущества и недостатки гене- зиса изучаемых моделей рассмотрим, по аналогии с предыдущим, с точки зрения того, как в них реализуется суперпозиция функций. Что касается так называемой «двукомпонентной» модели, то ее основ- ной недостаток – это формо-содержатель- ная (в частности, синтактико-семантиче- ская) ориентация. Совершенно очевидно, что это никак не согласуется с общими представлениями о природе суперпозиции, в которых форма представления функций играет явно второстепенную роль. Схема- тически, логика применения суперпозиции функций ),...,(),...,,...,( 111 pns zzfyyf по переменным, соответственно, nii xx ,..., 1 , в функцию ),...,( 1 mxxf выглядит следую- щим образом (рис.5). Рассмотрим теперь неоклассиче- ский «однокомпонентный» случай. Здесь точка зрения на аргумент функции как на именное множество позволяет более адек- ватно учесть как в целом особенности ге- незиса таких функций, так и в частности механизма их суперпозиции. При этом в именном множестве нет обязательно-об- ременительного (по сравнению с кортеж- ной структурой) навязывания точки зрения Рис. 3 Содержатель ная интерпретация А-сущности Придание переменным из F соответствую щих значений из А F А-сущность Возможный результат Предмет процесса A Логика процесса применения Рис. 4 Возможный результат Содержатель ная интерпретаци я А-сущности А-сущность Придание переменным из F соответствую щих значений из M M <f,X> Предмет процесса применения Логика процесса применения Теоретичні та методологічні основи програмування 15 на аргумент как на некоторую последова- тельную структуру его составляющих. Кроме того, парадигма именования обес- печивает максимально возможную концеп- туальную близость именных, в частности полиарных, функций к функциям многих переменных. Содержательно различие механиз- мов суперпозиции функций многих пере- менных и полиарных функций состоит в принципиально разных возможностях ука- зать так называемые «точки входа» супер- позиционируемых функций – соответст- венно, функций ),...,(),...,,...,( 111 pns zzfyyf и },...,{},...,,...,{ 111 pns zzfyyf в соответст- вующие им суперпозиционирующие функ- ции ),...,( 1 mxxf и },...,{ 1 mxxf 4 . В первом случае такое указание осуществляется ис- ключительно посредством функциональ- ных форм, участвующих в суперпозиции функций. В случае же полиарных функ- ций, в следствие увеличения содержатель- 4 Здесь при помощи выражений },...,{},...,,...,{},,...,{ 111 psm zzyyxx мы явно специфицируем именные схемы соответствующих полиарных функций [10-13]. ности аргументов функций теперь это именные множества, отпала необходи- мость полномасштабного привлечения функциональных форм функций к изуче- нию механизмов суперпозиции 5. Здесь для осуществления суперпозиции полиарных функций },...,{},...,,...,{ 111 pns zzfyyf в полиарную функцию },...,{ 1 mxxf доста- точно указать, денотатами каких имен ар- гумента функции f будут являться значе- ния полиарных функций nff ,...,1 . С различными формальными определениями суперпозиции полиарных функций можно ознакомиться, например, в [10-14]. В данной же статье, вполне достаточно из- ложенных содержательных соображений. Отталкиваясь от них, логику применения суперпозиции функций nff ,...,1 по именам, соответственно, nii xx ,..., 1 , в функцию f можно представить такой схемой (рис. 6). 5 В этом случае роль функциональных форм огра- ничивается лишь рассмотрением механизма придания пе- ременным таких форм денотатов соответствующих им имен аргумента функции, т.е. касается лишь технических (предметных) вопросов применения полиарной функции к аргументу и в этом смысле практически никак не связана с механизмом суперпозиции. Рис. 5 >=←< ),...,1((...),(...), nkfxf kik >< +−+− mipiini xxzzxxyyxx nn ,...,,,...,,,...,,,...,,,..., 1111111 11 Придание переменным из (...)F соответствующих значений mipiini xxzzxxyyxx nn ,...,,,...,,,...,,,...,,,..., 1111111 11 +−+− Параметрическая подстановка функциональных форм (...)F )...(F Содержательная интерпретация выражения )...(F Возможный результат Теоретичні та методологічні основи програмування 16 Как видим, в отличие от предыду- щей схемы схема «именной» суперпозиции вообще не затрагивает аспектов, связанных с формами представления полиарных функций. В этом смысле данная схема се- мантико-ориентированная. Если же нам необходимо вовлечь в рассмотрение и формальные (в смысле связи с формами) аспекты полиарных функций, то это осу- ществляется конкретизацией последнего элемента схемы. Например, если для зада- ния форм представления функций исполь- зуется концепция переменной, блок при- менения полиарной функции },...,{ 1 mxxf , заданной некоторой функциональной фор- мой с переменными rXX ,...,1 (обозначим ее ),...,( 1 rXXF для краткости, а не для конкретизации), к именному множеству с допустимой схемой может выглядеть так, как показано на нижеследующей диаграме (рис. 7). Заметим, что данная схема уже не является чисто логико-семантической. Как видим, в ней выделены по крайней мере три зоны: чистая логика, чистый предмет и Рис. 6 >=←< ),...,1({...},{...}, nkfxf kki )},(),...,,(),,(),...,,( ),,(),...,,(),,(),...,,(),,(),...,,{( 1111 11111111111111 mmninipp niniiissii xxxxzzzz xxxxyyyyxxxx ++ −−++−− Формирование нового аргумента полиарной функции f )},(),...,,(}),),,(),...,,({(,( ),,(),...,,()}),,(),...,,({(,(),,(),...,,{( 1111 1111111111111111 mmninippnni niniiissiii xxxxzzzzfx xxxxyyyyfxxxxx ++ −−++−− Выполнение функции f на полученном аргументе Рис. 7 Логика процесса применения Связь имен аргумента и переменных формы },...,1{,,...,1 rkmi Xx ki ∈= >⇔< ),...,( 1 rXXF},...,{ 1 mxxf )},(),...,,(}),),,(),...,,({(,( ),,(),...,,()}),,(),...,,({(,(),,(),...,,{( 1111 1111111111111111 mmninippnni niniiissiii xxxxzzzzfx xxxxyyyyfxxxxx ++ −−++−− А- сущность ),...,( 1 rii xxF Содержательная интерпретация А-сущности ),...,( 1 rii xxF Предмет процесса применения Возможный результат Придание переменным rXX ,...,1 значений mxx ,...,1 в соответствии со связью },...,1{,,...,1, rkmiXx ki ∈=>⇔< Теоретичні та методологічні основи програмування 17 их пересечение – логико-предметная часть. Поэтому данная схема может быть специ- фицирована как логико-предметная. Итак, мы рассмотрели возможности аппарата суперпозиции полиарных функ- ций и функций многих переменных. Из приведенного анализа видно, что логика процесса «полиарной» суперпозиции более рафинирована, а значит, и природа самой «неоклассической» суперпозиции более прозрачна по сравнению с классическим случаем функций многих переменных. Кроме того, такие функции продемонстри- ровали все достоинства аппарата перемен- ных. Поэтому объединение упомянутой прозрачности суперпозиции, с одной сто- роны, и аппарата переменных, с другой, представляется в контексте сказанного прагматически мотивированным. Неклассический подход. При всей продуктивности неоклассической именной модели, прошедшей серьезную проверку временем, ей присущ довольно существен- ный недостаток – излишняя конкретность аргументов именных, в частности, полиар- ных, функций. В случае n-арных функций мы уже прибегали к подобной конкретиза- ции. Однако там, мы опирались на куда более абстрактное по сравнению с имен- ным множеством понятие кортежа. Здесь же, по необходимости, в рассмотрение во- влекаются такие очень содержательные понятия, как имя, денотат и другие. Это не могло не сказаться в конечном итоге на общности рассуждений в целом относи- тельно как n-арных, так и особенно имен- ных функций. Поэтому аппарат именных функций в этом смысле является хотя и мощной, содержательной, однако все же предметной теорией общей теории функ- ций. Ранее были рассмотрены различные точки зрения на общее понятие функции, указывались их основные позитивы и нега- тивы в контексте решения двух репрезен- тативных задач: применения функции к аргументу и генезиса функций. Исходя из проведенного анализа, есть все основания считать, что целью данного раздела должна стать неклассическая экспликация понятия функции как правила, органично сочетающая в себе основные позитивы традиционных рассмотрений. Чтобы сде- лать такую экспликацию максимально мо- тивированной, обратимся еще раз к поня- тию функции многих переменных и меха- низму ее применения. В общем случае всегда, когда речь идет о конкретных вычислениях, механизм применения некоторой функции f , пред- ставленной в виде (эпистемологической) функции многих переменных ее дескрип- цией 6, обозначаемой ),...,( 1 nxxf , к аргу- менту A выглядит, например, следующим образом (рис. 8). Как видим, приведенная общая схема применений конкретных функций к аргументам не затрагивает в полной мере способ представления дескрипции. Наобо- рот, она свободна от этой специфики. В расчет берется лишь то, что, во-первых, такая дескрипция обязательно присутст- вует в рассмотрениях и, во-вторых, для ее задания используются переменные nxx ,...,1 . Очевидно, данная схема сущест- венно проще предыдущей. Причем основ- ным, если не единственным источником усложнения «именной» схемы есть кон- кретика именного множества. Другими словами, излишняя конкретика аргумента функции проявляется в специализации ме- ханизма ее применения к аргументу. Зна- чит, сколько-нибудь значительная конкре- тизация структуры аргумента в определен- ной степени обременительна, как и тради- ционное синтактико-семантическое рас- смотрение функций многих переменных. Механизм придания значений переменным в обоих случаях играет, очевидно, не по- следнюю роль. Разнятся только подходы к его рассмотрению. В случае функций мно- гих переменных это максимально общее рассмотрение упомянутого механизма как первичного понятия. «Именному» под- 6 В частности, в качестве такой дескрипции может выступать и традиционная синтаксическая форма. Теоретичні та методологічні основи програмування 18 ходу, наоборот, характерна излишняя его конкретизация. Очевидно, что и то и дру- гое – это адекватная плата за попытку опи- сать в статике явно динамическое понятие. Суть неклассического подхода, как уже неоднократно говорилось, состоит во взаимодополнительном динамико-статиче- ском рассмотрении как собственно изу- чаемого понятия, так и связанных с ним «смежных» понятий. Концептуальное единство рассмотрения обеспечивает вве- денное нами в первом разделе статьи ос- товное понятие дескриптологии – понятие полиады. Таким образом, решение основ- ной задачи раздела – экспликации понятия функции многих переменных связано с его прагматико-обусловленной типизацией и, как следствие, обогащением понятийного остова ТПП такими понятиями, как соот- ветствие, отображение, акция, и некото- рыми другими, поддерживающими дина- мико-статическую композиционную пара- дигму. Эта проблема достаточно подробно обсуждалась, например, в работах [1, 2, 15]. Поэтому здесь ограничимся краткими определениями, комментируя их только в случае необходимости. Понятийное обогащение ТПП. Прежде всего для удобства дальнейшего изложения договоримся о следующем. Ввиду триадной природы понятия полиады есть смысл ввести специальные названия как для тех полиад, системообразующей основой которых являются традиционные понятия множества и кортежа, так и для тех, которые базируются на понятии им- пульса. Первые будем именовать S-поли- адами, вторые С-полиадами и третьи D-полиадами (англ. Set – множество, Cor- tege – кортеж, Dealing – действие) и при необходимости их явного обозначения ис- пользовать соответственно фигурные, уг- ловые и прямоугольные скобки. Тогда под соответствием будем понимать S-полиаду D-полиад. Под отображением понимаем D- полиаду (импульс), предпосылкой кото- рого является S-полиада, а последствием – соответствие, предпосылками действий (D- полиад) которого являются составляющие S-полиады. Содержательно отображение пред- ставляет собой реализацию соответствия на заранее определенной совокупности объектов. Акция – это отображение, удовле- творяющее принципу детерминированно- сти [2]. Отображения, отличные от акций будем именовать многозначными акциями. Нужно заметить, что понимание акции как импульса во многих случаях может ока- заться излишне конкретным. Поэтому на- ряду с данным пониманием используем также понятие абстрактной акции как аб- стракции импульса, вовлекающей в рас- смотрение лишь его возможное последст- вие – соответствие. >< Af , Придание переменным nxx ,...,1 из ),...,( 1 nxxf значений, индуцированных аргументом niAxA i ,...,1,: =⇐ Возможный результат Содержательная интерпретация А-сущности А-сущность ),...,( 1 naaf Рис. 8 Теоретичні та методологічні основи програмування 19 Понятие акции является важней- шим родовым понятием ТПП. Оно само уже является адекватной логико-математи- ческой моделью важнейшего интуитивного понятия частичной функции. В контексте же нашего рассмотрения представляет ин- терес отдельная конкретизация этого поня- тия – экспликация понятия функции мно- гих переменных как вида единого родового понятия функции. Чтобы осуществить со- ответствующую ТОП универсума акций необходимо предварительно сформулиро- вать определения нескольких важных по- нятий. Прежде всего, учитывая общезна- чимый (логический) характер отношения именования, индивидуализируем (выде- лим) в универсуме сущностей T универ- сум имен V . Теперь можно определить понятие номинации. Под номинацией по- нимаем импульс (D-полиаду) с предпосыл- кой из V . На основе уже проведенного обо- гащения нетрудно осуществить дальней- шее экспликативное развитие понятийной структуры, нацеленное на экспликацию понятия функции многих переменных. Это развитие включает такие понятия, как но- минативная полиада, номинативная акция, полиарная акция и презентативная акция. Номинативная полиада – это ак- циональная S-полиада номинаций. Под но- минативной акцией понимается акция, база определения которой есть S-полиада номинативных полиад. Полиарная акция – это ограничение (сужение) номинативной акции на одно- схемные наминативные полиады [2]. Экспликация понятия презентатив- ной акции требует предварительной экс- пликации ряда служебных понятий, на- пример, таких, как -v номинация, презентативное имя и др. Под -v номинацией понимаем номинацию с предпосылкой Vvv ∈, . Что же касается понятия презента- тивного имени, то его экспликация связана с прагматико-обусловленной типизацией универсума V . ТОП универсума имен. Основным свойством сущности типа имени является понимаемая в широком смысле ее способ- ность именовать собой другие сущности. Однако для дальнейших построений, в ча- стности для введения понятия презента- тивного имени, такое понимание уже из- лишне общее и, следовательно, малосо- держательно. Поэтому имеется достаточно оснований рассматривать ТОП универсума имен V через призму прагматико-мотиви- рованных индивидуализаций различных возможностей именования. В контексте прагматики данной статьи представляют интерес следующие варианты именования. Во-первых, это слу- чай, когда имя непосредственно ассоции- руется с некоторой конкретной, в этом смысле актуальной сущностью, т.е. высту- пает в роли формы, содержанием которой есть упомянутая сущность. Здесь имя представляет собой определенный индика- тор последней. Поэтому такие имена будем называть индикативными. Из сказанного, следует, что индивидуализированный в универсуме имен V универсум индикатив- ных имен IV представляет собой экспликацию неоклассического подхода к именованию, о котором уже говорилось. Во-вторых, это тип именования, при котором имя идентифицирует собой не конкретную сущность, а тип сущностей, т.е. содержательно представляет собой в терминах предыдущего случая индикатор некоторого «собирательного (репрезента- тивного) образа» сущностей именуемого типа.7 Иными словами, имя здесь не име- нует конкретный денотат – представитель соответствующего типа, а скорее презен- тует собой сущности данного типа. В связи с этим такие имена будем называть пре- зентативными, а их универсум обозначим PV . Роль презентативных имен в дескрип- 7 Данное понятие есть аналогом известного понятия общего имени. Теоретичні та методологічні основи програмування 20 тировании сущностей, например сущно- стей типа функций как законов или правил, ключевая. Проявляется она, в частности, в принципиально новой, неклассической природе номинаций презентативных имен, называемых соответственно презента- циями и -v презентациями. Под презента- цией ( -v презентацией) сущности (значе- ния, денотата) σ , понимается номинация с предпосылкой v из PV и возможным по- следствием σ . Причем эта возможность актуализируется только в том случае, ко- гда σ является сущностью презентуемого предпосылкой презентации ( -v презентации) типа. Очевидно, понятия презентации и -v презентации обеспечи- вают адекватное вскрытие динамико-ста- тической природы механизма придания значений переменным – ключевого звена в схеме применения функций к аргументам. Именно невозможность вовлечения в тра- диционном рассмотрении динамических свойств изучаемых сущностей не позво- ляло эксплицировать упомянутый, явно выраженный динамический механизм. В контексте сказанного очевидно, что семантика презентативного именова- ния самым непосредственным образом связана с семантикой функции как закона или правила. Ведь суть любого закона или правила состоит в эксплицировании суще- ствующих зависимостей и связей между определенными типами сущностей. А применение закона представляет собой процесс конкретизации сути закона к су- ществующим реалиям, в частности проду- цирования соответствующего этим реа- лиям индуцированного законом импульса. Ключевая роль в этой конкретизации отве- дена, очевидно, именно презентациям. Проще всего пояснить сказанное на репре- зентативных примерах. Предположим, что закон взаимо- действия двух числовых величин, семан- тика которого заключается в том, что одно натуральное число делится на другое нату- ральное число, представлен в виде сле- дующей дескрипции: ≡),( BAF « A поде- лить на B », где A и B – презентативные имена над типом натуральных чисел N . Тогда любая из презентаций с предпосыл- кой A или B , семантика которой состоит в осуществлении действия придания опре- деленного значения соответствующему презентативному имени проявится в кон- кретизации семантики закона или правила путем замены как в нем самом, так и в его дескрипции ),( BAF всех использований презентативной переменной – предпо- сылки презентации, возможным последст- вием этой презентативной номинации. Рассмотрим следующие презентации: a) A придать натуральное значение 3 – ]3,[ A ; b) B придать натуральное значение 5 – ]5,[B ; и установим, каким образом они, а также возможные их комбинации проявятся в контексте упомянутого закона. Обратимся сначала непосредственно к самим презен- тациям и дескриптируем их проявления. a) ]3,[ A . Проявление этой презентации выразится в продуцировании нового, более конкретного по сравнению с ис- ходным закона. Его семантика может быть выражена, например, так: нату- ральное число 3 поделить на другое натуральное число, и представлена описательной формой ≡),3( BF «3 поделить на B », где B –презентатив- ное имя над типом натуральных чисел N ; b) ]5,[B . Здесь аналогично предыдущему семантика нового закона выражается, например, так: некоторое натуральное число поделить на натуральное число 5, а его форма – )5,(AF , где A – пре- зентативное имя над типом натураль- ных чисел N ; c) ]}5,[],3,{[ BA . В предыдущих пунктах рассматривались различные случаи презентаций или, в терминах ТПП, D- полиады. Здесь рассмотрим одну из возможных комбинаций рассмотрен- ных D-полиад – S-полиаду презента- Теоретичні та методологічні основи програмування 21 ций. Проявление этой сущности выра- зится в данном случае в виде импульса (D-полиады). Его семантика может быть выражена, например, так: нату- ральное число 3 поделить на натураль- ное число 5, и представлена дескрип- цией )5,3(F . В заключение раздела отметим, что индивидуализация в универсуме V универсумов индикативных и презента- тивных имен IV , PV – это первый, но, ко- нечно, не единственный шаг ТОП. Пред- ставляет интерес, например, типизация универсума IV , позволяющая эксплициро- вать механизмы строгого, ограниченного и других типов индикативных именований. Однако для экспликации понятия презен- тативной акции вполне достаточно уже сделанного шага ТОП. Экспликация понятия презента- тивной акции. Исходя из всего изложен- ного в данном разделе статьи и отталкива- ясь от принятой нами терминологии, поня- тие презентативной акции можно экспли- цировать как ограничение полиарной ак- ции на презентативные имена. При этом следует заметить, что понятие презента- тивной акции является более абстрактным и принципиально более общим по сравне- нию как с неоклассическим понятием по- лиарной функции, так и с традиционным понятием n-арной функции. Принципиаль- ность акционального обобщения заключа- ется в его явно выраженном динамическом характере, являющемся следствием номи- нативной природы презентативных акций. Именно этот аспект обобщения, как было показано в [15], позволяет на единой ак- циональной основе эксплицировать раз- личные интуитивные динамические толко- вания самого общего понимания функции как правила и, в частности, что особенно важно, такое фундаментальное интуитив- ное понятие, как функция многих пере- менных в виде презентативной акции. При этом механизм применения функции мно- гих переменных ),...,( 1 nxxf к соответст- вующим значениям переменных nxx ,...,1 эксплицируется как процесс выполнения презентативной акции F, представленной в виде некоторой дескрипции },...,{ 1 nXXF 8 с презентативными именами nXX ,...,1 , над соответствующими презентациями. Про- иллюстрировать это можно, например, в виде нижеследующей схемы (рис. 9). При этом заметим, что она в основном совпа- дает с общей схемой применения функции как закона или правила (рис. 8). Отличие состоит лишь в том, что блок придания значений переменным предыдущей схемы эксплицирован соответствующей полиадой презентаций },...,1\|],{[ nixX ii = . Таким образом, здесь нам удалось благодаря интенсионализации рассмотре- ния не выйти за рамки принципа достаточ- ных оснований Лейбница, осуществив дей- ствительно содержательную и в то же время не обремененную спецификой кон- кретизацию понятия функции как закона или правила в виде презентативной акции. Позитивы данной экспликации проявля- ются в первую очередь в адекватном меха- низме генезиса презентативных акций, в частности в одном из основных инстру- ментов их генезиса – суперпозиции. Суперпозиция презентативных акций. Для удобства изложения предвари- тельно сделаем несколько полезных заме- чаний. Договоримся схему полиад },...,{ 1 nXX базы определения презентатив- ной акции },...,{ 1 nXXF называть ее схе- мой [2]. Кроме того, применение акции },...,{ 1 nXXF к S-полиаде презентаций ]},[],...,,{[ 11 nn xXxXs ≡ будем понимать в смысле актуализации акции },...,{ 1 nXXF 8 Здесь и далее вместо круглых скобок в обозначении презентативных акций будем использовать, по аналогии с полиарными функциями, фигурные скобки, чтобы и на уровне обозначений отразить концептуальную близость этих понятий. Теоретичні та методологічні основи програмування 22 [2] и обозначать )},,...,{( 1 sXXFAct n или коротко, в более привычной нотации – },...,{ 1 nxxF . В контексте уже сказанного оче- видно, что схема «неклассической» супер- позиции, как и «неклассического» выпол- нения акций, удовлетворяет принципу дос- таточных оснований. Ведь она, сохраняя всю необходимую содержательность, вме- сте с тем благодаря применению аппарата презентативных имен и презентаций, с од- ной стороны, оптимальным образом ис- пользует специфику дескрипции, а с дру- гой – освобождена от специфики форми- рования структуры аргумента, т.е. дейст- вительно адекватна современной прагма- тике. Схематически механизм применения суперпозиции презентативных акций },...,{},...,,...,{ 111 pks ZZFYYF или коротко – kFF ,...,1 , заданных своими дескрипциями },...,{},...,,...,{ 111 pks ZZFYYF в презентативную акцию },...,{ 1 nXXF , ко- ротко –F , представленную дескрипцией },...,{ 1 nXXF , по презентативным именам kii XX ,..., 1 , над соответствующей S-поли- адой презентаций может быть выражен приведенной ниже диаграмой (рис. 10). Что же касается формализации по- нятия суперпозиции, то, как и в «именном» случае, можно предложить довольно много различных определений, каждое из кото- рых полностью выражая смысл приведен- ной схемы, обладает тем не менее опреде- ленной, предметно-мотивированной спе- цификой. Здесь приведем лишь одно из них. Пусть },...,{},...,,...,{},,...,{ 1111 pksn ZZFYYFXXF , кратко – kFFF ,...,, 1 – презентативные ак- ции со схемами },...,{},...,,...,{},,...,{ 111 psn ZZYYXX . Тогда под −>< kii XX ,..., 1 суперпозицией будем понимать k+1-арную операцию, обозна- чаемую kii XX S ,...,1 и сопоставляющую кортежам < kFFF ,...,, 1 > презентативную акцию со схемой },...,{},...,{},...,{\},...,{ 111 1 psiin ZZYYXXXX k UU , обозначаемую ),...,,( 1 ,..., 1 k XX FFFS kii . Результатом ее применения к полиаде пре- зентаций со схемой },...,{},...,{},...,{\},...,{ 111 1 psiin ZZYYXXXX k UU является последствие импульса (если оно существует), определяемого этой полиадой как его предпосылкой. При этом презента- ции с именами из },...,{ 1 kii XX суть не про- сто импульсы придания, а являются значе- ниями операций придания [15] над им- пульсами акций kFFF ,...,, 1 , определяе- мыми полиадами презентаций с именами },...,{},...,,...,{ 11 ps ZZYY соответственно. Подытоживая все сказанное выше, проиллюстрируем ключевые моменты на простейшем примере. Рассмотрим функ- Рис. 9 >< nxxnxxf ,...,1 1 \|),...,( },...,{ 1 \|},...,1\|],{[ nXXFii nixX = Содержательная интерпретация А-сущности А-сущность },...,{ 1 nxxF Возможный результат Теоретичні та методологічні основи програмування 23 цию, заданную выражением zyx ⋅+ , где −zyx ,, переменные, принимающие, например, натуральные значения. В кон- тексте изложенного, на данную функцию естественно смотреть как на суперпозицию бинарной функции умножения в бинарную функцию сложения. Однако адекватно формализовать такое понимание, как было показано в разделе «Классический подход» данной статьи, в принципе невозможно. Очевидно, что причина этого кроется в не- адекватности прагматике синтеза функций понимания функции как n-арной функции. Не спасает от принципиальной неадекват- ности, как было показано там же, и рас- смотрение функций как функций многих переменных. Правда, природа этой неадек- ватности принципиально иная. Она связана с игнорированием принципа подчиненно- сти в части подчинения синтаксиса семан- тике. Существенным шагом в направле- нии устранения неадекватности является переход к именным функциям. Суперпози- ция, заданная в классе именных функций, как показано в разделе «Неоклассический подход» вполне согласуется с прагмати- кой, не вовлекающей в рассмотрение мо- дальностей прежде всего модальности свя- занной с различием актуального и потен- циального рассмотрения сущностей. Од- нако известно, что такие модальности иг- рают ключевую роль в современной про- блематике, прежде всего в информатике. Например, значения переменных, уточ- няемые как денотаты презентативных имен задаются не только и даже не столько ак- туально, сколько потенциально, как воз- можные последствия определенных про- цессов. Следовательно, даже неоклассиче- ская трактовка понятия функции, как пока- зано в статье, не вполне адекватна послед- ней прагматике. Это обстоятельство глав- ным образом и стимулировало переход к неклассическому рассмотрению функций – презентативным акциям, наполняющим общее понятие функции принципиально новым содержанием по сравнению даже с именными функциями. В неклассической трактовке ука- занная функция представляется в виде пре- зентативной акции со схемой },,{ ZYX . Исходя из прагматики генезиса данная ак- ция может быть представлена следующей адекватной сути суперпозицией: Рис. 10 vu kj XXFttZZFllYYFrr ttknvu knjiintplsr xXzZyY njjpks ≠−∈∀ −=∈== :},...,1{, ,,...,1},,...,{\},...,1{,,...,1,,...,1 },\|],{[},\|],{[},...,\|],{[ 1 },...,{),...,(),...,( 1111 {...}{...}, ji FXF j ← А-сущности },...,,,...,{},,...,{},...,,...,{ 11111 kkn iittpks XXxxFzzFyyF − },...,,{111 1,...,11 \|}]},...,{,[}],...,,...,{,{[ kiiknttk XXxxFpkisi zzFXyyFX − А-сущность }}...{},...,...{,,...,{ 11 ktt FFxxF kn− Содержательная интерпретация А- сущности Возможный результат Теоретичні та методологічні основи програмування 24 ≡+=≡ 11 ,),(),,( FYXYXFFгдеFFSY ZYZYF ⋅=≡ ),(1 . Заключение Ядро дескриптивных сред как сред существования сущностей, согласно прин- ципу процессональности, составляют ком- позиционные среды. Последние определя- ются процессами порождения композиций и их применений, эксплицирующими, как вытекает из результатов настоящей статьи, понятие дескриптивного процесса как ос- нову дескриптирования, в частности про- граммирования. Ввиду этого дескриптив- ные среды могут рассматриваться как дальнейшее развитие композиционной па- радигмы применительно к дескриптивным системам (ДС) как системам, эксплици- рующим дескриптирование сущностей. Программные системы – репрезентативные примеры ДС, в которых дескриптирования суть процессы построения дескрипций сущностей типа программ, т.е. являются процессами программирования. Поэтому есть достаточные основания рассматривать дескриптивные среды как совершенно ес- тественное принципиальное развитие сред композиционного программирования. Концептуально единую основу де- скриптивных сред составляет дескриптив- ная логика, по отношению к которой раз- личные специальные среды выступают как предметные расширения открытой сис- темы в рамках дескриптирования как уни- версального средства моделирования предметных областей. Логико-математиче- ский базис этого средства образуют поли- ады. Понятийный остов дескриптирования в рамках последней составляет триада по- нятий: презентативная акция, суперпози- ция и аппликация. Первое из них суть аде- кватное уточнение понятия композиции. Второе совершенно естественным образом эксплицирует порождение новых компози- ций из заданных. Наконец, третье является адекватным уточнением понятия примене- ния композиций. Системообразующей основой эпи- стемологической и логико-математической платформ в рамках динамико-статической теоретико-сущностной платформы служит ТОП. Именно последний позволил доста- точно убедительным образом, как мы на- деемся, индивидуализировать в T общезначимые типы сущностей и на этой основе создать дескриптологическую по- нятийную структуру, включающую адек- ватный аппарат порождения прикладных понятийных структур (ПС) предметных областей. Результаты прагматико-мотиви- рованного выделения таких областей и по- строения применительно к ним приклад- ных ПС, иллюстрирующих эффективное использование ТОП, предполагается осве- тить в последующих публикациях. 1. Редько В. Н . Основания дескриптологии // Кибернетика и системный анализ. – 2003. – № 5. – С.16 – 36. 2. Редько В.Н. , Редько И.В , Гришко Н.В. . Дескриптологическая среда информацион- ных технологий // Проблемы программи- рования. – 2004. – №1. – С. 65-73. 3. Редько И.В . Экспликативный базис инте- грационных сред // Там же. – №2. – С. 59- 65. 4. Лейбниц Г. В. Сочинения: В 4-х т.– М.: Изд-во «Мысль», 1982— Т. 1.— 636 с. 5. Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. – М.: Наука, 1965.— 376 с. 6. Мышкис А. Д. Лекции по высшей матема- тике. – М.: Наука, 1964. – 398 с. 7. Александров П.С. Введение в общую тео- рию множеств и функций. – М.-Л.: Гостех- издат, 1948.— 387 с. 8. Хаусдорф Ф. Теория множеств.: Пер. с нем. – М.-Л.: ОНТИ, 1937. – 234 с. 9. Черч А. Введение в математическую ло- гику: Пер. с англ. – М.: ИЛ, 1960. – Т.1 – 374 с. 10. Редько В. Н. Основания композиционного программирования // Программирование. – 1979.— № 3.— С.3-13. 11. Редько В.Н., Гришко Н.В., Редько И.В. Экс- пликативное программирование в среде логико-математических спецификаций// Тр. Первой Междунар. науч.-практ. конф. по программированию УкрПРОГ’98.— Киев, 1998.— С.71-76. Теоретичні та методологічні основи програмування 25 12. Редько И.В., Гришко Н.В. Экспликативное программирование в среде интеграции// Там же. – С. 191-196. 13. Редько В. Н. Композиционная структура программологии // Кибернетика и систем- ный анализ. – 1998.— № 4.— С.47-66. 14. Редько В. Н. Композиции программ и ком- позиционное программирование // Про- граммирование.— 1978.— № 5.— С.3-24. 15. Редько В.Н., Редько И.В. Дескриптивные системы: ретроспективы и перспективы // Вісник Київського національного університету ім.. Т.Шевченка. Сер. Фіз.- мат.науки. – 2004. – С.68-75. Получено 19.04.05 Об авторе Редько Игорь Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент. Место работы НТУУ (КПИ) 03056, Киев, проспект Победы, 37, факультет электроники, корп. 12. Тел.: 241 8039 e-mail: sms@ipnet.kiev.ua

Прагматические основания дескриптивных сред

Institution

Ähnliche Einträge