Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co

Выполнен сравнительный анализ электронной структуры и магнитных свойств сплавов замещения FexCr1−x двумя методами: зонным методом суперячейки в обратном пространстве и методом рекурсии в прямом пространстве при различных концентрациях компонентов. В обоих случаях использовался один и тот же спин-пол...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2001
Автори:	Митрохин, Ю.С., Махнева, Т.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2001
Назва видання:	Успехи физики металлов
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133379
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co / Ю.С. Митрохин, Т.М. Махнева // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 2. — С. 109–129. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133379
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1333792020-10-11T00:25:42Z Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co Митрохин, Ю.С. Махнева, Т.М. Выполнен сравнительный анализ электронной структуры и магнитных свойств сплавов замещения FexCr1−x двумя методами: зонным методом суперячейки в обратном пространстве и методом рекурсии в прямом пространстве при различных концентрациях компонентов. В обоих случаях использовался один и тот же спин-поляризованный экранированный базис линейных маффин-тин орбиталей в приближении атомной сферы (TB–LMTO–ASA). Известно, и в данной работе это показано, что зонный метод позволяет выполнить полное самосогласование, но не может исключить влияние периодических граничных условий. Кластерный метод рекурсии, наоборот, не требует трансляционной инвариантности, но в нем труднее выполнить полное самосогласование. Эти два метода взаимно дополняют друг друга и позволяют получить больше информации при расчете электронной структуры неупорядоченных систем. Основное отличие зонного расчета от кластерного состоит в том, что в последнем возникают локализованные резонансные состояния. В результате расчета показано, что при изменении концентрации компонентов происходят существенные изменения в электронной и магнитной структуре сплавов системы Fe–Cr. Максимальные изменения происходят когда концентрация одного из компонентов приближается к 30%. Отмечается, что область магнитных фазовых переходов совпадает с началом процесса расслоения в системе. Магнетизм исчезает при концентрации хрома 70% и выше. Виконано порівняльний аналіз електронної структури і магнітних властивостей сплавів заміщення exCr1−x двома методами: зонним методом суперкомірки в оберненому просторі і методом рекурсії в прямому просторі при різних концентраціях компонентів. В обох випадках використовувався один і той самий спін-поляризований екранований базис лінійних маффін-тін орбіталей у наближенні атомної сфери (TB–LMTO–ASA). Відомо, і в даній роботі це показано, що зонний метод дозволяє виконати повне самоузгодження, але не може виключити вплив періодичних граничних умов. Кластерний метод рекурсії, навпаки, не потребує трансляційної інваріантності, але в ньому важче виконати повне самоузгодження. Ці два методи взаємно доповнюють один одного і дозволяють отримати більше інформації при розрахунку електронної структури невпорядкованих систем. Основна відмінність зонного розрахунку від кластерного полягає в тому, що в останньому виникають локалізовані резонансні стани. В результаті розрахунку показано, що при зміні концентрації компонентів відбуваються істотні зміни в електронній і магнітній структурі сплавів системи Fe–Cr. Максимальні зміни відбуваються коли концентрація одного з компонентів наближається до 30%. Відзначається, що область магнітних фазових переходів співпадає з початком процесу розшарування в системі. Магнетизм зникає при концентрації хрому 70% і вище. The comparative analysis of electronic structure and magnetic properties of substitutional alloys FexCr1−x is performed by two methods — the band method of a supercell in reciprocal space and method of the recursion in direct space at different concentrations of components. In both cases, the same spin-polarized screened basis of linear muffin-tin orbitals within the atomic sphere approximation (TB–LMTO–ASA) is used. It is known, and in a given paper it is shown, that the band method allows to execute the full self-consistency, but can not eliminate the influence of periodic boundary conditions. On the contrary, the cluster method of recursion does not demand translation invariance, but within its framework it is more difficult to execute the full self-consistency. These two methods are mutually complementary and allow to obtain more information by calculation of electronic structure of disordered systems. The main difference of band calculation from cluster one is that within the latter there are localized resonance states. As a result of calculation, it is shown that with a change of concentration of components there are essential changes in electronic and magnetic structure of alloys of a system Fe–Cr. The maximum changes occur when the concentration of one of components verges towards 30%. It is noted that the area of magnetic phase transitions is congruent with the origin of phase immiscibility in a system. The magnetism disappears at a chromium concentration, which is equal to 70% and above. 2001 Article Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co / Ю.С. Митрохин, Т.М. Махнева // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 2. — С. 109–129. — Бібліогр.: 30 назв. — рос. 1608-1021 PACS: 71.15.Ap, 71.20.Be, 75.30.Kz, 75.50.Bb DOI: https://doi.org/10.15407/ufm.02.02.109 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133379 ru Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Выполнен сравнительный анализ электронной структуры и магнитных свойств сплавов замещения FexCr1−x двумя методами: зонным методом суперячейки в обратном пространстве и методом рекурсии в прямом пространстве при различных концентрациях компонентов. В обоих случаях использовался один и тот же спин-поляризованный экранированный базис линейных маффин-тин орбиталей в приближении атомной сферы (TB–LMTO–ASA). Известно, и в данной работе это показано, что зонный метод позволяет выполнить полное самосогласование, но не может исключить влияние периодических граничных условий. Кластерный метод рекурсии, наоборот, не требует трансляционной инвариантности, но в нем труднее выполнить полное самосогласование. Эти два метода взаимно дополняют друг друга и позволяют получить больше информации при расчете электронной структуры неупорядоченных систем. Основное отличие зонного расчета от кластерного состоит в том, что в последнем возникают локализованные резонансные состояния. В результате расчета показано, что при изменении концентрации компонентов происходят существенные изменения в электронной и магнитной структуре сплавов системы Fe–Cr. Максимальные изменения происходят когда концентрация одного из компонентов приближается к 30%. Отмечается, что область магнитных фазовых переходов совпадает с началом процесса расслоения в системе. Магнетизм исчезает при концентрации хрома 70% и выше.
format	Article
author	Митрохин, Ю.С. Махнева, Т.М.
spellingShingle	Митрохин, Ю.С. Махнева, Т.М. Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co Успехи физики металлов
author_facet	Митрохин, Ю.С. Махнева, Т.М.
author_sort	Митрохин, Ю.С.
title	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co
title_short	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co
title_full	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co
title_fullStr	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co
title_full_unstemmed	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co
title_sort	электронная структура и магнитные свойства сплавов системы fe-co
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2001
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133379
citation_txt	Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co / Ю.С. Митрохин, Т.М. Махнева // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 2. — С. 109–129. — Бібліогр.: 30 назв. — рос.
series	Успехи физики металлов
work_keys_str_mv	AT mitrohinûs élektronnaâstrukturaimagnitnyesvojstvasplavovsistemyfeco AT mahnevatm élektronnaâstrukturaimagnitnyesvojstvasplavovsistemyfeco
first_indexed	2025-07-09T18:53:35Z
last_indexed	2025-07-09T18:53:35Z
_version_	1837196606528552960
fulltext	109 PACS numbers: 71.15.Ap, 71.20.Be, 75.30.Kz, 75.50.Bb Ýëåêòðîííàÿ ñòðóêòóðà è ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ñïëàâîâ ñèñòåìû Fe–Cr Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà Удмуртский государственный университет, ул. Университетская, 1; 426034 Ижевск, Россия Институт прикладной механики УрО РАН, ул. Горького, 222; 426001 Ижевск, Россия Выполнен сравнительный анализ электронной структуры и магнитных свойств сплавов замещения FexCr1x двумя методами: зонным методом су- перячейки в обратном пространстве и методом рекурсии в прямом про- странстве при различных концентрациях компонентов. В обоих случаях ис- пользовался один и тот же спин-поляризованный экранированный базис линейных маффин-тин орбиталей в приближении атомной сферы (TB– LMTO–ASA). Известно, и в данной работе это показано, что зонный метод позволяет выполнить полное самосогласование, но не может исключить влияние периодических граничных условий. Кластерный метод рекурсии, наоборот, не требует трансляционной инвариантности, но в нем труднее выполнить полное самосогласование. Эти два метода взаимно дополняют друг друга и позволяют получить больше информации при расчете элек- тронной структуры неупорядоченных систем. Основное отличие зонного расчета от кластерного состоит в том, что в последнем возникают локали- зованные резонансные состояния. В результате расчета показано, что при изменении концентрации компонентов происходят существенные измене- ния в электронной и магнитной структуре сплавов системы Fe–Cr. Макси- мальные изменения происходят когда концентрация одного из компонентов приближается к 30%. Отмечается, что область магнитных фазовых перехо- дов совпадает с началом процесса расслоения в системе. Магнетизм исче- зает при концентрации хрома 70% и выше. Виконано порівняльний аналіз електронної структури і магнітних властивос- тей сплавів заміщення FexCr1x двома методами: зонним методом суперко- мірки в оберненому просторі і методом рекурсії в прямому просторі при різ- них концентраціях компонентів. В обох випадках використовувався один і той самий спін-поляризований екранований базис лінійних маффін-тін орбі- талей у наближенні атомної сфери (TB–LMTO–ASA). Відомо, і в даній роботі це показано, що зонний метод дозволяє виконати повне самоузгодження, але Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2001, т. 2, сс. 109–129 Îòòèñêè äîñòóïíû íåïîñðåäñòâåííî îò èçäàòåëÿ Ôîòîêîïèðîâàíèå ðàçðåøåíî òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëèöåíçèåé 2001 ÈÌÔ (Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû) Íàïå÷àòàíî â Óêðàèíå. 110 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà не може виключити вплив періодичних граничних умов. Кластерний метод ре- курсії, навпаки, не потребує трансляційної інваріантності, але в ньому важче виконати повне самоузгодження. Ці два методи взаємно доповнюють один одного і дозволяють отримати більше інформації при розрахунку електрон- ної структури невпорядкованих систем. Основна відмінність зонного розра- хунку від кластерного полягає в тому, що в останньому виникають локалізо- вані резонансні стани. В результаті розрахунку показано, що при зміні концен- трації компонентів відбуваються істотні зміни в електронній і магнітній струк- турі сплавів системи Fe–Cr. Максимальні зміни відбуваються коли концент- рація одного з компонентів наближається до 30%. Відзначається, що об- ласть магнітних фазових переходів співпадає з початком процесу розшару- вання в системі. Магнетизм зникає при концентрації хрому 70% і вище. The comparative analysis of electronic structure and magnetic properties of sub- stitutional alloys FexCr1x is performed by two methods—the band method of a supercell in reciprocal space and method of the recursion in direct space at dif- ferent concentrations of components. In both cases, the same spin-polarized screened basis of linear muffin-tin orbitals within the atomic sphere approxima- tion (TB–LMTO–ASA) is used. It is known, and in a given paper it is shown, that the band method allows to execute the full self-consistency, but can not eliminate the influence of periodic boundary conditions. On the contrary, the cluster method of recursion does not demand translation invariance, but within its framework it is more difficult to execute the full self-consistency. These two methods are mutu- ally complementary and allow to obtain more information by calculation of elec- tronic structure of disordered systems. The main difference of band calculation from cluster one is that within the latter there are localized resonance states. As a result of calculation, it is shown that with a change of concentration of compo- nents there are essential changes in electronic and magnetic structure of alloys of a system Fe–Cr. The maximum changes occur when the concentration of one of components verges towards 30%. It is noted that the area of magnetic phase transitions is congruent with the origin of phase immiscibility in a system. The magnetism disappears at a chromium concentration, which is equal to 70% and above. Ключевые слова: электронная и магнитная структуры, магнетизм, рас- слоение, расчеты в прямом и обратном пространстве, рекурсионный метод, «muffin-tin» приближение. (Получено 3 мая 2001 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ В последнее время внимание исследователей привлекают неупоря- доченные магнитные системы, а также дефекты в кристаллах и по- верхностные явления. Типичным представителем неупорядоченных магнитных систем является сплав замещения железо–хром. Систе- ма железо–хром представляет большой интерес как с точки зрения Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 111 металловедения ввиду важности многочисленных технических при- менений железо–хромистых сталей, так и с точки зрения фундамен- тальной науки. Наиболее важное и интересное явление — это, несо- мненно, процессы расслоения, протекающие в твердых растворах такого типа. Исследованию этого явления в системе Fe–Cr посвяще- но достаточно большое количество работ [1–7], которые, в основ- ном, являются экспериментальными. Имеется целый ряд теоретиче- ских работ по моделированию процессов расслоения в твердых рас- творах, выполненных на основе феноменологической теории Гинз- бурга–Ландау [8]. Процессы расслоения и распад твердых растворов моделировались также на атомном уровне с помощью методов мо- лекулярной динамики (ММД) и Монте-Карло (МК). Для понимания природы этого явления на атомном уровне необ- ходимо использовать, на наш взгляд, современные первопринцип- ные методы моделирования, которые основаны на использовании информации о распределении электронной плотности в моделируе- мой системе. К ним относятся метод молекулярной динамики (ММД) и Монте-Карло. Наиболее совершенные из них, которые принято на- зывать первопринципными, основаны на вычислении сил межатом- ного взаимодействия на основе теоремы Геллмана–Фейнмана, т. е. на основе знания распределения электронной плотности модели- руемой системы. Очевидно, что такой подход связан с огромными вычислительными затратами и возможен для относительно неболь- шого числа атомов в моделируемой системе и требует для своего решения наличия мощных суперкомпьютеров. Электронная структура этого сплава изучена не достаточно хоро- шо. Наиболее серьезный расчет методом когерентного потенциала выполнен в работе [11]. Очевидно, что процессы расслоения связаны с существенными изменениями в атомной и электронной структуре сплава. Для пони- мания природы этого явления на атомном уроне необходимо при- влечение современных теоретических методов исследования, кото- рые принято называть численным экспериментом. В последнее время появилось довольно много методов модели- рования [9] которые являются промежуточными между первоприн- ципными и классическими методами ММД и МК. В литературе их принято называть полуэмпирическими. В этих методах силы меж- атомного взаимодействия вычисляются с помощью различного на- бора параметров, которые определяются либо из первопринципных расчетов электронной подсистемы, либо из эксперимента. Силы межатомного взаимодействия в этих методах оказываются близки к силам, получаемым в первопринципных ММД и МК, но по вычисли- тельным затратам полуэмпирические методы сравнимы с классиче- скими методами моделирования и, следовательно, могут быть реа- лизованы на серийных персональных компьютерах. Для реализации 112 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà этих методов, очевидно, нужно иметь возможность расчета элек- тронной структуры неупорядоченных систем. Эта проблема успешно решена, но, тем не менее, все еще представляет довольно трудную задачу, особенно, если в системе возможен топологический беспо- рядок. В настоящее время для расчета электронной структуры неупоря- доченных систем разработаны различные методы. Каждый из них имеет свои достоинства и недостатки. При расчете электронной структуры сплавов замещения широко используется метод когерент- ного потенциала [10]. Этот метод сводит задачу неупорядоченного сплава замещения к задаче периодического кристалла с эффектив- ным потенциалом, который получается путем конфигурационного усреднения. Реалистичный расчет электронной структуры в системе Fe–Cr методом когерентного потенциала выполнен в работе [11]. Однако, при наличии топологического беспорядка необходимо ис- пользовать другие методы. После появления высокоэффективных линейных зонных методов расчета электронной структуры твердых тел стало возможно рассчи- тывать аморфные сплавы методом суперячейки. В этом случае бе- рется большая кристаллическая ячейка (50–100 атомов) внутри ко- торой атомы могут, в принципе, занимать произвольное положение. После этого задача решается обычным образом, но при этом прихо- дится иметь дело с матрицей большого порядка. В работе [12] пока- зано, что при наличии 60 атомов в суперячейке этот метод дает пра- вильное распределение электронной плотности, а при 150 атомах можно рассчитывать транспортные свойства неупорядоченной сис- темы. Очевидно, в зонных методах расчета используются периодиче- ские граничные условия, которые не имеют места в неупорядочен- ных системах. В последнее время получили широкое распростране- ние кластерные методы расчета электронной и атомной структуры в прямом пространстве, в которых не требуется выполнение периоди- ческих граничных условий. Наиболее эффективным из них является метод рекурсии Хайдока [13]. Суть этого метода состоит в том, что после того, как рассчитаны матричные элементы гамильтониана, ло- кальная плотность состояний (LDOS) для любого атома кластера вычисляется как мнимая часть функции Грина, которая, в свою оче- редь, может быть записана в виде бесконечной цепной дроби. Эта бесконечная дробь обрывается на некотором уровне, который назы- вается уровнем рекурсии. Эффективность и удобство этого метода состоит в том, что, в отличие от зонного расчета, в нем не нужно решать задачу на собственные значения для матрицы большой раз- мерности, а вычисление плотности состояний с помощью цепных дробей происходит достаточно быстро. Полная плотность состояний (TDOS) находится путем усреднения локальных плотностей состоя- Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 113 ний по центральной части кластера. Зонный метод обеспечивает полное самосогласование, но не мо- жет исключить влияние на результат периодических граничных ус- ловий. Кластерный метод рекурсии, наоборот, не требует транс- ляционной инвариантности, но в нем сложнее обеспечить полное самосогласование. Для этого нужно проводить усреднение плотно- сти состояний по всем атомам кластера. Обычно процедура самосо- гласования проводится по центральной части кластера (20–30 ато- мов) для уменьшения вычислительных затрат. Эти два метода вза- имно дополняют друг друга и позволяют получить более достовер- ные результаты по электронной структуре неупорядоченных систем. В данной работе электронная и магнитная структура сплава Fe–Cr рассчитана двумя методами: зонным методом в обратном простран- стве и кластерным методом рекурсии в прямом пространстве. Среди зонных методов наибольшей популярностью пользуется линейный метод маффин-тин орбиталей в приближении атомной сферы (LMTO–ASA), предложенный О. К. Андерсеном [14]. Хорошо извест- но, что выбор базиса имеет решающее значение при реализации численных методов расчета электронной структуры. В работах [15, 16] был предложен экранированный LMTO базис в приближении атомной сферы (TB–LMTO–ASA). Этот базис обладает такими же свойствами симметрии, как и метод линейных комбинаций атомных орбиталей, но в отличие от последнего не требует вычисления большого числа многоцентровых интегралов. Гамильтониан в этом базисе имеет вид одноэлектронного гамильтониана метода сильной связи и его параметры имеют ясный физический смысл. Этот базис также позволяет учитывать ковалентный характер связей и несфе- рическое распределение электронной плотности. В предлагаемой работе использовался один и тот же минимальный набор базисных функций как в зонном, так и в кластерном расчетах. Введение структурных констант [14] позволило отделить структур- ную часть задачи от потенциальной части и это также способствовало значительному уменьшению вычислительных затрат, так как в про- цессе самосогласования нужно было вычислять только ту часть мат- ричных элементов гамильтониана, которая зависит от потенциальных параметров задачи. На сегодняшний день метод TB–LMTO–ASA яв- ляется наиболее быстрым и экономичным методом расчета электрон- ной структуры с минимальным базисом: девять базисных функций для s-, p-, d-состояний на один атом. Его эффективность и точность про- верены на многочисленных объектах. 2. TB–LMTO–ASA ФОРМАЛИЗМ Для реализации самосогласованного метoда рекурсии лучше всего 114 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà подходит TB–LMTO–ASA формализм. Методы зонных расчетов в ба- зисе TB–LMTO–ASA широко известны и подробно описаны в литера- туре [17–19]. В основе этого подхода лежат два основных приближе- ния. Первое состоит в следующем: вокруг каждого атома строится ячейка Вигнера–Зейтца (WS); в случае некристаллических кластеров это будут полиэдры Вороного. Затем эти ячейки заменяются MT- сферами равного им объема. Это приближение носит название ASA (Atomic Sphere Approximation). Внутри каждой неэквивалентной MT- сферы численно решается уравнение Шредингера: (H  E)  0. (1) В результате этого находится значение волновой функции  (E, r) (E, r)Y(r) (2) и ее логарифмической производной  (E, r)на границе MT-сферы. В межсферной области в качестве базисных функций берутся сфери- ческие гармоники с радиальной частью в виде функций Бесселя и Ханкеля, т. е. берутся решения уравнения Лапласа. На границе каж- дой MT-сферы внутренние и внешние функции гладко сшиваются. Второе приближение является общим для всех линейных мето- дов. Оно состоит в том, что энергетически зависимые базисные вол- новые функции разлагаются в ряд Тейлора относительно некоторой энергии E, которая обычно является центром тяжести соответст- вующей парциальной плотности состояний (PDOS). В результате этого базис становится независимым от энергии, и задача расчета электронной структуры кристалла сводится к обобщенной проблеме собственных значений. Центральное место в МТ-приближении занимает теорема о раз- ложении сферических гармоник относительно разных центров. Из- вестно, что нерегулярное в нуле решение уравнения Лапласа ведет себя как \|K0  \| Rr   \| l1 , т. е. вне сферы оно является регулярной функцией и может быть выражено через регулярные решения с центрами на других атомах. Регулярные решения уравнения Лапласа ведут себя как J0   Rr    l . Если ввести масштабный множитель aи обозначить через r   Rr   , Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 115 то можно записать следующую формулу разложения для сфериче- ских гармоник: 0 , 1 )12(2 )( )( RLLR L l L L l S l rY a r rY a r                 , (3) где L  (l, m), а S 0 R'L',RL– матрица структурных констант. Эти структур- ные константы имеют два очень существенных для расчета свойст- ва. Во-первых, они не зависят от масштабного множителя a, во- вторых, от энергии, т. е. определяются только геометрией располо- жения атомов в пространстве. Это позволяет естественным образом отделить структурную часть расчета от энергетической, что очень существенно уменьшает вычислительные затраты. Структурные константы фактически являются интегралами перекрытия базисных функций. Они вычисляются заранее один раз и запоминаются на диске в виде двоичного файла. Матричные элементы структурных констант убывают с расстояни- ем, как r 2l1 . Очевидно, что для s- (l  0)и p- состояний (l  1) такое убывание может оказаться недостаточно быстрым. О. К. Андерсен и О. Джепсен [16, 19] предложили построить новый, так называемый, экранированный базис, который является линейной комбинацией исходных базисных функций: K   K0(1  S 0 )J0S 0 . (4) Введение параметра экранирования  позволяет, во-первых, сде- лать гамильтониан более короткодействующим, а, во-вторых, экра- нированный базис позволяет лучше учесть геометрию задачи, так как он фактически обладает всеми свойствами метода линейной комбинации атомных орбиталей (LCAO). Именно поэтому в названии метода фигурирует сокращение TB (Tight Binding). Это позволяет более корректно описывать ковалентные связи. Существует три представления TB–LMTO–ASA. Первое представ- ление — стандартное, второе — ортогональное (ему соответствуют величины без чеpты [16]): в нем параметрl выбирается таким обра- зом, чтобы матрица перекрытия базисных функций S была почти ортогональна. Третье или TB-представление строится таким обра- зом, чтобы гамильтониан задачи был максимально корот- кодействующим. В нем параметрlвыбирается так, чтобы можно было ограничиться взаимодействием с первыми или вторыми бли- жайшими соседями. Волновая функция  в этом представлении имеет следующий вид:    lR RllRRLlRRLRRlRRl hrYrYrr , ,)()()()(  (5) 116 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà где функции  (r)и   (r)определенны внутри МТ-сферы и являются линейной комбинацией решения уравнения Шредингера и его про- изводной по энергии  , при значении энергии E  E: )()( rr RlRl  , RlRlRlRl rrr  )()()(  . Матрица структурных констант S для ТВ-представления выража- ется через матрицу S 0 c помощью уравнения Дайсона: S  S 0 (I  S) 1 , (6) где I — единичная матрица. В методе рекурсии матрица S находит- ся путем численного обращения матрицы (I  S) 1 и итерационного решения уравнения Дайсона (6). Параметры  находятся или эмпи- рически, или с помощью методов многомерной оптимизации. В ра- боте [16] авторы предлагают следующие значения для параметра :  s  0,3485; p  0,05303; d  0,010714. В результате гамильтониан задачи может быть выражен через стру- ктурные константы S и потенциальные параметры C и  в виде H  C   1/2 S 1/2 , (7) где C — центр зоны, а  — ширина зоны. Эти параметры выражают- ся через значение радиальной части волновой функции и ее лога- рифмической производной на МТ-сфере. Они получаются в резуль- тате расчета атомной части задачи. Гамильтониан (7) является при- ближением первого порядка по разложению (E  E). Он также может быть записан в другой форме: hEH v )1( . (8) Гамильтониан второго порядка может быть записан в виде: hhhEH v )2( . (9) Волновая функция в первом порядке по (E  E) может быть записана в виде:  ( , ) ( ) ( )  ( ) ( ) , E r r E E r Y rlv v lv L R L       . (10) По форме эта формула совпадает с разложением волновой функции  в ряд Тейлора до членов первого порядка. Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 117 3. СХЕМА САМОСОГЛАСОВАННОГО РАСЧЕТА В ПРЯМОМ ПРОСТРАНСТВЕ 3.1. Метод рекурсии Метод рекурсии позволяет численно определить диагональный эле- мент функции Грина и затем вычислить локальную плотность со- стояний (LDOS) по формуле: nl(E)  ImG00(E  i )/. (11) Основная идея метода состоит в том, что для заданного в виде мат- рицы n-го порядка гамильтониана H строится ортогональный базис, в котором он имеет трехдиагональную форму в виде матрицы Якоби:                 432 321 11 bab bab ba H (12) В качестве исходного вектора берется орбиталь на выбранном узле, для которого нужно вычислить LDOS. Если обозначить через u0 n- мерный вектор начального приближения, то остальные векторы на- ходятся по рекуррентным формулам: b 2 0  u0u0, a 2 n  unHun/unun, (13) un1  (H  an)un  b 2 nun1, b 2 n1  un1un1/unun. Исходный вектор u0 состоит из нулей, кроме одного элемента, рав- ного 1, который соответствует выбранному узлу. Тогда: G00(E)  u0(E  H) 1 u0  m(E)  in(E)    b 2 0/(E  a0  b 2 1)/…  b 2 n1/{E  an1  b 2 n t(E)}, где функция t(E) называется терминатором и служит для обрывания бесконечной цепной дроби на определенном уровне, который назы- вается уровнем рекурсии. Для простых случаев, когда в DOS нет разрывов (gap), применяется терминатор «square root»: 2 22 2 4)( )(     b baEaE Et . 118 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà Процедура нахождения асимптотических значений a, b определя- ется алгоритмом Бира и Петифора [23]. При наличии разрывов в DOS необходимо использовать более сложный терминатор Некса [24]. Он требует примерно в три раза больше машинного времени, но дает более точные результаты. В базисе TB–LMTO–ASA задача естественным образом разделя- ется на две независимые части: «атомную часть» и SCF-часть. Пе- ред началом расчета с помощью независимой программы вычисля- ются матрицы структурных констант S R'L',RL для всех возможных комбинаций пар атомов R  , R  . Для каждой текущей пары атомов матрица S R'L',RL имеет размерность 99, при учете s-, p-, d- состояний. Матрица структурных констант для рассматриваемого атома и его ближайших соседей получается путем решения уравне- ния Дайсона (6). Уравнение Дайсона решается методом итераций, а обратная матрица находится методом обращения с использованием QR-разложения. Размер обращаемой матрицы равен 99(n  1), где n — число ближайших соседей для текущего атома. Оно задается с помощью сферы радиуса Rmax и зависит от рассматриваемой струк- туры. Обычно число ближайших соседей лежит в интервале n  10– 30. После расчета структурные константы записываются на диск в виде двоичного файла. Потенциальные параметры гамильтониана могут быть рассчитаны в схеме функционала электронной плотности [21]. Они получаются в результате решения «атомной» части задачи, которая решается точ- но так же, как и в зонных расчетах. Потенциал внутри МТ-сферы и потенциальные параметры однозначно определяются, если заданы числа заполнения для s-, p-, d-состояний, а также если заданы мо- менты плотности состояний на выбранном узле. Моменты плотности состояний определяются формулой:   FE l q lv q l dEEnEEm )()()( , (14) где nl(E) — парциальная плотность состояний. Зарядовая плотность выражается через моменты плотности состояний следующим обра- зом:   },)()()(2)( )()(2)({ 4 1 )( )2(22 )1()0(2 llllll llllll mprrrr mrrmrr       (15) где  — параметр перекрытия базисных функций, а pl комбиниро- ванный параметр, определяемый логарифмической производной Dl и главным квантовым числом n: pl  1/2  arctg(Dl)/  n. (16) Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 119 Перед началом расчета задается первое приближение для момен- тов m (q) l и числа pl. После задания начального приближения для мо- ментов и логарифмических производных (pl), для каждой неэквива- лентной сферы рассчитываются потенциальные параметры C, Dl, в атомной части программы. Затем по этим параметрам строится гамильтониан по формуле (7) и рассчитываются его матричные эле- менты. Проблема нахождения его собственных значений и вычисле- ние парциальных плотностей состояний (PDOS) решается методом рекурсии. Затем по найденным PDOS вычисляются моменты плот- ности состояний по формуле (14) и новые значения для El и pl. Для получения новых значений моментов используются схемы смешива- ния Андерсена [19] или Бройдена [25]. Итерационный процесс по- вторяется до тех пор, пока среднеквадратичная разница в моментах и разница по энергиям в двух соседних итерациях не станет меньше заранее заданных величин: m и E. Описанная выше схема самосогласованного расчета реализована автором (Ю. М.) в виде программы на ФОРТРАНе в операционной системе LINUX [26]. 4. СХЕМА САМОСОГЛАСОВАННОГО РАСЧЕТА В ОБРАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Расчет в обратном пространстве отличается от расчета в прямом пространстве способом вычисления плотности состояний. Здесь по- сле вычисления матричных элементов гамильтониана решается за- дача на собственные значения и после этого вычисляются полная и парциальные плотности состояний методом тетраэдров. В обеих случаях используется один и тот же базис TB–LMTO–ASA, что об- легчает сравнение результатов. Детали зонного расчета методом TB–LMTO–ASA подробно описаны в литературе [17–20] и здесь не приводятся. 5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА 5.1. Тестовый расчет для ОЦК-железа В качестве теста для проверки правильности расчетов в прямом пространстве методом рекурсии можно использовать два предель- ных варианта системы Fe–Cr, когда концентрация одного из компо- нентов равна 100%. На Рис. 1 приведены результаты такого расчета для чистого ОЦК-железа. Верхняя кривая получена методом рекур- сии с гамильтонианом второго порядка. Нижняя кривая получена зонным методом. Из Рис. 1 видно, что кривые совпадают по ширине и положению основных пиков, хотя по форме несколько отличаются. 120 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà Это отличие связано с разным способом расчета плотности состоя- ний. 5.2. Зонный метод суперячейки Для проведения расчета электронной структуры зонным методом была выбрана простая кубическая ячейка содержащая 54 атома. Ко- ординаты этих атомов совпадали с координатами исходной ОЦК- Рисунок 1. Сравнительный расчет полной плотности состояний ОЦК-железа в прямом (верхний рисунок) и обратном (нижний рисунок) пространствах. Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 121 решетки, а заполнение узлов производилось случайным образом с помощью генератора случайных чисел. Постоянная ОЦК-решетки была равна 5,429 a. u. Радиусы атомных сфер для железа и хрома были выбраны одинаковыми и равными 2,673 а. u. Расчеты кривой полной плотности состояний (TDOS) были выполнены для различ- ных концентраций железа и хрома с интервалом 5–10%. Спин- поляризованный расчет позволяет одновременно получать как ло- кальные магнитные моменты на каждом атоме в ячейке, так и сред- ний магнитный момент на атом и на ячейку. Эти результаты приве- дены в Табл. 1 и на Рис. 2. Для достижения сходимости требовалось в среднем 30–40 итераций. Из Табл. 1 и Рис. 2, 3 видно, что с увеличением концентрации хрома происходит существенная перестройка электронной и магнит- ной структуры сплава. Магнитный момент на атомах хрома при ма- лых концентрациях хрома имеет противоположное направление по отношению к магнитному моменту на атомах железа, что соответст- вует экспериментальным данным по рассеянию нейтронов [29]. При концентрации хрома 30% магнитный момент на его атомах меняет знак и совпадает по направлению с магнитным моментом на атомах железа. При дальнейшем увеличении концентрации хрома до 40% его магнитный момент опять меняет знак и снова становится анти- ТАБЛИЦА 1. Зависимость магнитных моментов от концентрации компонен- тов. № Cr (%)  (Fe)  (Cr) (avr) (sum) 1 0 2,261 2,261 122,094 2 5 2,398 1,373 2,188 118,179 3 10 2,322 1,170 1,999 107,942 4 15 2,268 0,824 1,810 97,757 5 20 2,225 0,666 1,690 91,248 6 30 2,208 0,363 1,666 89,706 7 40 2,114 0,143 1,194 64,495 8 50 2,075 0,086 1,068 57,675 9 60 2,029 0,039 0,796 43,394 10 70 0 0 0 0 11 80 0 0 0 0 12 90 0 0 0 0 13 100 0 0 0 0 122 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà параллелен магнитному моменту на атомах железа. Таким образом, расчет подтверждает наличие магнитных фазовых переходов, что соответствует фазовой диаграмме состояния, приведенной на Рис. 500 в [28]. При этом средний магнитный момент уменьшается c увели- чением концентрации хрома (Рис. 2). Таким образом, мы наблюдаем в этой системе конкуренцию двух механизмов обмена: ферромагнит- ный и антиферромагнитный. Эта тенденция наблюдалась и другими авторами в неупорядоченных системах [12]. Из расчета следует так- же, что магнетизм в системе Fe–Cr исчезает при 70% хрома, что хо- рошо совпадает с экспериментальными данными по магнитной про- ницаемости [5]. Следует также заметить, что спинодальный распад в сплаве Fe– Cr, как уже отмечалось, наблюдается при концентрации хрома 10– 30%. Можно сделать предположение, что этот процесс возникает в следствие сильного изменения электронной структуры, которая в свою очередь вызвана изменением атомной структуры из-за измене- ния концентрации компонентов. Именно при этих концентрациях экс- периментально наблюдается начинается процесс расслоения в твердом растворе Fe–Cr. 5.3. Метод рекурсии Для расчета в прямом пространстве были взяты три кластера, со- стоящие из 447, 729 и 1024 атомов. Они были получены следующим Рисунок 2. Концентрационная зависимость атомных магнитных моментов и среднего магнитного момента на атом в сплаве Fe–Cr (зонный расчет). Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 123 образом: в кристалле железа с ОЦК-решеткой выбиралась сфера определенного радиуса, те атомы кристалла, которые попадали внутрь этой сферы, образовывали кластер, а остальная часть кри- сталла отбрасывалась. Три кластера с разным числом атомов были взяты для проверки зависимости результатов расчета от размера кластера. В результате тестовых расчетов было установлено, что для этих Cr 0% Cr 10% Cr 15% Cr 20% Cr 30% Cr 40% Рисунок 3. Зависимость полной плотности состояний (TDOS) сплава Fe–Cr от атомной концентрации компонентов (зонный расчет). Вертикальная пун- ктирная линия — уровень Ферми. 124 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà трех кластеров результаты расчета практически не зависят от раз- меров кластера. Для уменьшения вычислительных затрат все даль- нейшие расчеты были выполнены на кластере, состоящем из 447 атомов. Атомная структура сплава замещения при различных концентра- циях железа и хрома моделировалась путем размещения атомов разного сорта по узлам кластера с помощью генератора случайных чисел в соответствии с концентрациями компонентов. Cr 50% Cr 60% Cr 70% Cr 80% Cr 90% Cr 100% Рисунок 3 (продолжение). Зависимость плотности состояний (TDOS) спла- ва Fe–Cr от атомной концентрации компонентов (зонный расчет). Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 125 Результаты расчетов методом рекурсии приведены на Pис. 4. Из ри- сунка видно, что метод рекурсии приводит к появлению локализован- ных резонансных состояний, которые проявляются в виде узкого и вы- сокого пика на расстоянии около одного ридберга ниже дна полосы проводимости. Максимальное расстояние от этого пика до уровня Ферми составляет 2,2 Ry при концентрации хрома 5%. Из анализа парциальных плотностей состояний следует, что этот Cr 0% Cr 10% Cr 15% Cr 20% Cr 30% Cr 40% Рисунок 4. Зависимость полной плотности состояний (TDOS) сплава Fe–Cr от атомной концентрации компонентов (метод рекурсии). 126 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà пик локализованных состояний образован из d-состояний хрома. При дальнейшем увеличении концентрации хрома этот пик начинает приближаться к полосе проводимости, его ширина увеличивается, а высота уменьшается. При 25% хрома он сливается с основной кри- вой плотности состояний. Аналогичная картина наблюдается в интервале концентраций Cr 50% Cr 60% Cr 70% Cr 80% Cr 90% Cr 100% Рисунок 4 (продолжение). Зависимость полной плотности состояний (TDOS) сплава Fe–Cr от атомной концентрации компонентов (метод рекур- сии). Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 127 хрома 60–80%. Только теперь локализованные состояния образуют- ся из d-состояний железа. Такие резонансные состояния возникают в неупорядоченных сис- темах в результате нарушения трансляционной симметрии, а также в результате разного положения d-уровней в атомах железа и хрома. Они хорошо изучены на модельных системах и подробно описаны в монографии [27]. Наибольшее отщепление локализованного состоя- ния от основной полосы происходит при максимальной разности концентраций компонентов, т. е. при наличии одного атома примеси в матрице. Однако, в численном расчете такие состояния трудно обнаружить, т. к. они имеют дельтаобразную форму. В зонном расчете локализо- ванные состояния не появляются из-за наличия периодических гра- ничных условий. В этом состоит основное отличие кластерного рас- чета от кристаллического. 6. ВЫВОДЫ Использованная в работе методология расчета (TB–LMTO–ASA, RS–LMTO–ASA) является наиболее универсальной, экономичной и может быть рекомендована для проведения расчета реальных не- упорядоченных систем на серийных персональных компьютерах. На основе этого подхода выполнен расчет электронной структу- ры неупорядоченного сплава замещения Fe–Cr в широком интер- вале концентраций. Установлено, что в области концентраций 20– 30% и 60–80% хрома наблюдаются максимальные изменения в электронной структуре. В этих же областях концентраций с помо- щью метода рекурсии установлено наличие локализованных со- стояний. На основе полученных результатов можно сделать предположе- ние, что такие существенные изменения в электронной структуре сплавов Fe–Cr могут быть причиной возникновения процесса рас- слоения. Для понимания механизма этого процесса на атомном уровне необходимо выполнить моделирование атомной структуры этого сплава методами молекулярной динамики или Монте-Карло. Знание электронной структуры может помочь в вычислении пара- метров межатомного взаимодействия. Данная работа может рас- сматриваться как первый шаг в этом направлении. Магнитная струк- тура сплавов исследуемой системы лучше воспроизводится в зон- ном методе расчета. В области концентраций 20–30% хрома полу- чены магнитные фазовые переходы. Вычисленные магнитные мо- менты на атомах железа и хрома близки к экспериментальным зна- чениям. Магнетизм в системе Fe–Cr исчезает при 70% хрома, что также хорошо согласуется с экспериментальными данными. 128 Þ. Ñ. Ìèòðîõèí, Ò. Ì. Ìàõíåâà БЛАГОДАРНОСТИ Работа выполнена по программе «Государственная поддержка инте- грации высшего образования и фундаментальной науки на 1997– 2000 гг.» (проект № A-0015). Автор (Ю. М.) выражает глубокую бла- годарность О. К. Андерсену, О. Джепсену и А. Буркхардту за предос- тавленный исходный код программы TB–LMTO–ASA. ЛИТЕРАТУРА 1. A. J. Lena and M. F. Hawker, J. of Metals, 5: 607 (1954). 2. М. В. Дехтяр, Физ. мет. металловед., 18, вып. 6: 826 (1964). 3. B. Cina and J. D. Lavender, J. of the Jron and Steel Inst., 6: 97 (1953). 4. J. M. Hyde, A. Cerezo et al., Surface Sci., 266: 370 (1992). 5. Н. Н. Курнаков, Изв. Сектора физ.-хим анализа, АН СССР, 9: 85 (1936). 6. Е. З. Винтайкин, А. А. Лошманов, Физ. мет. металловед., 22, вып. 3: 473 (1966). 7. Е. З. Винтайкин, В. Ю. Колонцов, Материалы Симпозиума по металлургии и металловедению 1968 года (Москва: 1971). 8. M. J. S. Langer, M. Baron, and H. D. Miller, Phys. Rev. A, 11, No. 4: 1417 (1975). 9. A. N. Andriotis, M. Menon, G. E. Froukadis, and J. E. Lowther, Chem. Phys. Lett., 301: 503 (1999). 10. B. Velicky, S. Kirkpatrick, and H. Ehrenreich, Phys. Rev., 175: 747 (1968). 11. В. И. Анисимов, В. Г. Вакс, Г. А. Суслопаров, Физ. тверд. тела, 32, №3: 916 (1990). 12. J. Hufner, M. Tegze, and Ch. Becker, Phys. Rev. B, 49, No. 1: 285 (1994). 13. R. Haydock, The Recursion Solution of the Schrödinger Equation, in Solid State Physics (Ed. by F. Setz and D. Turnbull) (New York: Academic Press: 1980), vol. 35, p. 213–294. 14. O. K. Andersen, Phys. Rev. B, 12, No. 12: 3060 (1975). 15. O. K. Andersen and O. Jepsen, Phys. Rev. Lett., 53: 2571 (1984). 16. O. K. Andersen, Z. Pawlowska, and O. Jepsen, Phys. Rev. B, 34: 5253 (1986). 17. O. K. Andersen, O. Jepsen, and D. Glotzel, in Highlights of Condensed-Matter Theory (Ed. by F. Bassani, F. Fumi, and M. P. Tosi) (New York: North-Holland: 1985). 18. O. K. Andersen, in The Electronic Structure of Complex Systems (Ed. by P. Phariseau and W. M. Temmerman) (New York: Plenum Publishing Corporation: 1984). 19. O. K. Andersen, O. Jepsen, and M. Sob, in Electronic Band Structure and Its Ap- plications (Ed. by M. Yussouff) (Berlin: Springer-Verlag: 1986). 20. H. L. Skriver, The LMTO Method (Berlin: Springer-Verlag: 1984). 21. U. Bath and L. Hedin, J. Phys., 5, No. 13: 1629 (1972). 22. H. J. Nowak, O. K. Andersen, T. Fujiwara, O. Jepsen, and P. Vargas, Phys Rev. B, 44, No. 8: 3577 (1991). 23. N. Beer and D. G. Pettifor, in The Electronic Structure of Complex Systems (Ed. by P. Phariseau, W. M. Tammerman) (New York: Plenum: 1983). 24. C. M. M. Nex, Computer Phys. Comm., 34: 101 (1984). 25. D. Vanderbilt and S. G. Louie, Phys. Rev. B, 30, 6118 (1984). Электронная структура и магнитные свойства сплава системы Fe–Cr 129 26. Ю. С. Митрохин, Самосогласованный расчет электронной структуры кла- стеров в прямом пространстве методом рекурсии. Программный комплекс RS–LMTO–ASA, Кластерные системы и материалы (Ижевск: 1997), с. 185– 197. 27. Г. Эренрейх, Л. Шварц, Электронная структура сплавов (Москва: Мир: 1979). 28. А. Е. Вол, Строение и свойства двойных металлических систем (Москва: Физ.-мат. лит.: 1962), т. 2. 29. A. T. Aldrer, B. D. Rainfold, J. S. Kouvel, and T. J. Hicks, Phys. Rev. B, 14, No. 1: 228 (1976). 30. Ю. А. Дорофеев, А. З. Меньшиков, Г. А. Такзей, Физ. мет. металловед., 55, вып. 5: 948 (1983).

Электронная структура и магнитные свойства сплавов системы Fe-Co

Репозитарії

Схожі ресурси