Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках

Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках

Проведен обзор работ в области динамического рассеяния рентгеновских лучей в гетероэпитаксиальных и акустических сверхрешетках. Рассмотрены основные подходы к описанию динамической дифракции в металлических и полупроводниковых сверхрешетках. Специальное внимание уделено формализму зон устойчивых и н...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2001
Hauptverfasser: Дышеков, А.А., Хапачев, Ю.П.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2001
Schriftenreihe:Успехи физики металлов
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133384
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках / А.А. Дышеков, Ю.П. Хапачев // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 4. — С. 281-350. — Бібліогр.: 116 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133384
record_format dspace
spelling irk-123456789-1333842018-05-26T03:03:36Z Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках Дышеков, А.А. Хапачев, Ю.П. Проведен обзор работ в области динамического рассеяния рентгеновских лучей в гетероэпитаксиальных и акустических сверхрешетках. Рассмотрены основные подходы к описанию динамической дифракции в металлических и полупроводниковых сверхрешетках. Специальное внимание уделено формализму зон устойчивых и неустойчивых решений системы уравнений Такаги для сверхрешеток. Данный формализм основан на методах качественной теории дифференциальных уравнений. Изложены общие качественные подходы к анализу особенностей дифракции в сверхрешетках различных моделей, которые основаны на концепции единой параметризации характеристик сверхрешетки и волнового поля. Формализм зонных диаграмм позволил классифицировать параметры теории динамической дифракции в сверхрешетках на «внешние» и «внутренние». Развитый формализм позволяет определять структурные характеристики сверхрешетки по виду кривой дифракционного отражения. Дано огляд робіт в області динамічного розсіювання рентгенівських променів у гетероепітаксіальних й акустичних надгратках. Розглянуто основні підходи до опису динамічної дифракції в металевих і напівпровідникових надгратках. Спеціальну увагу приділено формалізму зон стійких і нестійких рішень системи рівнянь Такаги для надграток. Даний формалізм заснований на методах якісної теорії диференціальних рівнянь. Викладено загальні якісні підходи до аналізу особливостей дифракції у надгратках різноманітних моделей, що засновані на концепції єдиної параметризації характеристик надгратки і хвильового поля. Формалізм зонних діаграм дозволив класифікувати параметри теорії динамічної дифракції у надгратках на «зовнішні» та «внутрішні». Розвинутий формалізм дозволяє визначати структурні характеристики надгратки за виглядом кривої дифракційного відбиття. The review of activities is held in the field of dynamical scattering of X-rays in heteroepitaxial and acoustic superlattices. The main approaches to the description of dynamical diffraction in metallic and semiconducting superlattices are reviewed. The special attention is given to a formalism of zones of the steady and unstable solutions of a set of Takagi equations for superlattices. The given formalism is based on methods of the qualitative theory of differential equations. The general qualitative approaches to the analysis of salient features of diffraction in superlattices of different models are explained; they are based on the concept of unified parametrization of the characteristics of a superlattice and wave field. The formalism of the zonal diagrams has allowed to categorize parameters of the theory of dynamic diffraction in superlattices on ‘external’ and ‘internal’ parameters. The advanced formalism allows to determine the structural characteristics of a superlattice by the form of diffraction-reflection curve. 2001 Article Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках / А.А. Дышеков, Ю.П. Хапачев // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 4. — С. 281-350. — Бібліогр.: 116 назв. — рос. 1608-1021 PACS: 61.10.Dp, 61.10.Kw, 61.72.Ff, 02.30.Hq, 02.30.Mv, 02.30.Oz DOI: https://doi.org/10.15407/ufm.02.04.281 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133384 ru Успехи физики металлов Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Проведен обзор работ в области динамического рассеяния рентгеновских лучей в гетероэпитаксиальных и акустических сверхрешетках. Рассмотрены основные подходы к описанию динамической дифракции в металлических и полупроводниковых сверхрешетках. Специальное внимание уделено формализму зон устойчивых и неустойчивых решений системы уравнений Такаги для сверхрешеток. Данный формализм основан на методах качественной теории дифференциальных уравнений. Изложены общие качественные подходы к анализу особенностей дифракции в сверхрешетках различных моделей, которые основаны на концепции единой параметризации характеристик сверхрешетки и волнового поля. Формализм зонных диаграмм позволил классифицировать параметры теории динамической дифракции в сверхрешетках на «внешние» и «внутренние». Развитый формализм позволяет определять структурные характеристики сверхрешетки по виду кривой дифракционного отражения.
format Article
author Дышеков, А.А.
Хапачев, Ю.П.
spellingShingle Дышеков, А.А.
Хапачев, Ю.П.
Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
Успехи физики металлов
author_facet Дышеков, А.А.
Хапачев, Ю.П.
author_sort Дышеков, А.А.
title Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
title_short Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
title_full Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
title_fullStr Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
title_full_unstemmed Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
title_sort динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2001
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133384
citation_txt Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешётках / А.А. Дышеков, Ю.П. Хапачев // Успехи физики металлов. — 2001. — Т. 2, № 4. — С. 281-350. — Бібліогр.: 116 назв. — рос.
series Успехи физики металлов
work_keys_str_mv AT dyšekovaa dinamičeskaâdifrakciârentgenovskihlučejvsverhrešëtkah
AT hapačevûp dinamičeskaâdifrakciârentgenovskihlučejvsverhrešëtkah
first_indexed 2025-07-09T18:54:21Z
last_indexed 2025-07-09T18:54:21Z
_version_ 1837196655171993600
fulltext 281 PACS numbers: 61.10.Dp, 61.10.Kw, 61.72.Ff, 02.30.Hq, 02.30.Mv, 02.30.Oz Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Кабардино-Балкарский государственный университет, МО РФ, ул. Чернышевского, 173, 360004, Нальчик, Кабардино-Балкарская Республика, Россия Проведен обзор работ в области динамического рассеяния рентгеновских лучей в гетероэпитаксиальных и акустических сверхрешетках. Рассмотрены основные подходы к описанию динамической дифракции в металлических и полупроводниковых сверхрешетках. Специальное внимание уделено фор- мализму зон устойчивых и неустойчивых решений системы уравнений Така- ги для сверхрешеток. Данный формализм основан на методах качественной теории дифференциальных уравнений. Изложены общие качественные подходы к анализу особенностей дифракции в сверхрешетках различных моделей, которые основаны на концепции единой параметризации харак- теристик сверхрешетки и волнового поля. Формализм зонных диаграмм по- зволил классифицировать параметры теории динамической дифракции в сверхрешетках на «внешние» и «внутренние». Развитый формализм позво- ляет определять структурные характеристики сверхрешетки по виду кривой дифракционного отражения. Дано огляд робіт в області динамічного розсіювання рентгенівських проме- нів у гетероепітаксіальних й акустичних надгратках. Розглянуто основні під- ходи до опису динамічної дифракції в металевих і напівпровідникових над- гратках. Спеціальну увагу приділено формалізму зон стійких і нестійких рі- шень системи рівнянь Такаги для надграток. Даний формалізм заснований на методах якісної теорії диференціальних рівнянь. Викладено загальні які- сні підходи до аналізу особливостей дифракції у надгратках різноманітних моделей, що засновані на концепції єдиної параметризації характеристик надгратки і хвильового поля. Формалізм зонних діаграм дозволив класифі- кувати параметри теорії динамічної дифракції у надгратках на «зовнішні» та «внутрішні». Розвинутий формалізм дозволяє визначати структурні характе- ристики надгратки за виглядом кривої дифракційного відбиття. The review of activities is held in the field of dynamical scattering of X-rays in heteroepitaxial and acoustic superlattices. The main approaches to the descrip- Успехи физ. мет. / Usp. Fiz. Met. 2001, т. 2, сс. 281–350 Îòòèñêè äîñòóïíû íåïîñðåäñòâåííî îò èçäàòåëÿ Ôîòîêîïèðîâàíèå ðàçðåøåíî òîëüêî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëèöåíçèåé 2001 ÈÌÔ (Èíñòèòóò ìåòàëëîôèçèêè èì. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ Óêðàèíû) Íàïå÷àòàíî â Óêðàèíå. 282 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев tion of dynamical diffraction in metallic and semiconducting superlattices are re- viewed. The special attention is given to a formalism of zones of the steady and unstable solutions of a set of Takagi equations for superlattices. The given for- malism is based on methods of the qualitative theory of differential equations. The general qualitative approaches to the analysis of salient features of diffrac- tion in superlattices of different models are explained; they are based on the concept of unified parametrization of the characteristics of a superlattice and wave field. The formalism of the zonal diagrams has allowed to categorize pa- rameters of the theory of dynamic diffraction in superlattices on ‘external’ and ‘internal’ parameters. The advanced formalism allows to determine the structural characteristics of a superlattice by the form of diffraction-reflection curve. Ключевые слова: динамическое рассеяние рентгеновских лучей, дифрак- ционное отражение, гетероэпитаксиальная и акустическая сверхрешетки. (Получено 28 октября 2001 г.) СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РЕНТГЕНОВСКОГО ДИАПА- ЗОНА В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 1.1. Кристаллические структуры с периодическим полем деформа- ций 1.2. Общие закономерности рентгеновской дифракции в кристаллах со сверхпериодом 1.3. Математические аспекты динамического рассеяния в сверхре- шетках 1.4. Уравнение Матье как первое приближение динамической тео- рии дифракции от СР. Влияние структурных параметров на характери- стики КДО от СР. 1.5. Кинематическая теория дифракции в сверхрешетках ГЛАВА II. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДИФРАКЦИЯ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 2.1. Концепция единой параметризации в проблеме описания ди- намической дифракции в сверхрешетках. Параметр когерентности сверхрешетки. 2.2. Метод зонных диаграмм при динамической теории дифракции в сверхрешетке. 2.3. Влияние градиента деформации между слоями сверхрешеток на динамические эффекты рентгеновской дифракции 2.4. Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в сверхрешетке с разными толщинами слоев в периоде 2.5. Динамическая рентгеновская дифракция в сверхрешетках с различным градиентом деформации в переходной области 2.6. Особенности дифракции в кристаллах с переменным градиен- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 283 том деформации, следующие из характеров решений уравнений Така- ги. Структура с периодическим полем деформации ЗАКЛЮЧЕНИЕ БЛАГОДАРНОСТИ ЛИТЕРАТУРА ВВЕДЕНИЕ Важнейшие достижения дифракционной рентгеновской кристаллооп- тики связаны с теоретическим изучением динамического рассеяния излучения деформированным кристаллом. Искажения, вносимые деформационным полем в кристалле, рассматриваются при этом как достаточно малые, так что сохраняются динамические эффекты взаимодействия между падающей и дифрагированной волнами. Наиболее значимые результаты связаны с изучением таких профи- лей деформационных полей, которые чаще всего отвечают реаль- ным искажениям решетки кристалла, имеющим место в сложных го- мо- и гетероэпитаксиальных композициях. К этим задачам относится описание динамической дифракции в кристаллах с постоянным градиентом деформации [1, 2], который может быть вызван как внешними причинами (упруго-изогнутый кри- сталл), так и внутренними (собственная деформация системы, свя- занная с наличием эпитаксиальных слоев с различными периодами решетки, термоупругими напряжениями, дислокационными сетками и т. д.). Исторически задача динамической дифракции в кристалле с по- стоянным градиентом деформации первой после идеального кри- сталла получила полное аналитическое решение и была применена в исследованиях динамической фокусировки рентгеновских лучей упру- го изогнутыми кристаллами, теории топографического изображения дислокаций и т. д. Однако наиболее практически важные случаи далеко не исчерпы- ваются деформационными полями с постоянным градиентом де- формации. Тенденции развития различных технологий привели к тому, что элементной базой как современных приборов, так и ряда процессов, все в большей степени становятся сложные многослой- ные гетероэпитаксиальные композиции весьма совершенной (в смысле отсутствия структурных дефектов) структуры. В связи с этим основными объектами исследования становятся многослойные эпи- таксиальные системы. Поскольку по комплексу возможностей и объ- ему получаемой информации рентгенодифракционный метод оста- ется вне конкуренции, то ясно, что актуальным является развитие динамической теории дифракции в таких структурах. Задачи динамической дифракции в кристалле с переменным гра- диентом деформации можно условно разделить на два направле- ния. 284 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев К первому направлению относится анализ дифракционных явле- ний, происходящих в кристалле с периодическим полем деформаций — сверхрешетке (СР). Такая периодичность может быть получена различными способами — возбуждением в кристалле стоячей ульт- развуковой волны (ультразвуковая СР), перемежающимся эпитакси- альным наращиванием двух тонких слоев различного состава (эпи- таксиальная СР) и т. д. Для динамической дифракции в СР сущест- вуют общие закономерности, справедливые для СР любой природы. Эти закономерности, как следует из самого определения СР, позво- ляют проводить определенные аналогии с динамическим рассеяни- ем рентгеновской волны в идеальном кристалле и в конечном итоге сводятся к математическим аспектам распространения волн в пе- риодических средах. Такое исключительное положение отчасти объ- ясняет успехи в последовательном анализе дифракционных явлений в СР и распространение подходов, развитых первоначально в рент- геновской кристаллооптике идеальных кристаллов. Так, теория Эвальда–Лауэ получила свое развитие при анализе динамической дифракции на ультразвуковых СР [3, 4], в процессе которого был об- наружен ряд новых интерференционных явлений, в частности рент- геноакустический резонанс. В то же время для эпитаксиальных СР был развит подход, основанный на построении рекуррентных соот- ношений между амплитудными коэффициентами отражения и про- хождения от отдельных слоев СР, что является прямой аналогией дарвиновского формализма [5–9]. Однако каждый тип СР имеет свои особенности по отношению к дифракции рентгеновских лучей, опре- деляемые некоторыми характерными соотношениями между струк- турными параметрами СР и условиями дифракции. Следовательно общность выводов, следующих из математического рассмотрения однотипных уравнений, не позволяет проводить детальный анализ динамического рассеяния в конкретной СР (в частности эпитакси- альной). Наряду с указанными формализмами был развит подход, основанный на анализе качественных особенностей поведения ре- шений уравнений Такаги для СР [10–12]. Основная идея такого под- хода состоит в сопоставлении устойчивых и неустойчивых типов ре- шений определенным угловым интервалам на кривой дифракцион- ного отражения. Существование указанных типов решений следует из фундаментальных особенностей распространения волн в перио- дических средах, а конкретный тип решения определяется соотно- шениями между параметрами уравнения. Второе направление до настоящего времени было представлено практически одной точно решаемой задачей динамической дифрак- ции в двухслойной структуре с переходным слоем [13–15]. Эти зада- чи, наряду с очевидной практической значимостью, создают основ- ные предпосылки к формированию нового направления в рентгенов- ской кристаллооптике — динамической теории дифракции в кри- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 285 сталлах с переменным градиентом деформации. Современные ме- тоды эпитаксиального выращивания гетероструктур позволяют по- лучать кристаллические системы с практически любым наперед за- данным профилем, требуемым для создания микроэлектронных приборов. Кроме того, помимо целенаправленного получения струк- тур с заданным профилем изменения деформации, существует так- же возможность самопроизвольного искажения кристаллической ре- шетки вследствие генерации дислокаций на гетерогранице в процес- се роста пленки, влияния сетки дислокаций в подложке и ряда дру- гих причин. В связи с этим наиболее интересной представляется возможность генерации новой кристаллической фазы как одного из механизмов релаксации напряжений несоответствия, возникающих при сопряжении слоев с различными параметрами решетки. Такую ситуацию с точки зрения теории упругости можно интерпретировать как возникновение дополнительной собственной деформации в структуре, влекущей за собой изменение профиля полной деформа- ции, которая и измеряется в рентгенодифракционном эксперименте. Отсюда становится ясной актуальность развития динамической тео- рии дифракции в структурах с переменным градиентом деформации, и, в частности, поиска новых точных аналитических решений для модельных профилей деформации. Решение этих проблем позволило бы аналитически исследовать как конкретные особенности динамической дифракции для рассмат- риваемых моделей, так и общие свойства единого волнового поля в кристалле, то есть экстраполировать полученные закономерности на целый класс профилей деформации с монотонным градиентом. ГЛАВА I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РЕНТГЕНОВСКОГО ДИАПАЗОНА В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 1.1. Кристаллические структуры с периодическим полем деформаций Распространение волн различной природы в периодических средах несомненно относится к числу фундаментальных явлений, значение которых далеко выходит за рамки отдельных физических дисциплин и, в частности, физики твердого тела. Развитие теории и экспери- мента в проблеме когерентного взаимодействия различных видов волн с периодическими средами привело к многочисленным техни- ческим применениям в системах передачи информации, локации и других областях. Обстоятельный анализ оригинальных работ, вы- полненных в 50–60-х годах, и которые в основном были посвящены разработке различных антенн и замедляющих систем, стимулиро- вавших создание приборов СВЧ диапазона, проведен в обзоре [16]. 286 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Наряду с техническими аспектами проблемы в [16] специальное внимание также уделено работам, посвященным распространению волн в средах с периодически меняющимися в пространстве и вре- мени характеристиками. Развитие методов эпитаксиального роста пленок и совершенство- вание техники физического эксперимента сделали актуальным изу- чение явлений, связанных с когерентным взаимодействием различ- ных видов электромагнитного и корпускулярного излучения с про- странственно-периодическими средами сложной структуры [17]. Сю- да непосредственно относится задача рентгеновской дифракции в сверхрешетке (СР) — периодической монокристаллической структу- ре, у которой период дополнительного электронного потенциала больше параметра элементарной ячейки основной матрицы (T  a). Интерес к СР возник после предсказанной Л. В. Келдышем в [18] возможности радикальной перестройки энергетического спектра электронов в монокристалле с дополнительным одномерным перио- дическим потенциалом. Впервые эта идея была реализована в 1970 году [19], где было предложено создавать дополнительный период электронного потенциала с периодом, меньшим длины свободного пробега электрона, путем вариации состава твердого раствора или легирования эпитаксиальных слоев. Теоретические и экспериментальные исследования зонной струк- туры СР показывают, что наиболее существенные электронные свойства СР проявляются в том случае, когда ее период значитель- но меньше длины свободного пробега носителей (T  lS). Если это условие не выполняется, то носители не чувствуют дополнительного периодического потенциала, тем не менее такие СР также обладают рядом интересных свойств [20]. При условии T  lS в энергетическом спектре электронов СР образуются минизоны. В зависимости от ши- рин этих минизон ES и времени релаксации носителей S реализу- ются два случая: классический   ESS и квантовый   ESS. В квантовом случае электронная теория СР совпадает с теорией квантоворазмерных пленок, развитой в [21]. В классическом случае наиболее интересные свойства полупроводниковых СР обусловлены следующим обстоятельством. При искусственном создании СР па- раметры дополнительного периодического потенциала, а значит и характеристики энергетического спектра электронов могут быть вы- браны в достаточно широких пределах. Именно это позволяет рас- сматривать СР как объекты с управляемой зонной структурой, при- чем параметрам этой схемы можно придать такие значения, которые не реализуются ни в одном из обычных кристаллических веществ. Эта идея оказалась настолько привлекательной и плодотворной, что к настоящему времени для полупроводниковых СР обнаружен ряд физических эффектов и указаны возможности их приборного приме- нения. Физика СР и различные методы их получения описаны к на- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 287 стоящему времени во множестве оригинальных статей, частично обобщены в ряде обзоров и в итоге систематизированы в моногра- фии [22], где подробно рассмотрены проблемы физики, технологии и приборного применения полупроводниковых монокристаллических СР. Следует отметить, что создание СР из поликристаллических и аморфных материалов [23–25] также перспективно для целого ряда новых приборов и устройств (фокусирующие и дисперсионные эле- менты для вакуумного ультрафиолета и рентгеновского излучения с длинами волн вплоть до нескольких ангстрем). Возможность осаж- дения СР на гибких и сложных по форме подложках является огром- ным преимуществом при создании нового поколения приборов опти- ки рентгеновского и синхротронного излучения [26]. Идея управления свойствами материалов путем искусственной периодической модуляции (чередования слоев), первоначально реализованная в полупроводниках, получила распространение и в других областях. Так, в частности, в последнее время разрабатыва- ется новый класс материалов, в том числе и сверхпроводящих, на основе металлических СР с ультратонкими упругодеформированны- ми слоями [27–34]. Методы молекулярно-лучевой эпитаксии позво- лили создать искусственные периодические структуры со слоями, не только имеющими значительные различия в параметрах решеток исходных материалов, но и относящихся к различным типам кри- сталлических решеток. Так, в частности, были получены металличе- ские СР типа Nb/Cu, Mo/Ni, Co/Re с высокой степенью совершенства и когерентным сопряжением слоев, что подтверждается рентгено- дифракционными исследованиями. Методом газофазной эпитаксии из металлоорганических соединений, как показано недавно в [35] для группы A III B V , можно создавать сложные структуры с переходом типа решетки из кубической в гексагональную. Если в первоначальных экспериментах по эпитаксиальному вы- ращиванию СР были использованы соединения с хорошо согласо- ванными слоями (малым несоответствием периодов решеток сопря- гающихся слоев) [19, 36], то позже были разработаны специальные методы гетероэпитаксиального выращивания СР без согласования решеток слоев [37–40]. Создание таких СР открывает новые воз- можности как для фундаментальных исследований в области мате- риаловедения металлов и полупроводников, так и для технологии соответствующих электронных устройств. Гетероэпитаксия несогласованных слоев возможна лишь при их малой толщине, когда напряжения, возникающие из-за несоответст- вия параметров их решеток (НПР), приводят только к упругой де- формации, компенсирующей величину НПР. При этом дислокации несоответствия в гетерослоях не образуются. При создании СР ме- тодами согласованного эпитаксиального роста из несогласованных 288 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев упругодеформированных слоев необходима информация о напря- жениях между слоями, упругой и пластической деформациях в слоях и величине периода СР. Особенно это важно в связи с термодина- мической нестабильностью ультратонких упругодеформированных слоев [41], а также с предсказанной в [42] возможностью существо- вания метастабильных соединений типа СР в гетероструктурах тройных твердых растворов соединений A III B V , имеющих тенденцию к распаду. Аналогичная ситуация имеет место и для металлических СР, где изучается проблема спинодального распада и диффузии между слоями [32]. Наиболее перспективными с точки зрения неразрушающего ана- лиза и точности получаемых результатов при измерении деформа- ций и периода СР для этих целей являются методы рентгеновской дифракции (РД) [22]. В частности, использование метода двухкри- стальной рентгеновской дифрактометрии для определения пласти- чески и упругодеформированного состояния гетероструктур доста- точно подробно описано в [43, 44–46]. Поэтому здесь мы остановим- ся в основном на особенностях динамической рентгеновской ди- фракции, проявляющихся в форме кривой дифракционного отраже- ния (КДО) от СР и на том, какую информацию о реальной структуре СР можно извлечь из КДО. Отметим, что кроме практического приложения, теория дифракции в СР представляет и самостоятельный интерес, поскольку является фактически основой дифракционной рентгеновской кристаллооптики в объектах с периодически меняющейся деформацией. 1.2. Общие закономерности рентгеновской дифракции в кристаллах со сверхпериодом В математическом отношении задачи, связанные с изучением пара- метрического управления периодическими процессами, периодиче- ских сред и распространением в них волн различного диапазона, описываются однотипными дифференциальными уравнениями [47]. Символически это можно изобразить следующим образом: L ^ (aj, u(xi))  0, где линейный дифференциальный оператор L ^ (скалярный или мат- ричный) действует на вектор состояния u, определяющий волновой процесс и зависящий от набора независимых переменных xi (про- странственных и/или временных); aj — набор величин, характери- зующих среду и волновые параметры, которые в совокупности осу- ществляют параметрическое управление распространением волн. Главной особенностью оператора L ^ является его инвариантность Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 289 относительно некоторого вектора трансляции, что, как известно, приводит к фундаментальной теореме Блоха. Общность этого ре- зультата позволяет со сходных позиций исследовать многочислен- ные задачи и по существу служит основой построения классических разделов физики твердого тела. Мы однако, подойдем к исследова- нию особенностей указанных дифференциальных соотношений не- сколько с иных позиций, имея в виду дальнейшее применение. При этом чтобы сделать наш анализ возможно более прозрачным, обра- тимся к простейшей форме дифференциального уравнения с перио- дическими коэффициентами — уравнению Матье [48]: ,0)()cos( )( 2 2    yqS d yd (1.1) которое представляет собой типичную математическую формули- ровку параметрического взаимодействия характеристик периодиче- ской среды (S и q) с распространяющейся в среде волной y(). Ана- лиз даже такого простейшего уравнения позволяет понять основные результаты этой фундаментальной проблемы. Кроме того, уравне- ние (1.1) с успехом применяется в различных задачах. К таковым от- носится вращение Луны (задача, приведшая Матье к уравнению (1.1)), колебания мембран, энергетический спектр электронов, рас- пространение радиоволн, стимулированное оптическое излучение, дифракция рентгеновских лучей в кристаллах, задачи теории потен- циала и т. д. Это позволяет выделить определенные общие качественные за- кономерности, суть которых сводится к следующему [16, 17]. Во- первых, во всех периодических средах могут распространяться лишь такие волны, волновые векторы которых лежат в пределах фиксиро- ванных полос пропускания. С математической точки зрения это оз- начает, что уравнение вида (1.1) допускает два принципиально раз- личных класса решений — устойчивые (затухающие на бесконечно- сти или, наоборот, неограниченно возрастающие по амплитуде) и неустойчивые (свободно распространяющиеся в пространстве). Та- кая классификация принята в математической теории устойчивости дифференциальных уравнений, развитой А. М. Ляпуновым. Во- вторых, собственные волны в периодических средах представляют собой суперпозицию бесконечного числа гармоник, фазовые скоро- сти которых изменяются от нуля до бесконечности. Первое свойство известно как распределенная обратная связь, которая является результатом кумулятивного отражения от отдель- ных элементов среды. Именно это свойство было эффективно ис- пользовано при создании гетеролазера с многослойной активной средой с периодически изменяющимся от слоя к слою показателем преломления. При рассеянии рентгеновской волны в идеальном 290 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев кристалле указанному свойству отвечает обычное брэгговское отра- жение, удовлетворяющее условию kH  k0  H, (1.2) где k0 и kH — волновые векторы падающей и рассеянной волн, H — вектор обратной решетки. Если же рассеяние рентгеновской волны происходит в кристалли- ческой СР, то вследствие дополнительной пространственной перио- дичности обратная решетка кристалла помимо структурных узлов H содержит также узлы H  nkS (n  0, 1, 2, ...) поэтому вместо (1.2) име- ем kH  k0  H  nkS, (1.3) где kS – волновой вектор СР. Уравнение (1.3) определяет, таким образом, появление около ос- новного брэгговского рефлекса сателлитов, возникающих из-за до- полнительной пространственной модуляции электронной плотности кристалла и (или) модуляции межплоскостного расстояния [49–51]. Заметим здесь же, что соотношение (1.3) справедливо для любого вида модулирующей функции, то есть появление и расположение сателлитов зависит только от величины периода СР. Однако этот дифракционный эффект, разумеется, отсутствует при (HU)  0, где U — амплитуда вектора смещения, поскольку только перпендикуляр- ные отражающим плоскостям компоненты вектора смещений изме- няют фазы волн, рассеянных атомами. Второе свойство допускает возможность осуществления эффек- тивной параметрической связи волн различной природы и с различ- ными волновыми векторами, и вместе с тем связи самой среды с распространяющимися в ней волнами. Иными словами, периодиче- ская среда, в нашем случае СР, обладает присущим ей волновым вектором, который зависит от ее конструкции и выбирается таким образом, что закон сохранения (квази)импульса (или волнового век- тора) будет удовлетворяться при взаимодействии двух любых волн. Так, в [52] теоретически показана возможность эффективного пара- метрического взаимодействия дифрагированной в СР рентгеновской волны с характерным параметром кристалла — длиной экстинкции ext, в результате чего рентгеновское поле в СР представляет супер- позицию волн с периодами T0  ext  nT. Резонансное же взаимодей- ствие стоячей ультразвуковой волны и дифрагированной рентгенов- ской волны (рентгеноакустический резонанс) в кристалле обнаруже- но и изучено в [53]. Естественно, что картина взаимодействия рент- геновского излучения с ультразвуковой волной и эпитаксиальной СР существенно зависит от соотношения между периодом СР и ext кри- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 291 сталла. Причем наиболее интересные особенности проявляются именно при динамическом рассеянии, когда толщина СР LS  ext. 1.3. Математические аспекты динамического рассеяния в сверхрешетках Задача динамической рентгеновской дифракции в СР в определен- ном смысле близка к задаче динамической теории теплового диф- фузного рассеяния рентгеновских лучей. В [54, 55] эта задача рас- смотрена на основе системы уравнений Эвальда–Лауэ [56], в кото- рой помимо амплитуд прошедшей E0 и дифрагированной EH волн присутствуют рассеянные волны E(H  nkS), отвечающие волновым векторам фононных колебаний. При таком подходе структурный фактор для сателлитов n-го порядка может быть представлен в виде F(H  nkS)  (1) n Jn(HU)FН, (1.4) где FН — структурный фактор основного рефлекса идеального кри- сталла. Соотношение (1.4) следует из известного разложения моду- лирующего фактора exp(i(HU)coskSz) в ряд по функциям Бесселя Jn [57]. В [55] решение получено в приближении малости амплитуд от- дельных фононных колебаний (однофононное приближение). Такое упрощающее предположение позволяет ограничиться только сател- литами первого порядка (n  1), поскольку функции Бесселя Jn для малых значений аргумента быстро убывают с ростом индекса n. Отметим, что для когерентных колебаний решетки или для стати- ческой (эпитаксиальной) СР такое приближение, вообще говоря, не- применимо, поскольку амплитуда деформации 0  104 103 (а зна- чит, и аргумент функций Бесселя в (1.4)) по меньшей мере на три порядка больше, чем в случае фононных колебаний. Вследствие этого помимо сателлитов первого порядка возникают также сателли- ты более высоких порядков с заметной интенсивностью, для описа- ния которых необходимо удерживать в разложении (1.4) члены бо- лее высокого порядка. Для ультразвуковых СР, удовлетворяющих условию T0  ext, (1.5) динамическая теория развита в [58–60]. Условие (1.5) приводит к тому, что сателлиты расположены друг от друга на угловом расстоя- нии, соответствующем выражению (1.3), что обеспечивает отсутст- вие перекрытия их угловых областей, поскольку ширины сателлитов пропорциональны величине видоизмененного значения структурного фактора (1.4). Наиболее существенным результатом теории [58–60] является то, что в каждой угловой области существования сателли- 292 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев та можно решать независимую двухволновую задачу обычной дина- мической теории дифракции. В работах [5–7, 61–65] задача динамической дифракции в СР рас- сматривалась на основе рекуррентных соотношений, дающих связь между амплитудами отраженной и прошедшей волн на границах ме- жду слоями. В такой постановке задача по существу является обоб- щением формализма Дарвина на многослойные системы и в частно- сти на СР. При этом предполагается, что при выполнении условия (1.5) аналогично подходу [58–60] СР может также рассматриваться как идеальный кристалл с видоизмененным (модулированным) структурным фактором F(H  nkS)  F  H FS, (1.6) в котором F  H — усредненная по длине периода СР структурная ам- плитуда, а FS — так называемый «сверхструктурный фактор», зави- сящий от модели СР. Такое представление позволяет рассматри- вать процесс формирования дифракционной картины как результат последовательного прохождения и отражения рентгеновского луча в слоях СР аналогично соответствующей оптической задаче. Однако наглядность такой интерпретации имеет обратную сторону. Дело в том, что построение рекуррентных соотношений на основе умозри- тельных элементарных актов отражения и прохождения через слои СР не имеет ничего общего с понятием динамического рассеяния как феномена одновременного формирования единого волнового поля во всем объеме кристалла. Феноменологически в рамках дарвинов- ского формализма соответствие с правильным представлением дос- тигается соответствующим учетом фаз рассеянных на каждом пе- риоде полей. Строгий учет изменений фаз возможен лишь при ре- шении граничной задачи на поверхности кристалла в зависимости от геометрии дифракции, а также на границах между слоями СР. Подход [5–7, 61–65] позволяет вычислить «сверхструктурный фак- тор» для некоторых точно решаемых моделей СР, например, трапе- циевидной и, как частный ее случай, прямоугольной и треугольной [6]. Для гармонической СР общее выражение (1.6) переходит в (1.4). Теория, развитая в работах [5–7, 61–65], может быть при опреде- ленных ограничениях использована при моделировании на ЭВМ теоретических КДО для сопоставления их с экспериментальными данными. Рассмотрим в связи с теорией [5–7, 61–65] задачу динамической дифракции от m-слойной кристаллической среды. Пусть кристалл состоит из m плоскопараллельных слоев, когерентно сопряженных друг с другом. Направим координату z по нормали к слоям и выбе- рем начало координат на верхней поверхности кристалла. Обозна- чим координаты границ слоев 0  z0  z1  …  zm1   zm  H, где через Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 293 H обозначена полная толщина кристалла. Нашей задачей является построение фундаментальной матрицы (фундаментальной системы решений, записанных в виде (22)-матрицы) дифракционной задачи. Будем исходить при этом из дифференциальной матричной систе- мы, соответствующей дифракционным уравнениями Такаги: XA X )(z dz d  , (1.7) где X – матрица, столбцы которой образуют набор линейно незави- симых решений (полей E0 и EH), а матрица A(z) описывает дифрак- ционные свойства среды и принимает значения Ak в каждом из сло- ев: A(z)  Ak при zk  z  zk1. Примем для X(z) нормировку X(0)  I (I — единичная матрица), то есть будем считать, что X(z) — матрицант. Обозначим через Xk(z) непрерывную матрицу, удовлетворяющую в пределах соответствующего слоя (то есть при A(z)  Ak) диф- ференциальному уравнению: kk k dz d XA X  при zk  z  zk1 и 11 1    kk k dz d XA X при zk1  z  zk2 . Пусть Mk(z, zk) — матрицы-решения этих уравнений, нормированные на I при z  zk. Тогда для Xk(z) будем иметь Xk  Mk(z, zk)Ck при zk  z  zk1 и Xk1  Mk(z, zk1)Ck1 при zk1  z  zk2 , где Ck — постоянные матрицы, определяемые граничными условия- ми. Условия когерентного сопряжения слоев на границах требуют непрерывности волнового поля в точках z  zk1. Отсюда следует Ck1  Mk(zk1, zk)Ck, k  0, 1, … m 1. При k  0 и z  z0  0 получаем X0(0)  E  M0(0, 0)C0  C0. Отсюда последовательно выводим 294 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев C1  M0(z1, z0)C0  M0(z1, z0), C2  M1(z2, z1)C1  M1(z2, z1)M0(z1, z0), ……… Cm1  Mm2(zm1, zm2)Mm3(zm2, zm3) … M0(z1, z0). Для Xk(z) получим: Xk(z)  Mk(z, zk)Mk1(zk, zk1) … M0(z1, z0), zk  z  zk1 Эта формула для последнего слоя (zm1, zm) на нижней поверхности кристалла z  H дает: Xk(H)  Mm1(H, zm1)Mm2(zm1, zm2) … M0(z1, z0), (1.8) причем в общем случае матрицы Mk(z, zk) в формуле (1.8) не комму- тируют, то есть порядок сомножителей существенен. Таким образом, мы построили фундаментальную матрицу, даю- щую решение дифракционной задачи. Для описания дифракции удобно ввести так называемую интегральную матрицу распростра- нения, которая связывает волновые поля на противоположных по- верхностях кристалла: E(0)  L(H)E(H). Она получается из Xk(H) сле- дующим образом: L(H)  X0(0)Xk 1 (H)  Xk 1 (H)    M0 1 (z1, z0)M1 1 (z2, z1) … Mm1 1 (H, zm1). (1.9) Формула (1.9) — наиболее общая. Она может быть использована для расчета коэффициента отражения для произвольной многослой- ной структуры, если известно решение дифракционной задачи для ка- ждого слоя в отдельности. Применим (1.9) для частного случая, когда имеется m одинаковых слоев (периодов), то есть для эпитаксиаль- ной СР. Тогда выражение (1.9) приобретает вид: L(H)  M 1 (z0  T, z0)M 1 (z0  2T, z0  T) … M1 (H, z0  (m  1)T)   L(z0  T, z0)L(z0  2T, z0  T) … L(H, z0  (m  1)T) (1.10) где M  Mk, T — период СР. Структура решения X для периодической матрицы A хорошо известна. Она определяется фундаментальной теоремой Флоке–Ляпунова [45]: Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 295 X(z)  Ф(z)e Pz , (1.11) где Ф(z)  Ф(z  T) — периодическая, с периодом T, матрица, а P — постоянная матрица. В соответствии с принятыми условиями норми- ровки для M из (1.11) получим: M(zk1, zk)  X(zk1)X 1 (zk)  Ф(zk1)e Pzk1ePzkФ1 (zk)   Ф(z0)e PT Ф1 (z0). (1.12) Отсюда видно, что M(zk1, zk)  M(T). Иными словами, трансляция на kT не приводит к изменению M. Следовательно, (1.10) может быть записана следующим образом: L(H)  (M 1 (T)) m  L m (T) (1.13) Тем самым нахождение интегральной матрицы распространения для СР сводится к вычислению степени m матрицы L(T), получаемой из решения дифракционной задачи для одного периода СР. Эта матри- ца в теории дифференциальных уравнений с периодическими ко- эффициентами носит название матрицы отображения за период. Легко показать, что формула (1.13) имеет место только для пе- риодических структур. Действительно, переход от (1.10) к (1.13) воз- можен, если предположить, что аргументы zk1 и zk входят в матрицу M однородным образом, то есть M(zk1, zk)  M(zk1  zk)   M(T). Вы- берем произвольный слой и рассмотрим уравнение MA M )(z dz d  , (1.14) которому удовлетворяет M по определению. Предположим, что М  M(z  zk). Дифференцируя M по T, получим в точности то же уравнение (1.14). Отсюда получаем функциональное матричное со- отношение A(z)  A(z  zk), что означает инвариантность A(z) относи- тельно трансляции на zk  kT. Такая инвариантность помимо рас- смотренного случая периодической матрицы A(z) возможна лишь в тривиальном случае постоянной матрицы A(z)  const. Степень матрицы проще всего найти как частный случай общей формулы Сильвестра для вычисления функции от матрицы [47]:     21 122121    IL L mmmm m , (1.15) где 1 и 2 — собственные значения матрицы L, определяемые как корни характеристического уравнения: 296 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев  2  Sp(L)  det(L)  0. (1.16) Формула (1.15) дает общее решение для задач дифракционного рассеяния на СР в различных геометриях. Принципиально важно, что она получена без каких-либо предположений о фазовых соотно- шениях между коэффициентами прохождения и отражения от слоев СР и без привлечения феноменологических рекуррентных формул. Конкретные выражения для соответствующих коэффициентов от- ражения получаются при учете граничных условий рассматриваемой геометрии дифракции. Так, для дифракции по Брэггу коэффициент отражения имеет вид: )( )( 11 21 Hl Hl r  . (1.17) Явный вид коэффициента отражения, разумеется, зависит от кон- кретной модели СР, и, как указывалось выше, может быть получен только при решении дифракционной задачи для периода СР. В част- ности, для прямоугольной модели СР матрица L выражается через произведение двух экспоненциалов: L  e A1h1eA2h2, где матрицы A1 и A2 характеризуют слои с постоянными параметра- ми решетки и толщинами h1 и h2, h1  h2  T. Однако формула (1.15) позволяет сделать общие выводы о харак- тере дифракционного рассеяния от СР. Обратимся для этого к вы- ражению (1.16). Согласно формуле Остроградского–Лиувилля:    dz)(Spexp)(det)det( 1 AML . Надлежащей подстановкой всегда можно добиться, чтобы Sp(A)   0. Это приводит лишь к появлению в амплитуде волны несущест- венного фазового множителя. Следовательно, без ограничения общности можно считать det(L)  1. Тогда, согласно известному свойству корней квадратного уравнения 12  1, то есть, если 1   2, всегда выполняется 1  2 либо 1  2. В этом случае одно из собственных чисел больше единицы по модулю. В то же время L по своему физическому смыслу связывает волновые поля на противоположных поверхностях кристалла. Ясно поэтому, что при переходе к полубесконечному кристаллу m матрица L содержит бесконечно возрастающие члены, которые должны быть опущены. Эта ситуация отвечает неустойчивому характеру решения, соответ- ствующему затуханию волны на бесконечности — аналог эффекта экстинкции. Если же 1  2  1, то L остается ограниченной при m и Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 297 экстинкционного затухания волн не происходит, что соответствует устойчивому характеру решения. Отсюда, используя формулу для корней квадратного уравнения 1 2 )(Sp 2 )(Sp 2 2,1        LL получаем результат известной теоремы о типе решений дифферен- циальных уравнений с периодическими коэффициентами [66]: Sp(L)  2. (1.18) Эта формула определяет в неявной форме граничные поверхнос- ти в параметрическом пространстве, отделяющие устойчивые реше- ния от неустойчивых. Конкретное содержание понятия пара- метрического пространства подробно обсуждается ниже в главе II. Формула (1.18) впоследствии используется при расчете переходных поверхностей для прямоугольной модели СР. Исходя из указанных особенностей для полубесконечной СР из (1.17) легко получить:            21 211 21 21 111 21 , , l l l l rm (1.19) Выясним возможность «частичного» перехода к кинематическому пределу. При анализе формул (1.17) или (1.19) можно явно выде- лить коэффициент отражения от одного периода СР )( )( 11 21 Tl Tl rT  . Поскольку решение динамической задачи кроме простейших случаев найти затруднительно, возникает искушение пренебречь динамиче- скими эффектами в пределах одного периода СР, когда T  ext. Та- кое приближение в [9] было названо полудинамическим и впервые использовано в [5]. Однако из формулы (1.13) следует, что полуди- намическое приближение нельзя считать оправданным, поскольку СР проявляет себя как единый рассеивающий объект, так что ди- фракционная картина формируется в результате кооперативного взаимодействия с рентгеновским излучением всех слоев СР. Пренебрежение динамическим характером рассеяния на периоде СР немедленно приводит к утрате всех динамических эффектов, влияющих на взаимное расположение основного максимума и са- 298 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев теллитов, а также на их угловые ширины. Получаемые в результате такого «упрощения» выводы по существу относятся к кинематиче- ской теории, что и было продемонстрировано в [5]. Что же касается вычисления формы КДО в пределах основного максимума и сател- литов, проведенного в [6], то его также нельзя считать вполне кор- ректным. Дело в том, что такой расчет проводится на основе поня- тия сверхструктурного фактора, которое вводится в теорию с ис- пользованием тех же «упрощающих» предположений. Можно пока- зать, что сверхструктурный фактор есть не что иное как коэффици- ент отражения от одного периода СР в кинематическом приближе- нии. В тоже время, как показано выше, в условиях динамического рассеяния в угловых областях формирования основного максимума и сателлитов происходит смена типов решения (волн) с устойчивого на неустойчивый. Как следствие, возникают эффекты типа экстинк- ционного затухания. Эти эффекты, разумеется, не имеют места в кинематической теории. Изложенные выше аргументы позволяют сделать вывод о том, что, по-видимому, выделение в едином рассеивающем объекте об- ластей с различным характером рассеяния носит искусственный ха- рактер и может приводить к неверным результатам. Во всяком слу- чае, применимость полукинематического приближения требует от- дельного исследования для каждой задачи. В частности можно гово- рить об ограниченности подхода, основанного на рекуррентных со- отношениях (как и самой теории Дарвина, с которой он генетически связан). Для СР, удовлетворяющих условию T0  ext, (1.20) задача динамической дифракции впервые рассмотрена в [52], одна- ко формула для углового положения сателлитов, приведенная в этой работе, справедлива только при выполнении условия (1.20). В работах [10, 11, 67–69] задача динамической дифракции в СР сведена к анализу зон устойчивых и неустойчивых решений уравне- ния Матье (1.1). К этому уравнению при определенных приближени- ях приводится система уравнений Такаги для СР. Показано, что ши- рины сателлитов и их угловое положение зависят от структурных па- раметров СР и описываются существенно иными выражениями, не- жели в [5–7, 61–65]. Последовательное построение динамической теории дифракции для ультразвуковых СР, удовлетворяющих условию (1.20), проведе- но в работах [3, 53, 70–74], где данная задача рассматривалась как многоволновая дифракция на ультразвуке. Для решения задачи используется фундаментальная система уравнений Эвальда–Лауэ, в которой помимо прошедшей и дифраги- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 299 рованной волн рассматриваются волны nkS и H  nkS. Таким обра- зом, формализм Эвальда–Лауэ приводит в данном случае к задаче шестиволновой дифракции. Это связано с тем, что в резонансном случае, когда волновой вектор акустической СР сопоставим с мини- мальным расщеплением двухволновой дисперсионной поверхности волны с указанными волновыми векторами одновременно оказыва- ются вблизи сферы Эвальда. Анализ динамической дифракции в кристалле с возбужденной в нем стоячей ультразвуковой волной сводится к решению секулярного уравнения шестого порядка, опи- сывающего соответствующие ветви дисперсионной поверхности. Исследование различных случаев самопересечения дисперсионной поверхности в зависимости от условий дифракционного эксперимен- та позволяет в рамках данного формализма описывать различные эффекты (рентгеноакустический резонанс, осцилляции интенсивно- сти рефлекса в зависимости от амплитуды ультразвука, аномальное прохождение рентгеновских лучей). В принципе, оба подхода [10, 11, 67–69] и [3, 53, 70–74] имеют общую основу, поскольку переход к многоволновой дифракции в ма- тематическом отношении эквивалентен методу Хилла [75], который сводится к разложению периодических функций Матье в ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье находятся из трехчленных рекуррентных соотношений с помощью бесконечного определителя или с помо- щью бесконечных цепных дробей [48]. Однако между ними имеются существенные отличия, поскольку теория [3, 53, 70–74] ставит целью расчет волновых полей и вычисление по ним амплитудных коэффи- циентов отражения. Вместе с тем подход [10, 11, 67–69] по существу основывается на анализе условий распространения волновых полей в различном отклонении от точного угла Брэгга, то есть ограничива- ется качественным анализом особенностей кривой дифракционного отражения. Для некоторых зависимостей в рамках этих разных под- ходов получены одинаковые результаты [11]. В первую очередь это относится к угловому положению сателлитов в зависимости от вели- чины отношения периода СР к длине экстинкции (T/ext), а также к ширине сателлитов первого порядка, которая при выполнении (1.20) оказывается пропорциональной амплитуде деформации между слоями СР и значит может быть значительно меньше ширины ос- новного РД максимума СР, которая пропорциональна H. Поскольку подробное изложение динамической теории дифракции на ультразвуковой СР изложено в [74], то мы используем подход, развитый в [10, 11, 67–69], позволяющий рассмотреть особенности динамического рассеяния в СР в двух предельных случаях (1.5) и (1.20) и учесть влияние структурных параметров СР на характери- стики ее КДО. Остановимся на этом несколько подробнее. 300 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев 1.4. Уравнение Матье как первое приближение динамической теории дифракции от СР. Влияние структурных параметров на характеристики КДО от СР. Формализм зон устойчивых и неустойчивых решений для анализа динамической дифракции на СР был впервые предложен в [76, 77]. Согласно [76, 77] система уравнений Такаги при дифракции на гармонической СР в первом приближении может быть сведена к уравнению Матье (1.1), в котором величины S и q зависят от угловой переменной  и структурных параметров СР: амплитуды деформа- ции 0, фурье-компоненты поляризуемости кристалла Н, относи- тельного изменения структурного фактора )( )( H H H F F  и периода СР T. Для уравнения Матье параметрическая плоскость (Sq) может быть разделена на зоны устойчивых и неустойчивых решений, что схема- тически изображено на Рис. 1, где зоны устойчивых решений за- штрихованы. Для малых значений q границы зон устойчивых и неус- тойчивых решений Sn(q) (собственные значения уравнения Матье для периодических граничных условий) имеют вид [47, 75]: 24 1 )( ; 2 )( 1 2 0 q qS q qS   ; 12 5 1)( ; 12 1)( 2 2 2 2 q qS q qS   . (1.21) Поскольку величины S и q, зависят от экспериментального парамет- ра , то из совместного решения уравнений S  S() и q   q() относительно  получим уравнение своеобразной «геодезической линии». Смысл этой линии состоит в том, что она отвечает различ- ным значениям S и q для одних и тех же значений угловой перемен- ной . Таким образом, перемещаясь по геодезической линии, изо- браженной на Рис. 1 параболой, мы последовательно попадаем в области устойчивых и неустойчивых решений. Следовательно, пере- сечение геодезической линии с границами областей устойчивых и неустойчивых решений Sn(q) определяет границы зон прохождения и отражения волн от СР. В случае дифракции по Брэггу интерпрета- ция разного типа решений предельно проста. Области неустойчивых решений отвечают дифракционным максимумам, а области устойчи- вых решений — промежутку между ними. Именно такой формализм использован в [67–69, 78] для определения характеристик КДО от СР. Следуя этому подходу, проанализируем некоторые особенности Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 301 КДО. Расположение геодезической линии зависит как от геометрии ди- Рисунок 1. Диаграмма зон устойчивых (заштрихованы) и неустойчивых ре- шений уравнения Матье. Показано образование основного РД максимума и сателлитов первого и второго порядков от СР в случае дифракции по Брэггу. 302 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев фракции (случаи Брэгга или Лауэ), так и от соотношений между структурными параметрами СР. Так, в случае Брэгга минимум S(q) расположен при значениях S  0, а в случае Лауэ всегда при значе- ниях S  0. При симметричном расположении геодезической линии относительно оси S ширины сателлитов равны друг другу, но могут быть не равны ширине основного РД-максимума, что и изображено схематически на Рис. 1. При несимметричном расположении линии S(q) относительно оси S ширины сателлитов не равны друг другу и не равны ширине основного максимума. Кроме того, ясно, что са- теллиты в этом случае расположены несимметрично относительно основного РД-максимума. Если геодезическая линия не пересекает- ся с границей нулевой области неустойчивости S0(q), то основной РД-максимум СР отсутствует. Характерно, что при любом располо- жении геодезической линии относительно оси S области существо- вания сателлитов не пересекаются с областью основного РД макси- мума. Положение сателлитов и их ширин (как функция величины q, а значит, и угловой переменной ) можно найти из совместного ре- шения уравнения геодезической линии S(q) с соответствующими границами зон устойчивых и неустойчивых решений. Поскольку для гармонической СР уравнение геодезической линии зависит от вели- чины q по квадратичному закону q 2 [67–69, 78], то совместное реше- ние S(q) и Sn(q) (1.21) дает простые аналитические выражения для положения сателлитов и их ширин. Отметим, что асимметрия геодезической линии относительно оси S возникает лишь при учете изменения электронной плотности в слоях СР и для чисто деформационных СР не наблюдается. Соот- ветственно, разность угловых ширин сателлитов для гармонической СР может служить своеобразным критерием вариации состава в слоях. Наиболее простой результат теории получается при выполнении условия (1.20) и следующих неравенств: H  H; 0  H, (1.22) которые отвечают, в частности, дифракции на ультразвуковой СР. Для такой СР ширина основного РД-максимума (n  0) совпадает с шириной РД-максимума от идеального кристалла 0 HHH      2sin 2 )0( (  1 или cos2), (1.23) а для ширин сателлитов первого порядка (n  1) получим следую- щее выражение [11]: Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 303 . cos cos )1( 0    H (1.24) Из сопоставления (1.23) и (1.24) видно, что при выполнении (1.22) сателлиты оказываются уже основного РД-максимума. Этот резуль- тат, предсказанный впервые в [68, 76, 77] наблюдался эксперимен- тально в [3, 70] для ультразвуковой СР. Для углового расстояния между основным РД-максимумом и са- теллитом первого порядка получим следующее соотношение [11]: , 2sin 1 cos2 )1;0( 22                    T H (1.25) где величина  пропорциональна длине экстинкции: . 1sinsin ext HHH 0 H         (1.26) Кинематическая формула для углового расстояния между основ- ным РД-максимумом и сателлитом первого порядка получается из (1.25) как предельный переход при выполнении условия (1.5) [49– 51]: . 2sin )1;0(    kT H (1.27) Принципиальное отличие (1.25) и (1.27) состоит в том, что даже при T угловое расстояние между сателлитом и основным РД- максимумом при учете динамического рассеяния не обращается в нуль, как это следует из [49–51] и [58–60], а имеет конечный предел, равный    cos2 1)(0;пр . Сравнивая (1.23) и (1.26), видим, что пр  0/2, то есть гранич- ное угловое расстояние, к которому стремятся сателлиты при T, равно полуширине основного РД максимума идеального кристалла. На Рис. 2 [11, 94] представлены зависимости углового расстояния между сателлитом первого порядка и основным РД максимумом СР, рассчитанные по динамической (1.25) и кинематической (1.27) фор- мулам. В [3, 70] динамическая зависимость (1.25) получена путем численного решения системы уравнений Такаги и подтверждена экс- периментально при возбуждении ультразвуковой волны в кристалле кремния. 304 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Отметим, что из диаграммы зон устойчивых и неустойчивых ре- шений, приведенной на Рис. 1, видно, что ширины сателлитов более высоких порядков также будут меньше основного РД-максимума и уменьшаются с увеличением порядка сателлита. Этот факт является следствием общих свойств диаграммы устойчивых и неустойчивых решений дифференциального уравнения с периодическими коэф- фициентами типа (1.1) при малых q. Действительно, для малых зна- чениях q собственные значения вблизи оси S имеют вид [48]: 0 ),( 2 2        qqO n S n n . Отсюда видно, что переходные кривые, соответствующие перио- дическим решениям и отделяющие устойчивые решения от неустой- чивых, имеют в точках S  (n/2) 2 касание порядка n/2  1. Таким обра- зом, при больших n область неустойчивости подходит к оси S узким Рисунок 2. Зависимость углового расстояния сателлита первого порядка от величины 1/T согласно динамической формуле (1.25) (1) и кинематической формуле (1.27) (2) [11]. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 305 языком ( q n ). Соответственно, и точки пересечения геодезической линии с переходными кривыми вблизи оси S будут сближаться по оси q (а значит ) с увеличением порядка n. При дифракции на эпитаксиальной СР в принципе необходимо учитывать изменение структурного фактора. Оценка абсолютной ве- личины структурного фактора для основных гетероэпитаксиальных композиций типа A III B V , применяемых для выращивания эпитакси- альных СР [65] приводит вместо (1.22) к следующим неравенствам: H  H; 0  H. (1.28) Для таких СР, как указывалось выше, сателлиты имеют разную ширину и разность ширин сателлитов определяется выражением [10, 17]:             . 4 1 , 2sin ; 4 1 , 2sin2)1( 0 2 0 c a c f bafH (1.29) Здесь величина c есть точка пересечения геодезической линии S(q) с осью S, а коэффициенты f0, a, _ и b зависят от структурных па- раметров СР: периода T, компонент тензора упругой податливости S, средних по периоду СР значений напряжений , _ и НПР , _ , ам- плитуды напряжений между слоями  и амплитуды изменения S, то есть S: H  4 0 T f , )22(cossin4 1212  SSa H , (1.30)  12cossin8 Sb H . Поскольку в данном случае сателлиты расположены несиммет- рично относительно основного РД-максимума, то величина сдвига основного РД-максимума относительно середины расстояния между сателлитами определяется следующим образом [67, 78]: . 2sin2)21( 22 0 222 0 0    af abaf H (1.31) При выполнении неравенств (1.28), что соответствует кинемати- ческому пределу динамической теории, для вычисления периода эпитаксиальной СР получим следующую формулу [67, 78]: 306 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев   22 )(12/1 kkd TTT  H , (1.32) где Tk определяется согласно (1.27), а параметр H   8 4 22 ba (1.33) На Рис. 3 [67, 94] приведены зависимости периодов СР Td и Tk как функции величины (Tk), следующие как из обычной кинематической теории, когда Td  Tk, так и в случае кинематического предела дина- мической теории (формула (1.32)). Из кривых, приведенных на Рис. 3, видно, что при малых значениях величины Tk результаты ки- нематической теории и кинематического предела динамической тео- рии совпадают, а при Tk  1 будут существенно отличаться. При ха- рактерных значениях величины  для СР соединений A III B V (  103 ) Рисунок 3. Зависимость периода гармонической СР от величины Tk: 1 — кинематическая теория; 2 — кинематический предел динамической теории, формула (1.32). Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 307 это отличие будет проявляться для СР с периодом Т  1000 Е и уве- личиваться с возрастанием структурных параметров a, _ и b. При определении периода по (1.32) в (1.27) под величиной k(0;1) необходимо понимать половину углового расстояния между сателлитами, то есть в (1.27) k(0;1)  (1;1)/2. Дело здесь не только в том, что сателлиты расположены несимметрично относи- тельно основного РД максимума, но, что более существенно, сам основной РД максимум может отсутствовать. Условие существова- ния основного РД максимума СР, т. е. условие пересечения S(q) и S0(q) в рамках использованных приближений сводится к следующе- му [10]: . 0 H   T (1.34) Таким образом, при выполнении (1.21) на КДО от СР основной максимум всегда присутствует, причем он, как правило, интенсивней сателлитов. Вследствие этого идентификация основного максимума и сателлитов в случае (1.34) не вызывает затруднений. Определяя из РД измерений угловое положение середины рас- стояния между сателлитами от РД-максимума подложки, можно рас- считать среднее значение деформации СР, а значит, и амплитуду НПР [79]. Измеряя на КДО величины (1), (1;1) и 0, совмест- ным решением соответствующих уравнений можно определить не только период СР и величину среднего значения напряжений, но и величину амплитуды изменения напряжений в слоях СР. В [10, 69] получены экспериментальные данные от СР типа GaAs1xPx/GaAs/…/(001)GaAs и приведены КДО от рефлекса (004) CoK1 -излучения от СР с периодом Т  400 Е при режиме записи 10 3 имп/с, и от сателлитов в режиме записи 10 2 имп/с. Оказалось, что ширина низкоуглового сателлита (l  1) больше ширины высокоуг- лового сателлита (l  1). Результаты измерения ширин основного РД-максимума и сателлитов от этой СР, полученные на монохрома- тических CoK1 - и CuK1 -излучениях, и теоретически рассчитанные значения разности ширин сателлитов по формуле (1.29) для случая с  1/4 при b  0 показывают хорошее соответствие [10, 69]. Неравенство ширин сателлитов первого порядка зарегистрирова- но и для СР других соединений. Так, в [81] приведены КДО от СР InSb/(001)GaSb с двумя различными периодами 28 Е и 46 Е, для ко- торых высокоугловой сателлит шире низкоуглового. В [82] для СР AlxGa1xAs/(001)GaAs так же, как и в [10, 69], низкоугловой сателлит оказался шире высокоуглового. В [67, 80] для произвольных струк- турных параметров проанализирована форма КДО от гармонической СР и получены условия, определяющие, какой из сателлитов шире в зависимости от соотношения между структурными параметрами. Не- обходимо отметить, что такие особенности формы КДО от гармони- 308 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ческой СР в рамках кинематической теории дифракции не могут быть объяснены. Из формулы (1.32) следует, что расстояние между сателлитами зависит не только от периода СР, но и от структурных параметров СР, в число которых входит амплитуда изменения концентрации ме- жду слоями x. Уменьшение x возможно при диффузии одного из компонентов твердого раствора. Это осуществляется в СР GaAs1max(x)Pmax(x)/GaAs, у которой в процессе отжига при диффузии фосфора из слоев твердого раствора в слои арсенида галлия возни- кает твердый раствор GaAs1max(x)Pmax(x)/GaAs, такой, что средняя концентрация xср увеличивается. Вследствие материального балан- са средний состав всех слоев в СР остается постоянным. Поэтому концентрация буферного твердого раствора после отжига уменьши- лась, а значит, его РД-максимум должен сместиться в сторону РД- максимума подложки. Увеличение же средней концентрации СР в процессе отжига (xср  xср) должно привести к тому, что основной РД- максимум СР сместится в сторону высоких углов дифракции от РД- максимума подложки. Экспериментальное исследование СР, до и после отжига показы- вает смещение РД-максимумов буферного слоя и основного РД- максимума, что соответствует, согласно сказанному, увеличению средней концентрации. Поскольку xmax не изменилась, а xmin увели- чилась, то это означает уменьшение амплитуды изменения концен- трации x. В [94] приведены экспериментальные РД данные и расчет по ним периодов Td и Tk для двух СР данного типа до и после отжига. Для обеих СР отношение разности ширин сателлитов до и после отжига совпадает с отношением x/x, что говорит о справедливости вы- бранной модели изменения концентрации. Расчет периода СР по формуле (1.32) при b  0 и кинематической формуле (1.27) показыва- ет, что если для первой СР значения Td и Tk практически совпадают, поскольку Tk  1, то для второй СР с большим периодом в соответ- ствии с Рис. 3 значения Td и Tk уже существенно отличаются друг от друга. Таким образом, расчет периода СР в рамках изложенной теории дает отличающиеся от кинематической теории результаты. Характе- ристики КДО от СР (такие, как разность ширин сателлитов, угловое расстояние между ними, а также смещение основного РД-максимума СР после отжига) вполне удовлетворительно согласуются с полу- ченными аналитическими выражениями. При выполнении условия (1.5) описанные характерные особен- ности КДО становятся несущественными и для анализа СР можно использовать кинематическую теорию дифракции. Приведем наи- более интересные ее варианты. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 309 1.5. Кинематическая теория дифракции в сверхрешетках Если период СР значительно больше параметра элементарной ячейки кристалла (Т  a), то относительная ошибка в измерении пе- риода СР, определяемая из (1.27), равна   . )1;0( )1;0(     T T (1.35) Для СР с Т  1000 Е угловое положение сателлитов может быть определено не хуже чем 105 рад, поэтому при характерных значе- ниях расстояния между сателлитами (1;1)  103 относительная ошибка в определении периода СР  1%. Если же период СР незна- чительно превышает параметр элементарной ячейки кристалла (Т  а), то вычисления периода СР по формуле (1.27) и, соответст- венно, относительной ошибки T/T по формуле (1.35) оказываются неточными. Выясним причины такой ситуации. Рассеяние рентгеновских лучей в СР в кинематическом прибли- жении можно рассматривать как дифракцию на кристалле со «слож- ной элементарной ячейкой», период которой равен периоду СР, а сама элементарная ячейка состоит из n1 молекулярных слоев с па- раметром решетки a1 и из n2 молекулярных слоев с параметром ре- шетки a2. При таком описании СР ее период Т  (n1a1   n2a2)/2, а средний период решетки слоев может быть выражен через Т в сле- дующем виде: a  2T/(n1  n2). Сателлиты также, как и основные РД- максимумы различных порядков отражения (00l), соответствуют раз- личным порядкам отражения от плоскостей с межплоскостным рас- стоянием dL  T/L. Иными словами, точки обратной решетки (00l) ячейки с периодом a совпадают с точками обратной решетки (00L) для СР, причем L  (n1  n2)l/2. Следовательно, период СР может быть найден из закона Брэгга: 2TsinL  L, т. е. [81, 82]: sinLl  sinL  lL/(2T). (1.36) Из (1.36) в частном случае (при Ll  L) следует формула (1.27). Поскольку индекс L заранее не известен, то для его определения необходимо найти межплоскостные расстояния dLi и dLj для отра- жений с индексами L  i и L  j с известными i и j. Так как jL ji d dd jL jLiL       , то отсюда для индекса L получим [83] 310 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев jLiL jL dd dji iL      )( (1.37) В приближении dLi  dLj  dL из (1.23) находим относительные ошибки в определении L и T [83]: LL ji L L L     ctg2 2 ; LL ji L T T           ctg21 2 , (1.38) откуда видно, что точность в определении L и T увеличивается с уменьшением величины L/(i  j). Согласно принятой модели структурный фактор СР, состоящей, например, из чередующихся слоев твердого раствора Ga1xAlxAs толщиной h1 и соединения GaAs толщиной h2, может быть записан в виде [83]     1 21 1 2 221 2GaAs 1 121 1GaAlAs 1 1 2 1 1 2)00( n nn S R R R Rff R R RffLF       , (1.39) где f — атомные рассеивающие факторы: fGaAl  (1  x)fGa  xfAl; R1  exp(2iLh1/T); (1.40) R2  exp(2iLh2/T). Расчет структурного фактора (1.39) показывает, что при опреде- ленных значениях концентрации твердого раствора x, n1 и n2 ряд са- теллитов исчезает. Порядок J исчезающих (погасших) сателлитов подчиняется условию [83]:        2 11 n n nJ , где n — целое число. Если рассчитанное значение n1  n2 для погас- шего сателлита в пределах экспериментальной ошибки не совпада- ет с целым числом, то этот факт интерпретируется как нарушение периодичности СР, вызванное вариацией толщин слоев. При кинематическом рассеянии для строго периодической СР ши- рины сателлитов и основного РД-максимума одинаковы и опреде- ляются полной толщиной СР [68, 84] , 2sin )(    TN I H (1.41) Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 311 где N — полное число слоев СР. Заметим здесь же, что величина (I) определяет также угловое расстояние между дополнительными интерференционными макси- мумами, расположенными между сателлитами [82]. Отклонение от периодичности приводит к резкому уменьшению интенсивности этих интерференционных максимумов и уширению сателлитов, ширина же основного РД-максимума при этом не изменяется. В отличие от этого изменение амплитуды деформации с глубиной, вызванное из- менением концентрации твердого раствора в слоях, приводит к од- новременному уширению не только сателлитов, но и основного РД- максимума СР [68]. Таким образом, по уширению сателлитов и основного РД-мак- симума можно качественно судить о степени совершенства СР. Рассмотренное выше представление кинематической дифракции на СР как на кристаллической структуре с макроскопической одно- мерной элементарной ячейкой основывается на простых гео- метрических соображениях и по существу является прямым обоб- щением элементарной теории рассеяния на пространственной ре- шетке. Вместе с тем, как будет показано ниже, подобные отчасти умозрительные представления не всегда позволяют адекватно опи- сывать процесс дифракции. Так, в частности, в динамической теории понятие макроскопической элементарной ячейки теряет смысл, и приведенные выше результаты нуждаются в корректировке. При кинематическом рассеянии в ряде случаев можно определить по РД данным не только период СР и значения компонент тензора деформации в слоях [45], но и толщины слоев различного состава в периоде [84]. Рассеяние рентгеновских лучей произвольной слоистой структу- рой, состоящей из М различных слоев, может быть охарактеризова- но для каждого слоя двумя параметрами: H0    V hFr A jj j , j j j Fr V Y       2 2sin H 0 , (1.42) где Fj — структурный фактор; r — классический радиус электрона; V — объем элементарной ячейки; величина j следующим образом зависит от компонент тензора деформации ij, дисторсии ui/xj и уг- ловой переменной j [80]: j  j  (zz (j) cos 2   xx (j) sin 2 )tg  (zz (j)  xx (j) )sin2/2    xz (j) sin2tg  uz (j) /x  2xz (j) sin 2  (1.43) Здесь  — угол наклона атомных плоскостей к поверхности кристал- 312 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ла, знаки «» или «» соответствуют двум различным геометриям дифракции:      и     . В (1.43) в отличие от [84] учтены не- диагональные компоненты тензоров деформации и дисторсии [44], которые существенны для ряда низкосимметрийных ориентаций пленок, например, (311), (511) и так далее, а также в случае пленок, неоднородных в плоскости гетерограницы. Нормированная амплитуда дифрагированной волны от М-слойной среды может быть представлена в виде [84]        M j j jj jjjj Y YA YAiaiE 1 sin )(exp H 0 H , (1.44) где                      M ji ij ha 12 exp H0 H0 ,     1 1 2 j i iij YA , (1.45) aM  1, Ф1  0,  — коэффициент поглощения. СР представляет собой частный случай слоистой структуры. В простейшем случае СР состоит из двух периодически чередующихся слоев с различными толщинами, деформациями и структурными факторами. Используя общее выражение (1.44), в пренебрежении поглощением, амплитуду дифрагированной волны от N- периодической СР можно выразить через структурный фактор СР Fs в следующем виде [84]: )sin( )](sin[ }exp{ 2211 2211 YAYA YAYAN FiiE S       H 0 H , (1.46) где   (N  1)(A1Y1  A2Y2)  A1Y1, 2 22 2211 1 11 sin )](exp[ sin Y YA YAYAi Y YA FS  . (1.47) В формуле (1.46) величина sinNZ/sinZ по существу представляет собой модифицированную функцию Лауэ для СР. Она имеет экстре- мумы при обращении в нуль знаменателя (A1Y1  A2Y2  n, n  0, 1, 2, …) и числителя (N(A1Y1  A2Y2)  k, k  0, 1, 2, …). Из первого соотношения получается формула (1.27) для определения периода СР, из второго — формула (1.41) для вычисления толщины СР. За- метим, что формула (1.46) может быть получена как частный случай из общей формулы (1.15) в кинематическом пределе для прямо- угольной СР. Для этого достаточно использовать общую структуру Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 313 матрицы L, которая в кинематическом приближении существенно упрощается, и подставить ее в (1.15). В этом случае для прямо- угольной СР коэффициенты lij легко вычисляются аналитически, что и позволяет получить результат (1.46) как следствие общей теории без привлечения нестрогих, хотя и физически наглядных соображе- ний. При выполнении неравенства (1.34) для основного РД-максимума СР (I  0) произведение A1Y10  1. С учетом этого неравенства и свя- зи Y1l и Y10 посредством соотношений (1.27) и (1.42) амплитуда ос- новного РД-максимума оказывается пропорциональной величине 2121 101 101 0 )( sin AAAA YA YA FS  . (1.48) Таким образом, согласно (1.42) FS0 зависит только от толщин сло- ев и их структурных факторов: (F1h1  F1h1). Система шести урав- нений ((1.27), (1.41), (1.43), (1.48) и (1.47)) для I  1 и I  1 позволя- ет найти по РД-данным шесть параметров СР: h1, h2, N, F1/F2, ij (1) , ij (2) и [84]. Таким образом, для идеальной СР, удовлетворяющей ус- ловию (1.34), можно определить ее структурные параметры путем аналитического решения системы уравнений. Теория [84] применена для расчета деформаций и толщин слоев для двух различных СР: в [85] для СР AlSb/(001)GaSb с числом пе- риодов N  10, а в [84] для СР GaAs0,14P0,86/GaP/…/(001)GaAs с чис- лом периодов N  15. Отметим, что процедура расчета структурных параметров СР, предложенная в [84] и подробно изложенная в [22], может быть обобщена для более сложных СР, например таких, у ко- торых структура периода СР состоит из числа слоев n  2. В этом случае уравнения (1.42), (1.44) и (1.45) после соответствующего обобщения будут описывать дифракцию в СР с n-слойным перио- дом. Уравнения (1.27) и (1.41) остаются при этом неизменными так- же, как и уравнение, определяющее по угловому расстоянию между РД-максимумом подложки и основным РД-максимумом СР среднее значение компонент тензора деформации в СР. Это уравнение сле- дует из (1.43) при   0 [46]. Таким образом, результаты работ по рентгенодифракционному изучению СР позволяют резюмировать следующее. Рентгеновская дифрактометрия, являясь неразрушающим и наиболее чувствитель- ным методом измерения деформаций, состава, толщин слоев и пе- риода СР с числом слоев N  10 и T  100 Е, становится малоэффек- тивной для ультратонких СР ввиду малой интенсивности сателлитов и их большой ширины. Для исследования структуры ультратонких СР целесообразно ис- пользовать РД в условиях полного внешнего отражения (ПВО) [65, 86, 87]. Теория динамической дифракции в условиях ПВО отличает- 314 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ся от обычной динамической теории, поскольку вторыми производ- ными поля пренебрегать уже нельзя и необходимо учитывать не- прерывность на границе раздела как амплитуд поля, так и их произ- водных. Вследствие этого систему уравнений Такаги использовать нельзя. Теория скользящей дифракции рассмотрена в рамках фор- мализма собственных волн только для простейших случаев: идеаль- ного кристалла и кристалла с аморфной или кристаллической плен- кой с постоянным градиентом деформации. В отличие от формализма собственных волн, в котором дисперси- онные поправки определяют волновые векторы и отношение ампли- туд собственных волн в среде, в подходе Такаги все изменения, происходящие с дифрагированной волной, включены в ее амплиту- ду, что упрощает рассмотрение переменных с глубиной параметров среды. Именно на основе такого подхода в [88, 89] получена система четырех линейных дифференциальных уравнений для тангенциаль- ных компонент электрического и магнитного полей, которая спра- ведлива для динамической двухволновой дифракции в условиях ПВО. Развитая в [88–90] теория может быть использована для ана- лиза ультратонких СР с одномерным изменением деформации, структурного фактора и фактора Дебая–Валлера. Подход [88, 89] был использован в [91] для построения динамиче- ской теории дифракции в скользящей геометрии на СР. Рассмотре- ние проводилось на основе динамических уравнений дифракции, за- писанных для компонент электрических полей падающей и прелом- ленной волн. Эти уравнения получаются при исключении компонент магнитных полей из фундаментальной системы [88, 89] и являются прямым обобщением уравнений Такаги на случай динамической ди- фракции в скользящей геометрии. Уравнения [91] не позволяют рассматривать модели СР с непре- рывным изменением деформации по глубине, поскольку они получе- ны из материальных уравнений для строго периодической кристал- лической среды. Соответственно, в [91] использовалась модель СР со ступенчатым изменением деформации. При этом, однако, необ- ходим корректный учет граничных условий для полей на границах между слоями СР. Решения ищутся на основе формализма блохов- ских волн. Поля в каждом слое СР представляются в виде суперпо- зиции четырех блоховских волн, амплитуды которых определяются из граничных условий и условий псевдопериодичности Ei(z  T)  exp(iT)Ei(z), где комплексный параметр  имеет смысл характеристического по- казателя системы с периодическими коэффициентами для СР и оп- ределяется из секулярного уравнения четвертой степени. Волновые вектора блоховских волн определяются как корни дисперсионного Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 315 уравнения четвертого порядка. Представленный в [91] подход к описанию динамической дифрак- ции от СР в условиях скользящего падения позволяет реализовать удобную вычислительную схему расчета КДО численными методами и сопоставлять с экспериментальными данными. Однако получить в замкнутой форме какие-либо обозримые выражения таким способом не удается, поэтому его применение ограничено задачами частного характера (например, подгонкой теоретической КДО к эксперимен- тальной и определением численных значений параметров слоев СР). Вопросы анализа общих закономерностей динамической ди- фракции в рамках подхода [91] остаются открытыми. ГЛАВА II. ДИНАМИЧЕСКАЯ ДИФРАКЦИЯ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ 2.1. Концепция единой параметризации в проблеме описания динамической дифракции в сверхрешетках. Параметр когерент- ности сверхрешетки [92] Развитие дифракционной рентгеновской оптики одномерно модули- рованных периодических структур — СР, стимулируется следующими обстоятельствами. С одной стороны — это фундаментальная про- блема когерентного рассеяния волн рентгеновского диапазона час- тот на искусственной сверхструктуре (эпитаксиальной или акустиче- ской), период которой значительно превышает межатомное расстоя- ние [93]. С другой стороны, эпитаксиальные металлические и полу- проводниковые СР находят все большее применение в приборо- строении (рентгеновской оптике, опто- и акустоэлектронике) [22]. Для анализа когерентного рентгеновского рассеяния в рамках ди- намической теории дифракции в СР развиты различные подходы, которые можно условно разделить на три основных направления. Первое направление основано на качественном анализе решений системы уравнений Такаги с помощью зонных диаграмм [11, 94]. Вто- рое направление базируется на формализме Эвальда–Лауэ, в кото- ром динамическая дифракция описывается с помощью дис- персионных поверхностей, построенных в обратном пространстве [3, 70]. В третьем направлении используются рекуррентные соотноше- ния между амплитудами дифрагированной и проходящей волн, что является, по существу, обобщением дарвиновского подхода в дина- мической теории дифракции для СР [6, 7]. Кроме того, развиты ме- тоды приближенного решения системы Такаги для СР, в частности представление собственных решений системы Такаги [95]. Упомяну- тые подходы и результаты, к которым они приводят, подробно изло- жены в обзорах [94, 95], а также в предыдущей главе. 316 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Постановка и решение задач динамической дифракции в СР при- водили к тому, что основные закономерности образования КДО от СР (основной максимум и система сателлитов) определялись един- ственным параметром — величиной отношения периода СР к длине экстинкции T/ext. Существующая ситуация, однако, меняется при постановке следующих вопросов [92]. Первое. При заданной величине ext все существенные особенно- сти КДО от СР определяются периодическим полем деформации (z). Характеристики этого поля можно разделить на «внешние» и «внутренние». К «внешним» относятся период CР T и амплитуда деформации 0. Одной из важных «внутренних» характеристик явля- ется градиент деформации в переходной области между слоями СР, определяющий толщину интерфейса. Смысл разделения параметров СР на «внешние» и «внутренние» состоит в следующем. Величины T и 0 определяют общие особенности динамической дифракции на СР вне зависимости от конкретной модели. Это означает, что при фик- сированных T и 0 различные функциональные зависимости поля деформации (различные модели СР) дают дифракционную картину, общий вид которой остается неизменным. Поэтому ясно, что должен существовать некоторый универсальный физический параметр, ко- торый и определяет качественные особенности формирования вол- нового поля СР как следствие когерентного взаимодействия дифра- гированной и прошедшей волн. Универсальность этого параметра означает, что он должен зависеть одновременно и от периода T, и от амплитуды деформации 0. Приведенное рассуждение подводит к необходимости определения этого универсального параметра, на- званного в [92] — «параметром когерентности» СР. Второе. «Внутренние» параметры отражают особенности модели и, в отличие от «внешних», определяют конкретные количественные соотношения в КДО. При этом остается неясным, для какой из моде- лей СР динамические эффекты рассеяния проявляются в наиболь- шей степени. Постановка такого вопроса приводит к новому поня- тию, которое можно условно назвать «степенью динамичности» СР. Эта характеристика может зависеть от ряда «внутренних» парамет- ров, однако, нас будет в первую очередь интересовать влияние толь- ко одного такого параметра — градиента деформации в интерфейсе. Таким образом, наша ближайшая цель состоит в определении ука- занных характеристик, задающих, наряду с T/ext, состояние волно- вого поля в СР, и в выяснении их влияния на параметры КДО. 2.1. Параметр когерентности сверхрешетки Физический смысл параметра когерентности легче всего выяснить в простейшем случае симметричной дифракции по Брэггу от прямо- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 317 угольной СР с одинаковыми толщинами слоев. Пусть на первом по- лупериоде СР межплоскостное расстояние d1, а на втором — d2. Применение теории упруго-напряженного состояния многослойных эпитаксиальных структур к СР показывает, что в РД эксперименте измеряется среднее значение деформации  по периоду СР T [96]. Поэтому начало отсчета деформации естественно выбрать от сред- него значения межплоскостного расстояния d  (d1  d2)/2. Тогда уг- ловое положение основного максимума будет соответствовать нулю. Полное изменение межплоскостного расстояния на периоде СР, со- стоящем из N слоев, составляет Nd, где d  d1  d. Воспользуемся формализмом описания рентгеновской дифракции в СР, впервые предложенном в [83], когда период СР рассматривается как единая одномерная макроскопическая ячейка. Тогда, по аналогии с задачей кинематической дифракции от кристалла с монотонно меняющимся межплоскостным расстоянием [97], ясно, что все слои на полуперио- де СР рассеивают синфазно при выполнении условия Nd  d. Таким образом, величина    d d N (2.1) определяет синфазное, когерентное рассеяние на периоде СР, если   1, и несинфазное рассеяние, если   1. Учитывая, что N  T/d, а амплитуда изменения деформации 0 при данном выборе на- чала отсчета представляет собой d/d, преобразуем параметр  к следующему виду:        d T d dT d dN 0 2 . Заменяя в последнем выражении d согласно условию Вульфа– Брэгга, получим следующий вид параметра когерентности СР:    B0 sin2T , (2.2) где B — угол Брэгга, соответствующий среднему межплоскостному расстоянию d,  — длина волны падающего излучения. Наиболее просто увидеть влияние параметра когерентности СР при кинематической дифракции. Поскольку в этом случае при рас- сеянии волн амплитуды их от различных атомных плоскостей одни и те же, то КДО от СР представляет собой систему сателлитов одина- ковой угловой ширины, определяемой полной толщиной СР. Ясно, что при этом параметр когерентности является единственной харак- теристикой, определяющей интенсивность основного максимума и сателлитов в точном брэгговском положении. 318 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Этот факт непосредственно виден для гармонической модели СР, для которой амплитуда рассеяния дифракционной волны пропор- циональна [68]:     m mJR )( , (2.3) где Jm() — функции Бесселя первого рода, определяющие амплиту- ды основного максимума и сателлитов соответствующих порядков. При строгом рассмотрении кинематического интеграла [98] пара- метр  в общем случае оказывается равным )2sin 2 1 (cossin )sin( 2 B 2 B 2 B 0     ctg T , (2.4) где  — угол между рассеивающей плоскостью и поверхностью кри- сталла. Здесь и в дальнейшем в выражениях, содержащих знаки «», верхний знак соответствует случаю, когда рентгеновская волна падает под углом B  , нижний — под углом B   к поверхности кристалла. В случае симметричной дифракции по Брэггу (  0) фор- мула (2.4) для  переходит в (2.2). Лежащая в основе динамической теории дифракции концепция единого волнового поля не позволяет определить влияние парамет- ра когерентности на форму КДО непосредственно из наглядных фи- зических соображений. Поэтому необходимо рассмотреть ди- намическое рассеяние на конкретных моделях СР. Если ограничиться при решении задачи динамической дифракции на СР определением только ширин и угловых положений сателлитов, то оказывается, что это наиболее удобно в рамках формализма зон- ных диаграмм. Следовательно, для выяснения роли параметра коге- рентности использование этого подхода представляется наиболее естественным. Отметим здесь же, что указанное ограничение оправдано сле- дующими обстоятельствами. Во-первых, упомянутые характеристики связаны, по существу, с измерениями относительных угловых рас- стояний, которые производятся прецизионно. Во-вторых, этих харак- теристик оказывается вполне достаточно для определения структур- ных параметров СР, что и продемонстрировано в [94], а также в пре- дыдущей главе. 2.2. МЕТОД ЗОННЫХ ДИАГРАММ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ В СВЕРХРЕШЕТКЕ Динамическая дифракция для кристалла с модуляцией межплоско- стного расстояния описывается системой уравнений Такаги [99]: Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 319                            H 0 H 0 H H H 0 E E Xifi fi E E d d ))((22 20 , (2.5) где T z  ,            )1(2sin2 B 0 H 0H ff , )sin(2 B   T f . Здесь z — координата по нормали в глубь кристалла,  — фактор поляризации, 0, H и H, _ — фурье-компоненты поляризуемости кри- сталла, 0  sin(B ,  ) и H  sin(B  ) — направляющие косинусы преломленной и дифрагированной волн соответственно, X()  X(  ) — периодическая функция, задающая модель СР. Математическая структура решений уравнений с периодическими коэффициентами (таких как (2.5)) такова, что пространство парамет- ров системы состоит из зон устойчивых и неустойчивых решений, разделенных переходными областями. Каждая из зон характеризуется определенными соотношениями между параметрами системы. Физическая интерпретация неустойчи- вых решений в случае дифракции по Брэггу в полубесконечном кри- сталле состоит в том, что дифрагированная волна в пределах дан- ной области затухает по глубине кристалла, то есть волна «выталки- вается» из кристалла, формируя дифракционный максимум. Зоне устойчивых решений соответствует свободное распространение ди- фрагированной волны в глубь кристалла без образования дифрак- ционного максимума. Подобная интерпретация требует сопоставле- ния конкретной зоны с определенным угловым интервалом на КДО, для чего необходимо установить функциональную зависимость угло- вой переменной H (или k) от остальных параметров системы. С помощью подстановки                         H 0 HH H 0 x x ffe E E i 00 22 11 система Такаги (2.5) приводится к виду: 320 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев                                          H 0 H 0 H 0 x xXi x x i i x x d d 00 00 00 0 )( 0 0 , (2.6) где, в случае дифракции по Брэггу (H  0)  22 0 , (2.7) 0 H HH    224 f . (2.8) Из (2.6) видно, что характер решения определяется соотношения- ми между тремя параметрами , 0,  и переходные области пред- ставляют собой поверхности. Однако выяснение структуры зон ус- тойчивых и неустойчивых решений в пространстве параметров, то есть определение переходных поверхностей, еще не достаточно для установления указанной функциональной связи. Поясним сказанное. При проведении конкретного РД эксперимента изменяется угловая переменная , а величины амплитуды деформа- ции и периода СР (а значит ) остаются постоянными. Тем самым в пространстве параметров задается плоскость, параллельная коор- динатной плоскости (0, ). Для того. чтобы определить тип решения при текущем , необходимо локализовать некоторое значение 0 на прямой   const, лежащей в указанной плоскости. Локализация осу- ществляется заданием еще одного независимого соотношения 0  0(), определяющего в плоскости   const некоторую кривую. Пересечение этой кривой с прямой   const и дает необходимое зна- чение 0. Требуемое соотношение 0() задается формулой (2.7). В терми- нах теории Эвальда–Лауэ формула (2.7) представляет собой дис- персионное соотношение, связывающее волновые вектора падаю- щей и преломленной волн в одноволновом случае (то есть в случае отсутствия дифракции). В работах [68, 94] система (2.5) путем опре- деленных приближений, сводящихся к ее преобразованию к одному скалярному уравнению и выделению доминирующих членов, была сведена к уравнению Матье (1.1). В этом случае параметры уравне- ния Матье S и q, определяющие характер решения, выражаются че- рез , 0,  следующим образом: , 2 2 2 0  S q  2. Соотношение S(q), аналогичное 0(), было введено в [68] и на- звано «геодезической линией». В общем же случае поверхность, за- даваемую уравнением (2.7) в пространстве (0 2 , , ) параметров сис- темы (2.5), можно по аналогии с [68] назвать «геодезической поверх- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 321 ностью». Она представляет собой параболический цилиндр, изобра- женный на Рис. 4. Изложенный выше подход в рамках формализма зонных диаграмм Рисунок 4. Пересечение переходных поверхностей нулевого, первого и вто- рого порядков с геодезической поверхностью для симметричной модели СР. 322 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев позволяет рассматривать динамическую дифракцию в СР в общем виде и не использовать упрощения [68], приводящего задачу к урав- нению Матье. Существенно отметить, что приведенное рассуждение носит об- щий характер и не связано ни с выбором конкретной модели СР, ни с методом построения зонной диаграммы. Преимущество описанного выше формализма состоит в том, что при конкретных расчетах он сводится к обычным алгебраическим процедурам. Ниже мы рассмотрим ряд задач, опуская рутинные де- тали расчета и приводя лишь окончательные результаты. 2.3. Влияние градиента деформации между слоями сверхрешеток на динамические эффекты рентгеновской дифракции [100, 101] Развитие динамической дифракции рентгеновских лучей для ультра- звуковых и твердотельных СР [94, 95] выявило ряд принципиально новых особенностей формирования РД спектра сателлитов от СР, не проявляющихся в кинематическом подходе. Так, в частности, са- теллиты могут оказываться на разных расстояниях друг от друга, не- симметрично от основного максимума и иметь различные угловые ширины [11]. При этом, вообще говоря, указанные выше качествен- ные отличия проявляются в различной степени в зависимости от конкретного выбора модели СР. Выберем в качестве критерия, определяющего влияние динами- ческих эффектов при рассеянии в СР, величину градиента дефор- мации в интерфейсе (области между слоями СР). Ясно, что прямо- угольная модель по отношению к этому критерию представляет со- бой предельный случай. С другой стороны, примером СР с малой величиной градиента в интерфейсе является гармоническая модель. В связи с этим возникает вопрос, в какой из моделей указанные выше особенности динамической дифракции проявляются в наи- большей степени. Важно отметить, что решение этого вопроса наи- более естественно находится в методе зонных диаграмм. Покажем эффективность этого подхода для СР разных моделей. Рассмотрим вначале гармоническую модель СР, изменение де- формации в которой по направлению нормали к поверхности СР за- дается следующим образом: ()  0cos2. (2.9) Такая модель предполагает выбор начала отсчета угла от поло- жения основного РД максимума. Перейдем с помощью стандартных преобразований от системы Такаги к уравнению Хилла [47]. Исполь- зуя подход, предложенный в [102], получим аналитические выраже- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 323 ния для переходных кривых. Возможность построения двумерной зонной диаграммы обусловлена выбором параметра разложения в теории возмущений, который для симметричной геометрии дифрак- ции по Брэггу определяется формулой (2.2). Выбор именно параметра  разложения позволяет провести еди- ную параметризацию для уравнения Хилла. Зонная диаграмма для этого уравнения изображена на Рис. 5 сплошной линией. Здесь же приведена геодезическая линия, смысл которой состоит в том, что она отвечает различным значениям постоянного коэффициента S в уравнении Хилла и параметра  при одних и тех же значениях угло- вой переменной , определяющей отклонение от угла Брэгга. Пе- ресечения переходных кривых с геодезической линией определяют угловые интервалы формирования основного РД максимума и са- теллитов от СР [11]. В итоге для угловых ширин сателлитов первого и второго порядка имеем следующее выражение:         ,2 ),()0( 8 1 ,1 ),()0( 2 1 )( 2 mmQ mmQ m (2.10) где 2 1 2 ext 1)(                    m T mQ , (2.11) ext 2 )0(    — (2.12) ширина основного максимума для идеального кристалла, выражен- ная через длину экстинкции HH H0     ext . Формула (2.10) совпадает с приведенным в [95] выражением, но только для ширин сателлитов первого порядка. Рассмотрим СР с прямоугольным законом изменения деформа- ции:            . 2 , , 2 0 , )( 0 0 (2.13) 324 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Переходные кривые для этой модели показаны на Рис. 5 пунктир- ными линиями. Геодезическая кривая имеет тот же вид. Угловые Рисунок 5. Зонные диаграммы для гармонической (сплошная линия) и пря- моугольной (пунктирная линия) моделей СР. Точками обозначены пересече- ния переходных кривых с геодезической линией и соответствующие им уг- ловые положения на КДО. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 325 ширины сателлитов m-го порядка выражаются через (0) следую- щим образом:         . ... ,6 ,4 ,2 ),()0( 1 ...; ,5 ,3 ,1 ),()0( 2 )( 2 2 2 mmQ m mmQ mm (2.14) Поскольку величина Q учитывает динамические эффекты при рассеянии посредством фактора T/ext, то выражения (2.10) и (2.14) принципиально отличаются от аналогичных формул [6]. Как показано в главе 1, в кинематической теории угловые ширины основного РД максимума и всех сателлитов одинаковы. Отклонения от этой закономерности могут быть вызваны динамическим характе- ром рассеяния в СР, как это видно из (2.10), (2.14). Однако, как сле- дует из этих формул, величина указанных отличий зависит от кон- кретной модели СР. Следовательно, по отношениям ширин (0), (1), (2) можно судить о том, для какой из рассматриваемых моделей влияние динамических эффектов проявляется в наиболь- шей степени. Найденные с этой целью отношения ширин сателлитов   (0)/(1), (0)/(2) и (1)/(2) для обеих моделей при- ведены в Табл. 1. Данные Табл. 1 схематически изображены диаграммой на Рис. 6, где показаны отношения ширин сателлитов: гармоническая модель — заштрихованные столбцы, прямоугольная — не заштрихованные, соответствующее кинематическое значение равно единице — пунк- тирная линия. Из диаграммы видно, что особенности формирования единого волнового поля в СР с малым градиентом деформации между слоя- ми (таких, как гармоническая СР) приводят к тому, что динамические эффекты изменения ширин основного максимума и сателлитов ока- ТАБЛИЦА 1. Отношения ширин сателлитов (m) и основного мак- симума (0) для гармонической и прямоугольной моделей СР Модель СР Гармоническая Прямоугольная )1( )0(   )1( 1 2 Q )1( 1 2   Q )2( )0(   )2( 1 8 2  Q )2( 1 4 2  Q )2( )1(   )2( )1( 4   Q Q )2( )1(8    Q Q 326 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев зываются более резко выражены, чем у СР с большим градиентом деформации (прямоугольная СР). Таким образом, полученные результаты позволяют по отношению ширин сателлитов судить о величине градиента деформации в об- ласти интерфейса. К обсуждению этого результата мы вернемся чуть позже. 2.4. Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в сверхре- шетке с разными толщинами слоев в периоде [103–105] Подход к динамической рентгеновской дифракции в СР, развитый в [106, 107] на основе теории [11], здесь мы распространяем на пря- Рисунок 6. Сравнение величин  для гармонической (заштрихованные столбцы) и прямоугольной (не заштрихованные столбцы) моделей. Значе- ние   1 соответствует кинематической теории для обеих моделей. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 327 моугольную СР с различными толщинами слоев в периоде (закон изменения деформации показан на вставках рисунков 4, 7 и 8). Отдельно рассмотрим случай, когда толщина одного слоя много меньше толщины другого (вставка на Рис. 8). Таким СР присущи прин- Рисунок 7. Пересечение переходных поверхностей нулевого, первого и вто- рого порядков с геодезической поверхностью для прямоугольной модели СР (a  b, p  1/3). На вставке — закон изменения деформации для такой СР. 328 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ципиально новые свойства, связанные с уменьшением размерности структуры, приводящим к эффектам размерного квантования [108]. Рисунок 8. Пересечение переходных поверхностей нулевого, первого и вто- рого порядков с геодезической поверхностью для квантоворазмерной СР (a  b, q  1/10). На вставке — закон изменения деформации для такой СР. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 329 Условимся поэтому называть их квантоворазмерными СР. Наряду с очевидным практическим значением изучения подобных структур представляют самостоятельный интерес фундаментальные пробле- мы когерентной рентгеновской оптики в квантоворазмерных СР. Анализ структуры КДО от СР сводится к построению зон устой- чивых и неустойчивых решений упомянутой системы и «геодезиче- ской поверхности» [106, 107] в пространстве параметров, связан- ных со структурными характеристиками СР и условиями дифрак- ции. В работах [106, 107] было показано, что количественные угловые соотношения в КДО от СР с равными толщинами слоев, в частно- сти ширины сателлитов, определяются независимым влиянием трех факторов. Это означает, что в соответствующие выражения они должны входить в виде мультипликативных комбинаций. При этом один из факторов характеризует конкретную модель СР, на- пример переходную область между слоями, и поэтому его можно назвать «внутренним», в отличие от двух других («внешних»), оп- ределяющих общие особенности динамической дифракции на СР. Первый «внешний» фактор описывается выражением (2.11) и связан с общими особенностями динамического рассеяния на СР как едином объекте. «Параметр когерентности»  (формула (2.4)) выступает в качестве второго «внешнего» фактора [106, 107]. В соответствии с развитой в [106, 107] общей идеологией следу- ет ожидать, что для СР с различными толщинами слоев угловые ширины сателлитов также будут определяться независимым влия- нием упомянутых факторов. При этом, однако, в отличие от СР с одинаковыми толщинами слоев, во «внутренний» фактор должна входить еще одна величина, отражающая асимметрию толщин. Ясно, что эта величина должна быть некоторой безразмерной ком- бинацией толщин слоев и периода СР, которую удобно выбрать в виде: ba ba p    , 1  p  1. (2.15) Для случая квантоворазмерных СР a  b, p  1, и естественно выбрать новый параметр в форме ba b pq   2 1 , 0  q  1, (2.16) что дает возможность использовать его как параметр малости тео- рии возмущений. Построение зон устойчивых и неустойчивых решений системы Та- каги, как и в [106, 107] проведем методом, изложенным в [66]. Со- гласно [66] получим для случая a  b уравнение, задающее в неяв- 330 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ном виде переходные поверхности в пространстве (0 2 , , , p): 2sinsin 4)( 2coscos2 21 22222 0 22 0 21     baba , (2.17) где  222 01 ,  222 02 , (2.18) ext T   . Здесь   (  B) — угловая переменная. Приближенное решение трансцендентного уравнения (2.17) можно найти в виде ряда теории возмущений, при условии малости одного из параметров. В случае прямоугольной СР со сравнимыми толщинами слоев в периоде разложение, как и в [106, 107], прово- дится по малому . Поскольку для квантоворазмерной СР в качест- ве параметра разложения выбирается величина q  1 (2.16), то в этом случае ограничение   1 снимается в пределах выпол- нения предыдущего неравенства. Зоны устойчивых и неустойчивых решений в пространстве (0 2 , , ) для прямоугольной СР с a  b при p  1/3 показаны на Рис. 7, а для квантоворазмерной СР (a  b, p  0,9) — на Рис. 8. Из рисунков видно, что при p  1 происходит изменение переходных поверхно- стей, ограничивающих области устойчивых и неустойчивых реше- ний. Геодезическая поверхность согласно (2.18) не зависит от «внутренних» параметров. Результатом такого изменения является неравенство угловых ширин сателлитов, определяемых пересечениями геодезической поверхности с соответствующими переходными поверхностями. Кроме того, вся КДО смещается от положения, соответствующего симметричному случаю (p  0), когда основной максимум располо- жен при   0, на величину p. Формулы для угловых ширин сателлитов (m) для обоих рас- сматриваемых случаев приведены в Табл. 2. Верхние знаки перед членами в квадратных скобках соответствуют сателлитам положи- тельных порядков, нижние — отрицательных. Выражения для пря- моугольной СР со сравнимыми толщинами слоев в периоде полу- чены из (2.17) разложением по малому , а для квантоворазмерной СР — разложением по малому q при произвольном . Естественно, Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 331 что первые при p  1 (q  0), а вторые при   0 дают одинаковое выражение, также помещенное в Табл. 2. Здесь (0)id — ширина основного максимума для идеального кристалла, определяемая по формуле (2.12). Таким образом, общая область применимости указанных в Табл. 2 выражений ограничена значениями q  1 и   1. Проанализируем эти выражения. Рассмотрим два предельных случая: T  ext и T  ext. Первый случай формально соответст- вует полностью динамическому рассеянию. Однако при этом в выражении для угловой ширины сателлитов пропадает зависи- мость от ext: (m)  0, (2.19) а значит эффект экстинкционного затухания в угловом интервале сателлита не определяет его ширину. В этом проявляется сход- ство с кинематической дифракцией. В то же время здесь не про- слеживается полная аналогия с кинематической теорией, по- скольку ширины сателлитов зависят от амплитуды деформации 0 — результат сугубо динамического характера рассеяния. Если принять во внимание, что для СР характерной длиной яв- ляется период T, то случай T  ext номинально можно рассмат- ривать как кинематический предел динамической теории. Однако, как видно из получаемой в симметричном случае Брэгга зависи- мости T T m B 0 B ext 0 sin ~sin~)(       H , (2.20) T LT Bsin 2    , L  1, 2, 3, ..., (2.21) определяющим является динамический характер рассеяния, по- скольку (m) зависит здесь от ext. Для интерпретации формулы (2.20) используем представление о СР как об идеальном кри- сталле с макроэлементарной ячейкой с параметром T [83]. Са- теллиты в таком случае рассматриваются как отражения высоких порядков L, определяемые по формуле (2.21). Перенормируя H, из (2.20) получим T T Nm B 0 sin ~)(    H , N T H H   , (2.22) 332 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев Т А Б Л И Ц А 2 . У гл о в ы е ш и р и н ы с а те л л и то в О б щ и й с л у ч а й : x  0 , q  0 К в а н то в о -р а зм е р н а я С Р , a   b , q  0 П р я м о у го л ь н а я С Р , a  b ,   0 Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 333 где N — число элементарных ячеек на периоде T. В рамках такого представления величина H T /sinB T должна интерпретироваться как угловая ширина максимума соответствующего порядка. Как видно из (2.22), представление [83] не может быть непосредственно распро- странено на случай динамической дифракции, поскольку помимо указанной величины в (2.22) входит амплитуда деформации 0. Кро- ме того, подобная интерпретация вообще возможна лишь в случае T  ext, как это видно из сравнения формул (2.20) и (2.22). Таким образом, рассмотрение дифракции рентгеновских лучей в модулированных структурах, основанное на наглядных представле- ниях, далеко не всегда может оказаться адекватным реальным фи- зическим процессам, а в ряде случаев может приводить просто к не- правильным результатам. Как видно из Табл. 2, в пределе q  0 (p  1) угловые ширины са- теллитов стремятся к нулю. Выражение для ширины основного мак- симума квантоворазмерной СР      2 idQDSL 1)0( (0) q переходит при q  0 в формулу для ширины дифракционного макси- мума от идеального кристалла (0)id. При этом основной максимум смещается на величину —  относительно углового положения   0. Таким образом, при q  0 происходит непрерывный переход в КДО от идеального кристалла. Из формул для ширин сателлитов от квантоворазмерной СР, при- веденных в Табл. 2, в первом порядке по q с учетом выражений для , ext и (0)id для симметричного случая Брэгга получим:           , , , , sin 4)( ext extB 0QDSL T m T T qm H m  1, 2, … . (2.23) Поскольку при T  ext рассеяние происходит в основном на длине экстинкции, квантоворазмерная СР ведет себя практически как иде- альный кристалл. Однако в (2.23) помимо общих зависимостей, ука- занных выше, проявляются и специфические закономерности. Во- первых, все сателлиты имеют одинаковую угловую ширину. Во- вторых, поскольку q  2b/T, ширины сателлитов обратно пропорцио- нальны периоду СР, который при условии T  ext играет роль, аналогичную полной толщине кристалла в кинематической теории. В итоге, конечный результат зависит от чисто динамического эффекта — зависимости ширин сателлитов от амплитуды деформации 0 и сомножителя, обуславливающего кинематическое рассеяние — q. Из данных Табл. 2 видно, что, как и следовало ожидать, согласно 334 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев общей идеологии, развитой в [106, 107] и обоснованной выше для СР с разными толщинами слоев, характер зависимости угловых ши- рин сателлитов от упомянутых выше факторов сохраняется и для квантоворазмерной СР. Однако, в первом приближении, для нее от- сутствует различие между сателлитами четных и нечетных поряд- ков, существующее для прямоугольной модели с a  b. Выражения для угловых расстояний сателлитов от основного мак- симума для обоих рассматриваемых случаев совпадают с аналогич- Рисунок 9. Зонная диаграмма для СР прямоугольной асимметричной моде- ли. Показано образование основного рентгенодифракционного максимума и сателлитов первого порядка. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 335 ной формулой для симметричной СР, приведенной в [106, 107]. То есть, динамический характер этой зависимости выполняется и для квантоворазмерной СР. На Рис. 9 сопоставляется КДО (сплошная линия) с границами зон существования отражений, рассчитанными с помощью указанного выше подхода (штрих-пунктирные линии). КДО для прямоугольной асимметричной модели была построена с помощью последователь- ного применения формулы для коэффициента отражения от двух- слойной системы приведенной в [90]. Расчет проведен для СР Al0,57Ga0,43As/GaAs/…/(100)GaAs при p  1/3, отражение (400) на CuK1 -излучении. Аналогичный расчет КДО для квантоворазмерной СР того же состава и сопоставление с границами зон приведены на Рис. 10. Видно хорошее соответствие данных численного экспери- мента с теоретическими значениями. Таким образом, здесь мы получили аналитические выражения, связывающие «внутренние» параметры прямоугольной СР с угло- выми ширинами сателлитов КДО. Это открывает возможность опре- деления соотношения толщин слоев в периоде СР по эксперимен- тальным данным. Следует отметить, что для квантоворазмерных СР существенной особенностью дифракции по Брэггу как в динамическом случае, так и в кинематическом пределе, является уменьшение ширин сателлитов по единому закону q/m. При этом различие между ширинами четных и нечетных порядков сателлитов, имеющее место для случая a  b, снимается. Следует ожидать, что такая ситуация имеет общий ха- рактер для квантоворазмерных СР, вне зависимости от конкретной модели. Действительно, для такой СР a  b и поэтому всегда можно ввести малый «внутренний» параметр, по смыслу аналогичный q, который и будет определять угловые ширины сателлитов. Таким об- разом, в случае квантоворазмерной СР наблюдается своеобразное «вырождение», когда в условиях динамической дифракции ширины сателлитов определяются уже не особенностями модели, а размер- ными эффектами СР. 2.5. Динамическая рентгеновская дифракция в сверхрешетках с различным градиентом деформации в переходной области [106, 107] Выясним характер влияния ширины переходной области между слоями в периоде СР на характеристики КДО. Для решения постав- ленной задачи естественно выделить предельный случай — прямо- угольная СР с нулевой шириной переходной области (интерфейса) между слоями. С другой стороны, из класса СР с размытым интер- фейсом (плавное изменение градиента деформации между слоями) удобно выбрать гармоническую модель СР. При сохранении сущест- 336 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ва вопроса расчет для такой модели наименее громоздкий. Для гармонической модели (2.9) система Такаги стандартными преобразованиями сводится к уравнению Хилла: Рисунок 10. Зонная диаграмма для квантоворазмерной СР. Показано обра- зование основного РД максимума и сателлитов первого порядка. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 337 02sin24cos 2 2cos2 2 2 2             uiS d ud . (2.24) Функция u() с точностью до фазового множителя, несущественно- го для последующего анализа, совпадает с амплитудой дифрагиро- ванной волны EH. Зонную диаграмму этого уравнения построим с помощью метода растянутых параметров [109]. В этом методе в ряд по степеням  разлагается как решение u(, ), так и параметр S. Разложение S проводится в окрестностях точек n 2  0, 1, 4, 9, ..., где происходит пе- реход от одного типа решения к другому (от устойчивого к неустойчи- вому или наоборот). Таким образом, будем искать так называемое равномерно пригодное разложение вида u(, )  u0()  u1()   2 u2()  ..., S(n)  n 2  s1   2 s2  ..., в котором коэффициенты si находятся из требования периодичности решения. Найденные выражения для нулевой, первой и второй пе- реходных поверхностей уравнения (2.24) в координатах (0 2 , , ) приведены в Табл. 3; верхний либо нижний знак в выражениях зада- ет лист переходной поверхности. На Рис. 4 показано пересечение переходных поверхностей с параболическим цилиндром, играющим роль «геодезической поверхности». Будем рассматривать образование отражений в интересующей нас плоскости   const. Попарно решая относительно угловой пере- менной  полученные выражения с уравнением (2.17), найдем коор- динаты точек пересечения переходных кривых и «геодезической ли- нии». Эти точки определяют угловые интервалы формирования ос- новного РД максимума и сателлитов от СР. Полученные соотношения дают связь между структурными параметрами СР, условиями экспе- римента и видом КДО (положениями и ширинами основного РД мак- симума и сателлитов). Не приводя самих этих выражений, отметим, что при выполнении условия  0  H (2.25) они приобретают особенно простой вид. Отметим, что условие (2.25), в частности, отвечает дифракции на ультразвуковой СР [5, 71, 93]. В итоге для угловых ширин сателлитов первого и второго поряд- ков имеем компактное выражение (2.10). Формула (2.10) совпадает с приведенными в [6, 9] выражениями для сателлитов первого поряд- ка. Корректное выражение для ширин сателлитов второго порядка 338 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев (2.10) получено впервые. Из общих формул для ширин сателлитов следует, что при опреде- ленных соотношениях между 0 и H «геодезическая кривая» не пе- ресекает некоторые области неустойчивого решения. В рамках рас- сматриваемого здесь формализма это означает возможность исчез- новения соответствующих сателлитов. Так, например, угловая шири- на сателлитов первого порядка для гармонической СР становится равной нулю при выполнении неравенства 4   2 или, что то же са- мое, согласно (2.4) и (2.8) 4 0 ext h    H . Зонная диаграмма уравнения (2.24) приведена на Рис. 5 сплошной линией. Показано образование основного РД максимума и сателли- тов первого и второго порядка для дифракции по Брэггу в симмет- ричной геометрии. Выясним теперь особенности КДО для симметричной прямоуголь- ной модели: )+()( ,</2 ,1 /2,<0 ,1 )(        XXX . (2.26) Для этого проще всего использовать следующий подход. Построим матрицу монодромии A (матрицу отображения за период) системы (2.5) [47, 66]. Известно, что граница устойчивости задается условием [66] TrA  2, которое для нашей задачи имеет вид ТАБЛИЦА 3. Формулы переходных поверхностей для гармонической и пря- моугольной моделей СР Гармоническая модель Прямоугольная модель        4 4 1 6 1 3 2 4)2( 1 2 1 1)1( 2 1 )0( 22 2222 0 222 0 222 0   ,...6,4,2= ...,2 1 )( 1,3,5,...= ..., 4 )( ... 12 )0( 222 2 222 0 22222 0 22 2 2 0 n n n nn n n n nn         Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 339 2 2 sin 2 sin 4)( 2 2 cos 2 cos2 21 22222 0 22 021       , (2.27) где 1 и 2 определяются по формуле (2.18) Уравнение (2.27), являясь частным случаем (2.17), в неявном виде задает переходные поверхности для прямоугольной СР. Явный вид переходных поверхностей, полученных из (2.27) разложением 0 2 в ряд по малому параметру , приведен в Табл. 3. В отличие от гармонической СР, формулы прямоугольной модели задают уравнения переходных поверхностей любого порядка. По- этому, используя приближение (2.25), можно записать выражения для угловых ширин всех сателлитов (2.14). Отметим, что величина Q(m), которая входит как в (2.10), так и в (2.14), является следствием динамического характера рассеяния в СР, поскольку в ней содержит- ся фактор T/ext. Аналогичные формулы работы [6] не содержат Q(m) и, таким образом, принципиально отличаясь от (2.14), не учитывают эффектов динамического рассеяния. Переходные кривые для пря- моугольной СР показаны на Рис. 5 пунктирными линиями. Расстояние между основным РД максимумом и сателлитом m-го порядка при выполнении условия (2.26) для обеих моделей СР вы- ражается формулой (см., например, [9, 94]): B2sin)( ),0(    mTQ m m H . Обратимся теперь к анализу выражений (2.10), (2.14), полученных для ширин сателлитов разных моделей. Эти формулы принципиаль- но отличаются от результатов кинематической теории, где, как из- вестно, основной РД максимум и сателлиты имеют одинаковую ши- рину для любой модели СР [94]. Выражения (2.10) и (2.14) показывают, что при динамической ди- фракции на СР сателлиты разных порядков имеют разную ширину, вне зависимости от модели. Причиной этого является зависимость ширин сателлитов от «параметра когерентности» . В этом проявля- ется, как указывалось выше, универсальность параметра . Посколь- ку в нашем случае формулы (2.10) и (2.14) получены при условии   1, то ясно, что ширины сателлитов меньше ширины основного максимума, что и наблюдалось экспериментально от ряда полупро- водниковых СР, см., например, [82]. С увеличением  начинает проявляться кинематический характер рассеяния (например, увели- чение 0 при постоянном T [71]). Вместе с тем, абсолютное значение ширин сателлитов (m) для каждой из моделей определяется соответствующим числовым мно- жителем — «амплитудой». Это означает, что ширины сателлитов за- 340 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев висят не только от  и условий дифракции, но и от характера изме- нения деформации на периоде СР, то есть модели СР. Таким образом, в динамической теории дифракции на СР следует ввести новую характеристику — «степень динамичности» СР. В каче- стве такой характеристики можно взять величину отклонения от еди- ницы отношений ширин сателлитов различных порядков [100, 101]: )( )( )( n m nm    , m, n  0, 1, 2, … (2.32) Кинематической теории соответствует   1. Ясно, что чем больше отличие величины (m/n) от единицы, тем в большей степени прояв- ляются динамические эффекты при формировании единого волново- го поля в СР. Вычисленные для обеих моделей значения (0/1), (0/2), (1/2) [100], представленное на Рис. 6 показывает, что для гармо- нической модели динамические эффекты изменения ширин основно- го РД максимума и сателлитов оказываются более резко выражены, чем для прямоугольной СР. В этом смысле гармоническая СР оказы- вается более «динамической», чем прямоугольная. Следовательно, по «степени динамичности» можно судить о вели- чине градиента деформации в переходной области реальной СР, а значит и величине размытости интерфейса, которую невозможно из- мерить прямыми РД методами. Отметим, что представленный здесь подход к описанию динами- ческой дифракции в СР может быть обобщен и на СР с переменной электронной плотностью в слоях [110, 111]. Анализ этой задачи не встречает принципиальных затруднений, однако в данном случае требуется дополнительное исследование зонной структуры и опре- деление минимального набора специфических параметров по ана- логии с проведенным выше. 2.6. Особенности дифракции в кристаллах с переменным градиентом деформации, следующие из характеров решений уравнений Такаги [112, 113]. Структура с периодическим полем деформации Качественные аналитические методы при исследовании задач дина- мического рентгеновского рассеяния актуальны по ряду причин. Главным образом это связано с тем, что они могут быть применены в совершенно различных областях науки [16]. Например, распростра- нение волн различной природы в периодических средах относится к сфере физики твердого тела, а различные волновые процессы в средах с распределенной обратной связью рассматриваются в ра- диотехнике и электронике. Применимость качественного подхода Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 341 обусловлена общим свойством различных физических систем и про- цессов — наличием параметрического влияния характеристик среды на формирование волнового поля. В случае рентгеновской дифракции в деформированном кристал- ле влияние на волновое поле оказывают параметры, которые можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся собст- венно дифракционные (геометрические) характеристики — реали- зуемая схема дифракции, углы отклонения от точного брэгговского значения. Во вторую группу входят параметры, определяющие свой- ства кристалла как (квази)периодической среды с заданными элек- тронной плотностью и изменением межплоскостного расстояния, то есть деформации. С точки зрения теории дифракции несомненный интерес представляет выяснение влияния структурных параметров — толщин деформированных слоев, градиентов и амплитуды де- формации — на характеристики кривой дифракционного отражения. В дальнейшем мы будем рассматривать задачу рентгенодифракци- онного анализа именно в этом аспекте. Качественные аналитические методы могут быть использованы для широкого класса моделируемых профилей деформации, вклю- чающих не только СР, которые были рассмотрены в предыдущей главе, но и структуры с монотонными произвольными градиентами деформации [114]. Важно при этом, что достигаемая степень общно- сти качественного анализа позволяет выявить ряд закономерностей дифракционной картины при минимальной конкретизации характера распределения деформации по глубине кристалла. Эти закономерности обусловлены, в первую очередь, математиче- ской структурой уравнений Такаги. Кроме того, можно выделить ха- рактерные особенности, связанные с общими свойствами различных профилей деформаций, позволяющими провести их классификацию по некоторым специфическим параметрам. Сказанное делает оче- видным использование качественных методов исследования реше- ний дифференциальных уравнений, и конкретно, с позиций матема- тической теории устойчивости [47, 115]. Такой подход был впервые применен в [11] как для акустической, так и для эпитаксиальной СР, и впоследствии развит в целом ряде работ и распространен на произвольные модели СР, например, [103, 106, 107]. Подробное изложение подхода и примеры его реализа- ции на конкретных примерах были даны ранее в главе I. Рассмотрим кратко физическую интерпретацию возможных типов решений уравнений Такаги с точки зрения теории устойчивости. Характерно, что устойчивое решение линейной системы диффе- ренциальных уравнений всегда ограничено на всем рассматривае- мом бесконечном интервале значений аргумента (для нелинейных систем уравнений, в общем случае, такое утверждение уже неспра- ведливо [115]). Напротив, неустойчивое решение, вообще говоря, 342 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев может неограниченно возрастать. Важно отметить, что для линейной системы свойства решений (устойчивость или неустойчивость) носят инвариантный характер, то есть они либо все одновременно устой- чивы, либо неустойчивы. Отсюда следует, что тип решения не зави- сит от выбора фундаментальной системы решений (для системы уравнений — фундаментальной матрицы решений). Устойчивый характер решения системы уравнений Такаги означа- ет, что падающая рентгеновская волна свободно распространяется в глубь кристалла, не испытывая затухания, связанного с интерфе- ренционными эффектами. (Здесь мы отвлекаемся от не влияющих на общую картину эффектов истинного фотоэлектрического погло- щения и некогерентного рассеяния). Если же решение оказывается неустойчивым, то для полубесконечного кристалла неограниченно возрастающую по модулю волну мы должны отбросить как не соот- ветствующую реальной физической ситуации, и оставить только за- тухающую волну. Затухание волны в этом случае будет связано с ин- терференционными эффектами типа экстинкции, не позволяющими ей проникать на значительную глубину в кристалл, и перераспреде- лением энергии из падающей в отраженную волну. Как следствие, падающая волна «выталкивается» из кристалла. Граничные условия, соответствующие различным схемам дифрак- ции (по Брэггу — на отражение, или по Лауэ — на прохождение), «формируют» в каждом случае такую конфигурацию волнового поля, которая обеспечивает образование дифракционного максимума только для одного типа решения. В случае дифракции по Брэггу об- ласти дифракционного максимума будет соответствовать неустойчи- вое решение, а для дифракции по Лауэ, наоборот, устойчивое. Такая интерпретация дифракционной картины в применении к СР и была использована в [11]. Тип решений, разумеется, определяется соотношениями между параметрами, входящими в исследуемую систему уравнений. Для уравнений Такаги эти параметры задаются угловой отстройкой от точного угла Брэгга и структурными характеристиками кристалла и деформационного профиля. Принципиальным моментом здесь яв- ляется то, что математическая теория устойчивости позволяет для ряда важнейших случаев проводить конструктивную классификацию возможных типов решений. Она проводится на основании соотноше- ний между специфическими комбинациями параметров дифферен- циальной системы и аналитических свойств рассматриваемых про- филей деформации. Из проведенного рассуждения следует вывод. Основные качест- венные закономерности формирования единого волнового поля в кристалле с заданным законом изменения деформации по глубине могут быть получены без решения уравнений Такаги на основании только упомянутых выше параметрических соотношений. Более того, Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 343 такой анализ можно проводить для целых классов различных де- формационных профилей, имеющих лишь некоторые характерные общие свойства. Важно, что такой подход остается эффективным, даже если мы не располагаем полной информацией о деформационном профиле (как чаще всего и бывает на практике), а имеем только некоторые общие сведения (например, монотонное уменьшение деформации по глу- бине или дополнительную периодичность). Такой подход обладает несомненной эвристической ценностью, позволяя с наиболее общих позиций анализировать закономерности динамической дифракции. Связано это с тем, что указанным соот- ношениям и аналитическим свойствам деформационных профилей придается вполне определенный физический смысл. Тем самым, для класса рассматриваемых задач выделяются некоторые общие параметрические соотношения, определяющие особенности форми- рования единого волнового поля в деформированном кристалле в условиях динамической дифракции. Естественно, что более детальную информацию о решении полу- чить таким способом не удается. Здесь уместно провести следую- щее пояснение. Методы теории устойчивости позволяют находить некоторые детали решения (комбинации параметров) и его свойства (например, ограниченность в заданном угловом интервале), однако «рецепт» конструирования конкретного решения из этих деталей от- сутствует. Кроме того, оставаясь в рамках данного подхода, мы не можем сказать, нашли ли мы все комбинации параметров, необхо- димые для описания дифракции рассматриваемого профиля. Существует еще одно ограничение, связанное с качественным анализом. Дело в том, что теоремы теории устойчивости чаще всего формулируются в терминах лишь достаточных условий, оставляя открытыми вопросы, связанные с необходимостью получаемых соот- ношений между параметрами. Учет граничных условий, осуществляемый неявно на основе ука- занной выше интерпретации, позволяет не решать каждый раз гра- ничную задачу. При этом однозначное сопоставление угловых интер- валов, получаемых из параметрических соотношений, реальным об- ластям соответствующих дифракционных максимумов строго спра- ведливо лишь для полубесконечного кристалла. Это связано с оче- видным пренебрежением эффектами интерференции стоячих волн, заключенных между противоположными гранями облучаемого кри- сталла. Разумеется, аналитический метод, не обладая общностью подхо- да, связанного с применением теории устойчивости, позволяет полу- чать детальную информацию о свойствах решений конкретных точно решаемых модельных задач, а в ряде случаев, опираясь на данные качественного анализа, и экстраполировать эти свойства на другие 344 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев модели, решение для которых неизвестно. Таким образом, взаимно дополняющее использование качествен- ного и аналитического подходов позволяет при определенных усло- виях получать информацию о дифракционных полях, недоступную каждому из них в отдельности. Покажем применение изложенных выше общих рассуждений для конкретного класса кристаллических структур с переменным гради- ентом деформации и для СР в случае динамической рентгеновской дифракции по Брэггу. Рассмотрим теперь СР — объект с периодическим полем дефор- мации X()  X(  T). В этом случае нормировку координаты естест- венно провести на период СР l  T/, а под ext понимается длина экстинкции идеального кристалла. Для того чтобы установить минимальное необходимое число структурных параметров, определяющих характер решения, необхо- димо привести систему уравнений Такаги к специальному симмет- ричному виду, в котором матрица A диагональна. В результате такой процедуры (так называемая L-диагонализация [115]) оказывается, что характер решения для произвольной модели СР определяется набором следующих основных параметров: , 0, где 0 2   2  , T/ext и . Причем указанные четыре параметра являются минималь- но необходимыми для описания дифракции в любой СР, а в зависи- мости от ее конкретной модели могут появится и другие, так назы- ваемые «внутренние» параметры [106], определяемые явным видом функциональной зависимости X(). В частности, к «внутренним» па- раметрам относится градиент деформации между слоями СР, влия- ние которого на вид КДО для различных моделей СР выяснялось ранее. Аналитическое описание как кинематического, так и динамическо- го характера процесса рассеяния рентгеновской волны в СР требует использования универсального параметра, , физический смысл ко- торого обсуждался в [106]. Величина  определяет синфазное коге- рентное рассеяние на периоде СР. А именно, рассеяние происходит синфазно, если   1, и несинфазно, если   1. Согласно математической теории устойчивости дифференциаль- ных уравнений с периодическими коэффициентами [47], зоны устой- чивых и неустойчивых решений системы уравнений Такаги для СР реализуются в трехмерном пространстве параметров , 0 2 и . При- чем, поверхности в этом пространстве, которые отделяют области устойчивых решений от неустойчивых, зависят от величины T/ext. Таким образом, все основные характеристики КДО от СР (ширины сателлитов и расстояния между ними) должны зависеть от указан- ных выше параметров. Эти характеристики определяются из совме- стного решения уравнений геодезической поверхности 0 2   2   и границ зон устойчивых и неустойчивых решений. Поскольку полу- Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 345 чающаяся система трансцендентна, то ее аналитическое решение возможно только методами теории возмущений по малому парамет- ру. Если в качестве такого параметра используется , то ясно, что в общем случае, в первом приближении, ширины сателлитов должны быть пропорциональны . Однако, в ряде случаев может проявлять- ся дополнительная симметрия задачи. В частности, для СР с равны- ми толщинами слоев может наблюдаться «вырождение», и тогда са- теллиты разных порядков могут по-разному зависеть от  как это видно из приведенных выше выражений. Особый случай представляет собой квантоворазмерная СР, в ко- торой толщина одного из слоев в периоде много меньше другого (a  b, a  b  T). Таким СР присущи принципиально новые свойства, связанные с понижением размерности структуры, приводящим к эффектам размерного квантования [22, 108]. Для прямоугольной квантоворазмерной СР удобно выбрать пара- метром малости теории возмущения величину ba b pq   2 1 , что снимает ограничение   1. Поскольку и в этом случае па- раметр  сохраняет свой универсальный характер, а разложение должно вестись по величине q, то ясно, что ширины сателлитов разных порядков пропорциональны произведению q. Таким образом, качественное рассмотрение задачи динамиче- ской дифракции в СР произвольного вида позволяет сделать сле- дующие выводы. I. Адекватное описание процессов динамического рассеяния в СР требует введения некоторого минимального набора парамет- ров. Эти параметры относятся как к непосредственному описанию дифракции в терминах, прямо отражающих наблюдаемые величи- ны — волновых векторов падающей и отраженной волн, так и структурных параметров, определяющих периодическое поле де- формации в кристалле. II. Указанными параметрами являются амплитуда деформации и период СР. Кроме того, должен существовать характерный без- размерный масштаб области формирования волнового поля в кри- сталле, который определяется отношением T/ [11]. Ясно поэтому, что от этих параметров в основном будет зави- сеть общий вид кривой дифракционного отражения. Конкретные аналитические выражения должны зависеть также и от внутренних структурных параметров, определяющих поведение деформацион- ного поля на длине периода. Общие качественные выводы, изложенные выше, подтвержда- ются конкретными расчетами для разных моделей (гармонической и прямоугольных) СР [104, 105, 107], кристалла с переходной об- 346 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев ластью [14] и кристалла с экспоненциальным градиентом дефор- мации [116]. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В обзоре приведены развитые ранее в ряде оригинальных работ методы анализа динамических задач рентгеновской дифракции в многослойных периодических структур. Анализ основывается на методах качественной теории диффе- ренциальных уравнений и позволяет с наиболее общих позиций определять характер дифракционного рассеяния в различных ус- ловиях дифракции и для различных угловых областей кривой ди- фракционного отражения. Такой подход позволяет исследовать общие закономерности формирования единого волнового поля в СР и получать эвристическую информацию о специфических па- раметрах, включающих в себя структурные характеристики де- формационного профиля и дифракционные (геометрические) ус- ловия. Наиболее существенными результатами являются следующие. Для адекватного описания процесса динамической дифракции помимо известной величины T/ext, необходимо ввести в рассмот- рение новый универсальный параметр — параметр когерентности . Этот параметр управляет общим характером взаимодействия дифракционных полей внутри кристалла, от него одинаковым об- разом зависят ширины сателлитов любых моделей СР. Рассмотрение моделей СР с различным характером изменения деформации показывает, что целесообразно ввести новую харак- теристику — «степень динамичности» , в которой заложена ин- формация о размытости интерфейса между слоями СР. Динамический характер рассеяния приводит к тому, что рас- стояния между основным максимумом и сателлитами пропорцио- нальны величине zz (j) , зависящей от T/ext , а угловые ширины са- теллитов определяются независимым влиянием трех основных факторов. Первый фактор — Q(m) — связан с общими особенно- стями динамического рассеяния на кристалле как целом. Во- вторых, вне зависимости от модели СР, ширины сателлитов не- четного порядка пропорциональны «параметру когерентности» , а ширины четных порядков — величине  2 . Третьим, числовым, сомножителем, определяющим ширины сателлитов и «степень динамичности» СР, является величина, зависящая от «внутрен- них» параметров СР (в данном случае от градиента деформации в интерфейсе), то есть просто числовой множитель. Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 347 БЛАГОДАРНОСТИ Авторы благодарны член-корреспонденту НАН Украины, профессору В. Б. Молодкину за стимулирование данного обзора. Мы также при- знательны профессору МГУ В. А. Бушуеву и ведущему научному со- труднику ФТИ РАН профессору Р. Н. Кютту за обсуждение и ценные замечания. Работа выполнена при поддержке ФПЦ «Интеграция». ЛИТЕРАТУРА 1. Ф. Н. Чуховский, Металлофизика, 2, № 6: 3 (1980). 2. Ф. Н. Чуховский, Металлофизика, 5, № 2: 3 (1981). 3. И. Р. Энтин, ЖЭТФ, 77, № 1(7): 214 (1979). 4. I. R. Entin, Acta Cryst. A, 37, Suppl. C: 266 (1981). 5. D. M. Vardanyan, H. M. Manoukyan, and H. M. Petrosyan, Acta Cryst. A, 41: 212 (1985). 6. D. M. Vardanyan, H. M. Manoukyan, and H. M. Petrosyan, Acta Cryst. A, 41: 218 (1985). 7. Yu. N. Belyaev and A. V. Kolpakov, Phys. Stat. Sol. A, 76: 641 (1983). 8. А. В. Колпаков, Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах с одномер- ным изменением периода решетки (Москва: МГУ: 1988). 9. А. В. Колпаков, И. Р. Прудников, Дифракция рентгеновских лучей в сверх- решетках (Москва: МГУ: 1992). 10. Ю. П. Хапачев, Г. Ф. Кузнецов, Кристаллография, 28, вып. 1: 27 (1983). 11. Yu. P. Khapachev, Phys. Stat. Sol. B, 120, 155 (1983). 12. Ю. П. Хапачев, Теория дифракции рентгеновских лучей в многослойных кристаллических системах и ее применение к анализу гетероструктур и сверхрешеток (Дисс. … д-ра физ.-мат. н.) (Нальчик: КБГУ: 1990). 13. Ю. П. Хапачев, Точное аналитическое решение задачи динамической ди- фракции в кристалле с переходным слоем, Сб.: Физика и химия поверхно- сти (Нальчик: КБГУ: 1982), с. 36. 14. Ю. П. Хапачев, Ф. Н. Чуховский, ФТТ, 26, вып. 5: 1319 (1984). 15. F. N. Chukhovskii and Yu. P. Khapachev, Phys. Stat. Sol. A, 88, No. 1: 69 (1985). 16. Ш. Элаши, ТИИЭР, 64, № 12: 22 (1976). 17. В. А. Беляков, Дифракционная оптика периодических сред сложной струк- туры (Москва: Наука: 1988). 18. Л. В. Келдыш, ФТТ, 4, вып. 8: 2265 (1962). 19. L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Research and Development, 44, No. 1: 61 (1970). 20. А. Я. Шик, ФТП, 8, вып. 10: 1841 (1974). 21. В. А. Тавгер, В. Я. Демиховский, УФН, 96, вып. 1: 61 (1968). 22. М. Херман, Полупроводниковые сверхрешетки (Москва: Мир: 1989). 23. А. В. Виноградов, Б. Я. Зельдович, Оптика и спектроскопия, 42, вып. 4: 709 (1977). 24. B. Abeles and T. Tiedje, Phys. Rev. Lett., 51, No. 21: 2003 (1983). 25. T. Ogino and Y. Mizushima, Japan J. Appl. Phys., 22, No. 11: 1674 (1983). 26. Национальная конференция по применению рентгеновского, синхротронно- 348 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев го излучений, нейтронов и электронов (Дубна: 1997), т. 1, т. 2, т. 3. 27. I. K. Schuller, Phys. Rev. Lett., 44, No. 24: 1597 (1980). 28. K. E. Meyer, G. P. Felcher, S. K. Sinha, and I. K. Schuller, J. Appl. Phys., 52, No. 11: 6608 (1981). 29. M. R. Khan, C. S. L. Chun, G. P. Felcher et al., Phys. Rev. B, 27, No. 12: 7186 (1983). 30. B. M. Clemens and J. G. Gay, Phys. Rev. B, 35, No. 17: 9337 (1987). 31. M. Onoda and M. Sato, Solid State Communs., 67, No. 8: 799 (1988). 32. D. Ariosa et al., Phys. Rev. B, 37, No. 5: 2415 (1988); ibid.: 2421. 33. J.-P. Locquet, D. Neerinck, L. Stockman et al., Phys. Rev. B, 38, No. 5: 3572 (1988). 34. L. V. Melo, I. Trindade, M. From, P. P. Freitas, N. Teixeira et al., J. Appl. Phys., 70, No. 12: 7370. 35. Р. Н. Кютт, В. П. Улин, А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, ЖТФ, 66, вып. 12: 39 (1996). 36. Ж. И. Алферов, Ю. В. Жиляев, Ю. В. Шмарцев, ФТП, 5, вып. 1: 196 (1971). 37. J. W. Mattwes and A. E. Blakeslee, J. of Cryst. Growth, 27, No. 1: 118 (1974). 38. G. C. Osbourn, J. Appl. Phys., 53, No. 10: 1586 (1982). 39. J. C. Bean, L. C. Feldman, A. T. Fiory et al., J. Vac. Sci. Technol. A, 2: 436 (1984). 40. A. Ouzmard and J. C. Bean, Phys. Rev. Lett., 55, No. 7: 765 (1985). 41. D. M. Wood, S.-H. Wei, and A. Zunger, Phys. Rev. Lett., 58, No. 11: 1123 (1987). 42. В. А. Елюхин, Л. П. Сорокина, Докл. АН СССР, 287, № 6: 1384 (1986). 43. Ю. П. Хапачев, А. А. Дышеков, А. Н. Багов, М. А. Галушко, Г. Ф. Кузнецов, Матер. конф. «Субструктурное упрочение металлов и дифракционные методы исследования» (Киев: Наукова думка: 1985), с. 198. 44. Ю. П. Хапачев, Ф. Н. Чуховский, Металлофизика, 9, № 4: 64 (1987). 45. Ю. П. Хапачев, Ф. Н. Чуховский, ФТТ, 31, вып. 9: 76 (1989). 46. Ю. П. Хапачев, Ф. Н. Чуховский, Кристаллография, 34, вып. 3: 776 (1989). 47. В. А. Якубович, В. М. Старжинский, Линейный дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения (Москва: Наука: 1972). 48. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие транцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье (Москва: Наука: 1967), т. 3. 49. D. de Fontaine, Metallurgical Soc. Conferences ‘Local Atomic Arrangements Stud- ied by X-Ray Diffraction’ (New York, London, Paris: Gordon and Breach: 1966), vol. 36, p. 51. 50. M. Korekawa, Theorie der Satellitenreflexe (München: Habilitionsschrift der Lud- wig-Maximilian-Universität: 1967). 51. H. Böhm, Acta Cryst. A, 31, No. 7: 622 (1975). 52. А. В. Колпаков, Ю. П. Хапачев, Кристаллография, 18, вып. 3: 474 (1973). 53. I. R. Entin, Phys. Stat. Sol. B, 90, No. 2: 575 (1978). 54. Е. А. Тихонова, ФТТ, 9: 516 (1967). 55. A. M. Afanasev and Yu. Kagan, Acta Cryst. A, 24, No. 2: 163 (1968). 56. Р. Джеймс, Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей (Москва: Иностр. лит.: 1950). 57. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции (Москва: Наука: 1974), т. 2. 58. R. Kцhler, W. Mцhling, and H. Peibst, Phys. Stat. Sol. B, 42, No. 1: 75 (1970). 59. R. Kцhler, W. Mцhling, and H. Peibst, Phys. Stat. Sol. B, 61, No. 1: 173 (1974). 60. R. Kцhler, W. Mцhling, and H. Peibst, Phys. Stat. Sol. B, 61, No. 3: 439 (1974). Динамическая дифракция рентгеновских лучей в сверхрешетках 349 61. D. M. Vardanyan and H. M. Manoukyan, Phys. Stat. Sol. A, 69, No. 2: 475 (1982). 62. D. M. Vardanyan and H. M. Manoukyan, Phys. Stat. Sol. A, 79, No. 2: 617 (1983). 63. А. В. Колпаков, Ю. Н. Беляев, Вестн. Моск. универ. Cер. 3: физ., астроном., 26, № 3: 91 (1985). 64. D. M. Vardanyan and H. M. Petrosyan, Acta Cryst. A, 43, No. 2: 316 (1987). 65. W. Bartels, J. Hornstra, and D. J. Lobeek, Acta Cryst. A, 42, No. 3: 539 (1986). 66. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения (Москва: Нау- ка: 1971). 67. Ю. П. Хапачев, А. А. Дышеков, ЖТФ, 54, вып. 4: 842 (1984). 68. Ю. П. Хапачев, А. В. Колпаков, Г. Ф. Кузнецов, Р. Н. Кузьмин, Кристаллогра- фия, 24, вып. 3: 430 (1979). 69. К. Кабутов, О. Е. Коробов, Г. Ф. Кузнецов и др., Кристаллография, 28, вып. 4: 647 (1983). 70. I. R. Entin and K. P. Assur, Acta Cryst. A, 37, No. 6: 769 (1981). 71. К. П. Ассур, И. Р. Энтин, ФТТ, 24, вып. 7: 2122 (1982). 72. И. Р. Энтин, И. А. Пучкова, ФТТ, 26, вып. 11: 3320 (1984). 73. I. R. Entin, Phys. Stat. Sol. A, 106, No. 1: 25 (1988). 74. И. Р. Энтин, Динамические эффекты в акустооптике рентгеновских лучей и тепловых нейтронов (Дисс. … д-ра физ.-мат. н.) (Черноголовка: Инст. физ. тверд. тела: 1986). 75. Э. Е. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа (Москва: Физмат- гиз: 1963), т. 2. 76. Ю. П. Хапачев, Теория рентгеновской дифракции в монокристаллических пленках переменного состава с квазипериодической структурой (Дисс. … канд. физ.-мат. н.) (Москва: МГУ: 1977). 77. А. В. Колпаков, Ю. П. Хапачев, Р. Н. Кузьмин, Матер. Всесоюз. совещ. по многоволновому рассеянию рентгеновских лучей (Ереван: 1978), с. 153. 78. Ю. П. Хапачев, А. А. Дышеков, Сб.: Поверхностные явления на границах конденсированных фаз (Нальчик: КБГУ: 1983), с. 169. 79. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Металлофизика, 8, № 6: 15 (1986). 80. Yu. P. Khapachev, A. A. Dyshekov, and D. S. Kiselev, Phys. Stat. Sol. B, 126, No. 1: 37 (1984). 81. A. H. Eltoukhy and J. E. Greene, J. Appl. Phys., 50, No. 1: 505 (1979). 82. С. Г. Конников, О. В. Коваленков, К. Ю. Погребицкий и др., ФТП, 21, вып. 10: 1745 (1987). 83. J. Kervarec, M. Baudet, J. Caulet et al., J. Appl. Cryst., 17, No. 2: 196 (1984). 84. V. S. Speriosu and T. Vreeland, Jr., J. Appl. Phys., 56, No. 6: 1591 (1984). 85. V. S. Speriosu and M.-A. Nicolet, Appl. Phys. Lett., 45, No. 3: 223 (1984). 86. М. А. Андреева, С. Ф. Борисова, С. А. Степанов, Поверхность, № 4: 5 (1985). 87. А. М. Афанасьев, П. А. Александров, Р. М. Имамов, Рентгеновская струк- турная диагностика в исследовании приповерхностных слоев монокри- сталлов (Москва: Наука: 1986). 88. M. A. Andreeva, K. Rosette, and Yu. P. Khapachev, Phys. Stat. Sol. A, 88, No. 2: 455 (1985). 89. М. А. Андреева, С. Ф. Борисова, Ю. П. Хапачев, Металлофизика, 8, № 5: 44 (1986). 90. М. А. Андреева, А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Металлофиз. новейшие тех- нол., 16, № 4: 22 (1994). 91. О. Г. Меликян, Р. М. Имамов, Д. В. Новиков, ФТТ, 34, № 5: 1572 (1992). 350 А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев 92. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Д. А. Тарасов, ФТТ, 38, Вып. 5: 1375 (1996). 93. И. Р. Энтин, Письма в ЖЭТФ, 26, № 5: 392 (1977). 94. Ю. П. Хапачев, Ф. Н. Чуховский, Металлофизика, 13, № 7: 65 (1991). 95. А. В. Колпаков, И. Р. Прудников, Вестн. Моск. универ. Cер. 3: физ., астро- ном., 32, № 4: 3 (1991). 96. F. N. Chukhovskii and Yu. P. Khapachev, Crystal. Rev., 3: 257 (1993). 97. А. В. Колпаков, Ю. П. Хапачев, Г. Ф. Кузнецов, Р. Н. Кузьмин, Кристаллогра- фия, 22, вып. 3: 473 (1977). 98. R. N. Kyutt, P. V. Petrashen, and L. M. Sorokin, Phys. Stat. Sol. A, 60, No. 2: 381 (1980). 99. S. Takagi, Acta Cryst., 15: 1131 (1962). 100. А. А. Дышеков, Д. А. Тарасов, Ю. П. Хапачев, Письма в ЖТФ, 21, № 13: 6 (1995). 101. A. A. Dyshekov, Yu. P. Khapachev, and D. A. Tarasov, Book of Abstracts of 16th European Crystallographic Meeting (Moscow, 14–19 August 1995), p. 18. 102. Ю. П. Хапачев, А. В. Колпаков, Acta Cryst. A, 34, Part S4: 230 (1978). 103. A. A. Dyshekov, Yu. P. Khapachev, and D. A. Tarasov, Il Nuovo Cimento, 19: 531 (1997). 104. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Д. А. Тарасов, Поверхность, № 10: 5 (1997). 105. A. A. Dyshekov, Yu. P. Khapachev, and D. A. Tarasov, Surface Investigation, 12: 425 (1997). 106. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Д. А. Тарасов, ФТТ, 38, вып. 5: 1375 (1996). 107. A. A. Dyshekov, Yu. P. Khapachev, and D. A. Tarasov, Поверхность, № 3–4: 206 (1996). 108. L. Esaki, IEEE Journal of Quantum Electronics, 22, No. 9: 1611 (1986). 109. А. Найфэ, Методы возмущений (Москва: Наука: 1976). 110. Д. А. Тарасов, Ю. П. Хапачев, А. А. Дышеков, Тез. докл. Нац. конф. по приме- нению рентгеновского, синхротронного излучений, нейтронов и электро- нов для исследования материалов (Дубна: 1997). 111. D. A. Tarasov, Yu. P. Khapachev, and A. A. Dyshekov, Programme and Abstracts of IV European Conference on High-Resolution X-Ray Diffraction and Topography ‘XTOP 98’ (1998), p. 3.13. 112. Yu. P. Khapachev and A. A. Dyshekov, Programme and Abstracts of IV European Conference on High-Resolution X-Ray Diffraction and Topography ‘XTOP 98’ (1998), p. 3.50. 113. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Поверхность, № 2: 101 (1999). 114. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Тезисы II Нац. конф. по применению рентге- новского, синхротронного излучений, нейтронов и электронов для иссле- дования материалов (Москва: 1999). 115. Б. П. Демидович, Лекции по математической теории устойчивости (Моск- ва: Наука: 1967). 116. А. А. Дышеков, Ю. П. Хапачев, Поверхность, № 3: 20 (1998).

Ähnliche Einträge