Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования

Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с функцией случайного отбрасывания заявок и распределением времени обслуживания, зависящим от длины очереди. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, а также функ...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Жерновый, Ю.В., Жерновый, К.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133692
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый, К.Ю. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 170-181. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133692
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1336922018-06-06T03:03:41Z Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования Жерновый, Ю.В. Жерновый, К.Ю. Системный анализ Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с функцией случайного отбрасывания заявок и распределением времени обслуживания, зависящим от длины очереди. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, а также функции распределения периода занятости и для вычисления стационарных характеристик. Соотношения для стационарных характеристик проверены с помощью имитационных моделей, построенных с использованием инструментальных средств GPSS World. Приведен пример сравнения результатов применения различных средств управления параметрами системы обслуживания. Запропоновано метод дослідження систем обслуговування M/G/1/m з функцією випадкового відкидання замовлень і розподілом часу обслуговування, залежним від довжини черги. Отримано формули для визначення перетворень Лапласа розподілу кількості замовлень у системі протягом періоду зайнятості та функції розподілу періоду зайнятості та для обчислення стаціонарних характеристик. Співвідношення для стаціонарних характеристик перевірено за допомогою імітаційних моделей, побудованих із використанням інструментальних засобів GPSS World. Наведено приклад порівняння результатів застосування різних засобів керування параметрами системи обслуговування. We propose a method to analyze M/G/1/m queuing systems with the function of random dropping of customers and distribution of the service time depending on the queue length. Formulas to determine Laplace transforms of the distribution of the number of customers in the system during the busy period and of the distribution function of the busy period and to calculate the stationary characteristics are obtained. The relations for the stationary characteristics are tested using simulation models constructed with the assistance of the GPSS World tools. An example of comparison of the results of the use of various control tools of system parameters is given. 2016 Article Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый, К.Ю. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 170-181. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133692 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Жерновый, Ю.В. Жерновый, К.Ю. Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования Кибернетика и системный анализ
description	Предложен метод исследования систем обслуживания M/G/1/m с функцией случайного отбрасывания заявок и распределением времени обслуживания, зависящим от длины очереди. Получены формулы для определения преобразований Лапласа распределения числа заявок в системе в течение периода занятости, а также функции распределения периода занятости и для вычисления стационарных характеристик. Соотношения для стационарных характеристик проверены с помощью имитационных моделей, построенных с использованием инструментальных средств GPSS World. Приведен пример сравнения результатов применения различных средств управления параметрами системы обслуживания.
format	Article
author	Жерновый, Ю.В. Жерновый, К.Ю.
author_facet	Жерновый, Ю.В. Жерновый, К.Ю.
author_sort	Жерновый, Ю.В.
title	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
title_short	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
title_full	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
title_fullStr	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
title_full_unstemmed	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
title_sort	метод потенциалов для систем типа m/g/1/m с пороговыми стратегиями функционирования
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133692
citation_txt	Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования / Ю.В. Жерновый, К.Ю. Жерновый // Кибернетика и системный анализ. — 2016. — Т. 52, № 3. — С. 170-181. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT žernovyjûv metodpotencialovdlâsistemtipamg1msporogovymistrategiâmifunkcionirovaniâ AT žernovyjkû metodpotencialovdlâsistemtipamg1msporogovymistrategiâmifunkcionirovaniâ
first_indexed	2025-07-09T19:27:38Z
last_indexed	2025-07-09T19:27:38Z
_version_	1837198748582674432
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Þ.Â. ÆÅÐÍÎÂÛÉ, Ê.Þ. ÆÅÐÍÎÂÛÉ ÌÅÒÎÄ ÏÎÒÅÍÖÈÀËÎÂ ÄËß ÑÈÑÒÅÌ ÒÈÏÀ M/G/1/m Ñ ÏÎÐÎÃÎÂÛÌÈ ÑÒÐÀÒÅÃÈßÌÈ ÔÓÍÊÖÈÎÍÈÐÎÂÀÍÈß Àííîòàöèÿ. Ïðåäëîæåí ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ M/G/1/m ñ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê è ðàñïðåäåëåíèåì âðåìåíè îá- ñëóæèâàíèÿ, çàâèñÿùèì îò äëèíû î÷åðåäè. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ îïðå- äåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå â òå- ÷åíèå ïåðèîäà çàíÿòîñòè, à òàêæå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà çàíÿòîñ- òè è äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñòàöè- îíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ïðîâåðåíû ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé, ïî- ñòðîåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World. Ïðèâåäåí ïðèìåð ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñðåäñòâ óïðàâëåíèÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. Êëþ÷åâûå ñëîâà: îäíîêàíàëüíàÿ ñèñòåìà îáñëóæèâàíèÿ, ïîðîãîâûå ñòðàòå- ãèè, ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê, ìåòîä ïîòåíöèàëîâ. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, êîòîðûå ìîãóò ðàáîòàòü â íåñêîëüêèõ ðåæèìàõ, îòëè÷à- þùèõñÿ èíòåíñèâíîñòÿìè âõîäÿùåãî ïîòîêà è îáñëóæèâàíèÿ, èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè â èíôîðìàöèîííî-âû÷èñëè- òåëüíûõ ñåòÿõ [1–3]. Ïîðîãîâîå óïðàâëåíèå âõîäÿùèì ïîòîêîì è âðåìåíåì îá- ñëóæèâàíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ â öåëÿõ ïðåäîòâðàùåíèÿ ïåðåãðóçîê â òàêèõ ñèñòåìàõ. Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñóòü ïîðîãîâîé ñòðàòåãèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: åñëè äëèíà î÷åðåäè ïðåâûøàåò çàäàííîå ïîðîãîâîå çíà÷åíèå, òî èíòåíñèâíîñòü âõî- äÿùåãî ïîòîêà ìîæíî ñíèçèòü (èëè ñâåñòè ê íóëþ ïîëíîé áëîêèðîâêîé ïîòîêà çàÿ- âîê), à èíòåíñèâíîñòü îáñëóæèâàíèÿ íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü. Èñïîëüçóþòñÿ è áîëåå ñëîæíûå ñòðàòåãèè, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ çàâèñèò îò ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé çàÿâêè [3, 4]. Óïðàâëåíèå èíòåíñèâíîñòüþ âõîäÿùåãî ïîòîêà îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíîãî îòáðàñû- âàíèÿ çàÿâîê, â ðåçóëüòàòå êàæäóþ ïîñòóïàþùóþ çàÿâêó ìîæíî îòáðîñèòü ñ îïðåäå- ëåííîé âåðîÿòíîñòüþ, çàâèñÿùåé îò äëèíû î÷åðåäè â ìîìåíò ïîñòóïëåíèÿ çàÿâêè, äàæå åñëè áóôåð åùå ïîëíîñòüþ íå çàïîëíåí [2]. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè îòáðàñû- âàíèÿ çàÿâîê îò äëèíû î÷åðåäè íàçûâàþò ôóíêöèåé îòáðàñûâàíèÿ. Ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì òèïà M G m� / / /1 è M G� / /1 ñ ïîðîãîâûìè ñòðàòåãèÿìè ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñî- çäàíû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ [4–7]. Ñèñòåìó òèïà M/G/1/m , â êîòîðóþ çàÿâêè ïðèáûâàþò ãðóïïàìè ÷èñëåííîñòüþ �, îáîçíà÷èì M G m� / / /1 , ïðè÷åì P{ }� � �k ak , ak k� � � � 1 1, kak k� � � � � 1 . Ìåòîä ïîòåíöèàëà c îäíèì áàçîâûì ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ðàçðàáîòàí â öåëÿõ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåìû M G m� / / /1 ñ îäíèì ôèêñèðîâàííûì ðàñïðåäåëå- íèåì âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ [8] ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîäõîäà, ïðåäëîæåííîãî â [9] äëÿ èçó÷åíèÿ íåïðåðûâíîãî ñíèçó ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ. Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñ íåñêîëüêèìè ðåæèìàìè ôóíêöèîíèðî- âàíèÿ, êîãäà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ ñòîëüêèõ áàçîâûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé è èõ ïîòåíöèàëîâ ñêîëüêî è ðàçëè÷íûõ ðåæèìîâ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñèñòåì òèïà M/G/1/m ñ îðäèíàðíûì ïîòîêîì ïðèáûâàþùèõ çàÿâîê, ÷òî ïîçâîëèò, ñ îäíîé ñòîðîíû, èñ- 170 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 � Þ.Â. Æåðíîâûé, Ê.Þ. Æåðíîâûé, 2016 ïîëüçîâàòü îáùèå óíèâåðñàëüíûå óðàâíåíèÿ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ [6, 7], à ñ äðó- ãîé, — ïîëó÷èòü óäîáíûå äëÿ âû÷èñëåíèé âûðàæåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàê- òåðèñòèê áàçîâûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé äëÿ ðÿäà ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé, âêëþ÷àÿ ñëó÷àé (íå ðàññìîòðåííûé â [4–7]), êîãäà èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïðèíèìàåìûõ íà îáñëóæèâàíèå çàÿâîê èçìåíÿåò ñâîè çíà÷åíèÿ â ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàæåì, ÷òî ìåòîä ïîòåíöèàëîâ ïðèãîäåí äëÿ èññëå- äîâàíèÿ ñèñòåìû M/G/1/m ñ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê. Â îòëè- ÷èå îò ðàáîòû [10] èñïîëüçóåì ôóíêöèþ îòáðàñûâàíèÿ, êîòîðàÿ èçìåíÿåò ñâîè çíà÷åíèÿ â ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå. Êàæäóþ ïîñòóïàþùóþ çàÿâêó ìîæíî ïðèíÿòü íà îáñëóæèâàíèå èëè îòáðîñèòü ñîãëàñíî ïðàâèëó: åñëè â ìîìåíò ïðèáûòèÿ çàÿâêè â ñèñòåìå íàõîäèòñÿ n çàÿâîê, òî ïîñòóïèâøàÿ çàÿâêà ïðèíèìàåòñÿ íà îáñëóæèâàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ � n è ïîêèäàåò ñèñòåìó (ïîëó÷àåò îòêàç, îòáðàñûâàåòñÿ) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � n . Â [10] ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà çíà÷åíèå ôóíêöèè îòáðàñûâàíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ â ïðîìåæóòêå âðåìåíè îò íà÷àëà äî çàâåðøåíèÿ îáñëóæèâàíèÿ êàæäîé çàÿâêè. ÎÏÈÑÀÍÈÅ ÏÎÐÎÃÎÂÛÕ ÑÒÐÀÒÅÃÈÉ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó M/G/1/m, ãäå m — ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî çàÿâîê, êîòîðûå ìî- ãóò îäíîâðåìåííî íàõîäèòüñÿ â î÷åðåäè. Âõîäÿùèé ïîòîê çàÿâîê ïðîñòåéøèé, ò.å. èíòåðâàëû âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèáûòèÿ ñîñåäíèõ çàÿâîê — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñ ïàðàìåòðîì �. Îïèøåì èñïîëüçóåìóþ íàèáîëåå îáùóþ ïîðîãîâóþ ñòðàòåãèþ ôóíêöèîíè- ðîâàíèÿ ñèñòåìû (íàçîâåì ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ ñèñòå- ìîé 1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñëè â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè ÷èñëî çàÿ- âîê â ñèñòåìå ðàâíî n m� { }1 2 1, , ,� , òî âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ ýòîé çàÿâêè — ñëó- ÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F xn ( ) ( )x 0 , ïðè÷åì ïðèáûâøàÿ çàÿâêà ïðèíèìàåòñÿ íà îáñëóæèâàíèå ñ âåðîÿòíîñòüþ � n (0 1� �� n , � m �1 0) è ïîëó÷àåò îòêàç (îòáðàñûâàåòñÿ) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1� � n . Çàôèêñèðóåì ïîðîãîâîå çíà÷åíèå h ( )1 � �h m è ïðåäïîëîæèì, ÷òî � �n � ~ (0 1� � ~ � ) äëÿ h n m � �1 . Ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ îïèñàííîé îáùåé ïîðîãîâîé ñòðàòåãèè, äëÿ êîòîðûõ âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè áàçîâûõ ñëó÷àéíûõ áëóæäàíèé ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ îïðåäåëÿþòñÿ ïî-ðàçíîìó. Ñèñòåìó M/G/1/m , äëÿ êîòîðîé � n �1 ïðè 1 � �n h è � �n � ~ ( ~ )0 1� �� äëÿ h n m � �1 , íàçîâåì ñèñòåìîé 2. Äëÿ ñèñòå- ìû 3 ñëó÷àéíîå îòáðàñûâàíèå çàÿâîê íå ïðèìåíÿåòñÿ, ò.å. � n �1 äëÿ 1 � �n m. ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊÈ ÁÀÇÎÂÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÁËÓÆÄÀÍÈÉ Îáîçíà÷èì Pn óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè â ñèñòåìå íàõîäèòñÿ n m� { }0 1 2 1, , , ,� çàÿâîê, è ïóñòü E P( ) — ìàòåìàòè÷å- ñêîå îæèäàíèå (óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü), åñëè ñèñòåìà íà÷èíàåò ðàáîòàòü â ìî- ìåíò ïðèáûòèÿ ïåðâîé çàÿâêè. Ïóñòü �( )x — ÷èñëî çàÿâîê, ïîñòóïèâøèõ â ñèñòåìó â ïðîìåæóòêå âðåìåíè [ ; )0 x . Äëÿ n m� { }1 2 1, , ,� ïîëîæèì f s f s e dF x f s x i n n sx n n i i ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ! ( ) ( )� � �� 0 0 0 � � e dF xs x n � ( ) ( )� , i � 0 1 2, , ,� ; M xdF xn n� � � � � 0 ( ) , F x F xn n( ) ( )� �1 . Äëÿ Re s 0 è n m�{ }1 2, , ,� ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � ni s( ) è q sni ( ), îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 171 � �ni n sx n ns f s e x i dF x( ) ( ) ( ) ( )� � � � � 1 1 0 P { } , i m n� � � �{ }1 0 1 1, , , ,� ; � �n m n n sx n ns f s e x m n dF x, ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � 1 1 0 P { } ; (1) q s e x i F x dx i m nni sx n n( ) ( ) ( ) , , , , ,� � � �� 0 0 1 2P { } { }� � ; q s e x m n F x dxn m n sx n n, ( ) ( ) ( )� � � � � �1 0 1P { }� . (2) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü � ni s( ) ïðè s 0 è ôèêñèðîâàííîì n ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ðàñïðåäåëåíèå ñêà÷êîâ íåêîòîðîãî ïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ S n (íàçîâåì åãî áàçîâûì), ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F xn ( ) n-ãî ðåæèìà îáñëóæèâàíèÿ è âåðîÿòíîñòÿì Pn x i{ }�( ) � 1 . Ôóíêöèÿ R s f s s n n n ( ) ( ) ( ), � � 1 1� ( , , , )n m�{ }1 2 � íàçûâàåòñÿ ðåçîëüâåíòîé, à ïîñòîÿííàÿ R R sn s n� � lim 0 ( ) — ïîòåíöèàëîì ñëó÷àéíîãî áëóæäàíèÿ S n . Ïóñòü Tn è T — ïîêàçàòåëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïàðà- ìåòðàìè � ��n n� è � ñîîòâåòñòâåííî, à Zn — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåí- íàÿ ïî çàêîíó Ïàñêàëÿ, ò.å. P{ }Z kn n k n n k� � � �� ( )1 , k �1 2, ,� Èçâåñòíî [11], ÷òî Z T Tn n� , ò.å. â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãî ïðîðåæèâàíèÿ ïðîñòåéøåãî ïîòîêà ïîëó÷àåì ïðîñòåéøèé ïîòîê. Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé Pn x i{ }�( ) � ïðè1 � �n h äëÿ ñèñòåìû 1 (ñèñòå- ìû 2) áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî â ìîìåíò íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1, ñîâïàäàþ- ùèé ñ íà÷àëîì îòñ÷åòà âðåìåíè äî çíà÷åíèÿ x, â ñèñòåìå íàõîäèòñÿ n ( )1 � �n h çàÿâîê. Ïîýòîìó ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò ìîìåíòà íà÷àëà îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1 äî ìîìåíòà ïðèíÿòèÿ â ñèñòåìó ñëåäóþùåé çàÿâêè (îáîçíà÷èì åå An 1) ïðè óñëî- âèè, ÷òî çàÿâêà An 1 ïðèíÿòà â ñèñòåìó íå ïîçäíåå îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâ- êè A1, — ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z T Tn n� , ðàñïðåäåëåííàÿ ïî ïîêàçàòåëüíîìó çà- êîíó ñ ïàðàìåòðîì � ��n n� (äëÿ ñèñòåìû 2 — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà T , ðàñïðåäå- ëåííàÿ ïî ïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì �). Åñëè n h �1 , òî ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò ìîìåíòà ïðèíÿòèÿ â ñèñòåìó çàÿâ- êè An 1 äî ìîìåíòà ïðèíÿòèÿ ñëåäóþùåé çàÿâêè (îáîçíà÷èì åå An 2) äëÿ ñèñòå- ìû 1 ðàñïðåäåëåí ïîêàçàòåëüíî ñ ïàðàìåòðîì � ��n n �1 1, à äëÿ ñèñòåìû 2 — ïîêàçàòåëüíî ñ ïàðàìåòðîì � ïðè óñëîâèè, ÷òî çàÿâêà An 2 ïðèíÿòà â ñèñòåìó íå ïîçäíåå îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1. Åñëè n h �2 , òî ðàñïðåäåëåíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó ìîìåíòàìè ïðèíÿòèÿ â ñèñòåìó çàÿâîê An 2 è An 3 ïîêàçàòåëüíîå ñ ïàðàìåòðîì � ��n n �2 2 äëÿ ñèñòåìû 1, à äëÿ ñèñòåìû 2 — ïî- êàçàòåëüíîå ñ ïàðàìåòðîì � ïðè óñëîâèè, ÷òî çàÿâêà An 3 ïðèíÿòà â ñèñòåìó íå ïîçäíåå îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1, è ò.ä. Åñëè h n m� �1 , òî äëÿ ñèñòåì 1 è 2 ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò ìîìåíòà ïðè- íÿòèÿ â ñèñòåìó çàÿâêè An 1 äî ìîìåíòà ïðèíÿòèÿ ñëåäóþùåé çàÿâêè An 2 ðàñ- ïðåäåëåí ïîêàçàòåëüíî ñ ïàðàìåòðîì ~ ~ � �� (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ~ T ) ïðè óñëîâèè, ÷òî çàÿâêà An 2 ïðèíÿòà â ñèñòåìó íå ïîçäíåå îêîí÷àíèÿ îáñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1. Àíàëîãè÷íî, åñëè h n m� �2 , òî ðàñïðåäåëåíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìåæäó ìî- ìåíòàìè ïðèíÿòèÿ â ñèñòåìó çàÿâîê An 2 è An 3 ïîêàçàòåëüíîå ñ ïàðàìåòðîì ~ ~ � �� ïðè óñëîâèè, ÷òî çàÿâêà An 3 ïðèíÿòà â ñèñòåìó íå ïîçäíåå îêîí÷àíèÿ îá- ñëóæèâàíèÿ çàÿâêè A1, è ò.ä. 172 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 Âû÷èñëÿÿ âåðîÿòíîñòè Pn x i{ }�( ) � ïðè h n m � �1 äëÿ ñèñòåì 1 è 2, áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî ÷èñëî ïðèáûâøèõ çàÿâîê â ñèñòåìó çà âðåìÿ x ðàñïðåäåëåíî ñî- ãëàñíî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì ~ �x. Ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé Pn x i{ }�( ) � äëÿ ñèñòåìû 3 áóäåì ó÷èòûâàòü, ÷òî ÷èñëî ïðèáûâøèõ çàÿâîê â ñèñ- òåìó çà âðåìÿ x ðàñïðåäåëåíî ñîãëàñíî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì �x. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñèñòåìû 1 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ: P Pn n x x T x e n{ } { }� � ( ) � � � � 0 ; P P Pn i i n n j i i n n j i i x j T x T T{ }�( ) � � � � � � � � � � � � � � � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � n n j i i n n j x T xP 1 � � �� ( ) ( ) 1 1 j k k n n j x i s s n s i n j i n n j e i � � � � , 1 1� �n h – , 0 � � �j h n ; P Pn i i n h i i n h x j T n h j T x T n h j{ }�( ) ( ) ~ ( ) ~ � � � � � � � � � � �1 T � � � � � � � � �� G x G xn h n h j n h n h j( , ), ( , ),( ) ( )1 , h n j m n� � � �1 ; P P Pn n j m n i i x m n x j T m h T x{ }� �( ) { ( ) } ( ) ~ � � � � � � � � � � �1 1 0 n h n h m hG x� � � � � � � � �( , ), ( ); G x T rT xn n j r i i n n j ( , ), ( ) ~ � � � � � � � � � ��P � � � � �� 1 1 1 1( ) ~ ( )! ( ) j r l l n n j i s s n s i n j i n n j r � � � � � � � � � � � � � �C r k r k i r k k r 1 0 1 1( )! ( ~ )� � � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( ) ! k e xi i k r k x i k i � � � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 � � � �� k e x k x k! ~ ( ~ ) ! ~ 1 0 , 1 � �j h n– , 1 � � �r m h ; G x T xn n j i i n n j j k k n n ( , ), ( ) ( ) � � � � � � � � � � � � ��0 1 1P � � � � � � � � � j x i i s s n s i n j i n n j e i� � � �( ) , 1 � � �j h n . Äëÿ ñèñòåì 1 è 2 ïðè h n m � �1 íàõîäèì Pn j xx j x j e{ }� � �( ) ( ~ ) ! ~ � � � , 0 � � �j m n ; P Pn n j m n x j x m n x j e x j { } {� � ��( ) ( ) } ( ~ ) ! ~ � � � � � � � � ��1 1 1 0 j m n � � � 0 . Äëÿ ñèñòåìû 2 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì Pn j xx j x j e j h n{ }� � �( ) ( ) ! ,� � � � �� 0 ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 173 P Pn x j h n T n h j T x h n T n h{ } {�( ) ( ) ( ) ~ ( ) (� � � � � � � � � 1 1 1 j T) ~ } � � � � � � �� G x G x h n j m nh n n h j h n n h j1 1 1 1, ,( ) ( ), ; P Pn n j m n x m n x j{ } {� �( ) ( ) } � � � � � � � �1 1 0 = h T m h T x G xh n m hP{( ) ( ) ~ } ( ),� � � � � �1 1 1 ; G x nT rT xn r, ( ) ~ � � �P{ } � � � � � � � � � � �1 1 1 1 1 1 0 1( ) ~ ( )!( )!( ~ ) ( n n r n r r k k r n r C n � � � � � � � �r k k2 )!( ~ )� � � � � � � � �� j n r k j j k j x ik j j e x i0 2 1 1 1( ) ( )!( ~ ) ! ( )� � � �� ! ! ~ ( ~ ) ! ~ i k j k x i i kk e x i� � � � � � � � � � � � � 0 1 0� �� , 1 � � �r m h; G x nT x e x k n x k k n , ( ) ( ) ! 0 0 1 1� � � � � � � �P{ } � � . Äëÿ ñèñòåìû 3 ïðè 1 � �n m âûïîëíåíû ðàâåíñòâà Pn j xx j x j e{ }� � �( ) ( ) ! � � � , 0 � � �j m n; P Pn n j m n x j j x m n x j e x j { } {� � ��( ) ( ) } ( ) ! � � � � � � � � � � �1 1 1 0 0 m n� � . Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé äëÿ Pn x j{ }�( ) � è ðàâåíñòâ ( ) ! ( ) ( ) ( ) ( )� � � � ��x k e F x dx g s s s k s x n nk k k 0 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � i i k n if s 0 ( ) ( ) ïî ôîðìóëàì (1), (2) âû÷èñëèì ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé � ni s( ) è q sni ( ). Äëÿ ñèñòåìû 1 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà: � � n n n n s f s f s , ( ) ( ) ( ) � � 1 , q s f s s n n n n 0 1 ( ) ( ) � � � � ; � � � � � n j j n k k n n j n i n i n j s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � 1 1 1 � � �i i n n j �� ) , q s f s s nj j k k n n j n i i n i n j ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � � � 1 1 1 � � � � � � � �i i n n j �� ) , 1 1� �n h – , 0 � � �j h n ; � n j n sx n h n h j n h ns f s e G x G, ( , ), ( , ),( ) ( ) ( ( )� � � � �� 1 0 1 1 � h j nx dF x( )) ( ), 174 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 q s e G x G x Fnj sx n h n h j n h n h j( ) ( ( ) ( ))( , ), ( , ),� �� 1 0 n x dx( ) , h n j m n� � � �1 ; � n m n n sx n h m h ns f s e G x dF x, ( , ),( ) ( ) ( ) ( ),� � � � � � 1 0 q s e G x F x dxn m n sx n h m h n, ( , ),( ) ( ) ( )� � � � � �1 0 ; e G x dF xsx n n j r n � � � � 0 ( , ), ( ) ( ) � � � � �� f s r n j r l l n n j i s s n s i n j i ( ) ( ) ~ ( )! ( ) 1 1 1� � � �n n j r k i r k k r C r k � � � � � � � � � � 1 0 1 1( )! ( ~ )� � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( )( )k f si i k r k n i k� � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 � �� k f s k n k! ~ ( ~ )( ) � �� 1 0 , 1 � �j h n– , 1 � � �r m h; e G x dF x f s fsx n n j n n j k k n n j n� � � � �� ( , ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 1 � s i i i s s n s i n j i n n j � � � � � � � � � � ) ( ) , 1 � � �j h n; e G x F x dxsx n n j r n � � � �( , ), ( ) ( ) 0 � � � � � �� 1 1 1 1f s s r n j r l l n n j i s s n s i n j ( ) ( ) ~ ( )! ( ) � � � �� i n n j r k k r i r k C r k 1 0 1 1( )! ( ~ )� � � � � � � � � � � ( )!( ~ ) ! ( ) k g si i k r k n i k� � � � � � � � � � � � 1 0 1 0 k g s k n k! ~ ( ~ ) � �� 1 0 , 1 � �j h n– , 1 � � �r m h; e G x F x dx f s s sx n n j n n j k k n n j � � � � � � � �( , ), ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 �� 1 f s s n i i i i s s n s i n j i n n j ( ) ( ) ( ) � � � � � , 1 � � �j h n. Äëÿ ñèñòåì 1 è 2 ïðè h n m � �1 íàõîäèì � � n j n j n s f s f s , ( ) ( ) ( ~ ) ( ) � � 1 , q s g snj nj( ) ( ~ )� � , 0 � � �j m n; � �n m n n n j j m n s f s f s, ( )( ) ( ) ( ~ )� � � � � �1 1 0 , q s f s s g sn m n n nj j m n , ( ) ( ) ( ~ )� � � � � � �1 0 1 � . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 175 Äëÿ ñèñòåìû 2 ïðè 1 � �n h ïîëó÷àåì � � n j n j n s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) � � 1 , q s g snj nj( ) ( )� � , 0 � � �j h n; � n j n sx h n n h j h n ns f s e G x G, , ,( ) ( ) ( ( )� � � � � � � � ��1 0 1 1 1 1 � h j nx dF x( )) ( ), q s e G x G x Fnj sx h n n h j h n n h j( ) ( ( ) ( )), ,� �� 1 1 1 0 n x dx( ) , h n j m n� � � �1 ; � n m n n sx h n m h ns f s e G x dF x, ,( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � 1 1 0 , q s e G x F x dxn m n sx h n m h n, ,( ) ( ) ( )� � � � � � �1 1 0 ; e G x dF xsx n r n � � � � 0 , ( ) ( ) � � � � � � � � � � f s n r Cn n n r n r r k k r ( ) ( ) ~ ( )!( )!( ~ ) 1 1 1 1 1 0 � � � � 1 2� � � � �( )!( ~ )n r k k� � � � � � � � � ( ) ( )!( ~ ) ! ( )( ) j n r k j j k j n ik j j f s 0 2 1 1 1 � � � � i k j k n i i kk f s � � � � � � � � � � � � 0 1 0 ! ~ ( ~ )( ) � � , 1 � � �r m h ; e G x dF x f s f ssx n n n n k k n � � � � � �� 0 0 0 1 , ( )( ) ( ) ( ) ( )� ; e G x F x dxsx n r n � � � �, ( ) ( ) 0 � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 f s s n r Cn n n r n r r k k ( ) ( ) ~ ( )!( )!( ~ ) � � � � 0 1 2 r kn r k � � � � � �( )!( ~ )� � � � � � � � � � ( ) ( )!( ~ ) ! ( )1 0 2 1 1 j n r k j j k j ni i k j j g s � � � � 0 1 0 k j k ni i kk g s � � � � � � � � � � � ! ~ ( ~ ) � � , 1 � � �r m h; e G x F x dx f s s g ssx n n n nk k n � � � � � �� , ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 11 � . Äëÿ ñèñòåìû 3 ïðè 1 � �n m âûïîëíåíû ðàâåíñòâà � � n j n j n s f s f s , ( ) ( ) ( ) ( ) � � 1 , q s g snj nj( ) ( )� � , 0 � � �j m n ; � �n m n n n j j m n s f s f s, ( )( ) ( ) ( )� � � � � �1 1 0 , q s f s s g sn m n n nj j m n , ( ) ( ) ( )� � � � � � �1 0 1 � . 176 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî lim s nf s � � 0 1( ) , lim s n n f s s M � � � 0 1 ( ) , n m� { }1 2 1, , ,� , ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè � �ni s ni s� � lim 0 ( ), q q sni s ni� � lim 0 ( ), êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè îïðåäåëåíèè ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ ÑÈÑÒÅÌ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ïóñòü ( )t — ÷èñëî çàÿâîê â ñèñòåìå â ìîìåíò âðåìåíè t è � inf :{t 0 ( )t � 0} îáîçíà÷àåò ïåðâûé ïåðèîä çàíÿòîñòè äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. Äëÿ n k m, , , ,� { }1 2 1� ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: � n nt k t k t( , ) ( ) ,� � P { }; �n st ns k e t k dt( , ) ( , )� � � � 0 � , Re s 0. Î÷åâèäíî, ÷òî �0 0( , )t k � . Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè äëÿ êàæäîé èç ñèñòåì 1–3 ïîëó÷èì ðàâåíñòâà: � � �n n t j m n n j nt k x j t x k dF x( , ) ( ) ( , ) ( )� � � �� P 00 1{ } � � � Pn t m nx m n t x k dF x 0 1{ }� �( ) ( , ) ( ) � � � �I n k m t k n F tn n{ } { }1 P �( ) ( ), 1 � �n m; � �m m t m mt k t x k dF x I k m F t � � � �1 0 1 11( , ) ( , ) ( ) ( ){ } . Çäåñü I A{ } ðàâíî åäèíèöå èëè íóëþ â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñîñòîÿëîñü ëè ñî- áûòèå A. Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå f s k m I n k m q sn n k n( ) ,( , , ) ( )� � � �{ }1 , ïðèõîäèì ê ñèñòå- ìå óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé �n s k( , ): � �n n n j j m n n j ns k f s s s k f s( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ,, ( )� � � � �� 1 0 1 1 k m, ), 1 � �n m ; � �m m m ms k f s s k I k m f s s � � � 1 1 11 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) { } , �0 0( , )s k � . (3) Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (3) áóäåì èñïîëüçîâàòü ôóíêöèè �ni s( ), îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé: �n ns R s1 1( ) ( )� ; � �n j n n j n n i i j s R s s f s s, , ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � � �1 1 1 1 1 0 1 � �n i j i s � � � � � � � � �1 , ( ) , 0 1� �n m – , 1 1� � � �j m n . Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (3) íå îòëè÷àþòñÿ îò ïîëó÷åííûõ â ðàáîòàõ [6, 7], ïðè- âåäåííûå äàëåå óòâåðæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ ñèñòåì 1–3 è ñëåäóþò íåïîñðå- äñòâåííî èç ýòèõ ïóáëèêàöèé ñ ïîïðàâêàìè íà îðäèíàðíîñòü âõîäÿùåãî ïîòîêà. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 177 Òåîðåìà 1. Äëÿ âñåõ k m� { }12 1, , ,� è Re s 0 ôóíêöèè �n s k( , ) îïðåäåëÿ- þòñÿ â âèäå �n n m n ni i m n n i n i m n is k s s f s s( , ) ( ) ( ) ( ) (, ,� �� 1 � ) ( , ) � � � � � � � � ��m s k � � � � �ni i m n n is f s k m 1 ( ) ( , , )( ) , 1 1� � �n m ; �m i i m i m i i m i s k s f s k m s s f ( , ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � 0 1 0 0 1 ( ) ( ),s si m i� � , � �m m m ms k f s s k I k m f s s � � � 1 1 11 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) { } . Òåîðåìà 2. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðèîäà çà- íÿòîñòè îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå e t dt s s f sst m i i m i i � � � � � � � � � 0 1 1 1 1 1 1 1P{ } �� , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( )m i ms s� � � � � � � � � � �1 � � � � � � 1 11 1 1 1 s s f si i m i� ( )( ( )), ãäå �m i i m i m i i m i s s s f s s s f s ( ) ( )( ( )) ( ) ( ) ( � � � � � � � 1 10 1 0 0 1 � � � ) ( ),� i m i s� . Òåîðåìà 3. Ïóñòü � �ni s ni s n m� � � � lim 0 0( ), , 1 � � �i m n. Ñðåäíÿÿ ïðîäîë- æèòåëüíîñòü ïåðèîäà çàíÿòîñòè E( ) , ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå lim { } t k t k p k m �� P ( ) , 0 1 , è ñòàöèîíàðíàÿ âåðîÿòíîñòü îáñëó- æèâàíèÿ ïîñòóïèâøåé çàÿâêè (îòíîñèòåëüíàÿ ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû) Psv îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: E( ) � � � � � � �� 0 1 1 1 1 1i i m i i i m iM M ; Psv � � � � � � � � � � � � �p m i m i i0 0 1 1 0 1� � �( ) ; p0 1 1 � � E( ) ; p p q q qk k k i k i i k i i i k i� � � � � � � � � � � �� 0 0 0 1 1 0 1 1 1� � �( ), , � � � , 1 � �k m; p p q q qm m m i m i i m i i i m i � � � �� 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1� � � �( ), ,� � � � � . Ñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè î÷åðåäè: åå ñðåäíþþ äëèíó E( )Q è ñðåäíåå âðåìÿ îæèäàíèÿ E( )W íàõîäèì ïî ôîðìóëàì E( )Q kpk k m � � � 1 1 , E E P ( ) ( ) W Q � � sv . 178 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ Ðàññìîòðèì ñèñòåìû 1–3, äëÿ êîòîðûõ ïîëîæèì h � 3; F x F xn ( ) ( )� , 1 � �n h; F x F xn ( ) ~ ( )� , h n m � � 1 1 . Ïóñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ F x( ) çàäàåò ðàâíîìåð- íîå ðàñïðåäåëåíèå íà ïðîìåæóòêå ( ; , ]0 0 5 , à ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ~ ( )F x — ðàâ- íîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà ïðîìåæóòêå ( ; , ]0 0 25 . Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû 1 �1 1� ; � 2 0 8� , ; � 3 0 6� , , à äëÿ ñèñòåì 1 è 2 � �n h n m� � � � ~ , ,0 4 1 . Â öåëÿõ ñðàâíå- íèÿ ðåçóëüòàòîâ ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñðåäñòâ óïðàâëåíèÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòå- ìû îáñëóæèâàíèÿ ðàññìîòðèì òàêæå ñèñòåìó 4 — ñòàíäàðòíóþ ñèñòåìó M G m/ / /1 , â êîòîðîé íå ïðèìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê è ðàñïðåäåëåíèå âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ íå çàâèñèò îò ÷èñëà çàÿâîê â ñèñòåìå F x F xn ( ) ( )� , 1 1� � n m . Äëÿ ñèñòåì 1–4 ïîëîæèì � �10, m � 5. Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåì 1–4, íàéäåííûå ïî ôîðìóëàì, ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ, ïðåäñòàâëåíû â òàáë. 1 è 2. Çäåñü â öåëÿõ ïðîâåðêè ýòèõ çíà÷åíèé ïðèâåäåíû òàêæå ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé äëÿ ñèñòåì 1–4 ñ ïîìîùüþ èìèòàöèîííûõ ìîäåëåé, ïîñòðîåííûõ ñ ïðèìåíåíèåì èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ GPSS World [12] (âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ t �106). Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîêàçàòåëüíîãî è ðàâíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé èñïîëüçîâàíû áèáëèîòå÷íûå ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ¹ 5 è ¹ 15 ñîîòâåòñòâåííî. Àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû, ïðåäñòàâëåííûå â òàáë. 2, âèäèì, ÷òî ïðèìåíåíèå ïîðîãîâîé ñòðàòåãèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ è ìåõàíèçìà ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü äëèíó î÷åðåäè è ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïåðèîäà çàíÿòîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâûñèòü ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü ñèñòå- ìû. Åñëè ïðèîðèòåòíîé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîâûøåíèå ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 179 Íîìåð ñèñòåìû Ìåòîä Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ âåðîÿòíîñòåé p0 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 1 Àíàëèòè÷åñêèé 0,00763 0,03077 0,11099 0,28434 0,31749 0,17825 0,07052 1 GPSS World 0,00776 0,03077 0,11136 0,28423 0,31685 0,17834 0,07070 2 Àíàëèòè÷åñêèé 0,00345 0,01392 0,05329 0,20147 0,39943 0,23297 0,09546 2 GPSS World 0,00337 0,01387 0,05316 0,20198 0,39941 0,23321 0,09501 3 Àíàëèòè÷åñêèé 0,00169 0,00681 0,02606 0,09853 0,20103 0,33143 0,33444 3 GPSS World 0,00173 0,00688 0,02621 0,09819 0,20107 0,33115 0,33478 4 Àíàëèòè÷åñêèé 0,00035 0,00143 0,00547 0,02068 0,07798 0,29394 0,60014 4 GPSS World 0,00033 0,00142 0,00546 0,02058 0,07860 0,29387 0,59974 Ò à á ë è ö à 1 Íîìåð ñèñòåìû Ìåòîä Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê E( ) E( )Q E( )W P sv 1 Àíàëèòè÷åñêèé 13,009 2,698 0,544 0,496 1 GPSS World 12,838 2,697 0,543 0,496 2 Àíàëèòè÷åñêèé 28,878 3,064 0,583 0,525 2 GPSS World 28,895 3,063 0,583 0,525 3 Àíàëèòè÷åñêèé 59,153 3,824 0,575 0,666 3 GPSS World 59,381 3,824 0,575 0,665 4 Àíàëèòè÷åñêèé 282,224 4,457 1,115 0,400 4 GPSS World 282,161 4,457 1,114 0,400 Ò à á ë è ö à 2 ñèñòåìû, òî íàèëó÷øèé ðåçóëüòàò äîñòèãàåòñÿ â ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ïîðîãîâîé ñòðàòåãèè èçìåíåíèÿ âðåìåíè îáñëóæèâàíèÿ (ñèñòåìà 3). Ñðàâíèâàÿ ïîêàçàòåëè ýôôåêòèâíîñòè ñèñòåì 1 è 2, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî çà ñ÷åò îòáðàñûâàíèÿ çàÿ- âîê äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé èõ ÷èñëà â ñèñòåìå (n h� ) óäàåòñÿ óìåíüøèòü ñðåäíþþ äëèíó î÷åðåäè äëÿ ñèñòåìû 1 ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèñòåìîé 2, íî ïðè ýòîì óìåíüøà- åòñÿ ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ñèñòåìû. Â òàáë. 3 ïðåäñòàâëåíû çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû 2 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ GPSS World. Ñðàâíèâàÿ ýòè çíà÷åíèÿ, âèäèì, ÷òî çíà÷åíèå âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ t �106 ñîîòâåòñòâóåò ïðàêòè÷åñêè äîñòèãíóòîìó ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ñèñòåìû. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîòåíöèàëîâ ïîëó÷åíû ïðîñòûå è óäîá- íûå äëÿ ÷èñëîâîé ðåàëèçàöèè ôîðìóëû äëÿ îòûñêàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòå- ðèñòèê ñèñòåì òèïà M G m/ / /1 , â êîòîðûõ â öåëÿõ óëó÷øåíèÿ ïîêàçàòåëåé ïðî- èçâîäèòåëüíîñòè ïðèìåíÿåòñÿ ïîðîãîâàÿ ñòðàòåãèÿ èçìåíåíèÿ âðåìåíè îáñëóæè- âàíèÿ è ìåõàíèçì ñëó÷àéíîãî îòáðàñûâàíèÿ çàÿâîê. Ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäàþòñÿ äàííûìè èìèòàöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ä ó ä è í À . Í . , Ê ë è ì å í î ê Â . È . Î ñèñòåìå îáñëóæèâàíèÿ BMAP/G/1 ñ àëüòåðíèðóþùèì ðåæèìîì ôóíêöèîíèðîâàíèÿ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1999. — ¹ 10. — Ñ. 97–107. 2. C h y d z i n� s k i A . Nowe modele kolejkowe dla wezlow sieci pakietowych. — Gliwice: Pracownia Komputerowa Jacka Skalmierskiego, 2013. — 286 s. 3. S r i r a m K . , L u c a n t o n i D . M . Traffic smoothing effects of bit dropping in a packet voice multiplexer // IEEE Trans. Comm. — 1989. — 37, N 7. — P. 703–712. 4. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . M G m� / / /1 and M G� / / 1 systems with the service time dependent on the queue length // J. of Communic. Technology and Electronics. — 2013. — 58, N 12. — P. 1267–1275. 5. Z h e r n o v y i K . Y u . Stationary characteristics of the M G m� / / /1 system with the threshold functioning strategy // J. of Communic. Technology and Electronics. — 2011. — 56, N 12. — P. 1585–1596. 6. Z h e r n o v y i K . Y u . , Z h e r n o v y i Y u . V . M G m� / / /1 and M G� / / 1 queues with operating parameters depending on the queue length // J. of Communic. Technology and Electronics. — 2014. — 59, N 6. — P. 605–613. 7. Æ å ð í o â û é Þ . , Æ å ð í î â û é Ê . Ìåòîä ïîòåíöèàëîâ äëÿ ïîðîãîâûõ ñòðàòåãèé îáñëóæè- âàíèÿ. — Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. — 164 c. 180 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 Âðåìÿ ìîäåëèðîâàíèÿ, t Çíà÷åíèÿ ñòàöèîíàðíûõ õàðàêòåðèñòèê E( ) E( )Q E( )W P sv 100 13,754 3,008 0,564 0,523 500 22,405 3,080 0,587 0,521 1000 21,061 3,056 0,583 0,527 10000 28,698 3,061 0,583 0,526 100000 28,858 3,060 0,583 0,526 500000 28,976 3,063 0,583 0,525 1000000 28,895 3,063 0,583 0,525 1100000 29,009 3,063 0,583 0,525 1200000 29,032 3,063 0,583 0,525 1300000 28,954 3,063 0,583 0,525 Àíàëèòè÷åñêîå çíà÷åíèå 28,878 3,064 0,583 0,525 Ò à á ë è ö à 3 8. B r a t i y c h u k M . , B o r o w s k a B . Explicit formulae and convergence rate for the system M / G / 1 / N� as N � � // Stochastic Models. — 2002. — 18, N 1. — P. 71–84. 9. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . Ãðàíè÷íûå çàäà÷è äëÿ ñëîæíûõ ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1975. — 138 ñ. 10. Z h e r n o v y i Y u . , K o p y t k o B . , Z h e r n o v y i K . On characteristics of the M G m� / / /1 and M G� / / 1 queues with queue-size based packet dropping // J. of Applied Mathematics and Computational Mechanics. — 2014. — N 13(4). — P. 163–175. 11. Â å í ò ö å ë ü Å . Ñ . , Î â ÷ à ð î â Ë . À . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è åå èíæåíåðíûå ïðèëî- æåíèÿ. — Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. — 383 ñ. 12. Z h e r n o v y i Y u . Creating models of queueing systems using GPSS World: Programs, detailed explanations and analysis of results. — Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2015. — 220 p. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 03.11.2015 Þ.Â. Æåðíîâèé, Ê.Þ. Æåðíîâèé ÌÅÒÎÄ ÏÎÒÅÍÖ²ÀË²Â ÄËß ÑÈÑÒÅÌ ÒÈÏÓ M/G/1/m Ç ÏÎÐÎÃÎÂÈÌÈ ÑÒÐÀÒÅÃ²ßÌÈ ÔÓÍÊÖ²ÎÍÓÂÀÍÍß Àíîòàö³ÿ. Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä äîñë³äæåííÿ ñèñòåì îáñëóãîâóâàííÿ M/G/1/m ç ôóíêö³ºþ âèïàäêîâîãî â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü ³ ðîçïîä³ëîì ÷àñó îáñëóãîâóâàííÿ, çàëåæíèì â³ä äîâæèíè ÷åðãè. Îòðèìàíî ôîðìóëè äëÿ âèç- íà÷åííÿ ïåðåòâîðåíü Ëàïëàñà ðîçïîä³ëó ê³ëüêîñò³ çàìîâëåíü ó ñèñòåì³ ïðî- òÿãîì ïåð³îäó çàéíÿòîñò³ òà ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó ïåð³îäó çàéíÿòîñò³ òà äëÿ îá- ÷èñëåííÿ ñòàö³îíàðíèõ õàðàêòåðèñòèê. Ñï³ââ³äíîøåííÿ äëÿ ñòàö³îíàðíèõ õà- ðàêòåðèñòèê ïåðåâ³ðåíî çà äîïîìîãîþ ³ì³òàö³éíèõ ìîäåëåé, ïîáóäîâàíèõ ³ç âèêîðèñòàííÿì ³íñòðóìåíòàëüíèõ çàñîá³â GPSS World. Íàâåäåíî ïðèêëàä ïîð³âíÿííÿ ðåçóëüòàò³â çàñòîñóâàííÿ ð³çíèõ çàñîá³â êåðóâàííÿ ïàðàìåòðàìè ñèñòåìè îáñëóãîâóâàííÿ. Êëþ÷îâ³ ñëîâà: îäíîêàíàëüíà ñèñòåìà îáñëóãîâóâàííÿ, ïîðîãîâ³ ñòðàòåã³¿, âèïàäêîâå â³äêèäàííÿ çàìîâëåíü, ìåòîä ïîòåíö³àë³â. Yu.V. Zhernovyi, K.Yu. Zhernovyi POTENTIALS METHOD FOR M/G/1/m SYSTEMS WITH THRESHOLD OPERATION STRATEGIES Abstract. We propose a method to analyze M/G/1/m queuing systems with the function of random dropping of customers and distribution of the service time depending on the queue length. Formulas to determine Laplace transforms of the distribution of the number of customers in the system during the busy period and of the distribution function of the busy period and to calculate the stationary characteristics are obtained. The relations for the stationary characteristics are tested using simulation models constructed with the assistance of the GPSS World tools. An example of comparison of the results of the use of various control tools of system parameters is given. Keywords: single-channel, queueing system, threshold strategies, random dropping of customers, potentials method. Æåðíîâûé Þðèé Âàñèëüåâè÷, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ëüâîâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Èâàíà Ôðàíêî, e-mail: yu.zhernovyi@lnu.edu.ua. Æåðíîâûé Êîíñòàíòèí Þðüåâè÷, êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Ëüâîâñêîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî èíñòèòóòà óíèâåðñèòåòà áàíêîâñêîãî äåëà, e-mail: k.zhernovyi@yahoo.com. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2016, òîì 52, ¹ 3 181

Метод потенциалов для систем типа M/G/1/m с пороговыми стратегиями функционирования

Institution

Ähnliche Einträge