Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования

Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования

Рассмотрены способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования, в том числе структурный способ получения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра II рода, а также частотные способы формирования моделей в виде нелинейного интегрального уравнения типа Фредгольм...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2015
Автори: Верлань, Д.А., Чевская, К.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133706
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования / Д.А. Верлань, К.С. Чевская // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 24-36. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-133706
record_format dspace
spelling irk-123456789-1337062018-06-06T03:03:23Z Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования Верлань, Д.А. Чевская, К.С. Рассмотрены способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования, в том числе структурный способ получения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра II рода, а также частотные способы формирования моделей в виде нелинейного интегрального уравнения типа Фредгольма с оператором Гаммерштейна, отображающего периодические режимы системы регулирования. Discusses methods of forming integral dynamic models of nonlinear systems of regulation. Including the structural method of producing a nonlinear integral equation of Voltaire II types and frequency methods of forming patterns in the form of a nonlinear integral equation of Fredholm type with the operator Hammerstein, showing periodic modes of the system of regulation. 2015 Article Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования / Д.А. Верлань, К.С. Чевская // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 24-36. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 2308-5916 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133706 519.6 ru Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассмотрены способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования, в том числе структурный способ получения нелинейного интегрального уравнения Вольтерра II рода, а также частотные способы формирования моделей в виде нелинейного интегрального уравнения типа Фредгольма с оператором Гаммерштейна, отображающего периодические режимы системы регулирования.
format Article
author Верлань, Д.А.
Чевская, К.С.
spellingShingle Верлань, Д.А.
Чевская, К.С.
Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet Верлань, Д.А.
Чевская, К.С.
author_sort Верлань, Д.А.
title Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
title_short Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
title_full Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
title_fullStr Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
title_full_unstemmed Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
title_sort способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate 2015
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133706
citation_txt Способы формирования интегральных динамических моделей нелинейных систем регулирования / Д.А. Верлань, К.С. Чевская // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 24-36. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv AT verlanʹda sposobyformirovaniâintegralʹnyhdinamičeskihmodelejnelinejnyhsistemregulirovaniâ
AT čevskaâks sposobyformirovaniâintegralʹnyhdinamičeskihmodelejnelinejnyhsistemregulirovaniâ
first_indexed 2025-07-09T19:28:14Z
last_indexed 2025-07-09T19:28:14Z
_version_ 1837198927008366592
fulltext Математичне та комп’ютерне моделювання 24 УДК 519.6 Д. А. Верлань*, аспирант, К. С. Чевская**, ассистент *Киевский национальный университет имени Тараса Шевченка, г. Киев, **Каменец-Подольский национальный университет имени Ивана Огиенка, г. Каменец-Подольский СПОСОБЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рассмотрены способы формирования интегральных динами- ческих моделей нелинейных систем регулирования, в том числе структурный способ получения нелинейного интегрального урав- нения Вольтерра II рода, а также частотные способы формирова- ния моделей в виде нелинейного интегрального уравнения типа Фредгольма с оператором Гаммерштейна, отображающего пе- риодические режимы системы регулирования. Ключевые слова: динамические системы, системы регу- лирования, интегральные уравнения. Введение. Системы регулирования выходных координат техничес- ких объектов, реализующие принцип управления по отклонению, пред- ставляет собой динамические системы с обратными связями. Традици- онными математическими моделями таких систем являются обыкновен- ные дифференциальные уравнения, формирующиеся по заданной струк- туре системы и её физическим параметрам, которые отображаются в коэффициентах уравнений. Таким образом, дифференциальные динами- ческие модели являются параметрическими моделями. Во многих случаях объекты управления (регулирования) задаются своими динамическими характеристиками, представляющими собой функции времени. В этих случаях вполне естественным является приме- нение интегральных уравнений, формирующихся непосредственно по динамическим характеристикам звеньев динамической системы [1]. По- лученные интегральные уравнения являются непараметрическими ди- намическими моделями и отличаются от обыкновенных дифференци- альных уравнений повышенной универсальностью, поскольку допуска- ют возможность прямого отображения динамических систем, содержа- щих звенья с распределенными параметрами [2]. Кроме того, интеграль- ные уравнения позволяют использовать новые методы качественного исследования динамических систем и численной реализации моделей [3]. Таким образом, можно считать достаточно актуальной рассматри- © Д. А. Верлань, К. С. Чевская, 2015 Серія: Технічні науки. Випуск 12 25 ваемую в работе задачу формирования интегральных динамических мо- делей нелинейных систем регулирования. Формирование интегральных динамических моделей систем регулирования. Без существенного ограничения общности решае- мой задачи рассмотрим систему регулирования, содержащую одно нелинейное звено, статическая характеристика которого имеет вид  y F x (1) и линейную часть с передаточной функцией       K p W p D p  . Тогда уравнение движения системы, где          , ,x p L x t y p L y t      f p L f t — соответствующие переменные (сигналы) и их операторные изображения, имеет вид   0x W p y f     , (2) (f — внешнее воздействие). К соответствующей структурной схеме (рис.1) может быть приведена любая система с одной безынерцион- ной нелинейностью F; при этом внешнее возмущение всегда может быть приведено к входу нелинейного звена. Нелинейное звено  xFy  Линейная часть y x W(p)y f Рис. 1. Структурная схема системы с одной нелинейностью С учетом (1) уравнение (2) в действительной области записыва- ется в виде         0 t x t g t y d f t     , (3) где  g t  — весовая функция, соответствующая передаточной функции W(p). Подставляя (1) в (3), получим интегральное уравне- ние, определяющее переходные процессы x(t) в системе, в виде         0 , t x t g t F x d f t       (4) Математичне та комп’ютерне моделювання 26 и представляющее собой нелинейное уравнением Вольтерра второго рода [4]. Такие уравнения можно использовать для доказательства существования и единственности решений исходных эквивалентных систем дифференциальных уравнений, анализа динамики систем ав- томатического регулирования, анализа устойчивости и оценки мак- симально возможных отклонений регулируемых величин, т.д. Достаточно перспективным представляется применение метода интегральных уравнений к исследованию периодических режимов нелинейных систем, в связи с чем рассмотрим способ получения та- кого уравнения для системы, представленной на рис. 1. Отметим, что данная система в общем случае может иметь более сложную переда- точную функцию, чем дробно-линейная, в частности, линейная часть может содержать звенья с запаздыванием, с распределенными пара- метрами, а также переменными параметрами (нестационарные зве- нья). В этом случае весовая функция линейной части будет произ- вольной функцией двух переменных  ,g t  , причем g  0 при   t, а вместо (3) будет справедливо соотношение        , t x t g t y d f t      , (5) причем нижний придел интегрирования равен не 0, а –∞, так как на- чальные условия не предполагаются нулевыми. Будем рассматривать периодические решения системы (1), (5). Здесь возможны две существенно различные постановки задачи. Если f(t) — периодическая функция времени некоторой частоты  (перио- да 2 T    ) и, следовательно,    f t T f t  , (6) то ищем вынужденные колебания, т.е. периодический режим x(t) в простейшем случае той же частоты :    x t T x t  . (7) Если же f  0, то искомые периодические решения соответству- ют свободным колебаниям (устойчивые режимы — автоколебаниям). В этом случае частота  заранее неизвестна, а начальная фаза реше- ния (начало отсчета времени) может быть выбрана произвольной. Если исследуемая система имеет периодическое решение (7), то    y t sT y t  при s = 1, 2, 3, … (8) Разбивая в (5) интервал интегрирования на участки, равные пе- риоду, получим Серія: Технічні науки. Випуск 12 27               1 0 1 , , , s Tt sT s ssT t sT x t g t y d g t y d f t                 (9) откуда, переставив порядок суммирования и интегрирования, произведя замену  =   sT и используя (8), получим                   0 10 0 , , , . t T s st T x t g t sT y d g t sT y d f t G t y d f t                          (10) Соотношение (10) определяет установившуюся периодическую реакцию х(t) линейной части на произвольный периодический вход- ной сигнал у(t). Ядро интегрального соотношения в правой части (10)       0 1 , , 0 ; , , , s s g t sT t G t g t sT t T                      (11) естественно назвать периодической весовой функцией. Подставляя (1) в (10), получаем интегральное уравнение относи- тельно периодического режима х(t):         0 , T x t G t F x d f t      , (12) которое представляет собой нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна [5]. Для стационарных систем весовая функция зависит только от разности t  , т.е. g(t, ) = g(t  ), поэтому в данном случае         0 1 , 0 ; , , . s s g t sT t G t R t g t sT t T                           (13) Как нетрудно видеть, функция одного переменного R(u) — это периодическая функция периода T, равная на отрезке 0 < u < T     0 . s R u g u sT     (14) Отсюда ясен физический смысл периодической весовой функ- ции: она представляет собой установившуюся реакцию стационарной Математичне та комп’ютерне моделювання 28 линейной части системы на периодическую последовательность еди- ничных импульсов (рис. 2, а). Согласно (14), R(u) — это сумма реак- ций системы на последовательность импульсов, приложенных при и ≤ 0 (рис. 2, б).  u sT  а) g(u+T) g(u+3T) g(u+2T) R(u) g(u-T) g(u) б) Рис. 2. К определению периодической весовой функции Для стационарной линейной части, передаточная функция кото- рой имеет вид       K p W p D p  , где   1 0...n nK p k p k p k    и   1 0...n nD p d p d p d    — операторные полиномы, весовая функ- ция выразится соотношением        1 1 r r un n r u rr r r K e g u e D W           . (15) Здесь 1, 2, … , n — корни уравнения D() = 0 (полюсы переда- точной функции), которые для простоты изложения предполагаются простыми;     1 W p W p  . Подставляя (15) в (14) и суммируя полученные геометрические прогрессии, получаем            0 1 1 1 r r r un n u sTr r T r rs r r K K e R u e D D e                    , 0 < u < T. (16) Серія: Технічні науки. Випуск 12 29 При этом каждой паре комплексных корней r = r  ir соответ- ствует слагаемое             2 2 Re cos cos 1 2 cos Im sin sin . r r r r r u r T r rT T rr r T r r r Ke u u T e De T e K u u T e D                              Если же уравнение D(γ) = 0 имеет кратные корни γ1, … γm, крат- ности которых ν1, … , vm, то вместо (16) будем иметь формулу       1 1 1 1 1 , 1 ! 1 m r r vv uvm vr v T v r r d e R u C v d e                0 < u < T, (17) где Cvr — коэффициенты в разложении на простые дроби      1 1 mv m vr v v r r K C D         . Заметим, что все полученные соотношения справедливы только для нерезонансных задач, т.е. при выполнении условия D(ij)  0 для всех действительных значений j. Необходимо также отметить, что изложен- ный вывод справедлив лишь в том случае, когда Re 0r  для всех зна- чений r, т.е. для устойчивой линейной части системы. Для систем с ней- тральными и неустойчивыми линейными частями перестановка сумми- рования и интегрирования в (9) и последующее суммирование прогрес- сий не имеет места. Однако соотношения (16) и (17) справедливы и в этом случае, в чем можно убедиться, используя иной вывод интеграль- ного уравнения (12) — с помощью разложения решения в ряд Фурье. Действительно, пусть периодическое решение у(t) системы (1), (2) разлагается в ряд Фурье               10 0 0 0 1 0 1 2 sin sin 1 cos cos 2 cos . T T j T T T j y t y d j t j y d T T j t j y d y d T j t y d T                                      (18) Подставляя выражение (18) в (2) и определяя реакцию линейной части системы на каждую гармонику в отдельности, получаем разло- жение для периодического решения х(t): Математичне та комп’ютерне моделювання 30                   10 0 2 Re cos Im sin . T T j W x t f t y d W ij j t T T W ij j t y d                     (19) Здесь мы по-прежнему предполагаем, что D(ij)  0 и что D(0)  0. Случай нулевого корня у D(р) = 0 рассматривается особо. Используя (1), вновь получим интегральное уравнение в виде         0 , T x t f t R t F x d        (20) причем ядро, согласно выражению (19), равно          1 02 Re cos 2 Im sin . j W R u W ij j u T W ij j u               (21) Таким образом, периодическая функция R(u) определена своим рядом Фурье (21) (в (19) использовалось почленное дифференциро- вание рядов Фурье, следовательно, предполагалось, что решение дифференцируемо достаточное число раз). Однако, если F(x) — не- гладкая функция, то соответствующие решения уравнения (20) могут быть приняты в качестве обобщенных решений системы (1), (2). За- метим, что, так как в реальных системах степень полинома К(р) меньше степени D(р), то величины Re W(ijω) убывают не медленнее, чем 2 1 j , а Im W(ijω) — не медленнее, чем 1 j . Отсюда следует, что ядро R(t  τ) ограничено в квадрате 0 ≤ t ≤ Т, 0 ≤ τ ≤ Т и может иметь разрыв первого рода только при t = τ, причем ряд (21) в этом случае сходится к полусумме 0,5[R(0) + R(Т)]. Если исходным материалом для расчета служат частотные характе- ристики линейной части системы, то R(u) можно вычислить непосредст- венно суммированием нескольких первых членов ряда (21). Однако этот ряд можно просуммировать и в общем виде для произвольной переда- точной функции W(р), что можно показать следующим образом. Отметим, прежде всего, что, согласно (21), ядро R(u) удовлетво- ряет дифференциальному уравнению     1 2 1 cos . 2 j D p R K p j u T             (22) Но в соответствии с [6] сумма ряда в правой части (22) есть не что иное, как разложение периодической импульсной функции Серія: Технічні науки. Випуск 12 31   1 1 2 1 cos , 2 j s j u u sT T                  (23) откуда вновь получаем, что R(u) есть реакция линейной части систе- мы на периодическую последовательность импульсов (рис. 2, a). От- сюда вытекает, что периодическая функция R(u) при 0 < u < Т удов- летворяет однородному уравнению   0,D p R  (24) а в точках приложения импульсов (при u = 0, u = T) справедливы ус- ловия скачков, которые заменяют условия периодичности:                         1 1 2 1 1 1 0 0 ; 0 0 ; ... 0 0 . n n n n n n n n d R R T k d R R T d R R T k d R R T d R R T k                               (25) Условий (25) достаточно для нахождения решения (24). Так, ес- ли все корни r полинома D(р) простые, то 1 ,r n u r r R C e    и соответственно           1 0 1 .r n s s Ts r r r R R T C e     (26) Подставив теперь (26) в (25), найдем произвольные постоянные Cr. Умножив первое из уравнений (25) на 1n q  , второе на 2n q  и т. д., и просуммировав их, получим в левой части при Cq коэффициент        1 2 1 11 1 1 ,q qT Tn n n q n q qe nd n d d D e               при Cr, r  q коэффициент           1 2 1 2 2 1 1 1 1 0, q q T n n n n q r q r T n n n q r q r q r e d e d d D D                                       а в правой части — величину  1 2 1 2 0 .n n n q n q qk k k K         Отсюда непосредственно имеем     1 q q q T q K C D e      Математичне та комп’ютерне моделювання 32 и вновь получаем формулу (16), которая, очевидно, справедлива только при 0 < u < Т; для промежутка Т < u < 0, продолжая функцию периодически, будем иметь          1 1 r r u Tn r T rr K e R u D e           , а при u = 0 и u = T, как уже отмечалось,          1 1 1 0,5 0,5 . 21 r r Tn n r r r T r rr r K K Te R u cth D De                 (27) Остановимся еще на случае, когда знаменатель передаточной функции линейной части системы имеет нулевой корень  0 0.D  (28) Формально выражение для ряда R(и) в этом случае можно полу- чить, устремив в (16) 1 0  . Однако, поскольку уравнение (28) охваты- вает ряд практически важных систем, в частности, многие системы ав- томатической оптимизации, рассмотрим его несколько подробнее, обра- тившись вновь к выводу эквивалентного интегрального уравнения. Подстановка ряда Фурье (18) в (1) дает в этом случае разложе- ние для решения х(t) в виде               0 1 0 2 Re cos Im sin , T j x t f t x W ij j t T W ij j t y d                    где х0 — постоянная составляющая, которая должна быть определена из условия отсутствия постоянной составляющей в производной рх(t). Последнее условие может быть записано в виде  0 0 0 0, T f k F x d     (29) где  0 0 T f f t dt  — постоянная составляющая возмущающей функции. Таким образом, искомое периодическое решение удовлетворяет интегральному уравнению        0 0 T x t f t x R t F x d         (30) с учетом условия (29). При этом ядро R(и) выражается рядом Фурье (21), но без постоянной составляющей. Если нулевой корень полинома D(р) простой, т. е. Серія: Технічні науки. Випуск 12 33       1, 0 0,D p pD p D d   то, разлагая дробь       K p W p D p  на два слагаемых:              1 00 1 1 , , K p K p d K p k D pk K p D p d p D p d p     имеем                     1 1 1 1 0 0 1 1 11 1 1 0 02 2 Re cos Im sin 02 2sin sin . 1 r r j un r T j r jr K K R u Td T d K ij K ij j u j u D ij D ij K Kk kj u e j u Td j Td j TdD e                                            (31) Но при 0 < u <T сумма ряда в (31) равна 1 sin . 4 2j j u T u j       Далее,                   1 0 1 .r r r r r rr r r r r K d K k D K K DD d D D                  Наконец по правилу Лопиталя      1 0 1 1 0 2 1 1 0 0 0 . d K k D d k k d K d d      Сделав соответствующие подстановки в (31), получим оконча- тельно       1 0 0 1 0 2 2 1 11 1 1 . 21 r r un r T rr K k k u k k de R u D d T d de                   (32) Аналогично в случае двойного нулевого корня при    2D p p D p , будем иметь       22 0 21 2 2 1 2 0 3 2 2 0 4 2 1 3 2 0 3 2 3 2 2 6 3 1 121 1 . 2 r r un r T rr K k Te u u R u D d T Te k d k d k d k d d k d d k du Td d T                                (33) Математичне та комп’ютерне моделювання 34 Отметим важное для приложений обстоятельство: если известно, что функция F[x()] не содержит каких-либо гармоник, то соответст- вующие слагаемые без нарушения справедливости уравнения (20) могут быть опущены (или добавлены с произвольными коэффициентами) и в ядре (21). Отсюда, во-первых, следует, что для задач, в которых F[x()] не содержит постоянной составляющей (в частности, при f0 = 0 и ней- тральной линейной части) к R(и) можно добавить произвольное посто- янное слагаемое R0. Во-вторых, в симметричных задачах, для которых   , 2 T x t x t        (34) в решении отсутствуют все четные гармоники и, следовательно, вме- сто (21) можно использовать ядро      * 0 2 Re cos Im sin , 2 1. i R u W ij j u W ij j u j l T           (35) Нетрудно убедиться, что               * 1 2 1 2 , , 0,5 ,2 1 1 1 2 1 0,5 , 0 . 2 1 r r r r r un r T T rr un r T rr R u R u R u K e D e e K e T u D e                                              (36) Во втором полупериоде при 2 T u T  ядро симметрично  . 2 T R u R u         (37) При u = 0 и u = T ряд Фурье по-прежнему будет сходиться к по- лусумме             2 1 12 1 1 1 0 . 4 4 4 1 r r T n n r r r T r rr r K K Te R R T th D D e                   (38) В симметричных задачах в уравнении (20) можно выполнять ин- тегрирование за полпериода, от 0 до 2 T , но тогда коэффициент 0,5 в выражении (36) следует опускать. Серія: Технічні науки. Випуск 12 35 В заключение заметим, что во многих случаях при преобразовании исходной системы дифференциальных уравнений динамики к эквива- лентному интегральному уравнению полезна замена переменной, т. е. выделение линейной части и нелинейности. Именно, полагая y y kx  (39) и подставив в (2), получим     .x W p y kW p x f   Следовательно, вместо (1) и (2) будем иметь аналогичную сис- тему уравнений   ,x W p y f    (40)   ,y F x (41) где             , 1 W p K p W p kW p D p kK p          , . 1 f f F x F x kx kW p     Варьируя величину линейного поворота k, можно выбрать ее зна- чение, оптимальное для тех или иных оценок. В частности, таким обра- зом всегда удается обеспечить условие нерезонансности, т. е. D*(i )  0. Выводы. Таким образом, рассмотрены пригодные для практи- ческого применения способы формирования интегральных динами- ческих моделей систем регулирования в виде интегральных уравне- ний Вольтерра и Фредгольма второго рода. При этом уравнение Вольтерра получим структурным способом при произвольном виде линейной части системы. Уравнение Фредгольма, отображающее периодические режимы, получены способом частотного анализа с возможностью исследования и учета различных динамических свойств линейной части и характера нелинейности системы. Список использованной литературы: 1. Теория автоматического управления: учебник / под ред. Ю. М. Соломен- цева. — 4-е изд., стер. — М. : Высшая школа, 2003. — 268 с.: ил. 2. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными па- раметрами / А. Г. Бутковский. — М. : Наука, 1975. — 568 с. 3. Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Методы ре- шения / А. В. Манжиров, А. Д. Полянин. — М. : Изд-во «Факториал Пресс», 2000. — 384 с. 4. Верлань А. Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. / А. Ф. Верлань, В. С. Сизиков. — К. : Наукова думка, 1986. — 542 с. 5. Васильева А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихо- нов. — 2-е изд., стереот. — М. : Физматлит, 2002. — 160 с. Математичне та комп’ютерне моделювання 36 Discusses methods of forming integral dynamic models of nonlinear sys- tems of regulation. Including the structural method of producing a nonlinear in- tegral equation of Voltaire II types and frequency methods of forming patterns in the form of a nonlinear integral equation of Fredholm type with the operator Hammerstein, showing periodic modes of the system of regulation. Key words: dynamic systems, control systems, integral equations. Отримано: 11.03.2015 УДК 004.94 В. А. Іванюк, канд. техн. наук, В. В. Понеділок, аспірант Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам’янець-Подільський ПОБУДОВА ЯДЕР ІНТЕГРАЛЬНОГО РЯДУ ВОЛЬТЕРРИ МЕТОДОМ АПРОКСИМАЦІЇ ФІГУРОЮ ОБЕРТАННЯ Розглянуто підхід до побудови математичних моделей у вигляді інтегрального ряду Вольтерри на основі застосування методу апроксимації функцій багатьох змінних фігурою обер- тання. Досліджено за допомогою обчислювальних експеримен- тів точність та швидкодію запропонованого способу. Ключові слова: апроксимація, функції багатьох змінних, не- лінійні динамічні системи, ядра Вольтерри, Matlab / Simulink. Вступ. Для розв’язування задач проектування, контролю, аналізу та управління технологічними процесами необхідно виявляти взаємозв'язки між параметрами і представляти їх у вигляді математичних залежностей. Однак при отриманні формалізованого опису багатьох процесів наштов- хуються на ряд труднощів, пов'язаних зі специфічними особливостями цих процесів, зокрема, великою кількістю показників і впливів, що ви- значають зміну цих показників, динамічний характер змін, наявність помилок при реєстрації параметрів, нелінійністю об'єктів тощо. У зв'язку з широким розвитком автоматизованих систем керування і проектуван- ня, завдання подання експериментальних даних компактними математи- чними залежностями стає особливо актуальним, оскільки їх використан- ня призводить до суттєвої економії часу розрахунку та зменшенню ви- мог до апаратної й програмної складових обчислювальних комплексів. Одним із ефективних підходів для опису нелінійних динамічних об’єктів є інтегро-степеневі ряди Вольтерри. При такому описі нелінійні і динамічні властивості системи повністю характеризуються послідовні- стю багатовимірних вагових функцій ядер Вольтерри. Задача побудови © В. А. Іванюк, В. В. Понеділок, 2015 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d002000650072002000650067006e0065007400200066006f00720020007000e5006c006900740065006c006900670020007600690073006e0069006e00670020006f00670020007500740073006b007200690066007400200061007600200066006f0072007200650074006e0069006e006700730064006f006b0075006d0065006e007400650072002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002e> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Схожі ресурси