Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем

Розглядається задача отримання спрощених моделей, які задовольняють критеріям адекватності і точності по відношенню до базової моделі. Отримані моделі забезпечують умови їх застосування при створенні програмних засобів обробки інформації, в тому числі вбудованих у технічні системи з підвищеними вимо...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автори:	Верлань, А.А., Федорчук, В.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2016
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133727
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем / А.А. Верлань, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 49-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133727
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1337272018-06-06T03:03:49Z Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем Верлань, А.А. Федорчук, В.А. Розглядається задача отримання спрощених моделей, які задовольняють критеріям адекватності і точності по відношенню до базової моделі. Отримані моделі забезпечують умови їх застосування при створенні програмних засобів обробки інформації, в тому числі вбудованих у технічні системи з підвищеними вимогами до ресурсних затрат і швидкодії. The problem of obtaining simplified models that meet the criteria of adequacy and accuracy on relation to the base model is considered. The models provide conditions for their use in creating software for processing information, including embedded in the technical systems, with increased requirements to their resources of calculating and performance. 2016 Article Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем / А.А. Верлань, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 49-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 2308-5916 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133727 004.94 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Розглядається задача отримання спрощених моделей, які задовольняють критеріям адекватності і точності по відношенню до базової моделі. Отримані моделі забезпечують умови їх застосування при створенні програмних засобів обробки інформації, в тому числі вбудованих у технічні системи з підвищеними вимогами до ресурсних затрат і швидкодії.
format	Article
author	Верлань, А.А. Федорчук, В.А.
spellingShingle	Верлань, А.А. Федорчук, В.А. Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
author_facet	Верлань, А.А. Федорчук, В.А.
author_sort	Верлань, А.А.
title	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
title_short	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
title_full	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
title_fullStr	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
title_full_unstemmed	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
title_sort	підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2016
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133727
citation_txt	Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем / А.А. Верлань, В.А. Федорчук // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2016. — Вип. 13. — С. 49-60. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Технічні науки
work_keys_str_mv	AT verlanʹaa pídhodidopobudoviskalârnihdinamíčnihmodelejrozpodílenihlanokkerovanihelektromehaníčnihsistem AT fedorčukva pídhodidopobudoviskalârnihdinamíčnihmodelejrozpodílenihlanokkerovanihelektromehaníčnihsistem
first_indexed	2025-07-09T19:31:18Z
last_indexed	2025-07-09T19:31:18Z
_version_	1837198985543024640
fulltext	Серія: Технічні науки. Випуск 13 49 17. Смит Дж. М. Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей : [монография] / Дж. М. Смит ; [пер. с англ. Н. П. Ильиной ; под. ред. О. А. Чембровского]. — М. : Машиностроение, 1980. — 271 с. 18. Коновал В. Застосування z-перетворення для моделювання електроенер- гетичних систем / В. Коновал, В. Мороз // Сборник трудов Международ- ной конференции «Моделирование-2012» (Simulation-2012), 16-18 травня 2012 р. — К. — С. 293–296. 19. Moroz V. High-Speed Power System Stability Analysis / V. Moroz, V. Kono- val // Proceedings 2015 16th International Conference on Computational Prob- lems of Electrical Engineering (CPEE-2015) [under auspices of IEEE]. — L'viv, 2015. — P. 129-131. The article suggests solving the problem of optimizing the parameters of planned export activity using a comprehensive approach that includes statistical methods and dynamic models. To find the optimal balance point of costs of export activity and efficiency of this activity the objects of management identified by second order differential equation, which solved using recurrent equation based on the z-transform. Key words: export activity, identification of the system, integral meth- ods, planning parameters, costs, statistical methods, z-transform. Отримано: 13.04.2016 УДК 004.94 А. А. Верлань, канд. техн. наук, В. А. Федорчук, д-р техн. наук, професор Київський національний технічний університет «КПІ», м. Київ, *Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський ПІДХОДИ ДО ПОБУДОВИ СКАЛЯРНИХ ДИНАМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ РОЗПОДІЛЕНИХ ЛАНОК КЕРОВАНИХ ЕЛЕКТРОМЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ Розглядається задача отримання спрощених моделей, які задовольняють критеріям адекватності і точності по відно- шенню до базової моделі. Отримані моделі забезпечують умо- ви їх застосування при створенні програмних засобів обробки інформації, в тому числі вбудованих у технічні системи з під- вищеними вимогами до ресурсних затрат і швидкодії. Ключові слова: об’єкти з розподіленими параметрами, спрощені скалярні динамічні моделі, моделювання ланок елек- тромеханічних систем. Вступ. Електромеханічні системи широко використовуються в машинобудуванні, енергетиці, при видобутку корисних копалин, в металургії, на транспорті тощо. Оскільки під час функціонування © А. А. Верлань, В. А. Федорчук 2016 Математичне та комп’ютерне моделювання 50 електромеханічних систем спостерігається значне споживання елект- ричної енергії, протягом багатьох років інтенсивно ведуться роботи щодо покращення їх енергетичних характеристик. Актуальними та- кож залишаються задачі удосконалення динамічних характеристик шляхом використання систем автоматичного керування. В залежності від поставленої задачі автоматизована система керування повинна забезпечувати необхідні режими функціонування електромеханічної системи з контролем швидкості, потужності, механічного моменту, частоти тощо. Зараз для сучасних електромеханічних систем наміти- лась стійка тенденція зростання вимог щодо точності відпрацювання складних рухів виконавчих механізмів при умові збільшення швид- кості їх переміщення [1]. Це стало можливим з появою потужних на- півпровідникових силових перетворювачів та високоточних цифро- вих систем керування із вбудованими моделями об’єктів керування, які поклали початок розвитку мехатронних систем. Для забезпечення високої точності відпрацювання керуючих впли- вів, при збереженні високої швидкодії, виникає задача врахування в мо- делях виконавчих механізмів ефекту розподіленості параметрів за прос- торовою координатою. Використання традиційного підходу до матема- тичного опису ланок з розподіленими параметрами у вигляді диференці- альних рівнянь з частинними похідними супроводжується значними труднощами, оскільки числова реалізація таких моделей вимагає вели- ких обчислювальних ресурсів, що є проблематичним для вбудованих систем автоматичного керування, які функціонують в режимі реального часу. Тому набуває актуальності задача спрощення моделей розподіле- них ланок із врахуванням їх ефективної числової реалізації. Аналіз існуючих методів спрощення складних математичних моделей дає змогу визначитись з вибором підходу і методів розв’язування дослідницьких задач. Важливою особливістю задачі, що розв’язується, є визначення очікуваних результатів, а саме — отримання спрощених моделей, які задовольняють критеріям адеква- тності і точності по відношенню до базової моделі, і, разом з тим, які забезпечують умови застосовності при створенні програмних засобів обробки інформації, в тому числі «вбудованих» у технічні системи з підвищеними вимогами до ресурсних затрат і швидкодії. Отже, актуальною залишається задача побудови за заданими базо- вими моделями спрощених математичних моделей динаміки ланок із розподіленими параметрами у вигляді звичайних диференціальних рів- нянь, інтегральних операторів (динамічних моделей явного вигляду) та передатних функцій, як найбільш поширених в теперішній час видів моделей в широкій практиці технічних досліджень і розробок. Цілком очевидно, що для розв’язання таких задач необхідні вибір або побудова Серія: Технічні науки. Випуск 13 51 ефективних методів спрощуючого перетворення базових моделей, при- чому саме структурно-спрощуючих методів, оскільки повинні виконува- тись апроксимаційні або еквівалентні перетворення з отриманням моде- лей динаміки об’єктів із розподіленими параметрами, які вже відносять- ся до принципово інших класів математичних описів. Невід’ємною час- тиною досліджень є розробка і апробація програмних засобів, що реалі- зують отримані спрощені динамічні моделі. Структурні (структурно-функціональні) моделі. Найбільш часто системи автоматичного керування та інші технічні системи, в тому числі мехатронні, відображаються за допомогою структурно- функціональних моделей. Функціональна схема електромеханічної системи мехатронного типу приведена на рис. 1. Вона включає три підсистеми: 1 — інформаційну, 2 — енергоелектронну і 3 — електромеханічну. Інформаційна підсистема містить систему керування, контролю і діагностики (СККД), набір сенсорних пристроїв (НСП), локальний інте- рфейс (ЛІ) та зовнішній інтерфейс (ЗІ). Енергоелектронна підсистема включає силовий напівпровідниковий перетворювач (СНП) і силовий блок живлення (СБЖ). Електромеханічна підсистема містить виконав- чий механізм (ВМ) і електромеханічний перетворювач (ЕМП). Слід від- значити, що в деяких мехатронних системах функціональні блоки мо- жуть відрізнятись від приведених на схемі. Так, наприклад, електроме- ханічний перетворювач може бути конструктивною ланкою виконавчого механізму, або в деяких мехатронних системах може бути відсутній зов- нішній інтерфейс, якщо не передбачається робота в складі групи при- строїв з централізованим управлінням. СКК НСП СБЖ СНП ЕМП ВМ ЛІ ЗІ 1 32 Рис. 1. Електромеханічна система мехатронного типу Особливістю мехатронних систем є те, що вони охоплюють ши- рокий клас задач завдяки універсальності комп’ютеризованих систем керування, контролю та діагностики. В залежності від задачі керу- вання та особливостей виконавчого механізму (об’єкта керування) в Математичне та комп’ютерне моделювання 52 мехатронній системі можуть використовуватись різні за адекватністю моделі. Це приводить до різних шляхів отримання та корегування спрощених математичних моделей за відомою базовою моделлю. Принцип спрощення і корегування математичних моделей. Задачі спрощення і корегування математичних моделей припускають, що є відома деяка математична модель об’єкта Y = L(A)X, (1) де L(A) — у загальному випадку деякий відомий оператор. У випадку корегування задача полягає в уточненні числових параметрів A = (a1, …, as) математичної моделі, виходячи з даних про функціону- вання об’єкта. Дана задача відома також як задача оцінювання парамет- рів математичної моделі або задача параметричної ідентифікації. До необхідності корегування математичної моделі можуть приз- водити наступні випадки. Математична модель, отримана аналітич- ним способом, часто включає ряд числових параметрів, які потребу- ють подальшого уточнення або визначення на діючому об’єкті. В іншому випадку для об’єкта зі структурою, яка змінюється з часом, може бути прийнята математична модель зі сталими параметрами, з якими вона задовольняє вимогам точності для інтервалу (t0, t0 + T], а для наступного інтервалу (t0 + T, t0 + 2T] у зв’язку із зміною структури об’єкта може виникнути необхідність уточнення цих параметрів. Для задач корегування або оцінювання параметрів математичної моделі важливим є характер взаємозв’язку між вихідними змінними Y(t) і оцінюваними параметрами A. Характер цього зв’язку визнача- ється як вихідною математичною моделлю, так і обраною функцією неузгодженості або якості математичної моделі 0( ) ( ) ( )A Y t L A X   , (2) де Y0(t) — вектор виходів об’єкта,  — знак норми вектор-функції. З точки зору оцінювання параметрів математична модель називається лінійною, якщо δ(A) лінійна відносно параметрів. Тому математична модель може бути нелінійною в звичайному сенсі і лінійною віднос- но оцінюваних параметрів. Оскільки задача оцінювання параметрів A формулюється як екстремальна задача пошуку ( ) min ( ) a A A    , (3) де  — допустима множина векторів A, то складність алгоритмів по- шуку точки мінімуму A  буде визначатися властивостями δ(A). На практиці функцію δ(A), зазвичай, вибирають так, щоб δ(A) була лінійною відносно A або зводилася до лінійної задачі визначення A. Для того, щоб точка мінімуму A була єдиною, бажано, щоб δ(A) була опуклою або хоча б унімодальною функцією. Серія: Технічні науки. Випуск 13 53 Задачу корегування математичної моделі Y(t) = L(A0) X(t) можна поставити як задачу уточнення вихідних числових параметрів A0 за X, Y, які належать заданій області D, до таких значень A , для яких критерій якості δ(A) задовольняє умові ( )A   , (4) де Δ — необхідна точність. Для задачі корегування параметрів A0 суттєвим є те, що при використанні ітераційних алгоритмів пошуку A в якості початкового наближення параметрів A слід брати лише A = A0, тому що, зазвичай, достатньо вести пошук в околі вихідних значень A0. Крім того, ітераційні алгоритми можна завершувати не по досягненню точки мінімуму функції δ(A), а в точці A , в якій викону- ється (4). Проте не виключено, що навіть у точці глобального міні- муму A* не буде досягнуто необхідної точності, тобто (A*) > . Це вказує на те, що вибрана структура математичної моделі погано опи- сує реальний об’єкт і необхідно для підвищення точності моделі шу- кати її в іншому класі. Можливий також випадок, коли необхідна то- чність буде досягнута при тому ж L(A), але при зміні обмежень D, Θ. Задачу корегування параметрів A математичної моделі статики 0( , )Y f X A (5) можна сформулювати наступним чином. За спостережуваними в ста- тичному режимі на об’єкті значеннями ( )X  і ( ) 0Y  та відповідним значенням моделі ( ) ( ) 0( , )Y f X A  необхідно уточнити вихідні чис- лові параметри A0 таким чином, щоб справджувалась (4). Задачу ко- регування математичної моделі статики нерідко можна звести до розв’язання системи лінійних або нелінійних рівнянь. Якщо, напри- клад, математична модель статики записується у вигляді 1 ( ) js j ij ij i Y a X    , 1,j n , 1 n j j s s            , (6) де ( )ij X — задані координатні функції, або шляхом перетворення змінних її можна звести до такого вигляду, то за відсутності обме- жень на A і за умови, що функція неузгодженості математичної моде- лі має вигляд 2( ) ( ) 0 1 1 ( ) ( ) N n j jj j A q Y Y X           , ( ) ( ) 00 ( )Y Y X  , (7) де задані вагові коефіцієнти 0jq  , необхідна умова мінімуму ( ) 0 ij A a    приводить до n систем лінійних алгебраїчних рівнянь Математичне та комп’ютерне моделювання 54      ( )( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 js N N ij ij kj kjj i a X X Y X              , 1, jk s , 1,j n . (8) Проте при корегуванні параметрів не завжди вдається математи- чну модель звести до лінійного вигляду відносно A, і у цих випадках та у випадку функції (7) необхідна умова мінімуму призводить до нелінійної відносно A системи рівнянь. Часто виявляється, що замість розв’язування нелінійної системи прийнятніше розв’язувати безпосе- редньо задачу мінімізації (3). У динаміці корегування параметрів математичної моделі (1) здійс- нюється за спостережуваними значеннями входів X(t) і виходів Y0(t) об’єкта на деякому проміжку часу [t0, t0 + T] і значеннями Y(t) математи- чної моделі на цьому ж проміжку за таким ж значень входів X(t). Зазви- чай припускається, що в початковому стані Y0 та Y співпадають. На практиці розповсюджені математичні моделі динаміки, що описується системою диференціальних рівнянь 0( , , , ) dY F t X Y A dt  , 0 0 t tY Y  , (9) де параметри A0 необхідно корегувати. Ця задача навіть для лінійних диференціальних рівнянь є доволі складною. Наприклад, у випадку одного лінійного диференціального рівняння 0 ( ) ( ) dy a y t x t dt   , 0(0)y y , (10) для якого розв’язок можна записати в явному вигляді 0 0 ( )0 0 0 ( , ) ( ) t a t a ty t a y e x e d    , (11) задача коригування одного параметра a0 на основі критерію 2 0 0 min ( , ) ( ) T a y t a y t dt   є лінійною задачею. Нелінійної задачі вдається позбутися, якщо експеримент поставле- ний так, що крім Y0(t) вимірюється також і 0dY dt . Тоді для математичної моделі, заданої системою рівнянь виду (10), а також для систем неліній- них диференціальних рівнянь, в праві частини яких A входить лінійно: 1 ( , , ) js j ij ij i dY a t X Y dt     , 1,j n (12) задачу визначення A можна звести до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Для цього функція якості моделі береться у вигляді Серія: Технічні науки. Випуск 13 55 2 ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 ( ) ( , , ) jsN n ij ijj j i A Y a t X Y                    (13) і всі її похідні по aij прирівнюються до нуля. До лінійної системи зво- диться задача і тоді, коли Y0(t) не вимірюється, а визначається чисе- льними методами за наближеними експериментальними даними Y0(tv). Цей підхід не можна вважати задовільним без належної обере- жності, оскільки чисельне диференціювання наближених експериме- нтальних даних може бути причиною великих похибок. У випадку впливу на об’єкт деякого вектора завад, коли вхідні і вихідні величини доцільно розглядати як випадкові, корегування па- раметрів моделі за спостережуваними X(v), Y(v) можна провести, базу- ючись на алгоритмах теорії оцінок математичної статистики або за допомогою процедур стохастичної апроксимації. У задачі спрощення математичної моделі вважається, що вихід- на математична модель відома із надлишковою точністю, причому використання цієї моделі пов’язане із певними труднощами — склад- ністю алгоритмів, неприйнятним часом їх реалізації та ін. Для прак- тичного застосування більш доцільно мати не лише точну, але і прос- ту для реалізації математичну модель. Тому виникає задача за раху- нок зниження точності отримати, базуючись на вихідній математич- ній моделі, спрощену математичну модель об’єкта. Питання спрощення математичної моделі можна розв’язувати на різних етапах моделювання. Дійсно, нехай ступінь адекватності ма- тематичної моделі M об’єкту O характеризується функцією 1(O, M), а точність чисельної реалізації математичної моделі M у вигляді про- грами P — функцією 2 ( , ).M P Будемо вважати, що функція неузго- дженості ( , )O P результатів, виміряних на об’єкті O і розрахованих програмою P, задовольняє нерівність 1 2( , ) ( , ) ( , )O P O M M P      , (14) де число ε може бути збільшене. З (14) випливає, що ( , )O P можна збільшити двома шляхами: зробити спрощуючі допущення, гіпотези і припущення про фізичний процес, і тим самим перейти від матема- тичної моделі M процесу до більш грубої математичної моделі M1; взяти більш «грубі», а значить, і простіші чисельні методи реалізації алгоритмів математичної моделі M у вигляді програми P1. Таким чином, надмірна точність математичної моделі M дає мо- жливість перейти до простіших математичних моделей процесу M1 і простіших чисельних методів для її реалізації. Природно, що такий перехід у кожному конкретному випадку повинен здійснюватися із врахуванням специфіки математичної моделі. Математичне та комп’ютерне моделювання 56 Методи перетворення динамічних моделей. В практиці розв’я- зування рівнянь із частинними похідними досить поширеними є ті чи інші прийоми спрощення вихідних залежностей. У тому числі методи апріорного подання форми (структури) шуканого розв’язку, такі як методи Фур’є, Гальоркіна та ін. Сюди ж слід віднести метод розді- лення змінних або розщеплення, тобто метод аналітичного подання шуканої функції двох і більше змінних у вигляді добутку функцій одного аргументу. Відомі також методи кускового наближення функ- цій та ряд інших методів. Вказані методи можуть служити основою для структурного спрощення моделей об’єктів із розподіленими па- раметрами. Проте слід зазначити, що при використанні цих методів, як правило, ставиться за мету отримання спрощеної моделі для пода- льшого її самостійного застосування в якості основи функціонування комп’ютеризованих систем технічного призначення, таких як систе- ми вимірювання, контролю, діагностики, керування, а також сучас- них і перспективних систем моніторингу, які інтенсивно розвивають- ся. Завдання, поставлені за мету, відносились, як було сказано вище, до отримання чисельного результату для конкретної обчислювальної задачі. Таким чином, напрямок досліджень, який розглядається, пот- ребує подальшого розвитку шляхом пошуку і створення ефективних методів спрощення моделей об’єктів із розподіленими параметрами, розробки відповідних алгоритмів та програмних засобів моделювання. При моделюванні динамічних об’єктів важливим методом вияву можливостей чисельної реалізації є представлення моделей в різних еквівалентних та апроксимаційних формах. Використання еквівален- тних форм динамічних моделей стає розповсюдженим підходом. Зок- рема, при дослідженні систем управління можуть бути застосовані часові моделі у вигляді диференціальних, інтегральних, інтегро- диференціальних рівнянь; операторні у вигляді передатних функцій; частотні у вигляді амплітудно-частотних характеристик і т. п., які використовуються для аналізу різних властивостей заданої системи. Часто отримання моделі, виходячи з її фізичних властивостей, зручне в одній формі, а її чисельна реалізація в іншій, еквівалентній вихід- ній. Для еквівалентного (аналітичного) перетворення динамічних моделей можна виділити наступні методи: методи перетворення ди- ференціальних моделей в інтегральні, що включають в себе методи перетворення з розщепленням, послідовного інтегрування, старшої похідної; метод перетворення диференціального рівняння n-го поряд- ку до системи диференціальних рівнянь першого порядку; метод пе- ретворення диференціальної моделі в модель у вигляді передатних функцій; метод перетворення інтегро-диференціальних моделей в інтегральні моделі; методи на основі фундаментальної системи Серія: Технічні науки. Випуск 13 57 розв’язків, старшої похідної, послідовного інтегрування; метод пос- лідовного диференціювання для еквівалентного перетворення інтег- ро-диференціальної моделі в диференціальну модель. Спрощення складної моделі завжди ґрунтується на деякій близь- кості або еквівалентності складної і спрощеної моделей. У зв’язку з тим, що оцінка близькості моделей суттєвим чином визначається ці- лями дослідження системи і специфікою складної моделі, класифіка- ція методів спрощення моделей є достатньо складною. Достатнє уяв- лення про різноманіття способів і прийомів спрощення математичних моделей дає їх розгляд з точки зору простору змінних, в якому відбу- вається спрощення моделі. Відповідно двом основним просторам, які використовуються при аналізі систем, маємо дві наступні множини підходів до спрощення моделей. 1. Побудова спрощеної моделі за критерієм близькості показни- ків якості вихідної і спрощеної моделі в просторі зображень. При цьо- му отримують: канонічні форми редукційних моделей, в яких зберіга- ються визначені власні значення вихідної системи, або задаються деякі полюси і зберігаються декілька марковських параметрів і (або) часових моментів; спрощені моделі зі збереженням домінантних власних зна- чень, полюсів або нулів вихідної моделі; спрощені моделі, що отриму- ються інтерполяцією Коші передатної функції W(p) системи; апрокси- мацією передатної функції W(p) системи поліномами Гурвіца, непере- рвними дробами (апроксимація Паде), поліномами Чебишева, формами Кауера, — з контролем положення полюсів, нулів, сталих часу, часо- вих границь та (або) моментних характеристик перехідного процесу спрощених моделей. До методів перетворення в просторі зображень відносять частотні методи спрощення моделей, що використовують: перетворення змінних в комплексній площині, причому на високих частотах s — площина перетворюється в область всередині одиничного кола, а нові передатні функції перетворюються до модифікованих по- ліномів Чебишева; мінімізацію інтеграла від різниці дійсних і уявних частотних характеристик вихідної і спрощеної моделей у визначеному інтервалі частот; мінімізацію вагової міри відхилень частотних реакцій вихідної і спрощеної моделей на всьому діапазоні частот; квадратично- амплітудну частотну характеристику і методи Чебишева при апрокси- мації передатної функції ланцюговими дробами. 2. Побудова спрощеної моделі за критерієм близькості показ- ників якості складної і спрощеної моделі в просторі станів. В цю множину методів спрощення моделей входять всі методи, які ґрун- туються на операціях над змінними в просторі станів. Різноманіття використовуваних показників якості систем обумовлює багаточисе- льність способів спрощення цієї групи. Значна їх кількість ґрунтуєть- Математичне та комп’ютерне моделювання 58 ся на мінімізації різноманітних мір відхилень перехідних процесів, імпульсних і перехідних характеристик або деяких функціоналів від різниці вихідних координат складної і спрощеної моделей тощо. При постановці і розв’язанні задачі спрощення моделей як у прос- торі зображень, так і в просторі станів не можна обійтися без інженер- них, евристичних прийомів спрощення, що враховують специфіку кон- кретної задачі дослідження системи і відомості про порівняльну важ- ливість факторів (або фрагментів), отримані в результаті попереднього досвіду використання спрощеної моделі. Прикладом такого роду еври- стичного прийому при спрощенні математичного опису електроенер- гетичних систем є використання того факту, що в складних системах вплив збудження по мірі віддалення від місця його виникнення змен- шується в силу розсіювання енергії та інших причин. Інженерний підхід використовується також і при спрощенні мо- делі, що отримується при послідовному нехтуванні деякими фрагме- нтами в початковій моделі і оцінці їх значимості. Інженерним ж спо- собом в більшості випадків визначається і допустима похибка при спрощенні математичних моделей. Відзначимо деяку складність цієї задачі при врахуванні похибок вхідної інформації і потрібної точнос- ті отриманих результатів. Як при використанні будь-яких методів спрощення, що не вра- ховують параметричну чутливість моделей, після спрощення вихідної моделі описаними в [2–4] алгебраїчними методами також необхідна оцінка точності отриманої спрощеної моделі із врахуванням збурень параметрів системи. Системний підхід при спрощенні моделей має на увазі не тільки задовільну точність спрощеної моделі, що отримується, але й задово- лення інших вимог, пов’язаних з її практичним застосуванням. Такими вимогами можуть бути спрощення обладнання і підвищення надійнос- ті — при апаратній реалізації спрощення моделі, мінімізація машинно- го часу і об’єму пам’яті, що використовується — при програмній реалі- зації. Робота [5] може бути наведена в якості прикладу реалізації тако- го підходу при розв’язанні задачі підвищення точності моделювання і спрощення обладнання, що використовується, при створенні спеціалі- зованого обчислювального обладнання для апроксимації залежностей між заданими векторами вхідних і вихідних координат системи. Підхід до визначення допустимої похибки спрощення моделей неперервних процесів із врахуванням похибок вимірювання вхідних і вихідних координат системи і повної обчислювальної похибки визна- чення вихідних координат моделі поданий у [6]. Для прикладу розглянемо спосіб структурного спрощення мате- матичної моделі об’єкта з розподіленими параметрами. Математич- Серія: Технічні науки. Випуск 13 59 ний опис об’єкта з розподіленими параметрами задано у прямокутній області G з границею Г{α < x < β; t0 < t < t0 + l} у вигляді диференціа- льного рівняння із частинними похідними 2 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), ( , 0 ), u u u a x t b x t c x t d x t u f x t tt x a b у G Г            (15) з граничними умовами 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( ); ( , ) ( ); ( ), ( , ) ( ); ( , ) ( ); ( ), l T u x t t u x l t t t t T u x t x u x T x x x x l                (16) де φ0(t), φl(t), ψ0(x), ψT (x) — задані функції. Застосувавши метод прямих до рівнянь (15)–(16), отримаємо сис- тему з n звичайних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку 1 12 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 1, 2,..., ), k k k k k k k k k k k b t a t u t u t u t u t c t u t h d t u t f t O h k n             (17) де xk = x0 + kh, (k = 0, 1, 2, ..., n), 1 l h n   , xk(t) = u(t, xk). Нехтуючи у (17) членами O(h2) та позначивши через Uk(t) на- ближені значення розв’язку u(t, x) на прямій x = xk для їх визначення, отримаємо систему рівнянь 1 12 ( ) ( ) ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( 1,2,..., ). k k k k k k k k k k k b t a t U t U t U t U t c t U t h d t U t f t k n            (18) Використовуючи граничні умови на Г, маємо: 0 0 1 0 0 ( ) ( ), ( ); ( ) ( ), ( ); ( ) ( ), ( ) ( ); ( 1,2,..., ). n l k k k T k U t t t T U t t t T U t x U T x k n                    (19) Отримана модель у вигляді системи диференціальних рівнянь (18) з граничними умовами (19) апроксимує з точністю до O(h2) ди- ференціальне рівняння (15) з граничними умовами (16). Слід відзна- чити, що за допомогою методу прямих, по суті, проводиться деком- позиція вихідної моделі на n структурних елементів, кожен з яких реалізує диференціальне рівняння другого порядку. Отже, на основі проведеної декомпозиції здійснюється побудова структурних моделей об’єктів з розподіленими параметрами. При цьому слід враховувати, що заміна моделі з нескінченною кількістю степенів свободи скінченновимірною приводить до розходжень зна- чень їх власних частот. Для оцінки точності апроксимаційної моделі Математичне та комп’ютерне моделювання 60 можна скористатися визначенням величини відмінності власних час- тот вихідної та апроксимаційної моделі. Висновки. Розглянуті способи отримання спрощених моделей дають змогу задовольнити критерії щодо адекватності і точності по відношенню до базової моделі, а також забезпечити умови їх застосо- вності при створенні програмних і апаратних засобів обробки інфор- мації з підвищеними вимогами до ресурсних затрат і швидкодії. Список використаних джерел: 1. Инжиниринг электроприводов и систем автоматизации / [М. П. Белов, О. И. Зементов, А. Е. Козярук и др.] ; под ред. В. А. Новикова, Л. М. Чер- нигова. — М. : Академия, 2006. — 368 с. 2. Mahadevan N. Wavelet-based model reduction of distributed parameter sys- tems / N. Mahadevan, K. A. Hoo // Chemical Engineering Science. — Vol. 55. — Issue 19, October 2000. — P. 4271–4290. 3. Opmeer M. R. Model reduction for distributed parameter systems: A functional analytic view / M. R. Opmeer // Proceedings of the American Control Confer- ence. — American Automatic Control Council. — 2012. — P. 1418–1423. 4. Roubal J. Simulation of Two-Dimensional Distributed Parameters Systems [Електронний ресурс] / J. Roubal, P. Trnka, V. Havlena // Digital Signal and Image Processing. In proceedings of MATLAB conference 2004. — Режим доступу: http://dsp.vscht.cz/konference_matlab/matlab04/roubal.pdf. 5. Верлань А. Ф. Метод интегральных уравнений в задаче описания и расче- та электрических цепей / А. Ф. Верлань // Электронное моделирова- ние. — 1983. — № 5. — С. 8–12. 6. Иванов В. В. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие / В. В. Иванов. — К. : Наук. думка, 1986. — 584 с. The problem of obtaining simplified models that meet the criteria of adequacy and accuracy on relation to the base model is considered. The models provide conditions for their use in creating software for processing information, including embedded in the technical systems, with increased requirements to their resources of calculating and performance. Key words: objects with distributed parameters, simplified scalar dy- namic models, modelling of links of electromechanical systems. Отримано: 27.04.2016 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description << /ARA <FEFF06270633062A062E062F0645002006470630064700200627064406250639062F0627062F0627062A002006440625064606340627062100200648062B062706260642002000410064006F00620065002000500044004600200645062A064806270641064206290020064506390020064506420627064A064A0633002006390631063600200648063706280627063906290020062706440648062B0627062606420020062706440645062A062F062706480644062900200641064A00200645062C062706440627062A002006270644062306390645062706440020062706440645062E062A064406410629061B0020064A06450643064600200641062A062D00200648062B0627062606420020005000440046002006270644064506460634062306290020062806270633062A062E062F062706450020004100630072006F0062006100740020064800410064006F006200650020005200650061006400650072002006250635062F0627063100200035002E0030002006480627064406250635062F062706310627062A0020062706440623062D062F062B002E> /BGR <FEFF04180437043f043e043b043704320430043904420435002004420435043704380020043d0430044104420440043e0439043a0438002c00200437043000200434043000200441044a0437043404300432043004420435002000410064006f00620065002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d04420438002c0020043f043e04340445043e0434044f044904380020043704300020043d043004340435043604340435043d0020043f044004350433043b04350434002004380020043f04350447043004420020043d04300020043104380437043d0435044100200434043e043a0443043c0435043d04420438002e002000200421044a04370434043004340435043d043804420435002000500044004600200434043e043a0443043c0435043d044204380020043c043e0433043004420020043404300020044104350020043e0442043204300440044f0442002004410020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200441043b0435043404320430044904380020043204350440044104380438002e> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <FEFF30d330b830cd30b9658766f8306e8868793a304a3088307353705237306b90693057305f002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a3067306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f3092884c3044307e30593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <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> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Підходи до побудови скалярних динамічних моделей розподілених ланок керованих електромеханічних систем

Репозитарії

Схожі ресурси