Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення

У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії оптимальності методу найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою неперервного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2015
Автори:	Гудима, У.В., Гнатюк, В.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Назва видання:	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133860
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 37-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-133860
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1338602018-06-09T03:04:52Z Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії оптимальності методу найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою неперервного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозначних відображень. The necessary and sufficient conditions and criteria of the optimal method of the best at sense of the weighting distance from point to set of uniform reconstitution of the functional dependence that is defined inaccurately by means of the continuous compact-valued maps by elements of the set of single-valued maps are proved in the article. 2015 Article Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 37-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 2308-5878 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133860 517.5 uk Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії оптимальності методу найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою неперервного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозначних відображень.
format	Article
author	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
spellingShingle	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О. Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
author_facet	Гудима, У.В. Гнатюк, В.О.
author_sort	Гудима, У.В.
title	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
title_short	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
title_full	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
title_fullStr	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
title_full_unstemmed	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
title_sort	задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/133860
citation_txt	Задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залежності, заданої неточно з допомогою багатозначного відображення / У.В. Гудима, В.О. Гнатюк // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки: зб. наук. пр. — Кам’янець-Подільський: Кам'янець-Подільськ. нац. ун-т, 2015. — Вип. 12. — С. 37-55. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Математичне та комп'ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки
work_keys_str_mv	AT gudimauv zadačanajkraŝogourozumínnízvaženoívídstanívídtočkidomnožinirívnomírnogovídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostízadanoínetočnozdopomogoûbagatoznačnogovídobražennâ AT gnatûkvo zadačanajkraŝogourozumínnízvaženoívídstanívídtočkidomnožinirívnomírnogovídnovlennâfunkcíonalʹnoízaležnostízadanoínetočnozdopomogoûbagatoznačnogovídobražennâ
first_indexed	2025-07-09T19:44:55Z
last_indexed	2025-07-09T19:44:55Z
_version_	1837199835896217600
fulltext	Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 37 By the method of integral and hybrid integrated transforms, in combi- nation with the method of influence functions the integral image of exact analytical solution of hyperbolic boundary value problem of mathematical physics in piecewise homogeneous cylindrical-circular space is obtained for the first time. A mathematical model of free oscillation processes is a partial case of a considered problem. Key words: hyperbolic equation, initial and boundary conditions, con- jugate conditions, integral transforms, the influence functions. Отримано: 27.03.2015 УДК 517.5 У. В. Гудима, канд. фіз.-мат. наук, В. О. Гнатюк, канд. фіз.-мат. наук Кам'янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, м. Кам'янець-Подільський ЗАДАЧА НАЙКРАЩОГО У РОЗУМІННІ ЗВАЖЕНОЇ ВІДСТАНІ ВІД ТОЧКИ ДО МНОЖИНИ РІВНОМІРНОГО ВІДНОВЛЕННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ, ЗАДАНОЇ НЕТОЧНО З ДОПОМОГОЮ БАГАТОЗНАЧНОГО ВІДОБРАЖЕННЯ У статті встановлено необхідні, достатні умови і критерії оптимальності методу найкращого у розумінні зваженої відс- тані від точки до множини рівномірного відновлення функціо- нальної залежності, заданої неточно з допомогою неперервно- го багатозначного відображення, елементами множини непе- рервних однозначних відображень. Ключові слова: найкраще у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірне відновлення; функціональна залежність, задана неточно; оптимальний метод відновлен- ня; необхідні, достатні умови, критерій оптимальності ме- тоду рівномірного відновлення функціональної залежності. Вступ. У статті для задачі найкращого у розумінні зваженої від- стані від точки до множини рівномірного відновлення функціональ- ної залежності, заданої неточно з допомогою неперервного багатоз- начного відображення, елементами множини неперервних однознач- них відображень встановлено необхідні, достатні умови і критерії оптимальності методу відновлення. Постановка задачі. Нехай X — лінійний над полем комплекс- них чисел нормований простір. Для множини F та елемента x цього простору покладемо   infF y F E x x y    . Величину  FE x називають © У. В. Гудима, В. О. Гнатюк, 2015 Математичне та комп’ютерне моделювання 38 найкращим наближенням елемента x множиною F або відстанню від цього елемента до множини F (див., наприклад, [1, с. 11]). Буде- мо позначати через  B X (  O X ) — сукупність довільних (опуклих) обмежених замкнених множин простору X , через  ,H A B     max sup , supB A x A y B E x E y           — хаусдорфову відстань між множи- нами ,A B із  B X . Нехай, крім того, S — компакт,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір однозначних відображень g компакта S в X , неперервних на S , з нормою:  max s S g g s   ,   ,C S B X (   ,C S O X ) — множина багатозначних відображень a компакта S в X таких, що для кожного s S    sa s B B X  (    sa s O O X  ) і вони є неперервними на S відносно метрики Хаусдорфа на  B X (  O X ),   ,a C S B X (   ,a C S O X ,  ,V C S X ,  — додатна неперервна на S функція (вагова функція). Поставимо задачу відшукання величини        * , inf sup infa g V y a ss S V s g s y            , (1) яку будемо називати задачею найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної залеж- ності, заданої неточно за допомогою неперервного багатозначного відо- браження, елементами множини неперервних однозначних відображень. Твердження 1. Для будь-яких   ,a C S B X ,  ,g C S X функ- ція             inf s a s y a s E g s s g s y      , s S , є неперервною по s на S . Доведення. Переконаємося у неперервності по s на S функції         infa s y a s E g s g s y    , s S . Нехай 0s S і 0  . Оскільки   ,a C S B X ,  ,g C S X , то існує окіл  0V s точки 0s компакта S такий, що    0 3 g s g s    ,  0s V s , (2)      0 3 0a s a s U   ,  0s V s , (3) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 39      0 3 0a s a s U   ,  0s V s , (4) де   3 0U  — окіл нуля простору X радіуса 3  . Нехай  0 0y a s і       0 0 0 0inf 3y a s g s y g s y       . (5) На підставі співвідношення (4) для кожного  0s V s існують елементи  sy a s та   3 0sz U  такі, що 0 s sy y z  . З урахуванням цього та співвідношень (2), (5) одержимо, що для  0s V s           0 0a s a sE g s E g s         0 0inf inf y a s y a s g s y g s y           0 0 3sg s y g s y        (6)    0 0 0 3sg s y z g s y           0 3 3 3sg s g s z         . Нехай для  0s V s  sy a s і      inf 3s y a s g s y g s y       . (7) На підставі співвідношення (3) існують елемента  0 0sy a s та  0 3 0sz U  такі, що 0 0 s s sy y z  . З урахуванням цього та співвідношень (2), (7) одержимо, що для  0s V s           0 0a s a sE g s E g s         0 0inf inf y a s y a s g s y g s y           0 0 3s sg s y g s y           0 0 0 0 3s s sg s y g s y z        (8)     0 0 3 3 3sg s g s z         . Внаслідок (6), (8)           0 0a s a sE g s E g s   ,  0s V s . Математичне та комп’ютерне моделювання 40 Це й означає, що функція     a sE g s , s S , є неперервною в точці 0s S . Оскільки точку 0s вибрано довільно із S , то функція     a sE g s , s S , є неперервною на S . Внаслідок того, що функція  s , s S , є неперервною по s на S за припущенням, а функція     a sE g s , s S , є неперервною по s на S за доведеним вище, робимо висновок, що функція              s a sa s E g s s E g s   , s S , є неперервною по s на S , як добуток двох неперервних на S функцій. Твердження доведено. З твердження 1 та узагальненої теореми Вейєрштрасса (див., на- приклад, [2, с. 28]) випливає, що задачу відшукання величини (1) мо- жна подати у такій формі            * , inf max inf max inf . s a a sg V g V y a ss S s S V E s g s y                (10) Якщо існує елемент g V такий, що         , max infa y a ss S V s g s y           , то його будемо називати оптимальним методом найкращого у розу- мінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного віднов- лення функціональної залежності, заданої неточно за допомогою ба- гатозначного відображення, або просто екстремальним елементом для величини (10). Актуальність теми. В багатьох практичних задачах функціона- льні залежності, які характеризують досліджувані процеси, не озна- чені точно, а лише відомо, що вони є селекторами деякого багатозна- чного відображення, тобто їх значення належать відповідним значен- ням цього багатозначного відображення (знаходяться в деякому діа- пазоні можливих значень). Робота з такими функціональними залежностями пов’язана з низ- кою труднощів. У зв’язку з цим виникає проблема найкращого у деякому розу- мінні їх відновлення однозначними функціональними залежностями (однозначними апроксимантами) певного класу. Слід зазначити, що з середини шістдесятих років двадцятого століття задачам відновлення функціоналів приділяється велика увага (див., наприклад, [3–5]). Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 41 У роботі розглядається задача найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціона- льної залежності, заданої неточно з допомогою неперервного багато- значного відображення, елементами множини неперервних однозна- чних відображень. Цю задачу можна розглядати як задачу найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного наближення багатозначного відображення   ,a C S B X (   ,a C S O X мно- жиною V неперервних однозначних відображень простору  ,C S X . Частковим випадком розглядуваної задачі, коли V є множиною сталих відображень із S в X , є задача про відносну чебишовську точку системи обмежених замкнених множин, які неперервно змінюються, основні результати дослідження якої встановлені у праці [6]. Результати загального характеру, отримані при дослідженні ве- личини (10), становлять самостійний інтерес, а також слугуватимуть відправним пунктом для отримання відповідних результатів для кон- кретних задач, що включаються у схему її постановки, зіграють важ- ливу роль при побудові та обґрунтуванні збіжності чисельних мето- дів розв’язання цих задач. Мета роботи. Встановити необхідні, достатні умови і критерії екстремального елемента для величини (10) (оптимального методу відновлення). Допоміжні твердження. Теорема 1. Нехай K — компакт, Y — лінійний простір (дійсний або комплексний),   K   — сім’я заданих на Y опуклих функцій, для кожного x Y відображення  K x   півнеперервне зве- рху на K,    max , , K x x x Y               : , max . K K x K x x x             Тоді для будь-яких , :x y Y  1i  K x є замкненою і, отже, компактною підмножиною ком- пакта K;  2i відображення    ,K x x y   є півнеперервним звер- ху на  K x ;  3i існує точка   ,y K x  для якої      , max , ; y K x x y x y        (11) Математичне та комп’ютерне моделювання 42  4i для кожного  K x  справедлива нерівність    , , ;x y x y    5i для кожного   ,y K x  що задовольняє (11), виконується рівність        , max , , . y K x x y x y x y           Доведення. Перш за все зазначимо, що функція  є опуклою на Y (див., наприклад, [2, с. 180]). Переконаємося, що  K x є замкне- ною множиною K. Нехай  0 \ .K K x  Тоді     0 .x x  Оскіль- ки відображення  K x   півнеперервне зверху на K, то існує окіл  0O  точки 0 компакта K такий, що    x x  для всіх  0 .O  Звідси випливає, що    0 \ .O K K x  Тому  \K K x є відкритою, а  K x — замкненою множиною. Доведемо справедливість твердження  2 .i Нехай  0 K x  і число A таке, що   0 , .x y A  Оскільки функція 0 є опуклою на Y, то існує 0 0yt  таке, що       0 00 0 0 , y y x t y x x y A t             (12) (див., наприклад, [7, с. 328]). З (12) та рівності     0 x x  випливає, що     0 0 0 .y yx t y x At      Оскільки відображення   0 yK x t y     є півнеперервним зверху на K, то існує окіл  0O  точки 0 компакта K такий, що     0 0 .y yx t y x At      (13) Ураховуючи те, що    x x  для всіх   ,K x  з (13) одер- жимо        0 0 0, . y y x t y x A O K x t             (14) Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 43 Оскільки       0 0 , y y x t y x x y t            (див., наприклад, [7, с. 328]), то з (14) випливає, що  ,x y A  для всіх    0 .O K x   Це й означає, що відображення    ,K x x y   є півнеперервним зверху в точці  0 .K x  Оскільки точку 0 вибрано довільно з   ,K x то звідси робимо ви- сновок про півнеперервність зверху відображення    ,K x x y   на  .K x Твердження  2i доведено. Оскільки  K x є компактом, то, згідно з твердженням  2i та узагальненою теоремою Вейєрштрасса (див., наприклад, [2, с. 28]), існує  y K x  таке, що має місце рівність (11). Твердження  3i доведено. Переконаємося у справедливості твердження  4 .i Нехай  .K x Тоді    .x x  З урахуванням цього для 0t  будемо мати            max .K x ty xx ty x x ty x t t t                Перейшовши в цій нерівності до границі при 0, 0, t t  одер- жимо, що    , , .x y x y   Справедливість твердження  4i доведено. Переконаємося у справедливості твердження  5 .i Згідно з твер- дженнями  3i та  4i ,      max , , . K x x y x y       (15) Нехай 0.  Оскільки (див., наприклад, [7, с. 328])         0 , inf , , t x ty x x y x y t             то для будь-якого 0t  виконуються співвідношення        , , . x ty x x y x y t            Звідси випливає, що для всіх 0t  Математичне та комп’ютерне моделювання 44        sup , , . K x ty x x y x y t               Тоді для кожного 0t  існує таке ,K  що      , . x ty x x y t         Для кожного 0t  позначимо через      : , , . t x ty x K K x y t                  (16) Згідно з попередніми міркуваннями, tK є непорожньою множи- ною для всіх 0.t  З (16) випливає, що для 0t         : , , . tK K x ty x t x y           (17) Оскільки за умовою відображення  K x ty    є півне- перервним зверху на K, то з (17) випливає, що для кожного 0t  tK є непорожньою і замкненою множиною компакта K. Переконаємося, що 1 2 ,t tK K якщо 1 20 .t t  Дійсно, якщо 1 ,tK  то           1 1 1 1 1 , x t y x x y x t y x t t                       1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 t t t t x x t y x x t t t t t                             (18)              21 1 2 1 2 2 2 1 1 , x t y xt t x x x t y x t t t t                           оскільки  є опуклою на X функцією та    .x x  З (18) ви- пливає, що      2 2 , . x t y x x y t         Тому 2 .tK  Оскільки  вибрано з 1t K довільно, то 1 2 .t tK K Переконаємося далі, що система замкнених множин , 0, tK t  є центрованою системою компакта K. Нехай 1 , ..., , nt tK K де 1 0, ..., 0 nt t  , — будь-яка скінченна кількість множин цієї системи. Не зменшуючи загальності, можна вважати, що 1 2 ... . nt t t   З Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 45 урахуванням встановленого вище маємо, що 1 2 ... . nt t tK K K   Тому 1 1 . i n t t i K K     Оскільки K — компакт, то 0 0 t t K K     (див., наприклад, [8, с. 60]). Нехай 0.K  Тоді , 0. tK t   Звідси випливає, що          , , 0. x ty x x ty x x y t t t                 (19) Тому         0, 0 , lim , . t t x ty x x y x y t                 (20) Переконаємося, що  0 .K K x З урахуванням (19) для 0K  будемо мати, що       , , 0. x ty x t x y t        (21) Розглянемо функцію     , . t x ty t R    Відомо (див., на- приклад, [2, с. 199]), що ця функція є опуклою та неперервною на R. Внаслідок (21)           0, 0, 0 0 lim 0 lim . t t t t t x x ty x               Оскільки     , , x x K    то    .x x  Отже,  K x  для всіх 0.K  Це й означає, що  0 .K K x Зі співвідношення (20) випливає, що тоді      0, , , . x y x y K K x        Внаслідок цього і (15) робимо висновок, що      max , , . K x x y x y       (22) Якщо  y K x  і      , max , , y K x x y x y        то, з урахуванням (22),        , max , , . y K x x y x y x y           Теорему доведено. Для кожного s S покладемо               inf s s a s y a s g E g s s g s y       ,  ,g C S X . Твердження 2. Нехай   ,a C S O X . Для кожного s S фун- кція  s g ,  ,g C S X , є опуклою та неперервною на  ,C S X . Математичне та комп’ютерне моделювання 46 Для кожного  ,g C S X відображення  ss S g  є непере- рвним на S . Функція           max max s s a ss S s S g g E g s      ,  ,g C S X , є опуклою і неперервною на  ,C S X . Доведення. Переконаємося, що для кожного s S функція  s g ,  ,g C S X , є опуклою та ліпшіцевою з константою  max s S s    функцією. Опуклість функції  s g ,  ,g C S X , випливає з опуклості фун- кції   inf y a s x X x y     (див., наприклад, [9]). Для  1 2, ,g g C S X будемо мати                1 2 1 2inf infs s y a s y a s g g s g s y s g s y                   1 2inf inf y a s y a s g s y g s y                 1 2 1 2 1 2sup . y a s g s y g s y g s g s g g            Це означає, що для кожного s S функція  s g ,  ,g C S X , задовольняє умові Ліпшіца з константою  max s S s    . Неперервність на S відображення  ss S g  для кожного  ,g C S X встановлена у твердженні 1. Оскільки функція    max s s S g g    ,  ,g C S X , є точною верхньою гранню опуклих функцій  s g ,  ,g C S X , то  g ,  ,g C S X ,– є опуклою на  ,C S X функцією (див., наприклад, [2, с. 180]). Маємо, що для будь-яких  1 2, ,g g C S X        1 2 1 2max maxs s s S s S g g g g             1 2 1 2max s s s S g g g g        . Це й означає, що функція  g ,  ,g C S X ,задовольняє умові Ліпшіца з константою  і, отже, є неперервною на  ,C S X . Твердження доведено. Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 47 Нехай, як і вище, X — лінійний над полем комплексних чисел но- рмований простір, X — простір, спряжений з X , RX — дійсний лі- нійний нормований простір, асоційований з простором X , тобто простір X лише над полем дійсних чисел, * RX — простір, спряжений з просто- ром RX , p — функція, задана на X і, отже, на RX . Елемент * Rf X називається субградієнтом функції p в точці 0 ,Rg X якщо 0 0( ) ( ) ( ), . Rp g p g f g g g X    Множину субградієнтів функції p в точці g X називають су- бдиференціалом цієї функції в точці g і позначають ( ).p g Відомо, що функція найкращого наближення ( )FE g , ,g X є не- перервною на RX для будь-якої множини F (див., наприклад, [1, с. 17]) та, крім того, опуклою на RX за умови, що F є опуклою множиною (див., наприклад, [9]). Тому у випадку опуклої множини F для кожної точки g X ( )FE g є непорожньою опуклою слабко* компактною множиною простору * RX (див., наприклад, [7, с. 327]). Твердження 3 (див., наприклад, [6]). Нехай F — опукла за- мкнена множина простору ,X g — довільна точка цього простору. Тоді має місце співвідношення двоїстості * ( ) inf max Re ( ) sup Re ( ) ,F y F f B y F E g g y f g f y             де  * : , 1B f f X f   — одинична куля простору .X Твердження 4 (див., наприклад, [6]). Нехай для опуклої замкне- ної множини F простору X та елемента g цього простору * * ( , ) : , ( ) inf max Re ( ) sup Re ( )F y F f B y F B g F f f B E g g y f g f y                 Re ( ) sup Re ( ) y F f g f y      ,     Re ( , ) Re : ( , ) .B g F f f B g F  Тоді має місце рівність  ( ) Re ( , )FE g B g F  , g X . Необхідні, достатні умови та критерії екстремального елеме- нта для величини (10) (оптимального методу відновлення). У подальшому будемо вважати, що ( , ( )).a C S O X Для ( , ( ))a C S O X та g V покладемо Математичне та комп’ютерне моделювання 48                  * max inf max max , g a y a ss S s sa ss S s S s g s y E g s g g                              * ( ) ( ): , , max max sg a sa s s S s S C g g C S X E g s g g                     * max max , s g s aa ss S s S g g E g s                               * * : , max * max , sg a a s s g s s aa ss S s S S s s S E g s E g s g g                             * * , ( ) : , inf a s y a s B g s a s f f B E g s g s y                   * * ( ) ( ) max Re sup Re Re sup Re , ; f B y a s y a s f g s f y f g s f y s S                           * * Re , Re : , , . B g s a s f f B g s a s s S    Згідно з твердженням 4            * Re , ,a sB g s a s E g s  . s S Зрозуміло, що множини ,g aS     * * , , B g s a s * ,g as S не є порожніми. Непорожність множини g aS випливає з компактності S та неперервності функції                 infs sa s y a s s S E s g s s g s y g            (див. твердження 1), а непорожність множини      * , , B g s a s * ,g as S випливає з твердження 4. Якщо вважати, що обмеження g V в задачі відшукання величини (10) є істотним, тобто    , ,a a V     де           , inf max inf ,a g C S X y a ss S s g s y            то непорожньою також буде множина * .g aC В подальших міркуваннях будемо використовувати техніку ко- нусів допустимих напрямків. При цьому конусом внутрішніх напря- Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 49 мків для множини M лінійного нормованого простору Y із 0y Y називають множину  0,M y всіх точок y Y для яких існує окіл  O y точки y та число 0  такі, що 0y th M  для всіх  0,t  і для всіх  h O y (див., наприклад, [7, c. 12]). Конусом граничних напрямків для множини M лінійного нормо- ваного простору Y із 0y Y називають множину  0,M y таких точок ,y Y що для довільного околу  O y точки y та довільного числа 0  існують  h O y та  0, ,t  що 0y th M  (див., на- приклад, [7, c. 13]). Теорема 2. Нехай, як і вище,   , , a C S O X для кожного s S                 inf , , , s s a s y a s g E g s s g s y g C S X                   max max inf , , . s y a ss S s S g g s g s y g C S X              Якщо  , , , g z C S X  то             , , max max Re . g a f B g s a ss S g z s f z s                Доведення. Маємо, що для кожного  ,g C S X          max max inf .s y a ss S s S g g s g s y             Оскільки S — компакт,  ,C S X — лінійний над полем дійсних чисел простір,  s s S   — сім’я опуклих на  ,C S X функцій (див. тве- рдження 2), для кожного  ,g C S X відображення  ss S g  півнеперервне зверху на S (див. твердження 2),              * : , max max inf , a s s s S y a ss S S g s s S g g g s g s y                        то згідно з теоремою 1    , max , . g a s s S g z g z        (23) Оскільки для s S s є опуклою та неперервною на  ,C S X функцією, то має місце рівність Математичне та комп’ютерне моделювання 50       0, 0 , lim s s s t t g tz g g z t                                              0, 0 0, 0 lim lim s s a s a s t t a s a s t t E g s tz s E g s t s E g s tz s s E g s t                     (24)                        0, 0 lim , . a s a s a st t E g s tz s E g s s s E g s z s t            Оскільки, як зазначалось вище, для s S функція    a sx X E x  є опуклою та неперервною на X, то має місце рівність               , max a s a s f E g s E g s z s f z s      (25) (див., наприклад, [7, с. 318]). Згідно з твердженням 4, співвідношеннями (23)–(25)            , max max g a sa f E g ss S g z s f z s                          Re , max max g a f B g s a ss S s f z s                       , max max Re . g a f B g s a ss S s f z s            Теорему доведено. Теорема 3. Нехай   ,a C S O X , g V і обмеження g V в задачі відшукання величини (10) є істотним. Тоді має місце рівність              * * * * , , : , , Re 0 g a g a f B g s a ss S C g g g C S X f g s       . (26) Доведення. Маємо, що       * : , , g aC g g C S X g g    і g aC   . Оскільки функція  g ,  ,g C S X , є опуклою та непе- рервною на  ,C S X , то g aC є опуклою відкритою множиною прос- тору  ,C S X . Нехай   ,g ag C g . Згідно з теоремою 1.3.4 [7, с. 19]   1g g g  , де 0  , а * 1 g ag C . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 51 З урахуванням цього одержимо, що         * * * * * 0 1 , inf t g tg g g g g g g t                                 * * * * 1 1 0g g g g g g            . Звідси і з теореми 2 випливає, що           * * * , max max Re 0 g a f B g s a ss S s f g s         . Тому           * * * , : , ,Re 0 g a f B g s a ss S g g g C S X f g s      . Отже,              * * * * * , , : , , Re 0 g a g a f B g s a ss S C g g g C S X f g s       . (27) Нехай тепер           * * * , : , ,Re 0 g a f B g s a ss S g g g C S X f g s      . З урахуванням цього та теореми 2 робимо висновок, що      * * * 0 , inf 0 t g tg g g g t          . Тоді існує 0t  таке, що    * g tg g   . Звідси отримуємо, що * 1 int g ag tg g C   . От- же,  * 1 1 g g g t   , де 1 0 t  , * 1 int g ag C . Внаслідок теореми 1.3.4 [7, с. 19] робимо висновок, що  * ,g ag C g . Тому              * * * * , : , ,Re 0 , g a g a f B g s a ss S g g C S X f g s C g       . (28) З (27) та (28) випливає рівність (26). Теорему доведено. Теорема 4. Нехай   ,a C S O X , V — довільна множина простору  ,C S X . Якщо g є екстремальним елементом для вели- чини (10) (оптимальним методом відновлення), то для будь-якого Математичне та комп’ютерне моделювання 52   ,z V g існують елементи zs S , zf B такі, що для них ма- ють місце співвідношення            * max inf inf z z z y a s y a ss S s g s y s g s y                      max Re sup Re z z z f B y a s s f g s f y            (29)         Re sup Re z z z z z y a s s f g s f y          ,   Re 0z zf z s  . (30) Доведення. Нехай g є екстремальним елементом для величини (10) (оптимальним методом відновлення). Тоді    inf g V g g    . Якщо обмеження g V не є істотним для задачі відшукання величи- ни (10), то тоді      * , inf g C S X g g    . Звідси випливає, що для будь- якого  * ,z V g матимемо, що  , 0g z  . Внаслідок теореми 2 робимо висновок, що існують елементи zs S , * zf B для яких ви- конуються співвідношення (29), (30). Якщо ж обмеження g V є істотним для задачі відшукання ве- личини (10), то згідно з теоремою 1.4.1 [7, с. 22]    * * * , ,g aC g V g    . Звідси та з теореми 3 випливає, що для будь-якого   ,z V g існують елементи g z as S , zf      * * ,B g s a s такі, що має місце (30). Оскільки g z as S ,      * ,zf B g s a s , то zs S , * zf B і справедлива рівність (29). Теорему доведено. Теорема 5. Нехай   ,a C S O X , V – довільна множина прос- тору  ,C S X , g V . Якщо для кожного елемента g V існують елементи gs S , gf B такі, що для них мають місце співвідношення Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 53            * max inf inf y g g y a ss S y a s s g s y s g s y                      max Re sup Re g g g f B y a s s f g s f y             (31)         Re sup Re g g g g g y a s s f g s f y           ,     Re 0g g gf g s g s  , (32) то g є екстремальним елементом для величини (10) (оптимальним методом відновлення). Доведення. Нехай g є довільним елементом множини V . Згід- но з умовою теореми існують gs S , * gf B , для яких мають місце (31) та (32). З урахуванням співвідношень (31) та (32) одержимо, що        0 Reg g g gs f g s g s           Re sup Re g g g g g y a s s f g s f y                    Re sup Re g g g g g y a s s f g s f y                     * max Re sup Re g g g f B y a s s f g s f y                     Re sup Re g g g g g y a s s f g s f y                     max Re sup Re g g g f B y a s s f g s f y                        max inf infg g y a s y a ss S s g s y s g s y                   max inf y a ss S s g s y          Математичне та комп’ютерне моделювання 54            max inf max inf y a s y a ss S s S s g s y s g s y                    . Отже,            max inf max inf y a s y a ss S s S s g s y s g s y                   для всіх g V . Це й означає, що g є екстремальним елементом для величини (10) (оптимальним методом відновлення). Теорему доведено. Згідно з [10] множину M лінійного нормованого простору Y будемо називати  — множиною відносно точки 0y M , якщо  * 0 0,y y M y  для всіх y M . Прикладом  — множин є, зокрема, зіркові відносно g , в то- му числі опуклі множини. Теорема 6. Нехай   ,a C S O X , g V , V є  — множиною відносно g . Для того, щоб елемент g був екстремальним елементом для величини (10) (оптимальним методом відновлення), необхідно і дос- татньо, щоб для кожного елемента g V існували елементи gs S , * gf B , для яких виконуються співвідношення (31), (32). Доведення. Необхідність. Нехай g є екстремальним елементом для величини (10) (оптимальним методом відновлення) і V є  -мно- жиною відносно g . Тоді   * ,g g V g  . Згідно з теоремою 4 існують елементи gs S , gf B , для яких виконуються співвідно- шення (31), (32). Необхідність доведено. Достатність випливає з теореми 5. Наслідок 1. Нехай   ,a C S O X , g V , V є підпростором простору  ,C S X . Для того, щоб елемент g був екстремальним елементом для величини (10), необхідно і достатньо, щоб для кожно- го елемента g V існували елементи gs S , * gf B , для яких ви- конуються співвідношення (31) та   Re 0g gf g s  . Серія: Фізико-математичні науки. Випуск 12 55 Висновки. Для задачі найкращого у розумінні зваженої відстані від точки до множини рівномірного відновлення функціональної за- лежності, заданої неточно з допомогою неперервного багатозначного відображення, елементами множини неперервних однозначних відо- бражень встановлено необхідні, достатні умови і критерії екстрема- льного елемента (оптимального методу відновлення). Список використаних джерел: 1. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения / Н. П. Кор- нейчук. — М. : Наука, 1976. — 320 с. 2. Иоффе А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихоми- ров. — М. : Наука, 1974. — 480 с. 3. Арестов В. В. Наилучшее восстановление операторов и родственные за- дачи / В. В. Арестов // Тр. МИАН СССР. — 1989. — С.3–20. 4. Магарил-Ильяев Г. Г. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным / Г. Г. Магарил-Ильяев, К. Ю. Осипенко// Матем. за- метки. — 1991. — Т. 50. — № 6. — С. 85–93. 5. Магарил-Ильяев Г. Г. Выпуклый анализ и его приложения/ Г. Г. Магарил- Ильяев, В.М. Тихомиров. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 176 с. 6. Гнатюк Ю. В. Відносна чебишовська точка системи обмежених замкне- них множин, які неперервно змінюються / Ю. В. Гнатюк // Укр. мат. журн. — 2010. — Вип. 63. — № 7. — С. 889–903. 7. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация / П.-Ж. Лоран. — М. : Мир, 1975. — 496 с. 8. Люстерник Л. А. Краткий курс функционального анализа/ Л. А. Люстер- ник, В. И. Соболев. — М. : Высшая школа, 1982. — 271 с. 9. Гнатюк В. А. Общие свойства наилучшего приближения по выпуклой непрерывной функции / В. А. Гнатюк, В. С. Щирба // Укр. мат. журн. — 1982. — Вип. 4. — №5. — С. 608–613. 10. Гудима У. В. Найкраща рівномірна апроксимація неперервного компактноз- начного відображення множинами неперервних однозначних відображень / У. В. Гудима // Укр. мат. журн. — 2005. — Вип. 57. — № 12. — С. 1601–1619. The necessary and sufficient conditions and criteria of the optimal method of the best at sense of the weighting distance from point to set of uniform reconstitution of the functional dependence that is defined inaccu- rately by means of the continuous compact-valued maps by elements of the set of single-valued maps are proved in the article. Key words: the best at sense of the weighting distance from point to set of uniform reconstitution; the functional dependence that is defined in- accuratel; the optimal method of reconstitution; the necessary and suffi- cient conditions and criteria. Отримано: 15.04.2015 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /All /Binding /Left /CalGrayProfile (Gray Gamma 2.2) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (Coated FOGRA27 \050ISO 12647-2:2004\051) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Warning /CompatibilityLevel 1.3 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.1000 /ColorConversionStrategy /sRGB /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo false /PreserveFlatness false /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments false /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Remove /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true /Arial-Black /Arial-BlackItalic /Arial-BoldItalicMT /Arial-BoldMT /Arial-ItalicMT /ArialMT /ArialNarrow /ArialNarrow-Bold /ArialNarrow-BoldItalic /ArialNarrow-Italic /ArialUnicodeMS /CenturyGothic /CenturyGothic-Bold /CenturyGothic-BoldItalic /CenturyGothic-Italic /CourierNewPS-BoldItalicMT /CourierNewPS-BoldMT /CourierNewPS-ItalicMT /CourierNewPSMT /Georgia /Georgia-Bold /Georgia-BoldItalic /Georgia-Italic /Impact /LucidaConsole /Tahoma /Tahoma-Bold /TimesNewRomanMT-ExtraBold /TimesNewRomanPS-BoldItalicMT /TimesNewRomanPS-BoldMT /TimesNewRomanPS-ItalicMT /TimesNewRomanPSMT /Trebuchet-BoldItalic /TrebuchetMS /TrebuchetMS-Bold /TrebuchetMS-Italic /Verdana /Verdana-Bold /Verdana-BoldItalic /Verdana-Italic ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages false /ColorImageMinResolution 150 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 150 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages false /GrayImageMinResolution 150 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 150 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.76 /HSamples [2 1 1 2] /VSamples [2 1 1 2] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 15 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages false /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects true /CheckCompliance [ /PDFX1a:2001 ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile (None) /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e55464e1a65876863768467e5770b548c62535370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc666e901a554652d965874ef6768467e5770b548c52175370300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents suitable for reliable viewing and printing of business documents. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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> /HEB <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> /HRV (Za stvaranje Adobe PDF dokumenata pogodnih za pouzdani prikaz i ispis poslovnih dokumenata koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA (Utilizzare queste impostazioni per creare documenti Adobe PDF adatti per visualizzare e stampare documenti aziendali in modo affidabile. I documenti PDF creati possono essere aperti con Acrobat e Adobe Reader 5.0 e versioni successive.) /JPN <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> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020be44c988b2c8c2a40020bb38c11cb97c0020c548c815c801c73cb85c0020bcf4ace00020c778c1c4d558b2940020b3700020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken waarmee zakelijke documenten betrouwbaar kunnen worden weergegeven en afgedrukt. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <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> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <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> /RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f0020043d0430043404350436043d043e0433043e0020043f0440043e0441043c043e044204400430002004380020043f04350447043004420438002004340435043b043e0432044b044500200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e> >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AllowImageBreaks true /AllowTableBreaks true /ExpandPage false /HonorBaseURL true /HonorRolloverEffect false /IgnoreHTMLPageBreaks false /IncludeHeaderFooter false /MarginOffset [ 0 0 0 0 ] /MetadataAuthor () /MetadataKeywords () /MetadataSubject () /MetadataTitle () /MetricPageSize [ 0 0 ] /MetricUnit /inch /MobileCompatible 0 /Namespace [ (Adobe) (GoLive) (8.0) ] /OpenZoomToHTMLFontSize false /PageOrientation /Portrait /RemoveBackground false /ShrinkContent true /TreatColorsAs /MainMonitorColors /UseEmbeddedProfiles false /UseHTMLTitleAsMetadata true >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /BleedOffset [ 0 0 0 0 ] /ConvertColors /ConvertToRGB /DestinationProfileName (sRGB IEC61966-2.1) /DestinationProfileSelector /UseName /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements true /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MarksOffset 6 /MarksWeight 0.250000 /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PageMarksFile /RomanDefault /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /UseDocumentProfile /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [600 600] /PageSize [419.528 595.276] >> setpagedevice

Репозитарії

Схожі ресурси